7 класс

7 класс алгебра правило: Алгебра (математика) 7 класс

Содержание

Урок 29. разность квадратов – Алгебра – 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 29

Разность квадратов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  1. Формулы сокращённого умножения.
  2. Разность квадратов.
  3. Разложение многочлена на множители.
  4. Тождественные преобразования.
  5. Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Применение:

• упрощение умножения многочленов;

• разложение многочлена на множители;

• вычисление значения числового выражения;

• тождественные преобразования.

Основная литература:

  1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
  2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
  3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы знаете формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Сегодня мы рассмотрим ещё одну формулу и покажем её справедливость, применив это правило.

Рассмотрим произведение:

Формула разности квадратов.

Получено равенство, которое называют формулой разности квадратов.

Формулу разности квадратов используют:

• для упрощения умножения многочленов;

• для разложения многочлена на множители;

• для упрощения вычислений.

На рисунке выделена красным контуром, состоит из желтого и зеленого прямоугольников.

Площади составлены из одинаковых прямоугольников, значит, они равны.

Тождество.

Для преобразования выражений используют тождество:

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Задача 2.

Примеры:

Задача 3.

Вычисление значений числовых выражений.

В первом случае вы, вероятно, находили квадрат числа умножением в столбик, во втором случае устно.

Ответ: 200.

Линейные уравнения 7 класс | Алгебра

Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида

   

где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

   

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки  не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

   

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: -9.

   

Раскрываем скобки:

   

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

   

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых  с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

   

Раскрываем скобки:

   

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

   

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

   

   

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

   

Раскрываем скобки:

   

Приводим подобные слагаемые:

   

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Ответ:

   

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

 
  1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

  2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

  3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

  4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.

  5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.

  6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

  7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a

2 – b2 = (a – b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a – b) * (a + b) = a2 – b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 – b2 ≠ (a – b)2.

Докажем, что a2 – b2 = (a – b) * (a + b).

Поехали:

  1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

    + a * b – a * b = 0

    a2 – b2 = a2 – b2 + ab – ab

  1. Сгруппируем иначе: a2 – b2 + a * b – a * b = a2 – a * b + a * b – b2

  2. Продолжим группировать: a2 – a * b – b2 +a * b = (a2 – a * b) + (a * b – b
    2
    )

  3. Вынесем общие множители за скобки:

    (a2 – a * b) + (a * b – b2) = a *(a – b) + b *(a – b)

  1. Вынесем за скобки (a – b). a * (a – b) + b * (a – b) = (a – b) * (a + b)

  2. Результат доказательства: a2 – b2 = (a – b) * (a + b)

  3. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a – b) * (a + b) = a2 – b2, нужно раскрыть скобки: (a – b) * (a + b) = a * a + a * b – b * a – b * b = a2 – b2.

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

 

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2

* a3 + 2 * a2 * a4 + … + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+ 2 * an-1 * an

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 + … + a * bn-2 + bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2*·m+1

= (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)2 = 552 + 2 * 55 * 10 + 102 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 + 4 * с * 2 + 22) = (4 * с – 2)(16 * с2

+ 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y – x) * (7 * y + x).

Как решаем:

  1. Произведем умножение: (7 * y – x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x – x * 7 * y – x * x = 49 * y2 + 7 * y * x – 7 * y * x – x2 = 49 * y2 – x2.
  2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y – x) * (7 * y + x) = (7 * y)2 – x2 = 49 * y2 – x2.

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂



Дополнительные главы алгебры. 7 класс: О курсе

Курс ориентирован на слушателей, владеющих школьной программой по математике 7 класса. Курс посвящен базовым темам алгебры и теории чисел. В рамках курса слушатели узнают, когда и зачем нужно вводить в задачах буквы, как грамотно работать с неравенствами, какие свойства есть у целых чисел и что формулы сокращенного умножения — это не только нудное раскрытие скобок. Знания, полученные на курсе, помогут не только на уроках математики в школе, но и позволят успешнее выступать на олимпиадах.

Курс состоит из 13 обязательных учебных модулей, 54 видеолекций с конспектами, 288 обязательных упражнений и факультативных задач для самостоятельного решения.

Учебные модули

– Зачем нужны буквы
– Доли и проценты
– Четность
– Простые и составные числа
– Десятичная запись числа
– Признаки делимости
– Основная теорема арифметики
– НОД и НОК
– Делимость и деление с остатком
– Диофантовы уравнения
– Сравнения по модулю
– Формулы сокращенного умножения
– Основные свойства неравенств

Внутри каждого модуля есть:

– видео с кратким конспектом, где обсуждается теория и разбираются примеры решения задач,
– упражнения с автоматической проверкой, позволяющие понять, как усвоена теория,
– задачи для самостоятельного решения, которые не учитываются в прогрессе и не идут в зачет по модулю, но позволяют качественно повысить свой уровень. 

Каждый ученик самостоятельно определяет для себя темп и удобное время учебы. Часть модулей открыта сразу, следующие модули открываются после того, как получен зачет по предыдущим. В каждом разделе есть ответы на популярные вопросы, где можно уточнить свое понимание теории или условия задачи, но нельзя получить подсказки по решению.

По итогам обучения выдается электронный сертификат. Для его получения необходим зачет по всем учебным модулям, кроме лекционных. Условие получения зачета по модулю — успешное выполнение не менее 70% упражнений. Сертификаты могут учитываться при отборе на очные программы по направлению «Наука». 

Если ученик не успеет получить зачет по отдельным модулям, то он не сможет получить сертификат, но сможет возобновить обучение, когда курс стартует в следующий раз. При этом выполнять пройденные модули заново не потребуется (но может быть предложено, если соответствующие учебные материалы обновятся).

Интерактивный тренажёр “Правила и упражнения по алгебре” для 7 класса

Описание “Правила и упражнения по алгебре” – интерактивный тренажёр, позволяющий проверить уровень знаний ребенка, повторить с ним все темы по алгебре, изучаемые в 7 классе, и потренироваться в решении всех типов встречающихся задач и примеров.

Тренажёр имеет два режима работы
Режим обучения. Предназначен для использования учеником во время учебного процесса. Он выбирает тему, а тренажер генерирует задание. Каждое последующее задание по теме отличается от предыдущего параметрами, условием и формулировкой вопроса.
Режим контроля. В этом режиме формируется группа из нескольких заданий, решение которых позволяет объективно оценить знания ученика по выбранной теме (оценка выставляется компьютером). Режим особенно удобен для мотивации активности ученика при наличии дополнительных побуждающих факторов.
Наличие плакатов по каждой изучаемой теме и возможность изменения размеров рабочего поля позволяет применять пособие как на обычном компьютере при индивидуальном обучении, так и в классе при использовании электронной интерактивной доски.

Скачать демоверсию

Скачать бесплатную демоверсию интер­активного тренажёра для 7 класса “Правила и упражнения по алгебре”
Объем программы – 7,2 Мб.
Демоверсия расположена на ресурсе Яндекс. Диск.
Проверено антивирусной программой.
Примечание: если у вас демонстрационная версия программы не запускается, попробуйте отключить антивирусную программу и скачать программу ещё раз.

Технические характеристики

Язык интерфейса программы – русский.
Операционная система – Windows 2000/XP/Vista/7/8/10.
Примечание: приложение НЕ работает на платформах Linux, Mac и Android.

Оплата и доставка

– Методы оплаты
Вы можете выбрать наиболее удобный для Вас способ оплаты. Интернет-магазин “Интеграл” предлагает Вам следующие варианты оплаты:
  • Банковские карты.
  • Интернет-банкинг – онлайн платежи.
  • Терминалы оплаты.
  • Банковские переводы.
  • Электронные деньги.
Более подробнее о методах оплаты.
– Доставка
Электронная доставка бесплатная. Электронный ключ или ключ активации высылается на e-mail заказчика после оплаты. При необходимости также высылается ссылка на скачивание.
На текущий момент мы не пересылаем покупателям коробочные версии или программы, записанные на CD или DVD носителях.
По всем вопросам обращайтесь на наш контактный e-mail: [email protected].

Отзывы покупателей о программе

1. Что сказать о программе? Весь материал соответствует ФГОС. Подача материала нормальная, всё разложено, как по полочкам. Навигация – без проблем.

2. С тренажёром учеба легче. В течении года сын хорошо подтянулся. Раньше были сплошные 3, теперь – сплошные 4. Правда, чуда не ждите, нужен ежедневный труд.

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную – например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:


Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).


Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.


Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой – пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) – напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).


Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку – каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
– сначала первое…

– потом второе.


Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
– внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
– раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)

Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)

Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.

\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)

Упрощаем получившееся выражение…

\(=7x+10-6x-2y=\)

…и приводим подобные.

\(=x+10-2y\)

Готово.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)

Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.

\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)

Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.

\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)

Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.

\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)

Вновь приводим подобные.

\(=-(10x-18)=\)

И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

\(=-10x+18\)

Готово.

Раскрытие скобок – это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Поляков

Любой решебник ориентирован на то, чтобы вовремя оказать помощь школьнику. При изучении математики у учащихся часто возникают трудности, так как невозможно все понять с первого раза. Некоторым требуется несколько раз повторить одно и то же правило, чтобы он, наконец, понял его суть. Поэтому сборник «ГДЗ по алгебре 7 класс Учебник Мерзляк, Полонский (Вентана-Граф)» станет хорошим подспорьем для учащегося, который решил разобраться в этой непростой дисциплине.

Чем занимаются школьники на уроках алгебры

В седьмом классе математика делится на два предмета: алгебру и геометрию. По геометрии требуется заучивать теоремы, строить чертежи. А в алгебре очень важен счет, ошибки не допустимы. Так на уроках дети учатся:

  • находить неизвестное;
  • выполнять действия над алгебраическими выражениями, находить подобные;
  • решать системы уравнений различными способами;
  • составлять условие для задач на движение, работу;
  • строить графики квадратичных функций.

При работе семиклассники анализируют, обобщают и систематизируют материал. В теории предлагаются примеры решения простых задач, которые сложат основой для выполнения упражнений высокого уровня. Очень важно выполнять домашнее задание. Это помогает школьнику понять каких знаний ему еще не хватает. Проверить правильность сделанной задачи можно с помощью сборника с готовыми ответами.

Как работать с онлайн-ресурсом

В решебнике поиск верных ответов осуществляется по номеру задания. Постраничная навигация позволяет легко и быстро найти необходимую информацию. Вариативность некоторых задач дает возможность подобрать наиболее удобный способ решения. В ГДЗ имеются иллюстрации. Все задачи выполнены и оформлены по всем правилам.

Какие результаты ждут школьника

Сборник представлен в онлайн-формате. Он обладает следующими достоинствами:

  1. открывается на любом удобном устройстве;
  2. имеет неограниченный доступ;
  3. постоянно обновляется и корректируется;
  4. удобен в использовании;
  5. не требует скачивания или дополнительного места хранения.

С помощью «ГДЗ по алгебре 7 класс Учебник Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. (Вентана-Граф)» обучающийся сможет усовершенствовать свои математические навыки и умения. Любое домашнее задание он выполнит быстро и безошибочно. Это обязательно оценит преподаватель. Ведь в решебнике содержатся только правильные ответы. Каждая работа, оцененная на отлично, прибавляет уверенности ученику и повышает его самооценку.

Основные правила и свойства алгебры

Мы перечисляем основные правила и свойства алгебры и приводим примеры их использования.

Пусть a, b и c – действительные числа, переменные или алгебраические выражения.

1. Коммутативное свойство сложения.

а + Ь = Ь + а
Примеры:
1. вещественные числа
2 + 3 = 3 + 2
2. алгебраические выражения
x 2 + x = x + x 2

2. Коммутативное свойство умножения.

а б = б а
Примеры:
1. вещественные числа
5 7 = 7 5
2. алгебраические выражения
(x 3 -2) x = x (x 3 -2)

3. Ассоциативное свойство сложения.

(a + b) + c = a + (b + c)
Примеры:
1. вещественные числа
(2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6)
2. алгебраические выражения
3 + 2 х) + х = х 3 + (2 х + х)

4. Ассоциативное свойство умножения.

(а б) в = а (б в)
Примеры:
1.вещественные числа
(7 3) 10 = 7 (3 10)
2. алгебраические выражения
(x 2 5 x) x = x 2 (5 x x)

5. Распределительные свойства сложения над умножением.

а (б + с) = а б + а в
и
(а + б) в = а в + б в
Примеры:
1. вещественные числа
2 (2 + 8) = 2 2 + 2 8
(2 + 8) 10 = 2 10 + 8 10
2. алгебраические выражения
х (х 4 + х) = х х 4 + х х
(x 4 + x) x 2 = x 4 x 2 + x x 2

6.Обратное значение ненулевого действительного числа a равно

1 / a . и а (1 / а) = 1
Примеры:
1. вещественные числа
, обратное 5, равно 1/5, а 5 (1/5) = 1

7. Аддитивная величина, обратная a:

-a . а + (- а) = 0
Примеры:
аддитивная величина, обратная -6 – (- 6) = 6 и – 6 + (6) = 0

8. Аддитивная идентичность 0.

и а + 0 = 0 + а = а

9. Мультипликативная идентичность 1.

и а 1 = 1 а = а

Больше страниц, связанных с
Задачи по математике и онлайн-самопроверки.
Задачи алгебры.
Учебник по алгебре.
Больше вопросов по алгебре для среднего и высшего образования и задач с ответами.

Некоторые правила алгебры – Полный курс алгебры

5

ИЗ

Правило симметрии

Коммутативные правила

Обратное сложение

Два правила для уравнений

Можно сказать, что

АЛГЕБРА – это совокупность формальных правил.Это правила, показывающие, как то, что написано в одной форме, можно переписать в другой форме. Ибо что такое расчет, как не замена одного набора символов на другой? В арифметике мы заменяем «2 + 2» на «4». В алгебре мы можем заменить « a + (- b )» на « a b ».

a + (- b ) = a b .

Мы называем это формальным правилом. Знак = означает, что «можно переписать как» или «можно заменить на.«

Вот некоторые из основных правил алгебры:

1 · а = а .
(1 раз любое число не меняет его. Поэтому 1 называется единицей умножения.)
(-1) a = а .
– (- и ) = а . (Урок 2)
a + (- b ) = а б . (Урок 3)
a – (- b ) = а + б . (Урок 3)

С ними – и с любым правилом – связано правило симметрии:

Если a = b , то b = a .

Во-первых, это означает, что правило алгебры действует в обоих направлениях.

Так как мы можем написать

p + (- q ) = п д
– то есть в расчетах мы можем заменить p + (- q ) на p q – затем симметрично:
p q = p + (- q ).

Мы можем заменить p q на p + (- q ).

Правило симметрии также означает, что в любом уравнении, мы можем поменять местами стороны .

Если
15 = 2 x + 7,
тогда нам разрешено писать
2 x + 7 = 15.

Итак, правила алгебры говорят нам, что нам разрешено писать. Они говорят нам, что законно.

Проблема 1. Используйте правило симметрии, чтобы переписать каждое из следующих утверждений. И обратите внимание, что симметричная версия также является правилом алгебры.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) 1 · x = x x = 1 · x б) (-1) x = – x x = (-1) x
в) x + 0 = x x = x + 0 г) 10 = 3 x + 1 3 x + 1 = 10
д) x
y
= топор
ау
топор
ау
= x
y
е) x + (- y ) = x y x y = x + (- y )
г) a
2
+ б
2
= a + b
2
a + b
2
= a
2
+ б
2

Коммутативные правила

Порядок, в котором мы пишем термины, не влияет на сумму.Мы выражаем это в алгебре, записывая

Это называется коммутативным правилом сложения. Это будет применяться к любому количеству терминов.

a + b – c + d = b + d + a – c = −c + a + d + b .

Порядок не имеет значения.

Пример 1. Примените правило коммутативности к p q .

Решение . Коммутативное правило сложения указано для операции +. Но здесь у нас есть операция -. Но мы можем написать

p q = p + (- q ).
Следовательно,
p q = q + p .

*

Вот коммутативное правило умножения:

Порядок факторов не имеет значения.

abcd = dbac = cdba .

Правило применяется к любому количеству факторов.

Более того, мы можем связывать факторы любым способом:

( abc ) d = b ( dac ) = ( ca ) ( db ).

И так далее.

Пример 2. Умножение 2 x · 3 y · 5 z .

Решение . Проблема означает: умножьте числа и перепишите буквы.

2 x · 3 y · 5 z = 2 · 3 · 5 xyz = 30 xyz .

В алгебре принято писать числовой множитель слева от буквального множителя.

Задача 2. Умножить.

а) 3 x · 5 y = 15 xy б) 7 p · 6 q = 42 pq в) 3 a · 4 b · 5 c = 60 abc

Проблема 3.Перепишите каждое выражение, применяя правило коммутативности.

а) p + q = q + (- p ) = q p б) (-1) 6 = 6 (-1)
в) ( x – 2) + ( x + 1) = ( x + 1) + ( x – 2)
г) ( x – 2) ( x + 1) = ( x + 1) ( x – 2)

Ноль

Мы видели следующее правило для 0 (Урок 3):

Для любого номера a :

0, добавленное к любому номеру, не меняет номер.0 поэтому называется тождеством сложения.

Обратное прибавление

Операция, обратная операции, отменяет эту операцию.

Если мы начнем, например, с 5, а затем прибавим 4,

5 + 4,

, затем, чтобы отменить это – чтобы вернуться к 5 – мы должны добавить −4:

5 + 4 + (−4) = 5 + 0 = 5.

Сложение −4 является обратным сложению 4, и наоборот.Мы говорим, что −4 является аддитивным обратным числом 4.

Как правило, каждому номеру a соответствует уникальный номер – a , так что

a + (- a ) = (- a ) + a = 0

Число в сочетании с его инверсией дает идентификацию.

Мы видели, что это правило по сути является определением – a .

Таким образом, аддитивная величина, обратная a , равна – a .И аддитивная величина, обратная – a – это a .

– (- a ) = a .

Задача 4. Преобразуйте каждое из следующего в соответствии с правилом алгебры.

а) xyz + 0 = xyz б) 0 + (-q) = -q в) −¼ + 0 = −¼
г) ½ + (−½) = 0 д) pqr + pqr = 0 е) x + abc abc = x

g) sin x + cos x + (−cos x ) = sin x

Студент может подумать, что это тригонометрия, но это не так.
г) Алгебра

Проблема 5. Выполните следующее.

а) pq + (- pq ) = 0 б) z + (- z ) = 0 в) – & 2 $ + & 2 $ = 0
г) ½ x + 0 = ½ x д) 0 + (-qr) = -qr е) −π + 0 = −π

г) желто-коричневый x + детская кроватка x + (-детская кроватка x ) = желто-коричневый x .

Два правила для уравнений

Уравнение – это утверждение, что две вещи – две стороны – равны. Значение равно заложено в том факте, что до тех пор, пока мы делаем одно и то же с обеими сторонами, они все равно будут равны. Это выражается в следующих двух правилах.

Правило 1. Если
a = б ,
, затем
a + c = б + в .

Правило означает:

Мы можем прибавить одинаковое число к обеим сторонам уравнения.

Это алгебраическая версия аксиомы арифметики и геометрии:

Если равные прибавляются к равным, суммы равны.

Пример 3. Если
x -2 = 6,
, затем
x = 6 + 2
= 8.

– после прибавления 2 к обеим сторонам.

Пример 4. Если
х + 2 = 6,
, затем
x = 6–2
= 4.

– после вычитания 2 с обеих сторон.

Но правило сформулировано в терминах дополнения. Почему мы можем вычитать?

Потому что вычитание эквивалентно сложению отрицательного числа.

a b = a + (- b ).

Следовательно, любое правило сложения также является правилом вычитания.

Примечание : В примере 3 добавление 2 является обратным вычитанию 2.Результатом будет преобразование −2 в другую часть уравнения , равную , как +2.

В примере 4 вычитание 2 с обеих сторон приводит к транспонированию +2 в другую сторону уравнения как −2.

Подробнее об этом мы поговорим в Уроке 9.

Задача 6.

а) Если б) Если
x – 1 = 5, x + 1 = 5,
, затем , затем
x = 6. x = 4.
При добавлении 1 к обеим сторонам. При вычитании 1 с обеих сторон.
в) Если г) Если
x -4 = −6, x + 4 = −6,
, затем , затем
x = −2. x = −10.
При добавлении 4 к обеим сторонам. При вычитании 4 с обеих сторон.
Правило 2. Если
a = б ,
, затем
ок. = CB .

Это правило означает:

Мы можем умножить обеих частей уравнения на одно и то же число.

Пример 5. Если

2 x = 3,
затем
10 x = ?

Теперь, что случилось с 2 x , чтобы получилось 10 x ?

Мы умножили его на 5.Следовательно, чтобы сохранить равенство, надо также умножить 3 на 5.

10 x = 15.

Пример 6. Если

x
2
= 5,
затем
x = 10.

Здесь мы умножили обе стороны на 2, и двойки просто сокращаются.

См. Урок 26 по арифметике, пример 5.

Пример 7. Если

2 x = 14,
затем
x = 7.

Здесь мы разделили обе стороны на 2. Но правило гласит, что мы можем умножить на обе стороны. Почему мы можем разделиться?

Потому что деление равно умножению на обратную. В этом примере мы могли бы сказать, что умножили обе части на 1/2.

Итак, любое правило умножения также является правилом деления.

Задача 7.

а) Если б) Если
x = 5, x = −7,
, затем , затем
2 x = 10. −4 x = 28.
в) Если г) Если
x
3
= 2, x
4
= −2
, затем , затем
x = 6. x = −8.
При умножении обеих сторон на 3. При умножении обеих частей на 4.
Задача 8. Разделите обе стороны.
а) Если б) Если
3 x = 12, −2 x = 14,
, затем , затем
x = 4. x = −7.
При разделении обеих сторон на 3. О делении обеих частей на −2.
в) Если г) Если
6 x = 5, −3 x = −6,
, затем , затем
x = 5
6
x = 2.

Задача 9. Меняем вывески с двух сторон. Напишите строку, полученную в результате умножения обеих частей на -1.

а) x = 5. б) x = −5. в) x = 0.
x = −5. x = 5. x = -0 = 0.

Эта проблема иллюстрирует следующую теорему:

В любом уравнении мы можем изменить знак на с обеих сторон.

Если
а = б ,
, затем
a = б .

Это непосредственно следует из уникальности аддитивного обратного.

Если
а = б ,
затем
a + b = 0.
Но это подразумевает
a = б .

Что мы и хотели доказать.

У нас будет возможность применить эту теорему, когда мы перейдем к решению уравнений. Поскольку мы увидим, что для «решения» уравнения мы должны изолировать x , а не x , слева от знака равенства.И когда мы перейдем к правилу распределения (Урок 14), мы увидим, что можем изменить все знаки с обеих сторон.

Проблема 10.

а) Если x = 9, то – x = −9. б) Если x = −9, то – x = 9.
в) Если – x = 2, то x = −2. г) Если – x = −2, то x = 2.

x – переменная. Это ни положительно, ни отрицательно. Только числа могут быть положительными или отрицательными. Когда x принимает значение – положительное или отрицательное – значения x и – x будут иметь противоположные знаки. Если x принимает положительное значение, то – x будет отрицательным.Но если x принимает отрицательное значение, то – x будет положительным.

Таким образом, если x = −2, то – x = – (- 2) = +2. (Урок 2.)

(Если x = 0, то – x = −0, что, надо сказать, равно 0. −0 = +0 = 0.)

Следующий урок: Обратные вычисления и ноль

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Основы алгебры – правила, операции и формулы

Алгебра – это область математики, которая занимается представлением ситуации с использованием математических символов, переменных и арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление, что приводит к формированию соответствующих математических выражений.В этом уроке мы пройдемся по всем правилам алгебры, операций и формул.

Основы алгебры

Нам нужно знать основную терминологию, относящуюся к алгебре, чтобы понимать ее основы. Выражение, состоящее из 4 основных частей, переменных, операторов, показателей степени, коэффициентов и констант, а также символа равенства, известно как алгебраическое уравнение. Возьмем уравнение ax 2 + bx + c = d. В алгебре член с наивысшим показателем записывается в начале, а далее члены записываются с понижающими степенями.

На изображении выше ax 2 + bx + c = d есть 4 члена. Алгебраическое уравнение может иметь разные члены, похожие или непохожие. Одинаковые члены в уравнении – это те, которые составляют одни и те же переменные и показатели. С другой стороны, разные члены уравнения представляют собой разные переменные и показатели.

Правила алгебры

Есть пять основных правил алгебры. Их:

  • Коммутативное правило сложения
  • Коммутативное правило умножения
  • Ассоциативное правило сложения
  • Ассоциативное правило умножения
  • Распределительное правило умножения

Коммутативное правило сложения

В алгебре коммутативное правило сложения гласит, что когда добавляются два члена, порядок сложения не имеет значения.Уравнение для того же записывается как, (a + b) = (b + a). Например, (x 3 + 2x) = (2x + x 3 )

Коммутативное правило умножения

Коммутативное правило умножения гласит, что при умножении двух членов порядок умножения не имеет значения. Уравнение для того же записывается как, (a × b) = (b × a). Например, (x 4 – 2x) × 3x = 3x × (x 4 – 2x).
LHS = (x 4 – 2x) × 3x = (3x 5 – 6x 2 )
Правая часть = 3x × (x 4 – 2x) = (3x 5 – 6x 2 )
Здесь LHS = RHS, это означает, что их значения равны.

Ассоциативное правило сложения

В алгебре ассоциативное правило сложения гласит, что при добавлении трех или более терминов порядок добавления не имеет значения. Уравнение для того же записывается как, a + (b + c) = (a + b) + c. Например, x 5 + (3x 2 + 2) = (x 5 + 3x 2 ) + 2

Ассоциативное правило умножения

Точно так же ассоциативное правило умножения гласит, что при умножении трех или более членов порядок умножения не имеет значения.Уравнение для того же записывается как, a × (b × c) = (a × b) × c. Например, x 3 × (2x 4 × x) = (x 3 × 2x 4 ) × x.

Распределительное правило умножения

Распределительное правило умножения гласит, что когда мы умножаем число на сложение двух чисел, получается результат, который совпадает с суммой их произведений на число по отдельности. Это распределение умножения над сложением. Уравнение для того же записывается как, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).Например, x 2 × (2x + 1) = (x 2 × 2x) + (x 2 × 1).

Алгебраические операции

Четыре основных алгебраических операции:

  • Дополнение
  • Вычитание
  • Умножение
  • Дивизия

В каждой из выполняемых алгебраических операций мы всегда классифицируем члены в наших алгебраических уравнениях как одинаковые и непохожие.

Дополнение

Когда два или более члена в алгебраическом уравнении разделены знаком плюс «+», алгебраической операцией является сложение.Мы всегда добавляем похожие и непохожие термины отдельно, поскольку они рассматриваются как две разные величины. Математически две разные величины нельзя сложить вместе.

  • Пример сложения одинаковых терминов: 5b + 3b = 8b
  • Пример сложения непохожих терминов: 25x + 35y

Как мы видим в примерах, одинаковые термины при добавлении дают один и тот же термин, в то время как разные термины не могут быть добавлены дальше.

Вычитание

Когда два или более члена в любом алгебраическом уравнении разделены знаком минус «-», алгебраической операцией является вычитание.Как и в случае сложения, термины дифференцируются как похожие или непохожие, а затем вычитаются дальше.

  • Пример вычитания одинаковых терминов: 3x 2 – x 2 = 2x 2
  • Пример вычитания непохожих терминов: 6bc – 9ab

Умножение

Когда два или более члена в алгебраическом уравнении разделены знаком умножения «×», выполняется алгебраическая операция умножения. При умножении одинаковых или непохожих терминов мы используем законы экспонент.

  • Пример умножения одинаковых терминов: 16f × 4f = 64f 2
  • Пример умножения непохожих членов: x × y 3 = xy 3

Отдел

Когда два или более члена в любом алгебраическом уравнении разделены знаком деления «/», выполняется алгебраическая операция деления. При разделении одинаковых терминов аналогичные термины могут быть упрощены, в то время как в случае различающихся терминов термины нельзя упростить дальше.

  • Пример деления одинаковых терминов: 8b / 2b = 4
  • Примеры разделения непохожих терминов: x 2 / 2y 2

Алгебраические формулы

Алгебраические формулы, которые используются чаще и которые необходимо держать в курсе:

Темы, связанные с основами алгебры

Часто задаваемые вопросы по алгебре

Каковы основные правила алгебры?

Основные правила алгебры:

  • Коммутативное правило сложения
  • Коммутативное правило умножения
  • Ассоциативное правило сложения
  • Ассоциативное правило умножения
  • Распределительное правило умножения

Что такое золотое правило алгебры?

Золотое правило алгебры состоит в том, чтобы сбалансировать обе части уравнения, т.е.е; какая бы операция ни использовалась с одной стороны уравнения, то же самое будет использоваться и с другой стороны.

Что такое четыре алгебраических операции?

  • Дополнение
  • Вычитание
  • Умножение
  • Дивизия

Как складывать и вычитать похожие термины?

Когда одинаковые члены складываются или вычитаются, коэффициенты складываются или вычитаются и записываются перед аналогичными членами.

Можем ли мы сложить или вычесть два непохожих термина?

Нет, мы не можем складывать или вычитать два разных члена.

Предалгебра I (Иллюстративная математика – 7 класс)

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    34975
  • \ (\ newcommand {\ vecs} [1] {\ overset {\ scriptstyle \ rightharpoonup} {\ mathbf {# 1}}} \) \ (\ newcommand {\ vecd} [1] {\ overset {- \! – \! \ rightharpoonup} {\ vphantom {a} \ smash {# 1}}} \) \ (\ newcommand {\ id} {\ mathrm {id}} \) \ (\ newcommand {\ Span} {\ mathrm {span}} \) \ (\ newcommand {\ kernel} {\ mathrm {null} \,} \) \ (\ newcommand {\ range} {\ mathrm {range} \,} \) \ (\ newcommand {\ RealPart} {\ mathrm {Re}} \) \ (\ newcommand {\ ImaginaryPart} {\ mathrm {Im}} \) \ (\ newcommand {\ Argument} {\ mathrm {Arg}} \) \ (\ newcommand { \ norm} [1] {\ | # 1 \ |} \) \ (\ newcommand {\ inner} [2] {\ langle # 1, # 2 \ rangle} \) \ (\ newcommand {\ Span} {\ mathrm {span}} \) \ (\ newcommand {\ id} {\ mathrm {id}} \) \ (\ newcommand {\ Span} {\ mathrm {span}} \) \ (\ newcommand {\ kernel} { \ mathrm {null} \,} \) \ (\ newcommand {\ range} {\ mathrm {range} \,} \) \ (\ newcommand {\ RealPart} {\ mathrm {Re}} \) \ (\ newcommand {\ ImaginaryPart} {\ mathrm {Im}} \) \ (\ newcommand {\ Argument} {\ mathrm {Arg}} \) \ (\ newcommand {\ norm} [1] {\ | # 1 \ |} \ ) \ (\ newcommand {\ inner} [2] {\ langle # 1, # 2 \ rangle} \) \ (\ newcommand {\ Span} {\ mathrm {s pan}} \)

    Без заголовков

    Миниатюра: Анимация, иллюстрирующая правило Пифагора для прямоугольного треугольника, которое показывает алгебраическую взаимосвязь между гипотенузой треугольника и двумя другими сторонами.(CC BY-SA 3.0; AmericanXplorer13 через Википедию).

    1. К началу
    • Была ли эта статья полезной?
    • Да
    • Нет
    1. Вид товара
      Книга или блок
      Автор
      Иллюстративная математика
      Обложка
      Только ТОС
      Лицензия
      CC BY
    2. Теги
        На этой странице нет тегов.

    Образцы чисел

    Последовательность – это набор чисел, которые формируются в соответствии с определенное правило.

    Мы часто можем описать числовые шаблоны более чем одним способом. К Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующую последовательность чисел {1, 3, 5, 7, 9, }.

    Очевидно, что первый член этого числового шаблона равен 1; и условия после первый член получается добавлением 2 к предыдущему члену.Мы можем также опишите этот шаблон чисел как набор нечетных чисел.

    Методом проб и ошибок находим:

    Наблюдая, мы замечаем, что можем описать этот числовой паттерн с помощью Правило


    Формулы и таблицы

    Таблицу значений можно сгенерировать из правила

    , как показано ниже.


    Нахождение алгебраического правила

    Мы используем алгебру для изучения правил, описывающих поведение повседневных вещи. Например, поведение высоты мяча, когда он выброшены вверх или сумма непогашенной ссуды после ряда регулярных выплаты. Найдя закономерность в наблюдаемых значениях (т. Е. измерений), мы часто можем обнаружить правило, которое позволяет нам точные прогнозы.


    Использование разностного шаблона

    Когда мы пытаемся найти алгебраическое правило для упорядоченного пары, мы можем найти разница между двумя последовательными значениями y . Это позволяет нам найти правило, как показано ниже.

    Рассмотрим следующую таблицу.

    Мы замечаем, что значения x увеличиваются только по одному за раз и разница между последовательными значениями для y равна 2.Итак, правило начинается с y = 2 x . Это даст правильный ответ от Таблица? Давайте проверим.

    Ответ – нет. Из таблицы, когда x = 1, значение y должно быть 5. Как нам изменить наш ответ с 2 на 5? Мы следует добавить 3.

    Проверьте правило, чтобы убедиться в его правильности:


    Пример 5

    Найдите правило для следующей таблицы значений:

    Решение:

    В данной таблице значения x увеличиваются на 1 для каждого заказанного пара.

    Найдите разницу между последовательными значениями y . То есть:

    Разница между последовательными значениями и всегда равна 3. Итак, Правило имеет вид


    Чек:

    Проверьте правило, чтобы убедиться в его правильности:

    Итак, наше правило верно.


    Примечание:

    Чтобы установить правило для числового шаблона, включающего упорядоченные пары x и y , мы можем найти разницу между каждыми двумя последовательными значениями y . Если шаблон разности такой же, то коэффициент x в алгебраическом правиле (или формуле) совпадает с шаблоном разности.


    Ключевые термины

    числовой образец, последовательность, алгебраический правило, разностный образец

    % PDF-1.4 % 526 0 объект > эндобдж xref 526 81 0000000016 00000 н. 0000003662 00000 н. 0000003783 00000 н. 0000004385 00000 п. 0000004499 00000 н. 0000005644 00000 п. 0000006582 00000 н. 0000007497 00000 н. 0000008515 00000 н. 0000009356 00000 п. 0000010560 00000 п. 0000012672 00000 п. 0000013993 00000 п. 0000015026 00000 п. 0000016230 00000 п. 0000017431 00000 п. 0000019541 00000 п. 0000020862 00000 п. 0000022040 00000 п. 0000023130 00000 п. 0000051101 00000 п. 0000080565 00000 п. 0000080689 00000 п. 0000080813 00000 п. 0000080937 00000 п. 0000081061 00000 п. 0000081185 00000 п. 0000110520 00000 н. 0000112627 00000 н. 0000113948 00000 н. 0000113970 00000 н. 0000114048 00000 н. 0000114100 00000 н. 0000114148 00000 н. 0000114183 00000 н. 0000114261 00000 н. 0000114374 00000 п. 0000170180 00000 н. 0000170511 00000 н. 0000170577 00000 н. 0000170693 00000 п. 0000170715 00000 н. 0000170825 00000 н. 0000170950 00000 н. 0000171071 00000 н. 0000171259 00000 н. 0000451390 00000 н. 0000453593 00000 н. 0000454155 00000 н. 0000454233 00000 н. 0000454744 00000 н. 0000454822 00000 н. 0000455335 00000 п. 0000455413 00000 п. 0000455491 00000 п. 0000455566 00000 н. 0000455663 00000 п. 0000455812 00000 н. 0000456111 00000 п. 0000456166 00000 п. 0000456282 00000 н. 0000456360 00000 н. 0000511258 00000 н. 0000511511 00000 н. 0000512699 00000 н. 0000513224 00000 н. 0000513508 00000 н. 0000513586 00000 н. 0000513664 00000 н. 0000513970 00000 н. 0000514025 00000 н. 0000514141 00000 п. 0000514219 00000 н. 0000515407 00000 н. 0000515937 00000 н. 0000516223 00000 н. 0000516301 00000 н. 0000516567 00000 н. 0000583313 00000 н. 0000846242 00000 н. 0000001916 00000 н. трейлер ] / Назад 2073937 >> startxref 0 %% EOF 606 0 объект > поток h ެ VkLSg ~ RZ @ 5 * X3? K] ܢ ӵr J = Z] Мпк ٿ% d4K6t3 ǾI}} z

    Часть 3: Алгебраические методы | Бесплатная рабочая тетрадь

    Алгебра – центральная часть большинства математических тем в старшей школе.Вы должны понять это как можно раньше. Но не волнуйтесь в этой статье, вы узнаете все об алгебраических методах 7-го класса!

    Результат учебной программы NSW

    В этой статье рассматриваются следующие результаты программы NESA:

    вычтите их, чтобы упростить алгебраические выражения
    Результаты программы NESA
    Результаты учебной программы NESA Это означает, что вы сможете отвечать на такие вопросы, как \ (5a + 7a + 3b \) и \ (8a + 3b – 2b \)
    Упростите алгебраические выражения, включающие умножение и деление Это означает, что вы можете упростить \ (18b \ div 2b \)
    Расширить алгебраические выражения, удалив символы группировки Это означает, что вы знаете, как раскрыть \ (3 (x + 4) \)

    В этой статье мы обсудим:

    Мы рассмотрим следующие темы:

    И вы можете проверить свои знания и ск. некоторые недуги:

    Предполагаемые знания

    Это руководство закладывает основы алгебраических методов.

    Чтобы преуспеть в этой теме, учащиеся должны хорошо разбираться в вычислениях с целыми числами и дробями и иметь представление об основных индексных обозначениях.

    Проверьте свои знания алгебры, прежде чем мы начнем!

    Упрощение выражений

    Местоимения по существу представляют числа, и, следовательно, их можно складывать, вычитать, умножать и делить – четыре операции с числами.

    Давайте посмотрим на это подробнее.

    Сложение и вычитание – Сбор одинаковых терминов

    Длинные выражения, такие как \ (3a + 2a + a + b + 2b + 3b \), можно записать в гораздо более короткой форме.Это называется упрощением выражения.

    Ключевым аспектом этого процесса является то, что можно комбинировать только одинаковые термины. Следовательно, процесс называется « сбор похожих терминов» .

    Приведенные ниже примеры иллюстрируют этот процесс упрощения.

    Примеры

    Упростите следующее:

    1. {2}}
    \ конец {выровнять *}

    3.{3}}
    \ end {align *}

    Деление можно записывать дробью. Дроби можно упростить, отменив.

    Помните, что отмена означает разделение двух членов на общий множитель и что отменить можно только по вертикали или диагонали.

    Давайте посмотрим на отмену в действии.

    Примеры

    Упростите следующие

    1. \ (18b \ div 3 \)

    2.2} {z} \)

    Закон о распределении

    Упрощение выражений должно выполняться всегда, так как это упрощает рассмотрение вопросов.

    Однако иногда необходимо расширить выражение, например \ (2 (3x + 5y) + 5 (x – 2y) \), прежде чем можно будет собрать похожие термины.

    Расширение выражений предполагает использование закона распределения:

    Давайте посмотрим, как это работает.

    Примеры

    Разверните следующий :

    1.{2} – ab}
    \ end {align *}

    3. \ (-3 (x-2) \)

    Более быстрый способ – сделать:

    Этот метод используется в оставшейся части данного руководства. Примечание: \ (-3 \ times -2 = 6 \)

    4. \ (- (x-5) \)

    \ begin {align * }
    \ color {red} {- (x-5) = -x + 5}
    \ end {align *}

    Разверните и упростите следующее:

    1. \ (3 (x + 4 ) + 2 (x-3) \)

    \ begin {align *}
    \ color {red} {3 (x + 4) + 2 (3-3)} & \ color {red} {= 3x + 12 + 2x – 6} \\
    & \ color {red} {= 5x + 6}
    \ end {align *}

    2.\ (4 (2a-3) – 3 (2-a) \)

    \ begin {align *}
    \ color {red} {4 (2a-3) – 3 (2-a)} & \ color { red} {= 8a -12-6 + 3a} \\
    & \ color {red} {= 11a – 18}
    \ end {align *}

    3. \ (3y (2x – 3) + \ frac {2} {3} (3x-y) \)

    \ begin {align *}
    \ color {red} {3y (2x – 3) + \ frac {2} {3} (3x-y)} & \ color {красный} {= 2xy + 3y + \ frac {2} {3} x – \ frac {2} {3} y} \\
    & \ color {red} {= 2xy + \ frac {2} {3} x + \ frac {7} {3} y}
    \ end {align *}

    Теперь мы рассмотрели навыки, пора применить их в действии!

    Контрольные вопросы

    1.{2}} {3z} \ div 2x \)

    10. Упростите \ (\ frac {\ frac {3} {2} x – \ big {(} \ frac {1} {3} x -2 \ big {)} + \ frac {2} {5} x} {3 \ big {(} \ frac {2} {5} x-2 \ big {)} + 4 \ big {(} \ frac {11} {120} x + 2 \ big {)}} \)

    Развивайте алгебраические навыки вашего ребенка прямо сейчас!

    Воспользуйтесь школьными каникулами и улучшите базовые математические навыки вашего ребенка, чтобы добиться успеха в старших классах! Узнайте больше о нашем 2-дневном праздничном курсе по математике для 7-х классов.

    Решение

    1.{4}}
    \ end {align *}

    10.

    \ begin {align *}
    \ frac {\ frac {3} {2} x \ big {(} \ frac {1} {3 } x – 2 \ big {)} + \ frac {2} {5} x} {3 \ big {(} \ frac {2} {5} x-2 \ big {)} + 4 \ big {(} \ frac {11} {120} + 2 \ big {)}} & = \ frac {\ frac {3} {2} x – \ frac {1} {3} x + 2 + \ frac {2} {5 } x} {\ frac {6} {5} x – 6 + \ frac {11} {30} x + 8} \\
    & = \ frac {\ frac {45} {30} x – \ frac {10 } {30} x + 2 + \ frac {12} {30} x} {\ frac {36} {30} x – 6 + \ frac {11} {30} x + 8} \\
    & = \ frac {\ frac {47} {30} x + 2} {\ frac {47} {30} x + 2} \\
    & = 1
    \ end {align *}

    © Matrix Education и www.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *