8 класс

Алгебра 8 класс макарычев 137: Номер 137 — ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев

Содержание

▶▷▶▷ гдз по алгебреза 8 класс

▶▷▶▷ гдз по алгебреза 8 класс
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:16-09-2019

гдз по алгебреза 8 класс — Решебник (ГДЗ) по алгебре за 8 класс megareshebarupublgdzalgebra 8 _klass97-1-0-1266 Cached Подробный решебник ( гдз ) по Алгебре за 8 класс к учебнику школьной программы ГДЗ по алгебре за 8 класс, решебник и ответы онлайн gdzruclass- 8 algebra Cached ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по алгебре за 8 класс , решебник и ответы онлайн на gdzru ГДЗ по Алгебре за 8 класс — новые решебники с ответами shkololonetgdz-algebra 8 -klass Cached ГДЗ по Алгебре за 8 класс — 137 онлайн решебника с ответами на готовые домашние задания по алгебре за 8 класс , рабочие тетради, разные варианты решения, без рекламы, бесплатно, спиши алгебру через Школоло Решебники (ГДЗ) 8 класс — vshkolecom vshkolecom 8 -klassreshebniki Cached ГДЗ 8класс, решебники 8 класс Чем старше ученик тем сложнее задания Если в младших классах мамы и папы успешно помогали своим детишкам решать задачки по математике или писать диктанты, то в восьмом классе редкий ГДЗ по Алгебре 8 класс — gdz-putinafun gdz-putinafunklass- 8 algebra Cached ГДЗ по алгебре за 8 класс , поможет выполнить заданные упражнения, освежит знания по новому параграфу и за прошлые года обучения Сверяя готовые номера ученикам предоставляется ответ со Решебники (ГДЗ) за 8 класс по предмету Алгебра: vshkolecom 8 -klassreshebnikialgebra Cached ГДЗ хороший способ самоконтроля На нашем ресурсе вы найдете ГДЗ по алгебре 8 класс Это отличное средство для проверки полученных результатов и уточнения непонятных способов решения ГДЗ 8 класс — ответы (відповіді) на 4BOOK к учебникам и 4bookorggdz-reshebniki-ukraina 8 -klass Cached У нас составлены и собраны самые качественные и полные ГДЗ 8 класс в Украине по новой программе за 2016-2017 год Просматривать ответы онлайн на все учебники и рабочие тетради вы сможете с Решебник (ГДЗ) по русскому языку за 8 класс megareshebarupublgdzrusskij_jazyk 8 _klass Cached Подробный решебник ( гдз ) по Русскому языку за 8 класс к учебнику школьной программы ГДЗ решебник по алгебре 8 класс КИМ Черноруцкий gdzputinaco 8 -klass-onlajnalgebra- 8 gdz Cached ГДЗ решебник по алгебре 8 класс дидактические материалы Ткачева Федорова 2017 Решебники от Путина онлайн ГДЗ алгебра 8 класс — reshebanet reshebanetalgebra- 8 -klass-arefeva Cached Вашему вниманию представлен современный решебник по алгебре 8 класс , который пригодится не только ученикам и их родителям, а и учителям, преподавателям, репетиторам Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 652,000

  • Смотрите и списывайте ответы к алгебре за 8 класс. И для последних гдз по алгебре 8 класс могут стат
  • ь настоящим спасением. 9 класс Гузей Л.С., Сорокин В.В., Суровцева Р.П.. 6-е изд., переработанно. Пособие для занятий по русскому языку в старших классах, 10-11 класс. ГДЗ по алгебре за 8 класс к у
  • Пособие для занятий по русскому языку в старших классах, 10-11 класс. ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Ш. А. Алимова скачать бесплатно. Design by Ivan K. При копировании материалов указывайте активную ссылку на источник! Очень подробный решебник и гдз по алгебре за 7 класс, авторы: Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова 2016 учебный год. Ответы к домашним заданиям содержит решебник по алгебре за 8 класс Макарычева… Мегаботан по Алгебре за 8 класс, к учебникам всех авторов на 2016-2017 учебный год. Алгебра 8 класс Ш.А. Алимов. ГДЗ по Математике за 5 класс Зубарева И.И. Главная ГДЗ 8 класс ГДЗ по Алгебре 8 класс. Введите в строку поиска только фамилию автора и класс. Алгебра 8 класс белянина о я кинащук н л черевка и м укр. Пользуясь ГДЗ для подготовки к будущему уроку, ученик заранее ставит перед собой задачу отличиться в классе и получить оценку. Алгебра 8 класс дидактические материалы. ГДЗ по Алгебре за 8 класс. Ш.А. Алимов и др. 2001г. Ю.Н. Макарычев, Под ред. С.А. Теляковского 2009г. Да, в восьмом классе надо стараться делать уроки самостоятельно. Готовые домашние задания ГДЗ по Алгебре автор Макарычев за 8 класс 2013 г.

Миндюк

Нешков

  • репетиторам Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
  • easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 652
  • без рекламы

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз по алгебреза класс Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Показаны результаты по запросу гдз по алгебре класс Искать вместо этого гдз по алгебреза класс ГДЗ по алгебре за класс , решебник и ответы онлайн https gdz ru class algebra ГДЗ Спиши готовые домашние задания по алгебре за класс , решебник и ответы онлайн на GDZRU Алгебра класс Авторы ЮН Алгебра класс Авторы СМ ГДЗ по алгебре класс eurokiorg gdz algebra _ Скачать гдз или решебник по алгебре класс в один клик Алгебра класс ФГОС Тесты по алгебре класс Алгебра класс ГДЗ по алгебре класс Макарычев, Миндюк, Нешков eurokiorg gdz algebra _ Решебник по алгебре за класс авторы Макарычев, Миндюк, Нешков издательство Просвещение Решебник ГДЗ по алгебре за класс gdz algebra _ Подробный решебник гдз по Алгебре за класс к учебнику школьной программы Алгебра класс авторы ЮН Арефьева ИГ, Пирютко ОН ГДЗ по алгебре для класс от Путина https gdz putinarupoalgebre klass Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по Алгебре для класса от Путина Очень удобный интерфейс ГДЗ по алгебре для класса ЮН Макарычев https gdz putinaru klass makaryche И чтобы вернуть этот стимул к учёбе, мы подготовили для вас гдз по алгебре за класс ЮН Макарычев, НГ Решебники по алгебре класс Reshakru klass _alghtml ГДЗ по алгебре класс Макарычев Миндюк Предмет Алгебра Автор Макарычев, Миндюк, Нешков Формат ГДЗ по Алгебре класс Макарычев Решебник учебника https gdz putinainfo klass algebra Готовое домашние задание ГДЗ, решебник по алгебре класс учебник для общеобразовательных ГДЗ решебник по алгебре класс Макарычев Mathcomua mathcomua gdz algebra Рейтинг , голос Решебник ГДЗ по алгебре класс Макарычев В классе на уроках алгебры вы познакомитесь с Решебник по Алгебре за класс ЮН Макарычев, НГ class algebra Решебник по Алгебре для Класс от ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова незаменимая Алгебра класс Макарычев Vcevceru vcevceruama Главная Алгебра класс Мордкович Алгебра класс Макарычев Геометрия класс Атанасян ГДЗ Алгебра класс YouTube Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями Playlist ГДЗ Алгебра класс Мегарешеба ГДЗ по Алгебре за класс ЮН Макарычев, Н gdz algebra cla Решебник по Алгебре для класса под редакцией ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова ГДЗ по алгебре класс Макарычев решебники на Gdzlife https gdz life klass algebra makarichev Рейтинг голосов Подробное ГДЗ по алгебре класса к учебнику Ю Н Макарычев, Н Г Миндюк, К И Нешков и др Домашние ГДЗ от Путина по алгебре класс Дорофеев https gdz putinacc klass algebra В этом электронном решебнике представлены ответы по алгебре за класс автора Дорофеева от Путина ГДЗ номер , список задач по алгебре класс Мерзляк А Г gdz algebra ГДЗ , готовое домашнее задание по алгебре класс , автор учебника Мерзляк А Г На Решунове ты ГДЗ , Алгебра , класс ,Макарычев ЮН Рамблеркласс https class ramblerrutemymulti gdz Сборник готовых домашних заданий по предмету Алгебра за класс Авторы Макарычев ЮН Номера задач и Алгебра Контрольные Макарычев ЮН Контроль знаний контрользнанийрф algebra kontrolny авг Решения задач контрольных работ из учебного пособия Алгебра класс Дидактические ГДЗ Алгебра класс АГ Мордкович, ЛИ Звавич gdz ru algebra klass ag Как известно, восьмой класс является периодом самого бурного гормонального развития ребенка Подросткам в ГДЗ по алгебре за класс Мерзляк, Полонский, Якир https gdz clubru algebra klass algebra ГДЗ к учебнику по алгебре для класса общеобразовательных школ, авторы пособия Мерзляк АГ, Полонский ГДЗ , Ответы по Алгебре класс Дорофеев, Суворова Все https gdz naru gdz otvetypoalgebre июл Готовые Домашние Задания, Решебник по Алгебре класс Дорофеев, Суворова У нас все ГДЗ, ГДЗ по алгебре , Алгебра класс Алимов ША wwwmy gdz com algebra klass Готовое домашнее задание по учебнику Алгебра класс Алимов ША ГДЗ для класса по алгебре , ГДЗ по алгебре класс Мордкович онлайн решебник gdz poalgebre klass Тут можно абсолютно бесплатно использовать решебник ГДЗ для учебника по алгебре Мордкович за й класс ГДЗ по алгебре класс углубленное изучение Мерзляк klass algebra Решебник по алгебре за класс хорошо подходит для проверки домашних заданий В ГДЗ собраны ответы к Задание Алгебра , класс , Алимов ША, Колягин Ю domashkasu gdz klass algebra Задание Алгебра , класс , Алимов ША, Колягин ЮМ, Сидоров ЮВ ГДЗ Алгебра , класс , Алимов ША, ГДЗ Алгебра класс Мерзляк, Полонский, Якир Учебник https gdz chat _ klass algebra reshebnik ГДЗ по алгебре класс Мерзляк поделен на сорок один параграф, где даны примеры решения по всем Решебники ГДЗ по предмету Алгебра класс онлайн klass evip klass algebra Полные и качественные решебники ГДЗ по предмету Алгебра класс онлайн Доступно на ваших смартфонах Алгебра математика класс InternetUrok algebra class Видеоуроки, тесты и тренажёры по Алгебра за класс по школьной программе Используйте конспект уроков Онлайн ГДЗ по Алгебре Класс СуперботаникНет gdz com gdz klass algebra Официальные и лучшие ГДЗ за класс по Алгебре и Рабочие тетради гдз класс UzTest gdz ?tmpllisttmpl ГДЗ Алгебра клпо учебнику Алгебра класс ШААлимов и др ГДЗ Геометрия клпо учебнику Геометрия Решебник По Алгебре Класс Мектеп spisokinnovations spisokinnovationsweeblycomreshebn Для зарегистрированных пользователей доступны Решебник по алгебре абылкасымова класс гдз алгебра класс номер wwwaesalorg gdz algebra klass сен гдз алгебра класс номер Ответ на Номер задания из ГДЗ по Алгебре класс Картинки по запросу гдз по алгебре класс Учебнометодический материал по алгебре класс на algebra kontrolna дек Контрольная работа по алгебре входной контроль составлена для класса в формате ГИА ГДЗ решебник Алгебра класс Ю П Дудницын, Е Е obozrevatelcom gdz kla Правильные и полные ГДЗ решебник Алгебра класс Ю П Дудницын, Е Е Тульчинская в формате Входная контрольная работа по алгебре , класс дек Цели овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в гдз алгебра мектеп tennissamararu gdz algebra mektep сен гдз алгебра мектеп Решебник По Алгебре Класс Мектеп mysocialdirection Как решать Как решать примеры по алгебре класс мар Именно поэтому учебник гдз по алгебре класс будет очень даже кстати Там все описано очень ВПР по математике класс Вариант с решениями https gdz otlru klass vprpo Всероссийская Проверочная Работа Математика класс Практикум Вариант ФГОС АР Рязановский, ДГ Свойства функции y kx и её график урок Алгебра , ya klass ru algebra klass Урок по теме Свойства функции y kx и её график Теоретические материалы и задания Алгебра , класс Решебники gdz htm Готовые домашние работы по алгебре , геометрии, математике, Решебники, гдз по английскому языку К учебнику и рабочим тетрадям класс Афанасьевой ОВ, Михеевой ИВ ГДЗ класс ответы відповіді на BOOK к учебникам и gdz reshebniki klas ГДЗ класс , решебники, відповіді, ответы , к учебникам и підручникам, робочим зошитам и тетрадям Украина на телефоне, планшете Ответы Збірник задач Алгебра клас Мерзляк гдз алгебра класс мордковича гдз wwwnovvitru gdz algebra klass сен Гдз по геометрии ершова класс ГДЗ по алгебре за класс к учебнику Дорофеева, Суворовой ГДЗ самые качественные решебники на Решебами Решебники и ГДЗ , тут есть ВСЁ! научиться решать самые тяжёлые задачи из математики, алгебры , геометрии и тд Выбери необходимый предмет, выбери свой класс и найди свою книгу на Алгебра класс Дорофеев гдз алгебра г класс никольский tenekedjievacom gdz algebra g klass сен Спиши ру ГДЗ Алгебра класс , онлайн решебник, ответы на домашние задания к Задачи на проценты Задачи на проценты с решением mathprostoru?pagepagespercent Задача из учебника Виленкин класс Ответ составляют незрелые арбузы от всех арбузов Примеры задач для поступающих в лицей КФУ Математика из в класс Математика из в класс Математика из в класс Математика из в класс РЕШУ ОГЭ математика ОГЭ задания, ответы Анализ диаграмм Наверх гдз алгебра класс номер htcserviceru gdz _ algebra _ _ klass _ сен гдз алгебра класс номер ГДЗ номер алгебра класс А gdzru gdzruclass гдз алгебра коасс wwwsanbachru gdz algebra koass сен гдз алгебра коасс Решебник ГДЗ Алгебра класс АГ Мерзляк, ВБ Полонський vshkolecom В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg В ответ на жалобы, поданные в соответствии с Законом США Об авторском праве в цифровую эпоху , мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с жалобами на сайте LumenDatabaseorg Жалоба , Жалоба Запросы, похожие на гдз по алгебре класс гдз по алгебре класс дорофеев гдз по алгебре класс байзаков гдз по алгебре класс колягин алгебра класс учебник гдз по алгебре класс никольский гдз по геометрии класс гдз по алгебре класс контрольные работы гдз по алгебре класс макарычев ягдз След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

Смотрите и списывайте ответы к алгебре за 8 класс. И для последних гдз по алгебре 8 класс могут стать настоящим спасением. 9 класс Гузей Л.С., Сорокин В.В., Суровцева Р.П.. 6-е изд., переработанно. Пособие для занятий по русскому языку в старших классах, 10-11 класс. ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Ш. А. Алимова скачать бесплатно. Design by Ivan K. При копировании материалов указывайте активную ссылку на источник! Очень подробный решебник и гдз по алгебре за 7 класс, авторы: Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова 2016 учебный год. Ответы к домашним заданиям содержит решебник по алгебре за 8 класс Макарычева… Мегаботан по Алгебре за 8 класс, к учебникам всех авторов на 2016-2017 учебный год. Алгебра 8 класс Ш.А. Алимов. ГДЗ по Математике за 5 класс Зубарева И.И. Главная ГДЗ 8 класс ГДЗ по Алгебре 8 класс. Введите в строку поиска только фамилию автора и класс. Алгебра 8 класс белянина о я кинащук н л черевка и м укр. Пользуясь ГДЗ для подготовки к будущему уроку, ученик заранее ставит перед собой задачу отличиться в классе и получить оценку. Алгебра 8 класс дидактические материалы. ГДЗ по Алгебре за 8 класс. Ш.А. Алимов и др. 2001г. Ю.Н. Макарычев, Под ред. С.А. Теляковского 2009г. Да, в восьмом классе надо стараться делать уроки самостоятельно. Готовые домашние задания ГДЗ по Алгебре автор Макарычев за 8 класс 2013 г.

ГДЗ номер 137 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк – Telegraph


>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

ГДЗ номер 137 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк

ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер задания №137 по учебнику Алгебра 7 класс : учебник для общеобразовательных учреждений Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк, К .И . Нешков, С .Б . Суворова; Просвещение, -2019 

ГДЗ : готовые ответы по алгебре за 7 класс , решебник Ю .Н . Макарычев Углубленный уровень, онлайн решения на GDZ .RU .
Гдз по алгебре за 7 класс Макарычев , Миндюк ответ на номер № 137 . Авторы: Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк , К .И . Нешков, С .Б . Суворова . Издательство: Просвещение год . Тип: Учебник . Подробный решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой ) класс . . 

Задача №137 , ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева . Ответы из решебника . Макарычев , Миндюк, Нешков . 

ФГОС Макарычев , Миндюк , Нешков Просвещение > Задание : 137 . Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст . 1274 п . 1  ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев , Миндюк, Нешков Просвещение . 

➜ Ответ к заданию №137 — готовое решение к учебнику по Алгебре 7 класс (упражнение 137 ) . Авторы: Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк, К .И . Нешков, С .Б . Суворова, С . А  Ответы к учебнику по алгебре за 7 класс Макарычев , Миндюк , Нешков, Суворова — номер 137 . Общая оценка 

ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев , Миндюк номер 137 . Автор  ГДЗ (готовые домашние задания ), решебник онлайн по алгебре за 7 класс авторов Макарычев , Миндюк задание (номер ) 137 — вариант решения упражнения 137 . 

Макарычев 7 класс — > Алгебра 7 класс Макарычев задача № 137 . Подробное решение задачи по алгебре № 137 . 

Математический словарь . Главная ГДЗ ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев 1997-2001-2003 г онлайн . 

Всё для учебы » ГДЗ бесплатно » » Номер 137 — ГДЗ по алгебре , 7 класс , Макарычев . Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D . Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями 

Видео решение к номеру 137 по алгебре за 7 класс , авторов Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк , К .И . Нешков, С .Б . Суворова . Более подробное гдз к этому заданию можно . .
Задача 137 . Летсплей по cтейлс хоррору с вебкой и ором . 

В ГДЗ к пособию авторов Макарычев , Миндюк, Нешков, Суворова делается акцент на главных понятиях предмета, а также объясняется каждая новая формула . Используя решебник для самопроверок и подсказок подросток не будет отставать от трудной школьной программы и . . 

Решения с подробным объяснением и ГДЗ : Алгебра 7 класс Макарычев , Миндюк, Нешков — Учебник .  В седьмом классе школьники познакомятся с базовыми понятиями алгебры, с которыми они будут постоянно сталкиваться впоследствии . 

ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев , Миндюк , Нешков, Суворова онлайн решебник к учебнику . Для того, чтобы стать отличником, вовсе не обязательно нанимать репетитора . Правильные решения и ответы на все задания, включая задачи повышенной сложности, вы найдете в . . 

ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер задания №137 по учебнику Алгебра 7 класс : учебник для общеобразовательных учреждений Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк, К .И . Нешков, С .Б . Суворова; Просвещение, -2019 

ГДЗ : готовые ответы по алгебре за 7 класс , решебник Ю .Н . Макарычев Углубленный уровень, онлайн решения на GDZ .RU .
Гдз по алгебре за 7 класс Макарычев , Миндюк ответ на номер № 137 . Авторы: Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк , К .И . Нешков, С .Б . Суворова . Издательство: Просвещение год . Тип: Учебник . Подробный решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой ) класс . . 

Задача №137 , ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева . Ответы из решебника . Макарычев , Миндюк, Нешков . 

ФГОС Макарычев , Миндюк , Нешков Просвещение > Задание : 137 . Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст . 1274 п . 1  ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев , Миндюк, Нешков Просвещение . 

➜ Ответ к заданию №137 — готовое решение к учебнику по Алгебре 7 класс (упражнение 137 ) . Авторы: Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк, К .И . Нешков, С .Б . Суворова, С . А  Ответы к учебнику по алгебре за 7 класс Макарычев , Миндюк , Нешков, Суворова — номер 137 . Общая оценка 

ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев , Миндюк номер 137 . Автор  ГДЗ (готовые домашние задания ), решебник онлайн по алгебре за 7 класс авторов Макарычев , Миндюк задание (номер ) 137 — вариант решения упражнения 137 . 

Макарычев 7 класс — > Алгебра 7 класс Макарычев задача № 137 . Подробное решение задачи по алгебре № 137 . 

Математический словарь . Главная ГДЗ ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев 1997-2001-2003 г онлайн . 

Всё для учебы » ГДЗ бесплатно » » Номер 137 — ГДЗ по алгебре , 7 класс , Макарычев . Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D . Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями 

Видео решение к номеру 137 по алгебре за 7 класс , авторов Ю .Н . Макарычев , Н .Г . Миндюк , К .И . Нешков, С .Б . Суворова . Более подробное гдз к этому заданию можно . .
Задача 137 . Летсплей по cтейлс хоррору с вебкой и ором . 

В ГДЗ к пособию авторов Макарычев , Миндюк, Нешков, Суворова делается акцент на главных понятиях предмета, а также объясняется каждая новая формула . Используя решебник для самопроверок и подсказок подросток не будет отставать от трудной школьной программы и . . 

Решения с подробным объяснением и ГДЗ : Алгебра 7 класс Макарычев , Миндюк, Нешков — Учебник .  В седьмом классе школьники познакомятся с базовыми понятиями алгебры, с которыми они будут постоянно сталкиваться впоследствии . 

ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев , Миндюк , Нешков, Суворова онлайн решебник к учебнику . Для того, чтобы стать отличником, вовсе не обязательно нанимать репетитора . Правильные решения и ответы на все задания, включая задачи повышенной сложности, вы найдете в . . 

ГДЗ часть №1 / упражнение 246 русский язык 3 класс
ГДЗ страница 194 английский язык 5 класс Абдышева, Балута
ГДЗ упражнение 849 алгебра 7 класс Колягин, Ткачева
ГДЗ часть 2 (страница) 40 литература 4 класс рабочая тетрадь Кубасова
ГДЗ номер 1067 алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ упражнение 225 алгебра 8 класс Колягин, Ткачева
ГДЗ вправа 590 алгебра 7 класс Истер
ГДЗ упражнение / вариант 2 107 алгебра 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ страница 162 английский язык 5 класс Несвит
ГДЗ часть 2. страница 49 русский язык 2 класс рабочая тетрадь к учебнику Канакиной Тихомирова
ГДЗ упражнение 606 геометрия 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ страница 10 история 5 класс тетрадь-тренажер Уколова
ГДЗ часть №2 / упражнение 143 русский язык 3 класс
ГДЗ часть 2 / упражнение 17 русский язык 4 класс Канакина, Горецкий
ГДЗ вправа 378 математика 5 класс Истер
ГДЗ упражнение 1133 математика 5 класс Истомина
ГДЗ вопрос / § 2. Система географических координат 2 география 6 класс Домогацких, Алексеевский
ГДЗ упражнение 79 физика 7 класс рабочая тетрадь Пурышева, Важеевска
ГДЗ § 6 16 алгебра 9 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ часть 2 Урок 2 математика 3 класс Петерсон
ГДЗ контрольная работа / КР-4 / вариант 2 4 алгебра 8 класс Задачник Мордкович, Александрова
ГДЗ вправа 886 алгебра 8 класс Бевз, Бевз
ГДЗ контрольная работа / К-2 / вариант 1 4 алгебра 7 класс дидактические материалы Потапов, Шевкин
ГДЗ номер 692 алгебра 9 класс Дорофеев, Суворова
ГДЗ задание 54 алгебра 7 класс рабочая тетрадь Лебединцева, Беленкова
ГДЗ упражнение 73 математика 5 класс Истомина
ГДЗ часть №1 / упражнение 218 русский язык 3 класс
ГДЗ контрольное задание §10 математика 5 класс Зубарева, Мордкович
ГДЗ упражнение 77 алгебра 9 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова
ГДЗ задача 59 информатика 3 класс рабочая тетрадь Рудченко, Семенов
ГДЗ проверь себя / глава 7 4 физика 11 класс Касьянов
ГДЗ Строение нервной системы 1 биология 9 класс Сапин, Сонин
ГДЗ 8 класс / тема 6 / работа 2 3 химия 8‐9 класс дидактический материал Радецкий
ГДЗ упражнение 112 геометрия 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ контрольные работы / контрольная работа 2 / вариант 2 9 физика 9 класс дидактические материалы Марон, Марон
ГДЗ страница 118 английский язык 3 класс Spotlight Быкова, Эванс
ГДЗ номер 400 алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ по английскому языку 3 класс контрольные работы Rainbow Афанасьева, Михеева Решебник
ГДЗ упражнение 180 русский язык 2 класс Бунеев, Бунеева
ГДЗ глава 2 / параграф 4 / упражнение 10 математика 5 класс Козлов, Никитин
ГДЗ номер 986 алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ § 5 5.9 физика 7 класс задачник Генденштейн, Кирик
ГДЗ глава 15 15.6 химия 8‐11 класс сборник задач и упражнений Хомченко
ГДЗ лабораторная работа 11 физика 8 класс Перышкин
ГДЗ часть 1. задание 147 математика 3 класс рабочая тетрадь Захарова, Юдина
ГДЗ глава 14. задача 1186 геометрия 7‐9 класс Атанасян, Бутузов
ГДЗ упражнение 118 алгебра 7 класс Колягин, Ткачева
ГДЗ вариант 1 / С-18 3 алгебра 9 класс дидактические материалы Звавич, Дьяконова
ГДЗ § 6 17 алгебра 8 класс задачник Мордкович, Звавич
ГДЗ упражнение 342 русский язык 5 класс Разумовская, Львова

ГДЗ По Самостоятельным 10 Класс Алгебра

ГДЗ По Русскому Языку 7 Класс Белый

ГДЗ вправа 16 украинский язык 5 класс Ермоленко, Сычева

ГДЗ По Русскому Номер 12 6 Класс

ГДЗ Сборник Упражнений 8


ГДЗ: Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков

Алгебра 8 класс

Тип: Учебник

Авторы: Макарычев, Миндюк, Нешков

Издательство: Просвещение

В восьмом классе школьники познакомятся с базовыми понятиями алгебры, с которыми они будут постоянно сталкиваться впоследствии. Уравнения и их системы пригодятся даже в далекой от математики жизни. Функции, вычисление их точек и построение в системе координат используются в разных смежных областях знаний. Формулы сокращенного выражения применяются в течение всего школьного курса обучения и входят в задания ЕГЭ. Самое главное, проходя новые темы, не пройти мимо них. А для этого надо хорошо и глубоко в них разбираться. С этой целью отлично подходит онлайн-решебник к учебнику «Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков Просвещение».

Что найдете в решебнике

В учебнике сорок шесть тем, содержащихся в шестнадцати параграфах, есть дополнительные упражнения и задачи «Для тех, кто хочет знать больше», а также задания повышенной трудности. Решение каждого упражнения объяснено в сборнике «ГДЗ по Алгебре 8 класс Макарычев», найти его можно по номеру или странице. В пособии рассмотрены все темы основного курса восьмого класса:

  1. Линейные функции.
  2. Извлечение корня и возведение в степень.
  3. Решение системы уравнений с двумя неизвестными.

Изучив образец решения, ученик сможет понять и надежно запомнить порядок выполнения всех программных заданий.

Как может пригодиться решебник

Пока учитель у доски объясняет новую тему и пошагово разбирает решение конкретного примера, все кажется понятным. Но не каждый подросток сможет воспроизвести решение (даже того же самого примера) дома самостоятельно. Зато он сможет ориентироваться на онлайн-решебник к учебнику «Алгебра 7 класс Макарычев» в процессе решения домашней работы: сравнивать примененный алгоритм решения с предложенным в пособии, пользоваться подсказкой при затруднении и правильно ориентироваться среди однотипных, но далеко не одинаковых формул.

Работаем с пособием правильно

Для того, чтобы достичь максимальный эффект от работы с пособием, школьник (возможно, с помощью родителей) должен правильно организовать свою работу с ним:

  • сначала необходимо самостоятельно решить задачу;
  • только после этого проверить, совпадает ли свой ответ с вариантом решебника;
  • исправить недочеты в решении и оформлении задания.

Именно такой алгоритм работы позволит добиться стабильно высокой успеваемости без обращения к профессиональным репетиторам и лишних затрат времени.

ГДЗ по Алгебре 8 класс Макарычев, Миндюк Учебник

ГДЗ по Алгебре 8 класс Макарычев созданы для оказания помощи школьникам в изучении новых тем по данному предмету. Если у учеников возникают трудности в школе, то это пособие для них. Ребенок всегда сможет обратиться к нему и проверить выполненные домашние задания. Ведь через год ОГЭ и нельзя пропускать ни одной темы!

Если школьник всегда получает плохие оценки, настало время обратиться за помощью. Решебник по алгебре 8 класс содержит все темы по программе. Материал безусловно станет помощником для вашего ребенка в улучшении оценок, а возможно даже поможет стать отличником по данному предмету. Ведь даже если провести целый день за учебником, читая сухую теорию, это не поможет понять ход решения задачи.

Номера упражнений
Глава 1

Глава 2

Глава 3

Глава 4

Глава 5

Задачи повышенной трудности

Контрольные вопросы и задания

< Предыдущая

1

Следующая >

Решебник по алгебре 8 класс Макарычева – ответы к учебнику 2013-2017 г

Не каждый может позволить оплатить услуги репетитора. Материал ГДЗ к учебнику автора Макарычева прост и удобен в пользовании. С ним ученик почувствует уверенность при выполнении домашней работы, а родитель всегда сможет проверить знания ребенка или же оказать помощь при решении затруднительных упражнений.

Сборник поможет освоить все темы восьмого класса, которые необходимы для продолжения обучения в следующем году:

  1. Рациональные дроби – сокращения, умножение и деление, сложение и вычитание, преобразования.
  2. Квадратные корни – из произведения, свойства, в квадрате, из суммы или разности, из степени, умножение, вынесение и внесение множителя.
  3. Квадратные уравнения – полные, неполные, приведенные.
  4. Неравенства – строгие линейные, дробные, двойные.
  5. Степени с целым показателем – правила вычисления, тождественные преобразования, поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот, возведение числа 10 в целую отрицательную степень, стандартный вид числа.
  6. Элементы статистики – выборка, объем, размах, среднее арифметическое, средняя скорость движения, мода и медиана, частота, относительная частота.
    1. Читать решебник удобно с любого устройства онлайн. Старшеклассник быстро разберется, как получить доступ к верным ответам по алгебре 8 класс Миндюк. Достаточно просто выбрать нужный номер упражнения. Разнообразные задания подробно прорешены специалистами.

      Программа становится сложнее с каждым годом. А переход из седьмого класса в восьмой особенно сложный, так как учеников начинают усиленно подготавливать к предстоящим экзаменам. Размер домашних заданий увеличивается не только по алгебре 8 класс, но и по другим предметам. Школьники вынуждены все свободное время после школы сидеть над учебниками и тетрадями, и даже в выходные дни. А ведь у многих есть еще дополнительные занятия в кружках. Родители заняты домашними хлопотами и другими проблемами не меньше детей. Даже если они хорошо разбираются в математике, то у них просто нет времени ни на проверку домашней работы подростка, ни тем более на помощь. Достаточно просто обратиться за помощью к сборнику с ответами, не обращаясь к репетиторам, и не получая плохих отметок.

      Преимущества данного сборника ГДЗ перед другими:

      1. Все ответы подготовлены в соответствии с учебной программой. Учитель никогда не догадается, что вы списали.
      2. В разработке участвовали математики, а также преподаватели алгебры.
      3. Во многих упражнениях вы найдете подробные комментарии, которые помогут вам разобраться, как были получены такие данные.
      4. Понятный и удобный для использования интерфейс сайта, где за секунду вы найдете нужный ответ.
      5. Возможность использования со смартфона или планшета, что удобно для применения на уроке во время самостоятельных работ или на перемене, если вы не успели сделать домашнее задание дома.
      6. Все решения доступны абсолютно бесплатно. Просто берите и списывайте!

      Пособие содержит разобранные ответы абсолютно на все задания учебника. Это поможет не только выполнить домашнее задание и прийти на урок подготовленным, но и проработать ранее пройденный материал, разобрать решение примеров, уравнений и задач, быть уверенно подготовленным к самостоятельным и контрольным работам, на которых списать уже не получится.

      С помощью уникальной навигации пользователи сайта найдут нужные им задания по алгебре. Это исключает расхождения между ответами и учебником. Версия решенных упражнений актуальна на текущий год, все задания совпадают с последней версией учебника.
      Надеемся, что теперь каждый учащийся получит достаточное количество объяснений, чтобы в дальнейшем получать только отличные оценки и готовиться к поступлению в другие учебные заведения!

КТП по алгебре 8 класс ( Макарычев Ю.Н.) | Календарно-тематическое планирование по алгебре (8 класс) на тему:

Дата

№ п/п

Тема

Количество

часов

Домашнее задание

Повторение курса алгебры 7 класса

   5ч

3,09

1

Многочлены. Формулы сокращенного умножения

1

5,09

2

Разложение многочлена на множители

1

7,09

3

Уравнения

1

10,09

4

Функции и их графики

1

12,09

5

Входная контрольная работа

1

Рациональные дроби

23ч

14.09

6

Рациональные выражения

1

П.1,№2,4

17.09

7

Рациональные выражения.

1

П.1,№6,9

19.09

8

Рациональные выражения.

1

П.1,№12.

21.09

9

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

1

П.2,№23(а,б),24(а,б),25(а,б).

24.09

10

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

1

П.2, №26(а,б),28(а,б).

26.09

11

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

1

П.2, №29(а,б),30(а,б).

28.09

12

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

1

П.3,№53(а,б),54(а,б).

1.10

13

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

1

П.3№56(а,б),57(а,б).

3.10

14

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1

П.4,№73(а,б),74(а,б),75а.

5.10

15

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

1

П.4,№76(а,б,77(а,б)

8.10

16

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1

П.4,№78(а,б),79(а,б).

10.10

17

Контрольная работа №1 «Сложение и вычитание дробей».

1

П1-4.

12.10

18

Умножение дробей. Возведение дроби в степень.

1

П.5,№№108(а,б),109(а,б),110(а,б)

15.10

19

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

1

П.5,№115(а,б),116(а,б),117(а,б)

17.10

20

Деление дробей

1

П.6,№132(а,б),133(а,б),134(а,б).

19.10

21

Деление дробей

1

П.6, №137(а,б,в,г),138а.

22.10

22

Преобразование рациональных выражений

1

П.7,№148(а,б),149(а,б)

24.10

23

Преобразование рациональных выражений

1

П.7,№150а,151а.

26.10

24

Преобразование рациональных выражений

1

П.7, №152(а,б).

29.10

25

Преобразование рациональных выражений

1

П.7,№153(а,б)

31.10

26

Функция и ее график. Обратная пропорциональность

1

П.8,№179,184.

2.11

27

Функция   и ее график. Обратная пропорциональность.

1

П.8,№186.

2.11

28

       Контрольная работа №2. «Преобразование рациональных выражений. Функция у = к/х»

1

П5-8.

Квадратные корни

19

29

Рациональные числа.

1

П 10; №268бгез, 270, 272б

30

Иррациональные числа.

1

§11,

№ 282 (а, б), 287, 290, творческое задание №316

31

Квадратные корни.

1

§ 12, № 300 (б, г, е, з), 302 (б),

304 (б, г, е),

  1. (в, г),

307

32

Арифметический квадратный корень.

1

§ 13, №322 (а, б, г),

326 (а, б), 329 (б, г, е, з).

33

Уравнение .                            

1

§ 14,

№ 339, 346,

  1. (а, в),
  2. (а, б)

34

Нахождение приближенных значений квадратного корня.

1

§15,

№ 354,356, 357,362

35

Функция  и ее график.

1

П.15,№№355,357.№363(а,б),364(а,б)

36

Квадратный корень из произведения.

1

п.16,№372,373

37

Квадратный корень из дроби.

1

№376(а,б,в),№377(а,б,в)

38

Квадратный корень из степени.

1

п.16,№383(а,б,в),385(а,б)

39

Контрольная работа № 3 по теме «Свойства арифметического квадратного корня»

1

40

Вынесение множителя из-под знака корня.

1

§ 18, №408 (б, г, е), 409 (а, в, д, ж), 412 (а, б, е)

41

Внесение множителя под знак корня.

1

§ 18, №410 (а, б, в), 411,

  1. (а, б),
  2. (а, в)

42

Освобождение от иррациональности в знаменателе.

1

§ 18,№416, 419, 420 (б)

43

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

1

§ 19, №421 (в, д),424 (а, в, д, е), 425 (б)

44

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

1

§ 19, №427 (а, г, е),428        (6, з, е),

429        (в, г, е)

45

Упрощение иррациональных выражений.

1

П19,№432(а,б,в),433(а,б,в)

46

Урок обобщения и систематизации знаний.

1

§ 19,№ 437 (а), 439, 441, 505 (а, б), 442 (устно)

47

Контрольная работа № 4 по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

1

Квадратные уравнения

21

48

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.

1

П.21,№№513(а,б,в),515(а,б,в),

49

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.

1

П.21,№517(а,б,в),521(а,б)

50

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

1

П.22,№533(а,б),534(а,б,в,г,д)

51

Формула корней квадратного уравнения.

1

П.22, 535(а,б,в),536(а,б,в)

52

Формула корней квадратного уравнения.

1

П.22,№539(а,б,в,г)

53

Формула корней квадратного уравнения.

1

П.22,№540(а,б,в,г),541(а,б,в,г)

54

Решение задач с помощью квадратных уравнений

1

П.23,№561

55

Решение задач с помощью квадратных уравнений

1

П.23№563

56

Решение задач с помощью квадратных уравнений

1

П.23,№567

57

Теорема Виета

1

П.24,%80(а,б,в,г),583(а,б)

58

Контрольная работа №5. «Решение квадратных уравнений»

1

П21-24.

59

Решение дробных рациональных уравнений.

1

П.25,№600(а,б,в)

60

Решение дробных рациональных уравнений.

1

П.25,№601(а,б,в,г)

61

Решение дробных рациональных уравнений.

1

П25,№602(а,б,в,г)

62

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

1

П25,№603(а,б,в)

63

Решение задач на движение.

1

П.26,,№619

64

Решение задач на работу.

1

П.26,№621

65

Решение задач на сплавы и смеси.

1

П.26,№629

66

Графический способ решения уравнений.

1

§27,

№ 872,611, 693,694

67

Графический способ решения уравнений.

1

П27,№612

68

Контрольная работа №6

«Решение дробных рациональных уравнений»

1

П25-26.

Неравенства

20

69

Числовые неравенства

1

П.28,№728(а,б) № 729, 731 (в, г), 733

70

Числовые неравенства

1

П.28,№730(а,б) № 735 (б), 737, 743, 745 (а)

71

Свойства числовых неравенств

1

П.29,751(а,б,в),754(а,б)

72

Свойства числовых неравенств

1

П.29,№757(а,б,в),758(а,б)

73

Сложение и умножение числовых неравенств

1

П.30,765а,766а,

767а.

74

Сложение и умножение числовых неравенств

1

П.30,№768(а,б),

769(а,б)

75

Погрешность и точность приближения

1

П.33,№812(а,б,в),815(а,б)

76

Контрольная работа №7 по теме «Свойства числовых неравенств»

1

77

Пересечение и объединение множеств

1

§ 32,№ 802,805, 808

78

Числовые промежутки

1

§ 33N 814, 817, 819

79

Числовые промежутки

1

§ 33 № 822,825, 828,831

80

Решение неравенств с одной переменной

1

§34,№ 835 (а, б), 836 (в, г, ж, з, л, м), 838

81

Решение неравенств с одной переменной

1

§ 34, № 840 (б, в, ж, з), 841 (в, г, з)

82

Решение неравенств с одной переменной

1

§34,№ 843 (б), 844 (а, в, г, е, ж),

846 (а, г), 848 (б)

83

Решение неравенств с одной переменной

1

П.33,№816(а,б),818

84

Решение систем неравенств с одной переменной

1

П.34,№835(а,б)836(а,б,в,г)

85

Решение систем неравенств с одной переменной

1

П.34,№841(а,б,в,г)

86

Решение систем неравенств с одной переменной

1

П.34,№849(а,б),850(а,б)

87

Решение систем неравенств с одной переменной

1

П.34,№852(а,б,в),853(а,б,в)

88

Контрольная работа №8 по теме «Решение неравенств с одной переменной».

1

П.35,№876(а,б),879(а,б)

Степень с целым показателем. Элементы статистики

11

89

Определение степени с целым отрицательным показателем

1

П.37,№966(а,967а

90

Определение степени с целым отрицательным показателем

1

П.37,№968(а,б,в,г,д),969(а,б,в)

91

Свойства степени с целым показателем

1

П.38,№989)а,б,в),991(а,б)

92

Свойства степени с целым показателем

1

П.38,№999(а,б,в),1002(а,б,в)

93

Стандартный вид числа

1

П.39,1014(а,б,в),1016(а,б,в)

94

Стандартный вид числа

1

П.39,№1019

95

Контрольная работа № 9 по теме «Степень с целым показателем».

1

П.39,№1023

96

Сбор и группировка статистических данных.

1

П.40,№1029

97

Сбор и группировка статистических данных.

1

П.40,1033

98

Наглядное представление статистической информации.

1

П.41,№1043

99

Наглядное представление статистической информации.

1

П.41,№1045

100

Повторение

1

Сайт «Решу ОГЭ» индивид. задания

101

Контрольная работа №10 «Итоговая контрольная работа»

1

102

Контрольная работа №10 «Итоговая контрольная работа»

1

«История квадратных уравнений». Из истории квадратных уравнений

Из истории квадратных уравнений Автор: ученица 9 «А» класса Светлана Радченко Научный руководитель: Алабугина И.А. учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №5 г. Гурьевска» Кемеровской области Предметная область презентации: математика Выполнено в помощь учителю Всего 20 слайдов Содержание Введение ………………………………………… …………………… …………… 3 Из истории возникновения квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне ………………………………….4 Квадратные уравнения в Индии ……………………………………… ……… … 5 Квадратные уравнения Аль-Хорезми ……………………………………… 6 Как Диофант составил и решил квадратные уравнения …………………………………… 7 Квадратные уравнения в Европе XII — XVII веков ……………………………… … 8 3. Квадратные уравнения сегодня ……………………………………………… .10 Методы исследования квадратных уравнений ……………………………………… 11 10 способов решения квадратных уравнений ……… …………………………… .12 Алгоритм решения неполных квадратных уравнений ………… ……………… 13 Алгоритм решения полного квадратного уравнения …………………………..14 ​​Решение приведенных квадратных уравнений ………………………………… 15 4. Практическое применение квадратных уравнений для решения прикладных задач …………………………………………… ………………………………… .16 5. Заключение. ………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Список использованной литературы …………………………… …… …………… .19 2 Введение Считать день или час несчастливыми, когда вы не узнали ничего нового, ничего не добавляло к вашему образованию. Ян Амос Коменский 3 Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится великолепное здание алгебры.Они широко используются при решении тригонометрических, экспоненциальных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Квадратные уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. Их изучению уделяется много времени в школьном курсе математики. В основном квадратные уравнения служат конкретным практическим целям. Большинство проблем пространственных форм и количественных соотношений реального мира сводятся к решению различных типов уравнений, в том числе квадратных.Осваивая способы их решения, люди находят ответы на различные вопросы науки и техники. Из истории происхождения квадратных уравнений Древний Вавилон: уже около 2000 года до нашей эры вавилоняне умели решать квадратные уравнения. Были известны методы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Например, в Древнем Вавилоне решались следующие квадратные уравнения: 4 Индия. Проблемы, решаемые квадратными уравнениями, можно найти в трактате по астрономии «Арьябхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Арьябхатой в 499 году нашей эры.Другой индийский ученый, Брахмагупта, сформулировал универсальное правило решения квадратного уравнения, приведенного к канонической форме: ax2 + bx = c; более того, предполагалось, что все коэффициенты в нем, кроме «а», могут быть отрицательными. Сформулированное учеными правило по сути совпадает с современным. 5 Квадратные уравнения в Аль-Хорезми: В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 типов уравнений, выражая их так: «Квадраты равны корням», т.е. ax2 = bx.; «Квадраты равны числу», то есть ax2 = c; «Корни равны числу», то есть ax = c; «Квадраты и числа равны корням», т.е. ax2 + c = bx; «Квадраты и корни равны числу», то есть ax2 + bx = c; «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + c = ax2. 6 Как Диофант составлял и решал квадратные уравнения: одним из самых необычных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский. До сих пор ни год рождения, ни дата смерти Диофанта не уточнены; считается, что он жил в 3 веке.Из работ Диофанта наиболее важной является арифметика, из 13 книг которой до наших дней сохранилось только 6. В «Арифметике Диофанта» нет систематического изложения алгебры, но она содержит ряд задач, сопровождаемых пояснениями и решаемых путем составления уравнений разной степени. При составлении уравнений Диофант умело выбирает неизвестные, чтобы упростить решение. 7 Квадратные уравнения в Европе XII-XVII веков: итальянский математик Леонард Фибоначчи независимо разработал несколько новых алгебраических примеров решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел.Общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме x2 + bх = c со всеми возможными комбинациями знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 году Майклом Штифелем. 8 Франсуа Вьет Французский математик Ф. Вьет (1540–1603) ввел систему алгебраических символов, развил основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто начал обозначать числа буквами, что существенно развило теорию уравнений. Виета имеет общий вывод формулы для решения квадратного уравнения, но Вьет распознал только положительные корни.9 Квадратичные уравнения сегодня Способность решать квадратные уравнения служит основой для решения других уравнений и их систем. Обучение решению уравнений начинается с их простейших типов, и программа определяет постепенное накопление как их типов, так и «фонда» идентичных и эквивалентных преобразований, с помощью которых произвольное уравнение может быть сведено к простейшему. В этом направлении также должен выстраиваться процесс формирования обобщенных методов решения уравнений в школьном курсе алгебры.В курсе математики в средней школе студенты сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных уравнений 10 Методы изучения квадратных уравнений С началом курса систематической алгебры основное внимание уделяется способам решать квадратные уравнения, которые становятся предметом особого изучения. Эта тема отличается большой глубиной изложения и множеством устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логической обоснованностью изложения.Поэтому он занимает исключительное положение в ряду уравнений и неравенств. Важным моментом при изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, утверждающей наличие связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Сложность усвоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, необходимо учесть различие прямой и обратной теорем. 11 10 способов решить квадратные уравнения: Факторизация левой части уравнения.Метод выбора полного квадрата. Решение квадратных уравнений по формуле. Решение уравнений по теореме Виета. Решение уравнений методом «переноса» Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Графическое решение квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. 12 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Геометрический способ решения квадратных уравнений. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений 1) если уравнение имеет вид ax2 = 0, то оно имеет один корень x = 0; 2) если уравнение имеет вид ax2 + bx = 0, то используется метод факторизации: x (ax + b) = 0; следовательно, либо x = 0, либо ax + b = 0.В результате получается два корня: x1 = 0; x2 = 3) если уравнение имеет вид ax2 + c = 0, то оно преобразуется к виду ax2 = — c и затем x2. = В случае, когда — 0, т.е. — = m, где m> 0, уравнение x2 = m имеет два корня. Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и не иметь корня. 13 Алгоритм решения полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — заданные числа, а ≠ 0, x неизвестно.Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать в форму, чтобы определить количество корней квадратного уравнения и найти эти корни. Рассмотрены следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D 0. 1. Если D 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам :; 14 Решение приведенных квадратных уравнений Теорема Ф. Виета: Сумма корней сокращенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.Другими словами, если x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + px + q = 0, то x1 + x2 = — p, x1 x2 = q. (*) Теорема, обратная теореме Виета: если для чисел x1, x2, p, q верны формулы (*), то x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + px + q = 0. 15 Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных задач Бхаскара (1114-1185) — крупнейшего индийского математика и астронома XII века. Он возглавлял астрономическую обсерваторию в Удджайне.Бхаскара написал трактат «Сиддханта-широмани» («Корона познания»), состоящий из четырех частей: «Лилавати» посвящена арифметике, «Бидждаганита» — алгебре, «Голадхая» — сферике, «Гранхаганита» — теории познания. планетарные движения. Бхаскара получил отрицательные корни уравнений, хотя сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из первых проектов вечного двигателя. 16 Одна из задач известного индийского математика XII века. Бхаскарас: Решение Бхаскары указывает на то, что автор знал о двузначных корнях квадратных уравнений.17 Заключение Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло долгий и тернистый путь. Только после работ Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид. Важность квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя это тоже очень важно. Не менее важно, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач часто открываются новые детали, могут быть сделаны интересные обобщения и уточнения, подсказанные анализом полученных формул и соотношений.Изучая литературу и Интернет-ресурсы, связанные с историей развития квадратных уравнений, я спросил себя: «Что побудило ученых, живших в такое тяжелое время, заниматься наукой даже под угрозой смерти?» Наверное, в первую очередь, это пытливость человеческого разума, которая является залогом развития науки. Вопросы о сущности Мира, о месте человека в этом мире не всегда дают покоя людям мыслящим, любознательным, разумным.Люди всегда стремились понять себя, свое место в мире. Загляните внутрь себя, может страдает ваше природное любопытство, потому что вы поддались повседневной жизни, лени? Судьбы многих ученых — 18 образцов для подражания. Не все имена известны и популярны. Подумайте: какой я для окружающих меня людей? Но самое главное, как я себя чувствую, достойно ли это уважения? Подумайте … Литература 1. Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М., 2002. 2.Савин Ю.П. «Энциклопедический словарь молодого математика», М., 1985. 3. Ю.Н. Макарычев «Алгебра 8 класс», М., 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido. rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427. html 19 Благодарю за внимание 20

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы освоили методы решения квадратных уравнений.

Впервые математики Древнего Египта смогли решить квадратное уравнение. Один из математических папирусов содержит задачу:

«Найдите стороны поля в форме прямоугольника, если его площадь равна 12, а — длины равны ширине». «Длина поля 4», — указано в папирусе.

Прошли тысячи лет, отрицательные числа вошли в алгебру. Решая уравнение x² = 16, получаем два числа: 4, –4.

Конечно, в задаче египтян мы бы взяли X = 4, так как длина поля может быть только положительным значением.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели некоторыми общими методами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по существу совпадает с современным, но неизвестно, как вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах даются только задачи с решениями.Авторы лишь изредка снабжали свои числовые расчеты скудными комментариями вроде: «Смотри!», «Сделай это!», «Вы правильно сочли!»

Греческий математик Диофант составил и решил квадратные уравнения. В его «Арифметике» нет систематического изложения алгебры, но он содержит систематизированный ряд задач, сопровождаемых пояснениями и решаемых путем составления уравнений разной степени.

Проблемы составления квадратных уравнений уже встречаются в астрономическом трактате «Ария-бхатиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Арьябхаттой.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII век) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида ax² + bx = c.

В древней Индии общественное соревнование за решение сложных задач было обычным делом. В одной из древнеиндийских книг о таких соревнованиях говорится следующее: «Как солнце затмевает звезды своим сиянием, так и образованный человек затмевает славу другого на народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Проблемы часто обладали в поэтическую форму.

Вот одна из задач известного индийского математика XII века. Бхаскары:

Резвая стая обезьян

Я наелся досыта и повеселился.

Восьмая часть квадрата забавлялась на поляне.

И двенадцать над виноградными лозами … начали прыгать, висеть …

Сколько было обезьян

Подскажите, в этом паке?

Решение Бхаскары указывает на то, что он знал о двузначных корнях квадратных уравнений.

Самые древние дошедшие до нас китайские математические тексты относятся к концу I века. ДО Н.Э. Во II в. ДО Н.Э. была написана «Математика в девяти книгах». Позже, в VII веке, он был включен в сборник «Десять классических трактатов», который изучался на протяжении многих веков. Математика в девяти книгах объясняет, как извлечь квадратный корень, используя формулу квадрата суммы двух чисел.

Метод получил название «тянь-юань» (дословно — «небесная стихия») — так китайцы обозначали неизвестную величину.

Первым широко известным руководством по решению проблем была работа багдадского ученого IX века. Мохаммед бин Муса аль-Хорезми. Слово «аль-джабр» со временем превратилось в хорошо известное слово «алгебра», а сама работа аль-Хорезми стала отправной точкой в ​​формировании науки о решении уравнений. Алгебраический трактат Аль-Хорезми дает классификацию линейных и квадратных уравнений. Автор перечисляет шесть типов уравнений, выражая их следующим образом:

-квадраты равны корням, то есть ah ² = bx;

— количество квадратов равно ah ² = s;

-корни равны числу, то есть ax = c;

-квадраты и числа равны корням, то есть ah ² + c = bx;

-квадраты и корни равны числу, то есть ah ² + bх = c;

-корни и числа равны квадратам, то есть bx + c = ax ²;

Трактат аль-Хорезми — первая дошедшая до нас книга, в которой систематически представлена ​​классификация квадратных уравнений и даны формулы для их решения.

Формулы для решения квадратных уравнений на модели аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абаков», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор самостоятельно разработал несколько новых алгебраических примеров решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы.Многие задачи из «Книги Счетов» вошли практически во все европейские учебники XVI-XVII веков. и частично в 18 веке.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме x ² ​​+ bх = c, со всеми возможными комбинациями знаков коэффициентов b и c было сформулировано в Европе только в 1544 г. М. Штифелем.

Виета имеет общий вывод формулы для решения квадратного уравнения, но он также распознал только положительные корни.Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли были одними из первых в 16 веке. учитывать помимо положительных и отрицательных корней. Только в XVII веке, благодаря работам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, метод решения квадратных уравнений приобрел современный вид.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с поиском участков земли и земляных работ военного характера, а также развитие астрономии и самой математики.Вавилоняне смогли решать квадратные уравнения примерно за 2000 лет до нашей веры. Используя современные алгебраические обозначения, мы можем сказать, что в их клинописных текстах, помимо неполных, есть такие, например, полные квадратные уравнения: правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным один, но неизвестно, как вавилоняне дошли до этого правила. Почти во всех найденных до сих пор клинописных текстах упоминаются только проблемы, решения которых изложены в форме рецептов, без инструкций относительно того, как они были найдены.Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как Диофант составил и решил квадратные уравнения «Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение равно 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи следует, что искомые числа не равны, поскольку если они были равны, то их произведение было бы равно не 96, а 100.Таким образом, у одного из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + X, у другого меньше, т.е. 10-X. Разница между ними 2Х Следовательно, Х = 2. Одно из искомых чисел — 12, другое 8. Решение Х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. УРАВНЕНИЕ: или:

Квадратные уравнения в Индии Задачи для квадратных уравнений также можно найти в астрономическом трактате «Арьябхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Арьябхаттой.Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax ² + bx = c, a> 0 Одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскара Резвая стая обезьяны, съев как можно больше, повеселились. Их часть восьмая в квадрате На лугу я развлекался. И двенадцать на виноградных лозах … Мы начали прыгать, пока висели … Сколько было обезьян, Скажите, в этой стае ?. Уравнение, соответствующее задаче: Башкара пишет под видом: Завершил левую часть до квадрата, 0 Одна из задач известного индийского математика XII века Бхаскара.Резвая стая обезьянок, наевших как можно больше и развлекающихся. Их часть восьмая в квадрате На лугу я развлекался. И двенадцать на виноградных лозах … Мы начали прыгать, пока висели … Сколько было обезьян, Скажите, в этой стае ?. Уравнение, соответствующее задаче: Баскара пишет под видом: Дошла левая часть до квадрата «>

Квадратные уравнения в Древней Азии Вот как центральноазиатский ученый аль-Хорезми решил это уравнение: «Правило таково: раздваиваем количество корней, x = 2x · 5, получаем пять в этой задаче, 5 умножаем. на это равно ему будет двадцать пять, 5 5 = 25 прибавьте это к тридцать девяти, получится шестьдесят четыре, 64 извлеките из этого корень, получится восемь, 8 и вычтите половину количество корней от этого, т.е.е. пять, останется 8-5. 3 это будет корень квадрата, который вы искали. «А второй корень? Второй корень не нашел, так как отрицательные числа не были известны. X x = 39

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме x2 + bx + c = 0, было сформулировано в Европе только в 1544 году Штифелем. Формулы для решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.Вывод формулы для решения квадратного уравнения в общем виде доступен во Вьетнаме, однако Вьет признал только положительные корни. Только в 17 веке. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений принимает современный вид.

О теореме Виета Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, названная Виета, была впервые сформулирована им в 1591 году следующим образом: «Если B + D, умноженное на AA, равно BD, то A равно к B и равно D «.Чтобы понять Виета, следует помнить, что A, как и любая гласная буква, означает для него неизвестное (наш x), а гласные B, D являются коэффициентами неизвестного. На языке современной алгебры приведенная выше формулировка Виета означает: если данное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (сумма корней данного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену) .

Метод факторизации заключается в приведении квадратного уравнения общего вида к виду: A (x) B (x) = 0, где A (x) и B (x) — многочлены по x. Цель: убрать общий множитель за скобки; Использование сокращенных формул умножения; Метод группировки. Методы: Пример:


Квадратичные корни: Если D> 0, Если D 0, Если D «> 0, Если D»> 0, Если D «название =» (! LANG: Квадратичные корни: Если D> 0, Если D «> title = «Квадратные корни: Если D> 0, Если D»> !}

X 1 и x 2 — корни уравнения Решение уравнений с помощью теоремы Виета X 2 + 3X — 10 = 0 X 1 X 2 = — 10, значит, корни имеют разные знаки X 1 + X 2 = — 3, что означает, что корень больше по модулю — отрицательный. Подбирая, находим корни: X 1 = — 5, X 2 = 2 Например:

0, согласно теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5; 6, затем вернемся к корням исходного уравнения: 2.5; 3. Ответ: 2,5; 3. Решение уравнения «название =» (! LANG: Решаем уравнение: 2x 2 — 11x +15 = 0. Переносим коэффициент 2 на свободный член y 2 — 11y + 30 = 0. D> 0, согласно теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5; 6, затем возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3. Ответ: 2,5; 3. Решение уравнения «> 14 !} Решаем уравнение: 2x x +15 = 0. Переносим коэффициент 2 в свободный член yy + 30 = 0. D> 0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5 ; 6, затем возвращаемся к корням исходного уравнения: 2, пять; 3.Ответ: 2,5; 3. Решая уравнения методом «переноса» 0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5; 6, затем возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3. Ответ: 2,5; 3. Решая уравнение «> 0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5; 6, затем возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3. Ответ: 2,5; 3. Решение уравнения по «методу переноса»> 0, по теореме обратимой к теореме Виета, получаем корни: 5; 6, затем вернемся к корням исходного уравнения: 2.5; 3. Ответ: 2,5; 3. Решение уравнения «название =» (! LANG: Решаем уравнение: 2x 2 — 11x +15 = 0. Переносим коэффициент 2 на свободный член y 2 — 11y + 30 = 0. D> 0, согласно теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5; 6, затем возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3. Ответ: 2,5; 3. Решение уравнения «> title = «Решите уравнение: 2x 2 — 11x +15 = 0. Перенесем коэффициент 2 в свободный член y 2 — 11y + 30 = 0.D> 0, согласно обратной теореме Виета, получаем корни: 5; 6, затем возвращаемся к корням исходных уравнений: 2.5; 3. Ответ: 2,5; 3. Решение уравнения «> !}

Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен второму по теореме Виета равен Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета — Пример: Свойства коэффициентов квадратного уравнения 137x x — 157 = 0.a = 137, b = 20, c = a + b + c = — 157 = 0. x 1 = 1, Ответ: 1; 137x x — 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = — 157 = 0. x 1 = 1, Ответ: 1;


Графический способ решения квадратного уравнения Без использования формул квадратное уравнение можно решить графически. Решим уравнение. Для этого построим два графика: X Y X 01 Y012 Ответ: абсциссы точек пересечения графиков будут корнями уравнения.Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня. Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень. Если графики не пересекаются, значит уравнение не имеет корней. 1) у = х2 2) у = х + 1


Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Это старый и незаслуженно забытый метод решения квадратных уравнений, помещенный на стр.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.Для уравнения номограмма дает корни

Геометрический метод решения квадратных уравнений В древние времена, когда геометрия была более развитой, чем алгебра, квадратные уравнения решались не алгебраически, а геометрически. Но, например, как древние греки решали уравнение: или Выражения и геометрически представляют один и тот же квадрат, а исходное уравнение является тем же уравнением. Где мы что берем, или

Заключение Эти решения заслуживают внимания, поскольку не все они отражены в школьных учебниках математики; овладение этими методами поможет студентам сэкономить время и эффективно решать уравнения; необходимость быстрого решения связана с применением тестовой системы вступительных экзаменов;

Из истории квадратных уравнений .

а) Квадратные уравнения в древнем Вавилоне

Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с поиском участков земли и земляных работ военного характера, а также с разработкой астрономия и сама математика. Они смогли решать квадратные уравнения примерно в 2000 году до нашей эры. Вавилоняне. Применяя современные алгебраические обозначения, можно сказать, что в их клинописных текстах, помимо неполных, есть такие, например, полные квадратные уравнения:

х 2 + х =, х 2 — х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по существу совпадает с современным, но неизвестно, как вавилоняне пришли к этому правилу.Почти во всех найденных до сих пор клинописных текстах есть только проблемы с решениями, изложенными в форме рецептов, без инструкций относительно того, как они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, но она содержит систематизированный ряд задач, сопровождаемых пояснениями и решаемых путем составления уравнений разной степени.

При составлении уравнений Диофант умело выбирает неизвестные, чтобы упростить решение.

Вот, например, одна из его задач.

Задача 2. «Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение равно 96».

Диофант рассуждает так: из постановки задачи следует, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы. , я.е. . 10 + х. Другой меньше, то есть 10 — х. Разница между ними в 2 раза. Отсюда уравнение:

(10 + х) (10-х) = 96,

или


100 -x 2 = 96.

Отсюда x = 2. Одно из искомых чисел — 12, другое 8. Решения x = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбрав одно из требуемых чисел в качестве неизвестного, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая половинную разность искомых чисел как неизвестную, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи для квадратных уравнений уже встречаются в астрономическом трактате «Арьябхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Арьябахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме

ох 2 + б х = с, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме и , могут быть отрицательными.Правило Брахмагупты по сути совпадает с нашим.

В Индии общественное соревнование по решению сложных задач было обычным делом. В одной из древнеиндийских книг о таких состязаниях говорится следующее: «Как солнце затмевает звезды своим сиянием, так и ученый затмевает славу на народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Проблемы часто обладали в поэтическую форму.

Вот одна из задач известного индийского математика XII века.Бхаскары.

Цель 3.


Решение Бхаскары показывает, что автор знал о двузначных корнях квадратных уравнений.

Уравнение, соответствующее задаче 3:

Бхаскара пишет под личиной:

x 2 — 64x = — 768

и, чтобы завершить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавьте 32 2 к обеим сторонам, получив тогда:

х 2 — b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(х — 32) 2 = 256,

х 1 = 16, х 2 = 48.

c) Квадратные уравнения Аль-Хорезми

Алгебраический трактат Аль-Хорезми дает классификацию линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 типов уравнений, выражая их так:


  1. «Квадраты равны корням», то есть ax 2 = bx.

  2. «Квадраты равны числу», то есть ax 2 = c.

  3. «Корни равны числу», то есть ax = c.

  4. «Квадраты и числа равны корням», т.е. ax 2 + c = bx.

  5. «Квадраты и корни равны числу», то есть ax 2 + bx = c.

  6. «Корни и числа равны квадратам», то есть bx + c = = ax 2.
Для Аль-Хорезми, который избегал использования отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений складываются, а не вычитаются. При этом не учитываются уравнения, не имеющие положительных решений. Автор намечает способы решения этих уравнений, используя методы аль-джабра и аль-мукабала.Его решение, конечно, не полностью совпадает с нашим. Не говоря уже о том, что это чисто риторический характер, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого типа Аль-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевой решение, наверное, потому, что в конкретных практических задачах это не имеет значения. Решая полные квадратные уравнения, Аль-Хорезми на конкретных численных примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найдите корень »(подразумевает корень уравнения x 2 + 21 = 10x).

Решение: Разделите количество корней пополам, получите 5, умножьте 5 на себя, вычтите 21 из произведения, будет 4. Извлеките корень из 4, вы получите 2. Вычтите 2 из 5, вы получите 3, это будет желаемый корень. Или прибавьте 2 к 5, что даст 7, это тоже корень.

Трактат Аль-Хорезми — первая дошедшая до нас книга, в которой систематически представлена ​​классификация квадратных уравнений и даны формулы для их решения.

г) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы для решения квадратных уравнений по модели аль-Хорезми в Европе были впервые представлены в «Книге абак», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, отражающий влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается как полнотой, так и ясностью изложения. Автор самостоятельно разработал несколько новых алгебраических примеров решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел.Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги Счетов» были перенесены практически во все европейские учебники XVI-XVII веков. и частично XVIII в.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме

x 2 + bx = c,

со всеми возможными комбинациями знаков коэффициентов b , из был сформулирован в Европе только в 1544 году М.Штифель.

Виета имеет общий вывод формулы для решения квадратного уравнения, но Виета распознал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли были одними из первых в 16 веке. Рассмотрим, помимо положительных, и отрицательные корни. Только в 17 веке. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира.Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-калькуляторами (XX-VI вв. До н.э.), носила расчетный характер. Однако даже тогда время от времени возникали проблемы, в которых желаемое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, которые, с нашей современной точки зрения, требуют составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения подобных задач использовались арифметические методы.Позже начали формироваться зачатки алгебраических концепций. Например, вавилонские калькуляторы умели решать задачи, которые с точки зрения современной классификации сводятся к уравнениям второй степени. Был создан метод решения словесных задач, который в дальнейшем послужил основой для выявления алгебраической составляющей и ее самостоятельного изучения.

Это исследование было выполнено уже в другую эпоху, сначала арабскими математиками (VI-X вв. Н.э.), которые различали характерные действия, с помощью которых уравнения приводились к стандартной форме, сокращение похожих членов, перенос членов из одна часть уравнения переходит в другую со сменой знака.А затем европейские математики Возрождения в результате долгих поисков создали язык современной алгебры, использование букв, введение символов для арифметических операций, скобок и т. Д. На рубеже XVI-XVII веков . Алгебра как особая часть математики, имеющая свой предмет, метод, области применения, уже сформировалась. Его дальнейшее развитие, вплоть до нашего времени, заключалось в совершенствовании методов, расширении области применения, уточнении понятий и их связи с понятиями других разделов математики.2 + b * x + c = 0, где a, b, c — некоторые произвольные действительные (действительные) числа, а x — переменная. Причем число а = 0.

Числа a, b, c называются коэффициентами. Число a называется старшим коэффициентом, число b — коэффициентом при x, а число c называется свободным членом.

Решение квадратных уравнений

Решение квадратного уравнения означает нахождение всех его корней или установление того факта, что квадратное уравнение не имеет корней.2 + b * x + c = 0. Это название произошло из латинского языка, переводится как «дискриминатор». В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень или вообще не иметь корней.

Если дискриминант больше нуля, , то квадратное уравнение имеет два корня. (х = (- b ± √D) / (2 * a))

Если дискриминант равен нулю, , тогда квадратное уравнение имеет один корень. (х = (- б / (2 * а))

Если дискриминант отрицательный, , то квадратное уравнение не имеет корней.2-4 * а * с.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

D

D = 0, х = (- b / (2 * a)

D> 0, x = (- b + √D) / (2 * a), x = (- b-√D) / (2 * a)

Алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полное и неполное, цитируемое и не цитируемое.

Библиографическое описание: Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Елков А.А., Шильненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Методы решения квадратных уравнений // Молодой ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..04.2019).

Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не включенными в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться пользоваться ими самостоятельно, а также познакомить одноклассников с этими методами.

Что такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c — некоторые числа ( a ≠ 0 ), x — неизвестно.

Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободный член.

Кто первым «изобрел» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические методы решения линейных и квадратных уравнений были известны 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датируемые где-то между 1800 и 1600 годами до нашей эры, являются самым ранним свидетельством изучения квадратных уравнений.На этих же табличках представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с поиском участков земли и земляных работ военного характера, а также с разработкой астрономия и сама математика.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по существу совпадает с современным, но неизвестно, как вавилоняне пришли к этому правилу.Почти во всех найденных до сих пор клинописных текстах есть только проблемы с решениями, изложенными в форме рецептов, без инструкций относительно того, как они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с 4 века до нашей эры использовали метод дополнения квадратов для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 г. до н.э. Евклид придумал более общий геометрический метод решения.Первым математиком, который нашел решение уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII век нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме:

ax2 + bx = c, a> 0

В этом уравнении коэффициенты могут быть отрицательными. Правило Брахмагупты по сути такое же, как и наше.

В Индии общественное соревнование по решению сложных задач было обычным делом.В одной из древнеиндийских книг о таких состязаниях говорится следующее: «Как солнце затмевает звезды своим сиянием, так и ученый затмевает славу на народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Проблемы часто обладали в поэтическую форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 типов уравнений, выражая их так:

1) «Квадраты равны корням», то есть ax2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», то есть ax2 = c.

3) «Корни равны числу», то есть ax2 = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ax2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ax2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + c = = ax2.

Для Аль-Хорезми, который избегал использования отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений складываются, а не вычитаются.При этом не учитываются уравнения, не имеющие положительных решений. Автор намечает способы решения этих уравнений, используя методы аль-джабра и аль-мукабала. Его решение, конечно, не полностью совпадает с нашим. Не говоря уже о том, что это чисто риторический характер, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого типа Аль-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевой решение, наверное, потому, что в конкретных практических задачах это не имеет значения.Решая полные квадратные уравнения, Аль-Хорезми на конкретных численных примерах излагает правила их решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы для решения квадратных уравнений по модели Аль-Хорезми в Европе были впервые представлены в «Книге Абак», написанной в 1202 году. Итальянский математик Леонард Фибоначчи … Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и был первым в Европе, кто подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но также в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги были перенесены практически во все европейские учебники XIV-XVII веков. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме x2 + bх = c со всеми возможными комбинациями знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 году. М. Штифель.

Виета имеет общий вывод формулы для решения квадратного уравнения, но Виета распознал только положительные корни.Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке. учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни. Только в 17 веке. благодаря трудам Жирара , Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Факторизация левой части уравнения.
  2. Метод выбора полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений по теореме Виета.

Остановимся подробнее на решении приведенных и неприведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения вышеуказанных квадратных уравнений достаточно найти два числа, такие, что произведение равно свободному члену, а сумма является вторым коэффициентом с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5х + 6 = 0

Вам нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 3 и 2.

Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Но вы можете использовать этот метод для уравнений с первым коэффициентом, не равным единице.

Пример. 3x 2 + 2х-5 = 0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 + 2x-15 = 0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма — 2.Это числа 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делятся на первый коэффициент.

Ответ: x 1 = -5 / 3, х 2 = 1

6. Решение уравнений методом «переноса».

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Умножая обе части на a, получаем уравнение a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Пусть ax = y, откуда x = y / a; тогда приходим к уравнению y 2 + by + ac = 0, что эквивалентно заданному. Мы находим его корни в 1 и 2, используя теорему Виета.

В итоге получаем x 1 = y 1 / a и x 2 = y 2 / a.

В этом методе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «брошенный» на него, поэтому он называется методом «throw». Этот метод используется, когда вы можете легко найти корни уравнения с помощью теоремы Виета и, что наиболее важно, когда дискриминант представляет собой точный квадрат.

Пример. 2x 2 — 11х + 15 = 0.

«Перенесем» коэффициент 2 в свободный член и произведя замену получим уравнение y 2 — 11y + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; у 2 = 6, х 2 = 6/2, х 2 = 3.

Ответ: x 1 = 2,5; х 2 = 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, а ≠ 0.

1. Если a + b + c = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x 1 = 1.

2. Если a — b + c = 0, или b = a + c, то x 1 = — 1.

Пример. 345x 2 — 137х — 208 = 0.

Поскольку a + b + c = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Ответ: x 1 = 1; х 2 = -208/345 .

Пример. 132x 2 + 247x + 115 = 0

Поскольку a-b + c = 0 (132 — 247 + 115 = 0), то x 1 = — 1, x 2 = — 115/132

Ответ: x 1 = — 1; х 2 = — 115/132

Есть и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения.но их использование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис. 1. Номограмма

Это старый и ныне забытый способ решения квадратных уравнений, размещенный на стр.83 сборника: Bradis V.M. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 … Данная номограмма позволяет без решения квадратного уравнения определить корни уравнения по его коэффициентам.

Криволинейный масштаб номограммы строится по формулам (рис. 1):

Полагая OC = p, ED = q, OE = a (все в см), из рис.1 подобия треугольников SAN и CDF получаем пропорцию

откуда после замен и упрощений следует уравнение z 2 + pz + q = 0, и буква z означает отметку любой точки кривой шкалы.

Рисунок: 2 Решение квадратных уравнений с использованием номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ: 8,0; 1.0.

2) Решите уравнение с помощью номограммы

2z 2 — 9z + 2 = 0.

Делим коэффициенты этого уравнения на 2, получаем уравнение z 2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0.5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический метод решения квадратных уравнений.

Пример. x 2 + 10x = 39.

В оригинале эта задача сформулирована так: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной x, по его сторонам построены прямоугольники так, чтобы другая сторона каждого из них была 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2.5x. Полученная фигура затем дополняется до нового квадрата ABCD, завершая четыре равных квадрата в углах, сторона каждого из которых равна 2,5, а площадь равна 6,25

.

Рисунок: 3 Графический способ решения уравнения x 2 + 10x = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: исходного квадрата x 2, четырех прямоугольников (4 ∙ 2,5x = 10x) и четырех прикрепленных квадратов (6,25 ∙ 4 = 25), т.е. = x 2 + 10x = 25. Заменяя x 2 + 10x на 39, получаем, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата равна ABCD, т.е.е. отрезок AB = 8. Для искомой стороны x исходного квадрата получаем

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен x — α равен P (α) (т.е. значению P (x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. x²-4x + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α = 1, 1-4 + 3 = 0.Разделите P (x) на (x-1) 🙁 x²-4x + 3) / (x-1) = x-3

x²-4x + 3 = (x-1) (x-3), (x-1) (x-3) = 0

х-1 = 0; х = 1, или х-3 = 0, х = 3; Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Вывод: Способность быстро и эффективно решать квадратные уравнения просто необходима для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в средней школе — тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических уравнений.Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, помимо стандартных методов, решать методом переноса (6) и решать уравнения по свойству коэффициентов (7), так как они более доступны для понимание.

Литература:

  1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.
  2. .
  3. Алгебра 8 класс: учебник для 8 класса. Общего образования. учреждения Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворов С.Б. ред.С.А. Теляковского 15-е изд., Перераб. — М .: Просвещение, 2015
  4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE% D0% B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Моложе. — М .: Просвещение, 1964.
  6. .

1 найти дискриминант D по формуле D = -4ac .

2.Если D

3. Если D = 0, то уравнение имеет один корень:

4. Если D> 0, то уравнение имеет два корня:

Теперь приступим к решению нашего уравнения 3 -10x + 3 = 0,

где = 3, b = -10 и c = 3.

Находим дискриминант:

D = -4 * 3 * 3 = 64

Поскольку D> 0, это уравнение имеет два корня. Находим их:

; .

Таким образом, корни многочлена f (x) = 3 -10 + 3 будут числами 3 и.

Схема Горнера

Схема Хорнера (или правило Хорнера, метод Хорнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного как сумма многочленов (одночленов) для заданного значения переменной . Это, в свою очередь, помогает нам узнать, является ли число корнем данного многочлена или нет.

Сначала рассмотрим, как многочлен f (x ) делится на двучлен g (x) .

Это можно записать так: f (x): g (x) = n (x), где f (x) — делимое, g (x) — делимое a n (x) — частный.

Но в случае, когда f (x) не делится на g (x) , существует общее выражение

Кроме того, степень r (x)

Рассмотрим деление многочлена на двучлен. Пусть будет

,

Получаем

Где r — число, потому что степень r должна быть меньше степени (x-c).

Умножим s (x) на и получим

Таким образом, при делении на бином можно определить коэффициенты частного из полученных формул. Такой метод определения коэффициентов называется схемой Горнера.

Теперь рассмотрим несколько примеров применения схемы Хорнера.

Пример … Разделим многочлен f (x) = на x + 3.

Решение. В начале нужно записать ( x + 3) как ( x- (-3)), так как именно -3 будет участвовать в самой схеме.В верхней строке запишем коэффициенты, в нижней — результат действий.

f (x ) = (x-2) (1) +16.

Поиск корней по схеме Горнера. Виды корней

Схема Хорнера может быть использована для нахождения целых корней многочлена f (x ). Давайте посмотрим на пример.

Пример … Найти все целые корни многочлена f (x ) =, используя схему Горнера.

Решение. Коэффициенты этого многочлена — целые числа. Коэффициент перед высшей степенью (в нашем случае ранее) равен единице. Поэтому будем искать целые корни полинома среди делителей свободного члена (у нас их 15), это числа:

Начнем проверку с числа 1.

Стол № 1

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38

Из полученной таблицы видно, что при = 1 многочлен от многочлена f (x ) =, мы получили остаток r = 192, а не 0, отсюда следует, что один не является корень.Поэтому продолжим проверку с = -1. Для этого мы не будем создавать новую таблицу, а продолжим работу в старой, а ненужные данные вычеркнем.

Таблица 2

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22

Как видно из таблицы, последняя ячейка нулевая, а это значит, что r = 0.Как следствие? число -1 является корнем этого многочлена. Разделив наш полином на полином f (x ) = on () = x + 1, получим многочлен

ф (х ) = (х + 1) (),

коэффициенты, для которых мы взяли из третьей строки таблицы №2.

Мы также можем сделать эквивалентную запись

(х + 1) (). Отметить (1)

Теперь нам нужно продолжить поиск целочисленных корней, но только сейчас мы будем искать корни многочлена.Будем искать эти корни среди свободного члена многочлена, числа 45.

Давайте еще раз проверим число -1.

Таблица 3

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22

Таким образом, число -1 является корнем многочлена, его можно записать как

С учетом равенства (2) равенство (1) можно записать в следующем виде

Теперь мы ищем корни многочлена, опять же среди делителей свободного члена.Давайте еще раз проверим число -1.

Таблица 4

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21

Из таблицы мы видим, что число -1 является корнем многочлена.

Учитывая (3 *), мы можем переписать равенство (2 *) как:

Теперь будем искать рут для. Снова посмотрим на делители свободного члена. Давайте снова начнем проверку с числа -1.

Таблица 5

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19

Мы получили остаток, отличный от нуля, что означает, что число -1 не является корнем для многочлена.Давайте проверим следующий номер 1.

Таблица 6

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21

И видим, что опять не подходит, остаток равен r (x) = 24.Возьмите новый номер.

Давайте проверим число 3.

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15

Таблица 7

r (x) = 0, это означает, что число 3 является корнем многочлена, мы можем записать этот многочлен как:

= (х-3) ()

По полученному выражению равенство (5) можно записать в следующем виде:

(х-3) () (6)

Теперь проверим полином

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+

Таблица 8

Исходя из таблицы, видим, что число 3 является корнем многочлена… Теперь напишем следующее:

Запишем равенство (5 *) с учетом полученного выражения следующим образом:

(х-3) () = =.

Найдите корень бинома среди делителей свободного члена.

Возьмем число 5

Таблица 9

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+
+ -5
-5

r (x) = 0, следовательно, 5 — корень бинома.

Итак, мы можем написать

Решением этого примера будет таблица № 8.

Как видно из таблицы, числа -1; 3; 5 — корни многочлена.

Теперь перейдем непосредственно к типам корней .

1- корень третьей степени, так как скобка (x + 1) находится в третьей степени;

3- корень второй степени, скобка (x-3) во второй степени;

5- корень первой степени или, другими словами, простой.

Квадратные уравнения часто встречаются в ряде задач математики и физики, поэтому каждый ученик должен уметь их решать. В этой статье подробно рассматриваются основные методы решения квадратных уравнений, а также примеры их использования.

Какое уравнение называется квадратным

Прежде всего, ответим на вопрос этого абзаца, чтобы лучше понять, о чем пойдет речь в статье. Итак, квадратное уравнение имеет следующий общий вид: c + b * x + a * x 2 = 0, где a, b, c — некоторые числа, которые называются коэффициентами.Здесь a ≠ 0 является предпосылкой, иначе указанное уравнение вырождается в линейное. Остальные коэффициенты (b, c) могут принимать абсолютно любое значение, в том числе нулевое. Итак, выражения типа a * x 2 = 0, где b = 0 и c = 0, либо c + a * x 2 = 0, где b = 0, либо b * x + a * x 2 \ u003d 0, где c = 0 — это тоже квадратные уравнения, которые называются неполными, так как в них либо линейный коэффициент b равен нулю, либо свободный член c равен нулю, либо они оба равны нулю.

Уравнение, в котором a = 1 называется приведенным, то есть имеет вид: x 2 + c / a + (b / a) * x = 0.

Решение квадратного уравнения: найти такие значения x, которые удовлетворяют его равенству. Эти значения называются корнями. Поскольку рассматриваемое уравнение является выражением второй степени, это означает, что максимальное количество его корней не может превышать двух.

Какие существуют методы решения квадратных уравнений

В целом существует 4 метода решения.Их имена перечислены ниже:

  1. Факторизация.
  2. Квадратное дополнение.
  3. По известной формуле (через дискриминант).
  4. Решение геометрическое.

Как видно из приведенного выше списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который включает построение графика функции.

Есть еще один способ решить квадратные уравнения по теореме Виета. Он мог быть включен как 5-й в приведенный выше список, однако этого не сделано, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода.

Метод № 1. Факторизация

В математике квадратных уравнений у этого метода есть красивое название: факторизация. Суть этого метода заключается в следующем: квадратное уравнение необходимо представить в виде произведения двух слагаемых (выражений), которые должны равняться нулю. После такого представления вы можете использовать свойство продукта, которое будет равно нулю только в том случае, если один или несколько (все) его членов равны нулю.

Теперь давайте посмотрим на последовательность конкретных действий, которые необходимо выполнить, чтобы найти корни уравнения:

  1. Бросьте все члены в одну часть выражения (например, в левую), чтобы в ней остался только 0. другая часть (правая).
  2. Представьте сумму членов одной части равенства как произведение двух линейных уравнений.
  3. Приравняйте каждое из линейных выражений к нулю и решите их.

Как видите, алгоритм факторизации довольно простой, тем не менее, у большинства школьников возникают трудности при реализации 2-го пункта, поэтому мы объясним его более подробно.

Чтобы угадать, какие 2 линейных выражения при умножении друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, вам нужно запомнить два простых правила:

  • Линейные коэффициенты двух линейных выражений при умножении друг на друга должны давать первый коэффициент квадратного уравнения, то есть число a.
  • Свободные члены линейных выражений в своем произведении должны давать число c искомого уравнения.

После того, как все числа факторов выбраны, их следует перемножить, и если они дают желаемое уравнение, перейдите к шагу 3 в приведенном выше алгоритме, в противном случае коэффициенты следует изменить, но это необходимо сделать так, чтобы вышеуказанные правила всегда выполняются.

Пример решения путем факторизации

Покажем наглядно, как алгоритм решения квадратного уравнения состоит в составлении и нахождении неизвестных корней.Пусть дано произвольное выражение, например, 2 * x-5 + 5 * x 2 -2 * x 2 = x 2 + 2 + x 2 +1. Перейдем к ее решению, соблюдая последовательность пунктов от 1 до 3, которые изложены в предыдущем абзаце статьи.

Пункт 1. Переместите все члены влево и расположите их в классической последовательности для квадратного уравнения. Имеем следующее равенство: 2 * x + (- 8) + x 2 = 0.

Пункт 2. Разделим на произведение линейных уравнений. Поскольку a = 1, а c = -8, мы выбираем, например, такое произведение (x-2) * (x + 4).Он удовлетворяет правилам, изложенным в предыдущем параграфе, для поиска предполагаемых множителей. Если открыть скобки, получится: -8 + 2 * x + x 2, то есть мы получим точно такое же выражение, что и в левой части уравнения. Это означает, что мы правильно угадали множители и можем перейти к 3-му пункту алгоритма.

Точка 3. Приравняв каждый множитель к нулю, получим: x = -4 и x = 2.

Если есть сомнения по поводу результата, то рекомендуется проверить, подставив найденные корни в исходные. уравнение.В данном случае имеем: 2 * 2 + 2 2 -8 = 0 и 2 * (- 4) + (- 4) 2 -8 = 0. Корни найдены правильно.

Таким образом, методом факторизации мы обнаружили, что данное уравнение имеет два разных корня: 2 и -4.

Метод №2. Полное квадратное дополнение

В алгебре квадратных уравнений метод множителей не всегда может быть использован, так как в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают трудности при реализации пункт 2 алгоритма.

Метод полного квадрата, в свою очередь, универсален и может использоваться для квадратных уравнений любого типа. Его суть заключается в выполнении следующих операций:

  1. Члены уравнения, содержащие коэффициенты a и b, необходимо перенести в одну часть равенства, а свободный член c — в другую.
  2. Далее, части равенства (правая и левая) следует разделить на коэффициент а, то есть уравнение следует представить в сокращенном виде (а = 1).
  3. Сумма членов с коэффициентами a и b представлена ​​как квадрат линейного уравнения. Поскольку a = 1, линейный коэффициент будет равен 1, так как для свободного члена линейного уравнения он должен быть равен половине линейного коэффициента приведенного квадратного уравнения. После того, как квадрат линейного выражения нарисован, необходимо добавить соответствующее число в правую часть равенства, где находится свободный член, который получается открытием квадрата.
  4. Извлеките квадратный корень со знаками «+» и «-» и решите уже полученное линейное уравнение.

На первый взгляд описанный алгоритм может показаться довольно сложным; однако на практике его проще реализовать, чем метод факторизации.

Пример решения с дополнением квадрата

Приведем пример квадратного уравнения для обучения его решению по методу, описанному в предыдущем абзаце. Пусть дано квадратное уравнение -10-6 * x + 5 * x 2 = 0.Начинаем ее решать, следуя описанному выше алгоритму.

Элемент 1. Воспользуемся методом переноса при решении квадратных уравнений, получаем: — 6 * x + 5 * x 2 = 10.

Элемент 2. Приведенная форма этого уравнения получается делением на число 5 каждого из его членов (если равенство обеих частей разделить или умножить на одно и то же число, то равенство останется). В результате преобразований получаем: x 2 — 6/5 * x = 2.

Точка 3. Половина коэффициента — 6/5 равна -6/10 = -3/5, мы используйте это число, чтобы составить полный квадрат, мы получим: (-3 / 5 + x) 2.Давайте откроем его, и полученный свободный член нужно вычесть из левой части равенства, чтобы удовлетворить исходной форме квадратного уравнения, что эквивалентно добавлению его в правую часть. В итоге получаем: (-3 / 5 + x) 2 = 59/25.

Точка 4. Вычислить квадратный корень с положительным и отрицательным знаком и найти корни: x = 3/5 ± √59 / 5 = (3 ± √59) / 5. Два найденных корня имеют значения: x 1 = (√59 + 3) / 5 и x 1 = (3-√59) / 5.

Поскольку выполняемые вычисления относятся к корням, велика вероятность ошибиться.Поэтому рекомендуется проверить правильность корней x 2 и x 1. Для x получаем 1: 5 * ((3 + √59) / 5) 2-6 * (3 + √59) / 5 — 10 = (9 + 59 + 6 * √59) / 5 — 18/5 — 6 * √59 / 5-10 = 68 / 5-68 / 5 = 0. Теперь подставляем x 2: 5 * (( 3-√59) / 5) 2-6 * (3-√59) / 5-10 = (9 + 59-6 * √59) / 5-18/5 + 6 * √59 / 5-10 \ u003d 68 / 5-68 / 5 = 0.

Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения верны.

Метод № 3. Применение известной формулы

Этот метод решения квадратных уравнений, пожалуй, самый простой, так как он заключается в подстановке коэффициентов в известную формулу.Для его использования не нужно думать о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить только одну формулу. Это показано на картинке выше.

В этой формуле радикальное выражение (b 2 -4 * a * c) называется дискриминантом (D). Какие корни вы получите, зависит от их ценности. Возможны 3 случая:

  • D> 0, тогда уравнение корня два имеет действительное и различное значение.
  • D = 0, то корень равен единице, которую можно вычислить из выражения x = -b / (a ​​* 2).
  • D

Пример решения посредством вычисления дискриминанта

Давайте приведем пример квадратного уравнения для обучения использованию вышеуказанной формулы. Находим корни для -3 * x 2 -6 + 3 * x + 4 * x = 0. Сначала вычисляем значение дискриминанта, получаем: D = b 2 -4 * a * c = 7 2 -4 * (- 3) * (-6) = -23.

Начиная с D

Метод № 4. Использование графика функции

Его также называют графическим методом решения квадратных уравнений.Следует сказать, что он используется, как правило, не для количественного, а для качественного анализа рассматриваемого уравнения.

Суть метода заключается в построении графика квадратичной функции y = f (x), которая представляет собой параболу. Затем необходимо определить, в каких точках парабола пересекает ось абсцисс (X), они будут корнями соответствующего уравнения.

Чтобы определить, будет ли парабола пересекать ось X, достаточно знать положение ее минимума (максимума) и направление ее ветвей (они могут увеличиваться или уменьшаться).Об этой кривой следует помнить два свойства:

  • Если a> 0, параболы ветви направлены вверх, наоборот, если a
  • Координата минимума (максимума) параболы всегда x = -b / (2 * а).

Например, нужно определить, имеет ли уравнение корни -4 * x + 5 * x 2 +10 = 0. Соответствующая парабола будет направлена ​​вверх, так как a = 5> 0. Ее экстремум имеет координаты. : x = 4/10 = 2/5, y = -4 * 2/5 + 5 * (2/5) 2 +10 = 9.2. Поскольку минимум кривой лежит выше оси абсцисс (y = 9,2), он не пересекает последнюю ни при каких значениях x. То есть данное уравнение не имеет реальных корней.

Теорема Виета

Как отмечалось выше, эта теорема является следствием метода № 3, который основан на применении формулы с дискриминантом. Суть теоремы Виета состоит в том, что она позволяет связать коэффициенты уравнения и его корни в равенство. Получаем соответствующие равенства.

Воспользуемся формулой для вычисления корней через дискриминант. Складываем два корня, получаем: x 1 + x 2 = -b / a. Теперь умножим корни друг на друга: x 1 * x 2, после ряда упрощений получим число c / a.

Таким образом, для решения квадратных уравнений по теореме Виета можно использовать полученные два равенства. Если известны все три коэффициента уравнения, то корни можно найти, решив соответствующую систему этих двух уравнений.

Пример использования теоремы Виета

Необходимо составить квадратное уравнение, если известно, что оно имеет вид x 2 + c = -b * x и его корни 3 и -4.

Поскольку в рассматриваемом уравнении a = 1, то формулы Виета будут иметь вид: x 2 + x 1 = -b и x 2 * x 1 = c. Подставляя известные значения корней, получаем: b = 1 и c = -12. В результате восстановленное приведенное квадратное уравнение будет иметь следующий вид: x 2 -12 = -1 * x. Вы можете подставить в него значение корней и убедиться, что равенство выполняется.

Обратное применение теоремы Виета, то есть вычисление корней в соответствии с известной формой уравнения, позволяет небольшим целым числам a, b и c быстро (интуитивно) находить решения.

Квадратные уравнения изучаются в 8 классе, поэтому здесь нет ничего сложного. Умение их решать абсолютно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, а a 0.

Прежде чем изучать конкретные методы решения, отметим, что все квадратные уравнения условно можно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. иметь ровно один корень;
  3. У них два разных корня.

Это важное различие между квадратными и линейными уравнениями, где корень всегда существует и уникален. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого есть замечательная штука — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это как раз число D = b 2 — 4ac.

Эту формулу нужно знать наизусть. Откуда это взялось — теперь неважно.Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D
  2. Если D = 0, то корень ровно один;
  3. Если D> 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает количество корней, а вовсе не их знаки, как многие почему-то считают. Взгляните на примеры — и вы сами все поймете:

Задача.Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. х 2 — 8х + 12 = 0;
  2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
  3. х 2 — 6х + 9 = 0.

Запишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2-4 1 12 = 64-48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два разных корня. Аналогично анализируем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 — 4 5 7 = 9 — 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Остается последнее уравнение:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2-4 1 9 = 36-36 = 0,

Дискриминант нулевой — корень будет один.

Обратите внимание, что коэффициенты были записаны для каждого уравнения. Да, долго, да, скучно, но не перепутаешь коэффициенты и не сделаешь глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если вы «набьете руку», то через некоторое время вам уже не нужно будет выписывать все коэффициенты.Такие операции вы будете проделывать в уме. Большинство людей начинают это делать где-то после решения 50-70 уравнений — в общем, не так уж и много.

Квадратичные корни

А теперь перейдем к решению. Если дискриминант D> 0, корни можно найти по формулам:

Базовая формула корней квадратного уравнения

При D = 0 можно использовать любую из этих формул — вы получите такое же число, что будет ответом. Наконец, если D

  1. х 2 — 2х — 3 = 0;
  2. 15 — 2х — х 2 = 0;
  3. х 2 + 12х + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 — 2x — 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = −3;
D = (−2) 2 — 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 — 2x — x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2-4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найди их

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right) ) = — 5; \\\\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3.\\\\ \\ конец (выравнивание) \\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 — 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первый:

Как видно из примеров, все очень просто. Если вы знаете формулы и умеете считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов.Здесь опять же поможет описанная выше методика: смотрите на формулу буквально, опишите каждый шаг — и очень скоро вы избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. х 2 + 9х = 0;
  2. х 2-16 = 0.

Легко видеть, что в этих уравнениях отсутствует один из членов. Такие квадратные уравнения решить даже проще, чем стандартные: для них даже не нужно вычислять дискриминант.Итак, давайте представим новую концепцию:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободном элементе равен нулю.

Конечно, возможен очень сложный случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, что такое уравнение имеет одинарный корень: х = 0,

Рассмотрим остальные случаи.Пусть b = 0, тогда у нас получится неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл только при (−c / a) ≥ 0. Заключение:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполняется неравенство (−c / a) ≥ 0, то корней будет два. Формула приведена выше;
  2. Если (−c / a)

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений.На самом деле нет необходимости даже помнить о неравенстве (−c / a) ≥ 0. Достаточно выразить значение x 2 и посмотреть, что стоит по ту сторону знака равенства. Если число положительное, корней будет два. Если отрицательный, корней не будет.

Теперь займемся уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Здесь все просто: всегда будет два корня. Достаточно вынести полином за скобки:

Заключение в скобки общего множителя

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.Отсюда корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решите квадратные уравнения:

  1. х 2-7х = 0;
  2. 5х 2 + 30 = 0;
  3. 4х 2-9 = 0.

x 2 — 7x = 0 ⇒ x (x — 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; х 2 = — (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Нет корней, потому что квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2-9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; х 2 = -1,5.

Когда квадратное уравнение имеет два разных корня. Решение квадратных уравнений: формула корня, примеры

По-простому. Для этого выньте z из скобок. Вы получите: z (аz + b) = 0. Коэффициенты можно записать: z = 0 и аz + b = 0, так как оба результата могут дать ноль. В обозначении az + b = 0 переместим вторую вправо с другим знаком.Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b / a. Это корни оригинала.

Если есть неполное уравнение вида аz² + с = 0, в этом случае они находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также измените его знак при этом. Результатом будет az² = -с. Выразите z² = -c / a. Извлеките корень и запишите два решения — положительный и отрицательный квадратный корень.

примечание

Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте все уравнение на соответствующий коэффициент, чтобы избавиться от дробей.2 — 4 * а * с. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то будет два корня, если D = 0, то останется только один корень, точнее можно сказать, что D в данном случае имеет два эквивалентных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

После того, как вы нашли дискриминант, чтобы найти x, используйте формулы: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, где sqrt — это функция для извлечения квадратного корня из заданного числа.После вычисления этих выражений вы найдете два корня своего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

Если D меньше нуля, то у него все еще есть корни. В школе этот раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать, что в корне стоит отрицательное число. От него избавляются, выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом.Например, если D = sqrt (-20), после преобразования получится D = sqrt (20) * i. После этого преобразования решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как описано выше.

Теорема Виета заключается в выборе значений x (1) и x (2). Используются два идентичных уравнения: x (1) + x (2) = -b; х (1) * х (2) = с. Кроме того, очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен знаку в уравнении. На первый взгляд кажется, что вычислить x (1) и x (2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется подбирать.

Элементы для решения квадратных уравнений

Согласно правилам математики, некоторые можно разложить на множители: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, если вам удалось преобразовать это квадратное уравнение в это способом, используя формулы математики, затем смело записывайте ответ. x (1) и x (2) будут равны соседним коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.

Также не забываем о неполных квадратных уравнениях. Возможно, вам не хватает некоторых членов, если да, то все его коэффициенты просто равны нулю.2 или x, то коэффициенты a и b равны 1.

Некоторые задачи по математике требуют умения вычислять значение квадратного корня. К таким задачам относится решение уравнений второго порядка. В этой статье мы предоставим эффективный метод вычисления квадратных корней и будем использовать его при работе с формулами для корней квадратного уравнения.

Что такое квадратный корень?

В математике этому понятию соответствует символ √. Исторические данные свидетельствуют о том, что он был впервые использован примерно в первой половине 16 века в Германии (первая немецкая работа по алгебре Кристофа Рудольфа).Ученые считают, что указанный символ представляет собой преобразованную латинскую букву r (radix в переводе с латыни означает «корень»).

Корень любого числа равен значению, квадрат которого соответствует радикальному выражению. На языке математики это определение будет выглядеть так: √x = y, если y 2 = x.

Корень положительного числа (x> 0) также является положительным числом (y> 0), но если вы берете корень отрицательного числа (x

Вот два простых примера:

√9 = 3 , поскольку 3 2 = 9; √ (-9) = 3i, поскольку i 2 = -1.

Итерационная формула Герона для нахождения значений квадратных корней

Приведенные выше примеры очень просты, и вычислить в них корни несложно. Трудности начинают появляться уже при нахождении значений корня для любого значения, которое нельзя представить в виде квадрата натурального числа, например √10, √11, √12, √13, не говоря уже о том, что в На практике необходимо находить корни для нецелых чисел: например √ (12,15), √ (8,5) и так далее.

Во всех вышеперечисленных случаях следует использовать специальный метод вычисления квадратного корня. В настоящее время известно несколько таких методов: например, разложение в ряд Тейлора, деление в столбик и некоторые другие. Из всех известных методов, пожалуй, самым простым и эффективным является использование итерационной формулы Герона, известной также как вавилонский способ определения квадратных корней (есть свидетельства того, что древние вавилоняне использовали ее в своих практических вычислениях).

Пусть нужно определить значение √x. Формула для нахождения квадратного корня выглядит следующим образом:

a n + 1 = 1/2 (a n + x / a n), где lim n-> ∞ (a n) => x.

Давайте расшифруем это математическое обозначение. Для вычисления √x нужно взять некоторое число a 0 (оно может быть произвольным, однако для быстрого получения результата следует выбрать его так, чтобы (a 0) 2 было как можно ближе к x. Затем подставьте его в указанная формула для вычисления квадратного корня и получения нового числа a 1, которое уже будет ближе к искомому значению.После этого необходимо подставить в выражение 1 и получить 2. Эту процедуру следует повторять до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Пример использования итерационной формулы Герона

Описанный выше алгоритм получения квадратного корня из заданного числа может показаться довольно сложным и запутанным для многих, но на самом деле все оказывается намного проще, так как эта формула сходится очень быстро (особенно если выбрано хорошее число 0).

Приведем простой пример: вам нужно вычислить √11. Выберем 0 = 3, так как 3 2 = 9, что ближе к 11, чем 4 2 = 16. Подставляя в формулу, получаем:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) = 3,31662.

Тогда нет смысла продолжать вычисления, так как мы получили, что 2 и 3 начинают различаться только в пятом знаке после запятой. Таким образом, достаточно было применить формулу всего 2 раза, чтобы вычислить √11 с точностью до 0.0001.

В настоящее время для вычисления корней широко используются калькуляторы и компьютеры, однако полезно запомнить отмеченную формулу, чтобы иметь возможность вручную рассчитать их точное значение.

Уравнения второго порядка

Понимание того, что такое квадратный корень, и способность его вычислять, используется при решении квадратных уравнений. Эти уравнения называются равенствами с одной неизвестной, общий вид которых показан на рисунке ниже.

Здесь c, b и a представляют некоторые числа, а a не должно быть равным нулю, а значения c и b могут быть совершенно произвольными, включая ноль.

Любые значения x, которые удовлетворяют равенству, показанному на рисунке, называются его корнями (это понятие не следует путать с квадратным корнем √). Поскольку рассматриваемое уравнение имеет 2-й порядок (x 2), то для него может быть не более двух корней. Как найти эти корни, мы рассмотрим далее в статье.

Нахождение корней квадратного уравнения (формулы)

Этот метод решения рассматриваемого типа равенств еще называют универсальным, или методом через дискриминант.Его можно применить к любым квадратным уравнениям. Формула для дискриминанта и корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:

Она показывает, что корни зависят от значения каждого из трех коэффициентов уравнения. Более того, вычисление x 1 отличается от вычисления x 2 только знаком перед квадратным корнем. Радикальное выражение, равное b 2 — 4ac, есть не что иное, как дискриминант рассматриваемого равенства. Дискриминант в формуле корней квадратного уравнения играет важную роль, поскольку определяет количество и тип решений.Итак, если он равен нулю, то будет только одно решение, если оно положительное, то уравнение имеет два действительных корня, и, наконец, отрицательный дискриминант приводит к двум комплексным корням x 1 и x 2.

Теорема Виета или некоторые свойства корней уравнений второго порядка

В конце 16 века один из основоположников современной алгебры, француз, изучая уравнения второго порядка, смог получить свойства ее корней. Математически их можно записать так:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

Оба равенства легко могут быть получены каждым, для этого достаточно произвести соответствующие математические операции с корнями, полученными по формуле с дискриминантом.

Комбинация этих двух выражений по праву может быть названа второй формулой для корней квадратного уравнения, позволяющей угадывать его решения без использования дискриминанта. Здесь следует отметить, что, хотя оба выражения всегда действительны, их удобно использовать для решения уравнения, только если его можно факторизовать.

Задача закрепления полученных знаний

Решим математическую задачу, в которой продемонстрируем все приемы, рассмотренные в статье. Условия задачи таковы: нужно найти два числа, для которых произведение равно -13, а сумма равна 4.

Это условие сразу напоминает теорему Виета, применяя формулы для суммы квадратных корней. и их произведения пишем:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

х 1 * х 2 = с / а = -13.

Если a = 1, тогда b = -4 и c = -13. Эти коэффициенты позволяют составить уравнение второго порядка:

x 2 — 4x — 13 = 0.

Используя формулу с дискриминантом, получаем следующие корни:

x 1,2 = (4 ± √D ) / 2, D = 16 — 4 * 1 * (-13) = 68.

То есть задача свелась к нахождению числа √68. Обратите внимание, что 68 = 4 * 17, тогда, используя свойство квадратного корня, мы получаем: √68 = 2√17.

Теперь воспользуемся рассмотренной формулой квадратного корня: a 0 = 4, затем:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) = 4,1231.

Нет необходимости вычислять 3, так как найденные значения различаются всего на 0,02. Итак, √68 = 8,246. Подставляя его в формулу для x 1,2, получаем:

x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 и x 2 = (4 — 8,246) / 2 = -2,123.

Как видите, сумма найденных чисел действительно равна 4, но если вы найдете их произведение, то оно будет равно -12,999, что с точностью до 0 удовлетворяет условию задачи.001.

Библиографическое описание: Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Елков А.А., Шильненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Методы решения квадратных уравнений // Молодой ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..03.2019).

Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не включенными в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться ими пользоваться самостоятельно, а также познакомить одноклассников с этими методами.

Что такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c — некоторые числа ( a ≠ 0 ), x — неизвестно.

Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободный член.

Кто первым «изобрел» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические методы решения линейных и квадратных уравнений были известны 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датируемые где-то между 1800 и 1600 годами до нашей эры, являются самым ранним свидетельством изучения квадратных уравнений. На этих же табличках представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с поиском участков земли и земляных работ военного характера, а также с разработкой астрономия и сама математика.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по сути совпадает с современным, но неизвестно, как вавилоняне пришли к этому правилу. Почти все клинописные тексты, найденные до сих пор, содержат только проблемы с решениями, изложенными в форме рецептов, без инструкций относительно того, как они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с 4 века до нашей эры использовали метод дополнения квадратов для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 г. до н.э. Евклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решение уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII век нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме:

ах2 + Ьх = с, а> 0

В этом уравнении коэффициенты могут быть отрицательными.Правило Брахмагупты по сути такое же, как и наше.

В Индии общественное соревнование по решению сложных задач было обычным делом. В одной из древнеиндийских книг о таких состязаниях говорится следующее: «Как солнце затмевает звезды своим сиянием, так и образованный человек затмевает славу на народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облачались в поэтическую форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений.Автор насчитывает 6 типов уравнений, выражая их так:

1) «Квадраты равны корням», т.е. ax2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», то есть ax2 = c.

3) «Корни равны числу», то есть ax2 = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ax2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», то есть ax2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», то есть bx + c == ax2.

Для Аль-Хорезми, который избегал использования отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений складываются, а не вычитаются. В этом случае, конечно, не учитываются уравнения, не имеющие положительных решений. Автор намечает способы решения этих уравнений, используя методы аль-джабра и аль-мукабала. Его решение, конечно, не полностью совпадает с нашим. Не говоря уже о том, что он носит чисто риторический характер, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого типа Аль-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевой решение, наверное, потому что в конкретных практических задачах это не имеет значения.Решая полные квадратные уравнения, Аль-Хорезми на конкретных численных примерах излагает правила их решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы для решения квадратных уравнений по модели Аль-Хорезми в Европе впервые были представлены в «Книге Абак», написанной в 1202 году. Итальянский математик Леонард Фибоначчи … Автор самостоятельно разработал несколько новых алгебраических примеров решения задач и был первым в Европе, кто подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но также в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги были перенесены практически во все европейские учебники XIV-XVII веков. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме x2 + bх = c со всеми возможными комбинациями знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 году. М. Штифель.

Виета имеет общий вывод формулы для решения квадратного уравнения, но Вьет распознал только положительные корни.Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке. учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни. Только в 17 веке. благодаря трудам Жирара , Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Факторизация левой части уравнения.
  2. Метод выбора полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений по теореме Виета.

Остановимся подробнее на решении приведенных и неприведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения данных квадратных уравнений достаточно найти два числа, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5x + 6 = 0

Вам нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Но вы можете использовать этот метод для уравнений с первым коэффициентом, не равным единице.

Пример. 3x 2 + 2x-5 = 0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 + 2x-15 = 0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма — 2.Это числа 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делятся на первый коэффициент.

Ответ: x 1 = -5 / 3, х 2 = 1

6. Решение уравнений методом «переноса».

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Умножая обе части на a, мы получаем уравнение a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Пусть ax = y, откуда x = y / a; тогда мы приходим к уравнению y 2 + by + ac = 0, которое эквивалентно данному. Мы находим его корни в 1 и 2, используя теорему Виета.

Наконец, получаем x 1 = y 1 / a и x 2 = y 2 / a.

В этом методе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «брошенный» на него, поэтому он называется методом «throw». Этот метод используется, когда вы можете легко найти корни уравнения с помощью теоремы Виета и, что наиболее важно, когда дискриминант представляет собой точный квадрат.

Пример. 2x 2 — 11x + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 на свободный член и произведя замену, получим уравнение y 2 — 11y + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Ответ: x 1 = 2,5; NS 2 = 3.

7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 и ≠ 0.

1. Если a + b + c = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x 1 = 1.

2. Если a — b + c = 0 или b = a + c, то x 1 = — 1.

Пример. 345x 2 — 137x — 208 = 0.

Поскольку a + b + c = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Ответ: x 1 = 1; NS 2 = -208/345 .

Пример. 132x 2 + 247x + 115 = 0

Поскольку a-b + c = 0 (132 — 247 + 115 = 0), то x 1 = — 1, x 2 = — 115/132

Ответ: x 1 = — 1; NS 2 = — 115/132

Есть и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения.но их использование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис. 1. Номограмма

Это старый и ныне забытый метод решения квадратных уравнений, размещенный на стр.83 сборника: Bradis V.M. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 … Эта номограмма позволяет без решения квадратного уравнения определить корни уравнения по его коэффициентам.

Криволинейный масштаб номограммы строится по формулам (рис. 1):

Приняв OC = p, ED = q, OE = a (все в см), из рис.1 подобия треугольников SAN и CDF получаем соотношение

, откуда после замен и упрощений уравнение следует: z 2 + pz + q = 0, , а буква z означает отметку любой точки кривой шкалы.

Рис.2 Решение квадратных уравнений по номограмме

Примеры.

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 Номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ: 8,0; 1.0.

2) Решите уравнение с помощью номограммы

2z 2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 — 4.5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический метод решения квадратных уравнений.

Пример. NS 2 + 10x = 39.

В оригинале эта задача сформулирована так: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной x, на его сторонах построены прямоугольники так, чтобы другая сторона каждого из них была равна 2.5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученная фигура затем дополняется до нового квадрата ABCD, завершая четыре равных квадрата в углах, сторона каждого из которых равна 2,5, а площадь равна 6,25

.

Рис. 3 Графический способ решения уравнения x 2 + 10x = 39

Площадь S квадрата ABCD может быть представлена ​​как сумма площадей: исходный квадрат x 2, четыре прямоугольника (4 ∙ 2,5x = 10x) и четыре прикрепленных квадрата (6,25 ∙ 4 = 25), т. Е. S = x 2 + 10х = 25.Заменяя x 2 + 10x на 39, мы получаем S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата равна ABCD, то есть отрезок AB = 8. Для искомой стороны x исходного квадрата получаем

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен x — α равен P (α) (т.е. значению P (x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. x²-4x + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α = 1, 1-4 + 3 = 0. Разделите P (x) на (x-1) 🙁 x²-4x + 3 ) / (х-1) = х-3

x²-4x + 3 = (x-1) (x-3), (x-1) (x-3) = 0

х-1 = 0; х = 1 или х-3 = 0, х = 3; Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Вывод: Способность быстро и эффективно решать квадратные уравнения просто необходима для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в средней школе — тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических уравнений.Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, помимо стандартных методов, решать методом переноса (6) и решать уравнения по свойству коэффициентов (7), так как они более доступны для понимание.

Литература:

  1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.
  2. .
  3. Алгебра 8 класс: учебник для 8 класса. Общего образования. учреждения Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворов С. Б. под ред. С.А. Теляковского 15-е изд., Перераб. — М .: Просвещение, 2015
  4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE% D0% B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Моложе. — М .: Просвещение, 1964.
  6. .

Квадратные уравнения изучаются в 8 классе, поэтому здесь нет ничего сложного.Умение их решать абсолютно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, а a 0.

Прежде чем приступить к изучению конкретных методов решения, отметим, что все квадратные уравнения условно можно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. иметь ровно один корень;
  3. У них два разных корня.

Это важное различие между квадратными и линейными уравнениями, где корень всегда существует и уникален.Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого есть замечательная штука — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 — 4ac.

Эту формулу нужно знать наизусть. Откуда это взялось — теперь неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение.А именно:

  1. Если D
  2. Если D = 0, существует ровно один корень;
  3. Если D> 0, будет два корня.

Обратите внимание: дискриминант указывает количество корней, а вовсе не их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и вы сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. х 2 — 8х + 12 = 0;
  2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
  3. х 2 — 6х + 9 = 0.

Запишем коэффициенты первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 — 4 1 12 = 64 — 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два разных корня. Аналогично анализируем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 — 4 5 7 = 9 — 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Остается последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 — 4 1 9 = 36 — 36 = 0.

Дискриминант нулевой — корень будет один.

Обратите внимание, что коэффициенты были записаны для каждого уравнения. Да, долго, да, скучно, но не перепутаешь коэффициенты и не сделаешь глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если вы «набьете руку», то через некоторое время вам уже не нужно будет выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете проделывать в уме. Большинство людей начинают делать это где-то после решения 50-70 уравнений — не так уж и много.

Квадратичные корни

А теперь перейдем к решению. Если дискриминант D> 0, корни можно найти по формулам:

Базовая формула для корней квадратного уравнения

Когда D = 0, вы можете использовать любую из этих формул — вы получите то же число, что и быть ответом. Наконец, если D

  1. х 2 — 2х — 3 = 0;
  2. 15 — 2х — х 2 = 0;
  3. х 2 + 12х + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 — 2x — 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 — 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 — 2x — x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (-2) 2-4 (-1) 15 = 64,

D> 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = — 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (align) \]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 — 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первый:

Как видно из примеров, все очень просто. Если вы знаете формулы и умеете считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет описанная выше методика: смотрите на формулу буквально, опишите каждый шаг — и очень скоро вы избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении.Например:

  1. х 2 + 9х = 0;
  2. x 2 — 16 = 0.

Легко видеть, что в этих уравнениях отсутствует один из членов. Такие квадратные уравнения решить даже проще, чем стандартные: для них даже не нужно вычислять дискриминант. Итак, давайте представим новую концепцию:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободном элементе равен нулю.

Конечно, возможен очень сложный случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: х = 0,

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда мы получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл только при (−c / a) ≥ 0.Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполняется неравенство (−c / a) ≥ 0, то корней будет два. Формула приведена выше;
  2. Если (−c / a)

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле нет необходимости даже помнить о неравенстве (−c / a) ≥ 0. Достаточно выразить значение x 2 и посмотреть, что стоит по ту сторону знака равенства.Если число положительное, корней будет два. Если отрицательный, корней не будет.

Теперь займемся уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Здесь все просто: всегда будет два корня. Достаточно вынести полином за скобки:

Заключение в скобки общего множителя

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача.Решите квадратные уравнения:

  1. х 2 — 7х = 0;
  2. 5х 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 — 9 = 0.

x 2 — 7x = 0 ⇒ x (x — 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; х 2 = — (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 — 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; х 2 = -1,5.

Корни неполного квадратного уравнения. Дополнительное занятие

Библиографическое описание: Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Елков А.А., Шильненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. квадратные уравнения // Молодой ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..02.2019).

Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не включенными в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться пользоваться ими самостоятельно, а также познакомить одноклассников с этими методами.

Что такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c — некоторые числа ( a ≠ 0 ), x — неизвестно.

Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободный член.

Кто первым «изобрел» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические методы решения линейных и квадратных уравнений были известны 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датируемые где-то между 1800 и 1600 годами до нашей эры, являются самым ранним свидетельством изучения квадратных уравнений. На этих же табличках представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с нахождением участков земельных участков и военного характера земляных работ, а также с разработкой астрономия и сама математика.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по сути совпадает с современным, но неизвестно, как вавилоняне пришли к этому правилу. Почти все клинописные тексты, найденные до сих пор, содержат только проблемы с решениями, изложенными в форме рецептов, без инструкций относительно того, как они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах нет понятия отрицательного числа и общих методов решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с 4 века до нашей эры использовали метод дополнения квадратов для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 г. до н.э. Евклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решение уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII век нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме:

ах2 + Ьх = с, а> 0

В этом уравнении коэффициенты могут быть отрицательными.Правило Брахмагупты по сути такое же, как и наше.

В Индии общественное соревнование по решению сложных задач было обычным делом. В одной из древнеиндийских книг о таких состязаниях говорится следующее: «Как солнце затмевает звезды своим сиянием, так и ученый затмевает славу на народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облачались в поэтическую форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений.Автор насчитывает 6 типов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т.е. ax2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», то есть ax2 = c.

3) «Корни равны числу», то есть ax2 = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ax2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», то есть ax2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + c == ax2.

Для Аль-Хорезми, который избегал использования отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений складываются, а не вычитаются. В этом случае, конечно, не учитываются уравнения, не имеющие положительных решений. Автор намечает способы решения этих уравнений, используя методы аль-джабра и аль-мукабала. Его решение, конечно, не полностью совпадает с нашим. Не говоря уже о том, что это чисто риторический характер, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого типа Аль-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевое решение , наверное, потому что в конкретных практических задачах это не имеет значения.При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных численных примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по модели Аль-Хорезми в Европе впервые были представлены в «Книге Абак», написанной в 1202 году. Итальянский математик Леонард Фибоначчи … Автор самостоятельно разработал несколько новых алгебраических примеров решения проблем и был первым в Европе, кто подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но также в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги были перенесены практически во все европейские учебники XIV-XVII веков. По общему правилу решение квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме x2 + bх = с со всеми возможными комбинациями знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 году. М. Штифель.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения в общем виде доступен во Вьетнаме, однако Вьет признал только положительные корни.Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке. учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни. Только в 17 веке. благодаря трудам Жирара , Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Факторизация левой части уравнения.
  2. Метод выбора полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений по теореме Виета.

Остановимся подробнее на решении приведенных и неприведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения данных квадратных уравнений достаточно найти два числа, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5x + 6 = 0

Вам нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Но вы можете использовать этот метод для уравнений с первым коэффициентом, не равным единице.

Пример. 3x 2 + 2x-5 = 0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 + 2x-15 = 0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма — 2.Это числа 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делятся на первый коэффициент.

Ответ: x 1 = -5 / 3, х 2 = 1

6. Решение уравнений методом «переноса».

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Умножая обе части на a, мы получаем уравнение a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Пусть ax = y, откуда x = y / a; тогда мы приходим к уравнению y 2 + by + ac = 0, которое эквивалентно данному. Мы находим его корни в 1 и 2, используя теорему Виета.

Наконец, получаем x 1 = y 1 / a и x 2 = y 2 / a.

В этом методе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «брошенный» на него, поэтому он называется методом «throw». Этот метод используется, когда вы можете легко найти корни уравнения с помощью теоремы Виета и, что наиболее важно, когда дискриминант представляет собой точный квадрат.

Пример. 2x 2 — 11x + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 на свободный член и произведя замену, получим уравнение y 2 — 11y + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Ответ: x 1 = 2,5; NS 2 = 3.

7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 и ≠ 0.

1. Если a + b + c = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x 1 = 1.

2. Если a — b + c = 0 или b = a + c, то x 1 = — 1.

Пример. 345x 2 — 137x — 208 = 0.

Поскольку a + b + c = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Ответ: x 1 = 1; NS 2 = -208/345 .

Пример. 132x 2 + 247x + 115 = 0

Поскольку a-b + c = 0 (132 — 247 + 115 = 0), то x 1 = — 1, x 2 = — 115/132

Ответ: x 1 = — 1; NS 2 = — 115/132

Есть и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения.но их использование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис. 1. Номограмма

Это старый и ныне забытый метод решения квадратных уравнений, размещенный на стр.83 сборника: Bradis V.M. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 … Эта номограмма позволяет без решения квадратного уравнения определить корни уравнения по его коэффициентам.

Криволинейный масштаб номограммы строится по формулам (рис. 1):

Приняв OC = p, ED = q, OE = a (все в см), из рис.1 подобия треугольников SAN и CDF получаем соотношение

, откуда после замен и упрощений уравнение следует: z 2 + pz + q = 0, , а буква z означает отметку любой точки кривой шкалы.

Рис.2 Решение квадратных уравнений по номограмме

Примеры.

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 Номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ: 8,0; 1.0.

2) Решите уравнение с помощью номограммы

2z 2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 — 4.5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический метод решения квадратных уравнений.

Пример. NS 2 + 10x = 39.

В оригинале эта задача сформулирована так: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной x, на его сторонах построены прямоугольники так, чтобы другая сторона каждого из них была равна 2.5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученная фигура затем дополняется до нового квадрата ABCD, завершая четыре равных квадрата в углах, сторона каждого из которых равна 2,5, а площадь равна 6,25

.

Рис. 3 Графический способ решения уравнения x 2 + 10x = 39

Площадь S квадрата ABCD может быть представлена ​​как сумма площадей: исходный квадрат x 2, четыре прямоугольника (4 ∙ 2,5x = 10x) и четыре прикрепленных квадрата (6,25 ∙ 4 = 25), т. Е. S = x 2 + 10х = 25.Заменяя x 2 + 10x на 39, мы получаем S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата равна ABCD, то есть отрезок AB = 8. Для искомой стороны x исходного квадрата получаем

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен x — α равен P (α) (т.е. значению P (x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. x²-4x + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α = 1, 1-4 + 3 = 0. Разделите P (x) на (x-1) 🙁 x²-4x + 3 ) / (х-1) = х-3

x²-4x + 3 = (x-1) (x-3), (x-1) (x-3) = 0

х-1 = 0; х = 1 или х-3 = 0, х = 3; Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Вывод: Способность быстро и эффективно решать квадратные уравнения просто необходима для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а также в старших классах тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических уравнений… Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, помимо стандартных методов, решать методом переноса (6) и решать уравнения по свойству коэффициентов (7), так как они более доступный для понимания.

Литература:

  1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.
  2. .
  3. Алгебра 8 класс: учебник для 8 класса. Общего образования. учреждения Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворов С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., Перераб. — М .: Образование, 2015
  4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE% D0% B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Моложе. — М .: Просвещение, 1964.
  6. .

Цели:

  • Ввести понятие сокращенного квадратного уравнения;
  • «Раскройте» связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения;
  • развивает интерес к математике, показывая на протяжении жизни Виета, что математика может быть хобби.

На уроках

1. Проверка домашнего задания

№ 309 (г) x 1 = 7, x 2 =

№ 311 (г) x 1 = 2, x 2 = -1

№ 312 (г) без корней

2. Повторение усвоенного материала

У каждого есть столик на столе. Найдите соответствие между левым и правым столбцами таблицы.

Словесная формулировка Буквальное выражение
1.Квадрат трехчлен А. ax 2 = 0
2. Дискриминант Б. ax 2 + c = 0, c
3. Неполное квадратное уравнение с одним корнем, равным 0. В.
D> 0
4. Неполное квадратное уравнение, один корень которого равен 0, а другой не равен 0. г.
D
5. Не полное квадратное уравнение, корни которого равны по модулю, но противоположны по знаку. D.
ax 2 + in + c = 0
6. Неполное квадратное уравнение без действительных корней. E.
D = 2 + 4ac
7. Квадратное уравнение общего вида. J.
x 2 + px + q = 0
8. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два корня Z.
топор 2+ в + s
9. Условие отсутствия корней квадратного уравнения И.
ах 2 + с = 0, с> 0
10. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два равных корня КО.
ось 2 + дюйм = 0
11. Приведенное квадратное уравнение. л.
D = 0

Введите правильные ответы в таблицу.

1-З; 2-Е; 3-А; 4-К; 5 В; 6-я; 7-Д; 8-Б; 9-Д; 10-Л; 11-F.

3. Обобщение изученного материала

Решите уравнения:

а) -5x 2 + 8x -3 = 0;

Решение :

D = 64 — 4 (-5) (- 3) = 4,

х 1 = х 2 = = a + b + c = -5 + 8-3 = 0

б) 2 х 2 + 6х — 8 = 0;

Решение :

D = 36 — 4 2 (-8) = 100,

х 1 = = х 2 = а + b + с = 2 + 6-8 = 0

c) 2009 x 2 + x — 2010 = 0

Решение :

a + b + c = 2009 + 1 + (-2010) = 0, тогда x 1 = 1 x 2 =

4.Расширение школьного курса

ax 2 + bx + c = 0, если a + b + c = 0, то x 1 = 1 x 2 =

Рассмотрим решение уравнений

а) 2х 2 + 5х +3 = 0

Решение :

D = 25-24 = 1 x 1 = x 2 = a — b + c = 2-5 + 3 = 0

б) -4x 2 -5x -1 = 0

Решение :

D = 25 — 16 = 9 x 1 = — 1 x 2 = a — b + c = -4 — (- 5) — 1 = 0

в) 1150x 2 + 1135x -15 = 0

Решение :

a — b + c = 1150-1135 + (- 15) = 0 x 1 = — 1 x 2 =

ax 2 + bx + c = 0, если a-b + c = 0, то x 1 = — 1 x 2 =

5.Новая тема

Давайте проверим выполнение вашего первого задания. Какие новые концепции вы встретили? 11 — f, т.е.

Данное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0.

Тема нашего урока.
Заполним следующую таблицу.
Левая колонка в тетрадях и один ученик у доски.
Решение уравнения ax 2 + in + c = 0
Правая колонка, более подготовленный ученик у доски
Решение уравнения x 2 + px + q = 0, для a = 1, b = p, c = q

Преподаватель (при необходимости) помогает, остальное в тетрадях.

6. Практическая часть

X 2-6 NS + 8 = 0,

D = 9 — 8 = 1,

х 1 = 3 — 1 = 2

х 2 = 3 + 1 = 4

X 2 + 6 NS + 8 = 0,

D = 9 — 8 = 0,

х 1 = -3 — 1 = -4

х 2 = -3 + 1 = -2

X 2 + 20 NS + 51 = 0,

D = 100 — 51 = 49

х 1 = 10-7 = 3

х 2 = 10 + 7 = 17

X 2-20 NS -69 = 0,

D = 100 — 69 = 31

По результатам наших расчетов заполним таблицу.

Уравнение № R х 1+ х 2 q х 1 х 2
1 -6 6 8 8

Сравним полученные результаты с коэффициентами квадратных уравнений.
Какой вывод можно сделать?

7. Историческая справка

Впервые связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения была установлена ​​известным французским ученым Франсуа Вьет (1540–1603).

Франсуа Вьет был юристом по профессии и много лет работал советником короля. И хотя математика была его хобби, или, как говорят, хобби, благодаря упорному труду он добился в ней больших результатов. Вьет в 1591 г. ввел буквенные обозначения неизвестных и коэффициентов уравнений. Это позволило записать корни и другие свойства уравнения в общие формулы.

Недостатком алгебры Виета было то, что она распознавала только положительные числа.Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные решения, что отнимало много времени, было сложным и часто приводило к ошибкам.

Вьет сделал много разных открытий, но больше всего он ценил установление связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть связи, называемой теоремой Виета.

Мы рассмотрим эту теорему в следующем уроке.

8. Обобщение знаний

Вопросы :

  1. Какое уравнение называется сокращенным квадратным уравнением?
  2. По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения?
  3. От чего зависит количество корней данного квадратного уравнения?
  4. Что называется дискриминантом приведенного квадратного уравнения?
  5. Как связаны корни приведенного квадратного уравнения и его коэффициенты?
  6. Кто установил эту связь?

9.Домашнее задание

с. 4.5, № 321 (б, е) № 322 (а, г, ж, з)

Заполните таблицу.

Уравнение Корни Сумма корней Продукт корней
Х 2 — 8x + 7 = 0 1 и 7 8 7

Литература

СМ. Никольский и др., Учебник серии «Алгебра 8» «МГУ-школа» — М .: Просвещение, 2007.

В этой статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала давайте повторим, какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где x — переменная, а коэффициенты a, b и c — некоторые числа, а a ≠ 0, называется квадрат … Как мы видим, коэффициент при x 2 не равен нулю, и поэтому коэффициенты при x или свободном члене могут быть равны нулю, в этом случае мы получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения трех типов :

1) Если b = 0, c ≠ 0, то ax 2 + c = 0;

2) Если b ≠ 0, c = 0, то ax 2 + bx = 0;

3) Если b = 0, c = 0, то ax 2 = 0.

  • Давайте разберемся, как они решают уравнений вида ax 2 + c = 0.

Для решения уравнения перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ax 2 = ‒c. Поскольку a ≠ 0, то разделим обе части уравнения на a, тогда x 2 = ‒c / a.

Если ‒c / a> 0, то уравнение имеет два корня

x = ± √ (–c / a).

Если ‒c / a

Попробуем разобраться на примерах решения таких уравнений.

Пример 1 … Решите двукратное уравнение 2-32 = 0.

Ответ: x 1 = — 4, x 2 = 4.

Пример 2 … Решите двукратное уравнение 2 + 8 = 0.

Ответ: уравнение не имеет решений.

  • Давайте разберемся, как они решают уравнений вида ax 2 + bx = 0.

Чтобы решить уравнение ax 2 + bx = 0, мы множим его, то есть выносим x за скобки, получаем x (ax + b) = 0.Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая уравнение ax + b = 0, получаем ax = — b, откуда x = — b / a. Уравнение вида ax 2 + bx = 0 всегда имеет два корня x 1 = 0 и x 2 = — b / a. Посмотрите, как выглядит решение уравнений этого типа на схеме.

Давайте закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3 … Решите уравнение 3x 2 — 12x = 0.

х (3х — 12) = 0

x = 0 или 3x — 12 = 0

Ответ: x 1 = 0, x 2 = 4.

  • Уравнения третьего рода ax 2 = 0 решаются очень просто.

Если ax 2 = 0, то x 2 = 0. У уравнения два равных корня x 1 = 0, x 2 = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся, решая пример 4, что уравнения этого типа решаются очень просто.

Пример 4. Решите уравнение 7x 2 = 0.

Ответ: x 1, 2 = 0.

Не всегда сразу понятно, какое неполное квадратное уравнение нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решите уравнение

Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Уменьшить

5 (5x 2 + 9) — 6 (4x 2-9) = 90.

Раскроем скобки

25x 2 + 45 — 24x 2 + 54 = 90.

Вот похожие

Переместите 99 из левой части уравнения вправо, поменяв знак местами

Ответ: корней нет.

Мы проанализировали, как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не возникнет трудностей с такими задачами. Будьте внимательны при определении типа неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас возникнут вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, вместе мы решим возникшие проблемы.

Сайт

, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

В современном обществе способность выполнять действия с уравнениями, содержащими квадрат переменной, может быть полезна во многих сферах деятельности и широко используется на практике в научно-технических разработках … Об этом свидетельствует конструкция морских и речных судов, самолетов и ракеты. С помощью таких расчетов вычисляются траектории движения самых разных тел, в том числе космических объектов.Примеры с решением квадратных уравнений используются не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных бытовых условиях. Они могут понадобиться в походах, на спортивных мероприятиях, в магазинах при покупках и в других очень распространенных ситуациях.

Разобьем выражение на составляющие его множители

Степень уравнения определяется максимальной степенью значения переменной, содержащейся в этом выражении.Если он равен 2, то такое уравнение называется квадратным.

Если использовать язык формул, то эти выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к форме, когда левая часть выражения состоит из трех членов. Среди них: ax 2 (то есть переменная, возведенная в квадрат с ее коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата с его коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Все это в правой части равно 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из составляющих его членов, за исключением ax 2, это называется неполным квадратным уравнением.Примеры с решением таких задач, значения переменных в которых легко найти, следует рассмотреть в первую очередь.

Если выражение выглядит так, что в выражении справа есть два члена, точнее ax 2 и bx, проще всего найти x, поместив переменную вне скобок. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x (ax + b). Далее становится очевидным, что либо x = 0, либо проблема сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax + b = 0.Это продиктовано одним из свойств умножения. Правило состоит в том, что произведение двух множителей дает 0 только в том случае, если один из них равен нулю.

Пример

x = 0 или 8x — 3 = 0

В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

Уравнения такого типа могут описывать движение тел под действием силы тяжести, которые начали двигаться из некоторой точки, взятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующий вид: y = v 0 t + gt 2/2.Подставляя необходимые значения, приравнивая правую часть к 0 и находя возможные неизвестные, можно узнать время, прошедшее с момента подъема тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом поговорим позже.

Факторинг выражения

Описанное выше правило позволяет решать указанные задачи в более сложных случаях … Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений этого типа.

X 2 — 33x + 200 = 0

Этот квадратный трехчлен полный.Во-первых, давайте преобразуем выражение и разложим его на множители. Их два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

Примеры решения квадратных уравнений в 9 классе позволяют этим методом найти переменная в выражениях не только второго, но даже третьего и четвертого порядков.

Например: 2x 3 + 2x 2 — 18x — 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной их три, то есть (x + 1), (x-3) и ( х + 3).

В результате становится очевидным, что это уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

Извлечение квадратного корня

Другой случай неполного уравнения второго порядка — это выражение, представленное на языке букв таким образом, что правая часть строится из компонентов ax 2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую часть, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень… Следует отметить, что в этом случае обычно имеется два корня уравнения. Исключение составляют только равенства, вообще не содержащие члена c, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений нет вообще, так как вышеуказанные действия с корнями выполнить нельзя. Следует рассмотреть примеры решений квадратных уравнений этого типа.

В этом случае корнями уравнения будут числа -4 и 4.

Расчет площади земельного участка

Необходимость такого рода расчетов возникла еще в глубокой древности, потому что развитие математики во многом в те далекие времена было обусловлено необходимостью определения с наибольшей точностью площадей и периметры земельных участков.

Примеры с решением квадратных уравнений, составленные на основе задач подобного рода, должны быть рассмотрены нами.

Итак, допустим, есть прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше ширины.Вы должны найти длину, ширину и периметр участка, если знаете, что его площадь составляет 612 м 2.

Приступая к делу, давайте сначала составим необходимое уравнение. Обозначим через x ширину секции, тогда ее длина будет (x + 16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением x (x + 16), которое, согласно условию нашей задачи, равно 612. Это означает, что x (x + 16) = 612.

решение полных квадратных уравнений, а это выражение как раз и не может быть выполнено таким же образом.Почему? Хотя его левая часть по-прежнему содержит два фактора, их произведение вовсе не равно 0, поэтому здесь применимы другие методы.

Дискриминант

В первую очередь произведем необходимые преобразования, тогда внешний вид этого выражения будет выглядеть так: x 2 + 16x — 612 = 0. Это означает, что мы получили выражение в форме, соответствующей заданному ранее стандарту. , где a = 1, b = 16, c = -612.

Это может быть пример решения квадратных уравнений через дискриминант.Здесь необходимые расчеты производятся по схеме: D = b 2 — 4ac. Эта вспомогательная величина не только позволяет найти искомые величины в уравнении второго порядка, но и определяет возможные варианты количества … Если D> 0, их два; при D = 0 корень один. Если D

О корнях и их формуле

В нашем случае дискриминант: 256 — 4 (-612) = 2704. Это означает, что у нашей задачи есть ответ. Если вы знаете, k, решение квадратных уравнений необходимо продолжить, используя приведенную ниже формулу.Позволяет рассчитать корни.

Это означает, что в представленном случае: x 1 = 18, x 2 = -34. Второй вариант в этой дилемме не может быть решением, потому что размеры земельного участка нельзя измерить отрицательными значениями, поэтому x (то есть ширина участка) составляет 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18 + 16 = 34, а периметр 2 (34+ 18) = 104 (м 2).

Примеры и задания

Продолжаем изучать квадратные уравнения. Примеры и подробное решение некоторых из них будут приведены ниже.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Переносим все в левую часть равенства, делаем преобразование, то есть получаем форму уравнения, которую обычно называют стандартной , и приравняем к нулю.

15x 2 + 20x + 5 — 12x 2 — 27x — 1 = 0

Добавляя похожие, мы определяем дискриминант: D = 49 — 48 = 1. Таким образом, наше уравнение будет иметь два корня. Рассчитаем их по приведенной выше формуле, а это значит, что у первого из них будет 4/3, а у второго — 1.

2) Теперь откроем загадки другого рода.

Давайте выясним, есть ли здесь вообще корни x 2 — 4x + 5 = 1? Чтобы получить исчерпывающий ответ, приведем многочлен к соответствующему знакомому виду и вычислим дискриминант. В этом примере решение квадратного уравнения не обязательно, потому что суть проблемы вовсе не в этом. В данном случае D = 16-20 = -4, а значит, корней действительно нет.

Теорема Виета

Квадратные уравнения удобно решать, используя приведенные выше формулы и дискриминант, когда квадратный корень извлекается из значения последнего.Но так бывает не всегда. Однако в этом случае есть много способов получить значения переменных. Пример: решение квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь человека, жившего во Франции 16 века и сделавшего блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Его портрет можно увидеть в статье.

Узор, замеченный знаменитым французом, выглядел следующим образом. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p = b / a, а их произведение соответствует q = c / a.

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

3x 2 + 21x — 54 = 0

Для простоты преобразуем выражение:

x 2 + 7x — 18 = 0

Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равно -7, а их произведение -18. Отсюда получаем, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Проверив, мы убедимся, что эти значения переменных действительно вписываются в выражение.

График параболы и уравнение

Понятия квадратичной функции и квадратных уравнений тесно связаны.Примеры этого уже приводились ранее. Теперь давайте рассмотрим некоторые математические загадки более подробно. Любое уравнение описанного типа можно визуализировать. Такая взаимосвязь, изображенная в виде графика, называется параболой. Его различные типы показаны на рисунке ниже.

Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой отходят ее ветви. Если a> 0, они уходят в бесконечность, а при

Визуальные представления функций помогают решать любые уравнения, в том числе квадратные.Этот метод называется графическим. А значение переменной x — координата абсциссы в точках, где линия графика пересекается с 0x. Координаты вершины можно найти по только что приведенной формуле x 0 = -b / 2a. И, подставив полученное значение в исходное уравнение функции, можно узнать y 0, то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

Примеров с решением квадратных уравнений много, но есть и общие закономерности.Давайте их рассмотрим. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a> 0 возможно, только если y 0 принимает отрицательные значения. А для a0. В противном случае D

Корни также можно определить из графика параболы. Обратное также верно. То есть, если получить наглядное изображение квадратичной функции непросто, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, построить график проще.

Из истории

С помощью уравнений, содержащих квадрат переменной, в старину не только выполняли математические вычисления и определяли площади геометрических фигур. Такие расчеты нужны древним для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

По мнению современных ученых, жители Вавилона одними из первых решили квадратные уравнения.Произошло это за четыре века до нашей эры. Конечно, их расчеты принципиально отличались от принятых сейчас и оказались гораздо более примитивными. Например, математики из Месопотамии понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Им были незнакомы и другие тонкости, которые знает любой школьник нашего времени.

Возможно, даже раньше, чем ученые Вавилона, мудрец из Индии Баудхаяма занялся решением квадратных уравнений.Произошло это примерно за восемь веков до наступления эпохи Христа. Правда, уравнения второго порядка, методы решения которых он дал, были самыми простыми. Помимо него, в старину подобными вопросами интересовались и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать только в начале 13 века, но позже их использовали в своих работах такие великие ученые, как Ньютон, Декарт и многие другие.

», то есть уравнения первой степени.В этом уроке мы проанализируем квадратное уравнение и способы его решения.

То, что называется квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяется наибольшей степенью неизвестного.

Если максимальная степень неизвестности равна «2», то перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x 2 — 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x + = 0
  • х 2 + 0.25x = 0
  • х 2-8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

«A», «b» и «c» обозначены числами.
  • «А» — первый или наиболее значимый коэффициент;
  • «В» — второй коэффициент;
  • «C» является бесплатным участником.

Чтобы найти «a», «b» и «c», вам нужно сравнить свое уравнение с общей формой квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0».

Попрактикуемся в определении коэффициентов «a», «b» и «c» в квадратных уравнениях.

5x 2 — 14x + 17 = 0 −7x 2 — 13x + 8 = 0 -х 2 + х + = 0 х 2 + 0,25х = 0
Уравнение Шансы
x 2-8 = 0

Как решить квадратные уравнения

В отличие от линейных уравнений, для решения квадратных уравнений используется специальная формула для поиска корней .

Помните!

Для решения квадратного уравнения необходимо:

  • приведем квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0».То есть с правой стороны должен остаться только «0»;
  • используйте формулу для корней:

Давайте рассмотрим пример того, как использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

Х 2 — 3х — 4 = 0

Уравнение «x 2 — 3x — 4 = 0» уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0» и не требует дополнительных упрощений. Чтобы решить ее, нам просто нужно применить формулу для нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a», «b» и «c» для этого уравнения.


х 1; 2 =
х 1; 2 =
х 1; 2 =
х 1; 2 =

С его помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1; 2 =» радикальное выражение часто заменяется
«B 2 — 4ac» на букву «D» и называется дискриминантом. Более подробно понятие дискриминанта обсуждается в уроке «Что такое дискриминант».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

х 2 + 9 + х = 7x

Определить коэффициенты «а», «б» и «с» в таком виде достаточно сложно. Сначала приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x — 7x = 0
x 2 + 9 — 6x = 0
x 2 — 6x + 9 = 0

Теперь вы можете использовать формулу корня.

х 1; 2 =
х 1; 2 =
х 1; 2 =
х 1; 2 =
x =


x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней.Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем находится отрицательное число.

Когда квадратное уравнение имеет два корня. Математическое дискриминантное уравнение

Квадратные уравнения изучаются в 8 классе, поэтому здесь нет ничего сложного. Умение их решать абсолютно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b, c — произвольные числа, а a ≠ 0.

Прежде чем приступить к изучению конкретных методов решения, отметим, что все квадратные уравнения условно можно разделить на три класса:

  1. У них нет корней;
  2. У них ровно один корень;
  3. У них два разных корня.

Это важное различие между квадратными и линейными уравнениями, где корень всегда существует и уникален. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого есть замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 — 4ac.

Эту формулу нужно знать наизусть. Откуда это взялось, теперь неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D
  2. Если D = 0, то корень ровно один;
  3. Если D> 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает количество корней, а вовсе не их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры и все поймете сами:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. х 2 — 8х + 12 = 0;
  2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
  3. х 2 — 6х + 9 = 0.

Выписываем коэффициенты для первого уравнения и находим дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 — 4 · 1 · 12 = 64 — 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два разных корня.Аналогично анализируем второе уравнение:
а = 5; b равно 3; c = 7;
D = 3 2 — 4 · 5 · 7 = 9 — 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Остается последнее уравнение:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет равен единице.

Обратите внимание, что коэффициенты были записаны для каждого уравнения. Да, это долго, да, это скучно, но вы не перепутаете шансы и не сделаете глупых ошибок.Выбирайте сами: скорость или качество.

Между прочим, если вы «приложите руку к этому», через некоторое время вам больше не нужно будет записывать все шансы. Такие операции вы будете проделывать в уме. Большинство людей начинают это делать где-то после решения 50-70 уравнений — в общем, не так уж и много.

Корни квадратного уравнения

А теперь перейдем к решению. Если дискриминант D> 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

При D = 0 можно использовать любую из этих формул — получится то же самое номер, который будет ответом.Наконец, если D

  1. х 2 — 2х — 3 = 0;
  2. 15 — 2х — х 2 = 0;
  3. х 2 + 12х + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 — 2x — 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = −3;
D = (−2) 2-4 · 1 · (−3) = 16.

D> 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдите их:

Второе уравнение:
15 — 2x — x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2-4 · (−1) · 15 = 64.

D> 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найди их

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right) ) = — 5; \\\\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \\ left (-1 \ right)) = 3. \ \\\ \\ конец (выравнивание) \\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b равно 12; c = 36;
D = 12 2 — 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень.Вы можете использовать любую формулу. Например, первый:

Как видно из примеров, все очень просто. Если вы знаете формулы и умеете считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет описанная выше методика: буквально смотреть на формулу, записывать каждый шаг — и очень скоро избавиться от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении.Например:

  1. х 2 + 9х = 0;
  2. х 2-16 = 0.

Нетрудно заметить, что в этих уравнениях отсутствует один из членов. Такие квадратные уравнения решить даже проще, чем стандартные: в них даже не нужно учитывать дискриминант. Итак, представляем новую концепцию:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободном элементе равен нулю.

Конечно, возможен очень сложный случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет вид одинарный корень: х = 0,

Рассмотрим оставшиеся случаи. Пусть b = 0, тогда у нас получится неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл только при (−c / a) ≥ 0.Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполняется неравенство (−c / a) ≥ 0, то корней будет два. Формула приведена выше;
  2. Если (−c / a)

Как видите, никакого дискриминанта не потребовалось — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже не нужно помнить о неравенстве (−c / a) ≥ 0. Достаточно выразить значение x 2 и посмотреть, что находится по ту сторону знака равенства.Если число положительное, корней будет два. Если отрицательный, корней не будет.

Теперь займемся уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Здесь все просто: всегда будет два корня. Достаточно разложить полином на множители:

Заключение в скобки общего множителя

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда корни. В заключение проанализируем несколько таких уравнений:

Задача.Решите квадратные уравнения:

  1. х 2-7х = 0;
  2. 5х 2 + 30 = 0;
  3. 4х 2-9 = 0.

x 2 — 7x = 0 ⇒ x · (x — 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; х 2 = — (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, потому что квадрат не может быть отрицательным числом.

4x 2-9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; х 2 = −1.5.

Копиевская сельская общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратичные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как Диофант составил и решил квадратные уравнения

1.3 Квадратичные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения в аль-Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII веков

1.6 О теореме Виета

2. Методы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратичные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с нахождением участков суши и земляных работ военного характера, а также развитием астрономии и математики. сам.Они смогли решить квадратные уравнения примерно в 2000 году до нашей эры. е. вавилоняне.

Используя современные алгебраические обозначения, можно сказать, что в их клинописных текстах, помимо неполных, есть, например, полные квадратные уравнения:

х 2 + Х = ¾; Х 2 Х = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по существу совпадает с современным, но неизвестно, как вавилоняне достигли этого правила.Почти во всех найденных клинописных текстах упоминаются только проблемы, решения которых изложены в форме рецептов, без указания того, как они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как Диофант составлял и решал квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, но он содержит систематический ряд задач, сопровождаемых пояснениями и решаемых путем составления уравнений разной степени.

При составлении уравнений Диофант умело выбирает неизвестные, чтобы упростить решение.

Вот, например, одна из его задач.

Задача 11. «Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение равно 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи следует, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, их произведение было бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их всего, т.е. . 10 + x , другой меньше, то есть 10-х . Разница между ними 2x .

Отсюда уравнение:

(10 + х) (10 — х) = 96

100 — х 2 = 96

х 2-4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Один из разыскиваемых номеров — 12 прочие 8 . Решения x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбрав одно из желаемых чисел в качестве неизвестного, то мы придем к решению уравнения

у (20 — у) = 96,

y 2-20 y + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного половинную разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1,3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи по квадратным уравнениям уже найдены в астрономическом пути «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2+ б х = с, а> 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме и , могут быть отрицательными. Правило Брахмагупты по сути совпадает с нашим.

В древней Индии были широко распространены публичные соревнования по решению сложных задач. В одной из древнеиндийских книг о таких соревнованиях говорится следующее: «Как солнце затмевает звезды своим сиянием, так ученый человек затмевает славу другого на народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.«Задачи часто облекаются в поэтическую форму.

Вот одна из задач известного индийского математика XII века. Бхаскара.

Задача 13.

«Обезьяны резвой стаи И двенадцать в виноградных лозах …

Сила ест, развлекается. Начали прыгать, висеть …

Их на площади восемь штук. Сколько было обезьян,

На лугу она развлекалась. Подскажите в этом паке? ”

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о неоднозначности корней квадратных уравнений (рис.3).

Уравнение, соответствующее задаче 13:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пишет под видом:

х 2 — 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим сторонам 32 2 получаем тогда:

х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х — 32) 2 = 256,

х — 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения для аль-Хорезми

Алгебраический трактат аль-Хорезми дает классификацию линейных и квадратных уравнений. У автора есть 6 типов уравнений, выражающих их следующим образом:

1) «Квадраты равны по корню», т.е. ah 2 + c = б х

2) «Квадраты равны числу», т.е. ax 2 = s.

3) «Корни равны числу», т.е.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ah 2 + c = б х

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ah 2+ bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + c = ax 2.

Для аль — Хорезми, избегая использования отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений являются членами, а не вычитаются.При этом явно не учитываются уравнения, не имеющие положительных решений. Автор намечает способы решения этих уравнений, используя методы аль-джабра и аль-мукабала. Его решение, конечно, не полностью совпадает с нашим. Не говоря уже о том, что это чисто риторический характер, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого рода

ал-Хорезми, как и все математики до 17 века, не принимает во внимание нулевое решение, вероятно, потому, что оно не имеет значения в конкретных практических задачах.Решая полные квадратные уравнения, аль-Хорезми на конкретных численных примерах излагает правила решения, а затем геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найдите корень » (подразумевает корень уравнения x 2 + 21 = 10x).

Авторское решение звучит примерно так: количество корней разделите пополам, получите 5, умножьте 5 на себя, вычтите 21 из произведения, оставив 4.Возьмите корень из 4, получите 2. Уберите 2 из 5, получите 3, это будет искомый корень. Или прибавьте 2 к 5, что даст 7, это тоже корень.

Трактат аль — Хорезми — первая дошедшая до нас книга, в которой систематически излагается классификация квадратных уравнений и даются формулы для их решения.

1,5 Квадратные уравнения в Европе XIII XVII куб.см

Формулы для решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в Abacus Book, написанном в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Этот объемный труд, отражающий влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается полнотой и ясностью изложения. Автор самостоятельно разработал несколько новых алгебраических примеров решения задач и первым в Европе ввел отрицательные числа. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задания из Книги Счетов вошли практически во все европейские учебники XVI — XVII веков.и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

х 2 + bx = s

со всевозможными комбинациями знаков коэффициентов b , из Он был сформулирован в Европе только в 1544 году М. Штифелем.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения в целом можно получить у Вьетнама, однако Вьет признал только положительные корни.Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли одними из первых в XVI веке. Помимо положительных, учитываются и отрицательные корни. Только в XVII в. Благодаря работам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была впервые сформулирована им в 1591 году следующим образом: «Если B + D раза A A 2 равно Bd , затем A равно IN и равно D ».

Чтобы понять Виета, вы должны помнить, что A , как и любая гласная буква, означает неизвестное (наше x ), гласные IN, D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры приведенная выше формулировка Виета означает: если

(а + б ) х — х 2 = ab , г.

x 2 — (а + б ) х + а б = 0,

х 1 = а, х 2 = б .

Выражая связь между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Вьет установил единообразие в методах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного облика. Он не распознавал отрицательные числа и поэтому при решении уравнений рассматривал только случаи, когда все корни положительны.

2. Методы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором зиждется великолепное построение алгебры.Квадратные уравнения широко используются при решении тригонометрических, экспоненциальных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы знаем, как решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до выпуска.

5x (x — 4) = 0

5 x = 0 или x — 4 = 0

x = ± √ 25/4

Научившись решать уравнения первой степени, конечно, я хотите работать с другими, в частности, с уравнениями второй степени, которые еще называют квадратными.

Квадратные уравнения — это уравнения типа ax ² + bx + c = 0, где переменная x, числа — a, b, c, где a не равно нулю.

Если в квадратном уравнении один или другой коэффициент (c или b) равен нулю, то это уравнение будет относиться к неполному квадратному уравнению.

Как решить неполное квадратное уравнение, если студенты все еще могут решать только уравнения первой степени? Рассмотрим неполные квадратные уравнения разных типов и простые способы их решения.

а) Если коэффициент c равен 0, а коэффициент b не равен нулю, то ax ² + bx + 0 = 0 сводится к уравнению вида ax ² + bx = 0.

Чтобы решить такое уравнение, вам необходимо знать формулу решения неполного квадратного уравнения, которая заключается в факторизации его левой части и последующем использовании условия, что произведение равно нулю.

Например, 5x ² — 20x = 0. Разложите левую часть уравнения на множители, выполняя обычную математическую операцию: вынимая общий множитель за скобки

5x (x — 4) = 0

We используйте условие, что продукты равны нулю.

5 х = 0 или х — 4 = 0

Ответ будет: первый корень равен 0; второй корень равен 4.

б) Если b = 0, а свободный член не равен нулю, то уравнение ax ² + 0x + c = 0 сводится к уравнению вида ax ² + c \ u003d 0. Решите уравнения двумя способами: а) разложив многочлен уравнения слева на множители; б) используя свойства квадратного арифметического корня. Такое уравнение решается одним из способов, например:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2.Ответ будет: первый корень — 5/2; второй корень — 5/2.

c) Если b равно 0, а c равно 0, то ax ² + 0 + 0 = 0 сводится к уравнению вида ax ² = 0. В этом уравнении x будет равен 0

Как видите, неполные квадратные уравнения могут иметь не более двух корней.

Надеюсь, изучив эту статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения; для решения неполных квадратных уравнений используются другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие квадратные уравнения называются полными? Это уравнений вида ax 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и c не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, мы должны вычислить дискриминант D.

D = b 2 — 4ac.

В зависимости от значимости дискриминанта запишем ответ.

Если дискриминант является отрицательным числом (D

Если дискриминант равен нулю, то x = (-b) / 2a.Когда дискриминант — положительное число (D> 0),

, то x 1 = (-b — √D) / 2a, а x 2 = (-b + √D) / 2a.

Например. Решите уравнение x 2 — 4x + 4 = 0.

D = 4 2 — 4 · 4 = 0

х = (- (-4)) / 2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2 x 2 + х + 3 = 0.

D = 1 2 — 4 · 2 · 3 = — 23

Ответ: корней нет .

Решить уравнение 2 x 2 + 5x — 7 = 0 .

D = 5 2 — 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81) / (2 · 2) = (-5 — 9) / 4 = — 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Ответ: — 3,5; 1 .

Итак, представьте себе решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке 1.

Используя эти формулы, вы можете решить любое полное квадратное уравнение.Нужно только внимательно следить, чтобы уравнение было записано как стандартный полином

a x 2 + bx + c, иначе можно ошибиться. Например, в записи уравнения x + 3 + 2x 2 = 0 можно ошибочно решить, что

а = 1, b = 3 и c = 2. Тогда

D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неправда. (См. Решение примера 2 выше).

Следовательно, если уравнение не записывается в виде полинома стандартной формы, сначала полное квадратное уравнение должно быть записано в виде полинома стандартной формы (в первую очередь должно быть одночленом с наивысшим показателем, т. Е. a х 2 то с менее bx , а затем свободный элемент из.

При решении квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом во втором члене можно использовать другие формулы.Познакомимся с этими формулами. Если коэффициент в полном квадратном уравнении со вторым членом четный (b = 2k), то мы можем решить уравнение, используя формулы, приведенные на диаграмме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент x 2 равно единице и уравнение принимает вид x 2 + px + q = 0 . Такое уравнение можно дать для решения или получить путем деления всех коэффициентов, уравнение на коэффициент a , стоящий на x 2 .

На рисунке 3 показана диаграмма решения приведенного квадратного уравнения
. Рассмотрим на примере формул, рассмотренных в этой статье.

Пример. Решите уравнение

3 x 2 + 6x — 6 = 0.

Давайте решим это уравнение, используя формулы на диаграмме на Рисунке 1.

D = 6 2 — 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √ (36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3) / (2 · 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 — √3

х 2 = (-6 + 6√3) / (2 · 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3

Ответ: –1 — √3; –1 + √3

Видно, что коэффициент при x в этом уравнении — четное число, то есть b = 6 или b = 2k, откуда k = 3.Затем попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 — 3 · (- 6) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √27 = √ (9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3) / 3 = (3 (-1 — √ (3))) / 3 = — 1 — √3

х 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = — 1 + √3

Ответ: –1 — √3; –1 + √3 . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и завершив деление, мы получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2x — 2 = 0 Решаем это уравнение, используя формулы для приведенных квадратных уравнений
на рисунке 3.

D 2 = 2 2 — 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√ (D 2) = √12 = √ (4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3) / 2 = (2 (-1 — √ (3))) / 2 = — 1 — √3

х 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = — 1 + √3

Ответ: –1 — √3; –1 + √3.

Как видите, решая это уравнение по разным формулам, мы получили один и тот же ответ. Следовательно, хорошо усвоив формулы на диаграмме на рисунке 1, вы всегда можете решить любое полное квадратное уравнение.

Сайт

, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

Библиографическое описание: Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Елков А.А., Шильненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Методы решения квадратных уравнений // Молодой ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20..02.2019).

Наш проект посвящен решению квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу.Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться ими пользоваться самостоятельно, а также познакомить одноклассников с этими методами.

Что такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c — некоторые числа ( a ≠ 0 ), x — неизвестно.

Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c является бесплатным участником.

А кто первым «изобрел» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические методы решения линейных и квадратных уравнений были известны 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датируемые где-то между 1800 и 1600 годами до нашей эры, являются самым ранним свидетельством изучения квадратных уравнений. На тех же тарелках находятся методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с нахождением участков суши и земляных работ военного характера, а также развитием астрономии и математики. сам.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по существу совпадает с современным, но неизвестно, как вавилоняне достигли этого правила. Почти во всех найденных клинописных текстах упоминаются только проблемы, решения которых изложены в форме рецептов, без указания того, как они были найдены.Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с 4 века до нашей эры. Мы использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 г. до н.э. Евклид изобрел более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решение уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII век нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bx = s, a> 0

В этом уравнении коэффициенты могут быть отрицательными. Правило Брахмагупты по сути совпадает с нашим.

В Индии были широко распространены публичные соревнования по решению сложных задач. В одной из древнеиндийских книг о таких состязаниях сказано следующее: «Как солнце затмевает звезды своим сиянием, так и ученый затмевает славу на публичных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.«Задачи часто облекаются в поэтическую форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. У автора есть 6 типов уравнений, выражающих их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», то есть ax2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», то есть ax2 = s.

3) «Корни равны числу», то есть ax2 = p.

4) «Квадраты и числа равны корням», то есть ax2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», то есть ax2 + bx = s.

6) «Корни и числа равны квадратам», то есть bx + c = = ax2.

Для Аль-Хорезми, который избегал использования отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений являются членами, а не вычитаются. При этом явно не учитываются уравнения, не имеющие положительных решений. Автор намечает способы решения этих уравнений, используя методы аль-джабра и аль-мукабала.Его решение, конечно, не полностью совпадает с нашим. Не говоря уже о том, что это чисто риторический характер, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого рода Аль-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевой решение, наверное, потому, что в конкретных практических задачах это не имеет значения. Решая полные квадратные уравнения, Аль-Хорезми на конкретных численных примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в книге Абак, написанной в 1202 году. Итальянский математик Леонард Фибоначчи . Автор самостоятельно разработал несколько новых алгебраических примеров решения задач и первым в Европе ввел отрицательные числа.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но также в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задания из этой книги вошли практически во все европейские учебники XIV-XVII веков.Общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме x2 + bx = c со всеми возможными комбинациями знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 году. М. Штифель.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения в целом можно получить у Вьетнама, однако Вьет признал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке. учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни.Только в XVII в. Благодаря трудам Жирара , Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные методы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Факторизация левой части уравнения.
  2. Метод выбора полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решении приведенных и неприведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения данных квадратных уравнений достаточно найти два числа, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5х + 6 = 0

Вам нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это будут числа 3 и 2.

Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Но вы можете использовать этот метод для уравнений с первым коэффициентом, не равным единице.

Пример. 3x 2 + 2х-5 = 0

Возьмите первый коэффициент и умножьте его на свободный член: x 2 + 2x-15 = 0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно –15, а сумма равна –2.Это числа 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делятся на первый коэффициент.

Ответ: x 1 = -5 / 3, х 2 = 1

6. Решение уравнений методом «переноса».

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Умножив обе его части на a, получим уравнение a 2 x 2 + a bx + ac = 0.

Пусть ax = y, откуда x = y / a; то приходим к уравнению y 2 + by + ac = 0, что эквивалентно этому. Мы находим его корни в 1 и 2, используя теорему Виета.

В итоге получаем x 1 = y 1 / a и x 2 = y 2 / a.

В этом методе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «передается» ему, поэтому он называется методом «передачи». Этот метод используется, когда легко найти корни уравнения с помощью теоремы Виета и, что наиболее важно, когда дискриминант представляет собой точный квадрат.

Пример. 2x 2 — 11х + 15 = 0.

«Переносим» коэффициент 2 в свободный член и, сделав замену, получаем уравнение y 2 — 11y + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; у 2 = 6, х 2 = 6/2, х 2 = 3.

Ответ: x 1 = 2,5; х 2 = 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, и пусть ≠ 0.

1. Если a + b + c = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x 1 = 1.

2. Если a — b + c = 0, или b = a + c, то x 1 = — 1.

Пример. 345x 2 — 137х — 208 = 0.

Поскольку a + b + c = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Ответ: x 1 = 1; х 2 = -208/345 .

Пример. 132x 2 + 247x + 115 = 0

Поскольку a-b + c = 0 (132 — 247 + 115 = 0), то x 1 = — 1, x 2 = — 115/132

Ответ: x 1 = — 1; х 2 = — 115/132

Есть и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения.но их использование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограмм.

Рис. 1. Номограмма

Это старый и ныне забытый способ решения квадратных уравнений, размещенный на стр.83 сборника: Bradis V.M. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, определить корни уравнения по его коэффициентам.

Криволинейный масштаб номограммы строится по формулам (рис. 1):

Полагая OS = p, ED = q, OE = a (все в см), из рис.1 подобия треугольников SAN и Cdf получаем пропорцию

откуда после замен и упрощений следует уравнение z 2 + pz + q = 0, , причем буква z означает обозначение любой точки на кривой шкале.

Рис.2 Решение квадратных уравнений с использованием номограмм

Примеры.

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ: 8,0; 1,0.

2) Решите уравнение с помощью номограммы

2z 2 — 9z + 2 = 0.

Делим коэффициенты этого уравнения на 2, получаем уравнение z 2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический метод решения квадратных уравнений.

Пример. x 2 + 10x = 39.

В оригинале эта задача сформулирована так: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной x, на его сторонах построены прямоугольники так, чтобы другая сторона каждого из них была равна 2.5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученная фигура затем добавляется к новому квадрату ABCD, выстраивая по углам четыре равных квадрата, сторона каждого из которых равна 2,5, а площадь равна 6,25

.

Рис.3 Графический способ решения уравнения x 2 + 10x = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: исходного квадрата x 2, четырех прямоугольников (4 ∙ 2,5x = 10x) и четырех присоединенных квадратов (6,25 ∙ 4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Заменяя x 2 + 10x на число 39, получаем, что S = 39 + 25 = 64, из чего следует, что сторона квадрата равна ABCD, т.е. отрезок AB = 8. Для искомой стороны x исходного квадрата получаем

10. Решение уравнений с помощью теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен x — α равен P (α) (т.е. значению P (x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. х²-4х + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α = 1, 1-4 + 3 = 0. Разделите P (x) на (x-1) 🙁 x²- 4х + 3) / (х-1) = х-3

х²-4х + 3 = (х-1) (х-3), (х-1) (х-3) = 0

х-1 = 0; х = 1, или х-3 = 0, х = 3; Ответ: x 1 = 2, х 2 = 3.

Заключение: Способность быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходима для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а также в старших классах тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических уравнений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *