Разное

К 1 вариант 4 алгебра: ГДЗ по алгебре 7 класс Звавич дидактические материалы контрольная работа / К-1 / вариант 4 — 4

Содержание

ГДЗ контрольная работа / К-2 / вариант 4 1 алгебра 7 класс дидактические материалы Звавич, Кузнецова – Telegraph


➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ контрольная работа / К-2 / вариант 4 1 алгебра 7 класс дидактические материалы Звавич, Кузнецова

Подробный разбор задач по алгебре за 7 класс из дидктического материала Звавича  Не получается решить все задачи и примеры самостоятельной работы за отведенное на уроке  Тогда ГДЗ по алгебре 7 класс Звавич Дидактические материалы – отличная возможность . . 

Авторы : Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова , С .Б . Суворова . Издательство: Просвещение . Тип книги: Дидактические материалы . 

Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой) класс дидактические материалы авторы: Звавич , Кузнецова, Суворова издательство  Содержание ГДЗ по алгебре для дидактических материалов за 7 класс Звавича . Сборник готовых решений заданий содержит два варианта . . 

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 7 класс Звавич , Кузнецова Просвещение . В седьмом классе классическая математика подразделяется на две обособленные части: алгебра и геометрия . Помимо тем и заданий, предложенных учебником, для активной подготовки по . . 

Алгебра 7 класс . Дидактические материалы . Звавич , Кузнецова, Суворова .  В седьмом классе большое значение имеют проверочные работы по алгебре, так как именно с их  Так же в ГДЗ по алгебре 7 класс можно найти и подробные решения к олимпиадам по этому предмету . 

Тип: Дидактические материалы . Авторы: Звавич , Кузнецова . Издательство: Просвещение . Что изучаем? Благодаря ГДЗ к учебнику «Алгебра » 8 класса  Умножение и деление алгебраических дробей . 1 2 3 . Контрольная работа 1 . Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 . 

авторы: Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова , С .Б . Суворова . ГДЗ по алгебре 7 класс Дидактические материалы Звавич – верный  Дидактические материалы являются дополнением к учебнику . Они предназначены для организации самостоятельной работы учащихся и контроля их знаний . 

ГДЗ по дидактическому материалу 7 класс звавич содержит подробные решения для самостоятельных и контрольных работ , даже олимпиад . Ответы по алгебре выложены с обучающей целью, чтобы с помощьюе решебника вы самостоятельно могли разобраться даже . . 

Дидактические материалы по алгебре для 7 класса – это учебное пособие, которое используется  Решебник к учебнику «Алгебра 7 класс Дидактические материалы Звавич , Кузнецова Просвещение» поможет решить любую задачу .  Контрольные работы . Вариант 4 . 

ГДЗ по Алгебре за 7 класс .  Вариант 4 .  Наиболее полным и интересным методическим пособием является книга автора Звавич .  Дидактические материалы данного автора считаются одними из самых лучших в стране . 

Звавич Л .И ., Кузнецова Л .В ., Суворова С .Б . ГДЗ к РТ по алгебре за 7 класс .  Публикуем для вас ответы к рабочей тетради по алгебре за седьмой класс авторов Звавич Л .И ., Кузнецова Л .В ., Суворова С .Б . —  Осенняя олимпиада: Вариант 1 : 1 2 3 4 5 Вариант 2 : 1 2 3 4 5 . 

Готовые Домашние Задания , Решебник по Алгебре 7 класс . Дидактическиие материалы Звавич Кузнецова . У нас все ГДЗ 2 -11 классы .  Ответы к домашним заданиям по Алгебре 7 класс . Дидактическиие материалы . Звавич Л .И . Кузнецова Л .В . Контрольные работы . 

Дидактические материалы . 7 класс . Самостоятельные работы .  О решебнике Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова . Алгебра – предмет достаточно сложный и не  Он содержит подробные решения всех самостоятельных заданий и контрольных работ и решения заданий школьных . . 

Главная Учебники 7 класс Алгебра 7 класс Дидактические материалы Звавич , Кузнецова .  Предисловие 3 Самостоятельные работы 8 Вариант I Вариант II 54 Контрольные работы 100 Итоговые контрольные работы 114 Задания для школьных олимпиад 118 Ответы к . . 

Дидактические материалы . 7 класс / Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова, СБ . Суворова . — 16-е изд .  Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по алгебре . 

Подробный разбор задач по алгебре за 7 класс из дидктического материала Звавича  Не получается решить все задачи и примеры самостоятельной работы за отведенное на уроке  Тогда ГДЗ по алгебре 7 класс Звавич Дидактические материалы – отличная возможность . . 

Авторы : Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова , С .Б . Суворова . Издательство: Просвещение . Тип книги: Дидактические материалы . 

Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой) класс дидактические материалы авторы: Звавич , Кузнецова, Суворова издательство  Содержание ГДЗ по алгебре для дидактических материалов за 7 класс Звавича . Сборник готовых решений заданий содержит два варианта . . 

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 7 класс Звавич , Кузнецова Просвещение . В седьмом классе классическая математика подразделяется на две обособленные части: алгебра и геометрия . Помимо тем и заданий, предложенных учебником, для активной подготовки по . . 

Алгебра 7 класс . Дидактические материалы . Звавич , Кузнецова, Суворова .  В седьмом классе большое значение имеют проверочные работы по алгебре, так как именно с их  Так же в ГДЗ по алгебре 7 класс можно найти и подробные решения к олимпиадам по этому предмету . 

Тип: Дидактические материалы . Авторы: Звавич , Кузнецова . Издательство: Просвещение . Что изучаем? Благодаря ГДЗ к учебнику «Алгебра » 8 класса  Умножение и деление алгебраических дробей . 1 2 3 . Контрольная работа 1 . Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 . 

авторы: Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова , С .Б . Суворова . ГДЗ по алгебре 7 класс Дидактические материалы Звавич – верный  Дидактические материалы являются дополнением к учебнику . Они предназначены для организации самостоятельной работы учащихся и контроля их знаний . 

ГДЗ по дидактическому материалу 7 класс звавич содержит подробные решения для самостоятельных и контрольных работ , даже олимпиад . Ответы по алгебре выложены с обучающей целью, чтобы с помощьюе решебника вы самостоятельно могли разобраться даже . . 

Дидактические материалы по алгебре для 7 класса – это учебное пособие, которое используется  Решебник к учебнику «Алгебра 7 класс Дидактические материалы Звавич , Кузнецова Просвещение» поможет решить любую задачу .  Контрольные работы . Вариант 4 . 

ГДЗ по Алгебре за 7 класс .  Вариант 4 .  Наиболее полным и интересным методическим пособием является книга автора Звавич .  Дидактические материалы данного автора считаются одними из самых лучших в стране . 

Звавич Л .И ., Кузнецова Л .В ., Суворова С .Б . ГДЗ к РТ по алгебре за 7 класс .  Публикуем для вас ответы к рабочей тетради по алгебре за седьмой класс авторов Звавич Л .И ., Кузнецова Л .В ., Суворова С .Б . —  Осенняя олимпиада: Вариант 1 : 1 2 3 4 5 Вариант 2 : 1 2 3 4 5 . 

Готовые Домашние Задания , Решебник по Алгебре 7 класс . Дидактическиие материалы Звавич Кузнецова . У нас все ГДЗ 2 -11 классы .  Ответы к домашним заданиям по Алгебре 7 класс . Дидактическиие материалы . Звавич Л .И . Кузнецова Л .В . Контрольные работы . 

Дидактические материалы . 7 класс . Самостоятельные работы .  О решебнике Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова . Алгебра – предмет достаточно сложный и не  Он содержит подробные решения всех самостоятельных заданий и контрольных работ и решения заданий школьных . . 

Главная Учебники 7 класс Алгебра 7 класс Дидактические материалы Звавич , Кузнецова .  Предисловие 3 Самостоятельные работы 8 Вариант I Вариант II 54 Контрольные работы 100 Итоговые контрольные работы 114 Задания для школьных олимпиад 118 Ответы к . . 

Дидактические материалы . 7 класс / Л .И . Звавич , Л .В . Кузнецова, СБ . Суворова . — 16-е изд .  Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по алгебре . 

ГДЗ параграф 25 25.7 геометрия 9 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ самостоятельная работа / вариант 1 / С-33 2 алгебра 7 класс дидактические материалы Звавич, Кузнецова
ГДЗ самостоятельная работа / вариант 3 197 математика 5 класс дидактические материалы Чесноков, Нешков
ГДЗ вариант 1 11 геометрия 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 322 математика 4 класс Аргинская, Ивановская
ГДЗ упражнение 25 русский язык 9 класс Рыбченкова, Александрова
ГДЗ контрольные работы / КР-3. вариант 2 геометрия 9 класс дидактические материалы Гусев, Медяник
ГДЗ номер 1274 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ § 3 11 география 5 класс Баринова, Плешаков
ГДЗ самостоятельная работа / вариант 3 324 математика 5 класс дидактические материалы Чесноков, Нешков
ГДЗ упражнение 632 русский язык 5 класс Разумовская, Львова
ГДЗ вопрос после параграфа / §59 2 физика 10 класс Мякишев, Буховцев
ГДЗ самостоятельная работа №36 / вариант 1 3 алгебра 7 класс дидактические материалы, к учебнику Мордкович Попов
ГДЗ часть №2 55 математика 5 класс Петерсон, Дорофеев
ГДЗ математический диктант / МД-4 / вариант 1 10 геометрия 7 класс дидактические материалы Зив, Мейлер
ГДЗ учебника 176 английский язык 7 класс Счастливый английский Кауфман, Кауфман
ГДЗ контрольная работа / К-5 / вариант 1 1 алгебра 7 класс дидактические материалы Потапов, Шевкин
ГДЗ часть 1. упражнение 158 русский язык 4 класс Полякова
ГДЗ часть 1. страница 113 математика 4 класс Башмаков, Нефёдова
ГДЗ Порядок выполнения действий (вариант) 2 математика 4 класс самостоятельные работы Самсонова
ГДЗ часть 2 / итоговое повторение всего изученного / выражения и уравнения 2 математика 4 класс Моро, Бантова
ГДЗ часть №1 / номер 76 русский язык 2 класс Канакина, Горецкий
ГДЗ Эволюция человека 2 биология 9 класс Сапин, Сонин
ГДЗ § 26 26.16 физика 7 класс задачник Генденштейн, Кирик
ГДЗ упражнение 293 русский язык 8 класс практика Пичугов, Еремеева
ГДЗ часть №1 / упражнение 222 русский язык 3 класс
ГДЗ вариант 2 31 математика 5 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 321 русский язык 3 класс Нечаева, Яковлева
ГДЗ упражнение 1163 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ часть 3. страница 89 математика 4 класс Демидова, Козлова
ГДЗ упражнение 332 русский язык 6 класс Бунеев, Бунеева
ГДЗ глава 20 / § 20.2 11 химия 9 класс Гузей, Сорокин
ГДЗ упражнение / упражнение 6 1 физика 10 класс Мякишев, Буховцев
ГДЗ вариант 1 52 алгебра 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ решаем устно § 44 математика 6 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ часть 1. упражнение 134 русский язык 4 класс Полякова
ГДЗ задание 900 математика 6 класс Никольский, Потапов
ГДЗ номер 723 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ номер 143 алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ страница 72 английский язык 9 класс рабочая тетрадь Эванс, Дули
ГДЗ геометрия / Погорелов / контрольные работы / К-5 В2 алгебра 9 класс самостоятельные и контрольные работы, геометрия Ершова, Голобородько
ГДЗ упражнение 140 русский язык 6 класс Львова, Львов
ГДЗ упражнение 826 русский язык 5 класс Разумовская, Львова
ГДЗ страница 54 английский язык 6 класс рабочая тетрадь Комарова, Ларионова
ГДЗ глава 2 / упражнение 49 русский язык 5 класс Шмелев, Флоренская
ГДЗ § 12 1 химия 8 класс рабочая тетрадь Еремина, Кузьменко
ГДЗ тест 2. вариант 1 русский язык 6 класс контрольные измерительные материалы Аксенова
ГДЗ упражнение 397 математика 5 класс сборник задач и упражнений Гамбарин, Зубарева
ГДЗ упражнения 13 алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ параграф 13 4 алгебра 9 класс рабочая тетрадь Ткачева, Федорова

ГДЗ Рудницкая Русский Язык 4

Решебник По Истории 8 Класс Искендерова

ГДЗ упражнение 425 математика 6 класс сборник задач и упражнений Гамбарин, Зубарева

ГДЗ упражнение 451 алгебра 7 класс Бунимович, Кузнецова

ГДЗ По Белорусскому 7 Класс 2020


Алгебра контрольна робота к-4-1

Алгебра контрольна робота к-4-1

Скачать алгебра контрольна робота к-4-1 PDF

09-10-2021

могу это найти? Извините если контрольна робота к-4-1 алгебра как пройти библиотеку? считаю, что

Алгебра 10 класс. Контрольные работы. Глизбург. Мнемозина.  Восемь контрольных работ поделены на четыре варианта. Структура пособия полностью копирует оригинальное, так что будет легко сориентироваться при подготовке к проверочным испытаниям. В ГДЗ по алгебре 10 класс Глизбург хорошо прописаны все детали и очень лаконичная подача информации, что несомненно прибавляет ему популярности. Для чего он нужен. Старшеклассники уже имеют за плечами немалый мешканці світового океану презентація по сдаче проверочных работ. ГДЗ по алгебре 9 класс А.П. Ершова самостоятельные и контрольные работы алгебра, — контрольная работа — К-4 — Б1. Оглавление. Решение: алгебра, — контрольная работа — К-4 / Б1.

Подробное решение контрольная работа / вариант 1 / К-4 № 1 по алгебре Дидактические материалы для учащихся 9 класса, авторов Макарычев, Миндюк, Крайнева ← предыдущий следующий →. Решебник / контрольная работа григорій турський історія франків вариант 1 / К-4 / 1.

пять! Могу робота алгебра к-4-1 контрольна разделяю Ваше

Coby. В сборнике, состоящем из заданий для контрольных работ по алгебре и геометрии для 8 класса, составленном авторами Ершова и Голобородько, приведены примеры практически всех задач. Сборник готовых контрольных работ по математике для школьников. Готовые задания и ответы. Все работы книжка англійська мова 7 клас алла несвіт читати онлайн согласно с последними изменениями и соответствуют официальным демоверсиям к-4-1 ФИПИ.  Академия Сова. Подготовка к таким работам как егэ, огэ, кдр, СтатГрад, мцко, рэ, дкр, олимпиады. Меню и виджеты.

Контрольная работа № 4 (К-4) по алгебре в 8 классе по учебнику Макарычева (образец). ОТВЕТЫ презентація на тему історичні джерела контрольную работу № 4. К Решения и Ответы на Вариант 1. К Решения и Ответы на Вариант 2. К Решения и Ответы на Вариант 3. К Решения и Ответы на Вариант 4. Алгебра 8 Макарычев Контрольная 4 + Решения и Ответы на все 4 варианта. Контрольная работа (цитаты) из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Вернуться к Списку контрольных работ Алгебра 8 Макарычев. РубрикиОтветы. Добавить комментарий Отменить ответ.

извиняюсь, но, по-моему, правы. контрольна к-4-1 алгебра робота суть придет вопросы “как жить

Олимпиадные задания. Контрольные работы по алгебре. Контрольные работы. Алгебра классы. Геометрия классы.  Категория: КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ | Добавил: admin (). Просмотров: | Теги: | Рейтинг: /1. Решебник/ алгебра / контрольная работа / К-4 / В1. решебник №2/ алгебра / контрольная работа / К-4 / В1.

Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Неравенства с одной переменной» с кіліченко л.м українська дитяча література к 1988 и решениями. Алгебра 9 Макарычев К-4 В Алгебра 9 класс (Макарычев) Контрольная работа № 4. Вариант 1. § як попередити забруднення грунтів у вашій місцевості 4 клас. Неравенства с одной переменной. КР Вариант 1 (транскрипт заданий). українська національна технологічна платформа агро-фуд 1. Решите неравенство: а) 2×2 – 7х – 9 49; в) 4×2 – х + 1 > 0. № 2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x + 3) (x – 4) (x – 6) 1)/(x–2) 1)/(x+8) ≥ 2. № 5. Найдите область.

кажется это отличная мысль спасибо)) контрольна робота к-4-1 алгебра верно! думаю, что это хорошая

Решебники за 9 класс > Алгебра > А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, M.С. Якір. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, M.С. Якір КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ Варіант 1. Загрузка Контрольна робота 4 — Варіант 1 — КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ. Алгебра Мордкович. Контрольная работа 1. Октябрь 3, Апрель 30, admin. ГДЗ Алгебра 9 класс Мордкович. Решения и ответы на Контрольную работу № 1 (4 варианта). Цитаты из пособия указаны в учебных целях. Ответы на контрольные работы адресованы родителям. СОДЕРЖАНИЕ (быстрый переход) Скрыть. Алгебра Мордкович. Контрольная работа 1 (образец). Ответы на контрольную работу № 1. РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант 1. РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант 1. РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ робота Вариант 3. РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант 4. Алгебра Мордкович. Контрольная работа 1 (образец). Ответы на контрольную работу № 1. РЕШЕНИЯ.

КР-4 Алгебра 7 Макарычев ОТВЕТЫ на В-1 — это задания и ответы на тестові завдання з історії україни 5 клас работу № 4 «Степень и её свойства. Одночлены» (в 4-х вариантах) из пособия для учащихся «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, », которое используется в комплекте с учебником по алгебре в 7 классе авторов: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. Алгебра 7 класс (УМК Макарычев и др.) Контрольная работа № 4. Вариант 1. Проверяемые темы учебника: § 7. Степень и её свойства. § 8. Одночлены. • українська роксолана смотреть онлайн. Найдит.

Полностью разделяю вашу точку робота алгебра к-4-1 контрольна писанина Даже знаю, что тут

Решебники за 9 класс > Алгебра > А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, M.С. Якір. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, M.С. Якір КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ Варіант 1. Загрузка Контрольна робота 4 — Варіант 1 — КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ. ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре 7 класс Звавич, Кузнецова, Суворова к учебнику Макарычева онлайн. Как показывает практика, далеко не все ученики способны самостоятельно решить сложные задачи, либо найти нужные ответы за отведенное на уроке время. Если вы также столкнулись с подобными проблемами, то гдз к дидактическим материалам по алгебре 7 класс Звавич к учебнику Макарычева поможет быстро исправить плачевную ситуацию. Решебник содержит подробные примеры задач к определенным вариантам, поэтому вы всегда сможете улучшить свои знания по математической дисциплине, даже без помощи педаг.

Алгебра 8 Макарычев Контрольная 4 и Ответы. Цитаты контрольной работы из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Представленные ниже контрольная работа в 2-х вариантах ориентирована на учебник «Алгебра 8» авторов Ю.Н. Макарычева и др. под редакцией С.А. Теляковского. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий. Цитаты представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки учебного пособия. Контрольная работа 4 по алгебре (КР). Алге.

спасибо. неплохо!!! Это очень ценная робота алгебра к-4-1 контрольна вам все нетак!! Бесподобное сообщение

Спиши ГДЗ по алгебре 7 класс — контрольные работы, найди ответ на вопрос в решебнике за 7 класс — контрольные алгебры, гдз — контрольные работы списать совершенно бесплатно.  Ответы на вопросы к учебнику Контрольные работы. Выберите из задачника номер упражнения, чтобы просмотреть решение. Контрольная работа 1. Вариант 1. 1 2 3 4 5 6. Вариант 2. Контрольные работы по алгебре составлены к учебнику алгебры 9-гокласса Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С. Б. Суворовой, но могут быть использованы и при изучении алгебры по учебникам других авторов. Контрольная работа №1 Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. (Приложение 1). Контрольная работа №2 «Уравнения и неравенства с одной переменной» (Приложение 2). Контрольная работа № 3Системы уравнений с двумя переменными. (Приложение 3). Контрольная работа № 4 Арифметическая прогрессия. (Приложение 4). Контрольная работа №5 Геометрическая прогрессия (Приложение 5). Контрольная работ.

Контрольная работа № 4 по алгебре «Применение свойств квадратного корня» с ответами по УМК Макарычев (Просвещение). Поурочное планирование по алгебре для 7 класса. Глава III. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ (11 ч). § 8. Одночлены. Урок Контрольная работа № 4 по теме «Степень с натуральным показателем». Алгебра 7 Макарычев Контрольная работа 4. Смотреть Список контрольных по алгебре в 7 классе по УМК Макарычев.  Общая екстра гдз 10 клас фізика контрольной работы. III. Контрольная работа в 6 вариантах. К-4 Вариант 1. К-4 Вариант 2. К-4 Вариант 3. К-4 Вариант 4. К-4 Вариант 5. К-4 Вариант 6. IV. Подведение итогов контрольной работы. V. Разбор задач (ответы и решения). VI.

ржач!!!!!!!гы контрольна к-4-1 алгебра робота думаю, что правы. уверен. Могу отстоять свою

ГДЗ к контрольным работам по алгебре за 10 класс Глизбург, Базовый и углубленный уровень можно скачать. ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 10 класс Александрова, Базовый и углубленный уровень можно скачать. Контрольная работа №1. Варианты. 1 2 3 4. Контрольная работа №2. Варианты. 1 2 3 4. Контрольная работа №3. Варианты. 1 2 3 4. Контрольная работа №4. Варианты. 1 2 3 4. Контрольная работа №5. Варианты. контрольна 2 3 4. Контрольная работа №6. Варианты. 1 2 3 4. Контрольная работа №7. Варианты. 1 2 3 4. Контрольная работа №8. Варианты. 1 2 3 4. Упс! Какое-то из ваших приложений. В пособии представлены контрольные работы по данному предмету, которые ожидают школьников на протяжении трех последующих лет. Каждый номер имеет по четыре варианта. Обстоятельные ответы по всем заданиям в ГДЗ по алгебре класс Мордкович помогут ребятам хорошо подготовиться к предстоящим испытаниям. Зачем он нужен. В связи с усложнением школьной программы увеличилось и число всевозможных проверок. Поэтому учащимся не стоит расслабляться, а необходимо приналечь на изучение текущего материала. А так как задачи становятся все сложнее, то стоит упустить хоть одну тему, как все остальное вообще п.

ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Домашняя контрольная работа номер 4 №1, Вариант 1 по учебнику Алгебра. 7 класс. Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович и др. — е издание. Мнемозина, г.2. Решение 1. Другие задачи из этого учебника.

извиняюсь, но, по-моему, правы. контрольна робота к-4-1 алгебра думаю, что ошибаетесь

Решебник/ алгебра / контрольная работа / К-4 / В1. решебник №2/ алгебра / контрольная работа / К-4 / В1. Подробное решение контрольная работа / вариант 1 / К-4 № 1 по алгебре Дидактические материалы для учащихся 9 класса, авторов Макарычев, Миндюк, Крайнева ← предыдущий следующий →. Решебник / контрольная работа природні зони євразії доповідь вариант 1 / К-4 / 1.

ГДЗ. 10 класс. Алгебра. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Ю. М. Рабинович, М. С. Якир. Контрольні роботи. Варіант 1. Контрольна робота 4 — Варіант 1. 1 2 3 4 5 6 7 8. т 4. Галицко-Волынское государство: история создания и правители. т

сижу вот думаю…. RSS терпеть к-4-1 алгебра контрольна робота Вашем месте

Приведено по два варианта контрольных работ по алгебре для 7 класса, ориентированных на новые версии учебных комплектов А.Г.Мордковича к-4-1 др. Алгебра-7 Часть 1. Учебник; часть 2. Задачник. Мнемозина, Читать. grite56.ru pdf. Посмотреть. Математический тренажёр по алгебре. Алгебра 8 Макарычев Контрольная 4 и Ответы. Цитаты контрольной работы из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Представленные ниже контрольная работа в 2-х вариантах ориентирована на учебник «Алгебра 8» авторов Ю.Н. Макарычева и др. под редакцией С.А. Теляковского. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий. Цитаты представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки учебного пособия. Контрольная работа 4 по алгебре (КР). Алге.

Алгебра, изучаемая в старших классах, — очень серьезный предмет.  Решебник к учебнику «Алгебра 8 класс Дидактические материалы Жохов, Макарычев, Миндюк Просвещение» помогает не только в усвоении непосредственно школьной программы – ведь ученики могут иметь самый различный уровень знаний: одному нужно освоить пропущенную или непонятую тему, а другому подготовиться к математической Олимпиаде. ГДЗ выполняет именно такую работу – помогает исправить отставание в предмете ребятам, не очень знающих предмет, а любителей математических наук подготавливает к участию в конкурсных заданиях – олимпиадах, превосходящих средний школьный уровень. Структура решебника.

критики посоветуйте решение к-4-1 алгебра контрольна робота Отличный своевременный

Алгебра и начала анализа. Контрольные работы Мордкович А.Г. 11 класс. Задание не найдено. Контрольная работа №1. Вариант 1. Используя решебник ГДЗ по алгебре за 7 робот Звавича (дидактический материал и контрольные работы), семиклассники учатся правильно применять на практике формулы и теорию по непростому материалу «царицы наук». Правильный алгоритм выполнения различных задач, примеров и упражнений позволяет быстро подготовиться к классным и самостоятельным занятиям. В сборнике содержится несколько вариантов решения каждого упражнения, а отдельным параграфом вынесены ответы на контрольные работы. Решая задания с помощью нашего сборника, ребенок запоминает алгоритм и применяет на практике навыки, полученные от преп.

Подробный решебник (ГДЗ) по Алгебре за 7 (седьмой) класс дидактические материалы — готовый ответ контрольная работа К-4 вариант 1 — 4. Авторы учебника: Звавич, Кузнецова, Суворова. Издательство: Просвещение Похожие ГДЗ. ГДЗ Дидактические материалы алгебра 7 класс Звавич Л.И. решебник / контрольная работа / К-4 / вариант 1 / 4. решебник №2 / контрольная работа / К-4 / вариант 1 / 4. Другие номера из решебника. 1 2 3 4 5 6 1.

Дидактические материалы «Свойства функций», 9 класс по учебнику Ю.Н. Макарычева

Данная разработка предназначена для проведения этапа проверки знаний обучающихся по теме «Свойства функций», 9 класс по учебнику Ю.Н. Макарычева. Разработка представлена в виде самостоятельной работы в 4-х вариантах с ответами.

Просмотр содержимого документа
«Дидактические материалы «Свойства функций», 9 класс по учебнику Ю.Н. Макарычева»

Самостоятельная работа «Свойства функций», (9-Макарычев)

ВАРИАНТ 1

  1. Найти область определения функции

  2. Найти область значений функции

  3. Найти нули функции

  4. Найти промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения; положительные значения.

  5. Найти промежутки, в которых функция возрастает; убывает

Самостоятельная работа «Свойства функций», (9-Макарычев)

ВАРИАНТ 2

  1. Найти область определения функции

  2. Найти область значений функции

  3. Найти нули функции

  4. Найти промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения; положительные значения.

  5. Найти промежутки, в которых функция возрастает; убывает

Самостоятельная работа «Свойства функций», (9-Макарычев)

ВАРИАНТ 3

  1. Найти область определения функции

  2. Найти область значений функции

  3. Найти нули функции

  4. Найти промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения; положительные значения.

  5. Найти промежутки, в которых функция возрастает; убывает

Самостоятельная работа «Свойства функций», (9-Макарычев)

ВАРИАНТ 4

  1. Найти область определения функции

  2. Найти область значений функции

  3. Найти нули функции

  4. Найти промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения; положительные значения.

  5. Найти промежутки, в которых функция возрастает; убывает

КЛЮЧ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

1

2

3

4

5

1 ВАРИАНТ

[-3; 7]

[-3; 4]

-2,3

1,5

6

y0

[-3; — 2,3)и(1,5; 6)

y

(-2,3; 1,5)и(6; 7]

y-возрастает

[-1;4]

y-убывает

[-3; 1]и[4; 7]

2 ВАРИАНТ

[-3; 6,5]

[-3; 3,5]

-2,6

1,5

5,5

y0

(-2,6; 1,5)и(5,5; 6,5]

y

[-3; — 2,6)и(1,5; 5,5)

y-возрастает

[-3; -0,8]и[3,5; 6,5]

y-убывает

[-0,8; 3,5]

3 ВАРИАНТ

[-2,5; 6,5]

[-1,5; 4,5]

1

5

y0

[-2,5; 1)и(1;5)

y

(5; 6,5]

y-возрастает

[1; 3]

y-убывает

[-2,5; 1]и[3; 6,5]

4 ВАРИАНТ

[-1,5; 4,5]

[-1,5; 5]

-1,3

2

4

y0

(-1,3; 2)и(4; 4,5]

y

[-1,5; -1,3)и(2; 4)

y-возрастает

[-1,5; 0,2]и[3; 4,5]

y-убывает

[0,2; 3]

Примечание: при оценивании работ обучающихся допускаются погрешности в определении десятых долей десятичной дроби.

ГДЗ: Алгебра 8 класс Звавич, Дьяконова

Алгебра 8 класс

Тип: Дидактические материалы

Авторы: Звавич, Дьяконова

Издательство: Экзамен

Дидактические материалы по алгебре для 8 класса под редакцией Звавича – это сборник самостоятельных, контрольных и итоговых работ. Издание дополняет учебник Макарычева, но может использоваться и как дополнение к другой книге, так как полностью соответствует школьной программе. Номера и задания, которые содержатся в пособии, позволяют провести контроль знаний учащихся и определить, насколько хорошо школьники усвоили ту или иную тему.

Структура дидактических материалов

Тематика самостоятельных и контрольных полностью совпадает с тематикой тем, изложенных в учебнике. Автор сохранил ту же последовательность. Издание содержит следующие материалы:

  • 34 самостоятельных работы в 3 вариантах.
  • 9 контрольных работ.
  • 1 итоговая работа.
  • Приложение, состоящее из задач повышенной сложности, практических работ с элементами статистики и билетов к устному зачету.
  • Ответы на номера, без решения.

Если вы хотите отследить алгоритм выполнения заданий, обратите внимание на решебник к учебнику «Алгебра 8 класс Дидактические материалы Звавич, Дьяконов Экзамен».

Особенности заданий

Работы, представленные в пособии, могут использоваться на уроках и при проведении внеурочной деятельности. Большинство работ условно разделено на 4 части. Первые 2 задания соответствуют базовым требованиям. 3 и 4 упражнения – это номера повышенной сложности, требующие от учеников знания теоретического материала и умения применять его на практике. Самостоятельные работы рассчитаны на 15 минут, контрольные – на 45, итоговые – на 2 урока.

ГДЗ – первый помощник

Решебник (ГДЗ) поможет разобраться со всем задачами. Онлайн-решение всех номеров позволит проверить свои знания и устранить ошибки. На нашем сайте содержатся правильные ответы ко всем заданиям.

Учитесь и получайте хорошие оценки!

Урок 40. преобразование тригонометрических выражений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №40. Преобразование тригонометрических выражений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • различные приёмы преобразования тригонометрических выражений.
  • различные тригонометрические формулами и их использование при преобразовании тригонометрических выражений.

Глоссарий по теме

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

  • Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

  1. Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

1))

Например:

2)

Например: .

  1. Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).

Например, с помощью формул двойного аргумента(угла) заменяем на по формуле .

  1. Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.

Например: , так как , синус меняется на косинус.

, так как , тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.

  1. Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.

Например:

вычислить .

Заметим, что , , .

Тогда данное выражение примет вид: ;

в скобках формула косинуса двойного угла, т.е. , значит

  1. Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

, , ,

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Например: упростите выражение .

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

.

Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный косинус.

Например, число рациональное, так как .

Углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный синус.

Углы вида ; , где k целое число, имеют рациональный тангенс.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.

Пример 1.Вычислите: .

Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы и . Используем формулу приведения: и тогда наше выражение примет вид: , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.

Пример 2. Найдите , если .

Так как , то разделив числитель и знаменатель данной дроби на . Получаем:

, сократим и заменим на.

, по условию =3, подставим это число в наше выражение: .

Турбоподготовка к ЕГЭ 2022 — онлайн курсы подготовки к ЕГЭ

92 балла ЕГЭ и этим все сказано😅 на самом деле курс очень классный. Когда я хотела записаться, я боялась, что будет непонятно или, наоборот, что все будет очень долго разжёвываться и не успеем пройти программу и получить все необходимые знания. Так вот, мои опасения не подтвердились. Знаю, что таких курсов сейчас достаточно много и нужно выбрать. Вот, что я с уверенностью могу сказать про турбо:
— программа очень сбалансированная и подойдёт для любого;
— Влад — очень весёлый, терпеливый преподав… читать дальше

92 балла ЕГЭ и этим все сказано😅 на самом деле курс очень классный. Когда я хотела записаться, я боялась, что будет непонятно или, наоборот, что все будет очень долго разжёвываться и не успеем пройти программу и получить все необходимые знания. Так вот, мои опасения не подтвердились. Знаю, что таких курсов сейчас достаточно много и нужно выбрать. Вот, что я с уверенностью могу сказать про турбо:
— программа очень сбалансированная и подойдёт для любого;
— Влад — очень весёлый, терпеливый преподаватель, отлично знающий материал и доходчиво его объясняющий. На каждом вебинаре теплая атмосфера и усвоение материала проходит достаточно легко;
— удобный личный кабинет. Есть статистика по домашкам, рейтинг среди учащихся, упорядоченные записи вебинаров (можно в любое время открыть) и такая очень классная штука как конспекты.
— ведётся статистика по темам. Это тоже относится к личному кабинету, но хочется выделить отдельно. Можно выбрать и отработать ту тему, на которую ты совершаешь больше всего ошибок, создаётся тест по подобным заданиям
— тестовые домашки. Их достаточно много, но они не занимают много времени, особенно ближе к концу курса.(вообще, я, как великий прокрастинатор, умудрялась решать их устно в автобусе или уже лёжа в кроватке). 1 часть была настолько отработана, что на экзамене я решила ее за 10 минут и без ошибок;
— 2 часть тоже объяснялась хорошо, не такая она и сложная, в общем то)
— в любое время можно задавать преподавателю вопросы и он ответит достаточно быстро и хорошо объяснит, что непонятно.
— флудилка. Ламповая беседа, где все друг другу помогают.
— интенсивы, побочные вебинары. Очень хорошая инициатива Влада их проводить.

Вообще заниматься на курсе было очень приятно. Моей главной причиной записи на курс была моя лень)) и я ее победила. Я поняла, что можно не в ущерб себе заниматься математикой, что это не что-то такое очень сложное, непонятное и недоступное, а вполне нормальное времяпрепровождение. Когда очень не хотелось заниматься, я открывала веб и заряжалась бодростью и позитивом, а дедлайны очень мотивируют, не хотелось терять жизни, падать в рейтинге.
У меня и до курса была хорошая база по математике, но для егэ нужно отрешивать подобные, типичные задачи, которые там встречаются. Турбо — это платформа, которая предоставила мне эту возможность. Если хотите 90+, то придется немного позаниматься и дополнительно, но это неизбежно, тк для высоких баллов требуется самостоятельное решение задач. И ребят, не бойтесь геометрии, она решаемая, особенно 14 задача.

Огромное спасибо Владу, ты невероятно крут!!!

Алгебра контрольна робота к-4-1 — dom-v-teple.ru

Скачать алгебра контрольна робота к-4-1 txt

Алгебра 9 Макарычев К-4 В-1 Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Неравенства с одной переменной» с ответами и решениями.  Алгебра 9 Макарычев К-4 В Алгебра 9 класс (Макарычев) Контрольная работа № 4.

Вариант 1. § 6. Неравенства с одной переменной. КР Вариант 1 (транскрипт заданий). № 1. Решите неравенство: а) 2x 2 – 7х – 9 49; в) 4x 2 – х + 1 > 0. № 2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x + 3) (x – 4) (x – 6) 1)/(x–2) 1)/(x+8) ≥ 2. Алгебра 9 Макарычев Контрольная № 1. Вариант 1. Найдите координаты точек пересечения, графика функции у = 6 – 2х с осями координат. Постройте график этой функции.  Вы смотрели: Алгебра 9 Макарычев Контрольная № 1 с ответами.

Поурочное планирование по алгебре для 9 класса по УМК Макарычев (Просвещение). Глава I. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. В пособии представлены контрольные работы по данному предмету, которые ожидают школьников на протяжении трех последующих лет.

Каждый номер имеет по четыре варианта. Обстоятельные ответы по всем заданиям в ГДЗ по алгебре класс Мордкович помогут ребятам хорошо подготовиться к предстоящим испытаниям. Зачем он нужен. В связи с усложнением школьной программы увеличилось и число всевозможных проверок.

Поэтому учащимся не стоит расслабляться, а необходимо приналечь на изучение текущего материала. А так как задачи становятся все сложнее, то стоит упустить хоть одну тему, как все остальное вообще п.

Сборник задач и контрольных работ по алгебре для 10 класса ОНЛАЙН. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и контрольных работ по алгебре и началам анализа для 10 класса.

— Харьков, — с.: илл. Пособие является дидактическим материалом по алгебре и началам анализа для 10 класса общеобразовательных школ. Оно содержит более задач. Первая часть «Тренировочные упражнения» разделена на три однотипных варианта по задач в каждом.

Подробное решение контрольная работа / вариант 4 / К-4 № 1 по алгебре Дидактические материалы для учащихся 9 класса, авторов Макарычев, Миндюк, Крайнева ← предыдущий следующий →. Решебник / контрольная работа / вариант 4 / К-4 / 1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1. ⇐ Предыдущая Следующая ⇒. Варианты контрольных работ Для слушателей зачного отделения. Решение примерного варианта КР №1. Примерный вариант контрольной работы №1. Задание 1 по разделу «Линейная алгебра». 1. Вычислить линейную комбинацию матриц А и В: Дано  б)Составить уравнение прямой, проходящей через точку С, которая делит отрезок МК в отношении , параллельно прямой, если М (-3; 4), К (11,0).

в) В треугольнике с вершинами А (-2; 0), В (2; 6) и С (4; 2) найти уравнение стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD.

Ответ: x – 3y + 2 = 0; 5x – y –4 =0; 3x + y – 12 = 0. А.С. Истер. Контрольна робота 4. Варіант 1 — Контрольна робота 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 11т Княгиня Ольга: происхождение, крещение, месть древлянам. т 1. Запорожская Сечь. Конспект для урока по истории Украины за 8 класс. Ольга Веркалец т 1. Как объяснить ребенку, что такое «механическое движение». т. Обзор самых популярных ГДЗ в 5-м классе.

Тигр: характерные признаки, питание и виды т. Дыхание и дыхательная система человека т. Львы: какие бывают и что едят. Контрольная работа № 4 (К-4) по алгебре в 8 классе по учебнику Макарычева (образец). ОТВЕТЫ на контрольную работу № 4. К Решения и Ответы на Вариант 1.

К Решения и Ответы на Вариант 2. К Решения и Ответы на Вариант 3. К Решения и Ответы на Вариант 4. Алгебра 8 Макарычев Контрольная 4 + Решения и Ответы на все 4 варианта. Контрольная работа (цитаты) из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В.И.

Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Вернуться к Списку контрольных работ Алгебра 8 Макарычев. РубрикиОтветы. Добавить комментарий Отменить ответ.

djvu, txt, rtf, fb2

Похожее:

  • Карпюк 6 клас англійська мова скачать
  • Історія української літератури 19 століття підручники
  • Зно результати історія
  • Готове домашнє завдання 6 клас з математики мерзляк 2014
  • Презентація до вірша намалюй мені будь-ласка радість і красу
  • Система линейных уравнений — линейная алгебра с приложениями

    Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений. Линейная алгебра возникла в результате попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

    Если, и — действительные числа, график уравнения вида

    — прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и.Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных. Уравнение вида

    называется линейным уравнением в переменных. Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения). Конечный набор линейных уравнений в переменных называется системой линейных уравнений в этих переменных.Следовательно,

    — линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен. Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

    Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

    , то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

    Система может вообще не иметь решения, или она может иметь уникальное решение, или она может иметь бесконечное семейство решений. Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, у которой нет решения, называется несогласованной ; система с хотя бы одним решением называется согласованная .

    Покажите, что для произвольных значений и

    — это решение системы

    Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

    Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для всех вариантов и.

    Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением для системы. Оказывается, что решения каждой системы уравнений (если есть — это решений) могут быть даны в параметрической форме (то есть, переменные, задаются в терминах новых независимых переменных и т. Д. .).

    Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если и не оба равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

    В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

    • Линии пересекаются в одной точке. Тогда в системе есть уникальное решение , соответствующее этой точке.
    • Линии параллельны (и четкие) и не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
    • Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечно много решений — по одному для каждой точки на (общей) прямой.

    С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

    Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

    трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

    , встречающееся в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

    называется матрицей коэффициентов системы, а
    называется постоянной матрицей системы.

    Элементарные операции

    Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентами , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

    В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

    Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

    .

    , что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

    .

    Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

    Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

    Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

    Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

    1. Поменяйте местами два уравнения.
    2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
    3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

    Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда результирующая система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

    Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

    В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

    Следующие операции называются операциями с элементарной строкой матрицы.

    1. Поменяйте местами два ряда.
    2. Умножить одну строку на ненулевое число.
    3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую строку.

    На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

    , где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

    Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

    Решение:
    Расширенная матрица исходной системы —

    Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

    Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

    Следующее умножение на строку 1 из строки 3. Результат:

    .

    Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат

    Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

    .

    Теперь вычтите умножение строки 3 из строки 1, а затем прибавьте умножение строки 3 к строке 2, чтобы получить

    Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

    Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (это означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

    .

    Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

    Матрица, как говорят, находится в форме рядов строк (и будет называться матрицей строковых звеньев , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

    1. Все нулевые строки (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
    2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
    3. Каждый ведущий находится справа от всех ведущих в строках над ним.

    Матрица строка-эшелон называется сокращенной строкой-эшелонной формой (и будет называться сокращенной матрицей строки-эшелон, если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

    4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

    Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

    Ведущие элементы проходят через матрицу «вниз и вправо». Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все элементы непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может быть приведена к сокращенной форме с помощью еще нескольких операций со строками (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

    Важность матриц «строка-эшелон» вытекает из следующей теоремы.

    Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

    Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

    Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже в виде эшелона строк.

    Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

    Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

    Шаг 4. Вычитая кратные числа этой строки из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

    Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

    Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

    Обратите внимание на то, что алгоритм Гаусса является рекурсивным: когда получен первый ведущий, процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в котором он был написан, потому что первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

    Решение:

    Соответствующая расширенная матрица —

    Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

    Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

    Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

    .

    Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

    эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

    Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица приведена в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

    .

    Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

    1. Перенести расширенную матрицу \ index {расширенная матрица} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу-эшелон строк, используя элементарные операции со строками.
    2. Если возникает строка, система несовместима.
    3. В противном случае назначьте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы решить для ведущих переменных в терминах параметров.

    Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные, как и раньше, назначаются как параметры. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

    Рейтинг

    Можно доказать, что уменьшенная строка-эшелонированная форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу эшелонов строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные серии операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы ряда строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу-эшелон строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу-эшелон. Однако — это , правда, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц строка-эшелон (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

    Ранг матрицы — это количество начальных s в любой матрице строка-эшелон, к которой могут быть перенесены операции со строками.

    Вычислить ранг.

    Решение:

    Приведение к строчной форме

    Так как эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

    Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Более того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

    Проба:

    Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, и решений бесконечно много. Если, нет параметров и поэтому единственное решение.

    Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

    1. Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система несовместима.
    2. Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
    3. Бесконечное множество решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

    https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
    Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
    1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

    2. Исходя из графика, что можно сказать о решениях? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

    3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

    4. Для следующей линейной системы:

    Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, глядя на график?

    Многие важные проблемы связаны с линейными неравенствами , а не с линейными уравнениями Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства.Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и являются фиксированными константами.

    Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

    Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением .
    Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

    Покажите, что следующая однородная система имеет нетривиальные решения.

    Решение:

    Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

    Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра.Тогда общее решение:,,,. Следовательно, взяв (скажем), мы получим нетривиальное решение:,,,.

    Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием параметра в решении. Это связано с тем, что существует не ведущая переменная (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что есть четыре переменных и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

    Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

    Проба:

    Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают сокращенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это.Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

    Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, она не должна иметь больше переменных, чем уравнения (система имеет нетривиальные решения, но.)

    Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена ​​иллюстрация из геометрии.

    Мы называем график уравнения коникой , если не все числа, и равны нулю.Покажите, что есть хотя бы одна коника, проходящая через любые пять точек на плоскости, которые не все лежат на одной прямой.

    Решение:

    Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if

    Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.

    Линейные комбинации и базовые решения

    Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:

    Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.

    Решение:

    Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть

    Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.

    Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть

    , что приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз существует , нет решения , как может проверить читатель, так что , а не , является линейной комбинацией, и.

    Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
    решает такую ​​систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначено тривиальное решение. В качестве иллюстрации общее решение в примере 1
    .3.1 — это,, и, где — параметр, и теперь мы бы выразили это как
    , говоря, что общее решение -, где произвольно.

    Теперь пусть и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

    Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе имеет вид, и предположим, что

    , являются решениями. Потом и
    .
    Следовательно, это тоже решение, потому что

    Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.

    Примечательно то, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, фактически, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.

    Решить однородную систему с матрицей коэффициентов

    Решение:

    Приведение расширенной матрицы к уменьшенной форме —

    , поэтому решениями являются,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме

    Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.

    Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:

    Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.

    Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждое решение как линейную комбинацию базовых решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид

    Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и таким образом исключить дроби.

    По этой причине:

    Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.

    Точно так же алгоритм Гаусса выдает базовые решения для в каждой однородной системе, по одному для каждого параметра (есть нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
    этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:

    Найдите основные решения однородной системы с матрицей коэффициентов и выразите каждое решение как линейную комбинацию основных решений, где

    Решение:

    Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме —

    , поэтому общее решение — это,,,, и где, и — параметры.В матричной форме это

    Отсюда базовые решения —

    Основные уравнения прямых и плоскостей

    Основные уравнения прямых и плоскостей

    Основные уравнения прямых и плоскостей

    Уравнение прямой

    Важной темой школьной алгебры является «уравнение прямой». Это означает уравнение относительно x и y, множество решений которого представляет собой линию в (x, y) самолет.

    Самая популярная форма в алгебре — это форма «наклон-пересечение»

    y = mx + b.

    Фактически это использует x как параметр и записывает y как функцию от x: y = f (x) = mx + b. Когда x = 0, y = b и точка (0, b) является пересечением прямой с осью ординат.

    Думая о линии как о геометрическом объекте, а не о графике функции, имеет смысл относиться к x и y более беспристрастно. Общее уравнение для строка (нормальная форма) —

    ax + by = c,

    с условием, что хотя бы одно из a или b не равно нулю.Это может легко преобразовать в форму пересечения наклона путем решения для y:

    y = (-a / b) + c / b,

    , за исключением особого случая b = 0, когда линия параллельна оси y.

    Если коэффициенты в нормальной форме умножить на ненулевую константу, множество решений точно такое же, поэтому, например, все эти уравнения имеют ту же строку, что и решение.

    2x + 3 y = 4
    4x + 6y = 8
    -x — (3/2) y = -2
    (1/2) x + (3/4) y = 1

    В общем, если k — ненулевая константа, то это уравнений для та же строка , так как у них одинаковые решения.

    ax + by = c
    (ka) x + (kb) y = kc.

    Популярный выбор для k в случае, когда c не равно нулю, это k = (1 / с). Тогда уравнение принимает вид

    (в / в) х + (б / в) у = 1.

    Еще одна полезная форма уравнения — разделить на | (a, b) |, квадратный корень из 2 + b 2 . Этот выбор будет объяснен в разделе Normal Vector.

    Упражнение : Если на линии стоит O, покажите, что уравнение принимает вид ax + by = 0 или y = mx.

    Упражнение: Найдите пересечения этой прямой с оси координат.

    Упражнение : Каково уравнение прямой, проходящей через (0,0) а точка (h, k)?


    Нахождение уравнения прямой через 2 точки на плоскости

    Для любых двух точек P и Q существует ровно одна прямая PQ, проходящая через точки. Если координаты точек P и Q известны, то коэффициенты a, b, c Уравнение для линии можно найти, решив систему линейных уравнений.

    Пример : Для P = (1, 2), Q = (-2, 5) найдите уравнение ax + by = c строки PQ.

    Поскольку точка P находится на прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению: a1 + b2 = c, или a + 2b = c.
    Поскольку Q находится на линии, его координаты удовлетворяют уравнению: a (-2) + b5 = c, или -2 a + 5b = c.

    Умножьте первое уравнение на 2 и сложите, чтобы исключить a из уравнения: 4b + 5b = 9b = 2c + c = 3c, поэтому b = (1/3) c. Затем подставляя в первый уравнение, a = c — 2b = c — (2/3) c = (1/3) c.

    Это дает уравнение [(1/3) c] x + [(1/3) c} y = c . Почему не решено? Помните, что существует бесконечное количество уравнений для линии, каждая из которых кратна другой. Мы можем вынести c (или установить c = 1 для того же результата) и получите (1/3) x + (1/3) y = 1 как один из вариантов уравнение для линии. Другой вариант: c = 3: x + y = 3 , что очистил знаменатели.

    Этот метод всегда работает для любых различных P и Q.Конечно, есть формула для a, b, c также. Это может быть выражено детерминантами , или крестное произведение .

    Упражнения : Найдите уравнения этих прямых. Обратите внимание на особые случаи.

    Линия через (3, 4) и (1, -2).
    Строка через (3, 4) и (-6, -8).
    Проведите через (3, 4) и (3, 7).


    Связь с параметрической формой линии

    Для двух точек P и Q точки прямой PQ можно записать как F (t) = (1-t) P + tQ, если t пробегает все действительные числа.Если и P, и Q удовлетворяют одному и тому же уравнение ax + by = c, то вычисление показывает, что это также верно для (1-t) P + tQ для любого выбора t.

    Вот это вычисление. Пусть P = (p 1 , p 2 ), Q = (q 1 , q 2 ). Затем, поскольку точки находятся на линии, мы знаем, что обе

    ap 1 + bp 2 = c
    aq 1 + bq 2 = c.

    Для точки F (t) мы должны проверить a [(1-t) p 1 + tq 1 ] + b [(1-t) p 2 + tq 2 ] = с.Но левую часть можно переставить как (1-t) (ap 1 + bp 2 ) + t (aq 1 + bq 2 ), и это равно (1-t) c + tc = c. Так что уравнение выполнено. Сравните это явное вычисление с данным вычислением для плоскости, которая использует точечное произведение. Вычисления те же, но одно показывает больше деталей, а один скрывает координаты и показывает более концептуальный рисунок.



    Уравнение плоскости

    Самолет в 3-м пространстве имеет уравнение

    ax + by + cz = d,

    , где хотя бы одно из чисел a, b, c должно быть ненулевым.

    Что касается линии, если уравнение умножить на любую ненулевую константу k, чтобы получаем уравнение kax + kby + kcz = kd, плоскость решений такая же.

    Если c не равно нулю, часто полезно думать о плоскости как о графике функция z от x и y. Уравнение можно переформулировать так:

    z = — (a / c) x + (-b / c) y + d / c

    Еще один полезный выбор, когда d не равно нулю, — разделить на d так, чтобы константа термин = 1.

    (a / d) x + (b / d) y + (c / d) z = 1.

    Еще одна полезная форма уравнения — разделить на | (a, b, c) |, квадрат корень 2 + b 2 + c 2 . Этот выбор будет поясняться в разделе «Вектор нормали ».

    Упражнение: Где плоскость ax + by + cz = d пересекает координату топоры?

    Упражнение: Что особенного в уравнении плоскости, проходящей через через 0.


    Нахождение уравнения плоскости через 3 точки в космос

    Даны точки P, Q, R в пространстве, найти уравнение плоскости через 3 точки.

    Пример : P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). Ищем коэффициенты уравнения ax + by + cz = d, где P, Q и R удовлетворяют уравнениям, таким образом:

    a + b + c = d
    a + 2b + 0c = d
    -a + 2b + c = d

    Вычитая первое уравнение из второго и затем добавляя первое уравнение к третьему, мы исключаем a, чтобы получить

    b — c = 0
    4b + c = 2d

    Сложение уравнений дает 5b = 2d или b = (2/5) d, затем решение для c = b = (2/5) d, а затем a = d — b — c = (1/5) d.

    Итак, уравнение (с ненулевой константой, которую можно выбрать): d (1/5) x + d (2/5) y + d (2/5) z = d, поэтому один выбор константы дает

    х + 2у + 2z = 5

    или другой вариант: (1/5) x + (2/5) y + (2/5) z = 1

    Учитывая координаты точек P, Q, R, существует формула для коэффициентов плоскость, в которой используются детерминанты или — векторное произведение .

    Упражнение. Какое уравнение плоскости проходит через точки I, J, K?

    Упражнение: Каково уравнение плоскости через (1, 1, 1), (-1, 1, -1) и (1, -1, -1)?

    Упражнение: сравните этот метод нахождения уравнения плоскости с перекрестным произведением. метод.


    Связь с параметрической формой плоскости

    Для 3 точек P, Q, R все точки плоскости могут быть записаны в параметрическом образуют F (s, t) = (1 — s — t) P + sQ + tR, где s и t пробегают все действительные числа.

    Вычисление, подобное приведенному выше для уравнения линии, показывает, что если P, Q, R все удовлетворяют одному и тому же уравнению ax + by + cz = d, тогда все точки F (s, t) также удовлетворяют тому же уравнению.

    Это ключ к пониманию того, что уравнение ax + by + cz = d на самом деле является уравнением плоскости (когда хотя бы один из a, b, c не равен нулю.

    Это вычисление здесь производиться не будет, так как оно может быть выполнено гораздо проще. с использованием скалярного произведения .

    Вернуться к индексу векторных координат

    Основа для векторного пространства

    Пусть V будет подпространством R n для некоторого n . Набор B = { v 1 , v 2 ,…, v r } векторов из V считается базисом для V если B линейно независимый и охватывает V .Если какой-либо из этих критериев не выполняется, то сбор не является основанием для V . Если набор векторов охватывает V , то он содержит достаточно векторов, так что каждый вектор в V может быть записан как линейная комбинация векторов в коллекции. Если коллекция линейно независима, то в ней не так много векторов, чтобы одни становились зависимыми от других. Таким образом, интуитивно понятно, что у основы есть как раз правильный размер: она достаточно велика, чтобы охватить пространство, но не настолько, чтобы быть зависимой.

    Пример 1 : Набор { i, j } является основой для R 2 , поскольку он охватывает R 2 и векторы i и j линейно независимы (потому что ни один из них не является кратным другому). Это называется стандартной базой для R 2 . Точно так же набор { i, j, k } называется стандартной базой для R 3 и в целом

    является стандартной базой для R n .

    Пример 2 : Набор { i, i + j , 2 j } не является основой для R 2 . Хотя он охватывает R 2 , он не является линейно независимым. Никакой набор из 3 или более векторов из R 2 не может быть независимым.

    Пример 3 : Набор { i + j, j + k } не является основой для R 3 . Хотя он линейно независим, он не охватывает все R 3 .Например, не существует линейной комбинации i + j и j + k , равной i + j + k .

    Пример 4 : Набор { i + j, i — j } является основой для R 2 . Во-первых, он линейно независим, поскольку ни i + j , ни i — j не кратны другому. Во-вторых, он охватывает все R 2 , потому что каждый вектор в R 2 может быть выражен как линейная комбинация i + j и i — j .В частности, если a i + b j — любой вектор в R 2 , то если k 1 = ½ ( a + b ) и k 2 = ½ ( a — b ).

    Пространство может иметь много разных оснований. Например, и { i, j }, и { i + j, i — j } являются базами для R 2 . Фактически, любая коллекция , содержащая ровно два линейно независимых вектора из R 2 , является основой для R 2 .Точно так же любая коллекция, содержащая ровно три линейно независимых вектора из R 3 , является основой для R 3 и так далее. Хотя ни одно нетривиальное подпространство R n не имеет уникальной основы, — это то, что должно быть общим для всех баз для данного пространства.

    Пусть V будет подпространством R n для некоторого n . Если V имеет базис, содержащий ровно r векторов, то каждые базисов для V содержат ровно r векторов.То есть выбор базисных векторов для данного пространства не уникален, но число базисных векторов является уникальным . Этот факт позволяет четко определить следующее понятие: количество векторов в основе для векторного пространства V R n называется размерностью V , обозначается dim V .

    Пример 5 : Поскольку стандартный базис для R 2 , { i, j }, содержит ровно 2 вектора, каждый базис для R 2 содержит ровно 2 вектора, поэтому dim R 2 = 2.Точно так же, поскольку { i, j, k } является основой для R 3 , который содержит ровно 3 вектора, каждый базис для R 3 содержит ровно 3 вектора, поэтому dim R 3 = 3. В общем, dim R n = n для каждого натурального числа n .

    Пример 6 : В R 3 векторы i и k охватывают подпространство размерности 2.Это плоскость x − z , как показано на рисунке.


    Рисунок 1

    Пример 7: Одноэлементный набор { i + j = (1, 1)} является основой для одномерного подпространства V из R 2 , состоящего из строки y = х . См. Рисунок.

    Рисунок 2

    Пример 8 : Говорят, что тривиальное подпространство { 0 } R n имеет размерность 0.Таким образом, чтобы соответствовать определению размера, основой для { 0 } должна быть коллекция, содержащая ноль элементов; это пустое множество ø.

    Подпространства R 1 , R 2 и R 3 , некоторые из которых были проиллюстрированы в предыдущих примерах, можно резюмировать следующим образом:

    Пример 9 : Найдите размерность подпространства V из R 4 , охватываемого векторами

    Коллекция { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } не является основой для V —и dim V не 4— потому что { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } не является линейно независимым; см. расчет, предшествующий приведенному выше примеру.Удаление v 3 и v 4 из этой коллекции не уменьшает диапазон { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }, но результирующая коллекция, { v 1 , v 2 }, линейно независима. Таким образом, { v 1 , v 2 } является основой для V , поэтому dim V = 2.

    Пример 10 : Найдите размерность диапазона векторов

    Поскольку эти векторы находятся в R 5 , их диапазон, S , является подпространством R 5 . Однако это не трехмерное подпространство R 5 , поскольку три вектора, w 1 , w 2 и w 3 не являются линейно независимыми. Фактически, поскольку w 3 = 3w 1 + 2w 2 , вектор w 3 может быть исключен из коллекции без уменьшения диапазона.Поскольку векторы w 1 и w 2 независимы — ни один из них не является скалярным кратным другому, набор { w 1 , w 2 } служит основой для S , поэтому его размер равен 2.

    Самым важным атрибутом базиса является способность записывать каждый вектор в пространстве уникальным образом в терминах базисных векторов. Чтобы понять, почему это так, пусть B = { v 1 , v 2 ,…, v r } будет основой для векторного пространства V .Поскольку базис должен охватывать V , каждый вектор v в V может быть записан хотя бы одним способом как линейная комбинация векторов в B . То есть существуют скаляры k 1 , k 2 ,…, k r такие, что

    Чтобы показать, что никакой другой выбор скалярных кратных не может дать против , предположим, что

    также является линейной комбинацией базисных векторов, равной v .

    Вычитание (*) из (**) дает

    Это выражение представляет собой линейную комбинацию базисных векторов, которая дает нулевой вектор. Поскольку базисные векторы должны быть линейно независимыми, каждый из скаляров в (***) должен быть равен нулю:

    Следовательно, k ′ 1 = k 1 , k ′ 2 = k 2 ,… и k ′ r = k r , поэтому представление в ( *) действительно уникален.Когда v записано как линейная комбинация (*) базисных векторов v 1 , v 2 ,…, v r , однозначно определенные скалярные коэффициенты k 1 , k 2 ,…, k r называются компонентами из v относительно базиса B . Вектор-строка ( k 1 , k 2 ,…, k r ) называется вектором-компонентом v относительно B и обозначается ( v ) В .Иногда удобно записать вектор компонентов как вектор столбца ; в этом случае компонентный вектор ( k 1 , k 2 ,…, k r ) T обозначается [ v ] B .

    Пример 11 : Рассмотрим набор C = { i, i + j , 2 j } векторов в R 2 . Обратите внимание, что вектор v = 3 i + 4 j может быть записан как линейная комбинация векторов в C следующим образом:

    и

    Тот факт, что существует более одного способа выразить вектор v в R 2 как линейную комбинацию векторов в C , дает еще одно указание на то, что C не может быть основой для R 2 .Если бы за основу было C , вектор v можно было бы записать как линейную комбинацию векторов из C одним способом и только одним способом .

    Пример 12 : Рассмотрим базис B = { i + j , 2 i j } для R 2 . Определите компоненты вектора v = 2 i — 7 j относительно B .

    Компоненты v относительно B являются скалярными коэффициентами k 1 и k 2 , которые удовлетворяют уравнению

    Это уравнение эквивалентно системе

    Решение этой системы: k 1 = −4 и k 2 = 3, поэтому

    Пример 13 : Относительно стандартной основы { i, j, k } = { ê 1 , ê 2 , ê 3 } для R 3 , компонентный вектор любого вектора v в R 3 равен самому v : ( v ) B = v .Тот же результат справедлив для стандартного базиса { ê 1 , ê 2 ,…, ê n } для каждых R n .

    Ортонормированные основания . Если B = { v 1 , v 2 ,…, v n } является основой для векторного пространства V , то каждый вектор v в V можно записать как линейную комбинацию базисных векторов одним и только одним способом:

    Нахождение компонентов v относительно базиса B — скалярных коэффициентов k 1 , k 2 ,…, k n в приведенном выше представлении — обычно включает решение система уравнений.Однако, если базисные векторы ортонормированы , то есть взаимно ортогональные единичные векторы, то вычисление компонентов особенно легко. Вот почему. Предположим, что B = {vˆ 1 , vˆ 2 ,…, vˆ n } является ортонормированным базисом. Начнем с приведенного выше уравнения — с vˆ 1 , vˆ 2 ,…, vˆ n , заменяющим v 1 , v 2 ,…, v n , чтобы выделить что базисные векторы теперь считаются единичными векторами — возьмите скалярное произведение обеих сторон с vˆ 1 :

    По линейности скалярного произведения левая часть становится

    Теперь, по ортогональности базисных векторов, vˆ i · vˆ 1 = 0 для i = от 2 до n .Кроме того, поскольку vˆ является единичным вектором, vˆ 1 · vˆ 1 = ‖vˆ 1 ‖1 2 = 1 2 = 1. Следовательно, приведенное выше уравнение упрощается до утверждения

    В общем случае, если B = { 1 , 2 ,…, n } является ортонормированным базисом для векторного пространства V , тогда компоненты, k i , любого вектора v относительно B находятся по простой формуле

    Пример 14 : Рассмотрим векторы

    из R 3 .Эти векторы взаимно ортогональны, что можно легко проверить, проверив, что v 1 · v 2 = v 1 · v 3 = v 2 · v 3 = 0. Нормализовать эти векторы, получив таким образом ортонормированный базис для R 3 , а затем найти компоненты вектора v = (1, 2, 3) относительно этого базиса.

    Ненулевой вектор — это нормализованный , преобразованный в единичный вектор путем деления его на длину.Следовательно,

    Поскольку B = { 1 , 2 , 3 } является ортонормированной основой для R 3 , указанный выше результат гарантирует, что компоненты v относительно B можно найти, просто взяв следующие скалярные произведения:

    Следовательно, ( v ) B = (5/3, 11 / (3√2), 3 / √2), что означает, что уникальное представление v как линейная комбинация базиса векторы читаются v = 5/3 1 + 11 / (3√2) 2 + 3 / √2 3 , как вы можете проверить.

    Пример 15 : Докажите, что набор взаимно ортогональных ненулевых векторов линейно независим.

    Доказательство . Пусть { v 1 , v 2 ,…, v r } будет набором ненулевых векторов из некоторого R n , которые взаимно ортогональны, что означает что нет v i = 0 и v i · v j = 0 для i j .Пусть

    — линейная комбинация векторов в этом наборе, дающая нулевой вектор. Цель состоит в том, чтобы показать, что k 1 = k 2 =… = k r = 0. Для этого возьмите скалярное произведение обеих частей уравнения с v 1 :

    Второе уравнение следует из первого из-за линейности скалярного произведения, третье уравнение следует из второго из-за ортогональности векторов, а окончательное уравнение является следствием того факта, что ‖ v 1 2 ≠ 0 (начиная с v 1 0 ).Теперь легко увидеть, что если взять скалярное произведение обеих сторон (*) на v i , то получим k i = 0, установив, что каждые скалярных коэффициентов в (*) должны быть ноль, тем самым подтверждая, что векторы v 1 , v 2 ,…, v r действительно независимы.



    Предстоящие события — Национальный музей математики

    Краткий обзор математики

    С сентября по июнь: экскурсии для классов K-12!

    Пожалуйста, насладитесь следующими программами и занятиями; пожалуйста, прочтите внимательно, чтобы определить, доступны ли программы онлайн, лично или и то, и другое.

    Время указано по восточному времени (Нью-Йорк).

    Щелкните здесь, чтобы получить версию для печати.

    Выполняется

    MoMath открыт! Посетить музей
    Math on the House — подпишитесь, чтобы получать уведомления, когда бесплатно , места в последнюю минуту станут доступны для некоторых мероприятий
    Сессии для пожилых людей , занятия под руководством преподавателя для взрослых (онлайн)
    Бесплатно Сгибатели разума для помещенных в карантин! , еженедельные математические головоломки от мастера головоломок MoMath, доктораПитер Винклер
    Занятия для учащихся , занятия под руководством преподавателя для учащихся от подготовительных до 12 классов, изучающих математику из дома (онлайн)

    Подать заявку

    Expansions , одаренная программа в MoMath для учащихся от первого класса до средней школы
    Премия Стивена Х. Строгаца за математическое общение — для студентов от 15 до 18 лет
    Посещение школ и групп: посещение музея или онлайн-посещение MoMath для студентов, преподавателей и других групп (лично / онлайн)
    Бесплатные экскурсии для школ Title I: подайте заявку сегодня на спонсируемую экскурсию в пользу вашей школы Title I (лично / онлайн)
    Integrators , волонтерская программа MoMath для средней школы: подайте заявку на 2021-2022 учебный год (лично)
    Сб, 9 октября 15:00 Math Discovery : «Станция мозаики» (для классов 1–3) (очно)
    Сб, 9 октября 15:00 Krazy Kahoot , динамичная семейная викторина со Стивом Шерманом (онлайн)
    Вс, 10 октября 14:00 Bridge Basics 2: The Play of the Hand — пятая сессия восьминедельного курса (онлайн)
    Пн, 11 октября 9:30 13:30 Мини-лагеря MoMath (очные) (доступны ограниченные онлайн-занятия)
    Пн, 11 октября 14:00 Сессии для руководителей : «Тизеры Tangram» (онлайн)
    Вт, 12 октября 15:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для классов K-1) (онлайн)
    Вт, 12 октября 16:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для 2–3 классов) (онлайн)
    Вт, 12 октября 18:30 Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем — четвертая сессия восьминедельного курса (очно / онлайн)
    Ср, 13 октября 19:00 Probability and Intuition — эксклюзивный обед, посвященный головоломкам (личное)
    Чт, 14 октября 14:00 Сессии для руководителей : «Подсчет голосов: упаковка и взлом» (онлайн)
    пт, 15 окт 16:15 Math Discovery : «Безумие Мебиуса» (для 3–6 классов) (очное)
    пт, 15 окт 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите тыкву на основе хурмы Карлоса Боканегры (онлайн)
    пт, 15 окт 18:30 Бесплатно Семейные пятницы : «Изготовление розетки для долларовых купюр» с Жанин Мейер (лично / онлайн)
    Сб, 16 октября 15:00 Math Discovery : «Изменяющие форму» (для классов до K-2) (очное)
    Вс, 17 октября 14:00 Основы моста 2: Игра руками — шестая сессия восьминедельного курса (онлайн)
    Вс, 17 октября 17:30 Tween Primes , книжный клуб MoMath для подростков и подростков: Beyond Infinity Чарльза Эймса Фишера (онлайн)
    Вс, 17 октября 18:30 Безлимитный , программа MoMath mix-n-mingle для учащихся средних и старших классов (онлайн)
    Вт, 19 октября 14:00 Старшие сессии : «Коды нарушения» (онлайн)
    Вт, 19 октября 15:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для классов K-1) (онлайн)
    Вт, 19 октября 16:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для 2–3 классов) (онлайн)
    Вт, 19 октября 18:30 Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем — пятая сессия восьминедельного курса (очно / онлайн)
    Ср, 20 октября 15:30 Бесплатно Math Gym , тренировка для вашего мозга (онлайн)
    Ср, 20 октября 16:00 MathPlay , программа MoMath для дошкольников — первая сессия шестинедельного курса для 4-летних (очная)
    Ср, 20 октября 19:00 QED: Подводные камни для родителей (онлайн)
    Чт, 21 октября 16:00 Бесплатно для участников Спросите математика — все что угодно! со Стивеном Строгацем (лично / онлайн)
    Пт, 22 октября 14:00 Сессии для взрослых : «Пазлы Полимино» (онлайн)
    Пт, 22 октября 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите «Кошелек или жизнь» Гилада Ахарони (онлайн)
    Вс, 24 октября 14:00 Bridge Basics 2: The Play of the Hand — седьмая сессия восьминедельного курса (онлайн)
    Пн, 25 октября 14:00 История математики : дебют новой виртуальной галереи (онлайн)
    Пн, 25 октября 19:00 Математика в главных ролях (онлайн)
    Вт, 26 октября 14:00 Сессии для взрослых : (Новинка!) «Удача, магия или математика?» (онлайн)
    Вт, 26 октября 19:00 2021 MoMath Gala: Building Beauty: математика искусства, инженерии и дизайна (онлайн)
    Ср, 27 октября 16:00 MathPlay , программа MoMath для дошкольников — вторая сессия шестинедельного курса для 4-летних (очно)
    Чт, 28 октября 14:00 Сессии для старших классов : «Математика в угловом кармане» (онлайн)
    Чт, 28 октября 16:00 Познакомьтесь с математиком с участием Билла Данэма, ведущий — Стивен Строгац (онлайн)
    Пт, 29 октября 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите «Говорящий череп» Сасагавы Сан (онлайн)
    Пт, 29 октября 19:00 Бесплатно для участников Equilibrium , вечер математических игр для взрослых MoMath (онлайн)
    Вс, 31 октября 14:00 Bridge Basics 2: The Play of the Hand — последняя сессия восьминедельного курса (онлайн)
    Вт, 2 ноя 14:00 Сессии для руководителей : «Подсчет голосов: Башня силы» (онлайн)
    Вт, 2 ноя 15:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для классов K-1) (онлайн)
    Вт, 2 ноя 16:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для 2–3 классов) (онлайн)
    Вт, 2 ноя 18:30 Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем — шестая сессия восьминедельного курса (очно / онлайн)
    ср, 3 ноя 16:00
    19:00
    Бесплатно Математические встречи : «Золотые вращения» — с участием Питера Сарнака (лично / онлайн)
    Чт, 4 ноя 18:30 Бесплатно для участников Person Place Thing Запись подкаста в MoMath (лично)
    пт, 5 ноя 14:00 Старшие сессии : (Новинка!) «В поисках Фибоначчи» (онлайн)
    пт, 5 ноя 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите «Сову» Шоко Аояги (онлайн)
    Вс, 7 ноября 17:30 Tween Primes , книжный клуб MoMath для подростков и подростков: Hannah, Divided , Адель Гриффин (онлайн)
    Вс, 7 ноября 18:30 Безлимитный , программа MoMath mix-n-mingle для учащихся средних и старших классов (онлайн)
    Вт, 9 ноя 14:00 Старшие сессии : «Топологические крестики-нолики» (онлайн)
    Вт, 9 ноя 15:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для классов K-1) (онлайн)
    Вт, 9 ноя 16:00 Loving Math — рассказы, игры и смех в веселый детский час (для 2–3 классов) (онлайн)
    Вт, 9 ноя 18:30 Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем — седьмая сессия восьминедельного курса (очно / онлайн)
    ср, 10 ноя 16:00 MathPlay , программа MoMath для дошкольников — третье занятие шестинедельного курса для 4-летних (очное)
    Чт, 11 ноя 10:00 Мини-лагеря MoMath (очные) (доступны ограниченные онлайн-занятия)
    Чт, 11 ноя 14:00 Старшие сессии : (Новинка!) «Математика пандемии» (онлайн)
    Чт, 11 ноя 18:30 Том : «Приключения математика» С.М. Улам (онлайн)
    Пт, 12 ноября 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите «Поднос для листьев» Дэвида Донахью (онлайн)
    пт, 12 ноя 19:00 Equilibrium , вечер математических игр для взрослых MoMath (онлайн)
    Пн, 15 ноя 14:00 Senior Sessions : «Exhibit Explorations: Pythagorean Puzzlers» (онлайн)
    Вт, 16 ноя 18:30 Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем — заключительное занятие восьминедельного курса (очно / онлайн)
    ср, 17 ноя 15:30 Бесплатно Math Gym , тренировка для вашего мозга (онлайн)
    ср, 17 ноя 16:00 MathPlay , программа MoMath для дошкольников — четвертая сессия шестинедельного курса для 4-летних (очно)
    ср, 17 ноя 18:30 Бесплатно для членов Поэзия + Математика = Осмысленный путь с профессором Ларри Лессером (онлайн)
    Чт, 18 ноя 16:00 Спросите математика — все что угодно! со Стивеном Строгацем (лично / онлайн)
    Пт, 19 ноя 14:00 Senior Sessions : «Fractal Fascinations» (онлайн)
    Пт, 19 ноя 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите «Самолетик-индюк» Три Данга (онлайн)
    Пт, 19 ноя 18:30 Бесплатно Семейные пятницы : «Попурри из головоломок!» с Сиан Зельбо (лично / онлайн)
    Сб, 20 ноя 15:00 Krazy Kahoot , динамичная семейная викторина со Стивом Шерманом (онлайн)
    Пн, 22 ноября 14:00 Сессии для взрослых : «Dynamic Dice» (онлайн)
    Пн, 22 ноября 18:30 История математики : Как заставить машины летать и другие истории из древности (онлайн)
    Вт, 23 ноября 19:00 QED: Подводные камни для родителей (онлайн)
    Ср, 24 ноября 16:00 MathPlay , программа MoMath для дошкольников — пятая сессия шестинедельного курса для 4-летних (очно)
    пт, 26 ноя 14:00 Старшие сессии : «Криптарифметика» (онлайн)
    Пн, 29 ноября 19:00 Математика в главных ролях (онлайн)
    Вт, 30 ноя 14:00 Сессии для руководителей : «Экспонаты исследований: Math Square » (онлайн)
    ср, дек 1 16:00
    19:00
    Бесплатно Математические встречи — с участием Дэна Рокмора (лично / онлайн)
    Чт, 2 дек 18:30 Анимированная математика (онлайн)
    пт, 3 дек 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите «Дерево» Марка Болито (онлайн)
    Ср, 8 дек 16:00 MathPlay , программа MoMath для дошкольников — заключительное занятие шестинедельного курса для 4-летних (очное)
    Чт, 9 дек 16:00 Знакомьтесь, математик , ведущий Стивен Строгац (онлайн)
    Чт, 9 дек 18:30 Анимированная математика (онлайн)
    пт, 10 дек 16:30 Складные пятницы — научитесь складывать уникальные дизайны оригами: сложите «Estrella Ana Maria» Лидиан Сикера (онлайн)
    пт, 10 дек 19:00 Equilibrium , вечер математических игр для взрослых MoMath (онлайн)
    сб, 11 дек 15:00 Krazy Kahoot , динамичная семейная викторина со Стивом Шерманом (онлайн)
    Вс, 12 декабря 17:30 Tween Primes , книжный клуб MoMath для подростков и подростков: Starman Jones Роберта А.Хайнлайн (онлайн)
    Вс, 12 декабря 18:30 Безлимитный , программа MoMath mix-n-mingle для учащихся средних и старших классов (онлайн)
    Пн, 13 дек 19:00 QED: Подводные камни для родителей (онлайн)
    Ср, 15 дек 15:30 Бесплатно Math Gym , тренировка для вашего мозга (онлайн)
    Чт, 16 дек 18:30 Анимированная математика (онлайн)
    пт, 17 дек 18:30 Бесплатно Семейные пятницы : «Рефлексии: новый взгляд на флексагоны» с Яной Моханти (лично / онлайн)
    Пн, 20 дек 19:00 Математика в главных ролях (онлайн)
    Вт, 11 янв 18:30 Calculus Gems — первая сессия восьминедельного мини-курса (очно / онлайн)
    Ср, 12 января 19:00 QED: Подводные камни для родителей (онлайн)
    пт, 14 января по вс, 16 января 18:30 MOVES, Математика различных занимательных предметов — Пятая конференция MoMath, проводимая раз в два года (очная)
    Вт, 18 янв 18:30 Calculus Gems — второй сеанс восьминедельного мини-курса (очный / онлайн)
    Пн, 24 января 19:00 Математика в главных ролях (онлайн)
    Вт, 25 января 18:30 Calculus Gems — третья сессия восьминедельного мини-курса (очно / онлайн)
    Чт, 27 января 16:00 Знакомьтесь, математик , ведущий Стивен Строгац (онлайн)
    пн, 4 апр — ср 6 апр TBD MATRIX x IMAGINARY Conference — встречайте нас в Париже! (лично)

    Подать заявку

    Расширения : дневная программа обогащения для одаренных студентов-математиков — заявки принимаются на ограниченное количество мест
    Изобретите математический класс заново с расширениями , дневная программа для одаренных детей MoMath.Семинары Expansions разработаны и проводятся педагогической командой MoMath, предлагая программы для любящих математику учащихся с первого по двенадцатый классы, чтобы осветить чудеса математики, бросить вызов и вдохновить студентов, а также расширить их математический кругозор. Эти дневные занятия, охватывающие самые разные темы, от фракталов до клеточных автоматов, дают участникам возможность изучить сложные и увлекательные темы, не включенные в стандартную учебную программу от K до 12.Кроме того, студенты могут извлечь пользу из занятий математикой вместе с небольшими группами талантливых и целеустремленных молодых ученых. В настоящее время MoMath принимает заявки на участие в ограниченном количестве мест на 2021-2022 учебный год. Чтобы узнать больше, посетите extension.momath.org.

    Премия Стивена Х. Строгаца за коммуникацию по математике — присуждается учащимся от 15 до 18 лет
    Сейчас принимаются заявки

    Вы студент средней школы и хотите поделиться своей любовью к математике со всем миром? Примите участие в этом всемирном конкурсе! Денежные призы будут присуждаться за интересные математические коммуникативные проекты, а отмеченные наградами проекты будут размещены в Интернете.Чтобы подать заявку, посетите strogatzprize.momath.org.

    Текущие программы

    Посетите MoMath
    Билеты для личного посещения MoMath теперь продаются на сайте visit.momath.org. Участники могут получить доступ к входным билетам бесплатно! (Не член? Присоединяйтесь сегодня!)

    Сессии для взрослых ()
    Тренируйте свои умственные мышцы за 45-минутные занятия по математике! Присоединяйтесь к опытным докладчикам MoMath для увлекательных занятий по множеству стимулирующих тем, включая топологию, головоломки и криптографию.Наслаждайтесь открытиями и вызовами в этих увлекательных интерактивных занятиях с коллегиальной когортой зрелых умов. Для пожилых людей / пожилых людей. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Поделитесь математикой! Подарочные регистрации для Senior Sessions доступны: mathgift.momath.org.

    Онлайн Экскурсии
    Педагоги, объедините свой класс в нашем виртуальном классе! Школы могут быть закрыты, но MoMath позволяет вашей группе объединиться для совместного математического приключения.Пригласите своих учеников вместе с опытным преподавателем MoMath на увлекательную онлайн-экскурсию, доступную из дома или в классе. Для получения дополнительной информации и регистрации вашего класса посетите fieldtrips.momath.org. ( Бесплатные поездки доступны для школ Title I. ; количество ограничено, подайте заявку сегодня.)

    Сгибатели разума для помещенных на карантин!
    Охват более 10 000 человек почти в 90 странах, Сгибателей разума для помещенных на карантин! стал безудержным хитом, который привлек людей по всему миру во время беспрецедентного глобального отключения.Каждое воскресенье MoMath будет присылать вам сложную математическую головоломку из коллекции нашего собственного мастера головоломок, доктора Питера Винклера. Во вторник вы получите тонкий намек; в четверг серьезный толчок; в субботу решение. И на следующий день, конечно же, новая головоломка. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на mindbenders.momath.org.

    MoMath Online: занятия для учащихся для классов от pre-K до 12
    Текущие, с понедельника по пятницу ()

    Если ваш ребенок уже увлечен математикой или только начинает изучать ее чудеса, MoMath Online: Student Sessions будет познакомьте вашего ребенка с интересными областями математики, не изучаемыми в школе, и разжигайте огонь, чтобы он на всю жизнь ценил математику.Дополнительные занятия под руководством опытного преподавателя доступны каждый будний день, а регистрация всегда бесплатна для нуждающихся семей. Чтобы получить дополнительную информацию и зарегистрироваться, посетите studentsessions.momath.org.

    Поделитесь математикой! Подарочная регистрация на Студенческие занятия Доступно: mathgift.momath.org.

    Репетиторство по математике
    У вашего ребенка проблемы с математикой? Мы можем помочь! MoMath предлагает частные уроки для учащихся K – 12 классов.Наши сертифицированные преподаватели имеют большой опыт обучения студентов онлайн и в классе. Если вашему ребенку нужна помощь с домашним заданием или подготовкой к экзаменам, инструкторы MoMath готовы помочь. Для получения дополнительной информации, пожалуйста, напишите по адресу [email protected]

    Дни рождения — теперь и с опцией оригами! (/)
    Хотите устроить единственный в своем роде день рождения, полный сказочного веселья? Вы и ваши гости сможете изучить удивительное искусство складывания бумаги с мастером оригами! Выбирая индивидуальные мероприятия, вечеринки можно персонализировать для именинников всех возрастов — от детей до взрослых, от простых до сложных бумажных рисунков. Также доступны другие интересные варианты дня рождения. Для получения дополнительной информации, пожалуйста, напишите по адресу [email protected]

    Ближайшие события

    Math Discovery : «Станция тесселяции» (для классов 1-3) ()
    Суббота, 9 октября, 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Не упустите шанс присоединиться к одному из курсов MoMath специально обученные преподаватели в Math Discovery , практическом занятии, изучающем интригующие математические темы.От природы до искусства и архитектуры, мозаика — или мозаичный узор — предлагает творческий способ понять геометрию вне класса. Присоединяйтесь к опытным преподавателям MoMath в этом интерактивном исследовании мозаики, в котором вы будете использовать симметрию многоугольников, чтобы открывать удивительные и красивые узоры, когда вы узнаете о бесконечных мозаиках плоскости. Для учащихся 1–3 классов и их семей / опекунов. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на discovery.momath.org.

    Крейзи Кахут со Стивом Шерманом ()
    Суббота, 9 октября в 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Присоединяйтесь к любимому мастеру математических викторин Стива Шермана из MoMath в веселой семейной игре, наполненной множеством интересных вопросов. для всех возрастов.Готова ли ваша семья принять этот живой вызов ?! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на krazy.momath.org.

    Bridge Basics 2: The Hand (пятая сессия восьминедельного курса) ()
    Воскресенье, 10 октября в 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к Американской контрактной лиге моста ( ACBL) аккредитовал преподавателя бриджа доктора Сьюзен Дж. Фишбейн на этом новом восьминедельном курсе. Основы игры в бридж 2: Игра руки фокусируется на стратегиях, необходимых для успешной игры оператора объявления в бридж.Курс основан на знаниях участников об основных методах проведения торгов и применяет эти знания для заключения контрактов за счет применения определенных игровых приемов. Цель Bridge Basics 2: The Play of the Hand — предоставить учащимся всестороннюю и полную основу для самостоятельного и уверенного наслаждения игрой и для продолжения обучения игре в бридж, игре на всю жизнь! Узнайте больше на bridge2.momath.org.

    Мини-лагеря MoMath () (доступны ограниченные занятия)
    Понедельник, 11 октября, 9:30 и 13:30 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Присоединяйтесь к MoMath для мини-лагерей в понедельник, 11 октября и Четверг, 11 ноября.Благодаря интерактивным тематическим урокам и творческим практическим проектам математика оживает для каждого участника! Информация и регистрация скоро появятся на minicamp.momath.org.

    Сессии для взрослых : «Танграм-тизеры» ()
    Понедельник, 11 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Тренируйте свой ум и развивайте свои навыки пространственного мышления в поисках решений забавных головоломок танграма. Научитесь создавать конкретные фигуры, комбинируя семь многоугольников.Если вы застряли, попробуйте другой способ! Откройте для себя несколько стратегий решения этих классических головоломок на вскрытие. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Любящая математика рассказы, игры и смех в веселый детский час ()
    вторник, 12 октября в 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк) для классов K-1
    вторник, 12 октября в 16:00 по восточноевропейскому времени (Нью-Йорк) для учащихся 2–3 классов

    Присоединяйтесь к великому рассказчику Стиву Шерману на увлекательном занятии, предназначенном для детей от детского сада до третьего класса.Если ваш ребенок любит рассказы, игры и смех, не пропустите это сумасшедшее мероприятие! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на loving.momath.org.

    Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем четвертая сессия восьминедельного курса (/)
    Вторник, 12 октября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Дон Не пропустите первый в году мини-курс от заслуженного приглашенного профессора по общественному распространению математики Стивена Строгаца в 2021–2022 годах.Участники будут изучать практические занятия по математическим играм, головоломкам, алгебре, геометрии, исчислению и теории групп. Строгац, профессор прикладной математики из Корнельского университета и отмеченный наградами математик, представит свой уникальный вид математического дискурса, о чем говорится в блоге New York Times и нескольких популярных книгах, в том числе бестселлере New York Times Infinite Powers , для аудитории MoMath этой осенью. Узнайте больше в исследованиях.momath.org.

    Вероятность и интуиция Эксклюзивный ужин, посвященный головоломкам ()
    Среда, 13 октября в 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    В среду вечером, 13 октября, MoMath предложит обед «Вероятность и интуиция», устроенный Питером Винклером. Это будет одноразовое повторение ужина Винклера осенью 2019 года, в котором использовались головоломки, чтобы попытаться понять, где и как наша интуиция сбивает нас с пути, когда дело касается вероятности.В этом месяце на мероприятии будут представлены новые головоломки, посвященные влиянию предвзятости. Не требуется ни посещения курса 2019 года, ни какой-либо специальной подготовки; просто интерес к головоломкам и вероятностям. Но, конечно, особенно приветствуются и те, кто присутствовал на курсах. Место для этого эксклюзивного мероприятия крайне ограничено. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на intuition.momath.org.

    Сессии для руководителей : «Подсчет голосов: упаковка и взлом» ()
    Четверг, 14 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Получите представление о математике выборов, став «законодателем» на день.Изучите, как нарисованы избирательные округа, включая «упаковку», «взлом» и значение потраченных впустую голосов, чтобы проанализировать справедливость представительства на выборах. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Math Discovery : «Безумие Мёбиуса» (для 3–6 классов) ()
    Пятница, 15 октября в 16:15 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Не упустите шанс присоединиться к одному из курсов MoMath специально обученные преподаватели в Math Discovery , практическом занятии, изучающем интригующие математические темы.Присоединяйтесь к нам, чтобы создавать увлекательные топологические объекты, такие как ленты Мебиуса, и открывать их фундаментальные паттерны и структуры. Благодаря практическим занятиям откройте для себя удивительные свойства, скрытые за каждым поворотом и поворотом! Для учащихся 3-6 классов и их семей / опекунов. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на discovery.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 15 октября в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах .На этой неделе пришло время складывать тыквы! Присоединяйтесь к нам, чтобы сложить модель тыквы на основе хурмы, созданную Карлосом Боканегрой. Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на сайте foldfridays.momath.org.

    Семейные пятницы : «Изготовление розетки для долларовых купюр» с Жанин Мейер (/)
    Пятница, 15 октября, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Вы никогда раньше не видели, чтобы доллар выглядел так ! Присоединяйтесь к докторуЖанин Мейер, чтобы научиться интригующему методу превращения обычной долларовой банкноты в красивую розетку. Сложив пальцы, мы выполним итеративную технику и в итоге немного узнаем о численном анализе и простых числах. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на сайте familyfridays.momath.org.

    Math Discovery : «Shape Shifters» (для классов pre-K-2) ()
    Суббота, 16 октября, 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Не упустите шанс присоединиться к одной специально обученных преподавателей MoMath в Math Discovery , практическом занятии, посвященном интригующим математическим темам.Формы окружают нас повсюду и составляют основные строительные блоки современной жизни. Используя деревянные квадраты, прямоугольники, ромбы, трапеции и шестиугольники, узнайте, чем формы отличаются друг от друга и как математики идентифицируют и называют их. С помощью игр и интерактивных заданий исследуйте геометрические симметрии и способы построения многоугольников со многими сторонами, включая четырехугольник! Для учащихся от дошкольного до 2-го классов и их семей / опекунов. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на сайте Discovery.momath.org.

    Bridge Basics 2: The Hand (шестая сессия восьминедельного курса) ()
    Воскресенье, 17 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к Американской контрактной лиге моста ( ACBL) аккредитовал преподавателя бриджа доктора Сьюзен Дж. Фишбейн на этом новом восьминедельном курсе. Основы игры в бридж 2: Игра руки фокусируется на стратегиях, необходимых для успешной игры оператора объявления в бридж. Курс основан на знаниях участников об основных методах проведения торгов и применяет эти знания для заключения контрактов за счет применения определенных игровых приемов.Цель Bridge Basics 2: The Play of the Hand — предоставить учащимся всестороннюю и полную основу для самостоятельного и уверенного наслаждения игрой и для продолжения обучения игре в бридж, игре на всю жизнь! Узнайте больше на bridge2.momath.org.

    Tween Primes , книжный клуб MoMath для подростков и подростков: Beyond Infinity Чарльз Эймс Фишер ()
    Воскресенье, 17 октября в 17:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Выход о загадочном приключении молодых людей в математике! Когда выпускник средней школы Мэтью «MatheMatt» Форсайт обнаруживает странный компьютер и секретную дверь в школе, он и его друзья решают одну математическую головоломку за другой.Найдя телепорт, Мэтт и его подруга Келси отправляются в странный мир, где числа на самом деле живы! Там они встречают безумного ученого Маглио и призрачного Пятьдесят семь и обнаруживают, что некоторые числа таинственным образом исчезают. Они должны соревноваться со временем, чтобы найти значащие числа шестьдесят один и триста тринадцать. Но почему цифры исчезают? А что такого важного в цифре восемь? Узнайте больше и зарегистрируйтесь на tweenprimes.momath.org.

    Без ограничений , Программа MoMath mix-n-mingle для учащихся средних и старших классов ()
    Воскресенье, 17 октября, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Учащиеся средних и старших классов, приходите проведите час или больше со своими сверстниками, наслаждаясь интересными математическими упражнениями, интерактивными социальными играми и отличной музыкой под руководством опытного преподавателя MoMath. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на unlimited.momath.org.

    Сессии для руководителей : «Коды взлома» ()
    Вторник, 19 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Как компьютеры хранят ваши пароли в секрете? Как веб-сайты защищают номера ваших кредитных карт? Изучите мультипликативные шифры, сломанные коды и простые числа, кодируя и декодируя свои собственные секретные сообщения.Узнайте, как криптография помогает защитить вашу личную информацию. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Любящая математика рассказов, игр и смеха в веселый детский час ()
    вторник, 19 октября в 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк) для классов K-1
    вторник, 19 октября в 16:00 по восточноевропейскому времени (Нью-Йорк) для учащихся 2–3 классов

    Присоединяйтесь к мастеру-сказочнику Стиву Шерману на увлекательном занятии, предназначенном для детей от детского сада до третьего класса.Если ваш ребенок любит рассказы, игры и смех, не пропустите это сумасшедшее мероприятие! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на loving.momath.org.

    Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем пятая сессия восьминедельного курса (/)
    Вторник, 19 октября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Дон Не пропустите первый в году мини-курс от заслуженного приглашенного профессора по общественному распространению математики Стивена Строгаца в 2021–2022 годах.Участники будут изучать практические занятия по математическим играм, головоломкам, алгебре, геометрии, исчислению и теории групп. Строгац, профессор прикладной математики из Корнельского университета и отмеченный наградами математик, представит свой уникальный вид математического дискурса, о чем говорится в блоге New York Times и нескольких популярных книгах, в том числе бестселлере New York Times Infinite Powers , для аудитории MoMath этой осенью. Узнайте больше в исследованиях.momath.org.

    Math Gym , Тренировка для вашего мозга ()
    Среда, 20 октября, 15:30 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Студенты, проведите час самостоятельно, работая над увлекательным и красивым математические проблемы. Выберите те задачи, которые вам нравятся, и исследуйте их под руководством опытного математика. Если вы любите испытывать невероятную радость математических открытий, вы не захотите пропустить эту ежемесячную программу.Узнайте больше и зарегистрируйтесь на workout.momath.org.

    MathPlay , программа MoMath для дошкольников — первая сессия шестинедельного курса для 4-летних ( )
    Среда, 20 октября, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Под руководством опытного преподавателя MoMath, MathPlay предлагает детям возможность играть в хорошо разработанные игры, которые помогают расширить математические навыки, улучшить навыки решения проблем, точную настройку координации движений и улучшить коммуникативные и социальные навыки.Недавние исследования показали, что математические навыки ребенка при поступлении в детский сад могут быть сильным предиктором будущей успеваемости как по математике, так и по чтению в начальных классах. Обучение математике улучшает рабочую память, улучшает внимание и развивает другие базовые когнитивные навыки. Скоро регистрация. Узнайте больше на mathplay.momath.org.

    QED: подводные камни для родителей ()
    Среда, 20 октября, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробная информация и регистрация в ближайшее время.Узнайте больше на qed.momath.org.

    Спросите математика — все что угодно! (/)
    Четверг, 21 октября в 16:00 по восточноевропейскому времени (Нью-Йорк)
    Всегда хотел спросить что-то математика, может быть, о какой-нибудь любопытной новой идее, которую вы хотите, или о концепции, которую вы хотели бы лучше понять? Не знаете, у кого спросить? Вот твой шанс! Эту часовую онлайн-сессию проведет заслуженный приглашенный профессор по общественному распространению математики Стивен Строгац, приглашенный профессор MoMath 2021–2022 гг.Узнайте больше и зарегистрируйтесь на askmath.momath.org.

    Сессии для взрослых : «Головоломки с полиомино» ()
    Пятница, 22 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Вы слышали о домино, но слышали ли вы когда-нибудь о тромино, тетромино или пентамино? Откройте для себя множество удивительных форм, которые вы можете создать, просто комбинируя квадраты одного размера. Исследуйте различные типы симметрии с помощью этих уникальных объектов. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 22 октября в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах .На этой неделе вы рассматриваете эту модель как уловку или удовольствие? Присоединяйтесь к нам, чтобы сложить «Кошелек или жизнь» Гилада Ахарони. Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте foldfridays.momath.org.

    Bridge Basics 2: The Hand (седьмая сессия восьминедельного курса) ()
    Воскресенье, 24 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к Американской контрактной лиге моста ( ACBL) аккредитованный преподаватель бриджа д-р.Сьюзен Дж. Фишбейн на этом новом восьминедельном курсе. Основы игры в бридж 2: Игра руки фокусируется на стратегиях, необходимых для успешной игры оператора объявления в бридж. Курс основан на знаниях участников об основных методах проведения торгов и применяет эти знания для заключения контрактов за счет применения определенных игровых приемов. Цель Bridge Basics 2: The Play of the Hand — предоставить учащимся всестороннюю и полную основу для самостоятельного и уверенного наслаждения игрой и для продолжения обучения игре в бридж, игре на всю жизнь! Узнайте больше на bridge2.momath.org.

    История математики : дебют новой виртуальной галереи. история математики. Присоединяйтесь к нам для прямой трансляции проекта со Стивеном Вольфрамом и другими в понедельник, 25 октября, в 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк) на YouTube или Twitch. Этот проект был щедро профинансирован Фондом семьи Овердек и создан Wolfram Research для MoMath.Узнайте больше и зарегистрируйтесь на mathhistory.momath.org.

    Математика в главных ролях со Стивеном Строгацем ()
    Понедельник, 25 октября, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробности и регистрация скоро. Узнайте больше на starring.momath.org.

    Сеансы для взрослых : (Новинка!) «Удача, магия или математика?» ()
    Вторник, 26 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    На первый взгляд появление «маловероятного» события может показаться удачей… или магией.Однако, когда такое событие происходит снова и снова, мы должны присмотреться. С помощью математики мы увидим, что некоторые, казалось бы, маловероятные события имеют более высокую вероятность, чем подсказывает интуиция. Узнайте, как умный фокусник может «читать мысли» ничего не подозревающих членов аудитории, используя небольшое знание вероятностей! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    2021 MoMath Gala: Building Beauty: математика искусства, инженерии и дизайна ()
    Вторник, 26 октября

    Сохраните дату для 2021 MoMath Gala! Building Beauty: математика искусства, инженерии и дизайна будет включать панельную дискуссию с четырьмя удивительными математическими творцами: математиком Эриком Демейном , дизайнером Джоном Эдмарком , изобретателем Чаком Хоберманом и модельером оригами Юен Нгуеном. .Присоединяйтесь к MoMath на этот незабываемый вечер, посвященный пересечению изобретательности, воображения и математики. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на сайте gala.momath.org.

    MathPlay , программа MoMath для дошкольников — вторая сессия шестинедельного курса для 4-летних ( )
    Среда, 27 октября, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Под руководством опытного преподавателя MoMath, MathPlay предлагает детям возможность играть в хорошо разработанные игры, которые помогают расширить математические навыки, улучшить навыки решения проблем, точную настройку координации движений и улучшить коммуникативные и социальные навыки.Недавние исследования показали, что математические навыки ребенка при поступлении в детский сад могут быть сильным предиктором будущей успеваемости как по математике, так и по чтению в начальных классах. Обучение математике улучшает рабочую память, улучшает внимание и развивает другие базовые когнитивные навыки. Скоро регистрация. Узнайте больше на mathplay.momath.org.

    Сессии для взрослых : «Математика в угловом кармане» ()
    Четверг, 28 октября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Исследуйте углы и закон отражения, отслеживая путь движения бильярдного шара. отскакивает от стенок бильярдного стола.Используйте шаблоны, чтобы найти простой способ предсказать, в какую лузу приземлится мяч, и научитесь доказывать, что ваш прогноз верен. Игра началась! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Познакомьтесь с математиком с Биллом Данхэмом ()
    Четверг, 28 октября, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к ведущему Стивену Строгацу, когда мы приглашаем разнообразных и талантливых гостей на сцену MoMath, чтобы поделиться своим опытом , их рассказы и их любовь к математике.В этом месяце познакомьтесь с Биллом Данхэмом. Билл — отмеченный наградами профессор, писатель и историк математики, известный своими остроумными и очаровательно ясными книгами о великих математиках и их величайших теоремах, таких как Journey through Genius и The Calculus Gallery . Узнайте больше и зарегистрируйтесь на meetmath.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 29 октября в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах .На этой неделе сложите «Говорящий череп» Сасагавы Сана; марионеточная модель. Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте foldfridays.momath.org.

    Equilibrium , вечер математических игр для взрослых ()
    Пятница, 29 октября, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Настольные игры веселее, чем когда-либо! Присоединяйтесь к старым и новым друзьям и проведите веселый взрослый вечер с широким спектром математически насыщенных игр.Наслаждайтесь классикой, такой как SET и Connect Four, современными вариантами от Ubongo до Skiwampus и Ricochet Robots, и даже собственным поворотом MoMath в математических фаворитах, таких как Hex и Nim. Приготовьте закуски, войдите в систему из дома и общайтесь с новыми и интересными людьми, наслаждаясь уникальными математическими играми, организованными единственным в стране Музеем математики. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на сайте equilibrium.momath.org.

    Bridge Basics 2: The Hand (заключительное занятие восьминедельного курса) ()
    Воскресенье, 31 октября в 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к Американской контрактной лиге моста ( ACBL) аккредитованный преподаватель бриджа д-р.Сьюзен Дж. Фишбейн на этом новом восьминедельном курсе. Основы игры в бридж 2: Игра руки фокусируется на стратегиях, необходимых для успешной игры оператора объявления в бридж. Курс основан на знаниях участников об основных методах проведения торгов и применяет эти знания для заключения контрактов за счет применения определенных игровых приемов. Цель Bridge Basics 2: The Play of the Hand — предоставить учащимся всестороннюю и полную основу для самостоятельного и уверенного наслаждения игрой и для продолжения обучения игре в бридж, игре на всю жизнь! Узнайте больше на bridge2.momath.org.

    Сессии для руководителей : «Подсчет голосов: Башня силы» ()
    Вторник, 2 ноября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Изучите способы распределения власти в системах взвешенного голосования. Эти системы, такие как делегации округов, правительственные комитеты и даже Коллегия выборщиков США, представляют собой системы, в которых разные группы имеют разное количество голосов. Должны ли самые большие группы населения иметь наибольшую власть? Должны ли небольшие группы иметь право голоса? Ответить на эти вопросы гораздо сложнее, чем полагаться на правило большинства, но современный математический анализ предоставляет полезную линзу, через которую можно анализировать несбалансированную силу голосования.(Обратите внимание: это третья часть серии «Подсчет голосов »; нет необходимости посещать две другие.) Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Любящая математика рассказов, игр и смеха в веселый детский час ()
    вторник, 2 ноября в 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк) для классов K-1
    вторник, 2 ноября в 16:00 по восточноевропейскому времени (Нью-Йорк) для учащихся 2–3 классов

    Присоединяйтесь к ведущему рассказчику Стиву Шерману на увлекательном занятии, предназначенном для детей от детского сада до третьего класса.Если ваш ребенок любит рассказы, игры и смех, не пропустите это сумасшедшее мероприятие! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на loving.momath.org.

    Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем шестая сессия восьминедельного курса (/)
    Вторник, 2 ноября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Дон Не пропустите первый в году мини-курс от заслуженного приглашенного профессора по общественному распространению математики Стивена Строгаца в 2021–2022 годах.Участники будут изучать практические занятия по математическим играм, головоломкам, алгебре, геометрии, исчислению и теории групп. Строгац, профессор прикладной математики из Корнельского университета и отмеченный наградами математик, представит свой уникальный вид математического дискурса, о чем говорится в блоге New York Times и нескольких популярных книгах, в том числе бестселлере New York Times Infinite Powers , для аудитории MoMath этой осенью. Узнайте больше в исследованиях.momath.org.

    Математические встречи : «Золотые вращения» с участием Питера Сарнака ( / )
    Среда, 3 ноября в 16:00 и 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Дон ‘ Не пропустите «Золотые вращения» с участием математика Питера Сарнака из Института перспективных исследований. Math Encounters — это популярная серия бесплатных публичных презентаций MoMath , посвященная захватывающему миру математики, подготовленная при поддержке Simons Foundation.Скоро регистрация. Узнайте больше на mathencounters.org.

    Person Place Thing ()
    Четверг, 4 ноября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Person Place Thing , популярный подкаст и радиошоу, организованный бывшим New York Times обозреватель Рэнди Коэн записывает серию на MoMath с отмеченным наградами автором, математиком и блоггером NY Times Стивеном Строгацем и семикратным номинантом Грэмми ударником, композитором, аранжировщиком, дирижером, продюсером и педагогом Бобби Санабриа .Подкаст, который насчитывает около 500 000+ слушателей, основан на идее, что люди особенно интересны, когда говорят о том, что им небезразлично; в этом случае один человек, одно место и одна вещь, которая важна или значима для них. Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте personplacething.momath.org.

    Сессии для руководителей : (Новинка!) «В поисках Фибоначчи» ()
    Пятница, 5 ноября в 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… Последовательность Фибоначчи — один из самых известных числовых паттернов в математике.Присоединяйтесь к нам, чтобы разгадывать интригующие головоломки, исследовать скрытые узоры и открывать увлекательные секреты, скрытые в этом особом расположении чисел. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 5 ноября в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах . На этой неделе научитесь складывать «Сову» Шоко Аояги — это здорово! Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Скоро регистрация.Узнайте больше на сайте foldfridays.momath.org.

    Tween Primes , книжный клуб MoMath для подростков и подростков: Hannah, Divided by Adele Griffin ()
    Воскресенье, 7 ноября в 17:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Необычайно умная, необычно странная, Ханна Беннетт полна решимости добиться успеха. В однокомнатной школе в Чаддс Форд Ханна — настоящая сенсация. Она отлично разбирается в математике — настолько искусна, что учит других учеников, — но в чтении у нее ничего не получается.Дайте ей отрывок стихов, и она скажет вам, сколько в нем As, сколько Es и сколько рупий — но она не может прочесть ни слова. Ее талант удивителен, но в этом маленьком городке во время Великой депрессии люди думают, что девочки будут использовать математику только для составления семейного бюджета. Внезапно все меняется для Ханны, когда ее приглашают изучать математику в большом городе Филадельфии. Эта неграмотная фермерская девушка предпримет приключение на всю жизнь в надежде выиграть университетскую стипендию.Пока она остается верной себе, нет ничего — кроме чтения, письма или Филадельфии — вне досягаемости Ханны. Скоро регистрация. Узнайте больше на tweenprimes.momath.org.

    Безлимитный , MoMath’s mix-n-mingle программа для учащихся средних и старших классов ()
    Воскресенье, 7 ноября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Учащиеся средних и старших классов, приходите проведите час или больше со своими сверстниками, наслаждаясь интересными математическими упражнениями, интерактивными социальными играми и отличной музыкой под руководством опытного преподавателя MoMath.Скоро регистрация. Узнайте больше на unlimited.momath.org.

    Сеансы для взрослых : «Топологические крестики-нолики» ()
    Вторник, 9 ноября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Знакомая игра в крестики-нолики становится интересной и сложной, если играть на ней альтернативные топологические поверхности. Типичная игровая доска 3×3 улучшена за счет склеивания пар противоположных краев вместе различными способами, создавая умопомрачительные игровые пространства. Участники учатся ценить все тонкости этих новых объектов, разрабатывая стратегии для освоения этих математически сложных игр.Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Любящая математика рассказы, игры и смех в веселый детский час ()
    вторник, 9 ноября в 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк) для классов K-1
    вторник, 9 ноября в 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк) для учащихся 2–3 классов

    Присоединяйтесь к великому рассказчику Стиву Шерману на увлекательном занятии, предназначенном для детей от детского сада до третьего класса. Если ваш ребенок любит рассказы, игры и смех, не пропустите это сумасшедшее мероприятие! Узнай больше и зарегистрируйся на loving.momath.org.

    Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем седьмая сессия восьминедельного курса (/)
    Вторник, 9 ноября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Дон Не пропустите первый в году мини-курс от заслуженного приглашенного профессора по общественному распространению математики Стивена Строгаца в 2021–2022 годах. Участники будут изучать практические занятия по математическим играм, головоломкам, алгебре, геометрии, исчислению и теории групп.Строгац, профессор прикладной математики из Корнельского университета и отмеченный наградами математик, представит свой уникальный вид математического дискурса, о чем говорится в блоге New York Times и нескольких популярных книгах, в том числе бестселлере New York Times Infinite Powers , для аудитории MoMath этой осенью. Узнайте больше на сайте explorations.momath.org.

    MathPlay , программа MoMath для дошкольников — третья сессия шестинедельного курса для 4-летних ( )
    Среда, 10 ноября, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Под руководством опытного преподавателя MoMath, MathPlay предлагает детям возможность играть в хорошо разработанные игры, которые помогают расширить математические навыки, улучшить навыки решения проблем, точную настройку координации движений и улучшить коммуникативные и социальные навыки.Недавние исследования показали, что математические навыки ребенка при поступлении в детский сад могут быть сильным предиктором будущей успеваемости как по математике, так и по чтению в начальных классах. Обучение математике улучшает рабочую память, улучшает внимание и развивает другие базовые когнитивные навыки. Скоро регистрация. Узнайте больше на mathplay.momath.org.

    Мини-лагеря MoMath () (доступны ограниченные занятия)
    Четверг, 11 ноября, 10:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Присоединяйтесь к MoMath для мини-лагерей в понедельник, 11 октября и четверг, 11 ноября.Благодаря интерактивным тематическим урокам и творческим практическим проектам математика оживает для каждого участника! Информация и регистрация скоро появятся на minicamp.momath.org.

    Сессии для руководителей : (Новинка!) «Математика пандемии» ()
    Четверг, 11 ноября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Пандемии по-разному влияют на отдельных людей и группы. Узнайте, как индивидуальный выбор может определять, например, траекторию пандемии COVID-19 среди населения.Получите представление о теории игр, разделе математики, который предоставляет нам инструменты для понимания и анализа этих важных взаимодействий. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Тома , книжный клуб MoMath: Приключения математика С. М. Улам ()
    Четверг, 11 ноября, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Тома возвращается! Присоединяйтесь к выдающемуся приглашенному профессору Стиву Строгацу для обсуждения книги « Приключения математика » С.М. Улам. Эта книга заставляет задуматься о блестящем 30-летнем польском еврейском математике, бонвиване, который бежал из Европы в 1930-х годах и благодаря дружбе с венгерским гением Джонни фон Нейманом нашел себя в Лос-Аламосе на загадочную работу. , Нью-Мексико. Окруженный молодыми, эксцентричными, харизматичными учеными-иммигрантами, Стэн начинает сверхсекретную работу для Манхэттенского проекта, а также вносит впечатляющий вклад в математику и информатику. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на томах.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 12 ноября в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах . На этой неделе сложите красивое украшение «Поднос для листьев» Дэвида Донахью. Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте foldfridays.momath.org.

    Equilibrium , вечер математических игр для взрослых ()
    Пятница, 12 ноября, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Настольные игры веселее, чем когда-либо! Присоединяйтесь к старым и новым друзьям и проведите веселый взрослый вечер с широким спектром математически насыщенных игр.Наслаждайтесь классикой, такой как SET и Connect Four, современными вариантами от Ubongo до Skiwampus и Ricochet Robots, и даже собственным поворотом MoMath в математических фаворитах, таких как Hex и Nim. Приготовьте закуски, войдите в систему из дома и общайтесь с новыми и интересными людьми, наслаждаясь уникальными математическими играми, организованными единственным в стране Музеем математики. Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте equilibrium.momath.org.

    Сессии для слушателей : «Экспонаты исследований: пифагорейские головоломки» ()
    Понедельник, 15 ноября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Теорема Пифагора — один из самых важных результатов в математике.На данный момент известно более 120 геометрических доказательств! Изучите геометрические доказательства в этом практическом семинаре, основанном на головоломке MoMath Time Tables . Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Math Explorations , мини-курс со Стивеном Строгацем заключительное занятие восьминедельного курса (/)
    Вторник, 16 ноября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Дон Не пропустите первый в году мини-курс от заслуженного приглашенного профессора по общественному распространению математики Стивена Строгаца в 2021–2022 годах.Участники будут изучать практические занятия по математическим играм, головоломкам, алгебре, геометрии, исчислению и теории групп. Строгац, профессор прикладной математики из Корнельского университета и отмеченный наградами математик, представит свой уникальный вид математического дискурса, о чем говорится в блоге New York Times и нескольких популярных книгах, в том числе бестселлере New York Times Infinite Powers , для аудитории MoMath этой осенью. Узнайте больше в исследованиях.momath.org.

    Math Gym , Тренировка для вашего мозга ()
    Среда, 17 ноября, 15:30 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Студенты, проведите час самостоятельно, работая над увлекательным и красивым математические проблемы. Выберите те задачи, которые вам нравятся, и исследуйте их под руководством опытного математика. Если вы любите испытывать невероятную радость математических открытий, вы не захотите пропустить эту ежемесячную программу.Скоро регистрация. Узнайте больше на workout.momath.org.

    MathPlay , программа MoMath для дошкольников — четвертая сессия шестинедельного курса для 4-летних ( )
    Среда, 17 ноября, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Под руководством опытного преподавателя MoMath, MathPlay предлагает детям возможность играть в хорошо разработанные игры, которые помогают расширить математические навыки, улучшить навыки решения проблем, точную настройку координации движений и улучшить коммуникативные и социальные навыки.Недавние исследования показали, что математические навыки ребенка при поступлении в детский сад могут быть сильным предиктором будущей успеваемости как по математике, так и по чтению в начальных классах. Обучение математике улучшает рабочую память, улучшает внимание и развивает другие базовые когнитивные навыки. Скоро регистрация. Узнайте больше на mathplay.momath.org.

    Поэзия + математика = осмысленный путь ()
    Среда, 17 ноября, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    MoMath приветствует профессора Ларри Лессера на вечернем исследовании, сочетающем математику и языковые навыки.Имейте под рукой ручку и бумагу, пока мы интерактивно исследуем примеры математической поэзии и пытаемся сочинять собственные стихи и делиться ими. Помимо титулованного профессора кафедры математических наук Техасского университета в Эль-Пасо, профессор Лессер (эй, это рифмуется!) — отмеченный наградами поэт / автор песен, опубликовавший 70 стихотворений, связанных с STEM, и 100 песен на тему STEM. Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте pory.momath.org.

    Спросите математика — все что угодно! (/)
    Четверг, 18 ноября, 16:00 по восточноевропейскому времени (Нью-Йорк)
    Всегда хотел спросить что-нибудь математика, может быть, о какой-нибудь любопытной новой идее, которая у вас есть, или о концепции, которую вы хотели бы чтобы лучше понять? Не знаете, у кого спросить? Вот твой шанс! Эту часовую онлайн-сессию проведет заслуженный приглашенный профессор по общественному распространению математики Стивен Строгац, приглашенный профессор MoMath 2021–2022 гг.Узнайте больше и зарегистрируйтесь на askmath.momath.org.

    Старшие сессии : «Фрактальные увлечения» ()
    Пятница, 19 ноября, 14:00 по восточноевропейскому времени (Нью-Йорк)

    Фракталы — это красивые и загадочные объекты со свойствами, которые нарушают обычные правила геометрии, часто состоящие из повторяющихся , миниатюрные версии самих себя. Узнайте о самых известных фракталах и о том, что делает их такими необычными. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 19 ноября в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах .На этой неделе летают индейки? Этот «Самолет-индейка» от Tri Dang умеет! Изучите эту веселую модель к Дню Благодарения. Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте foldfridays.momath.org.

    Семейные пятницы : «Попурри из головоломок» с Сиан Зельбо (/)
    Пятница, 19 ноября в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к нам на вечер веселья и исследований, пока мы решаем проблемы разнообразные математические головоломки для начинающих под опытным руководством доктораСиан Зельбо, преподаватель математики. Доктор Зельбо провел последние 15 лет, решая головоломки и исследуя развлекательную математику. Вы предпочитаете арифметические головоломки, логические или визуальные головоломки? Не уверен? Без проблем! Мы рассмотрим множество простых (и не очень) математических головоломок. Прорабатывая каждую из них, мы будем изучать полезные стратегии решения головоломок и узнаем, что именно делает хорошую головоломку. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на сайте familyfridays.momath.org.

    Крейзи Кахут со Стивом Шерманом ()
    Суббота, 20 ноября, 15:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Присоединяйтесь к любимому мастеру математической викторины MoMath Стиву Шерману в веселой семейной игре, наполненной множеством интересных вопросов. для всех возрастов.Готова ли ваша семья принять этот живой вызов ?! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на krazy.momath.org.

    Сессии для взрослых : «Dynamic Dice» ()
    Понедельник, 22 ноября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Какова вероятность выпадения заданной суммы с помощью пары стандартных игральных костей? Узнайте, как ответить на этот вопрос, а затем поставьте перед собой задачу найти другой способ подсчитать кубики, чтобы получить те же самые вероятности. Бросьте кости! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на старших сессиях.momath.org.

    История математики : Заставляя машины летать и другие истории из древности ()
    Понедельник, 22 ноября, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Отправьтесь в путешествие по истории математики во времени и культурах. Присоединитесь к автору и гиду Бернату Эспигуле в тысячелетнем путешествии от задачи Сократа о геометрии до давно забытого математического открытия Александра Грэма Белла. Узнайте об одной из самых известных проблем древности — удвоении куба.И поймите, почему математики 19-го века часто применяли закон квадрата-куба, чтобы удержать смелых изобретателей и мечтателей от стремления достичь контролируемых полетов с электроприводом. Скоро регистрация. Узнайте больше на mathhistory.momath.org.

    QED: подводные камни для родителей ()
    Вторник, 23 ноября, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробная информация и регистрация в ближайшее время. Узнайте больше на qed.momath.org.

    MathPlay , программа MoMath для дошкольников — пятая сессия шестинедельного курса для 4-летних ( )
    Среда, 24 ноября, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Под руководством опытного преподавателя MoMath, MathPlay предлагает детям возможность играть в хорошо разработанные игры, которые помогают расширить математические навыки, улучшить навыки решения проблем, точную настройку координации движений и улучшить коммуникативные и социальные навыки.Недавние исследования показали, что математические навыки ребенка при поступлении в детский сад могут быть сильным предиктором будущей успеваемости как по математике, так и по чтению в начальных классах. Обучение математике улучшает рабочую память, улучшает внимание и развивает другие базовые когнитивные навыки. Скоро регистрация. Узнайте больше на mathplay.momath.org.

    Сессии для взрослых : «Криптарифметика» ()
    Пятница, 26 ноября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Арифметика — это весело, но арифметика с буквами еще лучше! Используя процесс исключения и умную логику, мы исследуем фундаментальные свойства арифметики с основанием 10 уникальным и интересным способом.Присоединяйтесь к нам для CRYPT4R1THM3T1C! Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Математика в главных ролях со Стивеном Строгацем ()
    Понедельник, 29 ноября, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробности и регистрация скоро. Узнайте больше на starring.momath.org.

    Сессии для руководителей : «Экспонаты: Math Square » ()
    Вторник, 30 ноября, 14:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Интерактивный этаж Math Square является центральным элементом нижнего уровня музея. , и среди его различных программ есть диаграмма Вороного, которая создает красочные многоугольники под ногами посетителей.Узнайте интересные подробности об экспонате музея, а также о том, как сделать свою собственную диаграмму Вороного. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на Seniorsessions.momath.org.

    Math Encounters с участием Дэна Рокмора (/)
    Среда, 1 декабря в 16:00 и 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    MoMath приветствует математика Дартмутского колледжа Дэна Рокмора на Math Encounters , Популярная серия бесплатных публичных презентаций от MoMath, посвященная удивительному миру математики, подготовленная при поддержке Фонда Саймонса.Подробности и регистрация в ближайшее время. Узнайте больше на mathencounters.org.

    Анимированная математика: математика визуальных эффектов: Искусство цифровой скульптуры ()
    Четверг, 2 декабря, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к супервайзеру по визуальным эффектам Бо Янцену, удостоенному премии «Эмми». исследование закулисной компьютерной графики и математики, используемых для создания потрясающих визуальных искусств в фильмах и играх. Каждая сессия в этом увлекательном сериале из трех частей будет освещать различные аспекты искусства цифрового творчества и будет включать в себя работы Янзена в художественных фильмах и на телевидении.Сеансы подходят для учащихся средней школы и старше; участники должны иметь базовые знания геометрии и простой алгебры. Присоединяйтесь к одному сеансу или зарегистрируйтесь на всех трех, но не пропустите это увлекательное путешествие во многие математические аспекты цифрового творчества. Узнайте, как цифровые скульпторы или «моделисты» могут создавать объекты любого типа с помощью цифровой математической глины. Скоро регистрация. Узнайте больше на animated.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 3 декабря в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах .На этой неделе присоединяйтесь к нам, чтобы складывать елочки. Вы захотите построить целый лес, изучив «Дерево» Марка Болито. Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте foldfridays.momath.org.

    MathPlay , программа MoMath для дошкольников — заключительное занятие шестинедельного курса для 4-летних ( )
    Среда, 8 декабря, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Под руководством опытного преподавателя MoMath, MathPlay предлагает детям возможность играть в хорошо разработанные игры, которые помогают расширить математические навыки, улучшить навыки решения проблем, точную настройку координации движений и улучшить коммуникативные и социальные навыки.Недавние исследования показали, что математические навыки ребенка при поступлении в детский сад могут быть сильным предиктором будущей успеваемости как по математике, так и по чтению в начальных классах. Обучение математике улучшает рабочую память, улучшает внимание и развивает другие базовые когнитивные навыки. Скоро регистрация. Узнайте больше на mathplay.momath.org.

    Познакомьтесь с математиком ()
    Четверг, 9 декабря, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Вы когда-нибудь задумывались, чем математик занимается весь день? Или что заставило кого-то решить стать математиком? Или даже то, что математик делает для развлечения? Некоторые ответы могут вас удивить! Присоединяйтесь к Стивену Строгацу, заслуженному приглашенному профессору MoMath по общественному распространению математики в 2021–2022 годах, поскольку он приглашает разнообразных и талантливых гостей на сцену MoMath, чтобы поделиться своим опытом, своими историями и своей любовью к математике.Скоро регистрация. Узнайте больше на meetmath.momath.org.

    Анимированная математика: математика визуальных эффектов: Искусство цифрового света и цвета ()
    Четверг, 9 декабря, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к отмеченному премией Эмми супервайзеру по визуальным эффектам Бо Янцену за исследование закулисной компьютерной графики и математики, используемой для создания потрясающих визуальных искусств в фильмах и играх. Каждая сессия в этом увлекательном сериале из трех частей будет освещать различные аспекты искусства цифрового творчества и будет включать в себя работы Янзена в художественных фильмах и на телевидении.Сеансы подходят для учащихся средней школы и старше; участники должны иметь базовые знания геометрии и простой алгебры. Присоединяйтесь к одному сеансу или зарегистрируйтесь на всех трех, но не пропустите это увлекательное путешествие во многие математические аспекты цифрового творчества. Как художники управляют виртуальным светом и цветом, чтобы создавать объекты и миры, неотличимые от реальности? Скоро регистрация. Узнайте больше на animated.momath.org.

    Складные пятницы ()
    Пятница, 10 декабря в 16:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к эксперту по оригами Кэтлин Шеридан в Складных пятницах .Чтобы отпраздновать праздники и папки суперзвезд в этом сезоне, сложите «Estrella Ana Maria» от Lidiane Siquera. Откройте для себя чудеса складывания бумаги — математика найдется во всех смыслах! Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте foldfridays.momath.org.

    Equilibrium , вечер математических игр для взрослых ()
    Пятница, 10 декабря, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Настольные игры веселее, чем когда-либо! Присоединяйтесь к старым и новым друзьям и проведите веселый взрослый вечер с широким спектром математически насыщенных игр.Наслаждайтесь классикой, такой как SET и Connect Four, современными вариантами от Ubongo до Skiwampus и Ricochet Robots, и даже собственным поворотом MoMath в математических фаворитах, таких как Hex и Nim. Приготовьте закуски, войдите в систему из дома и общайтесь с новыми и интересными людьми, наслаждаясь уникальными математическими играми, организованными единственным в стране Музеем математики. Скоро регистрация. Узнайте больше на сайте equilibrium.momath.org.

    Krazy Kahoot со Стивом Шерманом ()
    Суббота, 11 декабря, 15:00 по восточноевропейскому времени (Нью-Йорк)

    Присоединяйтесь к любимому мастеру математической викторины MoMath Стиву Шерману в веселой семейной игре, наполненной множеством интересных вопросов. для всех возрастов.Готова ли ваша семья принять этот живой вызов ?! Скоро регистрация. Узнайте больше на krazy.momath.org.

    Tween Primes , книжный клуб MoMath для подростков и подростков: Starman Jones Роберта А. Хайнлайна ()
    Воскресенье, 12 декабря в 17:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Звезды были закрыты Максу Джонсу. Чтобы попасть в космос, вам нужны были либо связи, членство в тайной гильдии, либо намного больше денег, чем у Макса, сына овдовевшей бедной матери, когда-либо могло быть.Что у Макса действительно есть для него, так это ценные учебники его дяди по астрогации — книги по звездной навигации, которые Макс буквально запоминает слово в слово, уравнение за уравнением. Когда мать Макса решает снова выйти замуж за хулигана, Макс отправляется в путь и обнаруживает, что руководства своего дяди Чета и почти полное их запоминание Максом — это билет к звездам. Но служить на космическом корабле — задача не из легких. Долг — это все, а ошибка может означать, что вы и все на борту потеряны навсегда.Макс любит каждую минуту своей новой жизни, и он неуклонно растет в доверие своих старших офицеров, и, кажется, идет курс на командирскую позицию. Но затем случается катастрофа, и ему понадобятся все уловки, которые Макс когда-либо усвоил из своей тяжелой жизни и руководств своего дяди, чтобы спасти себя и корабль от гибели, которая не вымирает. Скоро регистрация. Узнайте больше на tweenprimes.momath.org.

    Без ограничений , Программа MoMath mix-n-mingle для учащихся средних и старших классов ()
    Воскресенье, 12 декабря в 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Учащиеся средних и старших классов, приходите проведите час или больше со своими сверстниками, наслаждаясь интересными математическими упражнениями, интерактивными социальными играми и отличной музыкой, и все это под руководством опытного преподавателя MoMath.Скоро регистрация. Узнайте больше на unlimited.momath.org.

    QED: подводные камни для родителей ()
    Понедельник, 13 декабря, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробная информация и регистрация в ближайшее время. Узнайте больше на qed.momath.org.

    Math Gym , Тренировка для вашего мозга ()
    Среда, 15 декабря, 15:30 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Студенты, потратьте час самостоятельно, работая над увлекательным и красивым математические проблемы.Выберите те задачи, которые вам нравятся, и исследуйте их под руководством опытного математика. Если вы любите испытывать невероятную радость математических открытий, вы не захотите пропустить эту ежемесячную программу. Скоро регистрация. Узнайте больше на workout.momath.org.

    Анимированная математика: математика визуальных эффектов: Искусство цифрового движения ()
    Четверг, 16 декабря, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Присоединяйтесь к отмеченному премией Эмми супервайзеру по визуальным эффектам Бо Янцену для исследование закулисной компьютерной графики и математики, используемых для создания потрясающих визуальных искусств в фильмах и играх.Каждая сессия в этом увлекательном сериале из трех частей будет освещать различные аспекты искусства цифрового творчества и будет включать в себя работы Янзена в художественных фильмах и на телевидении. Сеансы подходят для учащихся средней школы и старше; участники должны иметь базовые знания геометрии и простой алгебры. Присоединяйтесь к одному сеансу или зарегистрируйтесь на всех трех, но не пропустите это увлекательное путешествие во многие математические аспекты цифрового творчества. Узнайте, как цифровые аниматоры могут создавать движение — от изящных танцев до сложных движущихся механизмов — используя принципы графиков и геометрии.Скоро регистрация. Узнайте больше на animated.momath.org.

    Семейные пятницы : «Размышления: новый взгляд на флексагоны» с Яной Моханти (/)
    Пятница, 17 декабря, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    На этом практическом семинаре мы посетит (повторно) предмет флексагонов. Если вы уже являетесь поклонником флексагонов или плохо знакомы с ними, присоединяйтесь к нам для изучения их механических и топологических свойств. Когда мы будем строить флексагоны вместе, вы увидите, что удовольствие от флексагонов выходит далеко за рамки возни! Благодаря щедрой поддержке Two Sigma, эта программа бесплатно участникам.Скоро регистрация. Узнайте больше на familyfridays.momath.org.

    Математика в главных ролях со Стивеном Строгацем ()
    Понедельник, 20 декабря, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробности и регистрация скоро. Узнайте больше на starring.momath.org.

    Calculus Gems первая сессия восьминедельного мини-курса (/)
    Вторник, 11 января, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Подробности и регистрация скоро.Узнайте больше на gems.momath.org.

    QED: Подводные камни для родителей ()
    Среда, 12 января, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробная информация и регистрация в ближайшее время. Узнайте больше на qed.momath.org.

    MOVES: «Очарование головоломок» ()
    Пятница, 14 января — воскресенье, 16 января 2022 г.

    Пятая двухгодичная конференция MOVES (Математика различных развлекательных предметов), организованная MoMath и спонсируемая Two Sigma, представит потрясающий состав основных докладчиков, в том числе Скотт Ким, Таня Хованова, Оскар ван Девентер и Питер Винклер.Конференция состоится 15 и 16 января лично, а вечером 14 января состоится прием в MoMath. Посетите move.momath.org, чтобы узнать больше о MOVES, зарегистрируйтесь на конференцию или отправьте доклад или мероприятие. .

    Calculus Gems Вторая сессия восьминедельного мини-курса (/)
    Вторник, 18 января, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Подробности и регистрация скоро.Узнайте больше на gems.momath.org.

    Математика в главных ролях со Стивеном Строгацем ()
    Понедельник, 24 января, 19:00 по восточному времени (Нью-Йорк)

    Подробности и регистрация скоро. Узнайте больше на starring.momath.org.

    Calculus Gems третья сессия восьминедельного мини-курса (/)
    Вторник, 25 января, 18:30 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Подробности и регистрация скоро.Узнайте больше на gems.momath.org.

    Познакомьтесь с математиком ()
    Четверг, 27 января, 16:00 по восточному времени (Нью-Йорк)
    Вы когда-нибудь задумывались, чем математик занимается весь день? Или что заставило кого-то решить стать математиком? Или даже то, что математик делает для развлечения? Некоторые ответы могут вас удивить! Присоединяйтесь к Стивену Строгацу, заслуженному приглашенному профессору MoMath по общественному распространению математики в 2021–2022 годах, поскольку он приглашает разнообразных и талантливых гостей на сцену MoMath, чтобы поделиться своим опытом, своими историями и своей любовью к математике.Скоро регистрация. Узнайте больше на meetmath.momath.org.

    Конференция MATRIX x IMAGINARY в Париже ()
    Понедельник, 4 апреля — среда, 6 апреля 2022 г.
    MoMath рада сообщить, что объединяет усилия с Институтом Анри Пуанкаре и командой IMAGINARY, чтобы представить вам MATRIX x IMAGINARY 2021. Отметьте свои календари на три дня обмена, общения и обучения, когда мы собираемся на четвертую двухгодичную конференцию MATRIX в Париже. Скоро регистрация.Узнайте больше на matrix.momath.org.


    Математика в доме — список рассылки; подпишитесь, чтобы получать уведомления о БЕСПЛАТНЫХ программах
    MoMath рада предложить Math on the House , список рассылки для ценных посетителей музея, чтобы получить бесплатных билетов в последнюю минуту на избранные мероприятия, когда будет свободное место. Чтобы подписаться, посетите mathonthehouse.momath.org.

    Perspectives : Волонтерская программа летнего колледжа MoMath
    Каждое лето MoMath предлагает Perspectives , волонтерскую программу для студентов бакалавриата.Студенты, завершившие Perspectives , узнают, что нужно для ведения успешного бизнеса, и познакомятся с множеством интересных программ, лекций и ознакомятся с людьми. Ожидаемые обязательства — пять дней в неделю в течение восьми-двенадцати недель, обычно включая задания на этаже музея, в магазине розничной торговли и в административном офисе MoMath. Перспективы — это неоплачиваемая волонтерская программа. MoMath в настоящее время принимает заявки на лето 2022 года и будет принимать кандидатов на постоянной основе.Узнайте больше и подайте заявку на перспективах.momath.org.

    Интеграторы : Программа волонтеров средней школы MoMath ()
    MoMath принимает ограниченное количество учеников старших классов на постоянные волонтерские роли во время летних каникул и / или учебного года. Программа Integrators предлагает возможность улучшить межличностные и коммуникативные навыки, изучить математические концепции и получить ценные навыки. Интеграторы MoMath взаимодействуют с посетителями (в музейном зале или онлайн) и проходят обучение с профессиональными преподавателями, переводчиками и менеджерами.Студенты, которые участвуют во время летних каникул, проводят пять дней в неделю. В течение учебного года это примерно один день в неделю, обычно в субботу или воскресенье, с сентября по июнь. Подайте заявку на 2021-2022 учебный год. Заявки будут приниматься на постоянной основе. Узнайте больше и подайте заявку на сайте volunteers.momath.org.

    Summations : Программа домашнего обучения MoMath
    Учащиеся домашнего обучения могут испытать волнение во время производственной поездки MoMath! С помощью программы Summations школьники на дому могут провести день, изучая математику, лежащую в основе интерактивных экспонатов MoMath, или участвуя в исследовательских практических занятиях в классе вместе с другими семьями, обучающимися на дому.Узнайте больше на summations.momath.org.

    Мероприятия, дни рождения и многое другое
    Хотите провести уникальное мероприятие, на котором ваши гости смогут пообщаться с более чем 40 увлекательными экспонатами? Погрузитесь в мир математических интриг, но не волнуйтесь — среди всей активности есть много места для торжественных ужинов, грандиозных вечеринок по случаю дня рождения, вечеринок с лазерной резкой и бар-мицвы / бат-мицвы. Кто знал, что математика может быть таким увлекательным занятием? Для получения дополнительной информации отправьте электронное письмо на адрес [email protected]

    Посещение школ и групп
    MoMath предлагает более десятка отличных программ, от раскраски графиков до лент Мебиуса, для школьных групп, посещающих музей. Пригласите своих учеников в MoMath — виртуально или лично — чтобы заглянуть в захватывающий мир математики и узнать, почему студенты и учителя всех возрастов любят музей. Узнайте больше и зарегистрируйтесь на fieldtrips.momath.org.

    Бесплатные поездки в школы Title I
    Благодаря взносам отдельных лиц и организаций, включая Adams & Company, Con Edison, Семейный фонд Скриппсов по образованию и искусству, Two Sigma, членов городского совета Нью-Йорка Марка Левина (7-й округ) и Карлина Ривера (2-й округ), плюс несколько щедрых друзей по математике, теперь доступна поддержка школ Title I.Эта программа частично поддерживается за счет государственных средств Департамента культуры Нью-Йорка в партнерстве с городским советом. Чтобы подать заявку на бесплатную поездку (онлайн или лично) в течение 2021-2022 учебного года, посетите titleone.momath.org. Заинтересованы в спонсировании экскурсии? Электронная почта [email protected]


    Beautiful Math
    Посмотрите, что математики считают прекрасным в математике на beautiful.momath.org.

    Поддерживайте MoMath при совершении покупок на Amazon!
    MoMath приглашает вас делать покупки на AmazonSmile и выбирать «Национальный музей математики» в качестве благотворительной организации.Amazon пожертвует MoMath 0,5% от вашей общей стоимости покупки! Щелкните здесь, чтобы поддержать единственный в стране Музей математики при совершении покупок!

    Распространите слово MoMath
    Нравится MoMath? Пусть знает мир! Поделитесь своими комментариями на:

    Присоединяйтесь к сообществу MoMath
    Станьте участником сегодня и воспользуйтесь захватывающими и увлекательными математическими программами для всех возрастов. Посетите momath.org/join, чтобы стать участником и получить неограниченный доступ к инновационным экспонатам MoMath, а также скидки на некоторые программы в Additions , магазине MoMath.Члены получают бесплатную регистрацию для выбора онлайн-программ, бесплатный доступ к записям программ MoMath и эксклюзивные приглашения на онлайн-мероприятия только для членов. Станьте премиум-участником и получайте ранние уведомления, специальные приглашения на эксклюзивные мероприятия MoMath, скидки на дни рождения и многое другое. Присоединяйтесь сейчас и воспользуйтесь низкими ставками MoMath. Чтобы узнать больше о долгосрочном членстве, позвоните по телефону 212-542-0566.

    Ты нам нужен!
    Заинтересованы в волонтерстве на музейном этаже? Если вы любите математику, хотите помочь другим получить удовольствие от интерактивного набора экспонатов MoMath и готовы работать в две четырехчасовые смены каждый месяц, отправьте электронное письмо по адресу jobs @ momath.org с темой «Интегратор MoMath». Пожалуйста, приложите сопроводительное письмо, ваше текущее резюме и недавно написанное эссе, в котором примерно от 150 до 500 слов описывается опыт, который сформировал вашу любовь к математике.

    Надеемся увидеть вас на MoMath!

    Комбинаторные доказательства

    Мы приведем два разных доказательства этого факта. Первый будет очень похож на предыдущий (подсчет подмножеств). Второе доказательство — немного хитрое, с использованием решетчатых путей.

    Проба

    Рассмотрим вопрос: «Сколько пицц можно приготовить с \ (n \) начинками, когда есть \ (2n \) начинок на выбор?»

    Ответ 1: Есть \ (2n \) начинки, из которых вы должны выбрать \ (n \ text {.} \). Это можно сделать \ ({2n \ choose n} \) способами.

    Ответ 2: Разделите начинку на две группы по \ (n \) начинкам (возможно, \ (n \) мяса и \ (n \) овощей). Любой выбор начинки \ (n \) должен включать некоторое число из первой группы и некоторое число из второй группы.Рассмотрим каждое возможное количество мясных начинок отдельно:

    0 видов мяса: \ ({n \ choose 0} {n \ choose n} \ text {,} \), так как вам нужно выбрать 0 из \ (n \) мяса и \ (n \) из \ (n \) овощи.

    1 мясо: \ ({n \ choose 1} {n \ choose n-1} \ text {,} \), так как вам нужно 1 из \ (n \) мяса, поэтому \ (n-1 \) из \ (n \) овощи.

    2 вида мяса: \ ({n \ choose 2} {n \ choose n-2} \ text {.} \) Выберите 2 вида мяса и оставшиеся \ (n-2 \) начинки из \ (n \) овощей.

    И так далее. Последний случай — это \ (n \) мясо, которое можно приготовить \ ({n \ выбрать n} {n \ выбрать 0} \) способами.2 = {2n \ выбрать n}. \ end {уравнение *}

    В качестве альтернативного доказательства мы используем решетчатые пути. Это разумно учитывать, потому что правая часть тождества напоминает нам количество путей от \ ((0,0) \) до \ ((n, n) \ text {.} \)

    Доказательство

    Рассмотрим вопрос: сколько путей в решетке от \ ((0,0) \) до \ ((n, n) \ text {?} \)

    Ответ 1: Мы должны пройти \ (2n \) шагов, и \ (n \) из них должны быть направлены вверх. Таким образом, существует \ ({2n \ choose n} \) путей.

    Ответ 2: Обратите внимание, что любой путь от \ ((0,0) \) до \ ((n, n) \) должен пересекать линию \ (x + y = n \ text {.} \) То есть любой путь должен проходить ровно через одну из точек: \ ((0, n) \ text {,} \) \ ((1, n-1) \ text {,} \) \ ((2, n-2) \ text {,} \)…, \ ((n, 0) \ text {.} \) Например, вот что происходит в случае \ (n = 4 \ text {:} \)

    Сколько путей проходит через \ ((0, n) \ text {?} \) Чтобы добраться до этой точки, вы должны пройти \ (n \) единиц, и \ (0 \) из них находятся справа, поэтому есть \ ({n \ choose 0} \) способы добраться до \ ((0, n) \ text {.} \) Из \ ((0, n) \) в \ ((n, n) \) требуется \ (n \) шагов, и \ (0 \) из них — вверх. Итак, есть \ ({n \ choose 0} \) способы добраться от \ ((0, n) \) до \ ((n, n) \ text {.} \). Следовательно, есть \ ({n \ choose 0} {n \ choose 0} \) пути от \ ((0,0) \) до \ ((n, n) \) через точку \ ((0, n) \ text {.} \)

    Как насчет \ ((1, n-1) \ text {.} \) Есть \ ({n \ choose 1} \) пути, чтобы добраться туда (\ (n \) шагов, 1 вправо) и \ ({n \ choose 1} \) пути, чтобы завершить путешествие к \ ((n, n) \) (\ (n \) шагам, \ (1 \) вверх). Итак, есть \ ({n \ choose 1} {n \ choose 1} \) пути от \ ((0,0) \) до \ ((n, n) \) через \ ((1, n-1) \текст{.2 = {2n \ выбрать n}. \ end {уравнение *}

    Нахождение числа перестановок n различных объектов

    Принцип умножения можно использовать для решения различных типов задач. Один тип проблем связан с размещением объектов по порядку. Мы расставляем буквы в слова и цифры в числа, выстраиваем в очередь фотографии, украшаем комнаты и многое другое. Упорядочивание объектов называется перестановкой .

    Нахождение числа перестановок

    n различных объектов с использованием принципа умножения

    Для решения задач перестановки часто бывает полезно нарисовать отрезки линии для каждого варианта.Это позволяет нам определить количество каждого варианта, чтобы мы могли умножить его. Например, предположим, что у нас есть четыре картины, и мы хотим найти количество способов, которыми мы можем повесить три картины по порядку на стене. Мы можем нарисовать три линии, чтобы обозначить три места на стене.

    Есть четыре варианта для первого места, поэтому мы пишем 4 в первой строке.

    После того, как первое место было заполнено, есть три варианта для второго места, поэтому мы пишем 3 во второй строке.

    После того, как второе место было заполнено, есть два варианта для третьего места, поэтому мы пишем 2 в третьей строке. Наконец-то находим товар.

    Есть 24 возможных перестановки картин.

    Как сделать: учитывая различные варианты [latex] n [/ latex], определите, сколько существует перестановок.

    1. Определите, сколько вариантов существует для первой ситуации.
    2. Определите, сколько вариантов осталось для второй ситуации.
    3. Продолжайте, пока все точки не будут заполнены.
    4. Умножьте числа.

    Пример 2: Нахождение числа перестановок с использованием принципа умножения

    На соревнованиях по плаванию участвуют девять пловцов.

    1. Сколько способов они могут занять первое, второе и третье места?
    2. Сколько способов они могут занять первое, второе и третье место, если пловец по имени Ариэль занял первое место? (Предположим, есть только один участник по имени Ариэль.)
    3. Какими способами все девять пловцов могут выстроиться в очередь, чтобы сфотографироваться?

    Анализ решения

    Обратите внимание, что в части c мы обнаружили 9! способы выстроиться в очередь для 9 человек.Количество перестановок различных объектов [latex] n [/ latex] всегда можно найти с помощью [latex] n! [/ Latex].

    Семья из пяти человек фотографируется. Используйте принцип умножения, чтобы найти следующее.

    Попробовать 3

    Какими способами семья может выстроиться для портрета?

    Решение

    Попробовать 4

    Сколько способов фотограф может выстроить в ряд из 3 членов семьи?

    Решение

    Попробуй 5

    Сколько способов семья может выстроиться для портрета, если родители должны стоять по обе стороны?

    Решение

    Нахождение числа перестановок

    n отдельных объектов с помощью формулы

    Для некоторых задач перестановки неудобно использовать принцип умножения, потому что нужно умножить очень много чисел.К счастью, мы можем решить эти проблемы с помощью формулы. Прежде чем изучать формулу, давайте рассмотрим два распространенных обозначения перестановок. Если у нас есть набор объектов [latex] n [/ latex] и мы хотим выбрать объекты [latex] r [/ latex] из набора по порядку, мы пишем [latex] P \ left (n, r \ right) [/латекс]. Другой способ записать это — [латекс] {n} _ {} {P} _ {r} [/ latex], обозначение, обычно встречающееся на компьютерах и калькуляторах. Чтобы вычислить [латекс] P \ left (n, r \ right) [/ latex], мы начинаем с нахождения [latex] n! [/ Latex], количества способов выстроить все [латекс] n [/ latex] объекты.Затем мы делим на [latex] \ left (n-r \ right)! [/ Latex], чтобы исключить элементы [latex] \ left (n-r \ right) [/ latex], которые мы не хотим выстраивать в линию.

    Давайте посмотрим, как это работает, на простом примере. Представьте себе клуб из шести человек. Им нужно избрать президента, вице-президента и казначея. Шесть человек могут быть избраны президентом, любой из пяти оставшихся человек может быть избран вице-президентом, а любой из оставшихся четырех человек может быть избран казначеем. Это можно сделать разными способами: [латекс] 6 \ умножить на 5 \ умножить на 4 = 120 [/ латекс].Используя факториалы, мы получаем тот же результат.

    [латекс] \ frac {6!} {3!} = \ Frac {6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3!} {3!} = 6 \ cdot 5 \ cdot 4 = 120 [/ латекс]

    Есть 120 способов выбрать 3 офицера по порядку из клуба с 6 членами. Мы называем это перестановкой 6, взятых по 3 за раз. Общая формула следующая.

    [латекс] P \ left (n, r \ right) = \ frac {n!} {\ Left (n-r \ right)!} [/ Latex]

    Обратите внимание, что формула по-прежнему работает, если мы выбираем все объекты [latex] n [/ latex] и размещаем их по порядку.В этом случае мы будем делить на [latex] \ left (nn \ right)! [/ Latex] или [latex] 0! [/ Latex], что, как мы сказали ранее, равно 1. Таким образом, количество перестановок [ latex] n [/ latex] объектов, взятых [latex] n [/ latex] за раз — это [latex] \ frac {n!} {1} [/ latex] или просто [latex] n! \ text {.} [ / латекс]

    Общее примечание: формула для перестановок

    n различных объектов

    Для различных объектов [latex] n [/ latex] количество способов выбрать объекты [latex] r [/ latex] из набора по порядку составляет

    [латекс] P \ left (n, r \ right) = \ frac {n!} {\ Left (n-r \ right)!} [/ Latex]

    Практическое руководство. Учитывая проблему со словом, оцените возможные перестановки.

    1. Определите [латекс] n [/ латекс] по данной информации.
    2. Определите [латекс] r [/ латекс] по данной информации.
    3. Заменить [латекс] n [/ латекс] и [латекс] r [/ латекс] в формуле заданными значениями.
    4. Оценить.

    Пример 3: Нахождение числа перестановок по формуле

    Профессор создает экзамен из 9 вопросов из банка тестов из 12 вопросов. Сколько способов она может выбрать и расставить вопросы?

    Решение

    Заменить [латекс] n = 12 [/ latex] и [latex] r = 9 [/ latex] в формулу перестановки и упростить.

    [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} P \ left (n, r \ right) = \ frac {n!} {\ Left (nr \ right)!} \ Hfill \\ P \ left (12,9 \ right) = \ frac {12!} {\ Left (12–9 \ right)!} = \ Frac {12!} {3!} = 79 \ text {,} 833 \ text {,} 600 \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Есть 79 833 600 возможных перестановок экзаменационных вопросов!

    Анализ решения

    Мы также можем использовать калькулятор, чтобы найти перестановки. Для этой проблемы мы должны ввести 15, нажать функцию [latex] {} _ {n} {P} _ {r} [/ latex], ввести 12, а затем нажать знак равенства.Функция [latex] {} _ {n} {P} _ {r} [/ latex] может находиться в меню MATH с командами вероятности.

    Вопросы и ответы

    Можно ли было решить, используя принцип умножения?

    Да. Чтобы найти тот же ответ .

    В спектакле 7 актеров готовятся к выходу на занавес. Используйте формулу перестановки, чтобы найти следующее.

    Попробуй 6

    Какими способами могут выстроиться 7 актеров?

    Решение

    Попробуй 7

    Какими способами можно выбрать пятерых из семи актеров для построения линии?

    Решение

    аспирантур | Департамент математики Cornell Arts & Sciences

    MATH 5080 — Специальное исследование для учителей

    Осень 2021 г., Весна 2022 г. 1 кредит. Оценка студенческого варианта.

    В первую очередь для: учителей средней математики и других лиц, интересующихся вопросами, связанными с преподаванием и изучением средней математики (e.д., учителей математики, аспирантов математики и математиков). Не открыто для студентов бакалавриата. Встречается вместе с MATH 4980.

    Исследует принципы, лежащие в основе содержания учебной программы по математике в средней школе, включая связи с историей математики, технологиями и исследованиями в области математического образования. Один кредит присуждается за посещение двух субботних семинаров (см. Math.cornell.edu/math-5080) и написание статьи.

    MATH 5250 — Численный анализ и дифференциальные уравнения

    Осень 2021 г.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предварительные требования: MATH 2210 или 2940 или эквивалент, один дополнительный курс математики с номером 3000 или выше и знание программирования. Ожидается, что студенты будут довольны доказательствами. Зачисление ограничено: аспирантами. Встречается вместе с MATH 4250.

    Введение в основы численного анализа: анализ ошибок, аппроксимация, интерполяция, численное интегрирование. Во второй половине курса вышеизложенное используется для построения приближенных решателей для обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных.Особое внимание уделяется пониманию преимуществ, недостатков и ограничений применимости всех описанных методов. Компьютерное программирование требуется для проверки теоретических концепций на протяжении всего курса.

    MATH 5410 — Введение в комбинаторику I

    Осень 2021 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предварительные требования: MATH 2210, MATH 2230, MATH 2310 или MATH 2940. Ожидается, что учащиеся будут довольны доказательствами. Зачисление ограничено: аспирантами.Встречается вместе с MATH 4410.

    Комбинаторика — это изучение дискретных структур, возникающих в различных областях, особенно в других областях математики, информатики и многих других областях. В центре внимания часто бывает подсчет объектов, обладающих определенным свойством (например, деревья), или доказательство существования определенных структур (например, сопоставления всех вершин в графе). Первый семестр этой последовательности охватывает основные вопросы теории графов, включая теорию экстремальных графов (насколько большим должен быть граф, чтобы он гарантированно имел определенный подграф) и теорию Рамсея (которая показывает, что большие объекты вынуждены иметь структуру).Обсуждаются варианты теории согласования, включая теоремы Дилворта, Холла, Кенига и Биркгофа, а также введение в теорию сетевого потока. Методы перечисления (включение / исключение, обращение Мёбиуса и производящие функции) вводятся и применяются к задачам подсчета перестановок, разбиений и триангуляций.

    MATH 5420 — Введение в комбинаторику II

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предварительное условие: MATH 2210, MATH 2230, MATH 2310 или MATH 2940.Ожидается, что студенты будут довольны доказательствами. Зачисление ограничено: аспирантами. Встречается вместе с MATH 4420.

    Продолжение MATH 5410, хотя формально не зависит от рассматриваемого там материала. Акцент здесь делается на изучении определенных комбинаторных структур, таких как латинские квадраты и комбинаторные планы (которые используются в статистическом эксперименте), классических конечных геометрий и комбинаторных геометрий (также известных как матроиды, которые возникают во многих областях из алгебры и геометрии). через теорию дискретной оптимизации).Есть введение в частично упорядоченные множества и решетки, включая общую инверсию Мёбиуса и ее приложения, а также теорию Пойи счета в присутствии симметрий.

    MATH 6110 — Реальный анализ

    Осень 2021 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Запрещено перекрытие: из-за перекрытия содержания учащиеся не будут получать баллы за MATH 6110 и MATH 6210.

    Необходимое условие: Хорошие результаты на курсе бакалавриата по анализу на уровне MATH 4140 или разрешение преподавателя.

    MATH 6110-6120 — это основные курсы анализа в магистерской программе математики. MATH 6110 охватывает измерение, интеграцию и функциональный анализ.

    MATH 6120 — Комплексный анализ

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: Хорошие результаты на курсе бакалавриата по анализу на уровне MATH 4140 или разрешение преподавателя.

    MATH 6110-6120 — это основные курсы анализа в магистерской программе математики.MATH 6120 охватывает комплексный анализ, анализ Фурье и теорию распределения.

    MATH 6150 — Уравнения в частных производных

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 4130, MATH 4140 или аналогичный, либо разрешение преподавателя. Предлагаются альтернативные годы.

    Этот курс подчеркивает «классические» аспекты уравнений в частных производных (PDE). Обычные темы включают фундаментальные решения для уравнений Лапласа / Пуассона, тепла и волн в R n , свойства среднего значения, принципы максимума, энергетические методы, принцип Дюамеля и введение в нелинейные уравнения первого порядка, включая потрясения и слабые решения.Дополнительные темы могут включать уравнения Гамильтона-Якоби, теорию распределения и преобразование Фурье.

    MATH 6160 — [Уравнения в частных производных]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 4130, MATH 4140 или аналогичный, либо разрешение преподавателя. Предлагаются альтернативные годы.

    Этот курс освещает приложения функционального анализа к теории уравнений в частных производных (PDE).Он охватывает части базовой теории линейных (эллиптических и эволюционных) уравнений в частных производных, включая пространства Соболева, существование и единственность решений, внутреннюю и граничную регулярность, принципы максимума и проблемы собственных значений. Дополнительные темы могут включать: введение в вариационные задачи, уравнения Гамильтона-Якоби и другие современные методы для нелинейных уравнений в частных производных.

    MATH 6210 — Теория меры и интегрирование Лебега

    Осень 2021 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Запрещено перекрытие: из-за перекрытия содержания учащиеся не будут получать баллы за MATH 6110 и MATH 6210.

    Охватывает теорию меры, интегрирование и пространства Lp.

    MATH 6220 — Прикладной функциональный анализ

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Излагает основы теории гильбертовых и банаховых пространств и операций над ними. Приложения.

    MATH 6230 — [Дифференциальные игры и оптимальное управление]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Этот курс представляет собой самостоятельное введение в современную теорию оптимального управления и дифференциальные игры.В динамическом программировании используются уравнения в частных производных (УЧП) Гамильтона-Якоби для кодирования оптимального поведения в задачах совместного и состязательного последовательного принятия решений. Те же PDE имеют альтернативную интерпретацию в контексте задач распространения фронта. Мы показываем, как обе интерпретации полезны при построении эффективных численных методов. Мы также рассматриваем широкий спектр приложений, включая робототехнику, вычислительную геометрию, планирование пути, компьютерное зрение, фотолитографию, экономику, сейсмическую визуализацию, экологию, финансовую инженерию, динамику толпы и предотвращение столкновений самолетов.Предполагает отсутствие предварительных знаний о нелинейных PDE или численном анализе.

    MATH 6260 — [Динамические системы]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Темы включают теоремы существования и единственности для ОДУ; Теорема Пуанкаре-Бендиксона и глобальные свойства двумерных потоков; предельные множества, неблуждающие множества, цепная повторяемость, псевдоорбиты и структурная устойчивость; линеаризация в точках равновесия: теорема об устойчивом многообразии и теорема Хартмана-Гробмана; и общие свойства: теорема трансверсальности и теорема Купки-Смейла.Примеры включают расширяющиеся карты и диффеоморфизмы Аносова; гиперболичность: подкова и теорема Биркгофа-Смейла о трансверсальных гомоклинических орбитах; числа вращения; Теорема Германа; и характеристика структурно устойчивых систем.

    MATH 6270 — [Прикладные динамические системы]

    (также MAE 7760)

    Весна. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MAE 6750, MATH 6260 или эквивалент.

    Темы включают обзор плоских систем (с одной степенью свободы); локальный и глобальный анализ; структурная устойчивость и бифуркации в плоских системах; центральные многообразия и нормальные формы; теорема об усреднении и методы возмущений; Метод Мельникова; дискретные динамические системы, карты и разностные уравнения, гомоклинические и гетероклинические движения, подкова Смейла и другие комплексные инвариантные множества; глобальные бифуркации, странные аттракторы и хаос в уравнениях свободного и вынужденного осцилляторов; и приложения к задачам механики твердого тела и жидкости.

    MATH 6310 — Алгебра

    Осень 2021 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: хорошая успеваемость на бакалавриате по курсу абстрактной алгебры на уровне MATH 4340 или разрешение преподавателя.

    MATH 6310-6320 — это основные курсы алгебры в магистерской программе математики. MATH 6310 охватывает теорию групп, особенно конечных групп; кольца и модули; теория идеалов в коммутативных кольцах; арифметика и факторизация в областях главных идеалов и областях уникальной факторизации; введение в теорию поля; тензорные произведения и полилинейная алгебра.(Необязательная тема: введение в аффинную алгебраическую геометрию.)

    MATH 6320 — Алгебра

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 6310 или разрешение преподавателя.

    MATH 6320 — второй из двух основных курсов алгебры. В нем рассматриваются теория Галуа, теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, а также введение в гомологическую алгебру. По большей части эти предметы не раскрываются глубоко, поскольку цель курса — представить широкий взгляд на несколько тем.

    Некоторые темы для обсуждения:

    Теория поля и теория Галуа — Расширения полей, степени, поля расщепления, алгебраическое замыкание, нормальные и сепарабельные расширения, фундаментальная теорема теории Галуа, разрешимость уравнений радикалами, круговые расширения, конечные поля.

    Гомологическая алгебра — точные последовательности, проективные и инъективные модули, гомологическая размерность, комплексы, гомологии.

    Теория представлений конечных групп — простые и полупростые кольца и модули, теорема Веддерберна, представления групп, теорема Машке, характеры конечных групп, отношения ортогональности, взаимность Фробениуса, приложения к теории групп.

    MATH 6330 — [Некоммутативная алгебра]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 6310-MATH 6320 или разрешение преподавателя. Предлагаются альтернативные годы.

    Введение в теорию некоммутативных колец и модулей. Темы меняются в зависимости от семестра и включают полупростые модули и кольца, радикал Джекобсона и артиновы кольца, групповые представления и групповые алгебры, характеры конечных групп, представления симметрической группы, центральные простые алгебры и группы Брауэра, теорию представлений конечномерных алгебр. , Теория Морита.

    MATH 6340 — Коммутативная алгебра с приложениями в алгебраической геометрии

    Осень 2021 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Мы рассмотрим темы градуированных колец, функций Гильберта, свободных резольвент, комбинаторной коммутативной алгебры и вычислительной алгебры.

    MATH 6350 — Гомологическая алгебра

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предпосылка: MATH 6310. Предлагаются альтернативные годы.

    Первый курс гомологической алгебры.Темы будут включать краткое введение в категории и функторы, цепные и коцепные комплексы, операции над комплексами, (ко) гомологии, стандартные разрешения (инъективные, проективные, плоские), классические производные функторы, Tor и Ext, интерпретацию Ext Йонедой, гомологическую размерность. , кольца малых размерностей, введение в групповые когомологии, хохшильдовские и циклические гомологии ассоциативных алгебр и (ко) гомологии Шевалле-Эйленберга алгебр Ли.

    MATH 6370 — Алгебраическая теория чисел

    Весна 2022 года.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Примечание. Описание по умолчанию приводится ниже, но, поскольку это обычно небольшой класс, темы могут быть немного изменены в соответствии с опытом присутствующих. В каталоге упоминается «распределение простых чисел». Но поскольку это в первую очередь аналитическая тема, она не будет рассматриваться, за исключением, возможно, краткого обсуждения теоремы Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях и теоремы Чеботарева о плотности.

    Пререквизиты: Курс современной алгебры на уровне МАТЕМАТИКИ 4340 уже пройден или, по крайней мере, одновременно взят.Более низкий уровень подготовки по алгебре затруднит понимание большей части материала.

    Темы: Этот курс представляет собой базовое введение в алгебраическую теорию чисел. Ядро его использовалось для изучения идеальной теории дедекиндовских областей применительно к кольцам целых чисел числовых полей (конечным расширениям Q). Основная цель теории — преодолеть недостаток уникальной факторизации на простые числа в этих кольцах. Вторая параллель, исторически более поздняя, ​​пролегает через теорию локальных полей, которая на первый взгляд кажется совершенно иной.Особенно интересно переплетение двух подходов. Из-за нехватки времени мы можем больше сосредоточиться на втором, а также потому, что первое подробно рассматривается во многих классических книгах (например, Сэмюэлса — см. Ниже). Однако мы «сделаем» ключевые теоремы теории идеалов.

    Курс также будет охватывать фундаментальные теоремы конечности: конечность идеальной группы классов (через геометрическую теорию чисел Минковского) и структуру (конечное порождение, определение ранга и т. Д.)) группы единиц. Дополнительные темы, которые будут обсуждаться, если позволит время: закон квадратичной взаимности, элементарные диофантовы уравнения, пополнения (p-адические числа).

    Текст: Нет. Но для тех, кто любит печатать: Введение Самуэля в алгебраическую теорию чисел коротко и элегантно. Также книга Лэнга по теории чисел охватывает большую часть материала курса (и многое другое).

    Оценки: Так как нет экзаменов и официальных домашних заданий (в большинстве случаев предлагаемая проблема), оценки не имеют большого значения.Но поскольку необходимо выставить некоторую оценку, моя политика будет полуавтоматической для аспирантов и A- для студентов. Полуавтоматический означает, что должно быть какое-то доказательство того, что вы посещаете и заинтересованы в материале.

    ПРИМЕЧАНИЕ. Студентам бакалавриата не разрешается использовать этот курс для выполнения требований по алгебре для математических специальностей. Причина — отсутствие формальных требований (экзамены, hw).

    MATH 6390 — [Группы Ли и алгебры Ли]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг.Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Пререквизиты: продвинутый курс линейной алгебры на уровне MATH 4310 и курс дифференцируемых многообразий.

    Излагает основы групп Ли и алгебр Ли. Темы включают вещественные и комплексные группы Ли, отношения между группами Ли и алгебрами Ли, экспоненциальное отображение, однородные многообразия и классификацию простых алгебр Ли.

    MATH 6410 — Перечислительная комбинаторика

    Весна 2022 года.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 4410 или разрешение преподавателя. Предлагаются альтернативные годы.

    Введение в перечислительную комбинаторику с алгебраической, геометрической и топологической точек зрения. Темы включают, помимо прочего, статистику перестановок, разбиения, производящие функции, различные типы множеств и решеток (распределительные, геометрические и эйлеровы), инверсию Мёбиуса, числа граней, возможность оболочки и отношения с кольцом Стэнли-Райснера.

    MATH 6510 — Алгебраическая топология

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимые условия: высокая успеваемость на бакалавриате по курсу абстрактной алгебры на уровне MATH 4340 и точечная топология на уровне MATH 4530 или разрешение преподавателя.

    MATH 6510 – MATH 6520 являются основными курсами по топологии в магистерской программе по математике. MATH 6510 — это вводное исследование определенных геометрических процессов для связывания алгебраических объектов, таких как группы, с топологическими пространствами.Наиболее важными из них являются группы гомологий и гомотопические группы, особенно первая гомотопическая группа или фундаментальная группа, с соответствующими понятиями покрывающих пространств и групповых действий. Развитие теории гомологии сосредоточено на проверке аксиом Эйленберга-Стинрода и на эффективных методах вычислений, таких как симплициальная и клеточная гомология и последовательности Майера-Виеториса. Если позволяет время, можно ввести кольцо когомологий пространства.

    MATH 6520 — Дифференцируемые коллекторы

    Осень 2021 г.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: высокие результаты в анализе (например, MATH 4130 и / или MATH 4140), линейной алгебре (например, MATH 4310) и топологии точек (например, MATH 4530) или разрешение преподавателя.

    MATH 6510-MATH 6520 — это основные курсы по топологии в магистерской программе по математике. MATH 6520 — это введение в геометрию и топологию с дифференцированной точки зрения, подходящее для начинающих аспирантов. Объектами исследования являются многообразия и дифференцируемые отображения.Набор всех касательных векторов к многообразию образует касательное расслоение, а сечение касательного расслоения является векторным полем. В качестве альтернативы векторные поля можно рассматривать как дифференциальные операторы первого порядка. В этом курсе изучаются потоки векторных полей и доказывается теорема Фробениуса об интегрируемости. При наличии римановой метрики развивает понятия параллельного переноса, кривизны и геодезических. Исследует тензорное исчисление и внешнее дифференциальное исчисление и доказывает теорему Стокса.Если позволяет время, вводятся когомологии де Рама, теория Морса или другие дополнительные темы.

    MATH 6530 — [K-теория и характеристические классы]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022: Следующее предложение: 2022-2023. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 6510 или разрешение преподавателя.

    Введение в топологическую K-теорию и характеристические классы. Топологическая K-теория — это обобщенная теория когомологий, которая на удивление проста и полезна для вычислений, но при этом содержит достаточно структуры для доказательства интересных результатов.Класс начнется с определения K-теории, классов Черна и характера Черна. Дополнительные темы могут включать проблему инварианта Хопфа 1, J-гомоморфизм, классы Штифеля-Уитни и классы Понтрягина, группы кобордизмов и построение экзотических сфер, а также теорему об индексе Атьи-Зингера.

    MATH 6540 — Теория гомотопии

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 6510 или разрешение преподавателя.

    Этот курс представляет собой введение в некоторые основы теории гомотопии.Теория гомотопий изучает пространства с точностью до гомотопической эквивалентности, а не только с точностью до гомеоморфизма. Это позволяет использовать множество алгебраических методов, которые недоступны при работе с гомеоморфизмом. Этот класс изучает основы и инструменты теории гомотопий в прошлом, гомологии и когомологии. Темы могут включать вычисления высших гомотопических групп, симплициальных множеств, категорий моделей, спектральных последовательностей и теории рациональной гомотопии.

    MATH 6620 — [Риманова геометрия]

    Весна.Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Темы включают линейные связи, римановы метрики и параллельный перевод; ковариантное дифференцирование и тензоры кривизны; экспоненциальное отображение, лемма Гаусса и полнота метрики; изометрии и пространственные формы, поля Якоби и теорема Картана-Адамара; формулы первой и второй вариаций; индексная форма Морса и теорема Бонне-Майерса; теоремы сравнения Рауха, Гессе и Лапласа; теорема Морса об индексе; конъюгированный и разрезанный локусы; и подмногообразия и вторая основная форма.

    MATH 6630 — [Симплектическая геометрия]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 6510 и MATH 6520 или разрешение преподавателя.

    Симплектическая геометрия — это раздел дифференциальной геометрии, изучающий многообразия с невырожденной замкнутой 2-формой. Эта область возникла как математика классической (гамильтоновой) механики и связана (по крайней мере!) Со сложной геометрией, алгебраической геометрией, теорией представлений и математической физикой.В этом введении в симплектическую геометрию класс начнется с линейной симплектической геометрии, обсудит канонические локальные формы (теоремы типа Дарбу) и исследует связанные геометрические структуры, включая почти сложные структуры и кэлеровы метрики. Дополнительные темы могут включать действия симплектических и гамильтоновых групп, метод орбит, топологию и геометрию отображений импульса, торические симплектические многообразия, гамильтонову динамику, группы симплектоморфизмов и проблемы симплектического вложения.

    MATH 6640 — гиперболическая геометрия

    Осень 2021 г.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: MATH 6510 или разрешение преподавателя.

    Введение в топологию и геометрию гиперболических многообразий. Класс начнется с геометрии гиперболического $ n $ -пространства, включая верхнее полупространство, диск Пуанкаре и лоренцевы модели. Особое внимание будет уделено случаям $ n = 2 $ и $ n = 3 $. Гиперболические структуры на поверхностях будут параметризованы с использованием пространства Тейхмюллера, и будут обсуждаться дискретные группы изометрий гиперболического пространства.Другие возможные темы включают топологию гиперболических многообразий и орбифолдов; Жесткость Мостова; гиперболическое наполнение Дена; теория деформаций клейновых групп; сложная и кватернионная гиперболическая геометрия; и выпуклые проективные структуры на многообразиях.

    MATH 6670 — Алгебраическая геометрия

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Этот курс представляет собой введение в основную алгебраическую геометрию на уровне книги Шафаревича: Основы алгебраической геометрии, том 1.т.е. мы сосредоточены на геометрии, а не на понятиях схемы или пучка.

    Мы рассмотрим многие из наиболее важных геометрических понятий алгебраической геометрии. Темы могут включать следующее (или большую часть следующего):

    Глава 1: Основы: аффинные и проективные многообразия, регулярные и рациональные отображения, неприводимые многообразия, раздутие, конечные отображения, замкнутость отображений, слои отображений, произведения, размерность.

    Глава 2: локальные свойства: касательное пространство, локальные кольца, особенности, локальные параметры, теорема Бертини, нормальные многообразия.

    Глава 3: Дивизоры и дифференциальные формы, дивизоры на кривых, Римана-Роха для кривых, структура бирациональных отображений.

    Глава 4: Теория пересечений, в основном для поверхностей.

    Один из аспектов этой книги, который мне очень нравится, заключается в том, что в ней нет черного ящика для коммутативной алгебры. Доказывает вещи с нуля. Тем не менее, мы не будем рассматривать всю алгебру в классе: если у вас есть MATH 6340, это должно быть хорошо. В противном случае вы захотите прочитать алгебраические доказательства в книге.

    Мы будем рассматривать множество примеров (например, кривые, поверхности, групповые действия, мультипроективные пространства, грассманианы, вложения Сегре и Веронезе, секущие множества, многообразия Калаби-Яу), и мы будем использовать мою систему компьютерной алгебры Macaulay2 для анализа и разбираться в примерах. Мы увидим, как вычислить многие из рассматриваемых нами концепций. Мы также попытаемся включить некоторые важные идеи из теории трехмерных многообразий и многообразий более высоких размерностей (например,g Конус Мори, конус nef, делители nef). Многие примеры взяты из книги Харриса.

    Предварительные требования: MATH 6310 и MATH 6340. (Наличие MATH 6340 очень полезно, но, как упоминалось выше, можно, при некотором дополнительном чтении и усилиях, понять этот материал без этого предварительного условия.)

    Домашнее задание: я буду назначать домашнее задание раз в две недели, которое не будет сдаваться, но студенты по очереди будут представлять решения. Очень важно делать примеры и решать задачи, так как это единственный способ по-настоящему изучить алгебраическую геометрию!

    MATH 6710 — Теория вероятностей I

    Осень 2021 г.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимое условие: знание теории интеграции Лебега, по крайней мере, на реальной линии. Студенты могут изучить этот материал, взяв части MATH 4130-4140 или MATH 6210.

    Вводный курс для выпускников по теории вероятностей. Основные темы включают теоретическую вероятность меры, закон больших чисел, слабую сходимость, характеристические функции и теорию центрального предела. Возможные дополнительные темы включают процессы Пуассона, устойчивые законы, большие отклонения и условное ожидание.(Условное ожидание подробно рассматривается в MATH 6720.)

    MATH 6720 — Теория вероятностей II

    Весна 2022 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предпосылка: MATH 6710.

    Вторая часть вводного курса по теории вероятностей, продолжение MATH 6710. Основные темы включают условное ожидание, мартингалы, цепи Маркова и их связь с мартингалами, броуновское движение. Если позволит время, будет введение в основы исчисления Ито для броуновского движения.

    MATH 6730 — Математическая статистика I

    (также STSCI 6730)

    Весна 2022г. В титрах.

    Предварительные требования: STSCI 4090 / BTRY 4090, MATH 6710 или разрешение инструктора.

    Этот курс будет сосредоточен на теории конечных выборок статистического вывода с упором на оценку, проверку гипотез и доверительные интервалы. Конкретные темы включают: несмещенные оценки с равномерно минимальной дисперсией, эквивариантные оценки минимального риска, байесовские оценки, минимаксные оценки, теорию проверки гипотез Неймана-Пирсона и построение оптимальных инвариантных тестов.

    MATH 6740 — Математическая статистика II

    (также STSCI 6740)

    Осень 2021 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предварительные требования: MATH 6710 (теоретическая оценка вероятности) и STSCI 6730 / MATH 6730 или разрешение преподавателя.

    Предполагается некоторое знакомство с базовой статистической теорией, то есть с точечной оценкой, проверкой гипотез и доверительными интервалами, а также с концепциями байесовских и минимаксных решений. Курс посвящен современной теории статистического вывода с упором на непараметрические и асимптотические методы.При нахождении оптимальных решений ключевую роль будет играть концепция асимптотической минимаксности. Предварительный список тем (с номерами глав в учебнике): (1) эффективность Фишера (резюме), (2) байесовские и минимаксные оценки (резюме), (3) асимптотическая минимаксность, (4) некоторые нерегулярные статистические эксперименты, ( 8) оценка в непараметрической регрессии, (9) локальная полиномиальная аппроксимация регрессии, (10) оценка регрессии в глобальных нормах, (12) асимптотическая оптимальность в глобальных нормах, (13) оценка функционалов, (15) адаптивное оценивание.

    MATH 6810 — [Логика]

    Осень или Весна. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Охватывает основные темы математической логики, включая исчисление высказываний и предикатов; формальная теория чисел и рекурсивные функции; теоремы о полноте и неполноте, компактности и теоремы Сколема-Лёвенгейма. Другие темы, если позволит время.

    MATH 6830 — Теория модели

    Весна 2022 года.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Этот курс представляет для выпускников введение в теорию моделей с упором на примеры по алгебре и геометрии. Он будет следовать за текстом Палатки и Зиглера. Рассматриваемые темы будут включать теоремы о компактности и полноте для логики первого порядка, конструкцию Хенкина, теоремы Ловенгейма-Сколема, критерии полноты Воота, аргументы вперед и назад, реализацию и исключение типов, пространства типов, стабильность, пары Вотта и неразличимое.Курс завершится доказательством Болдуина-Лахлана теоремы Морли.

    MATH 6840 — Теория рекурсии

    Осень 2021 года. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Излагает теорию эффективно вычислимых функций; классификация рекурсивно перечислимых множеств; степени рекурсивной неразрешимости; приложения к логике; иерархии; рекурсивные функции порядковых номеров и объектов более высокого типа; обобщенная теория рекурсии.

    MATH 6870 — [Теория множеств]

    Осень.Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Первый курс аксиоматической теории множеств на уровне книги Кунена.

    MATH 7110 — Темы анализа: лекции по «Геликоидальному методу»

    Осень 2021 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Это будет продвинутый курс по гармоническому анализу. Его объем состоит в том, чтобы подробно описать то, что мы назвали «геликоидальным методом», повторяющимся и чрезвычайно надежным методом, который, в частности, предоставляет новые парадигмы для доказательства (множественных) векторных оценок, разреженного доминирования и оценок смешанной нормы для многих ( если не большинство) мультиквазилинейных операторов, представляющих интерес в гармоническом анализе.Он был разработан в течение последних восьми лет (или около того) в сотрудничестве с Кристиной Бенеа, которая была аспирантом здесь, в Корнелле, и окончила университет в мае 2015 года.

    Презентация будет как можно более замкнутой, но знакомство с основными теориями гармонического анализа, несомненно, должно помочь. Я представляю этот класс как класс для людей, которым нравится АНАЛИЗ, даже если их конкретные исследовательские интересы лежат в разных областях, таких как PDE, математическая физика, функциональный анализ, комплексный анализ, геометрическая теория меры, вариационное исчисление, спектральная теория и т. Д. .

    MATH 7120 — Темы анализа: геометрия и анализ четырехмерных многообразий

    Весна 2022 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    В этом курсе мы обсудим недавний прогресс в направлении геометрии четырехмерных многообразий. В частности, 4-многообразия Эйнштейна, поток Риччи на 4-многообразиях. Мы также обсудим некоторые классические методы, такие как техника Бохнера, конформная геометрия и их применение к четырехмерным многообразиям.

    MATH 7130 — Функциональный анализ

    Осень 2021 г.4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Охватывает топологические векторные пространства, банаховы и гильбертовые пространства, а также банаховы алгебры. Дополнительные темы, выбранные инструктором.

    MATH 7150 — [Анализ Фурье]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Введение в (в основном евклидов) гармонический анализ. Темы обычно включают сходимость рядов Фурье, гармонические функции и их сопряженные, преобразование Гильберта, теорию Кальдерона-Зигмунда, теорию Литтлвуда-Пэли, псевдодифференциальные операторы, теорию ограничений преобразования Фурье, связи с PDE.Также могут обсуждаться приложения к теории чисел и / или теории вероятностей, а также к анализу Фурье на группах.

    MATH 7160 — Разделы уравнений с частными производными: нелинейные эллиптические уравнения в частных производных

    Осень 2021 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Темы из: вариационное исчисление (прямые методы) и теория бифуркаций (локальные и теоретико-степенные методы).

    MATH 7270 — [Разделы численного анализа]

    Осень или Весна. Не предлагается: 2021-2022 гг.Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Подборка сложных тем из численного анализа. Содержание варьируется.

    MATH 7280 — [Разделы динамических систем]

    Весна. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Подборка продвинутых тем из динамических систем. Содержание варьируется.

    MATH 7290 — Семинар по научным вычислениям и счетам

    (также CS 7290)

    Осень 2021 г., Весна 2022 г.1 кредит. Только марки S / U.

    Беседы о различных методах научных вычислений, анализе их свойств сходимости и вычислительной эффективности, а также их адаптации к конкретным приложениям.

    MATH 7310 — [Вопросы по алгебре]

    Осень или Весна. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Подборка продвинутых тем по алгебре. Содержание курса варьируется.

    MATH 7350 — [Разделы гомологической алгебры]

    Осень или Весна.Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Подборка продвинутых тем по гомологической алгебре. Содержание курса варьируется.

    MATH 7370 — Разделы алгебраической теории чисел

    Осень 2021 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Цель этого курса — научиться понимать теорему Одзаки 2011 г., в которой он доказал, что для каждой конечной p-группы G существует числовое поле K, чье поле p-гильбертовых классов Tower равно G.Большая часть курса будет потрачена на понимание утверждений и освоение необходимого базового материала по теории поля классов.

    Этот курс предполагает некоторый опыт в теории чисел примерно на уровне MATH 6370.

    MATH 7390 — Темы в группах Ли и алгебрах Ли: симплектические разрешения

    Весна 2022 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    «Симплектические резольвенты» — это определенное семейство голоморфных симплектических многообразий со многими удивительными свойствами.Есть несколько общих построек, каждую из которых мы рассмотрим подробно:

    • гиперторических многообразий, которые относятся к расположению гиперплоскостей так же, как торические многообразия относятся к многогранникам;
    • колчанов Накадзима, дающих «геометрическую теорию представлений» односвязных алгебр Каца-Муди;
    • срезов в аффинных грассманианах, которые обеспечивают «геометрическую теорию представлений» для конечномерных групп Ли;
    • Медленные срезы до нильпотентного закрытия орбиты

    (Последние три все совпадают в типе A, но расходятся для других групп.* Г / Б. (Недаром Окуньков назвал их «алгебрами Ли XXI века»).

  • Если ограничить количество и степени определяющих уравнений (аффинизации), то будет только конечное число симплектических резольвент с точностью до изоморфизма. (Можно ли надеяться на классификацию ??)
  • Мы лишь коснемся этой развивающейся темы. Предпосылками являются твердые знания теории представлений и некоторые знания алгебраической геометрии.

    MATH 7410 — [Разделы комбинаторики]

    Весна.Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Предлагаемые альтернативные годы.

    Подборка дополнительных тем по комбинаторике. Содержание курса варьируется.

    MATH 7510 — Семинар Берштейна по топологии: потоки Анасова на трехмерных многообразиях

    Осень 2021 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Мы будем изучать динамические свойства геодезических потоков на поверхностях и, в более общем смысле, потоков Аносова на трехмерных многообразиях. Эти методы основаны на геометрической / низкоразмерной топологии, гиперболической геометрии и гладкой динамике.Есть много интересных построений примеров и результатов существования и изобилия. Мы особенно внимательно рассмотрим примеры на трехмерных гиперболических многообразиях и связанных с ними «квазигеодезических» потоках с целью понять некоторые важные открытые вопросы. Как и на всех семинарах Берштейна, студенты представят основную часть материала и скажут, какие подтемы мы рассматриваем.

    Пререквизиты: Как минимум, первый год обучения дифференцируемым многообразиям или эквивалентные знания.В идеале вы должны знать, что такое трехмерное гиперболическое многообразие. Прошлогодний семинар Берштейна по 3-многообразиям — отличная подготовка, но не обязательная (но если бы вы были там, мы могли бы увидеть прекрасные связи с нормой Терстона).

    MATH 7520 — [Семинар Берштейна по топологии]

    Весна. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Семинар по продвинутой теме топологии или родственной теме. Содержание варьируется. Формат, который обычно представляют участники по очереди.

    MATH 7550 — Семинар по топологии и геометрической теории групп

    Осень 2021 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Еженедельный семинар, на котором приезжие или местные докладчики представляют результаты по топологии, геометрической теории групп или связанным предметам.

    MATH 7560 — Семинар по топологии и геометрической теории групп

    Весна 2022 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Еженедельный семинар, на котором приезжие или местные докладчики представляют результаты по топологии, геометрической теории групп или связанным предметам.

    MATH 7580 — Темы топологии

    Весна 2022 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Этот курс будет посвящен теореме Атьи-Зингера об индексе. Эта теорема описывает прекрасную связь между топологией, дифференциальной геометрией и анализом. Одним из примеров теоремы является теорема Черна-Гаусса-Бонне, которая утверждает, что эйлерова характеристика компактного многообразия может быть вычислена с помощью интеграла класса Эйлера по многообразию; по теории Ходжа эйлерова характеристика — это то же самое, что индекс оператора де Рама-Дирака (эти вещи будут объяснены в курсе).Одна из конечных целей — понять уточнение (только для операторов Дирака) исходной теоремы, называемой теоремой о локальном индексе. Если позволит время, мы изучим обобщения на эквивариантные и семейные настройки.

    Предпосылки: я предполагаю знакомство с темами, охваченными MATH 6520 (многообразия, дифференциальные формы, когомологии де Рама, римановы метрики и т. Д.). Предварительное знакомство со связками, соединениями и кривизной было бы преимуществом, так как я планирую, чтобы обсуждение этих тем было кратким.

    MATH 7610 — Topics in Geometry: Comparison Geometry and Minimal Surfaces

    Осень 2021 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Первая часть этого курса будет продолжением Math 6620: Riemannian Geometry, предлагаемого весной 2021 года. Мы обсудим несколько классических теорем сравнения. Вторая часть будет кратким введением в теорию минимальных поверхностей. Темы будут включать первую и вторую формулу вариации, формулу монотонности, принцип максимума и классические оценки кривизны.Когда позволит время, мы обсудим теорию существования и приложения.

    MATH 7620 — Темы по геометрии: универсальная жесткость и приложения

    Весна 2022 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Это введение в теорию жестких каркасов в целом, включая tensegrities, универсальную жесткость и ее применение к инженерным конструкциям, а также недавнее захватывающее приложение для нахождения порога максимального правдоподобия для оценок максимального правдоподобия в статистике.Каркас — это просто набор точек в евклидовом пространстве, конфигурация, в которой некоторые пары точек, ребра графа, должны находиться на фиксированном расстоянии. Универсальная жесткость — это когда эти ограничения расстояния определяют конфигурацию вплоть до глобального движения в любом более высоком измерении. Существует своего рода обратная связь между существованием универсально жесткой конфигурации для графа в данном измерении и порогом максимального правдоподобия.

    MATH 7670 — Темы алгебраической геометрии: неархимедова геометрия

    Осень 2021 г.4 кредита. Только марки S / U.

    Некогда специализированный предмет, неархимедова геометрия превратилась в основную часть алгебраической и арифметической геометрии. Его цель — распространить концепции и результаты о сложных аналитических пространствах на пространства, определенные над неархимедовыми полями, такими как поля p-адических чисел или поле формальных рядов Лорана. Например, Тейт первоначально сформулировал теорию, расширяющую униформизацию комплексных эллиптических кривых, в которой кривая описывается как фактор группы мультипликативных комплексных чисел по свободной подгруппе, до аналогичной конструкции для эллиптических кривых над более общими не- архимедовы поля.Общая теория неархимедовых пространств с тех пор была развита Рейно, Берковичем, Хубером и многими другими, и она допускает несколько связанных формулировок. Она применялась во многих контекстах: соответствие Ленглендса, топология алгебраических многообразий в высших измерениях, зеркальная симметрия, бирациональная геометрия, p-адическая теория Ходжа, модульность представлений Галуа и т. Д.

    Этот курс будет служить введением в неархимедову геометрию, уделяя основное внимание подходам Рейно и Берковича.Мы определим неархимедовы пространства и изучим их основные свойства. Затем мы обсудим теории когерентных когомологий и этальных когомологий на этих пространствах.

    MATH 7710 — Разделы теории вероятностей: пределы дискретных случайных структур

    Весна 2022 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Есть много способов ограничить дискретную структуру (например, случайный граф, остовное дерево или раскраску). Мы рассмотрим некоторые из этих тем:

    Случайные блуждания и электрические сети, Гармонические функции, Гауссовское свободное поле, Пределы масштабирования, Пределы бесконечного объема, Пределы графа (Ловаш и Бенджамини-Шрамм), Равномерный остовный лес, Минимальный остовный лес, Ветвящиеся процессы, Континуальное случайное дерево, Неравенства концентрации, Случайное Графы, перколяция, случайная кластерная модель.

    Предыстория: для прохождения этого курса вам необходимо знать как минимум один семестр вероятности получения диплома на уровне MATH 6710. Знакомство с Мартингейлом и Броуновским движением на уровне MATH 6720 является большим плюсом!

    Мы будем следовать книге Лиона и Переса «Вероятность на деревьях и сетях»: https://rdlyons.pages.iu.edu/prbtree/prbtree.html
    Я рассчитываю охватить главы 2,4,5,6,7, 9,10,11,12.

    Мы также можем осветить некоторые части этих книг !:
    Модель случайных кластеров, автор Гриммет: http: // www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/rcm1-1.pdf
    Случайные графы, Янсон, Лучак и Ручински: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118032718
    Крупные сети и Graph Limits, автор Lovasz: https://web.cs.elte.hu/~%20lovasz/bookxx/hombook-almost.final.pdf

    MATH 7720 — Темы в случайных процессах: случайные блуждания в группах

    Осень 2021 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Этот курс предоставит введение в современные разработки в области изучения случайных блужданий в группах.Значительная часть курса будет посвящена основам случайного блуждания в группах. Вторая часть будет иметь дело с применением этих методов к определенным классам групп: нильпотентным, полициклическим и т. Д. Никаких глубоких знаний теории групп не требуется.

    MATH 7740 — [Теория статистического обучения: классификация, распознавание образов, машинное обучение]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Оценка студенческого варианта.

    Необходимые условия: базовая математическая статистика (STSCI / MATH 6730 или эквивалент) и теоретическая оценка вероятности (MATH 6710) или разрешение преподавателя.

    Целью курса является представление развивающегося интерфейса между теорией машинного обучения и статистикой. Темы включают введение в классификацию и распознавание образов; связь с непараметрической регрессией подчеркивается повсюду. Рассмотрены некоторые классические статистические методологии, такие как дискриминантный анализ и логистическая регрессия, а также понятие восприятия, которое сыграло ключевую роль в развитии теории машинного обучения. Вводится принцип минимизации эмпирического риска и обосновывается его границами Вапника-Червоненкиса.Кроме того, обсуждаются выпуклые мажорирующие функции потерь и маржевые условия, обеспечивающие высокие скорости, и вычислимые алгоритмы. Представлены актуальные сегодня темы многомерных статистических исследований, такие как неравенства оракулов в контексте выбора и агрегирования моделей, оценки типа лассо, регрессия низкого ранга и другие типы задач оценивания разреженных объектов в многомерных пространствах.

    MATH 7810 — Семинар по логике: логика групп Томпсона и их родственников

    Осень 2021 г.4 кредита. Только марки S / U.

    Логический семинар состоит из лекций, прочитанных студентами по одной теме, дополненных лекциями преподавателей, приглашенных докладчиков и студентов, представляющих свои собственные исследования. В осеннем семестре 2021 года тематический компонент семинара будет «Логика групп Томпсона и их родственников». Ожидается, что студенты, обучающиеся на курсе, прочитают 2-3 лекции по данной теме.

    Описание темы семинара: Будучи аспирантом факультета логики в Беркли в 1960-х и 1970-х, Ричард Томпсон представил три группы, теперь известные как $ F $, $ T $ и $ V $.Все три — конечно определенные группы гомеоморфизмов канторова множества. $ T $ и $ V $ были ранними примерами конечно представленных бесконечных простых групп, в то время как $ F $, пожалуй, самый простой пример неэлементарной аменабельной группы, не содержащей свободной группы с двумя образующими.

    С 1980-х годов эти группы играли важную роль в теории групп и топологии в основном благодаря своим экзотическим свойствам. Совсем недавно их исследование затронуло различные части логики и теории множеств.В этом семестре мы познакомимся с этими группами, а также с их родственниками, такими как группа кусочно линейных и кусочно проективных гомеоморфизмов единичного интервала. Основное внимание будет уделено их взаимодействию с логикой, от теории множеств до теории доказательств и теории автоматов. На семинаре также будет освещен ряд открытых проблем и направлений текущих исследований.

    MATH 7820 — Семинар по логике

    Весна 2022 года. 4 кредита. Только марки S / U.

    Дважды в неделю семинар по логике.Обычно тема выбирается для каждого семестра, и по крайней мере половина встреч курса посвящена этой теме с презентациями в основном студентов. Студентам и другим людям также предоставляется возможность представить свои работы и другие интересные темы.

    MATH 7850 — [Темы по логике]

    Осень. Не предлагается: 2021-2022 гг. Следующие предложения: 2022-2023 гг. 4 кредита. Только марки S / U.

    Охватывает темы математической логики, которые меняются из года в год, такие как описательная теория множеств или теория доказательств.Может также использоваться для дальнейшего развития материала из теории моделей (MATH 6830), теории рекурсии (MATH 6840) или теории множеств (MATH 6870).

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *