Мордкович учебник 10: Читать Учебник Математика 10 класс Мордкович Смирнова

Конспект урока по математике 10 класс Учебник: Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс; Мордкович А.Г. «Задачник10-11 класс» Тема: «Формулы приведения»

наименование тригонометрической функции сохранится.

2. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится аргумент вида

то наименование функции следует изменить на родственное.

3. Перед полученной функцией от аргумента t (в правой части равенства) надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 t .

3. Давайте прочитаем правило в учебнике. (Чтение правила по учебнику)

4. Попробуем применить это правило к уже перечисленным формулам приведения:

1. sin ( + t) = — sin t

преобразуемая функция аргумента t или полученная функция

функция

аргумент ( + t), а в третьей четверти преобразуемая функция синус имеет знак отрицательный.

2. cos ( + t) = — sin t

аргумент + t из второй четверти, а в ней преобразуемая функция косинус имеет знак минус, поэтому перед полученной функцией ставим знак «минус».

3. А теперь с помощью изученного правила получите новую формулу приведения:

tg ( – t) = ctg t (Работа в парах)

Это правило используется и в случаях, когда аргументы заданы в градусах

Соs (360 + α) = cos α. (Работа в парах)

2. Выступление ребят.

Кто же из математиков и когда получил формулы приведения. Послушаем сообщение о Леонардо Эйлере.

3. Закрепление.

1. Решаем номер 151 (бв) (один обучающийся у доски, остальные в тетрадях):

Б) cos ( — t) = cos t

В) cos + α) = sin α

№ 153 (а, г)

А) cos (90 — α) = sin α

Г) cos (180 + α) = — cos α

№ 154 (а,г) (Самостоятельно)

А) tg (90 — α) = ctg α

Г) ctg (360 + α) = ctg α

Подводим итог выполненной работы:

Для чего мы применяли в данных упражнениях формулы приведения? (Для упрощения выражения).

2. А сейчас будем их применять для вычисления.

№ 155 (аб) – разбор учителем с помощью учащихся зданий на доске

А) sin 240 = sin (180 + 60) = — sin 60 = —

Б) tg 300 = tg (36060) = — tg 60 = — 3

3. Работа в группах № 155 (г): какая группа найдет больше различных способов вычисления:

Г) сtg 315 = ctg (360 — 45= — ctg 45 = -1

сtg 315 = ctg (270 + 45= — tg 45 = -1

4. № 158 (а) Упрощаем более сложное упражнение

Sin (90 — α) + cos (180 + α) + tg (270 + α) + ctg (360 + α) = cos α- cos α – ctg α + ctg α = 0

4. Самостоятельная работа по вариантам с последующей проверкой:

I вариант № 159 (б):

= = = cos t, где tg t =

II вариант № 159 (г)

= = — = — tg t =

165 (а):

2 cos (2 + t) + sin ( + t) = 3

2 cos t + cos t = 3

3 cos t = 3

cos t = 1

t = 2 k, k

cамостоятельно

б) sin ( + t) + 2 cos ( + t) = 3

— sin t – 2 sin t = 3

— 3 sin t = 3

sin t = — 1

t = — + 2 k, k

4. Рефлексия по розданным печатным карточкам.

5. Проставление оценок.

6. Задачи на следующий урок: чем будем заниматься? (Применять формулы приведения при доказательстве тождеств, решений уравнений).

7. Домашнее задание: параграф 8; №№ 152 (аб), 153 (бв), 154 (бв), 156 (аб), 161 (а)

Приложение 1

Приложение 2

№ 159 (г)

= = — = — tg =

Докажите тождество

№ 162 (а,б)

№ 160 (б) упростите:

ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович, Семёнов

Алгебра 10-11 класс

Учебник (Базовый уровень)

Мордкович, Семёнов

1

Мнемозина

Все в современном мире сосредоточено вокруг компьютеров/ноутбуков и всемирной паутины. Чтобы хорошо разбираться в этих технологиях необходимо хорошо знать алгебру. Ведь язык программирования состоит в основном из определенных формул, которые нужно уметь читать. Однако те познания, которые сейчас дают в школах крайне далеки от идеала. Чтобы лучше усвоить программу школьникам можно обратиться за помощью к решебнику к учебнику «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» Мордкович, Семенов, в котором представлено все, что надо для полноценной учебы.

Что вошло в решебник

В пособии представлено пятьдесят девять параграфов, каждый из которых относится к тому или иному разделу. Детально изложенные ответы помогут лучше осознать теоретические выкладки и помогут полноценно овладеть необходимым материалом. ГДЗ по алгебре 10-11 класс Мордкович прекрасное средство для доскональной работы над ошибками.

Можно ли всегда его применять

Большая часть теории остается скрыта от учащихся на уроках, так как преподаватели более сосредоточены на плановом выполнении задач. Осваивать же сведения самостоятельно многие из них ленятся, что приводит к весьма печальным последствиям. Трудно понять суть знаний, когда не известна их предыстория. Упуская что-то одно, неминуемо можно потерять связь со всей последующей информацией. Вырванные же из контекста сведения могут принести мало пользы. Чтобы составить себе более полноценную картину курса, подростки могут использовать решебник к учебнику «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» Мордкович. Пользуясь сборником ежедневно можно не только разобраться во все нюансах, но и работать на опережение, готовясь к предстоящим урокам заранее, чтобы смело блеснуть своими познаниями. «Мнемозина», 2015 г.

Похожие ГДЗ Алгебра 10-11 класс

Название

Условие

Решение

Мордкович 10 Класс Учебник Базовый ГДЗ – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

Мордкович 10 Класс Учебник Базовый ГДЗ

ГДЗ : готовые ответы по алгебре Учебник , Задачник за 10 ‐11 класс , решебник Мордкович , Базовый уровень ФГОС, часть 1, 2 онлайн решения на GDZ . RU .  Авторы : А .Г . Мордкович , П . В . Семенов . Издательство: Мнемозина . Тип книги: Учебник . Часть: 1, 2 . 

Мы рады вам представить новый решебник задачника Мордковича 10 -11 класс , в котором содержится большинство ответов на задания  Вот, наконец, вышел совершенно новый решебник Мордковича Семенова по алгебре и начала математического анализа 10 и 11 класса . 

Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 10 (десятый ) класс учебник и задачник авторы: Мордкович , Семенов, Денищева, Звавич издательство Мнемозина, 2019 год, Базовый и углубленный уровень, часть 1, 2 .  Учебник и Задачник Базовый и углубленный уровень (часть 1, 2) . 

Если сомневаетесь, стоит ли школьникам пользоваться ГДЗ по алгебре 10 –11 класс Мордкович, то подумайте – многим ли в жизни пригодились школьные знания по основам матанализа, комбинаторики или тригонометрии? 

ГДЗ по алгебре за 10 -11 класс Задачник Мордкович Часть 2 . Тип: Задачник Базовый уровень . Автор: Мордкович А .Г . Издательство: Мнемозина . Перед вами вторая часть задачника гдз по алгебре 10 -11 класс Мордковича . 

ГДЗ 11 класс Алгебра Мордкович А .Г . ГДЗ по алгебре 10 -11 класс Мордкович, решебник к задачнику . 

Учебник 10 -11 классов по алгебре и началу математического анализа А .Г . Мордкович зарекомендовал себя в образовательных учреждениях с хорошей стороны . В нем материал изложен понятно и доступно, рассчитан на большую часть самостоятельной работы дома . 

Алгебра . 9 класс 10 класс 11 класс . Алгебра 10 класс (Мордкович А .Г .) Закрыть учебник . ГЛАВА 1 . Числовые функции . 

Заказать учебник . Главная » Решебники, ГДЗ » ГДЗ — для 10 класса к задачнику «Алгебра и  Домашняя работа по алгебре и началам математического анализа за 10 класс к задачнику А .Г  10 -11 классы . В 2 ч . Ч . 2 . Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений . . 

10 -11 класс .» ГДЗ . Мордкович А . Г . Ответы к учебнику по алгебре и началу анализа для 10 -11 класса Мордкович . 

Смотри готовые решения заданий за 10 класс из ГДЗ по алгебре — Мордкович .   Воспользуйся решебником по алгебре за 10 класс , созданным на основе учебника Мордкович . В ГДЗ вы найдете удобную таблицу с готовыми номерами решений заданий по алгебре, в частности . . 

Готовые Домашние Задания , Решебник по Алгебре 10 -11 классы . Мордкович .
Появится в скором времени . ГДЗ по алгебре 10 класс Мордкович . Ты десятиклассник, хочется больше гулять . Но эти уроки — эта алгебра, опять домашнее задание .  В такой ситуации Вам помогут готовые домашние задания ГДЗ по алгебре 10 класс Мордкович . 

Решебник алгебра 11 класс Мордкович помогает на практике закрепить весь теоретический материал главной книги и вспомнить весь курс алгебры за прошедшие  Вы можете скачать и еще одно приложение к нему — Мордкович алгебра 10 — 11 гдз (готовые домашние задания) . 

Выберите задание . 

ГДЗ : готовые ответы по алгебре Учебник , Задачник за 10 ‐11 класс , решебник Мордкович , Базовый уровень ФГОС, часть 1, 2 онлайн решения на GDZ .RU .  Авторы : А .Г . Мордкович , П . В . Семенов . Издательство: Мнемозина . Тип книги: Учебник . Часть: 1, 2 . 

Мы рады вам представить новый решебник задачника Мордковича 10 -11 класс , в котором содержится большинство ответов на задания  Вот, наконец, вышел совершенно новый решебник Мордковича Семенова по алгебре и начала математического анализа 10 и 11 класса . 

Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 10 (десятый ) класс учебник и задачник авторы: Мордкович , Семенов, Денищева, Звавич издательство Мнемозина, 2019 год, Базовый и углубленный уровень, часть 1, 2 .  Учебник и Задачник Базовый и углубленный уровень (часть 1, 2) . 

Если сомневаетесь, стоит ли школьникам пользоваться ГДЗ по алгебре 10 –11 класс Мордкович, то подумайте – многим ли в жизни пригодились школьные знания по основам матанализа, комбинаторики или тригонометрии? 

ГДЗ по алгебре за 10 -11 класс Задачник Мордкович Часть 2 . Тип: Задачник Базовый уровень . Автор: Мордкович А .Г . Издательство: Мнемозина . Перед вами вторая часть задачника гдз по алгебре 10 -11 класс Мордковича .  

ГДЗ 11 класс Алгебра Мордкович А .Г . ГДЗ по алгебре 10 -11 класс Мордкович, решебник к задачнику . 

Учебник 10 -11 классов по алгебре и началу математического анализа А .Г . Мордкович зарекомендовал себя в образовательных учреждениях с хорошей стороны . В нем материал изложен понятно и доступно, рассчитан на большую часть самостоятельной работы дома . 

Алгебра . 9 класс 10 класс 11 класс . Алгебра 10 класс (Мордкович А .Г .) Закрыть учебник . ГЛАВА 1 . Числовые функции . 

Заказать учебник . Главная » Решебники, ГДЗ » ГДЗ — для 10 класса к задачнику «Алгебра и  Домашняя работа по алгебре и началам математического анализа за 10 класс к задачнику А .Г  10 -11 классы . В 2 ч . Ч . 2 . Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений . . 

10 -11 класс .» ГДЗ . Мордкович А . Г . Ответы к учебнику по алгебре и началу анализа для 10 -11 класса Мордкович . 

Смотри готовые решения заданий за 10 класс из ГДЗ по алгебре — Мордкович .  Воспользуйся решебником по алгебре за 10 класс , созданным на основе учебника Мордкович . В ГДЗ вы найдете удобную таблицу с готовыми номерами решений заданий по алгебре, в частности . . 

Готовые Домашние Задания , Решебник по Алгебре 10 -11 классы . Мордкович .
Появится в скором времени . ГДЗ по алгебре 10 класс Мордкович . Ты десятиклассник, хочется больше гулять . Но эти уроки — эта алгебра, опять домашнее задание .  В такой ситуации Вам помогут готовые домашние задания ГДЗ по алгебре 10 класс Мордкович . 

Решебник алгебра 11 класс Мордкович помогает на практике закрепить весь теоретический материал главной книги и вспомнить весь курс алгебры за прошедшие  Вы можете скачать и еще одно приложение к нему — Мордкович алгебра 10 — 11 гдз (готовые домашние задания) . 

Выберите задание . 

Решебник По Белорусскому Языку 3кл
ГДЗ Математика 2 Класс Стр 92
ГДЗ Английский Язык 4 Класс 2020
ГДЗ Разумовская Львова Седьмой Класс
ГДЗ По Химии По Страницам
ГДЗ По Математике 3 Класс 5 Страница
ГДЗ Пятый Класс Зубарева
ГДЗ По Физике 10 Пинский
ГДЗ Малаховская Тетрадь 2 Класс
Окружающий Мир 2 Решебник Рабочая
ГДЗ По Русскому Языку 3 Тетрадь
ГДЗ География 8 Класс Рабочая Тетрадь
ГДЗ По Английскому Языку 8 Комарова
ГДЗ По Химии 10 Класс Габриэлян
Решебник По Геометрии Самостоятельные Работы
ГДЗ По Географии 7 Класс Просвещение Учебник
ГДЗ По Химии Пузаков
География 9 Класс ГДЗ Алексеев Липкина
ГДЗ 5 Класс 2 Часть Учебника
ГДЗ Гейдман 3 Класс Учебник 1
ГДЗ Русский 8 Разумовская 2014
ГДЗ По Литературе 6 Класс Учебник Полухина
Мм Разумовская ГДЗ Русский 5 Класс Язык
ГДЗ По Spotlight Страница Пять Упражнение Три
Решебник По Англ 3 Класс Афанасьева Михеева
Баринова 8 Класс ГДЗ
Решебник По Пятому Классу
ГДЗ 4 Класс Русский Страница
Русский Язык ГДЗ Часть 2 Моро
ГДЗ По Физике 10 Класс Мякишев Тесты
ГДЗ По Математике Алгебре 7 Мордкович
ГДЗ По Химии 11 Класс Рудзитис 2012
Решебник По Геометрии 8 Класс Учебник
ГДЗ Математика 5 Класс 1 Часть Автор
ГДЗ По Английскому 3 Класс Рабочая Вербицкая
ГДЗ По Физике 9 Класс Минькова
ГДЗ По Математике 6 Класс Николь Учебник
ГДЗ Английский Язык 9 Класс Автор Кузовлев
Решебник По Физике 8 Класс Белага Учебник
ГДЗ По 5 Класс Чесноков Нешков
Решебник 8 Класс Бел
Решебник По Английскому Языку 7 Класс Карпюк
Русский 5 Разумовская Решебник
ГДЗ По Литературе 8 Класс Курдюмова 1
ГДЗ Ru По Математике 6 Класс
ГДЗ Окружающий Мир 4 Поглазова Рабочая
ГДЗ По Химии 11 Класс
Афанасьева Михеева 5 Класс Рабочая ГДЗ
ГДЗ По Физике 9 Класс 4 Упражнение
ГДЗ Учебник По Алгебре Макарычев Миндюк

ГДЗ Русский Канакина 4 Класс 2 Часть

ГДЗ Чертова 8 Класс

ГДЗ По Английский Вербицкая 1 Часть

ГДЗ По Алгебре 8 Мерзляк Якир

Сборник Задач Галицкий 8 9 Класс ГДЗ

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка браузера на прием файлов cookie

Существует множество причин, по которым файл cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее распространенные причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки браузера, чтобы принять файлы cookie, или спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.
  Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файл cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Попробуйте другой браузер, если вы подозреваете это.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
  браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы это исправить, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.
  Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Предоставить доступ без файлов cookie
потребует от сайта создания нового сеанса для каждой посещаемой вами страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в файле cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только та информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт
не может определить ваше имя электронной почты, если вы не решите ввести его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступ к
остальной части вашего компьютера, и только сайт, создавший файл cookie, может его прочитать.

Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи. Видеоурок «Умножение многочлена на одночлен

»

Если числа обозначать разными буквами, то можно обозначать только с произведения; пусть, например, необходимо число а умножить на число b, — мы можем обозначить это либо через a∙b, либо через ab, но не может быть и речи о том, как это умножение как-то выполнить. Однако когда мы имеем дело с мономами, то в силу 1) наличия коэффициентов и 2) того, что в эти мономы могут входить множители, обозначаемые одними и теми же буквами, можно говорить об умножении мономов; эта возможность еще шире для многочленов.Рассмотрим ряд случаев, когда можно выполнить умножение, начиная с самого простого.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями … Пусть, например, потребуется 3 ∙ 5. Зная смысл возведения в степень, запишем то же более подробно:

а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а

Глядя на эту подробную запись, мы видим, что мы записали a в 8 раз, или, короче, в 8 раз. Итак, a 3 ∙ a 5 = a 8.

Пусть требуется b 42 ∙ b 28.Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а потом снова множитель b 28 раз — в общем, мы бы получили, что b берется множителем 70 раз. т. е. b 70. Значит, b 42 ∙ b 28 = b 70. Отсюда уже видно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается неизменным, а показатели степени складываются. Если у нас есть 8 ∙ a, то мы должны иметь в виду, что множитель a подразумевает показатель степени 1 («а в первой степени»), — следовательно, a 8 ∙ a = a 9.

Примеры: х ∙ х 3 ∙ х 5 = х 9; а 11 ∙ 22 ∙ 33 = 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12; (а + б) 3 ∙ (а + б) 4 = (а + б) 7; (3x — 1) 4 ∙ (3x — 1) = (3x — 1) 5 и т.  д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели степени которых обозначаются буквами, например, xn (x в степени n). К таким выражениям нужно привыкнуть. Вот несколько примеров:

Поясним некоторые из этих примеров: bn — 3 ∙ b 5 основание b оставить без изменений, а показатели добавить, то есть (n — 3) + (+5) = n — 3 + 5 = n + 2. Конечно, такие прибавления надо научиться делать быстро в уме.

Другой пример: x n + 2 ∙ x n — 2, — основание x оставить без изменений, а показатель степени добавить, т.е.е. (n + 2) + (n — 2) = n + 2 + n — 2 = 2n.

Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, теперь можно выразить равенством:

а м ∙ а н = а м + п

2. Умножение одночлена на одночлен. Предположим, например, что вы хотите 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь точкой обозначено одно умножение, но мы знаем, что один и тот же знак умножения имеется в виду между 3 и а², между а² и b³, между b³ и с, между 4 и а, между а и b², между b² и д². Следовательно, мы можем видеть здесь произведение 8 множителей и можем умножать их на любые группы в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями стояли рядом друг с другом, т.е.

3 ∙ 4 ∙ а² ∙ а ∙ b³ ∙ b² ∙ с ∙ d².

Тогда мы можем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получить 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем умножать коэффициенты и степени с теми же основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменений.

Другие примеры:

3. Умножение многочлена на одночлен. Предположим, вы должны сначала какой-нибудь многочлен, например, a — b — c + d умножить на положительное целое число, например, +3. Поскольку положительные числа считаются такими же, как и арифметические числа, то это тоже самое, что (a — b — c + d)∙ 3, т.е. a — b — c + d берется 3 раза как слагаемое, или

(а — b — с + d) ∙ (+3) = а — b — с + d + а — b — с + d + а — b — с + d = 3а — 3b — 3с + 3d,

, то есть в итоге каждый член многочлена пришлось умножать на 3 (или на +3).

Отсюда следует:

(а — б — в + г) ÷ (+3) = а — б — в + г,

, то есть каждый член многочлена нужно было разделить на (+3). Также, суммируя, получаем:

и т. д.

Пусть теперь надо умножить (а — b — с + d) на положительную дробь, например, на +. Это как умножение на арифметическую дробь, то есть взятие частей (a — b — c + d). Одну пятую часть этого полинома взять легко: нужно разделить (a — b — c + d) на 5, и мы уже умеем это делать, — получаем … Осталось повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т.е.

В итоге мы видим, что нам пришлось умножать каждый член полинома на или на +.

Теперь пусть надо умножить (a — b — c + d) на отрицательное число, целое или дробное,

то есть и в этом случае каждый член полинома надо было умножать на -.

Таким образом, каким бы ни было число m, всегда (a — b — c + d) ∙ m = am — bm — cm + dm.

Поскольку каждый одночлен является числом, здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен — каждый член многочлена надо умножать на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен … Пусть надо (а+b+с)∙(d+е). Так как d и e обозначают числа, то (d + e) ​​также выражает любое одно число.

(а + б + в) ∙ (д + д) = а (д + д) + б (д + д) + в (д + д)

(можно объяснить так: мы имеем право временно принять d + e за моном).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

В результате вы можете изменить порядок членов.

(а + б + в) ∙ (д + е) = ад + бд + эд + ае + бе + вэ,

, то есть, чтобы умножить многочлен на многочлен, вы должны умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого. Удобно (для этого порядок полученных членов был изменен выше) умножать каждый член первого многочлена сначала на первый член второго (на + d), затем на второй член второго (на + д), то, если бы это было, третьим и т. д. . д.; после этого следует провести кастинг похожих участников.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом биноме члены расположены в убывающей степени буквы, общей для обоих биномов. Такие умножения легко выполнить в уме и сразу записать конечный результат.

Из умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т.е. 4x² на 3x, получаем 12x³ старший член произведения — подобного ему явно не будет.Далее ищем, от умножения каких слагаемых получим слагаемые с меньшей, чем 1 степенью буквы х, то есть с х². Нетрудно видеть, что такие слагаемые получаются от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-й член второго (скобки внизу пример указывает на это). Нетрудно произвести эти умножения в уме, а также выполнить приведение этих двух подобных слагаемых (после чего получится слагаемое –19x²).Затем замечаем, что следующее слагаемое, содержащее букву х в степени на 1 меньше, то есть х в 1-й степени, получится только от умножения второго слагаемого на второе, и подобных им не будет.

Другой пример: (x² + 3x) (2x — 7) = 2x³ — x² — 21x.

Также легко мысленно проделать такие примеры:

Старший член получается умножением старшего члена на старший, подобных ему членов не будет, и он = 2а³. Затем ищем, какие умножения дадут слагаемые с а² — от умножения 1-го слагаемого (а²) на 2-е (–5) и от умножения второго слагаемого (–3а) на 1-е (2а) – это указывается ниже в скобках; выполняя эти умножения и объединяя полученные слагаемые в одно, мы получаем –11a². Затем ищем, какие умножения дадут термы с а в первой степени — эти умножения отмечены скобками выше. Выполнив их и объединив полученные слагаемые в одно, получим +11а.Наконец, обратите внимание, что наименее значащий член в произведении (+10), который вообще не содержит a, получается путем умножения младшего значащего члена (–2) одного полинома на младший значащий член (–5) многочлена. разное.

Другой пример: (4а 3 + 3а 2 — 2а) ∙ (3а 2 — 5а) = 12а 5 — 11а 4 — 21а 3 + 10а 2.

Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения всегда получается умножением старших членов сомножителей, и подобных членов быть не может; также низший член произведения получается путем умножения низших членов множителей, и одинаковых членов быть не может.

Остальные члены, полученные при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобны, и может даже случиться так, что все эти члены взаимно аннулируются, и останутся только старший и младший.

Вот несколько примеров:

(a² + ab + b²) (a — b) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³
(a² — ab + b²) (a — b) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a — b) = a 4 — b 4 (запишите только результат)
(x 4 — x³ + x² — x + 1) (x + 1) = х 5 + 1 и т. д.

Эти результаты заслуживают внимания и их полезно запомнить.

Особенно важен следующий случай умножения:

(a + b) (a — b) = a² + ab — ab — b² = a² — b²
или (x + y) (x — y) = x² + xy — xy — y² = x² — y²
или ( х + 3) (х — 3) = х² + 3х — 3х — 9 = х² — 9 и т. д.

Во всех этих примерах применительно к арифметике мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а результатом является разность квадратов этих чисел.

Если мы видим подобный случай, то нет необходимости детально выполнять умножение, как это было сделано выше, а можно сразу написать результат.

Например, (3а + 1) ∙ (3а — 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число 3а и второе 1, а второй множитель есть разность этих же чисел; следовательно, результат должен быть: квадрат первого числа (т.е. 3а ∙ 3а = 9а²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т.е.е.

(3а + 1) ∙ (3а — 1) = 9а² — 1.

Также

(аб — 5) ∙ (аб + 5) = а²b² — 25 и т. д.

Итак, помните

(а + b) (а — b) = а² — b²

то есть произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

При умножении многочлена на одночлен воспользуемся одним из законов умножения. Он получил в математике название распределительного закона умножения. Распределительный закон умножения :

1. (а + Ь) * с = а * с + Ь * с

2. (а — б) * с = а * с — б * с

Чтобы умножить одночлен на многочлен, достаточно каждый из членов многочлена умножить на одночлен. После этого добавьте получившиеся работы. На следующем рисунке показана схема умножения одночлена на многочлен.

Порядок умножения не важен, если, например, вам нужно умножить многочлен на одночлен, то действовать нужно точно так же.2.

Цель :

1. Обеспечить усвоение начальных знаний по теме «Умножение одночлена на многочлен»;
2. Развивать аналитическое и синтезирующее мышление;
3. Воспитывать мотивы к обучению и положительное отношение к знаниям.

Тимбилдинг класса.

Задачи :

1. Ознакомиться с алгоритмом умножения одночлена на многочлен;
2. Разработать алгоритм практического использования.

Оборудование : карточки с заданиями, компьютер, интерактивный проектор.

Тип урока : комбинированный.

Во время занятий

I. Организационный момент:

Привет ребята, садитесь.

Сегодня продолжаем изучение раздела «Многочлены» и темы нашего урока «Умножение одночлена на многочлен». Откройте тетради и запишите номер и тему урока «Умножение одночлена на многочлен.»

Задача нашего урока — вывести правило умножения одночлена на многочлен и научиться применять его на практике. Полученные сегодня знания необходимы вам на протяжении всего изучения всего курса алгебры.

У вас на столах лежат бланки, в которые мы будем заносить ваши баллы, набранные на протяжении всего урока, и в результате будет выставлена ​​оценка. Точки будем изображать в виде смайликов. ( Приложение 1 )

II. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

При изучении новой темы нам понадобятся знания, полученные на предыдущих уроках.

Учащиеся выполняют задания по карточкам по теме «Степень и ее свойства». (5-7 минут)

Фронтальные работы:

1) Даны два монома: 12р 3 и 4р 3

а) сумма;
б) разница;
в) произведение;
д) частный;
f) квадрат каждого одночлена.

2) Назовите члены многочлена и определите степень многочлена:

а) 5 аб – 7 а 2 + 2 б – 2,6
б) 6 ху 5 + х 2 у — 2

3) Сегодня нам понадобится распределительное свойство умножения.

Сформулируем это свойство и обозначение в буквальном виде.

III. Этап усвоения новых знаний.

Мы повторили правило умножения одночлена на одночлен, распределительное свойство умножения. Теперь усложним задачу.

Разделитесь на 4 группы. В каждой группе на карточках по 4 выражения. Попробуйте восстановить недостающее звено в цепочке и объяснить свою точку зрения.

• 8x 3 (6x 2 — 4x + 3) = ………………….…… = 48x 5 — 32x 4 + 24x 3
• 5а 2 (2а 2 + 3а — 7) = ……………………….. = 10а 4 + 15а 3 — 35а 2
• 3 года (9 лет 3 — 4 года 2 — 6) = ………………………. = 27 лет 4 — 12 лет 3 — 18 лет
• 6б 4 (6б 2 + 4б — 5) = …………. …………… = 36б 6 + 24б 5 — 30б 4

(К экрану подходит один представитель от каждой группы, записывает недостающую часть выражения и поясняет свою точку зрения. )

Попробуйте сформулировать правило (алгоритм) умножения многочлена на одночлен.

Какое выражение получается в результате выполнения этих действий?

Чтобы проверить себя, откройте обучающую страницу 126 и прочитайте правило (1 человек читает вслух).

Совпадают ли наши выводы с правилом в учебнике? Запишите в тетрадь правило умножения одночлена на многочлен.

IV. Анкеровка:

1. Физическое воспитание:

Ребята, сядьте поудобнее, закройте глаза, расслабьтесь, сейчас мы отдыхаем, мышцы расслаблены, изучаем тему «Умножение одночлена на многочлен.»

И так запоминаем правило и повторяем за мной: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и записать сумму полученных выражений. Мы открываем глаза.

2. Работа по учебнику № 614 у доски и в тетрадях;

а) 2х (х 2 — 7х — 3) = 2х 3 — 14х 2 — 6х
б) -4в 2 (5в 2 — 3в — 2) = -20в 4 + 12в 3 + 8в 2
в) (3а 3 — а 2 + а) (- 5а 3) = -15а 6 + 5а 5 — 5а 4
г) (у 2 — 2. 4y + 6) 1,5y = 1,5y 3 — 3,6y 2 + 9y
e) -0,5x 2 (-2x 2 — 3x + 4) = x 4 + 1,5x 3 — 2x 2
f) (-3y 2 + 0,6 года) (- 1,5 года 3) = 4,5 года 5 — 0,9 года 4

(При выполнении номера анализируются наиболее типичные ошибки)

3. Конкурс по вариантам (расшифровка пиктограммы). (Приложение 2)

Вариант 1:		Вариант 2:
1) -3x 2 (- x 3 + x — 5) 2) 14 x (3 ху 2 – х 2 у + 5) 3) -0,2 м 2 с (10 мин 2 – 11 м 3 – 6) 4) (3а 3 — а 2 + 0.1а) (- 5а 2) 5) 1/2 с (6 с 3 d — 10c 2 d 2) 6) 1. 4p 3 (3q — pq + 5p) 7) 10x 2 y (5.4xy — 7.8y -0.4) 3 а б (а 2 — 2аб + б 2)		1) 3а 4 х (а 2 — 2ах + х 3 — 1) 2) -11а (2а 2 б — а 3 + 5б 2) 3) -0,5 NS 2 y ( NS y 3 — 3 NS + y 2) 4) (6b 4 — b 2 2)01) (- 7б 3) 5) 1/3м 2 (9м 3 н 2 — 15мн) 6) 1.6с 4 (2с 2 д — кд + 5д) 7) 10п 4 pq — 6.1q — 3.6) 8) 5xy (x 2 — 3xy + x 3)

Задания представлены на отдельных карточках и на экране. Каждый ученик выполняет свое задание, находит букву и записывает ее на экране напротив выражения, которое он преобразовал. Если вы получите правильный ответ, вы получите слово: молодец! умники 7а

Частным случаем умножения многочлена на многочлен является умножение многочлена на одночлен.В этой статье мы сформулируем правило выполнения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Давайте разберемся, что является основанием умножения многочлена на одночлен. Это действие основано на распределительном свойстве умножения по отношению к сложению. Дословно это свойство записывается так: (a + b)c = a c + b c (a, b и c — некоторые числа). В этой записи выражение (a + b) c является в точности произведением полинома (a + b) и монома c … Правая часть равенства a c + b c есть сумма произведений одночленов a и b на одночлен c .

Приведенные рассуждения позволяют сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Определение 1

Для выполнения действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

• напишите произведение многочлена и одночлена, которые надо перемножить;
• умножить каждый член полинома на заданный моном;
• найти сумму полученных произведений.

Поясним дополнительно приведенный выше алгоритм.

Чтобы составить произведение полинома на моном, исходный полином заключают в круглые скобки; далее между ним и данным мономом ставится знак умножения. В случае, когда написание монома начинается со знака минус, его также необходимо заключать в круглые скобки. Например, произведение многочлена — 4 х 2 + х — 2 и одночлена 7 у запишем как (- 4 х 2 + х — 2) 7 у , а произведение многочлена а 5 б — 6 аб и одночлен — 3 а 2 составляют в виде: (а 5 б — 6 аб) (- 3 а 2) .

Следующим шагом алгоритма является умножение каждого члена полинома на заданный моном. Компоненты многочлена являются мономами, т.е. фактически нам нужно выполнить умножение одночлена на одночлен. Предположим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение (2 х 2 + х + 3) 5 х, , тогда на втором шаге мы умножаем каждый член полинома 2 х 2 + х + 3 на одночлен 5 х , таким образом получая: 2 х 2 5 х = 10 х 3, х 5 х = 5 х 2 и 3 5 х = 15 х . .. Результатом будут мономы 10 х 3, 5 х 2 и 15 х .

Последним действием по правилу является добавление полученных работ. Из предложенного примера после выполнения этого шага алгоритма получаем: 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х .

По умолчанию все шаги записываются в виде цепочки равенств. Например, находя произведение полинома 2 х 2 + х + 3 и одночлена 5 х , запишем это так: (2 х 2 + х + 3) 5 х = 2 х 2 5 х + х 5 х + 3 5 х = 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х. Исключая промежуточные вычисления второго шага, короткое решение можно расположить следующим образом: (2 х 2 + х + 3) 5 х = 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х.

Рассмотренные примеры позволяют заметить важный нюанс: в результате умножения многочлена на одночлен получается многочлен. Это утверждение верно для любого перемноженного многочлена и монома.

По аналогии производится умножение одночлена на многочлен: данный одночлен умножается на каждый член многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Пример 1

Необходимо найти произведение: 1, 4 · х 2 — 3, 5 · у · — 2 7 · х.

Решение

Первый шаг правила уже выполнен — ​​произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член полинома на заданный моном. В этом случае удобно сначала переводить десятичные дроби из обыкновенных. Тогда получаем:

1, 4 х 2 — 3.5 у — 2 7 х = 1, 4 х 2 — 2 7 х — 3,5 у — 2 7 х = = — 1, 4 2 7 х 2 х + 3, 5 2 7 х у = — 7 5 2 7 х 3 + 7 5 2 7 ху = — 2 5 х 3 + ху

Ответ: 1, 4 х 2 — 3,5 у — 2 7 х = — 2 5 х 3 + х у.

Уточним, что когда исходный полином и/или моном заданы в нестандартной форме, перед нахождением их произведения желательно привести их к стандартной форме.

Пример 2

Полином 3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2 и моном — 0.5 а б (- 2) а … Надо найти их работу.

Решение

Видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших расчетов приведем их к стандартному виду:

— 0,5 аб (- 2) а = (- 0,5) (- 2) (аа) b = 1 а 2 b = а 2 b 3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2 = (3 — 2) + (а + 3 а) — 2 а 2 = 1 + 4 а — 2 а 2

Теперь выполним умножение монома a 2 b на каждый член многочлена 1 + 4 a — 2 a 2

a 2 b (1 + 4 a — 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (- 2 a 2) = = a 2 B + 4 a 3 b — 2 a 4 б

Мы не могли привести исходные данные к стандартному виду: решение было бы более громоздким. В этом случае на последнем этапе возникнет необходимость привлечения таких членов. Для понимания приведем решение по такой схеме:

— 0,5 аб (- 2) а (3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2) = = — 0,5 аб (- 2) а 3 — 0,5 аб (- 2) аа — 0,5 аб (- 2) а (- 2 a 2) — 0,5 ab (- 2) a 3 a — 0,5 ab (- 2) a (- 2) = = 3 a 2 b + a 3 b — 2 a 4 b + 3 a 3 b — 2 а 2 б = а 2 б + 4 а 3 б — 2 а 4 б

Ответ: — 0,5 a b (- 2) a (3 + a — 2 a 2 + 3 a — 2) = a 2 b + 4 a 3 b — 2 a 4 b .

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

§ 1 Умножение многочлена на одночлен

Когда дело доходит до умножения многочленов, мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножением многочлена на одночлен и умножением многочлена на многочлен. В этом уроке мы научимся умножать многочлен на одночлен.

Основное правило, которое используется при умножении многочлена на одночлен, это распределительное свойство умножения.Давайте вспомним:

Чтобы умножить сумму на число, вы можете умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения.

Это свойство умножения распространяется на действие вычитания. В буквальном обозначении свойство распределения умножения выглядит так:

(а + б) ∙ с = ​​ац + Ьс

(а — б) ∙ с = ​​ац — Ьс

Рассмотрим пример: многочлен (5ab — 3a2) умножается на одночлен 2b.

Введем новые переменные и обозначим 5ab буквой x, 3a2 буквой y, 2b буквой c.Тогда наш пример примет вид:

(5аб — 3а2) ∙ 2б = (х — у) ∙ с

По закону распределения это равно xc — us. Теперь вернемся к исходному значению новых переменных. Получаем:

5аб ∙ 2б — 3а2 ∙ 2б

Теперь приведем полученный многочлен к стандартному виду. Получаем выражение:

Таким образом, мы можем сформулировать правило:

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.

То же правило применяется при умножении одночлена на многочлен.

§ 2 Примеры по теме занятия

При умножении многочленов на практике, во избежание путаницы с определением полученных знаков, рекомендуется сначала определить и сразу записать знак произведения, а уж потом найти и записать произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.

Пример 1. (4a2b — 2a) ∙ (-5ab).

Здесь моном — 5аb надо умножить на два монома, из которых состоит полином, 4а2b и — 2а. Первая часть будет со знаком «-», а вторая со знаком «+». Поэтому решение будет выглядеть так:

(4а2б — 2а) ∙ (-5аб) = — 4а2б ∙ 5аб + 2а ∙ 5аб = -20а3б2 + 10а2б

Пример 2.-xy (2x — 3y +5).

Здесь мы должны выполнить три шага умножения, причем знак первого произведения будет «-«, знак второго «+», знак третьего «-«.Решение выглядит так:

Hu (2x — 3y + 5) = -xy ∙ 2x + xy ∙ 3y — xy ∙ 5 = -2x2y + 3xy2 — 5xy.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 класс в 2-х частях, ч.1, Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 10-е изд., перераб. — Москва, «Мнемозина», 2007 г.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2-х частях, ч.2, Задача для общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А. Г. Мордковича — 10-е издание, переработанное — Москва, «Мнемозина», 2007 г.
3. НЕЕ.Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц-опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические тесты в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений под редакцией Мордковича А.Г. — 6-е издание, шаблонное, Москва, «Мнемозина», 2010

Перспектива: Преобразование наноматериалов под высоким давлением и возможности в дизайне материалов: Journal of Applied Physics: Vol 124, No 16

Сначала мы расскажем, как размер и геометрия могут изменить фазовую диаграмму по отношению к объему и определить новые физические свойства .Мы, в частности, обсудим случай нанокристаллов и нанотрубок, в которых размер и даже геометрия могут быть изменены почти на атомной основе. Мы сконцентрируем наше обсуждение на модификации фазовой диаграммы как ключевом средстве разработки новых материалов.

A. Нанокристаллы

Фазовая стабильность в материалах конечных размеров может быть изменена путем контроля поверхностной энергии. Однако если для описания свойств свободных наночастиц существует понятие поверхностной энергии, то эту модель вряд ли можно обобщить для описания фазовых переходов, в частности, в экспериментах при высоких давлениях.На самом деле, наночастицы встроены в среду, что создает граничную энергию. В общем случае характер этой границы раздела (химическое взаимодействие, дефекты и т. д.) может определять фазовые равновесия. Чтобы лучше понять влияние энергии интерфейса на фазовую стабильность, особенно важно сочетание давления и размера частиц, поскольку при сохранении постоянного размера частиц давление позволяет исследовать энергетические ландшафты системы и подчеркивает вклад энергии интерфейса в фазовая стабильность.

При работе с нанокристаллами под давлением можно выделить два основных поведения:

Первый случай наблюдается в CdSe, например, ³⁹ 39. S. H. Tolbert and A. P. Alivisatos, Annu. Преподобный физ. хим. 46 , 595 (1995). https://doi.org/10.1146/annurev.pc.46.100195.003115, для которых может наблюдаться изменение давления перехода 1/ r , где r — размер частиц. Этот эффект понимается при рассмотрении соответствующего термодинамического потенциала, включая вклад энергии границы раздела и тенденцию поверхностной энергии фазы высокого давления быть выше, чем у фазы низкого давления, что приводит к сдвигу давления перехода вверх. ^39,40 39. S.H. Tolbert and A.P. Alivisatos, Annu. Преподобный физ. хим. 46 , 595 (1995). https://doi.org/10.1146/annurev.pc.46.100195.00311540. Д. Махон, Л. Пиот, Д. Хапиук, Б. Мазенелли, Ф. Демуассон, Р. Пиоле, М. Ариан, С. Мишра, С. Даниэле, М. Хосни, Н. Жуини, С. Фархат и П. , Мелинон, Нано Летт. 14 , 269 (2014). https://doi.org/10.1021/nl4039345 Используя теорию фазового перехода Ландау, аналогичный результат получается при рассмотрении разности поверхностных энергий как вторичного параметра порядка. ⁴⁰ 40. Д. Махон, Л. Пиот, Д. Хапиук, Б. Мазенелли, Ф. Демуассон, Р. Пиоле, М. Ариан, С. Мишра, С. Даниэле, М. Хосни, Н. Жуини, С. , Farhat и P. Mélinon, Nano Lett. 14 , 269 (2014). https://doi.org/10.1021/nl4039345 Однако, несмотря на то, что в литературе было предложено несколько моделей с возрастающей сложностью, их трудно полностью проверить из-за экспериментальных расхождений. ⁴¹ 41. К.С. Ян и Ю.-В. Май, мэтр. науч. англ. R Rep. 79 , 1 (2014).https://doi.org/10.1016/j.mser.2014.02.001

На самом деле, если этот эффект кажется общим, следует проявлять большую осторожность при определении давления перехода в нанокристаллах. Из большинства экспериментов переходное давление определяется либо как появление фазы высокого давления, либо при исчезновении фазы низкого давления, либо даже в середине ширины перехода. Этот момент имеет решающее значение, поскольку сопутствующим эффектом фазовых переходов, вызванных давлением, в наноразмерных системах является расширение ширины перехода (диапазона давлений, в котором сосуществуют фазы низкого и высокого давления).

Например, в случае ZnO была предложена 1/r -зависимость давления перехода ⁴² 42. S. Li, Z. Wen, Q. Jiang, Scr. Матер. 59 , 526 (2008). https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2008.04.046 с r характерный размер нанокристалла. Однако более пристальный взгляд на экспериментальные отчеты показывает, что такое же определение давления перехода не использовалось (рис. 2). Учет ширины перехода усложняет интерпретацию.Никакой четкой зависимости от размера (в виде закона 1/r ) провести нельзя. Несмотря на то, что ниже 15 нм переход происходит при более высоком давлении, чем для объема, следует отметить, что эти наночастицы (полученные, например, шаровой мельницей) также могут быть более дефектными. Более позднее исследование высокого давления с использованием того же экспериментального протокола было проведено на наночастицах ZnO аналогичного размера, полученных разными путями синтеза. ⁴⁰ 40. Д. Махон, Л. Пиот, Д. Хапюк, Б. Мазенелли, Ф. Демуассон, Р.Piolet, M. Ariane, S. Mishra, S. Daniele, M. Hosni, N. Jouini, S. Farhat и P. Mélinon, Nano Lett. 14 , 269 (2014). https://doi.org/10.1021/nl4039345 Основные выводы заключаются в том, что характеристики перехода (начальное и конечное давления перехода, ширина перехода, фазы высокого давления) различаются во всех случаях и в основном связаны с наличием дефектов. Поэтому, как первый вывод, трудно извлечь простой эффект размера при объединении нескольких экспериментальных исследований. Требуются некоторые меры предосторожности в отношении характеристики образцов, и во время исследований наночастиц под высоким давлением необходимо соблюдать экспериментальный протокол, чтобы получить последовательный и надежный набор данных, которые могут быть использованы научным сообществом. ⁴⁰ 40. Д. Махон, Л. Пиот, Д. Хапиук, Б. Мазенелли, Ф. Демуассон, Р. Пиоле, М. Ариан, С. Мишра, С. Даниэле, М. Хосни, Н. Жуини, С. , Farhat и P. Mélinon, Nano Lett. 14 , 269 (2014). https://doi.org/10.1021/nl4039345 Во-вторых, такое расширение ширины перехода, по-видимому, является общей чертой фазовых переходов, индуцированных давлением в наночастицах. Это расширение ширины перехода можно интерпретировать в рамках теории фазового перехода Гинзбурга-Ландау. ⁴⁰ 40. Д. Махон, Л. Пиот, Д. Хапиук, Б. Мазенелли, Ф. Демуассон, Р. Пиоле, М. Ариан, С. Мишра, С. Даниэле, М. Хосни, Н. Жуини, С. , Farhat и P. Mélinon, Nano Lett. 14 , 269 (2014). https://doi.org/10.1021/nl4039345 В этом случае пространственные неоднородности параметра порядка рассматриваются путем введения кинетического члена с использованием градиента параметра порядка. Показано, что увеличение этого члена вызывает замедление перехода и приводит к его уширению, наблюдаемому экспериментально. Неоднородности могут быть обусловлены точечными дефектами, границей раздела, градиентом давления и т. д. Интересно отметить, что такой подход используется и для описания процесса аморфизации (в случае радиационной аморфизации ⁴⁷ 47. P. Toledano and U Bismayer, J. Phys. Condens. Matter 17 , 6627 (2005). В этом случае увеличение кинетического члена благоприятствует аморфному состоянию. Следовательно, существует конкуренция между полиморфным переходом, который может быть замедлен увеличением кинетического члена, и процессом аморфизации, которому способствует тот же член.Может случиться, что происходит пересечение, приводящее к зависящей от размера аморфизации, вызванной давлением. ⁴⁸ 48. D. Machon and P. Mélinon, Phys. хим. хим. физ. 17 , 903 (2015). https://doi.org/10.1039/C4CP04633A В более сложном описании, вводящем фрактальную геометрию аморфной сетки, было показано, что в нанометрических системах аморфизация под давлением должна происходить даже при более низком переходе, чем ожидаемый полиморфный трансформация. Именно это наблюдается экспериментально в TiO ₂ , Y ₂ O ₃ , PbTe и др. ^48,49 48. D. Machon and P. Mélinon, Phys. хим. хим. физ. 17 , 903 (2015). https://doi.org/10.1039/C4CP04633A49. L. Piot, S. Le Floch, T. Cornier, S. Daniele, and D. Machon, J. Phys. хим. С 117 , 11133 (2013). https://doi.org/10.1021/jp401121c Некоторые системы имеют разные полиморфы, имеющие близкую энергию Гиббса. Например, объемный TiO ₂ в условиях окружающей среды проявляет три полиморфных модификации: рутил, анатаз и брукит. Рутил является стабильным полиморфом, в то время как другие являются метастабильными фазами в условиях окружающей среды.Однако включение члена энергии интерфейса может изменить относительную энергию Гиббса и стабилизировать новый полиморф в наноматериалах. В нано-TiO ₂ стабилизированной фазой является структура анатаза. Как следствие, последующие фазовые превращения под давлением модифицируются с появлением новых фаз по сравнению с объемной фазовой диаграммой. ⁵⁰ 50. D. Machon, M. Daniel, P. Bouvier, S. Daniele, S. Le Floch, P. Melinon, and V. Pischedda, J. Phys. хим. С 115 , 22286 (2011).https://doi.org/10.1021/jp2082227 Сочетание термодинамики (вклад энергии поверхности раздела) и кинетических эффектов приводит к сложному поведению наноматериалов под высоким давлением. Это дает возможность получить фундаментальное понимание фазовых переходов и метастабильности. Кроме того, давление и размер частиц являются двумя параметрами, которые можно использовать совместно для стабилизации новых фаз, которые могут представлять потенциальный интерес в качестве функциональных материалов. Путь декомпрессии также может быть затронут в наномасштабе.Поскольку кинетические эффекты расширяют диапазон метастабильности различных фаз, это может привести к возможности восстановления фазы высокого давления в условиях окружающей среды. ⁵¹ 51. F. Decremps, J. Pellicer-Porres, F. Datchi, J.P. Itié, A. Polian, F. Baudelet и J.Z. Jiang, Appl. физ. лат. 81 , 4820 (2002). https://doi.org/10.1063/1.1527696 В заключение следует отметить, что неоднородности играют важную роль в наномасштабе, поскольку с уменьшением размера межфазная энергия становится сравнимой с внутричастичной когезионной энергией.Следовательно, фазовая диаграмма размера и давления сильно зависит от исходных характеристик образца. В зависимости от плотности дефектов, запирающих молекул (обычно молекул, адсорбированных на поверхности наночастиц) и т. д. экспериментальные наблюдения могут различаться. Таким образом, фазовая диаграмма размера давления является проекцией более сложной многомерной фазовой диаграммы. ⁴⁸ 48. D. Machon and P. Mélinon, Phys. хим. хим. физ. 17 , 903 (2015). https://doi.org/10.1039/C4CP04633A Рисунок 3 иллюстрирует эту идею с учетом третьего измерения, представляющего неоднородность, в дополнение к давлению и размеру.Диаграмма, полученная для идеального образца (K = 0), может отличаться от образца с точечными дефектами, например (K ≠ 0).

Следует отметить, что большинство наночастиц, исследованных под давлением, имеют диаметр в несколько нанометров, что дает возможность использовать в системе подходы классической термодинамики. Критический размер частиц, при котором эти подходы больше не могут быть применены, еще предстоит определить и, безусловно, зависит от системы (состав, связывание и т. д.).

Б.Нанотрубки

Трубчатая геометрия представляет собой реальное топологическое изменение по сравнению с полностью плотными наночастицами. Новая топология вводит не только геометрические ограничения, которые могут привести к совершенно другим фазовым диаграммам, но и вызвать сильные модификации в механизмах взаимодействия с окружающей средой, в частности, через эндоэдральное заполнение.

Одним из наиболее важных эффектов высокого давления на углеродные нанотрубки является вызванная давлением деформация их поперечного сечения.Геометрически изменение сечения предполагает наличие не менее четырех критических точек в силу теоремы о четырех вершинах для замкнутых плоских кривых, иначе говоря, образование не менее двух лепестков (рис. 4). Этот эффект исследовался во многих теоретических работах. Преподобный Летт. 92 , 095501 (2004). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.09550153. П. Тангни, Р. Б. Капаз, К. Д. Спатару, М. Л. Коэн и С.Г. Луи, Нано Летт. 5 , 2268 (2005). https://doi.org/10.1021/nl051637p54. Н. Шима и М. Сато, Phys. Статус Solidi A 206 , 2228 (2009). https://doi.org/10.1002/pssa.20088170655. N.M. Pugno, J. Mech. физ. Твердые тела 58 , 1397 (2010). https://doi.org/10.1016/j.jmps.2010.05.00756. T.F.T. Cerqueira, S. Botti, A. San-Miguel и M.A.L. Marques, Carbon 69 , 355 (2014). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2013.12.036 и экспериментальные работы. ^57–64 57.A. Sood, P. Teresdesai, D. Muthu, R. Sen, A. Govindaraj, and C. Rao, Phys. Статус Solidi B-Basic Res. 215 , 393 (1999). https://doi.org/10.1002/(SICI)1521-3951(199909)215:1<393::AID-PSSB393>3.0.CO;2-858. У. Д. Венкатешваран, А. М. Рао, Э. Рихтер, М. Менон, А. Ринзлер, Р. Е. Смолли и П. С. Эклунд, Phys. Ред. B 59 , 10928 (1999). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.59.1092859. Дж. Р. Вуд, М. Д. Фрогли, Э. Р. Мерс, А. Д. Принс, Т. Пейс, Д. Дж. Дунстан и Х. Д.Вагнер, J. Phys. хим. В 103 , 10388 (1999). https://doi.org/10.1021/jp992136t60. M.J.Peters, L.E.McNeil, J.P.Lu, and D.Kahn, Phys. B 61 , 5939 (2000). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.61.593961. S. Rols, I. N. Goncharenko, R. Almairac, J. L. Sauvajol, and I. Mirebeau, Phys. Ред. B 64 , 153401 (2001). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.64.15340162. К. Кайе, Д. Махон, А. Сан-Мигель, Р. Ареналь, Г. Монтаньяк, Х. Кардон, М. Калбак, М. Зукалова и Л.Каван, физ. Ред. B 77 , 125418 (2008 г.). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.77.12541863. М. Яо, З. Ван, Б. Лю, Ю. Цзоу, С. Ю, В. Линь, Ю. Хоу, С. Пан, М. Джин, Б. Цзоу, Т. Цуй, Г. Цзоу и Б. , Sundqvist, Phys. B 78 , 205411 (2008 г.) 64. Y. Shen и D. Zerulla, Phys. Ред. B 95 , 205434 (2017). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.95.205434 Многие исследования предсказывают давление овализации, за которым следует давление коллапса, пропорциональное ϕ ⁻³ , где ϕ является диаметром трубы. Этот значительный эффект размера на изменение давления углеродных нанотрубок соответствует хорошо известному поведению макроскопических трубок, закону Леви-Кэррье. ⁶⁵ 65. M. Lévy, J. Math. Чистый Appl. 10 , 5 (1884), доступно по адресу https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107448r/f6.image. Недавно было показано, что отклонения от закона Леви-Кэррье наблюдаются для трубок диаметром менее ∼1 нм. ⁶⁶ 66. A.C. Torres-Dias, T.F.T. Cerqueira, W. Cui, M.A.L. Marques, S.Botti, D. Machon, M.A. Hartmann, Y. Sun, D.J. Dunstan и A. San-Miguel, Carbon 123 , 145 (2017). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2017.07.036 В этом случае локализация податливостей за счет атомной дискретизации приводит к уменьшению коллапсного давления, которое становится равным нулю для ϕ _м  ∼ 0,4 нм, наименьший наблюдаемый диаметр свободностоящей однослойной углеродной нанотрубки. Другими словами, одностенные углеродные нанотрубки (ОУНТ) отклоняются от описания механизма континуума для трубок диаметром менее ∼1 нм. Было показано, что связывание нанотрубок приводит к дополнительному эффекту стабилизации по отношению к закону Леви-Кэррье для трубок с диаметром более 1 нм. ⁶⁷ 67. RS Alencar, W. Cui, AC Torres-Dias, TFT Cerqueira, S. Botti, MAL Marques, OP Ferreira, C. Laurent, A. Weibel, D. Machon, DJ Dunstan, AG Souza Filho и А. Сан-Мигель, Carbon 125 , 429 (2017). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2017.09.044 Для больших диаметров ван-дер-ваальсово взаимодействие между внутренними стенками углеродных нанотрубок должно приводить к коллапсу при атмосферном давлении при максимальном диаметре трубки ϕ _M , как подробно обсуждалось в Ref.6868. F. Balima, S. Le Floch, C. Adessi, TFT Cerqueira, N. Blanchard, R. Arenal, A. Brûlet, MAL Marques, S. Botti и A. San-Miguel, Carbon 106 , 64 (2016). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2016.05.004. Зависимость давления разрушения от диаметра для ОУНТ представлена ​​на рис. 4(д). Также было исследовано давление коллапса многостенных углеродных нанотрубок (МУНТ). В углеродных нанотрубках с двойными стенками было показано, что внешняя трубка экранирует внутреннюю от эффектов давления. ^70,71 70. P. Puech, E. Flahaut, A. Sapelkin, H. Hubel, D.J. Dunstan, G. Landa, and W.S. Bacsa, Phys. Ред. B 73 , 233408 (2006). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.73.23340871. С. Ю, М. Массес, И. Добриден, А. А. Грин, М. К. Херсам и А. В. Солдатов, High Press. Рез. 31 , 186 (2011). https://doi.org/10.1080/08957959.2011.562897 Тот же эффект наблюдается и в углеродных нанотрубках с тройными стенками. ⁷² 72. Р. С. Аленкар, А. Л. Агиар, А. Р. Паскоал, П.T. C. Freire, Y. A. Kim, H. Muramatsu, M. Endo, H. Terrones, M. Terrones, A. San-Miguel, M.S. Dresselhaus и A.G. Souza Filho, J. Phys. хим. С 118 , 8153 (2014). https://doi.org/10.1021/jp4126045 Исследования спектроскопии комбинационного рассеяния света на углеродных нанотрубках с двойными стенками показывают, что коллапс давления может происходить в каскадном режиме, когда внешняя трубка начинает деформироваться и вызывает коллапс внутренней трубки при более высоком давлении. а потом и всей системы. ¹³ 13. А.Л.Aguiar, E.B. Barros, R.B. Capaz, A.G. Souza Filho, P.T.C. Freire, J. Mendes Filho, D. Machon, C. Caillier, Y.A. Kim, H. Muramatsu, M. Endo и A. San-Miguel, J. Phys. хим. С 115 , 5378 (2011). https://doi.org/10.1021/jp110675e Более того, недавняя объединенная экспериментальная и теоретическая работа показывает, что для малостенных углеродных нанотрубок закон Леви-Кэрриера сохраняется при замене диаметра трубки d на внутренний диаметр трубы d _внутр. . ⁶⁷ 67. RS Alencar, W. Cui, AC Torres-Dias, TFT Cerqueira, S. Botti, MAL Marques, OP Ferreira, C. Laurent, A. Weibel, D. Machon, DJ Dunstan, AG Souza Filho и А. Сан-Мигель, Carbon 125 , 429 (2017). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2017.09.044 Следует также отметить, что геометрия «собачья кость» — не единственный возможный результат радиального коллапса. Фактически, в MWCNT было предсказано, что вызванная давлением радиальная деформация схлопнувшихся структур может иметь более 2 лепестков. ^54,56,69 54. Shima H. ​​and Sato M. Phys. Статус Solidi A 206 , 2228 (2009). https://doi.org/10.1002/pssa.20088170656. T.F.T. Cerqueira, S. Botti, A. San-Miguel и M.A.L. Marques, Carbon 69 , 355 (2014). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2013.12.03669. J. Zang, A. Treibergs, Y. Han, and F. Liu, Phys. Преподобный Летт. 92 , 105501 (2004 г.). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.105501 В случае МУНТ в композите с полимерной матрицей недавно была подтверждена коллапсная трехлепестковая структура ⁶⁸ 68.Ф. Балима, С. Ле Флох, К. Адесси, TFT Cerqueira, Н. Бланшар, Р. Ареналь, А. Брюле, МАЛ Маркес, С. Ботти и А. Сан-Мигель, Carbon 106 , 64 (2016 г.) ). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2016.05.004 [Рис. 4(а)–4(г)]. Диаметр трубы является критическим параметром, определяющим давление разрушения в ОУНТ и МУНТ. Прогнозируется, что для МУНТ расстояние между трубками также оказывает важное влияние на давление разрушения. ⁶⁷ 67. Р. С. Аленкар, В. Куи, А. К. Торрес-Диас, Т.Ф. Т. Серкейра, С. Ботти, М. А. Л. Маркес, О. П. Феррейра, К. Лоран, А. Вейбель, Д. Махон, Д. Дж. Данстан, А. Г. Соуза Филью и А. Сан-Мигель, Carbon 125 , 429 (2017). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2017.09.044 Коллапсированная нанотрубка сама по себе представляет собой интересный нанообъект с гибридным характером между структурами трубки и графеновых нанолент. Полностью разрушенные углеродные нанотрубки наблюдались даже в условиях окружающей среды вскоре после открытия углеродных нанотрубок.Это относится только к трубкам большого диаметра (несколько нм). Такие разрушенные конструкции могут быть критическими во многих случаях, например, в металлических контактах. ⁷³ 73. В. Перебейнос и Дж. Терсофф, Nano Lett. 14 , 4376 (2014). https://doi.org/10.1021/nl5012646 Физические свойства наносистемы, сжатой под давлением, недостаточно известны, даже если некоторые экспериментальные и теоретические исследования указывают на то, что ее электронные свойства могут демонстрировать сильную зависимость от хиральности и что они могут отличаться из первозданной структуры. ⁷⁴ 74. C. E. Giusca, Y. Tison, and S. R. P. Silva, Phys. Ред. B 76 , 035429 (2007). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.035429 Модуляция радиального поперечного сечения нанотрубки под высоким давлением открывает интересные перспективы для разработки структур, зависящих от напряжения, с инженерными лентовидными структурами. Также важно учитывать изменения, происходящие в свойствах углеродных нанотрубок при сжатии до того, как произойдет схлопывание их радиального сечения.Прежде всего, можно отметить, что моделирование предсказывает, что отдельные углеродные нанотрубки представляют собой системы с низкой сжимаемостью с модулем объемного сжатия (обратным сжимаемости), B ₀ , равным 230 ГПа (производная давления B′ = 4,5) для трубок диаметром 0,8 нм. . ⁷⁵ 75. S. Reich, C. Thomsen, and P. Ordejón, Phys. B 65 , 153407 (2002). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.65.153407 Интересно отметить, что такой объемный модуль будет зависеть от диаметра, поскольку он включает пустой объем внутри трубы. При гомотетическом сжатии углеродных нанотрубок (т.е. без изменения формы и геометрических пропорций нанотрубки) были предсказаны сильные изменения их экситонных или электронных щелей, E _ii ⁷⁶ 76. RB Capaz, CD Spataru , P. Tangney, ML Cohen, and SG Louie, Phys. Status Solidi B-Basic Solid State Phys. 241 , 3352 (2004). https://doi.org/10.1002/pssb.200405253 и измерено. ^77,78 77. Р. С. Диакон, К.-К. Чуанг, Дж.Doig, I.B. Mortimer, and R.J. Nicholas, Phys. Ред. B 74 , 201402 (2006 г.). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.74.20140278. A.C. Torres-Dias, S. Cambré, W. Wenseleers, D. Machon и A. San-Miguel, Carbon 95 , 442 (2015). https://doi.org/10.1016/j.carbon.2015.08.032 Расчеты также показывают сильное изменение зависимости от давления E _ii с хиральностью трубки ⁷⁶ 76. RB Capaz, CD Spataru, P. Tangney, ML Cohen и SG Louie, Phys. Status Solidi B-Basic Solid State Phys. 241 , 3352 (2004). https://doi. org/10.1002/pssb.200405253, которые могут различаться даже по знаку в зависимости от хиральности трубки. Такое предсказание влияния геометрического давления на электронные свойства нанообъекта не получило экспериментального подтверждения, поскольку диэлектрическое экранирование ПТМ, зависящего от давления, усложняет интерпретацию.

Ключевые проблемы сложных тем математики как основы методики обучения в условиях самообразования

АПА

Зеленина Н.А., Телегина Н.В., Прончев Г.Б., Ягудина Р.И., Галимов Ф.М., Слепнева Е.В. (2021). Ключевые проблемы сложных тем математики как основы методики обучения в условиях самообразования. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 17 (10), em2020. https://doi.org/10.29333/ejmste/11186

Ванкувер

Зеленина Н.А., Телегина Н.В., Прончев Г.Б., Ягудина Р.И., Галимов Ф.М., Слепнева Е.В.Ключевые проблемы сложных тем математики как основы методики обучения в условиях самообразования. ЕВРАЗИЯ J Math Sci Tech Ed. 2021;17(10):em2020. https://doi.org/10.29333/ejmste/11186

АМА

Зеленина Н.А., Телегина Н.В., Прончев Г.Б., Ягудина Р.И., Галимов Ф.М., Слепнева Е.В. Ключевые проблемы сложных тем математики как основы методики обучения в условиях самообразования. ЕВРАЗИЯ J Math Sci Tech Ed .2021;17(10), em2020. https://doi.org/10.29333/ejmste/11186

Чикаго

Зеленина Наталья А., Телегина Надежда В., Прончев Геннадий Б., Ягудина Роза И., Галимов Фарид М., Слепнева Елена В.. «Ключевые проблемы сложных тем математики как основы методики обучения в условиях самообразования». Евразийский журнал математики, науки и технологий образования 2021 17 вып. 10 (2021): em2020. https://дои.орг/10.29333/ejmste/11186

Гарвард

Зеленина Н.А., Телегина Н.В., Прончев Г.Б., Ягудина Р. И., Галимов Ф.М., Слепнева Е.В. (2021). Ключевые проблемы сложных тем математики как основы методики обучения в условиях самообразования. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education , 17(10), em2020. https://doi.org/10.29333/ejmste/11186

ГНД

Зеленина Наталья Александровнаи другие. «Ключевые проблемы сложных тем математики как основы методики обучения в условиях самообразования». Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education , vol. 17, нет. 10, 2021, em2020. https://doi.org/10.29333/ejmste/11186

Преобразования под высоким давлением в наноматериалах и возможности в дизайне материалов

%PDF-1.4
%
1 0 объект
>
эндообъект
7 0 объект

/Заголовок
/Предмет
/Автор
/Режиссер
/Ключевые слова
/CreationDate (D:20211222145746-00’00’)
/CrossMarkDomains#5B1#5D (aip.орг)
/ModDate (D:20210204050456-08’00’)
/CrossmarkMajorVersionDate (2018-10-29)
/дои (10. 1063/1.5045563)
/CrossmarkDomainExclusive (истина)
>>
эндообъект
2 0 объект
>
эндообъект
3 0 объект
>
эндообъект
4 0 объект
>
эндообъект
5 0 объект
>
эндообъект
6 0 объект
>
ручей
2021-02-04T05:04:56-08:00Arbortext Advanced Print Publisher 10.0.1465/W Unicode2018-10-27T11:36:57+05:30iText 4.2.0 от 1T3XTuuid:e4888fcd-1196-4056-a9f8-7dd73cd9f1f1 dc7fc31f-5515-4277-b9b6-c156a17f7566

true10.1063/1.50455632018-10-29Перспектива: Преобразования под высоким давлением в наноматериалах и возможности в дизайне материалов10.1063 / 1.5045563HTTP: //dx.doi.org/10.1063/1.5045563Vordoi: 10.1045563Vordoi: 10.1063 / 1.5045563

29.10.2018true

10.1063/1.5045563

конечный поток
эндообъект
8 0 объект
>
эндообъект
9 0 объект
>
эндообъект
10 0 объект
>
эндообъект
11 0 объект
>
эндообъект
12 0 объект
>
эндообъект
13 0 объект
>
эндообъект
14 0 объект
>
эндообъект
15 0 объект
>
эндообъект
16 0 объект
>
эндообъект
17 0 объект
>
эндообъект
18 0 объект
>
эндообъект
19 0 объект
>
эндообъект
20 0 объект
>
эндообъект
21 0 объект
>
эндообъект
22 0 объект
>
эндообъект
23 0 объект
>
эндообъект
24 0 объект
>
эндообъект
25 0 объект
>
эндообъект
26 0 объект
>
/ProcSet [/PDF /Text /ImageC /ImageB /ImageI]
>>
эндообъект
27 0 объект
>
ручей
xڝXɎ7+,ZF,HnF0=%FS~?\DIUSFcJ*He~ɰTR4+ |Z>V ;=5Kk,ϳs9 u. .zSչD{3S寧hš»P4SR_dI:YX\]78(H!anio. a|ͰxVWx?5DFGtj9;ج7aORV#3#zJI #56X»kb.\Y+bOz|V+٣lY

Библиотека DjVu с открытым исходным кодом и зритель