Ответ по алгебре: Решебник: ГДЗ по алгебре 7 класс

ГДЗ к учебникам и тетрадям по Алгебре за 7 класс. Готовые ответы бесплатно

Наш прекрасный учебно-методический комплекс поможет семиклассникам справиться с любыми трудностями по технической дисциплине. В ходе изучения математического раздела ребята перестанут сталкиваться с неожиданностями, так как у них на руках будет решение всех вопросов из основного печатного учебника, как теоретических, так и практических. Онлайн-сборник обладает несколькими значимыми преимуществами:

• при самостоятельной подготовке домашнего задания учащийся может проверить свои знания и восполнить пробелы, освободить время для отдыха;
• соответствует принятым в стране образовательным государственным стандартам федерального уровня;
• постоянный онлайн-доступ на компьютеры, смартфоны, и другие устройства с выходом в интернет;
• обучающиеся становятся более независимыми, у них развиваются самостоятельность и дисциплина.

Почему всем так нравится предложенный онлайн-справочник

Он существенно облегчит участь вашего чада, который в этом году будет крайне загружен. Учащийся столкнется с новыми предметами в школьном расписании. При выполнении д/з у любого могут возникнуть кое-какие проблемы. Онлайн-помощник запросто справиться с любой трудностью. Содержание состоит из готовых ответов с решениями и пояснениями, что позволит ученику самостоятельно разобраться в домашнем задании. Программа обучения математике и соответствующий УМК от Мордковича это одни из популярных средств познания предмета. Однако не всем ученикам с лёгкостью даются технические области, поэтому авторы-составители (а именно: Мордкович А.Г., Николаев Н.П., Ю. Макарычев, Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, С. А. Теляковский, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир) и разработали умк, призванный поспособствовать школьнику в деле решения упражнений и задачек и отработки материала, данного на уроке. С его помощью все смогут запросто развить логическое мышление, вникнуть в вопросы, вызывающие затруднения, ликвидировать пробелы и, конечно, улучшить успеваемость. Здесь к тому же есть разные эффективные материалы для самоподготовки – загадки, головоломки, тренировочные игры, а также видеозаписи. В роликах вместе с учителем пошагово рассматривается каждая тема из оригинального печатного школьного учебника! Это бесценный формат для повторения пройденного и непонятного. Теперь каждый сможет научиться независимой работе, синтезу и анализу. Хотя, в этом возрасте, получение данного навыка достаточно тяжело дается детям. Поэтому если использовать решебник регулярно, обучающийся сможет научиться навыкам самоконтроля гораздо быстрее. Вся информация распределена по разделам. Вы увидите название предмета, нажимаете на эту ссылку и ищете соответствующих авторов. Данные к упражнениям сразу открываются в удобной таблице.

Рабочая программа по алгебре за седьмой класс

Молодым людям на данной ступени образования придётся разобрать массу новых понятий, алгоритмов и определений из обязательной школьной программы:

• какие можно выполнять действия с числовыми и алгебраическими выражениями;
• что представляет собой математическая модель;
• знакомство с линейным уравнением с одной переменной.

Математика станет проще и понятнее для всех кто, решит обратиться к этому ресурсу. Решебник поможет быстро наверстать пробелы в знаниях без лекций преподавателя, или привлечения репетитора, дорогостоящие услуги которого могут нанести серьезный ущерб семейному бюджету. При верном подходе оно позволит избежать возникновения проблем на уроках или при выполнении домашней работы по трудной науке.

«Алгебра — это расизм!» — в американских школах хотят изменить преподавание математики — ИноТВ

Власти штата Орегон увидели в традиционном курсе математики «идеи превосходства белой расы». Объективность и сосредоточенность на правильном ответе теперь считается расизмом, вместо этого власти хотят ввести новый курс «этноматематики», передаёт Fox News.

Орегонский департамент образования побуждает учителей записываться на курсы по продвижению так называемой этноматематики. Этноматематика. Это не наши выдумки. Как учит этот курс, сосредоточенность на поиске правильного решения математических примеров — это проявление идеи превосходства белой расы. Алгебра — это расизм! Как тут не вспомнить Великую французскую революцию?

С нами сегодня Либби Эммонс, старший редактор Post Millenial. Либби, это одна из многочисленных историй, в которые трудно поверить. Как математика может быть расистской? Она ведь абсолютно объективна!

ЛИББИ ЭММОНС, старший редактор Post Millenial: Хороший вопрос. Но чтобы ответить на него, надо понять, что объективность теперь считается расизмом. Это часть проблемы. Если есть правильные и неправильные ответы, это уже расизм.

Но есть также ряд дополнительных проблем со всей этой программой. Первая — это идея о том, что учителя поддерживают расизм в классе, потому что они расисты, они не видят собственной предвзятости и не могут контролировать проявлений собственного расизма.

Другая проблема — это упомянутая вами идея о том, что математика — белая дисциплина. Фундаментальная абсурдность этого очевидна любому, кто хоть немного изучил вопрос. И третье — это так называемое «мягкий шовинизм заниженных ожиданий». Людям говорят, что небелые студенты не могут соответствовать заданным стандартам, так что стандарты надо менять.

Но, конечно же, дело в том, что дети не тупые, они понимают, когда с ними ведут себя угодливо. Они понимают, когда их гладят по головке и говорят им, что они молодцы, притом что они сами знают, что не справляются.  Мы также знаем, что дети преуспевают, когда с них спрашивают. Любой родитель вам это скажет!

Когда от ребёнка ожидают соответствия какому-то уровню ответственности, дети могут делать успехи. Им это нужно! Им нужна возможность позаботиться о себе и быть на уровне. Да! Каждый ребёнок это знает! И когда мы ведём себя с ними так, будто они идиоты, как будто для изучения математики им необходимы уроки интерпретативного танца, дети видят нас насквозь! Очевидно же! Не знаю, кто здесь одурачен.

Мы ведём к банкротству собственную страну, жизни наших детей. Школы закрыты. Мы ещё и этим их губим. И ещё мы так вольно обращаемся со словами! Принимаем термины левацкой пропаганды, вроде термина «антирасизм». У нас нет никаких причин так делать. Эти термины не настоящие, они не описывают реальность. И ещё мы…

Вы правы. И мы делаем вид, будто это честно, хотя это не так. И вы, конечно же, это подметили. Либби, я признателен вам за то, что сегодня вы снова были с нами. Рад был вас видеть. Спасибо вам!

ЛИББИ ЭММОНС: И вам большое спасибо!

Дата выхода в эфир 19 февраля 2021 года.

Школьная математика. Задачи по алгебре

Тематический сборник задач по алгебре

1. Арифметические вычисления
2. Арифметические вычисления II
3. Работа со степенью
4. Квадратный корень и его свойства
5. Формулы сокращенного умножения
6. Преобразование рациональных выражений
7. Преобразование рациональных выражений II
8. Преобразование выражений I
9. Преобразование выражений II
10. Преобразование выражений III
11. Преобразование выражений IV
12. Линейные уравнения
13. Линейные уравнения II
14. Квадратные уравнения
15. Квадратные уравнения II
16. Квадратный трехчлен
17. Рациональные уравнения
18. Дробно-рациональные уравнения I
19. Дробно-рациональные уравнения II
20. Простейшие системы уравнений
21. Системы уравнений
22. Линейные неравенства
23. Линейные неравенства II
24. Дробно-рациональные неравенства
25. Уравнения с модулем
26. Уравнения с модулем II
27. Неравенства с модулем
28. Неравенства с модулем II
29. Иррациональные уравнения I
30. Иррациональные уравнения II
31. Иррациональные неравенства
32. Проценты
33. Теория чисел
34. Числовые последовательности
35. Арифметическая прогрессия
36. Геометрическая прогрессия
37. Арифметическая и геометрическая прогрессии
38. Базовые текстовые задачи
39. Текстовые задачи на движение
40. Текстовые задачи на работу
41. Текстовые задачи на смеси
42. Метод координат
43. Функции
44. Функции II
45. Преобразование логарифмических выражений
46. Преобразование логарифмических выражений II
47. Показательные уравнения
48. Показательные уравнения II
49. Показательные неравенства
50. Логарифмические уравнения
51. Логарифмические уравнения II
52. Логарифмические неравенства
53. Комбинаторные соотношения

Подготовка к ЕГЭ

1. Преобразование логарифмических выражений
2. Преобразование выражений, содержащих степень
3. Преобразование иррациональных выражений
4. Смешанные неравенства
5. Иррациональные уравнения I
6. Иррациональные уравнения II
7. Тригонометрические уравнения I
8. Тригонометрические уравнения II
9. Логарифмические уравнения I
10. Логарифмические уравнения II
11. Показательные уравнения I
12. Показательные уравнения II
13. Уравнения с модулем
14. Нули и ограниченность функции
15. Свойства функции
16. Наибольшее и наименьшее значения функции
17. Смешанные уравнения
18. Уравнения с параметром

Сборник типовых задач ЕГЭ по математике

Тренировочные работы ЕГЭ

1. Тренировочная работа в формате ЕГЭ по математике 22 апреля 2014 года
2. Решение тренировочной работы ЕГЭ по математике 22 апреля 2014 года
3. Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2014 году ЕГЭ  по математике 
4. Досрочный ЕГЭ по математике 2014. Условия задач с ответами и решениями
5. Ященко И.В. Типовые тестовые задания 2014 (10 вариантов + решения)
6. Перспективная модель ЕГЭ 2014 для 10 класса по математике. Условия задач с ответами и решениями
7. Пробный вариант ЕГЭ  Математика Профильный уровень 11 класс Вариант 6 с ответами и решениями
8. ЕГЭ 2015 по математике октябрь 2014 Пробный вариант базовый уровень с ответами и решениями
9. ЕГЭ 2015 Демонстрационный вариант Профильный уровень с ответами и решениями
10. Досрочный ЕГЭ по математике 2015. Условия задач с ответами и решениями
11. ЕГЭ март 2015. Репетиционный вариант Профильный уровень с ответами и решениями
12. Решение пробного ЕГЭ по математике (март, 2015) Профильный уровень 11 класс
13. ЕГЭ 2015. Диагностическая работа МИОО 22 апреля Профильный уровень
14. ЕГЭ 2015. Пробный вариант 1 Брянск 23 апреля Профильный уровень
15. ЕГЭ 2015 математика 23 апреля Брянск Пробная работа Вариант 2 Профильный уровень 
16. Досрочный ЕГЭ Резерв 21 апреля 2015  Профильный уровень
17. Итоговая работа по математике 2015 10 класс Углубленный уровень
18. Итоговая работа по математике 2015 10 класс Базовый уровень
19. Диагностическая работа по математике 20 мая 2015 10 класс Профильный уровень
20. Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ  по математике 11 класс Профильный уровень
21. Тренировочная работа МИОО 11 класс 24. 09.2015   Решение тренировочной работы
22. Тренировочная работа МИОО 11 класс 18.12.2015 и Решение тренировочной работы
23. ЕГЭ Пробный вариант 3 ФИПИ 11 класс Профильный 2016
24. Досрочный ЕГЭ по математике 2016 условия и решения
25. ЕГЭ Пробный вариант Томск 2016 Профильный 11 класс
26. ЕГЭ Демо 2017 Базовый уровень
27. ЕГЭ Демо 2017 Профильный уровень
28. ЕГЭ Досрочный вариант по математике март, 2017
29. ЕГЭ 2017 Пробный вариант, профильный уровень
30. ЕГЭ 2017 по математике Пробный вариант базовый уровень с ответами
31. ЕГЭ Досрочный вариант по математике апрель, 2017
32. ЕГЭ по математике 2 июня 2017
33. ЕГЭ 2017 Резервный вариант
34. ЕГЭ Реальный вариант № 337 Профильный уровень 2017
35. ЕГЭ Реальный вариант № 301 Профильный уровень 2017
36. ЕГЭ Демо 2018 Профильный уровень
37. Решение задач ЕГЭ Демо 2018 Профильный уровень
38. ЕГЭ Демо 2018 Базовый уровень
39. Тренировочная работа ЕГЭ по математике 21 декабря 2017 года
40. ЕГЭ Математика Досрочный экзамен 30 марта 2018 года
41. Пробный ЕГЭ по математике 4 апреля 2018 года Вариант 1
42. Пробный ЕГЭ по математике 4 апреля 2018 года Вариант 2
43. Досрочный ЕГЭ по математике Вариант резервного дня  11 апреля 2018 года
44. ЕГЭ по математике Резерв 25 июня 2018 года
45. ЕГЭ Демо 2019 Профильный уровень    Решение
46. ЕГЭ 29 марта 2019 Базовый Образец досрочного варианта (ФИПИ)

Подготовка к ГИА (ОГЭ, ГВЭ)

1. Тренировочная работа ГИА по математике 6 мая 2014 года
2. Диагностическая работа ГИА по математике 17 апреля 2014 года
3. Демонстрационный вариант ГИА (ОГЭ) по математике 2015 (ноябрь)
4. Диагностическая работа по подготовке к ОГЭ март 2015 (аналог реального варианта)
5. Типовой вариант 1 ОГЭ 2015 Ященко И. В. с ответами и решениями    Типовой вариант 2  Типовой вариант 21 
6. Пробный вариант ОГЭ (ГИА) 2016 Санкт-Петербург
7. ОГЭ Демо 2017 по математике
8. ОГЭ 2017 Типовой вариант 1 по математике Ященко
9. ОГЭ 2017 Типовой вариант 2 по математике Ященко
10. Пробный вариант ОГЭ 2017 (март, г. Самара)
11. ОГЭ Демо 2018 по математике
12. ОГЭ Демо 2019 по математике

Задачи  ЗНО (Украина)

1. ЗНО 2015 по математике (Украина). Сертификационная работа. Углубленный уровень

Задачи вступительных экзаменов в МГУ по темам

1. Многочлены
2. Рациональные уравнения
3. Иррациональные уравнения I
4. Иррациональные уравнения II
5. Неравенства с модулем
6. Показательные уравнения
7. Логарифмические уравнения
8. Функциональные уравнения
9. Показательные неравенства
10. Логарифмические неравенства

Яндекс

1. Тестовая контрольная работа по математике 2015
2. Всероссийская контрольная работа по математике ЧТД 2015
3. Тестовая контрольная работа по математике 2016
4. Всероссийская контрольная работа по математике ЧТД 2016
5. Тестовая контрольная работа по математике 2017
6. Всероссийская контрольная работа по математике ЧТД 2017
7. Тестовая контрольная работа по математике 2018
8. Всероссийская контрольная работа по математике ЧТД 2018

Задачи из книг

1. Ткачук В. В. «Математика — абитуриенту».  Домашние задания с ответами и решениями
2. Райхмист Р.Б. «Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы с решениями и ответами»

Задачи с решениями

Задачи на повторение по разным темам

1. Первая серия задач
2. Вторая серия задач
3. Третья серия задач
4. Четвертая серия задач

Самостоятельные работы

1. Первая самостоятельная работа 

Домашние задания

1. Первое домашнее задание (арифметика, преобразование, лин. уравнения)
2. Второе домашнее задание (метод замены в уравнениях)
3. Третье домашнее задание (метод замены в уравнениях)
4. Четвертое домашнее задание (рац. неравенства, иррац. уравнения)
5. ГДЗ Колягин, Ткачева 7 класс Алгебра

МФТИ

1. Олимпиада по математике 2015 МФТИ условия задач

Текстовые задачи с решениями

1. 200 простых текстовых задач    1 — 50    51 — 100    101 — 150    151 — 200
2. Задачи на числовые зависимости
3. Задачи на прогрессии и ряды
4. Задачи на проценты
5. Задачи на концентрацию смесей и сплавов
6. Задачи на работу
7. Задачи на движение
8. Задачи с числом неизвестных, большим числа уравнений
9. Задачи с неравенствами
10. Задачи с целочисленными неизвестными
11. Задачи на исследование решений
12. Олимпиадные текстовые задачи
13. Итоговая серия задач за весь курс

Метки алгебра, задачи. Смотреть запись.

Как найти решение уравнения

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент
средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится
на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы
либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как узнать, когда уравнение не имеет решения

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент
средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится
на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы
либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Этот раздел иллюстрирует процесс решения уравнений различных форм. Он также показывает вам, как проверить свой ответ тремя различными способами:
алгебраически, графически и с использованием понятия эквивалентности.
Следующая таблица представляет собой неполный список типичных уравнений.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Найдите x в следующих уравнениях.

1. х — 4 = 10
   Решение
2. 2 х — 4 = 10
   Решение
3. 5x — 6 = 3 x — 8
   Решение

4. Решение

5. Решение
6. 2(3 х — 7) + 4 (3 х + 2) = 6 (5 х + 9) + 3
   Решение
7. Решение

УРАВНЕНИЯ , СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛ(Ы) — Решите для x в следующем
уравнения.

1. Решение

2. Решение

3. Решение

4. Решение

5. Решение

6. Решение

7. Решение

УРАВНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ (Я) — Решите для x в
следующие уравнения.

1. Решение

2. Решение

3. Решение

4. Решение

5. Решение

КВАДРАТИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x в следующем
уравнения.

1. х
   Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение

УРАВНЕНИЯ С ДРОБЯМИ — Решите для x в следующем
уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x в следующем
уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение
6. Решение

7. Решение

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x в следующем
уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение

5. Решение

6. Решение

7. Решение

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x в следующем
уравнения.

1. Решение
2. Решение
3. Решение
4. Решение
5. Решение
6. Решение
7. Решение
8. Решение
9. Решение
10. Решение
11. Решение
12. Решение

[Алгебра]
[Тригонометрия]

[Геометрия]
[Дифференциальные уравнения]

[Исчисление]
[Комплексные переменные]
[Матричная алгебра]

С. Домашняя страница OS MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

Алгебра — Решения и наборы решений

Показать мобильное уведомление

Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-1: Растворы и наборы растворов

Мы начнем эту главу с довольно короткого раздела с некоторой базовой терминологией, которую мы довольно регулярно используем при решении уравнений и неравенств.? 0\\ 9 — 9 & = 0\\ 0 & = 0 \,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]

Итак, здесь мы спрашиваем, равна ли правая сторона левой стороне после того, как мы подставим предложенное решение. В этом смысл «?» над знаком равенства в первой строке.

Поскольку правая и левая части одинаковы, мы говорим, что \(x = 3\) удовлетворяет уравнению.

b \(y = 8\) in \(3\left( {y + 1} \right) = 4y — 5\) Показать решение

Итак, мы хотим проверить, удовлетворяет ли \(y = 8\) уравнению.? 4\влево(8\вправо) — 5\\ 27 & = 27\,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]

Итак, \(y = 8\) удовлетворяет уравнению и, значит, является решением.

c \(z = 1\) in \(2\left( {z — 5} \right) \le 4z\) Показать решение

В этом случае у нас есть неравенство, и в этом случае «удовлетворить» означает немного другое. В этом случае мы будем говорить, что число будет удовлетворять неравенству, если после его подстановки мы получим в результате истинное неравенство.

Проверим \(z = 1\).? 4\left( 1 \right)\\ — 8 & \le 4 \,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]

Итак, -8 меньше или равно 4 (на самом деле меньше), и поэтому мы имеем истинное неравенство. Поэтому \(z = 1\) будет удовлетворять неравенству и, следовательно, является решением

d \(z = — 5\) in \(2\left( {z — 5} \right) \le 4z\) Показать решение

Это то же самое неравенство с другим значением, так что давайте проверим это. ? 4\left( { — 5} \right)\\ — 20 & \le — 20\,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]

В этом случае -20 меньше или равно -20 (в данном случае оно равно) и, таким образом, снова мы получаем истинное неравенство и, следовательно, \(z = — 5\) удовлетворяет неравенству и, следовательно, будет решением.

Мы также должны сделать быстрый пример чисел, которые не являются решениями, чтобы мы могли увидеть, как они будут работать.

Пример 2. Покажите, что следующие числа не являются решениями данного уравнения или неравенства.

1. \(y = — 2\) в \(3\left( {y + 1} \right) = 4y — 5\)
2. \(z = — 12\) в \(2\влево( {z — 5} \вправо) \le 4z\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(y = — 2\) in \(3\left( {y + 1} \right) = 4y — 5\) Показать решение

В этом случае мы делаем то же самое, что и в предыдущем примере.? 4\влево( { — 2} \вправо) — 5\\ — 3 & \ne — 13\,\,\,\,{\mbox{НЕ ОК}}\end{выравнивание*}\]

Таким образом, -3 не равно -13, поэтому уравнение не выполняется. ? 4\left( { — 12} \right)\\ — 34\require{cancel} & \bcancel{\le} — 48\,\,\,\,{\mbox{NOT OK}}\end{align* }\]

В этом случае -34 НЕ меньше или равно -48, поэтому неравенство не выполняется.2} — 9 = 0\). В этом случае \(x = — 3\) также является решением.

Мы называем полный набор всех решений набором решений для уравнения или неравенства. Существует также некоторая формальная нотация для наборов решений, хотя мы не будем часто использовать ее в этом курсе. Независимо от этого факта, мы все равно должны признать это.

Для уравнений мы обозначаем набор решений, заключая все решения в набор фигурных скобок, \(\left\{ {} \right\}\). Для двух уравнений, которые мы рассмотрели выше, здесь представлены наборы решений.2} — 9 & = 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Набор решений}} :\,\,\,\left\{ { — 3,3} \right\}\end{align*} \]

Для неравенств используются аналогичные обозначения. В зависимости от сложности неравенства набор решений может быть одним числом или диапазоном чисел. Если это одно число, то мы используем те же обозначения, что и для уравнений. Если набор решений представляет собой диапазон чисел, как тот, который мы рассмотрели выше, мы будем использовать что-то, называемое нотацией построителя набора .Вот набор решений для неравенства, которое мы рассмотрели выше.

\[\left\{ {z|z \ge — 5} \right\}\]

Это читается как: «Набор всех \(z\) таких, что \(z\) больше или равен -5».

Большинство неравенств, которые мы будем рассматривать, будут иметь достаточно простые наборы решений, которые мы часто просто обозначаем как

.

\[г \гэ — 5\]

Прежде чем покинуть этот раздел, нам нужно рассмотреть еще одну тему, касающуюся наборов решений.2} &

Если мы ограничимся только реальными решениями (что мы не всегда будем делать), то у уравнения нет решения. Возведение в квадрат \(x\) делает \(x\) больше, чем равным нулю, затем добавление 1 к этому означает, что левая часть гарантированно будет не менее 1. Другими словами, у этого уравнения нет реального решения. По той же основной причине неравенство не имеет решения. Возведение в квадрат любого действительного числа \(x\) делает его положительным или нулевым и, следовательно, никогда не будет отрицательным.

Нам нужен способ обозначить тот факт, что здесь нет решений.В обозначении множества решений мы говорим, что множество решений пусто , и обозначаем его символом: \(\emptyset \). Этот символ часто называют пустым набором .

Прежде чем покинуть этот раздел, нам нужно сделать пару заключительных замечаний.

В приведенном выше обсуждении пустых множеств мы предполагали, что ищем только реальные решения. Хотя это то, что мы будем делать для неравенств, мы не будем ограничиваться реальными решениями с уравнениями.2} + 1 = 0\) имеет комплексные решения.

Наконец, как отмечалось выше, в этом курсе мы не будем часто использовать нотацию набора решений.