Домашняя работа 5 класс математика виленкин: Номер (задание) 109 — гдз по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков

Номер (задание) 109 — гдз по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков

Условие /
глава 1 / § 1 / тема 4 / 109

109. Мальчик отмечал показания термометра вечером и утром. Одно деление шкалы на его термометре составляет 2 градуса. На сколько градусов понизилась или повысилась температура за ночь, если столбик термометра: а) поднялся на 3 деления; б) опустился на 4 деления; в) опустился на б делений; г) поднялся на 5 делений?

Решебник №1 / глава 1 / § 1 / тема 4 / 109

Видеорешение / глава 1 / § 1 / тема 4 / 109

Решебник №2 / глава 1 / § 1 / тема 4 / 109

Решебник №3 / глава 1 / § 1 / тема 4 / 109

Номер (задание) 1609 — гдз по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков

Условие /
глава 2 / § 8 / тема 40 / 1609

1609. Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы?

Решебник №1 / глава 2 / § 8 / тема 40 / 1609

Видеорешение / глава 2 / § 8 / тема 40 / 1609

Решебник №2 / глава 2 / § 8 / тема 40 / 1609

Решебник №3 / глава 2 / § 8 / тема 40 / 1609

Номер (задание) 1560 — гдз по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков

Условие /
глава 2 / § 8 / тема 39 / 1560

1560. Выполните действия и проверьте ответ с помощью микрокалькулятора: ((4 : 0,128 + 14 628,25) : 1,011 * 0,00008 + 6,84) : 12,5.

Решебник №1 / глава 2 / § 8 / тема 39 / 1560

Видеорешение / глава 2 / § 8 / тема 39 / 1560

Решебник №2 / глава 2 / § 8 / тема 39 / 1560

Решебник №3 / глава 2 / § 8 / тема 39 / 1560

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина

Научившись работать с гдз по математике за 5 класс Виленкин, учащиеся смогут и в дальнейшем искать и использовать разнообразные математические данные в своей школьной и внешкольной деятельности. Практика показывает, что те школьники, которые с успехом овладевают этим умением, впоследствии демонстрируют высокие результаты даже в областях, далеких от математики. Однако они твердо осваивают принцип и подход таких занятий: выявление и отслеживание логики, разбор алгоритма решения, грамотное фиксирование всех вариантов полученных ответов.

Кто будет в полном восторге от готовых ответов по математике за 5 класс (автор Виленкин)?

Далеко не всегда и не всем в жизни пригодится математика. Однако работа с онлайн справочником будет безусловно полезна для пользователей и в таких случаях:

• переписывание решения и его текущий разбор для тех лиц, кто уже достаточно твердо определился со своей будущей сферой деятельности, и для кого математика не станет той наукой, на которую будет опираться профессия. Таким подросткам намного целесообразнее перенести решение и ответ из решебника в рабочие и контрольные тетради и получить высокую оценку за работу. Это полезнее списывания у одноклассника. Хотя бы по причине того, что дома гораздо больше времени на то, чтобы разобрать и понять тему, смысл задания и ответа на него;
• выпускникам, повторяющим курс классической математики перед сдачей обязательных проверочных работ. Во-первых, потому что многие знания с течением времени забываются, а изучение самого курса дисциплины в шестом классе завершается. Во-вторых, потому что методики решения и оформления работ периодически меняются, и к экзаменам надо «обновить данные», получить более свежую информацию;
• шестиклассникам, изучающим предмет по другим программам и учебникам. В этом случае пособие и онлайн-ответы к нему позволят более глубоко и всесторонне изучить, проработать материал, включая его самые сложные темы, параграфы и разделы.

Аргументы в пользу применения сборников в образовательном процессе

Хотя предубеждения против применения онлайн справочника по математике для 5 класса к Виленкину имеются у отдельных групп людей и категорий специалистов, считающих, что они не прививают навык самостоятельной работы, а, скорее, приводят к его потере, практика свидетельствует об ином. Поскольку именно при помощи еуроки ГДЗ к математическим пособиям:

• можно в спокойных, домашних условиях понять и отработать схемы даже самых непростых заданий, включая материалы повышенного уровня сложности;
• легче узнать о последних изменениях и действующих правилах решения и оформления работ;
• ряд шестиклассников, не обучающихся в математических и инженерных лицеях и школах, имеют возможность качественно изучить углубленный уровень дисциплины и на равных участвовать в конкурсных мероприятиях с теми подростками, которые обучаются в этих учебных заведениях.

Математика 5 класс Виленкин

Список упражнений:

               1           2           3           4           5           6           7           8           9  
     10        11        12        13        14        15        16        17        18        19  
     20        21        22        23        24        25        26        27        28        29  
     30        31        32        33        34        35        36        37        38        39  
     40        41        42        43        44        45        46        47        48        49  
     50        51        52        53        54        55        56        57        58        59  
     60        61        62        63        64        65        66        67        68        69  
     70        71        72        73        74        75        76        77        78        79  
     80        81        82        83        84        85        86        87        88        89  
     90        91        92        93        94        95        96        97        98        99  

100

  100     101     102     103     104     105     106     107     108     109  
  110     111     112     113     114     115     116     117     118     119  
  120     121     122     123     124     125     126     127     128     129  
  130     131     132     133     134     135     136     137     138     139  
  140     141     142     143     144     145     146     147     148     149  
  150     151     152     153     154     155     156     157     158     159  
  160     161     162     163     164     165     166     167     168     169  
  170     171     172     173     174     175     176     177     178     179  
  180     181     182     183     184     185     186     187     188     189  
  190     191     192     193     194     195     196     197     198     199  

200

  200     201     202     203     204     205     206     207     208     209  
  210     211     212     213     214     215     216     217     218     219  
  220     221     222     223     224     225     226     227     228     229  
  230     231     232     233     234     235     236     237     238     239  
  240     241     242     243     244     245     246     247     248     249  
  250     251     252     253     254     255     256     257     258     259  
  260     261     262     263     264     265     266     267     268     269  
  270     271     272     273     274     275     276     277     278     279  
  280     281     282     283     284     285     286     287     288     289  
  290     291     292     293     294     295     296     297     298     299  

300

  300     301     302     303     304     305     306     307     308     309  
  310     311     312     313     314     315     316     317     318     319  
  320     321     322     323     324     325     326     327     328     329  
  330     331     332     333     334     335     336     337     338     339  
  340     341     342     343     344     345     346     347     348     349  
  350     351     352     353     354     355     356     357     358     359  
  360     361     362     363     364     365     366     367     368     369  
  370     371     372     373     374     375     376     377     378     379  
  380     381     382     383     384     385     386     387     388     389  
  390     391     392     393     394     395     396     397     398     399  

400

  400     401     402     403     404     405     406     407     408     409  
  410     411     412     413     414     415     416     417     418     419  
  420     421     422     423     424     425     426     427     428     429  
  430     431     432     433     434     435     436     437     438     439  
  440     441     442     443     444     445     446     447     448     449  
  450     451     452     453     454     455     456     457     458     459  
  460     461     462     463     464     465     466     467     468     469  
  470     471     472     473     474     475     476     477     478     479  
  480     481     482     483     484     485     486     487     488     489  
  490     491     492     493     494     495     496     497     498     499  

500

  500     501     502     503     504     505     506     507     508     509  
  510     511     512     513     514     515     516     517     518     519  
  520     521     522     523     524     525     526     527     528     529  
  530     531     532     533     534     535     536     537     538     539  
  540     541     542     543     544     545     546     547     548     549  
  550     551     552     553     554     555     556     557     558     559  
  560     561     562     563     564     565     566     567     568     569  
  570     571     572     573     574     575     576     577     578     579  
  580     581     582     583     584     585     586     587     588     589  
  590     591     592     593     594     595     596     597     598     599  

600

  600     601     602     603     604     605     606     607     608     609  
  610     611     612     613     614     615     616     617     618     619  
  620     621     622     623     624     625     626     627     628     629  
  630     631     632     633     634     635     636     637     638     639  
  640     641     642     643     644     645     646     647     648     649  
  650     651     652     653     654     655     656     657     658     659  
  660     661     662     663     664     665     666     667     668     669  
  670     671     672     673     674     675     676     677     678     679  
  680     681     682     683     684     685     686     687     688     689  
  690     691     692     693     694     695     696     697     698     699  

700

  700     701     702     703     704     705     706     707     708     709  
  710     711     712     713     714     715     716     717     718     719  
  720     721     722     723     724     725     726     727     728     729  
  730     731     732     733     734     735     736     737     738     739  
  740     741     742     743     744     745     746     747     748     749  
  750     751     752     753     754     755     756     757     758     759  
  760     761     762     763     764     765     766     767     768     769  
  770     771     772     773     774     775     776     777     778     779  
  780     781     782     783     784     785     786     787     788     789  
  790     791     792     793     794     795     796     797     798     799  

800

  800     801     802     803     804     805     806     807     808     809  
  810     811     812     813     814     815     816     817     818     819  
  820     821     822     823     824     825     826     827     828     829  
  830     831     832     833     834     835     836     837     838     839  
  840     841     842     843     844     845     846     847     848     849  
  850     851     852     853     854     855     856     857     858     859  
  860     861     862     863     864     865     866     867     868     869  
  870     871     872     873     874     875     876     877     878     879  
  880     881     882     883     884     885     886     887     888     889  
  890     891     892     893     894     895     896     897     898     899  

900

  900     901     902     903     904     905     906     907     908     909  
  910     911     912     913     914     915     916     917     918     919  
  920     921     922     923     924     925     926     927     928     929  
  930     931     932     933     934     935     936     937     938     939  
  940     941     942     943     944     945     946     947     948     949  
  950     951     952     953     954     955     956     957     958     959  
  960     961     962     963     964     965     966     967     968     969  
  970     971     972     973     974     975     976     977     978     979  
  980     981     982     983     984     985     986     987     988     989  
  990     991     992     993     994     995     996     997     998     999  

1000

1000   1001   1002   1003   1004   1005   1006   1007   1008   1009  
1010   1011   1012   1013   1014   1015   1016   1017   1018   1019  
1020   1021   1022   1023   1024   1025   1026   1027   1028   1029  
1030   1031   1032   1033   1034   1035   1036   1037   1038   1039  
1040   1041   1042   1043   1044   1045   1046   1047   1048   1049  
1050   1051   1052   1053   1054   1055   1056   1057   1058   1059  
1060   1061   1062   1063   1064   1065   1066   1067   1068   1069  
1070   1071   1072   1073   1074   1075   1076   1077   1078   1079  
1080   1081   1082   1083   1084   1085   1086   1087   1088   1089  
1090   1091   1092   1093   1094   1095   1096   1097   1098   1099  

1100

1100   1101   1102   1103   1104   1105   1106   1107   1108   1109  
1110   1111   1112   1113   1114   1115   1116   1117   1118   1119  
1120   1121   1122   1123   1124   1125   1126   1127   1128   1129  
1130   1131   1132   1133   1134   1135   1136   1137   1138   1139  
1140   1141   1142   1143   1144   1145   1146   1147   1148   1149  
1150   1151   1152   1153   1154   1155   1156   1157   1158   1159  
1160   1161   1162   1163   1164   1165   1166   1167   1168   1169  
1170   1171   1172   1173   1174   1175   1176   1177   1178   1179  
1180   1181   1182   1183   1184   1185   1186   1187   1188   1189  
1190   1191   1192   1193   1194   1195   1196   1197   1198   1199  

1200

1200   1201   1202   1203   1204   1205   1206   1207   1208   1209  
1210   1211   1212   1213   1214   1215   1216   1217   1218   1219  
1220   1221   1222   1223       1224     1225     1226     1227     1228     1229  
  1230     1231     1232     1233     1234     1235     1236     1237     1238     1239  
  1240     1241     1242     1243     1244     1245     1246     1247     1248     1249  
  1250     1251     1252     1253     1254     1255     1256     1257     1258     1259  
  1260     1261     1262     1263     1264     1265     1266     1267     1268     1269  
  1270     1271     1272     1273     1274     1275     1276     1277     1278     1279  
  1280     1281     1282     1283     1284     1285     1286     1287     1288     1289  
  1290     1291     1292     1293     1294     1295     1296     1297     1298     1299  

1300

  1300     1301     1302     1303     1304     1305     1306     1307     1308     1309  
  1310     1311     1312     1313     1314     1315     1316     1317     1318     1319  
  1320     1321     1322     1323     1324     1325     1326     1327     1328     1329  
  1330     1331     1332     1333     1334     1335     1336     1337     1338     1339  
  1340     1341     1342     1343     1344     1345     1346     1347     1348     1349  
  1350     1351     1352     1353     1354     1355     1356     1357     1358     1359  
  1360     1361     1362     1363     1364     1365     1366     1367     1368     1369  
  1370     1371     1372     1373     1374     1375     1376     1377     1378     1379  
  1380     1381     1382     1383     1384     1385     1386     1387     1388     1389  
  1390     1391     1392     1393     1394     1395     1396     1397     1398     1399  

1400

  1400     1401     1402     1403     1404     1405     1406     1407     1408     1409  
  1410     1411     1412     1413     1414     1415     1416     1417     1418     1419  
  1420     1421     1422     1423     1424     1425     1426     1427     1428     1429  
  1430     1431     1432     1433     1434     1435     1436     1437     1438     1439  
  1440     1441     1442     1443     1444     1445     1446     1447     1448     1449  
  1450     1451     1452     1453     1454     1455     1456     1457     1458     1459  
  1460     1461     1462     1463     1464     1465     1466     1467     1468     1469  
  1470     1471     1472     1473     1474     1475     1476     1477     1478     1479  
  1480     1481     1482     1483     1484     1485     1486     1487     1488     1489  
  1490     1491     1492     1493     1494     1495     1496     1497     1498     1499  

1500

  1500     1501     1502     1503     1504     1505     1506     1507     1508     1509  
  1510     1511     1512     1513     1514     1515     1516     1517     1518     1519  
  1520     1521     1522     1523     1524     1525     1526     1527     1528     1529  
  1530     1531     1532     1533     1534     1535     1536     1537     1538     1539  
  1540     1541     1542     1543     1544     1545     1546     1547     1548     1549  
  1550     1551     1552     1553     1554     1555     1556     1557     1558     1559  
  1560     1561     1562     1563     1564     1565     1566     1567     1568     1569  
  1570     1571     1572     1573     1574     1575     1576     1577     1578     1579  
  1580     1581     1582     1583     1584     1585     1586     1587     1588     1589  
  1590     1591     1592     1593     1594     1595     1596     1597     1598     1599  

1600

  1600     1601     1602     1603     1604     1605     1606     1607     1608     1609  
  1610     1611     1612     1613     1614     1615     1616     1617     1618     1619  
  1620     1621     1622     1623     1624     1625     1626     1627     1628     1629  
  1630     1631     1632     1633     1634     1635     1636     1637     1638     1639  
  1640     1641     1642     1643     1644     1645     1646     1647     1648     1649  
  1650     1651     1652     1653     1654     1655     1656     1657     1658     1659  
  1660     1661     1662     1663     1664     1665     1666     1667     1668     1669  
  1670     1671     1672     1673     1674     1675     1676     1677     1678     1679  
  1680     1681     1682     1683     1684     1685     1686     1687     1688     1689  
  1690     1691     1692     1693     1694     1695     1696     1697     1698     1699  

1700

  1700     1701     1702     1703     1704     1705     1706     1707     1708     1709  
  1710     1711     1712     1713     1714     1715     1716     1717     1718     1719  
  1720     1721     1722     1723     1724     1725     1726     1727     1728     1729  
  1730     1731     1732     1733     1734     1735     1736     1737     1738     1739  
  1740     1741     1742     1743     1744     1745     1746     1747     1748     1749  
  1750     1751     1752     1753     1754     1755     1756     1757     1758     1759  
  1760     1761     1762     1763     1764     1765     1766     1767     1768     1769  
  1770     1771     1772     1773     1774     1775     1776     1777     1778     1779  
  1780     1781     1782     1783     1784     1785     1786     1787     1788     1789  
  1790     1791     1792     1793     1794     1795     1796     1797     1798     1799  

1800

  1800     1801     1802     1803     1804     1805     1806     1807     1808     1809  
  1810     1811     1812     1813     1814     1815     1816     1817     1818     1819  
  1820     1821     1822     1823     1824     1825     1826     1827     1828     1829  
  1830     1831     1832     1833     1834     1835     1836     1837     1838     1839  
  1840     1841     1842     1843     1844     1845     1846     1847     1848     1849

Привет, дорогой друг-пятиклассник! Эта страница содержит список номеров упражнений ГДЗ для пятого класса по математике автор учебника Виленкин и другие, год издания 2013. Рекомендуем использовать страницы нашего сайта не для того, чтобы списать домашнюю работу, а для проверки правильности выполнения упражнений. Для удобства людей, которые пользуются нашим сайтом, мы оформили удобное передвижение по страницам сайта и Вы можете легко найти необходимый Вам номер и перейти на его решение, где кроме самого решения расположено условие задачи. Изучая математику,  многие сталкиваются с вопросами как решить тот или иной пример. Мы рекомендуем наш решебник для пятого класса по математике. Имея данное ГДЗ по математике всегда под рукой, а для этого необходимо добавить его в закладки браузера, любой ученик пятого класса может увидеть правильное решение и попытаться разобраться как правильно решить пример. Особенно удобно использовать наш сайт родителям школьников, чтобы при помощи ГДЗ математика 5 класс Виленкин быстро проверять домашнюю работу своего ребенка, если необходимо, то с помощью решебника исправить какие-либо неточности в домашней работе по математике. Нам, как создателям этого сайта, очень хотелось бы узнать Ваше мнение о страницах сайта, оставляйте свои комментарии. Математика в 5 классе не заканчивается, поэтому будем рады Вас видеть на страницах, где мы рассматриваем ГДЗ по математике для других классов, а также решебник по алгебре в старших классах.

Технологическая карта 5 класс по теме Проценты

Технологическая карта урока математики в 5 классе по теме «Проценты» по учебнику Виленкина Н.Я.

Регулятивные – 1.1. принимать учебную задачу, 1.2. планировать необходимые действия на основе того, что уже известно, определить последовательность действий для решения задачи, 1.3. контролировать процесс и результаты деятельности, 1.4. вносить необходимые коррективы, 1.5. адекватно оценивать свои достижения, осознавать возникающие трудности, уровень усвоения материала, 1.6. искать пути преодоления возникающих трудностей.

Познавательные— 2.1. читать и понимать информацию, 2.2 выполнять учебно-познавательные действия, осуществлять для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения, записать выводы в виде формул.

Коммуникативные – научиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, вступать в учебный диалог с учителем, участвовать в беседе, соблюдаю правила речевого поведения, осуществлять совместную деятельность в парах и рабочих группах с учетом конкретных учебно-познавательных задач.

Личностные – проявлять широкий интерес к новому учебному материалу, способам решения новых учебных задач, понимать причины успеха в учебной деятельности, давать адекватную оценку учебной деятельности, анализировать соответствие результатов требованиям конкретной учебной задачи.

Задачи урока

Обучающая – сформулировать нахождение процента от числа, сформировать умение обозначать, читать и находить процент чисел и величин.

Развивающая – развивать познавательный интерес, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, применять знания по теме «Проценты» для решения задач на проценты.

Воспитывающая – развитие метапредметных универсальных учебных действий, формирование ответственности за конечный результат.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Формирование УУД

Организационный момент (1 мин)

Приветствует учащихся, проверяет готовность учащихся к уроку, записывает число.

— Здравствуйте, ребята! Вы готовы начать работать?

Приветствуют учителя, проверяют свою готовность к уроку

Умение слушать и вступать в диалог. Умение выделять нравственный аспект поведения.

Мотивация

(2 мин)

Вступительное слово учителя:

— Чтобы узнать, о чем мы будем говорить, ответьте на мой вопрос. Как мы говорим, когда уверенны или согласны полностью? Это своего рода синоним слова «точно».

Слушают учителя, отвечают на вопросы

— Мы говорим 100%.

Познавательные:

применение предметных знаний.

Регулятивные:

умение распознавать на слух вопросы и отвечать на них.

Коммуникативные:

умение с точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог.

Личностные: самоопределение, мотивация учения, какой смысл имеет для меня учение и умение находить ответ на него.

Актуализация опорных знаний

(7-8 мин)

Задания для устной работы (фронтальный опрос).

1.Сколько килограммов в центнере?

2.Как называют сотую часть центнера?

3.Сколько сантиметров в метре и как называют сотую часть метра.

Работают индивидуально. Комментируют полученный результат.

Ответы обучающихся:

1.В центнере – 100 кг, сотую часть центнера называют килограммом

2.100 см и см.

Познавательные:

применение предметных знаний, выполнение заданий.

Регулятивные:

выделение и осознание пройденного материала.

Коммуникативные:

умение правильно выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог.

Личностные:

самоопределение.

Учебно-познавательная деятельность. Изучение нового материала (20 мин).

1.И так одну сотую часть называют процентом.

2.Решаем задачу на проценты

— За контрольную по математике отметку «5» получили 12 пятиклассников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

— Обратите внимание на второе решение задачи. Как мы записали 30% (если нет ответа, вопрос обсуждается фронтально)

— Сформулируем правило как перевести проценты в десятичную дробь. И как обратить десятичную дробь в проценты?

— Запишите правила в тетради

Ученики предлагают способы решений:

Ответы обучающихся

1. Если 12 уч. -30%

то ? уч – 100%

Число учеников

2. 12:30*100 = 40

Или 12:= 12:0,3 = 40

Работа в группах.

Обсуждение вопроса.

— 30% мы записали в виде дроби

— мы перевели проценты в десятичную дробь

Ответы детей. Формулируется правило.

1.Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100

2.Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100.

Познавательные:

Извлечение из текста математической информации: постановка и формулирование проблемы.

Регулятивные:

Умение анализировать. Целеполагание.

Коммуникативные:

Умение выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

Личностные:

Самоопределение, осознание.

Физкультминутка

Раз – потянуться, потянуться.

Два – нагнуться, разогнуться.

Три – в ладоши три хлопка. Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать.

Шесть – на место тихо сесть.

Первичное закрепление

А теперь заполняем таблицу, применяя полученные правила

десятичная дробь

0,25

проценты

20%

1%

Обсуждают вопрос в группах, делают итоги, записывают в тетрадях.

Отвечают на вопросы учителя.

Познавательные: уметь решать примеры по выбранным правилам, применение предметных знаний, выбор способов решения задач.

Регулятивные: умение проговаривать последовательность действий на уроке, анализировать и оценивать результат работы.

Коммуникативные: умение слушать, обращаться с вопросом к учителю и однокласснику.

Личностные: нравственно-эстетическое оценивание: оценивание усваиваемого содержания, исходя из личностных ценностей, обеспечивающее личностный моральный выбор.

Итоги урока. Рефлексия.

(3 мин)

— Подходит к завершению наш урок. Пора подвести итоги.

— Что нового вы узнали на уроке?

— Как ты думаешь, почему возникли трудности?

— Что ты можешь сделать, чтобы этих трудностей не возникало.

Отвечают на вопросы учителя.

— Что такое процент и как найти процент от числа.

— Трудности возникли при переведении процентов в десятичную дробь и наоборот.

— Выучить правила.

Познавательные:

рефлексия способов и условий действия.

Регулятивные:

оценка – осознание качества и уровня усвоения.

Коммуникативные:

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Личностные:

ценностно-смысловая ориентация.

Постановка домашнего задания

Запишите, пожалуйста, домашнее задание. № 1562, 1567, 1569 стр. 237-238

Урок окончен, Спасибо!

Записывают домашнее задание

Гдз по математике 5 класс номер 326 8 2019 | Main page

Гдз По Математике 5 Класс Виленкин Номер 812

Link: => fredlichenfhard.nnmcloud.ru/d?s=YToyOntzOjc6InJlZmVyZXIiO3M6MzY6Imh0dHA6Ly9iYW5kY2FtcC5jb21fZG93bmxvYWRfcG9zdGVyLyI7czozOiJrZXkiO3M6NjA6ItCT0LTQtyDQv9C%2BINC80LDRgtC10LzQsNGC0LjQutC1IDUg0LrQu9Cw0YHRgSDQvdC%2B0LzQtdGAIDMyNiI7fQ==

Виленкин 6 класс Математика 6 класс Виленкин задача. Авторы учебника: Башмаков М 144. Этот факт доказывает, насколько значимо использовать онлайн-решебник по математике за 5 класс Дорофеев. Я скачать бесплатно pdf, djvu купить бумажную книгу: математика, виленкин н.

Современная программа изучения арифметики ориентирована на ознакомление школьника с широким кругом тем, которые имеют значение в дальнейшем изучении алгебры, геометрии, физики и химии. В режиме онлайн вы сможете найти подробное решение любой задачи из решебника, находящейся в учебнике. С в последнем классе начальной школы.

ГДЗ по математике за 5 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин онлайн

Представленное учебное пособие предназначено для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением предмета. Особенно полезным решебник будет для родителей, которым теперь намного легче проверять домашнюю работу своего ребенка. Учебник дает не только базовые знания, но и позволяет избавляться от всех неточностей при решении задач. Стоит отметить, что пособие обеспечивает преемством между курсами начального и старшего класса, помогая безболезненно вникать в более сложный процесс изучения математики. Каждый номер сопровождается пояснениями, позволяющими лучше понимать материал. Также к номеру прилагается определенное задание, которое выполняется в рабочей тетради. Каждое математическое действие неразрывно связано между собой, поэтому любое упражнение, это шаг вперед навстречу тайнам предмета. Чтобы информация лучше усваивался, домашняя работа должна выполняться в обязательном порядке. Новое издание помогает эффективно овладевать материалом, и выполнение задания становится легким и непринужденным. Учебник по Математике изложен простым и понятным для учеников языком, поэтому школьники 5 класса, занимающиеся по данному учебнику, усваивают материал. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд постарались максимально просто и доходчиво изложить суть математических действий для базового уровня средних классов общеобразовательных учреждений. Ответы к учебнику по математике за 5 класс Виленкин 1, 2 часть новый, 2018 можно скачать.

Таким образом, можно быть уверенным, что ученик не пропустит необходимую ему информацию и возможно проявит колоссальный интерес к точным наукам, что в свою очередь может повлиять на его достижения в сфере с применением математических познаний. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд постарались максимально просто и доходчиво изложить суть математических действий для базового уровня средних классов общеобразовательных учреждений. Тридцатая школа — каталог готовых домашних заданий различным общеобразовательным 6-е изд. Также к номеру прилагается определенное задание, которое выполняется в рабочей тетради. Решебник позволяет ученикам самостоятельно проверять домашнее задание и проходить подготовку к контрольным аттестациям. За какое время они закончат работу, если все маляры работают с одинаковой производительностью Трое маляров могут закончить работу за 5 дней.

109 Математическое мышление

109 Математическое мышление

Инструктор: Дэвид А. МЕЙЕР
Часы работы: AP&M 7218, WF 11:05-11:45 или по предварительной записи
Лекция A: Pepper Canyon Hall 122, MWF 10:00 am-10:50
Лекция C: Pepper Canyon Hall 122 , MWF 12: 00nn-12: 50pm
Электронная почта: dmeyer «at» math «dot» ucsd «dot» edu

Ассистент преподавателя: Yucheng TU
Часы работы: AP&M 5720, чт 14: 00–15: 00, или по предварительной записи
Секция A01: AP&M B412, Вт 16: 00–16: 50; раздел не будет соответствовать Вт 3 апр
Электронная почта: y7tu «at» ucsd «dot» edu

Ассистент преподавателя: Zihao LI
Часы работы: AP&M 5801, Вт 16: 00–18: 00 или по предварительной записи
Секция A02: AP&M B412, Вт 17: 00–17: 50; секция не будет встречаться вт 3 апр
Секция A03: AP&M B412, Вт 18: 00-18: 50; раздел не будет встречаться вт 3 апр
Электронная почта: zil108 «at» ucsd «dot» edu

Ассистент преподавателя: Yiwei SANG
Часы работы: AP&M 5218, Вт 14: 00-16: 00, или по предварительной записи
Секция C01: AP&M B402A, Вт 19: 00-19: 50; раздел не будет соответствовать Вт 3 апр
Электронная почта: yisang «at» ucsd «dot» edu

Ассистент преподавателя: Рошил ПАУДЯЛ
Часы работы: AP&M 6414, Пн. 13: 00–14: 00, Вт. 15: 00–16: 00, или по предварительной записи
Раздел C02: AP&M B402A, Вт. 17: 00–17: 50; секция не будет встречаться вт 3 апр
Секция C03: AP&M B402A, Вт 18: 00-18: 50; раздел не будет встречаться вт 3 апр
Электронная почта: ropaudya «at» ucsd «dot» edu

Описание курса

Этот курс представляет собой введение в математические рассуждения.Для кого угодно, возможно
наиболее полезным последствием изучения математики является повышенная способность к
анализировать проблемы, математические или иные, логически. В продвинутых
курсы математики, и в математических исследованиях эта способность используется
в первую очередь доказывает , что конкретные утверждения верны. Цель
этот курс предназначен для студентов, чтобы узнать, что значит сделать по математике,
помимо простых вычислений. Это включает в себя изучение того, какие виды
утверждения требуют доказательства, что составляет доказательство, и как читать и писать доказательства.

Предпосылками для прохождения этого курса являются математика 18 / 20F / 31AH и математика 20C или
согласие инструктора. Учебник — P. J. Eccles, An Introduction to
Математическое мышление (Кембридж: издательство Кембриджского университета 1997).
Её копии находятся в резерве в Научно-технической библиотеке.

Домашние задания будут выполняться еженедельно по вторникам в секции. Пожалуйста
следуйте рекомендациям по форматированию. Студенты
разрешено обсуждать домашнее задание между собой, но ожидается, что они сдадут
их собственные работы — копирование чужих недопустимо.Оценки за домашнее задание
внесет 20% в итоговую оценку.

Будет два промежуточных семестра, в третью и седьмую недели квартала.
Финал лекции назначен на понедельник, 11 июня; финал лекции C
запланировано на среду, 13 июня. Результаты двух промежуточных и
final будет составлять 20%, 25% и 35% итоговой оценки соответственно.
Тестов на макияж не будет.

Связанные события

Syllabus (может быть изменен)

Рекомендуемое чтение

Когда практике нужны дополнительные исследования: природа и воспитание математической одаренности

Уменьшение неоднородности: специализированные математические школы и классы

В Советском Союзе первые математические школы появились в конце 1950-х годов (Marushina & McGee, 2016) как « случайность или результат местной «интриги»… Руководство страны четко осознавало, что для успешного военно-технического соревнования с Западом необходимо готовить специально подготовленные кадры.Кроме того, во многих сферах, в том числе в партийном руководстве, требовались подготовленные кадры »(с. 32). Марушина и МакГи (2016) утверждали, что очевидные политические и военно-экономические соображения послужили основной целью при создании школ для математически одаренных. В то время вопрос о реальности математической одаренности даже не поднимался. Школы (обычно физико-математические) были связаны с университетами в больших городах, и математики-исследователи руководили процессом создания этих школ.

Первые четыре физико-математических школы-интерната открыты при ведущих вузах Москвы, Ленинграда, Новосибирска и Киева. Самым известным среди них была школа-интернат им. Колмогорова в Москве (Карп, 2011). Важность школ-интернатов заключалась в том, что они давали возможность развивать математические способности учащихся из отдаленных провинций. Помимо специальных школ-интернатов, в крупных городах были созданы специализированные математические или физико-математические школы для старшеклассников.Эти школы включали классы с 9 по 10 (за 2 года до окончания школы), куда учащихся принимали на основе их достижений по математике в средних классах, результатов олимпиад по математике и индивидуальных собеседований (Чубариков и Пырыт, 1993).

Например, в Ленинграде в 1976–1978 годах (ныне Санкт-Петербург), помимо специализированной математической школы-интерната № 1, было две специализированные математические школы № 30 и № 239. Помимо достижений, проверенных на вступительных экзаменах и собеседованиях, имелся высокий мотивационный фактор.Несмотря на то, что до поступления в школу они знали о большой учебной нагрузке, многие ученики, тем не менее, предпочли ехать в эти школы и обратно 6 дней в неделю из разных районов города, путешествуя более часа в каждом направлении. Помимо тяжелой учебной нагрузки и высоких требований, царила особая атмосфера доверия, взаимного уважения и поддержки, которая была сложной и обнадеживающей. Неудивительно, что очень высокий процент (98%) выпускников поступили в университеты разных типов.Первоначальными характеристиками специализированных математических школ были снижение уровня неоднородности математических способностей в классах, общий интеллектуальный дискурс и общие цели и нормы.

Кроме того, в обычных школах появились специализированные классы для математически продвинутых школьников. Карп (2011) отмечает, что в Ленинграде 1970-х годов в обычных школах было 56 специализированных классов. Эти классы были менее избирательными, чем специализированные математические школы, и обычно включали учащихся из районов, близких к школе.По словам Карпа (там же), было продемонстрировано, что результаты тестов и награды олимпиад по математике и физике, полученные учащимися школ №30 и №239, были значительно выше, чем у учащихся других специализированных школ и специализированных классов. Обратите внимание, что количество классов с углубленным изучением математики значительно увеличилось во время горбачевской перестройки, чтобы не допустить перехода «хороших детей» в специализированные школы или классы математики в других школах.Специализированные математические школы и специальные классы математики по сей день продолжают свою деятельность в том же формате, хотя технологический прогресс определенно оказал свое влияние.

Фогели (1997, 2016) отметил, что специализированные школы были созданы во многих странах. Венгрия имеет давние и богатые традиции обучения одаренных людей. «Одной из отличительных черт венгерской системы математического образования было создание специальных школ для исключительно талантливых учеников» (Stockton, 2010, p.1). Стоктон утверждал, что истоки специальных математических школ в Советском Союзе и Соединенных Штатах лежат в специализированных математических школах в Будапеште, основанных в начале двадцатого века. Более того, писала она, системы образования для одаренных людей в Венгрии и Соединенных Штатах имеют много общих черт. В 1960-х годах образование для математически продвинутых учеников в Венгрии развивалось с добавлением специализированных классов в некоторых средних школах (в основном по демографическим причинам, Győri et al., 2020). Первый такой класс был организован в 1962 году в гимназии Фазекаш в Будапеште, а в 2010 году таких классов было 11. В каждой школе также есть специальные классы в других областях, таких как гуманитарные науки, иностранные языки или естественные науки. Специальные классы математики предлагают учащимся возможность изучить стандартное содержание учебной программы на более глубоком уровне, а также изучить содержание, выходящее за рамки обычной учебной программы (Stockton, 2010). В Венгрии существовала система специализированных учебных программ, а не специализированных школ, в отличие от того, что происходило в этом отношении в Советском Союзе.

Bruder (2020) описал различия в политике, связанной с образованием математически одаренных, между ГДР (Германская Демократическая Республика — Восточная Германия) и ФРГ (Федеративная Республика Германия — Западная Германия), разделенными в течение 1949–1990 годов. Систематическое продвижение математических талантов в ГДР под влиянием советской традиции было одним из основных организационных и структурных различий между школьными системами в Восточной и Западной Германии. Брудер (2020) отметил, что после 1990 г. «специализированным математическим и естественным школам, работающим на высоком техническом уровне в ГДР, было трудно выжить с концепциями ФРГ о целостном личностном развитии одаренных детей» (стр.64). В настоящее время в Германии большое внимание уделяется образованию математически одаренных людей. В 2001 году Хатвиг Месснер в сотрудничестве с Линдой Шеффилд инициировал MCG (международные конференции по математическому творчеству и одаренности), которые в 2010 году превратились в Международную группу математического творчества и одаренности, в которую сейчас входят более 250 исследователей в области образования, математиков и математиков. педагоги. Также существует проект Worldwide Global Talent Mentoring для одаренных студентов, изучающих естественные науки, под руководством Хайдрун Штогер (2020 — личное сообщение).Поощрение математически одаренных учеников и предоставление им специальных образовательных условий и содержания частично мотивировано результатами PISA 2015, которые показали, что в Германии не было достаточного количества «очень хороших» результатов. Однако специализированные математические школы в Германии остаются редкостью.

При анализе рамок обучения одаренных в Соединенных Штатах, Вайнберг (2016) указал, что специальные школы и летние лагеря хорошо развиты и широко распространены в стране.В Нью-Йорке специальные школы для одаренных учеников ориентированы на развитие областей STEM, а также на образование в области искусства и гуманитарных наук. STEM-образование в специальных школах объединяет углубление, обогащение и ускорение (Weinberg, 2016). В Израиле математика в средней школе преподается на трех уровнях (базовом, обычном и продвинутом), так что математически продвинутые ученики учатся в обычных школах. Кроме того, многочисленные программы, проводимые в израильских университетах, направлены на развитие математических способностей (Leikin & Berman, 2016).

Школа математики Королевского колледжа Лондона работает в партнерстве с Лондонским университетом Королевского колледжа, чтобы обеспечить высококачественное математическое образование в самом центре Лондона для студентов, увлекающихся математикой. На веб-сайте школы четко указано, что «школа была вдохновлена ​​Колмогоровской физико-математической школой в Москве, основанной в 1965 году Андреем Колмогоровым, одним из ведущих математиков ХХ века». ( Scribbr. https: //www.kingsmathsschool.com / about).

История и отличительные особенности математических школ, а также примеры математических программ и математических задач, используемых в математических школах разных стран, наиболее полно описаны в сборнике «Средние специальные школы для математически одаренных: международная панорама» под редакцией Фогели. (2016).

Математическое содержание для развития математических способностей: углубление и расширение математического содержания

Эти специализированные математические школы характеризуются « отдельными видами математики, разработанными в специализированных школах , которые не изучаются в обычных школах и редко изучаются в школах. высшие учебные заведения »(Карп, 2015, с.12). Эта математика включает в себя самостоятельное решение проблем, поиск оригинальных методов решения проблем, постановку задач и нахождение связей между новыми и старыми проблемами. Чубариков и Пырит (1993) проиллюстрировали учебные принципы, используемые в Колмогоровской школе. Расширение математического содержания за счет включения евклидовой и неевклидовой геометрии, математической логики, теории чисел и теории пределов было и остается нормальным явлением. Студенты изучали математику 8–10 часов в неделю, физику 6 часов в неделю с дополнительными часами по химии и литературе.Был курс программирования 2 часа в неделю. Григоренко (2017) заметил, что часто выпускники профильных школ знакомы с содержанием учебной программы вуза. Хотя она воспринимает это как своего рода разрыв между этими школами и университетской системой, многие выпускники этих школ рады углубить свое понимание математики в университете, изучив темы в старшей школе в несколько упрощенной форме.

Следует отметить, что учителя математики в специализированных математических школах обладают высокой степенью автономии в отношении того, как они углубляют и расширяют математические материалы, какие учебники они используют и какое количество домашних заданий они поручают учащимся.Помимо высокого уровня математики, учителя включают в свое обучение гуманистическую математику (Brown, 1996). Это включает использование интуиции в развитии понимания концепций, объединение открытий, конкуренции и сотрудничества, а также развитие понимания ценности аргументации. Уроки математики объединяют решение сложных задач с метаанализом решений и математические исследования с сильной логической базой. Предоставление учащимся возможности мыслить как математик при создании новых задач и их доказательстве, а также содействие пониманию того, что в математике, как и в реальной жизни, есть разные решения проблем, являются общими элементами математического дискурса в специализированных математических классах и школах.

Учителя используют различные типы математически сложных задач — доказательство, постановку задач и решение проблем, что включает в себя тщательный выбор задач с учетом прогресса учеников в процессе обучения. Часто, чтобы повысить уровень математической задачи, учителя выполняют нестандартные задания на уроках или в домашних заданиях. Нетрадиционные задачи являются либо внеклассными, либо относятся к еще не изученным частям школьной программы. Решение нестандартных задач обычно направлено на активизацию и развитие математического творчества учащихся, поскольку для этого требуется, чтобы учащиеся применяли свои знания и навыки в новых ситуациях или конструировали новые идеи для решения задач.Традиционную и нетрадиционную математику можно комбинировать при решении одной конкретной задачи несколькими способами (Leikin, 2019b).

Специальные книги, например, Виленкина и Шварцбурда (1973) и Виленкина и др. (1972), были созданы с учетом особых требований специальных математических школ. Книги написаны специально для учащихся специальных математических школ. Авторы подчеркивают высокий теоретический уровень математического содержания, но в то же время эти книги предоставляют возможность изучать математику на разных уровнях, поскольку в них есть дополнительные материалы, которые можно изучать по своему усмотрению.Помимо обычных заданий, в книги включены нетрадиционные задания типа олимпиад. Шарыгин (1982, 1984) создал несколько сборников задач, содержащих геометрические задачи разного уровня математической сложности, многие из которых были направлены на подготовку к участию в математических олимпиадах. Шарыгин (1989) рекомендовал «изменить приоритеты»: эти изменения включали приоритизацию идей при изучении новой темы и решении нестандартных (эвристических) проблем, по сравнению с установлением приоритетов полных ответов при работе с известными идеями и решении стандартных проблем.

Решение задач разными способами и математические исследования являются эффективными инструментами для построения математических связей. Когда другое решение проблемы относится к личному пространству решения, тогда можно формировать связи между представлениями математических концепций, различными математическими инструментами и концепциями из той же области или разных математических тем (например, NCTM, 2000). В целях развития взаимосвязанных математических знаний российские педагоги (Давыдов, 1996; Шарыгин, 1989) способствовали реализации принципа дивергенции преподавания и изучения математики, выражающегося в одновременном изучении нескольких связанных между собой тем путем объединения математических принципов, концепций, инструментов, решения задач. стратегии и подходы.

Исследования, сфокусированные на следующих вопросах, могут помочь нам эффективно развивать математические способности:

• Какие виды математических задач лучше всего подходят для обучения одаренных учащихся?

• Каковы принципы оформления сборников заданий, эффективных для обучения одаренных?

• Какое разумное соотношение между традиционными и нетрадиционными задачами соответствует целям обучения математически одаренных?

Математическое обогащение — математические кружки, соревнования и олимпиады

Советский опыт богат различными типами структур, включая математические школы, математические олимпиады и математические кружки (Marushina & McGee, 2016).Эти рамки могут быть реализованы как в школе, так и вне школы. В настоящее время курсы AP, интеграция школьников в университетские курсы, наставничество исключительно талантливых студентов со стороны университетских профессоров и курсы виртуальной математики являются типичными внешкольными мероприятиями.

Саул (1996) писал следующее:

Математические кружки бывшего Советского Союза и особенно Ленинграда (ныне Санкт-Петербург) сильно отличаются от большинства математических клубов по всему миру.Как правило, ими руководили не преподаватели, а аспиранты или преподаватели университета, которые считали своим профессиональным долгом показывать младшим школьникам радости математики … Развитие математического образования — это аспект российской культуры, из которого нам есть чему поучиться … Поэтому мы должны позаимствовать у наших российских коллег. (стр. vii)

Математические кружки объединяют специальные виды задач и тем, в основном задачи обогащающего характера, посвященные развитию математических способностей, любопытства и настойчивости в преодолении математических проблем (Фомин и др., 1996/1992; Вандервельде, 2009). «Цель состоит в том, чтобы заинтересовать учащихся математикой, которую они изучают; дать им среду, которая побуждает их увлечься математикой »(Vandervelde, 2009, p. 9).

Работа, связанная с олимпиадой, была очень заметна в специализированных школах. Эта работа не была одинаково интенсивной для всех студентов. Учителя могут включать задачи олимпиадного типа в свои уроки или домашние задания, в систематическую подготовку к олимпиадам и другим соревнованиям. Например, в 1970–1980 годах в школе № 30 Ленинграда (г.-Петербург) олимпиады проводились в 2 этапа: первый проводился в письменной форме в школе, второй — для победителей первого этапа — в устной форме. Уровень задач во втором туре обычно приближался к уровню задач общегородского тура петербургской олимпиады, которые были очень сложными (Фомин и др., 1994; Рахим, 1998).

Первой хорошо задокументированной математической олимпиадой было соревнование по решению задач, инициированное Венгерским физико-математическим обществом в 1894 году.«Соревнование Этвёша считается первой математической олимпиадой современного мира, хотя Поля и Килпатрик (1974) указали, что он был вдохновлен аналогичными соревнованиями во Франции и Англии» (Койчу и Андзанс, 2009, стр. 287). Как отмечает Карп (2020), в 1960–1980 годах структура математических олимпиад была интегрирована в обучение математически одаренных учащихся и составляла важную часть образования математически одаренных в России, Польше, Чехословакии, Болгарии, ГДР и других странах. Страны Восточной Европы.

Изменения, которые претерпевают математические олимпиады и соревнования, связаны с изменчивостью уровней сложности. В настоящее время школьные математические олимпиады проводятся одновременно с Международной математической олимпиадой (IMO — https: //www.imo-official.org). Известный конкурс математики «Кенгуру» разработан с целью распространения факультативных математических заданий среди широкого круга учащихся разного возраста. Соревнования по математике «Кенгуру» включают математические задачи на разных уровнях, чтобы позволить учащимся с разным уровнем математических знаний и навыков решать нестандартные задачи с несколькими вариантами ответов и получать удовольствие от математических занятий.

Олимпиады, организованные университетами, были популярны в бывшем Советском Союзе. Студенты выпускных курсов могли участвовать в таких олимпиадах и получать бонусы при поступлении в вузы. Для университетов эти олимпиады были направлены на выявление перспективных с математической точки зрения студентов и их привлечение в университеты (Koichu & Andzans, 2009). Со временем были изобретены и внедрены различные виды командных соревнований. Некоторые математические соревнования призваны поощрять командную работу и критическое мышление (см. Fomin et al., 1996). Задачи, используемые на математических олимпиадах и олимпиадах, в основном относятся к дополнительному типу, часто интегрированы в обучение математике в специализированных школах и классах, и в целом, наряду с их ролью в развитии математических талантов, математические олимпиады играют значительную роль в популяризации математики.

В настоящее время занятия для математически одаренных учащихся интегрированы в более общие рамки, предназначенные для развития высоких способностей. Центр талантливой молодежи Джонса Хопкинса, мировой лидер в области образования для одаренных людей с 1971 года, был основан в 1971 году профессором Джулианом Стэнли.На разных этапах во многих университетах были созданы центры обучения одаренных студентов, и многие из этих центров имели специальные подпрограммы для математически одаренных студентов. В настоящее время многие университеты по всему миру открывают свои двери для математически одаренной молодежи, предлагая им дополнительные мероприятия, летние лагеря и курсы повышения квалификации (например, https://cims.nyu.edu/cmt/index.html; http: //www.promys.org/ ) .

Как указывалось ранее. Отчеты об исследованиях и статьи в научных журналах высокого уровня по математическому образованию и образованию для одаренных людей, в которых представлены систематические исследования развития математических талантов, встречаются редко.Необходимы дополнительные исследования, чтобы объяснить механизмы развития математических способностей и влияние образовательных программ на математически одаренных учащихся. В этой статье я не анализирую роль математического творчества в развитии математических талантов. Хотя исследования и учебная литература еще у Пуанкаре (1908/1952) указывают на то, что высокий уровень творческих способностей является неотъемлемой характеристикой любого математика-исследователя (Sriraman, 2005), тем не менее, исследования не предоставляют достаточной информации о влиянии творческих способностей. деятельность по развитию знаний и влияние долгосрочного развития высокого уровня математических знаний на творчество.Эльграблы и Лейкин (2021) продемонстрировали, что подготовка к Международным математическим олимпиадам ведет к более высокому уровню творческих способностей, связанных с исследованиями геометрии. Однако необходимы дополнительные исследования связи между ролью деятельности, направленной на творчество, и балансом между обучением и творческой деятельностью в реализации математической одаренности. Исследования, сфокусированные на следующих вопросах, могут помочь нам лучше понять действия, включенные в программы повышения квалификации и ускоренного обучения:

• Чем изучение математики во внешкольных программах отличается от изучения математики в школе?

• Как математические соревнования влияют на влияние учащихся на изучение математики?

• Влияет ли участие в кружках математики и других дополнительных программах на учебу учащихся на уроках математики в школе?

• Как можно наиболее эффективно подготовить учащихся к математическим олимпиадам?

• В какой степени развитие математических знаний при комплексном решении задач развивает математическое творчество, выражающееся в способности продвигать математику как научную область?

Учителя одаренных учеников

Как я писал в Лейкине, 2011, я проанализировал компоненты квалификации учителя математически одаренных учеников, работавшего в специальной математической школе (Ленинградская школа № 30, о которой говорилось ранее).Анализ его принципов и методов обучения был основан на его статье об обучении математически одаренных (Майзелис, 2007), воспоминаниях его выпускников и моем собственном ретроспективном анализе. Естественно, что профессиональные знания учителей и мастерство преподавания оказались центральными. Вместе с личностью учителя и широкими общими знаниями они способствуют эффективности обучения, направленного на развитие качеств, которые учитель может развивать у одаренных учеников (Карп, 2007, 2010; Лейкин, 2011).Среди выявленных принципов особенно важными для одаренных учителей оказались следующие:

• Подлинный интерес учителей к предмету и готовность к любым вызовам (со стороны учеников) делает преподавание одновременно интересным и сложным для учеников и развивает в учениках мотивацию, любопытство, готовность справляться с трудностями и, что наиболее важно, любовь к предмету. .

• Доброта учителей к ученикам и гордость за их успехи приводит к уважительному обучению, которое способствует развитию у учеников уважения, доброты и поддержки сверстников.

• Творчество учителей создает возможности для вдохновляющей и открытой атмосферы, которая способствует развитию творческого и независимого мышления учащихся.

• Учителя одаренных учеников должны быть терпеливыми и чуткими, с глубокими знаниями в области психологии одаренных детей и дидактики их обучения.

• Явное выражение любви к математике и чувство юмора позволяют преодолевать трудности в позитивной атмосфере и радостному обучению, которое развивает у учащихся чувство юмора и доброту.

Эти качества учителей позволяют различать образование и видение — что важно, поскольку даже одаренные классы неоднородны в отношении способностей учеников — что ведет к образованию, которое развивает настойчивость и ответственность. Полученные данные согласуются с идеями Maker (1975), который утверждал, что существует уникальная комбинация черт характера, которая необходима для качественного обучения одаренных студентов. Мейкер подчеркнул важность того, чтобы учитель создавал для учеников безопасную среду и теплую атмосферу, которая снижает давление со стороны сверстников и ведет к взаимному уважению между учениками и развитию у учеников осознания ценности их идей.

Вопросы для дальнейшего исследования включают следующее:

Я предлагаю, чтобы программы подготовки учителей математики включали курсы по характеристике математически одаренных учеников, программы для математически одаренных и составление задач для математически одаренных.

% PDF-1.6
%
1668 0 объект
>
эндобдж

xref
1668 332
0000000016 00000 н.
0000010262 00000 п.
0000010571 00000 п.
0000010617 00000 п.
0000010750 00000 п.
0000010785 00000 п.
0000010876 00000 п.
0000012007 00000 п.
0000012046 00000 п.
0000012222 00000 п.
0000012393 00000 п.
0000012508 00000 п.
0000013277 00000 п.
0000014061 00000 п.
0000014839 00000 п.
0000015563 00000 п.
0000016272 00000 п.
0000017010 00000 п.
0000017374 00000 п.
0000017743 00000 п.
0000017975 00000 п.
0000018201 00000 п.
0000018915 00000 п.
0000019675 00000 п.
0000022326 00000 п.
0000022387 00000 п.
0000022464 00000 п.
0000022558 00000 н.
0000022604 00000 п.
0000022703 00000 п.
0000022749 00000 п.
0000022898 00000 п.
0000023035 00000 п.
0000023081 00000 п.
0000023250 00000 п.
0000023425 00000 п.
0000023471 00000 п.
0000023606 00000 п.
0000023746 00000 п.
0000023894 00000 п.
0000023939 00000 п.
0000024091 00000 п.
0000024242 00000 п.
0000024397 00000 п.
0000024442 00000 п.
0000024614 00000 п.
0000024759 00000 п.
0000024896 00000 п.
0000024941 00000 п.
0000025074 00000 п.
0000025212 00000 п.
0000025377 00000 п.
0000025422 00000 п.
0000025557 00000 п.
0000025658 00000 п.
0000025702 00000 п.
0000025813 00000 п.
0000025857 00000 п.
0000025970 00000 п.
0000026014 00000 п.
0000026117 00000 п.
0000026160 00000 п.
0000026306 00000 п.
0000026351 00000 п.
0000026439 00000 п.
0000026469 00000 н.
0000026514 00000 п.
0000026610 00000 п.
0000026655 00000 п.
0000026810 00000 п.
0000026855 00000 п.
0000026900 00000 н.
0000027009 00000 н.
0000027054 00000 п.
0000027143 00000 п.
0000027173 00000 п.
0000027218 00000 п.
0000027314 00000 п.
0000027359 00000 н.
0000027455 00000 п.
0000027500 00000 п.
0000027606 00000 п.
0000027651 00000 п.
0000027787 00000 п.
0000027832 00000 н.
0000028014 00000 п.
0000028059 00000 п.
0000028198 00000 п.
0000028243 00000 п.
0000028362 00000 п.
0000028407 00000 п.
0000028527 00000 н.
0000028572 00000 п.
0000028694 00000 п.
0000028739 00000 п.
0000028914 00000 п.
0000028959 00000 п.
0000029113 00000 п.
0000029158 00000 п.
0000029299 00000 н.
0000029344 00000 п.
0000029389 00000 п.
0000029498 00000 п.
0000029543 00000 п.
0000029631 00000 п.
0000029782 00000 п.
0000029812 00000 п.
0000029945 00000 н.
0000029990 00000 н.
0000030078 00000 п.
0000030108 00000 п.
0000030153 00000 п.
0000030249 00000 п.
0000030294 00000 п.
0000030390 00000 п.
0000030435 00000 п.
0000030599 00000 п.
0000030644 00000 п.
0000030807 00000 п.
0000030852 00000 п.
0000031019 00000 п.
0000031064 00000 п.
0000031230 00000 н.
0000031275 00000 п.
0000031320 00000 н.
0000031365 00000 п.
0000031476 00000 п.
0000031521 00000 п.
0000031653 00000 п.
0000031698 00000 п.
0000031814 00000 п.
0000031859 ​​00000 п.
0000032027 00000 н.
0000032072 00000 н.
0000032336 00000 п.
0000032381 00000 п.
0000032537 00000 п.
0000032582 00000 п.
0000032627 00000 н.
0000032736 00000 п.
0000032781 00000 п.
0000032869 00000 п.
0000032899 00000 н.
0000032944 00000 п.
0000033040 00000 п.
0000033085 00000 п.
0000033181 00000 п.
0000033226 00000 п.
0000033345 00000 п.
0000033390 00000 п.
0000033539 00000 п.
0000033584 00000 п.
0000033730 00000 п.
0000033775 00000 п.
0000033901 00000 п.
0000033946 00000 п.
0000033991 00000 п.
0000034100 00000 н.
0000034145 00000 п.
0000034234 00000 п.
0000034352 00000 п.
0000034382 00000 п.
0000034427 00000 п.
0000034457 00000 п.
0000034502 00000 п.
0000034596 00000 п.
0000034641 00000 п.
0000034737 00000 п.
0000034782 00000 п.
0000034898 00000 п.
0000034943 00000 п.
0000035039 00000 п.
0000035084 00000 п.
0000035243 00000 п.
0000035288 00000 п.
0000035409 00000 п.
0000035454 00000 п.
0000035546 00000 п.
0000035591 00000 п.
0000035636 00000 п.
0000035745 00000 п.
0000035790 00000 н.
0000035879 00000 п.
0000035909 00000 н.
0000035954 00000 п.
0000036050 00000 п.
0000036095 00000 п.
0000036140 00000 п.
0000036234 00000 п.
0000036280 00000 п.
0000036369 00000 п.
0000036517 00000 п.
0000036547 00000 п.
0000036644 00000 п.
0000036690 00000 н.
0000036778 00000 п.
0000036989 00000 п.
0000037019 00000 п.
0000037128 00000 п.
0000037173 00000 п.
0000037262 00000 п.
0000037438 00000 п.
0000037468 00000 п.
0000037610 00000 п.
0000037655 00000 п.
0000037744 00000 п.
0000037774 00000 п.
0000037819 00000 п.
0000037930 00000 п.
0000037975 00000 п.
0000038111 00000 п.
0000038156 00000 п.
0000038269 00000 п.
0000038314 00000 п.
0000038449 00000 п.
0000038494 00000 п.
0000038658 00000 п.
0000038703 00000 п.
0000038748 00000 п.
0000038794 00000 п.
0000038890 00000 н.
0000038935 00000 п.
0000039050 00000 н.
0000039095 00000 н.
0000039211 00000 п.
0000039256 00000 п.
0000039378 00000 п.
0000039423 00000 п.
0000039532 00000 н.
0000039577 00000 п.
0000039688 00000 п.
0000039733 00000 п.
0000039850 00000 п.
0000039895 00000 п.
0000039940 00000 н.
0000039986 00000 п.
0000040082 00000 п.
0000040128 00000 п.
0000040174 00000 п.
0000040220 00000 п.
0000040331 00000 п.
0000040377 00000 п.
0000040478 00000 п.
0000040524 00000 п.
0000040642 00000 п.
0000040688 00000 п.
0000040793 00000 п.
0000040839 00000 п.
0000040952 00000 п.
0000040998 00000 п.
0000041044 00000 п.
0000041153 00000 п.
0000041198 00000 п.
0000041287 00000 п.
0000041317 00000 п.
0000041362 00000 п.
0000041491 00000 п.
0000041536 00000 п.
0000041651 00000 п.
0000041696 00000 п.
0000041846 00000 п.
0000041891 00000 п.
0000041990 00000 п.
0000042035 00000 п.
0000042147 00000 п.
0000042192 00000 п.
0000042237 00000 п.
0000042346 00000 п.
0000042392 00000 п.
0000042480 00000 п.
0000042510 00000 п.
0000042556 00000 п.
0000042648 00000 п.
0000042694 00000 п.
0000042825 00000 п.
0000042871 00000 п.
0000042998 00000 н.
0000043044 00000 п.
0000043140 00000 п.
0000043186 00000 п.
0000043366 00000 п.
0000043412 00000 п.
0000043541 00000 п.
0000043587 00000 п.
0000043679 00000 п.
0000043725 00000 п.
0000043836 00000 п.
0000043882 00000 п.
0000043928 00000 п.
0000044037 00000 п.
0000044083 00000 п.
0000044163 00000 п.
0000044193 00000 п.
0000044242 00000 п.
0000044345 00000 п.
0000044391 00000 п.
0000044487 00000 п.
0000044533 00000 п.
0000044634 00000 п.
0000044680 00000 п.
0000044777 00000 п.
0000044823 00000 п.
0000044944 00000 п.
0000044990 00000 н.
0000045096 00000 п.
0000045142 00000 п.
0000045274 00000 п.
0000045320 00000 п.
0000045440 00000 п.
0000045486 00000 п.
0000045621 00000 п.
0000045667 00000 п.
0000045803 00000 п.
0000045849 00000 п.
0000045952 00000 п.
0000045998 00000 п.
0000046044 00000 п.
0000046153 00000 п.
0000046199 00000 п.
0000046288 00000 п.
0000046318 00000 п.
0000046364 00000 н.
0000046460 00000 п.
0000046506 00000 п.
0000046633 00000 п.
0000046679 00000 п.
0000046776 00000 п.
0000046822 00000 н.
0000046939 00000 п.
0000046985 00000 п.
0000047031 00000 п.
0000006936 00000 н.
трейлер
] >>
startxref
0
%% EOF

1999 0 объект
> поток
xYse s & $ Н4t @ «0I @ B» D

Дизайн задач — Задача для очень одаренных детей

Вот несколько предложений по источникам проблем на английском языке.Некоторые из них подходят для очень способных студентов, изучающих геометрию или алгебру II, но, тем не менее, могут оказаться слишком сложными для студентов, продвинутых до такой степени.

— Математические круги , Фомин и др.

— Математические задачи: антология , Дынкин и др.

— Задачи элементарной математики , Лидский и др.

— Сборник задач по алгебре , Кречмар.

-Многие книги в Новой математической библиотеке.(См. Ссылку для описания книг.)

— Избранные задачи и теоремы элементарной математики , Шклярский и др.

— Сложные математические задачи с элементарными решениями , Яглом и Яглом.

— Задачи плоской и твердотельной геометрии , Прасолов.

— Стэнфордская книга задач по математике , Поля и Килпатрик.

– Пятьсот математических задач , Barbeau et al.

— Сто задач элементарной математики , Steinhaus.

— Задачи математической стипендии , Буркилл и Канди. (Интересно видеть, насколько далеко могла бы вас завести стандартная учебная программа по геометрии в Англии за один раз. Géométrie: Classe de Mathématiques Эмери и Лебоссе в равной степени красноречиво в этом отношении применительно к Франции 1950-х годов.)

— Уроки геометрии , Тт. 1 и 2, Адамар (на основе французской учебной программы 1902 г.).

— Геометрия , т. 1, 2, Киселев (английский перевод Гивенталя).

См. Библиографию здесь, а также в «Справочнике по математической олимпиаде » Гардинера.

Книги Функции и графики , Алгебра и Последовательности, комбинации и пределы Гельфанда и др. есть в них и некоторые интересные проблемы, обычно умеренно, но не очень, тяжело.

Вот несколько книг для старших классов (переведенные на английский с русского), которые, не сосредотачиваясь на задачах «олимпиадного уровня», действительно стремятся к гораздо более высокому техническому уровню, чем были бы в типичных американских книгах по предварительным вычислениям, и уделяют должное внимание доказательствам.Первые два — это самостоятельные учебники. Иногда испанские переводы найти легче, чем английские.

— Алгебра и анализ элементарных функций , Потапов и др. (Несмотря на название, в ней нет исчисления, за исключением одной главы о пределах. Если бы я был в летнем лагере, изучая предварительное исчисление, я бы лучше использовал эту книгу, чем, скажем, Ларсон или какой-нибудь аналогичный американский книга.) Вот ссылка на испанский перевод.

— Элементарная математика: обзорный курс , Skanavi et al.

— Элементарная математика: избранные темы и решение задач , Дорофеев и др.

Есть отличный учебник Болтянского, Сидорова и Шабунина, посвященный «самым сложным темам школьной программы по алгебре и элементарным функциям», особенно темам, которые «недостаточно освещены в учебниках». К сожалению, эта книга, похоже, так и не была переведена. Также нет ни одной из книг, специально написанных для математических школ, в том числе отличных учебников по алгебре для 8-11 классов Виленкина и др., проблемная книга Галицкого и др. для 8 и 9 классов, Алгебра и теория чисел для математических школ Алфутовой и Устинова и ряд других проблемных сборников.

% PDF-1.7
%
2 0 obj
>
эндобдж
5 0 obj
>
ручей
2019-12-19T16: 39: 14 + 02: 00

конечный поток
эндобдж
3 0 obj
>
ручей
x] E MHV

Журнал исследований в области инновационного обучения

Проблемы геометрии от IMO: Quantum EN

(А. Егоров)

M212 В треугольнике $ ABC $ стороны $ CB $ и $ CA $ равны $ a $ и $ b $ соответственно. Биссектриса угла $ ACB $ пересекает сторону $ AB $ в точке $ K $, а окружность, описанная вокруг треугольника, пересекает ее в точке $ M $.о $.

(И. Шарыгин)

M218 Пусть $ M $ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ ABCD $. Рассмотрим три окружности, проходящие через $ M $: первая и вторая окружности касаются $ AB $ в точках $ A $ и $ B $ соответственно, а третья окружность проходит через $ C $ и $ D $. Обозначим точки, отличные от $ M $, где третья окружность пересекает первую и вторую окружности, обозначениями $ P $ и $ Q $ соответственно. Докажите, что $ PQ $ касается первой и второй окружностей.

M222 В треугольнике $ ABC \ angle BAC $ равен $ \ alpha $.о $.

M236 Рассмотрим две окружности, пересекающиеся в точках $ A $ и $ B $. Пусть прямая, проходящая через $ B $, пересекает окружности в точках $ K $ и $ M $ (см. Рис.). Пусть $ E $ и $ F $ — середины дуг $ AK $ и $ AM $ соответственно (дуги, не содержащие $ B $), и пусть $ L $ — середина отрезка $ KM $. Докажите, что $ \ angle ELF $ — прямой угол.

M240 Студент-математик потерялся в обширном лесу, граница которого представляет собой линию. (Представьте, что лес покрывает полуплоскость.) Ученица знает, что она находится не более чем в 2 $ милях от границы. o $.Докажите, что $ KM $ перпендикулярно $ AD $.

M244 Планета Кирпич представляет собой прямоугольный параллелепипед со стороной $ 1,2 $ и $ 4 $ км. Князь Кирпичный построил кирпичный дом в центре одного из самых больших фасадов. Какое расстояние от дома до самой дальней точки на планете? (Расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшего пути, соединяющего поверхность планеты.)

M248 Треугольная пирамида $ ABCD $ имеет равносторонний треугольник $ ABC $ в качестве основания и $ AD = BC $.Если три плоских угла при вершине $ D $ равны, какие значения могут принимать эти углы?

M250 Периметр треугольника $ ABC $ в $ k $ раз больше, чем сторона $ BC $, и $ AB

M252 Две непересекающиеся окружности с радиусами $ R $ и $ r $ касаются обеих сторон одного и того же угла. Постройте равнобедренный треугольник так, чтобы его основание находилось на одной стороне угла, вершина — на другой стороне, а каждая нога касалась одного из кругов.Выразите длину высоты до основания этого треугольника через $ R $ и $ r $.

(И. Ф. Шарыгин)

M253 Равносторонний треугольник, сделанный из куска картона, лежит на плоскости. Три гвоздя забиты в точках $ K, L $ и $ M $ по его сторонам так, чтобы треугольник не мог двигаться (рис.). Дано, что точки $ K $ и $ L $ делят свои соответствующие стороны в пропорции $ 2: 1 $ и $ 3: 2 $, как показано на рисунке. В какой пропорции точка $ M $ делит свою сторону треугольника?

(А.Шэнь)

M254 Плоскость пересекает единичный куб и делит его на два многогранника. Известно, что расстояние между любыми двумя точками одного многогранника не превышает $ 3/2 $. Какое значение может иметь площадь этого участка?

(Н. П. Долбилин)

M259 Дана треугольная пирамида, у которой все плоские углы в одной из вершин прямые. Известно, что существует точка такая, что ее расстояние от данной вершины составляет $ 3 $, а расстояния от th: других вершин равны $ \ sqrt5, \ sqrt6 $ и $ \ sqrt7 $ соответственно.Найдите радиус сферы, описанной вокруг этой пирамиды.

M260 Окружность, вписанная в треугольник $ ABC $, касается $ BC $ в точке $ T $, а $ M $ — это середина высоты, ведущей к $ BC $. Точка $ P $ — вторая точка пересечения прямой $ TM $ с вписанной окружностью. Докажите, что окружность, проходящая через точки $ B, C $ и $ P $, касается окружности, вписанной в треугольник $ ABC $.

M264 Имея две точки на плоскости и линейку, длина которой меньше расстояния между ними (но без компаса!), Постройте прямую, проходящую через две точки.

Вы можете использовать частный случай теоремы Дезарга:

Предположим, у нас есть два треугольника, $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $, расположенные таким образом, что $ AA_1, BB_1 $ и $ CC_1 $ пересекаются в точке. Пусть прямые $ AB $ и $ A_1B_1 $ пересекаются в точке $ K $, прямые $ BC $ и $ B_1C_1 $ — в точке $ P $, а $ CA $ и $ C_1A_1 $ — в точке $ M $. Тогда точки $ K, P $ и $ M $ лежат на одной прямой (рис.).

M265 Пусть $ AA_1, BB_1 $ и $ CC_1 $ — биссектрисы внутренних углов треугольника $ ABC $ (где $ A_1, B_1 $ и $ C_1 $ находятся на сторонах треугольника). o $.Найдите угол между прямыми $ KP $ и $ LM $.

M276 Пять граней треугольной пирамиды имеют длину 1 доллар. Найдите шестое ребро, если известно, что радиус сферы, описанной вокруг этой пирамиды, равен $ 1 $.

M280 Пусть $ M $ — середина стороны $ BC $ треугольника $ ABC $, а $ Q $ — точка пересечения его биссектрис. Дано, что $ MQ = QA $. Найти минимально возможное значение угла $ MQA $,

M284 Хорда $ AB $ проведена в окружности $ O $ радиуса $ r $. Точки $ P $ и $ Q $ берутся при его продолжении за точки $ A $ и $ B $ соответственно, так что $ AP = BQ $.Поскольку $ P $ и $ Q $ изменяются вдоль прямой $ AB $, они определяют две пары касательных к окружности $ O $. Эти четыре касательных, в свою очередь, определяют четыре новые точки пересечения друг с другом. Найдите геометрическое место всех таких точек пересечения.

M285 Сторона $ BC $ треугольника $ ABC $ имеет длину $ a $, а противоположный угол имеет градусную меру $ \ alpha $. Прямая, проходящая через середину $ D $ треугольника $ BC $ и центр окружности, вписанной в треугольник, пересекает $ AB $ и $ AC $ в точках $ M $ и $ P $ соответственно.Найдите площадь (невыпуклого) четырехугольника $ BMPC $.

M286 Четырехугольник $ ABCD $ вписан в окружность. Пусть $ M $ — точка пересечения его диагонали, а $ L $ — середина дуги $ AD $ (которая не содержит других вершин четырехугольника). Докажите, что расстояния от $ L $ до центров вписанных в треугольники $ ABM $ и $ CDM $ окружностей равны.

M290 Две окружности и равнобедренный треугольник расположены, как показано на рисунке. Найдите высоту треугольника, проведенного к его основанию, если сумма диаметров окружностей равна $ 2 $.

M292 В треугольнике $ ABC $ угол $ A $ равен $ \ alpha $ .. Окружность, проходящая через $ A $ и $ B $ и касающаяся прямой $ BC $, пересекает медиану, проведенную на стороне $ BC $ (или его продолжение) в точке $ M $, отличной от $ A $. Выразите меру угла $ BMC $ через $ \ alpha $.

M294 В треугольнике $ ABC, \ angle BAC = \ alpha $ и $ \ angle ABC = 2 \ alpha $. Окружность с центром $ C $ и радиусом $ CA $ пересекает прямую, содержащую биссектрису внешнего угла в вершине $ B $ в точках $ M $ и $ N $.Выразите меры углов треугольника $ AMN $ через $ \ alpha $.

M298 Пусть перпендикуляр к стороне $ AD $ параллелограмма $ ABCD $, проходящий через вершину $ B $, пересекает прямую $ CD $ в точке $ M $, а перпендикуляр к стороне $ CD $, проходящий через вершину $ B $, пересекает прямую $ AD $ в точке $ N $. Докажите, что перпендикуляр, опущенный с $ B $ на диагональ $ AC $, проходит через середину отрезка $ MN $.

M299 Окружность полностью лежит внутри заданного угла. Постройте еще одну окружность, касательную к первой и сторонам данного угла.Сколько всего таких кругов?

M300 Пусть прямая $ m $ перпендикулярна плоскости $ L $. Три сферы, которые касаются попарно, также касаются прямой $ m $ и плоскости $ L $. Радиус самой большой сферы равен $ r $. Найдите минимально возможный радиус самой маленькой сферы.

M304 В треугольнике $ ABC $ рисуется высота $ CM $. Прямая, симметричная высоте, проведенная из вершины $ A $ относительно прямой $ CM $, пересекает прямую $ BC $ в точке $ K $. Найдите угол $ OMK $, где $ O $ — центр окружности, описанной вокруг треугольника $ ABC $ (все точки $ O $, $ M $ и $ K $ различны).

M307 На плоскости даны две пересекающиеся окружности. $ A $ — одна из точек пересечения окружностей. В каждой окружности рисуется диаметр, параллельный касательной к другой окружности в точке $ A $, и эти диаметры не пересекаются. Докажите, что четыре конца этих диаметров лежат на одной окружности.

(С. Берлов)

M309 На плоскости даны три банка $ A, B $ и $ C $. Проведите линию через точку $ C $ так, чтобы произведение расстояний от точек $ A $ и $ B $ до этой линии было наибольшим.Всегда ли такая линия существует?

(Н. Васильев)

M312 Для данной хорды $ MN $ окружности рассмотрим все треугольники $ ABC $ такие, что $ AB $ — диаметр данной окружности, не пересекающий $ MN $, а стороны $ AC $ и $ BC $ проходят через концы. $ MN $. Докажите, что высоты всех таких треугольников, проведенных из вершины $ C $ в сторону $ AB $, пересекаются в одной точке.

(Э. Куланин)

M315 На основании $ AC $ равнобедренного треугольника $ ABC $ берется точка $ D $ такая, что окружность, вписанная в треугольник $ ABD $, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжения отрезков $ BC $ и $ BD $. и отрезок $ CD $ (выписанная окружность треугольника $ BCD $).Докажите, что этот радиус равен $ 1/4 $ высоты треугольника, проведенного к ноге.

(И. Шарыгин, Н. Васильев)

M320 Докажите, что в (а) правильном 12-угольном $ и (б) правильном $ 54 $ -угольнике существуют четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и не проходят через центр многоугольника.

(С. Токарев)

.