Функция алгебра 8 класс: Свойства квадратичной функции y = kx² — урок. Алгебра, 8 класс.

2-4, -1<x≤2. \end {cases}$

Конспект урока математики «Функция у=k/х и её график»; 8 класс — К уроку — Математика, алгебра, геометрия

Конспект урока по теме

« Функция у=k/х и её график»

Алгебра, 8 класс

Выполнил учитель

ГБОУ Школа №1360

г.Москва

Плохих Юлия Николаевна

Урок по теме: «Функция у=k/х и её график».

Цели урока:

• Познакомить учащихся с новой функцией, её графиком; научить строить графики функций, заданных этой формулой.

• Расширить знания учащихся в данной области; прививать графическую культуру, развивать навыки работы декартовой плоскостью.

Оборудование: таблица с графиками функций вида у = k/х, карточки для самостоятельной работы.

Ход урока

I.Урок начинается с повторения. Учащимся предлагается разгадать кроссворд, который заранее подготовлен на большом листе бумаги.

(Презентация 1, слайд №2)

Вопросы кроссворда

( ответы даны в квадратных скобках)

1. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. [Функция]

2. Независимая переменная. [Аргумент]

3. Множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – значения функции. [График]

4. Функция, заданная формулой у=kх+b. [ Линейная]

5. Каким коэффициентом называют число k в формуле у=kx+b? [Угловым]

6. Что служит графиком линейной функции? [Прямая]

7. Если k≠0, то график у=kx+b пересекает эту ось, а если k=0, то параллелен ей. Какой буквой эта ось обозначается? [Икс]

8. Слово в названии функции у=kx. [Пропорциональность]

9. Функция у=х². [Квадратичная]

10. Название графика квадратичной функции. [Парабола]

11. Буква латинского алфавита, которой часто обозначают функцию. [Игрек]

12. Один из способов задания функции. [Формула]

После того, как кроссворд разгадан, классу задаётся вопрос:

«Какие основные способы задания функции нам известны?»

Ответ: Формулой, с помощью графика или таблицы.

Задание одному учащемуся: Заполнить таблицу значений функции у=12/х по данным значениям её аргумента (табл.1 и табл.2).

Таблица 1

Таблица 2

Вопросы к остальным учащимся:

у=kx, y=kx+b, y=x², y=kx², y=x³, y=kx³?

у= х²+8, у=2х, у=7-5х, у=х³, у=1/(х-7), у=(4х-1)/5, у=2/х, у= -10/х.

(Замечание. В данном списке функций можно видеть и те, которые мы только собираемся изучать, т.е. функции вида у=k/х. но учащиеся уже могут ответить на поставленный вопрос, используя свои знания о дробях и часто встречавшийся ещё в начальных классах запрет: «На ноль делить нельзя».)

После фронтального разбора вопросов внимание класса привлекается к ученику, работающему у доски. Проверятся, верно ли выполнено задание.

Задание другому учащемуся: По данным в таблице координатам (х,у) построить на координатной плоскости соответствующие точки.

Ученик приступает к работе, остальные отвечают на вопросы учителя по следующим рисункам. (см. ниже)

1.На каком рисунке изображён график:

1. линейной функции;

2. прямой пропорциональности;

3. квадратичной функции;

4. функции вида y=kx³ ?

2. Какой знак имеет коэффициент k в формуле вида у=kх+b, которым соответствуют графики на рис.1, 2, 4, 5 ?

3. Найдите на рисунках графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты: а) равны; б) равны по модулю и противоположны по знаку.

(Презентация 2)

II. Учитель: Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем мире. Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами х и у и площадью 12см². Известно, что х ^. у=12. Но что будет, если начать изменять одну из сторон прямоугольника, допустим сторону длиной х ? Длину стороны у можно узнать из формулы у=12/х. Если х увеличить в 2 раза, то будем иметь у= 12/ 2х, т.е. сторона у уменьшится в 2 раза. Если значение х увеличивать в 3, 4, 5… раз, то значение у во столько же раз уменьшается. Наоборот, если х уменьшать в несколько раз, то у будет увеличиваться во столько же раз. Поэтому функцию вида у=12/х называют обратной пропорциональностью.

В общем виде она записывается так:

у=k/х, где k – константа, причём k≠0.

Такие функции встречаются очень часто. Все помнят из курса физики закон Ома: I=U/R. Он гласит, что если напряжение U постоянно, то сила тока I обратно пропорциональна сопротивлению R проводника. Сходной формулой описан закон Бойля – Мариотта для идеального газа: если его масса m постоянна, то объём V газа обратно пропорционален его температуре t : V=m/t.

Для функции у=12/х, являющейся частным видом обратной пропорциональности, мы уже записали в табл.1 и 2 ряд значений аргумента и функции и изобразили соответствующие точки на координатной плоскости.

(Презентация 3)

Как же выглядит график данной функции?

По построенным точкам трудно судить обо всём графике, ведь точки можно соединить как угодно. Давайте попробуем вместе сделать выводы о графике функции, вытекающие из рассмотрения таблицы и формулы.

Вопросы и ответы

1. Какова область определения функции у=12/х ?

— Все числа, кроме 0.

2. Положительны или отрицательны значения у, если: х < 0, х > 0 ?

— При х < 0 имеем: у < 0;

— при х > 0 имеем: у > 0.

3. Как меняется переменная у с изменением х ?

— При х > 0:

если х → 0, то у → + ∞, если х → + ∞, то у → 0.

— При х < 0:

если х → 0, то у → — ∞, если х → — ∞, то у → 0.

Выводы

1. Точка (0; 0) не принадлежит графику, т. е. он не пересекает ни оси Ох, ни оси Оу.

2. График находится в I и III координатных четвертях.

3. Плавно приближается к координатным осям как в I координатной четверти, так и в III , причём он подходит к осям как угодно близко.

Располагая этими сведениями, мы уже можем соединить точки на рисунке (Презентация 3) и увидеть график функции у=12/х целиком.

Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает ”прохожу через что-либо”. Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в IV в. до нашей эры. Термин ”гипербола” ввёл Аполлоний из г.Пергам (Малая Азия), живший в III – II вв.до н.э. Он показал, что гипербола получается, если взять произвольный круговой конус, полости которого простираются по обе стороны от вершины, и пересечь обе его полости плоскостью, параллельной прямой АА₁ (см. рис.).

Теперь отчасти понятно, почему кривая получила такое название: мы увидим её в сечении всякий раз, когда плоскость проходит через обе полости конуса.

Гипербола устремляется ввысь настолько быстро и настолько быстро падает вниз, прижимаясь соответственно то к оси ординат, то к оси абсцисс, что становится ясно, почему таким словом ”гипербола” называется стилистический приём, состоящий в образном преувеличении или преуменьшении, например: ”наметали стог выше тучи”, ”стал Иванушка ниже былинки в поле”.

Теперь рядом с графиком функции у=12/х построим график функции

у= -12/х.

(Учащиеся выполняют это задание в тетрадях, один ученик – у доски.)

Сравнивая оба графика, учащиеся замечают, что второй занимает II и IV координатные четверти, а оба графика симметричны относительно начала координат. К тому же если график функции у=12/х отобразить симметрично относительно оси Оу , то получим график функции у= -12/х.

Вопрос: Как зависит расположение графика гиперболы у=k/х от знака и от значения коэффициента k? (Демонстрируется таблица с графиками при различных значениях k )

Учащиеся убеждаются, что если k > 0, то графики располагаются в I и III координатных углах, а если k < 0, то во II и IV. Далее они видят, что чем больше k по абсолютной величине, тем выше над началом координат располагается одна ветвь и тем ниже — другая.

III. З а к р е п л е н и е изученного проходит при выполнении заданий трёх видов:

1. Заполнить таблицу значений данной функции (например, у=8/х ).

2. Выяснить вопрос о принадлежности точки, заданной своими координатами, конкретному графику (у=8/х ).

3. Найти по графику значения у , если даны значения х, и наоборот.

IV. Урок заканчивается самостоятельной работой, которая даётся в трёх вариантах различной трудности:

I вариант облегчённый;

II вариант – средней трудности;

III вариант – повышенной трудности.

Самостоятельная работа

I в а р и а н т

Постройте график обратной пропорциональности у = -6/х с помощью таблицы.

II в а р и а н т

Постройте график обратной пропорциональности у = 16/х, предварительно заполнив таблицу.

III в а р и а н т

Постройте таблицу некоторых значений функции у = 10/х и её график.

♦

Листы с построенными графиками учащиеся сдают на проверку учителю.

План-конспект урока по алгебре для 8 класса. Функция «Обратная пропорциональность»

План – конспект урока по алгебре (8 класс)

Дата проведения:

Тема урока: Функция и ее график.

Цели урока:

• Вспомнить основные понятия по теме «Функция»
• Познакомиться с функцией вида y = k/x , ее графиком и свойствами
• Выработать умение строить график обратной пропорциональности

Задачи урока:

• Развитие логического мышления
• Воспитание графической культуры
• Воспитание культуры математической речи
• Развитие навыков самоконтроля

Формы работы:

• Индивидуальная
• Фронтальная

Тип урока: урок комбинированный

Оборудование к уроку: доска, книга, мел

Ход урока:

Орг. Момент (2 – 3 минуты)

Китайская пословица гласит:

«Я слушаю, — я забываю;

Я вижу, — я запоминаю;

Я делаю, — я усваиваю.»

Сообщение темы, целей и задач урока

Постановка темы, цели урока (2-3 минуты)

Изложение нового материала (15 – 25 минут)

Определение на стр. 41 читает……….

, где х – независимая переменная, к – не равное нулю число. Х – не равно нулю.

Учитель пишет задание на доске : «Заполнить таблицу (табл. 1 и табл. 2) значений функции y= 12/x по данным значениям её аргумента».

Таблица 1.

Таблица 2.

Этот график называют гиперболой.

Закрепление изученного материала (10 — 15 минут)

№ 172

№ 173

№ 179

№ 180 (б, в)

Домашнее задание

стр. 41 – 46 , № 177, № 180 (а, г), № 178

Common Core Math 8 класс — Функции: курс стандартов — Видеоуроки онлайн

О Common Core

Эти уроки охватывают темы, рассматриваемые в математических стандартах Common Core для обучения функциям до 8-го класса. В содержании обсуждаются свойства функций и их графиков, а также их использование для моделирования количественных отношений.

Уроки

содержат краткие тесты для самооценки, которые вы можете использовать, чтобы познакомить учащихся с процессами определения и составления функций, нахождения наклона и применения пересечений линии.Видеоролики и стенограммы также содержат пошаговые инструкции по решению практических задач, которые могут оказаться полезными для учащихся, выполняющих домашние задания.

Детали коллекции

Понимание функций: CCSS.Math.Content.8.F.A.1

Стандарт: Поймите, что функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. График функции представляет собой набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода.

Учащиеся, просматривая эти уроки, могут узнать, что такое функция, и выучить ключевую терминологию, связанную с этими математическими уравнениями.Они также могут получить советы по идентификации функций, использованию обозначений функций и нанесению точек на координатную плоскость.

Сравнить свойства функций: CCSS.Math.Content.8.F.A.2

Стандарт: Сравните свойства двух функций, каждая из которых представлена ​​по-разному (алгебраически, графически, численно в таблицах или словесными описаниями). Например, если дана линейная функция, представленная таблицей значений, и линейная функция, представленная алгебраическим выражением, определите, какая функция имеет большую скорость изменения.

В этой главе учащиеся узнают, как сравнивать область определения и область значений двух функций при заданных алгебраических выражениях, упорядоченных парах на координатной плоскости или таблицах со значениями x и y.

Интерпретация линейных функций: CCSS.Math.Content.8.F.A.3

Стандарт: Интерпретируйте уравнение y = mx + b как определяющее линейную функцию, график которой представляет собой прямую линию; приведите примеры функций, которые не являются линейными. Например, функция A = s2, задающая площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейной, поскольку ее график содержит точки (1,1), (2,4) и (3,9), которые равны не по прямой.

Эти уроки могут показать учащимся, как использовать значения x и y, чтобы определить, является ли функция линейной или нелинейной, положительной или отрицательной, возрастающей или убывающей. Они также могут узнать, как найти наклон линии, используя точки на координатной плоскости, или определить наклон и точки пересечения x или y, когда задана форма уравнения наклон-пересечение.

Модель линейных отношений: CCSS.Math.Content.8.F.B.4

Стандарт: Создайте функцию для моделирования линейной зависимости между двумя величинами.Определить скорость изменения и начальное значение функции по описанию зависимости или по двум значениям (x, y), в том числе прочитать их из таблицы или из графика. Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции с точки зрения ситуации, которую она моделирует, и с точки зрения ее графика или таблицы значений.

Покажите учащимся, как составлять функции, с помощью уроков, включенных в эту главу. Студенты также узнают, как можно использовать линейное уравнение для определения начального значения и скорости изменения между двумя величинами.

Функциональные отношения: CCSS.Math.Content.8.F.B.5

Стандарт: Качественное описание функциональной связи между двумя величинами путем анализа графика (например, где функция возрастает или убывает, линейна или нелинейна). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, описанной словесно.

После того, как учащиеся научатся моделировать линейные зависимости, эту главу можно использовать для обучения их построению точек или анализу графика, демонстрирующего количественные различия между входными и выходными данными уравнения.

Интерактивные математические навыки в восьмом классе

1. Головоломка по алгебре.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Ищите подсказки и решайте задачи, пытаясь найти значение каждого из трех предметов, представленных в головоломке. Приведенные числа представляют собой сумму объектов в каждой строке или столбце. Выберите расширенный. &nbspПОДРОБНЕЕ
2. Алгебра против тараканов (без звука).
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Определите наклон линии, по которой тараканы ползут, чтобы их уничтожить. (Откройте этот ресурс с помощью Internet Explorer или Firefox. Chrome больше не открывает файлы такого типа.) &nbspПОДРОБНЕЕ
3. Алгебраические рассуждения.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Научитесь мыслить алгебраически с помощью этих умных весов.Уровни 1 и 2 содержат две шкалы. Уровень 3 сложнее и имеет три шкалы. Ваша цель состоит в том, чтобы определить вес одного или нескольких объектов. &nbspПОДРОБНЕЕ
4. Изучите семейства функций.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Узнайте, как изменение констант влияет на графики соответствующей функции. &nbspПОДРОБНЕЕ
5. Функция Machine.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Учащиеся исследуют очень простые функции, пытаясь угадать алгебраическую форму по входным и выходным данным.(Дополнительные связанные ресурсы расположены на вкладке учащегося.) &nbspПОДРОБНЕЕ
6. Машина линейных функций.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Учащиеся исследуют линейные функции, пытаясь угадать наклон и отрезок по входным и выходным данным. (Дополнительные связанные ресурсы расположены на вкладке учащегося.) &nbspПОДРОБНЕЕ
7. Математические интерактивы: шаблоны.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Мультимедийный ресурс включает в себя интерактивные математические задания, печатные задания, стратегии обучения и видеоролики, иллюстрирующие использование математики в повседневной жизни. &nbspПОДРОБНЕЕ
8. Тайные операции.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		В этом упражнении компьютер выполняет загадочную операцию, и вы должны выяснить, что это за операция. Вы даете компьютеру два числа для расчета, и он говорит вам ответ. &nbspПОДРОБНЕЕ
9. Счетчик чисел.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Перечисляет ввод и вывод в виде таблицы и не позволяет пользователю пытаться угадать правило, не имея по крайней мере двух точек данных.(Дополнительные связанные ресурсы можно найти на вкладке для учащихся.) &nbspПОДРОБНЕЕ
10. Шаблоны и функции.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Двадцать вопросов с несколькими вариантами ответов. &nbspПОДРОБНЕЕ
11. Машина с положительной линейной функцией.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Учащиеся исследуют линейные функции с положительным наклоном, пытаясь угадать наклон и произвести перехват из входных и выходных данных.(Дополнительные связанные ресурсы можно найти на вкладке для учащихся.) &nbspПОДРОБНЕЕ
12. Учитель вышибалы.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Переставьте числа и рабочие знаки, чтобы составить правильное уравнение за указанное время. Составьте как можно больше уравнений за две минуты. Если вы правы, вы ударите учителя вышибалом. Если вам удастся составить два или более уравнений, вы перейдете к более сложному раунду.&nbspПОДРОБНЕЕ
13. Измельчитель целых чисел.
Щелкните изображение, чтобы увеличить его		Аналогичен «Number Cruncher», но генерирует только функции умножения и сложения, чтобы избежать вывода отрицательных чисел. (Дополнительные связанные ресурсы доступны на вкладке учащегося.) &nbspПОДРОБНЕЕ

11 Упражнений для привлечения внимания к функциям сравнения

Краеугольным камнем математики в 8-м классе является изучение наклона и точки пересечения по оси Y.По сути, это все функции для большинства 8-го класса. Несколько лет назад я понял, что сравнение функций — это многогранный зверь. Сначала это кажется простым, просто найдите наклон обеих функций и сравните. Затем я понял, что ученики должны уметь находить наклон как минимум четырьмя разными способами. Как часть этого, они должны признать, является ли это положительным или отрицательным. Затем вы вводите y-перехват во многих его представлениях, и они должны понимать, что они не связаны друг с другом. Итак, в этом посте я собрал десять заданий, которые помогут учащимся попрактиковаться в сравнении функций несколькими способами.

Тот факт, что этот навык создает основу для многих вещей в математике 8-го класса и выше, радует меня тем, что существует несколько стандартов для его отработки. Сравнение функций находится где-то в начале нашего пути с наклоном и пересечением по оси Y. То, что я считаю абсолютно важным для студентов, изучающих эту тему, — это повторение.Существует так много микронавыков, и детям просто нужно увидеть множество ситуаций и пройти процесс мышления как можно больше раз.

Список функций сравнения

10 11:

1. Карточки с заданиями для сравнения функций
2. Сравнение лабиринтов функций (добавлено 7/2019)
3. Ползунок наклона для сравнения на графике и в уравнении
4. Игра Kahoot для сравнения функций
5. Сравните игру на выбывание на склоне
6. Графический органайзер (бесплатно)
7. Сравнительная игра на сопоставление функций
8. Завершите практику за столом
9. Игра «Сравнение функций»
10. Деятельность по сопоставлению функций
11. Y-перехват раскраска

Давайте погрузимся в

Есть много способов попрактиковаться в сравнении функций. Эти 10 идей и ресурсов можно использовать в качестве практики в классе, предварительных наборов, домашних заданий или циклического повторения. Итак, давайте рассмотрим каждое из этих занятий и то, как они могут помочь в вашем классе.

С помощью этих карточек с заданиями для сравнения функций учащиеся определяют наклон и точку пересечения по оси Y двух функций, а затем сравнивают различные характеристики. Они заполняют таблицу, чтобы получить правильный ответ. Я обнаружил, что иногда ученики не любят записывать все то, что они должны записывать (это в моем классе? Я так не думал!).Когда они не все записывают, особенно когда впервые изучают функции, они склонны делать ошибки. Мне нравится, что эти карточки с заданиями заставляют их записывать больше.

Кроме того, в этом наборе из 16 карточек с заданиями учащиеся много объясняют свои рассуждения, используя полные предложения. Моим детям иногда нравится торопиться с карточками с заданиями, но этот конкретный набор заставляет их замедляться. Кроме того, если они работают над этими карточками задач с партнерами, они много говорят о математике.Эти карточки отлично подходят для игры в SCOOT или для совместной работы учащихся над их выполнением.

Сравнение лабиринтов функций

Эти 3 функции сравнения с лабиринтами наклона и пересечения оси Y — отличный способ попрактиковаться или повторить эту концепцию. Я использую лабиринты в качестве ежедневных упражнений, чтобы закрепить их навыки, но они также отлично подходят для выполнения домашних заданий или занятий по математике.

Чтобы пройти эти лабиринты, учащимся даются различные функции в виде таблиц, уравнений и графиков, а затем они отвечают на вопросы, сравнивающие эти функции друг с другом.Это отличный способ дать учащимся необходимую им практику с небольшой изюминкой.

Ползунок наклона работает как визуальное и быстрое исследование. Это онлайн-манипулятор, в котором учащиеся могут увидеть взаимосвязь между изменением наклона и точки пересечения оси Y в уравнении и то, как это выглядит на графике. Я использую это как упреждающий набор. Во-первых, я предлагаю детям поиграть с наклоном и точкой пересечения по оси Y и попытаться увидеть закономерность. Затем я предлагаю им обсудить свои идеи с другими.Я считаю, что это помогает делать это пару раз в течение недели. Кажется, они не просто помнят его, увидев однажды. Они любят заниматься подобными делами. Кроме того, это занятие не требует дополнительной подготовки от учителя.

Первый пример: Учащиеся вводят уравнение для прямой с заданным наклоном и точкой пересечения с осью Y.

Второй пример: учащиеся корректируют только точку пересечения по оси Y в том же уравнении и отмечают изменение.

Третий пример: затем учащиеся сохраняют ту же точку пересечения по оси Y и изменяют наклон.Опять же, они отмечают, как изменилась линия на графике.

Работая с графиками различных линий и рассматривая их, учащиеся должны получить более четкое представление о том, что на самом деле представляет точка пересечения с осью Y и как выглядит наклон на графике.

Если вы раньше не играли в Kahoot со своими учениками, это интересный способ отработать навыки в игровой форме. Игра в Kahoot — это занятие для всего класса, в которое играют через компьютер. Для игры все, что вам нужно, это проектор и устройство, подключенное к Интернету, для каждого ученика.Как только все присоединяются к игре, каждый ученик отвечает на каждый вопрос, набирая очки по мере прохождения.

Эта игра — отличный способ повторить сравнение функций. Это также может быть отличной проверкой понимания. После игры вы можете загрузить отчет через Google Диск и увидеть, как справился каждый ученик. Вопросы в этой конкретной игре помогут учащимся попрактиковаться в сравнении функций с различными представлениями.

Эта игра на выбывание «Сравни склон» — это увлекательный способ подвести итоги всему классу.Он фокусируется исключительно на сравнении наклона. Это забавная игра, которую можно использовать в начале склона. Кроме того, он хорошо работает в качестве обзора в математической лаборатории или в классе специального образования для учащихся, испытывающих затруднения. Есть 16 вопросов, которые дают учащимся возможность увидеть наклон в таблицах, уравнениях, историях и уравнениях. Они должны прочитать вопросы и определить, о чем идет речь. Затем они должны сравнить наклоны.

Игры на выбывание играются через PowerPoint. Студенты выбирают символ на доске, и он раскрывает вопрос.Все учащиеся отвечают на вопрос на своей доске и показывают учителю. Вопросы оцениваются в баллах. Если вы делаете это правильно, вы получаете очки и отслеживаете их на своей доске. Некоторые персонажи на самом деле раскрывают хорошие или плохие бонусы, и это та часть, которую дети действительно любят. Они думают, что это весело, когда они теряют все свои очки! Надеюсь, вы попробуете.

Этот графический органайзер — один из моих любимых. Мы использовали его на этой неделе в моем классе.Многие дети действительно начали видеть связь между различными представлениями наклона и точки пересечения с осью Y, заполнив этот графический органайзер несколько раз. И под «несколько раз» я имею в виду, что мы выполняли его несколько раз в день в течение трех недель. Каждый раз, когда они его завершали, ученики видели множество представлений за короткий промежуток времени. Кроме того, с моей стороны потребовалось очень мало подготовки. Используя этот графический органайзер, учащиеся устанавливают связи между всеми представлениями наклона и точки пересечения по оси Y и могут видеть их все в одном месте.

Как пользоваться этим графическим органайзером:

1. Учащиеся помещают органайзер в пластиковый конверт для сухого стирания, защитную пленку для страниц или просто на бумаге.
2. Учитель рисует линию на графике и показывает ее ученикам.
3. Учащиеся копируют линию на графике.
4. Затем они определяют наклон и точку пересечения по оси Y, записывают уравнение, удельную скорость и, наконец, составляют таблицу, соответствующую этой информации.
5. Учащиеся делятся своей работой с учителем, и учитель дает им обратную связь.
6. После нескольких попыток вы можете начать с того, что просто раздадите учащимся уравнение или таблицу и отпустите их.

Мы много доделывали этот графический органайзер, работая с функциями и сравнивая функции. Детям, похоже, это очень понравилось, и это помогло им увидеть это по-другому. Одна из моих более вокальных учениц даже сказала мне, что ей это нравится, и она считает, что это «идеальное занятие» (ее слова), потому что это действительно помогло ей добиться этого. Я не собираюсь врать, это прекрасно, когда ученики наслаждаются математической практикой и переживают моменты озарения.

Вы можете скачать этот графический органайзер здесь.

Хотите получать еще больше замечательных заданий по математике прямо на ваш почтовый ящик? Присоединяйтесь к нашему клубу «Лабиринт месяца», и вы получите бесплатный эксклюзивный математический лабиринт, а также другие замечательные математические идеи и ресурсы, отправленные прямо на ваш почтовый ящик.

Щелкните здесь, чтобы присоединиться к клубу «Лабиринт месяца».

Не могу дождаться, когда увижу тебя там!

В этой игре сравнения функций используется практический подход.Студентам даются три графика, три уравнения и три таблицы. Они должны найти совпадения между девятью функциями. Затем они выстраивают их в ряд на рабочем коврике и проверяют их ответы. Что мне действительно нравится в этом упражнении, так это то, что оно усложняется. Всего имеется 5 различных подходящих ковриков, идеально подходящих для дифференциации и циклического обзора. Это занятие представляет собой забавный перерыв от занятий карандашом и бумагой. Иногда студентам просто нужно что-то более практическое.

Итак, мои дети имеют тенденцию не видеть, как таблицы соотносятся с остальными представлениями наклона.Как я уже говорил ранее, я понял, насколько важно, чтобы ученики делали много повторений. Этот рабочий лист дает учащимся больше практики. Это дает детям немного другое представление о том, что происходит между уравнениями и таблицами. Это просто старый добрый рабочий лист, который отлично подходит в качестве звонаря или практического занятия после заметок.

Эту игру с карточками-задачами на сравнение функций можно использовать по-разному. В комплекте 32 карточки, каждая из которых показывает представление функции.Для каждой функции учащиеся могут определить наклон и точку пересечения по оси Y. Также включены игровые карты. Игровые карточки дают учащимся такие задачи, как «Нарисуйте 3 карточки и определите ту, у которой наибольший наклон». Другой может сказать: «Возьмите 5 карт и разделите их на отрицательный и положительный наклон». Как только ваши ученики немного освоятся с функциями, это может значительно укрепить их понимание. Это также станет отличной математической станцией или практическим занятием.

Кроме того, вы можете использовать эти карточки с заданиями для всего класса в качестве упражнения с губкой.Вы можете держать их под рукой в ​​течение года и использовать в качестве циклического обзора. Они также хорошо работают в качестве игры для скутеров или партнерской деятельности. Как я уже говорил, вы действительно не можете достаточно практиковать этот навык. Вы определенно хотите убедиться, что студенты увидят его после того, как модуль закончится.

Это задание взято из записи в блоге Mathiness is Happiness. Это отличная идея, которую вы легко можете сделать сами. Это занятие заставляет студентов практиковаться с различным представлением функции, и это выглядит весело.Мне нравится, как она раскладывает карты каждой группы разного цвета, чтобы карты не перепутались. Это гениально. Упражнения на сопоставление хорошо подходят для учащихся, потому что им приходится смотреть на вещи по-другому. Это выглядит немного сложно, поэтому вы можете использовать его с быстрыми финишерами. Еще одна вещь, которую вы можете сделать, — это смоделировать свой мыслительный процесс при поиске совпадающих пар.

Я помню, как на днях, когда мы закончили это задание по раскрашиванию y-пересечения, как дети были взволнованы тем, как легко это было. Это может показаться странным, но иногда им нужно что-то легкое. Кроме того, это подтверждает, что не все в математике должно быть таким напряженным. Концепция нахождения y-перехвата должна казаться им легкой, и это практическое задание позволит им немного повеселиться во время практики. Кроме того, это хороший способ изолировать практику, используя только точку пересечения функции по оси y, что очень важно для учащихся, которым требуется дополнительная поддержка по математике.

Этот ресурс включает в себя 2 разные раскраски.На каждой странице есть 8 вопросов и показана точка пересечения по оси Y в таблицах, графиках и уравнениях. На каждой странице есть картинка, которую нужно раскрасить в соответствии с ответами на вопросы. Это раскрашивание дает учащимся небольшую передышку для мозга.

Попробуйте что-нибудь

Выберите занятие или два, чтобы добавить их в свой пояс с инструментами. Когда вы увеличиваете вовлеченность в свой класс, вы пожинаете плоды, когда видите, что учащиеся лучше запоминают концепцию. Возможно, вам нужно какое-то занятие, чтобы разбудить весь класс, или что-то, что даст учащимся возможность поработать с партнером.Все десять из них разбивают вещи и дают учащимся высококачественные повторения со сравнением функций. Попробуйте один и дайте нам знать, как он идет.

Родственные

Определение функции

Показать мобильное уведомление

Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-4: Определение функции

Теперь нам нужно перейти ко второй теме этой главы.Однако, прежде чем мы это сделаем, нам нужно позаботиться о быстром определении.

Определение отношения

Отношение представляет собой набор упорядоченных пар.

Это кажется странным определением, но оно понадобится нам для определения функции (что является основной темой этого раздела). Однако, прежде чем мы на самом деле дадим определение функции, давайте посмотрим, сможем ли мы понять, что такое отношение.

Вспомните пример 1 в разделе «Графика» этой главы.2}-4\). Вот упорядоченные пары, которые мы использовали.

\[\left( { — 2,5} \right)\,\,\,\,\left( { — 1,0} \right)\,\,\,\,\left( {0, — 3 } \right)\,\,\,\,\left( {1, — 4} \right)\,\,\,\,\left( {2, — 3} \right)\,\,\, \,\влево( {3,0} \вправо)\,\,\,\,\влево( {4,5} \вправо)\]

Любое из следующего является отношениями, поскольку они состоят из набора упорядоченных пар.

\[\begin{align*}& \left\{ {\left( { — 2,5} \right)\,\,\,\,\left({- 1,0} \right)\,\, \,\,\влево({2, — 3} \вправо)} \вправо\}\\ & \влево\{ {\влево({- 1,0} \вправо)\,\,\,\,\ влево( {0, — 3} \вправо)\,\,\,\,\влево( {2, — 3} \вправо)\,\,\,\,\влево( {3,0} \вправо) \,\,\,\,\влево({4,5} \вправо)} \вправо\}\\ & \влево\{ {\влево({3,0}\вправо)\,\,\,\ ,\left( {4,5} \right)} \right\}\\ & \left\{ {\left( { — 2,5} \right)\,\,\,\,\left( { — 1,0} \right)\,\,\,\,\left( {0, — 3} \right)\,\,\,\,\left( {1, — 4} \right)\,\ ,\,\,\влево( {2, — 3} \вправо)\,\,\,\,\влево( {3,0} \вправо)\,\,\,\,\влево( {4, 5} \right)} \right\}\end{align*}\]

Конечно, есть еще много отношений, которые мы могли бы сформировать из списка упорядоченных пар выше, но мы просто хотели перечислить несколько возможных отношений, чтобы привести несколько примеров.Также обратите внимание, что мы также можем получить другие упорядоченные пары из уравнения и добавить их в любое из приведенных выше отношений, если захотим.

Теперь, в этот момент вы, вероятно, спрашиваете, почему мы заботимся об отношениях, и это хороший вопрос. Некоторые отношения очень специфичны и используются почти на всех уровнях математики. Следующее определение говорит нам, какие именно отношения являются этими особыми отношениями.

Определение функции

Функция представляет собой отношение, для которого каждое значение из набора первых компонентов упорядоченной пары связано ровно с одним значением из набора вторых компонентов упорядоченной пары.

Хорошо, это полный рот. Давайте посмотрим, сможем ли мы понять, что это значит. Давайте посмотрим на следующий пример, который, надеюсь, поможет нам во всем этом разобраться.

Пример 1 Следующее отношение является функцией.
\[\left\{ {\left( { — 1,0} \right)\,\,\,\,\left( {0, — 3} \right)\,\,\,\,\left( {2, — 3} \right)\,\,\,\,\left( {3,0} \right)\,\,\,\,\left( {4,5} \right)} \right \}\]

Показать решение

Из этих упорядоченных пар мы имеем следующие наборы первых компонентов ( i. {{\mbox{nd}}}}{\mbox{ компоненты : }}\left\{ {0, — 3,0,5} \right\}\]

Для набора вторых компонентов обратите внимание, что «-3» встречается в двух упорядоченных парах, но мы указали его только один раз.

Чтобы понять, почему это отношение является функцией, просто выберите любое значение из набора первых компонентов. Теперь вернитесь к отношению и найдите все упорядоченные пары, в которых это число является первым компонентом, и перечислите все вторые компоненты из этих упорядоченных пар.Список вторых компонентов будет состоять ровно из одного значения.

Например, выберем 2 из набора первых компонентов. Из соотношения видно, что существует ровно одна упорядоченная пара с 2 в качестве первого компонента, \(\left( {2, — 3} \right)\). Следовательно, список вторых компонентов (, т.е. список значений из набора вторых компонентов), связанный с 2, представляет собой ровно одно число, -3.

Обратите внимание, что нас не волнует, что -3 является вторым компонентом второй упорядоченной номинальной стоимости в отношении. Это вполне приемлемо. Мы просто не хотим, чтобы было больше одной упорядоченной пары с 2 в качестве первого компонента.

Мы рассмотрели одно значение из набора первых компонентов для нашего быстрого примера, но результат будет таким же для всех других вариантов. Независимо от выбора первых компонентов, с ним будет связан ровно один второй компонент.

Следовательно, это отношение является функцией.

Чтобы действительно понять, что говорит нам определение функции, нам, вероятно, следует также проверить пример отношения, которое не является функцией.

Пример 2 Следующее отношение не является функцией.

\[\ влево\{ {\ влево( {6,10} \вправо)\,\,\,\,\влево( { — 7,3} \вправо)\,\,\,\,\влево( { 0,4} \right)\,\,\,\,\left( {6, — 4} \right)} \right\}\]

Показать решение

Не беспокойтесь о том, откуда взялась эта связь. Это всего лишь один, который мы составили для этого примера. {{\mbox{st}}}}{\mbox{ компоненты : }}\left\{ {6, — 7,0} \right\}\hspace{0.{{\mbox{nd}}}}{\mbox{ компоненты: }}\left\{ {10,3,4, — 4} \right\}\]

Из набора первых компонентов выберем 6. Теперь, если мы подойдем к отношению, мы увидим, что есть две упорядоченные пары с 6 в качестве первого компонента: \(\left( {6,10} \right)\ ) и \(\left( {6, — 4} \right)\). Тогда список вторых компонентов, связанных с числом 6, будет следующим: 10, -4.

Список вторых компонентов, связанных с 6, имеет два значения, поэтому это отношение не является функцией.

Обратите внимание на тот факт, что если бы мы выбрали -7 или 0 из набора первых компонентов, то в списке вторых компонентов, связанных с каждым, будет только одно число. Это не имеет значения. Тот факт, что мы нашли хотя бы одно значение в наборе первых компонент с более чем одним вторым компонентом, связанным с ним, достаточен, чтобы сказать, что это отношение не является функцией.

В качестве заключительного комментария к этому примеру отметим, что если бы мы удалили первую и/или четвертую упорядоченную пару из отношения, у нас была бы функция!

Надеюсь, у вас есть хотя бы представление о том, что говорит нам определение функции.

Теперь, когда мы заставили вас пройтись по фактическому определению функции, давайте дадим еще одно «рабочее» определение функции, которое будет гораздо полезнее для того, что мы здесь делаем.

Фактическое определение работает с отношением. Однако, как мы видели, с четырьмя отношениями, которые мы дали до определения функции, и соотношением, которое мы использовали в примере 1, мы часто получаем отношения из некоторого уравнения.

Важно отметить, что не все отношения вытекают из уравнений! Отношение из второго примера, например, было просто набором упорядоченных пар, которые мы записали для примера, а не из какого-либо уравнения. Это также может быть верно для отношений, которые являются функциями. Они не должны исходить из уравнений.

Тем не менее, все функции, которые мы будем использовать в этом курсе, основаны на уравнениях. Поэтому запишем определение функции, признающее этот факт.

Прежде чем мы дадим «рабочее» определение функции, мы должны отметить, что это НЕ фактическое определение функции, данное выше. Это просто хорошее «рабочее определение» функции, которое связывает вещи с типами функций, с которыми мы будем работать в этом курсе.

«Рабочее определение» функции

Функция — это уравнение, для которого любой \(x\), который можно подставить в уравнение, даст ровно один \(y\) из уравнения.

Вот оно. Это определение функций, которое мы собираемся использовать, и, вероятно, будет легче расшифровать, что оно означает.

Прежде чем мы рассмотрим это, еще немного отметим, что мы использовали фразу «\(x\), которую можно подключить» в определении. Это, как правило, означает, что не все \(x\) можно подставить в уравнение, и это на самом деле правильно. Мы вернемся и обсудим это более подробно ближе к концу этого раздела, однако в этот момент просто помните, что мы не можем делить на ноль, и если мы хотим исключить из уравнения действительные числа, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательное число. Итак, из этих двух примеров ясно, что мы не всегда сможем подставить каждое \(x\) в какое-либо уравнение.

Далее, когда мы имеем дело с функциями, мы всегда будем предполагать, что и \(x\), и \(y\) будут действительными числами.Другими словами, мы ненадолго забудем, что знаем что-то о комплексных числах, пока занимаемся этим разделом.

Хорошо, с этим покончено, давайте вернемся к определению функции и рассмотрим несколько примеров уравнений, являющихся функциями, и уравнений, не являющихся функциями.

Пример 3 Определите, какие из следующих уравнений являются функциями, а какие нет. 2} = 4\)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

«Рабочее» определение функции гласит, что если мы возьмем все возможные значения \(x\), подставим их в уравнение и найдем \(y\), мы получим ровно одно значение для каждого значения \( Икс\).На этом этапе игры может быть довольно сложно показать, что уравнение является функцией, поэтому мы в основном будем обсуждать его. С другой стороны, часто довольно легко показать, что уравнение не является функцией.

a \(y = 5x + 1\) Показать решение

Итак, нам нужно показать, что независимо от того, какой \(x\) мы подставляем в уравнение и решим для \(y\), мы получим только одно значение \(y\). Также обратите внимание, что значение \(y\), вероятно, будет различным для каждого значения \(x\), хотя это и не обязательно.

Давайте начнем с подстановки некоторых значений \(x\) и посмотрим, что произойдет.

\[\begin{align*}x & = — 4:\hspace{0. 25in} & y & = 5\left( { — 4} \right) + 1 = — 20 + 1 = — 19\\ x & = 0:\hspace{0.25in} & y & = 5\left( 0 \right) + 1 = 0 + 1 = 1\\ x & = 10:\hspace{0.25in} & y & = 5\left( { 10} \right) + 1 = 50 + 1 = 51\end{align*}\]

Итак, для каждого из этих значений \(x\) мы получили одно значение \(y\) из уравнения.Этого недостаточно, чтобы утверждать, что это функция. Чтобы официально доказать, что это функция, нам нужно показать, что она будет работать независимо от того, какое значение \(x\) мы подставим в уравнение.

Конечно, мы не можем подставить все возможные значения \(x\) в уравнение. Это просто физически невозможно. Однако давайте вернемся и посмотрим на те, которые мы подключили. Для каждого \(x\) при подключении мы сначала умножили \(x\) на 5, а затем добавили к нему 1.2} + 1 = 9 + 1 = 10\end{выравнивание*}\]

Теперь давайте немного подумаем о том, что мы делали с оценками. Во-первых, мы возвели в квадрат значение \(x\), которое мы подставили. Когда мы возводим число в квадрат, будет только одно возможное значение. Затем мы добавляем к этому 1, но опять же, это даст одно значение.

Похоже, это уравнение тоже является функцией.

Обратите внимание, что можно получить одно и то же значение \(y\) для разных \(x\).2} & = 10 + 1 = 11\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}y = \pm \sqrt {11} \end{align*}\]

Теперь помните, что мы вычисляем \(y\), так что это означает, что в первом и последнем случаях мы фактически получим два разных значения \(y\) из \(x\), так что это уравнение НЕ является функцией.

Обратите внимание, что у нас могут быть значения \(x\), которые дадут один \(y\), как мы видели выше, но это не имеет значения. Если хотя бы одно значение \(x\) дает более одного значения \(y\) при решении уравнения, оно не будет функцией.2} = 4\) Показать решение

В этом случае мы воспользуемся уроком, полученным в предыдущей части, и посмотрим, сможем ли мы найти значение \(x\), которое даст более одного значения \(y\) при решении. 2} = 4\hspace{0.2} = 4\hspace{0,25 дюйма} \стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма} y = \pm \,2\]

Итак, это уравнение не является функцией. Напомним, что из предыдущего раздела это уравнение окружности. Круги никогда не являются функциями.

Надеемся, что эти примеры помогли вам лучше понять, что такое функция на самом деле.

Теперь нам нужно перейти к так называемой нотации функций . Обозначения функций будут активно использоваться в большинстве оставшихся глав этого курса, поэтому важно понимать их.2} — 5х + 3\]

Буква, которую мы используем, не имеет значения. Что важно, так это часть «\(\left( x \right)\)». Буква в скобках должна соответствовать переменной, используемой справа от знака равенства.

Очень важно отметить, что \(f\left( x \right)\) на самом деле не что иное, как действительно причудливый способ записи \(y\). Если вы помните об этом, вы можете обнаружить, что работа с обозначениями функций становится немного проще.

Кроме того, это НЕ умножение \(f\) на \(x\)! Это одна из наиболее распространенных ошибок, которую люди совершают, когда впервые имеют дело с функциями.2} — 5х + 3\]

и спросите, каково его значение для \(x = 4\). В терминах обозначения функций мы будем «спрашивать» об этом, используя обозначение \(f\left( 4 \right)\). Таким образом, когда в скобках есть что-то отличное от переменной, мы действительно спрашиваем, каково значение функции для этой конкретной величины.

Теперь, когда мы говорим значение функции, мы на самом деле спрашиваем, каково значение уравнения для этого конкретного значения \(x\). Вот \(f\left( 4 \right)\).2} — 5} \справа)\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(f\left( 3 \right)\) и \(g\left( 3 \right)\) Показать решение

Хорошо, у нас есть две оценки функций, и у нас также есть две функции, поэтому нам нужно решить, какую функцию использовать для оценок. Здесь важно обратить внимание на букву, которая стоит перед скобкой. Для \(f\left( 3 \right)\) мы будем использовать функцию \(f\left( x \right)\), а для \(g\left( 3 \right)\) мы будем использовать \(g \влево( х \вправо)\).2} — 2\влево( { — 10} \вправо) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128\]

Убедитесь, что вы правильно обращаетесь с отрицательными знаками. Теперь второй.

\[g\left( { — 10} \right) = \ sqrt { — 10 + 6} = \ sqrt { — 4} \]

Теперь мы достигли разницы. Вспомните, когда мы впервые начали говорить об определении функций, мы заявили, что будем иметь дело только с действительными числами. Другими словами, мы подставляем только действительные числа и хотим, чтобы в качестве ответов возвращались только действительные числа.2} — 2\влево( 0 \вправо) + 8 = 8\]

Опять же, не забывайте, что это не умножение! По какой-то причине ученикам нравится думать об этом как об умножении и получать нулевой ответ. Будь осторожен.

d \(f\left( t \right)\) Показать решение

Остальные оценки теперь будут немного другими. Как показано на этом примере, нам не нужно просто указывать числа в скобках. Однако оценка работает точно так же. Мы подставляем в \(x\) справа от знака равенства то, что находится в скобках.2} — 2т + 8\]

Обратите внимание, что в данном случае это почти то же самое, что и наша исходная функция, за исключением того, что на этот раз мы используем \(t\) в качестве переменной.

e \(f\left( {t + 1} \right)\) и \(f\left( {x + 1} \right)\) Показать решение

Теперь давайте немного усложним, или, по крайней мере, они кажутся более сложными. Однако все не так плохо, как может показаться. Сначала мы оценим \(f\left({t + 1} \right)\). Работает точно так же, как и предыдущая часть.2} + 1} \end{выравнивание*}\]

Оценка функции — это то, чем мы будем много заниматься в следующих разделах и главах, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать. Вы обнаружите, что некоторые последующие разделы очень трудны для понимания и/или выполнения работы, если вы плохо понимаете, как работает вычисление функций.

Раз уж мы заговорили о вычислении функций, теперь следует поговорить о кусочных функциях . На самом деле мы уже видели пример кусочной функции, даже если мы не называли ее функцией (или кусочной функцией) в то время.Вспомним математическое определение абсолютной величины.

\[\слева| х \ справа | = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{{\mbox{if}}x \ge 0}\\{ — x}&{{\mbox{if}}x

Это функция, и если мы используем обозначение функции, мы можем записать ее следующим образом:

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{{\mbox{if}}x\ge 0}\\{ — x} &{{\mbox{if}}x

Это также пример кусочной функции. Кусочная функция — это не что иное, как функция, которая разбита на части, и какую часть вы используете, зависит от значения \(x\).2} + 4}&{{\mbox{if}}t \le — 4}\\{10}&{{\mbox{if}} — 4 15}\end{массив}} \right.\]

оцените каждое из следующих действий.

1. \(г\влево( { — 6} \вправо)\)
2. \(г\влево( { — 4} \вправо)\)
3. \(г\влево( 1 \вправо)\)
4. \(г\влево( {15} \вправо)\)
5. \(г\влево( {21} \вправо)\)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Прежде чем приступить к вычислениям, давайте заметим, что мы используем другие буквы для функции и переменной, чем те, которые мы использовали до этого момента. Это не изменит того, как работает оценка. Не зацикливайтесь на том, чтобы видеть \(f\) для функции и \(x\) для переменной, чтобы вы не могли решить задачу, в которой нет этих букв.

Теперь, чтобы выполнить каждую из этих оценок, первое, что нам нужно сделать, это определить, какому неравенству удовлетворяет число, а оно будет удовлетворять только одному неравенству. Когда мы определяем, какому неравенству удовлетворяет число, мы используем уравнение, связанное с этим неравенством.2} + 4 = 52\]

c \(g\left( 1 \right)\) Показать решение

В этом случае число 1 удовлетворяет среднему неравенству, поэтому мы будем использовать среднее уравнение для оценки. Эта оценка часто вызывает проблемы у студентов, несмотря на то, что на самом деле это одна из самых простых оценок, которые мы когда-либо делали. Мы знаем, что мы оцениваем функции/уравнения, подставляя число для переменной. В этом случае переменных нет. Это не проблема. Поскольку никаких переменных нет, это просто означает, что мы на самом деле ничего не подключаем, и мы получаем следующее:

\[г\влево( 1 \вправо) = 10\]

d \(g\left( {15} \right)\) Показать решение

Опять же, как и во второй части, с этой нужно быть немного осторожнее. В этом случае число удовлетворяет среднему неравенству, так как это число со знаком равенства. Затем, как и в предыдущей части, мы просто получаем

.

\[г\влево( {15} \вправо) = 10\]

Не радуйтесь тому факту, что две предыдущие оценки были одинаковыми. Это будет происходить при случае.

e \(g\left( {21} \right)\) Показать решение

Для окончательной оценки в этом примере число удовлетворяет нижнему неравенству, поэтому мы будем использовать нижнее уравнение для оценки.

\[г\влево( {21} \вправо) = 1 — 6\влево({21} \вправо) = — 125\]

Кусочные функции не так часто возникают на уроках алгебры, однако они возникают в нескольких местах на более поздних занятиях, поэтому вам важно понимать их, если вы собираетесь перейти к другим математическим занятиям.

В качестве последней темы нам нужно вернуться и коснуться того факта, что мы не всегда можем подставлять каждый \(x\) в каждую функцию. Мы кратко говорили об этом, когда давали определение функции, и видели пример этого, когда оценивали функции.Теперь нам нужно рассмотреть это немного подробнее.

Во-первых, нам нужно убрать пару определений.

Домен и диапазон

домен уравнения — это набор всех \(x\), которые мы можем подставить в уравнение и получить действительное число для \(y\). Диапазон уравнения — это набор всех \(y\), которые мы когда-либо можем получить из уравнения.

Обратите внимание, что мы действительно хотели использовать уравнение в приведенных выше определениях вместо функций.Это действительно определения для уравнений. Однако, поскольку функции также являются уравнениями, мы можем использовать определения и для функций.

Определение диапазона уравнения/функции может быть довольно сложным для многих функций, поэтому мы не будем вдаваться в подробности. Нас гораздо больше интересует здесь определение областей определения функций. Из определения домен — это набор всех \(x\), которые мы можем подставить в функцию и получить обратно действительное число. На данный момент это означает, что нам нужно избегать деления на ноль и извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.2} + 3x — 10 = \left( {x + 5} \right)\left( {x — 2} \right) = 0\hspace{0.25in}x = — 5,\,\,x = 2\ ]

Итак, мы получим деление на ноль, если подставим \(x = — 5\) или \(x = 2\). Это означает, что нам нужно избегать этих двух чисел. Однако все остальные значения \(x\) будут работать, так как они не дают деления на ноль. Тогда домен

\[{\mbox{Домен: все действительные числа, кроме}}x = — 5{\mbox{и}}x = 2\]

b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 — 3x} \) Показать решение

В этом случае у нас не будет проблем с делением на ноль, так как у нас нет дробей.У нас есть квадратный корень в задаче, поэтому нам нужно побеспокоиться о том, чтобы извлечь квадратный корень из отрицательных чисел.

Эта часть будет работать немного иначе, чем предыдущая. В этой части мы определили значения \(x\), которых следует избегать. В этом случае так же просто будет напрямую получить домен. Чтобы избежать квадратных корней из отрицательных чисел, все, что нам нужно сделать, это потребовать, чтобы

\[5 — 3x \ge 0\]

Это довольно простое линейное неравенство, которое мы должны решить на данный момент.2} + 4}}\) Показать решение

В этом случае у нас есть дробь, но обратите внимание, что знаменатель никогда не будет равен нулю для любого действительного числа, поскольку x ² гарантированно будет положительным или равным нулю, и добавление 4 к этому будет означать, что знаменатель всегда не менее 4. Другими словами, знаменатель никогда не будет равен нулю. Итак, все, что нам нужно сделать, это побеспокоиться о квадратном корне в числителе.

Для этого нам потребуется,

\[\begin{align*}7x + 8 & \ge 0\\ 7x & \ge — 8\\ x & \ge — \frac{8}{7}\end{align*}\]

Теперь мы можем подставить любое значение \(x\) в знаменатель, однако, поскольку у нас есть квадратный корень в числителе, мы должны убедиться, что все \(x\) удовлетворяют неравенство выше, чтобы избежать проблем. 2} — 16}}\) Показать решение

В этой заключительной части нам нужно побеспокоиться и о квадратном корне, и о делении на ноль. Давайте сначала позаботимся о квадратном корне, так как это, вероятно, наложит наибольшее ограничение на значения \(x\). Таким образом, чтобы получить квадратный корень (, т. е. без квадратного корня из отрицательных чисел), нам потребуется это,

.

\[\begin{align*}10x — 5 & \ge 0\\ 10x & \ge 5\\ x & \ge \frac{1}{2}\end{align*}\]

Так что, по крайней мере, нам нужно потребовать \(x \ge \frac{1}{2}\), чтобы избежать проблем с квадратным корнем.2} — 16 = \left( {x — 4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\hspace{0.25in} \Стрелка вправо \hspace{0.25in} x = — 4,\, \,х = 4\]

Теперь обратите внимание, что \(x = — 4\) не удовлетворяет неравенству, которое нам нужно для квадратного корня, и поэтому значение \(x\) уже исключено квадратным корнем. С другой стороны, \(x = 4\) удовлетворяет неравенству.