Теория по геометрии за 8 класс: Основные определения и теоремы. Геометрия 8 класс — Студопедия

Основные определения и теоремы. Геометрия 8 класс — Студопедия

Основные определения и теоремы. Геометрия 8 класс — Студопедия

1. Многоугольник — это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
2. Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника.
3. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
4. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
5. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
6. Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n–2)·180°.
7. Четырёхугольник – это многоугольник у которого четыре вершины и четыре стороны.
8. Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными.
9. Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
10. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
11. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
12. (Свойства параллелограмма) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
13. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
14. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
15. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
16. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
17. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
18. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.
19. (Т. Фалеса) Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
20. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
21. (Особое свойство прямоугольника) Диагонали прямоугольника равны.
22. (Признак прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
23. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
24. (Особое свойство ромба) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
25. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
26. (Основные свойства квадрата) Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
27. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему.
28. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точкиО, если О – середина отрезка АА_1.
29. (Основные свойства площадей) Равные многоугольники имеют равные площади.
30. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
31. Площадь квадрата равна квадрату его стороны ( S=a²).
32. (Т.)Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (S=ab).
33. (Т.)Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту (S=ah).
34. (Т.)Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (S= ah).
35. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (S= ab).
36. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
37. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
38. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту ( S= ·h ).
39. (Теорема Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (с²=a²+b²)
40. (Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
41. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником.
42. (Формула Герона) Площадь треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S= , где p = (a+b+c) — полупериметр треугольника.
43. Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D_{1 ,} если = .
44. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
45. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
46. (Т.)Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
47. (Т. Первый признак подобия треугольников) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
48. (Т. Второй признак подобия треугольников) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
49. (Т. Третий признак подобия треугольников) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
50. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
51. (Т. о средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
52. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
53. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
54. Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY=
55. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
56. (Т. о средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
57. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
58. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
59. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
60. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
61. sin²A+cos²A=1 – основное тригонометрическое тождество.
62. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
63. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
64. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
65. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
66. (Т. о свойстве касательной к окружности) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
67. (Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
68. (Т. Признак касательной) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной
69. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
70. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
71. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
72. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
73. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
74. (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
75. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
76. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
77. (Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
78. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
79. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
80. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
81. (Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
82. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
83. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
84. Четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот(или их продолжений) называются замечательными точками треугольника.
85. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
86. (Теорема об окружности, вписанной в треугольник) В любой треугольник можно вписать окружность.
87. В треугольник можно вписать только одну окружность.
88. Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.
89. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
90. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны то в него можно вписать окружность.
91. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
92. (Теорема об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать окружность.
93. Около треугольника можно описать только одну окружность.
94. Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
95. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
96. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.



Теория по геометрии за курс 8 класса. Вопросы и ответы

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.

2) Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90⁰, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

2) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

называются пифагоровыми треугольниками.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

2)Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Определения, теоремы и формулы геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс

Определения

Многоугольник-геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные-не имеют общих точек.

Выпуклый многоугольник, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Параллелограмм-четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Трапеция-четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны.

Основания трапеции-её параллельные стороны, две другие не параллельные-боковые стороны трапеции.

Равнобедренна трапеция, если её боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция, если один из её углов прямой.

Прямоугольник-параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат-прямоугольник, у которого все стороны равны.

Точки А и А₁ симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему.

Фигура симметрична относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно данной прямой также принадлежит этой фигуре(это осевая симметрия).

Ось симметрии-данная прямая, относительно которой происходит симметрия.

Точки А и А₁ симметричны относительно точки О, если О середина отрезка АА₁.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре(это центральная симметрия).

Отношение отрезков АВ и СD-отношение их длин, т.е. .

Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁, если .

Стороны треугольника АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, СА и С₁А₁ сходственны, если .

Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

,

где k- коэффициент подобия.

Средняя линия треугольника-отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение синуса к косинусу этого угла.

Касательная к окружности-прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку-точку касания прямой и окружности.

Полуокружность-дуга, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

Центральный угол-угол с вершиной в центре окружности.

Серединный перпендикуляр к отрезку-прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Окружность, вписанная в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. А многоугольник, описанный около этой окружности.

Окружность, описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. А многоугольник, вписанный в окружность.

Вектор(направленный отрезок)-отрезок, для которого указано, какой его конец является началом, а какой-концом.

Нулевой вектор, если начало совпадает с его концом.

Длина или модуль вектора — длина отрезка АВ.

Векторы коллинеарные , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы сонаправленные , если они направлены в одну сторону.

Векторы противоположно направленные , если они направлены в разные стороны.

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Сумма двух векторов (правило треугольника)-вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора.

Сумма n— векторов (правило многоугольника), если А₁,А₂,…,А_n-произвольные точки плоскости, то , где n_количество векторов.

Разность двух векторов и — вектор , равный сумме векторов и .

Произведение вектора на число k-вектор , длина которого , причем и при и при .

Средняя линия трапеции-отрезок, соединяющий середины её боковых сторон или середины её оснований (вторая средняя линия трапеции).

Правила и теоремы

5.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна , где n-количество сторон многоугольника.

5.2. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360⁰.

5.3. Свойства параллелограмма:

1⁰. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2⁰. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

5.4. Признаки параллелограмма:

1⁰. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

2⁰. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

3⁰. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.

5.5. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

5.6. Свойство прямоугольника:

1⁰. Диагонали прямоугольника равны.

5.7. Признак прямоугольника:

1⁰. Если в параллелограмме диагонали равны, значит этот параллелограмм-прямоугольник.

5.8. Свойство ромба:

1⁰. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

5.9. Свойства квадрата:

1⁰. Все углы квадрата прямые.

2⁰. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

6.1. Свойства суммы многоугольников:

1⁰. Равные многоугольники имеют равные площади.

2⁰. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3⁰. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

6.2. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

6.3. Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

6.4. Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Следствия из теоремы:

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

6.5. Теорема (о площади двух треугольников). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

6.6. Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

6.7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6.8. Обратная теорема Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

6.9. Свойства биссектрис параллелограмма:

1⁰. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2⁰. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3⁰. Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны.

6.10. Свойства биссектрис трапеции:

1⁰. Биссектриса отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. .

2⁰. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

3⁰. Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

4⁰. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

6.11. Свойство второй средней линии трапеции: Пусть средняя КN-вторая средняя линия трапеции с основаниями ВС и АD, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции М. Тогда .

7.1. Теорема (об отношение площадей подобных треугольников).Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

7.2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

7.3. Признаки подобия треугольников:

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то эти треугольники подобны.

7.4. Теорема (о средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7.5. Свойство медианы треугольника:

1⁰. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношение 2:1, считая от вершины.

7.6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

7.7. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

8.1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность имеют две общие точки.

8.2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

8.3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

8.4. Теорема (о касательной и радиусе). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

8.5. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6. Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

8.7. Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.8. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной .

8.9. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360⁰.

8.10. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия из теоремы:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -прямой.

8.11. Теорема (о произведении отрезков пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

8.12. Четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжения).

Теорема (о биссектрисе угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие из теоремы: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о серединном перпендикуляре к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Следствие из теоремы: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о пересечении высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

8.13. Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

8.14. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

8.15. Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

8.16. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰.

8.17. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180⁰, то около него можно описать окружность.

8.18. Свойства равностороннего треугольника:

1⁰. Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают.

2⁰. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

3⁰. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности.

4⁰. Все высоты равностороннего треугольника равны.

9.1. От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному.

9.2. Теорема (правило параллелограмма). Для любых векторов и справедливы равенства:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон).

9.3. Теорема (о разности векторов). Для любых векторов и справедливо равенство .

9.4. Произведение любого вектора на 0-это нулевой вектор.

9.5. Векторы и коллинеарны при любых и .

9.6. Свойства произведения вектора на число:

1⁰. (сочетательный закон)

2⁰. (первый распределительный закон)

3⁰. (второй распределительный закон)

9.7. Теорема (о средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме.

9.8. Сумма противолежащих углов трапеции равна 180⁰.

Формулы

Основное тригонометрическое тождество

Таблица углов

*знать таблицу наизусть для 8 класса (зелёный), для 9 класса (зелёный и жёлтый).

Геометрия 8 класс . Тесты и Тренажеры

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. ТЕСТЫ И ТРЕНАЖЕРЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ с ответами

УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы по геометрии — Контрольные работы (7 КР)

УМК АТАНАСЯН: Зив и Мейлер. Дидактические материалы — Контрольные (7 КР)
УМК АТАНАСЯН: Мельникова. Контрольные работы в 8 классе (5 КР)
УМК АТАНАСЯН: Гаврилова. Поурочные разработки: Контрольные работы (6 КР)
УМК АТАНАСЯН: Гаврилова. Поурочные разработки: Самостоятельные (16 СР)
УМК АТАНАСЯН: Ершова. Самост. и контр. работы по алгебре и геометрии (итоговая КР)

УМК ПОГОРЕЛОВ: Гусев. Дидактические материалы: Контрольные работы
УМК ПОГОРЕЛОВ: Ершова. Самост. и контр. работы по алгебре и геометрии (итоговая КР)

УМК БУТУЗОВ: Дидактические материалы: контрольные работы и матем. диктанты

К любому УМК: Глазкова, КИМ: контрольные работы. 8 класс. ВАКО

Рекомендуемые материалы для очного контроля знаний

по предмету «Геометрия 8 класс»:

• Тесты по геометрии. 8 класс. К учебнику Атанасяна Л.С. и др. — Звавич Л.И., Потоскуев Е.В. (2013, 160с.)
• Геометрия. 8 класс. Сборник заданий для тематического и итогового контроля знаний. Ершова А.П. (2013, 128с.)
• Геометрия. 8 класс. Тематические тесты. Мищенко Т.М., Блинков А.Д. (2008, 128с.)
• Геометрия 8 класс. Контрольные измерительные материалы. Рязановский А.Р., Мухин Д.Г. (2014, 96с.)
• Геометрия. 8 класс. Тематические тесты. Мищенко Т.М. (2011, 176с.)
• Геометрия. 8 класс. Итоговая аттестация. Типовые тестовые задания. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2015, 64с.)
• Дидактические материалы по геометрии. 8 класс. К учебнику Атанасяна Л.С. — Мельникова Н.Б., Захарова Г.А. (2017, 144с.)
• Геометрия. 8 класс. Контрольные работы. Мельникова Н.Б. (2016, 64с.)
• Геометрия. 8 класс. Дидактические материалы. Зив Б.Г., Мейлер В.М. (2016, 159с.)
• Геометрия 8 класс. Тренировочные задания. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.А. (2018, 176с.)
• Геометрия. 8 класс. Тематические тесты. Мищенко Т.М. (2010, 96с.)
• Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы: 7-9 классы. Иченская М.А. (2017, 144с.)
• Геометрия. 8 класс. Дидактические материалы. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. и др. (2018, 112с.)

 Программа обучения по геометрии в 8 классе (основные темы)

Глава I. Четырехугольники

Многоугольники. Параллелограмм и трапеция. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Решение задач

Глава II. Площадь

Площадь многоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Теорема Пифагора. Решение задач

Глава III. Подобные треугольники

Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Глава IV. Окружность

Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности. Решение задач

Вернуться 

Окружность. Геометрия, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Вход

Вход

Регистрация

Начало

Новости

ТОПы

Учебные заведения

Предметы

Проверочные работы

Обновления

Переменка

Поиск по сайту

Отправить отзыв

• 
  Предметы
• 
  Геометрия
• 
  8 класс

1. 
   

   
   Касательная и окружность
   

   
   
   
   
   
   
   
   

2. 
   

   
   Центральные и вписанные углы. Свойство пересекающихся хорд окружности
   

   
   
   
   
   
   
   
   

3. 
   

   
   Замечательные точки треугольника
   

   
   
   
   
   
   
   
   

4. 
   

   
   Вписанная и описанная окружности
   

   
   
   
   
   
   
   
   

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

Copyright © 2021 ООО ЯКласс

Контакты

Пользовательское соглашение

теоремы геометрии 8 класса — Школьные Знания.com

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Теорема 6.6 (Теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Теорема 7.2 (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Следствия:
-В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
-cosA < 1 для любого острого угла А.
-Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Теорема 7.3 (Неравенство треугольника). Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Следствие: В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других.

Теорема 7.4. Для любого острого угла А.
sin(90o-A) = cosA, cos(90o-A) = sinA.

Теорема 7.5. При возрастании острого угла sinA и tgA возрастают, а cosA убывает.

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Следствие: При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора равна . Направление вектора при совпадает с направлением вектора , если l> 0, и противоположно направлению вектора , если l< 0.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Следствия:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
Если скалярное произведение отличных от 0 векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.

8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол. — Теорема о вписанном угле.

Комментарии преподавателя

Тео­ре­ма о впи­сан­ном угле

На­пом­ним неко­то­рые опре­де­ле­ния

Опре­де­ле­ние:

Окруж­но­стью с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом R на­зы­ва­ют мно­же­ство всех точек плос­ко­сти, уда­лен­ных от точки О на рас­сто­я­ние R (см. Рис. 1).

Рис. 1

Часть окруж­но­сти   на­зы­ва­ет­ся дугой.

Дуга имеет уг­ло­вое из­ме­ре­ние.

Гра­дус­ная мера дуги  равна гра­дус­ной мере со­от­вет­ству­ю­ще­го цен­траль­но­го угла :

Рас­смот­рим при­ме­ры:

Рис. 2

Опре­де­ле­ние

Угол, вер­ши­на ко­то­ро­го лежит на окруж­но­сти, а сто­ро­ны пе­ре­се­ка­ют окруж­ность, на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным.

Рис. 3

За­да­на окруж­ность с цен­тром О, вер­ши­на А лежит на окруж­но­сти, сто­ро­ны АВ и АС угла пе­ре­се­ка­ют окруж­ность в точ­ках В и С, угол  на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным. Он опи­ра­ет­ся на дугу , эта дуга рас­по­ло­же­на внут­ри угла (см. Рис. 3).

Впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся (см. Рис. 4).

Рис. 4

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим несколь­ко слу­ча­ев.

          Слу­чай 1: точка О при­над­ле­жит лучу АС (см. Рис. 5).

Рис. 5

До­ка­зать, что 

Обо­зна­чим угол  через , тогда угол  также будет равен , так как тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный, его сто­ро­ны ОВ и ОА равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти. Угол  яв­ля­ет­ся внеш­ним для тре­уголь­ни­ка , внеш­ний угол равен сумме двух дру­гих углов, не смеж­ных с ним, по­лу­ча­ем: , то есть уг­ло­вое из­ме­ре­ние дуги  есть . Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что впи­сан­ный угол равен по­ло­вине из­ме­ре­ния дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Слу­чай 2: точка О лежит внут­ри впи­сан­но­го угла  (см. Рис. 6).

Рис. 6

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство сво­дит­ся к преды­ду­ще­му слу­чаю. Про­ве­дем диа­метр AD, обо­зна­чим угол  за  и тогда дуга  равна  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Угол  за , тогда дуга  равна  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Вся дуга  равна:

Угол  в свою оче­редь, равен .

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что впи­сан­ный угол равен по­ло­вине дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Слу­чай 3: точка О на­хо­дит­ся вне впи­сан­но­го угла (см. Рис. 7).

Рис. 7

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство снова сво­дит­ся к пер­во­му слу­чаю. Про­ве­дем диа­метр AD, обо­зна­чим угол  через , тогда дуга  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Угол  обо­зна­чим через , тогда дуга  равна  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Дуга  яв­ля­ет­ся раз­но­стью боль­шой дуги  и дуги :

Впи­сан­ный угол  равен . Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что впи­сан­ный угол равен по­ло­вине дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Итак, тео­ре­ма пол­но­стью до­ка­за­на, все слу­чаи рас­смот­ре­ны. И те­перь из этого вы­те­ка­ют важ­ные след­ствия.

След­ствие 1:

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

Рис. 8

Угол  равен , он впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на дугу , зна­чит, дуга равна . Но на эту же дугу опи­ра­ют­ся много дру­гих углов, на­при­мер, углы  и , дан­ные углы из­ме­ря­ют­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дуги, зна­чит, они равны , как и угол.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

След­ствие 2

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на диа­метр, пря­мые (см. Рис. 9).

Рис. 9

Тео­ре­ма о впи­сан­ном угле яв­ля­ет­ся клю­чом к до­ка­за­тель­ству мно­гих дру­гих тео­рем и к ре­ше­нию мно­гих задач.

Про­из­ве­де­ние от­рез­ков каж­дой из двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная.

Рис. 10

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  (см. Рис. 10). Дан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по ра­вен­ству двух углов: равны вер­ти­каль­ные углы  и ; впи­сан­ные углы  и  опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу . Вы­пи­шем со­от­но­ше­ние по­до­бия:

При­ме­ним свой­ство про­пор­ции и пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие впи­сан­но­го угла и тео­ре­му о впи­сан­ном угле. В сле­ду­ю­щем уроке мы рас­смот­рим свой­ства бис­сек­три­сы угла и се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/teorema-o-vpisannom-ugle

http://www.youtube.com/watch?v=v-udmw0gZIo

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/112-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/113-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-2.html

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/78d/78d9db552be4b537618cdef1c61fb4cd.jpg

Математика для 8-х классов: теоремы о треугольнике и доказательства в геометрии — видео и уроки

Каждый видеоурок длится около пяти минут и предназначен для того, чтобы помочь учащимся 8-го класса запомнить теоремы о треугольнике и доказательства, которые вы представили в классе. В веселых и беззаботных видеороликах рассматриваются постулаты, доказательства и теоремы о треугольниках с использованием углов, гипотенузов и сторон, а также показано, как их применять для решения геометрических задач. Вы можете использовать тесты с несколькими вариантами ответов, чтобы узнать, где у учащихся могут возникнуть вопросы, а экзамен по главе может проверить, что они запомнили из этой главы.

Задачи по геометрии 8 класс и вопросы с ответами

Геометрия
представлены задачи и вопросы с ответами для 8 класса. Эти задачи и вопросы касаются вычисления углов, периметров, площадей и объемов. Также включены вопросы о сходстве и отражении.Также включены решения и объяснения.

Дополнительные ссылки и ссылки

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Больше математики в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше начальной математики (4 и 5 классы ) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами Домашняя страница

Геометрия — 8 класс по математике

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в качестве
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Математические олимпиады в средней школе: теория чисел и геометрия

Деттлингер, Карен / 8 класс Геометрия

Единицы обучения

Глава 1: Основы геометрии

Точки, линии и плоскости

Измерение и построение сегментов

Использование формул средней точки и расстояния

Периметр и площадь в координатной плоскости

Измерение и построение углов

Описание пар углов

Раздел 2: Обоснование и доказательства

Условные утверждения

Индуктивные и дедуктивные рассуждения

Постулаты и диаграммы

Алгебраические рассуждения

доказательство утверждений о отрезках и углах

Доказательство геометрических соотношений

Блок 3: параллельно и перпендикулярно

Пары линий и углов

Параллельные линии и переходы

Доказательства с параллельными линиями

Доказательства с перпендикулярными линиями

Уравнения параллельных и перпендикулярных прямых

Блок 4 Преобразования

Переводы

Отражения

Оборотов

Преобразования сравнения

расширения

преобразования подобия

Часть 5 Конгруэнтных треугольников

Углы треугольников

конгруэнтных полигонов

Равносторонний и равнобедренный треугольники

Доказательство соответствия треугольников по SSS, SAS, ASA, AAS
CTCTC

Координатные доказательства

Раздел 6: Связь с треугольниками

Теорема о серединном перпендикуляре и обратное

теорема о биссектрисе и обратное

Точки параллелизма

Середины треугольника

теорема о неравенстве треугольника

треугольник длинная сторона / наибольший угол

наименьшая сторона треугольника / наименьший угол

Теорема о шарнире

Элемент 7 Четырехугольники и другие многоугольники

Углы в многоугольниках

Свойства параллелограммов

Доказательство четырехугольника параллелограммом

Свойства специального параллелограмма

прямоугольников, ромбов и квадратов

Свойства трапеций и воздушных змеев

Блок 8: Сходство

Подобные полигоны

Подтверждение треугольников аналогично

AA

SAS

SSS

Теоремы пропорциональности

Раздел 9: Правые треугольники и тригонометрия

Теорема Пифагора и ее обратная

Неравенства Пифагора (классифицирующие треугольники)

Специальные правые треугольники

Подобие прямоугольного треугольника

Среднее геометрическое

Теоремы о среднем геометрическом (высота / шаг)

Триггерные отношения

Угол подъема и понижения

Закон синуса

Закон косинусов

Блок 10 кругов

Линии и сегменты, пересекающие окружности

Поиск мер дуги

Использование аккордов

Вписанные углы и многоугольники

Угловые отношения в окружностях

Отношения сегментов в кругах

Круги в координатной плоскости

Блок 11: Окружность, площадь и объем

Окружность и длина дуги

Площади кругов и секторов

Площади полигонов

3D фигурки

Объемы призм, цилиндров, пирамид, конусов и сфер

Площадь поверхности конусов и сфер

Общие основные стандарты 8-го класса

Вот общие основные стандарты 8-го класса со ссылками на ресурсы, которые их поддерживают.Мы также поощряем множество упражнений и работу с книгами.

8 класс | Система счисления

Знайте, что есть числа, которые не являются рациональными, и аппроксимируйте их рациональными числами.

8.NS.A.1 Знайте, что числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными. Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; для рациональных чисел показывают, что десятичное представление в конечном итоге повторяется, и преобразует десятичное представление, которое повторяется в конечном итоге, в рациональное число.2). Например, усекая десятичное разложение квадратного корня из 2, покажите, что квадратный корень из 2 находится между 1 и 2, затем между 1,4 и 1,5, и объясните, как продолжить, чтобы получить более точные приближения.

Упражнение: Найдите приблизительное значение числа Пи

класса 8 | Выражения и уравнения

Работа с радикалами и целыми показателями.

8.EE.A.1 Знать и применять свойства целочисленных показателей для генерации эквивалентных числовых выражений. 3) = 1/27.9, и определяют, что население мира более чем в 20 раз больше.

Индексное обозначение — степень 10

8.EE.A.4 Выполнять операции с числами, выраженными в экспоненциальном представлении, включая задачи, в которых используются как десятичные, так и экспоненциальные представления. Используйте научную нотацию и выбирайте единицы подходящего размера для измерений очень больших или очень малых количеств (например, используйте миллиметры в год для растекания по морскому дну). Интерпретируйте научные обозначения, созданные с помощью технологий.

Индексное обозначение — степень 10

Поймите связи между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями.

8.EE.B.5 График пропорциональных соотношений, интерпретируя единичную ставку как наклон графика. Сравните два разных пропорциональных отношения, представленных по-разному. Например, сравните график расстояние-время с уравнением расстояние-время, чтобы определить, какой из двух движущихся объектов имеет большую скорость.

8.EE.B.6 Используйте аналогичные треугольники, чтобы объяснить, почему наклон m одинаков между любыми двумя разными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение y = mx для линии, проходящей через начало координат, и уравнение y = mx + b для линии, пересекающей вертикальную ось в точке b.

Анализируйте и решайте линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.

8.EE.C.7 Решите линейные уравнения с одной переменной.
а. Приведите примеры линейных уравнений от одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или без решений. Покажите, какая из этих возможностей верна, путем последовательного преобразования данного уравнения в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b (где a и b — разные числа).
г. Решайте линейные уравнения с рациональными числовыми коэффициентами, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства распределения и сбора похожих членов.

Баланс при сложении и вычитании
Коммутативные ассоциативные и распределительные законы

8.EE.C.8 Анализируйте и решайте пары одновременных линейных уравнений.
а. Поймите, что решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графиков, потому что точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
г. Решите системы двух линейных уравнений с двумя переменными алгебраически и оцените решения, построив уравнения. Решайте простые случаи путем осмотра. Например, 3x + 2y = 5 и 3x + 2y = 6 не имеют решения, потому что 3x + 2y не могут одновременно быть 5 и 6.
c. Решайте реальные и математические задачи, приводящие к двум линейным уравнениям с двумя переменными. Например, учитывая координаты двух пар точек, определите, пересекает ли линия, проходящая через первую пару точек, линию, проходящую через вторую пару.

Системы линейных уравнений
График функций и калькулятор

8 класс | Функции

Определение, оценка и сравнение функций.

8.F.A.1 Поймите, что функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. График функции — это набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода. (Обозначение функции не требуется для 8-го класса.)

Диапазон доменов и кодомен
Инъективный сюръективный и биективный

8.F.A.2 Сравните свойства двух функций, каждая из которых представлена ​​по-разному (алгебраическим, графическим, числовым в таблицах или словесным описанием).2, дающий площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейным, потому что его график содержит точки (1,1), (2,4) и (3,9), которые не лежат на прямой линии.

График функций и калькулятор

Используйте функции для моделирования отношений между количествами.

8.F.B.4 Постройте функцию для моделирования линейной зависимости между двумя величинами. Определите скорость изменения и начальное значение функции по описанию взаимосвязи или по двум (x, y) значениям, включая чтение их из таблицы или графика.Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции в терминах моделируемой ситуации, а также в терминах ее графика или таблицы значений.

8.F.B.5 Качественно описать функциональную взаимосвязь между двумя величинами, анализируя график (например, где функция увеличивается или уменьшается, линейная или нелинейная). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, которая была описана устно.

График функций и калькулятор
Функции увеличения и уменьшения

8 класс | Геометрия

Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачных пленок или программного обеспечения для работы с геометрией.

8.G.A.1 Проверить экспериментально свойства вращений, отражений и перемещений:
a. Линии преобразуются в линии, а сегменты линий — в сегменты линии одинаковой длины.
г. Углы принимаются к углам той же меры.
г. Параллельные линии переходят в параллельные.

8.G.A.2 понять, что двумерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью вращений, отражений и перемещений; учитывая две совпадающие фигуры, опишите последовательность, которая демонстрирует соответствие между ними.

8.G.A.3 Опишите влияние растяжения, сдвига, вращения и отражения на двумерные фигуры с помощью координат.

Симметрия — отражение и вращение

8.G.A.4 Понимать, что двумерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.

Головоломка жонглера Сэма Лойда
Симметрия — отражение и вращение

8.G.A.5. Используйте неформальные аргументы для установления фактов о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образованных, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол. Например, расположите три копии одного и того же треугольника так, чтобы казалось, что эти три угла образуют линию, и дайте аргумент в терминах трансверсалей, почему это так.

Поймите и примените теорему Пифагора.

8.G.B.6 Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращения.

8.G.B.7 Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон прямоугольных треугольников в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях.

8.G.B.8 Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.

Расстояние между 2 точками
Задание: Прогулка по пустыне

Решение реальных и математических задач, связанных с объемом цилиндров, конусов и сфер.

8.G.C.9 Знать формулы объемов конусов, цилиндров и сфер и использовать их для решения реальных и математических задач.

Площадь круга, треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, эллипса и сектора

, класс 8 | Статистика и вероятность

Исследуйте закономерности ассоциации в двумерных данных.

8.SP.A.1. Постройте и интерпретируйте графики разброса для двумерных данных измерений, чтобы исследовать закономерности связи между двумя величинами. Опишите шаблоны, такие как кластеризация, выбросы, положительная или отрицательная ассоциация, линейная ассоциация и нелинейная ассоциация.

8.SP.A.2 Знайте, что прямые линии широко используются для моделирования отношений между двумя количественными переменными. Для диаграмм рассеяния, которые предполагают линейную связь, неформально установите прямую линию и неформально оцените соответствие модели, судя о близости точек данных к линии.

8.SP.A.3 Используйте уравнение линейной модели для решения задач в контексте данных двумерных измерений, интерпретируя наклон и точку пересечения. Например, в линейной модели для биологического эксперимента интерпретируйте наклон 1.5 см / час, что означает, что дополнительный час солнечного света каждый день связан с дополнительными 1,5 см высоты зрелого растения.

8.SP.A.4 Поймите, что закономерности ассоциации также можно увидеть в двумерных категориальных данных, отображая частоты и относительные частоты в двухсторонней таблице. Постройте и интерпретируйте двустороннюю таблицу, суммирующую данные по двум категориальным переменным, собранным от одних и тех же субъектов. Используйте относительные частоты, рассчитанные для строк или столбцов, чтобы описать возможную связь между двумя переменными.Например, соберите данные у учащихся вашего класса о том, установлен ли у них комендантский час по вечерам в школе и назначили ли они работу по дому. Есть ли свидетельства того, что те, у кого установлен комендантский час, также склонны выполнять работу по дому?

Сводные таблицы и графики

Области содержания математики — восьмой класс — РАМКИ ОЦЕНКИ TIMSS 2019

Мэри Линдквист, Рэй Филпот, Ина В.С. Муллис и Керри Э. Коттер

Загрузить TIMSS 2019 Mathematics Framework (pdf)

Домены материалов по математике — восьмой класс

Приложение 1.3 показаны области содержания TIMSS «Математика — восьмой класс» и целевое процентное соотношение баллов оценивания, посвященных каждому из них. Каждая предметная область состоит из тематических областей, а каждая тематическая область, в свою очередь, включает несколько тем. В экзамене по математике в восьмом классе каждая тема получает примерно равный вес.

Приложение 1.3: Целевые проценты экзамена по математике TIMSS 2019, посвященного предметным областям в восьмом классе

Номер

В восьмом классе тридцать процентов оценки, посвященной числу, состоят из трех тематических областей:

• Целые числа (10%)
• Дроби и десятичные знаки (10%)
• Соотношение, пропорции и процент (10%)

Опираясь на предметную область числового содержания в четвертом классе, ученики восьмого класса должны были развить навыки работы с более продвинутыми концепциями и процедурами целых чисел, а также расширить свое математическое понимание рациональных чисел (целых, дробных и десятичных).Студенты также должны понимать и уметь вычислять целые числа. Дроби и десятичные дроби — важная часть повседневной жизни, и для того, чтобы вычислять с их помощью, требуется понимание величин, которые представляют символы. Учащиеся должны понимать, что дроби и десятичные дроби — это отдельные сущности, такие как целые числа. Одно рациональное число может быть представлено множеством различных письменных символов, и учащиеся должны уметь распознавать различия между интерпретациями рациональных чисел, преобразовывать их и рассуждать с их помощью.Студенты должны уметь решать задачи, касающиеся соотношений, пропорций и процентов.

Целые числа

1. Продемонстрировать понимание свойств чисел и операций; находить и использовать кратные и множители, определять простые числа, оценивать положительные целые степени чисел, вычислять квадратные корни из совершенных квадратов до 144 и решать задачи, связанные с квадратными корнями из целых чисел.
2. Вычисляйте и решайте задачи с положительными и отрицательными числами, в том числе путем перемещения по числовой прямой или различных моделей (например,г., прибыли и убытки, термометры).

Дроби и десятичные знаки

1. Используя различные модели и представления, сравнивайте и упорядочивайте дроби и десятичные дроби, а также определяйте эквивалентные дроби и десятичные дроби.
2. Вычислить с дробями и десятичными знаками, в том числе заданными в проблемных ситуациях.

Соотношение, пропорции и процент

1. Определите и найдите эквивалентные соотношения; смоделировать данную ситуацию с помощью соотношения; разделите количество в соответствии с заданным соотношением.
2. Решение задач, связанных с пропорциями или процентами, включая преобразование процентов в дроби или десятичные дроби.

Алгебра

Тридцать процентов экзамена по алгебре состоит из двух тематических областей:

• Выражения, операции и уравнения (20%)
• Взаимосвязи и функции (10%)

Паттерны и отношения широко распространены в окружающем нас мире, и алгебра позволяет нам выразить их математически.Студенты должны уметь решать проблемы реального мира, используя алгебраические модели, и объяснять отношения с использованием алгебраических понятий. Им нужно понимать, что когда есть формула, включающая две величины, если они знают одну величину, они могут найти другую либо алгебраически, либо путем подстановки. Это концептуальное понимание может распространяться на линейные уравнения для вычислений о вещах, которые расширяются с постоянной скоростью (например, наклон). Функции могут использоваться для описания того, что произойдет с переменной при изменении связанной переменной.

Выражения, операции и уравнения

1. Найдите значение выражения или формулы при заданных значениях переменных.
2. Упростите алгебраические выражения, включающие суммы, произведения и степени; сравните выражения, чтобы определить, эквивалентны ли они.
3. Напишите выражения, уравнения или неравенства для представления проблемных ситуаций.
4. Решайте линейные уравнения, линейные неравенства и одновременные линейные уравнения с двумя переменными, включая те, которые моделируют реальные жизненные ситуации.

Взаимосвязи и функции

1. интерпретировать, связывать и генерировать представления линейных функций в таблицах, графиках или словах; определять свойства линейных функций, включая наклон и пересечения.
2. интерпретировать, связывать и генерировать представления простых нелинейных функций (например, квадратичных) в таблицах, графиках или словах; обобщать отношения шаблонов в последовательности, используя числа, слова или алгебраические выражения.

Геометрия

Расширяя понимание форм и размеров, оцениваемых в четвертом классе, ученики восьмого класса должны уметь анализировать свойства различных двух- и трехмерных фигур и вычислять периметры, площади и объемы.Они должны уметь решать проблемы и давать объяснения, основанные на геометрических отношениях, таких как конгруэнтность, подобие и теорема Пифагора.

Область содержания геометрии в восьмом классе состоит из одной тематической области:

• Геометрические формы и размеры (20%)

Геометрические формы и размеры

В восьмом классе геометрические фигуры включают круги; разносторонние, равнобедренные, равносторонние и прямоугольные треугольники; трапеции, параллелограммы, прямоугольники, ромбы и другие четырехугольники; а также другие многоугольники, включая пятиугольники, шестиугольники, восьмиугольники и десятиугольники.Они также включают трехмерные формы — призмы, пирамиды, конусы, цилиндры и сферы. Одно- и двумерные фигуры могут быть представлены в декартовой плоскости.

1. Определять и рисовать типы углов и пар линий и использовать отношения между углами на линиях и геометрических фигурах для решения проблем, в том числе связанных с измерением углов и отрезков линий; решать задачи, связанные с точками в декартовой плоскости.
2. Определять двумерные формы и использовать их геометрические свойства для решения задач, в том числе связанных с периметром, окружностью, площадью и теоремой Пифагора.
3. Распознавать и рисовать изображения геометрических преобразований (перемещений, отражений и поворотов) на плоскости; определять совпадающие и похожие треугольники и прямоугольники и решать связанные проблемы.
4. Определять трехмерные формы и использовать их геометрические свойства для решения проблем, в том числе связанных с площадью поверхности и объемом; соотносят трехмерные формы с их двумерными представлениями.

Данные и вероятность

Все чаще более традиционные формы отображения данных (например,g., гистограммы, линейные диаграммы, круговые диаграммы, пиктограммы) дополняются массивом новых графических форм (например, инфографики). К восьмому классу ученики должны уметь читать и извлекать важные значения из множества наглядных представлений. Для восьмиклассников также важно знать статистику, лежащую в основе распределения данных, и то, как они соотносятся с формой графиков данных. Студенты должны знать, как собирать, систематизировать и представлять данные. Студенты также должны иметь начальное представление о некоторых концепциях, связанных с вероятностью.

Домен данных и вероятностей содержит две тематические области:

• Данные (15%)
• Вероятность (5%)

Данные

1. Считывайте и интерпретируйте данные из одного или нескольких источников для решения проблем (например, интерполируйте и экстраполируйте, проводите сравнения, делайте выводы).
2. Определить соответствующие процедуры для сбора данных; организовать и представить данные, чтобы помочь ответить на вопросы.
3. Рассчитывать, использовать или интерпретировать статистические данные (т.е., среднее значение, медиана, мода, диапазон), обобщающие распределения данных; распознавать влияние разброса и выбросов.

Вероятность

1. Для простых и сложных событий: а) определить теоретическую вероятность (на основе равновероятных исходов, например, бросок кубика) или б) оценить эмпирическую вероятность (на основе экспериментальных результатов).

Калькулятор для учеников восьмых классов

Продолжая практику предыдущих оценок TIMSS, ученикам четвертых классов не разрешается пользоваться калькуляторами.Сюда входят как paperTIMSS, так и eTIMSS. В восьмом классе ученикам будет разрешено пользоваться калькуляторами, хотя элементы математики разработаны таким образом, чтобы они были нейтральны к калькулятору — не приносят пользу и не ставят учеников в невыгодное положение независимо от того, есть у них калькуляторы или нет.