Геометрия рт 11 класс: ГДЗ рабочая тетрадь по геометрии 11 класс Бутузов, Глазков Просвещение

ГДЗ по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Глазков, Бутузов

Учебная программа по

геометрии

составителей

бутузов, Глазков позволяет

учащимся

рассмотреть

основную программу

геометрии,

что позволит в

будущем

употребить

полученные умения.

Для
закрепления

знаний

в школе задают

домашние задания

и

некоторые

учащиеся

сталкиваются с проблемой

подготовки

домашней работы.

Наша команда решила облегчить

обучение

учащихся

и

составила

специальные

методички

которые помогут ученикам.
Ответы к заданиям рабочей тетради по геометрии 11 класс Глазков, Бутузов.

Этот

решебник поможет

написать

и проверить

домашнее задание

по

геометрии.

Чтобы получить не только положительную оценку, но и

какие-то знания,

ГДЗ

необходимо

пользоваться

по некоторым правилам.

Первым делом

необходимо

понять

теоретические материалы,

посмотреть

правила,

теоремы.

Вторым шагом необходимо

суметь

решить задание

без посторонней помощи,

если не

удается

решить, то обратиться за помощью к

родителям,

если и они не смогли помочь то открыть

ГДЗ

и воспользоваться им.
При использовании решебника важно

найти,

где ты допустил ошибку. После нахождения и исправления ошибки необходимо решить

парочку

схожих

заданий, чтобы усвоить

алгоритм

выполнения задания.

Учебники которые стоит прочитать:

Атанасян. Геометрия 11 класс. Рабочая тетрадь / Бутузов (Просвещение)

Описание к товару: «Бутузов. Геометрия 11 класс. Рабочая тетрадь. УМК Атанасян Л.С.»

Рабочие тетради по содержанию и структуре полностью соответствуют учебнику и предназначены для работы учащихся на уроке. Задания, включающие большое количество чертежей, помогут легко и быстро усвоить новый материал. Учащиеся самостоятельно заполняют специально оставленные пропуски в решениях заданий, что способствует осознанию ими логики рассуждений и усвоению различных методов решения задач, учит грамотно оформлять решение.

Раздел:
Геометрия

Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ
Серия: МГУ — школе

Вы можете получить более полную информацию о товаре «Атанасян. Геометрия 11 класс. Рабочая тетрадь / Бутузов (Просвещение)«, относящуюся к серии: МГУ — школе, издательства Просвещение, ISBN: 978-5-09-073247-5, автора/авторов: Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И., если напишите нам в форме обратной связи.

МРОА-191 Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей

Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 2010

По кнопке выше «Купить бумажную книгу» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.

По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес», и потом ее скачать на сайте Литреса.

По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно искать похожие материалы на других сайтах.

On the buttons above you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.

Название: Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь.

Автор: Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И.
2010

   Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 10-11» Л. С. Атанасяна и др. и предназначена для организации решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с новым учебным материалом.

   Заполните пропуски.
В пространстве задана прямоугольная система координат, если:
а) заданы три попарно прямые, проходящие через точку пространства;
б) на каждой из этих прямых выбрано
в) выбрана единица отрезков.
Заполните пропуски.
Если прямоугольная система координат обозначена Охуz, то прямая
Ох называется осью, прямая Оу — осью ,
прямая Оz —
Заполните пропуски.
Дана точка М(2; -3; 0). Числа 2, -3, называются
точки М; число 2 — это точки,
число -3 , число 0
Заполните пропуски.
Если аппликата точки А равна -2, абсцисса равна 0 и ордината
равна 3, то A(—; —; —).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Метод координат в пространстве
§ 1. Координаты точки и координаты вектора 3
§ 2. Скалярное произведение векторов 13!
§ 3. Движения 17
Глава VI. Цилиндр, конус и шар
§ 1. Цилиндр 22
§ 2. Конус 28
§ 3. Сфера 36
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 53
Глава VII. Объемы тел
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда 60
§ 2. Объем прямой призмы и цилиндра 63
§ 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса 65
§ 4. Объем шара и площадь сферы 72
Соответствие между пунктами учебника и задачами тетради 75

Купить книгу Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь.  Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 2010 —

Купить книгу Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь.  Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 2010

Дата публикации: 21.11.2011 09:39 UTC

Теги:

задачник по геометрии :: геометрия :: Бутузов :: Глазков :: Юдина :: 11 класс

Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:

Следующие учебники и книги:

Предыдущие статьи:

ГДЗ Геометрия 11 класс Бутузов, Глазков

Заключительный учебный год станет одним из самых важных и сложных в жизни каждого одиннадцатиклассника. Он пролетит невероятно быстро, но ученикам предстоит проделать колоссальный объем работы для успешной сдачи экзаменов. Ведь помимо подготовки к ЕГЭ и повторения изученного ранее, нужно успеть освоить новый материал.

Одним из наиболее сложных предметов в старшей школе является геометрия. Несмотря на усиленную подготовку по профильным предметам, не стоит забывать о едином для всех учащихся экзамене по математике. И если раньше с геометрией возникали трудности, сейчас необходимо быстро и качественно восполнить все накопившиеся пробелы в знаниях.

Ваш незаменимый онлайн-помощник

Чем ближе конец учебного года и выпускные экзамены, тем больше возрастает нагрузка на каждого ученика. Увеличивается объем домашних заданий и материала для самостоятельного изучения. Такой рост вызван необходимостью практической отработки заданий по предмету для максимально успешной сдачи ЕГЭ. Справиться с таким потоком информации бывает не по плечу даже самым подготовленным отличникам. Упростить процесс домашней подготовки сможет сборник «ГДЗ по Геометрии 11 класс Рабочая тетрадь Бутузов, Глазков (Просвещение)».

Что содержится в сборнике ГДЗ

В большинстве российских школ на уроках геометрии в 10-11 классах используется учебно-методический комплект под редакцией Бутузова издательства «Просвещение». Пособие «ГДЗ по Геометрии 11 класс Бутузов» содержит подробные решения и готовые ответы на задачи из оригинального учебника. В рамках программы 11 класса предложены следующие темы для изучения и отработки:

• методы координат в пространстве;
• скалярное произведение векторов;
• трехмерные фигуры: сфера, цилиндр, конус;
• объемы тел.

На страницах решебника полностью разобраны более ста заданий по данным разделам. Описанный материал соответствует стандартам ФГОС, а значит непременно пригодится при подготовке к ЕГЭ.

Какие возможности открывает онлайн-решебник

Материалы ГДЗ имеют доступное и понятное изложение, а также большое количество поясняющего материала в виде чертежей, графиков и таблиц. Благодаря этому, данное пособие позволяет эффективно использовать время на самостоятельную подготовку:

1. Дает возможность самостоятельно разобраться с непонятной темой;
2. Способствует быстрому решению задач и оперативной проверке правильных ответов;
3. Экономит время на выполнение домашнего задания.

Практика с решебником устраняет все трудности с пониманием предмета и положительно сказывается при подготовке к занятиям, контрольным и экзаменационным работам.

Учебное пособие по геометрии

для SBAC

Общая информация

Как и в других областях математики, протестированных на SBAC, упор делается на способность объяснять геометрические операции и процедуры, которые вы выполняете, и почему они работают для получения правильного ответа. Итак, убедитесь, что вы действительно понимаете их все. Также знайте, что геометрические идеи могут сочетаться с другими математическими навыками для решения задач, и что многие из них, используемые в этом тесте, требуют глубокого понимания гораздо более простых геометрических концепций.

Преобразования

Преобразования — это операции, которые перемещают или изменяют объект из исходного состояния. Есть несколько типов преобразований; некоторые сохраняют форму и размер объекта (это называется жестким преобразованием ), а некоторые изменяют размер или форму (именуемым нежестким преобразованием ) объекта. Вам нужно будет знать, как выполнять и то и другое в координатной плоскости.

Определения

Для вас будет важно научиться использовать термины, определенные ниже, при выполнении преобразований на плоскости с различными геометрическими объектами..

угол — Угол — это образование двух лучей, имеющих общую конечную точку. Мы часто думаем об образовании угла, если взять начальный луч и повернуть его вокруг своей конечной точки к конечному лучу .

круг — Набор всех точек, которые находятся на равном расстоянии от фиксированной точки на плоскости.

перпендикулярная линия — линия, пересекающая другую линию под углом 90 градусов. Наклоны перпендикулярных линий равны отрицательным значениям, равным друг другу.Другие используемые термины: нормальный и ортогональный .

параллельная линия — линия, которая не пересекает другую линию в той же плоскости. Параллельные линии имеют одинаковый наклон.

сегмент линии — Часть линии, которую можно измерить. Измерение проводится между конечными точками .

точка — точка описывает точное положение на плоскости. В системе координат точка определяется упорядоченной парой \ ((x, y) \).

линия — Геометрически прямая линия проходит без ограничений в противоположных направлениях. Линия содержит отрезки и лучи.

расстояние по прямой —Длина линии бесконечна . Расстояние вдоль линии, которое можно измерить, — это длина линейного сегмента, который она содержит.

расстояние вокруг дуги окружности — длина части окружности, образованной центральным углом окружности .Он также определяется как часть окружности круга.

Представьте преобразования

Вам нужно будет определить, какой тип преобразования производится от одного объекта или функции к другому, и сохраняет ли преобразование форму и размер объекта или функции.

Жесткие преобразования включают смещения, вращения и отражения. Эти типы преобразований только перемещают и объект, но не меняют его форму или размер.2 \). Обратите внимание, что график \ (f (x) \) уже симметричен относительно оси \ (y \), так что это его собственное отражение. Вы также должны уметь переводить фигуру, перемещая каждую точку фигуры на одинаковое расстояние в одном и том же направлении. Этот тип трансформации также называется скольжением .

Нежесткие преобразования включают расширений и сжатий , которые изменяют размер, но не форму, и изменяют размер и форму объекта соответственно.Вскоре мы рассмотрим расширения.

Описание вращения и отражения

Вам также необходимо знать, как выполнить несколько преобразований объекта. Если выполнение одного или нескольких преобразований объекта возвращает его в исходное положение, чтобы он сохранил свою форму и размер, мы говорим, что объект имеет симметрию по отношению к этому преобразованию (ям). Дважды повернуть прямоугольник вокруг его центральной точки на \ (90 \) градусов в одном направлении или один раз отразить квадрат вокруг любой из его диагоналей — это преобразования, которые сохраняют форму и положение объекта.

Правильный многоугольник имеет отражательную симметрию . \ (N \) -сторонний правильный многоугольник имеет \ (\ dfrac {n} {2} \) диагонали. Вы можете отразить \ (n \) -сторонний многоугольник вокруг каждой из его диагоналей один раз, и многоугольник отразится сам на себя.

Вам нужно будет преобразовать фигуру относительно фиксированной точки, повернув точки на фигуре на заданный угол, вершиной которого является фиксированная точка. Точки движутся по дуге окружности, образованной углом поворота. Отражение перемещает точки на фигуре по линии, расстояние которой равно расстоянию от исходной точки до линии отражения.Отрезок линии, образованный точкой и отраженной точкой, должен быть перпендикулярен отраженной линии.

Создание определений

Помимо представления и описания определенных преобразований, вам будет предложено определить преобразование с учетом набора правил. Другими словами, преобразование будет описано с использованием изображений или правила отображения. Затем вам нужно будет определить, какие преобразования определяют это правило.

Пример: определите преобразование, которое отображает все точки \ ((x, y) \) в \ ((x-5, y + 3) \).

Решение: Свойство определяет перевод. В частности, это перевод на 5 единиц влево и на 3 единицы вверх.

Нарисовать преобразования

Вам нужно будет выполнить одно или несколько преобразований, которые отображают одну геометрическую фигуру на другую. Для этого могут быть доступны разные комбинации. Например, отражение квадрата относительно начала координат в системе координат эквивалентно отражению квадрата вокруг оси \ (x \), а затем оси \ (y \).

Вам также необходимо определить, обладает ли геометрическая фигура симметрией, и уметь показать количество преобразований и комбинаций преобразований, которые сопоставляет фигуру с собой.

Сравнение

Сравнение означает, что две или более геометрических фигур имеют одинаковый размер и форму. Итак, соответствующие стороны и углы для двух или более геометрических фигур имеют одинаковую длину и размер соответственно. Это означает, что любое движение, преобразующее геометрическую фигуру в конгруэнтную геометрическую фигуру, должно быть жестким движением.

Описание жестких движений

Вам необходимо знать различные типы жесткого движения, которые можно использовать для преобразования одной геометрической фигуры в другую конгруэнтную геометрическую фигуру. Эти жесткие движения включают перемещений на , отражений на и вращений на . Может использоваться один или несколько из этих типов преобразований, когда одна геометрическая фигура конгруэнтна другой.

Использование определения сравнения

Вам нужно будет показать, что два треугольника совпадают с помощью одного или нескольких жестких движений, поскольку размер и форма обоих треугольников остаются одинаковыми.Например, если точки \ (A \), \ (B \) и \ (C \) сдвинуты на \ (3 \) единицы вправо, чтобы сформировать точки \ (X \), \ (Y \) и \ (Z \) соответственно, то \ (\ треугольник {ABC} \ cong \ треугольник {XYZ} \), поскольку перенос не меняет длины соответствующих сторон или меру соответствующих углов при отображении \ (\ треугольник { ABC} \) в \ (\ треугольник {XYZ} \). Это также означает, что если соответствующие части двух треугольников конгруэнтны (CPCTC), то два треугольника также должны быть конгруэнтными.

Использование сравнения треугольников

Также может быть указан минимальный объем информации, показывающий, что два треугольника конгруэнтны.

• Если три стороны одного треугольника конгруэнтны трем сторонам другого треугольника, два треугольника конгруэнтны по теореме Сторона-Сторона-Сторона (SSS) .
• Если две стороны и включенный угол (угол, образованный двумя сторонами) одного треугольника конгруэнтны другому треугольнику, эти два треугольника конгруэнтны по теореме Side-Angle-Side (SAS) .
• И, если два угла и включенная сторона (сторона между двумя углами) конгруэнтны другому треугольнику, эти два треугольника конгруэнтны по теореме Angle-Side-Angle (ASA) .

В каждом случае все три соответствующих угла и стороны совпадают для двух треугольников по CPCTC.

Расстояния

Вам нужно будет уметь расширять геометрическую фигуру или функцию. Как отмечалось ранее, растяжение меняет не форму, а только размер фигуры. Следует помнить следующее:

• Расширение не влияет на величину угла.
• Параллельные линии остаются параллельными, но удлиненный сегмент изменяет длину.

Центр

Центр расширения — это фиксированная точка на плоскости, где все другие точки растянуты (удлиняются) на некоторое расстояние в том же направлении на некоторую константу или сокращаются (сокращаются) на некоторое расстояние в том же направлении на некоторую константу.

Масштабный коэффициент

Возможно, вам потребуется определить масштабный коэффициент , используемый для данной дилатации. Масштабный коэффициент — это используемая константа, которая расширяет или сжимает точки фигуры от центра расширения.На диаграмме ниже сегмент \ (\ overline {AB} \) расширен для получения \ (\ overline {AB ‘} \) путем умножения длины \ (\ overline {AB} \) на некоторую константу \ (k \), так что \ (AB ‘= k \ cdot AB \). Эквивалентно \ (k = \ dfrac {AB ’} {AB} \), где \ (A \) — центр растяжения. Здесь, поскольку \ (AB ’\ gt AB \), то \ (k \ gt 1 \), то есть \ (B’ \) простирается за пределы \ (B \). Если \ (k \ lt 1 \), то \ (AB ’\ lt AB \) и \ (B’ \) равно , сокращенному на или между \ (A \) и \ (B \).

Сходство

Сходство похоже на совпадение геометрических фигур, но фигуры не обязательно должны быть (и обычно не имеют) одинакового размера.Расширение — ключевое преобразование при рисовании похожих геометрических фигур.

Определение подобия

Вам нужно будет определить, похожи ли две геометрические фигуры, показав, что их соответствующих углов совпадают, и соответствующие стороны пропорциональны . Расширение — это преобразование подобия, поскольку преобразованные стороны изменяются с одинаковым коэффициентом.

Расширение также является преобразованием подобия .Если на изображении ниже \ (\ треугольник {ABC} \) расширен некоторой константой так, что \ (A, B, \) и \ (C \) преобразуются в \ (D, E, \) и \ (F \), таким образом создавая \ (\ треугольник {DEF} \), \ (\ треугольник {ABC} \ sim \ треугольник {DEF} \), где углы \ (\ angle {A}, \ angle {B}, \) и \ (\ angle {C} \) конгруэнтны углам \ (\ angle {D}, \ angle {E}, \) и \ (\ angle {F} \), соответственно. Кроме того, соответствующие стороны пропорциональны, \ (\ dfrac {AB} {DE} = \ dfrac {BC} {EF} = \ dfrac {AC} {DF} \), по подобию растяжения.

Свойства преобразований подобия

Если два соответствующих угла одного треугольника конгруэнтны другому треугольнику, третья пара соответствующих углов также должна быть конгруэнтна.Критерий подобия AA (угол-угол) такой же, как показывающий, что все соответствующие углы совпадают из-за того, что сумма углов равна \ (180 \) градусам. Если преобразование растяжения используется для создания 2-го треугольника, можно сказать, что треугольники похожи по критерию AA.

8.2 Геометрия окружности | Евклидова геометрия

Аксиома — это установленный или принятый принцип. В этом разделе приняты следующие аксиомы.

Теоремы (EMBJB)

Теорема — это гипотеза (предложение), истинность которой может быть доказана с помощью принятых математических операций и
аргументы.Доказательство — это процесс доказательства правильности теоремы.

Теорема, обратная теореме, противоположна гипотезе и заключению. Например, учитывая теорему
«Если \ (A \), то \ (B \)», обратное — «если \ (B \), то \ (A \)».

Если линия проводится из центра окружности перпендикулярно хорде, то хорда делится пополам.

(Причина: \ (\ perp \) от центра хорда делит пополам)

Окружность с центром \ (O \) и прямой \ (OP \), перпендикулярной хорде \ (AB \).2 & \\
\ поэтому AP & = BP &
\ конец {массив} \]

Следовательно, \ (OP \) делит \ (AB \) пополам.

Альтернативное подтверждение:

В \ (\ треугольник OPA \) и в \ (\ треугольник OPB \),
\ [\ begin {array} {rll}
O \ hat {P} A & = O \ hat {P} B & (\ text {given} OP \ perp AB) \\
OA & = OB & \ text {(равные радиусы)} \\
OP & = OP & \ text {(общая сторона)} \\
\ поэтому \ треугольник OPA & \ эквив \ треугольник OPB & \ text {(RHS)} \\
\ поэтому AP & = PB &
\ конец {массив} \]

Следовательно, \ (OP \) делит \ (AB \) пополам.

Если линия проводится от центра круга до середины хорды, то она перпендикулярна
к аккорду.

(Причина: линия от центра до середины \ (\ perp \))

Окружность с центром \ (O \) и прямой \ (OP \) до середины \ (P \) на хорде \ (AB \).

\ (ОП \ перп АБ \)

Рисование \ (OA \) и \ (OB \).

В \ (\ треугольник OPA \) и в \ (\ треугольник OPB \),
\ [\ begin {array} {rll}
OA & = OB & \ text {(равные радиусы)} \\
AP & = PB & \ text {(дано)} \\
OP & = OP & \ text {(общая сторона)} \\
\ поэтому \ треугольник OPA & \ эквив \ треугольник OPB & \ text {(SSS)} \\
\ поэтому O \ hat {P} A & = O \ hat {P} B & \\
\ text {and} O \ hat {P} A + O \ hat {P} B & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {на ул.линия}) \\
\ поэтому O \ hat {P} A = O \ hat {P} B & = \ text {90} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

Следовательно, \ (OP \ perp AB \).

Если провести серединный перпендикуляр хорды, то линия пройдет через центр хорды.
круг.

(Причина: \ (\ perp \) биссектриса через центр)

Окружность со средней точкой \ (P \) на хорде \ (AB \).

Линия \ (QP \) нарисована так, что \ (Q \ hat {P} A = Q \ hat {P} B = \ text {90} \ text {°} \).

Линия \ (RP \) нарисована так, что \ (R \ hat {P} A = R \ hat {P} B = \ text {90} \ text {°} \).

Центр окружности \ (O \) лежит на прямой \ (PR \)

Нарисуйте линии \ (QA \) и \ (QB \).

Нарисуйте линии \ (RA \) и \ (RB \).

В \ (\ треугольник QPA \) и в \ (\ треугольник QPB \),
\ [\ begin {array} {rll}
AP & = PB & \ text {(дано)} \\
QP & = QP & \ text {(общая сторона)} \\
Q \ hat {P} A = Q \ hat {P} B & = \ text {90} \ text {°} & \ text {(given)} \\
\ поэтому \ треугольник QPA & \ эквив \ треугольник QPB & \ text {(SAS)} \\
\ поэтому QA & = QB &
\ end {array} \]

Аналогично можно показать, что в \ (\ треугольник RPA \) и в \ (\ треугольник RPB \), \ (RA = RB \). 2 & = \ text {12,75} & \\
\ поэтому OS & = \ text {3,6} &
\ конец {массив} \]

Углы, образуемые дугой в центре и на окружности круга

1. Измерьте углы \ (x \) и \ (y \) на каждом из следующих графиков:

2. Заполните таблицу:

3. Используйте свои результаты, чтобы сделать предположение о взаимосвязи между углами, образованными дугой в
   центр круга и углы на окружности круга.
4. Теперь нарисуйте три аналогичные диаграммы и измерьте углы, чтобы проверить свою гипотезу.

Если дуга образует угол в центре круга и на окружности, то угол при
центр в два раза больше угла на окружности.

(Причина: \ (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в описании} \))

Окружность с центром \ (O \), дугой \ (AB \), переходящей в \ (A \ hat {O} B \) в центр окружности, и
\ (A \ hat {P} B \) по окружности.

\ (A \ hat {O} B = 2A \ hat {P} B \)

Draw \ (PO \) расширен до \ (Q \) и пусть \ (A \ hat {O} Q = \ hat {O} _1 \) и \ (B \ hat {O} Q = \ hat {O} _2 \).

\ [\ begin {array} {rll}
\ hat {O} _1 & = A \ hat {P} O + P \ hat {A} O & (\ text {ext.} \ angle \ треугольник = \ text {sum int. opp.} \ angle
\ text {s}) \\
\ text {and} A \ hat {P} O & = P \ hat {A} O & (\ text {равные радиусы, равнобедренный сустав} \ треугольник APO) \\
\ поэтому \ hat {O} _1 & = A \ hat {P} O + A \ hat {P} O & \\
\ hat {O} _1 & = 2A \ hat {P} O &
\ конец {массив} \]

Аналогично, мы также можем показать, что \ (\ hat {O} _2 = 2B \ hat {P} O \).

Для первых двух диаграмм, показанных выше, мы имеем следующее:
\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {O} B & = \ hat {O} _1 + \ hat {O} _2 & \\
& = 2A \ hat {P} O + 2B \ hat {P} O & \\
& = 2 (A \ hat {P} O + B \ hat {P} O) & \\
\ поэтому A \ hat {O} B & = 2 (A \ hat {P} B) &
\ конец {массив} \]

И для последней диаграммы:
\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {O} B & = \ hat {O} _2 — \ hat {O} _1 & \\
& = 2B \ hat {P} O — 2A \ hat {P} O & \\
& = 2 (B \ hat {P} O — A \ hat {P} O) & \\
\ поэтому A \ hat {O} B & = 2 (A \ hat {P} B) &
\ end {array} \]

Рабочий пример 2: Угол в центре окружности в два раза больше угла при окружности

Дан \ (HK \), диаметр окружности, проходящей через центр \ (O \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы и стороны на диаграмме.

Решите относительно \ (a \)

В \ (\ треугольник HJK \):
\ [\ begin {array} {rll}
H \ hat {O} K & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {на стр. Строке)} \\
& = 2a & (\ angle \ text {по центру} = 2 \ angle \ text {по окружности}) \\
\ поэтому 2a & = \ text {180} \ text {°} & \\
a & = \ frac {\ text {180} \ text {°}} {2} & \\
& = \ текст {90} \ текст {°} &
\ end {array} \]

Заключение

Диаметр круга образует прямой угол на окружности (углы в полукруге).

Угол в центре окружности в два раза больше угла при окружности

Учебное упражнение 8.2

\ [\ begin {array} {rll}
b & = 2 \ times \ text {45} \ text {°} & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности})
\\
\ поэтому b & = \ text {90} \ text {°} & \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {rll}
c & = \ frac {1} {2} \ times \ text {45} \ text {°} & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at
окр.}) \\
\ поэтому c & = \ text {22,5} \ text {°} & \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {rll}
d & = 2 \ times \ text {100} \ text {°} & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности})
\\
\ поэтому d & = \ text {200} \ text {°} & \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {rll}
e & = \ text {100} \ text {°} — \ text {90} \ text {°} — \ text {35} \ text {°} & (\ angle \ text {в
полукруг}) \\
\ поэтому e & = \ text {55} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
f & = \ frac {1} {2} \ times \ text {240} \ text {°} & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at
окр.}) \\
\ поэтому f & = \ text {120} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

Сложенные углы в одном сегменте окружности

1. Измерьте углы \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \) и \ (e \) на диаграмме ниже:

2. Выберите любые две точки на окружности круга и пометьте их \ (A \) и \ (B \).

3. Нарисуйте \ (AP \) и \ (BP \) и измерьте \ (A \ hat {P} B \).

4. Нарисуйте \ (AQ \) и \ (BQ \) и измерьте \ (A \ hat {Q} B \).

5. Что вы наблюдаете? Сделайте предположение об этих типах углов.

Если углы, образуемые хордой окружности, находятся на одной стороне хорды, то углы равны
равный.

(Причина: \ (\ angle \) s в том же сегменте)

Окружность с центром \ (O \) и точками \ (P \) и \ (Q \) на окружности круга.Дуга \ (AB \)
расширяет \ (A \ hat {P} B \) и \ (A \ hat {Q} B \) в одном и том же сегменте круга.

\ (A \ hat {P} B = A \ hat {Q} B \)

\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {O} B & = 2 A \ hat {P} B & (\ angle \ text {по центру} = 2 \ angle \ text {по окружности}) \\
A \ hat {O} B & = 2 A \ hat {Q} B & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности}) \\
\ поэтому 2 A \ hat {P} B & = 2 A \ hat {Q} B & \\
A \ hat {P} B & = A \ hat {Q} B &
\ конец {массив} \]

Равные дуги соединяют равные углы

Из приведенной выше теоремы мы можем вывести, что если углы на окружности окружности стянуты дугами
равной длины, то и углы равны.На рисунке ниже обратите внимание, что если бы мы переместили два аккорда с помощью
на одинаковую длину ближе друг к другу, пока они не перекрываются, у нас была бы такая же ситуация, что и с теоремой
выше. Это показывает, что углы, образуемые дугами одинаковой длины, также равны.

Если линейный сегмент имеет равные углы в двух других точках на той же стороне линейного сегмента, то
эти четыре точки совпадают (лежат на окружности).

Отрезок \ (AB \), имеющий равные углы в точках \ (P \) и \ (Q \) на одной стороне отрезка
\ (AB \).

\ (A \), \ (B \), \ (P \) и \ (Q \) лежат на окружности.

Доказательство от противного:

точек на окружности круга: мы знаем, что есть только два возможных варианта относительно данного
точка — она ​​либо лежит по окружности, либо нет.

Будем считать, что точка \ (P \) не лежит на окружности.

Нарисуем круг, который разрезает \ (AP \) в \ (R \) и проходит через \ (A \), \ (B \) и \ (Q \).\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {Q} B & = A \ hat {R} B & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \\
\ text {but} A \ hat {Q} B & = A \ hat {P} B & (\ text {given}) \\
\ поэтому A \ hat {R} B & = A \ hat {P} B & \\
\ text {but} A \ hat {R} B & = A \ hat {P} B + R \ hat {B} P & (\ text {ext.} \ angle \ треугольник = \ text {sum int.
опп.}) \\
\ поэтому R \ hat {B} P & = \ text {0} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

Следовательно, предположение, что круг не проходит через \ (P \), должно быть ложным.

Мы можем заключить, что \ (A \), \ (B \), \ (Q \) и \ (P \) лежат на окружности (\ (A \), \ (B \), \ (Q \) и \ (P \) являются
конциклический).

Рабочий пример 3: Конциклические точки

Учитывая \ (FH \ parallel EI \) и \ (E \ hat {I} F = \ text {15} \ text {°} \), определите значение \ (b \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решить относительно \ (b \)

\ [\ begin {array} {rll}
H \ hat {F} I & = \ text {15} \ text {°} & (\ text {alt.} \ angle, FH \ parallel EI) \\
\ text {and} b & = H \ hat {F} I & (\ angle \ text {s in same seg.}) \\
\ поэтому b & = \ text {15} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

Углы в том же сегменте

Учебное упражнение 8.3

\ [\ begin {array} {rll}
a & = \ text {21} \ text {°} & (\ angle \ text {s в том же сегменте})
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
c & = \ text {24} \ text {°} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \\
d & = \ text {102} \ text {°} — \ text {24} \ text {°} & (\ text {ext.} \ angle \ треугольник =
\ text {sum int. опп.}) \\
\ поэтому d & = \ text {78} \ text {°} & \\
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
d & = \ hat {N} & (\ text {alt.} \ angle, PO \ parallel QN) \\
\ hat {N} & = \ frac {1} {2} \ times \ text {17} \ text {°} & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle
\ text {в окружности.}) \\
\ hat {O} & = \ hat {N} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \\
\ text {17} \ text {°} & = \ hat {O} + d & (\ text {внешний угол} \ треугольник) \\
\ поэтому 2d & = \ text {17} \ text {°} & \\
\ поэтому d & = \ text {8,5} \ text {°} & (\ text {alt.} \ angle, PO \ parallel QN)
\ конец {массив} \]

Учитывая \ (T \ hat {V} S = S \ hat {V} R \), определите значение \ (e \).

\ [\ begin {array} {rll}
\ text {In} \ треугольник TRV, \ hat {T} & = \ text {180} \ text {°} — (\ text {80} \ text {°} +
\ text {30} \ text {°}) & (\ angle \ text {s сумма} \ треугольник) \\
\ поэтому \ hat {T} & = \ text {70} \ text {°} & \\
\ поэтому e & = \ text {15} \ text {°} + \ text {70} \ text {°} & \\
& = \ текст {85} \ текст {°} & \\
\ конец {массив} \]

Является ли \ (TV \) диаметром круга? Поясните свой ответ.

Нет, поскольку \ (\ text {45} \ text {°} + \ text {35} \ text {°} \ ne
\ text {90} \ text {°} \)

Дана окружность с центром \ (O \), \ (WT = TY \) и \ (X \ hat {W} T = \ text {35} \ text {°} \). Определять
\ (е \).

\ [\ begin {array} {rll}
\ text {In} \ треугольник WTZ & \ text {и in} \ треугольник YTZ, \\
WT & = YT & (\ text {given}) \\
ZT & = ZT & (\ text {общая сторона}) \\
Y \ hat {T} Z = W \ hat {T} Z & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {линия от центра круга до середины})
\\
\ поэтому T \ hat {Z} Y & = T \ hat {Z} W & (\ text {SAS}) \\
T \ hat {Z} Y = T \ hat {Z} W & = f & \\
\ text {And} T \ hat {Z} Y & = \ text {35} \ text {°} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \\
\ поэтому T \ hat {Z} W = f & = \ text {35} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

Циклические четырехугольники

Циклические четырехугольники — это четырехугольники, все четыре вершины которых лежат на окружности окружности.
(конциклический).

Циклические четырехугольники

Рассмотрим схемы, приведенные ниже:

1. Выполните следующее:

   \ (ABCD \) — вписанный четырехугольник, потому что \ (\ ldots \ ldots \) ​​

2. Заполните таблицу:

   	Круг \ (\ text {1} \)	Круг \ (\ text {2} \)	Круг \ (\ text {3} \)
   \ (\ hat {A} = \)
   \ (\ hat {B} = \)
   \ (\ hat {C} = \)
   \ (\ hat {D} = \)
   \ (\ hat {A} + \ hat {C} = \)
   \ (\ hat {B} + \ hat {D} = \)

3. Используйте свои результаты, чтобы сделать предположение о связи между углами вписанных четырехугольников.

Противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.

(Причина: циклический четырехугольник опп. \ (\ Angle \))

Окружность с центром \ (O \) с точками \ (A, B, P \) и \ (Q \) на окружности так, что \ (ABPQ \) является
циклический четырехугольник.

\ (A \ hat {B} P + A \ hat {Q} P = \ text {180} \ text {°} \) и \ (Q \ hat {A} B + Q \ hat {P} B = \ текст {180} \ текст {°} \)

Нарисуйте \ (AO \) и \ (OP \).Обозначьте \ (\ hat {O} _1 \) и \ (\ hat {O} _2 \).
\ [\ begin {array} {rll}
\ hat {O} _1 & = 2A \ hat {B} P & (\ angle \ text {по центру} = 2 \ angle \ text {по окружности}) \\
\ hat {O} _2 & = 2A \ hat {Q} P & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окруж.}) \\
\ text {и} \ hat {O} _1 + \ hat {O} _2 & = \ text {360} \ text {°} & (\ angle \ text {s around a point}) \\
\ поэтому 2A \ hat {B} P + 2A \ hat {Q} P & = \ text {360} \ text {°} & \\
A \ hat {B} P + A \ hat {Q} P & = \ text {180} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

Точно так же мы можем показать, что \ (Q \ hat {A} B + Q \ hat {P} B = \ text {180} \ text {°} \).

Converse: внутренние противоположные углы четырехугольника

Если внутренние противоположные углы четырехугольника являются дополнительными, то четырехугольник является вписанным.

Внешний угол кругового четырехугольника

Если четырехугольник вписанный, то внешний угол равен внутреннему противоположному углу.

Рабочий пример 4: Противоположные углы вписанного четырехугольника

Дана окружность с центром \ (O \) и вписанный четырехугольник \ (PQRS \).\ (SQ \) нарисован и \ (S \ hat {P} Q =
\ text {34} \ text {°} \). Определите значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решить относительно \ (b \)

\ [\ begin {array} {rll}
S \ hat {P} Q + c & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.} \ Angle \ text {s cyclic quad supp.}) \\
\ поэтому c & = \ text {180} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & \\
& = \ текст {146} \ текст {°} &
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
a & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге})
\ конец {массив} \]

В \ (\ треугольник PSQ \):
\ [\ begin {array} {rll}
a + b + \ text {34} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {сумма} \ треугольник) \\
\ поэтому b & = \ text {180} \ text {°} — \ text {90} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & \\
& = \ текст {56} \ текст {°} &
\ end {array} \]

Методы доказательства четырехугольника циклический

Есть три способа доказать, что четырехугольник является вписанным четырехугольником:

Рабочий пример 5: Доказательство того, что четырехугольник является вписанным четырехугольником

Докажите, что \ (ABDE \) — вписанный четырехугольник.

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Докажите, что \ (ABDE \) — вписанный четырехугольник

\ [\ begin {array} {rll}
D \ hat {B} C & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \\
\ text {и} \ hat {E} & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {given}) \\
\ поэтому D \ hat {B} C & = \ hat {E} & \\
\ поэтому ABDE \ text {является циклическим} & \ text {четырехугольником} & \ text {(ext.\ @ \ (\ angle \) равно int. \ @
опп. \ @ \ (\ angle \))}
\ конец {массив} \]

Циклические четырехугольники

Учебное упражнение 8.4

\ [\ begin {array} {rll}
a + \ text {87} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {противоположные углы циклической четверки. Supp.
}) \\
\ поэтому a & = \ text {93} \ text {°} & \\
b + \ text {106} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.углы циклической четверки.
супп. }) \\
\ поэтому b & = \ text {74} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
a & = H \ hat {I} J & \ angle (\ text {ext. angle cyclic quad = int. opp}) \\
& = \ текст {114} \ текст {°} &
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
\ hat {W} + \ text {86} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.углы циклической четверки.
супп. }) \\
\ поэтому \ hat {W} & = \ text {94} \ text {°} & \\
a + \ hat {W} + \ text {57} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {сумма углов}
\ треугольник) \\
\ поэтому a & = \ text {29} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {M} B & = \ text {32} \ text {°} + D \ hat {B} C & (\ text {внешний угол} \ треугольник = \ text {sum
внутр.опп. углы}) \\
\ поэтому \ text {72} \ text {°} & = \ text {32} \ text {°} + D \ hat {B} C & \\
\ поэтому D \ hat {B} C & = \ text {40} \ text {°} & (\ text {сумма углов} \ треугольник) \\
\ поэтому D \ hat {B} C & = D \ hat {A} C & \\
\ text {Следовательно,} ABCD & = \ text {- циклический четырехугольник. } & (\ text {углы в одном сегменте})
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
\ text {In} \ треугольник ABD, \ quad A \ hat {B} D = A \ hat {D} B & = \ text {35} \ text {°} & (\ angle
\ text {s opp.равные стороны}) \\
\ поэтому \ text {35} \ text {°} + \ text {35} \ text {°} + D \ hat {A} B & = \ text {180} \ text {°}
& (\ angle \ text {s сумма} \ треугольник) \\
\ поэтому D \ hat {A} B & = \ text {110} \ text {°} & (\ text {сумма углов} \ треугольник) \\
\ text {And} D \ hat {A} B + D \ hat {C} B & = \ text {180} \ text {°} & \\
\ text {Следовательно,} ABCD & = \ text {- циклический четырехугольник. } & (\ text {опп. внутр. углы доп.})
\ конец {массив} \]

Касательная к окружности

Касательная — это линия, которая касается окружности только в одном месте.Радиус круга равен
перпендикулярно касательной в точке контакта.

Если две касательные проводятся из одной и той же точки вне окружности, то они равны по длине.

(Причина: касательные от одной точки равны)

Окружность с центром \ (O \) и касательными \ (PA \) и \ (PB \), где \ (A \) и \ (B \) — точки соответственно
контакт для двух линий.

В \ (\ треугольник АОП \) и \ (\ треугольник БОП \),
\ [\ begin {array} {rll}
O \ hat {A} P = O \ hat {B} P & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {tangent} \ perp \ text {radius}) \\
AO & = BO & (\ text {равные радиусы}) \\
OP & = OP & (\ text {общая сторона}) \\
\ поэтому \ треугольник AOP & \ эквив \ треугольник BOP & (\ text {RHS}) \\
\ поэтому AP & = BP &
\ end {array} \]

Рабочий пример 6: Касательные из той же точки вне окружности

На схеме ниже \ (AE = \ text {5} \ text {cm} \), \ (AC = \ text {8} \ text {cm} \) и \ (CE = \ text {9} \ text {
см}\).Определите значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решите относительно \ (a \), \ (b \) и \ (c \)

\ [\ begin {array} {rll}
AB = AF & = a & (\ text {касательные от} A) \\
EF = ED & = c & (\ text {касательные от} E) \\
CB = CD & = b & (\ text {касательные от} C) \\
\ поэтому AE = a + c & = 5 & \\
\ text {и} AC = a + b & = 8 & \\
\ text {и} CE = b + c & = 9 &
\ конец {массив} \]

Решить относительно неизвестных переменных с помощью системных уравнений

\ [\ begin {array} {rll}
а + с & = 5 & \ ldots (1) \\
а + b & = 8 & \ ldots (2) \\
б + с & = 9 & \ ldots (3)
\ конец {массив} \]

Вычтите уравнение \ ((1) \) из уравнения \ ((2) \) и затем подставьте в уравнение \ ((3) \):

\ [\ begin {array} {rll}
(2) — (1) \ quad b-c & = 8-5 & \\
& = 3 & \\
\ поэтому b & = c + 3 & \\
\ text {Заменить в} (3) \ quad c + 3 + c & = 9 & \\
2c & = 6 & \\
c & = 3 & \\
\ поэтому a & = 2 & \\
\ text {and} b & = 6 &
\ конец {массив} \]

Касательные к окружности

Учебное упражнение 8. 2 & (\ text {Pythagoras, radius perp.2 & = \ текст {6,25} & \\
\ поэтому e & = \ text {2,5} \ text {cm} &
\ конец {массив} \]

\ (f = \ text {3} \ text {cm} \)

Теорема о касательной хорде

Рассмотрим схемы, приведенные ниже:

1. Измерьте угломером следующие углы и заполните таблицу:

   	Диаграмма \ (\ text {1} \)	Диаграмма \ (\ text {2} \)	Диаграмма \ (\ text {3} \)
   \ (A \ hat {B} C = \)
   \ (\ hat {D} = \)
   \ (\ hat {E} = \)

2. Используйте свои результаты, чтобы выполнить следующее: угол между касательной к окружности и хордой равен
   \ (\ ldots \ ldots \) ​​к углу в альтернативном сегменте.

Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной в точке контакта, равен углу
который хорда входит в альтернативный сегмент.

(Причина: теорема о хорде)

Окружность с центром \ (O \) и касательной \ (SR \), касающаяся окружности в точке \ (B \). Хорда \ (AB \) подчиняется
\ (\ hat {P} _1 \) и \ (\ hat {Q} _1 \).

1. \ (A \ hat {B} R = A \ hat {P} B \)
2. \ (A \ hat {B} S = A \ hat {Q} B \)

Нарисуйте диаметр \ (BT \) и соедините \ (T \) с \ (A \).

Пусть \ (A \ hat {T} B = T_1 \).
\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {B} S + A \ hat {B} T & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {tangent} \ perp \ text {radius}) \\
B \ hat {A} T & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \\
\ поэтому A \ hat {B} T + T_1 & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {сумма} \ треугольник BAT) \\
\ поэтому A \ hat {B} S & = T_1 & \\
\ text {but} Q_1 & = T_1 & (\ angle \ text {s в том же сегменте}) \\
\ поэтому Q_1 & = A \ hat {B} S &
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {B} S + A \ hat {B} R & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {s на ул.линия}) \\
\ hat {Q} _1 + \ hat {P} _1 & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.} \ angle \ text {s cyclic quad. Supp.})
\\
\ поэтому A \ hat {B} S + A \ hat {B} R & = Q_1 + P_1 & \\
\ text {и} A \ hat {B} S & = Q_1 & \\
\ поэтому A \ hat {B} R & = P_1 &
\ end {array} \]

Рабочий пример 7: Теорема о касательной хорде

Определите значения \ (h \) и \ (s \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решить относительно \ (h \)

\ [\ begin {array} {rll}
O \ hat {Q} S & = S \ hat {R} Q & (\ text {теорема о касательной хорде}) \\
h + \ text {20} \ text {°} & = 4h — \ text {70} \ text {°} & \\
\ text {90} \ text {°} & = 3h & \\
\ поэтому h & = \ text {30} \ text {°} &
\ конец {массив} \]

Решить относительно \ (s \)

\ [\ begin {array} {rll}
P \ hat {Q} R & = Q \ hat {S} R & (\ text {теорема о касательной хорде}) \\
s & = 4h & \\
& = 4 (\ текст {30} \ текст {°}) & \\
& = \ текст {120} \ текст {°} &
\ конец {массив} \]

Теорема о касательной хорде

Учебное упражнение 8.6

\ [\ begin {array} {rll}
a & = \ text {33} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \\
b & = \ text {33} \ text {°} & (\ text {alt. angles,} OP \ parallel SR)
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
c & = \ text {72} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \\
d & = \ dfrac {\ text {180} \ text {°} — \ text {72} \ text {°}} {2} & (\ text {равнобедренный треугольник})
\\
& = \ text {54} \ text {°} & (\ text {alt.углы,} OP \ parallel SR)
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
f & = \ text {38} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \\
g & = \ text {47} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда})
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
\ hat {O} _1 = \ hat {Q} _1 & = \ text {66} \ text {°} & (\ text {isosceles, касательная-хорда}) \\
\ поэтому l & = \ text {180} \ text {°} — 2 \ times \ text {66} \ text {°} & (\ text {сумма углов}
\ треугольник) \\
& = \ текст {48} \ текст {°} &
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
i & = \ text {180} \ text {°} — \ text {101} \ text {°} — \ text {39} \ text {°} & (\ angle
\ text {s на ул.линия }) \\
\ поэтому i & = \ text {40} \ text {°} & \\
j & = \ text {101} \ text {°} & (\ text {tangent-chord}) \\
k = i & = \ text {40} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда})
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
n & = \ text {34} \ text {°} & (\ text {tangent-chord}) \\
o & = \ text {180} \ text {°} — \ text {90} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & (\ text {angles
сумма} \ треугольник) \\
\ поэтому o & = \ text {56} \ text {°} & \\
m & = \ text {56} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда})
\ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll}
q & = \ text {52} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \\
p & = \ text {90} \ text {°} — \ text {52} \ text {°} & (\ text {tangent perp.радиус}) \\
\ поэтому p & = \ text {38} \ text {°} & \\
r & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге})
\ конец {массив} \]

\ (O \) — центр окружности, а \ (SPT \) — касательная, с \ (OP \ perp ST \). Определите \ (a \),
\ (b \) и \ (c \) с указанием причин.

\ [\ begin {array} {rll}
a & = \ text {90} \ text {°} — \ text {64} \ text {°} & (\ text {tangent perp.радиус}) \\
& = \ текст {26} \ текст {°} & \\
b & = \ text {64} \ text {°} & (\ text {касательная хорда}) \\
c & = 2 \ times \ text {64} \ text {°} & (\ angle \ text {по центру} = 2 \ angle \ text {по окружности}) \\
& = \ текст {128} \ текст {°} & \\
\ конец {массив} \]

\ (PAL \) касается окружности \ (ABC \).

\ [\ begin {array} {rll}
\ hat {A} _1 & = A \ hat {C} B & (\ text {alt.angles}, AP \ parallel BC) \\
A \ hat {C} B & = A \ hat {B} C & (\ angle \ text {s напротив равных сторон}, AB = AC) \\
\ поэтому \ hat {A} _1 & = A \ hat {B} C & \\
\ text {Следовательно} PAL & \ text {является касательной к окружности} ABC & (\ angle \ text {между хордой линии} =
\ angle \ text {в alt. сег.})
\ конец {массив} \]

\ (AB \) касается окружности \ (ADP \).

\ [\ begin {array} {rll}
\ hat {A} _2 & = \ hat {B} _2 & (\ text {given}) \\
\ text {And} A \ hat {P} B & = \ hat {B} _2 & (\ text {alt. angles}, AP \ parallel BC) \\
\ text {Следовательно} A \ hat {P} B & = \ hat {A} _2 ABC & \\
\ text {Следовательно} AB & \ text {является касательной к окружности} ADP & (\ angle \ text {между хордой линии} =
\ angle \ text {в alt. сег.})
\ конец {массив} \]

Converse: теорема касательной-хорды

Если линия, проведенная через конечную точку хорды, образует угол, равный углу, образуемому хордой в
альтернативный сегмент, тогда прямая касается окружности.

(Причина: \ (\ angle \) между линией и хордой \ (= \ angle \) в альтернативном сегменте)

Рабочий пример 8: Применение теорем

\ (BD \) является касательной к окружности с центром \ (O \) с \ (BO \ perp AD \).

Докажите, что:

1. \ (CFOE \) — вписанный четырехугольник

2. \ (FB = BC \)

3. \ (\ angle A \ hat {O} C = 2 B \ hat {F} C \)

4. Будет ли \ (DC \) ​​касательной к окружности, проходящей через \ (C, F, O \) и \ (E \)? Мотивируйте свой ответ.

Докажите \ (CFOE \) — вписанный четырехугольник, показывая, что противоположные углы являются дополнительными

\ [\ begin {array} {rll}
БО & \ perp OD & (\ text {given}) \\
\ поэтому F \ hat {O} E & = \ text {90} \ text {°} & \\
F \ hat {C} E & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \\
\ поэтому CFOE & \ text {является циклическим четырехугольником.} & (\ text {opp.} \ angle \ text {s suppl.})
\ конец {массив} \]

Докажите \ (BFC \) равнобедренный треугольник

Чтобы показать, что \ (FB = BC \), мы сначала докажем, что \ (\ треугольник BFC \) является равнобедренным треугольником, показав, что
\ (B \ hat {F} C = B \ hat {C} F \).

\ [\ begin {array} {rll}
B \ hat {C} F & = C \ hat {E} O & (\ text {tangent-chord}) \\
C \ hat {E} O & = B \ hat {F} C & (\ text {ext.} \ Angle \ text {cyclic quad.} CFOE) \\
\ поэтому B \ hat {F} C & = B \ hat {C} F \\
\ поэтому FB & = BC & (\ треугольник BFC \ text {isosceles})
\ конец {массив} \]

Докажите \ (A \ hat {O} C = 2 B \ hat {F} C \)

\ [\ begin {array} {rll}
A \ hat {O} C & = 2 A \ hat {E} C & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в описании.}) \\
\ text {and} A \ hat {E} C & = B \ hat {F} C & (\ text {ext.} \ angle \ text {cyclic quad.} CFOE) \\
\ поэтому A \ hat {O} C & = 2 B \ hat {F} C
\ конец {массив} \]

Определите, является ли \ (DC \) ​​касательной к окружности через \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \).

Доказательство от противного.

Предположим, что \ (DC \) ​​касается окружности, проходящей через точки \ (C \), \ (F \), \ (O \) и
\ (E \):
\ [\ begin {array} {rll}
\ поэтому D \ hat {C} E = C \ hat {O} E \ quad (\ text {касательная-хорда})
\ конец {массив} \]

И используя круг с центром \ (O \) и касательной \ (BD \), мы получаем, что:
\ [\ begin {array} {rll}
D \ hat {C} E & = C \ hat {A} E & (\ text {tangent-chord}) \\
\ text {but} C \ hat {A} E & = \ frac {1} {2} C \ hat {O} E & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at
окр.}) \\
\ поэтому D \ hat {C} E & \ ne C \ hat {O} E &
\ конец {массив} \]

Следовательно, наше предположение неверно, и мы можем заключить, что \ (DC \) ​​не касается окружности.
проходя через точки \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \).

Рабочий пример 9: Применение теорем

\ (FD \) проводится параллельно касательной \ (CB \)

Докажите, что:

1. \ (FADE \) — вписанный четырехугольник

2. \ (F \ hat {E} A = \ hat {B} \)

Доказательство \ (FADE \) — это вписанный четырехугольник с углами в одном отрезке

\ [\ begin {array} {rll}
F \ hat {D} C & = D \ hat {C} B & (\ text {alt.} \ angle \ text {s} FD \ parallel CB) \\
\ text {and} D \ hat {C} B & = C \ hat {A} E & (\ text {tangent-chord}) \\
\ поэтому F \ hat {D} C & = C \ hat {A} E \\
\ поэтому FADE & \ text {- циклический четырехугольник.} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.})
\ конец {массив} \]

Докажите \ (F \ hat {E} A = \ hat {B} \)

\ [\ begin {array} {rll}
F \ hat {D} A & = \ hat {B} & (\ text {correp.} \ Angle \ text {s} FD \ parallel CB) \\
\ text {and} F \ hat {E} A & = F \ hat {D} A & (\ angle \ text {s same seg.\ @ циклический четверной. \ @} FADE) \\
\ поэтому F \ hat {E} A & = \ hat {B}
\ конец {массив} \]

11 класс Математика ТАКС Словарь

Математика 11 класс Евклидова геометрия Представлено Авхафареи

Математика 11 класс Евклидова геометрия

Представлено Авафареи Тавханьедза Конференц-центр Saint Georges 3 марта 2017 г.

ОБЗОР ТЕМЫ 1: Пересмотреть работу 10-го класса и более ранние классы 2. Концепции, полученные из более ранних классов (и теорема танккорда), должны использоваться в качестве аксиом 3. Используйте теоремы и их преобразования для решения всадников

Доказательство теорем для геометрии окружности Линия, проведенная из центра окружности перпендикулярно хорде, делит хорду пополам (┴ от центра) Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности Угол, образованный дугой в центре окружности в два раза больше угла, образованного той же дугой на окружности (угол в центре = 2 угла на окружности)

Доказательства теорем (Cont —) Углы, образуемые хордой окружности на одной стороне хорды, равны Противоположные углы циклического четырехугольника являются дополнительными (противоположный угол циклического четырехугольника) Две касательные из одной и той же точки равны по длине (2 тангенса до круга) Угол между касательной и хордой = угол в альтернативном отрезке (теорема тангенса-хорды)

ЧАСТИ КРУГА

ТЕОРЕМЫ (Эскизы)

ТЕОРЕМА 1 (б)

УГОЛ ПРИ ЦЕНТРЕ ТЕОРЕМА

Точка ясности (1)

Точка ясности (2)

Продолж. —

Продолж. —

Продолж. —

ТОЧКА ЯСНОСТИ

Четырехугольник — любая четырехсторонняя фигура Циклический четырехугольник — это четырехугольная фигура, все вершины которой лежат на окружности круга

Противоположные углы циклической четверки дополнительные

Внешние углы циклической четверки (внешний угол циклической четверки)

ТАНГЕНТ

Радиус перпендикулярен касательной

TAN, ТО ЖЕ ТОЧКА

ТЕОРЕМА ТАН-ХОРДА

Подсказки при решении проблем. Используйте x и y на диаграмме. Отметьте все равные углы с помощью x и y и попытайтесь решить проблему. Используйте цвета на диаграмме. Отметьте равные углы красными открытыми точками, красными закрытыми точками, синими звездами и т. Д.

ШАГА В РЕШЕНИИ ВСАДНИКОВ

Общие советы по разгадыванию всадников. Выделите все параллельные линии одним цветом, чтобы найти равные альтернативные и соответствующие углы.Используйте подходящие маркеры, чтобы отметить равные друг другу углы одним цветом. Посмотрите, что вам нужно доказать, и выберите стратегию решения проблемы.

Cont —Проведите предварительную проверку, чтобы увидеть, есть ли у вашей стратегии шансы на успех. Всегда перепроверяйте данную информацию, чтобы убедиться, что вы использовали ВСЮ предоставленную информацию. Посмотрите на предыдущие части вопросов для подсказок. Возможно, вам придется расширить решения или выводы по этим вопросам.

Центр круга: Отметьте все радиусы и, следовательно, все углы основания равнобедренных треугольников, образованных равными радиусами.Если учесть, что хорда делится пополам — отметьте угол 90 °, образованный перпендикулярной линией от центра круга. Для всех диаметров отметьте углы на окружности, равной 90 °. Проверьте каждый угол в центре (отметьте его как 2 x) и отметьте угол на окружности как x (использование x может быть громоздким). Отметьте угол 90 °, образованный между радиусом и касательной, если вам дана касательная.

TANGENT Отметьте все радиусы перпендикулярно касательной. Проверьте, исходят ли какие-либо две касательные из одной и той же точки, и отметьте их равными (также отметьте базовые углы равнобедренного треугольника, образовавшегося в результате).Отметьте угол между касательной и хордой и углы, которым они будут равны в альтернативном сегменте.

ЧЕТЫРЕХСТОРОННИЙ ЦИКЛИЧЕСКИЙ Помните, что вам не всегда могут сказать, что четырехугольники в данной окружности являются циклическими. Вам нужно будет проверить круг на диаграмме, чтобы увидеть, есть ли на нем четыре или более точек, образующих циклические четырехугольники. Отметьте все углы в одном сегменте одинаково. Отметить все внешние углы = внутренние противоположные углы. Помните, что углы циклического четырехугольника противоположны.являются дополнительными. Обратный ход от «требуется для доказательства»

Если вас попросят доказать, что два отрезка линии равны: если они находятся в одном и том же треугольнике, попробуйте доказать, что базовые углы этого треугольника равны (т. Е. Углы, противоположные сторонам, которые вы хотите доказать равными). Если они находятся в двух разных треугольниках — проверьте, чтобы посмотрите, совпадают ли треугольники. Проверьте, равны ли углы, образуемые хордами, или можете ли вы доказать, что они равны.

Если вас попросят доказать равенство двух углов. Если они находятся в одном треугольнике, проверьте, являются ли эти углы базовыми углами равнобедренного треугольника — равны ли стороны.Если вы пытаетесь доказать, что ÐA = ÐB, то найдите все углы, равные, и все углы, равные ÐA, и все углы, равные ÐB; теперь проверьте, есть ли угол, равный как ÐA, так и ÐB.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ПОДХОДА Иногда вам может потребоваться доказать уравнение, в котором есть некоторое числовое значение: e. грамм. ÐA = 90 ° — 2ÐB Для этого может потребоваться начать с уравнения, которое уже имеет числовое значение: e. грамм. Сумма углов треугольника равна 180 °. Противоположные углы циклического четырехугольника являются дополнительными.Внутренние углы являются дополнительными. Управляйте соответствующим числовым уравнением, используя замену равных величин, чтобы получить требуемое уравнение.

ВСАДНИК 1

ВСАДНИК 2

РЕШЕНИЕ 1

РЕШЕНИЕ 2

Подсказки на экзаменах На экзаменах можно спрашивать доказательства теорем, но нельзя спрашивать их обратное.

Физическая терапия // Прием в бакалавриат // Университет Маркетта

Баскетболист с разрывом крестообразной связки.Бабушка и дедушка с артритом. Ребенок с врожденным пороком. Каменщик с травмой спины. Путь к выздоровлению этих людей проходит через физиотерапевтов, которые работают с ними, чтобы восстановить функции, улучшить подвижность, расширить границы физических ограничений и облегчить их боль. Используя электрическую стимуляцию, ультразвук, лечебные упражнения, тренировку ходьбы и адаптивные устройства, такие как протезы и костыли, физиотерапевты работают с другими поставщиками медицинских услуг, чтобы разработать лучшее средство для улучшения функций каждого человека.

Специализируется.

В отличие от многих программ ПК, специальность «Физическая терапия» Маркетта дает вам свободу развития вашего интереса в различных областях, таких как спорт, ортопедия, неврология, сердечно-легочная медицина, оздоровление и педиатрия, предлагая факультативные занятия с продвинутой практикой, специализированные клиники, проекты и наставничество ведущих специалистов в этих областях.

Выйти из класса.

В качестве специалиста по физиотерапии вы получите 30-недельный клинический опыт в Милуоки и по всей стране в течение последних двух лет вашей профессиональной фазы.

Компетентность и сострадание.

Специализация Маркетт в области физиотерапии предусматривает не только продвинутую техническую подготовку. Учебная программа Marquette Core, ориентированная на ценности, поможет вам изменить жизнь ваших пациентов к лучшему.

Академическая свобода.

В отличие от многих программ физиотерапии, которые ограничивают ваш выбор специальностей бакалавриата, Marquette предлагает широкий выбор специальностей на выбор. Физиология упражнений и спортивные тренировки являются наиболее популярными специальностями для студентов, изучающих физиотерапию, обеспечивая обучение фитнесу, оздоровлению, профилактике заболеваний и лечению спортивных травм.Эти две специальности в сочетании с физиотерапией обеспечивают второй опыт в области повышения квалификации человека или спортивной медицины, который дополняет физиотерапевтическое образование и повышает конкурентоспособность студента.

Гибко и выгодно.

Физиотерапевты выбирают от традиционной карьеры с 9 до 5 до более гибких частных практик, часто совмещая должности с частичной занятостью.

Ой, у меня болит спина!

Поощрение хорошего физического здоровья создало популярный спрос со стороны работодателей (и открыло новые возможности для физиотерапевтов) на обучение сотрудников безопасным рабочим привычкам для снижения травматизма на рабочем месте.

Шестилетний доктор по программе физиотерапии.

Программа физиотерапии

Маркетт состоит из трехлетнего предпрофессионального этапа и трехлетнего профессионального этапа. Студенты получают степень бакалавра в выбранной академической области и доктора физиотерапии. Вы можете поступить на программу физиотерапии Маркетта одним из двух способов: прямым зачислением первокурсников на шестилетнюю программу или отдельным зачислением на трехлетнюю профессиональную фазу.

Прямое зачисление на первый курс (только для старшеклассников)

Сильные кандидаты для участия в этой программе обычно входят в верхнюю четверть своих классов средней школы (если применимо), имеют сопоставимые результаты ACT или SAT и хорошо учатся на курсах естественных наук и математики.Для поступления на программу физиотерапии необходимо пройти следующие курсы средней школы:

• 1 год биологии
• 1 год химии
• 3 года подготовки к колледжу по математике (алгебра, геометрия, углубленная алгебра и / или тригонометрия)
• Рекомендуется 1 год изучения физики.

Раздельный допуск на трехлетний этап

Если вам не предлагается прямое зачисление на первый курс, вы все равно можете поступить в Marquette и соответствовать академическим требованиям программы.Чтобы подать заявку на профессиональную фазу, вам необходимо пройти не менее 12 кредитов по предварительным условиям физиотерапии в Marquette. Вход не гарантируется, и конкуренция за эти места очень высока. В последние годы мы смогли предложить до 10 мест для студентов, поступающих на данный момент. Также приглашаются подавать заявки переводные студенты.

* Необязательно для переводных студентов

Некоторые из классов, которые вы выберете:

• Современные проблемы физиотерапии
• Анатомия человека
• Биохимия
• Микробиология человека
• Физиология человека
• Общая патология
• Физиотерапевтический факультатив
• Молекулярная патология
• Фармакология

Полный список необходимых курсов по программе биомедицинских наук можно найти в онлайн-бюллетене Университета Маркетт по этой ссылке.

КЛАСС 11 MATH | MATH MADE EASY

Угол между двумя линиями в координатной геометрии

Здесь объясняется концепция угла между двумя линиями. Обратите внимание, что когда мы ставим знак модуля, вы получаете острый угол. Если убрать знак модуля, получится тупой угол.

Нет заменителя тяжелой работы. Практикуйте каждое видео со мной!

Проблемы локуса в координатной геометрии

https: // youtu.be / ruQJKgjQivs

Вы познакомитесь с локусом и научитесь применять его в задачах. По сути, вам нужно помнить, что геометрическое место — это точка, которая перемещается и удовлетворяет заданному условию. Также обсуждается концепция биссектрисы острого угла и тупого угла между двумя линиями. Важная тема!

Посмотрите это видео прямо сейчас!

Коническое сечение: Парабола

Парабола: базовое понимание

Что такое парабола и как она образована из конических сечений? Вас научат вычислять уравнение параболы с учетом ее фокуса и директрисы.Также обсуждаются советы, как рассчитать ось.

Звоните сегодня для бесплатной консультации!

Типы парабол

Вы познакомитесь с 4 основными типами парабол и тем, как вычислить фокус, вершину, ось, уравнение директрисы, длину прямой кишки лотоса в каждом случае. Интересно отметить, что для параболы ее эксцентриситет равен единице.

Подпишитесь на мой сайт сегодня!

Условие касания параболы

https: // youtu.be / E3bxNFAHS5U

Как рассчитать уравнение касательной к параболе? Изучите различные методы и подходы для каждого типа, посмотрев это видео.

Это не просто видео, это решение ваших проблем.

Статистика

Квартили, децили и процентили

Вы научитесь рассчитывать квартили, децили и процентили для дискретного и непрерывного частотного распределения.Популярное видео, полезное и для студентов по математике.

Поделитесь этими видео с другом!

Расчет среднего отклонения

Вас научат вычислять среднее отклонение для дискретного и сгруппированного частотного распределения. Хотя среднее отклонение широко не используется, это полезный инструмент, позволяющий узнать, как данные распределяются вокруг среднего.

Подпишитесь на мой канал сегодня!

Как рассчитать комбинированное среднее значение, стандартное отклонение и режим

https: // youtu.be / qIYFY3dwadw

Здесь обсуждаются 3 важных концепции, а именно, как вычислить комбинированное среднее и стандартное отклонение и как оценить режим для дискретного и сгруппированного частотного распределения. Задачи по комбинированному среднему значению и режиму также используются в квантовой секции GRE и GMAT.

Тонны математических видеороликов для вас!

Вы не можете выучить математику, просто просматривая видео. Вам нужно медленно практиковать каждый шаг со мной, пока вы не поймете.

Стандартное отклонение

https: // youtu.be / yXb4VzPgV9g

Здесь обсуждается, как рассчитать стандартное отклонение для дискретного набора значений и частотного распределения, как сгруппированных, так и несгруппированных. Полезное видео.

Теперь начинается более значимая математическая жизнь!

Коэффициент корреляции

Что такое коэффициент корреляции? Изучите различные способы вычисления коэффициента корреляции. Очень важный инструмент для изучения статистики студентами. Вы не можете научиться, просто просматривая видео.. Обучение становится плодотворным, когда вы берете ручку и бумагу и практикуете вместе со мной!

Рейтинг Коэффициент корреляции

Что такое ранговая корреляция? Узнайте больше об этом и о соотношении рангов Спирмена для различных рангов и повторных рангов, посмотрев это видео!

Не упустите возможность!

Формула раздела — Внутреннее и внешнее деление | Координатная геометрия

Предположим, что точка делит линейный сегмент на две части, которые могут быть равными или нет, с помощью формулы сечения мы можем найти эту точку, если даны координаты линейного сегмента, и мы также можем найти соотношение, в котором точка делит данный отрезок линии, если заданы координаты этой точки.

Когда точка C делит отрезок AB в соотношении m: n, мы используем формулу сечения, чтобы найти координаты этой точки. Формула сечения имеет 2 вида. Эти типы зависят от точки C, которая может находиться между точками или вне отрезка линии.

Эти два типа:

1. Формула внутреннего сечения
2. Формула внешнего сечения

Формула внутреннего сечения

Когда точка делит линейный сегмент в соотношении m: n внутри точки C, тогда эта точка находится между координаты отрезка, то мы можем использовать эту формулу.Его еще называют внутренним делением.

Если координаты A и B равны (x1, y1) и (x2, y2) соответственно, то формула внутреннего сечения задается как:

Вывод формулы

Пусть A (x1, y1) и B (x2, y2) — конечные точки данного отрезка AB, а C (x, y) — точка, которая делит AB в соотношении m: n.

Тогда AC / CB = m / n

Мы хотим найти координаты (x, y) точки C.

Теперь нарисуйте перпендикуляры A, C, B, параллельные координате Y, соединяющиеся в точках P, Q и R на оси X.

Если посмотреть на диаграмму выше,

AM = PQ = OQ — OP = (x — x1)

CN = QR = OR — OQ = (x2 — x)

CM = CQ — MQ = (y — y1)

BN = BR — NR = (y2 — y)

Ясно, что мы можем видеть, что ∆AMC и ∆CNB подобны и, следовательно, их стороны пропорциональны правилу сравнения AA.

AC / CB = AM / CN = CM / BN

Теперь подставляем значения в указанное выше соотношение

=> m / n = [x — x1 / x2 -x] = [y — y1 / y2 — y]

=> m / n = [x — x1 / x2 -x] и m / n = [y — y1 / y2 — y]

Решая первое условие,

=> m (x2 — x) = n (x — x1)

=> (m + n) x = (mx2 + nx1)

=> x = (mx2 + nx1) / (m + n)

Решая 1-е условие,

= > m (y2 — y) = n (y — y1)

=> (m + n) y = (my2 + ny1)

=> y = (my2 + ny1) / (m + n)

Следовательно, координаты C (x, y) равны

{(m × x ₂ + n × x ₁ ) / (m + n), (m × y ₂ + n × y ₁ ) / (m + n)}

Формула внешнего сечения

Когда точка, разделяющая линейный сегмент, делится снаружи в соотношении m: n, находится за пределами линейного сегмента i.е, когда мы удлиняем линию, она совпадает с точкой, тогда мы можем использовать эту формулу. Его также называют внешним делением.

Если координаты A и B равны (x1, y1) и (x2, y2) соответственно, то формула внешнего сечения задается как

Вывод формулы

Для получения внутреннего сечения мы взяли сегмент линии и точка C (x, y) внутри линии, но в случае формулы внешнего сечения мы должны взять эту точку C (x, y) за пределы сегмента линии.

Пусть A (x1, y1) и B (x2, y2) будут конечными точками данного отрезка AB, а C (x, y) будет точкой, которая делит AB во внешнем отношении m: n.

Мы хотим найти координаты (x, y) точки C. Для этого нарисуйте перпендикуляры A, B, C, параллельные координате Y, соединяющиеся в точках P, Q и R на оси X.

Если посмотреть на диаграмму выше,

AM = PR = OR — OP = (x — x1)

BN = QR = OR — OQ = (x — x2)

аналогично,

CM = RC — MR = (y — y1)

CN = CR — NR = (y — y2)

Очевидно, мы можем видеть, что треугольник AMC и треугольник BNC подобны, и, следовательно, их стороны пропорциональны правилу сравнения AA

AC / BC = AM / BN = CM / CN

Теперь подставляем значения в приведенном выше соотношении

=> m / n = [x — x1 / x — x2] = [y — y1 / y — y2]

=> m / n = [x — x1 / x — x2] и m / n = [y — y1 / y — y2]

Решая 1-е условие,

=> m (x — x2) = n (x — x1)

=> (m — n) x = (mx2 — nx1)

=> x = (mx2 — nx1) / (m — n)

Решая 2-е условие,

=> m (y — y2) = n (y — y1)

=> (m — n) y = (my2 — ny1)

=> y = (my2 — ny1) / (m — n)

Следовательно, -координаты C (x, y) равны

{(m × x ₂ — n × x ₁ ) / (m — n), (m × y ₂ — n × y ₁ ) / (m — n)}

Задачи по формуле сечения

Задача 1: Найдите координаты точки C (x, y), где она разделяет отрезок прямой, соединяющий (4, — 1) и (4, 3) в соотношение 3: 1 внутри?

Решение:

Заданные координаты: A (4, -3) и B (8, 5)

Пусть C (x, y) будет точкой, которая делит отрезок линии в соотношении 3 : 1 я.em: n = 3: 1

Теперь, используя формулу C (x, y) = {(m × x2 + n × x1) / (m + n), (m × y2 + n × y1) / (m + n)} , поскольку C делит внутри.

=> C (x, y) = {(3 * 4 + 1 * 4) / (3 + 1), (3 * 3 + 1 * (- 1)) / (3 + 1)}

= > C (x, y) = {16/4, 8/4}

=> C (x, y) = {4, 2}

Следовательно, координаты равны (4, 2).

Задача 2: Если точка P (k, 7) делит отрезок прямой, соединяющий A (8, 9) и B (1, 2) в соотношении m: n, то найдите значения m и n.

Решение:

Не упоминается, что точка разделяет линейный сегмент внутри или снаружи. Итак, в то время мы будем рассматривать внутреннюю секцию по умолчанию.

Заданные координаты: A (8, 9) и B (1, 2)

Пусть заданная точка P (k, 7) делит отрезок прямой в соотношении m: 1

Теперь используем сечение формула, находящая только координату x,

=> k = (m × x2 + n × x1) / (m + n)

=> k = (m × 1 + 1 × 8) / (m +1)

=> k = (m + 8) / (m + 1)

=> км + k = m + 8 …….(1)

Снова используя формулу сечения для координаты y.

=> 7 = (m × y2 + n × y1) / (m + n)

=> 7 = (m × 2 + 1 × 9) / (m + 1)

=> 7 = (2m + 9) / (m +1)

=> 7m + 7 = 2m +9

=> 5m = 2

=> m = 5/2

Таким образом, требуемое соотношение составляет 5: 2

Следовательно, значение m равно 5, а значение n равно 2

Задача 3: A (4, 5) и B (7, -1) — две заданные точки, а точка C делит отрезок AB снаружи внутри соотношение 4: 3.Найдите координаты C.

Решение:

Заданные координаты: A (4, 5) и B (7, -1)

Пусть C (x, y) будет точкой, которая разделяет линию сегмент внешне в соотношении 4: 3, т.е. m: n = 4: 3

Теперь используя формулу C (x, y) = {(m × x2 — n × x1) / (m — n), (m × y2 — n × y1) / (m — n)} , поскольку C делит внутри.

значение x = (mx2 — nx1) / (m — n)

=> (4 * 7-3 * 4) / (4-3)

=> 16

значение y = (my2 — ny1) / (m — n)

=> (4 * (-1) — 3 * 5) / (4 — 3)

=> -19

Следовательно, координаты (16 , -19).

Задача 4: Линия 2x + y − 4 = 0 делит отрезок прямой, соединяющий точки A (2, −2) и B (3,7). Найдите отношение отрезка линии, в котором линия делится?

Решение:

Заданы координаты A (2, -2) и B (3, 7).

Линия с уравнением 2x + y — 4 = 0 делит отрезок прямой в точке C (x, y)

Предположим, данная линия разрезает отрезок прямой в соотношении 1: n.

По формуле сечения,

=> x = (m * x2 + n * x1) / (m + n)

=> x = (3 + 2n) / (1 + n) ………..1

Аналогично

=> y = (m * y2 + n * y1) / (m + n)

=> y = (7 — 2n) / (1 + n) ……… .2

Теперь подставляем уравнения 1 и 2 в данное уравнение прямой.

=> 2x + y — 4 = 0

=> 2 [(3 + 2n) / (1 + n)] + [(7 — 2n) / (1 + n)] — 4 = 0

= > 6 + 4n + 7 — 2n — 4 (1 + n) = 0

=> 13 + 2n — 4 — 4n = 0

=> 9 — 2n = 0

=> n = 2/9

Следовательно, соотношение, при котором линия делится, составляет 9: 2.Мы также можем найти значения x и y, подставив значение n в уравнения 1 и 2.

Задача 5: A (2, 7) и B (–4, –8) являются координатами отрезок AB. Есть две точки, которые делят сегмент пополам. Найдите их координаты.

Решение:

Две точки пересекали отрезок прямой, что означает, что отрезок делится на 3 равные части.

AS = ST = TB ………… 1

=> AS / SB

=> AS / ST + TB

=> AS / (AS + AS) из уравнения 1

=> AS / 2 AS

=> 1/2

Итак, S делит отрезок AB в соотношении 1: 2

Теперь применяя формулу сечения, чтобы найти координаты точки S

=> x1 = (1 × (-4 ) + 2 × 2) / (1 + 2)

=> x1 = (-4 + 4) / 3

=> x1 = 0

Аналогично для координаты y

=> y1 = (1 × (-8) + 2 × 7) / (1 + 2)

=> y1 = (14-8) / 3

=> y1 = 2

Также.

=> AT / TB

=> (AS + ST) / TB

=> 2 ТБ / ТБ из уравнения 1

=> 2/1

Итак, T делит отрезок AB в соотношении 2: 1

Теперь применив формулу сечения, чтобы найти координаты точки T

=> x2 = (2 × (-4) + 1 × 2) / (2 + 1)

=> x2 = (-8 + 2) / 3

=> x2 = -2

Аналогично, для координаты y

=> y2 = (2 × (-8) + 1 × 7) / (2 + 1)

=> y2 = ( -16 + 7) / 3

=> y2 = -3

Таким образом, координаты:

S (x1, y1) = (0, 2)

T (x2, y2) = (-2, -3)

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас.