А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 6. Контрольные вопросы, ответы
- Подробности
- Родительская категория: Математика
- Категория: Геометрия, 8 класс, контрольные вопросы, ответы
Страница 1 из 2
§6. Контрольные вопросы
Вопрос 1. Какая фигура называется четырёхугольником?
Ответ. Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.
Рис. 117
Вопрос 2. Какие вершины четырёхугольника называются соседними, какие — противолежащими?
Ответ. Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими.
Вопрос 3. Что такое диагонали четырёхугольника?
Ответ. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырёхугольника, называются диагоналями.
У четырёхугольника на рисунке 117 диагоналями являются отрезки AC и BD.
Вопрос 4. Какие стороны четырёхугольника называются соседними? Какие называются противолежащими?
Ответ. Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
У четырёхугольника на рисунке 117 противолежащими являются стороны AB и CD, BC и AD.
Вопрос 5. Как обозначается четырёхугольник?
Ответ. Четырёхугольник обозначается указанием его вершин. Например, четырёхугольник на рисунке 117 обозначается так: ABCD. В обозначении четырёхугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырёхугольник ABCD на рисунке 117 можно также обозначить BCDA или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (B и D — не соседние вершины).
Вопрос 6. Что такое параллелограмм?
Ответ. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 118).
Рис. 118
Вопрос 7. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
Ответ. Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD — данный четырёхугольник и O — точка пересечения его диагоналей (рис. 119).
Треугольники AOD и COB равны. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OD = OB и OA = OC по условию теоремы.
Рис. 119
Значит,углы OBC и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказывается параллельность прямых AB и CD с помощью равенства треугольников AOB и COD.
Так как противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, то по определению этот четырёхугольник — параллелограмм. Теорема доказана.
Вопрос 8. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ. Теорема 6.2. (обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 120). Проведём его диагональ BD. Отметим на ней середину O и на продолжении отрезка AO отложим отрезок OC1, равный AO.
Рис. 120
По теореме 6.1 четырёхугольник ABC1D есть параллелограмм. Следовательно, прямая BC1 параллельна AD. Но через точку B можно провести только одну прямую, параллельную AB. Значит, прямая BC1 совпадает с прямой BC.
Точно так же доказывается, что прямая DC1 совпадает с прямой DC.
Значит, точка C1 совпадает с точкой C. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC1D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Вопрос 9. Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Ответ. Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 122). Проведём диагонали параллелограмма. Пусть O — точка их пересечения.
Равенство противолежащих сторон AB и CD следует из равенства треугольников AOB и COD. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OA = OC и OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и COB следует равенство другой пары противолежащих сторон — AB и BC.
Рис. 122
Равенство противолежащих углов ABC и CDA следует из равенства треугольников ABC и CDA (по трём сторонам). У них AB = CD и BC = DA по доказанному, а сторона AC общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью.
Вопрос 10. Что такое прямоугольник?
Ответ. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 124).
Рис. 124
oftob.ru
Вопросы к зачёту. Геометрия 8 класс
Вопросы к зачету по геометрии /8 класс/
Дайте определения четырехугольников (параллелограмма, прямоугольника, квадрата, трапеции, ромба).
Перечислите свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата.
Назовите виды трапеций. Перечислите свойства трапеции.
Запишите формулы для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, прямоугольника, квадрата.
Сформулируйте теорему Пифагора и теорему, обратную ей.
Дайте определение подобных треугольников и сформулируйте признаки подобия треугольников.
Дайте определение средней линии треугольника и сформулируйте теоремы о средней линии треугольника и медианах треугольника.
Сформулируйте утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Сформулируйте теоремы об отношении площадей подобных треугольников, об отношении периметров подобных треугольников.
Что называется синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 300,450,600? Сформулируйте основное тригонометрическое тождество.
Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Какая прямая называется секущей по отношению к окружности.
Дайте определение касательной к окружности. Сформулируйте теорему о свойстве касательной и обратную ей. Сформулируйте теорему об отрезках касательных к окружности, проведенных из одной точки.
Какой угол называется центральным углом окружности? Какой угол называется вписанным углом окружности? Сформулируйте теорему о вписанном угле и следствия из нее. Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд.
Сформулируйте теоремы о биссектрисах треугольника, серединных перпендикулярах к сторонам треугольника, о пересечении высот треугольника.
Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности? Сформулируйте теорему об окружности, вписанной в треугольник. Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности?
Какая окружность называется описанной около многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в окружность? Сформулируйте теорему об окружности, описанной около треугольника? Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписанного в окружность?
Задачи к зачету
364, 365, №371,372, №388,№400, 401, 403, 449, 452, 461, 469, 471, 476,480, 483, 484,№489,№520,№547, 552,560,№561, 564, 572, 591, 593, 631, 638, 642, 654,665, 666, 689, 695, 705
infourok.ru
Вопросы к экзамену по геометрии за курс 8 класса
Вопросы к экзамену по геометрии за первое полугодие. 8 класс
1. Понятие выпуклого многоугольника. Формула вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. Понятие диагонали многоугольника. (с.97-99)
2. Понятие четырехугольника. Смежные и противоположные стороны четырехугольника. Сумма углов выпуклого четырехугольника. (с.99)
3. Определение параллелограмма. Изобразить параллелограмм. Свойства параллелограмма. Иллюстрация к свойствам параллелограмма. (с.100-101)
4. Признаки параллелограмма. Иллюстрация к признакам параллелограмма. (с101-102)
5. Определение трапеции. Изобразить трапецию. Назвать элементы трапеции. Определение и изображение равнобедренной и прямоугольной трапеции. (с.103)
6. Определение прямоугольника. Изображение прямоугольника. Особые свойства прямоугольника. (с.108)
7. Определение ромба и квадрата. Изображение ромба и квадрата. Особые свойства ромба и квадрата. (с.109)
8. Площадь многоугольника. Единицы измерения площади. Свойства площадей. (с.116-119)
9. Площадь прямоугольника и квадрата. Формула для нахождения площадей прямоугольника и квадрата. (с.119-121)
10. Площадь параллелограмма. Формула для нахождения площади параллелограмма. (с.122-123).
11. Площадь треугольника. Формулы для нахождения площади треугольника. Площадь прямоугольного треугольника (с.123-125).
12. Площадь трапеции. Формула для нахождения площади трапеции (с.125).
13. Теорема Пифагора. Иллюстрация. Египетский треугольник (с.128-129).
14. Теорема обратная теореме Пифагора. Формула Герона (с.129-131).
15. Подобные треугольники. Определение. Иллюстрация. Коэффициент подобия. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. (с. 138-139)
16. Первый признак подобия треугольников. Теорема и иллюстрация. (с.141)
17. Второй признак подобия треугольников. Теорема и иллюстрация. (с.142)
18. Третий признак подобия треугольников. Теорема и иллюстрация. (с. 143)
19. Средняя линия треугольника. Определение и теорема. (с.145)
20. *Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Среднее пропорциональное. (с. 146-147)
21. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Определение. Иллюстрация. Основное тригонометрическое тождество. (с. 154 – 156)
22. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. (с. 156-167)
23. Касательная к окружности — определение. Взаимное расположение прямой и окружности (3 случая). (с. 162 – 164)
24. Касательная к окружности. Теоремы о касательных. (с. 164 – 165)
25. Градусная мера дуги окружности. Центральный угол. (с.167 – 168)
26. Вписанный угол. Теорема о вписанном угле. Следствия из теоремы. Теорема о пересекающихся хордах. (с. 168-170)
27. Четыре замечательные точки треугольника. Теорема о биссектрисе угла. Иллюстрация. (с.173-174)
28. Четыре замечательные точки треугольника. Серединный перпендикуляр. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. (с.174-175)
29. Четыре замечательные точки треугольника. Теорема о высотах треугольника. Изображение высот в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольнике. (с.173)
30. Вписанная окружность. Вписанный многоугольник. Центр окружности, вписанной в треугольник. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности. В какой четырехугольник можно вписать окружность. (с.178-180)
31. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника. Какой четырехугольник можно описать окружностью. (с. 181-182)
Вопросы к экзамену по геометрии за первое полугодие. 8 класс
1. Понятие выпуклого многоугольника. Формула вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. Понятие диагонали многоугольника. (с.97-99)
2. Понятие четырехугольника. Смежные и противоположные стороны четырехугольника. Сумма углов выпуклого четырехугольника. (с.99)
3. Определение параллелограмма. Изобразить параллелограмм. Свойства параллелограмма. Иллюстрация к свойствам параллелограмма. (с.100-101)
4. Признаки параллелограмма. Иллюстрация к признакам параллелограмма. (с101-102)
5. Определение трапеции. Изобразить трапецию. Назвать элементы трапеции. Определение и изображение равнобедренной и прямоугольной трапеции. (с.103)
6. Определение прямоугольника. Изображение прямоугольника. Особые свойства прямоугольника. (с.108)
7. Определение ромба и квадрата. Изображение ромба и квадрата. Особые свойства ромба и квадрата. (с.109)
8. Площадь многоугольника. Единицы измерения площади. Свойства площадей. (с.116-119)
9. Площадь прямоугольника и квадрата. Формула для нахождения площадей прямоугольника и квадрата. (с.119-121)
10. Площадь параллелограмма. Формула для нахождения площади параллелограмма. (с.122-123).
11. Площадь треугольника. Формулы для нахождения площади треугольника. Площадь прямоугольного треугольника (с.123-125).
12. Площадь трапеции. Формула для нахождения площади трапеции (с.125).
13. Теорема Пифагора. Иллюстрация. Египетский треугольник (с.128-129).
14. Теорема обратная теореме Пифагора. Формула Герона (с.129-131).
15. Подобные треугольники. Определение. Иллюстрация. Коэффициент подобия. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. (с. 138-139)
16. Первый признак подобия треугольников. Теорема и иллюстрация. (с.141)
17. Второй признак подобия треугольников. Теорема и иллюстрация. (с.142)
18. Третий признак подобия треугольников. Теорема и иллюстрация. (с. 143)
19. Средняя линия треугольника. Определение и теорема. (с.145)
20. *Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Среднее пропорциональное. (с. 146-147)
21. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Определение. Иллюстрация. Основное тригонометрическое тождество. (с. 154 – 156)
22. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. (с. 156-167)
23. Касательная к окружности — определение. Взаимное расположение прямой и окружности (3 случая). (с. 162 – 164)
24. Касательная к окружности. Теоремы о касательных. (с. 164 – 165)
25. Градусная мера дуги окружности. Центральный угол. (с.167 – 168)
26. Вписанный угол. Теорема о вписанном угле. Следствия из теоремы. Теорема о пересекающихся хордах. (с. 168-170)
27. Четыре замечательные точки треугольника. Теорема о биссектрисе угла. Иллюстрация. (с.173-174)
28. Четыре замечательные точки треугольника. Серединный перпендикуляр. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. (с.174-175)
29. Четыре замечательные точки треугольника. Теорема о высотах треугольника. Изображение высот в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольнике. (с.173)
30. Вписанная окружность. Вписанный многоугольник. Центр окружности, вписанной в треугольник. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности. В какой четырехугольник можно вписать окружность. (с.178-180)
31. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника. Какой четырехугольник можно описать окружностью. (с. 181-182)
infourok.ru
А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 9. Контрольные вопросы, ответы
- Подробности
- Родительская категория: Математика
- Категория: Геометрия, 8 класс, контрольные вопросы, ответы
Страница 1 из 2
Вопрос 1. Какое преобразование фигуры называется движением?
Ответ. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X’ и Y’ другой фигуры так, что XY = X’Y’ (рис. 183).
Рис. 183
Вопрос 2. Докажите, что точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Ответ. Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Это значит, что если точки A,B,C, лежащие на прямой, переходят в точки A1,B1,C1,то эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1.
Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой.
Если точки A1,B1,C1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A1C1 < A1B1 + B1C1. По определению движения отсюда следует, что AC < AB + BC. Однако по свойству измерения отрезков AC = AB + BC.
Мы пришли к противоречию. Значит, точка B1 лежит на прямой A1C1. Первое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка B1 лежит между A1 и C1. Допустим, что точка A1 лежит между точками B1 и C1. Тогда A1B1 + A1C1 = B1C1, и, следовательно, AB + AC = BC. Но это противоречит равенству AB + BC = AC. Таким образом, точка A1 не может лежать между точками B1 и C1.
Аналогично доказывается, что точка C1 не может лежать между точками A1 и B1.
Так как из трёх точек A1,B1,C1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B1. Теорема доказана полностью.
Вопрос 3. Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении?
Ответ. Прямые переходят – в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки (рис. 185).
Рис. 185
Вопрос 4. Докажите, что при движении сохраняются углы.
Ответ.Докажем, что при движении сохраняются углы между полупрямыми.
Рис. 186
Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на одной прямой (рис. 186). При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A1B1 и A1C1. Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B1A1C1, что и требовалось доказать.
Вопрос 5. Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки?
Ответ. Пусть O — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости (рис. 187). Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX’, равный OX. Точка X’ называется симметричной точке X относительно точки O. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.
Рис. 187
Вопрос 6. Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки?
Ответ. Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая еë точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. При зтом фигуры F и F’ называются симметричными относително точки O (рис. 188).
Рис. 188
Вопрос 7. Какая фигура называется центрально – симметричной?
Ответ. Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии.
Вопрос 8. Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально – симметричной фигуры.
Ответ. Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии.
Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 189).
Рис. 189
Вопрос 9. Докажите, что симметрия относительно точки есть движение.
Ответ. Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.
Доказательство. Пусть X и Y — две произвольные точки фигуры F (рис. 190). Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X’ и Y’. Рассмотрим треугольники XOY и X’OY’. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX = OX’, OY = OY’ по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY = X’Y’. А это значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.
Рис. 190
Вопрос 10. Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?
Ответ. Пусть g — фиксированная прямая (рис. 191). Возьмëм произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX’, равный отрезку AX. Точка X’ называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.
Рис. 191
oftob.ru
