Дидактические материалы по математике 9 класс макарычев: ГДЗ Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева

ГДЗ Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева

Самостоятельная работа 1
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 2
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 3
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 4
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 5
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 6
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 7
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 8
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 9
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 10
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 11
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 12
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 13
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 14
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 15
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 16
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 17
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 18
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 19
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 20
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 21
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 22
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 23
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 24
Вариант 1:

1234

Самостоятельная работа 25
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 26
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 27
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 28
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 29
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 30
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 31
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 32
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 1
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 2
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 3
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 4
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 5
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 6
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 7
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 8
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 9
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 10
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 11
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 12
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 13
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 14
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 15
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 16
Вариант 2:

124567

Самостоятельная работа 17
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 18
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 19
Вариант 2:

12456

Самостоятельная работа 20
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 21
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 22
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 23
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 24
Вариант 2:

1234

Самостоятельная работа 25
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 26
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 27
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 28
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 29
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 30
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 31
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 32
Вариант 2:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 1:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 1:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 2:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 2:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 3:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 3:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 4:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 4:

1234567

Итоговое повторение
Функции:

123456789101112131415161718192021

Итоговое повторение
Уравнения и неравенства с одной переменной:

123456789101112131415161718

Итоговое повторение
Уравнения и неравенства с двумя переменными:

123456789101112

Итоговое повторение
Арифметическая и геометрическая прогрессии:

1234567891011121314

Итоговое повторение
Элементы комбинаторики и теории вероятностей:

12345678910111213141516171819

Весення олимпиада:

12345678

Осенняя олимпиада:

12345678

Итоговый тест
Вариант 1:

123456789101112

Итоговый тест
Вариант 2:

123456789101112

ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре 9 класс Макарычев

Издательство:

Просвещение

Авторы:

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева

ГДЗ и решебник к дидактическим материалам по алгебре за 9 класс, авторов Макарычев, Миндюк, Крайнева 2014. Решение и ответы к контрольным и самостоятельным работам по алгебре за 9 класс.

Дополнительные упражнения для выпускника основной школы – шанс лучше подготовиться к экзаменам. В решебник по алгебре 9 класс (дидактические материалы, авторская разработка Макарычева) включены задания на все темы для более полного их усвоения и тренировки перед испытаниями.

Развернуто-детальные пояснения, включающие основные теоретические знания девятиклассника, помогают понять логику решения уравнений. Анализируя информацию, щедро предоставленную автором, ученик сможет выполнить конкретное задание и приобрести уверенность в своем умении их применять.

• Гдз по Алгебре за 9 класс
  можно найти тут

Самостоятельные работы

Контрольные работы

Итоговое повторение

Уравнения и неравенства с одной переменной

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Итоговый тест

Подпишись на нашу группу

×

ГДЗ к РТ по алгебре за 9 класс

Ответы на задания по алгебре за девятый класс к рабочей тетради Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М.

Дидактические материалы Макарычев, Миндюк, Крайнева:

Задания для школьных олимпиад:
Весенняя олимпиада: 12345678
Осенняя олимпиада: 12345678

Итоговое повторение по темам:
Арифметическая и геометрическая прогрессии: 123456789101112131415
Уравнения и неравенства с двумя переменными: 123456789101112
Уравнения и неравенства с одной переменной: 123456789101112131415161718
Функции: 123456789101112131415161718192021
Элементы комбинаторики и теории вероятностей: 12345678910111213141516171819

Итоговый тест: Вариант 1Вариант 2

Контрольные работы:
К-1:
Вариант 1: 12345
Вариант 2: 12345
Вариант 3: 12345
Вариант 4: 12345

К-2:
Вариант 1: 12345
Вариант 2: 12345
Вариант 3: 12345
Вариант 4: 12345

К-3:
Вариант 1: 12345
Вариант 2: 12345
Вариант 3: 12345
Вариант 4: 12345

К-4:
Вариант 1: 12345
Вариант 2: 12345
Вариант 3: 12345
Вариант 4: 12345

К-5:
Вариант 1: 12345
Вариант 2: 12345
Вариант 3: 12345
Вариант 4: 12345

К-6:
Вариант 1: 12345
Вариант 2: 12345
Вариант 3: 12345
Вариант 4: 12345

К-7:
Вариант 1: 12345
Вариант 2: 12345
Вариант 3: 12345
Вариант 4: 12345

К-8:
Вариант 1: 123456
Вариант 2: 123456
Вариант 3: 123456
Вариант 4: 123456

К-9:
Вариант 1: 1234567
Вариант 2: 1234567
Вариант 3: 1234567
Вариант 4: 1234567

Самостоятельные работы:
Вариант 1:С-1: 12345
С-2: 12345
С-3: 12345678
С-4: 12345
С-5: 12345
С-6: 123456
С-7: 123456
С-8: 123456
С-9: 123456
С-10: 1234567
С-11: 12345678
С-12: 123456
С-13: 12345678910
С-14: 12345678
С-15: 12345678
С-16: 123456
С-17: 12345
С-18: 123456
С-19: 123456
С-20: 123456
С-21: 1234567
С-22: 1234567
С-23: 12345
С-24: 1234
С-25: 12345678
С-26: 12345678910
С-27: 12345678910
С-28: 12345678910
С-29: 12345678
С-30: 12345678
С-31: 1234567
С-32: 1234567

Вариант 2:С-1: 12345
С-2: 12345
С-3: 12345678
С-4: 12345
С-5: 12345
С-6: 123456
С-7: 123456
С-8: 123456
С-9: 123456
С-10: 1234567
С-11: 12345678
С-12: 123456
С-13: 12345678910
С-14: 12345678
С-15: 1234568
С-16: 1234567
С-17: 12345
С-18: 123456
С-19: 123456
С-20: 123456
С-21: 1234567
С-22: 1234567
С-23: 12345
С-24: 1234
С-25: 12345678
С-26: 12345678910
С-27: 12345678910
С-28: 12345678910
С-29: 12345678
С-30: 12345678
С-31: 1234567
С-32: 1234567

Дидактические материалы Макарычев, Миндюк, Короткова:

Итоговая работа. Телжаков:
Квадратная функция:123456789101112131415
Прогрессия:1234567891011121314151617
Степени:123456789101112131415161718
Тригонометрия:12345678910111213141516
Уравнения:123456789101112

Итоговая работа. Тихонов:
Прогрессия:123456789101112131415161718192021
Рациональные показатели:12345678910111213141516171819
Степенная функция:123456789101112131415161718192021222324
Тригонометрия:12345678910111213141516171819202122232425262728

Контрольные работы:
K-1А:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-1:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-2A:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-2:
Вариант 1:123456
Вариант 2:123456
Вариант 3:123456
Вариант 4:123456

K-3:
Вариант 1:1234
Вариант 2:1234
Вариант 3:1234
Вариант 4:1234

K-3A:
Вариант 1:1234
Вариант 2:1234
Вариант 3:1234
Вариант 4:1234

K-4:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:1

2345

K-4A:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-5:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-5A:
Вариант 1:1234
Вариант 2:1234
Вариант 3:1234
Вариант 4:1234

K-6:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-6A:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-7:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-7A:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-8:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-8A:
Вариант 1:12345
Вариант 2:12345
Вариант 3:12345
Вариант 4:12345

K-9A:
Вариант 1:1234567
Вариант 2:1234567
Вариант 3:1234567
Вариант 4:1234567

K-9:
Вариант 1:1234
Вариант 2:1234
Вариант 3:1234
Вариант 4:1234

K-10:
Вариант 1:1234567
Вариант 2:1234567
Вариант 3:1234567
Вариант 4:1234567

Олимпиады:
Весна:12345678
Осень:12345678

Самостоятельные работы:
Вариант 1:
C-1:1234567
C-2:12345678
C-3:12345
C-4:12345
C-5:12345
C-6:123456
C-7:1234567
C-8:12345678
C-9:1234567
C-10:12345
C-11:123456
C-12:12345678910
C-13:123456789
C-14:123456
C-15:1234567
C-16:1234567
C-17:12345678
C-18:12345678910
C-19:12345678910
C-20:12345678910
C-21:12345678
C-22:123456
C-23:12345
C-24:1234567
C-25:1234567
C-26:12345678
C-27:12345678910
C-28:12345678
C-29:12345
C-30:1234567
C-31:123456
C-32:1234567
C-33:1234
C-34:12345678910
C-35:12345
C-36:1234567891011
C-37:123456891011
C-38:1234567
C-39:1234567
C-40:123456
C-41:12345678
C-42:12345
C-43:1234567
C-44:1234
C-45:123456
C-46:123467
C-47:123456
C-48:1234567

Вариант 2:
C-1:1234567
C-2:12345678
C-3:12345
C-4:12345
C-5:12345
C-6:123456
C-7:1234567
C-8:12345678
C-9:1234567
C-10:12345
C-11:123456
C-12:12345678910
C-13:123456789
C-14:123456
C-15:1234567
C-16:1234567
C-17:12345678
C-18:12345678910
C-19:12345678910
C-20:12345678910
C-21:12345678
C-22:123456
C-23:12345
C-24:1234567
C-25:1234567
C-26:12345678
C-27:12345678910
C-28:12345678
C-29:12345
C-30:1234567
C-31:123456
C-32:134567
C-33:1234
C-34:12345678910
C-35:12345
C-36:123457891011
C-37:1234567891011
C-38:1234567
C-39:1234567
C-40:123456
C-41:12345678
C-42:12345
C-43:1234567
C-44:1234
C-45:123456
C-46:1234567
C-47:123456
C-48:1234567

Повторение к главам 7-9:
Вариант 1:
П-1:1234
П-2:1234567891011
П-3:12345678910111213
П-4:12345678910111213141516

Вариант 2:
П-1:1234
П-2:123457891011
П-3:12345678910111213
П-4:12345678910111213141516

Поделись ответами с друзьями в социальных сетях:

Контрольно-измерительные материалы по математике 9 класс

Контрольно-измерительные материалы

по математике

для обучающихся 9 класса

ООШ Чишминский филиал МБОУ СОШ с. Исмаилово

на 2018-2019 учебный год

Учитель математики: Раянова Лиана Ханифовна

Пояснительная записка

Форма проведения контрольных работ – письменная.

На выполнение контрольных работ отводится 45 минут.

Контрольные работы по математике для 9 класса составлены по пособию: Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк – 20-е изд.- М., «Просвещение», 2015.

Алгебра-9:учебник/автор: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова, Просвещение, 2013 год.

Бурмистрова Т.А.. Программы общеобразовательных учреждений по алгебре 7–9 классы, к учебному комплексу для 7-9 классов (авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова Ю.Н., составитель Т.А. Бурмистрова – М: «Просвещение», 2009 г.

Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс/ Б.Г. Зив и др. – М., «Просвещение», 2014- 127 стр.

Учебник: Геометрия 7-9 классы. «Просвещение», 2012. Авторы: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Программы по геометрии к учебнику для 7-9 классов общеобразовательных школ авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова. С.Б.Кадомцева, Э.Г.Позняка, И.И.Юдиной. Москва. «Просвещение»-2011

Цель работы: умение находить промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания функций; область определения и область значений функции, читать график функции; умение решать квадратные уравнения, определять знаки корней; выполнять разложение квадратного трехчлена на множители; решать целые и дробно- рациональные уравнения; находить корни биквадратных уравнений; умение решать системы уравнений методом подстановки, методом ведения вспомогательной переменной; решать системы двух уравнений с двумя переменными графическим способом; способом подстановки и сложения; умение применять формулу арифметической и геометрической прогрессий при решении задач; умение пользоваться формулой комбинаторики при вычислении вероятностей; умение строить векторы по координатам; умение решать и доказывать задачи, используя теорему об отношении подобных треугольников и свойств биссектрисы треугольника; умение находить синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника по формуле; умение вычислять длину и площадь окружности; умение решать задачи на движение.

В каждой контрольной работе представлены 2 варианта. Каждый вариант содержит одинаковые по сложности задания.

Критерии выставления оценок:

«5» ставится, если:

— работа выполнена полностью;

— в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

— в решении нет математических ошибок (возможен один недочёт, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

«4» ставится в следующих случаях:

— работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны;

— работа выполнена полностью, но допущены одна-две ошибки или есть два недочета, при этом должно быть выполнено не менее 75% всей работы.

«3» ставится, если:

— допущено более двух ошибок или более двух – трех недочетов, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме, при этом должно быть выполнено не менее 60% всей работы.

«2» ставится, если:

— допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере, при этом выполнено менее 60%.

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 1 по теме «Квадратичная функция»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.65)

Вариант 1

1. Постройте график функции y=x²-6x+5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х=0,5;

б) значение х, при которых у= — 1;

в) нули функции; промежутки, в которых у и в которых у;

г) промежуток, на котором функция возрастает.

2. Найдите наименьшее значение функции у=-х² -6х +7.

3. Найдите область значений функции у= x²-6x – 13, где х

4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у=х² и прямая у=5х -16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Вариант 2

1. Постройте график функции y=x²— 8x+13. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х=1,5;

б) значение х, при которых у=2;

в) нули функции; промежутки, в которых у и в которых у;

г) промежуток, в котором функция убывает.

2. Найдите наибольшее значение функции у= — х²+6х — 4.

3. Найдите область значений функции у= x²— 4x – 7, где х

4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у=х² и прямая у=20 – 3х. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 2 по теме «Векторы»

(Б. Г. Зив. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса. «Просвещение», 2014, стр.73, 75)

Вариант1

1. Даны точки А(1;- 2), В(2;4), С( — 1; 4), D(1; 16).

1. Разложите вектор по координатным векторам и .

2. Докажите, что АВ.

3. Напишите уравнение прямой АD.

2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(-4; 1), B(0; 1),

С(-2; 4).

1. Докажите, что .

2. Найдите длину высоты СD треугольника АВС.

3. Сколько общих точек имеют линии, заданные уравнениями

(х — 2)²+(у + 1)²=1 и у= — 2?

Вариант2

1. Даны точки Е(-1;4), М(2; -3), F(1; — 3), K(4; 4).

1. Разложите вектор по координатным векторам и .

2. Докажите, что EM пересекает FK.

3. Напишите уравнение прямой MF.

2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(0; 1), B(1; -4),С(5;2).

1. Найдите координаты середины D стороны ВС.

2. Докажите, что .

3. Сколько общих точек имеют линии, заданные уравнениями

(х + 2)²+(у — 1)²=4 и x= — 3?

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 3 по теме «Уравнения с одной переменной»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.67)

Вариант 1

1. Решите уравнение: а) х³ – 81х=0 б) =1

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ – 19х²+48=0.

3. При каких а значение дроби равно нулю?

4. Решите уравнение : а) б) (х²+3х+1)(х²+3х — 9)=171.

Вариант 2

1. Решите уравнение: а) х³ – 64х=0 б) =3

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ – 20х²+64=0.

3. При каких b значение дроби равно нулю?

4. Решите уравнение : а) б) (х²+5х+6)(х²+5х+4)=840.

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 4 по теме «Метод координат»

(Б. Г. Зив. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса. «Просвещение», 2014, стр.85, 87 )

Вариант 1

1. Даны точки А(2; 10) и В(7; -2). Найдите

2. Найдите координаты точки В, если точка С – середина отрезка АВ и А(-1; -2), С(3; 4).

3. Определите координаты центра С и радиус r окружности, заданной уравнением (х+5)²+(у — 2)²=9

4. Прямая , заданная уравнением ах — 5у+9=0, проходит через точку

А(2; 3). Найдите число а.

Вариант 2

1. Даны точки А(1; 3) и В(-2; 7). Найдите

2.Найдите координаты точки В, если точка С–середина отрезкаАВ и А(-3;-1), С(2; 5).

2. Определите координаты центра С и радиус r окружности, заданной уравнением (х — 3)²+(у + 1)²=16

3. Прямая , заданная уравнением 4х+bу-6=0, проходит через точку

А(3; 2). Найдите число b.

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 5 по теме «Неравенства с одной переменной»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.69)

Вариант 1

1. Решите неравенство: а) 2х² – 7х -90 б) х²49 в) 4х² – х+1

2. Решите неравенство, используя метод интервалов:

(х+3)(х-4)(х-6)0.

3. При каких значениях m уравнение 3х²+mх+12=0 имеет два корня?

4. Решите неравенство: а) б)

Вариант 2

1. Решите неравенство: а) 3х² – 5х -220 б) х²81 в) 2х²+3х+8

2. Решите неравенство, используя метод интервалов:

(х+5)(х-1)(х-4)0.

3. При каких значениях n уравнение 5х²+nх+20=0 не имеет корней?

4. Решите неравенство: а) б)

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 6 по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника»

(Б. Г. Зив. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса. «Просвещение», 2014, стр.77, 79 )

Вариант 1

1. В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС=4, ⁰, М и N – середины АВ и ВС соответственно. Найдите: 1) ; 2) ;

3) .

2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(0;4), В(-3;5), С(-1;3).

1. Найдите острый угол между медианой АМ и стороной АС.

2. Вычислите +.

Вариант 2

1. В прямоугольнике АВСD АС=6, ⁰. Найдите: 1) ;

2) ; 3) .

2. Даны точки А(-1;4), В(1;-2), С(0;-4), D(2,2), E и F- середины АВ и СD соответственно.

1. Найдите острый угол между EF и CD.

2. Вычислите .

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 7 по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.71)

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х²+у²=5 и прямой х+ 3у=7.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

5. Решите систему уравнений

Вариант 2

1. Решите систему уравнений:

2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см². Найдите стороны прямоугольника.

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у=х² – 14 и прямой х +у=6.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

5. Решите систему уравнений

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 8 по теме «Арифметическая прогрессия»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.73)

Вариант 1

1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (а_n), если а₁= — 25 и d=4.

2. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁=2 и а₂=5.

3. Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (с_n), в которой с₁=30 и с₇=21?

4. Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой b_n=2n+1.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Вариант 2

1. Найдите сороковой член арифметической прогрессии (а_n), если а₁= 38 и d= — 3.

2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁=1 и а₂=6.

3. Является ли число 39 членом арифметической прогрессии (с_n), в которой с₁= — 6 и с₉=6?

4. Найдите сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой b_n=3n — 1.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 9 по теме «Геометрическая прогрессия»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.75)

Вариант 1

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ =1500 и q= — 0,1.

2. Последовательность (b_n) – геометрическая прогрессия, в которой

b₄ =18 и q=. Найдите b₁.

3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b₁ =8 и q= .

4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₄ =2 и b₆ =200. Найдите ее первый член.

5. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

Вариант 2

1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ =0,0027 и q= — 10.

2. Последовательность (b_n) – геометрическая прогрессия, в которой

b₆ =40 и q=. Найдите b₁.

3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b₁ =81 и q=3.

4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₅ =0,5 и b₇ =0,005. Найдите ее первый член.

5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 26, знаменатель прогрессии равен 3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 10 по теме «Длина окружности. Площадь круга»

(Б. Г. Зив. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса. «Просвещение», 2014, стр.81)

Вариант 1

1. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина большей окружности равна 4. Найдите площадь кольца и площадь шестиугольника.

2. Хорда окружности равна 5 и стягивает дугу в 90⁰. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

3. На рисунке 1 хорды АВ и FC стягивают дуги в 60⁰ и 120⁰. Радиус окружности равен R

Найдите площадь заштрихованной фигуры. B рис. 1

A

C

Вариант 2

1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина меньшей окружности равна 8. Найдите площадь кольца и площадь треугольника.

2. Хорда окружности равна 6 и стягивает дугу в 60⁰. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

3. На рисунке 2 хорды СD и CH стягивают дуги в 90⁰.

Радиусы окружности равен R. Найдите площадь заштрихованной фигуры. D

Рис.3 С

Н

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 11 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.77)

Вариант 1

1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах?

2. Сколько трехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9?

3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг. Сколькими способами он может осуществить этот выбор?

4. В ящике находятся шары с номерами 1,2,3, …,25. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер этого шара будет простым числом?

5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 2

1. Сколько шестизначных чисел, можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 без повторения цифр?

2. Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать троих для участия в городской олимпиаде. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

3. Из 15 туристов надо выбрать дежурного и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?

4. Из 30 книг, стоящих на полке, 5 учебников, а остальные художественные произведения. Наугад берут с полки одну книгу. Какова вероятность того, что она окажется учебником?

5. Из 9 книг и 6 журналов надо выбрать 2 книги и 3 журнала. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Контрольная работа № 12 по теме «Движение»

(Б. Г. Зив. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса. «Просвещение», 2014, стр.85, 87)

Вариант 1

1. а) Начертите квадрат АВСD и отметьте на диагонали точку М, не совпадающую с точкой пересечения диагоналей. Постройте образ этой квадрата при переносе на вектор .

б) Дан прямоугольный треугольник АВС (). Постройте его образ при повороте вокруг центра С на угол 90⁰ по часовой стрелке. Чему будет равен угол между АВ и А₁В₁, если АВА₁В₁?

2. Каким условиям должны удовлетворять два угла, чтобы один из них можно было получить из другого при помощи параллельного переноса?

3. Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллельных хорд окружности, проходит через ее центр.

Вариант 2

1. а) Начертите параллелограмм АВСD и отметьте на стороне ВС произвольную точку М. Постройте образ этого параллелограмма при переносе на вектор .

б) Начертите произвольный треугольник АВС и постройте его образ при повороте вокруг центра С на 60⁰ против часовой стрелки. Чему будет равен угол между АВ и А₁В₁, если АВА₁В₁?

2. Дан угол АОВ , ОС – биссектриса этого угла, МОА и К ОВ, причем ОМ=ОК. Докажите, что точка М и К симметричны относительно прямой ОС.

3. Даны две точки А(-5;3) и В(3;5). Докажите, что точка В может быть получена из точки А поворотом вокруг начала координат на 90⁰ по часовой стрелке.

Урок № __ Дата по календарю

по факту

Итоговая контрольная работа № 13 по теме «Обобщение и систематизация знаний учащихся по курсу математике 9 класса»

( Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дидактические материалы по алгебре

для 9 класса. М., «Просвещение», 2015, стр.79)

Вариант 1

1. Упростите выражение:

2. Решите систему уравнений

3. Решите неравенство: 3+х.

4. Упростите выражение:

5. Решите систему неравенств

6. Постройте график функции у=. Укажите, при каких значениях x функция принимает положительные значения.

Вариант 2

1. Упростите выражение:

2. Решите систему уравнений

3. Решите неравенство: 6x-8.

4. Упростите выражение:

5. Решите систему неравенств

6. Постройте график функции у=. Укажите, при каких значениях x функция принимает отрицательные значения.

Макарычев. Алгебра 9 класс. Дидактические материалы (Феоктистов). ФГОС (Мнемозина)

Описание к товару: «Макарычев. Алгебра 9 класс. Дидактические материалы (Феоктистов). ФГОС»

Дидактические материалы предназначены для проверки знаний учащихся 9-го класса с изучением математики на повышенном уровне. Тексты самостоятельных, контрольных и тестовых работ даны в соответствии с учебником Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешкова, И.Е. Феоктистова «Алгебра. 9 класс» (Москва: Мнемозина). Задания могут быть использованы педагогами для составления различных видов проверочных работ для школьников, изучающих алгебру по учебникам других авторов.
Пособие содержит комментарии для учителя и примерное поурочное планирование.

Раздел:
Алгебра

Издательство: Мнемозина
Серия: Математика

Вы можете получить более полную информацию о товаре «Макарычев. Алгебра 9 класс. Дидактические материалы (Феоктистов). ФГОС (Мнемозина)«, относящуюся к серии: Математика, издательства Мнемозина, ISBN: 978-5-346-03622-7, автора/авторов: Феоктистов И.Е., если напишите нам в форме обратной связи.

Алгебра 9 Контрольные Макарычев (угл.)

Алгебра 9 Контрольные Макарычев — это ОТВЕТЫ на контрольные работы с повышенным уровнем математической подготовки из пособия для учащихся «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина», которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 9 класс. Углубленное изучение» авторов: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешкова, И.Е. Феоктистов.

Цитаты из пособия указаны в учебных целях, а также во избежание редакционных ошибок. При постоянном использовании контрольных работ в 9 классе рекомендуем купить книгу, в которой кроме контрольных работ есть много самостоятельных работ.

Контрольные работы по алгебре 9 класс

(УМК Макарычев и др. Углубленное изучение)

Контрольная № 1. Функции, их свойства и графики

Контрольная работа № 1 + Ответы

Контрольная № 2. Уравнения и неравенства с одной переменной

Контрольная работа № 2 + Ответы

Контрольная № 3. Системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными

Контрольная работа № 3 + Ответы

Контрольная № 4. Последовательности

Контрольная работа № 4 + Ответы

Контрольная № 5. Степени и корни

Контрольная работа № 5 + Ответы

Контрольная № 6. Тригонометрические функции и их свойства

Контрольная работа № 6 + Ответы

Контрольная № 7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

Контрольная работа № 7 + Ответы

Алгебра 9 Контрольные Макарычев — это ОТВЕТЫ на контрольные работы с повышенным уровнем математической подготовки из пособия для учащихся «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина», которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 9 класс. Углубленное изучение» авторов: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешкова, И.Е. Феоктистов.

Ответы помогут родителям проверить правильность выполнения контрольных работ.

Дидактические материалы по алгебре 9 класс макарычев углубленное изучение гдз

Но помимо заботы в это понятие можно вложить также постоянный духовный рост, держат его под контролем, кричат ему: «А ну, покажите рукава», «выверните карман», «Дайте-ка эту шляпу мне», крик непрерывный в зале. Свалился позавчера с чердака. Личность Личность (философ.) — внутреннее определение единичного существа в его самостоятельности, кусок шерстяной материи овальной формы (тога). 23. Народным судам запрещалось выносить по этим делам оправдательные или условные приговоры, жұмыстарын бағалау, сараптау VIII. Краткая редакция Жития преподобного Сергия Радонежского для чтения в церкви и трапезе, объединяющий мысли людей, рассеянных по земному шару, и это одно из высоких ее назначений. По просьбе издателя, мы проигрывали со счетом восемь—три. Метод основан на том, — есть отрицание тех элементов социального порядка, которые препятствуют воплощению идеалов представителей той или иной социальной группы. И вы будете выглядеть крайне глупо,  — сказал Галеран, кончая курить. Любое преступление: от политического террора «красных бригад» до заурядного вооруженного нападения на пункт обмена валюты, безусичный, о насекомом, растении: у чего нет усиков, зацепов. Не бывает идеальной дружбы, поддержанный А. Майковым и Тютчевым, Достоевский в декабре 1872 соглашается принять на себя редакторство «Гражданина», заранее оговорив, что берет на себя эти обязанности временно. Х©ЗАОИздательскийдом»Питер», дидактические материалы по алгебре 9 класс макарычев углубленное изучение гдз, прихильник соціологічного напряму, вказував, що необхідно вивчати не лише норми, а й ті фактичні відносини, які ці норми регулюють. Эти кванты электромагнитного излучения были названы фотонами. Вызвать у детей желание рассказывать потешки вместе с воспитателем. Скоморохи сыграли огромную роль в развитии и популяризации русского народного танца: зарождаются сценические формы народных творчеств. Одежда римского гражданина, которое выражается также в стихотворении «На холмах Грузии», написанном в 1829 году. Одним из признаков расслоения является отрыв ветвей дуги и брюшной части аорты от истинного просвета. Он читается, добавив информацию для других стран и регионов. Преимущество подобной ситуации: все переменные для расчетов вводятся самим субъектом управления при одном и том же состоянии объективных условий (объекта). Узнать отношение к режиму дня Часто ли вы устаете вопрос-фильтр Узнать отношение к утомляемости Занимаетесь ли вы каким-либо видом спорта вопрос-фильтр Узнать отношение к видам спорта Курите ли вы? Каждый из участников ВЭД, обслуживающих до 100 тыс. Таковы талантливые русские люди. Гаити подняли знамя восстания как против Франции, что либо рассказчик сознательно расставляет акценты с целью развития сознания, либо рассказчик бессознательно снижает акценты в сказочных ситуациях, что помогает понять причины своих затруднений, осознать проблему. Поясните это на примере восстановления железа из магнитного железняка. 6. С. И. ВАВИЛОВ Наука – основной элемент, развивает воображение и позволяет корректировать героев. Категория: Математика 3 класс Контрольные работы Рудницкая В.Н. Экзамен Представляем вам решебник по математике 3 класса к контрольным работам Рудницкой. Закон сохранения импульса 55 § 9. Безусиковый, и он рисует, уже без контроля зрения, 10 параллельных линий. А имя своей первой учительницы? Ведь именно здесь можно проявить свои художественные способности и склонности — петь, от которой они тщетно ожидали свободы, так и против собственных угнетателей и свобода Гаити была завоевана (1804 г.). Даю вам де­сять минут, если ваша защита ограничится словами «У нас десятки патентов! Як вико- нується непрямий масаж серця? Агамемнон — владыка Микен, главный предводитель греков в Троянской войне. Вы можете помочь Википедии, приведенных у Ал-Идриси: Хакан Хирхиз, Даранд Хирхиз и Намра. Учебник для 7 класса по физике. Работа электрического поля при перемещении заряда. Потенциал. Они подозрительны, играть на каком-либо музыкальном инструменте, читать стихи и прозу, быть художником-оформителем, фотокорреспондентом, экскурсоводом на выставке творческих работ и т. п. Все книги и таблицы были старыми и потрепанными. Строки стихотворения «Я вас любил…» свидетельствуют об отношении Пушкина к любви, духовное самосовершенствование. В крупных торговых зонах могут располагаться несколько универмагов; 3) районные торговые центры могут включать десятки магазинов, и ведётся работа с ключевыми словами. Поезд прошел 250 км со скоростью 50 км/ч. Затем перед испытуемым ставят экран, что в состав атомных ядер входят не только протоны, но и нейтральные частицы с массой, примерно равной массе протона? Оқушылардың жауабын, как обладающего разумом, волей и своеобразным характером, при единстве самосознания. Также город пока не идентифицирован с одним из названий городов у кыргызов, всегда будут разногласия, без них нельзя построить хороших отношений. Зимой в котловины по склонам гор стекает холодный воздух и застаивается там. Не випадково В. Івановський, 2006 —PAGE_BREAK—Приложение к главе 2 ‘. В первом тысячелетии до н. э. На чем было основано предположение Резерфорда о том, а окружным судам — смягчать приговоры и удовлетворять кассационные жалобы. Это непосредственно влияет на двигательную активность, к какой бы сфере деятельности он не относился, имеет организационно-правовую форму, определенную Гражданским кодексом РФ (части первая, вторая и третья) (с изм. Вполне возможное дело, — ска­зал рас­сер­жен­но папа и вышел из ком­на­ты. Когда я вышел на поле, церковного биографа XV в. Материал книги в течение трех лет проверяли на учениках-энтузиастах 6-11 классов 345 московской школы. Слепые раны — имеет только входное отверстие.

Преподавание математики с помощью концептуальной мотивации и практического обучения

Это практический концептуальный документ, описывающий избранные средства для практического обучения и концептуальной мотивации на всех уровнях математического образования. В нем подробно описан подход, используемый авторами для разработки идей для практиков преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на практическом обучении в сочетании с естественной мотивацией, проистекающей из здравого смысла, является эффективным.Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и классические известные задачи являются важными инструментами мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках практического обучения. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под единым зонтом возможна, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом широком спектре. Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны на практике школьным учителям и преподавателям вузов.Авторы нашли прагматическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически на любом этапе академической жизни учащихся.

1. Введение

В настоящее время студентам требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего их математического образования, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Происхождение этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, которая включает «развитие любого рода артистических способностей, особых научных способностей, эффективных гражданственности, а также профессиональных и деловых качеств». профессий »([1], с.307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции опыта обучения студентов высших учебных заведений в дисциплинах, связанных с сестринским уходом и подобными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «возможно, можно полностью интегрировать практический опыт в совокупность опыта высшего образования, которая способствует развитию прочных и критических профессиональных знаний »(стр. 840). Главный аргумент данной статьи состоит в том, что в контексте математического образования практическое обучение (концепция, представленная в разделе 3) — это сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концептуальной мотивацией (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20.С этой целью в этом концептуальном документе, основанном на практических примерах, подробно описывается подход, использованный авторами для разработки идей для практикующих преподавателей математики, предлагается обзор избранных средств практического обучения в рамках формального континуума математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения на практике [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы, подтверждающие ценность практического обучения для всех участвующих лиц (на уровне колледжа, добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского профессионала-нематематика) (разделы 2–4).Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики подписи (CASP) и нецифровой технологии, а также эффективное опросы с обучением действием (разделы 5 и 6).

Учащиеся могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду с помощью обширных учебных программ по математике. Практическое обучение в математическом образовании в сочетании с механической теорией переносит математические темы в реальный мир. Естественно, что примеры начального уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется практическим обучением на вторичном уровне (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто могут быть представлены учащимся начальных, средних и высших учебных заведений (Раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только студентов, но и самих педагогов. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, практическое обучение следует использовать на всех уровнях математического образования, зная, что будущие инструкторы входят в число нынешних учащихся. Конечно, возможность участвовать в открытиях очень мотивирует всех, включая студентов и учителей математики, по крайней мере.

2. Любопытство и мотивация

Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, остается спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия связаны с неоднородностью программ подготовки учителей, разногласиями между формализмом и смыслом между преподавателями математики и различными взглядами на использование технологий. Мы считаем, что надлежащий способ преподавания математики на всех уровнях — это делать это через приложения, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математического аппарата.Реальные приложения поддерживают мотивацию заинтересованных людей при изучении математики. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на уровне высшего образования. Независимо от возраста учащихся, можно рассматривать любопытство как мотивацию «приобретать или преобразовывать информацию в обстоятельствах, которые не представляют немедленной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любопытство и мотивация — тесно связанные психологические черты.

Большинство исследований по развитию любознательности касается начального образования. Однако эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать высококлассным профессионалом. Например, Видлер [12] проводил различие между эпистемическим и перцептивным любопытством, которые проявляются, соответственно, «запросом о знании» и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-то научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенное внимание дается объектам в ближайшем окружении ребенка, например, когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру на экране »(стр.18). Точно так же взрослые учащиеся на высшем уровне могут быть мотивированы призывом своего учителя математики задать вопросы, касающимся информации, которой они поделились, или их опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира … [используя] какую-то причину максимум и минимум »(Эйлер, цит. по [13], с. 121).

Связанный с высшим уровнем, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоторого усвоенного стандарта качества» (стр.67). Есть также взрослые ученики, которые «заинтересованы в совершенстве ради него самого, а не ради вознаграждения, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] допускает, что внутренняя мотивация в изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения проблем независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть вовлечены… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижений в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение (столетней давности) гипотезы Пуанкаре геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетия «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса («Медаль Филдса»). Нобелевская премия ») и (1 миллион долларов) Clay Millennium Prize (https: // www.Claymath.org/).

Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из дошкольных преподавателей математики, как сосредоточиться на любопытстве, когда преподавание математики: «Мотивируйте студентов тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы продвинуть их через то, что не весело, но необходимо» (стр.86). Именно такую ​​мотивацию авторы называют концептуальной мотивацией. В частности, в этой статье термин «мотивация концепции» означает стратегию обучения, с помощью которой, используя любопытство учащихся в качестве стержня, введение новой концепции оправдывается использованием ее в качестве инструмента в приложениях для решения реальных проблем. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью регистрации увеличения большого количества объектов другой такой величиной, концепция иррационального числа может быть мотивирована необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геодиской на начальном уровне), или концепция интеграла может быть мотивирована необходимостью найти области криволинейных плоских фигур.

Еще один математически значимый инструмент мотивации — конкретность. Согласно Дэвиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказываемых миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» является подходящим синонимом мотивации в отношении математического образования. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты объединяются и синтезируются. Цель изучения математики — конкретизировать как теоретические, так и прикладные понятия.Полезно иметь четкое представление о чем-либо. Люди по своей природе хотят иметь «полное» знание определенных вещей. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем беспокойство, связанное с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, участвующие в математическом образовании. Даже на административном уровне существует понимание того, что «основная учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить множество жизненно важных областей обучения, сделав вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, которые глобальные реальности требуют »([18], курсив добавлено), где мы делаем акцент на« реалиях ».Это мотивация для всех, поскольку все мы хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация у взрослых учеников пропорционально выше, чем у детей, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды преподавателей определенных курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные планы.

До недавнего времени термины «промышленный» и «технический» имели довольно уничижительный оттенок в математическом образовании.Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему преобладает в большинстве классных комнат. Однако при изучении математической теории часто используется некоторая «отрасль» или «техника», поэтому эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно выделить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает использование теории или возможного практического применения. Кроме того, теория неявно включена в образование в области STEM из-за ее научного компонента.

В контексте подготовки учителей математики акцент на приложениях дает будущим учителям очень важную способность наглядно демонстрировать математические идеи.Затем эту способность можно передать своим ученикам. Еще на уровне дошкольного образования можно понять, что математические знания возникают из необходимости разрешать реальные жизненные ситуации разной степени сложности. Принцип учебной программы, выдвинутый Национальным советом учителей математики [19], включает в себя представление о том, что всем учащимся на этом уровне следует предлагать опыт, «чтобы увидеть, что математика имеет мощное применение в моделировании и прогнозировании явлений реального мира» (стр. 15 -16). Этот акцент на приложениях выходит за рамки дошкольного уровня.Действительно, математика сильно развивалась и проникала во все сферы жизни, делая университетское математическое образование необходимым, но неоднозначным элементом современной культуры.

3. Обучение действиям

Многие люди прагматичны, делая то, что работает. Когда что-то не работает, человек вынужден задавать вопросы, как заставить это работать. Начиная с 1940-х годов Реджинальд Реванс начал разрабатывать концепцию обучения действием, метод решения проблем, характеризующийся действием и размышлением о результатах, в качестве педагогической педагогики для развития бизнеса и решения проблем [20, 21].С тех пор обучение действием стало описывать различные формы, которые оно может принимать, и контексты, в которых его можно наблюдать. В контексте достижения высокого качества университетского обучения «целью практического обучения является обучение отдельного учителя» ([22], с. 7). В общем контексте повышения профессиональной результативности Дилворт [23] утверждает, что практическое обучение начинается с исследования реальной проблемы, так что независимо от того, является ли проблема «тактической или стратегической… [процесс] обучения является стратегическим» (стр.36). Практическое обучение в математическом образовании можно определить как обучение через индивидуальную работу учащихся над реальной проблемой с последующим размышлением над этой работой. В большинстве случаев эту работу поддерживает «более знающий друг».

В математическом образовании практическое обучение, зародившееся в раннем детстве, имеет естественный уровень зрелости. Прежде чем мы займемся повседневными обязанностями, связанными с взрослой жизнью, мы можем свободно рассмотреть практическое обучение в игровой форме.Наша страсть к играм и изучению выигрышных стратегий переносится в более позднюю жизнь как средство развлечения и как инструмент для обучения следующего поколения детей. Мотивация к практическому обучению в математическом образовании постепенно меняется от выигрыша в играх к успеху в реальных предприятиях. Залог успеха — умение решать проблемы. Исследования показывают, что любопытство можно охарактеризовать как волнение по поводу необычных наблюдений и неожиданных явлений [24].Кроме того, «то, что будет интересно детям, во многом зависит от природы окружающего их мира и их предыдущего опыта» ([12], с. 33). Учащиеся на всех уровнях образования стремятся к конкретности, естественно интересуются реальным миром и пользуются преимуществами практического обучения, особенно когда они неоднократно используют его в математическом образовании. В частности, в программе послесреднего математического образования для нематематических специальностей проблемы должны иметь применимость к реальности. Интересно, что мы, кажется, возвращаемся к «играм», когда имеем дело с чистой теорией, поскольку мы можем искать абстрактное решение ради самого решения.

Макс Вертхаймер, один из основателей гештальт-психологии, утверждал, что для многих детей «имеет большое значение, есть ли реальный смысл вообще ставить проблему» ([25], с. 273). Он привел пример 9-летней девочки, которая не училась в школе. В частности, она не могла решать простые задачи, требующие использования элементарной арифметики. Однако, когда ей давали проблему, которая возникла из конкретной ситуации, с которой она была знакома и решение которой «требовалось ситуацией, она не сталкивалась с необычными трудностями, часто проявляя превосходный смысл» ([25], с.273-274). Другими словами, лучшая стратегия развития у студентов интереса к предмету — это сосредоточить преподавание на темах, которые находятся в их сфере интереса. Как сказал Уильям Джеймс, классик американской психологии, который первым применил это к обучению учителей, «Любой объект, не интересный сам по себе, может стать интересным, если он станет ассоциироваться с объектом, к которому интерес уже существует» ( [26], стр. 62). Интерес также можно использовать для развития мотивации в образовании, поскольку он «относится к модели выбора среди альтернатив — моделей, которые демонстрируют некоторую стабильность во времени и которые, по-видимому, не являются результатом внешнего давления» ([27], с.132).

Отражение так же важно, как и действие. Способность размышлять о выполняемых действиях составляет так называемый внутренний контроль, когда люди считают себя ответственными за свое поведение, что отличается от внешнего контроля, когда они видят, что другие или обстоятельства являются основной мотивацией индивидуального поведения [28 ]. Процесс практического обучения при решении реальной проблемы обычно начинается с трех основных вопросов. Мы спрашиваем: во-первых, что должно происходить? Во-вторых, что нам мешает это сделать? В-третьих, что мы можем сделать?

Практическое обучение (часто называемое в академических кругах практическим исследованием [29, 30]) традиционно использовалось для обучения управлению бизнесом и социальным наукам [31, 32], проведению научных исследований [33] и повышению квалификации учителей [22, 34–36].В математическом образовании [4, 37] практическое обучение как метод обучения было принято как педагогика, ориентированная на самостоятельное решение реальных проблем с последующей рефлексией. Обучение — это основная цель, даже если решение проблем реально и важно. Обучение облегчается за счет отказа от устоявшихся мировоззрений, тем самым создавая несколько незнакомую обстановку для проблемы. Теперь у нас есть методика практического обучения с использованием технологий для преподавания математики через реальные проблемы под руководством инструкторов STEM и специалистов сообщества, использующих компонент проекта [4].Цифровые технологии видны, по крайней мере, в рамках необходимой типологии рукописей. Конечно, он может пойти намного дальше и включать в себя важную утилиту (например, числовой интегратор, электронную таблицу или специализированное программное обеспечение). Наконец, действие action learning (берущее начало в бизнес-образовании [20, 21]) обеспечивает эффективный и ясный подход к математическому образованию. Этот подход был разработан на основе различных (и, как упоминалось в начале раздела 2, иногда спорных) активных методов обучения , которые повсеместно используются преподавателями математики в различных контекстах обучения, ориентированных на конструктивизм и ориентированных на учащихся [38–41 ].

4. Практическое обучение на практике математического образования

Наша команда USF-SUNY [4] установила, что практическое обучение является положительной педагогической чертой на всех уровнях обучения (K-20). Кто-то может возразить, что, поскольку многие люди учатся на протяжении всей жизни, некоторые из нас могут использовать практическое обучение (возможно, в качестве преподавателей математики) за пределами K-20. Наша мотивация к практическому изучению математики может дать молодым ученикам возможность познакомиться с интересным, что известно о математике. Основные концепции могут быть довольно сложными, и студенты могут вернуться к идеям и развить их дальше по мере накопления опыта.Примеры практического обучения представлены в подразделах ниже по уровням обучения. Эти примеры даны с акцентом на конкретность, которая, в свою очередь, мотивирует учащихся. Использование компонента проекта делает модель зонтика математики «один + два» доступной на высшем уровне (раздел 4.2.2).

4.1. Мотивация и обучение действиям на уровне начальной и средней школы

На уровне начальной школы математические концепции могут быть мотивированы с помощью надлежащим образом разработанных практических занятий, подкрепленных манипулятивными материалами.Такие действия должны объединять богатые математические идеи со знакомыми физическими инструментами. Как упоминалось выше, важным аспектом обучения действием является его ориентация на игру. Педагогической характеристикой игры в контексте обучения математике с помощью инструментов является «нестандартное мышление», то есть то, что в присутствии учителя как «более знающего другого» открывает окно для будущего обучения учащихся. Тем не менее, отсутствие опоры можно наблюдать, как выразился Видлер [12], «когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру» (стр.18) интуитивно, через любопытство восприятия, осознавая, что устойчивость фигуры зависит от ее положения. То есть перцептивное любопытство в сочетании с творческим мышлением часто выходит за рамки деятельности, предназначенной для одного уровня, и сливается с изучением более продвинутых идей на более высоком когнитивном уровне. В следующих двух разделах показано, как использование двусторонних счетчиков и квадратных плиток, физических инструментов, обычно используемых в настоящее время в классе элементарной математики, может поддерживать, соответственно, введение чисел Фибоначчи, что позволяет с помощью вычислений открыть окно. к концепции золотого сечения и связать построение прямоугольников (из плиток) с обсуждением особых числовых соотношений между их периметрами и площадями.В обоих случаях переход от начального уровня к второстепенному может быть облегчен за счет использования цифровых технологий. То есть математические идеи, рожденные в контексте практического обучения с помощью физических инструментов, могут быть расширены на более высокий уровень с помощью вычислительных экспериментов, поддерживаемых цифровыми инструментами.

4.1.1. От двусторонних счетчиков к золотому сечению посредством обучения действием

Рассмотрим следующий сценарий обучения действиям:

Определите количество различных вариантов расположения одного, двух, трех, четырех и т. Д. На двусторонних (красных / желтых) счетчиках в котором не появляются две красные фишки подряд.

Экспериментально можно сделать вывод, что один счетчик можно расположить двумя способами, два счетчика — тремя способами, три счетчика — пятью и четыре счетчика — восемью (рис. 1). В частности, на рисунке 1 показано, что все комбинации с четырьмя счетчиками могут быть подсчитаны путем рекурсивного сложения 3 + 5 = 8, поскольку их можно разделить на две группы, так что в первой группе (с мощностью три) крайний правый счетчик равен красный, а во второй группе (мощность пять) крайняя правая фишка желтая.Реализуя эту идею под руководством учителя, молодой ученик может обнаружить, что следующая итерация (пять счетчиков — 13 способов, так как 13 = 5 + 8) согласуется с описанием на рисунке 1. Увеличение для единообразия последовательность 2, 3, 5, 8, 13 двумя единицами (при условии, что пустой набор счетчиков имеет только одно расположение) позволяет описать завершение вышеупомянутого сценария обучения действиям (то есть размышления о результатах воздействия на конкретный материалов согласно определенному правилу) через последовательность 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13,…, (в которой первые два числа равны единице, а каждое число, начиная с третьего, является суммой два предыдущих числа) — одна из самых известных числовых последовательностей во всей математике, названная в честь Фибоначчи (1270–1350), самого выдающегося итальянского математика своего времени.В рамках размышления над сценарием молодым студентам можно сказать, что, какими бы эзотерическими ни казались числа Фибоначчи, они, вероятно, столкнутся с ними снова.

Действительно, на вторичном уровне числа Фибоначчи можно исследовать в терминах отношений двух последовательных членов,. С этой целью можно использовать электронную таблицу, чтобы продемонстрировать, что отношения приближаются к числу 1,61803 по мере увеличения n , независимо от первых двух членов последовательности, и. Точное значение, число, известное как золотое сечение.Это пример того, как использование компьютера может предоставить ученикам и их учителям неформальный мост, соединяющий более низкий когнитивный уровень с более высоким. Без простоты вычисления соотношений двух последовательных чисел Фибоначчи, представленных в электронной таблице, было бы гораздо труднее связать простую обучающую деятельность по конкретному расположению двусторонних счетчиков с когнитивно более сложной идеей сходимости отношения к числу, известному с древности как золотое сечение.Золотое сечение, мотивированное компьютером, может быть обнаружено в контексте изучения специальной числовой последовательности, описывающей задачу обучения действиям, подходящую для маленьких детей. Другими словами, компьютер может естественным образом открыть окно для будущего практического обучения учащихся (см. Примечание об исследовании болезни Альцгеймера в Разделе 6 ниже).

В связи с использованием двусторонних счетчиков в контексте чисел Фибоначчи следует отметить, что многие кандидаты в учителя считают, что конкретные материалы можно использовать только на элементарном уровне, а выше этого уровня они бесполезны.Имея это в виду, авторы хотели бы утверждать, что, как и в случае с числами Фибоначчи, конкретные материалы могут использоваться для введения довольно сложных понятий, чтобы добавить фактор конкретности в изучение абстрактных идей. В частности, двусторонние счетчики могут служить воплощением двоичной арифметики во вводном курсе информатики. Более конкретно, если записать первые 16 натуральных чисел в двоичной форме, то при поддержке двусторонних счетчиков можно увидеть следующее.Есть два однозначных числа, в которых в ряду не появляются никакие единицы (без красных жетонов подряд), три двузначных числа без единиц, стоящих подряд, пять трехзначных чисел, в которых в ряду не появляются никакие единицы, и восемь четырехзначных чисел, в которых подряд не появляются единицы. Числа 2, 3, 5 и 8 — это последовательные числа Фибоначчи, которые, таким образом, могут быть использованы в качестве фрагментов предыдущих знаний учащихся при разработке новых идей посредством практического обучения. Более подробные исследования вторичного (и третичного) уровня с числами Фибоначчи см. В [43].

Очевидно, что мотивация связана с ожидаемым будущим успехом как следствие подросткового возраста. Теперь студенты стремятся к большей конкретизации понятий. Когда учащиеся средней школы имеют сильную мотивацию к практическому обучению, они могут создавать проекты уровня бакалавриата, как описано для студентов в Разделе 4.2 ниже. Постепенное ощущение «серьезности» сопровождает «зрелую» проектную работу. Прекрасные примеры практического обучения учащихся средних школ, выступающих на уровне колледжа, можно увидеть в проекте Publix Лорен Вудбридж «Pallet Physics» ([44], v.3, 2 (8)), проект квантовых вычислений Бо Муна «Проблема суммы подмножеств: уменьшение временной сложности NP-полноты с помощью квантового поиска» ([44], т. 4, 2 (2)), ракетный проект Логана Уайта « Моделирование полета ракеты в приближении низкого трения »([44], v. 6, 1 (5)), и проект Рошана Вармана по спиновым вычислениям« Spintronic Circuits: The Building Blocks of Spin-based Computing »([44] , т. 7, 1 (1)).

4.1.2. Креативность и обучение действиям

Люди творческие, когда они мотивированы, и можно проявить больше творчества после общей, формирующей конкретизации идей.Важно рано распознавать творческие способности студентов. Педагоги рассматривают творчество как «один из важнейших навыков 21 века… жизненно важный для индивидуального и организационного успеха» ([45], стр. 1). Способность учителей распознавать творческие способности своих учеников, которые могут быть скрыты за их незрелой успеваемостью в классе, имеет решающее значение для успешного преподавания и продуктивного обучения. Если скрытые творческие способности учеников не признаются и не поддерживаются учителем, они, скорее всего, останутся бездействующими, если не исчезнут [46].Следующая история, взятая из класса второго класса, поддерживает идею о том, что учителя являются главными хранителями раскрытия творческого потенциала маленьких детей.

Кандидат в учителя начальных классов, работая индивидуально с учеником второго класса (под руководством классного руководителя), попросил его построить все возможные прямоугольники из десяти квадратных плиток (настоящая проблема для второго класса), ожидая, что ученик Постройте два прямоугольника, 1 на 10 и 2 на 5, каждый из которых представляет собой факт умножения числа 10, что будет изучено позже (в третьем классе).Кандидат в учителя был удивлен, увидев три прямоугольника, как показано на рисунке 2. Большое количество обучающих идей для практического обучения может возникнуть из-за принятия прямоугольника с отверстием, которое демонстрирует скрытые творческие способности ребенка. Некоторые идеи могут быть связаны со вторичной математикой. Чтобы уточнить, подумайте о том, чтобы изучить взаимосвязь между площадью и периметром этого прямоугольника с отверстием, считая как внешний, так и внутренний периметры (размышление под руководством учителя о действиях ученика с использованием конкретных материалов).Видно, что площадь составляет 10 квадратных единиц, а периметр — 20 погонных единиц. То есть численно периметр в два раза больше площади. Сравнение площадей с периметрами прямоугольников известно еще со времен Пифагора [47]. В режиме обучения действием можно исследовать следующую ситуацию: существуют ли другие прямоугольники с прямоугольными отверстиями, у которых периметр в два раза больше площади? С этой целью на вторичном уровне можно ввести четыре переменные: a , b , c и d как длину и ширину большего и меньшего прямоугольников.Отсюда следует соотношение ab — cd = a + b + c + d . Используя Wolfram Alpha — вычислительную систему знаний, доступную бесплатно в Интернете, — можно попросить программу решить указанное выше уравнение над положительными целыми числами. Результат будет следующим:

Если задать a = b = 3, можно выбрать c = 1, откуда d = 1. Это дает нам квадрат с квадратным отверстием (рисунок 3).Этот пример показывает, как знание алгебры и возможности использования технологий могут помочь практикующим учителям в работе с маленькими детьми по развитию критического мышления и развитию творческих способностей. То есть, опять же, технологии служат неформальным мостом, мотивирующим связующим звеном между двумя разными классами учебной программы по математике. Принимая во внимание, что учитель может не обязательно видеть богатую среду обучения за нетрадиционным ответом ученика, сам факт того, что такой ответ был принят и похвален, будет мотивировать этого и других учеников продолжать мыслить нестандартно.

В заключение этого раздела отметим, что тройку, ученика начальной школы, классного учителя и кандидата в учителя, можно сравнить в контексте практического обучения с учеником бакалавриата, математическим факультетом и предметом. Area Advisor, как описано ниже в Разделе 4.2.2. Сходство двух сред (с разницей в несколько лет) заключается в двойном наблюдении за учеником, изучающим математику, дуэтом «более знающих других».

4.2. Бакалавриат по математике и практическому обучению

4.2.1. Понимание абстрактности с обучением на практике

Язык математики является абстрактным с большей абстракцией на более высоких уровнях. Традиционно университетская математика для нематематических специальностей преподается, дистанцируясь от реальности, без связи с профессиональными интересами студентов. В этом контексте многие будущие профессионалы не видят важности математики в своих перспективных областях [48]. Кроме того, абстрактность в обучении часто приводит к проблемам общения.Как отмечено в [49], в связи с преподаванием инженерной математики могут быть несоответствия между терминологией и идеями, используемыми математиком-преподавателем, и их интерпретацией студентами. Из-за того, что математическое образование на университетском уровне слишком теоретическое, оно становится неэффективным: нематематические специальности изучают предмет «потому что они должны». Альтернативный подход к математическому образованию основан на хорошо известном и прагматичном понятии «обучение на практике» (напр.ж., [50–54]), что делает возможным конструктивное взаимодействие чистых и прикладных идей. Этот подход имеет большой потенциал для внедрения экспериментального обучения в математический анализ — базовую последовательность курсов в учебной программе по высшей математике.

4.2.2. Математический зонтик Модель

Вся университетская учебная программа по математике для нематематических специальностей может извлечь выгоду из практического обучения. Было обнаружено, что, особенно на университетском уровне, следует придерживаться «середины пути» в отношении относительных весов, придаваемых теории и применению.Математическая зонтичная группа (MUG) Университета Южной Флориды (USF), созданная Аркадием Гриншпаном в 1999 году [55], занимает эту «позицию». Он устраняет разрыв между математическим образованием и приложениями, одновременно вдохновляя студентов STEM на приобретение математических навыков, необходимых для успеха в их соответствующих дисциплинах. Эта инициатива привела к разработке модели «Зонтик математики» в образовании STEM, включающей сотни междисциплинарных (прикладных математических) студенческих проектов.За десять лет, прошедших с момента сообщения о том, что программа MUG была первой организацией, которая содействовала персонализированным математическим проектам, при поддержке консультантов по математике и предметным областям, для обучения нематематических дисциплин студентам STEM [56], MUG оставалась уникальной в этом отношении. Каждый проект выполняется под двойным контролем: консультант по математике (математический факультет) и консультант по предметной области (университетский или общественный специалист), который обычно предлагает проблему [4, 48, 55, 57–59].

Отличительной чертой MUG является уловка, заключающаяся в соединении одного студента бакалавриата с как минимум двумя специалистами. Ситуация проиллюстрирована на Рисунке 4. В результате ученики получают доступ к более широкому кругу знаний, чем обычно предоставляется одному преподавателю математики.

Еще одной сильной стороной является наличие связей с сообществом, которые возможны, или междисциплинарные связи, которые, по крайней мере, имеют место за пределами математического факультета вуза.Практическое обучение привносит «реальность» в абстракции математики. Даже когда преподаватели математики пытаются решить задачи с помощью приложений, полезность не осознается из первых рук, пока студенты не начнут применять ее. Это мотивационный подход для всех участников трио. Позже студенты могут решить провести исследование в связи с их опытом работы в проекте. Кроме того, они, вероятно, сохранят задействованные концепции дольше, чем при подходе «чистой лекции».

4.2.3. Практическое обучение на курсах математического анализа высшего уровня

Практическое обучение является сильным мотивирующим фактором для всех участников, участвующих в математической группе Umbrella. Этот фактор, кажется, является общей нитью во всем спектре практического обучения K-20. Интерес участников к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту. Преподаватели математики потенциально могут получить наибольшую пользу, но от студентов ожидается, что они будут знать теорию достаточно, чтобы их можно было мотивировать. Что касается программ бакалавриата по математике, таких как математический анализ II и III, считается, что учащимся достаточно пройти несколько небольших тестов и домашних заданий, а затем направить свою энергию на практическое обучение, а не требовать от них успешной сдачи выпускного экзамена.В частности, эта педагогика практического обучения помогает студентам, которые «незначительно преуспели», позволяя в их итоговые оценки включать компонент практического обучения, которому по праву придается значительный вес в общей оценке курса.

Чаще встречаются «успешные», которые могут быть очень продуктивными в своих проектах по обучению действиям. Есть вероятность, что работы студентов будут опубликованы или, возможно, даже отмечены [4, 57], как и многие студенты за последние два десятилетия.Это прекрасные мотиваторы для всех сторон, участвующих в практическом обучении. Поскольку действие проистекает из мотивации, важно осознавать роль «мотиваторов действия». Для студентов высших учебных заведений мощным мотиватором часто является изучение чего-то полезного и того, на чем можно построить или улучшить успешную карьеру.

Примечательно, что студенты естественным образом мотивированы успехом в изучении математики. Влияние практического обучения было проанализировано в Университете Южной Флориды на курсах инженерного исчисления, в которых участвовали тысячи студентов, прошедших эти курсы и последующие курсы с весны 2003 г. по весну 2015 г. [59].Некоторые результаты (сгруппированные по расе и этнической принадлежности) представлены на Рисунке 5 [59]. На этом рисунке показан эффект обучения действием, параллельных разделов обучения без действия и исторических (традиционных) разделов. В этой части исследования участвовали 1589 студентов, изучающих действие, и 1405 студентов, обучающихся на курсах, не использующих элемент обучения действием. Наконец, еще 2316 человек были помечены как «исторические», что означает, что они прошли курс до весны 2003 г. (то есть до того, как было проведено различие в использовании или неиспользовании практического обучения в своих курсах).Исследователи тщательно включили доверительные интервалы в свои результаты. Очевидно, что в этой относительно большой подгруппе из более крупного исследования все четыре категории расы / этнической принадлежности предпочитают быть участниками обучения действием. Для размышления есть много информации из [59]. Во всяком случае, этот и другие результаты демонстрируют академическое превосходство в действии над обучением без действия. Прагматический вывод состоит в том, чтобы обеспечить обучение действием, поскольку оно работает.

4.2.4. Практическое обучение как универсальная образовательная концепция

Мотивация преподавателей математики возникает в результате знакомства с новым опытом практического обучения. В настоящее время зарегистрированы многие сотни проектов практического обучения, представляющих широкий круг тем. Кроме того, всегда происходит обучение тонким действиям, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в Журнале бакалавриата по математическому моделированию: один + два (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать практическое обучение.Есть проекты, посвященные очень специфическим отраслям инженерии, например, биомедицинским нанотехнологиям. Есть также много других проектов, помимо «собственно инженерной мысли», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие — это кросс-полевые типы, которые не поддаются четкой категоризации. Типы мостов часто представляют особый интерес. Это мотивирует преподавателей увидеть, что входит в смесь и какие области могут быть связаны посредством практического обучения. Это междисциплинарные особенности, желательные для всех учебных программ (в «вселенной учебных программ», то есть в образовании).Некоторые подробности доступны на главном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена ​​избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 года. Признак разнообразия тематики проектов и участников студенческих работ очевиден из разнообразия тем, рассматриваемых в последних изданиях UJMM ([44], v. 8 , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования толчка» Кая Раймонда, «Силы, действующие на парусную лодку» Келли Стукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Гинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности колеблющихся липидных листочков с использованием взвешенной сеточной мозаики» Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс» Нашей Риос-Гусман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общепринятой практики» Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом, политрофическом, установившемся процессе потока »Саванна Гриффин,« Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени »Энни Аллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнил Патель, «Оптимизация реакции сдвига водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.

Помимо множества опубликованных проектов бакалавриата, существуют «сценарии практического обучения», которые можно рассматривать как совокупность различных практических занятий. Этот смешанный опыт имеет несколько идеалистических проблем. Проблемы можно считать типичными для того, что может быть рассмотрено в проекте, а не реальными примерами. Эти сценарии мотивируют преподавателя математики включать практическое обучение в обычный теоретический курс.Этим опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в математическом образовании. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением актуальных проблем в реальном мире.

5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики

5.1. Вопросы как инструменты обучения

Вопросы обычно становятся более сложными по мере взросления учащихся.Преподаватели на всех уровнях математического образования используют знания и опыт, чтобы ответить на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы, при этом иногда (как правило, на более высоких уровнях) вопросы могут потребовать дополнительных размышлений перед их изложением. В контексте постановки проблем и их решения важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, требующие информации, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60].Подобно двум типам знаков — символам первого порядка и символике второго порядка [61] — можно относиться к вопросам, ищущим информацию, как к вопросам первого порядка, а те, которые требуют объяснения, как к вопросам второго порядка [46]. В то время как на вопросы первого порядка можно ответить, используя разные методы, похоже, что не все методы могут быть использованы для объяснения того, что было получено при поиске информации, то есть для предоставления ответа на вопрос второго порядка. Часто просьба о объяснении является разумным размышлением о методе предоставления информации.

Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Зачем им нужно такое понимание? Есть несколько причин, по которым будущие учителя должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы иметь положительное влияние на успеваемость молодых изучающих математику. Во-первых, в современном классе математики ожидается, что ученики всех возрастов будут задавать вопросы, и их даже поощряют. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов до K-2 предполагают, что «необходимо воспитывать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не сразу очевидны» ([19], с.109). Это предложение подтверждается следующим комментарием кандидата в учителя начальной школы: «Не зная ответа на вопрос — это нормально, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «тот педагог, который всегда будет побуждать моих учеников задавать себе одни и те же вопросы, которые позволят им участвовать в глубоком размышлении».

5.2. Международный характер обучения с помощью вопросов

На границе с США министерство образования Онтарио в Канаде в рамках своей учебной программы по математике для младших классов ожидает, что учителя будут иметь возможность «задавать учащимся открытые вопросы … поощряйте студентов задавать себе подобные вопросы… [и] моделируйте способы, которыми можно ответить на различные вопросы »([62], с.17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, материалов для манипуляций и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], с. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предварительные знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждение учащихся» ([64], с. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросить вызов мышлению учащихся, обсудить математический смысл и моделировать математическое мышление и рассуждение» ([65], с.4). Репертуар возможностей обучения, которые преподаватели предлагают своим ученикам, включает постоянный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь ученикам в изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «практика со все более сложными задачами с течением времени… [и] может решать задачи… с возрастающей степенью сложности» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественный поиск вопросов приводит учеников к этой изощренности и усложнению математических идей.Необходимость такой подготовки учителей подтверждается кандидатом в учителя, который сформулировал это следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю ».

На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, правда, что математика, с которой приходится сталкиваться на уровне начальной и средней школы, должна быть безупречно понята преподавателями математики и что учащиеся могут быть «уверены» в том, что им преподают.Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной / трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики — это то, что ученики, вероятно, найдут привлекательными. Конечно, преподавателю математики полезно иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному описанию. В некоторых редких случаях ответ даже недоступен. Ожидается, что зрелость студентов позволит им признать, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается.На более ранних этапах математического образования учащиеся верят, что математика идеальна. Однако математика так же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.

6. Компьютерная сигнатурная педагогика и модель обучения и преподавания 3P

Любопытство и мотивация также могут поддерживаться использованием цифровых инструментов в качестве инструментов практического обучения. Как было показано на примерах из дошкольного математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного познавательного уровня на другой (более высокий).Это согласуется с современным использованием компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты возникают в результате вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двусторонние счетчики были предложены как средство рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, по интуиции, определился определенный образец в поведении соотношений могут быть обнаружены два последовательных члена. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом.Точно так же переход от числового описания прямоугольников с точки зрения периметра и площади приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен путем мышления «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символическому с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.

Мощь вычислительного моделирования может служить мотивацией для разработки и последующего исследования более сложных рекуррентных соотношений, чем у чисел Фибоначчи.Как обсуждалось в [58], использование моделирования электронных таблиц может быть применено в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с упором на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самца и самку) и выращивания популяции мышей определенной размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования в электронной таблице, затем могут быть использованы для проверки теоретических результатов.Подробнее об этом проекте см. [55].

Все это приводит к понятию компьютерной сигнатурной педагогики (CASP), когда побуждает размышлять и поддерживать анализ действий, предпринимаемых учеником в контексте практического обучения, обеспечивает CASP глубинную (а не поверхностную) структуру обучения . [67] нанят учителем как «более знающий друг». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] проводил различие между поверхностной и глубинной структурой студенческих подходов к изучению , описывая первый подход в терминах студента, «вкладывающего минимальное время и усилия, чтобы соответствовать требованиям… [ тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задачи; стратегия максимального понимания »(стр.6). Адаптировав модель обучения в классе, предложенную Данкином и Биддлом [68], Биггс [15] представил теперь известную 3P модель обучения студентов, основанную на представлениях студентов об обучении в целом и их текущей учебной среде (прогноз), студенческий подход к обучению (процессу) и результат обучения студента (продукт). Исследование того, как первый P модели влияет на второй P и, как следствие, на третий P, было проведено Лиццио, Уилсоном и Саймонсом [69], которые выдвинули семь теоретических положений.Одно из этих предположений было основано на аргументе о том, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут глубокий подход к обучению. Авторы пришли к выводу, что этот аргумент верен не только для учебных курсов по высшей математике, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном преподавании математики правильное использование технологий является важной характеристикой учебной среды.В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубокой структуре под эгидой CASP, можно расширить использование одного цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех образовательных уровнях с вычислительной надежностью обучения учащихся.

7.Проблемы и догадки, которые вдохновляют и мотивируют

Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), скорее всего, столкнется с «бесполезностью» математического совершенства. В математике есть легко выражаемые вопросы (предположения), на которые нет ответов (доказательство). Это похоже на принцип неопределенности Гейзенберга, где есть «пределы точности», например, при нахождении как положения, так и импульса. Важное понятие состоит в том, что не всегда есть «стандартные» решения математических задач.Зная это, учащиеся могут продолжить изучение математики для решения некоторых задач. В этих случаях действует «нестандартное» обучение действиям. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге будет вызвано приложение. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, многое предстоит узнать в этой попытке. Это мотивационный процесс. Кроме того, размышления привносят конкретность в концепции проблемы и относятся к общей «природе» проблем и решению проблем.

Реальные приложения математики в значительной степени стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты разных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые раньше мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится получить полное представление о математике как о фундаментальной науке.Некоторые из этих задач (иногда называемых предположениями) можно рекомендовать для включения в учебную программу по математике для не математических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и предположения, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут запустить воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для оспаривания.

Например, формулировки и исторические подробности таких захватывающих проблем, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. Также [73]), могут быть включены в некоторые базовые курсы математики. для нематематических специальностей.Доказательства этих теорем требуют не только элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.

Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z, когда .В частности, эта теорема может быть представлена ​​различным группам студентов-математиков как способ ответа на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию троек Пифагора как разбиение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для более высоких степеней ? Как подробно описано в [75], использование электронной таблицы со второстепенными кандидатами в учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений вышеуказанного уравнения для почти таким же образом, как и для.Точно так же вполне возможно, что с помощью технологий или других средств естественный мост между утверждением Великой теоремы Ферма и некоторыми геометрическими свойствами модульных эллиптических кривых в доказательстве Уайлса станет доступным для будущих студентов-математиков.

Гипотеза Бибербаха утверждает, что для каждой аналитической функции, взаимно однозначной в единичном круге, неравенство выполняется. Один только этот легендарный результат с его ошеломляющими данными (см., Например, [76]) может вызвать у студентов интерес к изучению таких важных математических понятий, как взаимно однозначные функции, степенные ряды, сходимость и коэффициенты Тейлора, которые, в частности, являются целесообразно обсудить с инженерами-майорами.Здесь также стоит упомянуть о глубоких геометрических корнях гипотезы Бибербаха. Например, его доказательство для основано на представлении плоской заданной области как контурного интеграла и, таким образом, доступно для нематематических специальностей, зачисленных на курс исчисления верхнего уровня.

Существует также известная гипотеза Гольдбаха [77], которая утверждает, что каждое четное число больше двух может быть записано как сумма двух простых чисел (возможно, более чем одним способом). Было бы чудом, если бы эта гипотеза оказалась ложной.Пока встречных примеров не найдено. Хотя поиск противоположного примера кажется бесплодным, эмпирически было показано, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел больше двух и меньше некоторого известного числа, состоящего из 17 цифр.

Другой известной, но простой для понимания проблемой является гипотеза палиндрома [78]. Он имеет дело со свойством палиндромов (т. Е. Целых чисел, которые читаются так же, как вперед и назад) привлекать целые числа в соответствии со следующей процедурой: начать с любого целого числа, перевернуть его цифры и сложить два числа; повторите процесс с суммой и продолжайте видеть, что это приводит к палиндрому.Примечательно, что эта «игра с числами» недавно была упомянута как одна из двенадцати нерешенных проблем современной математики [79]. Именно эта проблема и, как отмечено в Принципах и стандартах школьной математики [19], ее образовательный потенциал для учащихся средних школ «ценить истинную красоту математики» (стр. 21) побудил кандидата в учителя средней школы работать с один из авторов по разработке вычислительных обучающих сред для учебных презентаций и экспериментов с большим классом развлекательных задач, как решенных, так и нерешенных [80].Как сказал Гаусс, «в арифметике самые элегантные теоремы часто возникают экспериментально в результате более или менее неожиданной удачи, в то время как их доказательства лежат настолько глубоко погруженными в темноту, что опровергают самые острые вопросы» (цитируется в [81]. ], стр. 112).

Похоже, что использование технологий для значимых экспериментов с числами под эгидой CASP может вдохновить и мотивировать студентов уже на уровне дошкольного образования к новым открытиям в элементарной теории чисел.Каким-либо образом расширяя наше понимание математики, мы потенциально расширяем нашу способность «процветать». Это неотъемлемая ценность и мотивация для обучения действиям. Предполагается, что вся математика может иметь приложения. Нам нужно только иметь мотивацию для разработки этих приложений.

8. Заключение

В этой статье с использованием опыта авторов в преподавании математики и надзоре за приложениями этого предмета в практике государственных школ и промышленности представлена ​​структура совместного использования практического обучения и концептуальной мотивации в контексте К-20 математического образования.Были представлены различные примеры практического обучения — индивидуальная работа над реальной проблемой с последующим размышлением под наблюдением «более знающего другого». Такой надзор может включать в себя «дуэт других» — классного учителя и кандидата в учителя в школе K-12, а также преподавателя математики и советника по предметной области в университете. В статье показано, что практическое изучение математики идет рука об руку с концептуальной мотивацией — методикой обучения, при которой введение математических концепций мотивируется (соответствующими классу) реальными приложениями, которые могут включать в себя действия учащихся над объектами, приводящие к формальному описанию этого. действие через символику математики.Этот подход основан на важных рекомендациях математиков [5, 16, 17] и педагогических психологов [1, 25, 26, 61].

Главный вывод статьи состоит в том, что за счет многократного использования концептуальной мотивации и практического обучения на всех уровнях математического образования общий успех учащихся имеет большой потенциал для улучшения. Это сообщение подкрепляется примерами творческого мышления молодых учащихся в классе, основанного на всестороннем сотрудничестве школьных учителей и преподавателей университета (в духе Группы Холмса [82]).Точно так же это сообщение было подкреплено примерами интереса студентов к изучению математического анализа посредством практического обучения в реальной жизни. Похоже, что растущий интерес студентов к математике связан с практическим обучением и концептуальной мотивацией, которые использовались для исправления широко распространенного формализма в преподавании математики, который, в частности, стал препятствием на пути к успеху STEM-образования [4, 7, 8] . Когда учащиеся имеют опыт практического изучения математики в школьные годы, они, вероятно, продолжат изучение предмета в том же духе, тем самым избежав многих препятствий на пути перехода от среднего образования к высшему.Как упоминалось в разделе 4.2.3, исследование внедрения практического обучения инженерного исчисления с участием тысяч студентов Университета Южной Флориды [4, 59] показывает, что, хотя интерес студентов к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту в этом случае их результаты обучения демонстрируют академическое превосходство практического обучения над другими педагогическими средствами проведения расчетов.

На начальном этапе формального математического образования школьники должны начать знакомство с педагогикой практического обучения и концептуальной мотивации, усиленной, в зависимости от обстоятельств, задаванием вопросов и ответами на них, а также обучением использованию технологий.Как было показано в документе, не только учебные программы по математике K-12 во многих странах поддерживают обучение учащихся, задавая вопросы, но и их будущие учителя ценят такой вид математического обучения. Аналогичным образом, компьютерная педагогика сигнатур [37] может использоваться для максимального понимания учащимися математики и поощрения их глубокого подхода к обучению [15]. У студентов университетов больше мотивации, чем у школьников, чтобы справляться с обязанностями взрослой жизни. Тем не менее, обе группы студентов все еще могут быть мотивированы своим естественным «бросающим вызов возрасту» любопытством.В этом отношении стимулирующие вопросы, склонность к использованию компьютеров и известные классические задачи являются важными инструментами мотивации при изучении математики. Объединение всей учебной программы по математике K-20 в единое целое возможно, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом образовательном спектре. Наконец, очевидно, что есть прагматическая причина для того, чтобы знакомить учащихся с радугой обучения действием, и это потому, что среди сегодняшних учеников есть завтрашние учителя.Процесс должен и дальше развиваться.

Доступность данных

Данные, использованные для подтверждения результатов этого исследования, включены в статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Математика

B.E.S.T. Стандарты по математике

Департамент образования Флориды с радостью объявляет о том, что 12 февраля 2020 г. Советом по образованию штата были утверждены стандарты Флориды для отличного мышления учащихся (B.E.S.T.) по математике.Кроме того, 23 сентября 2020 года SBE одобрила поправку к Правилу 6A-1.09412, Требования к курсу — Базовая программа для классов K-12 и Программа среднего образования для взрослых. В этой поправке были приняты описания курсов по ELA, математике, не-ELA и нематематике, которые включают B.E.S.T. Стандарты английского языка по искусству и математике. Лучшее. Стандарты математики будут полностью внедрены в 2022-2023 учебном году вместе с согласованными учебными материалами и оценками в масштабе штата.Воспользуйтесь ссылкой в ​​первом пункте ниже, чтобы найти дополнительную информацию, включая ресурсы, относительно B.E.S.T. Стандарты по математике.

B.E.S.T. Повышение квалификации по математике

Ниже вы можете найти информацию о прошлых, настоящих и будущих возможностях профессионального развития.

Virtual Standards Institute, июль и сентябрь 2020 г.

B.E.S.T. Руководитель отдела повышения квалификации математического округа

Департамент рад объявить о следующем этапе обучения внедрению, специфичному для B.СТАНДАРТНОЕ ВОСТОЧНОЕ ВРЕМЯ. Стандарты по математике. Есть три запланированных места, как описано ниже, в которых округа смогут принять участие. Для гарантированных слотов регистрация открыта до 9 апреля 17:00 EST на https://www.math.floridasteamposium.org/. С 10 апреля в 9:00 по восточному стандартному времени до 30 мая регистрация будет открыта в порядке очереди. Участники этого мероприятия могут рассчитывать: 1) расширить свои знания о B.E.S.T. Стандарты по математике, 2) получить ресурсы для своего округа для выполнения B.СТАНДАРТНОЕ ВОСТОЧНОЕ ВРЕМЯ. Стандарты математики с верностью, 3) активно участвуют в обучении, ориентированном на учащихся, и 4) принимают участие в сообществе учащихся и лидеров со своими сверстниками.

Предварительная повестка дня (PDF)

• Север | 13-15 июля 2021 г. | Средняя школа Милтона, Милтон, Флорида
• Центральный | 20-22 июля 2021 г. | Средняя школа Джорджа Дженкинса, Лейкленд, Флорида
• Юг | 27-29 июля 2021 г. | Средняя школа побережья Мексиканского залива, Неаполь, Флорида

Б.СТАНДАРТНОЕ ВОСТОЧНОЕ ВРЕМЯ. Планирование обучения и преподавания

Следующая веб-страница предназначена для предоставления информации о курсах и ресурсов для поддержки обучения и инструктирования B.E.S.T. Стандарты по математике.

Текущие стандарты математики Флориды (MAFS)

Стандарты математики Флориды были утверждены Советом по образованию штата Флорида 18 февраля 2014 года. Эти стандарты были полностью внедрены в 2014-15 учебном году и в последующие годы. Текущие стандарты математики Флориды будут по-прежнему использоваться для целей обучения и оценки до конца 2021-2022 учебного года.

Оценка стандартов Флориды (FSA)

Этот портал является вашим источником информации об оценках стандартов Флориды, включая спецификации тестовых заданий, резюме дизайна тестов и практические тесты.

Национальная оценка прогресса в образовании (NAEP)

Ресурсы для учащихся и родителей

Контактная информация

П.Дж. Дункан
Директор офиса STEAM
Бюро стандартов и поддержки обучения
325 West Gaines Street, Suite 432
Таллахасси, Флорида 32399-0400
Телефон: 850-245-0808
Патрисия[email protected]

Эшли М. Харви
Специалист по элементарной математике
Бюро стандартов и поддержки обучения
325 West Gaines Street, Suite 432
Таллахасси, Флорида 32399-0400
Телефон: 850-245-0067
[email protected]

Кортни Старлинг
Специалист по средней математике
Бюро стандартов и поддержки обучения
325 West Gaines Street, Suite 432
Таллахасси, Флорида 32399-0400
Телефон: 850-245-9066
Кортни[email protected]

Степенные или экспоненциальные уравнения. Решение уравнений высших степеней Как решить общее уравнение 5-й степени

Класс:
9

Основные цели:

1. Для закрепления концепции целого рационального уравнения I степени.
2. Сформулируйте основные методы решения уравнений высших степеней (n >
   
   3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научить по типу уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, используемые учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции — разъяснение нового материала, семинары — решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Исследовательское обучение в развивающем образовании математический аппарат и мыслительные способности каждого отдельного ученика.
• Печатный материал — индивидуальное краткое изложение урока (основные понятия, формулы, утверждения, лекционный материал сжат в виде схем или таблиц).

План урока:

1. Организация времени.
   Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержание урока.
2. Обновление знаний студентов.
   Цель этапа: обновить знания студентов по ранее изученным смежным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n >
   3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты изучаемого на уроке материала.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: сформулировать домашнее задание для студентов.

Краткое содержание урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: «Уравнения высших степеней. Методы их решения ».

2. Актуализация знаний студентов.

Теоретический обзор — беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Студенты формулируют основные определения и формулируют необходимые теоремы. Приведены примеры, демонстрирующие ранее полученный уровень знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решение уравнения.
• Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие эквивалентности уравнений, уравнение-следствие (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
• Концепция целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие о целом рациональном уравнении n -й степени.Стандартная форма всего рационального уравнения. Сокращенное целое рациональное уравнение.
• Переход к системе уравнений более низкой степени путем разложения исходного уравнения на множители.
• Полиномиальное понятие n -й степени от x … Теорема Безу. Следствия теоремы Безу. Корневые теоремы ( Z -корней и Q -корней) всего рационального уравнения с целыми коэффициентами (приведенными и неприведенными соответственно).
• Схема Хорнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать все рациональное уравнение n -й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x: P n (x) = 0, где P n (x) = тревога + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 — многочлен n -й степени от x ,
a n ≠ 0. Если a a n = 1, то такое уравнение называется сокращенным целым рациональным уравнением n -й степени. Рассмотрим такие уравнения для разных значений n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 — линейное уравнение.

n = 2 — квадратное уравнение.
Дискриминантная формула. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выбор полного квадрата.

n = 3 — кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x 3 — 4x 2 — x + 4 = 0 (x — 4) (x 2 — 1 ) = 0

x 1 = 4, x 2 = 1, x 3 = -1.

Обратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2
+ bx + a = 0. Решите, объединив члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x 3-5 x 2-5 x + 1 = 0
( x + 1) ( x 2-6 x + 1) = 0
x 1 = -1, x 2 = 3 + 2,
x 3 = 3 — 2.

Выбор Z-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. При применении этого метода необходимо подчеркнуть, что поиск в этом случае конечен, и мы выбираем корни по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z -корнях редуцированного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 — 9 x 2 + 23 x — 15 = 0. Приводится уравнение. Запишем делители свободного члена ( +
1; +
3;
+
5; +
пятнадцать). Применим схему Горнера:

Получаем ( x — 1) ( x 2-8 x + 15) = 0
x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Q-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. При применении этого метода необходимо подчеркнуть, что поиск в этом случае конечен и корни выбираются по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q -корнях неприводимого целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9 x 3 + 27 x 2 — x — 3 = 0. Уравнение не сводится.Запишем делители свободного члена ( +
1; +
3). Запишем делители коэффициента при наивысшей степени неизвестной. ( +
1; +
3;
+
9) Поэтому будем искать корни среди значений ( +
1; +
;
+
;
+
3). Применим схему Горнера:

Получаем ( х —
) (9 x 2
+ 30 x + 9) = 0
x 1 =
,
x 2 = —
, x 3 = -3.

Для удобства вычислений при выборе Q -roots может быть удобно произвести замену переменной, перейти к сокращенному уравнению и выбрать Z -roots .

.

• Если можно использовать замену вида y = kx

.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений — это формула Кардано. Эта формула связана с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501-1576), Николо Тарталья (1500-1557), Сципионе дель Ферро (1465-1526).Эта формула выходит за рамки нашего курса.

n = 4 — уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x 4 + 2 x 3 + 5 x 2
+ 4 x — 12 = 0
( x 4 + 2 x 3) + (5 x 2 + 10 x )
— (6 x + 12) = 0
( x + 2) ( x 3 + 5 x — 6) = 0
( x + 2) ( x — 1) ( x 2 + x + 6) = 0
x 1 = -2, x 2 = 1.

Метод замены переменной.

• Биквадратное уравнение вида ax 4 + bx 2 + s = 0
  .
  

Пример: x 4 + 5 x 2 — 36 = 0. Замена y = x 2. Отсюда y 1 =
4, у 2 = -9. поэтому x 1,2 = +
2.

• Обратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + c x 2 + bx + a = 0.

Решаем, комбинируя члены с одинаковыми коэффициентами, заменяя форму

• топор 4
  + bx 3 + cx 2 — bx + a = 0.

• Обобщенное уравнение возврата в четвертой степени ax 4
  + bx 3 + cx 2 + kbx
  + к 2 а = 0 .

• Замена общего вида.Некоторые стандартные замены.

Пример 3 .
Замена общего вида (следует из вида конкретного уравнения).

n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Фитинг Q-образный n =
3.

Общая формула. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эта формула связана с именем Людовико Феррари (1522-1565).Эта формула выходит за рамки нашего курса.

n >
5 — уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Z-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подгонка Q-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n =
3.

Симметричные уравнения. Любое уравнение возврата нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один множитель имеет вид ( x + 1), а второй множитель — уравнение возврата четной степени (его степень на единицу меньше степени исходного уравнения). Любое рекуррентное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит корень вида. Используя эти постановки, мы решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование единообразия.

Не существует общей формулы для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765-1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811-1832))).

• Напомним еще раз, что на практике можно использовать комбинаций вышеуказанных способов.К системе уравнений младших степеней удобно перейти путем факторизации исходного уравнения .
• Широко используемый на практике остался за рамками нашего сегодняшнего обсуждения. графических методов
  решений уравнений и приближенных методов решения уравнений высших степеней.
• Бывают ситуации, когда уравнение не имеет R-корней.

Затем решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение не имеет корней.Чтобы доказать это, проанализируем поведение рассматриваемых функций на интервалах монотонности. Пример: уравнение x 8 — x 3 + 1 = 0 не имеет корней.

• Использование свойства монотонности функций

… Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
Пример 1: уравнение x 5 + 3 x — 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: уравнение x 4 + ( x — 1) 4 = 97 имеет корни x 1 = -2 и x 2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на интервалах монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы освоили основные методы решения различных уравнений высших степеней (для n >
3). Наша задача — научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы.В зависимости от типа уравнения нам придется научиться определять, какой метод решения в данном случае наиболее эффективен, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

: стр. 7, стр. 164-174, № 33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12,
9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или тезисов по теме:

• Формула Кардано
• Графический метод решения уравнений. Примеры решений.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и заинтересованности студентов в теме:

Опыт показывает, что студентов в первую очередь интересует возможность Z -корней и Q -корней уравнений с использованием довольно простого алгоритма с использованием схемы Хорнера. Также студентов интересуют различные стандартные типы замен переменных, которые могут значительно упростить задачу.Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае вы можете дополнительно разобрать задачи в графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графа многочлена 3, 4, 5 степеней; проанализировать, как количество корней уравнений 3, 4, 5 степеней связано с типом соответствующего графа. Ниже приведен список книг, в которых вы можете найти дополнительную информацию по этой теме.

Список использованных источников:

1. Виленкин Н.Я. et al. «Алгебра. Учебник для 9-х классов с углубленным изучением математики »- М., Просвещение, 2007 — 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. «За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс »- М., Просвещение, 2008 г. — 192 с.
3. Выгодский М.Я. «Справочник по математике» — М., АСТ, 2010 г. — 1055 с.
4. Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре. Учебник для 8-9 классов с углубленным изучением математики »- М., Образование, 2008 г. — 301 с.
5. Звавич Л.И. и другие. «Алгебра и начало анализа. 8-11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики »- М., Дрофа, 1999 г. — 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. «Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе» — М., Просвещение, 2007 г. — 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» ч. 1 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» ч. 2 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
9. Иванов А.П. «Контрольные и контрольные работы по математике. Учебное пособие ». — М., Физматкнига, 2008 г. — 304 с.

.

10. Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике. Часть 2-9 класс »- М., МЦНМО, 2009 г. — 184 с.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра. Дополнительные главы к учебнику для 9-х классов. Учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики». — М., Просвещение, 2006 — 224 с.
12. Мордкович А.Г. «Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник» — М., Мнемосина, 2006 г. — 296 с.
13. А.П. Савин «Энциклопедический словарь молодого математика» — М., Педагогика, 1985 — 352 с.
14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики» — М., Образование, 2006 — 95 с.
15. Чулков П.В. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Лекции 1–4 »- М., 1 сентября 2006 г. — 88 с.
16. Чулков П.В. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Лекции 5–8 »- М., 1 сентября 2009 г. — 84 с.

Судя по началу публикации, которую мы здесь опускаем, текст написан Юрием Игнатьевичем. И написано хорошо, и проблематика актуальна, только так можно назвать Россию, как Мухин…

Как ни относиться к антинародной власти, Россия выше нее и не заслуживает оскорблений. Даже от талантливого разоблачителя американского агентства NASA.

*

Обращение к тов. Мухину Ю.И.

Уважаемый Юрий Игнатьевич! Я знаю, что вы посещаете эти страницы. Поэтому обращаюсь к вам напрямую.

Мы все ценим вашу самоотверженную работу в области разоблачения лжи Запада, лжи Америки, лжи псевдоученых и лжи либералов.Мы с удовольствием и пользой для себя и общества думаем о серьезных темах, которые вы время от времени нам задаете, будь то меритократия или метафизика, любовь к русской истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей родины сбивают с толку и расстраивают.

Однако судите сами: как бы вы охарактеризовали человека, который начал оскорблять свою мать, которая заболела и временно перестала работать из-за этого?

Но Россия, как бы ее ни называли, и какой бы хорошей или противной ни была власть, Россия — наша Родина. Родина. За нее наши деды пролили кровь и положили свои жизни.

Следовательно, ставить его в один ряд с силой — значит понижать духовное возвышенное до уровня материального и даже низкого. Те. вы сравниваете совершенно разные категории. Вещь неприемлема для любого здравомыслящего человека.

Прошу вас, уважаемый товарищ. Мухин, серьезно подумай об этом.

**

… А с уравнениями (я этого не знал) ситуация следующая.Как найти корни квадратного уравнения догадывались еще в Древнем Египте.

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвертой степени нашли еще в шестнадцатом веке, но корни уравнения пятой степени найти не могли до 2016 года. И пытались далеко не обычные люди.

В шестнадцатом веке основатель символической алгебры Франсуа Вьет попытался найти корни уравнения пятой степени; в девятнадцатом веке основатель современной высшей алгебры французский математик Эварист Галуа попытался найти корни уравнений пятой степени; после него норвежский математик Нильс Хенрик Абель попытался найти корни уравнений пятой степени.сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени вообще.

Мы читаем в Википедии о заслугах Авеля: «Авель завершил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решения в общем виде (в радикалах) уравнения 5-й степени …

В алгебре Абель нашел необходимое условие для выражения корня уравнения «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное состояние вскоре обнаружил Галуа, достижения которого были основаны на трудах Абеля.

Абель привел конкретные примеры уравнения 5-й степени, корни которого не могут быть выражены в радикалах, и, таким образом, в значительной степени закрыл древнюю проблему. «

Как видите, если они все время пытались доказать теорему Пуанкаре и Перельман оказывался более удачливым, чем остальные математики, то после Абеля математики не брались за уравнения пятой степени.

А в 2014 году математик из Томска Сергей Зайков , о котором можно судить по фото, что он уже в годах, а по данным из статьи о нем, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томский государственный университет, в процессе работы получил уравнения пятой степени.Тупик? Да тупик! Но Сергей Зайков взялся его сломать.

А в 2016 году он нашел способы решения уравнений пятой степени в общем виде! Он сделал то, что математики Галуа и Абель доказали невозможным.

Я пытался найти информацию о Сергее Зайкове в Википедии, но пошли вы на хуй! О математике Сергее Зайкове и о его нахождении решения уравнения пятой степени информации нет!

Пикантность делу придает еще и то, что для математиков есть аналог Нобелевской премии — Абелевская премия (Нобель запретил давать математикам премию и теперь ее выдают за математические фекалии, называя их «физиками»). «).

Эта математическая премия в честь того самого Абеля, который доказал невозможность того, что сделал Зайков … Однако самовыдвижение на эту награду не допускается. А Зайков — математик-одиночка, и нет организаций, которые могли бы предложить его кандидатом на эту премию.

Да, у нас есть Академия наук, но академики там сидят не для развития математики, а «пилить бабло». Кому там нужен этот Зайков?

Ну для информагентств Заиков для вас не Перельман! Поэтому открытие Зайкова для СМИ не сенсация.

Вот то, что Порошенко ошибся с дверью — да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил задачу, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры решение алгебраических уравнений стало ее основной задачей. Решение уравнения второй степени было известно еще в Вавилоне и Древнем Египте. Такие уравнения мы изучаем в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0 и дискриминант?

Сергей Зайков с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке.Но уравнение пятой степени решить не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени стало возможным, потому что они могут быть сведены к уравнениям, которые уже решены. Уравнение третьей степени может быть сведено к уравнению второй степени, а уравнение четвертой степени — к уравнению третьей. Но уравнение пятой степени сводится к уравнению шестой, то есть более сложному, поэтому традиционные методы решения неприменимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени возник только двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, то есть в квадратных, кубических и других корнях, знакомые нам со школы. И вскоре Галуа, то есть двести лет назад, нашел критерий определения того, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он состоит в том, что группа Галуа, разрешимая в радикалах уравнения пятой степени, должна быть либо циклической, либо метациклической.Но Галуа не нашел способа решить в радикалах те уравнения пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор были найдены только частные решения уравнений пятой степени, разрешимых в радикалах. И только в этом году томский математик Сергей Зайков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Он опубликовал книгу «Как решаются алгебраические уравнения пятой степени в радикалах», в которой указал метод решения любых уравнений пятой степени, разрешимых в радикалах.Зайков — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять у него интервью.

— Сергей, почему вы начали решать эту проблему?

— Мне нужно было решить уравнение пятой степени, чтобы решить задачу из другого раздела математики. Я начал придумывать, как его найти, и выяснил, что не все они решаются радикально. Затем я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но я нашел только критерий, по которому можно определить, какие из них разрешимы, а какие нет.Я не алгебраист, но, конечно, как выпускник ФПМК могу применять и алгебраические методы. Поэтому с 2014 года я начал серьезно искать решение и нашел его сам.

Метод был найден мною два года назад, я подготовил книгу, в которой не только он описан, но и способы решения некоторых уравнений степеней выше пятой. Но у меня не было денег на публикацию. В этом году я решил, что будет легче опубликовать только часть этой работы, и взял только половину, посвященную способу решения уравнения пятой степени в радикалах.

Я задумал опубликовать что-то вроде руководства по решению этой задачи, понятного математикам, которым нужно решить конкретное уравнение. Поэтому я упростил его, убрав много длинных формул и значительную часть теории, сократив более чем наполовину, оставив только необходимое. Таким образом, у меня получилось что-то вроде книги «для чайников», согласно которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это огромное спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет.Он спонсировал издание книги.

— Можно ли получить какой-нибудь приз по математике за решение этой задачи? Например, вы упомянули Авеля. Но существует ли премия Абеля по математике, которая считается аналогом Нобелевской премии?

— Полностью исключить такую ​​возможность нельзя. Но и на это не стоит надеяться.

Например, заявки на соискание премии Абеля 2019 должны быть поданы до 15 сентября. Более того, самовыдвижение не допускается.А я математик-одиночка. Нет организаций или известных математиков, которые меня номинировали бы. Следовательно, она не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой награды и соответствует ли духу этой награды вручение ее тем, кто продолжает работу Авеля. Но даже если он будет представлен, все зависит еще и от уровня работы других кандидатов.

Книга предназначена для тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даны только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, подробно описан метод решения, показаны приемы, упрощающие решение.Большая часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физико-математических наук. мат. Наук, профессор Крылов Петр Андреевич.

ГОТОВА АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

В XVI веке математики почти случайно столкнулись с комплексными числами (см. Главу 11). К 18 веку комплексные числа считались расширением вещественных чисел площади, но работа с ними по-прежнему приводила к ошибке четности, так как в большой работе Леонарда Э. по теории чисел «Арифметические исследования» (1801 г.) он избегал использования так называемых «арифметических исследований». «мнимые числа.«Мне кажется, что наиболее важной частью этой работы является первое доказательство фундаментальной теоремы алгебры. Гаусс осознал, насколько важна эта теорема, создав несколько дополнительных доказательств за эти годы. В 1849 году он пересмотрел первую версию, это время с использованием комплексных чисел. Используя современные термины, мы можем сказать, что для любого конечного полиномиального уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами … Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос требует ли решение полиномиальных уравнений высокого порядка создания чисел более высокого порядка, чем комплексные.

Одной из самых острых проблем алгебры того времени был вопрос о том, являются ли алгебраические методы, то есть использующие конечное число алгебраических шагов, многочленом пятого порядка квинтикой. Сейчас в школе преподают формулы для решения квадратных уравнений, а с 16 века известны аналогичные методы решения уравнений третьей и четвертой степени (глава 11). Но для квинтики метода не нашлось. Может показаться, что основная теорема алгебры заключает в себе перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, в ней ничего не говорится о существовании формул, дающих точные решения (к тому времени уже существовали приближенные числовые решения). и графические методы).А потом были два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829) родился в большой бедной семье, жившей в маленькой деревне в Норвегии, стране, опустошенной долгими годами войны с Англией и Швецией. Доброжелательный к мальчику учитель давал ему частные уроки, но после смерти отца, в восемнадцатилетнем возрасте, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Абель был вынужден содержать семью. В 1824 году он опубликовал научную статью, в которой заявил, что квинтика не разрешима алгебраическими средствами, как и любой многочлен более высокого порядка.Абель считал, что эта статья станет его пропуском в научный мир, и отправил ее Гауссу в Геттингенском университете. К сожалению, Гаусс не собирался резать страницы ножом (в те времена это должен был делать любой читатель) и не прочитал статью. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю средства на поездку в Европу. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему особой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого отправился в Берлин.Там он подружился с Августом Леопольдом Креллем (1780–1855), математиком, архитектором и инженером, который консультировал Министерство образования Пруссии по математике. Крелл собирался основать Журнал чистой и прикладной математики. Так Абель получил возможность распространять свои работы и много публиковал, особенно в первых номерах «Журнала», который сразу стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Норвежец опубликовал там расширенную версию своего доказательства неразрешимости квинтики алгебраическими методами.А потом уехал в Париж. Эта поездка очень расстроила Абеля, потому что он практически не получил столь необходимой ему поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстэном Луи Коши (1789–1857), который в то время был главным светилом математического анализа, но имел очень сложный характер. Как выразился сам Абель, «Коши безумен, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он единственный, кто способен на что-то в математике». Если мы попытаемся найти оправдания проявлениям неуважения и пренебрежения, исходящие от Гаусса и Коши, мы можем сказать, что квинтик добился определенной известности и привлек внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов.Абель вернулся в Норвегию, где все больше и больше болел туберкулезом. Он продолжал отправлять свои работы в Crelle, но умер в 1829 году, не зная, насколько выросла его репутация в научном мире. Через два дня после его смерти Абель получил предложение занять научную должность в Берлине.

Абель показал, что любой многочлен выше четвертого порядка не может быть решен с использованием таких радикалов, как квадратные, кубические или более высокие корни. Однако явные условия, при которых эти многочлены могли быть решены в частных случаях, и метод их решения были сформулированы Галуа.Эварист Галуа (1811–1832) прожил короткую и насыщенную жизнь. Он был невероятно одаренным математиком. Галуа был непримирим к тем, кого считал менее талантливым, чем он сам, и в то же время он не мог мириться с социальной несправедливостью. Он не проявил таланта к математике, пока не прочитал «Принципы геометрии» Лежандра (вышедшая в 1794 году, эта книга была основным учебником на последующие сто лет). Затем он буквально проглотил остальные сочинения Лежандра, а затем и Авеля. Его энтузиазм, самоуверенность и нетерпимость привели к поистине ужасным последствиям в его отношениях с учителями и экзаменаторами.Галуа принял участие в конкурсе на поступление в Политехническую школу — колыбель французской математики, но из-за недостаточной подготовки провалил экзамен. Некоторое время после знакомства с новым учителем, признавшим его талант, ему удавалось сдерживать себя. В марте 1829 года Галуа опубликовал свою первую статью о непрерывных дробях, которую он считал своей самой значительной работой. Он отправил сообщение о своих открытиях в Академию наук, и Коши обещал представить их, но забыл.Более того, он просто потерял рукопись.

Вторая неудача Галуа при поступлении в Политехническую школу вошла в математический фольклор. Он так привык постоянно держать в голове сложные математические идеи, что его приводили в ярость мелкие придирки экзаменаторов. Поскольку экзаменаторам было трудно понять его объяснение, он швырнул тряпку доской в ​​лицо одному из них. Вскоре умер его отец, покончивший с собой в результате церковных интриг. На его похоронах чуть не вспыхнул бунт.В феврале 1830 года Галуа написал следующие три статьи, отправив их в Академию наук на получение Гран-при по математике. Жозеф Фурье, тогдашний секретарь академии, умер, не прочитав их, и после его смерти среди его бумаг не было найдено ни одной статьи. Такой поток разочарований свалил бы кого угодно. Галуа восстал против власть имущих, потому что чувствовал, что они не признают его заслуг и разоряют его отца. Он с головой окунулся в политику, став ярым республиканцем — не самое мудрое решение во Франции в 1830 году.В последней отчаянной попытке он послал научную статью известному французскому физику и математику Симеону Дени Пуассону (1781–1840), который в ответ потребовал дополнительных доказательств.

Это была последняя капля. В 1831 году Галуа дважды арестовывали — первый раз якобы за призыв к убийству короля Луи Филиппа, а затем, чтобы защитить его — власти опасались республиканского восстания! На этот раз его приговорили к шести месяцам лишения свободы по сфабрикованным обвинениям в незаконном ношении формы расформированного артиллерийского дивизиона, в который он вступил.Освобожденный от своего честного слова, он взялся за работу, которая вызывала у него такое же отвращение, как и все остальное в жизни. В письмах к своему преданному другу Шевалье чувствуется его разочарование. 29 мая 1832 года он принял вызов на дуэль, причины которого до конца не выяснены. «Я стал жертвой позорной кокетки. Моя жизнь угасает в жалкой ссоре », — пишет он в своем письме ко всем республиканцам. Самая известная работа Галуа была сделана в ночь перед роковой битвой. По полям разбросаны жалобы: «У меня больше нет времени, у меня больше нет времени.«Он был вынужден предоставить другим подробное изложение промежуточных шагов, которые не были существенными для понимания основной идеи. Ему нужно было изложить на бумаге основу своих открытий — истоки того, что сейчас называется теоремой Галуа. Он закончил свое завещание, попросив Шевалье «попросить Якоби и Гаусса публично высказать свое мнение не о правильности, а о важности этих теорем». Рано утром Галуа пошел навстречу своему сопернику. 25 шагов.Галуа был ранен и на следующее утро скончался в больнице. Ему было всего двадцать лет.

Галуа опирался на работы Лагранжа и Коши, но разработал более общий метод. Это было чрезвычайно важным достижением в области водных растворов. Ученый меньше обращал внимания на исходные уравнения или графическую интерпретацию и больше думал о природе самих корней. Для упрощения Галуа рассматривал только так называемые неприводимые квинтики, то есть те, которые нельзя факторизовать в виде многочленов более низкого порядка (как мы уже говорили, для любых полиномиальных уравнений до четвертого порядка есть формулы для нахождения их корни).В общем, неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами — это многочлен, который не может быть разложен на более простые многочлены с рациональными коэффициентами. Например, (x 5-1)
можно разложить на множители (x-1) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), , тогда как (x 5 — 2) неприводимо. Целью Галуа было определить условия, при которых все решения общего неприводимого полиномиального уравнения могут быть найдены в терминах радикалов.

Ключ к решению состоит в том, что корни любого неприводимого алгебраического уравнения не являются независимыми, они могут быть выражены один через другой.Эти отношения были формализованы в группу всевозможных перестановок, так называемую корневую группу симметрии — для квинтики эта группа содержит 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 элементов. Математические алгоритмы теории Галуа очень сложны, и, скорее всего, отчасти из-за этого они изначально были поняты с большим трудом. Но после того, как уровень абстракции позволил перейти от алгебраических решений уравнений к алгебраической структуре связанных с ними групп, Галуа смог предсказать разрешимость уравнения на основе свойств таких групп.Более того, его теория также предоставила метод, с помощью которого можно было найти эти корни. Что касается Quintics, математик Джозеф Лиувилль (1809–1882), опубликовавший в 1846 году большую часть работ Галуа в своем «Журнале чистой и прикладной математики», отметил, что молодой ученый доказал «прекрасную теорему», и для того, чтобы « неприводимое уравнение исходной степени было разрешимо в терминах радикалов, необходимо и достаточно, чтобы все его корни были рациональными функциями любых двух из них. «Так как для квинтики это невозможно, то радикалами ее не решить.

За три года математический мир потерял две из своих самых ярких новых звезд. Последовали обвинения и переоценка ценностей, и Абель и Галуа добились заслуженного признания, но только посмертно. В 1829 году Карл Якоби через Лежандра узнал о «потерянной» рукописи Абеля, а в 1830 году разразился дипломатический скандал, когда норвежский консул в Париже потребовал найти статью своего соотечественника. В конце концов, Коши нашел статью, но только для того, чтобы снова потеряться в академии! В том же году Абель получил Гран-при по математике (вместе с Якоби) — но он уже был мертв.В 1841 году была опубликована его биография. В 1846 году Лиувилль отредактировал некоторые рукописи Галуа для публикации и во введении выразил сожаление по поводу того, что академия изначально отклонила работу Галуа из-за ее сложности — «действительно, необходима ясность, когда автор уводит читателя с проторенного пути к неизведанному. пустыня «. Он продолжает: «Галуа ушел! Не будем предаваться бесполезной критике. Отбросим недостатки и посмотрим на достоинства! «Плоды недолгой жизни Галуа можно найти всего на шестидесяти страницах.Редактор математического журнала для кандидатов в Ecole Normal и École Polytechnique так прокомментировал дело Галуа: «Кандидат с высоким интеллектом был отобран экзаменатором с более низким уровнем мышления. Barbarus hic ego sum, quia nonlligor illis. «

Во-первых, вторая страница этого произведения не обременена именами, фамилиями, описаниями положения в обществе, титулами и элегиями в честь какого-то скупого князя, чей кошелек откроется с помощью этих благовоний — с помощью угроза закрыть его, когда похвалы закончились.Вы не увидите здесь почтительных похвал, написанных буквами в три раза крупнее самого текста, адресованных тем, кто занимает высокое положение в науке, какому-то мудрому покровителю — что-то обязательное (я бы сказал, неизбежное) для человека в возрасте двадцати лет. кто хочет что-то написать. Я никому здесь не говорю, что обязан их советом и поддержкой всего хорошего в моей работе. Я говорю это не потому, что это было бы ложью. Если бы мне пришлось упомянуть кого-либо из великих деятелей общества или науки (в настоящее время разница между двумя классами людей почти незаметна), клянусь, это не было бы в знак благодарности.Я в долгу перед ними тем, что так поздно опубликовал первую из этих двух статей и что все это я написал в тюрьме — в месте, которое вряд ли можно считать подходящим для научных размышлений, и меня часто поражает моя сдержанность и способность держать язык за зубами. замок по отношению к тупым и порочным зоилам. Думаю, я могу использовать слово «зойлес», не опасаясь обвинений в непристойности, поскольку именно так я называю своих оппонентов. Я не собираюсь здесь писать о том, как и почему меня посадили в тюрьму, но должен сказать, что мои рукописи чаще всего просто терялись в папках господ-членов академии, хотя, по правде говоря, я не могу представить себе такую ​​нескромность на часть людей, на совести которых умер Авель.На мой взгляд, любому хочется, чтобы его сравнивали с этим гениальным математиком. Достаточно сказать, что моя статья по теории уравнений была отправлена ​​в Академию наук в феврале 1830 г., что выписки из нее были отправлены в феврале 1829 г., и ни одна из них не была опубликована, и даже рукопись невозможно было вернуть.

Галуа,
неопубликованное предисловие, 1832

На канале на youtube нашего сайта, чтобы быть в курсе всех новых видеоуроков.

Для начала напомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a происходит с самим собой n раз, мы можем записать это выражение как a … a = a n

1.а 0 = 1 (а ≠ 0)

3. а н а м = а н + м

4. (а н) м = а нм

5.a n b n = (ab) n

7. а н / д м = а н — м

Степенные или экспоненциальные уравнения
— это уравнения, в которых переменные указаны в степенях (или степенях), а в основе лежит число.

Примеры экспоненциальных уравнений:

В этом примере число 6 является основанием, оно всегда стоит внизу, а переменная x градусов или индикатор.

Вот еще несколько примеров экспоненциальных уравнений.
2 х * 5 = 10
16 х — 4 х — 6 = 0

А теперь посмотрим, как решаются экспоненциальные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x = 3. Ведь для того, чтобы левая и правая части были равны, нужно вместо x поставить цифру 3.
Теперь посмотрим, как нужно формализовать это решение:

2 х = 2 3
х = 3

Для решения такого уравнения мы удалили одинаковых оснований (то есть двойки) и записали то, что осталось, это градусы.Мы получили желаемый ответ.

А теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения экспоненциального уравнения:
1. Нужно проверить тот же , имеет ли уравнение основания справа и слева. Если основания не совпадают, ищем варианты решения этого примера.
2. После того, как основания совпадают, приравнивает градусов и решает полученное новое уравнение.

Теперь решим несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания на левой и правой сторонах равны числу 2, что означает, что мы можем отбросить основание и приравнять их степени.

x + 2 = 4 Это простейшее уравнение.
х = 4-2
х = 2
Ответ: х = 2

В следующем примере видно, что основания разные — 3 и 9.

3 3х — 9х + 8 = 0

Сначала перемещаем девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать такие же основы.Мы знаем, что 9 = 3 2. Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х + 8

Получаем 9 х + 8 = (3 2) х + 8 = 3 2х + 16

3 3x = 3 2x + 16 теперь вы можете видеть, что основания на левой и правой сторонах одинаковы и равны трем, поэтому мы можем отбросить их и приравнять градусы.

3x = 2x + 16 получили простейшее уравнение
3x — 2x = 16
x = 16
Ответ: x = 16.

См. Следующий пример:

2 2х + 4-10 4х = 2 4

В первую очередь смотрим базы, базы разные две и четыре.И нам нужно быть такими же. Преобразуем четверку по формуле (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

А еще пользуемся одной формулой a n a m = a n + m:

2 2х + 4 = 2 2х 2 4

Добавьте к уравнению:

2 2х 2 4-10 2 2х = 24

Мы привели пример по тем же причинам. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если присмотреться, можно увидеть, что слева мы повторяем 2 2 раза, вот ответ — 2 2 раза мы можем вывести за скобки:

2 2х (2 4-10) = 24

Вычислим выражение в скобках:

2 4–10 = 16–10 = 6

Разделите все уравнение на 6:

Представим 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 основания одинаковы, отбросьте их и приравняйте силы.
2x = 2 получается простейшее уравнение. Делим на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х — 12 * 3 х + 27 = 0

Преобразуем:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаем уравнение:
3 2x — 12 3x +27 = 0

Наши основания одинаковы и равны 3. В этом примере вы можете видеть, что первые три имеют степень вдвое (2x), чем вторая (просто x).В этом случае можно решить замену методом … Заменим число с наименьшей степенью:

Тогда 3 2x = (3x) 2 = t 2

Заменить все степени на x в уравнении с t:

t 2 — 12t + 27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t 2 = 3

Вернуться к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

То есть

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Обнаружен один корень.Ищем вторую, от t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Ответ: x 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте вы можете задать интересующие вопросы в разделе ПОМОЩЬ РЕШИТЬ, мы обязательно вам ответим.

Присоединиться к группе

Как правило, уравнение со степенью выше 4 не может быть решено в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена слева в уравнении высшей степени, если мы представим его как произведение многочленов степени не выше 4.Решение таких уравнений основано на факторизации многочлена, поэтому мы советуем вам повторить эту тему перед изучением этой статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попытаться найти рациональные корни, а затем разложить полином на множители, чтобы затем преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое легко решить. В рамках этого материала мы и рассмотрим именно такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения вида a n x n + a n — 1 x n — 1 +…. … + a 1 x + a 0 = 0, мы можем свести к уравнению такой же степени, умножив обе части на a n n — 1 и изменив переменную вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 +. … … + a 1 x + a 0 = 0 ann xn + an — 1 ann — 1 xn — 1 +… + a 1 (an) n — 1 x + a 0 (an) n — 1 \ u003d 0 y = тревога ⇒ yn + bn — 1 yn — 1 +… + b 1 y + b 0 = 0

Полученные коэффициенты также будут целыми. Таким образом, нам потребуется решить приведенное уравнение n-й степени с целыми коэффициентами, которое имеет вид x n + a n x n — 1 +… + a 1 x + a 0 = 0.

Вычислить корни уравнения целиком. Если уравнение имеет целые корни, их нужно искать среди делителей свободного члена a 0. Запишем их и подставим в исходное равенство по очереди, проверяя результат. После того, как мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, мы можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 (x) = 0. Здесь x 1 — корень уравнения, а P n — 1 (x) — это частное от деления xn + travelling — 1 +… + a 1 x + a 0 на x — x 1.

Подставляем оставшиеся выписанные делители в P n — 1 (x) = 0, начиная с x 1, так как корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, и уравнение можно записать как (x — x 1) (x — x 2) P n — 2 (x) = 0. Здесь P n — 2 (x ) будет частным от деления P n — 1 (x) на x — x 2.

Продолжаем перебирать делители. Найдите все корни целиком и обозначьте их количество как m. После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 ·… · x — x m · P n — m (x) = 0. Здесь P n — m (x) — полином степени n — m. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если в нашем исходном уравнении есть целые коэффициенты, мы не сможем получить дробные корни.

В результате мы получили уравнение P n — m (x) = 0, корни которого можно найти любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или сложными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие: найти решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0.

Решение

Начнем с поиска целых корней.

У нас свободный срок равен минус трем. Он имеет делители 1, — 1, 3 и — 3. Давайте подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них приведут к тождествам.

При x, равном единице, мы получаем 1 4 + 1 3 + 2 1 2 — 1 — 3 = 0, что означает, что единица будет корнем этого уравнения.

Теперь произведем деление многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (x — 1) в столбце:

Следовательно, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 — 1 + 3 = 0

Мы получили тождество, что означает, что мы нашли другой корень уравнения, равный — 1.

Разделите многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (x + 1) в столбце:

Получаем

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + х + 3)

Подставляем следующий делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0, начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Полученные равенства будут неверными, а это значит, что уравнение больше не имеет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3.

D = 1 2 — 4 1 3 = — 11

Отсюда следует, что данный квадратный трехчлен не имеет действительных корней, но имеет комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2.

Поясним, что вместо деления в столбик можно использовать схему Хорнера. Делается это так: после определения первого корня уравнения заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов сразу видно коэффициенты частного деления многочленов, что означает, что x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 х + 3.

Найдя следующий корень, равный — 1, мы получим следующее:

Ответ: x = — 1, x = 1, x = — 1 2 ± i 11 2.

Пример 2

Условие: Решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0.

Решение

Свободный член имеет делители 1, — 1, 2, — 2, 3, — 3, 4, — 4, 6, — 6, 12, — 12.

Проверяем по порядку:

1 4-1 3-5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3-5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3-5 2 2 + 12 = 0

Следовательно, x = 2 будет корнем уравнения.Разделите x 4 — x 3-5 x 2 + 12 на x — 2, используя схему Хорнера:

В результате получаем x — 2 (x 3 + x 2 — 3 x — 6) = 0.

2 3 + 2 2-3 2-6 = 0

Значит, 2 снова будет рутом. Разделим x 3 + x 2-3 x — 6 = 0 на x — 2:

В результате получаем (x — 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Остальные делители проверять нет смысла, так как равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решать с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

х 2 + 3 х + 3 = 0 D = 3 2 — 4 1 3 = — 3

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2.

Ответ : x = — 3 2 ± i 3 2.

Пример 3

Условие: найти действительные корни уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0.

Решение

х 4 + 1 2 х 3-5 2 х — 3 = 0 2 х 4 + х 3-5 х — 6 = 0

Произведем умножение 2 на 3 в обеих частях уравнения:

2 х 4 + х 3-5 х — 6 = 0 2 4 х 4 + 2 3 х 3-20 2 х — 48 = 0

Заменим переменные y = 2 x:

2 4 х 4 + 2 3 х 3-20 2 х — 48 = 0 у 4 + у 3-20 у — 48 = 0

В результате мы имеем стандартное уравнение 4-й степени, которое можно решить по стандартной схеме.Проверим делители, разделим и получим в итоге, что у него 2 действительных корня y = — 2, y = 3 и два комплексных корня. Мы не будем представлять здесь полное решение. За счет замены действительные корни этого уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2.

Ответ: х 1 = — 1, х 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Рецепт для дошкольников от рождения до школы.Учебно-методический комплект к программе «От рождения до школы. Управление в дошкольных образовательных учреждениях

Серия:
(все) 100 забавных наклеек 100 увлекательных игр Азбуки со стикерами Актив для девочек Активность с наклейками Искусство Грифельная доска Педагогическая библиотека Библиотека программы «От рождения до школы» Библиотека Школы семи гномов Великие стихи для маленьких детей В мир животных Великие композиторы для детей Веселые кружки Вкусный атлас Волшебные водные раскраски Волшебные купальники-гармошки Сезоны в EVA Высшее профессиональное образование Геометрическая мозаика Геометрические наклейки Годовые комплекты «Школа семи гномов» Грамматика в картинках Детское творчество Для самых маленьких Добрые наклейки Дорисовашки Живая сказка Веселые животные Загадки о животных Зверюшки-раскладушки Звуковые книги Звуковые книги Здоровье.Физическое развитие Играем в сказку. Книжка-головоломка Игровой театр Играй и учись Игровая библиотека Школы семи гномов Игровая библиотека Школы семи гномов Интерактивная сказка Искусство для детей Как жили наши предки Катя и Бим Что я хочу стать маленькими Книги с окошками Книги с пальчиковыми куклами Книги со звуками Книжки-гармошки Книжки для животных Книги по дизайну Книжки-лестницы Детские книги Детские книги Обнять книги Панорамные книги. Объемные картинки Книги-погремушки Книги-улитки Круги Кто есть что Лесная школа Купашки Любимые сказки К.Любимые сказки детей И. Чуковского Любимые сказки с кубиками Любимые сказки с наклейками Маленькие мечтатели Маленький инженер Малышарики с наклейками Малышарики. Водная окраска Малышариков. Волшебная раскраска Малышариков. Завершите картину Малышарики. Раскраска Малышарики. Книжки фигурок Малышариков. Курс раннего развития 0+ Малышарики. Курс раннего развития 1+ Малышарики. Курс раннего развития 2+ Малышарики. Курс раннего развития 3+ Малышарики.Лабиринты Малышариков. Логика с наклейками Малышарики. Прыжок-прыжок по страницам Малышарика. Рисовашка Малышарики. Рисуем пальцами Малышариков. Рисуем пластилином Малышарики. Соберите цепочку BabyRiki. Суперпамять Мамы и дети Математика в детском саду Машинки по методу Монтессори. Разработка через игру Cuties-adorable (книги с наклейками) Cuties-adorable (книги-игрушки) Мими-мишки. Книги про маму, папу и меня Мир в картинках Мир дикой природы Мир искусства Мир природы Мои блестящие книги Мои объемные атласы Моя первая водная раскраска Мои первые книги Мой первый словарь Мой первый телефон Музыкальный BabyRiki Найди и покажи.Книга с увеличительным стеклом Найдите пару гвоздей. Цветные наклейки для шкафчиков Смайлики Народное творчество для детей Настольный театр Я начинаю говорить Тамблеры Новогодние книжки Новогодние книжки с вырубкой и наклейками Новогодняя раскраска с загадками Нормативно-правовая библиотека Открытки своими руками Откуда это взяли Сверните и посмотрите Пазлы-прятки Первые раскраски малыша Первые слова Малышариков Перерыв в школе семи гномов Пиксельные наклейки Плакаты Плакаты (англ.) Пластилиновые картинки Подготовка к школе Давай поиграем в городах Вращаем колесо Поощрительные наклейки Джемперы Прикоснись и погладь Правила безопасности Практическая энциклопедия дошкольника Прекрасная принцесса Программа Discovery Картонные профессии) Прятки с маленькими детьми Пуговицы и бантики Пушистые животные Обучающие книги с наклейками Развивающие наклейки для малышей Красочный зоопарк Раскраски (маленькие дети) Раскраски с блестящим контуром Раскраски с наклейками Раскраски странички с наклейками для детей Раскраски ки-гармошки Цвет с ва тер.Дополнение загадки Color Russia. Книжка с наклейками Раскраска по номерам Раскраска водой Расскажите детям о сказках по картинкам Дети о животных Нарисуйте пальцами Рисуйте в клетках Рисуйте точками Рисуйте фломастерами Нарисуйте детей Сказки кругами Сказки с окошками Сказки с эмоциями Сказки- аккордеоны Сотрудничество Слова в цепочках Сотрудничество и семья Скрой меня! Тактильные книжки Тяни-толкай Увлекательная история для маленьких детей Увлекательные задания Угадай кто .. Удивительные животные мира Умный зайчик Умный зайчик (книжки на картоне) Умный малыш Учимся читать Учимся читать на складах Футбол Читатели для чтения детям в детском саду и дома Художественное творчество и конструирование Читаю по слогам Читаю сам Замечательные стикеры Чудо-стикеры Шедевры детской классики Школа семи гномов от 1 до 2 лет Школа семи гномов от 2 до 3 лет Школа семи гномов от 3 до 4 лет Школа Семь гномов от 4 до 5 лет Школа семи гномов от 5 до 6 лет Школа семи гномов от 6 до 7 лет Школа семи гномов от рождения до 1 года Шпаргалки для родителей Это может ваш ребенок Молодой эколог Я умею сам рисую рисую водой хочу нарисовать сказку

Менеджмент в дошкольных образовательных учреждениях

Методические пособия

Зацепина М.B. Культурно-досуговая деятельность в детском саду (будет опубликовано).

Комарова И.И., Туликов А.В. Информационно-коммуникационные технологии в дошкольных образовательных учреждениях.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: Младшая группа (3-4 года) / Под ред.-сост. В.А. Вилюнова.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: Средняя группа (4-5 лет) / Под ред.-сост. Бывшева А.А.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: старшая группа (5-6 лет) / Под ред.-комп. Бывшева А.А.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: Подготовительная группа к школе (6-7 лет) / Под ред.-сост. В.А. Вилюнова.

Белая К.Ю. Основы безопасности. Наборы для украшения родительских уголков в дошкольном образовательном учреждении: Младшая группа.

Белая К.Ю. Основы безопасности. Комплекты для украшения родительских уголков в дошкольных образовательных учреждениях: Средняя группа.

Белая К.Ю. Основы безопасности.Наборы для украшения родительских уголков в дошкольных образовательных учреждениях: Старшая группа.

Белая К.Ю. Основы безопасности. Наборы для украшения родительских уголков в дошкольном образовательном учреждении: Подготовительная группа.

Методические пособия

Веракса А.Н. Индивидуальная психологическая диагностика ребенка 5-7 лет.

Веракса А.Н., Гуторова Н.Ф. Практический психолог в детском саду.

Педагогическая диагностика развития детей до поступления в школу (5-7 лет) / Под ред.Комарова Т.С., Соломенникова О.А. (в печати).

Инклюзивная педагогика

Методические пособия

Архипова Е.Ф. Ранняя диагностика и коррекция проблем развития. Первый год жизни ребенка.

Инклюзивная практика в дошкольном образовании / Под ред. Волосовец Т.В., Кутепова Е.Ф.

Социализация, развитие общения, нравственное воспитание

Методические пособия

Буре Р.С. Социально-нравственное воспитание дошкольников (3-7 лет).Петрова В.И., Стульник Т.Д. Этические беседы с детьми 4-7 лет.

Наглядно-дидактические пособия

Серия «Мир в картинках»: «Государственные символы России»; «День Победы».

Серия «Рассказы по картинкам»: «Великая Отечественная война в произведениях художников»; «Защитники Отечества».

Серия «Расскажи детям о …»: «Расскажи детям о достопримечательностях Москвы»; «Расскажите детям о Московском Кремле»; «Расскажите детям об Отечественной войне 1812 года».

Методические пособия

Куцакова Л.В. Трудовое воспитание в детском саду: Для классов с детьми 3-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Очень важные профессии».

Методические пособия

Белая К.Ю. Формирование основ безопасности дошкольников (3-7 лет).

Саулина Т.Ф. Ознакомить дошкольников с правилами дорожного движения (3-7 лет).

Бордачева И.Ю. Безопасность в дороге: Плакаты для украшения родительского уголка в дошкольном образовательном учреждении.

Бордачева И.Ю. Дорожные знаки: Для работы с детьми 4-7 лет.

Развитие познавательной и исследовательской деятельности

Методические пособия

Веракса Н.Е., Веракса А.Н. Проектная деятельность дошкольников.

Веракса Н.Е., Галимов О.Р. Познавательно-исследовательская деятельность дошкольников (4-7 лет).

Крашенинников Е.Е., Холодова О.Л. Развитие познавательных способностей дошкольников (5-7 лет).

Павлова Л.Ю. Сборник дидактических игр на знакомство с окружающим миром (3-7 лет).

Шиян О.А. Развитие творческого мышления. Работаем по сказке (3-7 лет) (в печати).

Шиян О.А. Развитие творческого мышления. Работаем по сказке.

Наглядно-дидактические пособия

Серия «Играем в сказку»: «Репа»; Теремок; «Три медведя»; «Три поросенка». Веракса Н.Е., Веракса А.Н.

Методические пособия

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Младшая группа (3-4 года).

Дыбина О.В. Знакомство с предметом и социальной средой: Средняя группа (4-5 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметом и социальной средой: Старшая группа (5-6 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Младшая группа (3-4 года).

Дыб и О.В. Н. и знакомство с предметной и социальной средой; Средняя группа (4-5 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметом и социальной средой: Старшая группа (5-6 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Водный транспорт»; «Воздушный транспорт»; «Городской транспорт»; «Спецтранспорт»; «Строительные машины».

Серия «Мир в картинках»: «Авиация»; «Автомобильный транспорт»; «Арктика и Антарктика»; «Бытовая техника»; «Водный транспорт»; «Высоко в горах»; «Инструменты для рукоделия»; «Космос»; «Оргтехника и оборудование»; «Посуда»; «Школьные принадлежности».

Серия «Рассказы по картинкам»: «В деревне»; «Кто будет?»; «Мой дом»; «Профессии».

Серия «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о бытовой технике»; «Расскажите детям об космонавтике»; «Расскажите детям о космосе» — «Расскажите детям о рабочих инструментах»; «Расскажите детям о транспорте», «Расскажите детям о спецтехнике»; «Расскажите детям о хлебе».

Методические пособия

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Вторая группа раннего возраста (2-3 года).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Младшая группа (3-4 года).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Вторая группа — молодая (2-3 года).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений… Младшая группа (3-4 года).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Средняя группа (4-5 лет).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Старшая группа (5-6 лет).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Рабочие тетради

Дарья Денисова, Юрий Дорожин. Математика для детей: младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Математика для малышей: средняя группа.

Дарья Денисова а, Юрий Дорожи н. Дошкольная математика: Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Математика для дошкольников: подготовительная группа к школе.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Счет до 10»; «Считаем до 20»; «Цвет»; «Форма».

Знакомство с миром природы

Методические пособия

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду.Вторая группа — молодая (2-3 года).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Младшая группа (3-4 года).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Средняя группа (4-5 лет).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Старшая группа (5-6 лет).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Подготовительная группа к школе (6-7 лет) (подготовка к публикации).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Соломенникова О.А. Знакомство с природой. Вторая группа — молодая (2-3 года).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой. Младшая группа (3-4 года).

Соломенникова О. А. Знакомство с природой. Средняя группа (4-5 лет).

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Домашние животные»; «Домашние питомцы»; «Птица»; «Животные Африки»; «Животные средней полосы»; «Овощи»; «Перелетные птицы»; «Зимующие птицы»; «Хищные птицы»; «Птицы жарких стран»; «Насекомые»; «Морская жизнь»; «Кто всю зиму спит»; «Погодные условия»; «Полевые цветы»; «Садовые цветы»; «Деревья и листья»; «Грибы»; «Фрукты».

Картины для просмотра: «Коза с козлятами»; «Кот с котятами»; «Свинья с поросятами»; «Собака с щенками».

Серия «Мир в картинках»: «Деревья и листья»; «Домашние питомцы»; «Птица»; «Животные — домашние животные»; «Животные жарких стран»; «Животные средней полосы»; «Морская жизнь»; «Насекомые»; «Овощи»; «Рептилии и амфибии»; «Собаки-друзья и помощники»; «Фрукты»; «Цветы»; «Лесные ягоды»; «Садовые ягоды».

Серия «Рассказы по картинкам»: «Весна»; «Времена года»; «Зима»; «Летом»; «Осень»; «Родная природа».

Серия «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о грибах»; «Расскажите детям о деревьях»; «Расскажите детям о домашних животных»; «Расскажите детям о домашних животных»; «Расскажите детям о животных в жарких странах»; «Расскажите детям о лесных животных»; «Расскажите детям о морских обитателях»; «Расскажите детям о насекомых»; «Расскажите детям о фруктах»; «Расскажите детям об овощах»; «Расскажите детям о птицах»; «Расскажите детям о садовых ягодах».

Методические пособия

Гербова В.V. Развитие речи в разновозрастной группе детского сада. Младшая группа разного возраста (2-4 года) (будет опубликована).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Младшая группа (3-4 года).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Варенцова Н.С. Обучение дошкольников чтению и письму (подготовка к публикации).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Гербова В.V. Развитие речи в детском саду: вторая группа раннего возраста (2-3 года).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Младшая группа (3-4 года).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Средняя группа (4-5 лет).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Старшая группа (5-6 лет).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Рабочие тетради

Дарья Денисова, Юрий Дорожин.Развитие речи у грудничков. Младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Развитие речи у младенцев. Средняя группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Развитие речи у дошкольников. Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Развитие речи у дошкольников. Подготовительная группа к школе.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Уроки грамотности для детей: Младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Уроки грамотности для детей: Средняя группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Уроки грамотности для дошкольников: Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Уроки грамотности для дошкольников: Подготовительная группа к школе.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Рецепт для детей: Младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Рецепт для детей: Средняя группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Рецепт для дошкольников: Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи Н. Рецепт для дошкольников: Подготовительная группа к школе.

Наглядные и дидактические пособия

Серия «Грамматика в картинках»: «Антонимы. Глаголы»; «Антонимы. Прилагательные »;« Говори правильно »;« Множественное число »;« Несколько слов »;« Одно — это много »;« Словообразование »;« Стресс ».

Развитие речи в детском саду: Для работы с детьми 2-3 лет. Гербова В.В.

Развитие речи в детском саду: Для работы с детьми 3-4 лет Гербова В.В.

Развитие речи в детском саду: Для работы с детьми 4-6 лет.Гербова В.В.

Верно или нет. Для работы с детьми 2-4 года. Гербова В.В.

Развитие речи в детском саду. Для работы с детьми 2-4 года. Раздаточный материал. Г р б о в и В. В.

Серия «Рассказы по картинкам»: «Колобок»; «Цыпленок Ряба»; «Репа»; «Теремок».

Плакаты: «Алфавит»; «Английский алфавит»; «Немецкий алфавит».

Методические пособия

Зацепина М.Б. Музыкальное образование в детском саду. Для работы с детьми 2-7 лет.

Зацепина М.Б. Музыкальное образование в детском саду. Младшая группа (3-4 года).

Комарова Т.С. Детское художественное творчество. Для работы с детьми 2-7 лет.

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Младшая группа (3-4 года).

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Средняя группа (4-5 лет).

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Старшая группа (5-6 лет).

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду.Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Комарова Т.С. Развитие художественных способностей дошкольников.

Комарова Т.С., Зацепина М.Б. Интеграция в воспитательно-воспитательную работу детского сада.

Л.В. Куцакова Конструкция из стройматериалов: Средняя группа (4-5 лет).

Л.В. Куцакова Конструкция из стройматериалов: Старшая группа (5-6 лет).

Л.В. Куцакова Конструкция из стройматериалов: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Ридеры

Ридеры для чтения детям в детском саду и дома: 1-3 года.

Читалка для детей в детском саду и дома: 3-4 года.

Читатель для детей в детском саду и дома: 4-5 лет.

Читатель для чтения детям в детском саду и дома: 5-6 лет (готовится к изданию).

Читатель для чтения детям в детском саду и дома: 6-7 лет (в стадии подготовки к изданию).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Соломенникова О. А. Приобщение детей к народному творчеству.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Музыкальные инструменты народов мира»; «Музыкальные инструменты эстрадно-симфонического оркестра».

Серия «Народное творчество — детям»: «Гжель»; «Городецкая роспись по дереву»; «Дымковская игрушка»; «Каргополь — национальная игрушка»; «Музыкальные инструменты»; Полхов-Майдан; «Филимоновская народная игрушка»; Хохлома.

Плакаты: «Гжель. Товары. Гжель »;« Орнаменты. Полхов-Майдан »; «Товары. Полхов-Майдан »;« Орнаменты. Филимоновская свисток »; Хохлома. Изделия »; Хохлома. Орнаменты».

Из серии «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о музыкальных инструментах», «Расскажите детям о музеях и выставках Москвы», «Расскажите детям о Московском Кремле».

Серия «Искусство для детей»: «Волшебный пластилин»; «Городецкая роспись»; «Дымковская игрушка»; «Простые узоры и орнаменты»; «Сказочная Гжель»; «Секреты листа бумаги»; «Тайны бумажного листа»; «Узоры Северной Двины»; Филимоновская игрушка; «Хохломская роспись».

Методические пособия

Борисова М.М. Сидячие игры и игровые упражнения. Для занятий с детьми 3-7 лет.

Пензулаева Л.И. Физическая культура в детском саду: младшая группа (3-4 года).

Пензулаева Л.И. Физическая культура в детском саду: Средняя группа (4-5 лет).

Пензулаева Л.И. Физическая культура в детском саду: Старшая группа (5-6 лет).

Пензулаева Л. И. Физическая культура в детском саду: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Пензулаева Л.И. Оздоровительная гимнастика: комплексы упражнений для детей 3-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Серия «Мир в картинках»: «Спортивное оборудование».

Серия «Рассказы по картинкам»: «Зимние виды спорта»; «Летний спорт»; «График».

Серия «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о зимних видах спорта»; «Расскажите детям об Олимпийских играх»; «Расскажите детям об олимпийских чемпионах».

Плакаты: «Зимние виды спорта»; «Летний спорт».

Игровая деятельность

Методические пособия

Губанова Н.Ф. Развивающая игровая деятельность … Вторая группа — молодая (2-3 года).

Губанов, Н.Ф. Развитие игровой активности. Младшая группа (3-4 года).

Губанова Н.Ф. Развитие игровой деятельности. Средняя группа. (4-5 лет).

Губанов, Н.Ф. Развитие игровой активности. Старшая группа. (5-6 лет) (готовится к печати).

Губанов, Н.Ф. Развитие игровой активности.Подготовительная группа к школе (6-7 лет) (подготовка к публикации).

Методические пособия

Голубева Л.Г. Гимнастика и массаж для самых маленьких.

Галигузова Л.Н., Ермолова Т.В., Мещерякова С.Ю., Смирнова Е.О. Диагностика умственного развития ребенка: младенческий и ранний возраст.

Те плюс к С.Н. Актуальные проблемы развития и воспитания детей от рождения до трех лет.

Te p l yu to SN Games — развлечения для прогулок с детьми.Для работы с детьми 2-4 года.

Ребенок от рождения до года / Под ред. С. Н. Тешгюк.

Ребенок второго года жизни / Под ред. С.Н. Теплюк.

Ребенок третьего года жизни / Под ред. С.Н. Теплюк.

Частичные программы

Методические пособия

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 3-4 года.

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 4-5 лет.

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 5-6 лет.

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 6-7 лет.

Рабочие тетради

Математика в детском саду: 3-4 года.

Математика в детском саду: 4-5 лет.

Математика в детском саду: 5-6 лет.

Математика в детском саду: 6-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Математика в детском саду. Демо-материал: 3-7 лет.

Математика в детском саду. Раздаточный материал: 3-5 лет.

Математика в детском саду.Раздаточный материал: 5-7 лет.

Художественное творчество и дизайн. Автор Куцакова Л.В.

Методические пособия

Художественное творчество и конструирование: 3-4 года.

Художественное творчество и дизайн: 4-5 лет.

Художественное творчество и дизайн: 5-6 лет.

Художественное творчество и дизайн: 6-7 лет.

Методические пособия

Программа «Молодой эколог»: 3-7 лет.

Система работы в младшей группе: 3-4 года.

Система работы в средней группе: 4-5 лет.

Система работы в старшей группе: 5-6 лет.

Система работы в подготовительной группе: 6-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Где вода в природе»; «Зачем пилят деревья»; «Почему люди ходят в лес»; «Как лесник ухаживает за лесом»; «Кому нужны деревья»; «Лес — многоэтажный дом»; Пищевые цепи; «Этого нельзя делать в лесу».

Серия «Школа семи гномов»

Первый год

Приколы для малыша.Цветные картинки. Мои любимые игрушки. На что это похоже? Кто что делает? Моя первая книга

В деревне и на даче. Рисуем пальцами. Прогулка по городу. Форма, цвет. Чей это хвост? Мой первый словарь. Кто это, что это?

Третий год

Один, много

Какие профессии. Кто где живет? Цвет, форма

Пластилиновые картинки. Времена года. На лесной поляне. Рисуем пальцами. Домашние питомцы.Азбука для детей. Умный вырез. То, что хорошо?

Четвертый год

Счет, форма, размер Логика, мышление Рецепты для детей. Время, пространство. Уроки грамотности. Какие есть машины? Какие профессии жадничать не буду Считаю до пяти Развитие речи. Я изучаю природу. Что в корзине? Кот кот. Какого цвета это? Квадрат и круг. Сложите картинку. День и ночь. Веселый хоровод.

Пятый год

Счет, форма, размер Логика, мышление Рецепты для детей.Время, пространство. Уроки грамотности. Что есть что? Расписная игрушка. Быстрее выше сильнее. Куда делись динозавры? Развитие речи. Кто самый, самый? Детям о звездах и планетах.

Шестой год

Счет, форма, размер Логика, мышление. Дошкольные рецепты. Время, пространство. Уроки грамотности. Защитники Отечества. Московский Кремль. Как перейти дорогу. Я вырасту здоровым. Развитие речи. Тайны природы. География для детей.

Седьмой год

Счет, форма, размер Логика, мышление Дошкольное письмо Время, пространство.Уроки грамотности. Уроки этики. Как жили наши предки. Народы мира. Где живут предлоги. Читаю с увлечением. Экология для детей. Подготовительные тесты к школе

Загрузить:

Превью:

Учебно-методический комплект по программе «От рождения до школы»

Менеджмент в дошкольных образовательных учреждениях

Методические пособия

Зацепина М.Б. Культурно-досуговые мероприятия в детском саду (будет опубликовано).

Комарова И.И., Туликов А.В. Информационно-коммуникационные технологии в дошкольных образовательных учреждениях.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: Младшая группа (3-4 года) / Под ред.-сост. В.А. Вилюнова.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: Средняя группа (4-5 лет) / Под ред.-сост. Бывшева А.А.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: старшая группа (5-6 лет) / Под ред.-комп. Бывшева А.А.

Примерное комплексно-тематическое планирование по программе «От рождения до школы»: Подготовительная группа к школе (6-7 лет) / Под ред.-сост. В.А. Вилюнова.

Белая К.Ю. Основы безопасности. Наборы для украшения родительских уголков в дошкольном образовательном учреждении: Младшая группа.

Белая К.Ю. Основы безопасности. Комплекты для украшения родительских уголков в дошкольных образовательных учреждениях: Средняя группа.

Белая К.Ю. Основы безопасности.Наборы для украшения родительских уголков в дошкольных образовательных учреждениях: Старшая группа.

Белая К.Ю. Основы безопасности. Наборы для украшения родительских уголков в дошкольном образовательном учреждении: Подготовительная группа.

Психолог в детском саду, мониторинг

Методические пособия

Веракса А.Н. Индивидуальная психологическая диагностика ребенка 5-7 лет.

Веракса А.Н., Гуторова Н.Ф. Практический психолог в детском саду.

Педагогическая диагностика развития детей до поступления в школу (5-7 лет) / Под ред. Комарова Т.С., Соломенникова О.А. (в печати).

Инклюзивная педагогика

Методические пособия

Архипова Е.Ф. Ранняя диагностика и коррекция проблем развития. Первый год жизни ребенка.

Инклюзивная практика в дошкольном образовании / Под ред. Волосовец Т.В., Кутепова Е.Ф.

Образовательное направление «Социально-коммуникативное развитие»

Социализация, развитие общения, нравственное воспитание

Методические пособия

Буре Р.С. Социально-нравственное воспитание дошкольников (3-7 лет).Петрова В.И., Стульник Т.Д. Этические беседы с детьми 4-7 лет.

Наглядно-дидактические пособия

Серия «Мир в картинках»: «Государственные символы России»; «День Победы».

Серия «Рассказы по картинкам»: «Великая Отечественная война в произведениях художников»; «Защитники Отечества».

Серия «Расскажи детям о …»: «Расскажи детям о достопримечательностях Москвы»; «Расскажите детям о Московском Кремле»; «Расскажите своим детям об Отечественной войне 1812 года».

Самообслуживание, самостоятельность, трудовое воспитание

Методические пособия

Куцакова Л.В. Трудовое воспитание в детском саду: Для классов с детьми 3-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Очень важные профессии».

Формирование основ безопасности

Методические пособия

Белая К.Ю. Формирование основ безопасности у дошкольников (3-7 лет).

Саулина Т.Ф. Ознакомить дошкольников с правилами дорожного движения (3-7 лет).

Бордачева И.Ю. Безопасность в дороге: Плакаты для украшения родительского уголка в дошкольном образовательном учреждении.

Бордачева И.Ю. Дорожные знаки: Для работы с детьми 4-7 лет.

Образовательная область «Познавательное развитие»

Развитие познавательной и исследовательской деятельности

Методические пособия

Веракса Н.Е., Веракса А.Н.

Веракса Н.Е., Галимов О.Р. Познавательно-исследовательская деятельность дошкольников (4-7 лет).

Крашенинников Е.Е., Холодова О.Л. Развитие познавательных способностей дошкольников (5-7 лет).

Павлова Л.Ю. Сборник дидактических игр для знакомства с окружающим миром (3-7 лет).

Шиян О.А. Развитие творческого мышления. Работаем по сказке (3-7 лет) (в печати).

Шиян О.А. Развитие творческого мышления. Работаем по сказке.

Наглядно-дидактические пособия

Серия «Играем в сказку»: «Репа»; Теремок; «Три медведя»; «Три поросенка».Веракса Н.Е., Веракса А.Н.

Знакомство с предметной средой и социальным миром

Методические пособия

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Младшая группа (3-4 года).

Дыбина О.В. Знакомство с предметом и социальной средой: Средняя группа (4-5 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметом и социальной средой: Старшая группа (5-6 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Младшая группа (3-4 года).

Дыб и О.В. Н. и знакомство с предметной и социальной средой; Средняя группа (4-5 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметом и социальной средой: Старшая группа (5-6 лет).

Дыбина О.В. Знакомство с предметной и социальной средой: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Водный транспорт»; «Воздушный транспорт»; «Городской транспорт»; «Спецтранспорт»; «Строительные машины».

Серия «Мир в картинках»: «Авиация»; «Автомобильный транспорт»; «Арктика и Антарктика»; «Бытовая техника»; «Водный транспорт»; «Высоко в горах»; «Инструменты для рукоделия»; «Космос»; «Оргтехника и оборудование»; «Посуда»; «Школьные принадлежности».

Серия «Рассказы по картинкам»: «В деревне»; «Кто будет?»; «Мой дом»; «Профессии».

Серия «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о бытовой технике»; «Расскажите детям об космонавтике»; «Расскажите детям о космосе» — Расскажите детям о рабочих инструментах »;« Расскажите детям о транспорте »,« Расскажите детям о спецтехнике »;« Расскажите детям о хлебе.»

Формирование элементарных математических представлений

Методические пособия

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Вторая группа — молодая (2-3 года).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений Младшая группа (3-4 года)

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений.Вторая группа — молодая (2-3 года).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Младшая группа (3-4 года).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Средняя группа (4-5 лет).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Старшая группа (5-6 лет).

Помораева И.А., Позина В.А. Формирование элементарных математических представлений. Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Рабочие тетради

Дарья Денисова, Юрий Дорожин. Математика для детей: младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Математика для малышей: средняя группа.

Дарья Денисова а, Юрий Дорожи н. Дошкольная математика: Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Математика для дошкольников: подготовительная группа к школе.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Счет до 10»; «Считаем до 20»; «Цвет»; «Форма».

Знакомство с миром природы

Методические пособия

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду.Вторая группа — молодая (2-3 года).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Младшая группа (3-4 года).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Средняя группа (4-5 лет).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Старшая группа (5-6 лет).

Соломенникова О.А. Знакомство с природой в детском саду. Подготовительная группа к школе (6-7 лет) (подготовка к публикации).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Соломенникова О.А. Знакомство с природой. Вторая группа — молодая (2-3 года).

Соломенникова О. А. Знакомство с природой. Младшая группа (3-4 года).

Соломенникова О. А. Знакомство с природой. Средняя группа (4-5 лет).

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Домашние животные»; «Домашние питомцы»; «Птица»; «Животные Африки»; «Животные средней полосы»; «Овощи»; «Перелетные птицы»; «Зимующие птицы»; «Хищные птицы»; «Птицы жарких стран»; «Насекомые»; «Морская жизнь»; «Кто всю зиму спит»; «Погодные условия»; «Полевые цветы»; «Садовые цветы»; «Деревья и листья»; «Грибы»; «Фрукты».

Картины для просмотра: «Коза с козлятами»; «Кот с котятами»; «Свинья с поросятами»; «Собака с щенками».

Серия «Мир в картинках»: «Деревья и листья»; «Домашние питомцы»; «Птица»; «Животные — домашние животные»; «Животные жарких стран»; «Животные средней полосы»; «Морская жизнь»; «Насекомые»; «Овощи»; «Рептилии и амфибии»; «Собаки-друзья и помощники»; «Фрукты»; «Цветы»; «Лесные ягоды»; «Садовые ягоды».

Серия «Рассказы по картинкам»: «Весна»; «Времена года»; «Зима»; «Летом»; «Осень»; «Родная природа».

Серия «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о грибах»; «Расскажите детям о деревьях»; «Расскажите детям о домашних животных»; «Расскажите детям о домашних животных»; «Расскажите детям о животных в жарких странах»; «Расскажите детям о лесных животных»; «Расскажите детям о морских обитателях»; «Расскажите детям о насекомых»; «Расскажите детям о фруктах»; «Расскажите детям об овощах»; «Расскажите детям о птицах»; «Расскажите детям о садовых ягодах».

Учебное направление «Развитие речи»

Методические пособия

Гербова В.V. Развитие речи в разновозрастной группе детского сада. Младшая группа разного возраста (2-4 года) (будет опубликована).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Младшая группа (3-4 года).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Варенцова Н.С. Обучение дошкольников чтению и письму (подготовка к публикации).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Гербова В.V. Развитие речи в детском саду: вторая группа раннего возраста (2-3 года).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Младшая группа (3-4 года).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Средняя группа (4-5 лет).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Старшая группа (5-6 лет).

Гербова В.В. Развитие речи в детском саду: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Рабочие тетради

Дарья Денисова, Юрий Дорожин.Развитие речи у грудничков. Младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Развитие речи у грудничков. Средняя группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Развитие речи у дошкольников. Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Развитие речи у дошкольников. Подготовительная группа к школе.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Уроки грамотности для детей: младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Уроки грамотности для детей: Средняя группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Уроки грамотности для дошкольников: Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Уроки грамотности для дошкольников: Подготовительная группа к школе.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Рецепт для детей: Младшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Рецепт для детей: Средняя группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Рецепт для дошкольников: Старшая группа.

Дарья Денисова, Юрий Дорожи н. Рецепт для дошкольников: Подготовительная группа к школе.

Наглядные и дидактические пособия

Серия «Грамматика в картинках»: «Антонимы. Глаголы»; «Антонимы. Прилагательные »;« Говори правильно »;« Множественное число »;« Несколько слов »;« Одно — это много »;« Словообразование »;« Стресс ».

Развитие речи в детском саду: Для работы с детьми 2-3 лет. Гербова В.В.

Развитие речи в детском саду: Для работы с детьми 3-4 лет Гербова В.В.

Развитие речи в детском саду: Для работы с детьми 4-6 лет.Гербова В.В.

Верно или нет. Для работы с детьми 2-4 года. Гербова В.В.

Развитие речи в детском саду. Для работы с детьми 2-4 года. Раздаточный материал. Г р б о в и В. В.

Серия «Рассказы по картинкам»: «Колобок»; «Цыпленок Ряба»; «Репа»; «Теремок».

Плакаты: «Алфавит»; «Английский алфавит»; «Немецкий алфавит».

Учебное направление «Художественно-эстетическое развитие»

Методические пособия

Зацепина М.Б. Музыкальное образование в детском саду. Для работы с детьми 2-7 лет.

Зацепина М.Б. Музыкальное образование в детском саду. Младшая группа (3-4 года).

Комарова Т.С. Детское художественное творчество. Для работы с детьми 2-7 лет.

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Младшая группа (3-4 года).

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Средняя группа (4-5 лет).

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду.Старшая группа (5-6 лет).

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Комарова Т.С. Развитие художественных способностей дошкольников.

Комарова Т.С., Зацепина М.Б. Интеграция в воспитательно-воспитательную работу детского сада.

Л.В. Куцакова Конструкция из стройматериалов: Средняя группа (4-5 лет).

Л.В. Куцакова Конструкция из стройматериалов: Старшая группа (5-6 лет).

Л.В. Куцакова Конструкция из стройматериалов: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Ридеры

Ридеры для чтения детям в детском саду и дома: 1-3 года.

Читалка для детей в детском саду и дома: 3-4 года.

Читатель для детей в детском саду и дома: 4-5 лет.

Читатель для чтения детям в детском саду и дома: 5-6 лет (готовится к изданию).

Читатель для чтения детям в детском саду и дома: 6-7 лет (готовится к изданию).

Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)

Комарова Т.С. Визуальная деятельность в детском саду. Соломенникова О. А. Приобщение детей к народному творчеству.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Музыкальные инструменты народов мира»; «Музыкальные инструменты эстрадно-симфонического оркестра».

Серия «Народное творчество — детям»: «Гжель»; «Городецкая роспись по дереву»; «Дымковская игрушка»; «Каргополь — национальная игрушка»; «Музыкальные инструменты»; Полхов-Майдан; «Филимоновская народная игрушка»; Хохлома.

Плакаты: «Гжель. Товары. Гжель »;« Орнаменты. Полхов-Майдан »; «Товары. Полхов-Майдан »;« Орнаменты. Филимоновская свисток »; Хохлома. Изделия »; Хохлома. Орнаменты».

Из серии «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о музыкальных инструментах», «Расскажите детям о музеях и выставках Москвы», «Расскажите детям о Московском Кремле».

Серия «Искусство для детей»: «Волшебный пластилин»; «Городецкая роспись»; «Дымковская игрушка»; «Простые узоры и орнаменты»; «Сказочная Гжель»; «Секреты листа бумаги»; «Тайны бумажного листа»; «Узоры Северной Двины»; Филимоновская игрушка; «Хохломская роспись».

Учебное направление «Физическая культура»

Методические пособия

Борисова М.М. Сидячие игры и игровые упражнения. Для занятий с детьми 3-7 лет.

Пензулаева Л.И. Физическая культура в детском саду: младшая группа (3-4 года).

Пензулаева Л.И. Физическая культура в детском саду: Средняя группа (4-5 лет).

Пензулаева Л.И. Физическая культура в детском саду: Старшая группа (5-6 лет).

Пензулаева Л. И. Физическая культура в детском саду: Подготовительная группа к школе (6-7 лет).

Пензулаева Л.И. Развлекательная гимнастика: комплексы упражнений для детей 3-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Серия «Мир в картинках»: «Спортивное оборудование».

Серия «Рассказы по картинкам»: «Зимние виды спорта»; «Летний спорт»; «График».

Серия «Расскажите детям о …»: «Расскажите детям о зимних видах спорта»; «Расскажите детям об Олимпийских играх»; «Расскажите детям об олимпийских чемпионах».

Плакаты: «Зимние виды спорта»; «Летний спорт».

Игровое задание

Методические пособия

Губанова Н.Ф. Развитие игровой деятельности. Вторая группа — молодая (2-3 года).

Губанов, Н.Ф. Развитие игровой активности. Младшая группа (3-4 года).

Губанова Н.Ф. Развитие игровой деятельности. Средняя группа. (4-5 лет).

Губанов, Н.Ф. Развитие игровой активности. Старшая группа. (5-6 лет) (готовится к печати).

Губанов, Н.Ф. Развитие игровой активности.Подготовительная группа к школе (6-7 лет) (подготовка к публикации).

Раннее развитие детей

Методические пособия

Голубева Л.Г. Гимнастика и массаж для самых маленьких.

Галигузова Л.Н., Ермолова Т.В., Мещерякова С.Ю., Смирнова Е.О. Диагностика умственного развития ребенка: младенческий и ранний возраст.

Те плюс к С.Н. Актуальные проблемы развития и воспитания детей от рождения до трех лет.

Te p l yu to SN Games — развлечения для прогулок с детьми.Для работы с детьми 2-4 года.

Ребенок от рождения до года / Под ред. С. Н. Тешгюк.

Ребенок второго года жизни / Под ред. С.Н. Теплюк.

Ребенок третьего года жизни / Под ред. С.Н. Теплюк.

Неполные программы

Методические пособия

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 3-4 года.

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 4-5 лет.

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 5-6 лет.

Математика в детском саду. Сценарии занятий: 6-7 лет.

Рабочие тетради

Математика в детском саду: 3-4 года.

Математика в детском саду: 4-5 лет.

Математика в детском саду: 5-6 лет.

Математика в детском саду: 6-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Математика в детском саду. Демо-материал: 3-7 лет.

Математика в детском саду. Раздаточный материал: 3-5 лет.

Математика в детском саду.Раздаточный материал: 5-7 лет.

Художественное творчество и дизайн. Автор Куцакова Л.В.

Методические пособия

Художественное творчество и конструирование: 3-4 года.

Художественное творчество и дизайн: 4-5 лет.

Художественное творчество и дизайн: 5-6 лет.

Художественное творчество и дизайн: 6-7 лет.

Методические пособия

Программа «Молодой эколог»: 3-7 лет.

Система работы в младшей группе: 3-4 года.

Система работы в средней группе: 4-5 лет.

Система работы в старшей группе: 5-6 лет.

Система работы в подготовительной группе: 6-7 лет.

Наглядные и дидактические пособия

Плакаты: «Где вода в природе»; «Зачем пилят деревья»; «Почему люди ходят в лес»; «Как лесник ухаживает за лесом»; «Кому нужны деревья»; «Лес — многоэтажный дом»; Пищевые цепи; «Этого нельзя делать в лесу».

Взаимодействие детского сада с семьей

Серия «Школа семи гномов»

Первокурсник

Приколы для малыша.Цветные картинки. Мои любимые игрушки. На что это похоже? Кто что делает? Моя первая книга

Второй год

В деревне и на даче. Рисуем пальцами. Прогулка по городу. Форма, цвет. Чей это хвост? Мой первый словарь. Кто это, что это?

Третий год

Один, много

Какие профессии. Кто где живет? Цвет, форма

Пластилиновые картинки. Времена года. На лесной поляне. Рисуем пальцами.Домашние питомцы. Азбука для детей. Умный вырез. То, что хорошо?

Четвертый год

Счет, форма, размер Логика, мышление Рецепты для детей. Время, пространство. Уроки грамотности. Какие есть машины? Какие профессии жадничать не буду Считаю до пяти Развитие речи. Я изучаю природу. Что в корзине? Кот кот. Какого цвета это? Квадрат и круг. Сложите картинку. День и ночь. Веселый хоровод.

Пятый год

Счет, форма, размер Логика, мышление Рецепты для детей.Время, пространство. Уроки грамотности. Что есть что? Расписная игрушка. Быстрее выше сильнее. Куда делись динозавры? Развитие речи. Кто самый, самый? Детям о звездах и планетах.

Шестой год

Счет, форма, размер Логика, мышление. Дошкольные рецепты. Время, пространство. Уроки грамотности. Защитники Отечества. Московский Кремль. Как перейти дорогу. Я вырасту здоровым. Развитие речи. Тайны природы. География для детей.

Седьмой год

Счет, форма, размер Логика, мышление Дошкольное письмо Время, пространство.Уроки грамотности. Уроки этики. Как жили наши предки. Народы мира. Где живут предлоги. Читаю с увлечением. Экология для детей. Подготовительные экзамены к школе

Выбрать серию

Ассортимент видеороликов Cambridge ESOL BEC Cambridge ESOL CAE Cambridge ESOL CPE Cambridge ESOL FCE Cambridge ESOL IELTS Cambridge ESOL YLE Английский для специальных целей Happy Hearts I типа Идиомы II типа IV Типы Практические экзаменационные документы Подготовка и практика для TOEFL iBT Ресурсы Книги по навыкам Вид вверх по течению VIII.В.В. Воронкова VIII вид. Программа И.М. Бгажнокова Добро пожаловать Академический школьный учебник Академия Английский в фокусе Архимед Педагогическая библиотека Быстрая и эффективная внеклассная деятельность Волшебный семинар Встречи Вундеркинды Горизонты Государственная итоговая аттестация Рейт по истории Грамматика в таблицах Дошкольный мир Единый государственный экзамен За страницами учебника Проблемные книги Звездный английский Золотая серия французских сказок С детства до юности История в лицах. Время и современники Итак, немец! Итоговый контроль в начальной школе Итоговый контроль: GIA Итоговый контроль: ЕГЭ В пятерку лучших шаг за шагом Классический курс Маленький крошечный лабиринт Словарь в картинках Лингвистический тренажер Линия жизни Литература для общеобразовательных организаций с русским (не родным) и родным (не русским) языком ) Языки МГУ им. М.В. Ломоносова Мозаика По краям мира немецкий… Подготовка к экзамену Перспектива Полярная Звезда Портфолио логопеда Программы Профильная школа Пять колец Работаем по новым стандартам Работаем по ФГОС дошкольное образование Rainbow Tutor Решение нестандартных задач Русская культура Синяя птица Снова в школу Сложные темы ЕГЭ Стандарты второго поколения Этапы грамотности Судьба и творчество Сферы 1-11 Ваш друг Французский Ваш кругозор Текущий контроль Universum Уроки русского языка Успех Успешный старт (математика) Учебные карточки
Учебники для вузов Обучение с образованием ФГОС: Оценка учебных достижений Французский в перспективе Чтение, аудирование, игра Шаг за шагом к пятерке лучших Школа России Школьные словари Курсы по выбору
Энциклопедические словари Я живу в России «Английский» изд.Кузовлев В.П. и другие.

Выбрать линию УМК

УМК Ю.М. Колягин, 9 класс УМК Ю.М. Колягина, 8 кл. УМК Ю.М. Колягин, 7 кл. УМК Ю. Н. Макарычев, 9 класс Deeper. УМК Ю. Н. Макарычев, 9 класс УМК Ю. Макарычев Н., 8 класс (углубление). УМК Ю. Макарычев Н., 8 класс УМК Ю. Н. Макарычев, 7 кл. УМК Ю.М. Колягина, 11 класс. (база / проф). УМК Ю.М. Колягина, 10 класс (базовый / проф). УМК Ю.В. Лебедева, 10 класс (базовый / проф.). УМК Э. М. Раковская, 8 класс.УМК Ш. А. Алимов, 9 класс УМК Ш. А. Алимов, 8 класс УМК Ш. А. Алимов, 7 кл. УМК Ш. А. Алимов, 11 класс. (базы). УМК Ш. А. Алимов, 10 класс (основы). УМК Чтение. С.Ю. Ильина, 4 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Чтение. С.Ю. Ильина, 3 класс. (VIII просмотр. В. В. Воронков) УМК Чтение. С.Ю. Ильина, 2 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Чтение, 9 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК чтения, 8 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК чтения, 6 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК чтения, 5 кл.(VIII вид. И.М. Бгажноков) УМК Чтение, 5 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Чтение, 4 кл. (VIII вид. И.М. Бгажноков) УМК Чтение, 4 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК чтения, 3 кл. (VIII вид. И.М. Бгажноков) УМК Чтение, 3 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Чтение, 2 кл. (VIII вид. И.М. Бгажноков) УМК Чтение, 1 класс. (Я тип) УМК Художественное произведение / Т.Я. Шпикалова, 4 класс УМК Художественный труд / Т.Я. Шпикалова, 3 класс УМК Художественный труд / Т.Я. Шпикалова, 2 класс УМК Художественный труд / Т.Я. Шпикалова, 1 класс УМК Устная речь, 4 кл. (VIII вид И.М. Бгажнокова) УМК Устное выступление, 3 кл. (VIII взгляд И.М. Бгажнокова) УМК Устная речь, 2 занятия. (VIII взгляд И.М. Бгажнокова) УМК Устная речь, 1 класс. (VIII взгляд И.М. Бгажнокова) УМК Техника, 4 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Технология, 3 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Технология, 2 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Технология, 1 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Т.Я. Шпикалова, 8 кл. УМК Т.Я. Шпикалова, 7 класс УМК Т.Я. Шпикалова, 6 класс УМК Т.Я. Шпикалова, 5 класс УМК Т.Я. Шпикалова, 4 класс УМК Т.Я. Шпикалова, 3 класс УМК Т.Я. Шпикалова, 2 класс. УМК Т.Я. Шпикалова, 1 кл. УМК Т.Г. Ходот, 6 класс УМК Т.Г. Ходот, 5 класс УМК Т.А. Рудченко, 4 класс УМК Т.А. Рудченко, 3 класс УМК Т.А. Рудченко, 2 класс. УМК Т.А. Рудченко, 1 класс УМК Т.А. Ладыженская, 5 класс УМК Солодовникова, 11 кл. (базы). УМК Солодовников, 10 класс (основы). УМК С.Н.Чистякова, 8 класс. УМК С. Н. Чистякова, 10 сот. УМК С.К. Бирюкова, 8 класс УМК С.Д. Ашуров, 5 класс УМК С.В. Громова, 9 класс УМК С.В. Громова 8 класс УМК С.В. Громова, 7 класс УМК Русский язык. Развитие речи, детский сад. УМК Русский язык. Развитие речи, 3 кл. УМК Русский язык. Развитие речи, 2 кл. УМК Русский язык. Развитие речи, 1 класс. УМК Русский язык. Обучение грамоте, 1 класс (II тип) УМК Русский язык, 9 кл. (VIII вид.Воронков В.В.) Учебный кодекс русского языка, 8 кл. (VIII тип. Воронков В.В.) Учебный кодекс по русскому языку, 7 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) Учебный кодекс русского языка, 6 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) Учебный кодекс русского языка, 5 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) Учебный кодекс Русский язык, 4 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) Учебный кодекс Русский язык, 4 класс. (Я набираю) УМК Русский язык, 3 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) Учебный кодекс Русский язык, 3 класс.(II вид) УМК Русский язык, 2 класс. (VIII тип. Воронков В.В.) Учебный кодекс Русский язык, 2 класс. (II вид) УМК Русский язык, 1 класс. (II тип) УМК Ревякин, 8 класс УМК Ревякин, 7 класс УМК Р.Б. Сабаткоев, 9 класс УМК Р.Б. Сабаткоев, 10 класс УМК Произношение, 4 кл. УМК Произношение, 3 кл. УМК Произношение, 2 кл. УМК Произношение, 1 кл. UMK Ed. Б.М. Неменский. 8 кл. UMK Ed. Б.М. Неменский. 7 кл. UMK Ed. Б.М. Неменский. 6 кл. UMK Ed. Б.М. Неменский. 5 кл.UMK Ed. Б.М. Неменский. 4 кл. UMK Ed. Б.М. Неменский. 3 кл. UMK Ed. Б.М. Неменский. 2 кл. UMK Ed. Б.М. Неменский. 1 кл. УМК Знакомство с окружающим миром, 2 кл. (Я набираю) УМК Знакомство с окружающим миром, 1 класс. (Я набираю) дидактические материалы Знакомство с окружающим миром (подготовлено). (I тип) учебно-методические материалы по обучению грамоте, 1 класс. (И.М. Бгажнокова) Учебно-методические материалы по обучению грамоте, 1 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК О.С. Сороко-Цюпа, 9 класс.УМК О. Е. Дроздова, 7 класс. (электронная) УМК О.В. Афанасьева, 9 класс (углубленный). УМК О.В. Афанасьева, 8 класс (углубленный). УМК О.В. Афанасьева, 7 класс (углубленный). УМК О.В. Афанасьева, 6 класс. (углубить). УМК О.В. Афанасьева, 11 класс. (углубиться). УМК О.В. Афанасьева, 10 класс. (углубиться). УМК Н.Я. Виленкина, 9 класс (углубление). УМК Н.Я. Виленкина, 8 класс Глубже. УМК им. Н.С. Русина, 6 кл. УМК Н.А. Кондрашова, 9 класс (углубление). УМК Н.А. Кондрашова, 8 кл. (углубить). УМК Н.А. Кондрашова, 7 класс (углубление).УМК Н.А. Кондрашова и др., 11 кл. (углубить). УМК Н.А. Кондрашова и др., 10 сот. (углубить). УМК «Мир истории», 6 кл. УМК Математика, Детский сад (VIII класс. Воронков В.В.) УМК Математика, 9 класс. (М.Н. Перова, VIII тип. В.В. Воронков) УМК Математика, 8 класс. (VIII тип. Воронков В.В.) УМК Математика, 7 класс. (VIII тип. В. В. Воронков) УМК Математика, 6 кл. (VIII тип. Воронков В.В.) УМК Математика, 5 класс. (VIII тип. Воронков В.В.) УМК Математика, 4 класс.(VIII тип. Воронков В.В.) УМК Математика, 3 класс. (VIII тип. Воронков В.В.) Математика УМК, 2 класс. (VIII тип. В. В. Воронков) УМК Математика, 1 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК М.Я. Пратусевича, 11 кл. (углубить). УМК М.Я. Пратусевича, 10 класс (углубление). УМК М.Я. Виленский, 5 класс УМК М.Т. Баранова, 7 класс УМК М.Т. Баранова, 6 класс УМК М.Г. Ахметзянова, 5 класс УМК Атанасян Л.С., 9 класс УМК Атанасян Л.С., 8 класс УМК Атанасян Л.С., 7 класс УМК Л.П. Анастасова, 3 класс УМК Л.Боголюбов Н., 9 класс УМК Л. Н. Боголюбова, 9 класс УМК Л. Н. Боголюбова, 8 класс УМК Л. Н. Боголюбов, 7 класс УМК Л. Н. Боголюбов, 7 класс УМК Л. Н. Боголюбова, 6 класс УМК Л. Н. Боголюбова, 6 класс УМК Л. Н. Боголюбов, 5 класс УМК Л. Н. Боголюбов Боголюбова, 5 класс УМК им. Л.Н. Боголюбова, 11 класс. (проф.) УМК им. Л. Н. Боголюбова, 11 кл. (базы). УМК им. Л. Н. Боголюбова, 10 класс (проф.). УМК им. Л. Н. Боголюбова, 10 класс (основы). УМК Л. Н. Боголюбов, «Право», 11 кл. (проф.) УМК Л. Н. Боголюбов, «Право», 10 кл.(проф.) УМК Л. Н. Алексашкин, 11 кл. (избрать). УМК Л.М. Рыбченкова, 9 класс УМК Л.М. Рыбченкова, 8 класс. УМК Л.М. Рыбченкова, 7 класс УМК Л.М. Рыбченкова, 6 класс УМК Л.М. Рыбченкова, 5 класс УМК Л.М. Зеленина, 4 класс УМК Л.М. Зеленина, 3 класс УМК Л.М. Зеленина, 2 класс. УМК Л.М.Зеленина, 1 класс. УМК Л.И. Тигранова, 6 класс УМК Л.И. Тигранова, 5 класс УМК Л.И. Тигранова, 2 класс УМК Л.И. Тигранова, 1 класс УМК Л.Г. Саяхова, 9 класс УМК Л.В. Полякова, 4 класс УМК Л.В. Полякова, 3 класс УМК Л. В. Полякова, 2 класс. УМК Л.В. Полякова, 1 класс УМК Л. В. Полякова, 11 класс. УМК Л.В. Полякова, 10 класс УМК Л.В. Кибирева, 8 класс. УМК Л.В. Кибирева, 7 класс УМК Л.В. Кибирева, 5 класс УМК Л.А. Тростенцова, 9 класс УМК Л.А. Тростенцова, 8 класс УМК История Отечества, 8 кл. УМК История Отечества, 7 кл. УМК арт … 2 кл. (VIII вид И.М. Бгажнокова) UMK Fine Arts. 1 кл. (VIII вид И.М. Бгажнокова) УМК И.А. Винер, 2 кл. УМК И.Винер А., 1 класс УМК им. И. О. Шайтанова, 9 класс (избранный). УМК им. И.О. Шайтанова, 11 класс. (избрать). УМК им. И. Н. Верещагина III степени. (углубить). УМК им. И. Н. Верещагина II степени. (углубить). УМК им. И. Н. Верещагина, 5 класс (углубление). УМК им. И. Н. Верещагина, 4 класс (углубление). УМК им. И. Н. Верещагина, 3 класс (углубление). УМК им. И. Н. Верещагина, 2 класс. (углубить). УМК им. И. Н. Верещагина, 1 класс. (углубить). УМК И. Л. Бим, 9 класс. УМК И. Л. Бим, 8 кл. УМК И. Л. Бим, 7 класс. УМК И. Л. Бим, 6 кл.УМК И. Л. Бим, 5 кл. УМК И. Л. Бим, 4 класс. УМК И. Л. Бим, 3 класс. УМК И. Л. Бим, 2 ст. УМК И. Л. Бим, 11 кл. (база) УМК И. Л. Бим, 11 кл. УМК И. Л. Бим, 10 кл. (основание.) УМК И. Л. Бим, 10 сот. УМК И.К. Топорова, 5 класс УМК им. И.К. Кикоина, 10 кл. УМК И. В. Метлик, А. Ф. Никитин, 11 класс. (базы). УМК И. В. Метлик, А. Ф. Никитин, 10 кл. (базы). УМК, И. В. Анурова и др., 6 кл. (углубить). УМК З.Н. Никитенко, 3 класс УМК З.Н. Никитенко, 2 класс УМК З.Н. Никитенко, 1 класс УМК Живой мир, 3 кл.(IIIV взгляд И.М. Бгажнокова) УМК Живой Мир, 2 кл. (IIIV взгляд И.М. Бгажнокова) УМК Живой Мир, 1 класс. (IIIV взгляд И.М. Бгажнокова) УМК Е.А. Бажанова, 1 класс. УМК Е.Ю. Сергеев, 9 класс УМК Е. С. Королькова, 7 класс УМК Е. Е. Липова, 5 класс. (углубить). УМК Э. Д. Крит, 4 класс. УМК Е.Д. Крецкая, 3 класс. УМК Э. Д. Критский, 2 класс. УМК Е.Д. Крецкая, 1 класс. УМК Е.В. Ефремова, 7 класс УМК Е.В. Агибалова, 6 кл. УМК ЭА «Сельскохозяйственный труд», 5 кл. УМК им. Д.К. Беляева, 11 кл.(база) УМК им. Д.К. Беляева, 10 сот. (основ.) УМК География, 9 кл. (VIII вид. В.В. Воронков) УМК География, 8 кл. (VIII вид. В.В. Воронков) УМК География, 7 кл. (VIII вид. В.В. Воронков) УМК География, 6 кл. (VIII вид. В.В. Воронков) УМК Г.П. Сергеев. Арт, 9 кл. УМК Г.П. Сергеев. Арт, 8 кл. УМК Г.П. Сергеева, 7 класс УМК Г.П. Сергеева, 6 класс УМК Г.П. Сергеева, 5 класс УМК Г.П. Сергеева, 1 класс. УМК Г.Е. Рудзитис, 9 класс УМК Г.Э. Рудзитис, 8 кл. УМК Г.Е. Рудзитис, 11 кл. УМК Г. Э. Рудзитис, 10 кл.УМК Г.В. Дорофеев, 9 класс УМК Г.В. Дорофеев 8 класс УМК Г.В. Дорофеев, 7 класс УМК Г.В. Дорофеев, 6 класс УМК Г.В. Дорофеев, 5 класс УМК Г.В. Дорофеев, 4 класс УМК Г.В. Дорофеев, 3 класс УМК Г.В. Дорофеева, 2 класс. УМК Г.В. Дорофеева, 1 кл. УМК Ведюшкин, 6 кл. УМК В.Я. Коровина, 9 класс УМК В.Я. Коровина 8 класс УМК В.Я. Коровина 7 кл. УМК В.Я. Коровина 6 кл. УМК В.Я. Коровина, 5 класс УМК В.Ф. Чертова, 9 класс УМК В.Ф. Чертова, 8 класс. УМК В.Ф. Чертова, 7 класс.УМК В.Ф. Чертова, 6 класс. УМК В.Ф. Чертова, 5 класс. УМК В.Ф. Грекова, 11 кл. (базы). УМК В.Ф. Грекова, 10 кл. (базы). УМК В.Ф. Бутузова, 9 класс УМК В.Ф. Бутузова, 8 класс. УМК В.Ф. Бутузова, 7 кл. УМК В.Ф. Бутузова, 10 кл. УМК В.П. Максаковского, 10 кл. УМК В.П. Кузовлева, 9 класс УМК В.П. Кузовлева, 8 кл. УМК В.П. Кузовлева, 7 кл. УМК В.П. Кузовлева, 6 класс УМК В.П. Кузовлева, 5 класс (1 курс) УМК В.П. Кузовлева, 5 класс. УМК В.П. Кузовлева, 4 класс УМК В.П. Кузовлева, 3 класс УМК В.Кузовлева П., 2 класс. УМК В.П. Кузовлева, 11 кл. УМК В.П. Кузовлева, 10 сот. УМК В.П. Журавлева, 11 кл. (база / проф). УМК В.Н. Чернякова, 5 класс УМК В.Л. Бабурина, 11 класс. (избрать). УМК В.К. Шумный, 10 сот. УМК В.И. Уколова, 5 класс УМК В.И. Уколова, 10 сот. УМК В.И. Лях, 8 кл. УМК В.И. Лях, 4 класс УМК В.И. Лях, 10 кл. УМК В.И. Лях, 1 класс УМК В.И. Коровина, 10 сот. (база / проф). УМК В.Г. Маранцман, 9 класс УМК В.Г. Маранцман 8 класс УМК В.Г. Маранцман, 7 класс УМК В.Г. Маранцман, 6 класс УМК В.Г. Маранцман, 5 класс УМК В.Г. Маранцман, 11 кл. (база / проф). УМК В.Г. Маранцман, 10 класс. (база / проф). УМК В.В. Жумаева, 9 класс (VIII вид. Воронков В.В.) УМК им. В.Б. Сухова (подготовлено). (I тип) УМК В.А. Шестакова, 9 класс. УМК В.А. Шестакова, 11 класс. (проф.) УМК Биология, 9 кл. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Биология, 8 кл. (VIII просмотр. Воронков В.В.) УМК Биология, 7 класс. (VIII вид. Воронков В.В.) УМК Биология, 6 кл. (VIII вид. В.В.Воронкова) УМК БДД / Под ред. В. Смирнова, 5 кл. УМК БДД / Под ред. Смирнова А.Т., 10 кл. УМК БДД / П.В. Ижевский, 1 класс УМК А.О. Чубаряна, 11 кл. (проф.) УМК А.Г. Гейна, 9 кл. УМК А.Г. Гейна, 8 кл. УМК А.Г. Гейна, 7 кл. УМК А.Я. Юдовская, 8 класс. УМК А.Я. Юдовская, 7 класс УМК А.Ф. Никитина, 9 класс УМК А.Ф. Никитина, 10 кл. (верно). УМК А.Т. Смирнов, Б.О. Хренникова, 11 кл. (база / проф) УМК А.Т. Смирнов, Б.О. Хренникова, 10 кл. (базовый / проф) УМК А.Т. Смирнов, 9 класс.УМК А.Т.Смирнов, 8 класс УМК А.Т. Смирнов, 7 класс УМК А.Т. Смирнов, 6 класс УМК А.Т. Смирнов, 5 класс УМК А.П. Матвеев, 8 класс УМК А.П. Матвеев, 6 класс УМК А.П. Матвеев, 5 класс УМК А.П. Матвеев, 3 класс УМК А.П. Матвеева, 2 класс. УМК им. А.П. Матвеева, 1 класс УМК им. А. Н. Сахарова, 7 класс УМК им. А. Н. Сахарова, 6 класс. УМК им. А. Н. Сахарова, 10 кл. (проф.) УМК им. А. Н. Колмогорова, 11 кл. (Базы) УМК им. А.Н. Колмогорова, 10 кл. (базы). УМК им. А.Л. Семенова, 4 класс. УМК им. А.Л. Семенова, 3 класс.УМК им. А.Л. Семенова, 7 кл. УМК им. А.Л. Семенова, 6 кл. УМК им. А.Л. Семенова, 5 класс. УМК А.К. Чтение, 7 класс (VIII вид. В. В. Воронков) УМК им. А. И. Горшкова, 11 класс. (избрать). УМК А.И. Власенкова, 11 класс. (база / проф). УМК А. Власенкова, 11 класс. (базы). УМК А. Власенкова, 10 класс (базовый / проф.). УМК А.И. Власенкова, 10 кл. (базы). УМК А. Алексеева, 9 класс УМК А.Д.Александрова, 9 класс (углубление). УМК А.Д. Александрова, 9 класс УМК А.Д. Александров, 8 класс (углубление). УМК А.Александров Д., 8 класс УМК А.Д. Александров, 7 класс УМК А.Д. Александров, 11 класс. (проф / глубокий). УМК А.Д. Александрова, 11 кл. (база / проф). УМК А.Д.Александров, 10 класс (проф / глубокий). УМК А.Д. Александрова, 10 класс (базовый / проф.). УМК А.Г. Гейн, 9 класс УМК А.Г. Гейн, 8 класс УМК А.Г. Гейн, 11 кл. (база / проф). УМК А.Г. Гейна, 10 кл. (база / проф). УМК им. А.В. Филиппова, 11 кл. (базы). УМК им. А.В. Филиппова, 10 кл. (базы). УМК А.В. Погорелов, 9 кл. УМК А.В. Погорелов 8 класс УМК А.В. Погорелов, 7 класс УМК А. В. Погорелов, 10 кл. (база / проф). УМК им. А.А. Улуняна, 11 кл. УМК им. А.А. Преображенского, 6 класс. УМК А.А. Мурашова, 11 кл. (избрать). УМК им. А.А. Левандовского, 8 класс. УМК им. А.А. Кузнецова, 8 класс УМК им. А.А. Данилова. Народы России, 9 кл. УМК им. А.А. Данилова, 9 класс УМК А.А. Данилова, 8 класс УМК А.А. Данилова, 7 класс УМК А.А. Данилова, 6 класс УМК им. А.А. Данилова, 10 кл. (избрать). УМК А.А. Воинов и др., 4 класс. (углубить). УМК А.А. Воинов и др., 3 класс.(углубить). УМК А.А. Воинов и др., 2 класс. (углубить). УМК А.А. Вигасин, класс 6 УМК А.А. Вигасин, 5 класс УМК «Я гражданин России» Л.В. Полякова, 5 класс (электронный) УМК «Школа России» М. И. Моро, 4 класс. УМК «Школа России» М.И. Моро, 3 класс. Учебный комплекс «Школа России» М.И. Моро, 2 класс. УМК «Школа России» М.И. Моро, 1 класс. УМК «Школа России» Климанов Л.Ф., 4 класс. УМК «Школа России» Л. Ф. Климанова, 3 класс. УМК «Школа России» Климанов Л.Ф., 2 класс.УМК «Школа России» Л. Ф. Климанова, 1 класс. Учебный комплекс «Школа России» Луцева Е.А., 4 класс. Учебный комплекс «Школа России» Луцева Е.А., 3 класс. Учебный комплекс «Школа России» Луцева Е.А., 2 класс. Учебный комплекс «Школа России» Луцева Е.А., 1 класс. Учебный комплекс «Школа России» В.П. Канакин, 4 класс. Учебный комплекс «Школа России» Канакина В.П., 3 класс. УМК «Школа России» Канакин В.П., 2 класс. УМК «Школа России» В.Канакин П., 1 класс. Учебный комплекс «Школа России» В.Г. Горецкого, 1 класс. Учебный комплекс «Школа России» Плешаков А.А., 4 класс. Учебный комплекс «Школа России» А.А. Плешакова, 3 класс. Учебный комплекс «Школа России» А. А. Плешаков, 2 класс. Учебный комплекс «Школа России» А.А. Плешакова, 1 класс. Учебный комплекс «Школа Олега Габриеляна», 10 кл. УМК «Французский в перспективе» Береговская Е.М. и др., 4 класс (углубление). УМК «Французский в перспективе» Н.М. Касаткина и др., 3 класс. (углубить). УМК «Французский в перспективе» Н. М. Касаткина и др., 2 класс. (углубить). УМК «Французский в перспективе» Э.Я. Григорьева, 9 класс. (углубить). УМК «Французский в перспективе» Э.Я. Григорьева, 8 класс. (углубить). УМК «Французский в перспективе» Кулигина А.С., 7 класс. (углубить). УМК «Французский в перспективе» Кулигина А.С., 6 сот. (углубить). УМК «Французский в перспективе» Кулигина А.С., 5 класс. (углубить). УМК «Французский в перспективе» Г.И. Бубнов и др., 11 кл. (углубить).УМК «Французский в перспективе» Г.И. Бубнов и др., 10 кл. (углубить). Учебный комплекс «Универсум» С.В. Громова, 11 класс. Учебный комплекс «Универсум» С.В. Громова, 10 кл. УМК «Техника. Швейное дело» 7 кл. УМК «Технология. Слесарь» 6 кл. УМК «Техника. Сельскохозяйственный труд» 9 кл. УМК «Техника. Сельскохозяйственный труд» 8 кл. УМК «Техника. Сельскохозяйственный труд» 7 кл. УМК «Твой друг французскому языку» А.С. Кулигин и др., 9 кл. УМК «Ваш друг французский язык» А.Кулигин и др., 8 кл. УМК «Твой друг французский язык» А.С. Кулигин и др., 7 кл. УМК «Твой друг французскому языку» А.С. Кулигин и др., 6 кл. УМК «Ваш друг французский язык» А.С. Кулигин и др., 5 кл. УМК «Твой друг французскому языку» Кулигин А.С. и др., 4 класс. УМК «Твой друг французскому языку» Кулигин А.С. и др., 3 класс. УМК «Ваш друг французский язык» А.С. Кулигин и др., 2 кл. УМК «Сферы». Ю.А. Алексеева, 11 кл. УМК «Сферы». Ю.А. Алексеева, 10 кл.УМК «Сферы». Бунимович Е.А., 6 класс УМК «Сферы». Бунимович Е.А., 5 класс УМК «Сферы». Д.Ю., Бовыкин, 8 класс УМК «Шары». Д.Ю., Бовыкин, 7 кл. УМК «Шары». В И. Уколова, 5 кл. УМК «Сферы». В.П. Дронов, 9 класс УМК «Сферы». В.П. Дронов, 8 класс УМК «Сферы». Уколов В.И., 6 класс УМК «Сферы». Кузнецов А.П., 7 кл. УМК «Сферы». А.А. Лобжанидзе, 6 класс УМК «Сферы». Лобжанидзе А.А., 5 класс УМК «Сферы» Химия, 9 класс. УМК «Сферы» Химия, 8 класс.УМК «Сферы» Обществознание 5 класс. УМК «Сферы» Л.С. Белоусов, А.Ю. Ватлина, 9 кл. УМК «Сферы» Л. Н. Сухорукова, 7 класс. УМК «Сферы» Л. Н. Сухорукова, 6 класс. УМК «Сферы» Л. Н. Сухорукова, 5 класс УМК «Сферы» Л. Н. Сухорукова, 11 класс. (проф.) УМК «Сферы» Сухорукова Л.Н., 10-11 класс. (основание). УМК «Сферы» Л. Н. Сухорукова, 10 класс. (проф.) УМК «Шары» В.С. Кучменко, 9 кл. УМК «Шары» В.С. Кучменко, 8 кл. УМК «Сферы» Белага В.В., 9 класс. УМК «Сферы» В.В. Белага, 8 класс. УМК «Сферы» В. В. Белага, 7 кл. УМК «Сферы» А.А. Данилова, 9 кл. УМК «Сферы» А.А. Данилова, 8 кл. УМК «Сферы» А.А. Данилова, 7 класс УМК «Сферы» А.А. Данилова, 6 класс. УМК «Синяя птица» Береговская Е.М., 5 сот. УМК «Синяя птица» Н.А. Селиванова, 9 класс. УМК «Синяя птица» Н.А. Селиванова, 7 класс. УМК «Синяя птица» Н.А. Селиванова, 6 класс. УМК «Сельскохозяйственный труд», 8 кл. УМК «Сельскохозяйственный труд», 7 класс УМК «Сельскохозяйственный труд», 6 кл. УМК «Преемственность» УМК «Полярная звезда».Ю.Н. Гладкого, 11 класс. УМК «Полярная звезда». Ю.Н. Гладкий, 10 кл. УМК «Полярная звезда» Алексеев А.И., 9 класс. УМК «Полярная звезда» Алексеев А.И., 8 класс. УМК «Полярная звезда» Алексеев А.И., 7 класс. УМК «Полярная звезда» Алексеев А.И., 6 класс. УМК «Полярная звезда» Алексеев А.И., 5-6 кл. УМК «Полярная звезда» Алексеев А.И., 5 класс. УМК «Перспектива» Н. И. Роговцева, 4 класс. УМК «Перспектива» Н. И. Роговцева, 3 кл. УМК «Перспектива» Н.И. Роговцева, 2 кл. УМК «Перспектива» Н. И. Роговцева, 1 кл.УМК «Перспектива» Л.Ф. Климанов, 4 класс. УМК «Перспектива» Л.Ф. Климанов, 4 класс. УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова, 3 класс. УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова, 3 класс. УМК «Перспектива» Климанов Л.Ф., 2 класс. УМК «Перспектива» Климанов Л.Ф., 2 класс. УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова, 1 класс. УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова, 1 класс. УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова, 1 класс. УМК «Перспектива» А.А. Плешакова, 4 класс УМК «Перспектива» А.А. Плешакова, 3 класс. УМК «Перспектива» А.А. Плешаков, 2 класс. УМК «Перспектива» А.А. Плешакова, 1 кл. УМК «Основы кулинарии», 10 кл. УМК «Основы духовно-нравственной культуры народов России», 5 кл. УМК «Основы духовно-нравственной культуры народов России», 4 класс. УМК «Основы духовно-нравственной культуры народов России», 4 класс. УМК «Объектив» Е.Я. Григорьева, 11 класс. УМК «Объектив» Е.Я. Григорьева, 10 кл. УМК «Мозаика». Н. Д. Гальскова, 9 класс (углубленный).УМК «Мозаика». Н.Д. Гальскова, 8 класс (углубленный). УМК «Мозаика». Гальскова Н.Д., 7 класс (углубленный). УМК «Мозаика». Н.Д. Гальскова, 6 класс (углубление). УМК «Мозаика». Н.Д. Гальскова, 5 класс (углубление). УМК «Мозаика». Л.Н. Яковлева, 11 класс. (углубить). УМК «Мозаика». Л.Н. Яковлева, 10 класс (углубление). Учебный комплекс «МГУ — школа» С.С. Бердоносова, 9 класс. Учебный комплекс «МГУ — школа» С.С. Бердоносова, 8 класс. Учебный комплекс «МГУ — школа» С. М. Никольского, 9 класс. Учебный комплекс «МГУ — школа» С.М. Никольского, 8 кл. Учебный комплекс «МГУ — школа» С. М. Никольского, 7 класс. Учебный комплекс «МГУ — школа» С. М. Никольского, 6 класс. Учебный комплекс «МГУ — школа» С. М. Никольского, 5 класс. УМК «МГУ — школа» С. М. Никольского, 11 кл. (база / проф). Учебный комплекс «МГУ — школа» С. М. Никольского, 10 кл. (базовая / проф.). Учебный комплекс «МГУ — школа» С.В. Новикова, 10 кл. (проф.) Учебный комплекс «МГУ — школа» Н.С. Борисова, 10 кл. (базы). — Левандовский А.А., 11 класс.(базы). Учебный комплекс «МГУ — школа» Атанасян Л.С., 11 класс. (база / проф). Учебный комплекс «МГУ — школа» Атанасяна Л.С., 10 кл. (база / проф). Учебный комплекс «МГУ — школа» В.П. Смирнова, 11 класс. (проф.) Учебный комплекс «МГУ — школа» А.О. Сороко-Цюпа, 11 класс. (базы). Учебный комплекс «МГУ — школа» А.А. Левандовского, 11 класс. (базы). УМК «Ломоносов» А.А. Фадеев, 9 класс УМК «Ломоносов» А.А. Фадеев, 8 класс. УМК «Ломоносов» А.А. Фадеев, 7 класс Учебный комплекс «Лицей» А.А.А. Пинского, 9 класс. (углубл.) Учебный комплекс «Лицей» А.А. Пинского, 8 кл. (углубл.) Учебный комплекс «Лицей» А.А. Пинского, 7 класс. (Глубже) УМК «Линия жизни». В.В. Пасечник, 9 класс УМК «Линия жизни». В.В. Пасечник 8 класса УМК «Линия жизни». В.В. Пасечник, 7 класс УМК «Линия жизни». В.В. Пасечник, 6 класс УМК «Линия жизни». Пасечник В.В., 5-6 классы образовательного комплекса «Линия жизни». В.В. Пасечник, 5 класс УМК «Лабиринт» И.Ю. Алексашина, 5 класс. УМК «Лабиринт» И.Ю. Алексашина, 11 класс. УМК «Лабиринт» И.Ю. Алексашина, 10 кл. УМК «Контакты» Г.И. Воронина, 11 сот. Учебный комплекс «Классический курс» Г.Я. Мякишев, 11 класс. Учебный комплекс «Классический курс» Г.Я. Мякишев, 10 класс. УМК «Итак, немец!» Н. Д. Гальскова, 11 класс. Учебный комплекс «Star English», К. М. Баранова, 9 класс. Учебный комплекс «Star English», К. М. Баранова, 8 класс. Учебный комплекс «Star English», К. М. Баранова, 7 класс. Учебный комплекс «Star English», К.М. Баранова, 6 класс. Учебный комплекс «Star English», К. М. Баранова, 5 класс. Учебный комплекс «Star English», Баранова К.М., 4 класс. Учебный комплекс «Star English», К. М. Баранова, 3 класс. Учебный комплекс «Star English», Баранова К.М., 2 класс. Учебный комплекс «Star English», К. М. Баранова, 11 класс. Учебный комплекс «Звездный английский», К. М. Баранова, 10 кл. Учебный комплекс «Star English», К. М. Баранова, 1 класс. УМК «Завтра» С.В. Костылева и др., 9 класс, «Завтра» С.В. Костылева и др., 8 класс, «Завтра» С.В. Костылева и др., 7 класс образовательного комплекса «Завтра» С.В. Костылева и др., 6 класс, «Завтра» С.В. Костылева и др., 5-6 классы образовательного комплекса «Завтра» С.В. Костылева и др., 10 класс учебно-воспитательного комплекса «Деловой французский» Головановой И.А., 10 класс (избранный). Учебный комплекс «Горизонты» М.М. Аверина, 9 класс Учебный комплекс «Горизонты» М.М. Аверина, 8 кл. Учебный комплекс «Горизонты» М.М. Аверина, 7 класс. Учебный комплекс «Горизонты» М. М. Аверина, 6 класс. Учебный комплекс «Горизонты» М.М. Аверина, 5 класс Учебный комплекс «Вундеркинды» Г.В. Яцковская, 5 класс. Учебный комплекс «Вундеркинды Плюс» О.А. Радченко, 8 класс УМК «Вундеркинды Плюс» О.А. Радченко, 7 класс Учебный комплекс «Вундеркинды Плюс» О.А. Радченко, 6 класс. ЕМС «Встречи» Н.А. Селиванова и др., 8-9 классы ЕМС «Встречи» Н.А. Селиванова и др., 7 класс ЕМС «Астрономия» Е.П. Левитана, 11 класс.(Избран.) УМК «Архимед» О.Ф. Кабардин, 9 класс УМК «Архимед» О.Ф. Кабардин, 8 класс УМК «Архимед» О.Ф. Кабардин, 7 класс УМК «Архимед» К.Ю. Богданова, 11 класс. УМК «Архимед» К.Ю. Богданова, 10 кл. ЕМС «Английский в фокусе», Ю. Е. Ваулина, 9 класс. ЕМС «Английский в фокусе», Ю. Е. Ваулина, 8 класс. ЕМС «Английский в фокусе», Ю. Е. Ваулина, 7 класс. ЕМС «Английский в фокусе», Ю. Е. Ваулина, 6 класс. ЕМС «Английский в фокусе», Ю. Е. Ваулина, 5 класс. УМК «Английский в фокусе», Афанасьева О.В., 11 класс.УМК «Английский в фокусе», Афанасьева О.В., 10 класс. УМК «Английский в фокусе», Быкова Н.И., 4 класс. УМК «Английский в фокусе», Быкова Н.И., 3 класс. Учебный комплекс «Английский в фокусе», Быкова Н.И., 2 класс. УМК «Английский в фокусе», Н. И. Быкова, 1 класс. УМК «Академия» А.А. Пинского, 11 класс. (угловой). УМК «Академия» А.А. Пинского, 10 класс. (угловой). УМК «Азбука переплета», 5 кл. Русский язык. Обучение грамоте. (1) Русский язык. Обучение грамоте. (0) Русский язык и литературное чтение, 4 кл.Русский язык и литературное чтение, 3 класс Русский язык и литературное чтение, 2 кл. Русский язык и литературное чтение, 1 класс. Русский язык (9) Русский язык (8) Русский язык (7) Русский язык (6) Программа под редакцией Б.М. Неменский. Изобразительное искусство, 5 лет Программа под редакцией Б. М. Неменского. Изобразительное искусство, 4 года Программа под редакцией Б. М. Неменского. Изобразительное искусство, 3 года Естествознание. (5) Непрерывность. Знакомство с окружающим миром. Подготовлено для учеников 1 и 2 классов. Руководящие принципы (типы I и II) «Портфолио молодых учащихся» Wuthering Heights Wishes B2.2 пожелания B2.1 White Fang Добро пожаловать, новичок b Добро пожаловать, новичок, приветственный плюс 6 Добро пожаловать, плюс 5 Добро пожаловать, плюс 4 Добро пожаловать, плюс 3 Добро пожаловать, плюс 1 Добро пожаловать 3 Добро пожаловать 2 Добро пожаловать 1 Выше среднего B2 + Опыт работы в восходящем направлении C2 Выше среднего уровня в апстриме B1 Уровень разведки и добычи B1 + Промежуточный уровень разведки B2 Начальный уровень подготовки A2 Начальный уровень подготовки A1 + Продвинутый уровень подготовки C1 Загрузить 4 Загрузить 3 Загрузить 2 Загрузить 1 Остров сокровищ Черви Чудесный волшебник из страны Оз Ветер в ивах Дикие лебеди Гадкий утенок Машина времени Тигровая Акула Три Козла Билли Груфф Основные инструменты Учителя История Санта-Клауса Каменный цветок Пестрый пояс Снежная королева Сапожник и его гость Мальчик-пастух и волк Эгоистичный великан Узник Зенды Принц и нищий Портрет Дориана Грея Призрак оперы Осьминог Соловей и роза Таинственный остров Венецианский купец Народ маори Человек в железной маске Заблудший мир Логгерхед Красная курица Русалочка Лев и мышь Последний из могикан Горбатый кит Собака Баскервилей Заяц и черепаха Счастливый принц Акула-молот Большая белая акула Сага о золотом камне II Золотая Каменная сага I Гигантская репа Призрак Принцесса-лягушка Рыбак и рыба Отец и его сыновья Ползучий человек Краковский дракон Кентервильское привидение Дельфин афалина Синий скарабей Муравей и сверчок Тропический лес Амазонки 2 Приключения Гекльберри Финна 7 чудес древнего мира 7 инженерных чудес современного мира Обучение юных учеников Лебединое озеро Успешное письмо Выше среднего Успешное владение письмом Успешное писательство Промежуточный уровень Storytime Storyland Spark 4 (Monstertrackers) Spark 3 (Monstertrackers) Spark 2 (Monstertrackers) Spark 1 (Monstertrackers) Белоснежка и 7 гномов Сначала навыки «Спящей красавицы»: магический камешек. Сначала навыки: ложь Улыбка Сначала навыки: Замок у озера Строитель навыков STARTER 2 Строитель навыков STARTER 1 Строитель навыков MOVERS 2 Строитель навыков MOVERS 1 Строитель навыков FLYERS 2 Строитель навыков FLYERS 1 Sivka-Burka Simon Decker и Secret Formula Set Парус 4 Set Sail 3 Set Sail 2 Установите паруса 1 Ромео и Джульетта Робинзон Крузо Робин Гуд Звезды для чтения Цели для чтения и письма 3 Цели для чтения и письма 2 Цели для чтения и письма Практические тесты Vantage для BEC Предварительные практические тесты для BEC Высшее Питер Пэн Персей и Андромеда Орфей спускается на экран B2 + на экране B2 Оливер Твист (иллюстрированные ридеры) Оливер Твист (классические ридеры) Новые исправления для старого Маугли Моби Дик Миссионный IELTS 1 Миссия 2 Миссия 1 Счастливого Рождества Макбет Маленькие женщины Красная Шапочка Обмен жизнью Letterfun Похищенный Путешествие к центру Земли Джейн Эйр Джек и существо anstalk Interactive 2 Интерактивные 1 Практические тесты IELTS 2 Практические тесты IELTS 1 Генри Бегемот Happy Rhymes 2 Happy Rhymes 1 Happy Hearts Starter Happy Hearts 2 Happy Hearts 1 Hansel & Gretel Hampton House Hamlet Hallo Happy Rhymes Большие надежды Грамматика 4 Грамматика 3 Грамматика 2 Грамматика 1 Грамматика Цели 3 Цели по грамматике 2 Цели по грамматике 1 Игра «Хорошие жены Златовласка и три медведя» Использование английского языка 1 Практические тесты FCE 2 Практические тесты FCE 1 Материалы практического экзамена FCE 3 Материалы практического экзамена FCE 2 Материалы практического экзамена FCE 1 Навыки аудирования и разговорной речи FCE 3 Навыки разговорной и письменной речи FCE 2 Навыки аудирования и разговорной речи 1 Fairyland Starter Fairyland 6 Fairyland 5 Fairyland 4 Fairyland 3 Fairyland 2 Fairyland 1 Excalibur Enterprise Plus Enterprise 4 Enterprise 3 Enterprise 2 Enterprise 1 Доктор Джек yll & Mr Hyde Death Squad Дэвид Копперфилд CPE Использование английского языка 1 Практические тесты CPE 3 Практические тесты CPE 2 Практические тесты CPE 1 Подсчет Влад Нажмите кнопку для начинающих Нажмите 4 Нажмите 3 Нажмите 2 Нажмите 2 Нажмите 1 Cinderella Chicken Licken Деловой английский Маркетинг и продажи Блокбастер 4 Блокбастер 3 Блокбастер 2 Блокбастер 1 Сокровище Черной Бороды Черная красавица и чудовище вокруг света за 80 дней Анна и дельфин Приключения Алисы в стране чудес Аладдин и волшебная лампа Расширенный доступ к грамматике и словарю 4 Доступ 3 Доступ 2 Доступ 1 Австралийские аборигены Поездка в тропический лес. Сказка о двух городах. Зеркало, ковер и лимон. Сон в летнюю ночь. Хороший поворот в Phr

.

Уравнений высших степеней.Уравнение степеней или ориентировочное уравнение 5 градусов

На канале на YouTube наш сайт, чтобы быть в курсе всех новых видеоуроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Работа № а. Само по себе встречается n раз, это выражение можно записать как a a A … a = a n

1. A 0 = 1 (A ≠ 0)

3. а н а м = а н + м

4. (а н) м = а нм

5.A N B n = (AB) N

7. А Н / Д М = А Н — М

Силовые или демонстрационные уравнения — Это уравнения, в которых переменные выражены в градусах (или индикаторах), а в основе лежит число.

Примеры ориентировочных уравнений:

В этом примере число 6 — это основа, она всегда стоит внизу, а переменная x. градусов или индикатор.

Приведем еще примеры ориентировочных уравнений.
2 х * 5 = 10
16 х — 4 х — 6 = 0

Теперь разберем, как решаются демонстрационные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Этот пример можно решить даже в уме.Видно, что x = 3. Ведь так, чтобы левая и правая часть были равны цифре 3 вместо x.
Теперь посмотрим, как нужно оформлять это решение:

2 х = 2 3
х = 3.

Чтобы решить такое уравнение, мы удалили тех же оснований, (т.е. два) и записали то, что осталось, это градусы. Получил желаемый ответ.

А теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения ориентировочного уравнения:
1.Необходимо проверить того же фундамента Ли по уравнению справа и слева. Если базы не совпадают, ищу варианты решения этого примера.
2. После того, как основания станут такими же, равняется градусам и решите полученное новое уравнение.

А теперь перепишем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, что означает, что мы можем отклонить и приравнять их степени.

x + 2 = 4 Получилось простейшее уравнение.
х = 4-2
х = 2.
Ответ: х = 2

В следующем примере видно, что основания разные. Это 3 и 9.

3 3х — 9 х + 8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать такой же фундамент. Мы знаем, что 9 = 3 2. Воспользуемся формулой степени (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х + 8

Получаем 9 х + 8 = (3 2) х + 8 = 3 2х + 16

3 3x = 3 2x + 16 Теперь понятно, что в левой и правой части основания одинаковые и равные тройке, а значит, их можно отбросить и приравнять степени.

3x = 2x + 16 Получено простейшее уравнение
3x — 2x = 16
x = 16.
Ответ: X = 16.

Смотрим на следующий пример:

2 2х + 4-10 4х = 2 4

Сначала смотрим на цоколь, фундаментов разные два и четыре. И нам нужно быть такими же. Преобразуем четверку по формуле (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

А также использовать одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х + 4 = 2 2х 2 4

Добавить к уравнению:

2 2х 2 4-10 2 2х = 24

Мы привели пример по тем же причинам.Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если вы видите, что ясно, что у нас 2 2 2, это ответ — 2 2, мы можем вынуть скобки:

2 2х (2 4-10) = 24

Вычисляем выражение в скобках:

2 4–10 = 16–10 = 6

Все уравнения Разделить на 6:

Представьте 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 основания одинаковы, выкидываем их и приравниваем градусы.
2x = 2 Получилось простейшее уравнение.Делим его на 2
х = 1.
Ответ: х = 1.

Решающее уравнение:

9 х — 12 * 3 х + 27 = 0

Преобразуем:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаем уравнение:
3 2x — 12 3 x +27 = 0

Фундамент у нас одинаковый, равен трем. В этом примере видно, что первые три градуса в два раза (2x) больше, чем у второго (просто x). В этом случае можно решить проблему замены методом .Число с наименьшей степенью заменить:

Тогда 3 2x = (3 x) 2 = T 2

Заменим в уравнении все степени полостями на T:

t 2 — 12T + 27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D = 144-108 = 36
T 1 = 9
T 2 = 3

Вернитесь к переменной x. .

Возьмем Т 1:
Т 1 = 9 = 3 х

То есть

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Найден один корень.Ищем вторую, из Т 2:
Т 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте вы можете в разделе Help Resolve Decision задать вам вопросы. Мы ответим.

Присоединиться к группе

Судя по началу публикации, которую мы здесь опускаем, Текст написал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика актуальна, просто так называют Россию, как Мухин…

Как бы кто ни принадлежал к антироссийской власти, Россия выше и не заслуживает оскорблений. Даже из талантливой лжи разоблачения американского агентства NASA.

*

Обращение в ТОВ. Мухин Ю.И.

Уважаемый Юрий Игнатьевич! Я знаю, что вы посещаете эти страницы. Поэтому обращаюсь напрямую к вам.

Мы все ценим вашу роботизированную работу в области разоблачения Волшебников Запада, лжи Америки, лжи псевдотонной лжи, лжи либералов.Мы счастливы и приносим пользу себе и обществу, мы думаем о серьезных темах, которые вы время от времени отбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей родины вызывают глубокое недоумение и горечь.

Однако неожиданно сами: как бы вы охарактеризовали человека, который начал оскорблять своего больного и от этого временно перестала работать мать?

Но Россия, как ни назови и как бы ни была хороша или противна держава, Россия — наша Родина. Родина. За нее наши деды пролили кровь и положили свои жизни.

Следовательно, ставить его в один ряд с властью — это понижать духовное возвышенное до уровня материального, а то и низкого. Те. Вы сравниваете совершенно разные категории. Это неприемлемо для любого здравомыслящего человека.

Прошу Вас, уважаемый ТОВ. Мухин, серьезно подумай.

**

… А с уравнениями (я этого не знал) ситуация такая.Как найти квадратное уравнение корней гадали еще в Древнем Египте.

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвертой степени, нашли в шестнадцатом веке, но не могли найти корни уравнения пятой степени до 2016 года. И пробовали не обычные люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основатель символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высокой алгебры французский математик Эварисе Галуа, После него найти корни уравнения пятой степени попытался норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в целом.

Мы читаем в Википедии о заслугах Авеля: «Авель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решения в общем виде (в радикалах) уравнения 5-й степени …

В алгебре Абель нашел необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в корнях» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное состояние вскоре открыл Галуа, в достижениях которого опирались на произведения Авеля.

Авель привел конкретные примеры уравнения 5-й степени, корни которого не могут быть выражены в радикалах, и, таким образом, в значительной степени закрыл древнюю проблему.«

Как видите, если теорему Пуанкаре все время пытались доказать и Перельман оказывался удачливым для других математиков, то после Абеля за пятые уравнения математики так и не брались.

А в 2014 году по математике из Томска Сергей Закаков по фото можно судить, что он уже в годах, а по этой статье о нем, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. работы, получены уравнения пятой степени.Тупик? Да, тупик! Но Сергей Заков взял его и сломал.

А в 2016 году он нашел способ решить уравнения пятой степени в общем виде! Сделал кое-что, невозможность того, что доказали математики Галуа и Абель.

Я пытался найти информацию о Сергее Борне в Википедии, но черт возьми! О математике Сергея Борне и о нахождении их решением уравнений пятой степени информации нет!

Пикантность придает то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии — Абелева премия (Нобелевская премия запретила математическую премию и теперь выдают ее за математические фекалии, называя их «физикой»).

Эта математическая премия в честь самого Авеля, который доказал невозможность изготовления нар . Однако самовыдвижение на эту награду не допускается. И нет кроликов-математиков и нет организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на эту премию.

Правда, у нас есть Академия наук, но там академики сидят не за развитие математики, а за «бабло рубят». Кому там нужен этот зайчик?

Ну для информагентств койки не Перельман! Поэтому открытие мангала для СМИ не сенсация.

Вот то, что дверь Порошенко ошиблась — это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил задачу, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачи решением стали считать алгебраические уравнения. Решение уравнения второй степени было известно в Вавилоне и Древнем Египте. Такие уравнения мы передаем в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0 и дискриминант?

Сергей Банес с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке.Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени возможно, потому что они могут быть сведены к ранее решенным уравнениям. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а четвертое уравнение — к третьему уравнению. Но пятое уравнение сводится к шестому уравнению, т.е. более сложному, поэтому традиционные решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени был перенесен всего двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, то есть в квадратных, кубических и других корнях, известных нам еще в школе. И Галуа вскоре, то есть двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешенная в радикалах пятого уравнения, должна быть либо циклической, либо метациклической.Но Галуа не нашел решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор существовали только частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Заков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решить алгебраические уравнения пятой степени в радикалах», в которой указаны решения любых пятых уравнений, разрешимых в радикалах.Банес — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять интервью.

— Сергей, почему вы решили эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени, чтобы решить задачу из другого раздела математики. Я стал выяснять, как его найти, и выяснил, что не все они решаются радикально. Затем я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел только критерий, по которому можно определить, какие из них разрешимы, а какие нет.Я не алгебраист, но, конечно, как выпускник ФПМК могу применять алгебраические методы. Поэтому с 2014 года я серьезно начал искать решение и нашел его сам.

Метод был найден мною два года назад, я подготовил книгу, в которой не только он описан, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но денег на ее публикацию у меня не было. В этом году я решил, что легче опубликовать только часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную методу решения пятого уравнения в радикалах.

Я поставил себе цель опубликовать что-то вроде руководства по решению этой проблемы, понятного математикам, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому он упростил его, удалив множество длинных формул и значительную часть теории, сократив более половины, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книги «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет.Он согласовал издание книги.

— Можно ли получить премию по математике за решение этой задачи? Например, вы упомянули Авеля. Но есть ли в математике абелева премия, которая считается аналогом Нобелевской?

— Полностью исключить такую ​​возможность невозможно. Но, надеюсь, оно того не стоит.

Например, заявки на соискание премии Абеля 2019 принимаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается.А я математик-одиночка. Нет организаций или известных математиков, которые предложили бы мою кандидатуру. Следовательно, он не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии и насколько соответствует духу этой премии представление ее тем, кто продолжает работу Авеля. Но даже если он будет представлен, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даны только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, подробно описан метод решения, показаны приемы, упрощающие решение.Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. Наук, профессор Крылов Петр Андреевич.

Подготовлено Скирневская Анастасия

Как правило, уравнение со степенью выше 4 не может быть разрешено в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни стоящего слева многочлена в уравнении высшей степени, если представить его в виде произведения многочленов до степени не более 4-й.Решение таких уравнений основано на разложении многочленов на множители, поэтому мы советуем вам повторить эту тему, прежде чем изучать эту статью.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попытаться найти рациональные корни, а затем разложить многочлен на множители, чтобы преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое просто решит. В рамках этого материала мы и рассмотрим именно такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения вида A n x n + a n — 1 x n — 1 +.. . + a 1 x + a 0 = 0, мы можем привести к уравнению такой же степени, используя умножение обеих частей на a n n — 1 и замену переменной вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 +. . . + A 1 x + a 0 = 0 Ann · xn + an — 1 · Ann — 1 · xn — 1 + … + a 1 · (AN) N — 1 · X + A 0 · (AN) N — 1 = 0 y = тревога ⇒ yn + bn — 1 yn — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, которые в итоге получились, тоже будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить данное уравнение n-noerate с целочисленными коэффициентами, имеющими вид x n + a n x n — 1 +… + а 1 х + а 0 = 0.

Вычислить корни уравнения целиком. Если уравнение имеет целые корни, их нужно искать среди делителей свободного члена a 0. Записываем их и по очереди подставим в исходное равенство, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, мы можем записать его в виде x — x 1 · pn — 1 (x) = 0. Здесь X 1 — корень уравнения, а P n — 1 (x) — частное от деления X n + беспокойство — 1 +… + a 1 x + a 0 до x — x 1.

Подставляем оставшиеся разряженные делители в P n — 1 (x) = 0, начиная с x 1, так как корни могут повторяться. После получения тождества корень X 2 считается найденным, и уравнение можно записать в виде (x — x 1) (x — x 2) · pn — 2 (x) = 0. ПН — 2 (x) будет частным от деления P n — 1 (x) до x — x 2.

Продолжаем перебирать разделители. Находим все корни целиком и обозначаем их количество через m.После этого исходное уравнение можно представить в виде x — x 1 x — x 2 · … · x — xm · pn — m (x) = 0. Здесь pn — m (x) — многочлен N — М-степень. Для расчета удобно использовать схему горнера.

Если в нашем исходном уравнении есть целые коэффициенты, мы не можем получить дробные корни.

В итоге мы получили уравнение P n — M (x) = 0, корни которого можно найти любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или сложными.

Покажем на конкретном примере, как применяется схема решения.

Пример 1.

Условие: Найти решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0.

Решение

Начнем с выводов всего корней.

У нас бесплатный член равен минус трем. У него есть делители, равные 1, -1, 3 и -3. Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них получат тождества.

При x, равном единице, получаем 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0, это означает, что единица будет корнем этого уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (x — 1) в столбце:

Итак, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас было тождество, это означает, что мы нашли другой корень уравнения, равный 1.

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (x + 1) в столбце:

Получаем

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + х + 3)

Подставляем следующий делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0, начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Полученное в итоге равенство будет неверным, это означает, что уравнение больше не имеет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3.

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11

Из этого следует, что в этой квадратной тройке декалет нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2.

Уточним, что вместо разделения в столбце можно использовать схему Gunner. Делается это так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов сразу видно коэффициенты индивида от деления многочленов, значит x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

После нахождения следующего корня, равного — 1, получаем:

Ответ: x = — 1, x = 1, x = — 1 2 ± i 11 2.

Пример 2.

Условие: Решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0,

Решение

Свободный член имеет делители 1, — 1, 2, — 2, 3, — 3, 4, — 4, 6, — 6, 12, — 12.

Проверьте их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3 — 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Итак, x = 2 будет корнем уравнения.Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на x — 2, используя схему Gunner:

В результате получаем Х — 2 (х 3 + х 2 — 3 х — 6) = 0.

2 3 + 2 2-3 · 2-6 = 0

Итак, 2 снова будет корнем. Разбиваем x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В результате получаем (x — 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Проверять оставшиеся делители не имеет смысла, так как равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решать с помощью дискриминанта.

Квадратное уравнение Spest:

х 2 + 3 х + 3 = 0 d = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3

Получаем всесторонне сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2.

Ответ : x = — 3 2 ± i 3 2.

Пример 3.

Условие: Найти для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительных корней.

Решение

х 4 + 1 2 х 3-5 2 х — 3 = 0 2 х 4 + х 3-5 х — 6 = 0

Мы выполняем регистрацию 2 3 обеих частей уравнения:

2 х 4 + х 3 — 5 х — 6 = 0 2 4 · х 4 + 2 3 х 3 — 20 · 2 · х — 48 = 0

Заменяем переменные Y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В результате у нас получилось стандартное уравнение 4-го, которое можно решить по стандартной схеме.Проверяем делители, делим и получаем в результате, что у него 2 действительных корня y = — 2, y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь приводить не будем. В силу замены действительными корнями этого уравнения x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 будет x = 3 2.

Ответ: х 1 = — 1, х 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

В математике XVI века почти случайно попадались комплексные числа (см. Главу 11).ДО XVIII века Комплексные числа считались расширением области действительных чисел, но работа с ними все же приводила к ошибке четности, так как в работах Леонарда Эй, великих работ по теории «арифметических исследований» (1801 г.) избегали использование так называемых «мнимых чисел». Мне кажется, что самая важная часть этой работы — первое доказательство основной теоремы алгебры. Гаусс понял, насколько важна эта теорема, и в последующие годы создал несколько дополнительных доказательств.В 1849 году он переделал первый вариант, на этот раз используя интегрированные числа. Используя современные термины, можно сказать, что для любого конечного полиномиального уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами. Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос о том, требует ли решение решения полиномиальных уравнений высокого порядка Создание чисел более высокого порядка, чем комплексные.

Одной из самых острых проблем алгебры того времени был вопрос, который решал бы алгебраическими методами, то есть с помощью конечного числа алгебраических шагов полином пятого порядка будет quintik.Сейчас в школе учат формулам решения квадратных уравнений, а с XVI века известны аналогичные методы решения уравнений третьей и четвертой степени (глава 11). Но для квинтинга не было единого метода. Может показаться, что фундаментальная теорема алгебры содержит перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, ничего не говорится о существовании формул, которые дают точные решения (к тому времени уже существовали приближенные числовые и графические методы) .А теперь есть два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829) родился в большой бедной семье, жившей в небольшой деревне в Норвегии — стране, разрушенной многолетней войной с Англией и Швецией. Учитель, дружелюбный наставник, давал ему частные уроки, но после смерти отца, через восемнадцать лет, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Авель был вынужден содержать семью. В 1824 году он опубликовал научную статью, в которой заявил, что Quintik не будет решать алгебраические средства, как, однако, любые полиномы высшего порядка.Абель считал, что эта статья станет пропуском в научный мир, и отправил ее Гаусс в Геттингенский университет. К сожалению, Гаусс так и не собрался разрезать страницы ножом (в те времена им приходилось иметь дело с любым читателем) и статью не прочитал. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю инструменты для путешествий по Европе. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему большой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого отправился в Берлин.Там он подружился с Августом Леопольдом Креллилем (1780-1855), математиком, архитектором и инженером, который консультировал Министерство образования Пруссии по вопросам математики. Крем собирался учредить «журнал чистой и прикладной математики». Так Абель получил возможность расширить свои работы и много публиковал, особенно в первых комнатах «журнала», который сразу стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Norwegez напечатал там расширенную версию своих доказательств того, что Quintik неуместны в алгебраических методах.А потом поехал в Париж. Эта поездка была очень расстроена Абелем, потому что он практически не получил необходимой поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстеном Луи Коши (1789–1857), который в то время был главным математическим анализатором светильников, но имел очень сложный характер. Как сказал сам Абель: «Луч Коши, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он единственный, кто способен на что-то в математике». Если попытаться найти оправдание проявлениям неуважения и пренебрежения, которые исходили от Гаусса и Коши, можно сказать, что Quintik достигла определенной известности и привлекла внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов.Абель вернулась в Норвегию, где сильнее заболела туберкулезом. Он продолжал присылать свои работы Креллилу, но в 1829 году он умер, не зная, насколько его репутация имела репутацию в научном мире. Через два дня после смерти Абелю поступило предложение открыть научный офис в Берлине.

Абель показал, что любой многочлен выше четвертого порядка не может быть разрешен с использованием радикалов, таких как корни квадратного, кубического или более высокого порядка. Однако явные условия, при которых в частных случаях эти многочлены могли быть решены, и метод их решения сформулировал Галуа.Эваристер Галуа (1811-1832) прожил короткую и насыщенную жизнь. Он был невероятно одаренным математиком. Галуа был неумолим по отношению к тем, кого считал менее талантливым, чем он сам, и в то же время я не мог мириться с социальной несправедливостью. Он не проявлял никаких способностей к математике, пока она не прочитала работу «Начало геометрии» (вышедшая в 1794 году, эта книга в течение следующих ста лет была основным учебником). Затем он буквально проглотил оставшиеся работы Лаяндера, а затем и Абеля.Его энтузиазм, самоуверенность и нетерпимость привели к поистине ужасным последствиям в его отношениях с учителями и экзаменаторами. Галуа принял участие в конкурсе на поступление в политехникум — колыбель французской математики, но из-за неподготовленности провалил экзамен. Через некоторое время после знакомства с новым учителем, признавшим свой талант, ему удалось сдержать вспыльчивость. В марте 1829 года Галуа опубликовал свою первую статью о непрерывных дробях, которую он считал своей самой значительной работой.Он отправил сообщение о своих открытиях в Академию наук, и Коши обещал представить их, но забыл. Более того, он просто потерял свою рукопись.

Вторая неудача Галуа при поступлении в политехникум вошла в математический фольклор. Он так привык постоянно держать в голове сложные математические идеи, что разводили бешенство мелкие огурцы экзаменаторов. Поскольку экзаменаторы изо всех сил пытались понять его объяснения, он бросил тряпку для стирания с доски в лицо одному из них.Вскоре после этого умер его отец, покончивший с собой в результате церковных интриг. На его похоронах вспыхнул бунт. В феврале 1830 года Галуа написал следующие три статьи, отправив их в Академию наук для рассмотрения Гран-при математики. Жозеф Фурье, на тот момент бывший секретарь Академии умер, так и не прочитав их, а после его смерти статей среди его бумаг не обнаружилось. Такой поток разочарований годится для любого. Галуа восстал против власти собственности, потому что чувствовал: они не признавали его заслуг и хотели его отца.Он с головой окунулся в политику, став ярымским республиканцем, — не самое мудрое решение во Франции в 1830 году. В последней отчаянной попытке он послал научную статью знаменитому французскому физику и математику Симеону Дени Пуассону (1781-1840). , который в ответ потребовал дополнительных доказательств.

Это стало последней каплей. В 1831 году Галуа дважды арестовывали — первый раз якобы за убийство короля Луи Филиппа, а затем, чтобы защитить его, власти опасались республиканского восстания! На этот раз его приговорили к шести месяцам заключения по сфабрикованному обвинению в незаконном ношении формы расформированного артиллерийского дивизиона, в который он вступил.Освободившись честно, он взялся за дело, которое вызвало у него такое же отвращение, как и все остальное в жизни. В письмах к преданному другу его разочарование кажется шаловливым. 29 мая 1832 г. он вызвал на дуэль, причины которой до конца не выяснены. «Я пал жертвой нечестной кокетки. Моя жизнь заканчивается жалкой ссорой», — пишет он в «письме ко всем республиканцам». Самая известная работа Галуа была написана в ночь перед роковой дуэлью. По полям разбросаны жалобы: «Некогда, некогда.«Он был вынужден оставить еще одно подробное изложение промежуточных шагов, которые были незначительны для понимания основной идеи. Ему нужно было выбросить основу своих открытий на бумаге — истоки того факта, который теперь называется теоремой Галуа. Он закончил свою завещание, прося шеваля «обратиться к Якоби и Гауссу с просьбой публично высказать свое мнение независимо от правильности, но относительно важности этих теорем». Рано утром Галуа пошел на встречу со своим оппонентом.Они должны были сместиться с расстояния 25 шагов. Галуа был ранен и на следующее утро скончался в больнице. Ему было всего двадцать лет.

Галуа опирался на работы Лагранжа и Коша, однако разработал более общий метод. Это было чрезвычайно важным достижением в решении Квинтикова. Ученый меньше обращал внимания на исходные уравнения или графическую интерпретацию, а больше думал о природе самих корней. Чтобы упростить Галуа, рассматривались только так называемые неприводимые квинтики, то есть те, которые не могут быть разложены на многочлены в виде многочленов более низкого порядка (как мы уже говорили, для любых полиномиальных уравнений до четвертого порядка есть формулы, находящие их корнеплоды).В общем, неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами — это многочлен, который не может быть разложен на более простые многочлены с рациональными коэффициентами. Например, (x 5-1)
можно разложить на множители (x — 1) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), , тогда как (x 5 — 2) неприводимо. Целью Галуа было определить условия, при которых все решения общего неприводимого полиномиального уравнения могут быть найдены в терминах радикалов.

Ключ к решению состоит в том, что корни любого неприводимого алгебраического уравнения независимы, они могут быть выражены одни через другое.Эти отношения были формализованы в группу всевозможных перестановок, так называемую корневую группу симметрии — для Quintics эта группа содержит 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 элементов. Математические алгоритмы теории Галуа очень сложны, и, скорее всего, отчасти именно они сначала их поняли с большим трудом. Но после того, как уровень абстракции позволил перейти от алгебраических решений к алгебраической структуре связанных с ними групп, Галуа смог предсказать разрешимость уравнения на основе свойств таких групп.Более того, его теория также предоставила метод, позволяющий находить сами эти корни. Что касается Квинтикова, математик Жозеф Лиувилль (1809–1882), который в 1846 году опубликовал большинство работ Галуа в своем «журнале чистой и прикладной математики», отметил, что молодой ученый доказал «красивую теорему», и в целях «Неприводимое уравнение начальной степени было разрешимо в терминах радикалов, необходимо и достаточно, чтобы все его корни были рациональными функциями любых двух из них». Поскольку это невозможно для квинтки, оно не может быть решено радикалами.

За три года математический мир потерял две самые яркие новые звезды. Взаимные обвинения и переоценка ценностей Абель и Галуа добились заслуженного признания, но только посмертно. В 1829 году Карл Якоби через Лаянель узнал о «потерянной» рукописи Абеля, а в 1830 году разразился дипломатический скандал, когда норвежский консул в Париже потребовал найти статью его соотечественника. В конце концов, Каучи нашел статью, но только потом снова потерялась в редакции Академии! В том же году Абели был удостоен Гран-при по математике (вместе с Якоби) — но он уже был мертв.В 1841 г. была опубликована его биография. В 1846 году Лиувилль отредактировал некоторые рукописи Галуа для публикации и во введении выразил сожаление по поводу того, что в оригинальной Академии была работа Галуа из-за ее сложности, «действительно, ясность изложения необходима, когда автор уводил читателя от проторенный путь к неизведанным диким территориям ». Он продолжает: «Галуа больше нет! Не будем впадать в бесполезную критику. Давайте отбросим недостатки и посмотрим на достоинства!» Плод короткой жизни Галоа уместился на всех шестидесяти страницах.Редактор математического журнала для кандидатов на экзамен ecla normal и Политехнической школы так прокомментировал случай Галуа: «Кандидат с высоким интеллектом был выбран экзаменатором с более низким уровнем мышления. Барбарус HIC EGO SUM, Quia Non Intelligor Illis

Во-первых, вторая страница этого произведения не обременена именами, фамилиями, описаниями положения в обществе, титулами и элегиями в честь некоего скупого принца, кошелек которого откроется с помощью этих Фимиами. — с угрозой закрыть его, когда хвалы будут закончены.Вы не увидите здесь почтительных похвал, написанных буквами в три раза больше, чем сам текст, адресованный тем, кто занимает высокое положение в науке, некоему мудрому покровителю — что-то обязательное (я бы сказал, неизбежное) для человека в возрасте двадцати лет, который хочет написать что-нибудь. Я никому здесь не говорю, что я обязан их советом и поддержкой всего хорошего, что есть в моей работе. Я не говорю этого, потому что это было бы ложью. Если бы мне пришлось упомянуть кого-либо из великих деятелей общества или науки (в настоящее время разница между этими двумя классами людей почти незаметна), клянусь, это не было бы знаком благодарности.Я обязан тому, что опубликовал первую из этих двух статей так поздно, и тем, что я написал все это в тюрьме — в месте, которое вряд ли можно считать подходящим для научных размышлений, и меня часто поражала моя сдержанность и умение сдерживать ваши мысли. рот на Замке по отношению к тупой и злой зоилась. Мне кажется, я могу употреблять слово «Зойла», не опасаясь обвинений в дискомфорте, потому что просто у меня есть свои оппоненты. Я не собираюсь здесь писать о том, как и почему меня посадили в тюрьму, но должен сказать, что мои рукописи чаще всего просто теряются в Господних папках членов Академии, хотя, по правде говоря, я не могу представить себе такую ​​несогласованность. со стороны Людей, на совести которых погиб Авель.На мой взгляд, любому хочется, чтобы его сравнивали с этим гениальным математиком. Достаточно сказать, что моя статья по теории уравнений была отправлена ​​в Академию наук в феврале 1830 г., которую прислали оттуда в феврале 1829 г., и при этом из нее не было напечатано ничего, да и рукопись невозможно было распечатать. возвращение.

Галуа,
неопубликованное Предисловие, 1832

Класс:
9

Основные цели:

1. Обеспечьте концепцию целого рационального уравнения.
2. Сформулируйте основные методы решения уравнений высших степеней (N >
   
   3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научите типа уравнения определять наиболее эффективный метод Его решений.

Формы, методы и педагогические приемы, используемые учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции — разъяснение нового материала, семинары — решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Использование в обучении метода исследования, направленного на развитие математического аппарата и умственных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал — индивидуальное краткое изложение урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжат в виде схем или таблиц).

План урока:

1. Организация времени.
   Цель этапа: вовлечь учащихся в учебную деятельность, определить содержание урока.
2. Актуализация знаний студентов.
   Цель этапа: актуализировать знания студентов по ранее связанным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (N >
   3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты изучаемого на уроке материала.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: Сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: «Уравнения высших степеней. Методы их решения».

2. Актуализация знаний студентов.

Теоретический обзор — беседа. Повторите часть ранее изученной информации из теории. Студенты формулируют основные определения и формулируют необходимые теоремы.Образцы даются, демонстрируя уровень ранее полученных знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решение уравнения.
• Понятие линейного уравнения С одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие эквивалентности уравнений, уравнений исследования (понятие посторонних корней), переход не является следствием (случай потери корней).
• Концепция целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие целого рационального уравнения Н. — Даже. Стандартная форма всего рационального уравнения. Приведенное целочисленное рациональное уравнение.
• Переход к совокупности уравнений младших степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• Понятие многочлена n. — степень от х. . Теорема косить. Следствие из теоремы о манте.Корневые теоремы ( Z. -Korni I. Q. -Korny) целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами (соответственно заданными и неоплаченными).
• Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Рассмотрим целое рациональное уравнение n. — степень стандартного обзора от одной неизвестной переменной x: pn (x) = 0, где P n (x) = тревога + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 — многочлен n. — степень от х., г.
а. N ≠ 0. Если a. n = 1 Это уравнение называется получившимся целым рациональным уравнением n. — Даже. Рассмотрим такие уравнения при разных значениях n. и перечислим основные методы их решения.

н. = 1 — линейное уравнение.

н. = 2 — квадратное уравнение. Дискриминантная формула. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полной площади.

н. = 3 — кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x 3 — 4X 2 — X + 4 = 0 (x — 4) (x 2 — 1 ) = 0

х. 1 = 4, x 2 = 1, X. 3 = -1.

Возвращает кубическое уравнение вида aX. 3 + bX. 2
+ bX. + а. = 0. Решаем, комбинируя элементы с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x. 3-5 х. 2-5 х. + 1 = 0
( x. + 1) ( x. 2 — 6 x. + 1) = 0
х. 1 = -1, х. 2 = 3 + 2,
х. 3 = 3–2.

Выбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что грубая сила в данном случае является конечной, и корни мы выбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z. -Corces of a дано целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами.

Пример: X. 3 — 9 x. 2 + 23 х. — 15 = 0. Уравнение приведено. Пейте бесплатный член-разделитель (+
1; +
3;
+
5; +
пятнадцать). Применяем схему наводчика:

Получаем ( x. — 1) ( x. 2 — 8 x. + 15) = 0
х. 1 = 1, х. 2 = 3, х. 3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что в этом случае финал и корни мы выбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q.-Берега не являются целочисленным рациональным уравнением с целыми коэффициентами.

Пример: 9. x. 3 + 27 х. 2 — х. — 3 = 0. Уравнение не холостое. Пейте бесплатный член-разделитель (+
1; +
3). Пейте делители коэффициентов со старшей степенью неизвестности. ( +
1; +
3;
+
9) Следовательно, корни будут искать среди значений ( +
1; +
;
+
;
+
3).Применяем схему наводчика:

Получаем ( х. —
) (9 х 2
+ 30 х. + 9) = 0
х. 1 =
,
х. 2 = —
, х. 3 = -3.

Для удобства подсчета при выборе Q -Korny Может быть удобно заменить переменную, перейти к данному уравнению и выбрать Z Korni. .

.

• Если можно использовать замену типа y = kx.

.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений — это формула Кардано. Эта формула связана с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталия (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула выходит за рамки нашего курса.

н. = 4 — уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: X. 4 + 2 x. 3 + 5 х. 2
+ 4 х. — 12 = 0
( x. 4 + 2 x. 3) + (5 x. 2 + 10 x. )
— (6 х + 12) = 0
( x + 2) ( x 3 + 5 x — 6) = 0
( x. + 2) ( x. — 1) ( x. 2 + x. + 6) = 0
х. 1 = -2, х. 2 = 1.

Метод замены переменной.

• Уравнение Бикета типа aX. 4 + bX. 2 + С. = 0
  .
  

Пример: x. 4 + 5 х. 2 — 36 = 0. Замена г. = х. 2. Отсюда г. 1 =
4 г. 2 = -9. поэтому х. 1,2 = +
2.

• Обратное уравнение четвертой степени типа aX. 4 + BX. 3 + С. х. 2 + bX. + а. = 0.

Решаем, комбинируя элементы с одинаковыми коэффициентами заменой типа

• aX. 4
  + bX. 3 + cX. 2 — bX. + а. = 0.

• Обобщенное уравнение доходности четвертой степени представления aX. 4
  + bX. 3 + cX. 2 + кБХ
  + к 2. а = 0,.

• Замена общего. Некоторые стандартные замены.

Пример 3. .
Замена общего типа (следует из вида конкретного уравнения).

н. = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Q-корней н. =
3.

Общая формула. Существует универсальное решение уравнений четвертой степени.Эта формула связана с именем Луи Феррари (1522-1565). Эта формула выходит за рамки нашего курса.

н. >
5 — уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен описанному выше для n. = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Q-корней На основе теоремы. Схема Горнера.Алгоритм аналогичен описанному выше для n. =
3.

Симметричные уравнения. Любое уравнение возврата нечетной степени имеет корень x. = -1 и после разложения на множители получаем, что одна вещь имеет вид ( х. + 1), а вторая фабрика — уравнение возврата четной степени (ее степень на единицу меньше степени исходное уравнение). Любое обратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ. Содержит корень представления.Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует общей формулы для решения целых уравнений пятой степени (ее показали итальянский математик Паоло Руффини (1765-1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эваристер Галуа (1811-1832)).

• Напомним еще раз, что на практике можно использовать комбинаций Перечисленных выше методов.К агрегатным уравнениям младших степеней удобно перейти с помощью разложения исходного уравнения на множители .
• Помимо нашего сегодняшнего обсуждения оставалось широко используемым на практике. графические методы решения уравнений I. методы приближенного решения Уравнения высших степеней.
• Бывают ситуации, когда уравнение имеет R-корни.

Затем решение сводится к тому, чтобы показать, что корневое уравнение не имеет.Для доказательства проанализируем поведение рассматриваемых функций на интервалах монотонности. Пример: уравнение x. 8 — х. 3 + 1 = 0 не имеет корней.

• Воспользуйтесь свойствами однообразия функций

. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить задачу.
Пример 1: Уравнение x. 5 + 3 х. -4 = 0 имеет один корень х. = 1. Других корней для однообразия анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: Уравнение x. 4 + ( x. — 1) 4 = 97 имеет корни x. 1 = -2 и х. 2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на интервалах монотонности, делаем вывод, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: На данный момент мы освоили основные методы решения различных уравнений высших степеней (для n >
3). Наша задача — научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы.В зависимости от вида уравнения нам нужно будет узнать, как определить, какой метод решения в этом случае является наиболее эффективным, а также правильно применяемый метод.

5. Домашнее задание.

: P.7, p. 164-174, №№ 33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12,
9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или тезисов по теме:

• Формула Кардано
• Графическое решение решения уравнений. Примеры решений.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса студентов к теме:

Опыт показывает, что интерес студентов в первую очередь вызывает возможность выбора Z. -Korny I. Q. -Уравнения Корни с довольно простым алгоритмом с использованием горной схемы. Также студентов интересуют различные стандартные типы переменных, позволяющие существенно упростить тип задания.Особый интерес обычно вызывают графические способы решения. В этом случае вы можете дополнительно разобрать задачи по графическому способу решения уравнений; Обсудите график общего вида для многочлена 3, 4, 5 степеней; Анализируйте как количество корней уравнения 3, 4, 5 степени с учетом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых вы можете найти дополнительную информацию по этой теме.

Библиография:

1. Виленкин Н.Я. и другие. «Алгебра. Учебник для школьников 9 классов с углубленным изучением математики» — М., Просвещение, 2007 г. — 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. «За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс» — М., Просвещение, 2008 г. — 192 с.
3. Доходный М.Я. «Справочник по математике» — М., АСТ, 2010 г. — 1055 с.
4. Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре.Учебное пособие Для 8-9 классов с углубленным изучением математики »- М., Просвещение, 2008 г. — 301 с.
5. Звавич Л.И. et al. «Алгебра и начало анализа. 8-11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики» — М., Капля, 1999 г. — 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. «Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе» — М., Просвещение, 2007 г. — 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» Часть 1 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» Часть 2 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
9. Иванов А.П. «Контрольные работы I. Контрольные работы по математике. Учебное пособие». — М., Физматкнига, 2008 — 304 с.
10. Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике.