Примеры 5 класс по математике решать: Задания по математике 5 класс: для занятий дома

Тест по математике за 5 класс. Учебник Виленкина Н.Я

Если Ваш ученик обучался по программе Виленкина Н.Я и Вы хотите оценить его уровень до обращения к репетитору — пройдите предварительный тест по математике за 5 класс. Решите 30 несложных заданий и проверьте введенные ответы. Получив результаты тестирования накануне проведения первого урока, репетитор по математике сможет точнее подобрать содержание очного теста и быстрее определиться со стратегией ведения занятий.

Задание 2. Вычислите 7 мин 12 сек — 3 мин 40 сек

Выберите ответ:

Задание 5. Выразите в килограммах 7 тонн 4 центнера

Выберите ответ:

Задание 7. Вычислите

Выберите ответ:

Задание 8. Упростите выражение

Выберите ответ:

Задание 9. Укажите выражение для вычисления периметра четырехугольника, у которого две стороны равны по х см, третья больше каждой из них на 8 см, а длина четвертой меньше третьей на 3 см.  

Выберите ответ:

Задание 16. Выразите в квадратных метрах площадь 2 га 5 а

Выберите ответ:

Задание 17. Найдите объем прямоугольного параллелепедас измерениями 2см,3см и 4 см. Ответ укажите в кубических миллиметрах!!!. 

Выберите ответ:

Задание 18. Найдите площадь поверхности куба, если его ребро равно 3 м. Ответ дайте в квадратных дециметрах.

Выберите ответ:

Задание 19. Какая часть круга закрашена? 

Выберите ответ:

Задание 23. Переведите дробь из обыкновенной в десятичную. 

Выберите ответ:

Задание 24. Выполните действия:

Выберите ответ:

Задание 25. Сравните дроби 7,3 и 7,285

Выберите ответ:

Задание 26. Найдите корень уравнения

Выберите ответ:

Я хочу отправить результаты на почту

Меня зовут
и я хочу отправить свои результаты
на e-mail

Когда репетитор по математике составляет задания для тестового урока всегда возникает проблема отбора наиболее важных для текущей ситуации упражнений. В 5 классе дети приобретают множество различных навыков, которые в полном объеме необходимо проверить. Это умение вычислять, сравнивать, переводить и преобразовывать, составлять и решать уравнения, искать части от целого и целое по его части, находить параметры движения и многое другое. Полностью все типовые задания репетитору по математике не охватить. Он-лайн дополнение к реальному очному тестированию предоставит репетитору дополнительные данные о знаниях ученика. Я надеюсь, что скоро появится возможность сохранения результатов тестирования и их отправки на любой e-mail любому репетитору по математике. Решайте другие тесты на моем сайте. У меня имеется небольшая он-лайн база вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике. Постепенно страницы сайта будут дополняться новыми тестами.

Репетитор по математике, Колпаков А.Н. — Москва, Строгино.

Урок 17. деление с остатком — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 17

Деление с остатком

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— деление с остатком;

— неполное частное;

— остаток.

Тезаурус

Деление с остатком – это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток меньше делителя.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
2. Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.

Дополнительная литература

1. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
2. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
3. Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

Рассмотрим пример. Разделим 16 на 5.

Запишем этот пример в столбик:

Получилось, что 5 помещается в 16 три раза, но остаётся 1 – это остаток.

Читается данное выражение следующим образом: «16 разделить на 5 получится 3, и остаток – 1».

Деление с остатком – это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток меньше делителя.

Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то договорились считать, что делимое делится на делитель без остатка, или делится нацело.

Запишем деление с остатком в общем виде.

Порядок решения выражений на деление с остатком:

1. находим наибольшее число до а, которое делится на b без остатка – это c;

2. вычитаем из делимого найденное число c.

a – c = r

Сравниваем остаток с делителем. Остаток всегда меньше делителя: r < b.

Если получилось, что остаток больше делителя – значит, наибольшее число, которое делится на делитель без остатка, найдено неверно.

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик.

Рассмотрим ещё один пример.

297 : 25 = ?

Запишем это выражение в столбик:

Получили остаток 22, он меньше, чем 25, значит:

297 : 25 = 11 ост (22)

Как проверить деление с остатком:

1. умножить неполное частное на делитель;
2. прибавить к полученному результату остаток;
3. сравнить полученный результат с делимым.

Проверим ответ предыдущего примера.

297 : 25 = 11 ост (22)

25 · 11 = 275

275 + 22 = 297

Деление с остатком выполнено верно.

Разбор решения заданий модуля

№ 1. Вычислите выражение 312 : 15 = _____ ост (____)

Решение: выполним деление уголком:

Сравним неполное частное с делителем: 12 < 15.

Теперь проверим, верно ли мы нашли неполное частное и остаток:

20 ∙ 15 + 12 = 300 + 12 = 312

Ответ: 312 : 15 = 20 ост (12)

№ 2. Найдите неизвестное делимое в выражении:

х : 17= 18 (остаток 4)

Выберите верный ответ: х = 310; х = 120; х = 250; х = 110.

Решение: чтобы найти неизвестное делимое, надо неполное частное умножить на делитель и прибавить остаток.

х = 18 ∙ 17 + 4

х = 306 + 4

х = 310

Ответ: х = 310.

Уравнения 5 класса | Математика

Сегодня мы рассмотрим более сложные уравнения 5 класса, содержащие несколько действий.  Чтобы найти неизвестную переменную, в таких уравнениях надо применить не одно, а два правила.

1) x:7+11=21

Выражение, стоящее в левой части — сумма двух слагаемых

Таким образом, переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:

x:7=21-11

x:7=10

Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

x=10∙7

x=70

Ответ: 70.

2) 65-5z=30

Правая часть уравнения представляет собой разность:

Переменная z является частью неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:

5z=65-30

5z=35

Получили простое уравнение, в котором z — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

z=35:5

z=7

Ответ: 7.

3) 120:y-23=17

В правой части уравнения — разность. Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое:

120:y=17+23

120:y=40

Здесь y — неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное:

y=120:40

y=3

Ответ: 3.

4) (48+k)∙8=400

Левая часть уравнения представляет собой произведение. Переменная k — часть первого множителя:

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

48+k=400:8

48+k=50

В новом уравнении k — неизвестное слагаемое:

k=50-48

k=2

Ответ: 2.

Здесь мы решали уравнения 5 класса без использования свойств сложения и вычитания.  В 6 классе правила раскрытия скобок упрощаются, и решать такие уравнения становится проще.

§ Решение простых уравнений 5 класс

Запомните!

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы
«x» [икс] и «y» [игрек].

• Корень уравнения — это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Запомните!

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему
«Отрицательные числа».

Поэтому они должны решать уравнения, используя только
свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв
из одной части уравнения в другую с изменением знака.

Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке
«Законы арифметики».

Решение уравнений на сложение и вычитание

Решение уравнений на умножение и деление

Задачи «на части» в 5-м классе, на ВПР и итоговых экзаменах

Если вы решили заниматься летом с ребёнком математикой, но с трудом вспоминаете школьную программу, наш блогер Александр Шевкин поможет вам всё наверстать. Сегодня он приводит примеры задач «на части» и объясняет, как их решать.

Полезная рассылка «Мела» два раза в неделю: во вторник и пятницу

Задачи «на части» являются классическим типом задач, решаемых как арифметически, так и при помощи уравнения. Такие задачи встречаются в учебниках для пятого класса, в ВПР и на выпускном экзамене.

Для развития мышления и речи детей начинать лучше с арифметического способа решения. Рассмотрим решения двух задач из учебника «Математика, 5» (Просвещение, С. М. Никольский и др.) В первых задачах части упоминаются явно.

Задача 1. Для варенья из малины на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара следует взять на 6 кг ягод?

Решение: По условию задачи ягод 6 кг, и это количество составляет 2 части, поэтому на каждую часть приходится:

6: 2 = 3 кг.

Сахара надо взять 3 такие же части, то есть:

3 ∙ 3 = 9 кг.

Ответ: 9 кг.

В следующей задаче некоторую величину надо принять за одну или несколько равных частей. При решении таких задач полезно рисовать схематические рисунки, облегчающие решение.

Задача 2. На двух полках стоит 120 книг — на первой полке в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг стоит на каждой полке?

Решение: Если книги, стоящие на второй полке, составляют 1 часть, то на первой полке — 3 такие части. Выполним схематический рисунок.

1) Сколько частей составляют 120 книг?

1 + 3 = 4 (части).

2) Сколько книг приходится на 1 часть?

120: 4 = 30 (книг).

3) Сколько книг приходится на первую полку?

30 ∙ 3 = 90 (книг).

Ответ: 90 и 30 книг.

Следующая задача была предложена на экзамене «Математическая грамотность» (Казахстан). Это аналог нашего ЕГЭ базового уровня для выпускников средней школы.

Задача 3. Когда отцу был 31 год, сыну было 8 лет. Сейчас отец в 2 раза старше сына. Сколько лет сыну сейчас?

Решение: Отец старше сына на 31 — 8 = 23 года. Пусть сейчас возраст сына составляет 1 часть, тогда возраст отца — 2 такие же части. Выполним схематический рисунок.

Замечание. Эту задачу преподаватель из ютьюба, обучавший выпускников казахстанских школ, решал при помощи уравнения, приняв за x число лет, прошедших между описанными в задаче событиями.

В заключение задача посложнее.

Задача 4. Для компота купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши 3 части, а сливы 2 части общего веса сухофруктов. Сейчас граммов яблок, груш и слив было в отдельности?

Решение:

1) 4 + 3 + 2 = 9 (частей) — приходится на 1800 г,

2) 1800: 9 = 200 (г) — приходится на 1 часть,

3) 200 ∙ 4 = 800 (г) — было яблок,

4) 200 ∙ 3 = 600 (г) — было груш,

5) 200 ∙ 2 = 400 (г) — было слив.

Ответ: 800, 600 и 400 г.

Отметим, что приём решения задач «на части» может использоваться при решении более сложных составных задач.

Задача 5. На двух полках стояли 36 книг. Когда с первой полки на вторую переставили 3 книги, то книг на второй полке стало в 2 раза больше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Решение: Пусть количество книг на первой полке после перестановки трёх книг составляет 1 часть, тогда на второй полке — 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на 36 книг,

2) 36: 3 = 12 (книг) — приходится на 1 часть (стало на 1-й полке),

3) 36 — 12 = 24 (книг) — стало на 2-й полке.

Вернём три книги на первую полку.

4) 12 + 3 = 15 (книг) — было на первой полке первоначально,

5) 24 — 3 = 21 (книга) — была на второй полке первоначально.

Ответ: 15 и 21 книга.

Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.

Тест итоговый по математике (5-й класс)

Подготовка к экзамену в новой форме может быть осуществлена при проведении тематических тестов, проверочных работ с элементами тестирования.

Итоговый тест по математике в 5 классе по учебнику «Математика 5» ВиленкинН.Я. и другие включает в себя тестовые задания четырех видов.

В закрытых заданиях (№1-№5) учащимся предлагаются готовые ответы, из которых один верный. Надо обвести кружком букву, соответствующую верному ответу. Если была допущена ошибка, при выборе ответа, то надо аккуратно зачеркнуть отмеченную цифру и обвести другую.

В открытых заданиях (№6-№9) учащимся предлагается самим записать верный ответ в специально отведенном для этого месте. При этом от учащихся не требуется ни подробная запись решения, ни объяснение выбранного решения. В случае записи неверного ответа необходимо зачеркнуть его, и записать рядом другой.

В заданиях на соответствие (№10-№12) учащимся необходимо установить соответствие элементов левого столбца элементам правого. Каждому элементу левого столбца соответствует только один элемент правого.

В заданиях с записью полного решения (№13-№15) учащиеся должны записать ход решения задач с необходимыми пояснениями.

В тесте учтены требования программы по математике в 5 классе, в каждом виде заданий есть задания обязательного уровня и более сложные.

Цели теста: проверить уровень усвоения учащимися основных тем курса математики 5 класса:

• действия с десятичными дробями;
• решение уравнений;
• нахождение дроби и процента от числа;
• решение текстовых задач;
• построение и определение вида угла, сравнение углов;
• вычислительные навыки.

Система оценивания выполнения отдельных заданий и работы в целом.

Из заданий №1-№12 должно быть правильно выполнено не менее 8 заданий (не менее 10 баллов)

Задания (№13-№15) считаются выполненными верно, если учащийся:

• выбрал правильный ход решения,
• из письменной записи решения понятен ход его рассуждений,
• все логические шаги решения обоснованы,
• правильно выполнены чертежи,
• правильно выполнены все вычисления.

Если при верном ходе решения задачи допущена ошибка, не носящая принципиального характера, и не влияющая на общую правильность хода решения, то в этом случае учащемуся засчитывается балл, который на один балл меньше указанного.

Максимальное количество баллов, которое можно набрать за выполнение заданий №13-№15, равно 9, при этом положительная оценка выставляется, если набрано не менее 6 баллов.

Оценочная таблица

Вариант 1.

1. Найдите значение выражения: 0,4 + 1,85 : 0,5

А) 4,5

Б) 4,1

В) 3,7

Г) 0,77

2. Расположите в порядке возрастания числа: 1,275; 0,128; 1,281; 12,82; 1,027

А) 1,275; 0,128; 1,281; 12,82; 1,027

Б) 0,128; 1,281; 1,275; 1,027; 12,82

В) 0,128; 1,027; 1,275; 1,281; 12,82

Г) 0,128; 1,275; 1,027; 1,281; 12,82

3. От веревки длиной 120 см отрезали  часть. Какова длина оставшейся веревки?

А) 180 см

Б) 80 см

В) 40 см

Г) 60 см

4. Найти скорость пешехода, если путь 42 км он прошел за 10 часов.

А) 4,2 км/ч

Б) 420 км/ч

В)  км/ч

Г) 0,42 км/ч

5. Какой угол больше?

А) рис 3.

Б) рис 1.

В) рис 2.

Г) рис 4.

6. Выполните умножение

121,39 · 0,01 = ………

17,45 · 1000 = ………

314,512 · 100 = ………

0,27 · 0,1 = ……………

7. Решите уравнение  

Ответ: …………

8. Решите уравнение 4,2к + 0,3к = 13,5

Ответ: …………

9. В яблоневом саду собрали 8400 кг яблок. На долю антоновских яблок приходится 45% всего урожая. Сколько килограммов антоновских яблок собрали в саду?

Ответ: …………

10. Установите соответствие.

Ответ: 1 …… 2 …… 3 ……4 ……

11. Установите соответствие.

Ответ: 1 …… 2 …… 3 …… 4 ……

12. Установите соответствие.

Ответ: 1…… 2…… 3 ……4 ……

Задания №13, №14, №15 решить с записью полного решения.

13. Имелось три куска материи. В первом куске было 19,4 м, во втором – на 5,8 м больше, чем в первом, а в третьем куске было в 1,2 раза меньше, чем во втором. Сколько метров материи было в трех кусках вместе?

14. Решите задачу с помощью уравнения. Два поля занимают площадь 156,8 га. Одно поле на 28,2 га больше другого. Найдите площадь каждого поля.

15. Начертите угол MKN, равный140°. Лучом KP разделите этот угол на два угла так, чтобы угол PKN был равен 55°. Вычислите градусную меру угла MKP.

Вариант 2.

1. Найдите значение выражения: 6,54 – 3,24 : 1,5

А) 2,2

Б) 2,16

В) 3,3

Г) 4,38

2. Расположите в порядке убывания числа: 1,583; 1,045; 1,451; 0,407; 1,513.

А) 1,583; 1,045; 1,451; 0,407; 1,513

Б) 1,583; 1,513; 1,451; 1,045; 0,407

В) 1,513; 1,583; 1,451; 0,407; 1,045

Г) 0,407; 1,045; 1,451; 1,513; 1,583

3. Надо отремонтировать 210 км дороги. В первую неделю отремонтировали  дороги. Сколько километров дороги осталось отремонтировать?

А) 30км

Б) 180 км

В) 60 км

Г) 160 км

4. Найти скорость велосипедиста, если путь 72 км он проехал за 10 часов?

А) 720 км/ч

Б) км/ч

В) 7,2 км/ч

Г) 0,72 км/ч

5. Найдите наименьший из углов.

6. Выполните деление

87.54 : 10 = …………

87,54 : 0,001 = ………

3,84 : 1000 = ………

0,047 : 0,01 = ………

7. Решите уравнение: 11,88 : (х-2,9)=2,7

Ответ: …………

8. Решите уравнение: 5,3х + 0,2х = 22

Ответ: …………

9. В старших классах 120 учащихся. Из них 85% работали летом на ферме. Сколько учащихся старших классов работали летом на ферме?

Ответ: …………………

10. Установите соответствие.

Ответ: 1 …… 2 …… 3 …… 4 ……

11. Установите соответствие.

Ответ: 1 …… 2 …… 3 …… 4 ……

12. Установите соответствие.

Ответ: 1 …… 2 …… 3 …… .4……

Задания №13, №14, №15 решить с записью полного ответа.

13. В понедельник туристы прошли на лыжах 27,5 км, во вторник они прошли на 1,3 км больше, чем в понедельник. В среду туристы прошли в 1,2 раза меньше, чем во вторник. Сколько всего километров прошли туристы за эти три дня?

14. Решите задачу с помощью уравнения. Два поля занимают площадь 79,9 га. Площадь первого поля в 2,4 раза больше второго. Какова площадь каждого поля?

15. Начертите угол MOK, равный 155°. Лучом OD разделите этот угол так, чтобы получившийся угол MOD был равен 103°. Вычислите градусную меру угла DOK.

Ответы

Вариант 1.

Вариант 2.

Литература

1. Минаев С. С. 20 тестов по математике. Издательство «Экзамен» Москва 2007
2. Короткова Л, Савинцева Н. Математика: Тесты: Рабочая тетрадь. 5 класс.- М.: Рольф: Айрис –пресс,1999.
3. Гришина И. В. Математика. 5класс. Тесты. Саратов: Лицей, 2004.
4. Журнал «Математика в школе» №4, 2009
5. Матросов Д. Ш. Контрольные тесты к учебникам федерального комплекта. Математика 5. Южно-Уральское книжное издательство. Издательство Ч П Г У «Факел».
6. Чесноков А. С. Нешков К. И. Дидактические материалы по математике. 5 класс. Москва. Просвещение. 2004.
7. Виленкин Н. Я. и другие «Математика 5». Москва. Мнемозина. 2008.

примеров общих основных математических задач для 5-го класса

Число и операции

Что касается числа и операций, пятиклассники в основном работают с двух- и трехступенчатыми задачами, в которых применяется их понимание сложения, вычитания, умножения и деления, а также их понимание того, как большие числа работают вместе и соотносятся друг с другом. . Эти задачи призваны помочь вашим ученикам в этих областях.

1. В начальной школе Кули пять классов пятого класса.В трех классах по 24 ученика в каждом, а в двух других — по 22 ученика. Сколько учеников в пятом классе начальной школы Кули?

Ответ: В пятом классе начальной школы Кули учится 116 учеников.

2. Дети пятого класса мисс Джексон на этой неделе пытаются читать как можно больше. Из 24 учеников в ее классе половина из них читает по 30 страниц в будние дни в течение одной недели и 35 страниц в день в выходные дни. Другая половина студентов читает 20 страниц за вечер в будние дни и 30 страниц в день в выходные дни.К концу недели, сколько страниц прочитали ученики в классе мисс Джексон?

Ответ: Всего к концу недели прочитано 380 страниц.

3. Мама Бениты устраивает вечеринку-сюрприз для Бениты и трех ее ближайших друзей. Она покупает дюжину кексов, пачку из двадцати мармеладных червей и коробку с восемью коробками сока. Сколько особенных закусок и напитков получает каждый ребенок на вечеринке?

Ответ: Каждый ребенок получает 3 кекса, 5 мармеладных червей и 2 коробки сока.

Пропорциональное мышление

Огромная часть учебной программы по математике для пятиклассников согласно Общим основным государственным стандартам — это пропорциональное мышление, то есть использование дробей, десятичных знаков и процентов. Эти задачи помогут вашим пятиклассникам задуматься над набором математических понятий.

1. У кинотеатра Harbordale есть 200 парковочных мест. В один из субботних вечеров половина парковочных мест занята обычными автомобилями. Из оставшихся мест четверть занимают грузовики и внедорожники.Из оставшихся после этого мест треть занята мотоциклами и скутерами. Какой процент от общего числа мест еще доступен?

Ответ: 25% от общего количества парковочных мест еще свободны.

2. Пятый класс мистера Кавендиша планирует поездку на коньках. В классе 24 ученика. Шестая часть этих учеников считает себя хорошими фигуристами, а треть учеников считает, что они неплохо овладевают фигурным катанием. Какой процент Mr.Класс Кавендиша еще не умеет кататься на коньках?

Ответ: 50% учеников мистера Кавендиша все еще не умеют кататься на коньках.

3. День рождения Лилианы длится три часа. Первый час дети играют и говорят о чем хотят. Следующие полчаса они едят, а до конца вечеринки вместе смотрят фильмы. Какая часть дня рождения тратится на просмотр фильмов и сколько это времени?

Ответ: Половину дня рождения уходит на просмотр фильмов; это полтора часа.

4. Расположите десятичные дроби в порядке от меньшего к большему: 1,0, 0,1, 0,01, 1,01, 0,11

Ответ: 0,01, 0,1, 0,11, 1,0, 1,01

Математических журналов

Журналы по математике

Математические журналы или записные книжки для решения проблем, как их иногда называют, — это книги, в которых студентов часто просят записывать свою стратегию и мыслительные процессы, а также решения.В то время как
студенты учатся «делать» математику, они также должны научиться артикулировать
что они изучают. Важно предоставить много возможностей
для студентов, чтобы организовать и записать свою работу без структуры
рабочий лист. Математические журналы поддерживают обучение студентов
потому что, чтобы воплотить свои идеи в жизнь, дети должны организовывать,
прояснить и поразмыслить над их мышлением. Первоначально многие студенты будут
нуждаются в поддержке и поощрении, чтобы доносить свои идеи и
ясно мыслит на бумаге, но, как и в случае с любым другим навыком, чем больше они практикуются
тем легче станет.Математические журналы также являются бесценным
ресурсы для оценки, которые могут быть полезны для обучения в классе. Требование к учащимся сообщать о своих процессах мышления дает полезное представление о том, что ребенок
понимает, как он подходит к идеям и какие у него заблуждения. Датируя записи, журнал обеспечивает хронологическую запись развития математического мышления учащихся в течение года.

Каковы характеристики хорошего математического журнала?

Задач
которые просят студентов применять заученные процедуры к рутинным задачам, требуют одного
вид мышления.Нетипичные или открытые задачи, которые просят учащихся взаимодействовать с концепциями и
для установления связи между идеями и представлениями требуется совсем другое
вид мышления. Хотя применяя
заученные процедуры важны для развития беглости речи и не должны
уволен, размышления и рассуждения на более высоком уровне необходимы, чтобы
развивать навыки решения проблем. В то время как
рутинные или закрытые задания могут использоваться для оценки понимания учащимися
числовые факты, стратегии точного решения алгоритмов или знание других
математические факты, открытые задания включают следственные ответы, которые стимулируют
математические рассуждения и способствовать пониманию того, что математика — это
творческое начало.Некоторые бессрочные задачи
может иметь более одного правильного ответа, но максимум правильных ответов, в то время как
у других может быть бесконечное количество правильных ответов. Например, задание В миски нужно разложить 16 яблок. В каждой чаше должно быть одинаковое количество
яблоки. Сколько разных способов
яблоки в миски? »У есть несколько правильных ответов, в то время как у задачи « Я решил историю с номерами деления и получил
частное 7. Каким может быть число
story be? » предоставляет практически безграничные возможности приемлемых ответов.Другие нестандартные задачи, такие как «Был бы
вы предпочитаете 1/3 или 2/8 тарелки брокколи? Используйте математику для обоснования
ваши рассуждения. « нет ни одного правильного
ответьте, но вместо этого сосредоточьтесь на том, чтобы учащийся выбирал вариант и обосновывал свои
выбор с использованием математических рассуждений. Важно учитывать, когда
выбор или написание задачи математического журнала зависит от того, предоставляете ли вы
возможности для студентов регулярно участвовать в разнообразных повседневных делах и
нестандартные задачи для развития концептуального понимания и
процедурная беглость.

Хороший вопрос из журнала по математике….

• создает дифференциацию, позволяя использовать несколько точек входа и методов записи, тем самым позволяя всем учащимся работать на своем индивидуальном уровне мышления,
• предоставляет учащимся возможность учиться, выходя за рамки того, что они уже знают, отвечая на вопрос , и для того, чтобы учитель узнал о каждом ученике с их попытки,
• может иметь более одного решения или множество возможных путей решения, которые варьируются от простого к сложному,
• требует некоторой степени когнитивных усилий (больше, чем просто запоминание факт или воспроизведение навыка),
• предоставляет учащимся возможность представить свои математические идеи с помощью моделей и письменного языка,
• предоставляет ученикам возможности обосновать свои рассуждения и оценить рассуждения других,
• дает четкие, краткие указания .

Можно ли пересмотреть задачи в течение года?

Повторение или повторное посещение задач позволяет
учащиеся могут заниматься задачами на более глубоком уровне. В первый раз
студент может быть сосредоточен на том, «как выполнить» задание. Последующие посещения дают учащимся возможность более ясно выразить свое математическое мышление и рассуждения. Внесение небольших изменений в задачу (например, изменение чисел, контекста или используемых материалов) поможет поддерживать интерес, пока учащиеся развивают навыки и концепции.Некоторым учителям нравится представлять задания всему классу, а затем размещать их в центрах, чтобы дети могли повторно посещать их в другое время в течение года. Другие учителя выбирают одно задание из дневника и повторяют его с небольшими вариациями несколько раз в течение года в качестве отчета о развитии математических навыков и понимания для портфолио учащихся.

Методы
то, что дети используют для представления своего мышления, со временем изменится.
год. Повторение задания дает учителям запись этого роста,
родители и ученики.Например, в детском саду открытый
дополнительная задача (см. примеры работ ниже) может быть изучена в начале года
прежде, чем дети начнут писать числовые предложения. В начале года больше всего
Воспитанники детского сада будут записывать свое мнение по этому поводу
проблема графически и может записывать только одно или два решения
проблема. По мере прохождения года постепенно начнутся символические изображения.
появиться и представления станут более подробными. Образец работы ниже слева показывает попытку учеников детского сада записать свои мысли в начале учебного года в ответ на задание « Ванесса съела 5 кексов».Некоторые были шоколадными. Некоторые были ванильными. Сколько было шоколада? Сколько было ванили ? ‘ Три месяца спустя этот студент выполнил аналогичную задачу: «У Cameron было 6 кнопок. Некоторые были зелеными. Некоторые были пурпурными. Сколько было зеленых? Сколько было пурпурных? ‘ В этом случае письменное изображение ребенка (внизу справа) более детально и ясно демонстрирует ее развивающееся понимание сложения. Хотя она повторяет некоторые числовые предложения, на ее рисунках показаны все возможные комбинации шести кнопок.

Как часто мне следует использовать математические журналы в моем классе?

Некоторые учителя используют несколько заданий в неделю в качестве разминки перед уроком математики.
Другие учителя выделяют один период в неделю для журналов, выбирают задачу, которая коррелирует с текущей единицей обучения, и дают учащимся больше времени, чтобы поделиться своими мыслями друг с другом. Задания также можно использовать для оценки или в качестве домашнего задания. Важно обеспечить регулярное обучение студентов.
возможность в течение года представлять свое математическое мышление
способами, которые имеют для них смысл.

Книгу какого типа мои ученики должны использовать в качестве журнала по математике?

Наш опыт в многочисленных классах K-5 показал, что тетрадь с пустыми страницами дает наилучшие результаты. Хотя они не всегда так легко доступны, как записные книжки в линейку (и часто более дорогие), они имеют явное преимущество в том, что учащиеся не ограничены линиями и имеют место для выбора, использовать ли изображения, числа, слова или их комбинацию. записывать их мысли.Щелкните по ссылкам ниже, чтобы посетить страницы нашей галереи, чтобы увидеть примеры типов письменных ответов, которые дают ученики детского сада — учащиеся 5-го класса, когда им предлагается принять собственное решение о том, как записывать свое мышление.

Реальная математика: 6 повседневных примеров

Факт:

Мы все используем математику в повседневных приложениях, осознаем мы это или нет. Если вы посмотрите достаточно внимательно, вы увидите, что математика возникает в самых неожиданных местах.

Математика — универсальный язык нашей окружающей среды, помогающий человечеству объяснять и творить.

От игр до музыки — математика жизненно важна для помощи учащимся в совершенствовании своих творческих способностей и воплощении своих мечтаний в реальность.

Когда я когда-нибудь буду использовать математику?

Варианты этого вопроса эхом разносились по залам математических классов повсюду. Студенты часто задаются вопросом, будут ли, когда и как они когда-либо использовать математику в «реальных» жизненных ситуациях.

На самом деле мы постоянно пользуемся математикой!

Конечно, если вы не инженер или актуарий, вы не можете использовать некоторые из более абстрактных математических понятий.

Однако базовые навыки, развиваемые в классах математики, находят отклик на протяжении всей жизни учащегося и часто всплывают, чтобы помочь решить различные реальные или связанные с работой проблемы — иногда спустя годы.

1. Математика помогает строить вещи

Спросите любого подрядчика или строителя — они скажут вам, насколько важна математика, когда дело касается строительства чего-либо.

Чтобы создать что-то непреходящее из сырья, необходимы творческий подход, правильный набор инструментов и широкий спектр математических знаний.

Расчет общего количества бетона, необходимого для плиты; точное измерение длины, ширины и углов; и оценка стоимости проекта — это лишь некоторые из многих случаев, когда математика необходима для реальных проектов по благоустройству дома.

Независимо от того, будут ли студенты работать на стройке в будущем или будут владеть домом, возможность внести небольшие улучшения в дом сэкономит много денег и обеспечит чувство выполненного долга и уверенности в своих силах.

Совет учителя: Рассмотрите возможность включения небольшого строительного проекта в классную комнату — например, простой дом из картонных коробок или небольшую деревянную лодку из набора — для повторного обучения математическим навыкам, таким как измерение, оценка, углы и следуя инструкциям.

2. Математика в продуктовом магазине

Одно из наиболее очевидных мест, где можно найти людей, использующих математику в повседневной жизни, — это ближайший продуктовый магазин.

Покупка продуктов требует широкого спектра математических знаний, от умножения до расчетов и процентов.

Каждый раз, когда вы рассчитываете цену за единицу, взвешиваете продукцию, рассчитываете процентные скидки и оцениваете окончательную цену, вы используете математику в процессе совершения покупок.

Совет учителя № 1: Поощряйте учащихся решать задачи по математике в продуктовом магазине со своей семьей. Например, они могут оценить общую стоимость всех продуктов до оформления заказа. Для более сложной задачи предложите учащимся использовать купоны, распродажи и скорректированные цены для оптовых товаров.

Ваши маленькие покупатели по выгодным ценам поблагодарят вас позже, когда они будут экономить деньги на собственных продуктах.

Совет учителя № 2: Вы также можете организовать экскурсию в продуктовый магазин — с помощью нескольких родителей, работающих с небольшими группами учащихся — заранее составив списки и указав цены на товары, чтобы ваш класс мог затем использовать для приготовления пищи (см. ниже)!

3. Математика делает выпечку весело

На кухне можно найти больше математики, чем где-либо еще в доме.Кулинария и выпечка — это самостоятельные науки, и они могут быть одним из самых полезных (и вкусных) способов приобщить детей к математике.

Ведь:

Рецепты — это просто математические алгоритмы или автономные пошаговые наборы операций, которые необходимо выполнить. Доказательство в пудинге!

Работа на кухне требует широкого спектра математических знаний, включая, помимо прочего:

• отмерять ингредиенты по рецепту
• Умножение / деление дробей для учета более или менее одной партии
• преобразование рецепта из Цельсия в Фаренгейт
• преобразование рецепта из метрических (мл) в стандартные единицы США (чайная ложка, столовая ложка, чашки)
• вычисление времени приготовления для каждого элемента и соответствующая корректировка
• при расчете необходимого времени приготовления в фунтах в час
• понимание соотношений и пропорций, особенно в выпечке (напр.рецепт предусматривает 1 яйцо и 2 стакана муки, тогда соотношение яиц к муке 1: 2).

Иногда бывает сложно следовать рецепту, особенно если необходимы преобразования. Преобразование — важная часть следования рецептам, когда они используют градусы Цельсия или метрическую систему, и учащиеся могут найти выполнение математических расчетов забавной частью процесса приготовления пищи.

Вот лишь несколько полезных преобразований размеров для кухни:

Цельсия в Фаренгейта Преобразование

Пр.Рецепт требует, чтобы духовка была установлена ​​на 220 ° C, но у вас есть маркировка по Фаренгейту. Чтобы преобразовать градусы Цельсия в градусы Фаренгейта в этом рецепте, воспользуйтесь следующей формулой:

Формула: ° C x 9/5 + 32 = ° F

220 x 9/5 + 32 = ° F

396 + 32 = 428 ° F

Преобразование метрических единиц в стандартные единицы США

1 юридическая чашка США = 240 мл

1 столовая ложка США = 14,79 мл

1 чайная ложка США = 4,92 мл

1 жидкая унция США = 29.57 мл

Совет учителя: Готовьте в классе! Простые проекты, такие как печенье без выпечки или смеси для закусок, которые требуют измерения и смешивания, но без потенциально опасных действий, таких как печь или ножи, могут быть забавными, укрепляя математические концепции. Кроме того, вы можете вместе съесть вкусную еду! Дети (и взрослые!) Любят такую ​​математику!

4. Математика берет на себя риски

Математика пригодится в путешествиях.

Подумайте об этом:

Когда вы путешествуете, математика приходит на помощь — от оценки количества топлива, которое вам понадобится, до планирования поездки на основе миль в час и пройденного расстояния.

Расчет расхода топлива имеет решающее значение при поездках на большие расстояния. Без него вы можете оказаться без бензина или в дороге гораздо дольше, чем предполагалось. Вы также можете использовать математику на протяжении всей поездки, оплачивая дорожные сборы, подсчитывая количество выездов, проверяя давление в шинах и т. Д.

Задолго до появления GPS и Google Maps люди использовали атласы, бумажные дорожные карты, дорожные знаки или устные указания для навигации по автомагистралям и проездам страны.

Чтение карты — это почти потерянное искусство, требующее совсем немного времени, ориентации и некоторых базовых математических основ.

Если вы учитель, вы можете показать студентам, как использовать свои математические навыки для чтения карт.

Почему?

Это сделает их более безопасными путешественниками и менее зависимыми от технологий. Кроме того, очень весело использовать карты старой школы, рисовать пути, по которым нужно идти, и оценивать, сколько времени потребуется, чтобы добраться куда-то или сколько миль будет пройдено.

Совет учителя № 1: Планируйте воображаемые поездки всем классом или группами. Во-первых, научите своих учеников ориентироваться на карте, чтобы начать планирование поездки с определения своего текущего местоположения на карте.Попросите их обозначить это как точку А. Самый простой способ сделать это — найти город, в котором вы находитесь. Затем попросите их указать близлежащие перекрестки, перекрестки или легко узнаваемые точки, такие как мост, здание или въезд на шоссе. Определив отправную точку, укажите, куда вы хотите отправиться (точка B). Теперь вы можете определить лучший маршрут в зависимости от местности, ограничения скорости и т. Д.

Покупка недорогих бумажных карт — интересный способ включить это задание в свой класс.Или займитесь высокими технологиями и воспользуйтесь картографическими приложениями, найденными в Интернете.

Совет для учителя № 2: Научите своих учеников ориентироваться на местности, используя солнце днем ​​и звезды ночью.

Дневная навигация:

В Северном полушарии солнце встает на востоке и заходит на западе. В зависимости от времени суток вы можете ориентироваться по положению солнца на небе. В полдень это становится немного сложнее, так как в полдень солнце появляется прямо над головой.Вращение Земли вокруг Солнца и положение Солнца над головой также лежат в основе солнечных часов — первых часов человека.

Ночная навигация:

Ясной ночью в Северном полушарии вы можете найти Полярную звезду (Полярную звезду), используя одно из самых узнаваемых небесных тел, Большую Медведицу (Большая Медведица). Две звезды на внешнем крае его «ковша» указывают на яркую звезду, вокруг которой вращаются все остальные звезды, поскольку она указывает на Северный полюс.

5. Математика помогает сэкономить деньги

Большинство экспертов сходятся во мнении, что без сильных математических навыков люди склонны вкладывать, откладывать или тратить деньги в зависимости от своих эмоций.

Вот кикер:

В дополнение к этой дилемме люди с плохими основами математики обычно совершают более серьезные финансовые ошибки, например, недооценивая скорость накопления процентов.

Студент, который досконально усваивает концепции экспоненциального роста и сложных процентов, будет более склонен лучше управлять долгом.

Финансовые знания со временем ослабевают, поэтому важно вовлекать молодых людей.

Постоянно показывая, как конкретные уроки математики применимы к реальной финансовой ситуации и составлению бюджета, дети могут научиться правильно тратить и экономить свои деньги без страха и разочарования.

Совет учителя: Практикуйтесь в инвестировании! Выделяйте учащимся определенную сумму условных денег индивидуально или группами. Научив их сберегать, инвестировать и получать проценты, предложите им принять финансовые решения, используя свои наличные деньги.Следите за фондовым рынком и еженедельно проверяйте их сбережения, чтобы они могли видеть, как их общая сумма растет или падает.

6. Математика позволяет управлять временем

Время — наш самый ценный актив.

Научите своих учеников ценить время, обучая не только тому, как определять время на аналоговых и цифровых часах, но и о мировых часах, часовых поясах, календарях и ценности того, как они тратят свое драгоценное время.

В нашем быстро меняющемся современном мире мы можем легко отвлечься и обнаружить, что время пролетело незаметно, но мы не достигли цели.

Совет учителя: Пусть ваши ученики поставят цели и определят, сколько времени они должны уделять ежедневно или еженедельно для достижения этих целей. Пусть ваши ученики планируют свое время, создают свои собственные списки дел и присваивают своим задачам номер, чтобы ранжировать их приоритеты. Вы не только преподаете математику, но и помогаете ребенку научиться организовывать свою жизнь и реализовывать свои мечты!

Итог:

Математика повсюду, она действует в реальной жизни повсюду вокруг нас.

Итак, в следующий раз, когда вы или один из ваших учеников скажете: «Я больше никогда не буду использовать эту математику!» запомните приведенные выше примеры, чтобы помочь им продолжить изучение математики!

Класс 5 Дроби — основы, задачи и примеры решения

• Что такое дробь? Дробь — это числовая величина, которая не является целым числом.
  Например,
  ½ — это дробь от
  1 в числителе и
  2 в знаменателе

Дроби с одинаковым знаменателем называются подобными дробями.
Например,
½, 3/2, 5/2, 7/2 — это
все подобные дроби.

• Дроби, имеющие разные знаменатели, называются в отличие от дробей.
  Например,
  ½, 2/3, ¾, 4/5,
  не похожи на дроби

• Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью.
  Например,
  8/9, 7/8, 6/7, 5/6
  — все правильные дроби.

• Дробь, числитель которой больше знаменателя, называется неправильной дробью.
  Например,
  3/2, 4/3, 5/4, 6/5
  — неправильные дроби.

Дроби, представляющие одинаковые или равные значения, называются эквивалентными дробями
.
Например,
1/3, 2/6, 3/9, 4/12
— все эквивалентные дроби

ПРИМЕР 1: Найдите долю затененной и незатененной части.

РЕШЕНИЕ: Общая часть = 8 Доля затененной части = 3/8 Доля незатененной части = 5/8

ПРИМЕР 2: Найдите доли красных шаров, зеленых шаров и синих шаров.

РЕШЕНИЕ: Общее количество шаров = 10 Количество красных шаров = 4

Доля красных шаров = 4/10 = 2/5

Доля зеленых шаров = 5/10 = ½

Доля синих шаров = 1/10

Дробь как деление

• Любую дробь можно выразить как деление, записав ее числитель как делимое, а знаменатель как делитель

Числитель / знаменатель

= Дивиденд ÷ Делитель

= Дивиденд / делитель

ПРИМЕР 1: Запишите 1 ÷ 2 в виде дроби.

РЕШЕНИЕ: ½

ПРИМЕР 2: Запишите 2/3 как деление.

РЕШЕНИЕ: 2 ÷ 3

Для преобразования смешанного нет. на неправильную дробь и наоборот

• Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте частное на делитель и сложите произведение с остатком в числителе. Знаменатель будет содержать делитель.

• Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель дроби на знаменатель.Запишите частное как целое число. Остаток в числителе и делитель в знаменателе.

Поиск и проверка эквивалентной дроби

• Чтобы найти дробь, эквивалентную данной дроби, разделите или умножьте числитель или знаменатель на то же число. (кроме нуля)

• Чтобы проверить эквивалентные дроби, нам нужны две эквивалентные дроби.

РЕШЕНИЕ: 2×4 = 8 3X3 = 9 8 ≠ 9

Значит, дроби не равны.

Найдите большую дробь!

Чтобы найти дробь в ее наименьшем члене

• Дробь находится в младшем члене, если у числителя и знаменателя нет общего множителя, кроме 1.
• Есть два метода нахождения дроби в ее наименьшем члене. Это:
  Метод 1:
  Разделите числитель
  и знаменатель на их общий множитель
  , пока не останется
  только с общим множителем 1

Метод 2:
Разделите числитель
и знаменатель данной дроби
на их HCF.

Чтобы найти дробную часть числа или количества

• Разделите число на знаменатель. Затем умножьте полученное частное на числитель.

ПРИМЕР 1: В группе 120 детей. 4/5 из них — девушки. Найдите количество мальчиков.

Количество мальчиков = (120-96) = 24

ПРИМЕР 2: Найдите 1/4 года в месяцах.

РЕШЕНИЕ: В году 12 месяцев.
¼ X 12 = 3 месяца [ANS]

Сравнить дроби непохожие

• Сначала найдите НОК знаменателей данных дробей.
• Затем преобразуйте непохожие дроби в эквивалентные одинаковые дроби с общим знаменателем НОК.
• Сравните одинаковые дроби.

Преобразовать смешанные дроби
в неправильные дроби, чтобы
сравнить их.

Для сложения / вычитания отличных дробей

• Найдите НОК знаменателя дроби непохожей.
• Затем преобразуйте непохожую дробь в эквивалентную подобную дробь с НОК в качестве общего знаменателя.
• Сложить / вычесть полученную подобную дробь.

ПРИМЕР 1: Сложить / вычесть ½ и / из 1/6.

РЕШЕНИЕ: НОК 2 и 6 равно 2×3 = 6 2 | 2,6 1,3

• Когда произведение двух дробей равно 1, мы говорим, что каждая дробь является обратной или мультипликативной обратной величиной другой.

Деление на дроби

• Деление — повторное вычитание.
• Деление на дробь аналогично умножению на обратную.
  0 не имеет обратного.
  Обратное значение 1 равно 1.
  0, деленное на любое ненулевое число = 0

Попрактикуйтесь в ответах на эти вопросы

Резюме

• НОК знаменателей можно найти только при сложении или вычитании разнородных дробей.
• При умножении дробей мы можем менять их порядок, но произведение остается прежним.(коммутативная собственность)
• Если дробь умножается на 0, произведение всегда равно нулю.
• Если дробь умножается на 1, получается та же дробь.
• Дробь находится в младшем члене, когда единственный общий множитель между числителем и знаменателем равен 1
• Если какая-либо часть дроби является смешанным или целым числом, измените ее на неправильную функцию и затем умножьте.

Порядок операций: примеры

Purplemath

Большинство проблем с упрощением использования порядка операций проистекают из вложенных круглых скобок, показателей степени и знаков «минус».Итак, в следующих примерах я продемонстрирую, как работать с такого рода выражениями.

(Ссылки приведены для дополнительного обзора работы с негативами, группировочными символами и полномочиями.)

• Упростить 4–3 [4–2 (6–3)] ÷ 2.

MathHelp.com

Я буду упрощать изнутри: сначала круглые скобки, затем квадратные скобки, помня, что знак «минус» на 3 перед скобками идет с 3. Только после того, как группировка частей будет завершена, я буду сделайте деление с последующим добавлением 4.

4–3 [4–2 (6–3)] ÷ 2

4–3 [4–2 (3)] ÷ 2

4–3 [4–6] ÷ 2

4 — 3 [–2] ÷ 2

4 + 6 ÷ 2

4 + 3

7

Помните, что в leiu символов группировки, говорящих вам об обратном, деление идет перед сложением, поэтому это выражение в конечном итоге упростилось до «4 + 3», а не до «10 ÷ 2».

(Если вы не чувствуете себя комфортно со всеми этими знаками «минус», просмотрите «Негативы».)

• Упростить 16-3 (8-3)

  ² ÷ 5.

Я должен не забыть упростить в скобках перед в квадрате I, потому что (8 — 3) ² — это , а не , то же самое, что 8 ² — 3 ² .

16-3 (8-3) ² ÷ 5

16-3 (5) ² ÷ 5

16 — 3 (25) ÷ 5

16 — 75 ÷ 5

16–15

1

Если вы узнали о переменных и объединении «похожих» терминов, вы также можете увидеть такие упражнения, как это:

• Упростить 14

  x + 5 [6 — (2 x + 3)].

Если у меня возникнут проблемы с вычитанием через круглые скобки, я могу превратить его в умножение отрицательной единицы через круглые скобки (обратите внимание на выделенную красным цифру «1» ниже):

14 x + 5 [6 — (2 x + 3)]

14 x + 5 [6 — 1 (2 x + 3)]

14 x + 5 [6 — 2 x — 3]

14 x + 5 [3 — 2 x ]

14 x + 15-10 x

4 x + 15

• Упростить — {2

  x — [3 — (4 — 3 x )] + 6 x }.

Мне нужно не забывать упрощать на каждом этапе, комбинируя похожие термины, когда и где я могу:

— {2 x — [3 — (4 — 3 x )] + 6 x }

–1 {2 x — 1 [3 — 1 (4 — 3 x )] + 6 x }

–1 {2 x — 1 [3 — 4 + 3 x ] + 6 x }

–1 {2 x — 1 [- 1 + 3 x ] + 6 x }

–1 {2 x + 1 — 3 x + 6 x }

–1 {2 x + 6 x — 3 x + 1}

–1 {5 x + 1}

–5 x — 1

(Дополнительные примеры такого рода см. В разделе «Упрощение с круглыми скобками».)

Выражения, содержащие дробные формы, тоже могут вызывать путаницу. Но до тех пор, пока вы работаете с числителем (то есть сверху) и знаменателем (то есть снизу) отдельно, до тех пор, пока они сначала полностью не упростятся, и только затем объедините (или уменьшите), если возможно, тогда вы все должно быть в порядке. Если дробная форма добавляется или вычитается из другого члена, дробного или иного, убедитесь, что вы полностью упростили и уменьшили дробную форму, прежде чем пытаться выполнить сложение или вычитание.

• Упростить [45] / [8 (5 — 4) — 3] + [3 (2)

  ² ] / [5 — 3]

Прежде чем я смогу добавить два термина, я должен упростить.

[45] / [8 (5 — 4) — 3] + [3 (2) ² ] / [5 — 3]

[45] / [8 (1) — 3] + [3 (4)] / [2]

[45] / [8–3] + [12] / [2]

[45] / [5] + 6

9 + 6

15

• Упростить [(3–2) + (1 + 2)

  ² ] / [5 + (4–1)]

Работает так же, как и в предыдущих примерах.Мне просто нужно работать над «верхом» и «низом» отдельно, пока я не получу дробь, которую я могу (возможно) уменьшить.

[(3–2) + (1 + 2) ² ] / [5 + (4–1)]

[(1) + (3) ² ] / [5 + (3)]

[1 + 9] / [8]

10/8

5/4

(Примеры с множеством экспонент см. В разделе Упрощение с экспонентами.)

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении порядка операций. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Упростить» или «Оценить» во всплывающем окне, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

Боковое форматирование и умножение на сопоставление

В следующем примере показана проблема, которая почти никогда не возникает, но когда она возникает, спорам, кажется, нет конца. (Публиковать их в Facebook стало досадно.)

• Упростить 16 ÷ 2 [8 — 3 (4 — 2)] + 1.

Упрощаю обычным способом:

16 ÷ 2 [8 — 3 (4 — 2)] + 1

16 ÷ 2 [8 — 3 (2)] + 1

16 ÷ 2 [8 — 6] + 1

16 ÷ 2 [2] + 1 (**)

16 ÷ 4 + 1

4 + 1

5

Запутанная часть в приведенном выше вычислении заключается в том, как «16, разделенное на 2 [2] + 1» (в строке, отмеченной двойной звездой) превращается в «16, разделенное на 4 + 1» вместо «8 раз на 2 + 1 «.

Это потому, что, хотя умножение и деление находятся на одном уровне (поэтому должно применяться правило слева направо), скобки каким-то образом превосходят деление по рангу, поэтому первые 2 в строке, отмеченной звездочкой, часто рассматриваются как идущие с [ 2], которая следует за ней, а не с «16, разделенными на», которая предшествует ей. То есть умножение, которое указывается путем помещения в круглые скобки (или скобки и т. Д.), Часто рассматривается (научными деятелями) как «более сильное», чем «обычное» умножение, которое обозначается каким-либо символом, например как «×».

Набор всей задачи в графическом калькуляторе подтверждает существование этой иерархии, по крайней мере, в некотором программном обеспечении:

Обратите внимание, что различных программных пакетов будут обрабатывать это выражение по-разному ; даже разные модели графических калькуляторов Texas Instruments будут обрабатывать это выражение по-разному. Общее мнение среди математиков состоит в том, что «умножение на сопоставление» (то есть умножение путем простого размещения элементов рядом друг с другом, а не использования знака «×») указывает на то, что сопоставленные значения должны быть умножены вместе перед обработкой других операций.Но не все программы запрограммированы таким образом, и иногда учителя смотрят на вещи иначе. Если сомневаетесь, спрашивайте! И, печатая что-то боком, будьте очень осторожны с скобками и проясните свой смысл, чтобы избежать именно этой двусмысленности.

(Пожалуйста, не присылайте мне электронные письма с просьбой или предложением окончательного вердикта по этому вопросу. Насколько я знаю, такого окончательного вердикта нет. Если я скажу мне действовать по-вашему, , а не решит проблему проблема!) (Для примера того типа писем, которые я получаю по этому поводу, перейдите на следующую страницу, которая также содержит больше примеров дробной формы.)

Филиал

URL: https://www.purplemath.com/modules/orderops2.htm

Математика / Решение задач в общем ядре

Обзор

Использование моделей — важный шаг, помогающий учащимся перейти от конкретной манипулятивной работы с текстовыми задачами к абстрактному этапу создания уравнения для решения контекстных задач.Научившись использовать простые модели для представления ключевых математических отношений в словесной задаче, учащиеся могут легче разбираться в словесных задачах, распознавать как числовые отношения в данной задаче, так и связи между типами задач, а также успешно решать задачи с уверенностью в том, что их решения разумны.

Важность

Почему важно моделирование текстовых задач?

У студентов часто возникают проблемы со словами.Многие студенты просто ищут какие-то числа и что-то с ними делают, надеясь, что они решат проблему.

Учащиеся должны выработать привычку сначала разбираться в проблеме. Диаграмма или модель часто фокусируются на понимании проблемы, а не просто на получении ответа. Затем модель можно использовать для создания продуманного уравнения. Модель и уравнение можно использовать в качестве проверки рассуждений после того, как учащийся получит решение.

Решение проблем не заканчивается на ответе.Процесс должен продолжаться после «получения ответа» на рассуждение о том, имеет ли ответ смысл.

Что такое моделирование текстовых задач?

Модели на любом уровне могут варьироваться от простых до сложных, от реалистичных до представительных. Молодые студенты часто решают начальные словесные задачи, разыгрывая их и моделируя их с реальными объектами проблемной ситуации, например плюшевых мишек или игрушечных машинок. Со временем они расширяются до использования репрезентативных рисунков, сначала рисуя картинки, которые реалистично изображают элементы проблемы, а затем переходят к многоцелевым представлениям, таким как круги или счетные метки.После множества конкретных опытов с реальными задачами со словами, включающими соединение и разделение, или умножение и разделение объектов, учителя могут переводить учащихся на рисунки модели с перевернутой буквой V и гистограммы, которые являются многоцелевыми графическими организаторами, привязанными к определенным типам задач со словами.

Моделирование базовых числовых соотношений

Простые диаграммы, иногда известные как числовые связи, треугольники фактов, ситуационные диаграммы или графические представления, все чаще появляются в учебных материалах.Но способности учащихся решать проблемы и относительное мышление выиграют, если они будут чаще использовать эти диаграммы и модели.

Маленькие дети могут начать видеть числовые отношения, существующие в семье фактов, благодаря использованию модели, из которой они выводят уравнения. Связь чисел и перевернутая буква V — это одна простая модель, которая помогает учащимся увидеть отношения сложения / вычитания в семействе фактов и может использоваться с задачами со словами, требующими простого соединения и разделения.Связь чисел, а затем модель перевернутой буквы V могут быть адаптированы для семейств фактов умножения и деления. Кроме того, учащиеся могут подумать об отношениях между числами в перевернутой букве V в формальных терминах, , добавление и , сумма , или, проще, , часть и , всего , как показано на диаграммах ниже.

Конкретный пример для данной суммы 10 будет следующим, в зависимости от того, какой элемент проблемы неизвестен.

6 + 4 =? 6+? = 10? + 4 = 1

4 + 6 =? 10-6 =? 10 — 4 =?

Несмотря на то, что они часто используются с семействами фактов и изучением основных фактов, диаграммы с числовыми связями и перевернутые буквы V также могут хорошо работать при решении текстовых задач. Студентам необходимо подумать о том, что они знают и чего не знают в словесной задаче — известны ли обе части или только одна из них? Правильно разместив известные величины на перевернутой V-диаграмме, учащиеся с большей вероятностью определят полезное уравнение для решения проблемы и увидят результат как разумный для ситуации.Например, рассмотрим следующую задачу:

У Захария было 10 вагонов. Захари подарил своему брату 3 вагона. Сколько вагонов сейчас у Закари?

Студенты должны определить, со сколькими суммами Захари начал (всего или всего ), и сколько он отдал ( часть от общего числа ). Итак, им нужно узнать, сколько осталось (другая часть от общего числа ). Следующая перевернутая V-диаграмма представляет отношения между номерами этой проблемы:

3 +? = 10 или 10 — 3 =?, Значит, у Закари осталось 7 вагонов.

По мере того, как учащиеся переходят к умножению и делению, модель перевернутой буквы V все еще может использоваться либо в режиме повторного сложения, либо в режиме умножения. Ситуации разделения не требуют новой модели; деление рассматривается как обратное умножению или ситуация, когда один из факторов неизвестен.

Опять же, перевернутая V-диаграмма может быть полезна при решении задач умножения и деления слов. Например, рассмотрим следующую задачу:

Фонг посадил 18 растений томатов в 3 ряда.Если в каждом ряду было одинаковое количество растений, сколько растений было в каждом ряду?

Студенты могут видеть, что они знают продукт и количество строк. Число В строке неизвестно. Любая из приведенных ниже диаграмм может помочь решить эту проблему, убедив учащихся, что шесть раз подряд — разумный ответ.

Хотя перевернутая V-диаграмма может быть расширена до многозначных чисел, она обычно используется с проблемами, связанными с базовыми семействами фактов. Расширение использования модельной диаграммы перевернутой буквы V должно усилить взаимосвязь между числами в семействе фактов, что сделает его полезным и быстрым визуальным средством для решения простых задач со словами с дополнительным преимуществом использования и увеличения удержания основных фактов.

Модели и типы задач для вычислений

По мере того, как дети переходят к работе с многозначными числами, учителя могут переводить учащихся на чертежи ленточных диаграмм / гистограмм, быстрые наброски, которые помогают учащимся увидеть взаимосвязь между важными числами в словесной задаче и определить, что известно и неизвестно в ситуации.

Знакомя учащихся с грифельными моделями, учитель получает важные наглядные пособия, помогающие учащимся думать о математических отношениях между числами в заданной задаче со словом.

С ленточной диаграммой / гистограммой взаимосвязь между числами во всех этих типах задач становится более прозрачной и помогает студенту переходить от работы с манипуляторами и рисования картинок к символической стадии написания уравнения для ситуации. При рутинном использовании диаграмм и хорошо организованных обсуждениях учителями ученик начнет понимать части словесной задачи и то, как эти части соотносятся друг с другом.

Проблемы частично-частично-целиком. Задачи от части-части-целого полезны с задачами со словами, которые относятся к совокупности вещей, например коллекции. Обычно это более статичные ситуации, включающие два или более подмножества целого набора. Рассмотрим проблему,

Коул имеет 11 красных блоков и 16 синих блоков. Сколько всего блоков у Коула?

Учащиеся могут построить простой прямоугольник из двух частей, чтобы обозначить два известных набора блоков (части / дополнения). Неважно, чтобы части прямоугольника были точно пропорциональны числам в задаче, но некоторое внимание к их относительному размеру может помочь в решении проблемы.Неизвестным в этой задаче является то, сколько их всего (всего / всего / суммы), что обозначается скобкой (или перевернутой буквой V) над полосой, обозначающей общее количество двух наборов блоков. Первая барная модель ниже отражает информацию в задаче о блоках Коула.

11 + 16 =? Итак, у Коула всего 27 блоков.

Аналогичная модель будет работать для задачи, когда известна вся сумма, но одна из частей (недостающее слагаемое) неизвестна. Например:

У Коула было 238 блоков.100 из них были желтыми. Если все блоки Коула синие или желтые, сколько их было синими?

Следующая модель стержня может быть полезна в решении этой проблемы.

100 +? = 238 или 238 — 100 =? Итак, у Коула 138 синих блоков.

Ответ должен быть немного больше 100, потому что 100 + 100 равно 200, но здесь всего 238, поэтому синих блоков должно быть чуть больше 100.

Модель стержня «часть-часть-целая» легко может быть расширяется до больших чисел и других числовых типов, таких как дроби и десятичные дроби.Рассмотрим задачу:

Летисия прочитала 7 ½ книг для читателей. Всего она хочет прочитать 12 книг. Сколько еще книг ей нужно прочитать?

Первая диаграмма ниже отражает эту проблему. Любая проблема со словом, которую можно рассматривать как части и целое, реагирует на диаграммы моделирования стержней. Если у задачи есть несколько слагаемых, учащиеся просто рисуют на полосе достаточно частей, чтобы отразить количество слагаемых или частей, и указывают, является ли одна из частей или целое / сумма неизвестными, как показано на втором рисунке ниже.

12 — 7 ½ =? или 7 ½ +? = 12, поэтому Летиции нужно прочитать еще 4 ½ книги.

Задачи соединения (сложения) и разделения (вычитания).

Студенты, которые не могут решить, нужно ли им прибавлять или вычитать, а затем умножать или делить, находят организационный потенциал гистограммы невероятно полезным.

У Марии было 20 долларов. Она получила еще 11 долларов за присмотр за детьми. Сколько у нее сейчас денег? Рассмотрим эту задачу объединения:

Студенты могут определить, что начальная сумма в 20 долларов является одной из частей, 11 долларов — другая часть (добавочная сумма), а неизвестным является сумма / вся сумма или сколько денег она есть сейчас.Первая диаграмма ниже помогает представить эту проблему.

Рассмотрим соответствующую ситуацию с вычитанием:

У Марии был 31 доллар. Часть денег она потратила на новый компакт-диск. У Марии осталось 16 долларов.

Вторая диаграмма выше представляет эту ситуацию. Студенты могут использовать модель, чтобы помочь им определить, что общая сумма сейчас составляет 31 доллар, одна из частей (вычитающее изменение) неизвестна, поэтому другая часть — это те 16 долларов, которые у нее остались.

Проблемы сравнения. Проблемы со сравнением обычно считались трудными для детей. Частично это может быть связано с акцентом на вычитание, который используется в задачах со словами, которые включают ситуации «убрать», а не нахождение «разницы» между двумя числами. Интересно, что исследования, проведенные в странах, которые часто используют гистограммы, показали, что учащиеся не находят задачи сравнения намного более сложными, чем задачи «часть-часть-целое» (Yeap, 2010, стр. 88-89).

Модель с двойным стержнем может помочь сделать задачи сравнения менее загадочными.В основном, задачи сравнения включают две величины (либо одна величина больше другой, либо они равны), а также разницу между величинами. Можно нарисовать две полосы, по одной представляющей каждое количество, с разницей, представленной пунктирной областью, добавленной к меньшему количеству. Например, учитывая задачу:

Тамека участвовал в 26 окружных ярмарочных аттракционах. Ее друг, Джексон, проехал 19 поездок. На сколько аттракционов ездил Тамека больше, чем Джексон?

Учащиеся могут создать диаграмму столбцов сравнения, показанную ниже, где большее количество, 26, является более длинным столбцом.Пунктирная часть показывает разницу между количеством поездок Джексона и Тамеки, или насколько больше у Тамека, чем у Джексона, или на сколько дополнительных поездок Джексон должен был бы проехать, чтобы иметь такое же количество поездок, как и Тамека.

26-19 =? или 19+? = 26; разница в 7, так что Тамека проехал еще 7 аттракционов.

Задачи сравнения выражают несколько различных формулировок отношений. Если Тамека проехал на 7 аттракционов больше, чем Джексон, то Джексон проехал на 7 аттракционов меньше, чем Тамека.Варианты схемы модели с двойной полосой могут сделать для учащихся более наглядными отношения, сформулированные по-разному. Студентам часто бывает полезно осознать, что в какой-то момент обе величины имеют одинаковое количество, как показано на модели ниже пунктирной линией, проведенной от конца прямоугольника, представляющего меньшее количество. Но у одной из величин больше, на что указывает область справа от пунктирной линии на более длинной полосе. Разницу между количествами можно определить путем вычитания 19 из 26 или сложения от 19 до 26 и получения 7, что означает, что 26 на 7 больше, чем 19, или 19 означает, что на 7 меньше 26.

Задачи со словами сравнения особенно проблемны для изучающих английский язык, поскольку вопрос можно задать несколькими способами. Изменение полос сравнения может сделать вопросы более прозрачными. Вот некоторые варианты вопросов о двух количествах поездок, на которых проехали Тамека и Джексон:

• На сколько аттракционов проехал Тамека больше, чем Джексон?
• На сколько поездок Джексон совершил меньше поездок, чем Тамека?
• Сколько еще поездок пришлось бы проехать Джексону, чтобы проехать столько же поездок, что и Тамека?
• На сколько меньше поездок пришлось бы проехать Тамеке, чтобы проехать столько же поездок, что и Джексон?

Сравнения также могут быть мультипликативными.Рассмотрим проблему:

В коллекции Хуана 36 компакт-дисков. Это в 3 раза больше дисков, чем у его брата Маркоса. Сколько компакт-дисков у Маркоса?

В этой ситуации ученики должны построить модель стержня, показанную ниже слева, из 3 частей. Студенты могут разделить 36 на 3 равные группы, чтобы показать количество, которое нужно взять 3 раза, чтобы создать в 3 раза больше компакт-дисков для Хуана.

36 ¸ 3 =? или 3 раза? = 36 12 + 12 + 12 =? (или 3 x 12 =?)

, так что у Маркоса 12 компакт-дисков.Итак, у Хуана 36 компакт-дисков.

Аналогичную модель можно использовать, если большее количество неизвестно, но меньшее количество и мультипликативное отношение известны. Если проблема была:

У Хуана есть компакт-диски. У него в 3 раза больше компакт-дисков, чем у Маркоса, у которого 12 компакт-дисков. Сколько компакт-дисков у Хуана?

Как видно на диаграмме вверху справа, студенты могут положить 12 в коробку, чтобы показать количество компакт-дисков, которые есть у Маркоса; затем продублируйте это 3 раза, чтобы увидеть, что у Хуана в 3 раза больше компакт-дисков.Тогда общее количество Хуана будет суммой этих трех частей.

Задачи умножения и деления. Та же модель, что и для мультипликативных сравнений, также будет работать для основных задач умножения слов, начиная с однозначных множителей. Рассмотрим проблему:

У Аланы было 6 пакетов жевательной резинки. В каждой упаковке 12 штук жевательной резинки. Сколько всего жевательных резинок у Аланы?

В следующей линейчатой ​​модели для визуализации проблемы используется повторное сложение умножения.

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 72 (или 6 x 12 = 72)

, так что у Аланы 72 кусочка жевательной резинки.

По мере того, как учащиеся переходят к многозначным множителям, они могут использовать модель с многоточием, чтобы упростить гистограмму. Например:

Сэм пробегает 32 км в день в течение апреля, чтобы подготовиться к гонке. Если Сэм бегает каждый день месяца, сколько всего километров он пробежал в апреле?

30 x 32 км = 30 x 30 км + 30 x 2 км = 960 км

Сэм пробежал 960 км за 30 дней апреля.

Поскольку деление — это обратное умножение, в задачах деления слов будет использоваться модель мультипликативного столбца, в которой произведение (делимое) известно, но один из факторов (делитель или частное) неизвестен.

Задачи, связанные со ставками, дробями, процентами и несколькими шагами. По мере того, как учащиеся переходят в старшие классы, они могут применять новые концепции и многоступенчатые задачи со словами к чертежам моделей грифов. Скемп (1993) определил, что реляционное мышление имеет решающее значение для развития математики.Учащийся должен уметь расширять свое мышление на основе моделей, которые они использовали ранее, связывая и адаптируя то, что он знает, к новым ситуациям.

Рассмотрим следующую задачу о скорости и расстоянии:

Фонг проехала 261 милю, чтобы увидеться с бабушкой. В среднем она разгонялась до 58 миль в час. Как долго она добиралась до дома бабушки?

Следующая модель основана на модели «часть-часть-целое» с использованием формата повторяющегося сложения для умножения и деления. Предполагается, что учащиеся имеют опыт использования модели для задач деления, частные которых являются не просто целыми числами.По мере того, как они наращивают (или делят) 261 милю, они рассчитывают, что пять 58-х будут соответствовать 5 часам путешествия, а оставшиеся 29 миль будут представлены половинным квадратом, поэтому решение состоит в том, что Фонг займет 5½ часов. времени в пути, чтобы добраться до дома бабушки.

Даже более сложную проблему скорости можно решить с помощью комбинации подобных моделей. Рассмотрим эту задачу:

Сью и ее подруга Энн вместе отправились в путешествие. Сью проехала первые 2/5 поездки, а Энн проехала 210 миль за последние 3/5 поездки.Средняя скорость Сью составляла 60 миль в час, а Энн — 70 миль в час. Сколько времени у них заняла поездка?

Есть несколько способов, которыми учащиеся могут комбинировать или изменять базовую модель стержня. Одно из решений может заключаться в следующем, где первое неизвестное — сколько миль проехала Сью. Полоса, разделенная на пятые части, показывает, как рассчитать километры, которые проехала Сью. Поскольку мы знаем, что 210 миль, которые проехала Энн, составляют 3/5 всего пути, каждая из ящиков Анны, каждая из которых представляет 1/5 пути, составляет 70 миль. Таким образом, Сью проехала две части по 70 миль, или 140 миль, что составляет 2/5 от общей поездки.

Теперь диаграмму необходимо расширить, чтобы показать, как рассчитать количество часов. Участок 210 миль Анны, разделенный на ее скорость 70 миль в час, займет 3 часа, как указано в следующем расширении диаграммы. Расстояние Сью в 140 миль теперь необходимо разделить на сегменты со скоростью 60 миль в час, чтобы определить время ее вождения, равное 2 1/3 часа. Таким образом, общая поездка в 350 миль займет 5 1/3 часа времени вождения, учитывая две нормы вождения.

Рассмотрим более простую многоступенчатую задачу:

Роберто купил 5 спортивных напитков по 1 доллару.25 каждый. Роберто дал кассиру 20 долларов. Сколько сдачи он получил обратно?

Опять же, у студентов могут быть вариации, когда они начнут расширять использование диаграмм в многоэтапных или более сложных задачах. Некоторые ученики могут использовать сразу две диаграммы, как показано ниже слева. Другие могут указывать вычисления на одной диаграмме, как показано на диаграмме справа.

Имея рутинный опыт моделирования стержней, учащиеся могут расширить использование моделей для решения задач, связанных с отношениями, которые могут быть выражены с помощью переменных.Рассмотрим эту простую задачу, которую можно представить алгебраически:

Каллан и Авриэль собрали в общей сложности 190 ошибок для научного проекта. Каллан собрал на 10 ошибок больше, чем Авриель. Сколько жуков собрал Каллан?

Пусть n равно количеству ошибок, собранных Авриель, а n + 10 равно количеству ошибок, собранных Калланом. Студенты могут создать следующую модель:

Поскольку n + n = 180 (или 2 n = 180), n = 90.Таким образом, Каллан собрал 90 + 10 или 100 ошибок, а Авриэль собрала 90 ошибок, всего 190 ошибок, собранных вместе.

При использовании модельного метода учащиеся должны переводить информацию и отношения в словах в визуальные представления, которые являются моделями. Они также должны манипулировать и преобразовывать визуальные представления, чтобы генерировать информацию, полезную для решения данных проблем.

Понимание структуры словесной задачи включает в себя знание того, как связана математическая информация в данной текстовой задаче и как выделить компоненты, необходимые для решения проблемы.Чертежи ленточной диаграммы / гистограммы могут помочь учащимся лучше определять переменные, участвующие в проблеме, а также отношения между ними. Эта способность сосредотачиваться на отношениях между числами в данной задаче и распознавать математическую структуру как особый тип проблемы является частью реляционного мышления — критически важным навыком для успеха в алгебре. Использование перевернутой буквы V и гистограммы в предалгебраическую работу в классах K-7 может сделать учащихся более подготовленными к формальному изучению алгебры.

Это отличный сайт для практики решения проблем — моделирования проблем с помощью ленточной диаграммы / гистограммы

.