Калькулятор задач по геометрии – Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Геометрия: уроки, тесты, задания.

www.yaklass.ru

Формулы и калькуляторы по геометрии, алгебре, арифметике

Геометрия

Алгебра

Арифметика

Математика является одной из древнейших наук в мире. Что именно изучает эта наука и каково ее отношение к окружающему миру путем лишь перечисления составляющих ее частей, будет далеко не точно. Школьники начальных классов, изучающих арифметику, скажут, что математика изучает числа и правила действий над ними. Школьники старших классов в определение математики включат алгебру, геометрию, изучение функций, переход к пределу, понятия производной и интеграла. Студенты ВУЗов расширят определение математики, добавив сюда теорию вероятностей и теорию множеств, программирование для ЭВМ и дифференциальное исчисление, математическую статистику и математическую логику и т.д. Если другие науки изучают предмет и явления природы, то для математики определяющее значение имеет не материальный предмет, а применяемый метод исследования, структурные свойства исследуемого объекта. Следует однако заметить, что большая часть математических теорий, понятий появилась на основе реальных явлений и процессов.

Арифметика

Следует заметить, что арифметика появилась в древнейшие времена, когда появилась потребность считать предметы, вести счет времени, делить добычу. Если вначале счет велся в пределах единиц, реальная действительность расширила объем чисел до десятков, сотен и т. д., возникла необходимость в сложении, вычитании, делении и умножении чисел. Прошло еще немало времени пока расширилось понятие числа до 0, дробных единиц, отрицательных чисел, появились способы записи чисел и действий над числами. Много времени искусство правильно и быстро осуществлять действия над любыми числами считалось главной задачей арифметики. Сегодня с помощью онлайн калькулятора можно в считанные секунды совершать любые арифметические действия с большими многозначными числами.

Алгебра

Общие действия над разными величинами, решение уравнений, непосредственно связанных с данными действиями, изучает одна из важнейших составных частей математики — алгебра. В своем знаменитом трактате узбекский математик 9-го века Мухаммед ал-Хорезми вывел общие правила, применяемые при решении уравнений 1-й степени, где «аль-джебр» означает перенос членов уравнения со знаком «-» из одной его части в другую, изменив знак на «+». Свое название алгебра получила от слова «аль-джебр», что переводится как «восполнение» и считается одним из приемов преобразования уравнений. Если арифметика изучает свойства и действия только над числами, то алгебра изучает эти же действия и в отношении других математических величин (многочленов, векторов, функций и т. д.), обозначая их буквами и знаками. Алгебра изучает лишь общие свойства величин, независимо от их значений. С помощью онлайн калькулятора вы сможете решать уравнения и системы уравнений любой степени сложности, решать неравенства, системы неравенств, вычислить интегралы, производную функции, предел функции.

Геометрия

Еще одной из важнейших и древнейших математических наук является геометрия, которая изучает пространственные формы, их отношения и их обобщения. Геометрия возникла приблизительно пять тысяч лет назад и была тесно связана с практической деятельностью людей. С древних времен у людей возникла необходимость в измерении расстояния, различных предметов, земельных участков, построек и т. д. В переводе с греческого «геометрия» означает «землемерие». В книге «Начала» древнегреческий ученый Евклид уже в третьем веке до н. э. сумел подытожить накопленные геометрические знания и представил ее полное аксиоматическое изложение. Евклидова геометрия считалась единственно возможной вплоть до 19-го века, пока математиками не было установлено существование различных «геометрий». Современная геометрия дополнилась новыми направлениями, которые сближают ее с теорией чисел или с математическим анализом, или с квантовой физикой. В геометрию входят два больших раздела. Один из них, который изучает фигуры на плоскости (треугольники, прямоугольники, другие четырехугольники и многоугольники, окружности), называется планиметрия. Фигуры в трехмерном пространстве (пирамида, шар, куб, призма, цилиндр и т. д.) изучает стереометрия. Трудно оценить практическое значение геометрии, с которой мы сталкиваемся практически на каждом шагу (строительство, интерьер, дачный участок и т. д).

infofaq.ru

Катеты прямоугольного треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов.
с=√(a^2+b^2 )

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы.
S=ab/2
P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 )

Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1)
tan⁡α=a/b
cot⁡α=a/b

С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов.
α=90°-β

Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2)
cos⁡α=h/b
h=b cos⁡α
cos⁡β=h/a
h=a cos⁡β

Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3)
m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2
m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2

Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4)
l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b)
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7)
M_a=a/2
M_b=b/2
M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6)
r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2

R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2

geleot.ru

Стороны треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Зная стороны треугольника, можно найти все остальные его параметры по выведенным для треугольника формулам, просто подставив их значения. Периметр треугольник будет представлять собой сумму всех его сторон, а площадь выводится по формуле Герона, как квадратный корень из произведения полупериметра на его разность с каждой стороной по очереди, и деленному на два.
P=a+b+c
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)/2)

Все углы в треугольнике, зная стороны, можно найти через теорему косинусов. (рис.75)
cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc

В произвольном треугольнике также есть три медианы m (делящие противоположную сторону пополам), три биссектрисы l (делящие угол пополам) и три высоты h (перпендикуляры из угла к стороне или ее проекции). Все их можно вычислить, имея в распоряжении значения трех сторон.
Формула медианы, которая опущена на сторону c.(рис.75.1)
m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2

Найти медиану, опущенную на сторону a или b, можно заменив необходимые стороны в формуле так, чтобы сторона, поделенная медианой пополам, была со знаком «–».
m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2

Формула биссектрисы, которая выходит из угла γ и опущена на сторону с. (рис.75.2)
l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)

Чтобы найти биссектрисы, которые выходят из двух других углов, нужно преобразовать формулу аналогично формуле медианы, где противоположная сторона со знаком «–».
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)

Формула высоты, которая опущена на сторону a, b или c видоизменяется таким образом, чтобы в знаменателе была нужная сторона.(рис.75.3)
h_a=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/a
h_b=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/b
h_c=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c

Также в любом треугольнике можно провести среднюю линию, которая также как медиана обозначается буквой m, поэтому для их разделения, будем использовать заглавную M для средней линии. Средняя линия параллельна той стороне, которая выбрана основанием треугольника, и равна ее половине. Среди свойств средней линии можно отметить, что боковые стороны она делит на две равные части, поэтому если начертить все три средние линии в треугольнике, то получится еще один треугольник, подобный первому, в два раза меньше. (рис. 75.7)
M_a=a/2
M_b=b/2
M_c=c/2

В каждый треугольник можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Центр вписанной в треугольник окружности будет находиться на пересечении его биссектрис, а радиус будет опущен под прямым углом к любой стороне и его формула выводится также по Герону. (рис.75.5)
r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)

Центр описанной вокруг произвольного треугольника окружности находится на пересечении его медиатрисс (срединных перпендикуляров, радиус опущен в любую вершину или угол, и вычисляется по следующей формуле. (рис.75.6)
R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

geleot.ru