Разное

По алгебре: ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Учебник Решебник

Содержание

Репетитор по алгебре онлайн

Укажите ваш часовой пояс:

Выберите из списка(UTC-12:00) Линия перемены дат(UTC-11:00) Время в формате UTC -11(UTC-10:00) Алеутские острова(UTC-10:00) Гавайи(UTC-09:30) Маркизские острова(UTC-09:00) Аляска(UTC-09:00) Время в формате UTC -09(UTC-08:00) Тихоокеанское время (США и Канада)(UTC-08:00) Нижняя Калифорния(UTC-08:00) Время в формате UTC -08(UTC-07:00) Горное время (США и Канада)(UTC-07:00) Ла-Пас, Мазатлан, Чихуахуа(UTC-07:00) Аризона(UTC-06:00) Саскачеван(UTC-06:00) Центральная Америка(UTC-06:00) Центральное время (США и Канада)(UTC-06:00) Гвадалахара, Мехико, Монтеррей(UTC-06:00) о. Пасхи(UTC-05:00) Гавана(UTC-05:00) Восточное время (США и Канада)(UTC-05:00) Четумаль(UTC-05:00) Гаити(UTC-05:00) Богота, Кито, Лима, Рио-Бранко(UTC-04:00) Острова Теркс и Кайкос(UTC-05:00) Индиана (восток)(UTC-04:00) Атлантическое время (Канада)(UTC-04:00) Куяба(UTC-04:00) Сантьяго(UTC-04:00) Асунсьон(UTC-04:00) Джорджтаун, Ла-Пас, Манаус, Сан-Хуан(UTC-04:30) Каракас(UTC-03:30) Ньюфаундленд(UTC-03:00) Буэнос-Айрес(UTC-03:00) Сальвадор(UTC-03:00) Бразилия(UTC-03:00) Гренландия(UTC-03:00) Пунта-Аренас(UTC-03:00) Монтевидео(UTC-03:00) Кайенна, Форталеза(UTC-03:00) Сен-Пьер и Микелон(UTC-03:00) Арагуаяна(UTC-02:00) Среднеатлантическое время – старое(UTC-02:00) Время в формате UTC -02(UTC-01:00) Азорские о-ва(UTC-01:00) О-ва Зеленого Мыса(UTC) Дублин, Лиссабон, Лондон, Эдинбург(UTC) Монровия, Рейкьявик(UTC) Касабланка(UTC+01:00) Сан-Томе и Принсипи(UTC) Время в формате UTC(UTC+01:00) Белград, Братислава, Будапешт, Любляна, Прага(UTC+01:00) Варшава, Загреб, Сараево, Скопье(UTC+01:00) Брюссель, Копенгаген, Мадрид, Париж(UTC+01:00) Западная Центральная Африка(UTC+01:00) Амстердам, Берлин, Берн, Вена, Рим, Стокгольм(UTC+02:00) Калининград (RTZ 1)(UTC+02:00) Восточная Европа(UTC+02:00) Каир(UTC+02:00) Вильнюс, Киев, Рига, София, Таллин, Хельсинки(UTC+02:00) Афины, Бухарест(UTC+02:00) Иерусалим(UTC+02:00) Амман(UTC+02:00) Триполи(UTC+02:00) Бейрут(UTC+01:00) Виндхук(UTC+02:00) Хараре, Претория(UTC+02:00) Khartoum(UTC+02:00) Дамаск(UTC+02:00) Сектор Газа, Хеврон(UTC+03:00) Волгоград, Москва, Санкт-Петербург (RTZ 2)(UTC+03:00) Кувейт, Эр-Рияд(UTC+03:00) Багдад(UTC+03:00) Минск(UTC+03:00) Найроби(UTC+02:00) Стамбул(UTC+03:30) Тегеран(UTC+04:00) Астрахань, Ульяновск(UTC+04:00) Абу-Даби, Мускат(UTC+04:00) Баку(UTC+04:00) Ереван(UTC+04:00) Тбилиси(UTC+04:00) Порт-Луи(UTC+04:00) Ижевск, Самара (RTZ 3)(UTC+04:00) СаратовVolgograd Standard Time(UTC+04:30) Кабул(UTC+05:00) Екатеринбург (RTZ 4)(UTC+05:00) Исламабад, КарачиQyzylorda Standard Time(UTC+05:00) Ашхабад, Ташкент(UTC+05:30) Колката, Мумбаи, Нью-Дели, Ченнай(UTC+05:30) Шри-Джаявардене-пура-Котте(UTC+05:45) Катманду(UTC+06:00) Омск(UTC+06:00) Дакка(UTC+06:00) Астана(UTC+06:30) Янгон(UTC+06:00) Новосибирск (RTZ 5)(UTC+07:00) Красноярск (RTZ 6)(UTC+07:00) Томск(UTC+07:00) Барнаул, Горно-Алтайск(UTC+07:00) Бангкок, Джакарта, Ханой(UTC+07:00) Ховд(UTC+08:00) Гонконг, Пекин, Урумчи, Чунцин(UTC+08:00) Иркутск (RTZ 7)(UTC+08:00) Куала-Лумпур, Сингапур(UTC+08:00) Тайбэй(UTC+08:00) Улан-Батор(UTC+08:00) Перт(UTC+08:45) Юкла(UTC+09:00) Якутск (RTZ 8)(UTC+09:00) Сеул(UTC+08:30) Пхеньян(UTC+09:00) Осака, Саппоро, Токио(UTC+09:00) Чита(UTC+09:30) Дарвин(UTC+09:30) Аделаида(UTC+10:00) Владивосток, Магадан (RTZ 9)(UTC+10:00) Канберра, Мельбурн, Сидней(UTC+10:00) Брисбен(UTC+10:00) Хобарт(UTC+10:00) Гуам, Порт-Морсби(UTC+10:30) Лорд-Хау(UTC+10:00) Магадан(UTC+11:00) Остров Бугенвиль(UTC+11:00) Соломоновы о-ва, Нов.

Каледония(UTC+11:00) Остров Норфолк(UTC+11:00) Чокурдах (RTZ 10)(UTC+11:00) Сахалин(UTC+12:00) Петропавловск-Камчатский — устаревшее(UTC+12:00) Анадырь, Петропавловск-Камчатский (RTZ 11)(UTC+12:00) Фиджи(UTC+12:00) Веллингтон, Окленд(UTC+12:00) Время в формате UTC +12(UTC+12:45) Чатем(UTC+13:00) Самоа(UTC+13:00) Нукуалофа(UTC+13:00) Время в формате UTC +13(UTC+14:00) О-в Киритимати

Официальный информационный портал государственной итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов в Санкт-Петербурге

ОГЭ. Минимальное количество баллов по математике, подтверждающее освоение обучающимся образовательной программы основного общего образования в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта, составляет 7 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий по алгебре и геометрии, при условии, что из них не менее 2 баллов получено за выполнение заданий по геометрии (задания 15-19, 23-25).

Максимальное количество баллов, которое может получить участник ОГЭ за выполнение всей экзаменационной работы, – 31 балл. 

Отметки “3”, “4” и “5” по пятибалльной системе оценивания выставляются при получении суммарного балла, указанного в шкале пересчета суммарного балла за выполнение экзаменационной работы в целом в отметку по пятибалльной шкале, при условии, что из них не менее 2 баллов получено за выполнение заданий по геометрии (задания 15-19, 23-25)

Шкала пересчета первичного балла за выполнение экзаменационной работы в отметку по пятибалльной системе оценивания

Отметка по пятибалльной системе оценивания

«2»

«3»

«4»

«5»

Суммарный первичный балл за работу в целом

0 – 6

7 – 14, не менее 2 баллов получено за выполнение заданий по геометрии

15 – 21, не менее 2 баллов получено за выполнение заданий по геометрии

22 – 31, не менее 2 баллов получено за выполнение заданий по геометрии

 

ГВЭ.

Письменная форма (с маркировкой  «А» для обучающихся без ОВЗ и с ОВЗ за исключением задержки психического развития, с маркировкой «С» для слепых обучающихся).

Минимальное количество первичных баллов по математике, которое подтверждает освоение обучающимся образовательной программы основного общего образования, составляет 4 балла.

Максимальное количество первичных баллов, которое может получить обучающийся за выполнение  экзаменационной работы, – 14 баллов.

Шкала пересчета первичного балла за выполнение 

экзаменационной работы в отметку по пятибалльной системе оценивания

Отметка по пятибалльной системе оценивания

«2»

«3»

«4»

«5»

Суммарный первичный балл за работу в целом

0 – 3

4 – 6

7 – 9

10 – 14

 

Письменная форма (с маркировкой «К» для обучающихся с задержкой психического развития).

Минимальное количество первичных баллов по математике, которое подтверждает освоение обучающимся образовательной программы основного общего образования, составляет 3 балла.

Максимальное количество первичных баллов, которое может получить обучающийся за выполнение  экзаменационной работы, – 10 баллов.

Шкала пересчета первичного балла за выполнение экзаменационной работы в отметку по пятибалльной системе оценивания

Отметка по пятибалльной шкале

«2»

«3»

«4»

«5»

Суммарный балл за работу в целом

0 – 2

3 – 5

6 – 8

9 – 10

 

Устная форма.

Минимальное количество первичных баллов по математике, которое подтверждает освоение обучающимся образовательной программы основного общего образования, составляет 5 баллов.

Максимальное количество баллов, которое может получить обучающийся за выполнение заданий экзаменационного билета, – 10 баллов.

Шкала пересчета первичного балла за выполнение экзаменационной работы в отметку по пятибалльной системе оценивания

Отметка по пятибалльной шкале

«2»

«3»

«4»

«5»

Суммарный балл за работу в целом

0 – 4

5 – 6

7 – 8

9 – 10

Harvard Summer School: курсы по алгебре и компьютерным наукам

«Из-за постоянной учебы сложно найти время для развлечений. Но мне все равно здесь нравится, даже при таком загруженном расписании».

#July 30

Hey there!

I know I haven’t written for a really REALLY long time, I am truly sorry, but I have an explanation why I disappeared in the Harvard Summer Session World.

So, I did want to write something here (honestly), but studies made me their slave. I am alive and actually pretty happy with facing challenges every day: trying to make my math homework perfect, preparing for tests and quizzes, or completing my Java assignment, which takes me 4 hours minimum to complete (for example, last week we had to write our own code for the Tic Tac Toe game, I spend around 4.5 hours on this problem only, but what a result: I can play Tic Tac Toe with my friends on my laptop now!). Not everyone of my dorm-mates is able to keep up with the amount of work, but, in my opinion, it’s fun to test your overall studying capabilities.

By the way, my math teacher is one of the best teachers I have ever had (seriously). I understand all the new material, I have gradually improved my math skills. He makes easy-to-understand examples during the class, funny jokes cheer everybody up, I think nobody is failing our class (he even can speak some Russian).

Next week is the “finals week”, so it means that we don’t have classes in order to prepare intensively for our exams. I have a couple meet ups to briefly sum up everything we have covered in Java, also two practice finals are planned next week for my Precalculus. The more I think about leaving here, the more upset I get: I have made really close friends (Megan from Scotland and other people), my teachers were far more amazing than I would have ever thought, Harvard’s campus is beautiful (except for the crowds of tourists 24/7 in the Yard and Starbucks). But I won’t spend a lot of time in Moscow, because I will be studying at a boarding school from this September on, it makes me overly happy.

Anyways, I have another lecture soon, so I will try to write again before the end of this Summer Session.

Have a great day!

***

Привет всем!

Я знаю, что давно, ОЧЕНЬ давно не писала в блог, и мне действительно жаль. Но у меня есть уважительная причина – я потерялась в мире Гарвардской летней сессии.

Мне и вправду хотелось написать что-нибудь интересное, но учеба меня поработила. При этом я жива и даже получаю удовольствие от всех тех испытаний, которые университет мне посылает каждый день: домашняя работа по математике, подготовка к тестам, задания по Java-программированию, на которые уходит как минимум 4 часа (к примеру, на прошлой неделе нам нужно было самим написать код для игры «Крестики-нолики». На решение этой задачи у меня ушло четыре с половиной часа, но зато какой результат: теперь я могу играть с друзьями в крестики-нолики на лэптопе!) Не все мои друзья по общежитию справляются с таким объемом заданий, но мне кажется, это здорово – тренировать свою способность учиться.

Кстати, мой преподаватель по математике – один из лучших, у кого мне доводилось учиться (серьезно). Я понимаю всё, что он дает на лекциях, и уже заметно улучшила свои математические навыки. Преподаватель приводит простые и понятные примеры, вставляет уместные шутки, которые всех веселят, а еще немного говорит по-русски. Думаю, что проваливших математику у нас не будет.

Следующая неделя – последняя, а это значит, что вместо занятий у нас полным ходом идет подготовка к экзаменам. Мне нужно успеть повторить все, что мы прошли на курсе Java, на следующей неделе у нас еще два практических экзамена по математике. Чем больше я думаю об отъезде, тем грустнее мне становится. В Гарварде у меня появились настоящие друзья (Меган из Шотланди, еще пара ребят), преподаватели, о которых я и мечтать не могла, сам университет – просто восхитительный (не считая туристов на кампусе и в “Старбаксе” круглые сутки). К счастью, в Москве мне предстоит пробыть недолго, так как уже в сентябре я начну учиться в американской школе-пансионе.

Ладно, скоро у меня очередная лекция, но до конца летней сессии попробую написать что-нибудь ещё.

Всем хорошего дня!


 

#July 7

Hey there!

I kinda disappeared from here because 1) I can’t just write a blog when I have no inspiration; 2) I was pretty busy in the last couple weeks; 3) classes are pretty important. But, anyways, I am back.

So, studying at Harvard is one of the most challenging experiences I have ever had. Seriously, I didn’t realize that homework could take so much time. But everything is manageable (I am still alive and have good grades).

Here’s one huge tip, if you are studying here: never underestimate the amount of homework. It may look like a small assignment, but it won’t seem like it if you try doing it late at night. So, the best option is to do everything beforehand in order to have more free time on the weekends (we had a day off on Friday because 4th of July was coming.

I also used subway a couple of times to go to Boston. It’s actually not that far away, 15-20 minutes. I don’t enjoy shopping that much, but Apple Store in Boston is majestic, it’s too perfect to be true. I love Boston because sometimes I get off on a really faraway station and walk to the center, sometimes buy Bubbletea on the way.

Now I have my math class, but maybe between my programming lecture and lunch I will write more.

Have a great day!

***

Привет!

Я ненадолго пропала, потому что 1) не могу писать блог, когда у меня нет вдохновения; 2) была очень занята в последние две недели; 3) уроки – это важно. Но, в любом случае, я вернулась.

Итак, учеба в Гарварде – это один из самых насыщенных периодов в моей жизни. Серьезно, я и представить не могла, что домашние задания будут отнимать столько времени. Но всё под контролем (я ещё жива и получаю хорошие оценки).

Если вы когда-нибудь будете в Гарварде, мой вам совет: не надо недооценивать объем домашней работы. Поначалу может показаться, что это совсем небольшое задание, но если вы сядете за него ночью, то всё окажется не таким радужным. Так что лучше делать всё заранее, чтобы на выходных было больше свободного времени (в пятницу у нас был выходной, в преддверии 4 июля).

Пару раз я ездила на метро в Бостон. Оказалось, что это не так далеко – минут 15-20. Я не очень люблю шопинг, но магазин Apple в Бостоне – просто шикарен, даже слишком хорош, чтобы быть правдой. Мне нравится Бостон, особенно когда доезжаю до какой-нибудь дальней станции и пешком прогуливаюсь до центра города, попивая по дороге Bubble tea.

Сейчас у меня занятия по математике, но, может быть, между лекцией по программированию и ланчем я напишу что-нибудь ещё.

Хорошего дня!


 

#June 28

Hey again!

I had a small break in writing posts because I am usually really busy with homework and preparing for class (and then before sleeping I am too tired to think, so I just log out of my system).

Anyways, I switched from my Japanese class into Programming and totally not regretting it! (Every student has a chance to switch from class to class in the first three days of Summer Session, but there’s a small problem: if you switch courses on the third day, you will have a huge amount of homework and skipped classes with new material). It is the right course for me: just visiting lectures and programming at home. For some students it may be challenging to be sitting in front of the computer and working on a script, but I am pretty used to not socializing and drinking coffee while finishing homework at 2 am.

I also found a gym here, finally I have a chance to work out! The gym even offers a personal trainer, but I am alright with working out with my friends.
Yesterday was the last day of classes, so my friends and I decided to go to the cinema. We watched “Inside out” (it’s an amazing cartoon, we totally loved it). We went there by underground, but before that we told our proctor about our plans because we don’t have any curfew, so we are allowed to go out any time anywhere. (He’s a cool guy, so we didn’t want him to worry to where the whole dorm disappeared)

Weekends are coming, more time for the gym and laundry. During the week it’s pretty hard to find time for activities because of studying. But I still love it here, even the schedule is busy.

See you!

***

Всем привет!

Я ненадолго прервала свой блог, поскольку всё время занята была домашними заданиями и подготовкой к занятиям (а перед сном у меня уже нет думать, так что я просто вырубаюсь).

Итак, я поменяла курс японского на компьютерные науки и совершенно об этом не жалею! В первые три дня летней сессии каждый студент имеет возможность поменять один класс на другой, но есть одна маленькая проблема: если ты меняешь курсы на третий день своего пребывания, то тебе достается большой объем домашних заданий и материал по пропущенным занятиям. Курс по компьютерным наукам – это то, что нужно: просто ходишь на лекции и дома программируешь. Для некоторых это сложно – сидеть перед компьютером и работать над скриптом, а я уже привыкла – сидеть в тишине, с кофе и работать до двух ночи.

А еще я нашла здесь спортзал, так что теперь у меня будет возможность тренироваться. В зале даже можно брать персонального тренера, но мне больше нравится заниматься вместе с друзьями.

Вчера был последний день занятий, и мы с друзьями решили пойти в кино. Мы смотрели «Головоломку» – отличный мультфильм. Добирались на метро, а перед тем, как уйти, рассказали нашему проктору о своих планах, чтобы он не волновался и был в курсе, куда пропала половина общежития. Вообще, у нас нет комендантского часа, так что можно уходить в любое время.

На выходных у меня будет больше времени на спортзал и прачечную. На неделе из-за постоянной учебы сложно найти время для развлечений. Но мне все равно здесь нравится, даже при таком загруженном расписании.

Увидимся!


 

#June 23

Hey! I am back here again.

Today was the first day of classes. I really love the intensity of my Math class: hard work during the lesson, 2 hours of homework and additional time in the evening. That’s what I’ve been waiting for! I love having a challenge in studying because it’s always awesome to see of what you are capable of. Tomorrow I will have my first Japanese lesson, exited for that too.

I have been walking around campus recently, it’s unbelievably beautiful here. It was raining for a couple of days, but still I really enjoy being here. Despite the heat it feels amazing sitting under a tree with coffee reading a book.

I have met a lot of new different people, my proctor is an amazing guy: he helped me find the mail office. And guess what: every Wednesday we can order pizza and ice cream for free and hang out in our proctor’s room! We can even watch a movie together! It will be so awesome to have a small break between all the studying.

By the way, proctor is a Harvard student who is kinda responsible for us and helps us with daily stuff. That is really helpful, especially on the first days in Harvard.

Anyways, have a great day!

***

Привет, и это снова я!

Сегодня был первый день занятий. Мне очень понравилось, как интенсивно прошла математика: активная работа на уроке, два часа домашних заданий и дополнительное время вечером. Это то, чего я ждала! Люблю сложности в обучении, ведь это же здорово – узнавать, на что ты способен. Завтра у меня будет первый урок японского языка, жду его с нетерпением.

Я много гуляю по кампусу – здесь невероятно красиво. Пару дней шёл дождь, но мне всё равно нравится. Несмотря на жару, так приятно посидеть под деревом, попить кофе и почитать книжку.

Я познакомилась с массой интересных людей, и наш проктор – отличный парень. Он помог мне найти почтовый офис, и знаете что: каждую среду мы можем бесплатно заказывать пиццу, есть мороженое и зависать в комнате проктора. Мы даже можем кино вместе смотреть, отдыхать в перерывах между занятиями.

Кстати, наш проктор – студент Гарварда, который за нас отвечает и помогает с решением разных бытовых вопросов. А это очень нужно, особенно в первые дни в Гарварде.

Всем хорошего дня!

#June 22

I finally have a minute to sit down and write about everything so far.

My first day was pretty hard, but full of fun at the same time! I have met my roommates and made a couple of other friends. It’s definitely more fun to have dinner or go to a restaurant with somebody than alone.

This summer session is much more different from all the previous sessions I have been to: in Harvard you need to know how to plan your time carefully (so that you can buy all books for the first class, hang out with friends and do some exploring) and be able to adapt to unexpected situations (classes were switched, checking emails constantly, going to meetings). It is a pleasant challenge to try living like a college kid. I think I will get used to this life style in a couple of days.

By the way, this summer I am taking a Japanese course and Precalculus Math. I am really looking forward to tomorrows classes!

***

Наконец-то выдалась свободная минутка, чтобы сесть и спокойно написать обо всём, что на данный момент произошло.

Мой первый день выдался довольно напряжённым, но при этом очень забавным! Я познакомилась со своими соседями по комнате и завела парочку новых друзей. Гораздо веселее обедать и ходить в ресторан вместе с кем-то, нежели в одиночку.

Эти летние сессии очень отличаются от тех академических курсов, на которых я была раньше: в Гарварде нужно уметь планировать своё время, чтобы успеть закупиться учебниками для первого занятия, потусить с друзьями и погулять по кампусу. Кроме того, нужно уметь адаптироваться к самым неожиданным ситуациям (перенос занятий), постоянно проверять почту и посещать собрания. Это приятное испытание – жить и учиться как студент университета. Думаю, что через пару дней я привыкну к такому образу жизни.

Кстати, этим летом я беру курс японского языка и курс по алгебре и началам анализа. С нетерпением жду завтрашних занятий!


 

#June 19

So, what’s going on guys, Mary here.
Right now I am getting ready for my trip. Although I need to do packing, I am still excited to take part in Harvard SSP (summer session program).

I have a pretty long flight tomorrow, so I got all the essentials in my backpack: a book “The raw shark texts” (I really recommend reading it), PlayStation vita (because I am a gamer), a sketch book and headphones (it’s impossible for me to survive without music).

I recently received information about my arrival on campus; the first thing that caught my eye was that we will have ice cream! What a nice surprise!

I think I will be able to post tomorrow after I settle in my room.
Have a great day!

***

Всем привет! Меня зовут Мариям. Сейчас я готовлюсь к отъезду. И хотя мне надо собирать чемодан, с нетерпением жду, когда же попаду на летнюю сессию в Гарвард.

Завтра мне предстоит довольно долгий перелёт, поэтому всё самое необходимое я беру с собой в рюкзак: книга «Дневники голодной акулы» Стивена Холла (настоятельно рекомендую прочитать), PlayStation Vita (потому что я геймер), скетчбук и наушники (жить не могу без музыки).

На днях мне прислали информацию о прибытии на кампус. Первое, что привлекло моё внимание, – у нас будет вечеринка с мороженым! Какой приятный сюрприз!

Думаю, что завтра, после заселения, смогу написать что-нибудь ещё.
Всем хорошего дня!

как сдать ОГЭ по математике — Учёба.ру

Чем раньше начнешь готовиться к ЕГЭ,
тем выше будет балл Поможем подготовиться, чтобы сдать экзамены на максимум и поступить в топовые вузы на бюджет. Первый урок бесплатно

Ольга Евсеева,

преподаватель математики физико-математической школы Института довузовской подготовки

Московского технологического университета (МИРЭА, МИТХТ, МГУПИ)

По вашему мнению, насколько хорошо девятиклассники сейчас знают математику? Насколько сложен для них этот ОГЭ?

Не сказала бы, что школьники не знают математику. Как правило, к нам на занятия приходят ребята с неплохим начальным уровнем, с хорошими навыками выполнения арифметических действий и преобразования выражений, знакомые с методами решения линейных, квадратных уравнений и неравенств — то есть со всем тем, что они должны знать к началу 9 класса. Конечно, глубина знаний и умение ими пользоваться напрямую зависят от количества часов математики в школе: при изучении предмета на базовом уровне это три-четыре часа алгебры и два часа геометрии в неделю, на углубленном уровне — пять-семь часов алгебры и три часа геометрии. Поскольку ОГЭ состоит из двух частей, первая из которых проверяет базовый уровень подготовки, а вторая включает более сложные задания, ребятам, изучающим в школе базовую математику, необходимо выделить дополнительное время для подготовки.

Иногда школьных уроков и самостоятельной работы достаточно, чтобы сдать ОГЭ на хорошо и отлично. В качестве подспорья можно использовать различные сайты и учебную литературу в открытом доступе. Возникающие вопросы можно обсудить на форумах или со школьным учителем. Но занятия на курсах помогают последовательно разобрать темы, систематизировать материал, проверить глубину его усвоения. Ведь после ОГЭ ребят через два года ждет более трудное испытание — ЕГЭ, в котором часть базовых заданий аналогичны заданиям повышенной и высокой сложности из ОГЭ. Девятиклассники впервые сдают экзамен, содержащий так много заданий, и его длительность составляет 3 часа 55 минут. Безусловно, для ребят это непросто.

Расскажите про структуру экзамена и систему начисления баллов. За какие задания на ОГЭ по математике ставится наибольшее количество баллов?

Всего школьникам предлагается 26 заданий. До недавнего времени экзамен состоял из трех частей — «Математика», «Реальная математика» и «Геометрия». С 2018 года раздела «Реальная математика» в ОГЭ больше нет, а его задания распределены между модулями «Алгебра» и «Геометрия».

Ребятам предстоит решить 17 задач по алгебре (14 задач в части 1 и три в части 2) и девять задач по геометрии (шесть задач в части 1 и три в части 2). Задания части 1 требуют краткого ответа в виде числа или последовательности цифр, которые вносятся в бланк ответов № 1. Развернутые решения заданий части 2 и ответы к ним записываются на бланке ответов № 2. За правильный ответ на каждое из заданий № 1-20 ставится 1 балл. Эти задания проверяются автоматически при сканировании бланков. Задания № 21-26 проверяют двое независимых экспертов, хотя при значительном расхождении оценок назначается проверка третьим экспертом. Эти задания могут быть оценены от 0 до 2 баллов. Таким образом, максимально за работу можно получить 32 первичных балла. Пятерка ставится за результат от 22 баллов, четверка — от 15 баллов, тройка — от 8 баллов (из них не менее 4 баллов по алгебре и 2 баллов по геометрии).

Как видите, для положительной оценки достаточно решить лишь восемь задач из части 1, а для пятерки — безошибочно выполнить базовую часть экзамена и только одно из заданий повышенной сложности. Вроде бы задача «сдать ОГЭ на отлично» не кажется такой уж сложной. Однако с заданиями повышенной сложности из части 2 ребятам придется снова столкнуться на ЕГЭ, уже в его базовой части. Например, задание № 22 повышенного уровня сложности — «текстовая задача» — аналогично заданию № 11 из части 1 ЕГЭ. Поэтому, как мне кажется, ребятам уже в 9 классе надо освоить методы и приемы решения заданий из части 2.

По вашему опыту преподавания, какие разделы математики самые сложные для школьников и вызывают наибольшее затруднение? Какие темы самые простые?

В модуле «Алгебра» это, прежде всего, исследование функций и построение их графиков. Задания на эту тему входят и в часть 1, и в часть 2 ОГЭ. В задании № 10 нужно установить соответствие между графиками функции и формулами, которые их задают. Здесь школьники часто ошибаются, пытаясь угадать ответ вместо того, чтобы рассуждать логически. В части 1 можно еще отметить задания на преобразование и вычисление выражений, если там содержатся радикалы: задание № 4, где надо найти значение выражения, и задание № 12, где сначала выражение надо упростить, а потом вычислить. Работать с корнями правильно получается далеко не у всех. Также не всегда ребятам удается справиться с заданием № 13 — «задачей прикладного содержания», где из несложной формулы нужно выразить одну из величин, найти ее значение, а ответ записать в указанных единицах измерения. Сложность здесь как раз заключается в переходе от одной размерности к другой.

В модуле «Геометрия» в части 1 включены задачи, относящиеся к ключевым разделам курса геометрии. И все же, если в задании встречаются такие темы, как «вписанная и описанная окружности», «вписанные углы», «соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», «подобие треугольников», показатель его решаемости падает.

Меньше всего ошибок девятиклассники допускают в заданиях на чтение таблиц и диаграмм, нахождение вероятности случайного события.

Какие есть «подводные камни» в заданиях части 2? На что нужно обратить внимание при подготовке к заданиям повышенной сложности?

Задание № 21 В этом задании необходимо решить уравнение или неравенство, преобразовать алгебраическое выражение. При решении рациональных и дробно-рациональных уравнений, а также уравнений высших степеней необходимо обращать внимание на возможность потери решения (при сокращении на выражение, которое может быть равным нулю) или получение посторонних решений (которые обнуляют знаменатель или обращают исходное уравнение в выражение, не имеющее смысла). При решении неравенств надо помнить, что при умножении неравенства на отрицательное выражение оно меняет знак. Зачастую школьники либо просто не обращают внимание на знак величины, на которую умножают неравенство, либо умножают неравенство на выражение, содержащее переменную.
Задание № 22 Это текстовая задача, как правило, на «движение», «работу», «концентрации растворов» или «смеси и сплавы». Для ее решения необходимо составить уравнение или систему уравнений. Я бы посоветовала ребятам для наглядности обязательно заполнять таблицу, в которую вносятся известные по условию величины, выбранная переменная или переменные, после чего в пустые клетки вписываются соответствующие им величины, выраженные через введенные переменные, и только потом приступать к составлению уравнения (или системы).
Задание № 23 Построение графика функции. Для правильного выполнения этого задания необходимо знать свойства следующих функций: линейная, квадратичная, либо функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость. Также необходимо уметь строить графики этих функций, знать правила преобразования графиков. Очень часто встречаются задания, в которых формулу, задающую исходную функцию, можно преобразовать, после чего она значительно упрощается. Здесь необходимо помнить, что область определения исходной и получившейся функции могут не совпадать.
Задание № 24 Геометрическая задача вычислительного характера. Школьник должен решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания из курса геометрии.
Задание № 25 Геометрическая задача на доказательство с использованием стандартных приемов. Здесь надо обратить внимание на умение математически грамотно и ясно записать решения, приведя все необходимые обоснования и пояснения.
Задание № 26 Для решения этой задачи школьникам нужно владеть широким спектром приемов и способов рассуждений. Здесь возможно потребуются и дополнительные построения, и знание утверждений, не так часто используемых в школьном курсе. Например, теорема об угле между касательной и хордой; теорема о секущих и касательной; свойства высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла; свойства биссектрис, медиан, высот треугольника; теорема Чевы; теорема Менелая.

Что нужно делать школьнику, чтобы подготовиться к экзамену наилучшим образом? Как вы посоветуете им распределить свое время?

На занятиях со школьниками я обычно придерживаюсь следующей стратегии. Во-первых, мы полностью проходим программу 9 класса, начиная с отработки основных навыков и умений по следующим темам: преобразование алгебраических выражений, решение уравнений и неравенств, числовые последовательности, функции, их свойства и графики, элементы статистики и теории вероятностей. Постепенно повышая уровень заданий, мы переходим к решению задач повышенной и высокой сложности и стараемся уделить этим заданиям как можно больше внимания. Не менее трети времени следует посвятить геометрии, и здесь также нужно двигаться «от простого к сложному».

Во-вторых, необходимо готовиться к самому формату ОГЭ, к его структуре. Если ученик хорошо умеет решать задачи, но ни разу не пробовал написать работу в этом формате, ему сложно будет оценить количество затрачиваемого времени на часть 1 и 2. Обязательно нужно научиться правильно распределять свои силы.

Многие девятиклассники не используют предлагаемое на экзамене время полностью, у них просто не хватает усидчивости. Ребята сдают работу раньше, хотя еще остались нерешенными задания повышенной сложности. Зачастую и в заданиях части 1 бывают ошибки по невнимательности, которые сам школьник не смог найти и исправить. На ЕГЭ же складывается обратная ситуация. Выпускники прилежно готовятся к экзамену, считают, что времени мало. Им хочется еще раз проверить свои решения и подумать над заданиями высокой сложности.

Какие источники вы рекомендуете использовать для самостоятельной подготовки к экзамену?

  • «Сайт ФИПИ». На нем вы найдете открытый банк заданий ОГЭ.
  • Сборник «ОГЭ. Математика 2018. Типовые и тестовые задания». Таких сборников очень много, нужно обращать внимание на гриф «рекомендовано ФИПИ».
  • Учебные пособия Центра непрерывного математического образования. Например, сборник «Подготовка к ОГЭ по математике. Методические указания. Разбор задач». На 500 страницах здесь можно найти подробный разбор каждой из 26 задач экзамена и множество вариантов каждой из них для самостоятельного решения.
  • «Сайт Alexlarin.net». Здесь каждую неделю выкладывается новый вариант ОГЭ и новый вариант ЕГЭ. Ребятам дается семь дней на размышление. Они могут обсуждать свои решения на специальном форуме. Потом вывешиваются правильные ответы.
  • «РешуЕГЭ». На сайте доступен большой банк заданий. Тесты можно составлять самостоятельно, выбирая лишь те темы, над которыми необходимо поработать. Небольшой минус — тесты часто получаются похожими друг на друга.

Архив контрольных — Математическая вертикаль

6 класс

Вступительная работа — 20 мая 2021 (условия, критерии и ответы)
Пригласительная работа — 16 декабря 2020 (начинающий и углублённый уровни: задания и решения)
Вступительная работа — 14 мая (условия, ответы и комментарии)
Тренировочная работа — 18-20 апреля, 28 апреля (условия, ответы и комментарии)
Пригласительная работа — декабрь 2019
Вступительная работа — август 2019 (резервный день): варианты 5 и 6 + ответы и критерии + бланк + дополнительный бланк
Вступительная работа — май 2019 (резервный день)
Вступительная работа — апрель 2019 + решения и критерии + бланки
+ инструкция
Пригласительная работа — декабрь 2018
Вступительная работа — август 2018 (резервный день, «Интеллектуал»)
Вступительная работа — май 2018 (резервный день, «Интеллектуал»): вариант 3, вариант 4
Вступительная работа — апрель 2018 (версия с решениями)
Вступительная работа — апрель 2018: вариант 1, вариант 2
Проект вступительной работы — весна 2018
Спецификация вступительной работы — весна 2018
Пригласительная работа — декабрь 2017: математика, опросник, логика

7 класс

Итоговая работа по трем предметам — май 2021 (условия, критерии, ответы, ответы и решения подарочных задач)
Диагностическая работа по статистике — март 2021 (условия и решения)
Диагностическая работа по алгебре — март 2021 (условия, решения)
Диагностическая работа по геометрии — февраль 2021 (условия, решения)
Итоговая работа по алгебре (диагностика в начале 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Итоговая работа по статистике (диагностика в начале 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Итоговая работа по геометрии (диагностика в начале 8 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и комментарии)
Вступительная работа — август 2020 (условия, ответы и комментарии)
Тренировочные работы — май 2020: по геометрии, алгебре и статистике
Диагностическая работа по геометрии — март 2020: варианты 1-2
Диагностическая работа по алгебре и статистике — январь 2020: варианты 1–4, критерии, ответы
Диагностическая работа по геометрии — ноябрь 2019: варианты, критерии
Итоговая работа — август 2019 (резервный день): варианты 5 и 6 + ответы + бланк + дополнительный бланк
Итоговая работа — май 2019: вариант 1, вариант 2, ответы и критерии, бланк, дополнительный бланк, инструкции, резервный день: варианты 3 и 4, ответы и критерии
Демоверсия итоговой работы по алгебре
Диагностическая работа по алгебре — январь 2019 + анализ
Диагностическая работа по геометрии — ноябрь 2018 + анализ
Демоверсия диагностической и итоговой работы по геометрии

8 класс

Итоговая работа по трем предметам — май 2021 (условия, критерии, ответы)
Диагностическая работа по статистике — март 2021 (условия и решения)
Диагностическая работа по алгебре — март 2021 (условия, решения)
Диагностическая работа по геометрии — февраль 2021 (условия, критерии и решения)
Итоговая работа по алгебре (диагностика в начале 9 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Диагностика по алгебре в начале года (итоговая работа по курсу 7 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Итоговая работа по статистике (диагностика в начале 9 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Диагностика по статистике в начале года (итоговая работа по курсу 7 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Итоговая работа по геометрии (диагностика в начале 9 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и критерии)
Диагностика по геометрии в начале года (итоговая работа по курсу 7 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и комментарии)
Вступительная работа — август 2020 (условия, ответы и комментарии)
Тренировочные работы — май 2020: по геометрии, алгебре и статистике
Диагностическая работа по геометрии — март 2020: вариант 1, вариант 2 Диагностическая работа по алгебре и статистике — февраль 2020: варианты, критерии, ответы
Диагностическая работа по геометрии — ноябрь 2019: варианты, критерии

9 класс

Итоговая диагностика по статистике (резервный день) — апрель 2021 (условия, критерии)
Итоговая диагностика по геометрии — апрель 2021 (условия, решения и критерии, разбор)
Итоговая диагностика по теории вероятности и статистике — апрель 2021 (условия, решения и критерии второй части)
Диагностика по алгебре — март 2021 (условия, решения, решение задачи 9.3)
Диагностика по алгебре в начале года (итоговая работа по курсу 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Диагностика по статистике в начале года (итоговая работа по курсу 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения)
Диагностика по геометрии в начале года (итоговая работа по курсу 8 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и критерии)
Вступительная работа — август 2020 (условия, ответы и комментарии)

Математические формулы по алгебре и геометрии для ЕГЭ

Как выучить все формулы по математике к ЕГЭ

Чтобы сдать ЕГЭ по математике, необходимо знать математические формулы из школьного курса алгебры и геометрии.

Для того, чтобы запомнить формулы школьной математики, желательно держать в течение всего года на видном месте шпаргалку с красиво написанными формулами. Таким образом подключается зрительная память и формулы лучше запоминаются.

Проверяйте себя время от времени: попробуйте написать все важные математические формулы по памяти, а затем проверьте. На самом деле, формул, которые надо выучить наизусть, не так много. И целого учебного года вполне достаточно, чтобы все выучить.

Многие алгебраические, геометрические, тригонометрические формулы можно быстро вывести прямо на экзамене, если Вы их забыли. Но на это придется потратить какое-то время. Поэтому преимущество получают те школьники, которые выучили формулы.
Зная математические формулы наизусть, можно гораздо быстрей решить сложные задачи по алгебре, тригонометрии и геометрии на ЕГЭ.

Мы собрали самые важные формулы из школьного курса математики, которые надо выучить для успешной сдачи ЕГЭ.

Математические формулы школьного курса алгебры

 

Степени и корни

Формулы сокращенного умножения

Квадратный трехчлен: квадратное уравнение, формулы Виета, разложение на множители

Логарифмические формулы

Формулы тригонометрии

 

Основные формулы тригонометрии

Тригонометрические уравнения

Значения тригонометрических функций

Формулы приведения

Сумма и разность углов

Формулы двойного и тройного аргумента

Формулы половинного аргумента

Сумма и разность тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Формулы дифференциального исчисления

Формулы векторной алгебры из школьного курса математики

Формулы арифметической и геометрической прогрессии

Геометрические формулы школьного курса математики для ЕГЭ

Планиметрия

Стереометрия

Выучить формулы по математике – это еще не все, что надо для успешной сдачи ЕГЭ. Опыт решения задач, знания правил оформления заданий на экзамене не менее важны. Приглашаем всех школьников 11-х классов на курсы подготовки к ЕГЭ ПАРАГРАФ. С нами Вы подготовитесь к ЕГЭ наиболее продуктивно.


Учите формулы по математике и сдавайте ЕГЭ на максимальные баллы!

Восемь советов от разработчиков заданий — Российская газета

Какие ошибки – самые “популярные” на ЕГЭ? Почему нельзя считать в уме? И зачем выпускнику – учебник пятого класса? Советы по подготовке к экзаменам дает руководитель федеральной группы разработчиков ЕГЭ по математике, научный руководитель Центра педагогического мастерства Иван Ященко.

1. Занимайтесь математикой регулярно. Даже если вы сдаете не профильный экзамен, а базовый. Советую выделить на это хотя бы 10-15 минут в день. Закреплять, в первую очередь, базовые умения. Новую теорию учить уже бесполезно.

2. Решайте задачи, где есть текст. К сожалению, до 40 процентов ошибок на экзаменах связаны именно с тем, что ученик не так прочитал, неправильно понял условие. Каждый год десятки тысяч ребят решают, казалось бы, “правильно”, но вовсе не ту задачу, которая дана. И получают за нее в итоге “законный” ноль… Поэтому внимательно читайте условия. И когда у вас получился какой-то ответ, сверьте его с условием.

3. Не спешите и не считайте в уме. Если торопиться, даже базовые арифметические навыки могут подвести. Огромное количество ошибок связано с дробями, процентами и с отрицательными числами. Особенно с отрицательными числами! Обиднее всего, когда за задачу на теорию вероятностей получаешь ноль баллов из-за простейшей вычислительной ошибки. Поэтому и при подготовке, и на самом экзамене избегайте вычислений в уме: обязательно пишите промежуточные выкладки. Как только вы совершаете два действия в уме, это сразу повышает риск ошибки.

4. Советую обратить внимание на задачи по геометрии, по теории вероятностей, и задачи с реальными статистическими данными. Например, связанными с выбором оптимального тарифного плана сотовой связи. Такие задачи придется решать каждому в жизни.

5. Решать многочисленные варианты, похожие на демоверсию – самый неэффективный способ подготовки. Повторение должно быть тематическое. И если уж прорешиваете варианты, то делайте это тематическими блоками. Делайте акцент, во-первых, на те задачи, которые получаются, и на те, которые вы точно планируете решить на экзамене. Некоторые задачи, возможно, стоит сразу заранее пропускать и особо их не разбирать.

6. Не получаются первые задачи ЕГЭ? Регулярно подводят дроби, проценты и отрицательные числа? Не надо стесняться – можно взять учебник пятого-шестого класса и повторить базу.

7. Сдать профильную математику на максимальный балл сможет далеко не каждый выпускник. Поэтому нужно реально рассчитывать свои силы. Нужно понимать, что хороший результат ЕГЭ – это не 100 баллов. А тот балл, который ты реально можешь получить, или чуть-чуть выше. Выберите несколько вузов, посмотрите, с какими баллами туда поступали в прошлом году. Прикиньте свои оценки по другим предметам – и составьте “вилку”: вот сюда я смогу поступить, если наберу, допустим, 80 баллов. А вот этот вуз будет запасным: здесь хватит и 65.

8. Используйте все возможности дистанционки. Сроки ЕГЭ сдвигаются – и это оправданная мера, потому что нужно в первую очередь заботится о здоровье ребят. Они, конечно, нервничают, – хочется уже быстрее сдать экзамены. Но теперь появилось дополнительное время. Если потратить его с умом, можно не просто получить больше баллов, но и лучше подготовиться к обучению в выбранном вузе.

По инициативе министерства просвещения открыт телеканал для подготовки к ЕГЭ “Моя школа online”. На сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) размещены реальные варианты досрочного ЕГЭ 2020 года, есть даже ответы к ним для самопроверки, методические материалы. По инициативе правительства Москвы и при поддержке Рособрнадзора мы сделали цикл уроков по подготовке ЕГЭ – с разбором всех задач, автоматическими домашними заданиями от лучших педагогов, в том числе членов комиссии разработчиков ЕГЭ. Они открыты бесплатно абсолютно для всех школьников на сайте московского Центра педагогического мастерства.

Для родителей будущих выпускников

– Наши исследования показывают, что огромное количество проблем в математике – это проблемы, которые накопились у ребенка уже к пятому-шестому классу. Те же дроби дети начинают изучать еще в началке, и продолжают делать на них ошибки даже в одиннадцатом классе.

И проблема не в том, что такие ребята не способны к математике. Когда ты учишься, ты делаешь ошибки, не все получается с первого раза, это совершенно естественно. Но важно, чтобы учитель эти проблемы вовремя заметил и постарался решить их вместе с ребенком, а не просто поставил “троечку”. В последнем случае проблемы накапливаются как снежный ком, и уже в средних и старших классах уроки математики фактически проходят зря.

Мы очень рады, что в последние годы и родители и школьники стали понимать: экзамен по математике – это не скучная “обязаловка”, а инструмент, который готовит ребят к реальным задачам, с которыми они столкнутся в жизни. Базовый ЕГЭ по математике – на обычном, бытовом уровне. Профильный – позволяет человеку показать, что он готов обучаться в вузе.

Символы в алгебре

Символ Значение Пример
+ добавить 3 + 7 = 10
вычесть 5−2 = 3
× умножить 4 × 3 = 12
умножить (поскольку «×» может выглядеть как «x») 4 · 3 = 12
/ делить 20/5 = 4
корень квадратный (“корень”) √4 = 2
кубический корень
n -й корень
() условные обозначения группировки (круглые скобки) 2 (а-3)
[] условные обозначения группировки (квадратные скобки) 2 [a − 3 (b + c)]
{} набор символов (фигурные скобки) {1,2,3}
= равно 1 + 1 = 2
примерно равно № 3.14
не равно π ≠ 2
<≤ меньше, меньше или равно 2 <3
> ≥ больше, больше или равно 5> 1
подразумевает (если … то) a и b нечетные + b четные
“если и только если” или iff или “эквивалентно” х = у + 1у = х − 1
Следовательно a = b b = a
! Факториал 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Полный список символов алгебры

Алгебра – это подраздел математики, относящийся к манипуляциям с символами и их определяющими правилами.Ниже приводится подборка из символа из различных разделов алгебры, которые включают базовую алгебру, теорию чисел, линейную алгебру и абстрактную алгебру.

Для удобства чтения эти символы сгруппированы по их функциям и тематике в диаграммы и таблицы . Другие исчерпывающие списки символов, сгруппированные по теме и типу, также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите общее резюме математических символов в форме электронной книги – вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Константы

В алгебре константы – это символы, используемые для обозначения ключевых математических элементов и множеств. В следующих таблицах описаны наиболее распространенные из них, а также указаны названия, способы использования и примеры каждого символа.

(Общие константы см. В общих математических константах.)

Ключевые математические элементы

Ключевые математические наборы

В алгебре определенные наборы чисел (или другие более сложные объекты), как правило, встречаются чаще, чем другие.Эти наборы часто обозначаются некоторыми вариантами из букв алфавита , многие из которых имеют жирный шрифт на доске.

Название символа Пояснение Пример
$ \ mathbb {P} $ Набор из простых чисел $ 127 \ in \ mathbb {P} $
$ \ mathbb {N} _0 $ Набор из натуральных чисел
(начиная с $ 0 $)
$ 0 \ in \ mathbb {N} _0 $
$ \ mathbb {N} _1 $ Набор натуральное число
(начиная с $ 1 $)
$ 0 \ notin \ mathbb {N} _1 $
$ \ mathbb {Z} $ Набор из целых чисел Для всех $ x, y \ в \ mathbb {N} $, $ xy \ in \ mathbb {Z} $.
$ \ mathbb {Z} _ + $ Набор из натуральных чисел $ \ mathbb {Z} _ + = \ mathbb {N} _1 $
$ \ mathbb {Q} $ Набор из рациональных чисел $ 3. \ Overline {73} \ in \ mathbb {Q} $
$ \ mathbb {Q} _p $ Набор из p-адических чисел In $ \ mathbb {Q} _ {10} $, $ -1 =… 999 $ (как $ 1 +… 999 = 0 $).
$ \ mathbb {A} $ Набор из алгебраических чисел $ \ sqrt {5} + 3 \ in \ mathbb {A} $
$ \ mathbb {R} $ Набор вещественных чисел $ i \ notin \ mathbb {R} $
$ \ mathbb {R} _ + $ Набор положительных вещественных чисел Для всех $ x, y \ in \ mathbb {R} _ + $, $ xy \ in \ mathbb {R} _ + $.
$ \ mathbb {R} _- $ Набор из отрицательных действительных чисел Если $ a, b \ in \ mathbb {R} _- $, то $ a + b \ in \ mathbb { R} _- $. 2 + 2x + 3 = 0 $.2 + 2x + 1 $
$ \ in \ mathbb {Z} [x] $

Переменные

Поскольку алгебра связана с манипуляциями с математическими символами, она часто использует широкий диапазон переменных как заполнители для различных объектов и количества. В следующей таблице приведены наиболее распространенные из них – вместе с их соответствующим использованием и примерами.

Имя символа Используется для Пример
$ m, n, p, q $ Натуральные числа и целые числа $ m + n-2p = q $
$ a, b, c $ Коэффициенты функций и уравнений Линейное уравнение имеет общий вид $ ax + by + c = 0 $.{(3,5)} \ frac {i + j} {2} $
$ z $ Комплексные числа $ | z_1 z_2 | = | z_1 | | z_2 | $
$ f (x) $, $ g (x, y) $, $ h (z) $ Функции $ g (f (x), 3) = h ( x) $
$ \ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} $
(или $ \ vec {u}, \ vec {v}, \ vec {w} $)
Векторы $ 2 \ mathbf {u} + 3 \ mathbf {v} = 5 \ mathbf {w} $
$ U, V, W $ Векторные пространства $ U $ is подпространство векторного пространства $ V $.
$ A, B, C $ Матрицы $ AB \ ne BA $
$ \ lambda $ Собственные значения Поскольку $ A \ mathbf {v_0} = 3 \ mathbf {v_0} $, $ 3 $ – собственное значение $ A $.
$ G, H $ Группы Существует элемент $ e \ in G $ такой, что для всех $ x \ in G $ $ x \ circ e = x $.
$ \ mathbb {F} $ Поля Кольцо многочленов $ \ mathbb {F} [x] $ состоит из многочленов с коэффициентами из поля $ \ mathbb {F} $.2Y + 5Y \ in \\ \ mathbb {Z} [X, Y] $

Разделители

В математике разделители – это символы, используемые для обозначения разделения между независимыми математическими объектами. В следующей таблице представлены некоторые из наиболее распространенных разделителей в алгебре. Общие сведения об общих разделителях см. В разделе Общие разделители.

Имя символа Пояснение Пример
$ () $, $ [] $, $ \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix} $, $ \ begin {bmatrix} x & y \\ w & z \ end {bmatrix} $ Индикаторы векторов / матриц $ \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \ end {pmatrix} = \\ \ begin {pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \ end {pmatrix} $
$ \ {\} $ Установить строитель $ \ {-1, 3.\ overline {5}, \ pi \} \ in \ mathbb {R} $
$ \ bigg \ {$ Кусочно-функциональный индикатор $ | x | = \ begin {cases} x & x \ ge 0 \\ -x & x <0 \ end {cases} $
$: $, $ \ mid $ Маркер «Такой что» $ \ mathbb {Q} = $
$ \ displaystyle \ left \ {\ frac {x} {y} \, \ middle | \, x \ in \ mathbb {Z}, y \ in \ mathbb {N} \ right \ } $

Функциональные символы

Как основополагающий компонент алгебры, функция играет ключевую роль в установлении правил, относящихся к манипулированию символами. {- 1} ( 5) = 3 $.{+} \ substeq T $.

Операторы

В алгебре операторы могут рассматриваться как особый тип функции, отображающей один или несколько математических объектов в другой, и часто получают специальные имена или обозначения из-за их повторения.

В частности, эти операторы часто связаны с числами , , ключевыми функциями , , линейной алгеброй , и абстрактной алгеброй , – подавляющее большинство из которых можно найти в таблицах ниже.Общие операторы см. В разделе Общие операторы.

Операторы, связанные с числами

$
Имя символа Пояснение Пример
$ \ gcd (x, y) $ Наибольший общий делитель $ x $ и $ y $ $ \ gcd (20, 15) = 5 $
$ \ mathrm {lcm} (x, y) $ Наименьшее общее кратное для $ x $ и $ y $ $ \ mathrm {lcm } (x, y) = \ dfrac {xy} {\ gcd (x, y)} $
$ x \ bmod y $ Остаток от $ x $ при делении на $ y $ $ 23 \ bmod 4 = 3 $
$ | x | Абсолютное значение из $ x $ | -5 | = | 5 | = 5 $
$ \ lfloor x \ rfloor $ Этаж $ x $ \ lfloor 5.999 \ rfloor = 5 $
$ \ lceil x \ rceil $ Потолок из $ x $ Для всех $ x \ in \ mathbb {R} $, $ \ lceil x \ rceil-1 < x \ le \ lceil x \ rceil $.
$ \ lfloor x \ rceil $, $ \ mathrm {round} (x) $ Ближайшее целое число из $ x $ $ \ mathrm {round} (3.5) = 4 $
$ \ max (A) $ Максимум из набора $ A $ $ \ max \ left (\ {3, 11, 5 \} \ right) = 11 $
$ \ min (A) $ Минимум набора $ A $ Для всех $ x \ in A $, $ \ min (A) \ le x $.y $
$ \ ln x $ Натуральная логарифмическая функция $ \ ln 10 = \ ln 2 + \ ln 5 $
$ \ log x $ Общая логарифмическая функция $ \ log 1000000 = 6 $
$ \ log_b x $ Логарифмическая функция по основанию $ b $ $ \ log_ {11} 23 = \ dfrac {\ ln 23} {\ ln 11} $
$ \ sin x $, $ \ cos x $, $ \ tan x $, $ \ sec x $, $ \ csc x $, $ \ cot x $ 6 тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс, котангенс) $ \ csc x = \ dfrac {1} {\ sin x} $
$ \ arcsin (x) $, $ \ sin ^ {- 1} (x ) $, $ \ arccos (x) $, $ \ cos ^ {- 1} (x) $, $ \ arctan (x) $, $ \ tan ^ {- 1} (x) $ Обратные тригонометрические функции (обратный синус, обратный косинус, арктангенс) $ \ arcsin (-1) = – \ dfrac {\ pi} {2} $
$ \ sinh x, \ cosh x $,
$ \ tanh х, \ mathrm {sech} \, х $, $ \ mathrm {csc h} \, x, \ coth x $
6 гиперболические функции $ \ sinh x = \ dfrac {e ^ xe ^ {- x}} {2} $
$ \ mathrm {arcsinh} (x) $, $ \ sinh ^ {- 1} (x) $, $ \ mathrm {arccosh} \, (x) $, $ \ cosh ^ {- 1} (x) $, $ \ mathrm {arctanh} (x) $, $ \ tanh ^ {- 1} (x) $ Обратные гиперболические функции $ \ mathrm {arccosh} \, (1) = 0 $
$ \ pi (x) $ Функция подсчета простых чисел $ \ pi (11) = 5 $
$ \ phi (x) $ Тотент-функция Эйлера $ \ phi (15) = \ phi ( 5) \ cdot \ phi (3) $
$ \ omega (x) $ Простая омега-функция Поскольку $ 60 = 2 ^ 2 \ cdot 3 \ cdot 5 $, $ \ omega (60) = 3 $.
$ \ mathrm {id} _A (x) $ Функция идентификации на множестве $ A $ Для всех наборов $ A $, $ \ mathrm {id} _A $ взаимно однозначно и дальше.
$ \ mathbf {1} _A (x) $, $ \ chi_A (x) $ Индикаторная / характеристическая функция набора $ A $ $ \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q }} (x) = \\ \ begin {cases} 1 & x \ in \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ notin \ mathbb {Q} \ end {cases} $
$ \ delta_ {ij } $ Дельта-функция Кронекера Для каждой единичной матрицы $ I $, $ I_ {ij} = \ delta_ {ij} $.

Операторы, связанные с комплексными числами

Имя символа Объяснение Пример
$ \ bar {z} $ Сопряжение $ z $ 900 \ overline {5 + 6i} = \\ 5-6i $
$ \ Re (z) $ Действительная часть комплексного числа $ z $ $ \ Re (z) \ in \ mathbb { R} $
$ \ Im (z) $ Мнимая часть комплексного числа $ z $ $ \ Im (\ bar {z}) = – \ Im (z) $
$ | z | $ Абсолютное значение комплексного числа $ z $ $ | z | ^ 2 = z \ bar {z} $
$ \ arg (z) $ Аргументы из комплексное число $ z $ $ \ dfrac {\ pi} {4} \ in \ arg \ left (1 + 1i \ right) $
$ \ mathrm {cis} (\ theta) $ Cis обозначение
(Сокращение для $ \ cos \ theta + i \ sin \ theta $)
По формуле Эйлера $ \ mathrm {cis} (\ pi) = e ^ {\ pi i} $

Операторы в линейной алгебре

Векторные операторы
Символ Имя Пояснение Пример
$ – \ mathbf {v} $ Аддитивная инверсия вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {v} + (- \ mathbb { v}) = \ mathbf {0} $
$ k \ mathbf {v} $ Скалярное произведение вектора $ \ mathbf {v} $ на скаляр $ k $ $ (- 1) \ mathbf {v} = – \ mathbf {v} $
$ \ mathbf {u} + \ mathbf {v} $ Сумма векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {u} + \ mathbf {0} = \ mathbf {u} $
$ \ mathbf {u} – \ mathbf {v} $ Разница векторов $ \ mathbf { u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ (5, 7, 1) – (3, 2, 5) = $
$ (2, 5, -4) $
$ \ mat hbf {u} \ cdot \ mathbf {v} $ Точечное произведение векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ (5 \ mathbf {u}) \ cdot (7 \ mathbf {v}) = 35 (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) $
$ \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} $ Перекрестное произведение векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} = \, – (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) $
$ \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} $ Произведение клина векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} = \, – (\ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {u}) $
$ \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle $ Внутренний продукт векторов $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ В евклидовом пространстве $ \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} $
$ \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} $ Внешний продукт vect ors $ \ mathbf {u} $ и $ \ mathbf {v} $ $ (1, 2) \ otimes (3, 4) = $
$ \ begin {pmatrix} 1 \ cdot 3 & 1 \ cdot 4 \ \ 2 \ cdot 3 & 2 \ cdot 4 \ end {pmatrix} $
$ \ | \ mathbf {v} \ | $ Норма вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ | к \ mathbf {v} \ | = | k | \ | \ mathbf {v} \ | $
$ \ | \ mathbf {v} \ | _p $ P-норма вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ | \ mathbf {v} \ | _1 = $
$ | v_1 | + \ cdots + | v_n | $
$ \ hat {\ mathbf {v}} $ Единичный вектор в направлении вектора $ \ mathbf {v} $ $ \ hat {\ mathbf {v}} = \ dfrac {\ mathbf {v}} {\ | \ mathbf {v} \ |} $
$ \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} $ Проекция вектора $ \ mathbf {v} $ на вектор $ \ mathbf {u} $ $ \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} = \ dfrac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} \, \ mathbf {u} $
$ \ mathrm {oproj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} $ Ортогональная проекция вектора $ \ mathbf {v} $ на вектор $ \ mathbf {u} $ $ \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} + \ mathrm {oproj} _ {\ mathbf {u}} \ mathbf {v} = \ mathbf {v} $
Операторы, связанные с матрицей
Имя символа Пояснение Пример
$ -A $ Добавить к матрица $ A $ $ -A + A = O $
$ kA $ Скалярное произведение матрицы $ A $ на скаляр $ k $ $ 5 (3B) = (5 \ cdot 3) 900 бразильских долларов 13 90 010
$ A + B $ Сумма матриц $ A $ и $ B $ $ A + B = B + A $
$ AB $ Разница матриц $ A $ и $ B $ $ \ begin {pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \ end {pmatrix} – \ begin {pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \ end {pmatrix} = $ $ \ begin { pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -3 \ end {pmatrix} $
$ AB $ Произведение матриц $ A $ и $ B $ $ (AB) _ {ij} = ( i \ mathrm {th \ row \ of \} A) $ $ \ cdot \, (j \ mathrm {th \ column \ of \} B) $
$ A \ circ B $, $ A \ odot B $ Начальное произведение Адамара матриц $ A $ и $ B $ В отличие от стандартных матричных произведений $ A \ circ B = B \ circ A $. 2 $
$ \ dim (V) $ Размер 901 82 векторного пространства $ V $ $ \ dim (W) \ le \ dim (V) $
$ W_1 + W_2 $ Сумма подпространств $ W_1 $ и $ W_2 $ Для всех $ \ mathbf {w_1} \ in W_1 $ и $ \ mathbf {w_2} \ in W_2 $, $ \ mathbf {w} _1 + \ mathbf {w} _2 $
$ \ in W_1 + W_2 $.
$ W_1 \ oplus W_2 $ Прямая сумма подпространств $ W_1 $ и $ W_2 $ Если $ W_1 + W_2 = V $ и $ W_1 \ cap W_2 = \ {\ mathbf {0} \ } $, тогда $ W_1 \ oplus W_2 = V $.
$ V_1 \ times V_2 $ Прямое произведение векторных пространств $ V_1 $ и $ V_2 $ Если $ \ mathbf {v_1} \ in V_1 $ и $ \ mathbf {v} _2 \ in V_2 $, затем $ (\ mathbf {v} _1, \ mathbf {v} _2) \ in V_1 \ times V_2 $.
$ V_1 \ otimes V_2 $ Тензорное произведение векторных пространств $ V_1 $ и $ V_2 $ $ \ dim (V_1 \ otimes V_2) = $
$ \ dim (V_1) \ times \\ \ dim (V_2) $
$ V / W $ Факторное пространство векторного пространства $ V $ над подпространством $ W $ $ V / W $ содержит классы эквивалентности $ [\ mathbf {v} ] \ doteq \ {\ mathbf {v} + \ mathbf {w} \, \ mid $
$ \ mathbf {w} \ in W \} $.{\! *}) = \ dim (V) $

Операторы в абстрактной алгебре

Имя символа Пояснение Пример
$ [a] $ Эквивалентность класс элемента $ a $ In $ \ mathbb {Z} _5 $, $ [2] = $
$ \ {2 + 5m \ mid m \ in \ mathbb {Z} \} $.
$ \ deg (p (x)) $ Степень полинома $ p (x) $ $ \ deg (p (x) q (x)) = $
$ \ deg (p (x)) + \ deg (q (x)) $
$ \ langle S \ rangle $ Подгруппа , порожденная элементами множества $ S $ Если $ G = \ langle S \ rangle $ , то $ S $ является генератором $ G $.
$ H_1 \ oplus H_2 $ Прямая сумма подгрупп $ H_1 $ и $ H_2 $ $ G = H_1 \ oplus H_2 $
$ G_1 \ times G_2 $ Прямое произведение групп $ G_1 $ и $ G_2 $ $ (e_ {G_1}, e_ {G_2}) \ in \\ G_1 \ times G_2 $
$ ST $ Произведение подмножеств групп $ S $ и $ T $ Если $ S, T \ substeq G $, то $ ST $
$ = \ {st \ mid s \ in S \ land t \ in T \}. $
$ N \ rtimes H $ Полупрямое произведение подгрупп $ N $ и $ H $ $ G = N \ rtimes H $
$ G_1 \ wr G_2 $ Сплетение групп $ G_1 $ и $ G_2 $ $ \ mathbb {Z} _2 \ wr \ mathbb {Z} $
$ G / N $ Факторная группа группы $ G $ над подгруппой $ N $ $ \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} = \\ \ {[0], [1], [2] \} $
$ R / I $ 9001 3 Фактор-кольцо кольца $ R $ над идеалом $ I $ Существует естественный гомоморфизм из $ R $ в $ R / I $.c) = \ {-1, 1 \} $
$ \ overline {\ mathbb {F}} $ Алгебраическое замыкание поля $ \ mathbb {F} $ $ \ overline {\ mathbb {R}} = \ mathbb {C} $

Символы отношения

В алгебре символ отношения используется для выражения отношения между двумя математическими объектами и часто связан с такими понятиями, как равенство, сравнение, делимость и другие отношения высшего порядка. 2 $

Сравнительные символы отношений

Название символа Пояснение Пример
$ x $ x $ на меньше, чем $ y $ $ 2 \ pi <6.4)} \ gg 1000000 $
$ x \ prec y $ $ x $ предшествует $ y $ Если $ x \ prec y $ и $ y \ prec z $, то $ x \ prec z $.
$ x \ prevq y $ $ x $ предшествует или равно $ y $ $ (u_1, u_2) \ prevq (v_1, v_2) $ тогда и только тогда, когда $ u_1 \ le v_1 $ и $ u_2 \ le v_2 $.
$ x \ succ y $ $ x $ успешно $ y $ $ x \ succ y \ iff y \ prec x $
$ x \ successq y $ $ x $ преуспевает или равно $ y $ $ f \ successq g $ тогда и только тогда, когда $ f (x) \ ge g (x) $ для всех $ x \ in \ mathbb {R} $.

Числовые символы отношения

Имя символа Пояснение Пример
$ m \ mid n $ Целое число $ m $ делит целое число $ n $ 11 \ mid 121 $
$ m \ nmid n $ Целое число $ m $ не делит целое число $ n $ $ 34 \ nmid 90 $
$ m \ perp n $ Целые числа $ m $ и $ n $ взаимно просты Если $ n \ mid pq $ и $ n \ perp p $, то $ n \ mid q $.4 $

Главный список символов см. В разделе «Математические символы». Списки символов, разделенных на категории тип и предмет , см. На соответствующих страницах ниже.

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите общее резюме математических символов в форме электронной книги – вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Дополнительные ресурсы

Темы по алгебре: чтение алгебраических выражений

Урок 5: Чтение алгебраических выражений

/ ru / algebra-themes / reverse-and-inverse-numbers / content /

Введение

Если вы новичок в алгебре или не задумывались над ней некоторое время, первое, что вы можете заметить, это то, что задачи алгебры немного отличаются от простых арифметических задач.Возьмем, например, выражение ниже:

x + 4x ⋅ 2 2 – (3 / x)

Это не так уж сложно решить, если вы знаете, как это сделать, но оно включает в себя несколько символов, которые являются общими в алгебре, но не в более базовой математике. То, как вы пишете алгебраические выражения, называется алгебраической нотацией . Хотя сначала это может показаться сложным, алгебраические обозначения не так уж и сложны.

Алгебраическая нотация включает пять основных компонентов: переменную , коэффициенты , операторы , показатель степени и круглые скобки .Вы можете увидеть все пять из них в приведенном ниже выражении:

Мы рассмотрим их один за другим.

Переменные

Переменная – это буква, которая используется для представления числа . Например, в этой задаче переменная x представляет собой неизвестное число, которое будет равно 5 при добавлении к 2 .

2 + х = 5

Другими словами, это выражение задает вопрос: «Какое число вы можете добавить к 2 , чтобы получить 5 ?» Мы написали x , потому что сначала не знали, какое это число, но мы можем его вычислить.Поскольку мы знаем, что 2 + 3 = 5 , наша переменная должна быть равна 3 . Другими словами, x = 3 .

Хотя это была простая задача сложения, тот факт, что она включала переменную, превратил ее в проблему алгебры. Фактически, поиск значения неизвестного числа часто является целью алгебры.

В то время как x является наиболее часто используемой переменной, любая буква может быть переменной. Задача алгебры может иметь одну или несколько переменных.Если переменная используется более одного раза в одной и той же задаче, каждый раз она будет иметь одно и то же число. Возьмите это уравнение:

х + х + у = 20

Каждое значение x в этом выражении равно одной и той же сумме. Другая переменная, y , может иметь другую величину.

Тот факт, что вы нашли значение переменной в одной задаче, не означает, что переменная будет иметь то же значение в другой задаче. Например, хотя x было равно 3 в нашей первой задаче, оно не обязательно равно 3 в любом другом выражении.

Коэффициенты

Иногда вы видите переменную с другим числом перед ней, например:

2x

В этом примере 2 – это коэффициент . Коэффициенты – это способ сгруппировать переменных. Например, 2 x – это еще один способ записи x + x . Не могли бы вы использовать коэффициенты, чтобы переписать это выражение?

х + х + х + х + у + у + у

Поскольку существует четыре x и три y , вы можете записать это как 4 x + 3 y .Не зная, чему равны x и y , мы не можем упростить его еще больше, но читать его намного проще:

4x + 3 года

Вам может быть интересно, почему мы не можем еще больше упростить это до 7xy. Это потому, что вы можете только складывать или вычитать переменные, которые являются тем же – поэтому вы можете складывать x + x или y + y , но никогда не x + y .Для получения дополнительной информации о добавлении и вычитании переменных ознакомьтесь с нашим уроком «Упрощение выражений».

Операторы

Операторы – это символы, которые говорят нам, что делать в математических задачах. Вы их всех уже видели:

+ – ÷ х

Эти символы позволяют узнать, как вычислить выражение – например, когда вы видите знак плюс , вы знаете, что нужно сложить два числа, а когда вы видите знак минус , вы умеете вычитать. Знаки плюс и минус в алгебре одинаковы, но умножение и деление могут быть записаны немного по-другому.

Умножение

В арифметике умножение обычно записывается так:

2 х 6

Однако в алгебре символ умножения пишется немного иначе. Это потому, что x похоже на переменную x . По этой причине многие люди используют этот символ точка , чтобы показать умножение: ⋅ (это то, что вы увидите в наших уроках). В алгебре задача умножения записывается так:

2 ⋅ 6

Есть еще несколько способов показать умножение в алгебре.Как вы видели, когда мы умножали коэффициенты, вы можете просто написать переменные рядом друг с другом, чтобы умножить их. Если вы хотите умножить x и y , вы можете просто написать xy .

xy

Дивизия

Есть несколько способов показать деление в алгебре. Вы, вероятно, наиболее знакомы с задачами деления, которые выглядят так:

4 ÷ 2

Вы увидите, что деление в алгебре записано таким образом. Однако вы также увидите, что это написано так (особенно на наших уроках):

4/2

Если вы разделяете группы чисел, вы также можете отобразить деление горизонтальной линией.Например, посмотрите на эту задачу:

Здесь все, что находится над линией, делится на все, что находится под ней, поэтому вы разделите 3 x – 12 y + 18 на 3.

Другие части алгебраических выражений

Круглые скобки

Вы, вероятно, привыкли использовать круглые скобки в письменной форме, чаще всего с несущественной частью предложения (хотя они также могут использоваться для других целей). В алгебре круглые скобки используются немного иначе.Скобки используются для группировки частей алгебраического выражения. Когда вы видите часть задачи по алгебре, заключенную в круглые скобки, вам нужно решить эту часть, прежде чем приступать к остальной части задачи.

7 + (40 / x) = 15

В этой задаче вы должны сначала решить все, что указано в скобках; тогда вы решите все остальное.

Интересно, почему вы сначала решаете часть в скобках? Ознакомьтесь с нашим уроком о порядке работы.

Что произойдет, если два набора скобок расположены рядом друг с другом без каких-либо операторов между ними?

(3) (5)

Если вы вспомнили, что две переменные рядом друг с другом равны , умноженному на , вы могли бы предположить, что вы бы умножили на два набора скобок рядом.Таким образом, (3) (5) равно 3 ⋅ 5 , что равно 15.

Экспоненты

Показатели – это числа, которые были умножены сами на себя. Например, давайте посмотрим на показатель степени 10 3 .

10 3

10 3 – это просто еще один способ сказать, что 10 было умножено само на себя 3 раза. Другими словами, это 10 ⋅ 10 ⋅ 10. Вы можете узнать больше в нашем уроке экспонентов.

/ ru / algebra-themes / написание-алгебраических-выражений / содержание /

Общие символы в алгебре: значения и приложения

Символы равенства

Большинство из вас, вероятно, знакомы с основным знаком равенства, который означает «то же, что и»: =.

Например, 3 x – 2 = 4 означает, что трижды неизвестный минус 2 совпадает с 4.

Знак равенства важен, потому что он формирует точку равновесия или опору уравнения. Какую бы математическую операцию вы ни выполняли над уравнением, вы должны выполнять и другую сторону.

При решении алгебраических уравнений вы также встретите измененный знак равенства с тремя полосами:

В алгебре символ измененной эквивалентности означает: «идентично» или «равно по определению».Другой символ, который указывает, что число или количество почти равно другому числу или количеству:

Как здесь используется, волнистые линии указывают на то, что числа по обе стороны от знака равенства близки, но не совпадают друг с другом. Итак, если вы хотите найти значение квадратного корня из 2 = 1,41421356…, вы бы сказали, что квадратный корень из 2 составляет примерно 1,4. При работе с приближениями лучше всего использовать этот символ эквивалентности.

Символы неравенства

Мы используем символ неравенства , когда решение имеет диапазон ответов. Например, разница между x = 4 и x > 4 заключается в том, что x > 4 обозначает все числа от 4 до бесконечности, а x = 4 относится только к числу 4.

Символы неравенства читаются слева направо. Когда меньшая сторона появляется первой, это символ меньше, чем . Когда большая сторона появляется первой, это символ больше, чем .Например, вы должны использовать

Давайте посмотрим на другой пример. Если у вас есть бизнес и вы хотите работать не более 50 часов в неделю, вы должны использовать символ «меньше или равно» и записать его так:

Символы организации

Скобки, скобки и фигурные скобки помогают упорядочить алгебраические уравнения и показывают, какую операцию выполнить в первую очередь.Помните, что в алгебре мы начинаем решать задачи изнутри, начиная с круглых скобок, а затем переходя к скобкам и фигурным скобкам. Давайте использовать порядок операций, чтобы упростить это уравнение:

3 {5 (2-3) (4 + 1) – (6-7)} + 3: Сначала выполните вычисления, указанные в скобках.

3 {5 (-1) (5) – (-1)} + 3: умножьте числа в скобках или 5 (-1).

3 {5-5 + 1} + 3: сложите числа в скобках или 5 + 1.

3 {5} + 3: умножьте числа в скобках или 5 * (- 4).

3 {-20} + 3: умножить 3 на -20.

-60 + 3: сложите оставшиеся числа.

-57: Решение

Факториалы

Факториалы отлично экономят время в алгебре и обозначаются восклицательным знаком (!). Факториал символ говорит вам, что умножение производится на последовательную серию убывающих чисел. Например, 5 !, или «пять факториалов», означает 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Вот и все! Просто возьмите данное число и умножьте на все последовательные натуральные числа меньшего значения, пока не дойдете до 1.

Греческие буквы в алгебре

Греческие буквы часто используются в алгебре для обозначения определенных операций или понятий. Первый, sigma , выглядит как негабаритная буква «E» нечетной формы и представляет собой сложение ряда чисел, как показано ниже.

Символ сигмы – это всего лишь краткий способ сказать: «Давайте умножим все числа от 1 до 5 на 3, а затем сложим их вместе». Давайте воспользуемся символом сигмы, чтобы решить это уравнение:

Символ дельты используется для поиска изменения или разницы в двух переменных.

Например, формула наклона или (y-y) / (x-x) также может быть записана как:

Число Эйлера

Число Эйлера – иррациональное число, выражаемое как: e = 2,7182818…

Число Эйлера можно использовать всякий раз, когда речь идет об экспоненциальном росте или убывании. Например, если вы хотите рассчитать популяцию бактерий, вы должны использовать следующую формулу:

Резюме урока

Одним из наиболее распространенных алгебраических символов является использование x , y или другой буквы алфавита для обозначения переменной или неизвестной величины.Общие символы, используемые в алгебре, также включают символы, относящиеся к равенству, неравенству, факториалам и организации, такие как фигурные скобки, скобки и круглые скобки. Греческие буквы, такие как дельта и сигма , полезны при работе с конкретными математическими идеями или операциями, а число Эйлера помогает решать проблемы, связанные с экспоненциальным ростом или убыванием. Ниже приведена таблица, в которой обобщены наиболее часто используемые символы в алгебре.

Алгебра

Поделитесь этой страницей!

Алгебра – это использование картинок или букв для обозначения чисел.Речь идет об установлении взаимосвязи между разными числами.

Например, если N представляет собой число, тогда N + 9 – это число, которое на 9 больше, чем N.

Итак, если N представляет собой число 3, то N + 9 – это число 12.

Если N представляет собой число 7, тогда N + 9 – это число 16.

Вот два важных термина, которые вы должны понять: Алгебраическое выражение, и Алгебраическое уравнение.

В предыдущем примере N + 9 называется алгебраическим выражением, потому что N может представлять любое число .


Если мы запишем это так: N + 9 = 12, мы запишем алгебраическое уравнение.

В уравнении N представляет собой конкретное число , а не любое число.

N + 9 = 12 означает, что N – это число, которое при добавлении к 9 должно дать ответ 12.

Таким образом, N может быть только числом 3 , потому что только 3 + 9 равно 12.

An алгебраическое выражение говорит нам о взаимосвязи между числами.

Алгебраическое уравнение сообщает нам конкретное число, которое дает определенный результат.

Перейти к примеру.

Работа с алгеброй

Поскольку буквы, используемые в алгебре, являются числами, мы можем работать с ними так же, как мы работаем с числами.

Пример: M + M = 2M или 1M + 1M = 2M

Это означает, что добавленное к самому себе число дает ответ, который вдвое превышает число.

Если вы не уверены, просто замените действительные числа как M:

2 + 2 = 4 [M равно 2, а 4 – дважды 2]

3 + 3 = 6 [M равно 3, а 6 – дважды из 3]

Неважно, какое число вы выбрали для M, результат все равно будет вдвое больше этого числа.

Таким образом, 2M означает 2 группы M.

2 группы M также могут означать 2 x M. Таким образом, 2 x M = 2M также верно.

Аналогично, 5 x H = 5H, и так далее.

Просто убедитесь, что в алгебре используется та же буква.

Таким образом: R + R + 3R = 5R верно

, но R + T = 2RT неверно, потому что R и T представляют два разных числа.

Дополнительные примеры:

4S – S = 3S

5 x T = 5T

4N + N – 3N = 2N

При работе с алгеброй и числами мы должны решать их отдельно.

Пример 1

2 + N + 2 + 4N

= 2 + 2 + N + 4N

= 4 + 5N

Пример 2

5 – A – 3 + 2A

= 5-3 + 2А – А

= 2 + А

Помните, что при работе с алгеброй применяются обычные Правила операций.

Карты с заданиями по алгебре


Попробуйте эти вопросы по алгебре.

Перейти к отрицательным числам.

Что такое алгебра? | История алгебры

Алгебра – это раздел математики, имеющий дело с символами и правилами манипулирования этими символами.В элементарной алгебре эти символы (сегодня они пишутся латинскими и греческими буквами) представляют величины без фиксированных значений, известные как переменные. Подобно тому, как предложения описывают отношения между конкретными словами, в алгебре уравнения описывают отношения между переменными. Возьмем следующий пример:

У меня есть два поля общей площадью 1800 квадратных ярдов. Урожайность на каждом поле составляет галлона зерна с квадратного ярда и ½ галлона с квадратного ярда. Первое поле дало на 500 галлонов больше, чем второе.Каковы площади каждого поля?

Распространено мнение, что такие задачи были изобретены, чтобы мучить студентов, и это может быть недалеко от истины. Эта задача почти наверняка была написана, чтобы помочь учащимся понять математику, но что в ней особенного, так это то, что ей почти 4000 лет! Согласно Жаку Сезиано в «Введение в историю алгебры» (AMS, 2009), эта проблема основана на вавилонской глиняной табличке около 1800 г. до н. Э. (НДС 8389, Музей Древнего Ближнего Востока).Начиная с древней Месопотамии, алгебра играет центральную роль во многих достижениях науки, техники и цивилизации в целом. Язык алгебры значительно изменился на протяжении истории всех цивилизаций, чтобы унаследовать его (включая нашу собственную). Сегодня мы запишем задачу так:

x + y = 1,800

⅔ ∙ x – ½ ∙ y = 500

Буквы x и y обозначают площади полей. Первое уравнение понимается просто как «сложение двух областей дает общую площадь 1800 квадратных ярдов.«Второе уравнение более тонкое. Так как x – это площадь первого поля, а урожайность первого поля составляла две трети галлона на квадратный ярд», ⅔ ∙ x – означает «две трети, умноженные на x» – представляет собой общее количество зерна, произведенное на первом поле. Точно так же “½ ∙ y” представляет общее количество зерна, произведенное на втором поле. Поскольку первое поле дало на 500 галлонов зерна больше, чем второе, разница (следовательно, вычитание) между зерном первого поля (⅔ ∙ x) и зерном второго поля (½ ∙ y) составляет (=) 500 галлонов.

Выскакивает ответ

Конечно, сила алгебры не в кодировании утверждений о физическом мире. Компьютерный ученый и писатель Марк Джейсон Доминус пишет в своем блоге «Вселенная дискурса»: «На первом этапе вы переводите проблему в алгебру, а затем на втором этапе вы почти механически манипулируете символами, пока не появится ответ, как если бы по волшебству “. Хотя эти правила манипуляции основаны на математических принципах, новизна и непоследовательность «поворота рукоятки» или «затыкания и пыхтения» была замечена как многими студентами, так и профессионалами.

Здесь мы решим эту проблему, используя методы, которым их учат сегодня. И как отказ от ответственности, читателю не нужно понимать каждый конкретный шаг, чтобы понять важность этой общей техники. Я намерен сделать так, чтобы историческое значение и тот факт, что мы можем решить проблему без каких-либо предположений, вдохновят неопытных читателей узнать об этих шагах более подробно. Вот снова первое уравнение:

x + y = 1,800

Мы решаем это уравнение относительно y, вычитая x из с каждой стороны уравнения :

y = 1,800 – x

Теперь мы вводим второе уравнение:

⅔ ∙ x – ½ ∙ y = 500

Поскольку мы обнаружили, что «1,800 – x» равно y, оно может быть заменено во второе уравнение:

⅔ ∙ x – ½ ∙ (1,800 – x) = 500

Затем распределяет отрицательную половину (–½) по выражению «1,800 – x»:

⅔ ∙ x + (–½ ∙ 1,800) + (–½ ∙ –x) = 500

Этот упрощает до:

⅔ ∙ x – 900 + ½ ∙ x = 500

Сложите две доли x вместе и прибавьте 900 к с каждой стороны уравнения :

(7/6) ∙ x = 1,400

Теперь разделите каждую часть уравнения на 7/6:

x = 1,200

Таким образом, первое поле имеет площадь 1200 квадратных ярдов.Это значение может быть заменено на в первом уравнении для определения y:

(1,200) + y = 1,800

Вычтем 1,200 из с каждой стороны уравнения , чтобы найти y:

y = 600

Таким образом, второе поле имеет площадь 600 квадратных ярдов.

Обратите внимание, как часто мы используем технику выполнения операций с каждой стороной уравнения . Эту практику лучше всего понимать как визуализацию уравнения в виде шкалы с известным весом с одной стороны и неизвестным весом с другой.Если мы добавляем или вычитаем одинаковое количество веса с каждой стороны, весы остаются сбалансированными. Точно так же весы остаются сбалансированными, если мы умножаем или делим веса поровну.

Хотя техника сбалансирования уравнений почти наверняка использовалась всеми цивилизациями для развития алгебры, использование ее для решения этой древней вавилонской проблемы (как показано выше) является анахронизмом, поскольку этот метод был центральным в алгебре только последние 1200 лет.

До средневековья

Алгебраическое мышление претерпело существенную реформу после развития ученых Золотого века ислама.До этого момента цивилизации, унаследовавшие вавилонскую математику, практиковали алгебру, используя все более сложные «процедурные методы». Далее Сесиано поясняет: «Студенту нужно было запомнить небольшое количество [математических] отождествлений, и искусство решения этих задач заключалось в преобразовании каждой проблемы в стандартную форму и вычислении решения». (Кстати, ученые из Древней Греции и Индии действительно практиковали символический язык, чтобы узнать о теории чисел.)

Индийский математик и астроном Арьябхата (А.D. 476-550), написал одну из самых ранних известных книг по математике и астрономии, которую современные ученые называют «Арьябхатия». (Арьябхата сам не назвал свою работу.) По данным Университета Сент-Эндрюс, Шотландия, работа представляет собой «небольшой астрономический трактат, состоящий из 118 стихов, дающий краткое изложение индуистской математики того времени».

Вот образец письма Арьябхаты на санскрите. Это стих 2.24, «Количества из их различия и произведения»:

Арьябхатия, стих 2.24: «Количества из их разницы и продукта». Санскрит, пальмовый лист, 499 г. н.э. (Изображение предоставлено Робертом Кулманом)

Согласно Крипе Шанкару Шукле в «Арьябхатия Арьябхата» (Индийская национальная академия наук Нью-Дели, 1976), этот стих примерно переводится как:

2.24: To Определите две величины из их разницы и произведения, умножьте произведение на четыре, затем сложите квадрат разницы и извлеките квадратный корень. Запишите этот результат в два слота. Увеличьте первый слот на разницу и уменьшите второй на разницу.Разрежьте каждую прорезь пополам, чтобы получить значения двух величин.

В современных алгебраических обозначениях мы записываем разницу и произведение следующим образом:

x – y = A (разница)

x ∙ y = B (product)

Затем процедура записывается следующим образом:

x = [√ (4 ∙ B + A 2 ) + A] / 2

y = [√ (4 ∙ B + A 2 ) – A] / 2

Это вариант формулы квадратов. Подобные процедуры появились еще в Вавилонии и представляли состояние алгебры (и ее тесные связи с астрономией) на протяжении более 3500 лет во многих цивилизациях: ассирийцы, в 10 веке до нашей эры.C .; Халдеи в седьмом веке до нашей эры; Персы в шестом веке до нашей эры; Греки, в четвертом веке до нашей эры; Римляне в первом веке нашей эры; и индейцы, в пятом веке нашей эры

Хотя такие процедуры почти наверняка возникли в геометрии, важно отметить, что оригинальные тексты каждой цивилизации абсолютно ничего не говорят о том, как такие процедуры были определены , и не было предпринято никаких усилий, чтобы показать доказательство их правильности.Письменные записи, посвященные этим проблемам, впервые появились в средние века.

Юность алгебры

Золотой век ислама, период с середины седьмого до середины 13 века, ознаменовал распространение греческой и индийской математики в мусульманском мире. В 820 году нашей эры Аль-Хваризми, преподаватель Багдадского Дома Мудрости, опубликовал «Аль-джабр ва’л мукабала», или «Сборную книгу по расчетам путем завершения и уравновешивания». От слова «аль-джабр» происходит слово «алгебра».Аль-Хваризми также разработал быстрые методы умножения и деления чисел, известные как алгоритмы – искажение его имени. Он также предложил использовать маленький кружок в вычислениях, если в разряде десятков нет числа, – таким образом изобрел 0.

Впервые с момента своего создания практика алгебры сместила акцент с , применяя процедурных методов, в сторону средств доказательства и вывода таких методов с использованием геометрии и техники выполнения операций с каждой стороны уравнение.Согласно Карлу Б. Бойеру в “Истории математики, 3-е изд.” (2011, Wiley) Аль-Хваризми счел «необходимым, чтобы мы геометрически продемонстрировали истинность тех же проблем, которые мы объяснили в числах».

Средневековые мусульманские ученые записывали уравнения в виде предложений в соответствии с традицией, ныне известной как риторическая алгебра. В течение следующих 800 лет алгебра развивалась по спектру риторического и символического языка, известному как синкопированная алгебра. Общеевразийское наследие знаний, включая математику, астрономию и навигацию, проникло в Европу между 11 годами и 13 годами веков, в основном через Пиренейский полуостров, который был известен арабам как Аль-Андалус.Конкретными точками передачи в Европу были завоевание Толедо испанскими христианами в 1085 году, повторное владение Сицилией в 1091 году норманнами (после исламского завоевания в 965 году) и битвы крестоносцев в Леванте с 1096 по 1303 год. христианских ученых, таких как Константин Африканский (1017–1087), Аделард Батский (1080–1152) и Леонардо Фибоначчи (1170–1250), путешествовали по мусульманским землям, чтобы изучать науки.

Созревание

Полностью символическая алгебра – как показано в начале статьи – не будет узнаваема до научной революции.Рене Декарт (1596–1650) использовал алгебру, которую мы узнали бы сегодня в его публикации 1637 года «Геометрия», которая впервые применила практику построения графиков алгебраических уравнений. Согласно Леонарду Млодинову в «Окне Евклида» (Free Press, 2002), «геометрические методы Декарта были настолько важны для его понимания, что он написал, что« вся моя физика есть не что иное, как геометрия »». Алгебра отошла от своей процедурной геометрический партнер 800 лет назад, превратившийся в символический язык, прошел полный круг.

Дополнительные ресурсы

Переменные и алгебраические выражения

Переменные и алгебраические выражения

Прежде чем приступить к решению уравнений, вы должны иметь общее представление о переменных, а также о переводе и оценке алгебраических выражений.

Переменные

Переменная – это буква, обозначающая число. Буквы x , y , z , a , b , c , m и n , вероятно, являются наиболее часто используемыми переменными.Буквы e и i имеют специальные значения в алгебре и обычно не используются в качестве переменных. Буква o обычно не используется, поскольку ее можно принять за 0 (ноль).

Алгебраические выражения

Переменные используются для преобразования словесных выражений в алгебраические, то есть выражения, состоящие из букв, обозначающих числа. Ключевые слова, которые могут помочь вам переводить слова в буквы и цифры, включают:

  • Для сложения: сумма, больше, больше, прибавка
  • Для вычитания: минус, меньше, меньше, уменьшение
  • Для умножения: раз, произведение, умноженное на, из
  • Для деления: делить пополам, делить на, соотношение.
Пример 1

Приведите алгебраические выражения для каждого из следующих утверждений.

1. сумма числа и 5

2. число минус 4

3. шесть умноженное на число

4 . x разделить на 7

5. на три больше, чем произведение 2 и 92 247 x 92 248

1. сумма числа и 5: x + 5 или 5 + x

2. число минус 4: x – 4

3.шесть раз число: 6 x

4. x разделить на 7: или

5. на три больше, чем произведение 2 и x : 2 x + 3

Вычисление выражений

Чтобы оценить выражение, просто замените переменные символами группировки, вставьте значения, заданные для переменных, и выполните арифметические действия. Не забудьте соблюдать порядок операций: скобки, показатели степени, умножение / деление, сложение / вычитание.

Пример 2

Оцените каждое из следующих действий.

1. x + 2 y , если x = 2 и y = 5

2. a + bc – 3, если a = 4, b = 5 и c = 6

3. м 2 + 4 n + 1, если м = 3 и n = 2

4.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *