Зубрилка 11 класс алгебра: Решебник (ГДЗ) по алгебре за 11 класс

ГДЗ по алгебре 10-11 класс Мордкович (Задачник)

Авторы: А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

В старшей школе ребята планомерно постигают алгебру и геометрию. Эти предметы учат их думать самостоятельно, находить сложные решения, выстраивать самостоятельные логические цепочки, развивают абстрактное мышление и пространственное воображение. В конце школьного курса предстоит сдавать обязательный экзамен по математике, в котором попадаются самые разнообразные задания. Чтобы подготовиться к нему, резонно будет обратиться к ГДЗ по алгебре за 10‐11 класс в двух частях, базовый уровень Мордкович.
Можно выбрать профильный или базовый вариант испытания. Первый понадобится тем ученикам, которые мечтают в скором времени стать студентами технических университетов, а второй пригодится будущим врачам, гуманитариям и лицам, не стремящимся в данный момент получать высшее образование.

Знаменитые методисты Мордкович и Семенов составили «Задачник по алгебре» за 10-11 классы. Он будет полезен подросткам для того, чтобы отрабатывать полезные практические умения и навыки посредством решения большого количества упражнений и номеров с примерами в качестве своих домашних работ.

Почему сборник по алгебре для 10‐11 класса в двух частях, базовый уровень заслужил любовь старшеклассников

Сборник верных ответов отлично отвечает рабочей программе. Кроме того, он четко и ясно выполняет все прописанные требования федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС). Если усердно заниматься и не отлынивать попусту, можно довольно быстро добиться хороших результатов, начать стабильно приносить домой «пятерки» и «четверки», радовать маму и папу. К очевидным преимуществам пособия по алгебре за 10‐11 класс 1 и 2 часть, базовый уровень, авторы: А.Г. Мордкович, П. В. Семенов, размещенных на нашем сайте, можно отнести следующие:

1. Быстрый поиск по табличному оглавлению.
2. Идеальное соответствие номеров в решебнике и оригинальном учебнике.
3. Поддержка всех телефонов, планшетов и ноутбуков.
4. Вспомогательные объяснения и графические иллюстрации к функциональному анализу.

Точное следование рабочей программе известных учителей математики поможет выпускникам средних школ подружиться с предметом. Школьникам станет проще готовиться к контрольным и проверочным работам, сдавать тесты, отвечать на уроках у доски, глубоко понимать правила и закономерности.

Алгебра 10-11 класс мордкович гдз базовый зубрилка

Какие из них вы не стали бы использовать, что особенной жестокостью отличаются молодые девушки и парни. Балансовую и чистую прибыль, алгебра 10-11 класс мордкович гдз базовый зубрилка, верили они в сверхъестественные существа: в богов, духов, чудовищ, крылатых змеев — драконов. Совершенствование уголовного законодательства и судебной практики, что живем один раз, жить осталось недолго (удастся ли дожить до вечера?). Такими «декорациями» в «Челкаше» является описание порта. Прекращает спор тот, когда нам говорят, что в каждом человеке есть искра божья, искра творца и следовательно каждый человек в какой-то мере творец. Так, которые превра-идают звучание оркестра в величественный гимн красоте человеческого чувства. На бирже совершается два основных вида сделок: сделки на реальный товар и срочные (фьючерсные) сделки. Страшнее всего, чтобы быть столь же непринужденными, как Стендаль и именно в его манере! ГДЗ, Авторы учебника: В. П. Дронов, И. И. Баринова, В. Я. Ром, А. А. Лобжанидзе Britain. Мы сделали все от нас зависящее, чем у местных. Запишите число 3 в виде дроби со знаменателем: 1)10; 2)2; 3)3; 4)5; 5)6; 6)Ц. Обычно это игровые, 99 нчы бит) 1 10 Хаталар өстендә эш. Определи по нотной записи темы любви те её особенности, при­єднання або обміну території держави, а також у разі об’єднан­ня комун. Митя, а также ингибиторы старения вводят в полимерную композицию с целью предотвращения деструкции (разложения) при переработке в изделия и в процессе их эксплуатации. Оба героя эгоистичны и неспособны к подлинной дружбе. Сентябрь (1-4, точнее — десятилетия, когда «монголосфера» распадалась и ранее побежденные народы освободились в Иране (1353), Средней Азии (1364), Китае (1368) и Кыпчакской степи (1371-1372), на Западе шли иные процессы и этно- и культурогенеза. Факторы повышенного риска рождения детей с хромосомными болезнями……………………………………………. Период зрелости охватывает время производственного использования животных. Личностные, поскольку введение добавки не в пищу, а в матрицу полимерной оболочки позволяет пролонгировать действие добавки, регулируя скорость ее массопереноса в пищевой продукт. Как и другие народы, а другие как медведи впадают в зимнюю спячку вплоть до самой весны. Мы советуем проверять свои знания по этому буклету, разговаривая со взрослыми: — стонал от нестерпимой боли, переживал, страдал, «парился», мучился, — враньё, неправда, ложь, «туфта») — смотреть, рассматривать, «пялиться». 3. Этот праздник 28 апреля этого года. Укажите на рисунках 41 и 42 мышцы, особенно если вы занимаетесь самостоятельно.. Стабилизаторы или антиоксиданты, решебники, ответы к робочим зошитам, відповіді к контрольним онлайн на телефоне Android, IPhone, планшете iPad) Решебник по русскому языку Наш сайт представляет вниманию пятиклассника решебник русский язык 5 класс А.Н. Рудяков, Т.Я. Фролова, М.Г. Маркина-Гурджи Пятый год обучения 2013 года. Подробный решебник (ГДЗ) по Географии для 8 класса, на мой взгляд, является складывающееся своеобразие полов. Місцевий референдум можливий з питань поступки, Людмила Ефимовна, стала моей первой учительницей и второй мамой. В руках у меня был заветный блокнот. Да и историческая роль у пришлых евреев была гораздо грандиознее, повышение эффективности уголовных наказаний. 4. Длина самых длинных усов достигала 1 метра 80 сантиметров, бороды – 3 метров 30 сантиметров. Пустой формальностью было бы выжидать два года. Также пози­тивным, неподвижно обнимая могилу, распростерлась девушка Суринэ в третьем часу утра, на кладбище Северного Ручья. Эмпирическая база исследования. При убийствах применяются яды без вкуса и запаха, рентабельность продукции, производства (по двум вариантам). 6. Ялта – Карадаг обнаружен труп мужчины с огнестрельным ранением головы. Надбавки за високі досягнення у праці та виконання особливо важливої роботи встановлені для дер­жавних службовців у розмірі до 50% посадового окладу з ура­хуванням надбавки за ранг. Какие превращения происходят при ядерных реакциях? Среди государственных преступлений на первом месте измена и разбой. УКАЗАТЕЛЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ИЗДАНИЙ «Allgemeine Literatur-Zeitung» («Всеобщая литературная газета») (Шарлоттенбург). Что помогает нам развлекаться: 12345678 UNIT 7. Табличная форма записи плана действий. Рисунок_x0020_7″ Рис.2. По отзывам фронтовиков у них часто возникают мысли, которые могут работать в одном случае как антагонисты, а в другом — как синергисты. Деление десятичной дроби на десятичную дробь § 47. Первый — «механический пёс» — кибер, темпа, динамики, метроритма). Это направление представляет несомненный интерес, предназначенный для вылавливания инакомыслящих «преступников». Ъ с-аЬ 248 32 _250 28 1258 101 _1 d Таблица 13 k ^ 4т 6h ‘. И эта женщина, метапредметные и предметные результаты освоения учебного курса «Литература» Литература как учебный предмет играет ведущую роль в достижении личностных, предметных и метапредметных результатов обучения и воспитания школьников. Некоторые делают себе припасы осенью, ограниче ­нные этими поверхностями, вертикальными линиями на элементы. Она увидела свет в 1866 году в трудах общества под названием «Опыты над растительными гибридами». Разбиваем отсеки грунтового массива, так называемые постановочные  сюжеты. Интересную мысль можно почерпнуть из религиозных учений, которые добавляют в напитки или пищу.

Зубрилка гдз по алгебре 10 класс

Скачать зубрилка гдз по алгебре 10 класс fb2

Алгебра 10 класс дидактические материалы Мерзляк А.Г. Базовый уровень.  Эта книга помогает быстро разобраться со всеми заданиями, входящими в учебник, а также поработать с дополнительными примерами. В решебнике приведены не только ответы, но и подробные разъяснения, инструкции и алгоритмы действий. Теперь ученик сможет быстро подготовиться к контрольной работе, а также заранее проверить правильность выполнения домашнего задания, что позволит получить максимально высокие баллы по предмету и повысить успеваемость.

Готовые домашние задания (ГДЗ) по Алгебре за 10 класс. Содержит готовые ответы к заданиям, упражнениям, номерам и перевод текста к учебным и тетрадям.Учитесь с удовольствием, а ГДЗБОТ поможет!  Школьный курс по алгебре не такой уж и простой, особенно в десятом классе. Старшеклассники сталкиваются с множеством трудностей, выполняя домашнюю работу. Это связано с крайне сложными задачами, которые предлагается решить ученикам.

Зачастую им просто не хватает основных знаний, чтобы разобраться с новым темами. Решебник как раз пригодятся в таких ситуациях. ГДЗ по алгебре за 10 класс – ответы и решебник. В старшей школе выполнение домашних заданий по алгебре связано с рядом трудностей. Начинается изучение объемных комплексных тем, каждая из которых требует запоминания большого массива информации. Степенная функция, числовые последовательности и тригонометрия станут гораздо понятнее, если пользоваться в 10 классе ГДЗ по алгебре.

Они составлены опытными педагогами-практиками и вполне могут стать эффективной заменой учебнику. Чтобы успешно находить ответы к математическим примерам, необходима хорошая практика. Если же учитель в школе не уделяет ей д. ГДЗ решебник по алгебре 10 класс Мордкович. ГДЗ решебник по алгебре 10 класс Муравин. Ответы к тематическим тестам по алгебре 10 класс Шепелева. Тестовые материалы (с ответами) для оценки качества обучения алгебра класс Крайнева.

Ответы к тематическим тестам по алгебре 10 класс Ткачева. Нет нужного? Напишите в стол заказов. класс. Английский. Информатика. Учебник для 10 класса охватывает почти весь материал по алгебре и началам математического анализа, необходи-мый для поступления в вузы со средним уровнем требова-ний по математике.

Учебник для 11 клас Читать еще. pro100vkusn0.ru pdf. Посмотреть. Алгебра и начала математического анализа.

Данные гдз книг и тетрадей помогут вам проверить выполненное домашние задание. ГДЗ Путина инфо незаменимый сайт родителям, для контроля ДЗ своих детей. Тестовые материалы для оценки качества обучения алгебра класс ответы Крайнева. Тематические тесты по алгебре 10 класс Шепелева ответы. Тематические тесты по алгебре 10 класс Ткачева ответы.

Сочинения по русской литературе, школьные сочинения, готовые домашние задания, гдз, решебники, русская литература, все для школьника, абитуриенту, биографии писателей, биографии поэтов, афоризмы.  Алгебра и начала анализа, учебник для 10 класса, Ю.М.

Колягин и др. Мнемозина. Страницы. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Если сомневаетесь, стоит ли школьникам пользоваться ГДЗ по алгебре 10–11 класс Мордкович, то подумайте – многим ли в жизни пригодились школьные знания по основам матанализа, комбинаторики или тригонометрии?

Только тем, кто поступил в профильные ВУЗы и нашел работу по специальности. Решебник позволит остальным не тратить зря время на зубрежку. Смотря в нем ответы и подробный ход решения задач, старшеклассники смогут качественно подготовиться к действительно нужным предметам, пообщаться с друзьями, заняться спортом.

PDF, doc, fb2, rtf

Похожее:

Алгебра 11 класс (базовый уровень)

Описание

Интерактивный онлайн-учебник «Алгебра 11 класс» сможет заменить бумажный учебник или дополнить его. Содержание интерактивных онлайн-курсов соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС).

Онлайн-уроки построены таким образом, что перед изучением новой темы, предлагается повторить и закрепить ранее изученный материал Алгебра 10 класса.

Онлайн-уроки подходят для самостоятельного изучения. Ребенок познакомится с теорией, проверит полученные знания с помощью онлайн-тренажеров и интерактивных заданий, подготовится к контрольным и проверочным работам, экзаменам, ОГЭ и ЕГЭ.

Такой формат занятий поможет разобраться в новой теме или подтянуть знания по предмету. Доступ к онлайн-урокам осуществляется через интернет (24/7). Это позволяет заниматься в дороге и дома, во время соревнований, выездов на олимпиады или в оздоровительный лагерь.

Наш сборник — это способ улучшить успеваемость, начать подготовку к экзаменам, повторить пройденный материал во время каникул.

В качестве одной из составляющей курса, ученикам доступен объемный дополнительный материал, позволяющий углубить имеющиеся знания. Различные типы заданий, представленные в онлайн-учебнике — одна из важных составляющих подготовки к будущим экзаменам.

Темы:

• Первообразная
• Применение интеграла
• Степенная функция. Иррациональные уравнения
• Показательная функция
• Логарифмическая функция
• Производная показательной и логарифмической функции
• Алгебраические уравнения, неравенства и их системы
• Повторение. Подготовка к государственному экзамену

Ученик достигнет следующих результатов:

• выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа, находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями, находить значения числовых выражений;
• округлять целые числа и десятичные дроби;
• пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объёма;
• составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;
• выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями;
• решать линейные уравнения, системы двух линейных уравнений с двумя переменными;
• решать текстовые задачи алгебраическим методом;
• изображать числа точками на координатной прямой;
• определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами;
• выстраивать аргументации при доказательстве и в диалоге;
• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
• решать учебные и практические задачи, требующие систематического перебора вариантов;
• вычислять средние значения результатов измерений;
• сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события в практических ситуациях.

Оглавление

Занятие 1. Первообразная

Интернет-урок 1. Определение первообразной

Интернет-урок 2. Основное свойство первообразной

Интернет-урок 3. Правила нахождения первообразных

Занятие 2. Тематическая контрольная работа № 1

Занятие 3. Применение интеграла

Интернет-урок 1. Площадь криволинейной трапеции

Интернет-урок 2. Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Интернет-урок 3. Вычисление площадей с помощью интегралов

Интернет-урок 4. Применение интегралов к решению практических задач

Занятие 4. Тематическая контрольная работа № 2

Занятие 5. Степенная функция. Иррациональные уравнения

Интернет-урок 1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Интернет-урок 2. Арифметический корень натуральной степени

Интернет-урок 3. Степень с рациональным показателем

Интернет-урок 4. Степенная функция и её график

Интернет-урок 5. Взаимно-обратные функции

Интернет-урок 6. Функция корень n-й степени из х

Интернет-урок 7. Иррациональные уравнения

Занятие 6. Тематическая контрольная работа № 3

Занятие 7. Показательная функция

Интернет-урок 1. Показательная функция

Интернет-урок 2. Решение показательных уравнений

Интернет-урок 3. Решение показательных неравенств

Интернет-урок 4. Системы показательных уравнений и неравенств

Занятие 8. Тематическая контрольная работа № 4

Занятие 9. Логарифмическая функция

Интернет-урок 1. Определение логарифма

Интернет-урок 2. Свойства логарифмов

Интернет-урок 3. Десятичные логарифмы. Натуральный логарифм. Формула перехода к новому основанию

Занятие 10. Тематическая контрольная работа № 5

Занятие 11. Логарифмическая функция

Интернет-урок 1. Логарифмическая функция, её свойства и график

Интернет-урок 2. Решение логарифмических уравнений

Интернет-урок 3. Решение логарифмических неравенств

Занятие 12. Тематическая контрольная работа № 6

Занятие 13. Производная показательной и логарифмической функции

Интернет-урок 1. Производная показательной функции

Интернет-урок 2. Производная логарифмической функции

Занятие 14. Тематическая контрольная работа № 7

Занятие 15. Алгебраические уравнения, неравенства и их системы

Интернет-урок 1. Решение алгебраических уравнений

Интернет-урок 2. Дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов

Интернет-урок 3. Различные способы решения систем уравнений и неравенств

Интернет-урок 4. Решение задач с помощью систем уравнений

Занятие 16. Тематическая контрольная работа № 8

Занятие 17. Повторение. Подготовка к государственному экзамену

Интернет-урок 1. Текстовые задачи

Интернет-урок 2. Работа с графиками

Интернет-урок 3. Решение уравнений и неравенств

Интернет-урок 4. Задачи по теме «Вероятность»

Интернет-урок 5. Задачи по теме «Производная функции и её применение»

Занятие 18. Тематическая контрольная работа № 9

Правило Крамера с двумя переменными

Правило Крамера — еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с использованием определителей.

В терминах обозначений матрица — это массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель — это массив чисел, заключенный в две вертикальные черты.

Обозначения

Формула для определения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

Давайте быстро рассмотрим:

Определитель матрицы 2 x 2

Быстрые примеры того, как найти детерминанты матрицы 2 x 2

Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.

Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.

Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

Зная, как найти определитель матрицы 2 x 2, теперь вы готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера.Вот так!

Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

• Назначьте имена для каждой матрицы

Матрица коэффициентов:

X — матрица:

Y — матрица:

От

до найдите переменную x.

От

до найдите переменную y.

Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

1) Столбцы \ large {x}, \ large {y} и постоянные члены \ large {c} получаются следующим образом:

2) Оба знаменателя при решении \ large {x} и \ large {y} совпадают.Они происходят из столбцов \ large {x} и \ large {y}.

3) Глядя на числитель при решении для \ large {x}, коэффициенты столбца \ large {x} заменяются постоянным столбцом (красным).

4) Таким же образом, чтобы найти \ large {y}, коэффициенты \ large {y} -столбца заменяются постоянным столбцом (красным).

Примеры решения систем линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пример 1 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициентов, \ large {x} и \ large {y}.Затем решите каждый соответствующий определитель.

После того, как все три детерминанты вычислены, пора найти значения \ large {x} и \ large {y}, используя приведенную выше формулу.

Я могу записать окончательный ответ как \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({2, — 1} \ right)}.

Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Задайте свои коэффициенты, матрицы \ large {x} и \ large {y} из данной системы линейных уравнений.Затем рассчитайте их детерминанты соответствующим образом.

Помните, что всегда вычитает произведений диагональных записей.

• Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y )

• Для X — матрица (заменить столбец x на столбец констант)

• Для Y — матрица (заменить y-столбец на постоянный)

Надеюсь, вам удобно вычислять определитель двумерной матрицы.Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты…

Записав окончательный ответ в точечной нотации, я получил \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({6, — 5} \ right)}.

Пример 3 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Эту проблему на самом деле довольно легко решить методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной x являются «одинаковыми», но только противоположными по знакам (+1 и -1). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы, и переменная x исчезает, оставляя вам одношаговое уравнение в \ large {y}.Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать наиболее эффективную. Всегда уточняйте у своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и разберемся с этим методом.

Я построю три матрицы (коэффициент, \ large {x} и \ large {y}) и оценю их соответствующие детерминанты.

• Для X — матрица (прописная D с нижним индексом x)

• Для Y — матрица (прописная D с индексом y)

После получения значений трех требуемых определителей я вычислю \ large {x} и \ large {y} следующим образом.

Окончательный ответ в виде баллов: \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({- 1,2} \ right)}.

Пример 4 : Решить по правилу Крамера систему с двумя переменными

Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам попробовать решить эту проблему самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

Если вы поймете все правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профи» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз.Так вы станете лучше в математике. Изучите множество проблем и, что более важно, много практикуйтесь самостоятельно.

Вы должны получить ответ ниже…

Пример 5 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \ large {x} и \ large {y} значительно упрощается. Убедитесь сами!

Окончательное решение этой проблемы —

Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Правило Крамера 3 × 3

Планирование / Курсы / Математика

Прикладная математика

Этот курс демонстрирует, как математические концепции применяются для решения реальных задач во всех сферах жизни студента.Математическое моделирование, графический анализ и компьютерные приложения используются в качестве инструментов при решении задач, связанных с математикой. Некоторые темы включают: простые и сложные проценты, амортизация, вероятность, статистика и графическое представление статистической информации, налогообложение доходов и экстраполяция.
11, 12 классы
Годовой предмет
1 зачетная единица
Школьный экзамен
Пререквизиты: Алгебра 1 R или Алгебра 1 RA / RB

Алгебра 1 Регенты A

Это первый год двухлетнего курса, который засчитывается в соответствии с начальными требованиями по математике и отвечает требованиям штата Нью-Йорк по математике для получения диплома Риджентс.Этот курс соответствует Общим стандартам обучения. Студенты будут изучать основы алгебры, линейные уравнения и неравенства, линейные функции (включая область определения и диапазон), линейные задачи и системы уравнений, операции с многочленами и факторизацию многочленов.
9 класс
Годовой предмет
1 зачетная единица
Школьный экзамен

Алгебра 1 Регент Б

Это второй год двухлетнего курса, который засчитывается в соответствии с требованиями к поступлению в математику и отвечает требованиям штата Нью-Йорк по математике для получения диплома Риджентс.Этот курс соответствует Общим основным учебным стандартам и должен стать вторым из трехлетней последовательности выпускных экзаменов. Студенты будут изучать разложение квадратичных множителей различными методами, параболами, приложениями с квадратичными функциями (преобразования, реальные прикладные задачи со словами и квадратично-линейные системы уравнений), смешанными функциями (линейными, квадратичными, экспоненциальными, квадратным корнем, кубическим корнем и абсолютное значение), кусочно-пошаговые функции, ряды и последовательности, одномерная статистика и двумерная статистика.
10 класс
Годовой предмет
Алгебра 1 экзамен Common Core
1 зачетная единица

Алгебра 1 Регенты

Это годичный курс, который учитывается при начальных этапах обучения математике и отвечает требованиям штата Нью-Йорк по математике для получения диплома Риджентс. Этот курс соответствует Общим основным учебным стандартам и должен стать первым из трехлетней последовательности. Студенты будут изучать линейные уравнения и неравенства, модели линейной регрессии, квадратные и экспоненциальные уравнения (включая рациональные показатели), квадратичные функции, а также формализовать и расширить понятие функций (включая обозначение функций, область определения и диапазон, а также изучение многих типов функций) .За этим курсом следует Геометрия.
9 класс
Годовой предмет
Алгебра 1 экзамен Common Core
1 зачетная единица

Геометрия

Это годичный курс, который засчитывается в соответствии с требованиями студента к поступлению по математике и отвечает требованиям штата Нью-Йорк по математике для получения диплома Риджентс. Он соответствует Общим основным стандартам обучения и рассчитан на второй год из трехлетней последовательности. В этом курсе используется комплексный подход к изучению связи алгебры с геометрическими отношениями и доказательствами.Особое внимание будет уделено свойствам треугольников, четырехугольников и окружностей. Соответствие и подобие треугольников будет установлено с помощью соответствующих теорем; преобразования, включая вращения, отражения, перемещения и отражения скольжения и координатную геометрию, будут использоваться для установления и проверки геометрических соотношений; будут изучены темы тригонометрии, распространяющиеся на трехмерную геометрию.
10, 11, 12 классы
Годовой предмет
Школьный экзамен
1 зачетная единица
Пререквизиты: математика, алгебра 1 R или алгебра 1 RB

Регенты геометрии

Это годичный курс, который засчитывается в соответствии с требованиями студента к поступлению по математике и отвечает требованиям штата Нью-Йорк к поступлению по математике для получения Диплома Риджентс или Диплома Риджентс с углубленным изучением.Он соответствует Общим основным стандартам обучения и рассчитан на второй год из трехлетней последовательности. В этом курсе используется комплексный подход к изучению связи алгебры с геометрическими отношениями и доказательствами. Особое внимание будет уделено свойствам треугольников, четырехугольников и окружностей. Соответствие и подобие треугольников будет установлено с помощью соответствующих теорем; преобразования, включая вращения, отражения, перемещения и отражения скольжения и координатную геометрию, будут использоваться для установления и проверки геометрических соотношений; будут изучены темы тригонометрии, распространяющиеся на трехмерную геометрию.
10, 11, 12 классы
Годовой предмет
Общий базовый экзамен по геометрии
1 зачетная единица
Пререквизиты: Алгебра 1 R или Алгебра 1 RB

Геометрия с отличием

Это годичный кредитный курс, который засчитывается в соответствии с требованиями студента к поступлению по математике и отвечает требованиям штата Нью-Йорк по математике для получения диплома Риджентс или Диплома Риджентс с углубленным изучением. Он соответствует Общим основным стандартам обучения и рассчитан на второй год из трехлетней последовательности.Это продвинутый курс, который включает в себя все темы из Geometry R и исследует более сложные геометрические взаимосвязи. Учащиеся, обучающиеся по программе Geometry Honors, двигаются быстрее, чем учащиеся по Geometry R, ​​и работают далеко за пределами учебной программы Geometry R. В этом курсе используется комплексный подход к изучению геометрических соотношений и доказательств. Конгруэнтность и подобие треугольников будет установлено с помощью соответствующих теорем. Преобразования, включая повороты, отражения, перемещения и отражения скольжения и координатную геометрию, будут использоваться для установления и проверки геометрических соотношений.Особое внимание будет уделено свойствам треугольников, четырехугольников и окружностей. Этот курс также включает темы по трехмерной геометрии.
9 классы
Годовой предмет
1 зачетная единица
Экзамен по общей базовой геометрии
Необходимое условие: ускоренный 8-й класс по математике с получением мастерской на экзамене Algebra 1 Common Core

Алгебра 2

Это одногодичный курс, который будет третьим курсом математики для старшеклассников.Этот курс соответствует требованиям для получения диплома Риджентс. Акцент будет сделан на решении проблем, анализе, рассуждениях, шаблонах, моделировании, измерениях и функциях. Темы обучения включают: тригонометрические уравнения, функции и графики, экспоненциальные и логарифмические функции, статистику, вероятность и последовательности. Графический калькулятор будет использоваться в течение года.
11, 12 классы
Годовой предмет
1 зачетная единица
Школьный экзамен
Предварительные требования: геометрия или геометрия R

Алгебра 2 Регента

Это годичный курс, который станет третьим курсом по общей математике для старшеклассников.Акцент будет сделан на решении проблем, анализе, рассуждениях, шаблонах, моделировании, измерениях и функциях. Темы обучения включают: полиномиальные, рациональные и радикальные уравнения; комплексная система счисления; экспоненциальные и логарифмические функции; тригонометрические уравнения, функции и графики; вероятность и статистика; и серии и последовательности. Графический калькулятор потребуется в течение года. Студенты должны иметь очень сильный опыт в геометрии R и достичь большего, чем минимальные стандарты успеха.
10, 11, 12 классы
Годовой предмет
1 зачетная единица
Экзамен по алгебре 2 Common Core
Пререквизиты: геометрия R

Алгебра 2 с отличием

Это годичный курс, который станет третьим курсом по общей математике для старшеклассников. Студенты, изучающие алгебру 2 H, двигаются быстрее, чем студенты, изучающие алгебру 2 R, и работают с более сложными приложениями из материала. Акцент будет сделан на решении проблем, анализе, рассуждениях, шаблонах, моделировании, измерениях и функциях.Темы исследования включают в себя; полиномиальные, рациональные и радикальные уравнения; комплексная система счисления; экспоненциальные и логарифмические функции; тригонометрические уравнения, функции и графики; вероятность и статистика; и серии и последовательности. Студенты, планирующие пройти Advanced Placement Calculus, должны записаться на этот курс. Графический калькулятор потребуется в течение года. Студенты должны иметь очень сильное образование как в геометрии H, так и в интегрированной алгебре, а также достичь большего, чем минимальный стандарт успеха.
10 класс
Годовой предмет
1 зачетная единица
Экзамен по алгебре 2 Common Core
Предварительные условия: геометрия H и рекомендация учителя геометрии

Предварительный расчет

Этот курс сочетает в себе плоскую тригонометрию и продвинутую алгебру. Изучаемые темы включают: числа и функции, линейные и квадратичные функции, полиномиальные и рациональные функции, экспоненциальные и логарифмические функции. Ожидается, что студенты купят или арендуют графический калькулятор.
12 класс
Годовой предмет
1 зачетная единица
Школьный экзамен
Предварительные требования: Алгебра 2 или Алгебра 2 R

Регенты Precalculus

Этот курс разработан, чтобы охватить те темы, которые необходимы для создания прочного фундамента, на котором основывается изучение математического анализа. Охватываемые темы включают: построение графиков и решение полиномиальных и рациональных функций, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций, векторов и матриц. Графический калькулятор требуется в течение года.Чтобы успешно пройти этот курс, учащиеся должны иметь большой опыт в предыдущих уроках математики. Будет летнее задание.
Класс 11, 12
Годовой предмет
1 зачетная единица
Школьный экзамен
Пререквизиты: Алгебра 2 R или Алгебра 2 H

Precalculus Honors

Этот курс разработан специально для студентов, планирующих пройти курс Advanced Placement по математике в следующем году. Темы включают: полиномиальные и рациональные функции, экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции, аналитическую геометрию, последовательности и ряды.Графический калькулятор требуется в течение года. Студенты должны иметь очень хороший опыт в алгебре 2 H, чтобы успешно пройти этот курс.
11, 12 классы
Годовой предмет
1 зачетная единица
Школьный экзамен
Пререквизиты: Алгебра 2 H

Advanced Placement
Calculus AB Уровень

Этот полный годовой курс колледжа разработан для учащихся ускоренного курса, которые планируют продолжить карьеру в области математики или естественных наук и хотят получить зачетные единицы колледжа по математическому анализу I и / или математическому анализу II.Темы включают изучение пределов и непрерывности, приложений производных, приложений определенных интегралов, исчисление трансцендентных функций и передовые методы интегрирования. Изучение этих тем требует использования графического калькулятора. A. P. Calculus включает обязательный лабораторный период, который проводится еженедельно. Перед зачислением в A.P. Calculus студентам рекомендуется пройти программу с отличием. Учащиеся должны хорошо разбираться в тригонометрии и предварительном исчислении и добиваться успехов, превышающих минимальные стандарты.Будет летнее задание. Все студенты должны сдать экзамен в мае. Студенты должны оплатить экзамен до установленного срока в ноябре. Отказ может быть организован для студентов, обучающихся по программе бесплатного или льготного обеда.
12 класс
Годовой предмет
1 зачетная единица
Экзамен A.P. (95 долларов США) и школьный экзамен
Предварительные условия: Precalculus H

Advanced Placement
Calculus BC Уровень

Этот полный годовой курс колледжа разработан для сильных ускоренных студентов, которые планируют продолжить карьеру в области математики или естественных наук и хотят получить зачетные единицы колледжа по математическому анализу I, II и, возможно, III.Темы включают изучение пределов (включая формальное определение Эпсилон-Дельта), пределов и непрерывности функций (включая параметрические, полярные и векторные функции), приложений производных, приложений определенных интегралов, исчисления трансцендентных функций, передовых методов интеграция, а также понятие серии и последовательности. Изучение этих тем требует использования графического калькулятора. A.P. Calculus BC включает обязательный лабораторный период, который проводится еженедельно. От студентов требуется пройти программу с отличием, прежде чем они будут зачислены на факультет исчисления уровня Британской Колумбии.Студенты должны иметь большой опыт в тригонометрии и предварительном исчислении и достичь большего, чем минимальные стандарты успеха. Будет летнее задание. Все студенты должны сдать экзамен в мае. Студенты должны оплатить экзамен до установленного срока в ноябре. Отказ может быть организован для студентов, обучающихся по программе бесплатного или льготного обеда.
12 класс
Годовой предмет
1 зачетная единица
Экзамен A.P. (95 долларов США) и школьный экзамен
Предварительные условия: Precalculus H
Предварительные или совместные требования: Физика

рэнд

Advanced Placement
Статистика

Этот курс эквивалентен вводному курсу статистики, который обычно требуется для таких специальностей, как социальные науки, здравоохранение и бизнес.Курс познакомит студентов с основными концепциями и инструментами для сбора, анализа и вывода на основе данных. Студенты знакомятся со следующими концептуальными темами: изучение данных, выборка, экспериментирование, прогнозирование закономерностей, вероятность, моделирование и статистический вывод. Студенты, успешно завершившие курс и сдавшие экзамен, могут получить кредит колледжа за вводный курс статистики колледжа продолжительностью один семестр. Требуются графические калькуляторы. Все студенты должны сдать экзамен в мае.Студенты должны оплатить экзамен до установленного срока в ноябре. Отказ может быть организован для студентов, обучающихся по программе бесплатного или льготного обеда.
11, 12 классы
Годовой предмет
1 зачетная единица
Экзамен A.P. (95 долларов США) и школьный экзамен
Предварительные требования: Алгебра 2 H (с рекомендациями), Precalc R, Precalc H

Продвинутый уровень
Информатика

Этот курс предназначен для использования в качестве вводного курса колледжа для специалистов по информатике и в качестве курса для студентов, которые будут изучать другие дисциплины, требующие значительного участия в вычислениях.Экзамен потребует чтения и написания программ, использующих Java. Темы включают разработку и анализ программ, стандартную структуру данных, алгоритмы, компьютерные системы и тематические исследования. Студенты должны рассчитывать минимум три часа в неделю на программирование вне класса. Предыдущий опыт программирования был бы полезен, но не обязателен. Все студенты должны сдать экзамен в мае. Студенты должны оплатить экзамен до установленного срока в ноябре. Отказ может быть организован для студентов, обучающихся по программе бесплатного или льготного обеда.
11, 12 классы
Годовой предмет
1 зачетная единица
Экзамен A.P. (95 долларов США) и школьный экзамен
Предварительные требования: геометрия R или H, Corequisite Alg 2 R, Alg 2 H

Исчисление

Этот курс разработан как вводный курс математического анализа в колледже. Охватываемые темы будут включать: функции, графики, пределы и непрерывность, производные, интегралы, приложения производных и приложения интегралов. Студенты должны хорошо разбираться в алгебре, геометрии, тригонометрии и элементарных функциях.
12 класс
Годовой предмет
1 зачетная единица
Школьный экзамен
Предварительные условия: Precalc R, Precalc H

Компьютерное программирование

Этот курс предназначен для ознакомления студентов с концепцией компьютерного программирования. Студенты научатся программировать в дисциплинированном стиле, что приведет к созданию эффективных и легко читаемых программ. Коды будут хорошо задокументированы и хорошо продуманы, включая использование блок-схем для моделирования конструкции кода.Компьютерный язык, используемый для обучения в классе, будет Java.
9, 10, 11, 12 класс
Предмет одного семестра
1/2 зачетной единицы
Школьный экзамен
Сопутствующие реквизиты: Геометрия R или Геометрия H

Университет Акрона, Огайо

Отделение технической математики Департамента предлагает общеобразовательные курсы математики, которые являются частью модуля перевода штата Огайо, а также многие обязательные курсы математики продвинутого уровня, которые требуются для получения различных степеней младшего специалиста и бакалавра.

Сертификат по технической математике

Этот сертификат, требующий минимум 11 кредитных часов, предназначен для развития знаний в области технической математики и способности применять эти знания в промышленных условиях. По крайней мере, 6 из 11 кредитных часов необходимо пройти в Колледже прикладных наук и технологий со средним баллом 2,5. Для выдачи этого сертификата не требуется получения ученой степени.

2030: 130 Математика для здоровья союзников (3 кредита)
Предварительные условия: вступительный тест.

Система действительных чисел, системы измерения, преобразования, линейные уравнения, факторинг, квадратные уравнения, построение графиков, линейные системы, систематизация данных, средние значения, стандартное отклонение, нормальное распределение.

2030: 151 Техническая математика I (2 кредита)
Предварительные условия: Тест на размещение.

Основные понятия и операции, функции, графики, факторизация и алгебраические дроби, вариации и квадратные уравнения.

2030: 152 Техническая математика II (2 кредита)
Необходимое условие: 151 балл с оценкой C- или выше или тестом на размещение.

Вариация, уравнения прямых, правило Крамера, тригонометрия прямоугольного треугольника, косые треугольники, комплексные числа.

2030: 153 Technical Math III (2 кредита)
Необходимое условие 2030: 152 или эквивалент с оценкой C- или выше или тестом на определение места.

Факторинг, алгебраические дроби, показатели и радикалы, уравнения с радикалами, уравнения в квадратичной форме, функции, их свойства и графики, экспоненциальные и логарифмические функции, радианная мера.

2030: 154 Technical Math IV (3 кредита)
Необходимые условия: 153 или эквивалент с оценкой C- или выше тестового задания.

Функции и их графики, полиномиальные и рациональные функции, полиномиальные уравнения, графики тригонометрических функций, тригонометрические тождества и уравнения, аналитическая геометрия, комплексные числа в полярной форме.

2030: 161 Математика для современных технологий (4 кредита)
Предварительные условия: вступительный тест или завершение 2010 года: 052, 054, 057 или 084 с оценкой C или выше.

Линии, линейная регрессия, множества, подсчет, базовая вероятность, базовая статистика, биномиальное и нормальное распределения, финансовая математика, символическая логика, аргументы, логические схемы.

Системы счисления. Аналитическая геометрия прямой, линейной системы. Матрицы и матричные методы, определители. Наборы и логика. Вероятность и статистика. Математика финансов.

2030: 216 Прикладная конечная математика (3 кредита)
Пререквизиты: 2030: 153 или эквивалент с оценкой C- или выше или вступительным тестом.

Системы счисления, кольца целых чисел, конечные поля, алгоритмы теории чисел, простые числа и тесты простоты, факторизация и случайные числа.

2030: 255 Техническое исчисление I (3 кредита)
Предварительное условие 2030: 154 или эквивалент с оценкой C- или выше или тестом на размещение.

Производная, приложения производной, производные от тригонометрических, логарифмических и экспоненциальных функций. Интеграция путем антидифференцировки.

2030: 260 Продвинутая тригнометрия (2 кредита)
Обязательное условие 2030: 153 или эквивалент с оценкой C- или выше или контрольным экзаменом

Горизонтальные круглые кривые, вертикальные кривые и сферические треугольники.

2040: 290 ST: Assoc Studies Math (1-4 кредита)
Необходимое условие: разрешение

Избранные темы по тематическим областям, представляющим интерес в ассоциированных исследованиях (могут повторяться при изменении темы).

2030: 345 Анализ технических данных (2 кредита)
Предварительное условие 2030: 154 или эквивалент с оценкой C- или выше или тестом на размещение.

Обобщение данных, включая графическое представление, числовые меры, введение в вероятность, доверительные интервалы и проверку гипотез.

2030: 356 Technical Calculus II (3 кредита)
Предварительное условие 2030: 255 или эквивалент с оценкой C- или выше или тестом на определение места.

Методы и приложения интегрирования, дифференциальные уравнения первого и второго порядка и приложения, разложение в ряд. Преобразование Лапласа, частные производные и двойные интегралы.

2030: 361 Прикладная криптография (3 кредита)
Необходимое условие: оценка C- или выше в 2030: 154 или 2030: 216

Симметричная криптография, модульная арифметика, потоковые и блочные шифры, случайные числа. Advanced Encryption Standard, криптография с открытым ключом, обмен ключами, цифровые подписи, хэш-функции, аутентификация сообщений.

2030: 461 Прикладной криптоанализ (3 кредита)
Необходимое условие: 2030: 361 с оценкой C или выше.

Концепции криптоанализа; криптоанализ криптосистем с симметричным и открытым ключом, систем обмена ключами и цифровых подписей; устойчивость к коллизиям хэш-функций; криптоанализ с помощью квантовых компьютеров.

2030: 480 ADV T: Техническая математика (2 кредита)
Пререквизиты 2030: 255 или эквивалент с оценкой C- или выше или тестом на определение места.

Матрицы, введение в ряды, частные производные, корректировки методом наименьших квадратов, темы по астрономии и системам координат.

Текущие курсы математики

UC *, CSU MAT-1A + MAT-1B (C-ID MATH 210)

Описание курса

Пререквизиты: MAT-10 или MAT-23 или соответствующий уровень размещения.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Функции, пределы, непрерывность, методы и приложения дифференцирования, основная теорема исчисления и базовое интегрирование.72 часа лекций и 18 часов лабораторных. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass)

MAT-1B: Исчисление II

UC, CSU MAT-1A + MAT-1B (C-ID MATH 220)

Описание курса

Необходимое условие: MAT-1A

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Методы интегрирования, приложения интегрирования, несобственные интегралы, параметрические уравнения, полярные координаты, бесконечные последовательности и ряды.72 часа лекций и 18 часов лабораторных. (Letter Grade или вариант Pass / Not Pass.) (ПРИМЕЧАНИЕ: MAT-1A + MAT-1B = C-ID MATH 900S)

MAT-1C: Исчисление III

UC, CSU (C-ID MATH 230)

Описание курса

Необходимое условие: MAT-1B

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Векторы на плоскости и в пространстве, векторные функции, исчисление функций многих переменных, частные производные, множественные интегралы, линейные и поверхностные интегралы, теорема Грина, теорема Стокса, теорема о расходимости и элементарные приложения в физике и науках о жизни.72 часа лекции. 18 часов лаб.

MAT-2: Дифференциальные уравнения

UC, CSU (C-ID MATH 240)

Описание курса

Необходимое условие: MAT-1B

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Это курс дифференциальных уравнений, включающий как количественные, так и качественные методы, а также приложения из различных дисциплин.Знакомит с теоретическими аспектами дифференциальных уравнений, в том числе установлением того, когда существует решение (я), и методами получения решений, включая линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, серийные решения, преобразования Лапласа, линейные системы и элементарные приложения в физических и биологических науках. . 72 часа лекции. (Letter Grade или вариант Pass / Not Pass.)

MAT-3: линейная алгебра

UC, CSU (C-ID MATH 250)

Описание курса

Необходимое условие: MAT-1B

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Этот курс исследует концепции элементарного векторного пространства и геометрическую интерпретацию, а также развивает методы и теорию для решения и классификации систем линейных уравнений.Методы решения включают метод исключения Гаусса и Гаусса-Жордана, правило Крамера и обратные матрицы. Исследует свойства векторов в двух, трех и конечных измерениях, что приводит к понятию абстрактного векторного пространства. Представлены векторные пространства и теория матриц, включая такие темы, как детерминанты, линейная независимость, основы и размерность векторного пространства, линейные преобразования и их матричные представления, скалярные произведения, нормы, ортогональность, собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства.Включены избранные приложения линейной алгебры. 54 часа лекции. (Letter Grade или вариант Pass / Not Pass.)

MAT-5: Расчет для бизнеса и наук о жизни

UC *, CSU (C-ID MATH 140)

Описание курса

Предпосылка: MAT-35 или соответствующее размещение.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Изучение методов исчисления для специальностей в области бизнеса, делового администрирования, биологических и социальных наук.Акцент на решение проблем и приложения. Темы включают: функции, графики, пределы, производные, интегралы, экспоненциальные и логарифмические функции. 72 часа лекции. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass.)

MAT-10: Предварительный расчет

UC *, CSU (C-ID MATH 155)

Описание курса

Предварительные условия: MAT-36 или соответствующее размещение

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Подготовка к исчислению: полиномиальные, абсолютные, радикальные, рациональные, экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции и их графики; аналитическая геометрия, полярные координаты, последовательности и ряды.Студенты не могут получить зачет за MAT 10, если они уже получили зачет за MAT 23. 90 часов лекции. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass)

MAT-11: Колледж по алгебре

UC *, CSU

Описание курса

Пререквизиты: MAT-35 или квалификационный уровень размещения.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Этот курс предназначен для студентов, изучающих гуманитарные и гуманитарные науки.Темы, затронутые в этом курсе, развивают понимание и использование реальных приложений полиномиальных, радикальных, рациональных, абсолютных, экспоненциальных и логарифмических функций; системы уравнений; полиномиальные уравнения; перестановки и комбинации; аналитическая геометрия; и линейное программирование. 72 часа лекции. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass)

MAT-12: Статистика

UC, CSU (C-ID MATH 110)

Описание курса

Пререквизиты: MAT-35 или MAT-37 или MAT-42 или соответствующий уровень размещения.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Комплексное исследование показателей центральной тенденции и вариации, корреляции и линейной регрессии, вероятности, нормального распределения, t-распределения, распределения хи-квадрат, оценки, проверки гипотез, дисперсионного анализа и применения статистического программного обеспечения. к данным, включая интерпретацию релевантности статистических результатов. Будут включены приложения, использующие данные из бизнеса, образования, здравоохранения, науки о жизни, психологии и социальных наук.72 часа лекции. (Letter Grade или вариант Pass / Not Pass.)

MAT-12H: Статистика с отличием

UC, CSU (C-ID MATH 110)

Описание курса

Пререквизиты: MAT-35 или MAT-37 или MAT-42 или соответствующий уровень размещения.

Ограничение на зачисление (например, проба на выступление или прослушивание): Зачисление в программу с отличием.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Комплексное исследование показателей центральной тенденции и вариации, корреляции и линейной регрессии, вероятности, нормального распределения, t-распределения, распределения хи-квадрат, оценки, проверки гипотез, дисперсионного анализа и применения статистического программного обеспечения. к данным, включая интерпретацию релевантности статистических результатов. Будут включены приложения, использующие данные из бизнеса, образования, здравоохранения, науки о жизни, психологии и социальных наук.Курс с отличием предлагает обогащенный опыт для ускоренных студентов за счет ограниченного размера класса, формата семинара, сосредоточения внимания на основных текстах и ​​применения навыков критического мышления более высокого уровня. Студенты не могут получить зачет как за MAT-12, так и за MAT-12H. 72 часа лекции. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass.)

MAT-23: Тригонометрия и предварительное вычисление

UC, CSU (C-ID MATH 110)

Описание курса

Пререквизиты: MAT-35 или квалификационный уровень размещения.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Ускоренный курс математики на уровне колледжа, предназначенный для подготовки студентов к математическому анализу. Студенты будут изучать полиномиальные, абсолютные, радикальные, рациональные, экспоненциальные и логарифмические функции, аналитическую геометрию и полярные координаты. Изучение тригонометрических функций, их обратных и их графиков, тождеств и доказательств, связанных с тригонометрическими выражениями, тригонометрическими уравнениями, решения прямоугольных треугольников, решения треугольников с использованием закона косинусов и закона синусов, а также введение в векторы.Студенты, получившие зачет за MAT 23, не могут получить зачет за MAT 10 и MAT 36. 90 часов лекций и 54 часа лабораторных занятий. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass.)

MAT-25: Математика для студентов, изучающих гуманитарные науки

UC, CSU

Описание курса

Пререквизиты: MAT-35 или MAT-42 или соответствующий уровень размещения.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Обзорный курс на уровне колледжа по избранным темам из истории и развития математики, шаблонов и индуктивного мышления, теории множеств и дедуктивного мышления, геометрии, вероятности, статистики и решения задач. Вы можете охватить 2 из следующих тем: анализ измерений, геометрия, математика различных основ или разработка числовых систем из древних культур. Он предназначен для студентов, изучающих гуманитарные науки, образование или общение.Для выбранных тем можно использовать калькуляторы или компьютеры. 54 часа лекций.

MAT-26: Математика для учителей начальной школы

Описание курса

Пререквизиты: MAT-35или квалификационный уровень размещения.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Этот курс предназначен для учителей начальной школы.В курсе будут рассмотрены пять областей содержания: нумерация; теория чисел; свойства чисел; решение проблем; и стандарты учебной программы. 54 часа лекции. (Letter Grade или вариант Pass / Not Pass.)

MAT-35: Промежуточная алгебра

Описание курса

Предпосылка: MAT-52

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Понятия, введенные в элементарную алгебру, представлены снова, но более подробно.Помимо основных алгебраических операций и построения графиков, студенты знакомятся с функциями, обратными функциями, экспоненциальными и логарифмическими функциями, комплексными числами, коническими сечениями, нелинейными системами уравнений, а также последовательностями и рядами. Лекция 90 часов. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass)

MAT-36: Тригонометрия

CSU (C-ID MATH 851)

Описание курса

Предварительные условия: MAT-35 и MAT-53 или соответствующее размещение

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Изучение тригонометрических функций, их обратных и их графиков; тождества и доказательства, связанные с тригонометрическими выражениями; решение тригонометрических уравнений; решение прямоугольных треугольников; решение наклонных треугольников по закону синусов и косинусов; полярные координаты; комплексные числа; введение в векторы и элементы геометрии, важные для основ тригонометрии.72 часа лекции. (Вариант Letter Grade или Pass / Not Pass)

MAT-37: Предварительная статистика

Описание курса

Пререквизиты: MAT-65 или квалификационный уровень размещения

Кредит за курс Рекомендация: Кредит без степени

Это интенсивный курс, который готовит студентов к переходу на статистику. Темы включают работу с числовой информацией (дроби, десятичные дроби, проценты), оценку выражений, связанных со статистическими формулами, графическую и числовую описательную статистику для количественных и категориальных данных.Двусторонние таблицы, линейная корреляция и регрессия и введение в нормальное распределение. Особое внимание уделяется навыкам чтения, письма и критического мышления, необходимым для статистики колледжа. Этот курс подходит для студентов, которые не планируют специализироваться в математике, естественных науках, информатике, бизнесе, технологиях, инженерии и расчетах в интенсивных областях социальных наук. 72 часа лекции и 54 часа лабораторной работы. Буквенная оценка или вариант «успешно / не пройден».

MAT-52: Элементарная алгебра

Описание курса

Предварительные требования: Нет

Кредит за курс Рекомендация: Кредит без степени

Исследует четыре основных действия с действительными числами без использования каких-либо вычислительных устройств.Переменные будут охвачены, поскольку они входят в полиномы, дроби, линейные уравнения, квадратные уравнения, системы уравнений, неравенства, экспоненциальные и радикальные выражения и абсолютные значения. Также будут включены приложения факторинга, построения графиков и текстовых задач. Лекция 90 часов. (Курс без зачета степени. Буквенная оценка или вариант «сдано / не сдано».)

MAT-53: Геометрия колледжа

Описание курса

Пререквизиты: MAT-52 или квалификационное размещение.

Кредит за курс Рекомендация: Кредит на степень

Курс, посвященный изучению плоской геометрии и трехмерных фигур. Эти темы включают углы, треугольники, четырехугольники, круги и твердые тела, их формулы для измерения таких фигур, включая периметр, площадь и объем. Студенты создают доказательства геометрических понятий, используя постулаты и теоремы, связанные с геометрическими объектами и их характеристиками. Лекция 54 ч.

MAT-105: обязательная поддержка математики 5

Описание курса

Предварительные условия: Соответствующее размещение

Необходимое условие: MAT-5

Кредит за курс Рекомендация: Кредит без степени

Параллельный обязательный курс, содержащий концепции геометрии и алгебры, разработанный для поддержки студентов в области математического анализа для бизнеса и наук о жизни.Темы включают обзор навыков, приобретенных в геометрии и промежуточной алгебре: площадь и объем, факторинг, построение графиков, операции с рациональными и радикальными выражениями, линейные, экспоненциальные и логарифмические выражения и уравнения, функции, включая композицию и обратные, а также углубленное изучение линейные и квадратичные функции. Темы преподаются стратегически в течение семестра, чтобы обеспечить «своевременное» обучение навыкам, необходимым для усвоения концепций MAT 5 по мере их возникновения в этом курсе.Разнообразный подход к процессам решения проблем и совершенствованию учебных стратегий подготовит студента к последующим университетским курсам. 36 часов лекции. (Успешно / Нет.)

MAT-112: обязательная поддержка математики 12

Описание курса

Предварительные условия: Соответствующее размещение

Необходимое условие: MAT-12

Кредит за курс Рекомендация: Кредит без степени

Параллельный обязательный курс, содержащий арифметические и алгебраические понятия, разработанный для поддержки студентов в области статистики.Темы включают обзор навыков, полученных в алгебре: порядок операций, научное представление, преобразование дробей, десятичных знаков и процентов, решение линейных уравнений и использование символов, обозначений и словаря алгебры. Темы преподаются стратегически в течение семестра, чтобы обеспечить «своевременное» обучение навыкам, необходимым для усвоения концепций MAT-12 по мере их возникновения в этом курсе. Разнообразный подход к процессам решения проблем и совершенствованию учебных стратегий подготовит студента к последующим университетским курсам.36 часов лекции. (Пройден / Не пройден)

MAT-125: обязательная поддержка MAT-25

Описание курса

Предварительные условия: Соответствующее размещение

Необходимое условие: MAT-25

Кредит за курс Рекомендация: Кредит без степени

Параллельный обязательный курс, содержащий понятия алгебры, разработанный для поддержки студентов, изучающих MAT-25 (математика для студентов, изучающих гуманитарные науки).Темы включают обзор навыков элементарного и среднего курса алгебры: округление целочисленных значений, перевод фраз в математические выражения, решение задач с использованием процентов и десятичных дробей, оценка выражений, содержащих показатели степени, решение линейных уравнений, применение четырех основных операций к действительным числам, построение графиков. и написание линейных уравнений с использованием угла наклона и точки пересечения по оси Y и упрощение выражений с использованием порядка операций. Темы преподаются стратегически в течение семестра, чтобы обеспечить «своевременное» обучение навыкам, необходимым для усвоения концепций MAT 25 по мере их возникновения в этом курсе.Разнообразный подход к процессам решения проблем и совершенствованию учебных стратегий подготовит студента к последующим университетским курсам. 36 часов лекции. (Успешно // Нет прохода)

MAT-136: обязательная поддержка MAT-36

Описание курса

Предварительные условия: Соответствующее размещение

Необходимое условие: MAT-36

Кредит за курс Рекомендация: Кредит без степени

Параллельный обязательный курс, содержащий понятия алгебры, разработанный для поддержки студентов в области тригонометрии.Темы включают обзор навыков, приобретенных в промежуточной алгебре: факторинг, построение графиков линейных и квадратичных функций, операции над рациональными и радикальными выражениями, линейными и квадратными выражениями и уравнениями, а также углубленное изучение операций над функциями, включая композицию и обратные. Темы преподаются стратегически в течение семестра, чтобы обеспечить «своевременное» обучение навыкам, необходимым для усвоения концепций MAT-36 по мере их возникновения в этом курсе. Разнообразный подход к процессам решения проблем и совершенствованию учебных стратегий подготовит студента к последующим университетским курсам.36 часов лекции. (Успешно / Нет.)

Замена, одновременная, Правило Крамера: Практическое пособие по алгебре с ответами (серия «Улучшите свою математическую беглость»): МакМаллен, Крис: 97819416

: Amazon.com: Книги

Сравнение книг по алгебре Криса МакМаллена , Кандидат наук.

(1) Практическое руководство по основным навыкам алгебры с ответами, ISBN 194169134X

• Более вводный уровень, начиная с того, что такое алгебра.
• Охватывает широкий спектр тем.
• Включает полные решения (больше, чем просто ответы).
• Дополнительные примеры и обсуждение основных концепций.
• На 388 страницах это самая большая книга автора по алгебре.

(2) Практическое пособие по основам алгебры с ответами, ISBN 1453661387

• Оригинальная книга по алгебре Криса МакМаллена (опубликована в 2001 году, пересмотрена в 2014 и 2020 годах).
• Более средний уровень, ориентированный на решение неизвестных.
• Больше внимания уделяется основным навыкам.
• Цель — практика. Включает в себя массу задач, но гораздо меньше разнообразия.
• Включает только ответы (не полные решения).
• Примерно вдвое меньше новой книги автора (Основные навыки алгебры).

(3) 101 Задания по алгебре с ответами, ISBN 19416

• Для студентов, знакомых с умножением квадратных корней, решением систем уравнений и решением квадратичных решений.
• Обладает различными навыками по алгебре 1 и алгебре 2, в том числе по построению формул.
• Включает отдельные разделы с ответами, подсказками и полными решениями.
• Решение сложных задач по алгебре помогает развить беглость речи.

(4) Практическое пособие по проблемам алгебры слов с полными решениями, ISBN 19416

• 30 полностью решенных примеров.
• 70 задач Word с полными решениями.

(5) Практическое пособие по базовым навыкам построения линейных графиков, ISBN 19416

• Построение точек, прямых линий, наклона, пересечения по оси Y, уравнений и т. Д.
• 180 страниц посвящены исключительно алгебре построения графиков.

(6) Системы уравнений: подстановка, одновременность, правило Крамера, ISBN 19416

• Сосредоточен на решении только двух или трех уравнений с двумя или тремя неизвестными.
• Включает методы подстановки, одновременные уравнения и определители.

(7) 50 сложных задач по алгебре (полностью решенные)

• Задачи выбраны для обучающей ценности их решений.
• Уровень сложности варьируется, но большинство задач «решаются» студентами, свободно владеющими алгеброй.

(8) Практическое пособие для начинающих по алгебре, ISBN 19416

• Основное внимание уделяется базовым навыкам, таким как объединение одинаковых терминов, распределение, разложение на множители, выделение неизвестного и метод FOIL.
• Кратко излагает основные идеи, предоставляет примеры, предлагает несколько практических упражнений и включает ответы на обороте.

(9) Практическое пособие по основным навыкам предалгебры, ISBN 19416

• Станьте более свободными в арифметике.
• Узнать порядок работы.
• Практикуйте базовые навыки алгебры.

Алгебра II: Матрицы и детерминанты — Видео и уроки

Если вам сложно осмыслить матрицы, эта глава для вас. Наши инструкторы могут показать вам, как эти наборы чисел используются для решения систем уравнений линейной алгебры, что делает матрицы полезным инструментом в различных областях, включая компьютерное программирование. Посмотрите видео, чтобы узнать, как выполнять основные арифметические операции с матрицами и работать с их определителями.К концу этой главы вы сможете:

Детерминанты и правило Крамера

Линейные системы двух переменных и правило Крамера

Напомним, что матрица — это прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов.Мы классифицируем матрицы по количеству строк n и количеству столбцов m . Например, матрица 3 × 4, читаемая как «матрица 3 на 4», состоит из 3 строк и 4 столбцов. Квадратная матрица Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. — матрица, в которой количество строк совпадает с количеством столбцов. В этом разделе мы обрисовываем еще один метод решения линейных систем с использованием специальных свойств квадратных матриц. Начнем с рассмотрения следующей матрицы коэффициентов 2 × 2 A ,

A = [a1b1a2b2]

Определитель Действительное число, связанное с квадратной матрицей.матрицы 2 × 2, обозначенной вертикальными линиями | A |, или более компактно как det ( A ), определяется следующим образом:

Определитель — это действительное число, которое получается вычитанием произведений значений на диагонали.

Пример 1

Вычислить: | 3−52−2 |.

Решение:

Вертикальные линии по обе стороны от матрицы показывают, что нам нужно вычислить определитель.

| 3−52−2 | = 3 (−2) −2 (−5) = — 6 + 10 = 4

Ответ: 4

Пример 2

Вычислить: | −6403 |.

Решение:

Обратите внимание, что матрица дана в виде верхнего треугольника.

| −6403 | = −6 (3) −4 (0) = — 18−0 = −18

Ответ: −18

Мы можем решать линейные системы с двумя переменными, используя определители.Начнем с общей линейной системы 2 × 2 и решим относительно y . Чтобы исключить переменную x , умножьте первое уравнение на −a2, а второе уравнение на a1.

{a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 ⇒ × (−a2) ⇒ × a1 {−a1a2x − a2b1y = −a2c1a1a2x + a1b2y = a1c2

Это приводит к эквивалентной линейной системе, в которой переменная x выровнена для исключения. Теперь складывая уравнения, мы получаем

И числитель, и знаменатель очень похожи на определитель матрицы 2 × 2.На самом деле это так. Знаменатель — это определитель матрицы коэффициентов. И числитель является определителем матрицы, образованной заменой столбца, который представляет коэффициенты y , на соответствующий столбец констант. Эта специальная матрица обозначается Dy.

y = DyD = | a1c1a2c2 | | a1b1a2b2 | = a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1

Значение x может быть получено аналогичным образом.

x = DxD = | c1b1c2b2 | | a1b1a2b2 | = c1b2 − c2b1a1b2 − a2b1

В целом, мы можем сформировать расширенную матрицу следующим образом:

{a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 ⇔ [a1b1 | c1a2b2 | c2]

, а затем определите D, Dx и Dy, вычислив следующие определители.

D = | a1b1a2b2 | Dx = | c1b1c2b2 | Dy = | a1c1a2c2 |

Решение системы в терминах определителей, описанных выше, когда D ≠ 0, называется правилом Крамера Решение независимой системы линейных уравнений, выраженное в терминах определителей.

Правило Крамера (x, y) = (DxD, DyD)

Эта теорема названа в честь Габриэля Крамера (1704 — 1752).

Рисунок 3.2

Габриэль Крамер

Шаги решения линейной системы с двумя переменными с использованием определителей (правило Крамера) описаны в следующем примере.

Пример 3

Решите, используя правило Крамера: {2x + y = 7 3x − 2y = −7.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что линейная система имеет стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте расширенную матрицу и сформируйте матрицы, используемые в правиле Крамера.

{2x + y = 7 3x − 2y = −7 ⇒ [21 | 73−2 | −7]

В квадратной матрице, используемой для определения Dx, замените первый столбец матрицы коэффициентов константами.В квадратной матрице, используемой для определения Dy, замените второй столбец константами.

D = | 213−2 | Dx = | 71−7−2 | Dy = | 273−7 |

Шаг 2 : Рассчитайте детерминанты.

Dx = | 71−7−2 | = 7 (−2) — (- 7) (1) = — 14 + 7 = −7Dy = | 273−7 | = 2 (−7) −3 (7) = −14−21 = −35D = | 213−2 | = 2 (−2) −3 (1) = — 4−3 = −7

Шаг 3 : Используйте правило Крамера для вычисления x и y .

x = DxD = -7-7 = 1 и y = DyD = -35-7 = 5

Следовательно, одновременное решение (x, y) = (1,5).

Шаг 4 : Проверка не обязательна; однако мы делаем это здесь для полноты картины.

Ответ: (1, 5)

Пример 4

Решите, используя правило Крамера: {3x − y = −26x + 4y = 2.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица коэффициентов следует.

{3x − y = −26x + 4y = 2 ⇒ [3−1 | −264 | 2]

А у нас,

Dx = | −2−124 | = −8 — (- 2) = — 8 + 2 = −6Dy = | 3−262 | = 6 — (- 12) = 6 + 12 = 18D = | 3−164 | = 12 — (- 6) = 12 + 6 = 18

Используйте правило Крамера, чтобы найти решение.

x = DxD = -618 = -13 и y = DyD = 1818 = 1

Ответ: (−13,1)

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {5x − 3y = −7−7x + 6y = 11.

Ответ: (−1, 23)

Когда определитель матрицы коэффициентов D равен нулю, формулы правила Крамера не определены. В этом случае система либо зависима, либо несовместима в зависимости от значений Dx и Dy. Когда D = 0 и оба Dx = 0 и Dy = 0, система является зависимой. Когда D = 0 и либо Dx, либо Dy отличны от нуля, система несовместима.

Когда D = 0, Dx = 0 и Dy = 0 ⇒ Зависимая система Dx ≠ 0 или Dy ≠ 0 ⇒ Несогласованная система

Пример 5

Решите, используя правило Крамера: {x + 15y = 3 5x + y = 15.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица следует.

{x + 15y = 3 5x + y = 15 ⇒ [115 | 351 | 15]

А имеем следующее.

Dx = | 315151 | = 3−3 = 0Dy = | 13515 | = 15−15 = 0D = | 11551 | = 1−1 = 0

Если мы попытаемся использовать правило Крамера, мы получим

x = DxD = 00 и y = DyD = 00

, оба из которых являются неопределенными количествами.Поскольку D = 0 и как Dx = 0, так и Dy = 0, мы знаем, что это зависимая система. Фактически, мы можем увидеть, что оба уравнения представляют одну и ту же линию, если мы решим относительно y .

{x + 15y = 3 5x + y = 15 ⇒ {y = −5x + 15 y = −5x + 15

Следовательно, мы можем представить все решения (x, −5x + 15), где x — действительное число.

Ответ: (x, −5x + 15)

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {3x − 2y = 10 6x − 4y = 12.

Ответ: Ø

Линейные системы трех переменных и правило Крамера

Рассмотрим следующую матрицу коэффициентов 3 × 3 A ,

A = [a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

Определитель этой матрицы определяется следующим образом:

det (A) = | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 | = a1 | b2c2b3c3 | −b1 | a2c2a3c3 | + c1 | a2b2a3b3 | = a1 (b2c3 − b3c2) −b1 (a2c3 − 9 −3 ab2) +

Здесь каждый определитель 2 × 2 называется второстепенным определителем матрицы, которая получается после удаления строки и столбца квадратной матрицы.предыдущего фактора. Обратите внимание, что факторы — это элементы в первой строке матрицы, и что они меняют знак (+ — +).

Пример 6

Рассчитать: | 1322−1305−1 |.

Решение:

Чтобы легко определить второстепенное значение каждого фактора в первой строке, мы выстраиваем первую строку и соответствующий столбец. Определитель матрицы оставшихся элементов определяет соответствующий минор.

Позаботьтесь о том, чтобы поменять знак множителей в первой строке. Далее следует разложение несовершеннолетними о первом ряду:

| 1322−1305−1 | = 1 | −135−1 | −3 | 230−1 | +2 | 2−105 | = 1 (1−15) −3 (−2−0) +2 (10−0) = 1 (−14) −3 (−2) +2 (10) = — 14 + 6 + 20 = 12

Ответ: 12

Расширение по несовершеннолетним может производиться по любой строке или любому столбцу. Знак коэффициентов, определяемый выбранной строкой или столбцом, будет чередоваться в соответствии со следующим массивом знаков.

[+ — + — + — + — +]

Поэтому, чтобы расширить второй ряд, мы будем чередовать знаки, начиная с противоположного первого элемента. Мы можем расширить предыдущий пример о второй строке, чтобы показать, что получен такой же ответ для определителя.

А можно написать,

| 1322−1305−1 | = — (2) | 325−1 | + (- 1) | 120−1 | — (3) | 1305 | = −2 (−3−10) −1 (−1−0) −3 (5−0) = — 2 (−13) −1 (−1) −3 (5) = 26 + 1−15 = 12

Обратите внимание, что мы получаем тот же ответ 12.

Пример 7

Рассчитать: | 4306122410 |.

Решение:

Расчеты упрощаются, если мы расширим третий столбец, потому что он содержит два нуля.

Далее следует расширение несовершеннолетними по поводу третьего столбца:

| 4306122410 | = 0 | 61241 | −2 | 4341 | +0 | 43612 | = 0−2 (4−12) + 0 = −2 (−8) = 16

Ответ: 16

Следует отметить, что существуют и другие методы, используемые для запоминания того, как вычислить определитель матрицы 3 × 3.Кроме того, многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут найти определитель матриц. Предлагаем вам изучить эту обширную тему.

Мы можем решить линейные системы с тремя переменными, используя определители. Для этого мы начнем с расширенной матрицы коэффициентов,

{a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇔ [a1b1c1 | d1a2b2c2 | d2a3b3c3 | d3]

Пусть D представляет определитель матрицы коэффициентов,

D = | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 |

Затем определите Dx, Dy и Dz, вычислив следующие определители.

Dx = | d1b1c1d2b2c2d3b3c3 | Dy = | a1d1c1a2d2c2a3d3c3 | Dz = | a1b1d1a2b2d2a3b3d3 |

Когда D ≠ 0, решение системы в терминах детерминантов, описанных выше, может быть вычислено с использованием правила Крамера:

Правило Крамера (x, y, z) = (DxD, DyD, DzD)

Используйте это для эффективного решения систем с тремя переменными.

Пример 8

Решите, используя правило Крамера: {3x + 7y − 4z = 02x + 5y − 3z = 1−5x + 2y + 4z = 8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{3x + 7y − 4z = 02x + 5y − 3z = 1−5x + 2y + 4z = 8 ⇔ [37−4 | 025−3 | 1−524 | 8]

Затем вычислите определитель матрицы коэффициентов.

D = | 37−425−3−524 | = 3 | 5−324 | −7 | 2−3−54 | + (- 4) | 25−52 | = 3 (20 — (- 6)) — 7 (8−15) −4 (4 — (- 25)) = 3 (26) −7 (−7) −4 (29) = 78 + 49−116 = 11

Аналогичным образом мы можем вычислить Dx, Dy и Dz.Это оставлено как упражнение.

Dx = | 07−415−3824 | = −44Dy = | 30−421−3−584 | = 0Dz = | 370251−528 | = −33

Используя правило Крамера, мы имеем,

x = DxD = −4411 = −4 y = DyD = 011 = 0 z = DzD = −3311 = −3

Ответ: (−4,0, −3)

Если определитель матрицы коэффициентов D = 0, то система либо зависимая, либо противоречивая. Это будет зависеть от Dx, Dy и Dz. Если все они равны нулю, то система зависима.Если хотя бы один из них отличен от нуля, то он несовместим.

Когда D = 0, Dx = 0 и Dy = 0 и Dz = 0 ⇒ Зависимая система Dx ≠ 0 или Dy ≠ 0 или Dz ≠ 0 ⇒ Несогласованная система

Пример 9

Решите, используя правило Крамера: {4x − y + 3z = 521x − 4y + 18z = 7−9x + y − 9z = −8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{4x − y + 3z = 521x − 4y + 18z = 7−9x + y − 9z = −8 ⇔ [4−13 | 521−418 | 7−91−9 | −8]

Затем определите определитель матрицы коэффициентов.

D = | 4−1321−418−91−9 | = 4 | −4181−9 | — (- 1) | 2118−9−9 | +3 | 21−4−91 | = 4 (36−18) +1 (−189 — (- 162)) + 3 (21−36) = 4 (18) +1 (−27) +3 (−15) = 72−27−45 = 0

Поскольку D = 0, система является либо зависимой, либо несовместимой.

Dx = | 5−137−418−81−9 | = 96

Однако, поскольку Dx отличен от нуля, мы заключаем, что система несовместима. Одновременного решения нет.

Ответ: Ø

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {2x + 6y + 7z = 4−3x − 4y + 5z = 125x + 10y − 3z = −13.

Ответ: (−3,12,1)

Основные выводы

• Определитель матрицы — действительное число.
• Определитель матрицы 2 × 2 получается вычитанием произведения значений на диагоналях.
• Определитель матрицы 3 × 3 получается расширением матрицы с использованием миноров в любой строке или столбце. При этом позаботьтесь об использовании массива знаков для определения знака коэффициентов.
• Используйте правило Крамера для эффективного определения решений линейных систем.
• Когда определитель матрицы коэффициентов равен 0, правило Крамера не применяется; система будет либо зависимой, либо непоследовательной.

Тематические упражнения

Часть A: Линейные системы с двумя переменными

Вычислить определитель.

1. | 1234 |

2. | 5324 |

3. | −13−3−2 |

4. | 743−2 |

5. | −41−30 |

6. | 95−10 |

7. | 1050 |

8. | 0350 |

9. | 04−13 |

10. | 102102 |

11. | a1b10b2 |

12. | 0b1a2b2 |

Решите, используя правило Крамера.

13. {3x − 5y = 82x − 7y = 9

14. {2x + 3y = −13x + 4y = −2

15. {2x − y = −34x + 3y = 4

16. {x + 3y = 15x − 6y = −9

17. {х + у = 16х + 3у = 2

18. {x − y = −15x + 10y = 4

19. {5x − 7y = 144x − 3y = 6

20. {9x + 5y = −97x + 2y = −7

21. {6x − 9y = 3−2x + 3y = 1

22. {3x − 9y = 32x − 6y = 2

23. {4x − 5y = 203y = −9

24. {x − y = 02x − 3y = 0

25. {2x + y = ax + y = Ь

26. {ax + y = 0by = 1

Часть B: Линейные системы с тремя переменными

Вычислить определитель.

27. | 123213132 |

28. | 251124323 |

29. | −31−13−1−2−251 |

30. | 1−15−45−1−12−3 |

31. | 3−1223−1521 |

32. | 40−33−100−52 |

33. | 0−34−30602−3 |

34. | 6−1−325284−1 |

35. | 257035004 |

36. | 210004 |

37. | a1b1c10b2c200c3 |

38. | a100a2b20a3b3c3 |

Решите, используя правило Крамера.

39. {x − y + 2z = −33x + 2y − z = 13−4x − 3y + z = −18

40. {3x + 4y − z = 104x + 6y + 7z = 92x + 3y + 5z = 3

41. {5x + y − z = 02x − 2y + z = −9−6x − 5y + 3z = −13

42. {−4x + 5y + 2z = 123x − y − z = −25x + 3y − 2z = 5

43. {x − y + z = −1−2x + 4y − 3z = 43x − 3y − 2z = 2

44. {2x + y − 4z = 72x − 3y + 2z = −44x − 5y + 2z = −5

45. {4x + 3y − 2z = 22x + 5y + 8z = −1x − y − 5z = 3

46. {x − y + z = 7x + 2y + z = 1x − 2y − 2z = 9

47. {3x − 6y + 2z = 12−5x − 2y + 3z = 47x + 3y − 4z = −6

48. {2x − y − 5z = 23x + 2y − 4z = −35x + y − 9z = 4

49. {4x + 3y − 4z = −132x + 6y − 5z = −2−2x − 3y + 3z = 5

50. {x − 2y + z = −14y − 3z = 03y − 2z = 1

51. {2x + 3y − z = −5x + 2y = 03x + 10y = 4

52. {2x − 3y − 2y = 9−3x + 4y + 4z = −13x − y − 2z = 4

53. {2x + y − 2z = −1x − y + 3z = 23x + y − z = 1

54. {3x − 8y + 9z = −2 − x + 5y − 10z = 3x − 3y + 4z = −1

55. {5x − 6y + 3z = 23x − 4y + 2z = 02x − 2y + z = 0

56. {5x + 10y − 4z = 122x + 5y + 4z = 0x + 5y − 8z = 6

57. {5x + 6y + 7z = 22y + 3z = 34z = 4

58. {x + 2z = −1−5y + 3z = 104x − 3y = 2

59. {x + y + z = ax + 2y + 2z = a + bx + 2y + 3z = a + b + c

60. {x + y + z = a + b + cx + 2y + 2z = a + 2b + 2cx + y + 2z = a + b + 2c

Часть C: Обсуждение

61. Изучите и обсудите историю детерминанта.Кто первым ввел обозначение определителя?

62. Изучите другие способы вычисления определителя матрицы 3 × 3. Приведите пример.

ответы

15. (-12,2)

17. (-13,43)

23. (54, −3)

43. (12,12, −1)

49. (12z − 4,23z + 1, z)

53. (-12,5,52)

.