Текстовые задачи алгебра 8 класс: Решение задач с помощью квадратных уравнений . Видеоурок. Алгебра 8 Класс

«Решение текстовых задач при помощи рациональных уравнений»

Особое место в школьном курсе математики занимают текстовые задачи. Следует отметить, что, решая на уроках алгебры текстовые задачи, учитель математики работает не только на себя, подготавливая учеников к умению осмыслить текст задач в курсе геометрии, без чего говорить о возможности решения этих задач бессмысленно, но также помогает преподавателям физики, химии и даже литературы, так как для того чтобы решить задачу необходимо внимательно прочитать текст задачи, понять его, выделить главное, т.е. разложить все данные «по полочкам».
Не случайно, оценивая задачу, решаемую с помощью уравнения или системы уравнений, учитель отдельно оценивает верность составленного уравнения или системы, так как добросовестного ученика безусловно можно обучить различным математическим алгоритмам, но умению думать научить без текстовых задач невозможно.

Урок рассчитан на один час.

Цель урока: выработка умений самостоятельного применения знаний в стандартных и нестандартных ситуациях.

ХОД УРОКА

Задача № 386а (по учебнику «Алгебра-8», С.М.Никольский и др., 2006 г.)

Расстояние между двумя населенными пунктами 50 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/час больше. Встретились они на расстоянии 10 км от одного из населенных пунктов. Какова скорость велосипедиста?

1. Определить, кто удалится на большее расстояние от начальной точки своего движения.
2. Определить, какую величину удобнее принять за х.
3. Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.

Составим уравнение: .

Это уравнение имеет единственный корень х = 10. Итак, скорость велосипедиста 10 км/ч.

Задача № 395  (по учебнику «Алгебра-8», С.М.Никольский и др., 2006 г.)

Двое рабочих выполнили некоторую работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить ту же работу на 12ч быстрее второго, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий один может выполнить ту же работу?

1. Отметить, что задачи на совместную работу знакомы ученикам с 5-го класса.
2. Обратить внимание на то, что «быстрее» значит меньше времени.
3. Определить, какую величину удобнее принять за х.
4. Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.

Составим уравнение: .

Это уравнение имеет два положительных корня х = 4 и х = 24. Так как при х = 4 время работы 1-го рабочего будет равно 4 – 12 < 0, то х = 24. Итак, время работы 2-го рабочего равно 24 ч.

Задача № 465  (по учебнику «Алгебра-8», С.М.Никольский и др., 2006 г.)

Расстояние между двумя пунктами 40км. Из одного из них в другой одновременно выезжают автобус и велосипедист. Скорость автобуса 50км/ч, велосипедиста 10км/ч. Автобус доехал до населенного пункта, потратил на остановку 6мин и выехал в обратном направлении с той же скоростью. На каком расстоянии от первого населенного пункта встретятся велосипедист и автобус?

1. Обратить внимание на размерность и привести все величины в единую систему измерений; 6 мин = 1/10 ч.
2. Осмыслить условия задачи с помощью рисунка 1, приняв искомое расстояние за х км.

Рисунок 1

3. Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.

Составим уравнение: .

Это уравнение имеет единственный корень . Итак, велосипедист и автобус встретятся на расстоянии км от первого населенного пункта.

Задача № 260(1) (из экзаменационного сборника по алгебре за курс основной школы, 9 класс, Л.В.Кузнецова и др.).

На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходит круг?

1. Обратить внимание на то, что вместо привычной величины «скорость» в этой задаче на движение необходимо найти период вращения, измеряемый в мин/круг. Для этого уместно предложить ученикам устную задачу: Лыжник проходит два круга за 10мин. За сколько минут лыжник пройдет один круг? Что является делимым, а что делителем в ходе решения этой задачи?
2. Обратить внимание, что [мин] : [мин/круг] = [круг].
3. Привести все данные в единую систему измерений: 1 ч = 60 мин.
4. Определить, какую величину удобнее принять за х.
5. Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.

1) Составим уравнение: .

Это уравнение имеет два корня: х =  – 12 и х = 10. Так как по смыслу задачи х > 0, то х = 10.

2) 10 + 2 = 12 (мин). Итак, первый лыжник проходит круг за 10 мин, а второй за 12 мин.

Итоги урока:

1. Повторили табличный способ систематизации данных задачи, при необходимости дополненный рисунком.
2. Еще раз обратили внимание на то, что задача решается в единой системе измерений.
3. Отметили, что если уравнение, составленное к задаче, имеет два корня, то полученные решения требуют смысловой проверки.
4. Обратили внимание на то, что нельзя решать задачу «автоматически»; необходимо прежде всего внимательно ее прочитать, оценить в каких единицах измеряется каждая величина, данная в задаче, как эти величины связаны между собой и той величиной, которую следует найти, и только после этого, выбрав способ решения, приступить к самому решению.

Домашнее задание: Задачи №№393, 391в (Алгебра-8, С.М. Никольский и др., 2006 г.).

Комментарий: представляется целесообразным на первом уроке по данной теме рассмотреть задачи одного плана (здесь  –  на движение и работу), приводящие к достаточно простым уравнениям.

Методы решения текстовых задач | Методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему:

 Методы решения текстовых задач

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………2
2. Задачи на движение………………………………………………………..3
3. Задачи «на работу»…………………………………………………………6
4. Заключение………………………………………………………………..20

5. Список литературы………………………………………………………..20

Текстовые задачи на составление уравнений

1. Введение

Текстовые задачи являются традиционным разделом на вступительных экзаменах. Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе её условий на математический язык уравнений. Общего способа такого перевода не существует. Однако многие задачи на вступительных экзаменах, достаточно типичны.

Для начала узнаем, что такое задача:

1. Задача – это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.
2. Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, требование (вопрос) задачи.
3. Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется анализом задачи.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап: анализ;

2-й этап: схематическая запись;

3-й этап: поиск способа решения;

4-й этап: осуществление решения:

5-й этап: проверка решения;

6-й этап: исследование задачи;

7-й этап: формулировка ответа;

8-й этап: анализ решения.

Стандартная схема решения таких задач включает в себя:

1.Выбор и обозначение неизвестных.

2.Составление уравнений (возможно неравенств) с использованием неизвестных и всех условий задачи.

3.Решение полученных уравнений (неравенств).

4.Отбор решений по смыслу задачи.

Задачи на движение

В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения: S=V·t , где S- пройденное расстояние, V- скорость равномерного движения, t — время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.д.

Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения:

1. Если  расстояние  между   двумя  движущимися  навстречу друг  другу  телами  равно S, а  их  скорости  V1 и V2, то  время t  через  которое  они  встретятся , находиться  по  формуле  t= S\ V1+V2 .
2. Если  движение  вдогонку , то есть  первое тело  следует  за  вторым , то  время  t , через  которое  первое  тело  догонит  второе , находится по формуле  t=S\V1-V2 .
3. В  задачах  на  движение  по  воде  скорость  течения  считается  неизменной . При  движении  по  течению  скорость  течения  прибавляется  к  скорости  плывущего  тела , при  движении против  течения – вычитается  из  скорости  тела . Скорость  плота  считается  равной  скорости  течения.
4. Средняя  скорость  вычисляется  по  формуле  V=S\t ,  где  S- путь , пройденный  телом ,  а  t- время,  за  которое  этот путь  пройден .  Если  путь  состоит  из  нескольких  участков ,  то  следует  вычислить   всю  длину  пути  и  всё  время  движения .

Задача 1.  Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по лесной дороге, и с какой по шоссе?

Решение:

Пусть x км/ч скорость велосипедиста на лесной дороге. Тогда его скорость на шоссе будет (x+4) км/ч. За 2 часа по лесной дороге велосипедист проехал 2·x км., а за час по шоссе (x+4) км. Весь путь по условию равен 40км. Составляем уравнение:

2x+(x+4) = 40;

2x+x = 40 — 4;

3x = 36;

x = 36:3;

x=12.

Значит скорость на лесной дороге 12 км/ч, а на шоссе 12+4=16 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч ; 16 км/ч.

Задача 2.  От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 минут после выхода у лодки испортился мотор, и лодку течением реки через 3 часа принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Решение:  

Пусть x км/ч скорость течения  реки. Моторная лодка против течения реки шла со скоростью (10-x) км/ч. В пути была 45 минут.  

   часа.

Путь против течения равен    Далее лодка с испорченным двигателем плыла по течению со скоростью x км/ч  3 часа обратно к пристани. Весь этот путь равен 3∙x км. Но расстояния туда и обратно равны:

Ответ: 2 км/ч.

Задача 3.  Из двух городов, расстояние между которыми 200 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через 2 часа. Скорость легкового автомобиля 60 км/ч. Найти скорость грузовика.

Решение:

Пусть скорость грузовика равна x км/ч. Поскольку машины выехали одновременно навстречу друг другу, то скорость сближения (сумма скоростей) равна (x+60) км/ч. Каждый из них до встречи находится в пути 2 часа. 

Поэтому:

2(x+60) = 200

x+60 = 100

x = 100-60

x = 40

Скорость грузовика 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Задача 4.  Из пунктов А и В, расстояние между которыми 94км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Скорость пешехода на 16 км/ч меньше скорости велосипедиста. Найти скорость каждого, если известно, что встретились они через 4ч и пешеход сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

Пусть скорость пешехода равна х км/час, тогда скорость велосипедиста (х+16) км/ч. Отправляются навстречу друг другу одновременно. Встречаются через 4 часа. Пешеход делал в пути получасовую остановку. Значит шел до встречи 4-0,5=3,5 часа, велосипедист до встречи ехал 4 час.

Итак, путь пешехода 3,5х км, а путь велосипедиста 4(х+16) км. Сумма по условию 94. Составляем уравнение:

4(x+16)+3,5x=94;

4x+64+3,5x=94;

7,5x=30;

x=30:7,5;

x=300:75

x=4.

Скорость пешехода 4км/ч, велосипедиста 16+4=20км/час

Задачи на совместную работу

Между величинами, описывающими равномерное движение и величинами, характеризующими процесс работы, имеется полная аналогия.

Представим это так:

Вся работа – А;      Время работы – t;   Производительность  

При совместной работе нескольких объектов, выполняющих одновременно работу, их общая производительность равна сумме производительностей отдельных объектов.

Во многих задачах на работу точный характер этой работы не определен, тогда удобно принять объем всей работы за единицу и измерять части такой работы в долях от единицы.

Иногда  в  задачах  на  совместную  работу  можно  обойтись  без  решения  уравнений , используя  только  арифметический  способ .

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

 Задание B13

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время ее работы равно 20, следовательно, ее производительность равна .

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда ее производительность равна .

Тогда совместная производительность равна 

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

Решим его:

Ответ: 30

Классическая задача на совместную работу:

Задание B13

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1. Введем неизвестные:

Пусть

х – время заполнения резервуара первой трубой

y – время заполнения резервуара второй трубой

 – производительность первой трубы

 – производительность второй трубы

 – совместная производительность

2. Примем объем резервуара равным 1.

3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.

По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно, время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:

Получили систему уравнений:

,   – не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 6 мин

 Рассмотрим  примеры решения задач:

Задача 1.  Заказ по выпуску машин завод должен выполнить за 20 дней, но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал на 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?

1способ  

Проведём анализ задачи,  cоставив таблицу .  Пусть х машин выпустил завод.

Тогда

              х+54=3·180;    х+54=540;    х=540-54;   х=486

Ответ: 486 штук.

2 способ

Пусть х – количество машин в день по плану.

Тогда                                               

18∙(x+3) – 20x = 6;

18x + 54 – 20x=6;

-2x=-54+6;

-2x = -48;

x=24;

18∙(24+3)=18∙27=486.

Ответ: 486 штук.

Задача 2.   Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за 8 дней. Если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая 12 дней, то они выполнят   всей работы. За сколько дней может закончить уборку урожая каждая бригада, работая отдельно?

Решение:

Примем весь объем работы за 1. Тогда две бригады, работая вместе за один день выполнят  часть работы. Это их общая производительность.

Пусть производительность первой бригады равна х, тогда второй   . (Это часть работы, выполненная за 1 день).

За три дня, работая отдельно первая бригада сделает 3х часть работы, а вторая за 12 дней: .  Обе бригады при этом выполнят   от 1. 

Составляем уравнение:

Так как А=p·t, то            p– производительность.

Время работы первой бригады:         отдельно.

Вторая бригада, работая сама, потратит время:  

     производительность второй бригады.

Ответ: 12 дней, 24 дня.

Задача 3. Один инструктор может выполнить задание на 5 ч. быстрее другого. Оба вместе они выполняют это задание за 6ч. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

В задачах «на работу» три величины:

1) работа; 2)время; 3)производительность — работа, выполненная за единицу времени.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) = Умножим обе части на 6Х (Х + 5) ? 0, при Х ? 0 и Х ? -5, получим:

6 (Х+5) + 6Х = Х (Х+5),

6Х + 30 + 6Х = Х2 + 5Х,

Х2 — 7Х — 30 = 0;

Х1 = -3; Х2 = 10.

2) -3 и 10являются корнями уравнения =.

3) -3 не удовлетворяет условию задачи, т.к. время не может быть отрицательным, значит, первый инструктор выполнит задание за 10 ч, а горой за 15 ч.

Ответ: 10ч; 15ч.

Задача 4. Можно предложить учащимся решить самостоятельно.

Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1)  =  Умножим обе части на 12Х (Х + 10)

12Х + 120 + 12Х = Х2 + 10Х;

Х2 — 14Х — 120 =0;

Х1 = -6; Х2 = 20;

2) -6 не удовлетворяет условию задачи, значит, за 20 дней выполнит всю работу первый рабочий, а второй — за 30 дней.

Ответ: 20дней, 30 дней.

Задача 5. Предложить задачу на дом.

Две бригады, работая совместно, закончили отделку квартир в доме за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной для этого требуется на 5 дней больше чем другой?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) =;

Ответ: 10 дней, 15 дней.

Используя этот способ, можно решить задачу.

Задача 6.

Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней скорее, чем один первый комбайн, и на 4 дня скорее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Составим и решим уравнение

=; умножив на Х (Х+9) + (Х+4) ? 0, получим:

2Х2 + 13Х = Х2 + 4Х +9Х + 36,

Х2 = 36;

Х1,2 = +6;

2) — 6 не удовлетворяет условию задачи. За 6 дней соберут весь хлопок два комбайна; за 10 дней — второй комбайн и за 15 дней — первый.

Ответ: 15 и 10 дней.

Задача7.

Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9ч. больше времени, чем при пополнении через первую и вторую трубы, и на семь меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполниться бассейн через обе трубы?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Составим и решим уравнение

=;

х1,2 = +12.

x = -12 — не удовлетворяет условию задачи. За 12 часов наполнится бассейн.

Ответ: 12ч.

Задача 8.

Два слесаря получили заказ. Сначала 1ч работал первый слесарь, затем 4ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Первый слесарь, работая один, за 1 час выполнил работу , и работая совместно, выполнили работу , что по условию равно 40% всего заказа, т.е.

2,5 не удовлетворяет условию задачи, т.к. второй слесарь работал на 5 ч меньше, то есть 2,5 — 5 = — 2,5, что не выполнимо.

2) За 25 ч. может выполнить заказ первый слесарь и за 20 ч. второй слесарь.

Ответ: 25ч и 20ч.

Алгебра 9 класс. Учебник авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И Нешков, СБ. Суворова.

Задача 9. (Задачи повышенной трудности).

За сколько часов может выполнить работу каждый из трех рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч., то для окончания работы первому требовалось бы 10ч., а второму 15ч.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1)  работа, выполненная вторым и третьим рабочими.

 работа, выполненная первым и третьим рабочими.

Составим и решим систему:

2) 

Таким образом,

 — производительность первого рабочего,

 — производительность второго рабочего,

 — производительность третьего рабочего.

3) = 50ч — время первого рабочего,

= 75ч — время второго рабочего,

= 60ч — время третьего рабочего.

Ответ: 50ч; 75ч; 60ч.

Задача 10

Бассейн наполняется через первую трубу на 5ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5ч, а затем одну вторую на 7,5ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Составим и решим уравнение:

— 2,5 не удовлетворяет условию задачи.

Тогда первая труба заполняет бассейн за 10 ч и производительность первой трубы.

Вторая труба заполняет бассейн за 15 ч и ее производительность .

— совместная производительность.

Следовательно, две трубы наполняют бассейн при совместной работе за 6ч.

Ответ: 6ч.

 Решим задачу на производительность труда.

Задача11  
Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?

Решение.

Решим эту задачу путём составления системы уравнений.

Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи

Надо найти , то есть 

Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим :

Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим :

y=0,5z

Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z . В итоге получим 6.

Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.

Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений и решая их методом Гаусса. 

Задачи «на работу сложны тем», что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна. 

Задача 12

При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза., а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Решение.

Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно,  — производительность первого насоса до ремонта, а  — производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение .

 — производительность первого насоса до ремонта, а  — производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнении .

Решив оба уравнения можно составить систему:

Умножим (1) на 0,9 и вычтем из него (2).

В итоге получим y=24, x=12.

Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:

По формуле  найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: ч.

Ответ: 10 ч.

Вывод:  в большинстве случаев задачи решаются путём составления систем уравнений. В результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле (А=Pt)

Заключение

             Решение  текстовых   задач  является неотъемлемой частью  изучения  математики и выносится  на ГИА и  ЕГЭ  по математике. Нередко  с ними  приходится  сталкиваться  и  в  повседневной  жизни.  Однако,  как  показывает  практика, при решении  задач  у  учеников  часто  возникают  трудности,  связанные  с непониманием  смысла  самой  задачи . Решение  задач  развивает  логическое  и  интеллектуальное  мышление. Однако  времени  на  их  решение  в школьном  курсе математики  отводится  очень  немного. Постоянно на  уроках математики  5-11классов  необходимо решать  текстовые задачи . При  выполнении  задачи В13  ученики  допускают  очень  много  вычислительных  ошибок . Проводя апробирование по решению текстовых задач в 9-х  классах  я  вижу , что только 50% учащихся  решают  задачи В13 .

Список литературы

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. «Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений»; Москва, «Просвещение» 2010г.
2. Лахова Н. В. «Математика в школе»
3. Потапов М. К., Олехник С., Нестеренко Ю. «Математика. Методы решения задач для поступающих в вузы»; Москва, «Дрофа» 2005г.
4. Соловейчик И. «Математика»; Москва, «Первое сентября» 2009г.
5. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи»; Москва «Просвещение»  1984 г. 
6. Шестаков С. А., Гущин Д. Д.  Задачи на составление уравнений . Москва. МЦНМО 2012г.

Алгебра. 8 класс. Текстовые задачи. — Спрашивалка

358. Известно, что лодка проплывает по озеру 25 км
и 9 км против течения реки за такое же время, за ко-
торое она проплывает 56 км по течению реки. Какова
скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения
реки равна 2 км/ч?

359. Из аэропорта в южном и западном направле-
ниях одновременно вылетели два самолета. Через 2 ч
расстояние между ними было 2000 км. Какова скорость
каждого из этих самолетов, если скорость одного из са-
молетов составляет 75% скорости другого самолета?

360. Два трактора могут вспахать поле на 18 ч быст-
рее, чем один первый трактор, и на 32 ч быстрее, чем
один второй. За сколько часов каждый трактор может
вспахать все поле?

361. Две бригады должны были собрать весь уро-
жай за 12 дней. Однако после 8 дней совместной рабо-
ты первая бригада была переведена на другую работу,
и оставшуюся часть работы вторая бригада завершила
за 7 дней. За сколько дней каждая бригада в отдель-
ности собрала бы весь урожай?

362. Двум рабочим было поручено изготовить пар-
тию некоторых деталей. После того как первый рабо-
чий проработал 7 ч, а второй -4 ч, стало известно, что
выполнено 5/9 части всей работы. А после того как они
проработали вместе еще 4 ч, оставалось выполнить 1/18
часть всей работы. За сколько часов каждый рабочий в
отдельности выполнил бы всю работу?

363. Известно, что поезд проходит мимо телеграф-
ного столба за 7 с, а мимо железнодорожной платфор-
мы, длина которой равна 180 м, за 25 с. Какова ско-
рость и длина состава поезда?

364. С первого земельного участка было собрано
2880 ц урожая, а со второго участка, площадь которого
меньше на 12 га, 2160 ц. Известно, что с каждого гек-
тара первого участка было собрано на 4 ц больше, чем
с одного гектара второго участка. Найдите площадь
каждого участка.

365. ‘В сплаве алюминия и магния содержится 22 кг
алюминия. Этот сплав переплавили, добавив к нему
15 кг магния. Б новом сплаве доля магния выросла до
33%. Каков вес первоначального сплава? .

366. Катер прошел 20 км вверх по реке и 30 км вниз,
затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки,
если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч?

367. Два тела движутся по окружности в одном нa-
правлении. Одно из них совершает полный оборот на
2 с раньше второго. Известно, что они встречаются че-
рез каждые 60 с. Какую часть окружности преодолева-
ет каждое из них за 1с?

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений алгоритм и примеры

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1.2 $$

$$ t = \frac{23 \pm 37}{12} = \left[ \begin{array}{cc} t_1 = — \frac{7}{6} \lt 0 \\ t_2 = 5 \end{array} \right. $$

Выбираем положительный корень t = 5.

Первая труба наполняет бассейн за 5 часов.

Вторая труба – на 2 часа дольше, т.е. за 7 часов.

Ответ: 5 ч и 7 ч

Пример 8*. Катер проплыл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он бы проплыл против течения 70 км. Какое расстояние за это же время проплывёт плот?

Пусть v – собственная скорость катера, u — скорость течения (и плота), s — искомое расстояние, которое проплывёт плот.

Заполним таблицу:

Скорость, км/ч

Расстояние, км

Катер по течению

Катер против течения

По условию все три времени равны:

$$ \frac{90}{v+u} = \frac{70}{v-u} = \frac{s}{u} $$

Из первого уравнения:

$$ 90(v-u) = 70(v+u) \Rightarrow 90v-90u = 70v+70u \Rightarrow 20v = 160u \Rightarrow v = 8u $$

Скорость катера в 8 раз больше скорости течения.

Тогда во втором уравнении:

$$ \frac{70}{ \underbrace{v}_{\text{= 8u}} -u} = \frac{s}{u} \Rightarrow \frac{70}{7u} = \frac{s}{u} \Rightarrow s = 10 $$

Значит, плот проплывёт 10 км.

Ответ: 10 км

Разработка урока по алгебре на тему «Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений», 8 класс

Урок №51 18.01.19.

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений. 

Цели урока: 1. Закрепить знания учащихся по теме «Квадратные уравнения»; 
2.Научить решать задачи с помощью квадратных уравнений.
Задачи урока: 

Образовательные: Повторить решение полных квадратных уравнений; Познакомить с приёмом решения задач с помощью квадратных уравнений; Составит алгоритм решения задач с помощью квадратных уравнений

Развивающие: формирование навыков работы в группе, самопроверка, развитие коммуникативных навыков, уметь формировать и доносить свою мысль окружающим. 

Воспитательная: Умение работать в группах, развивать познавательную активность и логическое мышление учащихся, развития интереса к предмету. 

Тип урока: Промежуточное повторение – обобщение. 
Формы: фронтальная, индивидуальная, парная.

Методы обучения: 
а) наглядные; 
б) практический. 
Оборудование: экран, проектор, карточки с заданиями.

Ход урока

1. Организационный момент : сообщение темы и цели урока. 
2. Актуализация знаний учащихся 
а) Проверка домашнего задания. 
Что было заданно на дом ( № 551(а), № 552(а) )?. Итак, прошу по желанию на доске показать решение домашней работы.(выходят два ученика и решают у доски). 
Пока они решают у доски с оставшимися я проведу небольшую проверочную работу ваших знаний по данной теме. 
б) Небольшая работа с учащимися. 
Вопросы: 1)Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2)Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х²+х-3=0
3)Запишите, чему равны: а, в и с в уравнении –зх²+5х=0

4)Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида ах² +с = 0
5)Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?
6)В каком случае квадратное уравнение имеет два равных корня?
7) Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения?
8) Напишите формулу корней квадратного уравнения ?
9) Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?
10) Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?
11) Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
12)Алгоритм решения квадратной уравнений.

3. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. х² — 12х + 35 = 0 4. x (x + 5) = 0
2. х² — 25 = 0 5. 7y² + 6 0  

3.17x²=0 6. a² =16a (1- 3)- «3»
—————————————————————- (4-5)-«4» 6-«5»

В а р и а н т 2

1. х² — 12х + 60 = 0 4. x (x + 7) = 0
2. х² — 36 = 0 5. 3y² + 6 = 0 3.19x² = 0 6. a² = 11a  

(взаимопроверка)

1в. 2в.

1. 5;7 1. 6;1

2. -5;5 2. -6;6

3. 0 3. 0

4. 0;-5 4. 0;-7

5. Н.Р. 5. Н.Р.

6. 0;16 6. 0;11

4. Объяснение нового материала

Сегодня на уроке мы будем решать задачи с помощью квадратных уравнений. -Как бы вы определили цель сегодняшнего урока? (Научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений)

Прочитайте задачу вслух.

«Площадь земельного участка прямоугольной формы, одна из сторон которого на 3 м больше другой, равна 54 м². Найти стороны прямоугольника»

— О чём идёт речь в этой задаче? (о земельном участке).

— Какую форму он имеет (прямоугольника)

— Какая величина известна? (площадь)

-Чему она равна? (54 м²)

— Что вы можете сказать о сторонах земельного участка?

— Что необходимо найти в задаче?

Введём переменную. Выберем величину и обозначим её буквой. (Пусть х –ширина зем.участка. Тогда длина: х+3. Площадь прямоугольника – это.. (произведение длины и ширины). Составим произведение. А по условию задачи площадь равна 54 м². Раскроем в получившемся уравнении скобки и перенесём слагаемое 54 влево. Получилось : х(х+3)=54(квадратное уравнение).х²+3х-54=0

5.Физкульт. минутка

гимнастика для глаз.

А сейчас проверим как вы усвоили последовательность составления уравнения к задаче, восстановив решение в тетради. Под диктовку. Начинаем.

(Пусть х – ширина участка

Тогда х+3 длина участка

х(х+3) площадь участка

Зная, что площадь равна 54м², составим и реши уравнение) Решим это уравнение у доски с объяснением. Желающие.Назовите корни квадратного уравнения (-9 и 6)-Каким должно быть число х по смыслу задачи? Назовите число, которое соответствует этому условию. Чему равна длина участка (9). Запишите ответ.(6 и 9)

Мы решили задачу с помощью квадратного уравнения.

— Давайте попробуем составить алгоритм решения задач.

6. Первичное закрепление

С чего же нужно начинать решать задачи? 

1. Выбрать величину и обозначить буквой.

2. Составить уравнение, исходя из условия задачи.

3. Решить уравнение.

4. Сделать вывод о корнях.
5. Выполнить дополнительные действия

6. Записать ответ, соответствующий вопросу задачи.

7. Работа с учебником

№ 559 Ученик работает у доски, в это время остальные учащиеся проверяют ход решения отвечающего у доски и оценивают его ответ.

Х(х+6)=187

х²+6х-187=0

Ответ: 7;11.

7. Итог урока, рефлексия

– Какую цель вы поставили сегодня на уроке?
– Что вам позволило достигнуть эту цель? (Алгоритм нахождения
– Какие этапы алгоритма вы сегодня использовали ?

Рефлексия.

– Перед вами лежит карточка. Поставьте «+» рядом с тем высказыванием, которое для вас является истинным.

Данная тема мне понятна.

В самостоятельной работе у меня все получилось.

Я понял (а) причину своих ошибок в самостоятельной работе.

Мне было легко решать примеры в паре.

Я доволен своей работой на уроке.

Карточки ребята сдают учителю.

8. Домашнее задание

п. 23 № 1, №560 , 562. (Упражнения для повторения №576) .

Математика. Подготовка к ВПР. 8 класс. Всероссийские проверочные работы, Математика: уроки, тесты, задания.

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

1. на больше
2. в пять раз больше
3. на меньше, чем
4. меньше в раза
5. на меньше, чем
6. частное от деления на в полтора раза больше
7. квадрат суммы и равен
8. составляет процентов от
9. больше на процентов

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! 🙂

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы 🙂

Итак, правильные ответы:

1. больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
2. больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .
3. меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
5. меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
7. На всякий случай повторим терминологию:
   Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
   Разность — результат вычитания.
   Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
   Частное — результат деления чисел.
8. Мы помним, что .
9. Если принять за , то на процентов больше, то есть .

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .
2. В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на километров больше, значит, его скорость равна .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что на четыре больше, чем , то есть

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на , вторую — на .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю» или «Как раскрывать скобки» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

Разделим обе части нашего уравнения на . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле , затем корни по формуле .

В нашем уравнении , , .

Найдем дискриминант и корни:

, .

Ясно, что не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: .

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку , на путь из в велосипедист затратит время , а на обратный путь время .

На обратном пути велосипедист сделал остановку на часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из в . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на часа меньше.

Значит, на три меньше, чем . Получается уравнение:

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

Разделим обе части уравнения на .

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на , раскроем скобки и соберем все в левой части.

Находим дискриминант. Он равен .

Найдем корни уравнения:

. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Моторная лодка прошла против течения реки км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна , а скорость, с которой она движется против течения .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа больше, чем .

Условие « на два часа больше, чем » можно записать в виде:

Составляем уравнение:

и решаем его.

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю

Раскрываем скобки

Делим обе части на , чтобы упростить уравнение

Умножаем обе части уравнения на

Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: .

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна , скорость его движения против течения равна . Расстояния — и туда, и обратно — равны км.

Теперь графа «время».

Поскольку , время движения теплохода по течению равно , которое теплоход затратил на движение против течения, равно .

В пункт отправления теплоход вернулся через часов после отплытия из него. Стоянка длилась часов, следовательно, часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,

Прежде всего разделим обе части уравнения на . Оно станет проще!

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на , получаем квадратное уравнение . Поскольку скорость течения положительна, получаем: .

Ответ: .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте — час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью , а против течения со скоростью .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно часа.

Возникает вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! 🙂 Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма , равная .

Итак,

Решим это уравнение. Число в правой части представим в виде неправильной дроби: .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на и умножим на , оно станет значительно проще:

Поскольку скорость течения положительна, .

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи по математике с ответами

Представлены словесные задачи по математике для 8 класса с ответами. Также включены решения и объяснения.

Дополнительные ссылки и ссылки

Математика средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика средней школы (классы 10, 11 и 12) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачами с ответами Домашняя страница

Рабочие листы с заданиями по математике для 8-х классов

Решение математических задач может напугать восьмиклассников.Не должно. Объясните учащимся, что вы можете использовать основную алгебру и простые геометрические формулы для решения, казалось бы, неразрешимых задач. Ключ состоит в том, чтобы использовать предоставленную вам информацию, а затем изолировать переменную для алгебраических задач или знать, когда использовать формулы для геометрических задач. Напомните учащимся, что всякий раз, когда они решают задачу, что бы они ни делали с одной стороной уравнения, они должны делать с другой. Итак, если они вычтут пять из одной части уравнения, им нужно будет вычесть пять из другой.

Бесплатные распечатываемые рабочие листы, представленные ниже, дадут учащимся возможность решить задачи и заполнить свои ответы в отведенных для этого пустых местах. После того, как учащиеся завершат работу, используйте рабочие листы для быстрой формирующей оценки для всего класса математики.

Рабочий лист № 1

Деб Рассел

Распечатать PDF : Рабочий лист № 1

В этом PDF-файле ваши ученики решат такие задачи, как:

«5 хоккейных шайб и три клюшки стоят 23 доллара.5 хоккейных шайб и 1 клюшка стоят 20 долларов. Сколько стоит 1 хоккейная шайба? »

Объясните ученикам, что им нужно будет учитывать то, что они действительно знают, например, общую стоимость пяти хоккейных шайб и трех хоккейных клюшек (23 доллара США), а также общую стоимость пяти хоккейных шайб и одной клюшки (20 долларов США). Укажите студентам, что они начнут с двух уравнений, каждое из которых дает общую цену, а каждое включает пять хоккейных клюшек.

Рабочий лист № 1 Решения

Деб Рассел

Распечатать PDF : Рабочий лист №1 Решения

Чтобы решить первую проблему на листе, настройте ее следующим образом:

Пусть «P» представляет переменную для «шайбы».

Пусть «S» представляет переменную для «палки».

Итак, 5P + 3S = 23 доллара, а 5P + 1S = 20 долларов.

Затем вычтите одно уравнение из другого (поскольку вы знаете сумму в долларах):

5P + 3S — (5P + S) = 23 — 20 долларов.

Таким образом:

5P + 3S — 5P — S = 3 доллара. Вычтем 5P из каждой части уравнения, что даст: 2S = 3 доллара.Разделите каждую часть уравнения на 2, и получится, что S = 1,50 доллара.

Затем подставьте 1,50 доллара США вместо S в первом уравнении:

5P + 3 (1,50 доллара) = 23 доллара, что дает 5P + 4,50 доллара = 23 доллара. Затем вы вычитаете 4,50 доллара из каждой части уравнения, получая: 5P = 18,50 доллара.

Разделите каждую часть уравнения на 5, чтобы получить:

P = 3,70 долл. США

Обратите внимание, что ответ на первый вопрос на листе ответов неверен. Это должно быть 3,70 доллара. Остальные ответы на листе решения верны.

Рабочий лист № 2

Деб Рассел

Распечатать PDF : Рабочий лист № 2

Чтобы решить первое уравнение на рабочем листе, учащимся необходимо знать уравнение для прямоугольной призмы (V = lwh, где «V» означает объем, «l» означает длину, «w» означает ширину, а «h». равна высоте). Проблема заключается в следующем:

«На вашем заднем дворе ведутся раскопки для бассейна. Его размеры 42F x 29F x 8F. Грязь вывозят на грузовике, который вмещает 4 человека.53 кубических фута Сколько грузовиков с землей увезут? »

Рабочий лист № 2 Решения

Деб Рассел

Распечатать PDF : Рабочий лист № 2 Решения

Чтобы решить проблему, сначала рассчитайте общий объем бассейна. Используя формулу для объема прямоугольной призмы (V = lwh), вы получите:

V = 42F x 29F x 8F = 9744 кубических футов

Затем разделите 9744 на 4,53, или:

9744 кубических футов ÷ 4.53 кубических фута (на каждый грузовик) = 2151 грузовик

Вы даже можете облегчить атмосферу своего класса, воскликнув: «Вам придется потратить немало грузовиков, чтобы построить этот пул».

Обратите внимание, что ответ на листе решения этой проблемы неверен. Это должно быть 2151 кубический фут. Остальные ответы на листе решения верны.

(PDF) Алгебраическое мышление учащихся 8 класса при решении текстовых задач с помощью электронной таблицы

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ И ИЗУЧЕНИЕ АЛГЕБРЫ

Контекстное решение задач — важный тип задач, ведущих к алгебраической деятельности.

Согласно Кирану (2004) работу по алгебре можно разделить на три области:

поколенческих, трансформационных и глобальных / метауровневых видов деятельности. Деятельность поколения

соответствует построению и интерпретации алгебраических объектов.

Преобразовательные действия включают упрощение алгебраических выражений, решение

уравнений и неравенств и манипулирование выражениями. Наконец, глобальные / метауровневые действия

включают решение проблем и математическое моделирование, включая обобщение шаблона

и анализ вариаций.

Характер алгебраических рассуждений зависит от возраста и математического опыта

учащихся. Учащиеся на более продвинутом уровне, естественно, могут использовать символические

выражений и уравнений вместо чисел и операций. Но для студентов, которые

еще не выучили алгебраические обозначения, более общие способы мышления о

числах, операциях и обозначениях могут эффективно считаться алгебраическими (Kieran,

2007).Контексты, которые включают числа, функциональные отношения, закономерности и

других свойств, являются важной основой для понимания алгебраических структур

. Например, при написании символьных числовых отношений можно использовать

букв. Однако использование технологических инструментов позволяет другие представления для таких

отношений, а также новые формы исследования, которые можно рассматривать как аналог

поколенческой и трансформационной деятельности в алгебре.Таким образом, кажется уместным, что такие новые представления и математическое мышление, связанное с ними,

включены в область алгебры (Kieran, 1996). Более того, Lins & Kaput (2004)

утверждают, что алгебру можно рассматривать из арифметического поля, поскольку существует множество

свойств, структур и взаимосвязей, общих для этих двух областей.

Следовательно, арифметика и алгебра могут развиваться как единая область знаний

.В этом исследовании мы принимаем эту точку зрения, рассматривая алгебраическое мышление как

как широкий образ мышления, который не ограничивается формальными процедурами алгебры. Это

влечет за собой отделение алгебраического мышления от алгебраического символизма (Zazkis & Liljedhal,

2002).

ТАБЛИЦЫ В РАЗВИТИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

Электронная таблица поддерживает связь между различными регистрами (числовыми,

реляционными и графическими).Одна особенность, которая выделяется в этом инструменте, — это возможность

перетаскивания маркера ячейки, содержащей формулу, вдоль столбца. Это действие

создает «столбец переменной». Использование этого инструмента при решении проблем подчеркивает необходимость

идентифицировать релевантные переменные и поощряет поиск отношений

зависимости между переменными. Определение промежуточных отношений между

переменных, то есть разрыв сложных отношений зависимости в последовательных

более простых отношениях, представляет собой процесс, предоставляемый этим инструментом, с решающими последствиями в процессе решения проблем

(Carreira, 1992; Haspekian , 2005).Как отмечает

Haspekian (2005), электронная таблица также позволяет алгебраически организовать, по-видимому,

рабочих листов задач Word

Мы предлагаем серию задач со словами от новичков до более продвинутых. Ты
теперь будет находить задачи с уровнями оценок в наборах и словесные задачи, основанные на навыках
также.

Рабочий лист «Решение двухшаговых уравнений» ключ для ответов 8-й класс

Вы будете проверены на определение упрощения и двухэтапных уравнений, решение практических задач и напоминание порядка шагов. Цели викторины и рабочего листа При выполнении практических задач в этой викторине вас попросят: 8 класс. Модуль 4: Линейные уравнения. В Модуле 4 учащиеся расширяют то, что они уже знают о единичных ставках и пропорциональных отношениях, на линейные уравнения и их графики.Учащиеся понимают связь между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями в этом модуле.

Двигатель Kohler k301 на продажу Craigslist

Могу ли я водить машину, которую я только что купил без номеров, в Иллинойсе

Четверг: 3.5 Многоступенчатые уравнения (Часть 1) HW: Часть 1 (Двухступенчатые уравнения) стр. 112 # 1- 17 пятница: проверьте двухэтапное уравнение HW HW: Практический рабочий лист по одно- и двухэтапным уравнениям (заполните по спирали) _____ 4-8 ноября понедельник: конец 1-го квартала Викторина по выражениям главы 3 Мотивация решения проблем.Каждый рабочий лист по математике содержит загадку, которую ученик решает, решая все задачи на листе. Это мотивирует детей решать каждую задачу, чтобы они могли найти ответ на загадку.

Remington 700 varmint stock

Бачки-ловушки для растворителей B-клеток

Решение: (2,0) Вот как вы решаете две системы уравнений с переменными 1. Умножьте верхнее, нижнее или оба уравнения, чтобы получить одну из переменных для сокращения 2. Сложите уравнения 3.Решите для оставшейся переменной 4. Подставьте решенную переменную в одно из исходных уравнений 5. Решите для оставшейся переменной 6. Занятия в Desmos Classroom … Загрузка … …

Добавить комментарий

Последний сундук божественности

Шаги к решению двухэтапного уравнения: выполните обратную операцию сложения или вычитания. Проделайте обратную операцию умножения или деления. Проверьте свой ответ. Шаги к решению двухэтапных задач со словами: 1. Внимательно прочтите задачу. Подчеркните любую ключевую информацию.2. Напишите заявление о сдаче в аренду. 3. Напишите уравнение. 4. Решите уравнение. 5 … Уравнения и неравенства. Рабочие листы по математике для 8-х классов и ключ с ответами, Учебные пособия. Обладает следующими навыками: распознавать и генерировать эквивалентные формы для простых алгебраических выражений и решать линейные уравнения.

Детали двигателя велосипеда

Как изменить vizio tv на 4k

Решение рациональных уравнений наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.Умножение каждой стороны Это увлекательная баскетбольная игра о решении двухэтапных уравнений. Математическая игра на Хэллоуин для 8-х классов (новинка) В этой увлекательной математической игре на Хэллоуин для 8-х классов ученики переводят дроби в десятичные и десятичные в дроби. Решение систем уравнений Сыграйте в еще одну увлекательную баскетбольную игру, решая системы уравнений и зарабатывая очки. Exponents …

Xmr stak randomx загрузить

Jay z дискография рейтинг

Решение двухэтапных уравнений. При решении двухэтапных уравнений они будут иметь следующий вид: ax + b = c или ax — b = c.Решая уравнения вида ax + b = c, вы можете вычесть b из обеих частей уравнения, а затем разделить обе части на a. ax + b = c ax + b — b = c — b ax + 0 = c — b 6 октября 2020 г. · Globalpublicpolicywatch: бесплатные рабочие листы по математике, геометрия для 4-го класса. Письменные листы для 6-х классов. 10-минутные рабочие листы по математике. Веселые английские рабочие листы для 4-го класса. Рабочие листы по каллиграфии карандашом. экзамен по математике для класса 3 класс 10a таблицы уклонения рабочие листы для класса 2 — это кумон, который подходит для математических печатных образовательных игр, десятицентовые рабочие листы, решающие числовые выражения, рабочий лист, умножение математики…

Linksys ассоциированный пароль маршрутизатора не работает

Gta 5 онлайн украсть наркотики Джеральд

решить двухэтапный распределительный план собственности учебный план алгебра математика рабочие листы практика печатное обучение обучение студенты образование математика учебный план ресурсы деятельность математика два шага распределить план урока деятельность факт Информация для детей Средняя школа — Учителя бесплатно — 5-й, 6-й, 7-й, 8-й, 9-й классы — рабочий лист, 6 октября 2020 г. · Globalpublicpolicywatch: бесплатные рабочие листы по математике, геометрия для 4-го класса.Письменные листы для 6-х классов. 10-минутные рабочие листы по математике. Веселые английские рабочие листы для 4-го класса. Рабочие листы по каллиграфии карандашом. экзамен по математике для 3-го класса 10а таблицы уклонения рабочие листы для 2-го класса Кумон хорош для математических печатных образовательных игр десятицентовые рабочие листы решение числовых выражений рабочий лист математика умножение …

Png в dxf python

Clearance мебельный магазин рядом со мной

12 ноября, 12 ноября, 2016 · Скорость изменения практических задач — девять практических задач (включая график для интерпретации), за которыми следует клавиша ответа «Спасите нашу тупую планету» — [игра с линейным уравнением] Выведите правильные уравнения траектории полета, а затем нанесите точные координаты, чтобы убедиться, что ваши ракеты поразить свои цели и уничтожить метеоры-изгои, идущие встречным курсом…

Генераторы тестов и рабочих листов для учителей математики. Все рабочие листы созданы с помощью бесконечной предалгебры. Алгебра 1 Рабочие листы. Геометрия … Двухэтапные уравнения, содержащие …

Itunes загрузить старую версию для Windows 10

Многие из наших рабочих листов по алгебре содержат ключ ответа и могут быть загружены или распечатаны, что делает их отличными для домашних заданий по предварительной алгебре, классных заданий , или дополнительная математическая практика. Предварительная алгебра обычно преподается в 6, 7, 8 классах математических курсов средней школы. Общая цель предалгебры — подготовить ученика к алгебре и не только.

Tfk Рабочий лист ответов. печатные математические задачи для 4-хклассников словесные задачи 6-й год математики образец бумаги номер игры для взрослых печатные дошкольные математические рабочие листы сложение математических фактов рабочие листы 4-й класс 8 языковые рабочие листы 8-й класс языковые художественные рабочие листы pdf Калькулятор зачатия суда по отцовству

Идентификатор события 454 Управление устройствами

Устаревшие плагины Uad и новые

Взлом прошивки Hisense

East Baton Rouge Civil Sheriff

Itsallabouttheoptions review

90 -494 Servicenow Automation Equation

One.7x = 21 Чтобы решить это уравнение, ваш ребенок должен разделить обе части на 7 (21 ÷ 7 = 3). Ответ: x = 3.-11 + x = 3 Чтобы изолировать переменную, ваш ребенок должен прибавить 11 к обеим сторонам (3 + 11 = 14). Ответ: x = 14. Двухшаговые уравнения. 5x — 10 = 15 Чтобы выделить x, ваш ребенок должен сначала прибавить 10 к обеим сторонам (5x = 25).

Уравнения и неравенства. Рабочие листы по математике для 8-х классов и ключ с ответами, Учебные пособия. Обладает следующими навыками: распознавать и генерировать эквивалентные формы для простых алгебраических выражений и решать линейные уравнения.

Рабочий лист Common Core Kids 1 Ключ с ответами на домашнее задание. решение двухэтапных задач со словами. Рабочий лист Holt Hartline Winston для детей 1. Лист с двумя уравнениями в словах. решение дополнительных проблем. многоступенчатые задачи со словами Рабочие листы для 3-го класса. рабочие листы по математике, которые нужно делать в Интернете. онлайн-практический тест.

© 8 Q2o0V1P2 q eKQuitMas VSJoJfptLw MaSr aef BLrL 3C uH n 8APlOlLVrZi bgth lt XsL orke0s8ejr evteGdJ.y 1 NMKaxd 8eK 8eK 8wmi7fcdj. -Шаговые уравнения Дата _____ Период ____

3 страницы для 2 видео 3 страницы для 2 видео (ключ ответа) Правила- Введение в решение алгебраических уравнений Комментарий не работает; Надеюсь исправить это к началу 2018 года.Предполагая, что вы знакомы с концепциями, описанными в первом видео, я представляю, как решать алгебраические уравнения, которые требуют «более одного шага». Решаю еще пять уравнений.

07 chevy avalanche p0300

Отправитель пакетов FedEx платит еженедельно или раз в две недели

Код установки масляного бака maine

Смерть Генри Stickmin

Gear vr apps дата его викторина buzzfeed

Yeh jadu hai jinn ka song download pagalworld

Сколько времени занимает проверка личности до безработицы Индия

Chevy 2500hd комплект для восстановления раздаточной коробки

Золотая монета в долларах стоимостью Cooling Curve работает .

Обновление прошивки ресивера Yamaha 2020

Массовые яблоки для оленей

Argo cli windows

Ford Transit Connect универсал для продажи

Pandas кумулятивно макс.

Youtube Джоди Стоддард daniel revelations

Макрокалькулятор для эндоморфа

Таблица скорости софтбола на бейсбол

Параметры источника ssis ole db не могут быть извлечены из команды sql

Приложение Smartrow

Mt Rainier Список смертей

батареи

Root tcl a501dl

14×36 мобильный дом

Дома дочери матери на продажу в Вифлееме

Fivem cuff command

Crazy fs19 mods

Leccion 4.4 descriptionir fernan quizlet

Стоимость выполнения upanayanam

Идеи проекта Capstone по уходу за онкологическими больными

Устранение петли прокси-сервера Ps4

Realidades 1 capitulo 6b ответы стр. 207

Cisco acid base4 сильный или слабый Примеры nso restconf

Нагреватель линии Def line 3 volvo

Рабочий лист Geotour i quizlet

Аниме с непревзойденным главным героем

Обзоры решений Alight

Mini draco build

Songs in open d tuning

Во сколько начинается ориентация FedEx

Keller williams greenville sc

Dillon xl750 parts

Minecraft Speedrun timer mod

Ford 1700 диаграмма рулевой колонки

E

рулевая колонка

E

Решение Word P задачи с выражениями алгебраического деления — видео и стенограмма урока

Написание алгебраического выражения

Чтобы помочь нам ответить на вопрос, нам нужно написать алгебраическое выражение.Для этого нам нужно полностью понимать нашу проблему, что происходит и что от нас просят. Итак, внимательно прочитав задачу, мы видим, что проблема заключается в том, что Энтони разделил свою коллекцию игрушечных машинок на 6 равных групп. После того, как он разделит свои игрушечные машинки, мы увидим, что в каждой группе по 7 машин.

Алгебраическое выражение здесь: x /6 = 7. Это выражение показывает, что после разделения количества игрушечных машинок, нашей переменной, на 6 групп, у нас будет по 7 в каждой группе.

Решение

Теперь, когда у нас есть это выражение, мы можем найти ответ, решив это выражение для нашей переменной. Чтобы найти нашу переменную, нам нужно выполнить обратные операции, чтобы изолировать переменную. Нам нужно проделать эту операцию с обеими сторонами выражения.

Мы видим, что наша переменная делится на 6, поэтому нам нужно умножить обе части на 6. Операция, обратная делению, — это умножение. В результате получаем ( x /6) * 6 = 7 * 6.Это превращается в x = 42. Итак, у Энтони всего 42 игрушечных машинки.

Пример

Давайте посмотрим на другой пример.

Кристина собирается разделить свою коллекцию стикеров на 5 равных групп. Всего у нее 125 наклеек. Сколько стикеров будет в каждой группе?

Внимательно читая задачу, мы видим, что эта проблема представляет собой задачу разделения, где Кристина делит свои 125 наклеек на 5. Наше выражение 125/5 = x , где x — количество наклеек в каждой группе. .Оценка этого дает нам ответ x = 25. Итак, в каждой группе 25 стикеров.

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы узнали. Задача из слов — это математическая задача, написанная словами. Чтобы решить такие проблемы, мы внимательно читаем задачу. Как только мы поймем, что происходит, мы можем написать алгебраическое выражение для представления проблемы. Затем мы решаем это алгебраическое выражение для переменной, чтобы найти ответ.

Результаты обучения

Когда вы закончите, вы сможете:

• Вспомнить, что такое проблема со словами
• Напишите алгебраическое выражение для задачи со словом, требующей деления

Бесплатные рабочие листы для задач соотношения слов

Вы здесь: Домашняя страница → Рабочие листы → Коэффициенты

Здесь вы найдете неограниченное количество рабочих листов с простыми задачами со словами, включающими отношения, предназначенные для 6-8 классов математики.На уровне уровень 1 задачи требуют определенного соотношения (например, « Ной нарисовал 9 сердечек, 6 звезд и 12 кругов. Каково отношение кругов к сердцам? »). В уровне 2 проблемы те же, но отношения должны быть упрощены.

Уровень 3 содержит различные задачи со словами, похожие на эти:
В сумке 60 шариков, некоторые синие и некоторые зеленые. Соотношение синих шариков к зеленым составляет 1: 5. Сколько всего синих шариков?
или
Грузовик перевозит сок манго, томатный сок и бутылки сока маракуйи в соотношении 4: 4: 3.Если имеется 1020 бутылок сока маракуйи, то сколько всего бутылок для сока?

Параметры включают выбор количества проблем, объема рабочего пространства, размера шрифта, рамки вокруг каждой проблемы и т. Д. Рабочие листы могут быть созданы в виде файлов PDF или HTML.

Основные инструкции к рабочим листам

Каждый рабочий лист создается случайным образом и поэтому уникален. Ключ ответа автоматически генерируется и помещается на вторую страницу файла.

Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF — и то, и другое легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать PDF-лист ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать рабочий лист html ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.

Иногда созданный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:

• Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
• Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

Готовые табели пропорций

Генератор

Используйте генератор, чтобы создавать рабочие листы с настраиваемыми коэффициентами. Поэкспериментируйте с вариантами, чтобы увидеть, каков их эффект.

Математика для начальных классов Эдвард Заккаро

Хорошая книга по решению проблем с очень разнообразными текстовыми задачами и стратегиями решения проблем. Включает главы по следующим темам: последовательности, решение проблем, деньги, проценты, алгебраическое мышление, отрицательные числа, логика, отношения, вероятность, измерения, дроби, деление. Вопросы в каждой главе разбиты на четыре уровня: легкий, несколько сложный, сложный и очень сложный.

alexxlab

Related Articles

8 класс

Письмо по английскому языку 8 класс: помогите написать письмо по английскому языку 8 класс Письмо надо написать Бену, написать по

Содержание Личное письмо на английском языке на 10 балловЛичное письмо на английском языке1. Правила написанияЛичное письмо на английском языке. ЗаданияНаписание письма на английском языке – как писатьШаблон для написания письма на английском языкеПример личного письмаПисьмо другу на английском языке — пример английского письма другуExample of a friendly letterПример письма другуЧто такое неформальное английское письмо?Как начать […]

8 класс

Гдз задачник алгебра 8 класс мордкович 2019: ГДЗ по Алгебре для 8 класса Учебник, Задачник Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. часть 1, 2 на 5

Содержание ГДЗ по Алгебре для 8 класса Учебник, Задачник Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. часть 1, 2 на 5Продуктивная подготовка с решебникомПодробнее о плюсах решебника задачника по алгебре для 8 класса от Мордковича и его примененияГДЗ Решебник Алгебра 8 класс Задачник (Углубленный уровень) «Мнемозина» Мордкович, Звавич, Рязановский, Александрова часть 2. ГДЗ по […]

8 класс

Ответы по рабочей тетради по географии сиротин 8 класс: ГДЗ по географии 8 класс рабочая тетрадь Сиротин Дрофа ответы и решения онлайн

Содержание ГДЗ по географии 8 класс рабочая тетрадь Сиротин Дрофа ответы и решения онлайнДля кого решебник играет важную роль в процессе освоения предмета?В чем заключаются преимущества готовых заданий к рабочей тетради по географии за 8 класс Сиротина▶▷▶▷ гдз по рт география 8 класс 8 класс▶▷▶ 8 класс география рабочая тетрадь сиротин гдз решебник изложенные в […]

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт