Задачи за 8 класс по математике – 8 . , , .

Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания

www.yaklass.ru

Текстовые задачи. Алгебра 8 класс ИДЗ 3 ЗАДАНИЕ 2

8 класс Алгебра ИДЗ 3

Задание 2. Решите задачи

Вариант 1.

1. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч проедет путь на 15 км/ч больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.

2. Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 ч, если первый изготавливает за это время на 8 болтов больше?

Вариант 2.

1. Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя 1 ч за ним вышла легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина обогнала автобус и через 5 ч после своего выхода находилась впереди него на 70 км. Найдите скорость автобуса.

2. Ученик тратит На обработку одной детали на 12 мин больше, чем мастер. Сколько деталей обработает каждый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает на 5 деталей меньше, чем мастер?

Вариант 3

1. Товарный поезд был задержан в пути на18 мин, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.

2. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на эту работе каждой бригаде, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее другой?

Вариант 4

1. Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на 20 мин больше. Найти первоначальную скорость мотоциклиста.

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить оклейку комнаты обоями за 6 ч. За какое время каждый из них может оклеить эту комнату обоями, если один из них тратит на это на 5 ч меньше, чем другой?

Вариант 5

1. Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

2. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно на40 ч больше, чем второму?

Вариант 6

1. Моторная лодка прошла по течению 25 км и против течения 3 км, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

2.Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько ч наполняет бассейн вторая труба?

Вариант 7

1. Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч.

2. Два сборщика винограда, работая вместе, собрали виноград с участка за 12ч. Первый сборщик мог бы собрать виноград с этого участка на 10 ч быстрее, чем второй. За какое время каждый сборщик может выполнить эту работу?

Вариант 8

1. Катер, собственная скорость которого 20 кем/ч, прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся обратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь катер потратил 6,25 ч.

2. Два компьютера, работая совместно, могут выполнить определенный объем работы за 3,75 ч. Работая отдельно, один из них выполнил бы эту работу на 4 ч быстрее другого. Сколько времени потребовалось бы каждому компьютеру для выполнения этой работы?

Вариант 9

1. Пешеход должен был пройти 12 км за определенный срок, но он был задержан с выходом на 1ч, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

2. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за3 ч. За сколько ч может наполнить аквариум первая трубка, если ей потребуется для этого на 2,5 меньше, чем второй?

Вариант 10

1. Велосипедист проехал с определенной скоростью путь 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. НА весь путь туда и обратно потрачено 1 ч 10 мин. Найти его скорость от турбазы до города.

2. Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 ч. Первому рабочему на эту работу потребовалось бы на 3 ч больше, чем второму. За какое время может убрать помещение первый рабочий?

Вариант 11

1. Расстояние между городами 200 км. Мотоциклист проходит это расстояние на 5 ч быстрее велосипедиста. Найти их скорости, если скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

2. Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6 ч. За какое время могут разгрузить баржу, работая отдельно, каждый кран, если одному из них нужно на 9 ч меньше, чем другому?

Вариант 12

1. Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем путь против течения. Найти скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

2. Два грузовика, работая вместе, могут перевезти зерно за 4 ч. За какое время перевезет то же количество зерна каждый грузовик в отдельности, если первому нужно для этого на 6 ч больше, чем второму?

Вариант 13

1. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч проедет путь на 15 км/ч больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.

2. Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 ч, если первый изготавливает за это время на 8 болтов больше?

Вариант 14

1. Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя 1 ч за ним вышла легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина обогнала автобус и через 5 ч после своего выхода находилась впереди него на 70 км. Найдите скорость автобуса.

2. Ученик тратит На обработку одной детали на 12 мин больше, чем мастер. Сколько деталей обработает каждый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает на 5 деталей меньше, чем мастер?

Вариант 15

1. Товарный поезд был задержан в пути на18 мин, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.

2. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на эту работе каждой бригаде, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее другой?

Вариант 16

1. Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на 20 мин больше. Найти первоначальную скорость мотоциклиста.

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить оклейку комнаты обоями за 6 ч. За какое время каждый из них может оклеить эту комнату обоями, если один из них тратит на это на 5 ч меньше, чем другой?

Вариант 17

1. Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

2. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно на40 ч больше, чем второму?

Вариант 18

1. Моторная лодка прошла по течению 25 км и против течения 3 км, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

2. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько ч наполняет бассейн вторая труба?

Вариант 19

1. Теплоход прошел по течению реки48 км и столько же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч.

2. Два сборщика винограда, работая вместе, собрали виноград с участка за 12ч. Первый сборщик мог бы собрать виноград с этого участка на 10 ч быстрее, чем второй. За какое время каждый сборщик может выполнить эту работу?

Вариант 20

1. Катер, собственная скорость которого 20 кем/ч, прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся обратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь катер потратил 6,25 ч.

2. Два компьютера, работая совместно, могут выполнить определенный объем работы за 3,75 ч. Работая отдельно, один из них выполнил бы эту работу на 4 ч быстрее другого. Сколько времени потребовалось бы каждому компьютеру для выполнения этой работы?

Вариант 21

1. Пешеход должен был пройти 12 км за определенный срок, но он был задержан с выходом на 1ч, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

2. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за3 ч. За сколько ч может наполнить аквариум первая трубка, если ей потребуется для этого на 2,5 меньше, чем второй?

Вариант 22

1. Велосипедист проехал с определенной скоростью путь 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. НА весь путь туда и обратно потрачено 1 ч 10 мин. Найти его скорость от турбазы до города.

2. Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 ч. Первому рабочему на эту работу потребовалось бы на 3 ч больше, чем второму. За какое время может убрать помещение первый рабочий?

Вариант 23

1. Расстояние между городами 200 км. Мотоциклист проходит это расстояние на 5 ч быстрее велосипедиста. Найти их скорости, если скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

2. Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6 ч. За какое время могут разгрузить баржу, работая отдельно, каждый кран, если одному из них нужно на 9 ч меньше, чем другому?

Вариант 24

1. Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем путь против течения. Найти скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

2. Два грузовика, работая вместе, могут перевезти зерно за 4 ч. За какое время перевезет то же количество зерна каждый грузовик в отдельности, если первому нужно для этого на 6 ч больше, чем второму?

multiurok.ru

Олимпиада по математике 8 класс с решением

Олимпиада с решением по математике для 8 класса

Задача 1

Стороны треугольника a,b и c . Угол A = 60^o.
Доказать, что 3/(a + b + c) = 1/(a + b) + 1/(a + c).

Решение

Преобразуем данное выражение: 3/(a + b + c) = 1/(a + b) + 1/(a + c),
3(a + b)(a + c) = (a + b + c)(2a + b + c),
3a² + 3ac + 3ab + 3bc = (a + b + c)² + a(a + b + c),
a² + bc = b² + c².
Итак, доказываемое равенство равносильно следующему:
a² = b² + c² — bc .
Но это же соотношение получается,
если применим теорему косинусов для угла в 60^o :
cos A = cos 60^o = 1/2, a² = b² + c² — 2bc cos A .
Можно получить этот результат с помощью теоремы Пифагора, разбив треугольник на два прямоугольных треугольника.

Задача 2

Вершины тысячеугольника занумерованы от 1 до 1000.
Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1,16,31 и т.д.).
Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены.
Сколько вершин останутся неотмеченными?

Решение

Отметка точек прекращается,
когда одна из вершин будет отмечена во второй раз.
Легко видеть, что это будет первая вершина.
Номера отмечаемых вершин — это члены арифметической прогрессии с разностью 15,
т. е. числа вида
1 + 15k .
Если после нескольких полных оборотов (например, m оборотов) снова будет отмечена первая вершина,
то можем записать:
1 = 1 + 15k — 1000m ,
где k — число отмеченных вершин.
Это уравнение перепишем в виде 3k = 200m .
Отсюда видно, что k = 200, m = 3 ,
т. е. после трёх оборотов первая вершина будет отмечена во второй раз.
Следовательно, всего будет отмечено 200 вершин, а остальные останутся неотмеченными.

Ответ: 800 вершин.

Задача 3

Найти наименьшее значение выражения
x + 1/(4x)
при положительных значениях x .

Решение

x + 1/4x = (x + (1/4)/x — 1) + 1 = (x² — x + 1/4)/x + 1 = ((x — 1/2)²)/x + 1.
Из этого выражения видно,
что при положительных значениях переменной x
оно всегда больше единицы, за исключением значения x = 1/2 ,
когда выражение принимает значение 1,
которое и будет минимальным значением выражения при положительных x .

Задача № 4

 В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек.
За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую.
За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Решение :

Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Задача № 5

Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

Решение :

Пусть N = x y 19 — такое число. Тогда N – 19 тоже кратно 19. Но N — 19 = x y 00 = x y 100. Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95. Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.

Задача № 6

У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24.
Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна: а)  35; б)   7.

Решение :

а) Наибольшая сумма цифр числа равна 11 для 29-го числа. Наибольшая сумма цифр месяца равна 9 для сентября, то есть для 09. Значит, наибольшая сумма цифр в текущем году будет у даты 29.09.2008. Она равна 30, что меньше 35.
Следовательно, надо менять и год. Последняя цифра года не более 9, и если мы сохраняем первые две цифры, то придется цифру десятилетий увеличить до 4.
б) Для 2008 года сумма цифр года уже больше 27, поэтому год придется изменить.
Ближайший год в будущем с меньшей суммой цифр — 2010-й.
Соответственно, ближайшая подходящая дата 03.01.2010.

Задача № 7

Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Решение :

Чтобы произведение было точным квадратом, нужно, чтобы каждый простой множитель входил в него в четной степени. В произведение 8 · 9·…· 17 в нечетной степени входят 2, 7, 11, 13 и 17. Значит, мы обязаны вычеркнуть сомножители 11, 13 и 17. А вот чтобы «убить» лишние простые множители 2 и 7, хватит одного вычеркнутого сомножителя 14.
Итого сумма вычеркнутых чисел равна 11 + 13 + 14 + 17 = 55.

Задача № 8

На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33.
Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?

Решение :

Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51. При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 – 36 = 15, при втором — 51 – 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 — 8.

Задача № 9

В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Решение :

Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3·11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3·12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 56/4 = 14

Задача № 10

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Решение :

Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 – 18 = 24, он затратит 18·3 + 24·9 = 270 мин. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24·3 + 18·11 = 270 мин — то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).
Достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение

x·3 + (42 – x)·9 = (42 – x)·3 + 11x.

Олимпиада с решением по математике в 8 классе

Дальше:     Олимпиадные задания по математике 8 класс >>>

eruditu.ru

Математика 8 класс | онлайн тест для учащихся.

Математика 8 класс (Уравнения)

Лимит времени: 0

Информация

Примите участие и узнайте свой результат.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 10

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики
   0%
2. Математика
   0%

• Для зарегистрированных пользователей результат тестирования

  оправляется на E-mail указанный при регистрации. 

  Зарегистрироваться

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

source2016.ru

Задачи 3 олимпиад по математике 8 класс с решением и ответами.

Олимпиадные задания по математике 8 класс

Задача 1. 

Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ? 

Ответ:

92007 + 92006 = 92006( 9 + 1) = 92006* 10.
Нулем.

Задача 2. 

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных.
Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов ?
Сколько и каких цветов было в каждом букете? 

Ответ:

Решая уравнение, получаем 40 розовых гвоздик,120 белых гвоздик, 200 красных гвоздик. НОД (40, 120,200) равен 40, следовательно из 360 гвоздик можно составить 40 букетов, причем каждый букет будет состоять из 1 розовой, 3 белых и 5 красных гвоздик.

Задача 3. 

Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом ? 

Ответ:

Да, при радиусе равном 2.

Задача 4. 

После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились в двое.
На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла ? 

Ответ:

Мыла хватит еще на одну стирку, т.к. объем оставшегося мыла составил 1/8 часть первоначального, израсходовано мыла: 1 — 1/8 = 7/8 куска,
значит на каждую стирку расходовалось 1/8 часть куска, именно столько осталось.

Задача 5. 

Какими двумя цифрами заканчивается число 13! ? 

Ответ:

В произведении 1*2*3…*13 есть множители 2, 5 и 10, значит число 13!
Заканчивается двумя нулями.

Задача 6. 

Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию.
Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию ? 

Ответ:

7 человек. Хор не посещают 10 человек, все они лыжники.
Лыжников всего 17человек, значит 7 человек надо «взять» из хора.

Задача 7. 

Окружность касается квадрата извне и «катится» по нему без скольжения.
Сколько полных оборотов сделает эта окружность около своего центра и какой путь пройдет центр окружности к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны квадрата равна длине окружности и радиус окружности равен а см ?
Те же вопросы, если окружность «катится» по сторонам равностороннего треугольника. 

Ответ:

В случае квадрата каждая точка окружности сделает 4 оборота около своего центра.
Центр окружности сделает четверть оборота около каждой вершины квадрата.
За один обход центр окружности совершает путь, равный 5*2Па см.
В случае треугольника — соответственно 3 оборота и 8П а см

Задача 8. 

Во время похода палатки расположились в т. А,В, и С.
В каком месте удобно выбрать площадку для проведения общего костра,
чтобы расстояние от него до палаток было одинаковым ? 

Ответ:

Точка осей симметрии точек А и В и точек В и С будет искомой.

Задача 9. 

Найдите произведение всех целых чисел от (-99) до 99. 

Ответ:

0

Задача 10. 

Две семьи выехали каждая на машине «Жигули» на прогулку одновременно из одного места.
Обе семьи проехали на машинах одинаковые расстояния и вернулись домой в одно и то же время.
В пути они отдыхали.
Первая семья была в пути в двое больше времени, чем вторая.
Вторая была в пути втрое больше времени. Чем отдыхала первая.
Какая из этих семей двигалась на машине быстрее ? 

Ответ:

1-я семья: 2х часов — время на езду, у часов — время на отдых.
2-я семья: 3у часов — время на езду, х часов — время на отдых 2х + у = 3у + х; х = 2у.
Вторая семья отдыхала в два раза больше, чем первая следовательно, она ехала быстрее первой.

Задача 11. 

Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда ? 

Ответ:

Наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.

www.dist.by

Задачи по математике 8 класс

Задания по математике для 8 класса.

Задача 1

Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда? 

Решение:
наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.

Задача 2

В оранжерее было срезано 360 гвоздик.
Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных.
Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов?
Сколько и каких цветов было в каждом букете? 

Решение:
решая уравнение, получаем 40 розовых гвоздик,120 белых гвоздик, 200 красных гвоздик.
НОД (40, 120,200) равен 40, следовательно из 360 гвоздик можно составить 40 букетов,
причем каждый букет будет состоять из 1 розовой, 3 белых и 5 красных гвоздик.

Задача 3

Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом? 

Решение:
да, при радиусе равном 2.

Задача 4

После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились в двое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла? 

Решение:
мыла хватит еще на одну стирку, т.к. объем оставшегося мыла составил 1/8 часть первоначального, израсходовано мыла: 1 — 1/8 = 7/8 куска, значит на каждую стирку расходовалось 1/8 часть куска, именно столько. Сколько осталось.

Задача 5

Какими двумя цифрами заканчивается число 13! ? 

Решение:
в произведении 1*2*3…*13 есть множители 2, 5 и 10, значит число 13! Заканчивается двумя нулями.

Задачи по математике 8 класс.

infourok.ru

Олимпиадные задачи по математике для 8 класса — Математика 8 класс — 8 класс

Олимпиада №1

Задача 1: Существует ли двадцатизначное натуральное число такое, что если его цифры записать в обратном порядке, то полученное число будет ровно в три раза больше первоначального?

Решение: Предположим, что такое число нашлось. Его первая цифра может быть 1, 2 или 3 (потому что иначе в три раза большее число будет одиннадцатизначным).
Если первая цифра 1, то последняя – 7 (так как иначе при умножении на три на конце получится другая цифра – см. таблицу умножения на 3). Но тогда обращённое число получается более чем в три раза превосходит исходное.
Если первая цифра – 2 или 3, то последняя – 4 или 1, поэтому обращённое число получается слишком мало.
Значит такого числа не существует.

Задача 2: Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF и BE длиннее.

Задача 3: Натуральные числа u и v таковы, что для любого натурального k числа ku + 2 и kv + 3 имеют общий натуральный делитель, больший 1. Чему может быть равно отношение ?

Решение:

Предположим, что 3u ? 2v. Тогда n = |3u – 2v| > 0. По условию, числа nu + 2 и nv + 3 делятся на некоторое натуральное число d > 1. Тогда числа 3(nu + 2) – 2(nv + 3) = n(3u – 2v) = ± n? и (nu + 2) – (nv + 3) = n(u – v) + 1 также делятся на d, чего не может быть, так как эти числа взаимно просты.
Значит, сделанное предположение неверно и 3u = 2v. Тогда существует такое натуральное число x, что u = 2x, v = 3x и для всех натуральных k мы имеем

Задача 5: В треугольнике ABC выполняется равенство BC = 2AC. На стороне BC выбрана такая точка D, что ? CAD = ? CBA. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла C в точке E. Докажите, что AE = AB.

Задача 6: В некотором государстве 2001 город, причем любые два города соединены прямым рейсом автобуса или поезда. Пользуясь только одним из этих двух видов транспорта невозможно объехать 16 городов, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно. Докажите, что пользуясь только одним видом транспорта невозможно объехать 17 городов, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно.

Решение:

Предположим противное, пусть существует замкнутый циклический маршрут на одном из видов транспорта, последовательно проходящий по городам A1, A2, …A17. Пусть этот вид транспорта — поезд. Рассмотрим города Ak и Ak + 2 (нумерация циклическая, т.,е. A18 = A1, A19 = A2, и т.,д.). Нетрудно заметить, что города Ak и Ak + 2 не могут быть соединены рейсом поезда (иначе существует цикл из 16 городов A1, …, Ak, Ak + 2, …, A17). Значит, для всех k от 1 до 17 города Ak и Ak + 2 соединены рейсом автобуса и существует замкнутый циклический маршрут на автобусе из 17 городов A1, A3, …, A17, A2, …, A16.

Рассмотрим еще один город B. Если для некоторого k город B соединен с обоими городами Ak и Ak + 3 рейсами поезда, то существует циклический маршрут на поезде из 16 городов: B, Ak + 3, Ak + 4, …, Ak, что противоречит условию. Значит, город B должен быть соединен хотя бы с одним из двух городов Ak и Ak + 3 рейсом автобуса.

Если для некоторого k город B соединен с обоими городами Ak и Ak + 6 рейсами автобуса, то существует циклический маршрут на автобусе из 16 городов: B, Ak + 6, Ak + 8, …, Ak – 2, Ak, что противоречит условию. Значит, город B должен быть соединен хотя бы с одним из двух городов Ak и Ak + 6 рейсом поезда.

Отсюда ясно, что существует город An, соединенный с B рейсом поезда. Тогда рейсы BAn – 3 и BAn + 3 должны выполняться автобусом, что противоречит доказанному выше. Следовательно, не существует замкнутого циклического маршрута на одном из видов транспорта по 17 городам.

Задача 7: Колоду карточек с числами от 1 до 78 дают зрителю. Тот ее перемешивает, отбирает 40 карточек, отдает их первому фокуснику, а остальные оставляет себе. Первый фокусник выбирает из полученных карточек две и возвращает их зрителю. Зритель добавляет к этим карточкам одну карточку из своих тридцати восьми, и, перемешав, отдает эти три карточки второму фокуснику. Второй фокусник показывает, какая из карточек была добавлена зрителем. Объясните, как может быть показан такой фокус.

Решение: Фокусники любым способом разбивают 78 карточек на 39 пар и запоминают это разбиение. Какие бы 40 карт зритель ни отдал первому фокуснику, среди них обязательно окажутся две карты из одной пары (так как пар всего 39). Первый фокусник должен дать зрителю две карты из одной пары. Тогда карта, добавленная зрителем, будет из другой пары, и ее без труда сможет определить второй фокусник.

Олимпиада № 2
1. Газетный лист сложил пополам 5 раз, каждый раз меняя направление сгиба. Затем отрезали от получившегося прямоугольника 4 угла и развернули лист. Сколько в нём дырок?
(A) 21 (В) 25 (С) 32 (D) 45 (Е) 60
2. Периметр квадрата увеличили на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?
(A) 10% (В) 11% (С) 20% (D) 21% (Е) 50%
3. Пять человек сидят за круглым столом. Каждый из них говорит: «Оба мои соседа — лжецы». Сколько лжецов за столом?
(A) 1 (В) 2 (С) 3 (D) 4 (Е) 5
4. 3 утки и 2 селезня вместе весят 32 кг, 4 утки и 3 селезня весят 44 кг. Сколько весят 2 утки и 1 селезень?
(A) 20 (B) 21 (C) 24 (D) 26 (E) 25,5
5. Имеется 100 маленьких одинаковых кубиков. Из них сооружается самый большой из возможных кубиков. Сколько маленьких кубиков осталось неиспользованными?
(A) 73 (В) 36 (С) 19 (D) 9 (Е) 0
6. Рассказывая о своём дедушке, Оля каждый раз старалась назвать его по-новому: «отец брата отца», «брат отца брата», «отец отца брата», «брат отца отца». Сколько раз Оля ошиблась? (Все братья — родные!)
(A) 0 (В) 1 (С) 2 (D) 3 (Е) 4
7. Перед входом в крепость сложена пирамида из одинаковых пушечных ядер (в основании — правильный треугольник, и ядра каждого следующего слоя лежат в ямках предыдущего слоя). Каким может быть количество ядер в этой пирамиде?
(A) 200 (В) 210 (С) 220 (D) 250 (Е) 256
8. У пиратов в ходу монеты в 1, 2 и 5 пиастров. В кармане у Флинта 10 пиастров. Тогда число монет у него в кармане не может быть равно
(A) 3 (В) 4 (С) 6 (D) 7 (Е) 8
9. Какое из чисел не может быть представлено в виде суммы двух квадратов?
(A) 13 (В) 25 (С) 61 (D) 83 (Е) 101
10. Сколько различных результатов можно получить, расставляя скобки в выражении 10 – 5 ­– 3 – 1?
(A) 4 (В) 5 (С) 6 (D) 7 (Е) 8
11. Максим родился в воскресенье 29 февраля. Через сколько лет его день рожденья в первый раз снова будет в воскресенье 29 февраля?
(A) 4 (В) 8 (С) 20 (D) 28 (Е) 29
12. Три лыжника, Яша, Федя и Коля, стартовали в таком порядке: Я, Ф, К, то есть сначала Яша, потом Федя, потом Коля. На дистанции Яшу обогнали 3 раза, Федю — 5 раз, а Колю — 8 раз. В каком порядке лыжники пришли к финишу?
(A) Ф, К, Я (В) Я, К, Ф (С) К, Ф, Я
(D) Я, Ф, К (Е) нельзя определить
13. В корзине сидят котята — 4 чёрных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трёх котят разной окраски?
(A) 4 (В) 5 (С) 6 (D) 7 (Е) 8
14. Произведение возрастов Машиных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Маши братьев?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
15. В шахматном турнире участвовало 8 игроков и каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
(A) 28 (В) 36 (С) 49 (D) 56 (Е) 64

www.mamapapa-arh.ru