По алгебре: ГДЗ по Алгебре, решебник и ответы онлайн

ГДЗ по Алгебре, решебник и ответы онлайн

Решение есть!

• 1 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир

• 2 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир

• 3 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир

• 4 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир

• 5 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Украинский язык
  • Биология
  • История
  • Информатика
  • ОБЖ
  • География
  • Музыка
  • Литература
  • Обществознание
  • Технология
  • Естествознание

• 6 класс
  

Mathway | Решение алгебраических задач

Mathway | Решение алгебраических задач

New Messages

User is Typing

Для функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.

Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.

Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:

• число
• буква
• специальный символ: @$#!%*?&

ГДЗ по алгебре

Звавич, Кузнецова, Суворова

2003 г

Макарычев, Миндюк

2005-2009 гг(другой вариант решения)

Iстер, Истер

2007 г

Бевз

2007 г(для русских школ)

Кравчук, Янченко

2007-2010 гг

Кузнецова, Муравьева, Шнеперман, Ящин

2011 г(постранично)

Кузнецова, Муравьева, Шнеперман, Ящин

2011 г(другой вариант решения, постранично)

Сканави

2011 гСборник задач по алгебре(постранично)

Белянина, Кинащук, Черевка

2011 г(постранично)

Мерзляк, Полонский, Якир

2008 г(для русских школ)

Мерзляк, Полонський, Якiр

2008 г

Кузнецова, Муравьева, Шнеперман

2005 г(постранично)

Кузнецова, Муравьева, Шнеперман

2010 г(другой вариант решения, постранично)

Кузнецова, Бунимович, Пигарев

2001-2002 гСборник заданий(другой вариант решения, постранично)

Кузнецова

2010 гГИА

Макарычев

2007 гУчебник(другой вариант решения)

Мальцев

2011 гИтоговая аттестация(постранично)

Мальцев, Клово

2010 гИтоговая аттестация(постранично)

Сканави

2011 гСборник задач по алгебре(постранично)

Бевз

2000-2008 ггТолько 9 класс из 7-9 класса

Бевз

2009 г(для русских школ)

Бевз

2009 г(постранично)

Бевз

2009 г(12 річна програма)

Кравчук, Пидручная, Янченко

2007 г

Кравчук, Пидручная, Янченко

2009 г(постранично)

Кравчук, Пидручная, Янченко

2009 г(12 річна програма)

Мальований, Литвиненко, Возняк

2011 г(постранично)

Мальований, Литвиненко, Возняк

2011 г(12 річна програма)

Мерзляк, Полонський, Якiр

2002-2011 гг(постранично)

Мерзляк, Полонський, Якiр

2002-2011 гг(12 річна програма)

Кузнецова, Муравьева, Шнеперман, Ящина

2011 г(постранично)

Алимов

2003-2007 гг(другой вариант решения, постранично)

Колмогоров, Абрамов, Дудницын

1990 г(постранично)

Мордкович2001-2002-2004 ггЗадачник(другой вариант решения)

Сканави

2011 гСборник задач по алгебре(постранично)

Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир

2011 гАкадемический уровень(постранично)

Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир

2011 гПрофильный уровень(постранично)

Нелин

2010 гАкадемический уровень(постранично)

Нелин

2010 гПрофильный уровень(постранично)

Алимов

2003-2007 гг(другой вариант решения, постранично)

Ивлев2001 гДидактические материалы

Колмогоров, Абрамов, Дудницын

1990 г(постранично)

Мордкович2001-2002-2004 ггЗадачник(другой вариант решения)

Сканави

2011 гСборник задач по алгебре(постранично)

Кузнецова, Муравьева, Шнеперман, Ящин

2008 г(постранично)

ГДЗ по алгебре — это что вы найдете здесь. Если Вы здесь именно за этим — тогда добро пожаловать. Потому что именно здесь получите ГДЗ по алгебре высшего качества: ответы видны хорошо; подробное описание решения каждого примера; прекрасная навигация с помощью которой с легкостью найдете решение именно того примера который необходим, который задали на дом; да и еще сможете найти ГДЗ и по другим предметам.

Многие говорят что никогда не пользовался ГДЗ и пользоваться не будут. Но они сами себе ставят грабли. Необходимо понимать и перестраховываться: ошибка может быть в любом примере; задание которое было заданно на дом, может быть не разобрано на уроке и поэтому решить его будет ой как сложно.

Ни кто не заставляет 100% и постоянно переписывать с ГДЗ по алгебре, но признайтесь бывают моменты когда готовые домашние задания по алгебре просто необходимы, именно поэтому пользуйтесь данным сервисом онлайн и абсолютно бесплатно

ГДЗ по алгебре за 9 класс, решебник и ответы онлайн

Решение есть!

• 1 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир

• 2 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир

• 3 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир

• 4 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир

• 5 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Украинский язык
  • Биология
  • История
  • Информатика
  • ОБЖ
  • География
  • Музыка
  • Литература
  • Обществознание
  • Технология
  • Естествознание

• 6 класс
  

  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Физика

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению…

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Координаты

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

Таблица умножения

К оглавлению…

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

Все формулы по математике — Формулы под рукой

Не решается задачка? Наш сайт поможет тебе в учебе, подготовке к сложным экзаменам, контрольным, олимпиадам, сессиям, ЕГЭ.

ФОРМУЛЫ ПО АЛГЕБРЕ

ФОРМУЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

ФОРМУЛЫ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Обладатель премии Эйнштейна, известнейший британский исследователь в области теоретический физики Стивен Хокинг однажды рассказал, что получил должность профессора математики в Оксфордском университете, не имея специального образования. На тот момент за его плечами были лишь изрядно подзабытые школьные знания по математике. Царицу наук постигал «на ходу», читая студенческий учебник с опережением программы на две недели. Впоследствии студенты Хокинга вспоминали его занятия как исключительно познавательные и захватывающие!

Такие примеры вдохновляют, вселяют уверенность, что и каждый из нас может с таким же успехом освежить «хорошо забытое». А там и новый вектор развития появится.

Чтобы вспомнить (или освоить!) школьный материал было легче, предлагаем листать не страницы учебников и справочной литературы, а воспользоваться нашим сайтом, где удобная навигация и система поиска позволят быстро отыскать нужную формулу по предметам:

• арифметика;
• алгебра;
• геометрия;
• физика;
• химия.

От теории к практике

Бывает, что и материал знаком, да и формулы, теоремы и аксиомы по нужной теме — вот они, а задачка не поддается. Педагогический «диагноз»: нет опыта. Приобретается этот опыт при помощи решения типовых уравнений и задач. Предлагаем наиболее удачные и интуитивно понятные методики, которые уже помогли не одному ученику овладеть инструментарием точных наук!

Быстрее, выше, сильнее!

Возможно, сейчас ты и считаешь, что выучить все школьные формулы невозможно. Но на самом деле формул, необходимых для решения задач школьного уровня по математике, не более двухсот, а по физике — и того меньше! А это значит, что, заглядывая в наши справочники и освоив принципы решения типовых задач, можно постепенно запомнить все базовые формулы!

Какими бы сложными ни казались тебе задания твоих преподавателей сейчас, через какое-то время школьные, да и институтские стены могут показаться тебе тесными.

На нашем сайте собраны как часто используемые, так и гораздо более сложные формулы. Если захочешь знать больше, чем написано в школьном учебнике, начни с аксиомы — слов Марка Твена, который «никогда не позволял, чтобы школьные занятия мешали образованию!».

Домашнее задание по алгебре, Решатели алгебры, Бесплатные репетиторы по математике

.

Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Алгебра (с арабского: الجبر, транслитерированное «аль-джабр», что означает «воссоединение сломанных частей») является частью математики (в США ее часто называют math ). и по математике или математике в Соединенном Королевстве ^[1] ). Он использует переменные для представления значения, которое еще не известно. Когда используется знак равенства (=), это называется уравнением. Очень простое уравнение с использованием переменной: 2 + 3 = x.В этом примере x = 5, или можно также сказать, что «x равно пяти». Это называется решением для x . ^[2]

Помимо уравнений, существуют неравенства ( меньше и больше ). Уравнение особого типа называется функцией. Это часто используется при построении графиков, потому что он всегда превращает один вход в один выход.

Алгебру можно использовать для решения реальных задач, потому что правила алгебры работают в реальной жизни, а числа можно использовать для представления значений реальных вещей.Физика, инженерия и компьютерное программирование — это области, в которых алгебра используется постоянно. Это также полезно знать в геодезии, строительстве и бизнесе, особенно в бухгалтерском учете.

Люди, занимающиеся алгеброй, используют числовые правила и математические операции с числами. Самые простые — это сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложные операции включают экспоненты, начиная с квадратов и квадратных корней.

Алгебра впервые была использована для решения уравнений и неравенств.Двумя примерами являются линейные уравнения (уравнение прямой, y = mx + b) и квадратные уравнения, в которых переменные возведены в квадрат (умноженные на себя, например: 2 * 2, 3 * 3 или x * x) .

Ранние формы алгебры были разработаны вавилонянами и греческими геометрами, такими как Герой Александрийский. Однако слово «алгебра» является латинской формой арабского слова Al-Jabr («отливка») и происходит из книги по математике Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah , («Эссе о «Вычисление литья и уравнения»), написанная в IX веке персидским математиком Мухаммадом ибн Муса аль-Хваризми, мусульманином, родившимся в Хорезме в Узбекистане.Он процветал при Аль-Мамуне в Багдаде, Ирак, в течение 813–833 гг. Нашей эры и умер около 840 г. Книга была привезена в Европу и переведена на латынь в XII веке. Книга тогда получила название «Алгебра». (Окончание имени математика, аль-Хорезми, было изменено на слово, которое легче произносить на латыни, и стало английским словом алгоритм ). ^[3]

Вот простой пример задачи алгебры:

У Сью 12 конфет, а у Энн 24 конфеты.Они решают разделить так, чтобы у них было одинаковое количество конфет. Сколько конфет будет у каждой?

Вот шаги, которые вы можете использовать для решения проблемы:

1. Чтобы получить такое же количество конфет, Энн должна отдать их Сью. Пусть x представляет количество конфет, которые Энн дарит Сью.
2. Конфеты Сью, плюс x , должны быть такими же, как конфеты Анны, минус x . Это записывается как: 12 + x = 24 — x
3. Вычтем 12 из обеих частей уравнения.Это дает: x = 12 — x. (То, что происходит с одной стороны от знака равенства, должно происходить и с другой стороны, чтобы уравнение оставалось верным. Итак, в этом случае, когда 12 было вычтено с обеих сторон, средний шаг был 12 + x — 12 = 24 — х — 12. После того, как человеку это удобно, средний шаг не записывается.)
4. Добавьте x к обеим сторонам уравнения. Это дает: 2x = 12
5. Разделите обе части уравнения на 2. Получим x = 6. Ответ — шесть.Если Энн даст Сью 6 конфет, у них будет столько же конфет.
6. Чтобы проверить это, верните 6 в исходное уравнение, где бы x было: 12 + 6 = 24 — 6
7. Это дает 18 = 18, что верно. У каждого теперь по 18 конфет.

С практикой алгебра может использоваться, когда сталкивается с проблемой, которую слишком сложно решить любым другим способом. Такие проблемы, как строительство автострады, разработка мобильного телефона или поиск лекарства от болезни, требуют алгебры.

Как и в большинстве случаев математики, добавление z к y (или y плюс z ) записывается как y + z .
Вычитание z из y (или y минус z ) записывается как y — z .
Разделив y на z (или y на z :

y

z

{\ displaystyle y \ over z}

) записывается как y ÷ z или y / z. y / z чаще используется.

В алгебре умножение y на z (или y на z ) можно записать четырьмя способами: y × z , y * z , y · z или просто г.р. . Символ умножения «×» обычно не используется, потому что он слишком похож на букву x, которая часто используется в качестве переменной. Также при умножении большего выражения можно использовать круглые скобки: y ( z + 1 ).

Когда мы умножаем число и букву в алгебре, мы пишем число перед буквой: 5 × y = 5 y . Когда число равно 1, то 1 не записывается, потому что 1 умноженное на любое число равно этому числу (1 × y = y ), и поэтому в нем нет необходимости.

В качестве примечания, вам не обязательно использовать буквы x или y в алгебре. Переменные — это просто символы, которые означают какое-то неизвестное число или значение, поэтому вы можете использовать любую переменную.Однако наиболее распространенными являются x и y .

Линейное уравнение для y = 3x + 1

Важной частью алгебры является изучение функций, поскольку функции часто появляются в уравнениях, которые мы пытаемся решить. Функция похожа на машину, в которую можно ввести число (или числа), а вывести определенное число (или числа). При использовании функций графики могут быть мощным инструментом, помогающим нам изучать решения уравнений.

График — это изображение, на котором показаны все значения переменных, которые делают уравнение или неравенство истинным.Обычно это легко сделать, когда есть только одна или две переменные. График часто представляет собой линию, и если линия не изгибается и не идет прямо вверх и вниз, ее можно описать основной формулой y = mx + b. Переменная b представляет собой точку пересечения оси y графика (где линия пересекает вертикальную ось), а m — это наклон или крутизна линии. Эта формула применяется к координатам графика, где каждая точка на линии написана (x, y).

В некоторых математических задачах, таких как уравнение для линии, может быть более одной переменной (в данном случае x и y ).Чтобы найти точки на линии, меняют одну переменную. Изменяемая переменная называется «независимой» переменной. Затем производится математика, чтобы получить число. Полученное число называется «зависимой» переменной. В большинстве случаев независимая переменная записывается как x , а зависимая переменная записывается как y , например, в y = 3x + 1. Это часто наносится на график с использованием оси x (идущая слева и справа) и оси y (вверх и вниз).Его также можно записать в виде функции: f (x) = 3x + 1. Итак, в этом примере мы могли бы вставить 5 для x и получить y = 16. Вставить 2 для x , получится y = 7 . А 0 для x даст y = 1. Таким образом, будет линия, проходящая через точки (5,16), (2,7) и (0,1), как показано на графике справа.

Если x имеет степень 1, это прямая линия. Если это квадрат или другая сила, он будет изогнутым. Если используется неравенство ( < или > ), то обычно часть графика заштрихована либо выше, либо ниже линии.

В алгебре есть несколько правил, которые можно использовать для дальнейшего понимания уравнений. Они называются правилами алгебры. Хотя эти правила могут показаться бессмысленными или очевидными, разумно понять, что эти свойства сохраняются не во всех разделах математики. Поэтому будет полезно знать, как декларируются эти аксиоматические правила, прежде чем принимать их как должное. Прежде чем перейти к правилам, подумайте о двух определениях, которые будут даны.

1. Напротив — противоположность

   а

   {\ displaystyle a}

   является

   —
   а

   {\ displaystyle -a}

   .

2. Reciprocal — обратная величина

   а

   {\ displaystyle a}

   является

   1
   а

   {\ displaystyle {\ frac {1} {а}}}

   .

Коммутативное свойство сложения [изменение | изменить источник]

«Коммутативный» означает, что функция дает тот же результат, если числа поменять местами. Другими словами, порядок членов уравнения не имеет значения. Когда оператор двух членов является сложением, применимо «свойство коммутативности сложения».В алгебраических терминах это дает

а
+
б
знак равно
б
+
а

{\ Displaystyle а + Ь = Ь + а}

.

Обратите внимание, что это не относится к вычитанию! (т.е.

а
—
б
≠
б
—
а

{\ displaystyle a-b \ neq b-a}

)

Коммутативное свойство умножения [изменить | изменить источник]

Когда оператор двух членов является умножением, применимо «свойство коммутативности умножения».В алгебраических терминах это дает

а
⋅
б
знак равно
б
⋅
а

{\ Displaystyle а \ cdot b = b \ cdot a}

.

Обратите внимание, что это не относится к разделению! (т.е.

а
б

≠

б
а

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ neq {\ frac {b} {a}}}

, когда

а
≠
б

{\ displaystyle a \ neq b}

)

Ассоциативное свойство сложения [изменить | изменить источник]

«Ассоциативный» относится к группировке чисел.Ассоциативное свойство сложения подразумевает, что при добавлении трех или более терминов не имеет значения, как эти термины сгруппированы. Алгебраически это дает

а
+
(
б
+
c
)
знак равно
(
а
+
б
)
+
c

{\ Displaystyle а + (Ь + с) = (а + Ь) + с}

. Обратите внимание, что это не относится к вычитанию, например

1
знак равно
0
—
(
0
—
1
)
≠
(
0
—
0
)
—
1
знак равно
—
1

{\ Displaystyle 1 = 0- (0-1) \ neq (0-0) -1 = -1}

(см. распределительное свойство).

Ассоциативное свойство умножения [изменить | изменить источник]

Ассоциативное свойство умножения подразумевает, что при умножении трех или более членов не имеет значения, как эти термины сгруппированы. Алгебраически это дает

а
⋅
(
б
⋅
c
)
знак равно
(
а
⋅
б
)
⋅
c

{\ Displaystyle а \ CDOT (б \ CDOT с) = (а \ CDOT б) \ CDOT с}

. Обратите внимание, что это не относится к делению, например.грамм.

2
знак равно
1

/

(
1

/

2
)
≠
(
1

/

1
)

/

2
знак равно
1

/

2

{\ Displaystyle 2 = 1 / (1/2) \ neq (1/1) / 2 = 1/2}

.

Распределительная собственность [изменить | изменить источник]

Свойство распределения утверждает, что умножение числа на другой член может быть распределено.Например:

а
⋅
(
б
+
c
)
знак равно
а
б
+
а
c

{\ Displaystyle а \ cdot (b + c) = ab + ac}

. (Не путайте ли , а не с ассоциативными свойствами! Например,

а
⋅
(
б
+
c
)
≠
(
а
⋅
б
)
+
c

{\ Displaystyle а \ cdot (b + c) \ neq (a \ cdot b) + c}

.)

Свойство аддитивной идентичности [изменить | изменить источник]

«Идентичность» относится к свойству числа, которое равно самому себе. Другими словами, существует операция с двумя числами, так что она равна переменной суммы. Свойство аддитивной идентичности утверждает, что сумма любого числа и 0 является этим числом:

а
+
0
знак равно
а

{\ Displaystyle а + 0 = а}

. То же верно и для вычитания:

а
—
0
знак равно
а

{\ Displaystyle а-0 = а}

.

Свойство мультипликативной идентичности [изменить | изменить источник]

Свойство мультипликативной идентичности утверждает, что произведение любого числа на 1 и есть это число:

а
⋅
1
знак равно
а

{\ Displaystyle а \ cdot 1 = а}

. Это также относится к делению:

а
1

знак равно
а

{\ displaystyle {\ frac {a} {1}} = а}

.

Аддитивное обратное свойство [изменить | изменить источник]

Аддитивное обратное свойство чем-то похоже на противоположное аддитивному свойству идентичности.Когда операция представляет собой сумму числа и его противоположности, и она равна 0, эта операция является допустимой алгебраической операцией. Алгебраически он утверждает следующее:

а
—
а
знак равно
0

{\ displaystyle a-a = 0}

. Аддитив, обратный 1, равен (-1).

Мультипликативное обратное свойство [изменить | изменить источник]

Мультипликативное обратное свойство влечет за собой, что когда операция является произведением числа на обратное, и оно равно 1, эта операция является допустимой алгебраической операцией.Алгебраически он утверждает следующее:

а
а

знак равно
1

{\ displaystyle {\ frac {a} {a}} = 1}

. Мультипликативная величина, обратная 2, равна 1/2.

Помимо «элементарной алгебры», или базовой алгебры, в колледжах и университетах преподаются продвинутые формы алгебры, такие как абстрактная алгебра, линейная алгебра и универсальная алгебра.
Это включает в себя использование матрицы для одновременного решения множества линейных уравнений. Абстрактная алгебра — это изучение вещей, которые можно найти в уравнениях, выходя за рамки чисел и переходя к более абстрактным группам чисел.

Многие математические задачи касаются физики и инженерии. Во многих из этих физических задач время является переменной. Time использует букву t . Использование основных идей в алгебре может помочь свести математическую задачу к ее простейшей форме, облегчая решение сложных задач. Энергия e , сила f , масса m , ускорение a и скорость света иногда c .2 (хотя для получения этого последнего уравнения потребовалась более сложная математика, помимо алгебры).

.

Введение в алгебру

Алгебра — это отличное развлечение — вы можете решать головоломки!

Головоломка

Какой недостающий номер?

Хорошо, ответ — 6, верно? Потому что 6-2 = 4 . Легкие вещи.

Ну, в алгебре мы не используем пустые квадраты, мы используем
буква (обычно x или y, но подойдет любая буква). Итак, пишем:

Это действительно так просто.Буква (в данном случае x) просто означает «мы этого еще не знаем», и ее часто называют неизвестным или переменной .

И когда решаем, пишем:

Зачем нужны буквы?

Так что x лучше, чем пустой ящик. Мы не пытаемся складывать слова!

И это не обязательно должно быть x , это может быть y или w … или любая буква или символ, который нам нравится.

Как решить

Алгебра похожа на головоломку, в которой мы начинаем с чего-то вроде «x — 2 = 4» и хотим закончить
с чем-то вроде «x = 6».

Но вместо того, чтобы говорить «, очевидно, x = 6», используйте этот аккуратный пошаговый подход:

• Определите , что удалить , чтобы получить «x = …»
• Удалите это с помощью , сделав противоположное (сложение противоположно вычитанию)
• Сделайте это с с обеих сторон

Вот пример:

Мы хотим, чтобы
удалить
«−2»

Чтобы удалить его, сделать
напротив , в этом случае
добавить 2

Сделайте это до
с обеих сторон

Что есть…

Решено!

Почему мы прибавили 2 к обеим сторонам?

Чтобы «сохранить равновесие» …

Просто запомните это:

Посмотрите на это в действии в анимации баланса алгебры.

Еще одна головоломка

Решите это:

Нам нужен ответ типа «x = …»,
, но +5 мешает этому!
Мы можем сократить +5 с помощью −5 (потому что 5−5 = 0)

Итак, давайте попробуем вычесть 5 из с обеих сторон : x + 5 −5 = 12 −5

Небольшая арифметика (5−5 = 0 и 12−5 = 7) превращается в: x + 0 = 7

Это просто: x = 7

Решено!

(быстрая проверка: 7 + 5 = 12)

Попробуйте сами

Теперь потренируйтесь на этой простой таблице алгебры, а затем проверьте свои ответы на следующей странице.Попробуйте использовать шаги, которые мы вам здесь показали, а не просто гадать!

Затем прочтите Введение в алгебру — Умножение

.

Алгебра — Википедия

Алгебра является het deel van de wiskunde dat de betrekkingen van door letter en tekens aangeduide grootheden onderzoekt. In de algebra worden getallen voorgesteld door Letters en bestaan ​​erallerlei regels die zeggen hoe je met die letter moet rekenen.

Een bladzijde uit het boek al-djabr

Omstreeks het jaar 820 schreef de Perzische wiskundige Al-Chwarizmi in het Arabisch een boek over het rekenen met письма: hisab al-djabr wa al-muqabala (Arabisch: حساب اللجبر و امق).Het woord al-jabr uit de titel van dat boek betekent hereniging, verbinding of vervollediging en gaf aanleiding to het algemene gebruik van het woord algebra in het Westen.

Het Nederlandse woord stelkunde dat Simon Stevin probeerde in te voeren, werd nooit helemaal aanvaard.

Oorspronkelijk был алгеброй een veralgemening van de rekenkunde waarin letter de rol van getallen overnamen. Rond 1800 bestond algebra uit het gebruik van letter om «de verbeelding te bevrijden» (Готфрид Вильгельм Лейбниц) bij het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen en het oplossen van vergelijkingen. ^[1]

In de loop van de 19de eeuw maakte de algebra zich los van de rechtstreekse band met getallen en rekenkunde, en werden abstracte structuren gedefinieerd aan de hand van enkele elementaire eigenschappen van de bekende getallenverzamelingen, en: De algebra onderging een wiskundige revolutie die erin bestond dat ze zich verwijderde van het rekenwerk en zich ging toespitsen op het onderscheiden en benutten van de structurele base van de wiskunde. ^[2]

Men onderscheidt thans ook een dergelijke abstracte structuur die een algebra heet, en die bestaat uit een vectorruimte uitgerust met een vermenigvuldiging van vectoren.

Op grond van de hierboven aangehaalde Historische Evolutie onderscheidt men meestal twee ‘niveaus’ in de algebra:

• Элементарная алгебра
• Абстракция по алгебре

Daarnaast hebben zich in sommige toepassingsgebieden van de wiskunde afzonderlijke onderzoeksdomeinen ontwikkeld die een welbepaalde toepassing van de elementaire de abstracte algebra inhouden:

Элементарная алгебра [bewerken | бронтекст беверкен]

Zie Elementaire algebra for het hoofdartikel over dit onderwerp.

De elementaire algebra bestudeert de eigenschappen van rekenkundige bewerkingen waarbij letter worden gebruikt om numerieke constanten en variabelen aan te duiden. Ook de regels die gelden voor uitdrukkingen en vergelijkingen met deze symbolen, worden bestudeerd.

In eerste instantie vormt de algebra een ondersteuning van het hoofdrekenen, een belangrijke praktische vaardigheid in het precomputertijdperk. Дверь het gebruik van letter kunnen algemene formules worden beschreven waarin men dan naar Believeven geschikte getallen kan invullen om een ​​berekening eenvoudiger te maken.In dit verband nemen de merkwaardige producten een bijzondere plaats in; zo kan bijvoorbeeld het kwadraat van een getal van 2 cijfers worden uitgerekend door het getal te splitsen in tientallen en eenheden:

(
10
Т
+
E

)

2

знак равно
100

Т

2

+
20
Т
E
+

E

2

{\ displaystyle (10T + E) ^ {2} = 100T ^ {2} + 20TE + E ^ {2}}

waarvoor men аллен де тафельс ван верменигвульдигинг тот

10
×
10

{\ displaystyle 10 \ times 10}

hoeft uit het hoofd te kennen.

De belangrijkste toepassing van elementaire algebra ligt evenwel in het oplossen van vergelijkingen. В een algebraïsche vergelijking wordden twee uitdrukkingen aan elkaar gelijkgesteld waarin alleen getallen, letterymbolen en de vier rekenkundige hoofdbewerkingen (met eventuele haakjes) voorkomen; дверь в партерный фургон elementaire rekenregels kan een algebraïsche vergelijking altijd worden herschreven als de voorwaarde dat een polynoom gelijk is aan 0. Het oplossen van een vergelijking is het vinden van de Precieze verzameling getallen ingetallen die kulyendez de zogenaamde nulpuntsverzameling van het polynoom.

Algemener kan men een stelsel van meer vergelijkingen bestuderen; de oplossingsverzameling is dan de doornede van de oplossingsverzamelingen van de afzonderlijke vergelijkingen.

Sommige vergelijkingen of stelsels kunnen met elementaire middelen worden opgelost, zoals de lineaire vergelijking en de vierkantsvergelijking; anderen hebben aanleiding gegeven tot geheel nieuwe onderzoeksdomeinen. De meetkundige voorstelling van de oplossingsverzameling van een stelsel algebraïsche vergelijkigen — это de algebraïsche meetkunde.Линейная алгебра находится в непосредственной близости от студийных исследований и вергелийкингенов.

De oplossingsverzameling van een vergelijking wordt meestal a priori beperkt to een getallenverzameling die de auteur van het проблема als aanvaardbaar beschouwt. Of een vergelijking oplosbaar is, hangt natuurlijk sterk af van die keuze: de vergelijking

Икс
+
1
знак равно
0

{\ displaystyle x + 1 = 0}

Heeft Geen Oplossingen Voor

Икс

{\ displaystyle x}

Binnen de Verzameling

N

{\ Displaystyle \ mathbb {N}}

der natuurlijke getallen, maar wel binnen de gehele of de rationale getallen.

Historisch is vaak het omgekeerde gebeurd: omdat een bepaalde vergelijking geen oplossing had, hebben mensen de verzameling der «aanvaardbare» getallen kunstmatig uitgebreid. De uitvinding van negatieve getallen is een dergelijke kunstgreep om alle vergelijkingen met optellingen zoals

Икс
+
1
знак равно
0

{\ displaystyle x + 1 = 0}

oplosbaar te maken. Breuken zijn een uitbreiding van de gehele getallen om vergelijkingen zoals

3
Икс
знак равно
2

{\ displaystyle 3x = 2}

op te lossen.{2} = а}

«.

Een diofantische vergelijking is een algebraïsche vergelijking waarbij men eist dat de oplossingen gehele getallen zijn. De getaltheorie находится на сайте Studie van diofantische vergelijkingen.

Абстрактная алгебра [bewerken | бронтекст беверкен]

Zie Abstracte algebra for het hoofdartikel over dit onderwerp.

De abstracte algebra bestudeert algebraïsche structuren zoals lichamen, groepen en ringen. линейной алгебры, векторных изображений и бижбегорендских линейных преобразований bestudeert, kan word opgevat als onderdeel hiervan maar bekleedt toch een eigen plaats door het grote aantal rechtstreekse toepassingen buiten de wiskunde.

De abstracte algebra staat niet los van de elementaire algebra, maar is eruit ontstaan ​​omdat abstracte structuren een cruciaal nieuw inzicht verschaften в moeilijke elementaire проблема.

De groepentheorie bestudeert abstracte bewerkingen, groepsbewerkingen genaamd, die de volgende eigenschappen gemeen hebben met de optelling van gehele getallen:

• ассоциативный элемент: bij het samenstellen van een element встретил его результат ван де саместеллинг ван тви и элемент, hangt het eindresultaat niet af van de plaatsing van de haakjes;
• нейтральный элемент: лучший элемент, тот же элемент, другой элемент, также результат, этот элемент и другой элемент;
• инверсия: передний элемент лучше всего и тот же элемент, что и нейтральный элемент, оплеверт.

Men spreekt van een commutatieve of abelse groep als bovendien het resultaat niet afhangt van de volgorde der elementen.

Groepen zijn de zuiverste abstractie van het begrip симметрия.

De ringtheorie kijkt naar combinaties van twee bewerkingen, op een abstract niveau vergelijkbaar met de optelling en de vermenigvuldiging van gehele getallen of de optelling en vermenigvuldiging van veeltermen. De eerste bewerking vormt een abelse groep, terwijl de tweede bewerking er in een bepaalde zin compatibilitybel mee moet zijn (distributiviteit).

Bij een lichaam wordt ook de omkeerbaarheid van de vermenigvuldiging geëist; dit naar analogie встретил het rekenen в логике, reële of complexe getallen. De Galoistheorie bestudeert de bijzondere relatie tussen een lichaam en zijn deellichamen aan de hand van groepentheorie.

В линейной алгебре есть vectorruimte een abstractie van de coördinatenruimte waarin meetkunde wordt bedreven; ze bestaat enerzijds uit een lichaam waarvan de elementen «scalairen» heten (наар аналогия met de reële getallen), en anderzijds uit «vectoren» die bij elkaar kunnen worden opgeteld en die met een scalair kunnen word vermenigvuldigvuldig.

Van deze vier basestructuren zijn inmiddels tientallen varianten, specialisaties en veralgemeningen beschreven, die allmaal specific toepassingen hebben voor het oplossen van problems uit de elementaire algebra of uit andere takken van de wiskunde. Het reeds aangehaalde artikel Algebraïsche struct somt er nog enkele op.

Tussen twee objecten van dezelfde category (bijvoorbeeld twee groepen) onderscheidt men morfismen: afbeeldingen tussen de abstracte verzamelingen die de bewerkingsstructuur respecteren.Een groepshomomorfisme tussen twee groepen

(
грамм
,
⋅
)

{\ displaystyle (G, \ cdot)}

en

(
ЧАС
,
*
)

{\ displaystyle (H, *)}

is een afbeelding tussen de onderliggende verzamelingen

ж
:
грамм
→
ЧАС
:
грамм
↦
ж
(
грамм
)

{\ Displaystyle f: G \ к H: g \ mapsto f (g)}

die als volgt de groepsbewerking bewaart:

∀

грамм

1

,

грамм

2

∈
грамм
:
ж
(

грамм

1

⋅

грамм

2

)
знак равно
ж
(

грамм

1

)
*
ж
(

грамм

2

)

{\ displaystyle \ forall g_ {1}, g_ {2} \ in G: f (g_ {1} \ cdot g_ {2}) = f (g_ {1}) * f (g_ {2})}

Een omkeerbaar morfisme heet isomorfisme.Als tussen twee objecten (verzamelingen met een bewerking) een isomorfisme bestaat, zijn ze in algebraïsch opzicht volkomen gelijkwaardig.

Een typisch проблема van de abstracte algebra bestaat erin, de objecten van een gegeven category te classificeren op isomorfisme na. Een van de merkwaardigste resultaten van de 20ste-eeuwse algebra is de classificatie van eindige enkelvoudige groepen.

De homologische algebra bestudeert niet én specificieke category van structuren, maar algemene ketencomplexen waarvan de objecten to tamelijk algemene category kunnen behoren; Зе находится на месте behoefte om technieken van de algebraïsche topologie aan te wenden bij de studie van objecten die niet a priori met topologie te maken hebben.

.