Алгебра колмогоров 10 11 решебник: Гдз и решебник Алгебра 10-11 класс Колмогоров, Абрамов, Дудницын — Учебник

Гдз по алгебре для 10-11 класса, авторы Колмогоров, Абрамов

Хотите быстрее и лучше всех решать уравнения и строить графики на алгебре? Откройте решебники на сайте с подсказками и оперативно посмотрите ответы! Вас всегда выручит специальный интернет-ресурс для упрямых и настойчивых школьников. Кто ищет – тот всегда найдет, в том числе готовые решения заданий онлайн!

Учеба с ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Колмогорова

Задали номера из учебника Колмогорова? Не страшно, справимся в два счета. И в дневнике будет вовсе не «два», а «пять». Как это достигается? Достаточно иметь гаджет с выходом в интернет и полезную ссылку. По ней вы найдете самый лучший сайт для современных старшеклассников.

Никто не может преуспеть во всех предметах одновременно. Всегда что-то превалирует – естественные науки или гуманитарные, творческие методы или рациональные. Но теперь никто из учеников не должен зависеть от особенностей своего мозга, врожденных способностей или страдать от сложных домашних работ. Сэкономьте время и силы – откройте правильные ответы по номерам на нашем портале. И вы поймете, как много можно успеть, если появляется такой объем свободного досуга!

Математические теории, правила, аксиомы, уравнения, находки и открытия – все это может даже приносить удовольствия. Главное – не думать о негативном, о возможных «неудах» или критике учителя. Вас всегда выручат решебники по алгебре за 10-11 класс (авторы: А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) – полезные коллекции шпаргалок на все случаи жизни. Рабочая программа любой школы – не самое страшное, вы справитесь!

Готовимся к контрольным

Если приближается ответственная проверочная или тест (особенно ЕГЭ!), вы всегда можете выдержать это испытание без паники. Можно заранее повторить пройденное, посмотрев наши видеорешения. Это новое слово в обучении, потому что визуализация данных позволяет эффективнее донести до юных математиков суть параграфа или темы. Внимательно следите за действиями педагога, который рассказывает принцип выполнения упражнений. И вы сможете успешно справиться с аналогичными задачами сами!

На портале с подсказками есть масса полезного:

• большой выбор ГДЗ ко всем учебникам по ФГОС;
• информация к дидактическим материалам, тетрадям-тренажерам и другим пособиям;
• комфортный интерфейс, легкая и понятная структура;
• качественная проверка всей информации – ни одна шпаргалка не является ошибочной;
• шанс повторить и понять все самое непонятное – каждая тема разбирается в видеороликах.

Никакие задачки с ГДЗ по алгебре для 10-11 класса Колмогорова не проблема!

ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре для 10 класса Ивлев можно посмотреть

здесь.

ГДЗ к учебнику по алгебре 10-11 класс Алимов можно посмотреть

здесь.

ГДЗ Алгебра 10-11 класс Колмогоров, Абрамов, Дудницын

• Алгебра 10-11 класс
• Тип пособия: Учебник
• Авторы: Колмогоров, Абрамов, Дудницын
• Издательство: «Просвещение»

Глава 1-4: 1

Предыдущее

Следующее

Предыдущее

Следующее

Алгебра — это один из разделов математики, который изучает общие свойства и действия над различными величинами, а также решение уравнений. Она возникла в результате поисков общих методов выполнения однотипных задач. В отличие от арифметики здесь используются буквы, в не цифры. Изучение алгебры развивает:

1. Абстрактное и логическое мышление.
2. Пространственное воображение.
3. Умения сопоставлять, анализировать, обобщать и делать выводы.

Кроме этого, она является отличным тренажером для памяти. Дисциплина с одноименным названием занимает основное место в системе школьного образования. С ее основами школьники начинают знакомиться в пятом классе и на всем дальнейшем пути обучения она сопровождает их. Чтобы освоение одного из самых сложных предметов давалось легко, ребятам стоит воспользоваться сборником «ГДЗ по Алгебре 10-11 класс Учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)». С ним все препятствия станут легко преодолимы.

Трудности в изучении алгебры

Порой бывает сложно освоить информацию по алгебре из-за большого количества формул, понятий и нюансов. Особенно если подросток больше склонен к гуманитарным наукам. Но в старших классах эта сложность возрастает еще больше, благодаря основам математического анализа. Но из любых сложностей всегда можно найти выход. В данном случае вниманию учеников предлагается решебник к учебнику «Алгебра 10-11 класс Учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)».

В ближайшее время учащимся придется непросто, ведь количество и сложность изучаемого материала увеличивается в разы. Кроме того, многие школьники так бояться ЕГЭ, что ни о чем другом просто думать не могут, из-за чего может пострадать их текущая деятельность. Появление же пробелов в знаниях в данный период просто недопустимо, ведь времени на их восполнение просто нет. Используя решебник в качестве дополнительного вспомогательного пособия, подростки смогут не только до конца разобраться с каждой темой, но и без труда сдать предстоящие вскоре экзамены.

Построение решебника

Это пособие разделено на шесть глав, которые включают в себя разноплановые упражнения из учебника за весь курс обучения, а также задачи для повторения. «ГДЗ по алгебре 10-11 класс Колмогоров» написаны с таким расчетом, чтобы дать предельно доступную информацию для любого ученика. Максимально подробные комментарии еще больше облегчают процесс обучения. Помимо этого на страницах пособия школьники найдут:

• верные ответы на каждый номер;
• подробный ход решения;
• наглядные примеры;
• несколько вариантов оформления работ.

Пользуясь решебником для самопроверки и не только, учащиеся легко овладеют всеми текущими алгоритмами и смогут без проблем применять их при решении любых уравнений. Это без сомнения принесет им положительные оценки и похвалу преподавателя.

Зачем использовать решебник

Естественно при создании этого пособия авторы не имели в виду бесцельное списывание, так как это не облегчит участь подростка на уроке. Решебник к учебнику «Алгебра 10-11 класс Колмогоров» предполагает внимательный подход для ознакомления и изучения алгоритмов решений, чтобы в дальнейшем уметь достойно ответить по пройденному материалу. Кроме этого, с его помощью старшеклассник сможет:

• исправить и проработать допущенные ошибки;
• самостоятельно разобрать и понять особо сложную тему;
• заранее подготовиться к предстоящему уроку;
• углубить уже имеющиеся знания.

Использование ГДЗ в процессе обучения значительно облегчит усвоение предметного материала, плюс ко всему ученик всегда будет на «отлично» подготовлен к любой самостоятельной в классе.

Каким образом нужно работать с ГДЗ

Чаще всего проблемы с успеваемостью и недостаток знаний вызваны тем, что ребята просто не понимают учебный материал. Учителя же слишком заняты, чтобы подробно разъяснять все нюансы каждому подростку в отдельности, а на уроке не хватает времени, чтобы вникнуть в аспекты изучаемого параграфа. Освоить же самостоятельно зачастую совсем непонятные формулы учащиеся, не обладающие способностями к алгебраической науке, просто не в состоянии. Как правило, родители сразу же стараются нанять таким школьникам репетиторов, но картина обычно не особо меняется. Происходит это по разным причинам от неквалифицированности наемного преподавателя до нежелания самого ребенка тратить личное время на дополнительные занятия.

Самым оптимальным решением станет использование «ГДЗ по Алгебре 10-11 класс Учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)». Этот сборник поможет ученикам:

• сэкономить время на подготовке домашних заданий;
• улучшить качество своих навыков по предмету;
• обрести уверенность в себе и своих знаниях.

При этом работа с решебником может проходить где и когда угодно, так как он доступен онлайн круглосуточно. Таким образом, подростки получают возможность повторить материал непосредственно перед самим уроком, ведь сделать это легко прямо с экрана смартфона.

Однако, чтобы достигнуть блестящих результатов в учебе, необходимо правильно применять пособие ГДЗ. Это не просто «взять и списать», а:

1. Внимательно изучить теоретические выкладки.
2. Разобрать и запомнить алгебраические правила.
3. Самостоятельно сделать все задания.
4. Проверить себя по решебнику.
5. Исправить ошибки, если они имеются.

Только такой подход гарантирует, что все необходимые знания прочно осядут в памяти, что позволит свободно оперировать ими в любой подходящий момент.

Периодические занятия с решебником позволят ученикам проявить себя с лучшей стороны на уроках, всегда верно отвечать даже на самые каверзные вопросы учителя и добиться хороших оценок не только в журнал и дневник, но и в аттестат. Кроме того, выполнение домашних заданий с ГДЗ перестанет отнимать кучу времени, как это происходило раньше, а это значит, что старшеклассники смогут уделить внимание и своим личным делам. Школьники, наконец-то, поймут, что значит учиться в свое удовольствие!

Гдз колмогоров 10 11 подробное решение.

Алгебра является одним из самых сложных школьных предметов. Однако, повышенное внимание к ней объясняется еще и тем, что после окончания курса старших классов, каждый выпускник должен будет сдавать ЕГЭ по этому направлению. Именно поэтому важно своевременно должным образом подготовить ученика, который в будущем сможет легко выполнять упражнения на контрольных работах и экзаменах.

Онлайн-решебник по алгебре для 10, 11 класса под авторством А.Н. Колмогорова А.М. Абрамова и Ю.П. Дудницына
– проверено эффективностью применения в школах и разных уровней и лицеях, а также временем, поскольку этот материал используется уже более 10 лет. Главной особенностью издания является содержание в нем верных ответов на все типичные задания, с которым в процессе обучения и по его окончании может столкнуться десяти- или одиннадцатиклассник.

Рассмотренные на страницах темы рабочей программы помогут получить необходимые навыки для:

• Решения задач по многочленам, степенями, корням и рациональными дробям.
• Совершенствования использования тригонометрических функций и логарифмов.
• Использования методов начал анализа.

Предложенное в книге решение заданий представлено в развернутом виде. Учащийся легко сориентируется в ходе выполнения даже без посторонней помощи. Сразу же приводятся и результаты, запись которых полностью соответствует ФГОС.

Почему стоит обратиться к решебнику?

Пособие по алгебре А.Н. Колмогоров
дает учащемуся много преимуществ. Так, например:

• Пропущенный урок не станет причиной невосполнимого пробела в знаниях. Понятные пояснения к каждой формуле и правилу позволят разобраться в том или иной теме самостоятельно.
• Наличие ГДЗ гарантирует школьнику возможность изучения правильного хода решения, даже, если тема была изучена не досконально.
• Регулярные занятия помогут улучшить результаты тестов и контрольных и позволят сократить время подготовки к ним.

Все номера задач представлены на соответствующих сайтах в отсканированном виде в режиме онлайн. Так, выполнять проверочные работы можно даже посредством мобильного телефона в транспорте.

26-е изд.- М.: 2018 — 384с. 17-е изд.- М.: 2008 — 384с.

Учебное пособие написано на высоком научном уровне,
основные теоретические положения иллюстрируются конкретными примерами. Система
упражнений в нём представлена задачами двух уровней сложности как к каждому
параграфу, так и к каждой главе. Упражнения для повторения курса в главе «Задачи
на повторение» и задачи повышенной трудности в заключительной главе содержат
богатый материал для подготовки к ЕГЭ. Исторические справки познакомят учащихся
с историей развития математики. Для подготовки к контрольной работе в конце
каждой главы приведены вопросы и задачи на повторение основного материала.
Ответы на вопросы и примеры решения таких задач можно найти в тексте
соответствующих пунктов. Дополнительный материал теоретического характера
содержится в некоторых пунктах учебника, он выделен специальными значками.

Формат:
pdf

(2018
,
384с.)

Размер:
50 Мб

Смотреть, скачать:

ноябрь

Формат:
pdf

(2008
,
384с.)
(ч/
б вариант)

Размер:
12 Мб

Смотреть, скачать:

ноябрь
.2019г,
ссылки удалены по требованию изд-ва «Просвещение» (см. примечание)

Формат:
pdf

(цветной вариант)

Размер:
20,6 Мб

Смотреть, скачать:

ноябрь
.2019г,
ссылки удалены по требованию изд-ва «Просвещение» (см. примечание)

Ниже:
Цветной; сборка в djvu

сделана из мультимедийного издания 2008
на CD
.В этом
файле отсутствуют содержание и ответы к упражнениям, а также присутствует новая
глава: «Элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики».

Формат:

djvu

Размер:
13,8 Мб

Смотреть, скачать:
ноябрь
.2019г,
ссылки удалены по требованию изд-ва «Просвещение» (см. примечание)

Формат:
pdf

(Вариант pdf
сделан из
djvu
выше, качество получилось низкое)

Размер:
18,3 Мб

Смотреть, скачать:
ноябрь
.2019г,
ссылки удалены по требованию изд-ва «Просвещение» (см. примечание)

Формат:

djvu / zip

(1990
, 320с.)

Размер:

3
,5
Мб

Скачать / Download
файл

ноябрь
.2019г,
ссылки удалены по требованию изд-ва «Просвещение» (см. примечание)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3
I. Глава. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента
1. Синус, косинус, тангенс и котангенс
(повторение) 5
2. Тригонометрические функции и их графики 14
§ 2. Основные свойства функций
3. Функции и их графики 21
4. Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций 31
5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы 40
6. Исследование функций 48
7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания 56
§ 3. Решение тригонометрических
уравнений и неравенств
8. Арксинус, арккосинус и арктангенс 64
9. Решение простейших тригонометрических уравнений 69
10. Решение простейших тригонометрических неравенств 75
11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений 81
Сведения из истории 85
Вопросы и задачи на повторение 91
II. Глава. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ
ПРИМЕНЕНИЯ
§ 4. Производная
12. Приращение функции 97
13. Понятие о производной 101
14. Понятия о непрерывности функции и предельном переходе 108
15. Правила вычисления производных 113
16. Производная сложной функции 118
17. Производные тригонометрических функций. 121
§ 5. Применения непрерывности и
производной
18. Применения непрерывности 124
19. Касательная к графику функции 129
20. Приближенные вычисления 134
21. Производная в физике и технике 137
§ 6. Применения производной к
исследованию функции
22. Признак возрастания (убывания) функции
143
23. Критические точки функции, максимумы и минимумы 147
24. Примеры применения производной к исследованию функции…. 151
25. Наибольшее и наименьшее значения функции 155
Сведения из истории 160
Вопросы и задачи на повторение 170
III. Глава. ПЕРВООБРАЗНАЯ И
ИНТЕГРАЛ
§ 7. Первообразная
26. Определение первообразной 174
27. Основное свойство первообразной 177
28. Три правила нахождения первообразных 181
§ 8. Интеграл
29. Площадь криволинейной трапеции 185
30. Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница 188
31. Применения интеграла 194
Сведения из истории 199
Вопросы и задачи на повторение 205
IV. Глава. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ВИЛ ФУНКЦИИ
§ 9. Обобщение понятия степени
32. Корень n
-й
степени и его свойства 207
33. Иррациональные уравнения 214
34. Степень с рациональным показателем 218
§ 10. Показательная и
логарифмическая функции
35. Показательная функция 224
36. Решение показательных уравнений и неравенств 229
37. Логарифмы и их свойства 233
38. Логарифмическая функция 238
39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 242
40. Понятие об обратной функции 246
§ 11. Производная показательной
и логарифмической функций
41. Производная показательной функции. Число
е 251
42. Производная логарифмической функции 256
43. Степенная функция 259
44. Понятие о дифференциальных уравнениях 263
Сведения из истории 269
Вопросы и задачи на повторение 273
V. Глава. ЗАДАЧИ НА
ПОВТОРЕНИЕ
§ 1. Действительные числа
1. Рациональные и иррациональные числа 277
2. Проценты. Пропорции 279
3. Прогрессии 280
§ 2. Тождественные
преобразования
4. Преобразования алгебраических выражений
281
5. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными
показателями 282
6. Преобразования тригонометрических выражений 283
7. Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы. . . 285
§ 3. Функции
8. Рациональные функции 286
9. Тригонометрические функции 290
10. Степенная, показательная и логарифмическая функции 293
§ 4. Уравнения, неравенства,
системы уравнений и неравенств
11. Рациональные уравнения и неравенства 295
12. Иррациональные уравнения и неравенства 297
13. Тригонометрические уравнения и неравенства. 298
14. Показательные уравнения и неравенства 299
15. Логарифмические уравнения и неравенства 300
16. Системы рациональных уравнений и неравенств 301
17. Системы иррациональных уравнений 302
18. Системы тригонометрических уравнений —
19. Системы показательных и логарифмических уравнений 303
20. Задачи на составление уравнений и систем уравнений 304
§ 5. Производная,
первообразная, интеграл и их применения
21. Производная 306
22. Применение производной к исследованию функций 308
23. Применение производной в физике и геометрии 310
24. Первообразная 312
25. Интеграл —
VI. Глава. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
§ 1. Числа и преобразования выражений
1. Целые числа 314
2. Метод математической индукции 315
3. Действительные числа 316
4. Преобразование выражений 317
5. Прогрессии 318
§ 2. Элементарные функции и их
свойства
6. Исследование функций 319
7. Графики функций 322
§ 3. Уравнения, неравенства и
системы
8. Рациональные алгебраические уравнения 325
9. Рациональные алгебраические неравенства 327
10. Системы рациональных алгебраических уравнений 328
11. Задачи на составление уравнений и их систем 329
12. Иррациональные уравнения и неравенства 330
13. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы 333
14. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 335
§ 4. Начала математического
анализа
15. Производная 337
16. Применение производной к исследованию функций 338
17. Применение производной в физике и геометрии 340
18. Первообразная 341
19. Интеграл 343
Ответы и указания к упражнениям
346
Предметный указатель 377

Вы начинаете изучать новый предмет.
Слово «алгебра» в его названии вам уже известно.
Принципиально новая часть курса посвящена изучению начал анализа. Математический
анализ (или просто анализ) — ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и
включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное
исчисления. Анализ сыграл громадную роль в развитии естествознания — появился
мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при
решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и
методами анализа (производная, дифференцирование, первообразная, интеграл, метод
поиска максимумов и минимумов функций) — одна из важных целей курса.

Издательство:
Просвещение
2015 год.

Выполнение проверочных работ вне школьных занятий существенно улучшает успеваемость учащихся. При этом необходимо пользоваться только достоверной информацией и ориентироваться на источники, где запись результатов приводится в соответствии с требованиями ФГОС. Именно такой и является книга по одному из самых сложных предметов школьной программы.

Пособие представляет собой хорошо проработанную базу для изучения предмета с подробно описанными решениями заданий разных уровней. С такими выпускники могут сталкиваться как на обычных контрольных работах, так и в процессе написания ЕГЭ. Даже элементарное переписывание их с онлайн-решебника по алгебре для 10-11 класса под авторством А.Н. Колмогорова, А.М. Абрамова, Ю.П. Дудницына
позволяет запомнить основные приемы, применение которых позволит получить достойную оценку.

В книге рассматриваются следующие направления:

• Свойства тригонометрических функций и методы решения неравенств и уравнений с ними;
• Применение производной;
• Начала анализа.

Чем полезно издание?

Это отличная помощь на случай, если рассмотрение определенной темы в школе было пропущено или материал не усвоился должным образом в виду ограниченного количества времени. Такой информационный ресурс открывает дополнительные возможности те только для десяти- и одиннадцатиклассников:

Наличие ГДЗ существенно сокращает время подготовки школьника к заданному на дом, а также внешнему и внутреннему контролю, например, в виде тестов и контрольных работ.

Педагоги используют последовательность и стиль изложения материала в школьных рабочих программах для улучшения эффективности усвоения информации учащимися на уроках.

Пособие упрощает родителям контроль знаний своих детей. Для оценки выполнения упражнений не нужно тратить время на подробное изучение темы, достаточно посмотреть этапы и верные ответы, приведенные в книге.

Для экономии времени ученик старших классов может пользоваться электронной версией решебника по алгебре ( в режиме онлайн, что предлагается на некоторых образовательных ресурсах. Здесь представлены все номера задач, приведенных в печатном издании.

ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре для 10 класса Ивлев можно посмотреть
.

ГДЗ к учебнику по алгебре 10-11 класс Алимов можно посмотреть
.

Гдз по алгебре за 10 и 11 класс, авторы: А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын. Издательство Просвещение 2015 год.
Сложность в изучении алгебры испытывают не только современные ученики, их родители тоже имели проблемы при изучении этого предмета. Большое количество формул и понятий – эти и другие трудности встречают в процессе изучения ученики старших классов. Все это практически невозможно держать в голове. На помощь ученикам в десятом и одиннадцатом классе придет данное пособие, в котором находятся готовые решенные задания из учебника алгебра 10-11 класс, автора Колмогорова. В нем размещены все решения, что позволит помочь ученикам, если они зашли в тупик с каким-либо заданием. Главное не списывать бездумно решения, что не позволит оставить в голове пробелы в теме. Данный решебник поможет при подготовке к занятиям, если разбирать решения как алгоритм выполнения заданий.

ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре для 10 класса Ивлев можно скачать

Группы Ли, связанные с операторами Хермандера и уравнениями Колмогорова-Фоккера-Планка

Наследие Колмогорова в математике | Математическая ассоциация Америки

Андрей Н.Колмогоров (1903-1987) был одним из самых плодовитых и влиятельных математиков двадцатого века. Его вклад охватывает несколько областей чистой и прикладной математики. Его публикаций насчитывается около 500. В рецензируемой книге, представляющей собой перевод оригинального французского издания ( L’héritage de Kolmogorov en mathématiques. Éditions Belin, 2004 г.), делается попытка проиллюстрировать, как он резко изменил пейзажи предметов, которые он изучал. расследовано. Редакция выражает надежду, что этот сборник будет прочитан теми, кто имеет только степень бакалавра в области математики, информатики или физики, и вообще теми, кто интересуется математическими идеями.Этот рецензент хотел бы предупредить, что для многих глав требуются хотя бы базовые знания теории функций и функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики.

В [1991] В. М. Тихомиров разделил вклад Колмогорова на три области: порядок (математика и механика), хаос (теория вероятностей и статистика) и информационные и алгоритмические теории, где последние две области не имели естественной границы. Рецензируемая книга расширяет эти области, и каждая глава посвящена одной из тем исследований Колмогорова или предмету, который был изобретен в результате его открытий.Двадцать экспертов представляют его вклад, его методы, взгляды, которые он представил, и эволюцию его исследований в сочетании с примерами недавних приложений и их современными перспективами. В большинстве случаев они содержат обзор его основных идей (а не подробные доказательства). Редакция в перспективе отсылает читателя к Колмогорову за (более или менее) полной библиографией публикаций Колмогорова.

В первой главе рецензируемой книги Жана-Пьера Кахана прослеживается ранний интерес Колмогорова к рядам Фурье и его четыре публикации, вытекающие из этого.Автор описывает ранние результаты Колмогорова (между 1922 и 1924 гг.), которые включают доказательство существования функции, ряд Фурье которой расходится всюду, теоремы о гармоническом сопряжении, интерпретируемые в терминах рядов Фурье, условия сходимости всюду тригонометрических, ортогональных и лакунарных рядов Фурье. , и открытия о порядке величины коэффициентов Фурье. Кахане не только помещает эти юношеские вклады Колмогорова в их исторический контекст. Он объясняет их значение в современном мире.

Вклад Колмогорова в интуиционистскую логику описан Тьерри Коканом в главе 2. Он обсуждает первую статью Колмогорова [1925] по теории доказательств, опубликованную на русском языке, описывая контекст, в котором она появилась. В этой работе Колмогоров определил и доказал правильность вложения классической логической системы (исчисления высказываний) в интуиционистскую систему. Кокван анализирует этот результат, отмечая его уточнения, расширения и обобщения, а также дает современные оценки его значимости и ограничений.Единственная другая статья Колмогорова, относящаяся к математической логике, была написана в 1932 году. Там он разработал исчисление проблем как интерпретацию интуиционистской логики, формализованную Гейтингом. Коканд обсуждает, как переопределение исчисления задач в теории типов в конце двадцатого века снабжает исчисление Колмогорова явным обозначением решения проблем, привнося его новаторскую работу в современную перспективу.

Главы 3 и 4 посвящены вероятности. Классика Колмогорова Grundbegriff [1933] считается открытием современной эры теории вероятностей.В ней Колмогоров завершил решение шестой проблемы Гильберта об аксиоматизации вероятности. Он использовал теорию меры, рассматривая вероятностную меру как положительную меру массовой единицы, чтобы переформулировать теорию вероятностей. Этот теоретико-мерный подход к предмету стал сегодня стандартным.

Лоик Шомон, Лоран Мазляк и Марк Йор считают, однако, что эта работа 1933 года не является самым оригинальным творением Колмогорова в области вероятностей. В главе 3 они исследуют два замечательных вклада Колмогорова в вероятностную работу: его исследование различных типов сходимости сумм независимых случайных величин и его революционные идеи о процессах в непрерывном времени.Они обсуждают совместную работу Колмогорова и А. Н. Хинчина [1925], в которой излагаются приемы, лежащие в основе дальнейшего развития теории вероятностей, в частности при изучении результатов сходимости для мартингалов.

Одним из величайших достижений Колмогорова авторы называют сделанное Колмогоровым в 1929 г. обобщение закона повторного логарифма Хинчина 1924 г. Действительно, величайшим достижением самого Хинчина может быть закон повторного логарифма, объединяющий закон больших чисел и центральную предельную теорему как классические предельные теоремы теории вероятностей.Между своей первой работой с Хинчиным и его Grundbegriffe Колмогоров напишет около дюжины статей о вероятности. В последнем разделе этой главы рассматривается исследование Колмогоровым марковских процессов и построение им дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют переходные плотности вероятностей. Авторы обсуждают один из инструментов, разработанных Колмогоровым для изучения линейных свойств случайных процессов, эффективный критерий, гарантирующий линейную непрерывность, и иллюстрируют современные обобщения этого критерия.

Глава 4 продолжает исследование работ Колмогорова в области теории вероятностей, уделяя особое внимание бесконечномерным уравнениям Колмогорова. Джузеппе Да Прато начинает с обобщения выводов Колмогоровым некоторых важных дифференциальных уравнений в частных производных для переходных вероятностей из уравнения Чепмена-Колмогорова, которое является фундаментальным при анализе марковских процессов. Автор обсуждает бесконечномерные обобщения этих уравнений, стремясь продемонстрировать «современное состояние» в области бесконечномерных гильбертовых пространств.Представлены различные методы решения этих уравнений, и Да Прато описывает активные области исследований, возникающие в результате их применения к некоторым соответствующим уравнениям в частных производных.

Статистика — это тема, рассматриваемая в главах 5 и 6. В первой из них Кевин Форд ведет читателя от теоремы Колмогорова об эмпирическом распределении к теории чисел. Он описывает некоторые новые оценки вероятности того, что эмпирическая функция распределения равномерных [0,1] случайных величин останется по одну сторону от заданной линии.Отмечая, что Харди и Рамануджан начали изучение статистического распределения простых множителей целых чисел в 1917 году, автор обсуждает приложения эмпирических функций распределения к теории чисел.

В главе 6 Михаил Никулин и Валентин Солев обсуждают эпсилон-энтропию Колмогорова, стремясь показать влияние идей Колмогорова на развитие статистического оценивания. В 1933 г. Колмогоров [1933а] определил предельное распределение нормированного отклонения эмпирической функции распределения F _N (x) от непрерывной теоретической F(x).Обращение задачи, когда теоретическое распределение неизвестно, а эмпирическое определяется из данных, приводит к тесту Колмогорова , который сегодня используется в непараметрической статистике. Авторы прослеживают открытие этого критерия согласия и описывают более поздние усовершенствования, которые имеют интересные применения в теории чисел. Они обсуждают исследования Колмогорова 1950-х годов в области теории информации и ее связи с теорией сложности, теорией функций и статистической оценкой, а также объясняют его понятие эпсилон-энтропии, которое стало основным инструментом непараметрической статистики для измерения качества оценок.Они показывают, как энтропия используется для оценки плотности, и дают читателю более глубокое понимание того, как идеи Колмогорова повлияли на результаты нескольких статистиков за последние пятьдесят лет в области непараметрической статистики по этой проблеме.

Глава 7 посвящена топологии. Виктор М. Бухштабер объясняет замечательные результаты, полученные Колмогоровым между 1934 и 1937 годами, всего на тридцати страницах своих немногочисленных статей по этому вопросу. Автор обсуждает источник некоторых идей, приведших к результатам Колмогорова.Прелюдия к главе знакомит с основоположниками советской школы топологии П.С. Урысоном и П.С. Александрова и описывает их влияние на своего ученика Колмогорова. Бухштабер объясняет, почему на первой международной топологической конференции, состоявшейся в Институте математики Московского университета в сентябре 1935 г., доклады Колмогорова и Дж. В. Александера о построении двойственных комплексов для достаточно общих пространств привлекли всеобщее внимание. Автор помещает результаты, полученные Колмогоровым и Александром, в исторический контекст и описывает их влияние на последующее развитие алгебраической геометрии.Он также приводит список основных понятий, принадлежащих Колмогорову, который ввел их для решения некоторых важных проблем общей топологии. Эти понятия продолжают пользоваться новыми приложениями сегодня.

В главах 8 и 13 обсуждаются проблема Гильберта 13 и роль Колмогорова в ее решении. В первой из этих глав Владимир М. Тихомиров рисует общую картину этой темы, заканчивающуюся геометрией и теорией приближения. Автор рассматривает шесть работ Колмогорова по теории приближений и приводит список математиков, на исследования которых Колмогоров оказал сильное влияние, со ссылками на то, где читатель может узнать больше об их результатах.Этому обсуждению предшествует исследование идей Колмогорова о геометрии.

На протяжении всей жизни Коломогоров различал три составляющие математической одаренности: алгоритмическую, логическую и геометрическую. Он считал, что геометрическая интуиция играет большую роль почти во всех областях математики, и причислял эту интуицию к своим собственным математическим талантам. Последние годы его жизни были посвящены математическому образованию в средней школе, где он стремился реорганизовать школьный курс геометрии, опираясь на геометрическую интуицию.

Тихомиров свидетельствует о геометрических способностях Коломогорова, начиная с обсуждения двух его геометрических работ. Первая (1930 г.) изучает пространства постоянной кривизны, а вторая (1932а) исследует проективное пространство с аксиоматической точки зрения. Далее автор исследует то, что он называет «геометрическими мотивами» в нескольких «негеометрических» статьях Колмогорова, в том числе посвященных понятию меры и топологическому векторному пространству. Он начинает рассказ с 13 ^th проблемы Гильберта, которая фокусируется на одном из центральных вопросов анализа функций многих переменных.В конечном счете Колмогоров доказал, что любую непрерывную функцию многих переменных можно представить с помощью суперпозиции непрерывных функций одной переменной и сложения. Это известно как Теорема Колмогорова о суперпозиции . Васко Браттка анализирует эту теорему с точки зрения вычислительного анализа в главе 13. Он прослеживает влияние этой теоремы от опровержения гипотезы Гильберта о невозможности решения общего уравнения 7 ^-й -й степени до исследований, посвященных изначально вытекавшие из него вопросы гладкости, к его применению к нейронным сетям.

Математическая экология является предметом главы 9. В ней рассматривается вклад Колмогорова в детерминистскую теорию динамики популяций в кратких заметках 1936 и 1972 годов, вытекающих из уравнения хищник-жертва. Карл Зигмунд описывает знаменитую модель Вито Вольтерры, которая объясняет удивительное открытие о количестве хищников и жертв в Адриатике после Первой мировой войны. Вольтерра использовал обыкновенное дифференциальное уравнение, чтобы показать, почему количество хищников увеличилось, а количество добычи уменьшилось. уменьшилось.Его модель предполагает, что популяция жертв в отсутствие хищников будет экспоненциально расти до бесконечности. Но метод Вольтерры, заключающийся в выражении темпов роста популяций явными функциями, зависящими от небольшого числа параметров, и последующем явном решении уравнений, может применяться только к сильно упрощенным моделям. Зигмунд демонстрирует, как Колмогоров подошел к проблеме качественно (используя методы А. Пуанкаре) таким образом, что позволяет специфицировать экологическую систему не путем предоставления точных аналитических выражений для темпов роста, а путем установления условий для знаков их частных производных. .Автор описывает влияние работы Колмогорова в контексте других вкладов в проблему (в частности, Г. Ф. Гаузе). Он объясняет, почему общий подход Колмогорова, который создает модель биологических сообществ, состоящих из трех или более видов, сегодня дает некоторые результаты, наиболее полезные для экологических приложений и наиболее интересные с математической точки зрения.

Главы 10, 11 и 12 посвящены динамическим системам. В первом из них Этьен Гис дает исторический обзор проблемы устойчивости движений в небесной механике.Он дает элементарное введение в теорему Колмогорова-Арнольда Мозера (КАМ), согласно которой Солнечная система, вероятно, почти периодична. Колмогоров объявил об этой теореме на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г., представил на докладах свое доказательство, но так и не опубликовал его. В.И. Арнольд опубликовал первое его доказательство в 1963 г. после публикации в 1962 г. статьи Дж. Мозера, в которой был установлен другой, но родственный результат. Эти доказательства были чрезвычайно сложными.Гис пытается дать читателю представление о проблеме КАМ, рассматривая упрощенный пример, вдохновленный ею, который он решает с помощью рядов Фурье. При этом он раскрывает роль резонанса и малых делителей.

В главе 11 Джон Х. Хаббард продолжает обсуждение КАМ-теоремы, сначала в контексте двух примеров: солнечной системы и вынужденного маятника. Во второй части главы автор обрисовывает основные идеи доказательства теоремы 2002 г. (которое было усовершенствованием относительно простого доказательства, опубликованного в 1984 г.).Раздел содержит красивые иллюстрации, но для понимания доказательства читатель должен иметь представление о дифференцируемых многообразиях, потоках векторных полей и т. д.

Колмогоров считал, что сохраняющие общую меру динамические системы представляют собой смеси квазипериодических движений и движений с положительной энтропией. Глава 12 переносит читателя от работ Колмогорова по энтропии динамических систем к неравномерно гиперболической динамике. Денис В. Косыгин и Яков Г. Синай иллюстрируют, почему работу Колмогорова 1958 года, в которой он ввел понятие энтропии динамической системы, можно считать отправной точкой современной теории детерминированного хаоса.До этого времени основным методом изучения динамических систем был спектральный, на который повлияла метрическая классификация динамических систем И. фон Неймана с чисто точечным спектром. Но Колмогоров (и Синай) заметил, что существуют детерминированные системы с ненулевой энтропией. Современное представление о гиперболичности динамической системы сложилось в результате исследования таких систем. Косыгин и Синай описывают это открытие и обсуждают последние результаты по этому вопросу.

Последние две главы посвящены сложности описания, которую Коломогоров определил в 1965 году. Учитывая, что любая информация может быть закодирована в виде строки битов (конечная последовательность битов), сложность Коломогорова основывается на идее, что длинная строка информационных битов необходимые для определения данного объекта, иногда могут быть восстановлены из краткого описания. В таком случае сложность Коломогорова строки определяется как длина ее кратчайшего описания. Но большинство строк не имеют описания, значительно более короткого, чем сама строка, и называются несжимаемыми или случайными.Колмогоровское определение сложности объединило теорию вероятностей и теорию алгоритмов, предлагая новый взгляд на оба предмета.

В главе 14 Бруно Дюран и Александр Звонкин дают прекрасные приложения колмогоровской версии алгоритмической сложности с описанием доказательств сложности теоремы Гёделя о неполноте и парадокса Берри, предложенных Грегори Чайтином. Они показывают, как колмогоровская сложность обеспечивает процедуру для получения истинных, но недоказуемых утверждений.Авторы исследуют связи между сложностью и случайностью, отслеживая развитие усилий Колмогорова и других (например, Мартина-Лёфа, Левина и Шнорра) по характеристике случайности с использованием нескольких типов описательной сложности.

Пол Витани в главе 15 расширяет обсуждение случайности, объясняя, как колмогоровская сложность может выражать случайность в детерминизме, и дает подход к формулировке хаотического поведения. Он вводит метод несжимаемости, приводя примеры использования колмогоровских аргументов сложности в качестве метода доказательства в теории чисел и теории графов.Автор показывает, как этот метод, который дает простые доказательства известных результатов и решений открытых проблем, может использоваться в качестве технического инструмента для количественной оценки непредсказуемости хаотических систем.

Этот впечатляющий сборник дает читателю представление о глубине и широте вклада Колмогорова в математику. Каждая глава включает в себя обширный список ссылок, которые приглашают к дальнейшему чтению. Тем не менее, книга выиграла бы от всеобъемлющего указателя, который направляет читателя к темам и работам Колмогорова, которые повторно рассматриваются в разных главах.Есть небольшие ошибки (орфографические ошибки, неточные переводы), которые можно было бы исправить при более качественном редактировании.

Каталожные номера

Харди, Г.Х., Рамануджан, С. Нормальное количество простых делителей числа n . кв. J. Math., 158 , 76-92 (1917).

Хинчин А.Ю., Колмогоров А.Н. Über das Gestz des iterierten Logarithmus. Матем. Анн., 101, 126-135 (1929).

Колмогоров А. Н. О принципе исключенного третьего. Математический сборник, 32 , 646-647 (1925). Английский перевод в От Фреге до Гёделя. Справочник по математической логике, 1879-1931 (Дж. ван Хейеноорт, редактор, 1967).

___________ Zur topologisch-gruppenteoretischen Begründung der Geometrie. Нахр. Гэс. Висс. Геттинген, Fachgr. I (Mathematik), H. 2, 208-210 (1930)

____________Zur Deutung der intuitionistischen Logik. Mathematische Zeitschrift 35 , 58-65 (1932).

____________Zur topologisch-gruppenteoretischen Begründung der Projektiven Geometrie. Энн. Мат. 33 , 175-176 (1932а)

____________ Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung . Спрингер, Берлин (1933). Английский перевод Основы теории вероятностей (Челси, Нью-Йорк, 1950).

____________Полное определение эмпирического метода распределения. Джорджнале Истиуто. итал. Аттуари 4, 32-91 (1933а)

____________Sulla teoria di volterra della lotta per l’esistenza. Giornale Istituto Ital. Аттуари, 7 , 74-80 (1936)

____________ Новый метрический инвариант нестационарных динамических систем и автоморфизмов в пространствах Лебега. Докл. акад. Наук СССР (Н.С.) 119 , 861-864 (1958)

____________Количественная мера математических моделей в динамике популяций. Проблемы кибернетики, 25 , 100-106 (1972).

Тихомиров, В. М. Редактор Избранные произведения А. Н. Колмогорова , Kluwer Academic, Дордрехт (1991).

Елена Энн Кори Маркизотто — профессор математики Калифорнийского государственного университета. Она является соавтором книги Джеймса Т. Смита «Наследие Марио Пьери в области геометрии и арифметики». Она планирует выпустить следующие книги об исследованиях Пьери в области проективной и алгебраической геометрии, а также философии науки. Помимо геометрии и истории математики, ее исследовательские интересы включают математическое образование. Вместе с Залманом Усискиным, Энтони Перессини и Диком Стэнли она является соавтором книги «Математика для учителей средней школы, продвинутая перспектива ».

(PDF) Устойчивость течения Колмогорова в канале с жесткими стенками

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Vol . 5 3

№ 11

2013

НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ 1735

Однако, поскольку поверхность тела имеет ненулевую кривизну, профиль цилиндрического течения Куэтта не является ни линейным, ни параболическим. Между тем именно нулевая кривизна плоскости обеспечивает линейность или парциальную аболичность профиля плоского базисного течения (Куэта, Пуазейля или Рэлея).Было установлено, что кривизна играет основную роль в устойчивости профиля локально в рассмотренном выше случае трехмерных течений в

теореме Романова и, как будет показано, глобально в случае рассматриваемых двумерных течений

ниже.

Таким образом, теорема Романова об устойчивости и теоремы о неустойчивости Иванилова–Яковлева и Вельте не

противоречат друг другу, но вместе указывают на важность ненулевой кривизны.

Кроме того, профиль (6) не имеет точки перегиба и поэтому, как сказано выше, должен быть устойчивым.

Однако синусоидальный профиль имеет точку перегиба (из-за чего Рейнольдс выбрал его в качестве первой кандидатной

дидаты для неустойчивых течений (см. [14] и рис. 3). Однако для двумерных возмущений Кол-

могоров, неожиданно, в условиях периодичности на стенках канала

y

= 0,

h

, этот профиль линейно

рано устойчивый [25], а затем нелинейно устойчивый [26] и , наконец, в условиях прилипания на стенках

этот профиль нелинейно единственный [19] и устойчивый [27].

Примечательно, что во всех указанных случаях параметром устойчивости является не число Рейнольдса, а

отношение

α

=

h

/

l

/2 ширина канала

h

к его периоду

l

(так называемый первичный множитель, хотя его обратный

также часто называют так): для периодических стенок колмогоровское течение устойчиво при

α

> 0 [25, 26], а для жестких стенок (с условиями прилипания) она устойчива при

α

>

α

1

, где 0.592 <

α

1

< 0,593

— корень трансцендентного уравнения (лежащий строго в указанном интервале [21]).

Теоремы о локальной и нелинейной устойчивости плоского течения Куэтта [22], о линейной неустойчивости осесимметричного течения Куэтта [23, 24] (и, по бифуркационной теореме Красносельского [28], о локальной

нелинейной неустойчивости, которая характеризуется тем, что уравнения Навье–Стокса имеют второе

стационарное решение, ответвляющееся от основного течения при тех же граничных условиях), о линейной и

нелинейной устойчивости (или неустойчивости) колмогоровского течения (между периодическими стопками) [25, 26], а также на

глобальной (включая предел исчезающей вязкости) нелинейной единственности и устойчивости рейнольдсовского течения

(с колмогоровским профилем скорости между жесткими стенками с без проскальзывания [19, 21, 27]) дополняются

соответствующими численными экспериментами, а именно моделированием турбулентности, вызывающей трехмерные

вихревые каскады сдвигового слоя i неустойчивости, которые наблюдаются в вязкой несжимаемой жидкости

(без существенного влияния вязкости и стенок [29]) и в невязком сжимаемом газе (где этот эффект

отсутствует [20]).В последнем случае плоское течение Куэтта, которое можно непосредственно смоделировать в реальном времени

за несколько секунд, прерывается трехмерным хаосом, который, однако, упорядочен последовательностью потоков

структур с постепенно уменьшающимися вихревыми кольцами. и трубки. Другим примером развития неустойчивости является

, обеспечиваемое течением Куэтта между цилиндрами [31], которое, хотя и ограничено двумя измерениями, тем не менее,

теряет устойчивость (с образованием вихрей Кельвина–Гельмгольца) и в котором из-за при ненулевой кривизне

цилиндров устойчивость, по-видимому, отсутствует на “бесконечно мелкой сетке”, т.е.д., аналитически.

В поддержку аргументов против устойчивости отметим линейное приближение Орра–Зоммерфельда и связанные с ним

нейтральные кривые и асимптотические методы, которые традиционно относят к основным возражениям против

устойчивости плоского течения Пуазейля [9, 32]. ]. Действительно, соответствующая этому приближению линеаризация уравнений Навье–Стокса относительно указанного профиля приводит к неустойчивому асимптотическому решению (уравнений с малым коэффициентом (вязкостью) при старших производных и с переменными

коэффициентов при младших членах [32]), но с регулярным вырождением (когда малый коэффициент

убывает неограниченно), как и для уравнений с постоянными коэффициентами [33].Однако предельное уравнение

снова представляет собой линейное уравнение Рэлея (вырожденное уравнение Орра–Зоммерфельда), для которого параболический про-

файл (в качестве основного потока, удовлетворяющего стационарным уравнениям Эйлера, которые линейно аппроксимируются на этом про-

по уравнению Рэлея) теперь устойчив (по теореме Рэлея, так как не имеет точек перегиба).

Попытки получить нелинейную неустойчивость из линейной (через бифуркацию, как в теории Красносельского

) затруднены неизвестной кратностью соответствующего собственного значения соответствующего линеаризованного оператора, которое должно быть нечетным привести к бифуркации [28].

Указанная группа задач включает классические линейные и тесно связанные (по спектру)

локальные нелинейные (или бифуркационные) теории гидродинамической устойчивости, для которых эта группа, хотя и являясь

аттрактором (привлекательным универсальностью подход), выглядит довольно странно (что приводит к отмеченным противоречиям).

4. НОРМАЛЬНОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

В отличие от традиционного линейного подхода, где, по Л. Н. Толстому, «все счастливые семьи»

(здесь линейные уравнения) «подобны» (охватываются одними и теми же теоремами)

Новые точные решения уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова, уравнения Фитцхью-Нагумо и уравнения Ньюэлла-Уайтхеда

В данной работе представлены новые точные решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП).Решения получены с использованием эффективного подхода, метода первого интеграла (FIM). Предлагаемая методика реализована для получения решений пространственно-временного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП) и его производных уравнений, а именно, уравнения Фитцхью-Нагумо (ФХН) и уравнения Ньюэлла-Уайтхеда (НВ). Рассмотренные модели значимы в биологии. Уравнение КПП описывает генетическую модель распространения доминантного гена в популяции. Уравнение FHN необходимо при изучении межклеточных триггерных волн.Точно так же уравнение НВ применяется для химических реакций, неустойчивости Фарадея и конвекции Рэлея-Бенара. Предлагаемый метод FIM может применяться для нахождения точных решений УЧП.

1. Введение

В мире полностью преобладает нелинейность; таким образом, важно разработать нелинейные модели, включающие уравнения в частных производных [1–4]. Нелинейные согласующиеся УЧП привлекли интерес многих исследователей из-за их широкого применения в различных областях, например, в химии, акустике, гидродинамике, обработке изображений, биологии, физике, вибрации и управлении [5–7].Нелинейные согласующиеся УЧП имеют большой потенциал для применения в нескольких областях; поэтому исследователи уделяют большое внимание их аналитическим и численным решениям [8–12]. Предлагаются различные эффективные и надежные методы, такие как метод гомотопического анализа [13], метод гомотопического возмущения [14], метод расширенного гиперболического тангенса [15, 16], метод гиперболической функции [17], метод подуравнения [18] и метод экспоненциальной рациональной функции. метод [19] для получения решений.

Фэн представил эффективную методику получения растворов бегущей волны NPDE, известную как метод FIM [20–22].FIM основан на теории колец и коммутативной алгебре. FIM обеспечивает первый интеграл явной формы с полиномами в качестве коэффициентов, применяя теорему о делении. В отличие от других методов, преимущества FIM заключаются в получении точных и явных решений без сложных и длительных вычислений [23–25]. Несмотря на ряд преимуществ, FIM можно применять только к интегрируемым УЧП.

В центре внимания этой статьи находится поиск точных решений совместимых биологических моделей. Он включает в себя KPP и его производные модели, а именно, FHN и NW.KPP — это общая форма уравнения, и мы можем получить различные уравнения из KPP, например, FHN, NW и Кан Аллен. Рассмотренные модели значимы в биологии. KPP описывает генетическую модель распространения доминантного гена в популяции. Графические решения уравнения КПП можно использовать для диаллельного анализа, поскольку диаллельный анализ требует графических решений генов. В диаллельном анализе требуется графическое представление генов, и некоторые дополнительные расчеты позволяют исследователям иметь точечную оценку рецессивных и доминантных генов вместо предоставления интервала оценки [26].Уравнение FHN используется при изучении межклеточных триггерных волн. Триггерные волны — это импульсы и колебательные волны; эти волны переключаются из одного устойчивого стационарного состояния в другое [27]. Точно так же уравнение НВ применяется для неустойчивости Фарадея, химических реакций, конвекции Рэлея-Бенара и биологических систем [28]. Для решения уравнения КПП были разработаны различные методы, например, алгоритм дискриминации [29], метод гомотопического возмущения [30], метод дифференциального преобразования [31], метод (G/G)-разложения [32], метод гомотопического анализа [33].Как правило, решения уравнений КПП основаны на решениях серий или численных решениях. В этой работе для получения точных решений уравнений KPP, FHN и NW был принят эффективный метод FIM. Работа является новизной, так как точные решения рассматриваемых моделей с использованием FIM ранее в литературе не представлены.

Этот документ состоит из следующих разделов. Согласная производная описана в разделе 2; предлагаемая методика FIM обсуждается в разделе 3; решения согласных уравнений КПП, ФХН и СЗ представлены в разделе 4, а раздел 5 содержит резюме и дальнейшие рекомендации.

2. Предварительные

2.1. Производное: Conformable

Соответствующее производное определено Khalil et al. [34, 35].

Определение 1. Согласная производная для функции порядка задается как тогда, когда . Если функция -дифференцируема в , здесь и существует, то при 0 созвучная производная представляется в виде .

Согласный интеграл для функции задается как где и .

Халил и др. предложил следующую теорему [34–36].

Теорема 2. Пусть функции и в точке -дифференцируемы; ибо мы имеем следующие свойства [34]. (1) (2) (3) (постоянные функции) (4) (5) (6) производная любой дифференциальной функции в начале координат равна нулю; Несмотря на этот недостаток, было проведено несколько исследований согласованной производной, поскольку она объясняет интеграцию высшего порядка, последовательное дифференцирование и интегрирование, связь дифференцирования и интегрирования, свойство линейности, производную постоянной функции, правило частного и произведения, цепное правило и мощность. правило [34, 36–39].Следовательно, многие исследователи работают над применимостью согласной производной для реальных задач, таких как метод расширения эллиптической функции Якоби, используемый для решения согласного уравнения Буссинеска и комбинированного уравнения Кдв-мКдв [40], дробное согласное пространство-время (2 + 1) размерное дисперсионное длинноволновое уравнение [41], конформное уравнение теплопроводности [42] и конформное возмущенное нелинейное уравнение Шредингера [43].

3. Методология

Здесь представлена ​​методология FIM.

Шаг 1. Соответствующее УЧП задается следующим образом:

Шаг 2. Теперь с помощью следующего преобразования. нелинейное ОДУ. где и преобразованная переменная обозначена через .

Шаг 3. В качестве других независимых переменных возьмем В результате FIM предоставит систему ОДУ (нелинейных) в виде

Шаг 4. Общие решения получены после интегрирования уравнения (8). Не существует точной и надежной методики получения первых интегралов в случае плоско-независимой (автономной) системы, поэтому сложно получить хотя бы один первый интеграл. Для определения первого интеграла используется теорема деления. Отсюда выводится первый интеграл (ср. уравнение (8)) с помощью теоремы о делении. Таким образом, нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) можно свести к системе ОДУ первого порядка (интегрируемой) с помощью теоремы деления.Затем, решая полученную систему (см. уравнение (8)), можно получить точные решения.

Теорема для комплексной области и двух переменных задается как

Теорема о делении. Рассмотрим полиномы и , в комплексной области , где является неприводимым. Если во всех нулевых точках обращается в нуль, то в существует другой многочлен и выполняется следующее равенство:

представлены в этом разделе.

4.1. Согласованное пространственно-временное дробное уравнение KPP

Андрей Колмогоров, Иван Петровский и Николай Пискунов предложили нелинейное УЧП, называемое уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП), для описания генетической модели распространения доминантного гена в популяции. Позже уравнение КПП применяется в различных естественных науках, например, в физике при горении, в биологии при распространении нервных импульсов, в химической кинетике при распространении концентрационных волн и в плазме при эволюции множества гасящих осцилляторов.

Рассмотрим согласное пространственно-временное дробное уравнение КПП, определяемое как [32, 44] где , , и – константы и .

Во-первых, мы используем согласованную производную со следующим преобразованием: где переменная преобразования . Преобразование, представленное в уравнении (11), обеспечит следующие преобразования:

Здесь и — константы. Затем мы получаем ОДУ, используя уравнение (12) в уравнении (10):

Теперь мы получаем двумерную систему из уравнения (7) как

После этого теорема деления даст первый интеграл.Согласно FIM, и должны быть нетривиальными решениями заданной системы (ср. уравнения (14) и (15)). Теперь теорема о делении дает нам неприводимый полином в виде

, где и . Теперь у нас есть многочлен вида в таком, что

Используя в уравнении (17) и приравнивая коэффициенты для , тогда мы имеем следующие уравнения:

Здесь, многочлены в . Как показывает уравнение (18) имеет постоянный характер, следовательно и можно принять . Мы заключаем, что может быть только 0 или 1, используя и в уравнениях (19) и (20) и после балансировки функций и степеней.Теперь мы можем взять; поэтому уравнение (19) принимает следующий вид: где – постоянная интегрирования.

После этого подстановки значений , в уравнение (20) дают систему нелинейных алгебраических уравнений путем приравнивания степени . Таким образом, в результате мы получаем различные значения констант, заданные следующим образом.

Случай 1. Следующие константы получаются следующим образом:

Подставляя уравнения (21) и (22) в уравнение (16), получаем

Подстановка уравнения (23) в уравнение (14) дает первое решение согласного дробного уравнения КПП.

Случай 2. Получаем

Подставляя уравнения (21) и (25) в уравнение (16), получаем

Подстановка уравнения (26) в уравнение (14) дает второе решение уравнения дробной согласной КПП .

Случай 3. Имеем

Подставляя уравнения (21) и (28) в уравнение (16), получаем

Подстановка уравнения (29) в уравнение (14) дает третье решение уравнения согласной дроби КПП .

Случай 4. Получаем

Подставляя уравнения (21) и (31) в уравнение (16), получаем

Подстановка уравнения (32) в уравнение (14) дает четвертое решение уравнения согласной дроби КПП .

Случай 5. Получаем

Подставляя уравнения (21) и (34) в уравнение (16), получаем

Подстановка уравнения (35) в уравнение (14) дает пятое решение уравнения согласной дроби КПП .

Случай 6. Имеем

Подставляя уравнения (21) и (37) в уравнение (16), получаем

Подстановка уравнения (38) в уравнение (14) дает второе решение уравнения дробной согласной КПП .

Решения представлены на рис. 1. При больших значениях решения достигают большей высоты, что показано на рис. 2. На рис. 3 показано графическое представление двухмерного графика генов для уравнения КПП. Графические решения уравнения КПП можно использовать в диаллельном анализе, как это наблюдалось в [26].

4.2. Соответствующее дробное по времени уравнение FHN

Ричард Фитцхью предложил модель передачи импульсов в нервных аксонах в 1961 году. Nagumo et al. в последующие годы сделал такую ​​же схему и представил модель возбудимой системы. FHN происходит от KPP при замене [45, 46].

Рассмотрим согласное пространственно-временное дробное уравнение FHN как где и .

Во-первых, мы используем согласованную производную со следующим преобразованием:

где переменная преобразования .Преобразование, представленное в уравнении (41), обеспечит следующие преобразования:

Здесь – константа. Затем мы получаем ОДУ, используя уравнение (42) в уравнении (40):

Теперь мы получаем двумерную систему из уравнения (7) как

После этого теорема деления даст первые интегралы. Согласно FIM, и должны быть нетривиальными решениями данной системы (ср. уравнения (44) и (45)). Теперь теорема деления дает нам неприводимый многочлен от asгде и .Теперь у нас есть многочлен вида в такой, что

Используя в уравнении (47) и приравнивая коэффициенты, мы имеем следующие уравнения:

Здесь, многочлены в . Как показывает уравнение (48), имеет постоянный характер, поэтому и можно принять . Мы заключаем, что может быть только 0 или 1, используя и в уравнениях (48) и (49) и после балансировки функций и степеней. Теперь мы можем взять; поэтому уравнение (49) принимает следующий вид: где – постоянная интегрирования.

После этого замены значений , в уравнении (50) дают систему нелинейных алгебраических уравнений путем приравнивания степени .Теперь в результате мы имеем различные константы, заданные следующим образом.

Случай 7. Получаем

Подставляя уравнения (51) и (52) в уравнение (46), получаем следующее уравнение.

Подстановка уравнения (53) в уравнение (44) дает первое решение уравнения согласного дробного ФГН.

Случай 8. Получаем

Подставляя уравнения (51) и (55) в уравнение (46), получаем следующее уравнение.

Подстановка уравнения (56) в уравнение (44) дает второе решение уравнения согласного дробного ФГН.

Случай 9. Имеем

Подставляя уравнения (51) и (58) в уравнение (46), получаем следующее уравнение.

Подстановка уравнения (59) в уравнение (44) дает третье решение уравнения согласного дробного ФГН.

Случай 10. Получаем

Подставляя уравнения (51) и (61) в уравнение (46), получаем

Подстановка уравнения (62) в уравнение (44) дает четвертое решение уравнения согласной дроби ФГН .

Случай 11. Получаем

Подставляя уравнения (51) и (64) в уравнение (46), получаем

Подстановка уравнения (65) в уравнение (44) дает пятое решение уравнения согласной дроби ФГН .

Случай 12. Имеем

Подставляя уравнения (51) и (67) в уравнение (46), получаем

Подстановка уравнения (68) в уравнение (44) дает шестое решение уравнения согласной дроби ФГН .

Решения представлены на рис. 4. При меньшем значении решения достигают большей высоты, что показано на рис. 5.

4.3. Согласное пространственно-временное дробное уравнение НВ

НВ имеет широкое применение в машиностроении и химической инженерии, экологии и биологии [34]. NW можно получить из KPP, заменив , и .

Рассмотрим созвучное пространственно-временное дробное уравнение СЗ в виде где и , , , и – целое положительное число.Для , , и , уравнение (70) принимает вид

Во-первых, мы используем согласованную производную со следующим преобразованием:

где переменная преобразования . Преобразование, представленное в уравнении (72), обеспечит следующие преобразования.

где константа. Затем мы получаем ОДУ, используя уравнение (73) в уравнении (71).

Таким образом, мы получаем двумерную систему из уравнения (7) как

После этого теорема о делении даст первые интегралы. Согласно FIM, и должны быть нетривиальными решениями данной системы (см.уравнения (75) и (76)). Следовательно, теорема о делении дает нам неприводимый многочлен от заданного asгде и . Теперь у нас есть многочлен вида в таком, что

Используя в уравнении (78) и приравнивая коэффициенты, мы имеем следующие уравнения:

Здесь, многочлены в . Как показывает уравнение (79), имеет постоянный характер, поэтому и можно принять . Мы заключаем, что может быть только 0 или 1, используя и в уравнениях (80) и (81) и после балансировки функций и степеней.Теперь мы можем взять; поэтому уравнение (80) принимает следующий вид: где – постоянная интегрирования.

После этого подстановки значений , в уравнение (81) дают систему нелинейных алгебраических уравнений путем приравнивания коэффициентов при степенях . Таким образом, у нас есть различные константы, как указано ниже.

Случай 13. Получаем

Подставляя уравнения (82) и (83) в уравнение (77), получаем

Подстановка уравнения (84) в уравнение (75) дает первое решение уравнения согласной дроби СЗ .

Случай 14. Получаем

Подставляя уравнения (82) и (86) в уравнение (77), получаем

Подстановка уравнения (87) в уравнение (75) дает второе решение уравнения согласной дроби НВ .

Случай 15. Имеем

Подставляя уравнения (82) и (89) в уравнение (77), получаем

Подстановка уравнения (90) в уравнение (75) дает третье решение уравнения согласной дроби СЗ .

Случай 16. Получаем

Подставляя уравнения (82) и (92) в уравнение (77), получаем

Подстановка уравнения (93) в уравнение (75) дает четвертое решение уравнения согласной дроби НВ .

Случай 17. Получаем

Подставляя уравнения (82) и (95) в уравнение (77), получаем

Подстановка уравнения (96) в уравнение (75) дает пятое решение уравнения согласной дроби НВ .

Случай 18. Имеем

Подставляя уравнения (82) и (98) в уравнение (77), получаем

Подстановка уравнения (99) в уравнение (75) дает шестое решение согласного дробного уравнения НВ .

Решения представлены на рис. 6. На рис. 7 результаты показывают, что пики становятся все острее и острее при уменьшении значения .

5. Заключение

Целью данной статьи было найти новые точные решения некоторых созвучных биологических моделей.Рассматриваемые модели: KPP, FHN и NW. FIM был использован для получения решений дробных уравнений KPP, FHN и NW. Предложенный метод оказался кратким и прямым. Результаты показывают, что FIM является одним из лучших методов для вычисления точных решений нелинейных задач дробного порядка, возникающих в биологии, физике и технике.

Доступность данных

Данные, использованные для поддержки результатов этого исследования, включены в статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Вклад авторов

Шумайла Джавид и Дмитрий Балеану отвечали за концептуализацию. Шумайла Джавид, Сидра Риаз и Хади Резазаде отвечали за формальный анализ. За расследование отвечали Шумайла Джавид и Сидра Риаз. Шумайла Джавид и Сидра Риаз отвечали за методологию. Дмитрий Балеану, Ю-Минг Чу и Хади Резазаде отвечали за администрирование проекта. За ресурсы отвечали Дмитрий Баляну и Ю-Минг Чу.Хади Резазаде отвечал за программное обеспечение. Шумайла Джавид, Думитру Балеану и Ю-Мин Чу отвечали за надзор. Сидра Риаз, Ю-Минг Чу и Хади Резазаде отвечали за проверку. Шумайла Джавид и Сидра Риаз отвечали за написание первоначального проекта. Шумайла Джавид и Ю-Минг Чу отвечали за написание, рецензирование и редактирование.

Благодарности

Исследование было поддержано Национальным фондом естественных наук Китая (гранты No.11971142, 11871202, 61673169, 11701176, 11626101 и 11601485).

Калибровка процессов Леви с использованием оптимального управления уравнениями Колмогорова с периодическими граничными условиями

[1] Ю. Айт-Сахалиа и А. В. Ло. Непараметрическая оценка плотности государственных цен, заложенных в ценах на финансовые активы. Финансовый журнал, 53(2):499-547, 1998 г. https://doi.org/10.1111/0022-1082.215228.

[2] Д.Н. Аллен и Р.В. Саутвелл. Методы релаксации, применяемые для определения движения вязкой жидкости вокруг неподвижного цилиндра в двухмерном изображении.Кварт-Дж. мех. Appl., VIII(2):129-145, 1955. https://doi.org/10.1093/qjmam/8.2.129.

[3] М. Аннунциато и А. Борзи. Оптимальное управление функциями плотности вероятности случайных процессов. Математическое моделирование и анализ, 15(4):393-407, 2010. https://doi.org/10.3846/1392-6292.2010.15.393-407.

[4] М. Аннунциато и А. Борзи. Структура управления Фоккера-Планка для многомерных случайных процессов. Журнал вычислительной и прикладной математики, 237(1):487-507, 2013.ISSN 0377-0427. https://doi.org/10.1016/j.cam.2012.06.019.

[5] М. Аннунциато, А. Борзи, Ф. Нобиле и Р. Темпоне. О связи между системами управления Гамильтона-Якоби-Беллмана и Фоккера-Планка. заявл. Математика, 5:2476-2484, 2014. https://doi.org/10.4236/am.2014.516239.

[6] Д. Эпплбаум. Процессы Леви и стохастическое исчисление. Кембриджские исследования по высшей математике. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2-е издание, 2009 г. https://doi.org/10.1017/CBO9780511809781.

[7] Д. Беломестный и М. Рейсс. Спектральная калибровка экспоненциальных моделей Леви. Финансовый Стох., 10:449-474, 2006. https://doi.org/10.1007/s00780-006-0021-5.

[8] Д. Беломестный и Дж. Шенмакерс. Скачково-диффузионная модель Libor и ее надежная калибровка. Количественные финансы, 11(4):529-546, 2011. https://doi.org/10.1080/14697680

5176.

[9] К. Берг и Г. Форст. Теория потенциала локально компактных абелевых групп, том 87. Спрингер, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк, 1975.https://doi.org/10.1007/978-3-642-66128-0.

[10] А. Борзи и В. Шульц. Вычислительная оптимизация систем, управляемых уравнениями в частных производных. SIAM, Филадельфия, 2012 г. https://doi.org/10.1137/1.9781611972054.

[11] М. Бриани, Р. Наталини и Г. Руссо. Неявные-явные численные схемы скачко-диффузионных процессов. Calcolo, 44(1):33-57, 2007 г. https://doi.org/10.1007/s10092-007-0128-x.

[12] К. П. Бернхэм и Д. Р. Андерсон. Выбор модели и мультимодельный вывод: практический теоретико-информационный подход.Спрингер, Нью-Йорк, 2002 г. https://doi.org/10.1007/b97636.

[13] Дж.С. Чанг и Г. Купер. Практическая разностная схема для уравнений Фоккера-Планка. Дж. Вычисл. Phys., 6:1-16, 1970. https://doi.org/10.1016/0021-9991(70)

-X.

[14] Ф. Конт и В. Женон-Катало. Непараметрическое адаптивное оценивание чисто скачкообразных процессов Леви. Анналы Института Анри Пуанкаре, 46(3), 2010 г. https://doi.org/10.1214/09-AIHP323.

[15] Р. Конт и П. Танков. Финансовое моделирование со скачкообразными процессами.Chapman & Hall, Бока-Ратон – Лондон – Нью-Йорк – Вашингтон, округ Колумбия, 2004.

[16] Р. Конт и Е. Волчкова. Схема конечных разностей для ценообразования опционов в скачкообразной диффузии и экспоненциальной модели Леви. Журнал SIAM по численному анализу, 43(4):1596-1626, 2005 г. https://doi.org/10.1137/S0036142