Дидактические материалы по математике виленкин 6: ГДЗ по математике 6 класс Чесноков дидактические материалы контрольная работа / Виленкин / К-15 — В2

УМК Виленкин. Математика. Дидактические материалы. 6 класс. ФГОС (Экзамен)

Переплет	мягкий
ISBN	5-377-12636-2
Год издания	2018
Соответствие ФГОС	ФГОС
Количество томов	1
Формат	60×90/16 (145×215мм)
Количество страниц	128
Серия	Учебно-методический комплект
Издательство	Экзамен
Автор	Попов М. А.
Возрастная категория	6 кл.
Раздел	Математика
Тип издания	Дидактический материал
Язык	русский

Описание к товару: «УМК Виленкин. Математика. Дидактические материалы. 6 класс. ФГОС»

Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к школьному учебнику Н.Я. Виленкина и др. Математика. 6 класс, рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Пособие содержит различные материалы для контроля и оценки качества подготовки учащихся 6-х классов, предусмотренной программой по курсу Математика. Представлены 38 самостоятельных работ, каждая в двух вариантах, так что при необходимости можно проверить полноту знаний учащихся после каждой пройденной темы 10 контрольных работ, представленных в четырех вариантах, в том числе итоговая контрольная работа, дают возможность максимально точно оценить знания каждого ученика. В конце книги приведены задания на смекалку и логику. Ко всему дидактическому материалу даются ответы. Пособие адресовано учителям, будет полезно учащимся при подготовке к урокам, контрольным и самостоятельным работам.

Раздел:
Математика

Издательство: ЭКЗАМЕН
Серия: Учебно-методический комплект

Вы можете получить более полную информацию о товаре «УМК Виленкин. Математика. Дидактические материалы. 6 класс. ФГОС (Экзамен)«, относящуюся к серии: Учебно-методический комплект, издательства Экзамен, ISBN: 5-377-12636-2, автора/авторов: Попов М.А., если напишите нам в форме обратной связи.

ГДЗ по математике для 6 класса А.С. Чесноков

Подробное решение контрольная работа / Виленкин / К-15 В4 по математике дидактические материалы для учащихся 6 класса, авторов А.С. Чесноков, К.И. Нешков 2015

показать содержание

• Гдз по Математике за 6 класс
  можно найти тут

1. Найдите значение выражения 20 — 18,6 : (6*11/15 – 4*3/20).

2. В гараже находилось 340 автомашин трех видов. Автомашины «Москвич» составляли 45% от числа машин «Жигули», а число автомашин «Запорожец» составляло 5/9 от числа автомашин «Москвич». Сколько автомашин каждого вида находилось в гараже?

3. Решите уравнение 1/6х — 0,82 = 3/8х — 1,37.

4. Найдите неизвестный член пропорции 7,6 : х = 2*1/9 : 2*4/9 .

5. Найдите число р, если 60% от р равны 6/7 от 84.

учебник / контрольная работа / Виленкин / К-15 / В4

решебник №1 / контрольная работа / Виленкин / К-15 / В4

Подпишись на нашу группу

×

ГДЗ по математике для 6 класса дидактические материалы Чесноков

Такой сборник необходим шестиклассникам, которым задают домашнее задание по математике из дидактических материалов от Чеснокова А.С. Он вместе со своим помощником Нешковым К.И. подготовил решебник для 6 класса. Решения любых заданий из учебника, а также подготовка к контрольным работам и самостоятельным, на всё это даёт ответы этот сборник ГДЗ по математике за 6 класс Чесноков. Поэтому он просто незаменим для всех подготовительных занятий.
Любой непонятный пример теперь не будет для школьника головной болью на целый вечер. Ведь каждое упражнение, особенно с повышенной сложностью, разбираются авторами до мельчайших подробностей. Шестиклассник сам может выбрать тот алгоритм решения, который больше ему понятен.
Так как авторы постарались подобрать для схожих примеров и задач разные способы решения. Основу материала из данного решебника составляют самостоятельные, им отводится первый раздел, и контрольные во втором разделе. В первый раздел входит около 350 различных примеров и в конце, обязательно, проверочная работа.

Все примеры разделены на четыре варианта, что очень удобно для проверки шестиклассников в классе. А вот второй раздел уже сложнее, представлен пятнадцатью контрольными работами. Нет сомнений, что весь материал из этого решебника соответствует всем правилам и нормам, диктуемым общеобразовательными учреждениями. Из выше сказанного очевидно: такой сборник хорош для самих учеников, для их более качественной подготовке к классной работе. Очень удобно издание и для родителей, которые смогут легко и быстро проверить знания своего ребёнка. Но также не лишней такая литература будет и учителям, она поможет им лучше и эффективнее организовать работу в классе.

ГДЗ к контрольным работам по математике за 6 класс Жохов В.И. можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к учебнику по математике за 6 класс Виленкин Н.Я. (2015 год) можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 6 класс Попов М.А. можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к учебнику по математике за 6 класс Виленкин Н.Я. (2017 год) можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Ерина Т.М. можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Ерина Т.М. можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к контрольным измерительным материалам по математике за 6 класс Глазков Ю.А. можно посмотреть

здесь.

Гдз и решебник Математика 6 класс Чесноков, Нешков — Дидактические материалы

Математика 6 класс

Тип пособия: Дидактические материалы

Авторы: Чесноков, Нешков

Издательство: «Академкнига»

Актуальность использования «ГДЗ по математике 6 класс Дидактические материалы Чесноков (Академкнига)» растет с каждым днем. Данная ситуация обусловлена сложностью предмета, а также постоянными дополнениями к школьной программе. Поэтому ощутить прелесть в наличии верных ответов теперь могут и шестиклассники, используя онлайн-сервис.

ГДЗ для каждого ребенка

Общие понятия о точных науках формируется еще в более раннем возрасте, но только в средней школе становится ощутима вся сложность математических вычислений. Тогда возникает потребность в дополнительных занятиях или помощи репетиторов. Но при наличии простого гаджета с доступом к сети каждый школьник легко сможет:

• получить допуск к полной информационной базе;
• усвоить пройденный материал;
• детализировать отдельные пункты;
• разобрать сложные задания;
• пройти подготовку к предстоящему уроку.

Все приведенные в издании алгоритмы помогут быстро получить положительный результат каждому ребенку. Верные ответы будут хорошо влиять на общий результат только при регулярном применении их на практике. Также следует помнить, что наличие готовых домашних заданий, способствует высоким показателям успеваемости, но не гарантирует их. Поскольку для усвоения материала, из любого источника, его нужно учить, а не просто списывать.

Онлайн-пособие без регистрации

Дидактические материалы для обучения используются при необходимости визуализировать решение и дополнить его недостающими в учебнике данными. Они дают возможность получить краткий и верный ответ без изучения большого количества информации. При этом детали, также вносятся в онлайн-пособие и дополняют его. Из чего состоит решебник:

1. Задания для самостоятельных работ – 349 шт.;
2. Проверочные упражнения – 14 шт.;
3. Ответы на контрольные работы – 29 шт.

Легкая подача материала и его структурированность способствуют быстрому его усвоению. Вся информация четко разделена по параграфам и вариантам. Поэтому ребенок сможет быстро адаптироваться в онлайн пособии, посредством подбора нужного номера через поисковик.

Дидактические материалы и верные ответы

Нацеленность на результат и своевременность использования «ГДЗ по математике 6 класс Дидактические материалы Чесноков А.С., Нешков К.И.(Академкнига)» максимально ускорит образовательный процесс для каждого школьника. Верные ответы помогут более детально изучить предмет и станут стимулом на пути к отличным отметкам.

Похожие ГДЗ Математика 6 класс

Поэма о самой точной и красивой из наук – Учительская газета

Татьяна Борисовна ИВАНОВА – выпускница математического факультета Московского педагогического государственного университета, педагогический стаж более двадцати лет. Увлекается театром, путешествиями, ландшафтным дизайном, садоводством.

Пусть учитель сейчас не в моде

Представление опыта Татьяна Иванова начала в образе миссис «Икс», и даже ария была соответствующей:

Снова туда, в любимый мой класс,

Каждое утро спешу в ранний час.

Там правит бал царица наук

И встречу с ней режиссирую вдруг.

Любимой науке служу много лет,

С ней засыпаю и встречаю рассвет.

Логики строгой и мысли полет –

Вот что меня к ней влечет.

Пусть учитель сейчас не в моде,

Арлекин или шут он вроде,

Математика многих предметов мудрей,

Игры разума правят в ней.

Каскады чисел и симфония симметрий

Меня пленяют и вдохновляют.

Дождем лучистым посылают озаренье.

Урок окончен, а сил уж нет,

Но от детей идет поддержки свет.

Улыбок море окрыляет меня

И мысли свет в их глазах и умах.

Сквозь тернии к звездам их вести мне дано.

Закон Вселенной им познать суждено.

Открытий чудных много ждет на пути

И каждый может счастье здесь обрести.

Живу надеждой, что все это игра,

Всегда быть в форме – судьба моя.

Паруса могут быть не только алыми. Но и умными

Татьяна Иванова убеждена, что корабль жизни может нести в счастливое будущее только того, кто овладел знаниями. Сделать все, чтобы попутный ветер помогал достичь успеха каждому ученику, по ее мнению, задача учителя.

– С чего начинается каждый раз закладка нового судна? Конечно, она начинается с интереса и желания.

«Я хочу учиться!» – говорит восьмиклассник, который приходит в первый раз в восьмой класс нашего лицея, и я хочу, чтобы это желание у него осталось на всю жизнь.

Я хочу, чтобы развитие моих подопечных начиналось именно с интереса и желания.

А с чего все начинается? С математических игр, конкурсов, эстафет, со знакомства с математическими парадоксами и удивления перед математическими софизмами.

На занятиях в кружках и на спецкурсах мы начинаем проходить уже очень трудный материал, готовимся к будущему олимпийскому математическому движению. Мы участвуем в московских математических регатах и международных математических боях, которые проходят между математическими школами. В последний раз такая встреча у нас была с французами.

Основным мотивом развития становится: «Я решил самую трудную задачу!», и поднимается новый парус на нашем судне.

Но одного интереса и желания мало, известно, что гений состоит только из одного процента вдохновения, остальное – труд.

Моя главная задача – научить ребят трудиться и самостоятельно мыслить. Через что же это все решается? У меня есть специальная система дидактических материалов, рассчитанная на зону ближайшего развития ребенка, специальные упражнения, на которые я трачу уйму времени, разрабатывая их для классной, домашней, самостоятельной, контрольной работ. Затраты времени оправданы – ветер наполняет новый парус: «Я много умею и много знаю, а еще больше стремлюсь узнать!»

Рейтинговая система оценки, коллоквиумы, зачеты – неплохой стимул для овладения математикой на дальнейшем этапе.

Конец учебного года – это большой праздник – общественный смотр знаний, на который приглашают преподавателей кафедр математики, физики, информатики, старшеклассников, выпускников школы и, самое главное, родителей. Успехи, которых достигли наши дети, они демонстрируют всем, и в итоге выходят очень довольными и дети, и родители. Получается праздник для всех. Эти достигнутые успехи в дальнейшем укрепляют мотивацию, и это, пожалуй, тот этап – главный, переломный, который помогает понять: вот она – очередная вершина. Дети уже чувствуют вкус к победам, они познали первый успех. И мы им предлагаем участие в конкурсах, олимпиадах, в математических регатах и математических боях. Практически сто процентов моих учеников проходят через эти увлекательные состязания, получают призы и награды. Лучше награды никто больше ничего не придумал для поддержания мотивации. Тут поднимается новый парус: «Я – победитель олимпиады!»

За последние три года, по подсчетам коллег, мои дети взяли 88 призов на разных соревнованиях, начиная с окружных и заканчивая всероссийскими олимпиадами.

Но время идет, и, после того как дети уже почувствовали вкус удачи и успеха, втянулись в процесс познания математики, они по символическому корабельному трапу, по корабельным канатам поднимаются все выше и уже готовы к работе над очень серьезными проектами по математике, физике, программированию. Один из наших проектов в этом году победил на конкурсе «Шаг в будущее», пять ребят-одиннадцатиклассников стали победителями научно-исследовательской конференции «Шаг в будущее» и студентами МГТУ имени Н.Э.Баумана.

На главную палубу нашего корабля выходят успешные творческие личности. Творческие потому, что, если в школе ученик не научился сам ничего творить, то в жизни он может только подражать, только копировать. Учеба – это труд, а труд – это когда трудно.

20 минут на то,

что дается обычно

за 13 часов

На конкурсном мастер-классе Татьяна Иванова предложила своим ученикам поговорить о множествах. Основная трудность для нее заключалась в том, что на сцене в качестве учеников сидели и те педагоги, которые далеки от точных наук, поскольку преподают гуманитарные. Но все с заданиями справились, может быть, потому, что у них был такой замечательный учитель.

Все началось с определения того, что такое лето. Ученики сказали, что это тепло, счастье, отдых, удовольствие и так далее. Ко всему этому множеству красивых эпитетов учитель присоединила свои и объявила тему урока «Элементы теории множеств». Дальше пошел разговор о том, что же такое множества, как их складывать, умножать. Учитель сказала, что они даже выведут законы множеств, что совсем непросто.

На самом деле мир вокруг нас наполнен множествами. Это множество дней недели, множество учеников на уроках, множество учителей, которые работают в московских школах, множество поэтов, книг, эмоций и так далее.

Наблюдая мир, мы наблюдаем множества. Одним словом множества можно определить как совокупность, собрание, ансамбль, группа, семейство, набор, коллекция и так далее.

В математике как в особо точной науке не раз ученые пытались определить, что такое множество, но никому так и не удалось это сделать, потому что, давая определение, мы обычно делаем это через более общее понятие, а более общего понятия, чем множество, не нашлось.

Но Татьяне Ивановой очень понравилось описание множества, данное немецким математиком, основоположником теории множеств Георгием Кантором: множество есть многое, мыслимое нами как единое.

После признания в этом Татьяна Борисовна предложила группам своих взрослых учеников ровно за одну минуту из разных красных фигурок по группам сложить квадрат, а из желтых – прямоугольник. Таким образом, им нужно было реализовать на практике определение Кантора: из многого собрать единое. Задание было выполнено, хотя сделать это было не так уж и просто. Георгий Кантор, отметила Татьяна Борисовна, был бы результатами работы доволен.

Теория множеств, как и любая другая теория, обладает своей символикой. Поэтому дальше разговор пошел о математической записи множеств, о задании множеств и о многих других очень важных вопросах. Решая предложенные задачи, ученики даже смогли определить из пяти слов то, которое в данное множество не входит, поскольку не имеет таких свойств, которые имеют остальные элементы множества. (По иронии судьбы, лишним оказалось слово «оклад», которое в жизни учителя отнюдь не лишнее.) А затем все составляли слова из данного учителем множества букв. Это была комбинаторная задача, поскольку все составляли подмножества из множества. И тут учитель дал определение того, что такое подмножество и чем оно отличается от множества.

Все так освоили тему урока, что уже могли найти ошибки в предлагаемых множествах и сравнить эти множества, прочитать математическое высказывание и дать ответ, верно это высказывание или нет. Когда ученица, в жизни учитель литературы, сказала: «Высказывание «Множество Игрек – подмножество множества Зет» – верное» и обосновала правильность вывода тем, что «все элементы множества Игрек принадлежат множеству Зет», это было настоящей кульминацией урока.

А учитель предложила своим ученикам такую поучительную историю: «В октябре 1887 года знаменитому сыщику Шерлоку Холмсу понадобилось выяснить название одного парусного судна, он знал, что в таком-то году судно находилось в одном порту, в таком-то году – в другом порту, а в настоящий момент – в Лондонском. Шерлоку Холмсу потребовалось всего лишь несколько секунд, чтобы раскрыть дело и найти это судно. Для этого он сравнил три множества: множество парусников, стоявших в одном порту, с множеством парусников, стоявших в другом порту, и множеством парусников, стоящих в Лондонском порту. Оказалось, что только одно судно под американским флагом «Одинокая звезда» находилось во всех трех портах. Поскольку преступник, как предполагал сыщик, был американцем, дело было раскрыто». В результате на уроке был сделан вывод, что так оперировать множествами полезно не только сыщику, но и вообще всем людям, желающим получить информацию и найти ответ на тот или иной вопрос.

Дальше шла задача: «По итогам анкетирования учеников были получены следующее данные: из восьми человек шесть мечтают после конкурса отправиться в Париж, три из них хотят поправить свою нервную систему на Сейшелах. Известно, что каждый из них обязательно хотел бы побывать или там, или там. Вопрос, есть ли среди них мечтатель, который хотел бы оказаться и в Париже, и в США?» Ученики посчитали, что такой человек есть. Учитель, как выяснилось, клонила к проблеме пересечения множеств, а потому предложила закрасить на бумаге пересечение трех множеств, что сумели правильно сделать все. А уж с задачей «Два сына, два отца, а вместе – три человека» справились просто играючи и перешли к обсуждению темы сложения, объединения множеств.

В итоге ученики узнали на уроке, что такое множество, подмножество, какие действия можно выполнять с множествами и многое другое, а в конце урока получили маленькие оригами-суденышки, которые должны принести им удачу в жизни.

Жюри желает знать

Татьяне Ивановой члены жюри задавали больше вопросов, чем остальным конкурсантам, и это симптом. Когда умудренные судьи хотят знать о работе оцениваемого ими многое, значит, его работа их заинтересовала.

– Татьяна Борисовна, на уроках математики обычно «западает» ее связь с историей, в частности с историей математики. Какую долю урока вы отводите роли личности в математике?

– Вообще по ходу дела практически каждая новая тема на моем уроке начинается именно с этого, потому что теорема Ферма и другие теоремы, формулы тесно связаны с именами ученых. Но в этом плане большую инициативу проявляют сами дети. Когда они вырастают, то упоминают великих математиков в своих проектных работах. А когда они еще маленькие, то делают это в рефератах, в выступлениях на математических праздниках.

– В презентации опыта работы вы упомянули, что большое внимание уделяете конкурсным и олимпиадным задачам, которые требуют специфического подхода. Кроме того, при подготовке к математическим боям, конкурсам, как все мы знаем, всегда используется много самого разного материала, для которого на уроках в рамках программы времени не отводится вовсе. Как вы находите для этого время?

– Я нахожусь в привилегированном положении – у меня 8 часов математики, но, кроме того, я веду еще спецкурсы в разных классах. Например, мы изучаем множества более глубоко, красиво на богатом иллюстративном материале в рамках спецкурса. Конечно, я ввожу с 8-го класса исследовательские задачи, от этого никуда не деться, и различные олимпиадные задачи логического плана, но это на спецкурсах и в кружках. Честно говоря, я стараюсь на уроках или для домашней работы предложить такую задачу, для решения которой нужно знать больше, чем, допустим, предполагает программный материал. Когда мы готовимся к математическим регатам, ребята вытаскивают из интернета прошлые задания, собирается папочка задач, которые можно решать, потому что это им интересно.

– Как много ваших учеников идут потом в математические вузы?

– В этом году одна из моих выпускниц поступала на лингвистику в МГУ, где сдавала математику. Остальные поступали в технические вузы. У нас ведь учебное заведение, спрофилированное на МГТУ имени Н.Э.Баумана, МИЭМ, Текстильный. Сейчас нас очень полюбила Академия ФСБ, преподаватели приходят и «вербуют» выпускников.

– У нас сейчас есть много учебников по математике. Учителя порой ведут уроки по трем-четырем учебникам, находя в каждом нужное только им. Скажите, по каким принципам вы выбираете учебники для своих учеников?

– Физико-математические классы, к сожалению, обделены хорошей учебной литературой. Тот учебник Виленкина, который есть, достаточно устарел, он не отражает потребности нашего времени. Я ориентируюсь, честно говоря, на Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, есть такая подборочка Вавилова – его трехтомник «Алгебра», «Неравенства» и «Математический анализ». Это мои главные три книги. Еще Литвиненко – «Геометрия» и «Алгебра». Все это учебники очень высокого уровня. Почему я сказала на презентации опыта, что много времени трачу на подготовку дидактических материалов, причем каждый год приходится готовить новые? Потому что дети растут, у них проявляются разные интересы, я же нахожу новые и новые подходы подчас к уже наработанным темам. Для этого нужны учебники повышенного уровня.

– Есть такое мнение, что на уроке математики ученикам должно быть трудно, и если не на всем уроке, то во всяком случае на каких-то фрагментах урока уж точно. Вы разделяете это мнение?

– Для моих учеников на уроках всегда есть трудности, потому что на этих уроках они всегда трудятся.

– Как вы сами растете?

– Вместе с детьми в процессе обучения. До этого повышала квалификацию в МГТУ имени Н.Э.Баумана.

– А как бы и где хотели поучиться?

– У меня мечта попасть на курсы в Физтех, но они платные, и денег у меня на это нет. Почему туда? Потому что там очень интересный подход к решению задач с помощью координатно-векторного метода. Жутко хотелось бы посмотреть, как они там это делают. Некоторые наши выпускники, когда приходили туда на курсы, приносили задачки, и я с интересом их анализировала.

Я вызываю к барьеру всех тех, кто против математики

Лекция Татьяны Борисовны была не просто лекцией, а участием в ток-шоу «К барьеру». Она вызвала на поединок незримого, но очень критически настроенного по отношению к математике и математикам оппонента и спорила с ним от всей души, находя весомые аргументы в защиту любимого предмета. Итак:

– Я, Татьяна Иванова, преподаю математику и считаю, что она должна быть основой элитарного образования. Поэтому я готова отразить все доводы скептика. Например, такой: «Зачем углубляться в математику среднестатистическому ученику, которому в жизни не понадобятся все эти интегралы, пределы, область определения функций, секансы, экстремумы и масса других бесполезных определений, за которыми для взрослого человека, имеющего семью, работу, ничего не стоит?»

Часто слышу такие слова и считаю это опасной точкой зрения.

Во-первых, хорошее математическое образование полезно представителям самых разных специальностей, в том числе и весьма далеких от математики. Тот, кто хорошо знает математику, смог добиться в жизни существенных успехов, сделать карьеру. Например, Борис Грызлов, спикер Госдумы РФ, в 1973 году окончил Ленинградской электротехнический институт связи; Анатолий Чубайс, руководитель РАО ЕЭС, в 1977 году завершил учебу в Ленинградском инженерно-экономическом институте имени Пальмиро Тольятти; Михаил Фрадков, премьер-министр РФ, выпускник Московского станкоинструментального института, Михаил Фридман, председатель совета директоров ОАО «Альфа-Банк», – Московского института стали и сплавов, а Олег Дерипаска, президент АО «Русский алюминий», – физического факультета МГУ.

Во-вторых, невозможно на школьной скамье определить, кто войдет в будущую элиту, а кто – нет. Даже ставить такую задачу безнравственно.

В-третьих, если представить систему математического образования в виде горы, вершина которой соответствует элите, то, чтобы эта вершина находилась на высоте, соответствуя современным требованиям, необходимо правильно выстроить эту гору. Опуская подножие горы, мы опускаем и ее вершину.

Но скептика, пожалуй, сразу не удовлетворит мое объяснение. Он снова задаст вопрос: «А как же тогда объяснить высочайший уровень развития производства и жизни в США, где далеко не самое лучшее в мире математическое образование?»

Отвечаю, что его недоумение по этому поводу мне понятно. В странах со стабильной и высокоразвитой экономикой, с высоким уровнем жизни большей части населения важнейшая задача образования – воспроизводство социальной системы. При этом сам уровень образования может и не быть высоким, а общая образованность, необходимая в производстве, может поддерживаться за счет импорта специалистов. В странах же менее развитых экономически, с низким уровнем жизни, ставящих своей целью социально-экономическое развитие общества, едва ли не единственным способом осуществлять такое развитие за счет лишь внутренних резервов становится путь развития системы образования. Принятию этого постулата так называемой отечественной элите мешают наши природные ресурсы. Именно отсутствие этих ресурсов вынудило Китай развивать именно систему образования.

Чтобы развивать современное производство, современные технологии, управлять этим производством и принимать верные социально-политические и экономические решения, необходимы не только глубокие математические знания, но и в первую очередь владение математическими методами.

И тут скептик использует запрещенный прием: «А если бы уважаемый господин Фрадков спросил, зачем вообще нужно математическое образование, если математики-теоретики далеки от практических проблем, как бы вы его стали переубеждать?»

Я бы сказала Михаилу Ефимовичу, что в нашем государстве нужны очень умные, глубоко мыслящие люди, способные разрешить труднейшие проблемы, которые стоят перед нашей страной. Очень хорошо, если таких людей удастся найти именно среди математиков. В 1952 году к очень мудрому человеку, выдающемуся математику, академику, ректору МГУ в 1952-1974 годах Ивану Георгиевичу Петровскому обратился отец всех народов Иосиф Виссарионович Сталин. Великий вождь хотел создать великую атомную бомбу, он понимал, что нужно создавать новую вычислительную технику, космическую навигацию и прочее, поэтому и спросил академика, где найти таких людей, которые смогут это сделать. Петровский сказал: возьмите студентов и выпускников мехмата.

На мехмате МГУ учили не только решать прикладные задачи, но, главным образом, учили мыслить, и это дало возможность огромной массе людей выполнить все поставленные задачи. Это было результатом работы первоклассных университетов Москвы, Ленинграда, Харькова, Киева и Новосибирска.

«Но когда это было? – вопрошает скептик. – А сейчас математическое образование переживает кризис, умирает; в таком состоянии как оно может способствовать развитию цивилизации?»

Странно, что скептик не понимает элементарного: людям необходимо иметь модель, при которой человечество будет существовать, а создание такой модели требует огромного количества интеллектуальной силы. Для этого и нужно элитарное, возвышенное образование, которое без математики невозможно.

А скептик не унимается: «Но ведь что-то случилось с математическим образованием в нашей стране, когда-то мы были лучшими, а сейчас земля Российская оскудевает талантами?»

Есть парадокс, которому я не устаю изумляться. Тоталитарное государство, к сожалению, рождает хорошее математическое образование. Согласно всяческим международным исследованиям страны тоталитарного духа дают высокое математическое образование, потому что только в тоталитарной схеме можно заставить людей в десятилетнем возрасте три месяца подряд складывать дроби с разными знаменателями. С другой стороны, математика в тоталитарном обществе – это дополнительная степень свободы и даже некое диссидентство. В СССР математик не обязательно должен был вступать в партию. Если уж ты занимался общественными науками, тебе не отвертеться, а в математике можно было двигаться вперед в своей ученой карьере и без партийного билета. Тот же Иван Петровский был единственным беспартийным ректором МГУ. Это был момент диссидентства, момент внутренней свободы. Свободы, которая давала математикам возможность усомниться, возможность требовать доказательств!

Почему сегодня кризис в математическом образовании? Потому что налицо утечка мозгов, потому что сегодня просто так выучивать формулы корней квадратного уравнения ребенок не хочет, и его нужно обучать так, чтобы ребенок ощущал развитие, получая удовольствие от ощущения, что он преодолевает трудности обучения для своего развития.

И тут скептик заставляет меня долго объяснять, «что, собственно, могут дать духовному и культурному развитию тяжелые повседневные занятия математикой не только на уроке, но и дома ребенку, который хочет погулять, сходить в театр и кино, почитать книжку?»

Но разве математика – не существенный элемент культуры? Я рисую радугу и предлагаю поискать в различных областях влияние математики на гармоничное развитие ребенка.

Математика вообще и геометрия в частности – феномены общечеловеческой культуры.

Математика возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. С точки зрения многих религий и религиозных культов мира математическое знание имеет высшее божественное происхождение. Духовно развитый человек должен иметь достаточное математическое образование.

Математическое знание теории, методы и факты образуют удивительно ценный, гармоничный и непротиворечивый мир, заполненный удивительными творениями человеческого гения, способный развиваться эстетически.

В основе математических знаний лежит принцип доказательности, один из самых нравственных принципов, созданных мыслящим человеком. Занятие математикой, по мнению Льва Николаевича Толстого, развивает добродетель. А если говорить об идеалах демократии, то мы вправе утверждать, что именно в математическом сообществе эти идеалы реализуются с наибольшей полнотой и именно благодаря принципу доказательности, регулирующему взаимоотношения в этом обществе.

Процесс занятия математикой способствует развитию интуиции и воображения, и это ярче всего проявляется в геометрии.

То, что именно математика среди всех учебных предметов наиболее способствует интеллектуальному развитию учащегося, общепризнанно и общеизвестно. Следует добавить, что именно математика обычно используется для измерения интеллектуального развития ученика. Здесь, безусловно, важную роль играют математические знания и математический метод. Уже сам процесс занятий математикой обладает огромным развивающим потенциалом. Для полноценного интеллектуального развития ребенку необходима полноценная интеллектуальная пища. Здесь следует добавить, что математика (и геометрия особенно!) представляет собой экологически чистую интеллектуальную пищу. А это очень важно сегодня, когда окружающая среда, в том числе и образовательная, подвержены всякого рода загрязнениям. Безусловно, важнейшая цель математического образования в школе – приобретение знаний и овладение математическим методом.

Математика, как мы все знаем, развивает такие важнейшие механизмы, как интуиция и воображение, вооружает логическим методом, с помощью которого можно обосновать истинность или ложность любого утверждения.

«А как же быть с тем, что математические числа – холодны, равнодушны, мертвы, – философствует скептик. – Помните, как у Николая Гумилева сказано: «А для низкой жизни были числа, как домашний подъяренный скот?».

А кто сказал, что мнение Гумилева – единственно верное? Ведь на этот счет у литераторов и поэтов были и иные. Например, такое:

Мечтатели, сибиллы и пророки,

Дорогами запретными для мысли,

Проникли – вне сознания – далеко

Туда, где светят царственные числа.

Предчувствие разоблачает тайны,

Проводником нелицемерным светит

Едва откроется намек случайный,

Объемлет нас непересказанный трепет.

Вам поклонюсь, я вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени.

Вы радугой связующей повисли

К раздумиям с вершины вдохновения.

Виктория Молодцова

Эпиграмма и фото автора

Задача 267 — Виленкин Математика 6 класс ответы гдз

среднее образование — Учебники алгебры для одаренных школьников

Примечание. Я задал приведенный ниже вопрос на Math Stack Exchange (ссылка), но не получил действительно удовлетворительного ответа, поэтому я публикую его и здесь.

Я ищу учебники алгебры / математики для старших классов, ориентированные на талантливых студентов, в качестве подготовки к полностью строгому математическому анализу а-ля Spivak. Меня интересуют лучшие материалы на английском, французском, немецком или иврите.

В идеале, книги должны давать всестороннее введение в алгебру на этом уровне, начиная с самых основных операций с многочленами. Он должен включать в себя необходимую теорию (например, теорему Безу об остатках для многочленов, доказательство основной арифметической теоремы, алгоритм Евклида, более честное обсуждение действительных чисел, чем обычно, доказательства свойств рациональных показателей и т. Д., А также общую позицию. что все утверждения должны быть доказаны, за некоторыми исключениями).У него также должны быть задачи, которые варьируются от упражнений, знакомящих студентов с основными алгебраическими манипуляциями с многочленами, до гораздо более сложных.

В частности, я ищу что-то похожее по духу на серию отличных русских книг Виленкина для учащихся так называемых «математических школ» с 8 по 11 классы, хотя я ищу только эквиваленты 8 и 9 классов. книги, которые находятся на уровне предвычисления. Чтобы дать вам представление, вот примеры типовых задач из 8-классной книги.2 — 5x + 2 | $.

А вот названия глав для 8-го и 9-го классов.

8 класс: Дроби. Полиномы. Делимость; простые и составные числа. Действительные числа. Квадратные уравнения; системы нелинейных уравнений; разрешение неравенства.

9 класс: Элементы теории множеств. Функции. Силы и корни. Уравнения и неравенства и их системы. Последовательности. Элементы тригонометрии. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

В целом похожие вопросы задавались и в других местах, однако сделанные там предложения не подходят для моих целей.

1. Английский перевод книг Гельфанда хороший; однако они не являются достаточно широким введением в алгебру средней школы и не содержат достаточного материала по вычислительной технике. Они больше похожи на приложения к обычному учебнику.

2. Были предложены некоторые книги 19-го века, такие как Холл и Найт.Что касается концептуального материала, они, как правило, слишком стары по языку и мировоззрению.

3. Базовая математика Сержа Ланга, кажется, больше занимается различными темами, чем дает подробное введение в алгебру.

4. Я не склонен к книгам с очень сильной ориентацией на «новую математику» (например, 1971–1983, Франция). Я не думаю, что студенту нужно разбираться в группе аффинных преобразований $ \ mathbb {R} $, чтобы знать, что такое линия.

Кроме того, предыдущие вопросы, возможно, неявно касались материала на английском языке.Я имею в виду студента, который также легко может читать на французском, немецком или иврите, если на этих языках можно найти что-нибудь получше.

Править. Хочу пояснить, что я прошу не чего-то похожего на эти книги, а чего-то максимально близкого их духу. По сути, это означает: 1. Это скорее замена, чем просто дополнение к обычному школьному учебнику алгебры. 2. Он ориентирован на наиболее способных студентов. 3. Он передает сообщение о том, что доказательства и творческое решение проблем занимают центральное место в математике.

Природа и воспитание математической одаренности

Реферат

Учебная литература часто включает дискуссии о природе и воспитании математической одаренности. Различные школы мысли отражают расхождения во взглядах, которые в значительной степени являются функцией философских, политических и экономических соображений. Чтобы обратиться к этой дискуссии, в контексте текущего специального выпуска ZDM я попытаюсь проанализировать исследования и практику, связанные с математической одаренностью в Советском Союзе в 1960–1980 годах.Я также смотрю на продолжение этих практик советской эпохи и на их влияние на практику в международном масштабе. Особое внимание уделяется литературе, посвященной более глубокому пониманию феномена математической одаренности и способов ее воспитания. Анализ начинается с обсуждения предметных и общих характеристик математической одаренности, которые необходимо учитывать в образовательной среде для математически одаренных.Он продолжается обзором практики в специальных математических школах и классах в Советском Союзе и сравнением с аналогичными условиями по всему миру в двадцать первом веке. Также представлен обзор дополнительных математических мероприятий с упором на математические кружки, математические соревнования и олимпиады, сопровождаемый описанием специфики математического содержания, используемого для развития математической одаренности. Наконец, статья посвящена вопросу о том, что характеризует превосходного учителя математически одаренных учеников, и новых образовательных технологиях, которые меняют образование этих учеников во всем мире.После этого анализа я предлагаю несколько открытых вопросов для будущих исследований по обучению математически одаренных учащихся.

Ключевые слова: Математическая одаренность, Занятия для математически одаренных, Специализированные математические школы, Математические олимпиады и кружки, Ускоренное обогащение и углубление в математике

Введение

Образование математически одаренных учеников является предметом дискуссии в математическом образовании сообщество, которое перекликается с продолжающимися дебатами об образовании одаренных в целом.Эта дискуссия включает обсуждение основных вопросов, по которым исследователи и преподаватели не согласны. Некоторые из этих вопросов связаны с разными ответами, которые психологи, социологи, политики и экономисты дают, отвечая на такие вопросы, как следующие: какова природа и структура математической одаренности? Как можно развить и реализовать математическую одаренность? Каковы основные цели, действия, условия и инструменты, позволяющие эффективно обучать одаренных учащихся? На каждый из этих вопросов можно получить множество ответов в зависимости от выбранной точки зрения, и часто позиции не только разные, но и противоположные.

Часто эти дебаты уходят корнями в (неправильную) интерпретацию равенства в образовании, в то время как их суть заключается в предоставлении всем учащимся — независимо от их способностей — множественных возможностей для максимальной реализации и развития своих способностей. Таким образом, образовательная система должна снабжать всех учащихся инструментами и стратегиями для обучения и получения удовольствия от обучения. В частности, необходимо тщательно развивать математические способности как для личного, так и для общественного благополучия; индивидуальная самооценка; и общественный, технический и научный прогресс.

Далее я начну с обзора литературы, который попытается ответить на вопрос «Что мы знаем о математической одаренности?» С особым вниманием к предметным и общим характеристикам математической одаренности. Затем я перехожу к ответу на вопрос: «Как можно обучить математически одаренных учеников?». Я анализирую специальные математические школы и классы, организованные в бывшем Советском Союзе (в основном в 1960–1980-е годы), по сравнению с сегодняшним образованием для одаренных в России, в других социалистических странах. и в постсоциалистических странах, и на Западе.Я совмещаю анализ соответствующей литературы с рефлексивным изложением опыта обучения в специальной математической школе № 30 ¹ в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) в 1976–1978 годах. Я использую призму теории деятельности (Леонтьев, 1978), сосредотачиваясь на целях, действиях, условиях и инструментах, связанных с обучением математически одаренных учащихся. Я рассматриваю особенности специальных математических школ, классов и математического содержания, используемого для развития математической одаренности.Затем я перехожу к математическому обогащению, включая математические кружки, математические соревнования и олимпиады. Я обсуждаю образование учителей математически одаренных и обращаюсь к главному сдвигу, поскольку образовательные технологии берут на себя новую роль в обучении математически одаренных учеников.

Что мы знаем о математической одаренности?

Специфические характеристики математической одаренности

Споры о существовании одаренности ведутся давно.Например, во введении к книге Крутецкого (1968/1976) Килпатрик и Виршуп писали следующее: «В Советском Союзе исследования индивидуальных различий в способностях прекратились в 1936 году, когда Центральный Комитет Коммунистической партии запретил использование умственных способностей. тесты. Хотя тесты на успеваемость по-прежнему использовались для измерения успеваемости в школе, другие виды тестов были запрещены педагогам и исследователям…. Это препятствовало поиску эффективных методик обучения »(Kilpatrick & Wirszup, 1976, p.xii). Двадцать лет спустя Крутецкий признал: «Каждый более способен в одних и менее — в других видах деятельности. Объявить кого-то неспособным в определенной области (не только в музыке, танцах или изобразительном искусстве, но также и в математике) не означает, что он неполноценен или бездарен в целом. Это означает лишь то, что его способности лежат в других областях »(Крутецкий, 1968/1976, с. 3).

Колмогоров (https://hr-portal.ru/article/kolmogorov-o-razvitii-matematicheskih-sposobnostey) в письме Крутецкому, написанном в ответ на его исследовательскую книгу Психология математических способностей школьников. подчеркнул, что раннее развитие математических способностей особенно важно для математически одаренных учеников.Он указал, что вопрос «в каком возрасте можно оценивать математические способности» является центральным для школ-интернатов, которые были созданы в начале 1960-х годов для математически одаренных подростков. Интересно, что он утверждал, что, основываясь на своей практике работы с математически одаренной молодежью, до 10–12 лет общего развития умственных способностей может быть достаточно. Однако возраст 14–15 лет имеет решающее значение для развития специальных математических знаний и навыков. Таким образом, вступительные экзамены в школы-интернаты проводились с 8 по 9 классы.Колмогоров также отметил, что для проведения вступительных экзаменов необходимо разработать формальные и проверенные инструменты для оценки математических способностей. Колмогоров связывал высочайший уровень математических способностей с «серьезной научной работой и настоящими научными открытиями».

Обычно математическая одаренность измеряется чрезвычайно высокими математическими способностями. Часто это связано с творчеством. Профессиональные математики, математические открытия которых признаны их коллегами (например.g., опубликованные в профессиональных журналах, награжденные призами и грантами) в конечном итоге считаются математически одаренными людьми (где талант определяется как реализованная одаренность). Творческий потенциал профессиональных математиков побудил исследователей установить связь между математическим талантом и математическим творчеством (Hadamard, 1945; Leikin, 2019a, 2019b; Sriraman, 2005). Эрвинк (1991), например, утверждал, что творчество является критическим компонентом решения проблем, связанных с продвинутым математическим мышлением, которое связано со способностью человека воспринимать оригинальные, неалгоритмические и часто основанные на интуиции решения.Лейкин (2019a) предположил, что «ученик является математически одаренным, если он / она демонстрирует высокий уровень математических способностей в рамках контрольной группы и способен создавать математические идеи, которые являются новыми в отношении его / ее образовательной истории» (стр. 3 ).

В области исследований в 1955–1966 гг. Исследовательская группа Крутецкого в Институте психологии АПН СССР проводила исследования математической одаренности. Работа «Психология математических способностей школьников » была новаторским в советской действительности.В этом исследовании особое внимание уделялось различиям в математической успеваемости «способных, средних и неспособных» школьников.

Исследование Крутецкого (1968/1976) остается уникальным и по сей день из-за размера исследуемой группы исследователей, сочетания поперечных и продольных исследований, точной постановки серии задач и разнообразия методов исследования. использовал. Около 200 школьников в возрасте 6–17 лет были индивидуально опрошены и классифицированы как имеющие один из трех уровней математических способностей, а именно «способные, средние и неспособные».Исследовательская группа наблюдала за более чем 1000 учениками, чтобы проанализировать их успехи по различным школьным предметам, уделяя особое внимание математике. Кроме того, было проведено несколько тематических исследований с девятью особо одаренными студентами с использованием индивидуальных интервью. Исследование привело к пониманию особых характеристик, необходимых для высоких математических способностей, включая запоминание математического содержания, схватывание структур, логическое рассуждение, способность к обобщениям, гибкость ума, склонность к поиску простых и элегантных решений и математический склад ума. что связано с математическим любопытством и увлечением новыми идеями.

Обширное продольное исследование математически недоразвитой молодежи , начатое Джулиусом Стэнли в 1969 году, проводилось в течение более 45 лет. Исследователи изучили карьеры 5000 человек и продемонстрировали, что математический талант этих студентов превратился в таланты в предметах STEM (Lubinski & Benbow, 2006). Исследование показало, что SAT-M служит хорошим предсказателем высоких математических способностей. Шрираман (2005) проанализировал связь между уровнями математического творчества и предложил модель, которая отражает эту связь, утверждая, что математическая одаренность является важным компонентом математического творчества на высоком уровне, ведущем к историческим математическим открытиям.Было показано, что математически одаренные люди используют разные стратегии решения проблем и могут классифицировать проблемы в соответствии с принципами решения и выбирать наиболее эффективные способы решения определенного типа проблем. Было показано, что математически одаренные студенты могут быть более гибкими и творческими, когда это необходимо для решения задач несколькими способами (в отличие от других студентов) (Lev & Leikin, 2017), а также для успешного решения задач, основанных на понимании (Leikin et al. , 2016).

Интересно, что Григоренко (2017) в своем обзоре общего образования одаренных и талантливых в России в XXI веке утверждает, что, хотя российская теоретическая литература и практика весьма впечатляющи, объем эмпирических исследований в области одаренных и талантливые ограничены.Этот аргумент применим к систематическим исследованиям математической одаренности. Его редкость отражается в очень небольшом количестве статей в ведущих журналах по математическому образованию, в которых «математическая одаренность» входит в число ключевых слов. Существует потребность в систематических исследованиях в этой области, направленных на решение следующих вопросов:

• Хороши ли математически одаренные ученики во всех областях математики, или существует ли одаренность, присущая определенной математической области?

• Каким образом одаренные ученики изучают математику? Можно ли применить эти способы обучения к обычным ученикам или они применимы только к математически одаренным?

• Какие типы математических задач лучше всего подходят для выявления математических способностей в более раннем возрасте? В начальной школе? В средней школе?

• Можно ли считать математическое понимание окончательной характеристикой для выявления математической одаренности во всех возрастах?

• Может ли математическое творчество служить показателем математической одаренности школьников?

Общие характеристики математической одаренности

Сопротивление принятию одаренности в целом и математической одаренности в частности как реальности, а также многие предположения о математической одаренности связаны со значением термина «дар».Например, согласно словарю Merriam-Webster, дар — это «выдающаяся способность, талант или одаренность» (https://www.merriam-webster.com/dictionary/gift), а одаренный — это те, «имеющие большие природные способности ».

С одной стороны, эти определения приводят к ошибочному мнению, что если математический дар является даром, то он определяет математическое развитие людей «естественно», то есть независимо от возможностей обучения, которые они получают. Математическая одаренность рассматривается как форма фиксированной теории интеллекта, противостоящей теории «роста» интеллекта, которая связывает интеллект с обучением, усилиями, тренировками и практикой.Это различие согласуется с «теорией мышления» Двека (2012), которая противопоставляет установку на данность и установку на рост. Болер (2016) сделал еще один шаг вперед, критикуя одновременно математическую одаренность, «фиксированное мышление» и предположение, что математическая одаренность имеет генетическую природу. Основываясь на этих аргументах, она выступала против преподавания математики для математически одаренных в специальных рамках и выступала за обучение всех учащихся в разнородных классах путем упорного труда.

Карп (2017) писал следующее:

Сегодня мы все еще очень мало знаем о биологическом аспекте гения.Честно говоря, я очень сомневаюсь, что даже через 200 лет, с учетом каких-то невероятных, революционных открытий, обнаружение потенциального гения станет своего рода проверкой … В то же время я бы не стал категорически утверждать, что мы никогда не сможем открыть некоторые общие биологические характеристики, общие для всех известных математических гениев. (стр. 161)

Если мы не можем сказать, что существуют четкие исследовательские доказательства генетической природы математической одаренности, это не означает, что ее не существует.Более того, исследования показывают, что математические способности имеют генетическую и экологическую этимологию (Petrill et al., 2009; Tosto et al., 2014). Petrill et al. (2009) утверждали, что «нельзя предположить, что навыки, необходимые для высокой математической успеваемости, преподаются и изучаются в генетическом вакууме» (стр. 378). Цель обучения — обеспечить правильную последовательность действий окружающей среды с должной интенсивностью. Таким образом, только специально разработанное математическое образование может предоставить математически одаренным ученикам задания, требующие упорного труда для реализации и максимизации их больших природных способностей.Таким образом, «установка на рост» важна для математически одаренных, а осознание учащимися своих математических способностей в сочетании с установкой на рост может заставить их почувствовать ответственность за предотвращение потери талантов (Leikin, 2019a).

За последние два десятилетия было проведено больше исследований математической одаренности с акцентом на общие характеристики математической одаренности в предметной области. Было продемонстрировано, что математически одаренные ученики лучше других учащихся в скорости обработки информации (Deary, 2000; Leikin et al., 2017; Paz-Baruch et al., 2014, 2016; Steiner & Carr, 2003) и рабочей памяти (Agostino et al., 2010; Leikin et al., 2014; Meyer et al. 2010; O’Boyle, 2005). Нейрокогнитивные исследования продемонстрировали отличительные характеристики активации мозга у математически одаренных людей по сравнению со средним населением (Butterworth, 1999; Dehaene & Cohen, 1997; O’Boyle, 2005). Эти характеристики включают (а) специфический нервный механизм правого полушария головного мозга (O’Boyle & Benbow, 1990; Singh & O’Boyle, 2004) и (б) активацию соответствующих задачам регионов, а также хорошо организованную и согласованный способ активации обоих полушарий (Dehaene et al., 1998; О’Бойл, 2005).

Подводя итог, можно сказать, что многие исследования демонстрируют специфические характеристики математически одаренных учащихся в математической, когнитивной и нейрокогнитивной областях; однако лонгитюдные исследования могут пролить свет на следующие вопросы:

• Являются ли базовые когнитивные черты и нейрокогнитивные характеристики предикторами математической одаренности, или они развиваются в связи с математическими знаниями и навыками?

• В каком возрасте можно четко определить математические способности?

• Какие факторы окружающей среды особенно важны для реализации математического дара?

Как получить образование математически одаренных?

Снижение неоднородности: специализированные математические школы и классы

В Советском Союзе первые математические школы появились в конце 1950-х годов (Marushina & McGee, 2016) как «случайность или результат местной« интриги »… в стране четко осознавали, что для успешного военно-технического соревнования с Западом необходимо готовить специально подготовленные кадры.Кроме того, во многих сферах, в том числе в партийном руководстве, требовались подготовленные кадры »(с. 32). Марушина и МакГи (2016) утверждали, что очевидные политические и военно-экономические соображения послужили основной целью при создании школ для математически одаренных. В то время вопрос о реальности математической одаренности даже не поднимался. Школы (обычно физико-математические) были связаны с университетами в больших городах, и математики-исследователи руководили процессом создания этих школ.

Первые четыре физико-математических школы-интерната открыты при ведущих вузах Москвы, Ленинграда, Новосибирска и Киева. Самым известным среди них была школа-интернат им. Колмогорова в Москве (Карп, 2011). Важность школ-интернатов заключалась в том, что они давали возможность развивать математические способности учащихся из отдаленных провинций. Помимо специальных школ-интернатов, в крупных городах были созданы специализированные математические или физико-математические школы для старшеклассников.Эти школы включали классы с 9 по 10 (за 2 года до окончания школы), куда учеников принимали на основании их достижений по математике в средних классах, результатов олимпиад по математике и индивидуальных собеседований (Чубариков и Пырыт, 1993).

Например, в Ленинграде в 1976–1978 годах (ныне Санкт-Петербург), помимо специализированной математической школы-интерната № 1, было две специализированные математические школы № 30 и № 239. Помимо достижений, проверенных на вступительных экзаменах и собеседованиях, имелся высокий мотивационный фактор.Несмотря на то, что до поступления в школу они знали о большой учебной нагрузке, многие ученики, тем не менее, предпочли ехать в эти школы и обратно 6 дней в неделю из разных районов города, путешествуя более часа в каждом направлении. Помимо тяжелой учебной нагрузки и высоких требований, царила особая атмосфера доверия, взаимного уважения и поддержки, которая была сложной и обнадеживающей. Неудивительно, что очень высокий процент (98%) выпускников поступили в университеты разных типов.Первоначальными характеристиками специализированных математических школ были снижение уровня неоднородности математических способностей в классах, общий интеллектуальный дискурс и общие цели и нормы.

Кроме того, в обычных школах появились специализированные классы для математически продвинутых школьников. Карп (2011) отмечает, что в Ленинграде 1970-х годов в обычных школах было 56 специализированных классов. Эти классы были менее избирательными, чем специализированные математические школы, и обычно включали учеников из районов, близких к школе.По словам Карпа (там же), было продемонстрировано, что результаты тестов и награды олимпиад по математике и физике, полученные учащимися школ №30 и №239, были значительно выше, чем у учащихся других специализированных школ и специализированных классов. Обратите внимание, что количество классов с углубленным изучением математики значительно увеличилось во время горбачевской перестройки, чтобы не допустить перехода «хороших детей» в специализированные школы или классы математики в других школах.Специализированные математические школы и специальные классы математики по сей день продолжают свою деятельность в том же формате, хотя технологический прогресс определенно оказал свое влияние.

Фогели (1997, 2016) отметил, что специализированные школы были созданы во многих странах. Венгрия имеет давние и богатые традиции обучения одаренных людей. «Одной из отличительных черт венгерской системы математического образования было создание специальных школ для исключительно талантливых учеников» (Stockton, 2010, p.1). Стоктон утверждал, что истоки специальных математических школ в Советском Союзе и Соединенных Штатах лежат в специализированных математических школах в Будапеште, основанных в начале двадцатого века. Более того, писала она, системы образования для одаренных людей в Венгрии и Соединенных Штатах имеют много общих черт. В 1960-х годах образование для математически продвинутых учеников в Венгрии развивалось с добавлением специализированных классов в некоторых средних школах (в основном по демографическим причинам, Győri et al., 2020). Первый такой класс был организован в 1962 году в гимназии Фазекас в Будапеште, а в 2010 году таких классов было 11. В каждой школе также есть специальные классы в других областях, таких как гуманитарные науки, иностранные языки или естественные науки. Специальные классы математики предлагают учащимся возможность изучить стандартное содержание учебной программы на более глубоком уровне, а также изучить содержание, выходящее за рамки обычной учебной программы (Stockton, 2010). В Венгрии существовала система специализированных учебных программ, а не специализированных школ, в отличие от того, что происходило в этом отношении в Советском Союзе.

Bruder (2020) описал различия в политике, связанной с образованием математически одаренных, между ГДР (Германская Демократическая Республика — Восточная Германия) и ФРГ (Федеративная Республика Германия — Западная Германия), разделенными в течение 1949–1990 годов. Систематическое продвижение математических талантов в ГДР под влиянием советской традиции было одним из основных организационных и структурных различий между школьными системами в Восточной и Западной Германии. Брудер (2020) отметил, что после 1990 г. «специализированным математическим и естественным школам, работающим на высоком техническом уровне в ГДР, было трудно выжить с концепциями ФРГ о целостном личностном развитии одаренных детей» (стр.64). В настоящее время в Германии большое внимание уделяется образованию математически одаренных людей. В 2001 году Хатвиг Месснер в сотрудничестве с Линдой Шеффилд инициировал MCG (международные конференции по математическому творчеству и одаренности), которые в 2010 году превратились в Международную группу математического творчества и одаренности, в которую сейчас входят более 250 исследователей в области образования, математиков и математиков. педагоги. Также существует проект Worldwide Global Talent Mentoring для одаренных студентов, изучающих естественные науки, под руководством Хайдрун Штогер (2020 — личное сообщение).Поощрение математически одаренных учеников и предоставление им специальных образовательных условий и содержания частично мотивировано результатами PISA 2015, которые показали, что в Германии не было достаточного количества «очень хороших» результатов. Однако специализированные математические школы в Германии остаются редкостью.

При анализе рамок обучения одаренных в Соединенных Штатах, Вайнберг (2016) указал, что специальные школы и летние лагеря хорошо развиты и широко распространены в стране.В Нью-Йорке специальные школы для одаренных учеников ориентированы на развитие областей STEM, а также на образование в области искусства и гуманитарных наук. STEM-образование в специальных школах объединяет углубление, обогащение и ускорение (Weinberg, 2016). В Израиле математика в средней школе преподается на трех уровнях (базовом, обычном и продвинутом), так что математически продвинутые ученики учатся в обычных школах. Кроме того, многочисленные программы, проводимые в израильских университетах, направлены на развитие математических способностей (Leikin & Berman, 2016).

Школа математики Королевского колледжа Лондона работает в партнерстве с Лондонским университетом Королевского колледжа, чтобы обеспечить высококачественное математическое образование в самом центре Лондона для студентов, увлекающихся математикой. На веб-сайте школы четко указано, что «школа была вдохновлена ​​Колмогоровской физико-математической школой в Москве, основанной в 1965 году Андреем Колмогоровым, одним из ведущих математиков ХХ века». ( Scribbr.)
https: //www.kingsmathsschool.com / about).

История и отличительные особенности математических школ, а также примеры математических программ и математических задач, используемых в математических школах в разных странах, наиболее полно описаны в сборнике «Средние специальные школы для математически одаренных: международная панорама» под редакцией Фогели. (2016).

Математическое содержание для развития математических способностей: углубление и расширение математического содержания

Эти специализированные математические школы характеризуются « отдельным видом математики, разработанным в специализированных школах , который не изучается в обычных школах и редко изучается в школах. высшие учебные заведения »(Карп, 2015, с.12). Эта математика включает в себя самостоятельное решение проблем, поиск оригинальных методов решения проблем, постановку задач и нахождение связей между новыми и старыми проблемами. Чубариков и Пырит (1993) проиллюстрировали учебные принципы, используемые в Колмогоровской школе. Расширение математического содержания за счет евклидовой и неевклидовой геометрии, математической логики, теории чисел и теории пределов было и остается нормальным явлением. Студенты изучали математику 8–10 часов в неделю, физику 6 часов в неделю с дополнительными часами по химии и литературе.Был курс программирования 2 часа в неделю. Григоренко (2017) заметил, что часто выпускники профильных школ знакомы с содержанием учебной программы вуза. Хотя она воспринимает это как своего рода разрыв между этими школами и университетской системой, многие выпускники этих школ рады углубить свое понимание математики в университете, изучив темы в старшей школе в несколько упрощенной форме.

Следует отметить, что учителя математики в специализированных математических школах обладают высокой степенью автономии в отношении того, как они углубляют и расширяют математические материалы, какие учебники они используют и какое количество домашних заданий они поручают учащимся.Помимо высокого уровня математики, учителя включают в свое обучение гуманистическую математику (Brown, 1996). Это включает использование интуиции в развитии понимания концепций, объединение открытий, конкуренции и сотрудничества, а также развитие понимания ценности аргументации. Уроки математики объединяют решение сложных проблем с метаанализом решений и математические исследования с сильной логической базой. Предоставление учащимся возможности мыслить как математик при создании новых задач и их доказательстве, а также содействие пониманию того, что в математике, как и в реальной жизни, есть разные решения проблем, являются общими элементами математического дискурса в специализированных математических классах и школах.

Учителя используют различные типы математически сложных задач — доказательство, постановку задач и решение проблем, что включает в себя тщательный выбор задач с учетом прогресса учеников в процессе обучения. Часто, чтобы повысить уровень математической задачи, учителя выполняют нестандартные задания на уроках или в домашних заданиях. Нетрадиционные задачи являются либо внеклассными, либо относятся к еще не изученным частям школьной программы. Решение нетрадиционных задач обычно направлено на активизацию и развитие математического творчества учащихся, поскольку для этого требуется, чтобы учащиеся применяли свои знания и навыки в новых ситуациях или конструировали новые идеи для решения задач.Традиционную и нетрадиционную математику можно комбинировать при решении одной конкретной задачи несколькими способами (Leikin, 2019b).

Специальные книги, например, Виленкина и Шварцбурда (1973) и Виленкина и др. (1972), были созданы с учетом особых требований специальных математических школ. Книги написаны специально для учащихся специальных математических школ. Авторы подчеркивают высокий теоретический уровень математического содержания, но в то же время эти книги предоставляют возможность изучать математику на разных уровнях, поскольку в них есть дополнительные материалы, которые можно изучать по своему усмотрению.Помимо обычных заданий, в книги включены нетрадиционные задания типа олимпиад. Шарыгин (1982, 1984) создал несколько сборников задач, содержащих геометрические задачи разного уровня математической сложности, многие из которых были направлены на подготовку к участию в математических олимпиадах. Шарыгин (1989) рекомендовал «изменить приоритеты»: эти изменения включали приоритизацию идей при изучении новой темы и решении нестандартных (эвристических) проблем, по сравнению с установлением приоритетов полных ответов при работе с известными идеями и решении стандартных проблем.

Решение задач разными способами и математические исследования являются эффективными инструментами для построения математических связей. Когда другое решение проблемы относится к личному пространству решения, тогда можно формировать связи между представлениями математических концепций, различными математическими инструментами и концепциями из той же области или разных математических тем (например, NCTM, 2000). С целью развития взаимосвязанных математических знаний российские педагоги (Давыдов, 1996; Шарыгин, 1989) способствовали реализации принципа дивергенции преподавания и изучения математики, выражающегося в одновременном изучении нескольких связанных между собой тем путем объединения математических принципов, концепций, инструментов, решения задач. стратегии и подходы.

Исследования, сфокусированные на следующих вопросах, могут помочь нам эффективно развивать математические способности:

• Какие виды математических задач лучше всего подходят для обучения одаренных учеников?

• Каковы принципы оформления сборников заданий, эффективных для обучения одаренных?

• Какое разумное соотношение между традиционными и нетрадиционными задачами соответствует целям обучения математически одаренных?

Математическое обогащение — математические кружки, соревнования и олимпиады

Советский опыт богат различными типами структур, включая математические школы, математические олимпиады и математические кружки (Marushina & McGee, 2016).Эти рамки могут быть реализованы как в школе, так и вне школы. В настоящее время курсы AP, интеграция школьников в университетские курсы, наставничество исключительно талантливых студентов со стороны университетских профессоров и курсы виртуальной математики являются типичными внешкольными мероприятиями.

Саул (1996) писал следующее:

Математические круги бывшего Советского Союза и особенно Ленинграда (ныне Санкт-Петербург) сильно отличаются от большинства математических клубов по всему миру.Как правило, ими руководили не преподаватели, а аспиранты или преподаватели университета, которые считали своим профессиональным долгом показывать младшим школьникам радости математики … Развитие математического образования является одним из аспектов русской культуры, из которого нам есть чему поучиться … Поэтому мы должны позаимствовать у наших российских коллег. (стр. vii)

Математические кружки объединяют специальные виды задач и тем, в основном задачи обогащающего характера, посвященные развитию математических способностей, любопытства и настойчивости в решении математических задач (Фомин и др., 1996/1992; Вандервельде, 2009). «Цель состоит в том, чтобы заинтересовать учащихся математикой, которую они изучают; дать им среду, которая побуждает их увлечься математикой »(Vandervelde, 2009, p. 9).

Работа, связанная с олимпиадой, была очень заметна в специализированных школах. Эта работа не была одинаково интенсивной для всех студентов. Учителя могут включать задачи олимпиадного типа в свои уроки или домашние задания, в систематическую подготовку к олимпиадам и другим соревнованиям. Например, в 1970–1980 годах в школе № 30 Ленинграда (г.-Петербург) олимпиады проводились в 2 этапа: первый проводился в письменной форме в школе, второй — для победителей первого этапа — в устной форме. Уровень задач во втором туре обычно приближался к уровню задач общегородского тура петербургской олимпиады, которые были очень сложными (Фомин и др., 1994; Рахим, 1998).

Первой хорошо задокументированной математической олимпиадой было соревнование по решению задач, инициированное Венгерским физико-математическим обществом в 1894 году.«Соревнование Этвёша считается первой математической олимпиадой современного мира, хотя Поля и Килпатрик (1974) указали, что он был вдохновлен аналогичными соревнованиями во Франции и Англии» (Койчу и Андзанс, 2009, стр. 287). Как отмечает Карп (2020), в 1960–1980 годах структура математических олимпиад была интегрирована в обучение математически одаренных учащихся и составляла важную часть образования математически одаренных в России, Польше, Чехословакии, Болгарии, ГДР и других странах. Страны Восточной Европы.

Изменения, которые претерпевают математические олимпиады и соревнования, связаны с изменчивостью уровней сложности. В настоящее время школьные математические олимпиады проводятся одновременно с Международной математической олимпиадой (IMO — https: //www.imo-official.org). Известный конкурс математики «Кенгуру» разработан с целью распространения факультативных математических заданий среди широкого круга учащихся разного возраста. Соревнования по математике «Кенгуру» включают математические задачи на разных уровнях, чтобы позволить учащимся с разным уровнем математических знаний и навыков решать нестандартные задачи с несколькими вариантами ответов и получать удовольствие от математических занятий.

Олимпиады, организованные университетами, были популярны в бывшем Советском Союзе. Студенты выпускных курсов могли участвовать в таких олимпиадах и получали бонусы при поступлении в вузы. Для университетов эти олимпиады были направлены на выявление перспективных с математической точки зрения студентов и их привлечение в университеты (Koichu & Andzans, 2009). Со временем были изобретены и внедрены различные виды командных соревнований. Некоторые математические соревнования призваны поощрять командную работу и критическое мышление (см. Fomin et al., 1996). Задачи, используемые на математических олимпиадах и олимпиадах, в основном относятся к дополнительному типу, часто интегрированы в обучение математике в специализированных школах и классах, и в целом, наряду с их ролью в развитии математических способностей, математические олимпиады играют значительную роль в популяризации математики.

В настоящее время занятия для математически одаренных учащихся интегрированы в более общие рамки, предназначенные для развития высоких способностей. Центр талантливой молодежи Джонса Хопкинса, мировой лидер в области образования для одаренных людей с 1971 года, был основан в 1971 году профессором Джулианом Стэнли.На разных этапах во многих университетах были созданы центры обучения одаренных студентов, и многие из этих центров имели специальные подпрограммы для математически одаренных студентов. В настоящее время многие университеты по всему миру открывают свои двери для математически одаренной молодежи, предлагая им дополнительные занятия, летние лагеря и курсы повышения квалификации (например, https://cims.nyu.edu/cmt/index.html; http: //www.promys.org/).

Как указывалось ранее. Отчеты об исследованиях и статьи в научных журналах высокого уровня по математическому образованию и образованию для одаренных людей, в которых представлены систематические исследования развития математических талантов, встречаются редко.Необходимы дополнительные исследования, чтобы объяснить механизмы развития математических способностей и влияние образовательных программ на математически одаренных учащихся. В этой статье я не анализирую роль математического творчества в развитии математических талантов. Хотя исследования и учебная литература еще у Пуанкаре (1908/1952) указывают на то, что высокий уровень творческих способностей является неотъемлемой характеристикой любого математика-исследователя (Sriraman, 2005), тем не менее, исследования не предоставляют достаточной информации о влиянии творческих способностей. деятельность по развитию знаний и влияние долгосрочного развития высокого уровня математических знаний на творчество.Эльграблы и Лейкин (2021) продемонстрировали, что подготовка к Международным математическим олимпиадам ведет к более высокому уровню творческих способностей, связанных с исследованиями геометрии. Однако необходимы дополнительные исследования связи между ролью деятельности, направленной на творчество, и балансом между обучением и творческой деятельностью в реализации математической одаренности. Исследования, сфокусированные на следующих вопросах, могут помочь нам лучше понять действия, включенные в программы обогащения и ускорения:

• Чем изучение математики во внешкольных программах отличается от изучения математики в школе?

• Как математические соревнования влияют на влияние учащихся на изучение математики?

• Влияет ли участие в кружках математики и других дополнительных программах на учебу учащихся на уроках математики в школе?

• Как наиболее эффективно подготовить учащихся к математическим олимпиадам?

• В какой степени развитие математических знаний при решении сложных задач развивает математическое творчество, выражающееся в способности продвигать математику как научную область?

Учителя одаренных учеников

Как я писал в Лейкине, 2011, я проанализировал компоненты квалификации учителя математически одаренных учеников, работавшего в специальной математической школе (Ленинградская школа № 30, о которой говорилось ранее).Анализ его принципов и методов обучения был основан на его статье об обучении математически одаренных (Майзелис, 2007), воспоминаниях его выпускников и моем собственном ретроспективном анализе. Естественно, что профессиональные знания учителей и мастерство преподавания оказались центральными. Вместе с личностью учителя и широкими общими знаниями они способствуют эффективности обучения, направленного на развитие качеств, которые учитель может развивать у одаренных учеников (Карп, 2007, 2010; Лейкин, 2011).Среди выявленных принципов особенно важными для одаренных учителей оказались следующие:

• Неподдельный интерес учителей к предмету и готовность к любым вызовам (со стороны учеников) делает преподавание одновременно интересным и стимулирующим для учеников и развивает в мотивация учащихся, любопытство, готовность справляться с трудностями и, самое главное, любовь к предмету.

• Доброта учителей к ученикам и гордость за их успехи приводит к уважительному обучению, которое способствует уважению учеников, доброте и поддержке сверстников.

• Творчество учителей создает возможности для вдохновляющей и открытой атмосферы, которая способствует развитию творческого и независимого мышления учащихся.

• Учителя одаренных учеников должны быть терпеливыми и чуткими, с глубокими знаниями в области психологии одаренных детей и дидактики их обучения.

• Явное выражение любви к математике и чувство юмора позволяют преодолевать трудности в позитивной атмосфере и радостному обучению, которое развивает чувство юмора и доброту у учащихся.

Эти качества учителей позволяют различать образование и видение — что важно, поскольку даже одаренные классы неоднородны в отношении способностей учеников — что ведет к образованию, которое развивает настойчивость и ответственность. Полученные данные согласуются с идеями Maker (1975), который утверждал, что существует уникальная комбинация черт характера, которая необходима для качественного обучения одаренных студентов. Мейкер подчеркнул важность того, чтобы учитель создавал для учеников безопасную среду и теплую атмосферу, которая снижает давление со стороны сверстников и ведет к взаимному уважению между учениками и развитию у учеников осознания ценности их идей.

Вопросы для дальнейшего исследования включают следующее:

Я предлагаю, чтобы программы подготовки учителей математики включали курсы по характеристике математически одаренных учащихся, программы для математически одаренных и составление задач для математически одаренных.

Изменяет ли использование технологий в образовании одаренное образование?

Очевидно, что наиболее заметные изменения во всех сферах жизни — инженерии, медицине, естественных науках, коммуникации и социальных сетях — связаны с технологическими достижениями, которые происходят ежедневно.Эти достижения влияют на образование в целом и образование одаренных в частности (например, Freiman & Paths, 2018). Во время COVID-19 мы узнали о дополнительных способах, которыми одаренные ученики могут изучать математику, и в течение следующего десятилетия мы обязательно узнаем больше о влиянии технологического прогресса на образование в целом и образование одаренных в частности. Вопросы о том, как, когда и почему технологии могут и должны использоваться в образовании математически одаренных, стали особенно актуальными.

В целом образование опирается на технический прогресс. Использование технологий может быть распределено между несколькими настройками и позволяет использовать общие пространства учебных ресурсов, задач и идей. Наблюдается быстрый рост доступа к информации и к новым видам технологически опосредованной учебной среды, такой как интерактивные группы по интересам, учебные пособия и игры. Тем, у кого есть доступ к компьютеру, стало легче находить ресурсы и занятия, которые могут поддержать их обучение на их собственных условиях.Технологические учебные мероприятия могут включать информационные ресурсы, электронные книги, интерактивные проекты, онлайн-классы, платформы для публикации и ресурсы наставничества. Использование Интернета позволяет более интенсивно интегрировать обучение через игры, а также совместное обучение с общением через Интернет. Взаимодействие между учениками и учителями, а также между учениками может осуществляться через различные приложения, такие как WhatsApp или Telegram.

Литература об общем образовании одаренных людей указывает на то, что использование технологий стало обычным явлением в образовании в целом и в образовании одаренных в частности (Chen et al., 2013). Чен, Дай и Чжоу представили концептуальную концепцию такого использования технологий в рабочей схеме «включение, улучшение и преобразование». Использование технологий в образовании для одаренных людей имеет высокий потенциал: позволит обеспечить мероприятий для одаренных в новых географических регионах, повысит качества образования для одаренных людей, а преобразит образования для одаренных людей за счет интеграции новых форм и инструментов. Также широко признано, что технологии обладают огромным потенциалом для повышения эффективности и качества образования для одаренных людей; некоторые ученые даже утверждают, что определенные технологии особенно полезны для одаренных студентов (Pyryt, 2009; Siegle, 2005).

Этот вид можно применить к учебной деятельности математически одаренных учащихся. Разрешающая функция технологии позволяет охватить большее количество и более широкий круг талантливых студентов. Включение функции технологии открывает множество возможностей для математически одаренных людей получить доступ к широкому спектру деятельности и ресурсов в Интернете, а также делает участие в онлайн-математических соревнованиях и соревнованиях более доступным. Созданы онлайн-курсы и виртуальные школы для математически одаренных.Например, проект NRICH (http://www.nrich.maths.org), расположенный в Кембриджском университете, предлагает обширные математические задачи для учащихся от 5 до 18 лет и поддержку их учителей и родителей. Промысловые лагеря для математически одаренных людей проводились в виртуальном формате (http://www.promys.org/). Использование технологических инструментов в обучении математически одаренных позволяет дифференцированно учиться в одаренных классах и упрощает выполнение математических исследований.

Математические инструкции для всех, особенно для математически одаренных, можно преобразовать с помощью динамического программного обеспечения, которое позволяет студентам проводить математические исследования. Эти исследования имеют двойной эффект: с одной стороны, они развивают творческие способности, предоставляя возможности для математических открытий, а с другой стороны, они поддерживают развитие математических знаний, углубляя понимание учащимися математических структур посредством динамической визуализации.Функция трансформации технологий также может быть замечена в разработке инструментов оценки (например, компьютеризированного адаптивного тестирования), которые могут помочь учителям получать информацию в режиме онлайн об успеваемости учащихся, поддерживать саморегулируемое обучение учащихся и предоставлять исследователям и преподавателям с более точной оценкой и выявлением математических способностей учащихся.

Новые технологические и научные достижения также открывают новые области исследований математического творчества и одаренности.Нейрокогнитивные исследования математической одаренности, генетические исследования, а также машинное глубокое обучение, вероятно, могут лучше решить многие вопросы о природе и структуре математического разума. Необходимы еще дополнительные исследования, чтобы пролить свет на влияние технологий на обучение и преподавание в целом и на образование математически одаренных в частности. Например, исследователей могут заинтересовать следующие вопросы:

• Как учащиеся взаимодействуют с технологиями и окружающей средой и совершенствуют свои знания и навыки?

• Какое влияние оказывают технологические инструменты на развитие математических знаний и творческих способностей у математически одаренных учащихся?

Проект M² — Ресурсы для учителей | Центр творчества, одаренного образования и развития талантов Renzulli

Электронные ресурсы — сайты

ERIC — Информационный центр образовательных ресурсов
Информационный центр образовательных ресурсов (ERIC) — это электронная электронная библиотека исследований и информации в области образования.

Центр творчества, обучения одаренных и развития талантов Рензулли
Этот веб-сайт является домашней страницей Центра творчества, образования одаренных детей и развития талантов Рензулли и Национального исследовательского центра одаренных и талантливых. Вы можете получить доступ к информационным бюллетеням и статьям о развитии талантов студентов, а также на веб-сайтах Project M³ и Project M².

Проект M³
Наставничество «Математические умы»: разделы продвинутой программы для талантливых математиков 3-5 классов.

Национальная ассоциация одаренных детей
Этот веб-сайт является домашней страницей Национальной ассоциации одаренных детей. Здесь вы можете получить доступ к информации о воспитании детей, включая интересные статьи из их родительской публикации Parenting for High Potential.

Национальный совет учителей математики — иллюминации
Национальный совет учителей математики (NCTM) предоставляет информацию о математическом образовании и профессиональном развитии для поддержки учителей математики.

Обогащение математики в Кембриджском университете
Предлагает выбор задач на основе математических тем / подтем, которые распределены как по возрасту, так и по уровню сложности.

24 Игры
Мотивационные и новаторские, эти игры с числами предлагают детям множество способов играть с числами, одновременно укрепляя умственные математические навыки, формирование паттернов, концентрацию, решение проблем, рассуждение… возможности безграничны! Учитель может организовать эти игры в качестве центров, используя тему недели, или использовать их в качестве учебных станций, дифференцированных в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Математический форум
Обогащение с 1 по 4 классы. На этом сайте также есть проблемы для учащихся средних и старших классов, которые могут подойти вашим самым продвинутым ученикам. Юным студентам потребуется помощь в навигации по сайту. Перед использованием сайта необходимо оплатить регистрацию.

Книги

Обсуждения в классе: использование разговора по математике для помощи учащимся в обучении, 1–6 классы
Чапин, С. Х., О’Коннор, К., и Андерсон, Н.С. (2003). Обсуждения в классе: использование разговоров по математике для помощи учащимся, классы K-6 (3-е изд.). Саусалито, Калифорния: Публикации математических решений.
В этой книге представлены пять стратегий обсуждения, используемых в проектах M³ и M², которые помогут укрепить у учащихся навыки мышления и обучения, а также их способность устанавливать связи между математическими идеями.

Привлечение молодых учеников к математике: стандарты для дошкольного математического образования
Clements, D.(2004). Вовлечение младших школьников в математику: стандарты математического образования в раннем детстве. Махва, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс, издатели.
Информация об измерениях по математике от Pre-K до 2 класса. Информация о концепциях, которые влияют на то, как дети учатся и понимают измерение длины и площади.

Дети младшего возраста и математика
Копли, Дж. В. (2017). Дети младшего возраста и математика (2-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Национальная ассоциация образования детей младшего возраста и Национальный совет учителей математики.
В этой книге рассматриваются способы обучения математике учащихся дошкольных и 2-х классов с помощью различных виньеток, идей и стратегий. Он включает уроки по математическим процессам, числам и операциям, шаблонам, функциям, алгебре, геометрии, пространственному восприятию, анализу данных и вероятности.

Использование общешкольной модели обогащения в математике: практическое руководство для студентов-математиков
Гэвин, М. К., и Рензулли, Дж. С. (2018). Использование общешкольной модели обогащения в математике: практическое руководство для обучающихся математиков. Вако, Техас: Prufrock Press.
Эта книга применяет стратегии преподавания и обучения, предложенные в рамках общешкольной модели обогащения (SEM), в классе математики. Учителя узнают, как создать культуру удовольствия, вовлеченности и энтузиазма для всех учеников и, в частности, одаренных учеников, развивая учеников, которые думают и действуют как математики. Книга включает в себя множество практических советов, в том числе взгляды из классной комнаты и примеры заданий из учебных модулей проектов M² и M³, чтобы мотивировать учащихся и бросать им вызов.

Использование общих основных государственных стандартов для математики с одаренными и продвинутыми учениками
Йонсен, С. К., и Шеффилд, Л. Дж. (2013). Использование общепринятых государственных стандартов по математике для одаренных и продвинутых учеников. Вако, Техас: Prufrock Press.
Эта книга описывает и демонстрирует на примерах из Общих основных государственных стандартов (CCSS), как выглядят эффективные дифференцированные действия для лучших учащихся. В нем рассказывается, как преподаватели могут обеспечить строгость в рамках CCSS, чтобы позволить учащимся продемонстрировать более высокий уровень мышления, аргументации, решения проблем, страсти и изобретательности в математике.

Принципы и стандарты школьной математики
Национальный совет учителей математики. (2000). Принципы и стандарты школьной математики. Рестон, Вирджиния: Автор.
Эта книга является основополагающим документом по развитию математических знаний у учащихся от Pre-K до 12. Шесть изложенных принципов относятся к основным темам учебной программы. Эти 10 стандартов включают стандарты содержания и процесса и описывают взаимосвязанный комплекс математических знаний и компетенций, рекомендуемых для всех студентов.

Почему математика скучна | Кафе n-Category

Уважаемый профессор Баэз,

Меня зовут Паоло Биццарри, и я следую вашему приглашению на
поделитесь своим мнением по теме «Почему математика скучна?»

Разрешите представиться: мне 37 лет, я высшее компьютерное образование.
Естествознание в 1994 году. Последние четыре-пять лет я начал учиться
математика для развлечения и увлечения.

Поскольку моя работа отличается от других, у меня есть ограниченное время, чтобы посвятить
страсть.Даже если я нахожу математику чрезвычайно интересной, у меня есть
часто находил изучение математики скучным, трудным и трудным для себя. Так что я
немного поразмышлял над тем, почему мне сложно и скучно
то, к чему я все равно испытываю страсть.

Мои выводы следующие:

• математика преподается неестественным образом;
• математика — практическая дисциплина, но преподается как абстрактная
  один;
• есть много неявных знаний, которые недоступны через
  книги.

Я постараюсь расширить каждое из этих предложений следующим образом.

Математика преподается неестественным образом.

Моя точка зрения здесь в основном относится к учебникам и их типичным
структура определения / леммы / теоремы / определения.

В чем проблема? Проблема в том, что такой подход неестественен.
Не таким образом математики рассуждают и производят свои
Работа.

Если вы видите демонстрацию, она настолько краткая и важная, насколько это необходимо.
быть.Каждый отрывок прекрасно связан с предыдущими отрывками.
Каждая гипотеза делается именно тогда, когда это было необходимо, и это
абсолютно минимальный.

Вопрос (мой вопрос) был такой: да, все работает отлично, но
это не наука. Это больше похоже на голливудский фильм, где
все происходит по определенной причине.

Но математики так не работают (по крайней мере, это моя
понимание). Настоящая проблема математики часто не в том, чтобы
продемонстрировать теорему: найти хороший объект для изучения.В
определение приходит ПОСЛЕ того, как была продемонстрирована теорема. В
сама демонстрация многократно уточняется, чтобы получить
«Отлично», демонстрация по учебнику. Это единственная демонстрация вам
видите, и я нашел их совершенно неестественными именно потому, что они были
идеально.

Дело в том, что учебник математики должен обеспечивать
контекст, причина, ПОЧЕМУ они что-то изучают, и что они собой представляют
пытаюсь учиться. Это подводит нас ко второму пункту.

Математика — практическая дисциплина, но преподается как абстрактная.

Опять же, это основано на моем ограниченном опыте и может быть довольно
типично итальянский. Но, в любом случае, это единственный опыт, который я могу
предоставлять.

Один из главных аспектов математики — то, что она «абстрактна»,
«Чистый», не привязанный к какой-либо практической проблеме.

Что неверно с исторической точки зрения. Но это тоже ложь
по более конкретному, повседневному, практическому вопросу.

Математика скучна для математиков, не работающих полный рабочий день, потому что они не
знать «инструменты торговли».Они не используются для манипулирования умственными
такие объекты, как группы или векторные пространства. Когда я прочитал в первый раз
время о группах, мне было трудно понять многие вещи
о них и их важности. Когда я начал видеть, как их используют,
они стали мне намного понятнее.

Возможно, математики не очень-то чувствуют эту проблему, потому что они
используются для работы с абстрактными объектами. Это та же проблема, что и
непрофессионал в области информационных технологий, когда ему приходится использовать компьютерную программу,
ИТ-специалист.

Это разделение является сильным еще и потому, что вы не должны использовать
инструменты, которые вы изучаете сами: демонстрации уже предоставлены,
и вам не нужно их улучшать (все равно вы бы не смогли…).
Вы должны использовать их в некоторых сфабрикованных ситуациях, но, опять же, есть
мало понимания, что это делается по определенной причине. Который
Подведите нас к третьему и, возможно, последнему аргументу.

Существует множество неявных знаний, недоступных из книг.

Это одна из самых поразительных вещей, которые я видел: здесь много
вещь о математике, которая явно не выражена в
учебники по математике.

Один — это то, что вся математика называет «элегантностью». Это нечеткое понятие,
но это принципиально. Я не видел ни одной явной ссылки на
это (кроме, пожалуй, разделов по алгебре). Но это фундаментальный
критерий для создания и оценки математических теорий, а также сильное руководство
о том, какую структуру вы ожидаете.

Второй касается «стилей» демонстрации, которые вы применяете.Учитывая
определенного домена, довольно часто можно увидеть демонстрации, использующие
ограниченный набор методов, которые должны быть выполнены, но эти методы никогда не
явно назначены или указаны.

Но без имени трудно эффективно обучить этим
вещи. Мы даже не можем о них как следует говорить.

Выводы.

Хорошо. Если вам не показались скучными эти мои сочинения, я должен вам
пицца в Пизе, если вы когда-нибудь приедете в мой город.

С уважением.

Паоло Биззарри

Природа и воспитание математической одаренности

р.Leikin

1 3

информирует преподавателей о лучших способах реализации и развития математических способностей.

Ссылки

Агостино, А., Джонсон, Дж., И Паскуаль-Леоне, Дж. (2010). Исполнительные функции

лежащих в основе мультипликативных рассуждений: Тип проблемы имеет значение.

Журнал экспериментальной детской психологии, 105 (4), 286–305.

Булер, Дж. (2016). Математическое мышление: раскрытие потенциала учащихся с помощью творческой математики, вдохновляющих сообщений и новаторского обучения

.Джосси-Басс.

Браун С. (1996). К гуманистическому математическому образованию. В A.

Дж. Бишоп, М. К. Клементс, К. Кейтель, Дж. Килпатрик и К. Лаборд

(ред.), Международный справочник по математическому образованию (том 4,

, стр. 1289–1321). Springer Science and Business Media.

Брудер Р. (2020). 2 традиции и изменения в преподавании и изучении

математики в Германии. В A.P. Karp (Ed.), Eastern Euro-

математическое образование в десятилетия перемен (стр.45–74).

Springer.

Баттерворт, Б. (1999). Математический мозг. Макмиллан.

Чен, Дж., Дай, Д. Ю., и Чжоу, Ю. (2013). Включение, улучшение и трансформация формы

: Как использование технологий может улучшить образование одаренных людей. Roeper

Review, 35 (3), 166–176.

Чубариков В. Н., Пырит М. С. (1993). Математическое воспитание

одаренных учеников Колмогоровского училища. Gifted Education Inter-

национальный, 9 (2), 110–111.

Давыдов В.В. (1996). Теория развивающего обучения. Intor.

Дири, И. Дж. (2000). Взгляд на человеческий интеллект: от психо-

показателей к мозгу. Издательство Оксфордского университета.

Dehaene, S., & Cohen, L. (1997). Церебральные пути для расчета:

Двойная диссоциация между механическим словесным и количественным знанием —

край арифметики. Cortex, 33, 219–250.

Dehaene, S., Dehaene-Lambertz, G., & Cohen, L. (1998). Abstract

представления чисел в мозгу животных и человека. Тенденции

в неврологии, 21 (8), 355–361.

Двек, К. С. (2012). Мышление: новая психология успеха. Con-

конюшня и Робинсон Лимитед.

Эльграблы Х., Лейкин Р. (2021). Творчество как функция проблем

умение решать проблемы: Постановка новых проблем через исследования. ZDM-математическое образование.https: // doi. org / 10. 1007/

s11858-021-01228-3

Эрвинк, Г. (1991). Математическое творчество. В Д. Толл (ред.),

Продвинутое математическое мышление (стр. 42–53). Kluwer.

Фомин Д., Генкин С., Итенберг И. (1996). Математические кружки

(российский опыт) [М. Саул, Пер.]. Американское математическое общество

.

Фомин Д. В., Фомин Д., Кириченко А. (1994). Ленинградская математическая

олимпиады 1987–1991.(Том 1). MathPro Press.

Фрейман В. и Пути И. (2018). Использование математического творчества

с помощью технологий: вопросы, проблемы, решения и инновационные пути

. В В. Фрейман и Дж. Л. Тасселл (ред.), Творчество и технологии —

нология в математическом образовании: математическое образование в цифровую эпоху

(стр. 3–28). Springer.

Григоренко Е. Л. (2017). Одаренное образование в России: развивающееся, порог

, или развитое.Cogent Education, 4 (1), 1364898. https: //

doi. org / 10. 1080/23311 86X. 2017. 13648 98

Дьёри, Дж. Г., Фрид, К., Кёвес, Г., Олах, В., и Палфалви, Дж. (2020).

традиции и современные характеристики математического образования в Венгрии в постсоциалистическую эпоху. В A. P. Karp (Ed.), East-

ern Европейское математическое образование в десятилетия перемен

(стр. 75–130). Springer.

Адамар, Дж. (1945). Психология изобретательства в области математики

.Дувр.

Карп А. П. (Ред.). (2007). А. Р. Майзелис: Памяти [Памяти А.

Р. Майзелиса]. СМИО Пресс. На русском.

Карп А. П. (2010). Учителя математически одаренных

рассказывают о себе и своей профессии. Roeper Review, 32 (4),

272–280.

Карп А. П. (2011). Школы с углубленным изучением математики

и школы с углубленным изучением гуманитарных наук. В A.

P. Karp & B.R.Фогели (ред.), Российское математическое образование:

Программы и практики (стр. 265–318). Мировая наука.

Карп А. П. (2015). Краткая история специализированных математических школ.

В Б. Р. Фогели (ред.), Средние специальные школы по математике —

Эматически талантливые: международная панорама (Том 12, стр.

1–17). Мировая наука.

Карп А. П. (2017). Некоторые мысли об одаренном образовании и творчестве.

ZDM Mathematics Education, 49, 159–168.

Карп А. П. (Ред.). (2020). Восточноевропейское математическое образование в

десятилетиях перемен. Springer.

Килпатрик Дж. И Виршуп И. (1976). Вступление. Психология

математических способностей школьников. Чикагский университет

Press.

Койчу Б. и Андзанс А. (2009). Математическое творчество и одаренность —

Занятие во внешкольной деятельности. У Р. Лейкина, А. Бермана и Б.

Койчу (ред.), Творчество в математике и воспитание

одаренных школьников (стр. 285–308). Смысл.

Колмогоров А. Н. О математических способностях: Письмо В. А.

Крутецкий. Scribbr. https: // hr- портал. ru / artic le / kolmo gorov-o- razvi

тии- матем атич эских- способность эй.

Крутецкий В.А. (1968/1976). Психология математических способностей у школьников [Ж. Teller, Trans .; J. Kilpatrick & I. Wirszup,

Eds.]. Издательство Чикагского университета.

Лейкин Р. (2011). Обучение математически одаренных: с участием учителя

. Канадский журнал науки, математики и технологий —

ogy Education, 11, 78–89.

Лейкин Р. (2019a). Одаренность и высокие математические способности. В С.

Лермана (Ред.) Энциклопедия математического образования. 10-страничная

запись. Springer. https: // doi. org / 10. 1007 / 978-3-319-77487-9_ 65-4

(Электронная версия)

Лейкин Р.(2019). Развитие математических способностей у школьников:

Кто, что и как? В: Р. Ф. Суботник, П. Ольшевский-Кубилюс,

и Ф. К. Уоррелл (ред.), Психология высокой производительности:

Развитие человеческого потенциала в талант, зависящий от предметной области (стр.

173–192). Американская психологическая ассоциация.

Лейкин Р., Берман А. (2016). Математика для студентов с высоким математическим потенциалом

в Израиле. В Б. Р. Фогели (ред.), Специальные

средние школы для математически одаренных: международная панорама

(т.12. С. 117–143). Мировая наука.

Лейкин, Р., Паз-Барух, Н., и Лейкин, М. (2014). Когнитивные характеристики —

учеников с лучшими успеваемостями по математике.

Журнал индивидуальных различий, 35 (3), 119–129.

Лейкин, Р., Вайсман, И., и Лейкин, М. (2016). Отличается ли решение задач на основе insight-

от решения задач на основе обучения?

Некоторые данные из исследования ERP. ZDM Mathematics Education,

48 (3), 305–319.Спецвыпуск по нейронаукам и математике

образование.

Лейкин, Р., Лейкин, М., Паз-Барух, Н., Вайсман, И., и Лев, М. (2017).

О четырех типах характеристик сверхматематически одаренных

школьников. Исследования высоких способностей, 28 (1), 107–125.

Леонтьев А. Н. (1978). Активность, сознание и личность.

Прентис-Холл.

Лев, М., & Лейкин, Р. (2017). Взаимодействие между совершенством в школьной математике

и общей одаренностью: сосредоточение на математике —

математическое творчество.В Р. Лейкин и Б. Шрираман (ред.), Творчество

и одаренность: междисциплинарные перспективы из математики

и выше (стр. 225–238). Springer.

Международная ассоциация студентов-физиков

IAPS @ a distance переходит к 3-й неделе — Фантастические темы и способы их изучения. Сеансы следующие, со ссылками на регистрацию Zoom в скобках:

📈 Физика социально-экономических систем I, с доктором Магдой Шигль из Ассоциации выпускников Макса Планка
Зарегистрируйтесь здесь: https: // us02web.zoom.us/webinar/register/WN_UAGGCE12T2GWoI-BoG2Lrw)

📐 Метрология, с представителями Международного бюро измерений и весов (BIPM) Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.us/webinar/register/WN_UAGGoCEr12-T

👩🏾‍🔬 Женщины в физике, с представителями OWSD и Рабочей группы женщин в физике Международного астрономического союза (МАС)
Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.us/webinar/register/WN_KrrrtgROS96f64_olUYbvQ

📊 Физика социально-экономических систем II, с докторомМарк Тимм и доктор Оливер Рихтерс
Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.us/webinar/register/WN_lnM1BxFOSoitojNMTYrXXA

🎓 Физическое образование, с представителями Африканской школы фундаментальной физики и исследований (ASP)
Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.us/webinar/register/WN_bQaPkoB2RZabJGKW7Sp9Rw

🧬 Биофизика, с представителями Международного союза чистой и прикладной биофизики (IUPAB)
Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom/us register / WN_bQaPkoB2RZabJGKW7Sp9Rw

🍎 Гравитационная физика, с представителями Южноамериканского института фундаментальных исследований (связанный с МЦТФ — Международный центр теоретической физики) и Девы сотрудничества
Зарегистрируйтесь здесь: https: // us02web.zoom.us/webinar/register/WN_h33GaRSRTdGwWLfFvSxC4Q

🖥 Сейсмология, с представителями Международной ассоциации сейсмологии и физики земных недр (IASPEI)
Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.us/2WRex/ -vw

🌀 Космология гравитационных волн, с доктором Мисао Сасаки
Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.us/webinar/register/WN_T-8ZcDyBSvu7PiXNDLNrPw

💎 Союз физиков кристаллографии, с представителями Международного союза кристаллографии (IUCr)
Зарегистрируйтесь здесь: https: // us02web.zoom.us/webinar/register/WN_0qz_n9e9RIecRBNFSweldw

🧭 Геомагнетизм и аэрономия, с представителями Международной ассоциации геомагнетизма и аэрономии (IAGA)
. Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.fugr03/webinar/ 🌐 Физика для развития, с представителями Международного союза чистой и прикладной физики — Комиссия IUPAP по физике в целях развития (C13)
Зарегистрируйтесь здесь: https://us02web.zoom.us/webinar/register/WN_oF2WFBL3S9euOoT9_V4ELg

Вы также можете смотреть сеансы в прямом эфире на странице IAPS в Facebook или на Youtube-канале IAPS Streams: https: // www.youtube.com/channel/UCn1qbebAtgGFt5LzTH77LjA.

Следите за обновлениями и участвуйте!

математических образований — Чему мы должны научить студентов, изучающих гуманитарные науки, которые будут изучать только один курс математики?

При изучении других ответов на сегодняшний день кажется, что многие люди предположили, что, не предполагая исчисления, самое большее, на что мы можем надеяться в обучении студентов бакалавриата, — это вероятность, статистика, дроби / проценты, головоломки и головоломки.

Разве мы не стреляем слишком низко?

В качестве крайнего примера того, насколько далеко мы можем продвинуться в таком курсе, рассмотрим цитату Арнольда в Об обучении математике :

Кстати, в 60-е годы я преподавал теорию групп московским школьникам.Избегая всей аксиоматики и максимально приближаясь к физике, за полгода я добрался до теоремы Абеля о неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (попутно обучив школьников комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным группы и группы монодромии алгебраических функций). Этот курс впоследствии был опубликован одним из слушателей, В. Алексеевым, в виде книги «Теорема Абеля в задачах».

Не говоря уже о том, что эта средняя школа, которая уже гораздо более специализирована, чем средние школы США, была одной из лучших математических / физических школ в России.Скорее, обратите внимание на то, что первые 220 страниц книги Алексеева самодостаточны и никаких расчетов не требуется.

Также рассмотрите идею прохождения годичного курса по Пенроузу Road to Reality . Показывать людям роль математики в разгадывании тайн Вселенной всегда казалось мне намного круче, чем другие тактики для вдохновения.

Позвольте мне прояснить, что я считаю, что необходимость в прохождении такого курса, как у Арнольда, слишком оптимистична.Тем не менее, я думаю, что выбор тем такого курса, отражающий то, что математики обычно ценят, может иметь большое значение для обеспечения как культурного признания современной математики, (как хотелось бы Локхартовскому плачу), так и возможности строго мыслить сначала о простых объектах (группах), а затем о более сложных, но визуальных объектах (римановы поверхности).

Если люди пессимистично настроены по поводу того, что «гуманитарным специальностям» нечего думать о теории групп, то я бы предпочел иметь курс истории математики, который следует за чем-то вроде Стилвелла «Математика и ее история », оставляя студентов с впечатление, что математика имеет богатую философскую подоплеку, чем утомляет их бессмысленным поиском теории графов, вероятностей и шведского стола, казалось бы, не связанных между собой тем.

Похоже, что среди многих преобладает идея, что мы должны убедиться, что у нас есть базовые навыки счета и что это работа математического факультета. Я не думаю, что неграмотность — проблема школьной системы в ее нынешнем виде. Люди просто забывают математику в средней и старшей школе, потому что для них математика — это скучный мертвый предмет. Давай изменим это.

.