8 класс

Ткачева алгебра дидактические материалы 8 класс: ГДЗ по алгебре 8 класс дидактические Ткачева (Колягин)

Содержание

ГДЗ по алгебре 8 класс дидактические Ткачева (Колягин)

Почему стоит начать пользоваться сборником ГДЗ дидактические материалы по алгебре за 8 класс Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Если школьник чувствует, что не справляется с домашними заданиями, то значит пора обратиться за помощью к онлайн-решебнику. Одним из самых главных преимуществ данного решебника является то, что каждый ответ в нем подробно расписан. Это и отличает этот сборник от остальных подобных справочников. Информация в книге изложена простым и понятным языком. В ней сможет разобраться и отличник, и сильно отстающий от программы ученик.

Специфика обучения в 8 классе

Рабочая программа по алгебре для нового учебного года была разработана на основе требований ФГОС. Она направлена на изучение следующих тем:

  1. Свойства числовых неравенств.
  2. Квадратичная функция.
  3. Алгебраические дроби.
  4. Иррациональные числа.
  5. Арифметический квадратный корень.
  6. Модуль действительного числа.

Ответить на теоретический вопрос может каждый ученик. Это очень легко, ведь школьнику необходимо просто внимательно изучить параграф. Сложности возникают при выполнении практических заданий, ведь учащемуся нужно не ошибиться в расчетах, и уметь применять полученные знания в деле. Научится этому можно, если регулярно использовать материалы сборника верных ответов.

Персональный онлайн-репетитор

Данный учебно-вспомогательный комплекс может стать заменой профессиональному репетитору. Если восьмиклассник будет постоянно практиковаться с решебником, то он сумеет обнаружить и восполнить свои слабые места, научится совершать самопроверку, и выполнять качественно работу над ошибками. И даже внеплановая контрольная ему не страшна, ведь ответы на все вопросы в рамках рабочей программы он уже будет знать. Для начала необходимо самому попытаться выполнить заданные на дом номера, а затем можно сверять ответы, и выполнять работу над ошибками, если таковые имеются. Ученику также не помешает решить несколько дополнительных упражнений, чтобы закрепить пройденное в классе.

Учителя и ГДЗ дидактические материалы по алгебре за 8 класс Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Преподаватели готовятся точно так же к урокам, как и школьники. Им тоже может понадобиться помощь готовых домашних заданий. Благодаря книге они сумеют:

  • сократить время проверки номеров из учебника;
  • составить специальные карточки для уроков;
  • разработать собственную методику обучения;
  • расписать поурочный и внеурочный планы.

Ученикам еще нужно знать, что при написании тестов или контрольных работ педагоги опираются на материалы сборника. Именно поэтому даже к экзамену можно подготовиться с помощью данной учебно-вспомогательной литературы. Так ученик 8 класса гарантировано получит хорошую либо отличную отметку.

ГДЗ по Алгебре 8 класс дидактические материалы Ткачева

Авторы: Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И..

Курс алгебры в восьмом классе готовит учащимся новые серьезные испытания. Преодолеть их будет несложно, если иметь под рукой надежного помощника в виде ГДЗ по алгебре 8 класс дидактические материалы Ткачева

.

В течение этого года школьникам предстоит изучить много важных и сложных тем:

  • арифметические действия с дробями;
  • решение квадратных уравнений;
  • графики квадратичной и корневой функций;
  • решение дробных рациональных уравнений и др.

Эти знания будут использоваться не только при дальнейшем изучении алгебры и геометрии, но и для решения уравнений и задач по физике и химии. Любой пробел в знаниях в восьмом классе может привести к серьезным последствиям в будущем. К тому же, уже через год всем учащимся предстоит сдать государственный экзамен. А для этого нужна серьезная практическая подготовка. Даже во время пропуска занятий ученикам не составляет большого труда изучить по учебнику теорию, но на практике они сразу оказываются в тупике. Именно эти проблемы позволит решить сборник ГДЗ.

Практика с ГДЗ по алгебре к дидактическим материалам для 8 класса Ткачевой

Сборник разработан в соответствии с оригинальным УМК и содержит в себе подробно описанные алгоритмы решения уравнений, неравенств, задач и построения графиков с готовыми правильными ответами. Кроме того, имеется шесть полностью разобранных контрольных работ.

Все материалы выполнены в соответствии с действующими федеральными образовательными стандартами и могут использоваться, в том числе для подготовки к ОГЭ по математике.

Что даст ученикам пособие, кроме возможности переписать правильные ответы в тетрадь с домашним заданием? На самом деле, вдумчивая работа с материалами ГДЗ позволит:

  • оперативно проверить собственное решение;
  • найти и исправить допущенные ошибки;
  • понять свои слабые места и повторить теорию и алгоритмы;
  • научиться грамотно оформлять решение и правильный ответ согласно требованиям экзаменационной комиссии;
  • улучшить навыки самостоятельной и ответственной работы;
  • повысить промежуточную и итоговую успеваемость.

Кроме того, решебник по алгебре для дидактических материалов за 8 класс (авторы: Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.) позволяет существенно сэкономить восьмиклассникам время на подготовку домашнего задания, которое можно будет уделить другим важным дисциплинам или внешкольным занятиям и хобби.

ГДЗ: Алгебра 8 класс Ткачева, Федорова

Алгебра 8 класс

Тип: Дидактические материалы

Авторы: Ткачева, Федорова

Издательство: Просвещение

Любые дидактические пособия – это подспорье для учителей и отличный инструмент для школьников. Особенно это касается материалов по алгебре в 8 классе. В этом году предстоит изучение большого количества сложных тем, закрепление которых предполагает огромную практическую работу. И зачастую количества заданий основного учебника недостаточно. Поэтому «Алгебра 8 класс дидактические материалы Ткачева, Федорова», издательства «Просвещение» должна стать настольной книгой детей и их наставников.

Содержание пособия

Структура пособия Ткачевой включает все темы алгебры в текущем учебном году, а именно:

  • неравенства и приближенные вычисления;
  • квадратные корни, уравнения и неравенства;
  • квадратичная функция;

При этом помимо практических заданий на каждый день, по каждой теме предусмотрены самостоятельные и контрольные работы на закрепление материала. В пособии содержаться и ответы к каждой задаче. Но их недостаточно для понимания логики решения. Поэтому «ГДЗ по Алгебре 8 класс Дидактические материалы Ткачева» должны быть под рукой.

Как пользоваться ГДЗ

Работа с решебником настолько проста, что ребенок справится с этим самостоятельно. Его не нужно скачивать и распечатывать. Достаточно открыть онлайн-пособие, выбрать номер нужного задания и начать работать.

Зачем обращаться к решебнику

Материалы в «ГДЗ по Алгебре 8 класс» подаются пошагово и логически завершаются правильным ответом. Благодаря этому:

  • можно выполнить самопроверку, решив задания, а затем свериться с ГДЗ;
  • проследить правильный алгоритм решений;
  • выявить и исправить недочеты и ошибки.

Такой подход позволит не просто вызубрить материал, а правильно применять теорию на практике, понимая суть заданий и подбирая правильные варианты решений. Только так с любыми контрольными можно будет справиться на пять баллов!

ГДЗ § 29 3 алгебра 8 класс дидактические материалы Ткачева, Федорова – Telegraph


➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ § 29 3 алгебра 8 класс дидактические материалы Ткачева, Федорова

ГДЗ по алгебре 8 класс Ткачева дидактические материалы § 29 — 3 . Авторы : Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И .  Подробное решение § 29 № 3 по алгебре дидактические материалы для учащихся 8 класса , авторов Ткачева , Федорова, Шабунин . 

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 8 класс Ткачева , Федорова Просвещение . Представленные учебные материалы призваны стать отличным подспорьем для преподавателей и полезным инструментом для школьников, стремящихся повысить показатели . . 

Решебник к учебнику «Алгебра 8 класс Дидактические материалы Ткачева , Федорова Просвещение» полностью соответствует структуре основных алгебраических учебников . Решение задач по всем темам дается не просто пошагово – предлагается доскональная . . 

Подробный решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 8 (восьмой ) класс дидактические материалы — готовый ответ 29 § — 3 . Авторы учебника: Ткачева , Федорова, Шабунин . Издательство: Просвещение . 

Алгебра 8 класс . Тип: Дидактические материалы . Авторы: Ткачева , Федорова .  Поэтому «Алгебра 8 класс дидактические материалы Ткачева , Федорова», издательства «Просвещение» должна стать настольной книгой детей и их  §25 §26 §27 §28 §29 §30 §31 §33 . 

Готовые Домашние Задания , Решебник по Алгебре , Дидактические материалы 8 класс . Ткачева , Федорова .
Решение задач и упражнений из дидактических материалов по алгебре для 8 класса авторов М . В . Ткачёва, Н . Е  Дидактические материалы . 8 класс / М . В . Ткачёва , Н . Е . Фёдорова, М . И . Шабунин .  Метод выделения полного квадрата § 28 . Решение квадратных уравнений § 29 . 

Дидактические материалы Ткачева Мария Владимировна,Шабунин Михаил Иванович,Федорова Надежда Евгеньевна Данная книга предназначена для учителей, работающих по  Ткачева , Шабунин, Федорова : Алгебра . 8 класс . Дидактические материалы . 

8 класс . Дидактические материалы — Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И . cкачать в PDF .  8 класс » авторов Ю . М . Колягина и др . Она содержит задания, дополняющие систему упражнений учебника, и позволяет организовать дифференцированную и индивидуальную . . 

8 класс . Дидактические материалы — Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И . cкачать в PDF . Данная книга предназначена для учителей  В главах пособия содержатся материалы к каждому параграфу учебника, а также контрольная или самостоятельная работа по теме . 

Алгебра . 8 класс . Дидактические материалы . • организовать «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы  Метод выделения полного квадрата 44 § 28 . Решение квадратных уравнений 45 § 29 . Приведённое квадратное уравнение . 

Готовые Домашние Задания по Алгебре , Дидактические материалы . 8 класс . Ткачева , Федорова .
Для того, что бы скачать Учебник Алгебра 8 класс М .В . Ткачева , Н .Е . Федорова , М .И . Шабунин Дидактические материалы на свой гаджет Вам не  В современном мире есть множество вариантов экономии денег во всех сферах жизни . Материалы по школьной программе Вам уже . . 

ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 8 класс авторов Ткачевой М .В ., Федоровой Н .Е . 2019 года издания . Сборник содержит подробные решения всех заданий и упражнений и структурно разбито на параграфы . Также в издании полностью разобрано 6 контрольных работ . . 

Подробный решебник ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре 8 класс Ткачева М .В ., Федорова Н .Е . онлайн ответы на  Учебное пособие также включает решенные тематические и проверочные работы, что очень удобно при проверке усвоения материала . . 

ГДЗ по алгебре 8 класс Ткачева дидактические материалы § 29 — 3 . Авторы : Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И .  Подробное решение § 29 № 3 по алгебре дидактические материалы для учащихся 8 класса , авторов Ткачева , Федорова, Шабунин . 

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 8 класс Ткачева , Федорова Просвещение . Представленные учебные материалы призваны стать отличным подспорьем для преподавателей и полезным инструментом для школьников, стремящихся повысить показатели . . 

Решебник к учебнику «Алгебра 8 класс Дидактические материалы Ткачева , Федорова Просвещение» полностью соответствует структуре основных алгебраических учебников . Решение задач по всем темам дается не просто пошагово – предлагается доскональная . . 

Подробный решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 8 (восьмой ) класс дидактические материалы — готовый ответ 29 § — 3 . Авторы учебника: Ткачева , Федорова, Шабунин . Издательство: Просвещение . 

Алгебра 8 класс . Тип: Дидактические материалы . Авторы: Ткачева , Федорова .  Поэтому «Алгебра 8 класс дидактические материалы Ткачева , Федорова», издательства «Просвещение» должна стать настольной книгой детей и их  §25 §26 §27 §28 §29 §30 §31 §33 . 

Готовые Домашние Задания , Решебник по Алгебре , Дидактические материалы 8 класс . Ткачева , Федорова .
Решение задач и упражнений из дидактических материалов по алгебре для 8 класса авторов М . В . Ткачёва, Н . Е  Дидактические материалы . 8 класс / М . В . Ткачёва , Н . Е . Фёдорова, М . И . Шабунин .  Метод выделения полного квадрата § 28 . Решение квадратных уравнений § 29 . 

Дидактические материалы Ткачева Мария Владимировна,Шабунин Михаил Иванович,Федорова Надежда Евгеньевна Данная книга предназначена для учителей, работающих по  Ткачева , Шабунин, Федорова : Алгебра . 8 класс . Дидактические материалы . 

8 класс . Дидактические материалы — Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И . cкачать в PDF .  8 класс » авторов Ю . М . Колягина и др . Она содержит задания, дополняющие систему упражнений учебника, и позволяет организовать дифференцированную и индивидуальную . . 

8 класс . Дидактические материалы — Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И . cкачать в PDF . Данная книга предназначена для учителей  В главах пособия содержатся материалы к каждому параграфу учебника, а также контрольная или самостоятельная работа по теме . 

Алгебра . 8 класс . Дидактические материалы . • организовать «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы  Метод выделения полного квадрата 44 § 28 . Решение квадратных уравнений 45 § 29 . Приведённое квадратное уравнение . 

Готовые Домашние Задания по Алгебре , Дидактические материалы . 8 класс . Ткачева , Федорова .
Для того, что бы скачать Учебник Алгебра 8 класс М .В . Ткачева , Н .Е . Федорова , М .И . Шабунин Дидактические материалы на свой гаджет Вам не  В современном мире есть множество вариантов экономии денег во всех сферах жизни . Материалы по школьной программе Вам уже . . 

ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 8 класс авторов Ткачевой М .В ., Федоровой Н .Е . 2019 года издания . Сборник содержит подробные решения всех заданий и упражнений и структурно разбито на параграфы . Также в издании полностью разобрано 6 контрольных работ . . 

Подробный решебник ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре 8 класс Ткачева М .В ., Федорова Н .Е . онлайн ответы на  Учебное пособие также включает решенные тематические и проверочные работы, что очень удобно при проверке усвоения материала . . 

ГДЗ часть 2 (страница) 95 литература 4 класс рабочая тетрадь Кубасова
ГДЗ номер 1306 математика 6 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ unit 8 / section 4 4 английский язык 5‐6 класс Student’s book Биболетова, Денисенко
ГДЗ часть 1 Ивченкова (страница) 35 окружающий мир 4 класс рабочая тетрадь Ивченкова, Потапов
ГДЗ страница 82 немецкий язык 6 класс wunderkinder рабочая тетрадь Радченко, Лясковская
ГДЗ упражнение 466 русский язык 6 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ упражнение 104 русский язык 4 класс Нечаева, Яковлева
ГДЗ часть 2 / задание на поле страницы 105 математика 2 класс Моро, Бантова
ГДЗ §15 2 алгебра 8 класс рабочая тетрадь Колягин, Ткачева
ГДЗ § 8. тангенс и котангенс угла. 8.47 алгебра 10 класс Никольский, Потапов
ГДЗ вправа 1214 алгебра 7 класс Истер
ГДЗ упражнение 33 математика 6 класс Истомина
ГДЗ учебник 2015. номер 1271 (382) математика 6 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ номер 891 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ упражнение 210 русский язык 7 класс рабочая тетрадь Ларионова
ГДЗ часть 2. страница 147 русский язык 3 класс Зеленина, Хохлова
ГДЗ контрольная работа / Виленкин / К-3 В3 математика 5 класс дидактические материалы Чесноков, Нешков
ГДЗ номер 82 алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ часть 2. страница 8 английский язык 6 класс rainbow Афанасьева, Михеева
ГДЗ глава 1 / § 5 / вариант 1 25 алгебра 10 класс дидактические материалы Шабунин, Ткачева
ГДЗ задание 14 обществознание 6 класс контрольно-измерительные материалы Поздеев
ГДЗ задача 95 геометрия 9 класс рабочая тетрадь Дудницын
ГДЗ страница 67 математика 6 класс тетрадь-экзаменатор Кузнецова, Минаева
ГДЗ 7 класс / КР-6. вариант 3 алгебра 7‐9 класс контрольные работы Мордкович
ГДЗ тест 5. вариант 1 биология 6 класс контрольно-измерительные материалы Богданов
ГДЗ контрольные работы / КР-6 / вариант 2 2 алгебра 9 класс дидактические материалы Потапов, ШевкинВ
ГДЗ § 21 21.6 алгебра 11 класс учебник, задачник Мордкович, Денищева
ГДЗ четверть 4 / итоговая работа. вариант 4 математика 3 класс тетрадь для контрольных работ Рудницкая, Юдачева
ГДЗ вопрос / § 19. Вода в атмосфере 4 география 6 класс Домогацких, Алексеевский
ГДЗ вправа 546 математика 5 класс Истер
ГДЗ §5 1 обществознание 7 класс Боголюбов, Городецкая
ГДЗ задание 468 математика 5 класс Никольский, Потапов
ГДЗ Учебник 2019 / часть 1 773 (770) математика 5 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ вправа 396 алгебра 8 класс Бевз, Бевз
ГДЗ вправа 229 алгебра 7 класс Цейтлiн
ГДЗ упражнение 114 русский язык 5 класс Разумовская, Львова
ГДЗ лабораторная работа 10 химия 10 класс Рудзитис, Фельдман
ГДЗ задание 1158 математика 6 класс Никольский, Потапов
ГДЗ упражнение 605 алгебра 7 класс Колягин, Ткачева
ГДЗ часть 2 (страница) 9 окружающий мир 2 класс Школа 2100 Вахрушев, Бурский
ГДЗ номер 501 алгебра 7 класс Алимов, Колягин
ГДЗ страница 88 история 5 класс рабочая тетрадь Жукова
ГДЗ номер 865 математика 6 класс Зубарева, Мордкович
ГДЗ § 13 13.47 алгебра 11 класс учебник, задачник Мордкович, Денищева
ГДЗ проверочные работы / П-3 1 алгебра 8 класс дидактические материалы Евстафьева, Карп
ГДЗ упражнение 629 русский язык 5 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ номер 1360 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ номер 489 алгебра 7 класс Никольский, Потапов
ГДЗ номер 1074 математика 6 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ страница 109 английский язык 8 класс New Millennium Гроза, Дворецкая

ГДЗ Литра 6 Класс Коровина 1 Часть

Математика 4 Класс ГДЗ Мордкович

ГДЗ страница 61 немецкий язык 3 класс Гальскова, Гез

ГДЗ География 10 Учебник

ГДЗ номер 165 информатика 4 класс рабочая тетрадь Семенов, Рудченко


Страница не найдена

Новости

8 окт

Более 15 тыс. школьников побывали в технопарках и центрах профориентации Москвы в сентябре, заявил глава столичного Департамента предпринимательства и инновационного развития Алексей Фурсин.

7 окт

В Москве состоялся запуск нового проекта Минпросвещения России и президентской платформы «Россия — страна возможностей» — Всероссийского профессионального конкурса «Флагманы образования».

7 окт

Басманный суд Москвы удовлетворил ходатайство следствия о продлении ареста Ильназу Галявиеву, устроившему стрельбу в гимназии в Казани.

6 окт

Американские правоохранительные органы задержали устроившего стрельбу в средней школе Тимбервью в Арлингтоне.

6 окт

Четыре человека получили ранения в результате стрельбы в средней школе Тимбервью в Арлингтоне.

6 окт

Источники Fox News в полиции подтвердили ранение трёх человек во время стрельбы в средней школе Тимбервью в американском городе Арлингтон.

6 окт

В американском штате Техас полиция получила сообщения о стрельбе в школе.

Колягин. Алгебра 8 класс. Дидактические материалы (Просвещение)

Переплет мягкий
ISBN 978-5-09-072779-2
Количество томов 1
Формат 60×90/16 (145×215мм)
Год издания 2021
Соответствие ФГОС ФГОС
Серия Математика и информатика
Издательство Просвещение
Автор
Возрастная категория 8 кл.
Раздел Алгебра
Тип издания Дидактический материал
Язык русский

Описание к товару: «Ткачева. Алгебра 8 класс. Дидактические материалы. УМК Колягин Ю.М.»

Данная книга предназначена для учителей, работающих по учебнику «Алгебра. 8 класс» авторов Ю.М.Колягина и др. Она содержит задания, дополняющие систему упражнений учебника, и позволяет организовать дифферецированную и индивидуальную работу учащихся на всех этапах урока. В главах пособия содержатся материалы к каждому параграфу учебника, а также контрольная или самостоятельная работа по теме. Все задания имеют балловую оценку уровня их сложности и ответы. др.

Раздел: Алгебра

Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ
Серия: Математика и информатика

Вы можете получить более полную информацию о товаре «Колягин. Алгебра 8 класс. Дидактические материалы (Просвещение)«, относящуюся к серии: Математика и информатика, издательства Просвещение, ISBN: 978-5-09-072779-2, автора/авторов: Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., если напишите нам в форме обратной связи.

Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс | 978-5-09-071736-6

Стоимость товара может отличаться от указанной на сайте!
Наличие товара уточняйте в магазине или по телефону, указанному ниже.

г. Воронеж, площадь Ленина, д.4

8 (473) 277-16-90

г. Воронеж, ул. Г. Лизюкова, д. 66 а

8 (473) 247-22-55

г. Воронеж, ул. Плехановская, д. 33

8 (473) 252-57-43

г. Воронеж, ул. Ленинский проспект д.153

8 (473) 223-17-02

г. Нововоронеж, ул. Ленина, д.8

8 (47364) 92-350

г. Воронеж, ул. Хользунова, д. 35

8 (473) 246-21-08

г. Воронеж, ул. Пушкинская, 2

8 (473) 300-41-49

Способы получения оценок, примеры. Как вы оцениваете значение выражения? Способы получения оценок, примеры Что оценивать значение выражения

аннотации других презентаций

«Сложение и вычитание алгебраических дробей» — Алгебраические дроби. 4а? Б. Изучение новой темы. Цели: Помните! Кравченко Г.М. Примеры:

«Степени с целым показателем» — Феоктистов Илья Евгеньевич Москва. 3. Градус с целочисленным показателем (5 часов) п.43. Обучение алгебре в 8 классе с углубленным изучением математики. Задержка введения степени с целым отрицательным показателем … Знайте определение степени с целым отрицательным показателем. 2.

«Типы квадратных уравнений» — Неполные квадратные уравнения. Вопросы … Полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения. Определение квадратного уравнения Типы квадратных уравнений Решение квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений. Группа «Дискриминант»: Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Э., Иванов Н., Петров Г. Приведенное квадратное уравнение. Выполнили: ученики 8-х классов. Метод выбора полного квадрата. Типы квадратных уравнений. Пусть будет. Графический способ.

«Числовые неравенства 8 степени» — A-c> 0. Неравенства. A = «Больше или равно». б> с. Напишите a> b или a 0. B-c> 0. Числовые неравенства. Слабый. Свойства числовых неравенств. Примеры: Если a b, то a-5> b-5. A> 0 означает, что a — положительное число;

«Решение квадратных уравнений Теорема Виета» — Один из корней уравнения равен 5.Задание № 1. МОУ «Кисловская общеобразовательная школа». Научный руководитель: учитель математики Баранникова Е.А. Кисловка — 2008 (Презентация к уроку алгебры в 8 классе). Найдите x2 и k. Выполнил: ученик 8-го класса В. Слинько Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

В этой статье мы проанализируем, во-первых, что подразумевается под вычислением значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала мы вводим необходимые определения и понятия.После этого мы подробно опишем основные методы получения оценок. Попутно мы будем приводить решения типовых примеров.

Что значит оценивать значение выражения?

Мы не смогли найти в школьных учебниках однозначного ответа на вопрос, что подразумевается под оценкой значения выражения. Попробуем разобраться сами, исходя из тех кусочков информации по этой теме, которые до сих пор содержатся в учебниках и в сборниках заданий для подготовки к ЕГЭ и поступления в вузы.

Посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Вот несколько цитат:

Первые два примера включают вычисление чисел и числовых выражений. Здесь мы имеем дело с вычислением значения одного выражения. Остальные примеры содержат оценки, относящиеся к выражениям переменных. Каждое значение переменной из ODZ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, конечно, является подмножеством диапазона допустимых значений) соответствует своему собственному значению выражения.То есть, если ODZ (или набор X) не состоит из одного числа, то выражение с переменной соответствует набору значений выражения. В этом случае мы должны говорить об оценке не одного отдельного значения, а об оценке всех значений выражения на ODZ (или множестве X). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из OVS (или множества X).

Для рассуждений мы немного отвлечемся от поиска ответа на вопрос, что значит оценивать значение выражения.Приведенные выше примеры продвигают нас в этом вопросе и позволяют принять следующие два определения:

Определение

Вычислить значение числового выражения — это означает указать числовой набор, содержащий вычисленное значение. В этом случае указанный числовой набор будет оценкой значения числового выражения.

Определение

Оценить значения выражения с помощью переменной на ODZ (или на множестве X) — это означает указать числовой набор, содержащий все значения, которые выражение принимает на ODZ (или на множестве X ).В этом случае указанный набор будет оценкой значений выражения.

Легко убедиться, что вы можете указать более одной оценки для одного выражения. Например, числовое выражение может быть вычислено как, или, или, или и т. Д. То же самое относится к выражениям переменных. Например, выражение на LDZ может быть оценено как, или, или и т. Д. В связи с этим стоит добавить к записанным определениям уточнение относительно указанного числового набора, который является оценкой: оценка не должна быть в любом случае, он должен соответствовать целям, для которых он был найден.Например, для решения уравнения подходит оценка … Но эта оценка больше не подходит для решения уравнения, здесь значения выражения нужно оценивать иначе, например, так:.

Следует отдельно отметить, что одной из оценок значений выражения f (x) является диапазон значений соответствующей функции y = f (x) .

В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи сметы.Обычно оценки пишутся с использованием неравенств. Вы, наверное, уже это заметили.

Оценка значений выражений и оценка значений функций

По аналогии с вычислением значений выражения мы можем говорить об оценке значений функции. Это выглядит вполне естественно, особенно если иметь в виду функции, определяемые формулами, потому что вычисление значений выражения f (x) и вычисление значений функции y = f (x) являются по сути то же самое, что очевидно.Более того, часто процесс получения оценок удобно описывать в терминах вычисления значений функции. В частности, в некоторых случаях получение оценки выражения осуществляется путем нахождения наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

О точности сметы

В первом абзаце этой статьи мы сказали, что может быть много вычислений его значений для выражения. Некоторые из них лучше других? Это зависит от решаемой проблемы.Поясним на примере.

Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих параграфах, вы можете получить две оценки значений выражения: первое — это, второе — … необходимые для получения этих оценок существенно различаются. Первый из них практически очевиден, а получение второй оценки связано с нахождением наименьшего значения радикального выражения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции извлечения квадратного корня.В некоторых случаях для решения проблемы можно использовать любую из оценок. Например, любая из наших оценок позволяет решить уравнение … Понятно, что в этом случае мы ограничились бы нахождением первой очевидной оценки, и, естественно, мы бы не стали искать вторую оценку. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения поставленной задачи. Например, наша первая оценка не позволяет решить уравнение, а оценка позволяет это сделать.То есть в этом случае нам было бы недостаточно первой очевидной оценки, и нам пришлось бы найти вторую оценку.

Вот как мы подходим к вопросу о точности оценок. Вы можете подробно определить, что подразумевается под точностью сметы. Но для наших нужд в этом особой необходимости нет; Нам будет достаточно упрощенного представления о точности сметы. Условимся трактовать точность оценки как некий аналог точности приближения … То есть из двух оценок значений некоторого выражения f (x) рассмотрим более точную, которая «ближе» к диапазону значений функции y = f (x) . В этом смысле оценка является наиболее точной из всех возможных оценок значений выражения, поскольку совпадает с диапазоном значений соответствующей функции … В то же время ясно, что оцените более точные оценки … Другими словами, оценка более грубая.

Имеет ли смысл постоянно искать наиболее точные оценки? Нет.И дело в том, что для решения проблемы часто бывает достаточно сравнительно приблизительных оценок. И главное преимущество таких оценок перед точными в том, что их зачастую намного проще получить.

Основные методы получения сметы

Оценки значений основных элементарных функций

Оценка значений функции y = | х |

Помимо основных элементарных функций, хорошо изученной и полезной с точки зрения получения оценок является функция y = | х | … Мы знаем диапазон значений этой функции :; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

  • Алгебра и начало математического анализа. 10 класс: учебник. для общего образования. учреждения: основные и профильные. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. Жижченко А.Б. — 3-е изд. — М .: Просвещение, 2010. — 368 с .: ил. — ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Математика.Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 112 с. — (Подготовка к экзамену) ISBN 978-5-

    -094-7

  • Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). В 2 кн. Книга. 1. Алгебра: Учебник. пособие / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др .; изд. М.И. Сканави. — 8-е изд., Перераб. — М .: Выс.шк., 1998. — 528 с .: ил. ISBN 5-06-003524-7
  • Наш «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно проанализированы методы и методы их решения.«Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки выполнения домашних заданий и помощи в решении задач.
    За короткое время родители могут стать весьма эффективными домашними репетиторами.

    Вариант 1 4

    в полином (повторение) 4

    С-2. Факторинг (повтор) 5

    С-3. Целочисленные и дробные выражения 6

    С-4. Главное свойство фракции. Уменьшение фракций. 7

    С-5; Сокращение фракций (продолжение) 9

    с теми же знаменателями 10

    с разными знаменателями 12

    Знаменатели

    (продолжение) 14

    С-9.Умножение дробей 16

    С-10. Деление на дроби 17

    С-11. Все действия с дробями 18

    С-12. Функция 19

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 22

    С-14. Арифметический квадратный корень из 23

    С-15. Решение уравнений вида x2 = a 27

    С-16. Нахождение приблизительных значений

    корень квадратный из 29

    С-17. Функция y = d / x 30

    Продукт корней 31

    Частные корни 33

    С-20.Корень квадратный из степени 34

    С-21. Вычитание множителя из корневого знака Добавление множителя из корневого знака 37

    С-23. Уравнения и их корни 42

    Неполные квадратные уравнения 43

    С-25. Решение квадратных уравнений 45

    (продолжение) 47

    С-27. Теорема Виета 49

    С-28. Решение проблем с

    квадратные уравнения 50

    множителей. Биквадратные уравнения 51

    С-30.Дробные рациональные уравнения 53

    С-31. Решение проблем с

    рациональных уравнений 58

    С-32. Сравнение номеров (повтор) 59

    С-33. Свойства числовых неравенств 60

    С-34. Сложение и умножение неравенств 62

    С-35. Доказательство неравенств 63

    С-36. Оценка значения выражения 65

    С-37. Оценка ошибки аппроксимации 66

    С-38. Округление чисел 67

    С-39.Относительная ошибка 68

    С-40. Пересечение и объединение множеств 68

    С-41. Количество пролетов 69

    С-42. Устранение неравенств 74

    С-43. Устранение неравенств (продолжение) 76

    С-44. Решение систем неравенств 78

    С-45. Устранение неравенств 81

    переменная под знаком модуля 83

    С-47. Целая степень 87


    градусов с целым числом 88

    С-49. Стандартный номер 91

    С-50.Запись приблизительных значений 92

    С-51. Элементы статистики 93

    (повтор) 95

    С-53. Определение квадратичной функции 99

    С-54. Функция y = ax2 100

    С-55. График функции y = ax2 + bzh + c 101

    С-56. Решение квадратных неравенств 102

    С-57. Интервальный метод 105

    Вариант 2 108

    С-1. Преобразование целочисленного выражения

    в полином (повторение) 108

    С-2.Факторинг (повтор) 109

    С-3. Целочисленные и дробные выражения 110

    С-4. Главное свойство фракции.

    Редукционные 111

    С-5. Сокращение фракций (продолжение) 112

    С-6. Сложение и вычитание дробей

    с теми же знаменателями 114

    С-7. Сложение и вычитание дробей

    e разные знаменатели 116

    С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

    знаменателя (продолжение) 117

    С-9.Умножение дробей, 118

    С-10. Деление на фракции 119

    С-11. Все действия с дробями 120

    С-12. Функция 121

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 123

    С-14. Арифметический квадратный корень из 124

    С-15. Решение уравнений вида x2 — a 127

    С-16. Нахождение приближенных значений квадратного корня из 129
    S-17. Функция y = \ / x «130

    С-18. Квадратный корень из работы.

    Произведение корней 131

    С-19. Корень квадратный из дроби.

    Частные корни 133

    С-20. Корень квадратный из мощности 134

    С-21. Удаление множителя из корневого признака

    Введение множителя под знаком корня 137

    С-22. Преобразование выражений,

    С-23. Уравнения и их корни 141

    С-24. Определение квадратного уравнения.

    Неполные квадратные уравнения 142

    С-25.Решение квадратных уравнений 144

    С-26. Решение квадратных уравнений

    (продолжение) 146

    С-27. Теорема Виета 148

    С-28. Решение проблем с

    квадратные уравнения 149

    С-29. Разложение квадратного трехчлена на

    множителей. Биквадратные уравнения 150

    С-30. Дробные рациональные уравнения 152

    С-31. Решение проблем с

    рациональных уравнений 157

    С-32.Сравнение номеров (повтор) 158

    С-33. Свойства числовых неравенств 160

    С-34. Сложение и умножение неравенств 161

    С-35. Доказательство неравенств 162

    С-36. Оценка значения выражения 163

    С-37. Оценка погрешности приближения 165

    С-38. Округление чисел 165

    С-39. Относительная ошибка 166

    С-40. Пересечение и объединение множеств 166

    С-41.Кол-во пролетов 167
    S-42. Устранение неравенств 172

    С-43. Решение неравенств (продолжение) 174

    С-44. Решение систем неравенств 176

    С-45. Устранение неравенств 179

    С-46. Уравнения и неравенства, содержащие

    переменная под знаком модуля 181

    С-47. Целая степень 185

    С-48. Преобразование выражений, содержащих

    градуса с целым числом 187

    С-49. Стандартный номер 189

    С-50.Запись приблизительных значений 190

    С-51. Статистика 192

    С-52. Концепция функции. График функции

    (повтор) 193

    С-53. Определение квадратичной функции 197

    С-54. Функция y = ax2 199

    С-55. График функции y = ax24-bzh + s 200

    С-56. Решение квадратных неравенств 201

    С-57. Интервальный метод 203

    Экзаменационные работы 206

    Вариант 1 206

    К-10 (выпускная) 232

    Вариант 2 236

    К-2А 238
    К-ЗА 242

    К-9А (финал) 257

    Окончательное повторение по теме 263

    Осенние Олимпийские игры 274

    Весенние Олимпийские игры 275

    М.: 2014 — 288с. М .: 2012 — 256с.

    «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно проанализированы методы и методы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки выполнения домашних заданий и помощи в решении задач. За короткое время родители могут стать довольно эффективными домашними репетиторами.

    Формат: pdf ( 201 4 , 28 8п., Ерин В.К.)

    Размер: 3.5 Мб

    Часы, скачать: drive.google

    Формат: pdf ( 2012 г. , 256 с., Морозов А.В.)

    Размер: 2,1 МБ

    Часы, скачать: ссылки удалены (см. примечание !!)

    Формат: pdf ( 2005 г. , 224с., Федоскина Н.С.)

    Размер: 1,7 МБ

    Часы, скачать: drive.google

    Содержание
    Самостоятельная работа 4
    Вариант 1 4

    до полинома (повторение) 4
    С-2.Факторинг (повтор) 5
    C-3. Целочисленные и дробные выражения 6
    C-4. Главное свойство фракции. Восстановительные фракции 7
    С-5. Сокращение дробей (продолжение) 9

    с одинаковыми знаменателями 10

    с разными знаменателями 12

    знаменателя (продолжение) 14
    C-9. Умножение дробей 16
    С-10. Деление на фракции 17
    С-11. Все акции с дробями 18
    С-12. Функция 19
    С-13. Рациональные и иррациональные числа 22
    С-14.Корень квадратный арифметический из 23
    S-15. Решение уравнения вида x2 = квадратный корень 27

    из 29
    S-17. Функция y = \ / x 30

    Произведение корней 31

    Частные корни 33
    S-20. Корень квадратный из степени 34

    Факторизация под знаком корня 37

    , содержащего квадратные корни 39
    S-23. Уравнения и их корни 42

    Неполные квадратные уравнения 43
    S-25. Решение квадратных уравнений 45

    (продолжение) 47
    S-27.Теорема Виета 49

    квадратных уравнений 50

    множителей. Биквадратные уравнения 51
    S-30. Дробные рациональные уравнения 53

    рациональные уравнения 58
    S-32. Сравнение номеров (повтор) 59
    С-33. Свойства числовых неравенств 60
    С-34. Сложение и умножение неравенств 62
    С-35. Доказательство неравенств 63
    S-36. Оценка значения выражения 65
    S-37. Оценка ошибки аппроксимации 66
    С-38.Округление чисел 67
    С-39. Относительная ошибка 68
    С-40. Пересечение и объединение множеств 68
    С-41. Количество пролетов 69
    S-42. Решение неравенств 74
    С-43. Решение неравенств (продолжение) 76
    С-44. Решение систем неравенств 78
    S-45. Решение неравенств 81

    переменная под знаком модуля 83
    S-47. Целое число Степень 87

    градуса с целым числом 88
    S-49. Стандартный номер 91
    С-50. Запись приблизительных значений 92
    S-51.Статистические данные 93

    (повтор) 95
    С-53. Определение квадратичной функции 99
    S-54. Функция y = ax2 100
    S-55. График функции y = ax2 + bzh + c 101
    S-56. Решение квадратных неравенств 102
    S-57. Метод интервалов 105
    Вариант 2 108
    C-1. Преобразование целочисленного выражения
    в полином (повторение) 108
    C-2. Факторинг (повтор) 109
    С-3. Целочисленные и дробные программные выражения
    C-4. Главное свойство фракции.
    Фракции восстановительные 111
    С-5. Сокращение фракций (продолжение) 112
    С-6. Сложение и вычитание дробей
    с одинаковыми знаменателями 114
    C-7. Сложение и вычитание дробей
    с разными знаменателями 116
    C-8. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
    (продолжение) 117
    C-9. Умножение дробей 118
    С-10. Деление на фракции 119
    С-11. Все действия с дробями 120
    С-12. Функция 121
    С-13.Рациональные и иррациональные числа 123
    С-14. Корень квадратный арифметический из 124
    S-15. Решение уравнения вида x2 = a 127
    S-16. Нахождение приблизительного значения
    квадратный корень из 129
    S-17. Функция y = Vx 130
    S-18. Квадратный корень из работы.
    Изделие корней 131
    С-19. Корень квадратный из дроби.
    Частные корни 133
    S-20. Корень квадратный из мощности 134
    S-21. Удаление множителя из корневого знака
    Введение множителя под знаком корня 137
    S-22.Преобразование выражений,
    , содержащих квадратные корни 138
    S-23. Уравнения и их корни 141
    S-24. Определение квадратного уравнения.
    Неполные квадратные уравнения 142
    S-25. Решение квадратных уравнений 144
    S-26. Решение квадратных уравнений
    (продолжение) 146
    S-27. Теорема Виета 148
    S-28. Решение задач с помощью
    квадратных уравнений 149
    S-29. Разложение трехчлена квадрата на
    множителей. Биквадратные уравнения 150
    S-30.Дробные рациональные уравнения 152
    S-31. Решение задач с
    рациональными уравнениями 157
    С-32. Сравнение номеров (повтор) 158
    С-33. Свойства числовых неравенств 160
    С-34. Сложение и умножение неравенств 161
    S-35. Доказательство неравенств 162
    S-36. Оценка значения выражения 163
    S-37. Оценка погрешности приближения 165
    С-38. Округление чисел 165
    С-39. Относительная ошибка 166
    С-40.Пересечение и объединение множеств 166
    S-41. Кол-во пролетов 167
    S-42. Устранение неравенств 172
    S-43. Решение неравенств (продолжение) 174
    S-44. Решение систем неравенств 176
    S-45. Устранение неравенств 179
    S-46. Уравнения и неравенства, содержащие переменную
    под знаком модуля 181
    S-47. Целая степень 185
    S-48. Преобразование выражений, содержащих
    градусов, в целое число 187
    S-49. Стандартный номер 189
    С-50.Запись приблизительных значений 190
    S-51. Статистические данные 192
    S-52. Концепция функции. График функции
    (повтор) 193
    S-53. Определение квадратичной функции 197
    S-54. Функция y = ax2 199
    S-55. График функции y = ax2 + txr + c 200
    S-56. Решение квадратных неравенств 201
    S-57. Интервальный метод 203
    Осмотр 206
    Вариант 1 206
    Уличная мебель-1 206
    Уличная мебель-2 208
    Уличная мебель-3 212
    Уличная мебель-4 215
    Уличная мебель-5218
    Уличная мебель-6 221
    Уличная мебель-7 223
    Уличная мебель-8 226
    Уличная мебель-9 229
    К-10 (окончательная) 232
    Вариант 2 236
    K-1A 236
    K-2A 238
    K-ZA 242
    K-4A 243
    K-5A 246
    K-6A 249
    K-7A 252
    K-8A 255
    K-9A (финал) 257
    Заключительное повторение по теме 263
    Осенние Олимпийские игры 274
    Весенние Олимпийские игры 275

    АЛГЕБРА


    Уроки для 9 классов

    № ЗАНЯТИЯ 5

    Тема. Сложение и умножение неравенств. Применение числовых свойств неравенства для оценки значений выражений

    Цель урока: добиться усвоения учащимися понятий «складывать неравенства построчно» и «умножать неравенства построчно», а также содержания свойств числовых неравенств, выражаемых теоремами о члене. сложение и почленное умножение числовых неравенств и их следствия.Развивать способность воспроизводить названные свойства числовых неравенств и использовать эти свойства для оценки значений выражений, а также продолжать работать над навыками доказательства неравенств, сравнения выражений с использованием определения и свойств числовых неравенств

    Тип урока: усвоение знаний, развитие первичных навыков.

    Видимость и оборудование: вспомогательный синопсис № 5.

    На занятиях

    I. Организационный этап

    Преподаватель проверяет готовность учеников к уроку, настраивает их на работу.

    II. Проверка домашнего задания

    Студенты выполняют тестовые задания с последующей проверкой.

    III. Формулировка цели и задач урока.
    Мотивация к учебной деятельности студентов

    Для осознанного участия учащихся в формулировании цели урока можно предложить им практические задания геометрического содержания (например, оценить периметр и площадь прямоугольника, длина соседних сторон которого оценивается в виде двойных неравенств).В ходе беседы преподаватель должен направить мысли учеников на то, что хотя задачи аналогичны тем, которые решались на предыдущем уроке (см. Урок № 4, оценивайте значение выражений), однако, в отличие от названных, они не могут быть решены теми же средствами, потому что необходимо оценивать значения выражений, содержащих две (и в перспективе и более) буквы. Таким образом, студенты осознают наличие противоречия между знаниями, которые они получили до этого момента, и необходимостью решения конкретной проблемы.

    Результатом выполненной работы является постановка цели урока: изучить вопрос о таких свойствах неравенств, которые могут применяться в случаях, аналогичных описанным в предлагаемом задании для учащихся; для чего необходимо четко сформулировать математическим языком и в словесной форме, а затем вывести соответствующие свойства числовых неравенств и научиться использовать их в сочетании с ранее изученными свойствами числовых неравенств для решения типовых задач.

    IV. Обновление базовых знаний и навыков учащихся

    Устные упражнения

    1. Сравните числа a и b, если:

    1) а — б = -0,2;

    2) а — б = 0,002;

    3) а = б — 3;

    4) а — б = м 2;

    5) а = б — м 2.

    3. Сравните значения выражений a + b и ab, если a = 3, b = 2. Обоснуйте свой ответ. Полученное соотношение будет выполнено, если:

    1) а = -3, б = -2;

    2) а = -3, б = 2?

    В.Формирование знаний

    План освоения нового материала

    1. Свойство члена путем добавления числовых неравенств (с уточнением).

    2. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с уточнением).

    3. Последствия. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с уточнением).

    4. Примеры применения проверенных свойств.

    Сопроводительная записка № 5

    Теорема (свойство) о почленном сложении числовых неравенств

    Если a b и c d, то a + c b + d.

    Принятие

    .

    Теорема (свойство) о почленном умножении числовых неравенств

    Если 0 a b и 0 c d, то ac bd.

    Приносят

    .

    Следствие. Если 0 a b, то an bn, где n — натуральное число.

    Принятие

    (по почленной теореме умножения числовых неравенств).

    Пример 1. Известно, что 3 и 4; 2 б 3. Оцените значение выражения:

    1) а + б; 2) а — б; 3) б; 4).

    2) а — б = а + (-b)

    2 б 31 ∙ (-1)

    2> -b> -3

    (0) 2 б 3

    Пример 2. Докажем неравенство (m + n) (mn + 1)> 4mn, если m> 0, n> 0.

    Принятие

    Используя неравенство (где a ≥ 0, b ≥ 0) и полученное неравенство a + b ≥ 2 (a ≥ 0, b ≥ 0), для m ≥ 0 и n ≥ 0 имеем:

    м + п ≥ 2, (1)

    млн + 1 ≥ 2. (2)

    По теореме о почленном умножении неравенств мы почленно умножаем неравенства (1) и (2). Тогда имеем:

    (m + n) (mn + 1) ≥ 2 ∙ 2,

    (m + n) (mn + 1) ≥ 4, следовательно,

    (m + n) (mn + 1) ≥ 4mn, где m ≥ 0, n ≥ 0.

    Методический комментарий

    Для осознанного восприятия нового материала преподаватель может на этапе обновления базовых знаний и умений учащихся предложить решения устных упражнений с воспроизведением, соответственно определяя сравнение чисел и свойства числовых неравенств, изученных в предыдущем. уроки (см. выше), а также рассмотрение вопроса о соответствующих свойствах числовых неравенств.

    Обычно студенты хорошо усваивают содержание теорем сложения слагаемых и умножения числовых неравенств, но опыт работы указывает на склонность студентов к определенным ложным обобщениям. Поэтому, чтобы не допустить ошибок в формировании знаний учащихся по данному вопросу путем демонстрации примеров и контрпримеров, преподаватель должен акцентировать внимание на следующих моментах:

    · Сознательное применение свойств числовых неравенств невозможно без умения записывать эти свойства как математическим языком, так и в устной форме;

    · Почтовые теоремы сложения и умножения числовых неравенств выполняются только для неоднородностей одного знака;

    · Свойство почленного сложения числовых неравенств выполняется при определенном условии (см. Выше) для любых чисел и теореме почленного умножения (в форме, указанной в справочном примечании No.5) только для положительных чисел;

    Теоремы о почленном вычитании и почленном делении числовых неравенств не изучаются, поэтому в случаях, когда необходимо оценить разность или пропорцию выражений, эти выражения представляются в виде суммы или произведения соответственно, а затем при определенных условиях используют свойства членного сложения и умножения числовых неравенств …

    Vi. Формирование навыков

    Устные упражнения

    1.Добавьте посроченные неравенства:

    1) а> 2, б> 3;

    2) с -2, д 4.

    Или можно одно и то же неравенство умножать постепенно? Обоснуйте ответ.

    2. Умножьте почтовые неравенства:

    1) а> 2, б> 0,3;

    2) c> 2, d> 4.

    Или можно такие же неровности? Обоснуйте ответ.

    3. Определите и подтвердите правильность утверждения, что если 2 a 3, 1 b 2, то:

    1) 3 а + б 5;

    2) 2 ab 6;

    3) 2 — 1 а — б 3 — 2;

    Письменные упражнения

    Для реализации дидактической цели урока необходимо выполнить упражнения следующего содержания:

    1) складывать и умножать эти числовые неравенства посменно;

    2) оценивает значение суммы, разности, произведения и частного двух выражений согласно этим оценкам каждого из этих чисел;

    3) оценивает значение выражений, содержащих эти буквы, согласно этим оценкам каждой из этих букв;

    4) доказать неравенство с помощью теорем о сложении и умножении слагаемых числовых неравенств и с помощью классических неравенств;

    5), чтобы повторить свойства числовых неравенств, изученные на предыдущих уроках.

    Методический комментарий

    Письменные упражнения, которые предлагаются к решению на этом этапе урока, должны способствовать развитию устойчивых навыков поэлементного сложения и умножения неравенств в простых случаях. (При этом прорабатывается очень важный момент: проверка соответствия записи неравенств в условии теоремы и правильности записи суммы и произведения левой и правой частей неравенств.Подготовительная работа проводится во время выполнения устных упражнений.) Для лучшего усвоения материала от студентов следует потребовать воспроизвести изученные теоремы при комментировании действия.

    После того, как студенты успешно разработали теоремы в простых случаях, они могут постепенно переходить к более сложным случаям (чтобы оценить разницу и частное двух выражений и более сложных выражений). На этом этапе работы учитель должен следить за тем, чтобы учащиеся не совершали типичных ошибок, пытаясь изменить ситуацию и оценить долю своих собственных ложных правил.

    Также на уроке (конечно, если позволяет время и уровень усвоения учащимися содержания материала) следует уделить внимание упражнениям по использованию изученных теорем для доказательства более сложных неравенств.

    Vii. Итоги урока
    Контрольная задача

    Известно, что 4 на 5; 6 b 8. Найдите неправильные неравенства и исправьте ошибки. Обоснуйте ответ.

    1) 10 а + б 13;

    2) -4 а — б -1;

    3) 24 ab 13;

    4);

    5);

    7) 100 a2 + b 2169?

    VIII.Домашнее задание

    1. Изучите теоремы о сложении слагаемых и умножении числовых неравенств (с уточнением).

    2. Выполняйте репродуктивные упражнения, аналогичные классным упражнениям.

    3. На повторение: упражнения по применению определения сравнения чисел (для выявления неточностей и для сравнения выражений).


    Умение оценивать значение выражения.Как вы оцениваете значение выражения? Способы получения оценок, примеры. Основные методы получения сметы

    М .: 2014 — 288с. М .: 2012 — 256с.

    «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно проанализированы методы и методы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки выполнения домашних заданий и помощи в решении задач. За короткое время родители могут стать довольно эффективными домашними репетиторами.

    Формат: pdf ( 201 4 , 28 8п., Ерин В.К.)

    Размер: 3.5 Мб

    Часы, скачать: drive.google

    Формат: pdf ( 2012 г. , 256 с., Морозов А.В.)

    Размер: 2,1 МБ

    Часы, скачать: ссылки удалены (см. примечание !!)

    Формат: pdf ( 2005 г. , 224с., Федоскина Н.С.)

    Размер: 1.7 МБ

    Часы, скачать: drive.google

    Содержание
    Самостоятельная работа 4
    Вариант 1 4

    до полинома (повторение) 4
    С-2. Факторинг (повтор) 5
    C-3. Целочисленные и дробные выражения 6
    C-4. Главное свойство фракции. Восстановительные фракции 7
    С-5. Сокращение дробей (продолжение) 9

    с одинаковыми знаменателями 10

    с разными знаменателями 12

    знаменателя (продолжение) 14
    C-9.Умножение дробей 16
    С-10. Деление на фракции 17
    С-11. Все акции с дробями 18
    С-12. Функция 19
    С-13. Рациональные и иррациональные числа 22
    С-14. Корень квадратный арифметический из 23
    S-15. Решение уравнений вида x2 = квадратный корень 27

    из 29
    S-17. Функция y = \ / x 30

    Произведение корней 31

    Частные корни 33
    S-20. Корень квадратный из степени 34

    Факторизация под знаком корня 37

    , содержащего квадратные корни 39
    S-23.Уравнения и их корни 42

    Неполные квадратные уравнения 43
    S-25. Решение квадратных уравнений 45

    (продолжение) 47
    S-27. Теорема Виета 49

    квадратных уравнений 50

    множителей. Биквадратные уравнения 51
    S-30. Дробные рациональные уравнения 53

    рациональные уравнения 58
    S-32. Сравнение номеров (повтор) 59
    С-33. Свойства числовых неравенств 60
    С-34. Сложение и умножение неравенств 62
    С-35.Доказательство неравенств 63
    S-36. Оценка значения выражения 65
    S-37. Оценка ошибки аппроксимации 66
    С-38. Округление чисел 67
    С-39. Относительная ошибка 68
    С-40. Пересечение и объединение множеств 68
    С-41. Количество пролетов 69
    S-42. Решение неравенств 74
    С-43. Решение неравенств (продолжение) 76
    С-44. Решение систем неравенств 78
    S-45. Решение неравенств 81

    переменная под знаком модуля 83
    S-47.Целое число Степень 87

    градуса с целым числом 88
    S-49. Стандартные номера просмотров 91
    С-50. Запись приблизительных значений 92
    S-51. Элементы статистики 93

    (повтор) 95
    С-53. Определение квадратичной функции 99
    S-54. Функция y = ax2 100
    S-55. График функции y = ax2 + bzh + c 101
    S-56. Решение квадратных неравенств 102
    S-57. Метод интервалов 105
    Вариант 2 108
    C-1. Преобразование целочисленного выражения
    в полином (повторение) 108
    C-2.Факторинг (повтор) 109
    С-3. Целочисленные и дробные программные выражения
    C-4. Главное свойство фракции.
    Фракции восстановительные 111
    С-5. Сокращение фракций (продолжение) 112
    С-6. Сложение и вычитание дробей
    с одинаковыми знаменателями 114
    C-7. Сложение и вычитание дробей
    с разными знаменателями 116
    C-8. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
    (продолжение) 117
    C-9. Умножение дробей 118
    С-10.Деление на фракции 119
    С-11. Все действия с дробями 120
    С-12. Функция 121
    С-13. Рациональные и иррациональные числа 123
    С-14. Корень квадратный арифметический из 124
    S-15. Решение уравнения вида x2 = a 127
    S-16. Нахождение приблизительного значения
    квадратный корень из 129
    S-17. Функция y = Vx 130
    S-18. Квадратный корень из работы.
    Изделие корней 131
    С-19. Корень квадратный из дроби.
    Частные корни 133
    S-20. Корень квадратный из мощности 134
    S-21.Удаление множителя из корневого знака
    Введение множителя под знаком корня 137
    S-22. Преобразование выражений,
    , содержащих квадратные корни 138
    S-23. Уравнения и их корни 141
    S-24. Определение квадратного уравнения.
    Неполные квадратные уравнения 142
    S-25. Решение квадратных уравнений 144
    S-26. Решение квадратных уравнений
    (продолжение) 146
    S-27. Теорема Виета 148
    S-28. Решение задач с помощью
    квадратных уравнений 149
    S-29.Разложение трехчлена квадрата на
    множителей. Биквадратные уравнения 150
    S-30. Дробные рациональные уравнения 152
    S-31. Решение задач с
    рациональными уравнениями 157
    С-32. Сравнение номеров (повтор) 158
    С-33. Свойства числовых неравенств 160
    С-34. Сложение и умножение неравенств 161
    S-35. Доказательство неравенств 162
    S-36. Оценка значения выражения 163
    S-37. Оценка погрешности приближения 165
    С-38.Округление чисел 165
    С-39. Относительная ошибка 166
    С-40. Пересечение и объединение множеств 166
    S-41. Кол-во пролетов 167
    S-42. Устранение неравенств 172
    S-43. Решение неравенств (продолжение) 174
    S-44. Решение систем неравенств 176
    S-45. Устранение неравенств 179
    S-46. Уравнения и неравенства, содержащие переменную
    под знаком модуля 181
    S-47. Целая степень 185
    S-48. Преобразование выражений, содержащих
    градусов, в целое число 187
    S-49.Стандартный номер 189
    С-50. Запись приблизительных значений 190
    S-51. Статистические данные 192
    S-52. Концепция функции. График функции
    (повтор) 193
    S-53. Определение квадратичной функции 197
    S-54. Функция y = ax2 199
    S-55. График функции y = ax2 + txr + c 200
    S-56. Решение квадратных неравенств 201
    S-57. Интервальный метод 203
    Осмотр 206
    Вариант 1 206
    Уличная мебель-1 206
    Уличная мебель-2 208
    Уличная мебель-3 212
    Уличная мебель-4 215
    Уличная мебель-5218
    Уличная мебель-6 221
    Уличная мебель-7 223
    Уличная мебель-8 226
    Уличная мебель-9 229
    К-10 (окончательная) 232
    Вариант 2 236
    K-1A 236
    K-2A 238
    K-ZA 242
    K-4A 243
    K-5A 246
    K-6A 249
    K-7A 252
    K-8A 255
    K-9A (финал) 257
    Заключительное повторение по теме 263
    Осенние Олимпийские игры 274
    Весенние Олимпийские игры 275

    В этой статье мы проанализируем, во-первых, что подразумевается под вычислением значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций.Сначала мы вводим необходимые определения и понятия. После этого мы подробно опишем основные методы получения оценок. Попутно мы будем приводить решения типовых примеров.

    Что значит оценивать значение выражения?

    Мы не смогли найти в школьных учебниках однозначного ответа на вопрос, что подразумевается под оценкой значения выражения. Попробуем разобраться сами, исходя из тех кусочков информации по этой теме, которые до сих пор содержатся в учебниках и в сборниках заданий для подготовки к ЕГЭ и поступления в вузы.

    Посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Вот несколько цитат:

    Первые два примера включают вычисление чисел и числовых выражений. Здесь мы имеем дело с вычислением значения одного выражения. Остальные примеры содержат оценки, относящиеся к выражениям переменных. Каждое значение переменной из ODZ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, конечно, является подмножеством диапазона допустимых значений) соответствует своему собственному значению выражения.То есть, если ODZ (или набор X) не состоит из единственного числа, то выражение с переменной соответствует набору значений выражения. В этом случае мы должны говорить об оценке не одного отдельного значения, а об оценке всех значений выражения на ODZ (или множестве X). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из OVS (или множества X).

    Для рассуждений мы немного отвлечемся от поиска ответа на вопрос, что значит оценивать значение выражения.Приведенные выше примеры продвигают нас в этом вопросе и позволяют принять следующие два определения:

    Определение

    Вычислить значение числового выражения — это означает указать числовой набор, содержащий вычисленное значение. В этом случае указанный числовой набор будет оценкой значения числового выражения.

    Определение

    Оценить значения выражения с помощью переменной на ODZ (или на множестве X) — это означает указать числовой набор, содержащий все значения, которые выражение принимает на ODZ (или на множестве X ).В этом случае указанный набор будет оценкой значений выражения.

    Легко убедиться, что вы можете указать более одной оценки для одного выражения. Например, числовое выражение может быть вычислено как, или, или, или и т. Д. То же самое касается выражений переменных. Например, выражение на LDZ может быть оценено как, или, или и т. Д. В связи с этим стоит добавить к записанным определениям уточнение, касающееся указанного числового набора, который является оценкой: оценка не должна быть в любом случае, он должен соответствовать целям, для которых он был найден.Например, для решения уравнения подходит оценка … Но эта оценка больше не подходит для решения уравнения, здесь значения выражения нужно оценивать иначе, например, так:.

    Следует отдельно отметить, что одной из оценок значений выражения f (x) является диапазон значений соответствующей функции y = f (x) .

    В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи сметы.Обычно оценки пишутся с использованием неравенств. Вы, наверное, уже это заметили.

    Оценка значений выражений и оценка значений функций

    По аналогии с вычислением значений выражения мы можем говорить об оценке значений функции. Это выглядит вполне естественно, особенно если иметь в виду функции, определяемые формулами, потому что вычисление значений выражения f (x) и вычисление значений функции y = f (x) являются по сути то же самое, что очевидно.Более того, часто процесс получения оценок удобно описывать в терминах вычисления значений функции. В частности, в некоторых случаях получение оценки выражения осуществляется путем нахождения наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

    О точности сметы

    В первом абзаце этой статьи мы сказали, что может быть много вычислений его значений для выражения. Некоторые из них лучше других? Это зависит от решаемой проблемы.Поясним на примере.

    Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих параграфах, вы можете получить две оценки значений выражения: первое — это, второе — … необходимые для получения этих оценок существенно различаются. Первый из них практически очевиден, а получение второй оценки связано с нахождением наименьшего значения радикального выражения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции извлечения квадратного корня.В некоторых случаях для решения проблемы можно использовать любую из оценок. Например, любая из наших оценок позволяет решить уравнение … Понятно, что в этом случае мы ограничились бы нахождением первой очевидной оценки, и, естественно, мы бы не стали искать вторую оценку. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения поставленной задачи. Например, наша первая оценка не позволяет решить уравнение, а оценка позволяет это сделать.То есть в этом случае нам было бы недостаточно первой очевидной оценки, и нам пришлось бы найти вторую оценку.

    Вот как мы подходим к вопросу о точности оценок. Вы можете подробно определить, что подразумевается под точностью сметы. Но для наших нужд в этом особой необходимости нет; Нам будет достаточно упрощенного представления о точности сметы. Условимся трактовать точность оценки как некий аналог точности приближения … То есть из двух оценок значений некоторого выражения f (x) рассмотрим более точную, которая «ближе» к диапазону значений функции y = f (x) . В этом смысле оценка является наиболее точной из всех возможных оценок значений выражения, поскольку совпадает с диапазоном значений соответствующей функции … В то же время ясно, что оцените более точные оценки … Другими словами, оценка более грубая.

    Имеет ли смысл постоянно искать наиболее точные оценки? Нет.И дело в том, что для решения проблемы часто бывает достаточно сравнительно приблизительных оценок. И главное преимущество таких оценок перед точными в том, что их зачастую намного проще получить.

    Основные методы получения сметы

    Оценки значений основных элементарных функций

    Оценка значений функции y = | х |

    Помимо основных элементарных функций, хорошо изученной и полезной с точки зрения получения оценок является функция y = | х | … Мы знаем диапазон значений этой функции :; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

  • Алгебра и начало математического анализа. 10 класс: учебник. для общего образования. учреждения: основные и профильные. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. Жижченко А.Б. — 3-е изд. — М .: Просвещение, 2010. — 368 с .: ил. — ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Математика.Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 112 с. — (Подготовка к экзамену) ISBN 978-5-

    -094-7

  • Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). В 2 кн. Книга. 1. Алгебра: Учебник. пособие / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др .; изд. М.И. Сканави. — 8-е изд., Перераб. — М .: Выс.шк., 1998. — 528 с .: ил. ISBN 5-06-003524-7
  • резюме других презентаций

    «Сложение и вычитание алгебраических дробей» — Алгебраические дроби … 4a? Б. Изучите новую тему … Задачи: Помните! Кравченко Г.М. Примеры:

    «Степени с целым показателем» — Феоктистов Илья Евгеньевич Москва. 3. Градус с целочисленным показателем (5 часов) стр.43. Обучение алгебре в 8 классе с углубленным изучением математики. Задержка введения степени с целым отрицательным показателем… Знайте определение степени с целым отрицательным показателем. 2.

    «Типы квадратных уравнений» — Неполные квадратные уравнения. Вопросы … Полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения. Определение квадратного уравнения Типы квадратных уравнений Решение квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений. Группа «Дискриминант»: Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е., Иванов Н., Петров Г. Приведенное квадратное уравнение. Выполнили: ученики 8-х классов.Метод выбора полного квадрата. Типы квадратных уравнений. Пусть будет. Графический способ.

    «Числовые неравенства 8 степени» — A-c> 0. Неравенства. НО = «Больше или равно». б> с. Напишите a> b или a 0. B-c> 0. Числовые неравенства. Слабый. Свойства числовых неравенств. Примеры: Если a b, то a-5> b-5. A> 0 означает, что a — положительное число;

    «Решение квадратных уравнений Теорема Виета» — Один из корней уравнения равен 5.Задание № 1. МОУ «Кисловская общеобразовательная школа». Научный руководитель: учитель математики Баранникова Е.А. Кисловка — 2008 (Презентация к уроку алгебры в 8 классе). Найдите x2 и k. Выполнил: ученик 8-го класса В. Слинько Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

    Наш «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно проанализированы методы и методы их решения.«Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки выполнения домашних заданий и помощи в решении задач.
    За короткое время родители могут стать весьма эффективными домашними репетиторами.

    Вариант 1 4

    в полином (повторение) 4

    С-2. Факторинг (повтор) 5

    С-3. Целочисленные и дробные выражения 6

    С-4. Главное свойство фракции. Уменьшение фракций. 7

    С-5; Сокращение фракций (продолжение) 9

    с теми же знаменателями 10

    с разными знаменателями 12

    Знаменатели

    (продолжение) 14

    С-9.Умножение дробей 16

    С-10. Деление на дроби 17

    С-11. Все действия с дробями 18

    С-12. Функция 19

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 22

    С-14. Арифметический квадратный корень из 23

    С-15. Решение уравнений вида x2 = a 27

    С-16. Нахождение приблизительных значений

    корень квадратный из 29

    С-17. Функция y = d / x 30

    Продукт корней 31

    Частные корни 33

    С-20.Корень квадратный из степени 34

    С-21. Вычитание множителя из корневого знака Добавление множителя из корневого знака 37

    С-23. Уравнения и их корни 42

    Неполные квадратные уравнения 43

    С-25. Решение квадратных уравнений 45

    (продолжение) 47

    С-27. Теорема Виета 49

    С-28. Решение проблем с

    квадратные уравнения 50

    множителей. Биквадратные уравнения 51

    С-30.Дробные рациональные уравнения 53

    С-31. Решение проблем с

    рациональных уравнений 58

    С-32. Сравнение номеров (повтор) 59

    С-33. Свойства числовых неравенств 60

    С-34. Сложение и умножение неравенств 62

    С-35. Доказательство неравенств 63

    С-36. Оценка значения выражения 65

    С-37. Оценка ошибки аппроксимации 66

    С-38. Округление чисел 67

    С-39.Относительная ошибка 68

    С-40. Пересечение и объединение множеств 68

    С-41. Количество пролетов 69

    С-42. Устранение неравенств 74

    С-43. Устранение неравенств (продолжение) 76

    С-44. Решение систем неравенств 78

    С-45. Устранение неравенств 81

    переменная под знаком модуля 83

    С-47. Целая степень 87


    градусов с целым числом 88

    С-49. Стандартный номер 91

    С-50.Запись приблизительных значений 92

    С-51. Элементы статистики 93

    (повтор) 95

    С-53. Определение квадратичной функции 99

    С-54. Функция y = ax2 100

    С-55. График функции y = ax2 + bzh + c 101

    С-56. Решение квадратных неравенств 102

    С-57. Интервальный метод 105

    Вариант 2 108

    С-1. Преобразование целочисленного выражения

    в полином (повторение) 108

    С-2.Факторинг (повтор) 109

    С-3. Целочисленные и дробные выражения 110

    С-4. Главное свойство фракции.

    Редукционные 111

    С-5. Сокращение фракций (продолжение) 112

    С-6. Сложение и вычитание дробей

    с теми же знаменателями 114

    С-7. Сложение и вычитание дробей

    e разные знаменатели 116

    С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

    знаменателя (продолжение) 117

    С-9.Умножение дробей, 118

    С-10. Деление на фракции 119

    С-11. Все действия с дробями 120

    С-12. Функция 121

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 123

    С-14. Арифметический квадратный корень из 124

    С-15. Решение уравнений вида x2 — a 127

    С-16. Нахождение приближенных значений квадратного корня из 129
    S-17. Функция y = \ / x «130

    С-18. Квадратный корень из работы.

    Произведение корней 131

    С-19. Корень квадратный из дроби.

    Частные корни 133

    С-20. Корень квадратный из мощности 134

    С-21. Удаление множителя из корневого признака

    Введение множителя под знаком корня 137

    С-22. Преобразование выражений,

    С-23. Уравнения и их корни 141

    С-24. Определение квадратного уравнения.

    Неполные квадратные уравнения 142

    С-25.Решение квадратных уравнений 144

    С-26. Решение квадратных уравнений

    (продолжение) 146

    С-27. Теорема Виета 148

    С-28. Решение проблем с

    квадратные уравнения 149

    С-29. Разложение квадратного трехчлена на

    множителей. Биквадратные уравнения 150

    С-30. Дробные рациональные уравнения 152

    С-31. Решение проблем с

    рациональных уравнений 157

    С-32.Сравнение номеров (повтор) 158

    С-33. Свойства числовых неравенств 160

    С-34. Сложение и умножение неравенств 161

    С-35. Доказательство неравенств 162

    С-36. Оценка значения выражения 163

    С-37. Оценка погрешности приближения 165

    С-38. Округление чисел 165

    С-39. Относительная ошибка 166

    С-40. Пересечение и объединение множеств 166

    С-41.Кол-во пролетов 167
    S-42. Устранение неравенств 172

    С-43. Решение неравенств (продолжение) 174

    С-44. Решение систем неравенств 176

    С-45. Устранение неравенств 179

    С-46. Уравнения и неравенства, содержащие

    переменная под знаком модуля 181

    С-47. Целая степень 185

    С-48. Преобразование выражений, содержащих

    градуса с целым числом 187

    С-49. Стандартный номер 189

    С-50.Запись приблизительных значений 190

    С-51. Статистика 192

    С-52. Концепция функции. График функции

    (повтор) 193

    С-53. Определение квадратичной функции 197

    С-54. Функция y = ax2 199

    С-55. График функции y = ax24-bzh + s 200

    С-56. Решение квадратных неравенств 201

    С-57. Интервальный метод 203

    Экзаменационные работы 206

    Вариант 1 206

    К-10 (выпускная) 232

    Вариант 2 236

    К-2А 238
    К-ЗА 242

    К-9А (финал) 257

    Окончательное повторение по теме 263

    Осенние Олимпийские игры 274

    Весенние Олимпийские игры 275

    АЛГЕБРА


    Уроки для 9 классов

    № ЗАНЯТИЯ 5

    Тема. Сложение и умножение неравенств. Применение числовых свойств неравенства для оценки значений выражений

    Цель занятия: ознакомить учащихся с содержанием понятий «складывать неравенства построчно» и «умножать неравенства построчно», а также с содержанием свойств числовых неравенств, выражаемых теоремами о сложении слагаемых и почленное умножение числовых неравенств и их следствия.Развивать способность воспроизводить названные свойства числовых неравенств и использовать эти свойства для оценки значений выражений, а также продолжать работать над навыками доказательства неравенств, сравнения выражений с использованием определения и свойств числовых неравенств

    Тип урока: усвоение знаний, развитие первичных навыков.

    Видимость и оборудование: вспомогательный синопсис № 5.

    На занятиях

    I. Организационный этап

    Учитель проверяет готовность учеников к уроку, настраивает их на работу.

    II. Проверка домашнего задания

    Студенты выполняют тестовые задания с последующей проверкой.

    III. Формулировка цели и задач урока.
    Мотивация учебной деятельности учеников

    Для осознанного участия учащихся в формулировании цели урока можно предложить им практические задания геометрического содержания (например, оценить периметр и площадь прямоугольника, длина соседних сторон которого оценивается в виде двойных неравенств).В ходе беседы преподаватель должен направить мысли учеников на то, что хотя задачи аналогичны тем, которые решались на предыдущем уроке (см. Урок № 4, оценивайте значение выражений), однако, в отличие от названных, они не могут быть решены теми же средствами, потому что необходимо оценивать значения выражений, содержащих две (и в перспективе и более) буквы. Таким образом, студенты осознают наличие противоречия между знаниями, которые они получили до этого момента, и необходимостью решения конкретной проблемы.

    Результатом выполненной работы является формулировка цели урока: изучить вопрос о таких свойствах неравенств, которые могут применяться в случаях, аналогичных описанным в предлагаемом задании для учащихся; для чего необходимо четко сформулировать математическим языком и в словесной форме, а затем вывести соответствующие свойства числовых неравенств и научиться использовать их в сочетании с ранее изученными свойствами числовых неравенств для решения типовых задач.

    IV. Обновление базовых знаний и навыков учащихся

    Устные упражнения

    1. Сравните числа a и b, если:

    1) а — б = -0,2;

    2) а — б = 0,002;

    3) а = б — 3;

    4) а — б = м 2;

    5) а = б — м 2.

    3. Сравните значения выражений a + b и ab, если a = 3, b = 2. Обоснуйте свой ответ. Полученное соотношение будет выполнено, если:

    1) а = -3, б = -2;

    2) а = -3, б = 2?

    В.Формирование знаний

    План освоения нового материала

    1. Свойство члена путем добавления числовых неравенств (с уточнением).

    2. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с уточнением).

    3. Последствия. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с уточнением).

    4. Примеры применения проверенных свойств.

    Сопроводительная записка № 5

    Теорема (свойство) о почленном сложении числовых неравенств

    Если a b и c d, то a + c b + d.

    Принятие

    .

    Теорема (свойство) о почленном умножении числовых неравенств

    Если 0 a b и 0 c d, то ac bd.

    Приносят

    .

    Следствие. Если 0 a b, то an bn, где n — натуральное число.

    Принятие

    (по почленной теореме умножения числовых неравенств).

    Пример 1. Известно, что 3 и 4; 2 б 3. Оцените значение выражения:

    1) а + б; 2) а — б; 3) б; 4).

    2) а — б = а + (-b)

    2 б 31 ∙ (-1)

    2> -b> -3

    (0) 2 б 3

    Пример 2. Докажем неравенство (m + n) (mn + 1)> 4mn, если m> 0, n> 0.

    Принятие

    Используя неравенство (где a ≥ 0, b ≥ 0) и полученное неравенство a + b ≥ 2 (a ≥ 0, b ≥ 0), для m ≥ 0 и n ≥ 0 имеем:

    м + п ≥ 2, (1)

    млн + 1 ≥ 2. (2)

    По теореме о почленном умножении неравенств мы почленно умножаем неравенства (1) и (2). Тогда имеем:

    (m + n) (mn + 1) ≥ 2 ∙ 2,

    (m + n) (mn + 1) ≥ 4, следовательно,

    (m + n) (mn + 1) ≥ 4mn, где m ≥ 0, n ≥ 0.

    Методический комментарий

    Для осознанного восприятия нового материала преподаватель может на этапе обновления базовых знаний и умений учащихся предложить решения устных упражнений с воспроизведением, соответственно определяя сравнение чисел и свойства изучаемых числовых неравенств. предыдущие уроки (см. выше), а также рассмотрение вопроса о соответствующих свойствах числовых неравенств.

    Обычно студенты хорошо усваивают содержание теорем сложения слагаемых и умножения числовых неравенств, но опыт работы указывает на склонность студентов к определенным ложным обобщениям. Поэтому, чтобы не допустить ошибок в формировании знаний учащихся по данному вопросу путем демонстрации примеров и контрпримеров, преподаватель должен акцентировать внимание на следующих моментах:

    · Сознательное применение свойств числовых неравенств невозможно без умения записывать эти свойства как математическим языком, так и в устной форме;

    · Почтовые теоремы сложения и умножения числовых неравенств выполняются только для неоднородностей одного знака;

    · Свойство почленного сложения числовых неравенств выполняется при определенном условии (см. Выше) для любых чисел и теореме почленного умножения (в форме, указанной в справочном примечании No.5) только для положительных чисел;

    Теоремы о вычитании слагаемых и делении слагаемых числовых неравенств не изучаются, поэтому в случаях, когда необходимо оценить разность или дробь выражений, эти выражения представляются в виде суммы или произведения соответственно, а затем при определенных условий, они используют свойства сложения слагаемых и умножения числовых неравенств …

    Vi. Формирование навыков

    Устные упражнения

    1.Добавьте посроченные неравенства:

    1) а> 2, б> 3;

    2) с -2, д 4.

    Или можно одно и то же неравенство умножать постепенно? Обоснуйте ответ.

    2. Умножьте почтовые неравенства:

    1) а> 2, б> 0,3;

    2) c> 2, d> 4.

    Или можно такие же неровности? Обоснуйте ответ.

    3. Определите и подтвердите правильность утверждения, что если 2 a 3, 1 b 2, то:

    1) 3 а + б 5;

    2) 2 ab 6;

    3) 2 — 1 а — б 3 — 2;

    Письменные упражнения

    Для реализации дидактической цели урока необходимо выполнить упражнения следующего содержания:

    1) складывать и умножать эти числовые неравенства посменно;

    2) оценивает значение суммы, разности, произведения и частного двух выражений согласно этим оценкам каждого из этих чисел;

    3) оценивает значение выражений, содержащих эти буквы, по заданным оценкам каждой из этих букв;

    4) доказать неравенство с помощью теорем о сложении и умножении слагаемых числовых неравенств и с помощью классических неравенств;

    5), чтобы повторить свойства числовых неравенств, изученные на предыдущих уроках.

    Методический комментарий

    Письменные упражнения, которые предлагаются к решению на этом этапе урока, должны способствовать развитию устойчивых навыков поэлементного сложения и умножения неравенств в простых случаях. (При этом прорабатывается очень важный момент: проверка соответствия записи неравенств в условии теоремы и правильности записи суммы и произведения левой и правой частей неравенств.Подготовительная работа проводится во время выполнения устных упражнений.) Для лучшего усвоения материала от студентов следует потребовать воспроизвести изученные теоремы при комментировании действия.

    После того, как студенты успешно разработали теоремы в простых случаях, они могут постепенно переходить к более сложным случаям (чтобы оценить разницу и частное двух выражений и более сложных выражений). На этом этапе работы учитель должен следить за тем, чтобы учащиеся не совершали типичных ошибок, пытаясь изменить ситуацию и оценить долю своих собственных ложных правил.

    Также на уроке (конечно, если позволяет время и уровень усвоения учащимися содержания материала) следует уделить внимание упражнениям по использованию изученных теорем для доказательства более сложных неравенств.

    Vii. Итоги урока
    Контрольная задача

    Известно, что 4 на 5; 6 b 8. Найдите неправильные неравенства и исправьте ошибки. Обоснуйте ответ.

    1) 10 а + б 13;

    2) -4 а — б -1;

    3) 24 ab 13;

    4);

    5);

    7) 100 a2 + b 2169?

    VIII.Домашнее задание

    1. Изучите теоремы о сложении слагаемых и умножении числовых неравенств (с уточнением).

    2. Выполняйте репродуктивные упражнения, аналогичные классным упражнениям.

    3. На повторение: упражнения по применению определения сравнения чисел (для выявления неточностей и для сравнения выражений).


    Умение оценивать значение выражения.Как вы оцениваете значение выражения? Способы получения оценок, примеры

    В этой статье мы проанализируем, во-первых, что подразумевается под вычислением значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала мы вводим необходимые определения и понятия. После этого мы подробно опишем основные методы получения оценок.Попутно мы будем приводить решения типовых примеров.

    Что значит оценивать значение выражения?

    Мы не смогли найти в школьных учебниках однозначного ответа на вопрос, что подразумевается под оценкой значения выражения. Попробуем разобраться сами, исходя из тех кусочков информации по этой теме, которые до сих пор содержатся в учебниках и в сборниках заданий для подготовки к ЕГЭ и поступления в вузы.

    Посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Вот несколько цитат:

    Первые два примера включают вычисление чисел и числовых выражений. Здесь мы имеем дело с вычислением значения одного выражения. Остальные примеры содержат оценки, относящиеся к выражениям переменных. Каждое значение переменной из ODZ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, конечно, является подмножеством диапазона допустимых значений) соответствует своему собственному значению выражения.То есть, если ODZ (или набор X) не состоит из одного числа, то выражение с переменной соответствует набору значений выражения. В этом случае мы должны говорить об оценке не одного отдельного значения, а об оценке всех значений выражения на ODZ (или множестве X). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из OVS (или множества X).

    Для рассуждений мы немного отвлечемся от поиска ответа на вопрос, что значит оценивать значение выражения.Приведенные выше примеры продвигают нас в этом вопросе и позволяют принять следующие два определения:

    Определение

    Вычислить значение числового выражения — это означает указать числовой набор, содержащий вычисленное значение. В этом случае указанный числовой набор будет оценкой значения числового выражения.

    Определение

    Оценить значения выражения с помощью переменной на ODZ (или на множестве X) — это означает указать числовой набор, содержащий все значения, которые выражение принимает на ODZ (или на множестве X ).В этом случае указанный набор будет оценкой значений выражения.

    Легко убедиться, что вы можете указать более одной оценки для одного выражения. Например, числовое выражение может быть вычислено как, или, или, или и т. Д. То же самое относится к выражениям переменных. Например, выражение на LDZ может быть оценено как, или, или и т. Д. В связи с этим стоит добавить к записанным определениям уточнение относительно указанного числового набора, который является оценкой: оценка не должна быть в любом случае, он должен соответствовать целям, для которых он был найден.Например, для решения уравнения подходит оценка … Но эта оценка больше не подходит для решения уравнения, здесь значения выражения нужно оценивать иначе, например, так:.

    Следует отдельно отметить, что одной из оценок значений выражения f (x) является диапазон значений соответствующей функции y = f (x) .

    В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи сметы.Обычно оценки пишутся с использованием неравенств. Вы, наверное, уже это заметили.

    Оценка значений выражений и оценка значений функций

    По аналогии с вычислением значений выражения мы можем говорить об оценке значений функции. Это выглядит вполне естественно, особенно если иметь в виду функции, определяемые формулами, потому что вычисление значений выражения f (x) и вычисление значений функции y = f (x) являются по сути то же самое, что очевидно.Более того, часто процесс получения оценок удобно описывать в терминах вычисления значений функции. В частности, в некоторых случаях получение оценки выражения осуществляется путем нахождения наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

    О точности сметы

    В первом абзаце этой статьи мы сказали, что может быть много вычислений его значений для выражения. Некоторые из них лучше других? Это зависит от решаемой проблемы.Поясним на примере.

    Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих параграфах, вы можете получить две оценки значений выражения: первое — это, второе — … необходимые для получения этих оценок существенно различаются. Первый из них практически очевиден, а получение второй оценки связано с нахождением наименьшего значения радикального выражения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции квадратного корня.В некоторых случаях для решения проблемы можно использовать любую из оценок. Например, любая из наших оценок позволяет решить уравнение … Понятно, что в этом случае мы ограничились бы нахождением первой очевидной оценки, и, естественно, мы бы не стали искать вторую оценку. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения поставленной задачи. Например, наша первая оценка не позволяет решить уравнение, а оценка позволяет это сделать.То есть в этом случае нам было бы недостаточно первой очевидной оценки, и нам пришлось бы найти вторую оценку.

    Вот как мы подходим к вопросу о точности оценок. Вы можете подробно определить, что подразумевается под точностью сметы. Но для наших нужд в этом особой необходимости нет; Нам будет достаточно упрощенного представления о точности сметы. Условимся трактовать точность оценки как некий аналог точности приближения … То есть из двух оценок значений некоторого выражения f (x) рассмотрим более точную, которая «ближе» к диапазону значений функции y = f (x) . В этом смысле оценка является наиболее точной из всех возможных оценок значений выражения, поскольку совпадает с диапазоном значений соответствующей функции … В то же время ясно, что оцените более точные оценки … Другими словами, оценка более грубая.

    Имеет ли смысл постоянно искать наиболее точные оценки? Нет.И дело в том, что для решения проблемы часто бывает достаточно сравнительно приблизительных оценок. И главное преимущество таких оценок перед точными в том, что их зачастую намного проще получить.

    Основные методы получения сметы

    Оценки значений основных элементарных функций

    Оценка значений функции y = | х |

    Помимо основных элементарных функций, хорошо изученных и полезных с точки зрения получения оценок, есть функция y = | х | … Мы знаем диапазон значений этой функции :; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

  • Алгебра и начало математического анализа. 10 класс: учебник. для общего образования. учреждения: основные и профильные. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. Жижченко А.Б. — 3-е изд. — М .: Просвещение, 2010. — 368 с .: ил. — ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Математика.ЕГЭ-2012 повышенного уровня (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 112 с. — (Подготовка к экзамену) ISBN 978-5-

    -094-7

  • Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). В 2 кн. Книга. 1. Алгебра: Учебник. пособие / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др .; изд. М.И. Сканави. — 8-е изд., Перераб.- М .: Высшее. шк., 1998. — 528 с .: ил. ISBN 5-06-003524-7
  • резюме других презентаций

    «Сложение и вычитание алгебраических дробей» — Алгебраические дроби … 4a? Б. Изучение новой темы … Задачи: Помните! Кравченко Г.М. Примеры:

    «Степени с целым показателем» — Феоктистов Илья Евгеньевич Москва. 3. Градус с целочисленным показателем (5 часов) стр.43. Обучение алгебре в 8 классе с углубленным изучением математики. Задержка введения степени с целым отрицательным показателем… Знайте определение степени с целым отрицательным показателем. 2.

    «Типы квадратных уравнений» — Неполные квадратные уравнения. Вопросы … Полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения. Определение типов квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений. Группа «Дискриминант»: Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е., Иванов Н., Петров Г. Приведенное квадратное уравнение. Выполнили: ученики 8-х классов.Метод выбора полного квадрата. Типы квадратных уравнений. Пусть будет. Графический способ.

    «Числовые неравенства 8 степени» — A-c> 0. Неравенства. A = «Больше или равно». б> с. Напишите a> b или a 0. B-c> 0. Числовые неравенства. Слабый. Свойства числовых неравенств. Примеры: Если a b, то a-5> b-5. A> 0 означает, что a — положительное число;

    «Решение квадратных уравнений Теорема Виета» — Один из корней уравнения равен 5.Задание № 1. МОУ «Кисловская общеобразовательная школа». Научный руководитель: учитель математики Баранникова Е.А. Кисловка — 2008 (Презентация к уроку алгебры в 8 классе). Найдите x2 и k. Выполнил: ученик 8-го класса В. Слинько Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

    35 соединяет знаки чисел 3 и 5. Тройка резонирует с вибрациями вдохновения и радости, энтузиазма и самовыражения. Это троица прошлого, настоящего и будущего; тело, разум и дух.Человек под знаком тройки энергичный, талантливый, честный, гордый и независимый.

    Пятерка добавляет в копилку общей вибрации долю эмоциональности и свободы выбора. Среди минусов — излишняя чувствительность и частые перепады настроения, негативный эффект от которых компенсируется оптимизмом тройки. 35 в общих чертах олицетворяет творческую энергию, возможности, желание поменяться местами.

    Соединение числа с символом

    Что означает число 35 в судьбе человека, если оно определяется датой рождения? Это придает ему особую харизму, которая привлекает к нему друзей и последователей.Таких людей всегда окружают поклонники, которые выбирают их на роль общественного деятеля или неформального лидера.

    Отрицательная сторона этой числовой комбинации состоит в том, что человек использует свой авторитет для личного обогащения. У представителей 35 лет слабо развита духовная сфера. Зараженные прагматизмом и тщеславием, они способны независимо от лица «идти через голову» к намеченной цели.

    Магические свойства

    Мистическое значение числа 35 связано с тем, что оно предсказывает встречу со смертельным искушением.Единственный способ избежать серьезных ошибок такого испытания — сохранять спокойствие и рассудительность.

    Священные сравнения числа можно найти в Библии, где оно упоминается 5 раз. Это было на тридцать пятый день поста в пустыне, когда Люцифер подошел к Иисусу, чтобы искушать его.

    Что означает число 35, если встречается часто

    Если ангелы-хранители заставляют вас постоянно видеть 35, они показывают, что вы не достигаете своих целей. Вы честны и старательны, но удача вас обходит стороной.

    Вы сталкиваетесь с бесчисленными препятствиями и не уверены в своем будущем. Управитель числа 35, планета Сатурн, оказывает такое влияние на вашу жизнь. Его скрытое действие проявляется через число 8, которое получается сложением 3 и 5. Возможно, вы отклоняетесь от своей цели и играете чужую роль. Чтобы найти свое истинное призвание, прислушивайтесь к тому, что просит ваша душа, и следуйте ее невысказанному зову.

    Наш «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно проанализированы методы и методы их решения.«Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки выполнения домашних заданий и помощи в решении задач.
    За короткое время родители могут стать весьма эффективными домашними репетиторами.

    Вариант 1 4

    в полином (повторение) 4

    С-2. Факторинг (повтор) 5

    С-3. Целые и дробные выражения 6

    С-4. Главное свойство фракции. Уменьшение фракций. 7

    С-5; Сокращение фракций (продолжение) 9

    с теми же знаменателями 10

    с разными знаменателями 12

    Знаменатели

    (продолжение) 14

    С-9.Умножение дробей 16

    С-10. Деление на дроби 17

    С-11. Все действия с дробями 18

    С-12. Функция 19

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 22

    С-14. Арифметический квадратный корень из 23

    С-15. Решение уравнений вида x2 = a 27

    С-16. Нахождение приблизительных значений

    корень квадратный из 29

    С-17. Функция y = d / x 30

    Продукт корней 31

    Частные корни 33

    С-20.Корень квадратный из степени 34

    С-21. Вычитание множителя из корневого знака Добавление множителя из корневого знака 37

    С-23. Уравнения и их корни 42

    Неполные квадратные уравнения 43

    С-25. Решение квадратных уравнений 45

    (продолжение) 47

    С-27. Теорема Виета 49

    С-28. Решение проблем с

    квадратные уравнения 50

    множителей. Биквадратные уравнения 51

    С-30.Дробные рациональные уравнения 53

    С-31. Решение проблем с

    рациональных уравнений 58

    С-32. Сравнение номеров (повтор) 59

    С-33. Свойства числовых неравенств 60

    С-34. Сложение и умножение неравенств 62

    С-35. Доказательство неравенств 63

    С-36. Оценка значения выражения 65

    С-37. Оценка ошибки аппроксимации 66

    С-38. Округление чисел 67

    С-39.Относительная ошибка 68

    С-40. Пересечение и объединение множеств 68

    С-41. Количество пролетов 69

    С-42. Устранение неравенств 74

    С-43. Устранение неравенств (продолжение) 76

    С-44. Решение систем неравенств 78

    С-45. Устранение неравенств 81

    переменная под знаком модуля 83

    С-47. Целая степень 87


    градусов с целым числом 88

    С-49. Стандартный номер 91

    С-50.Запись приблизительных значений 92

    С-51. Элементы статистики 93

    (повтор) 95

    С-53. Определение квадратичной функции 99

    С-54. Функция y = ax2 100

    С-55. График функции y = ax2 + bzh + c 101

    С-56. Решение квадратных неравенств 102

    С-57. Интервальный метод 105

    Вариант 2 108

    С-1. Преобразование целочисленного выражения

    в полином (повторение) 108

    С-2.Факторинг (повтор) 109

    С-3. Целочисленные и дробные выражения 110

    С-4. Главное свойство фракции.

    Редукционные 111

    С-5. Сокращение фракций (продолжение) 112

    С-6. Сложение и вычитание дробей

    с теми же знаменателями 114

    С-7. Сложение и вычитание дробей

    e разные знаменатели 116

    С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

    знаменателя (продолжение) 117

    С-9.Умножение дробей, 118

    С-10. Деление на фракции 119

    С-11. Все действия с дробями 120

    С-12. Функция 121

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 123

    С-14. Арифметический квадратный корень из 124

    С-15. Решение уравнений вида x2 — a 127

    С-16. Нахождение приближенных значений квадратного корня из 129
    S-17. Функция y = \ / x «130

    С-18. Квадратный корень из работы.

    Произведение корней 131

    С-19. Корень квадратный из дроби.

    Частные корни 133

    С-20. Корень квадратный из мощности 134

    С-21. Удаление множителя из корневого признака

    Введение множителя под знаком корня 137

    С-22. Преобразование выражений,

    С-23. Уравнения и их корни 141

    С-24. Определение квадратного уравнения.

    Неполные квадратные уравнения 142

    С-25.Решение квадратных уравнений 144

    С-26. Решение квадратных уравнений

    (продолжение) 146

    С-27. Теорема Виета 148

    С-28. Решение проблем с

    квадратные уравнения 149

    С-29. Разложение квадрата трехчлена на

    множителей. Биквадратные уравнения 150

    С-30. Дробные рациональные уравнения 152

    С-31. Решение проблем с

    рациональных уравнений 157

    С-32. Сравнение номеров (повтор) 158

    С-33.Свойства числовых неравенств 160

    С-34. Сложение и умножение неравенств 161

    С-35. Доказательство неравенств 162

    С-36. Оценка значения выражения 163

    С-37. Оценка погрешности приближения 165

    С-38. Округление чисел 165

    С-39. Относительная ошибка 166

    С-40. Пересечение и объединение множеств 166

    С-41. Кол-во пролетов 167
    S-42. Устранение неравенств 172

    С-43.Решение неравенств (продолжение) 174

    С-44. Решение систем неравенств 176

    С-45. Устранение неравенств 179

    С-46. Уравнения и неравенства, содержащие

    переменная под знаком модуля 181

    С-47. Целая степень 185

    С-48. Преобразование выражений, содержащих

    градуса с целым числом 187

    С-49. Стандартный номер 189

    С-50. Запись приблизительных значений 190

    С-51.Статистика 192

    С-52. Концепция функции. График функции

    (повтор) 193

    С-53. Определение квадратичной функции 197

    С-54.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.