2 1 математика: ГДЗ по математике 1 класс учебник Моро, Волкова 2 часть

Урок 50. решение задач в 2 действия — Математика — 1 класс

Математика

1 класс

Урок №50

Решение задач в 2 действия

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Глоссарий по теме:

Задача – это математический рассказ, в котором есть условие и вопрос. Чтобы ответить на вопрос задачи, ее нужно решить.

Части задачи – условие, вопрос, решение, ответ.

Список литературы:

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др.Математика. 1 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ –6-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – с.62, 63

2. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 1 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2014.- с.50, №2, с.51, №2

3. Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. 2 часть: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2016.-с.33

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Решим задачу.

В одной коробке 6 карандашей, во второй на 2 карандаша меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

О чём говорится в задаче? Правильно, о коробках и карандашах.

Что нам известно в задаче? Что в одной коробке было 6 карандашей.

Что сказано о количестве карандашей во второй коробке? Их на 2 меньше, чем в первой коробке.

Что нужно узнать в задаче? Сколько карандашей в двух коробках? Сразу можно ответить на вопрос задачи? Сразу ответить на вопрос задачи нельзя, потому что не сказано, сколько карандашей во второй коробке. Как это можно узнать? От шести отнять два. Теперь можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках? Да.

Составим план решения задачи:

1) Сначала надо узнать, сколько карандашей во второй коробке.

2) Потом можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках.

Решение:

1) 6 – 2 = 4 (к.)

2) 6 + 4 = 10 (к.)

Ответ: всего 10 карандашей.

Рассуждая так же, решим следующую задачу.

На верхней полке 6 книг, а на нижней – на 4 книги больше. Сколько книг на двух полках?

О чём говорится в задаче? О полках и книгах.

Сколько книг на верхней полке? Шесть.

Сколько книг на второй полке? Неизвестно, но сказано, что на 4 книги больше. Т.е. их столько же, сколько на верхней полке, и ещё четыре.

Что нужно узнать в задаче? Сколько книг на двух полках.

Можно ли сразу узнать, сколько книг на двух полках? Нет.

Почему? Мы не знаем, сколько книг на второй полке.

Как найти, сколько книг на второй полке?

Нужно к шести прибавить четыре,получится десять книг.

Теперь можем узнать, сколько книг на двух полках? Да.

Составим план решения задачи:

1) Сначала надо узнать, сколько книг на нижней полке.

2) Потом можно узнать, сколько книг на двух полках.

Решение:

1) 6 + 4 = 10 (кн.)

2) 6 + 10 = 16 (кн.)

Ответ: 16 книг на двух полках.

Тренировочные задания.

1. Выберите задачу, которая решается два действия

Варианты ответов:

1. На одной полке стоят 4 книги, на другой — на 3 книги больше. Сколько книг на второй полке?

2. На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой — на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?

3. На первой проволоке 5 шариков, на второй — на 4 шарика больше. Сколько шариков на второй проволоке?

Правильный ответ:

2.На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой — на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?

2. Решите задачу и выделите цветом правильное решение.

В одной вазе лежало 6 яблок, в другой на 3 яблока меньше. Сколько яблок в двух вазах?

Варианты ответов:

Первый вариант: 6 – 3 = 3 (яб.)

Второй вариант: 6 + 3 = 9 (яб.)

Третий вариант:

1) 6-3=3 (яб.)

2) 6+3=9 (яб.)

Вспомним, что эта задача решается в 2 действия, следовательно, верным будет третий вариант.

Правильный ответ:

1) 6-3=3 (яб.)

2) 6+3=9 (яб.)

ГДЗ по Математике 1 класс учебник Моро 2 часть страница 92

Задание 1

Составь и реши по четыре примера на сложение: с ответом 12, с ответом 16.

Ответ:

6 + 6 = 12

5 + 7 = 12

4 + 8 = 12

3 + 9 = 12

8 + 8 = 16

7 + 9 = 16

6 + 10 = 16

5 + 11 = 16

Задание 2

Составь и реши по четыре примера на вычитание: с ответом 9, с ответом 8.

Ответ:

10 — 1 = 9

11 — 2 = 9

12 — 3 = 9

13 — 4 = 9

10 — 2 = 8

11 — 3 = 8

12 — 4 = 8

13 — 5 = 8

Задание 3

Замени суммой двух одинаковых слагаемых каждое число: 8, 10, 12, 14, 16, 18.

Ответ:

8 = 4 + 4

10 = 5 + 5

12 = 6 + 6

14 = 7 + 7

16 = 8 + 8

18 = 9 + 9

Задание 4

Вычисли суммы

Ответ:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

3 + 3 + 3 + 3 = 12

4 + 4 + 4 = 12

5 + 5 + 5 = 15

Задание 5

Ответ:

До 10

4 + 6 = 10

7 + 3 = 10

5 + 5 = 10

8 + 2 = 10

6 + 4 = 10

9 + 1 = 10

На 10

3 + 10 = 13

5 + 10 = 15

6 + 10 = 16

7 + 10 = 17

8 + 10 = 18

9 + 10 = 19

Задание 6

Реши и скажи, сколько всего прибавили или сколько всего вычли.

Ответ:

10 — 3 — 4 = 3 (вычли 7)

10 — 2 — 1 = 7 (вычли 3)

6 + 4 + 5 = 15 (прибавили 9)

7 + 3 + 6 = 16 (прибавили 9)

12 — 2 — 7 = 3 (вычли 9)

13 — 3 — 5 = 5 (вычли 8)

Задание 7

Папа купил 6 кг капусты и 2 кг моркови. Сколько всего килограммов овощей …?

Ответ:

6 + 2 = 8

Всего 8 кг

Задание 8

Длина первого отрезка 1 дм. Второй отрезок на 10 см длиннее. Поставь вопрос и реши задачу.

Ответ:

Какая длина у второго отрезка?

1 дм (10 см) + 10 см = 20 см (2 дм)

20 см второй отрезок

Задание 9

У Оли 3 больших воздушных шара, а маленьких на 4 больше. Сколько всего шаров у Оли?

Ответ:

1) 3 + 4 = 7

2) 3 + 7 = 10

10 шаров всего

Задание 10

1) У бабушки две банки: в одну входит 3 л, а в другую — 5 л. Как можно налить в кувшин 4 л молока с помощью этих банок?

2) Как легче взвесить 6 кг картофеля, если есть гири в 5 кг и в 2 кг?

Ответ:

1) 3 + 5 = 8 л. (Сложим весь объем банок).

8 — 4 = 4 л. (Теперь выливаем в кувшин).

2) На одну чашу ставим картошку и 2 кг гирю, на другую 5 кг гирю. Получиться 3 кг картошки. И повторить еще раз.

В итоге получиться 6 кг картошки

Задание на полях

Ответ:

Урок математики в 1 классе по теме «Прибавление числа 2» | «Образование Ямала»

Михайлова Вита Дмитриевна

учитель начальных классов высшей категории

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №6»

г. Ноябрьск

Аннотация к уроку  математики в1 классе по теме «Прибавление числа 2» (система Л.В. Занкова)

В настоящее время федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования ставит важнейшую задачу школы — формирование совокупности «универсальных учебных действий», а не только освоение учащимися конкретных предметных знаний и навыков в рамках отдельных дисциплин.

В связи со стихийностью и зачастую непрогнозируемостью результатов развития детей со всей остротой встаёт задача целенаправленного управляемого формирования системы универсальных учебных действий, обеспечивающих умение учиться.Работа над этими умениями в на­чальных классах должна носить ярко выраженный интегративный и системный характер, проникая во все учебные дисциплины и преодолевая их искусственную изолированность.

Урок математики в 1 классе по обозначенной теме направлен на формирование и развитие всех видов учебных действий: личностных, регулятивных, познавательных, коммуникативных.

Цели и задачи урока:

-рассмотреть вычислительный приём «прибавить 2», учить считать двойками;

-использовать данные таблицы для составления сумм;

-развивать универсальные учебные действия:

познавательные – навыки работы с информацией, представленной в разных видах – схемы, таблица; действия сравнения по самостоятельно выделенному признаку;

коммуникативные– умение работать в группе;

личностные– проявлять положительное отношение к школе и учебной деятельности, к изучению математики;

регулятивные– принимать и сохранять учебную задачу, соответствующую этапу обучения; понимать выделенные учителем ориентиры действия в учебном материале; контролировать и корректировать  (адекватное восприятие оценки своей работы учителями, товарищами).

Оборудование: автоматизированное место педагога (компьютер, документ-камера, интерактивная доска + проектор), веера цифр, демонстрационные карточки с изображением цифр на магнитах, индивидуальные карточки-помощницы с заданиями для детей; учебник И.И. Аргинской «Математика. 1 класс»

Ход урока.

I. Организационный момент.

 Учитель: Влево, вправо повернитесь

И друг другу улыбнитесь.

Мы с хорошим настроеньем

Возьмёмся за ученье.

— Мы продолжаем изучать раздел «Сложение и вычитание» и сегодня узнаем новое. А что именно, выясним позже.Поможет нам сегодня озорной котёнок.

II.Актуализация опорных знаний. Определение темы урока.

Учитель: Для того чтобы приступить к изучению новой темы, что нам необходимо сделать?

Дети: Надо подготовиться.

Учитель: Определите основную задачу этого этапа.

Дети:Повторить изученный материал.

Учитель:Посмотрите, котёнок приготовил вам задание, а сформулировать его забыл. Придумайте задание к этим записям(листок с рядами чисел через  документ-камеру транслируется на экран)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9…

1 2 3 4 6 7 8 9 …

1 2 3 4 5 7 6 8 9 …

   1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

(Дети предлагают несколько вариантов)

Дети:Можноопределить, где записан натуральный ряд чисел, назвать признаки.

Учитель: Выполним это задание.

(Дети объясняют, доказывают)

Дети: Натуральный ряд чисел выделен зелёным цветом, так как начинается с самого маленького натурального числа 1, каждое следующее число больше предыдущего на один, ряд бесконечен, это показано троеточием.

Учитель: Молодцы! Теперь покажите, как умеете ориентироваться в этом ряду.

— Покажите с помощью веера цифр число, которое следует за числом 3, 5.

— Какое число предшествует числу 4? 8? 2?

— Какое число стоит между числами 8 и 10? 4 и 6?

Учитель подводит итог: Молодцы! Хорошо ориентируетесь в натуральном ряду чисел, и эти знания нам пригодятся на уроке. И котёнок доволен.

Учитель: Устно составьте суммы по весёлым стихотворениям, покажите значения сумм.

(1 человек на доске с помощью карточек выставляет суммы)

Учитель: Дружно муравьи живут

И без дела не снуют.

5 несут травинку,

2 несут иголки. Сколько их под ёлкой? (7)

Ну-ка, сколько всех ребят

На горе катается?

Трое в саночках сидят,

Двое дожидаются.(5)

У котёнка 6 игрушек,

                                   Две хозяйка принесла.

                                   Вы игрушечки все эти

                                   Сосчитайте скорей, дети.(8)

На доске: 5+2     3+2    6+2

Учитель: Проверьте выражения. Прочитайте их по-разному.

(Дети читают, используя известную математическую терминологию)

Учитель:  Что заметили?

Дети: Во всех суммах второе слагаемое 2.

Учитель:  Сформулируйте тему урока. Что будем изучать?

Дети: Будем прибавлять 2.

(Тема записана на доске (открыть запись)

Учитель подводит итог: Мы повторили изученный материал, который дальше пригодится на уроке,  и тему урока определили. Молодцы!

Динамическая пауза.

Лежебока серый кот

Отлежал себе живот,

Встал и выгнул спинку в мост,

Распушил красивый хвост,

Мягко лапками пошёл,

тихо песенку завёл.

III. Открытие нового знания.

Учитель: Как можно прибавить 2?

Дети: Присчитыванием, пересчитыванием, движением по натуральному ряду чисел. Учитель: Объясните последний способ.

Ученик(показывает на интерактивной доске, где заранее готов слайд с натуральным рядом чисел): Выделяю первое слагаемое 5, нахожу второе слагаемое 2 и делаю столько же шагов вправо. То число, на котором я остановился, и есть значение суммы.

Учитель: Где можно посмотреть, если забудете, этот алгоритм?

Дети:В учебнике на странице 104.

Учитель: Сегодня откроем ещё один приём прибавление числа.

—  Где и как это можно узнать?

Дети: Узнать друг у друга,  спросить взрослых, у учителя, в Интернете, в учебнике.

Учитель: Нам удобнее воспользоваться учебником.

— Откройте учебники с помощью закладки.

(Страница учебника транслируется на доску через документ-камеру)

— Найдите номер 247.Прочитайте задание. (1 ученик читает)

— Как поняли, что надо сделать?

Дети: Назвать числа, на которые попадёт котёнок, прыгая через одну дощечку забора.

Учитель:  Покажите, на какой дощечке он сейчас?

(Дети показывают в учебниках тыльной стороной ручки)

Учитель: На какой дощечке он окажется после прыжка? Как вы узнали?

(2 человека объясняют у доски с показом на модели забора)

(Один  ученик выполнил два шага и остановился на 3,

                второй — зрительно пропустил 1 дощечку и оказался на 3)

Учитель:  Какой способ удобнее, быстрее?

Дети: Второй. Он быстрее.

Учитель: Отметьте прыжки котёнка до конца забора и запишите эти числа в карточку-помощницу, которую приготовил нам сегодня котёнок.

   (Самостоятельное выполнение задания)

Взаимопроверка.

Учитель: Давайте повторим правила взаимопроверки.

Дети:  Поменяться работами, проверить работу одноклассника, оценить её значком «+», если всё верно, вернуть работу.

 (1 человек удоски карточки выставляет1 3 5 7 9)

Учитель: Получился натуральный ряд чисел?

Дети:Нет. Числа увеличиваются на 2

Учитель:Как же удобно прибавлять число 2?

Дети: Движением по натуральному ряду чисел, делая шаги по две единицы; считаем двойками.

IV. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Учитель: Чтобы закрепить материал, выполним задание №248.

— Прочитайте задание.

— На карточке уже напечатаны натуральные ряды чисел и суммы. Посмотрите внимательно, что на ней написано. Каждую сумму чисел вы будете отмечать на новом натуральном ряду чисел.

(Самостоятельное выполнение задания №1 на карточках)

Самопроверка. Варианты выполнения задания учитель показывает  через документ-камеру.

(Кто-то из учеников выполнил, шагая по одному шагу, кто-то по две единицы. 2 ученика проговаривают свои выполнения задания)

Если нет второго варианта, обращаемся к учебнику: как выполнил Витя?

Учитель: Как же удобно прибавить 2?

Дети:чтобы прибавить 2, можно шагать по натуральному ряду, делая шаги по 2 единицы.

Динамическая пауза.

Ритмичные движения под счёт: 1,3,5,7. Показывает учитель.

Учитель: Посмотрите на следующий рисунок. Что это?

Дети: Таблица.

Учитель: Вы впервые знакомитесь с таблицей. Вот столбики. Вот строки. Все строки и столбики в таблице связаны. Прочитайте  слово в  каждом столбике. Как вы думаете, что мы можем составить по числам в таблице?

Дети: Равенства.

Учитель: Как вы думаете, равенства составлять можно по строчкам или по столбикам?

Дети: По строчкам.

Учитель: Устно составьте первое равенство. Найдите значение суммы.

Дети: К 4 прибавить 2, получится 6.

(Вторую и третью строки дети заполняют самостоятельно)

Самопроверка.(Ученики выставляют карточки на доске 7,9)

Учитель: Каким способом вычисляли? (Дети объясняют)

Учитель (подводит итог): В таблице все компоненты связаны.

Учитель: Прочитаем задание в номере 246. (1 ученик читает верхнюю часть задания)

— Кто понял, что необходимо сделать?

Дети: Найти, чем похожи и чем различаются соединённые линией грибы. Найти такую же пару.

Дети: Грибы одинаковые по форме, цвету, размеру. Различны по расположению. Такая же пара 1-3.

Учитель: Посмотрите на условный знак рядом с номером.

Дети: Нам предстоит работать в группе.

Учитель: Давайте повторим  правила работы в группе

(работать тихо, дружно,

внимательно выслушать товарищей,

высказать своё мнение,

выбрать правильный ответ,

договориться, кто будет писать, отвечать)

Учитель:Прочитайте задание. Усложняю задание: придумайте равенства только со вторым слагаемым 2.

(Дети работают на индивидуальных  листочках в клеточку. Кто выполнил раньше работу, показывают через документ-камеру:3+2=54+2=6, объясняют свой выбор)

Учитель: Какая группа работала по правилам?

                  Молодцы! Со всеми заданиями урока справились. Порадовали и меня, и озорного котёнка, который вас благодарит за урок и будет ждать  с вами встречи ещё.

V.  Итог урока. Рефлексия.

Учитель: Чему учились на уроке?

— Что вам больше всего понравилось на уроке?

— Оцените свою работу с помощью шкалы успеха.

Понимаю на уроке     0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

Узнаю новое               0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

Работаю на уроке       0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

Литература:

1. Аргинская И.И., Кормишина С.Н. Методические рекомендации к курсу «Математика» 1 класс — Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2011.

       2. Керженцева А.В. Методический комментарий к заданиям учебника «Математика. 1 класс». – Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2011. 

       3.     Ковалько В.И. Школа физкультминуток (1-4 классы). – М.: ВАКО, 2007.

Конспект урока математики в 1 классе по программе «Школа России». Тема урока: Число и цифра 2. | План-конспект урока по математике (1 класс) по теме:

Урок математики 1 класс. Программа «Школа России»

Тема урока: Число и цифра 2.

Цели: в ходе практической работы и наблюдений познакомится с образованием числа 2; научить писать цифру 2.

Планируемые результаты: учащиеся научатся воспринимать последовательность чисел от1 до 10 как в прямом, так и в обратном порядке, начиная с любого числа; определять состав числа 2, соотносить число и цифру; выполнять мыслительные операции анализа и синтеза и делать умозаключения; оценивать себя, границы своего знания и незнания; работать в паре и оценивать своих товарищей.

                                Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.

А) Логическая разминка. Продолжи фразу.

— Если стол стоит дальше стула, то стул стоит…(ближе стола).

— Если сосна выше берёзы, то берёза…(ниже сосны).

— Если цветок ниже куста, то куст…(выше цветка).

— Если Катя старше Светы, то Света…(младше Кати).

— Если ремень шире пояса, то пояс…(уже ремня).

Б) Решите задачи.

— Ребята кидали мяч. Володя кинул дальше Димы, а Серёжа ближе Димы. Кто кинул дальше: Володя или Серёжа?(Володя)

— Винни-Пух такого же роста, как крокодил Гена, а крокодил Гена выше Чебурашки. Кто ниже: Винни-Пух или Чебурашка?(Чебурашка

В)Практическая работа.

— Положите 5 квадратов.

— Ниже положите столько же треугольников.

— Как это сделать?  (Под каждым квадратом положить треугольник)

-Сделайте так, чтобы треугольников стало больше на1. Что вы сделали? (Положили 1 треугольник или убрали 1 квадрат.)

— Сосчитайте, сколько треугольников стало.

— Какое число вы назвали при счёте первым?(1)

— Какое число пи счёте стоит после числа 1?(2)

— Назовите число, которое при счёте стоит перед числом 5, 3, 7?

— Какое число стоит после числа 5, 7, 8?

3.Самоопределение к  деятельности.

(На магнитной доске учитель выставляет гриб.)

— Сколько грибов вы видите?(1)

— Положите столько же кружков на парту.

— Как сделать, чтобы грибов стало 2? ( Добавить ещё 1 гриб.) (Учитель добавляет.)

 Сколько грибов стало?(2)

— Как сделать, чтобы у вас стало 2 кружочка?(Добавить ещё 1 кружок).

— Какова тема нашего урока?(Число и цифра 2)

— Как вы думаете,  чему мы должны сегодня научиться? (Составлять число2).

4.Работа по теме урока.

А) Определение состава числа 2.

— как мы получили 2 гриба, 2 кружочка?( к 1 грибу добавили ещё1, к 1 кружочку прибавили ещё1)

Можно сказать так: 2 это 1 да 1.

                              Цифра 2 собой гордится,

                          Две руки-её сестрицы,

                        Две ноги – её братишки.

                        Знают цифру все детишки.

— Посмотрите, чего ещё у человека 2? (2 глаза, 2 уха и т.д.)

— Посмотрите вокруг. Чего в классе по 2?(Ответы детей).

— Посмотрите на цифру 2. На что она похожа?(Ответы детей).

Б) Работа по учебнику.

— Прочитайте по учебнику, какой вопрос на уроке главный? (Как получить число 2?)

— Можете ли вы уже ответить на этот вопрос? (Да, 2- это1да ещё1.)

— Посмотрите, что изображено на рисунке. (Дом в деревне.)

 Составьте рассказ по рисунку.

5. Физкультминутка

                Дует ветер нам в лицо,

                Закачалось деревцо,

                Ветерок всё тише, тише,

                Деревцо всё выше, выше.

6. Закрепление изученного материала.

1. Работа по учебнику.

— как ещё называют число2, когда покупают две одинаковые вещи? (Пара)

Рассмотрите 2 рисунка на странице 24. О каких предметах можно сказать «один»?( О кружке, о ноже, о чайнике, о вилке, о блюдце, о сахарнице, о ложке, о ковше.)

— О каких предметах можно сказать «два»? ( О носках, о варежках, о ботинках, о чулках.)

— Как сказать об этих предметах используя слово «пара»?( Пара ботинок, пара варежек, пара чулок, пара носков.)

— Рассмотрите рисунок ниже. Сколько треугольников на верхней полке?(2.)

— Сколько треугольников на нижней полке? (1.)

— На какой полке треугольников больше и почему? (На верхней, так как, если каждый треугольник с верхней полки поставить в пару с треугольником с нижней полки, треугольник на верхней полке останется без пары.)

— На сколько треугольников на верхней полке больше, чем на нижней? ( На 1, так как без пары остался один треугольник.)

— На сколько на второй полке треугольников меньше?( На1 так как одного треугольника не хватает для того, чтобы образовать пару.)

— Что нужно сделать, чтобы треугольников стало поровну? ( Добавить на верхнюю полку 1 треугольник или убрать с нижней полки 1 треугольник.)

— Посмотрите на нижнем рисунке, как число 2 обозначается на косточке домино.

— Какое время показывают часы?( 2 часа, т.к. маленькая стрелка показывает на цифру 2, а большая смотрит вверх.)

2. Работа в тетради с печатной основой.

— Откройте тетрадь на стр.9. Посмотрите, как пишется цифра 2.

                А вот это цифра 2:

                Есть и хвост, и голова

                С длинной шеей лебединой,

                Переходит шея в спину.

                Хвостик пририсуй к спине:

                Двойка чёткая вполне.

                В написании сложна:

                Тренировка здесь нужна!

— На что указывает синяя звёздочка?( Откуда начинать письмо.)

Цифру 2 начинаем писать чуть выше центра клетки, закругляем правый верхний угол, ведём прямую линию на середину нижней строки, рисуем «хвостик».

( Учащиеся обводят цифры верхнего ряда, проговаривая хором, затем дописывают ряд, проговаривая про себя).

— Подчеркните самую красивую цифру.

-Найдите закономерность и напишите до конца строки цифры второго ряда.

-Самостоятельно раскрасьте карточку, которая показывает сколько предметов на картинке.

— Прочитайте числа, которые закрасили по порядку.(2,1,2,1).

3.Работа по учебнику.

— Составьте рассказ по учебнику на стр.25.

— Прочитайте задание к рисунку на полях. Что нужно сделать, чтобы его выполнить. (Установить закономерность)

— Установите закономерность самостоятельно и скажите, какой ниткой можно продолжить бусы снизу.( Первой: 1 красная, 2 жёлтых).

 -Найдите второй способ. ( Поставьте в начало бус второй кусок так, чтобы 2 жёлтые бусинки были рядом с красной бусинкой.)

7. Рефлексия.

(«Проверь себя»(учебник стр.25). Взаимопроверка.)

— Оцените свою работу на уроке с помощью «Светофора».

8. Подведение итогов урока.

— Что нового узнали о цифре 2? (Ответы детей.)

Домашнее задание ( по желанию)

— Нарисовать цифру 2 в виде человечка.

Список используемой литературы.

1. Т.Н. Ситникова, И.Ф. Яценко «Поурочные разработки по математике». Москва «Вако» 2013г.
2. М.И.Моро, С.И. Волкова «Математика. Рабочая тетрадь 1 часть»

Москва «Просвещение»2013г.

3.М.И.Моро, С.И.Волкова, С.В. Степанова «Математика 1 часть»

Москва « Просвещение» 2013г.

В 2022 году ЕГЭ по профильной математике, физике и литературе станут сложнее

Математика

Выпускникам по-прежнему предстоит выбирать между базовой и профильной математикой. Последнюю выбирают ученики, которым она нужна для поступления в вуз — то есть те, кто намерен связать свою жизнь с точными науками.

Согласно новым проектам КИМов по профильной математике, из первой части пропали простые задания 1–3, зато появились задания на анализ функции и на сложную вероятность. Сменилась также логическая структура и нумерация.

В части с развернутым ответом изменены критерии оценивания заданий: за стереометрическую задачу №13 теперь можно получить 3 балла (критерии стали аналогичны планиметрической задаче), за экономическое задание теперь можно получить только 2 балла (ранее было 3). Максимальный первичный балл за всю работу — 31.

«Больше нет заданий для простого набора баллов, которые может решить даже ученик младшей школы. Сейчас все задания в ЕГЭ потребуют более высокого уровня математической компетенции, которая формируется на уроках алгебры и геометрии.

Как и ожидалось, экзамен поменялся достаточно сильно: были приняты почти все изменения, предложенные в перспективной модели, за исключением пары моментов. При этом задание, которое все боялись больше всего – на комплексные числа — так и не появилось, что хорошо, так как эта тема очень сложна и не всегда изучается в школах в принципе», — резюмируют в Maximum Education.

По словам заслуженного профессора НИУ ВШЭ, эксперта в области образования Ирины Абанкиной, усложнение экзамена логично – направления, связанные с точными и естественными науками, требуют высокого уровня знаний.

«Сегодня вузы пытаются насытить программы теми компетенциями, которые, строго говоря, должны быть освоены в школе. КИМы имеют колоссальное влияние на учебные программы, на подготовку учителей, и их необходимо менять, чтобы в вуз приходили ребята уже имеющие определенный уровень подготовки, чтобы их не надо было доучивать», — сказала она «Газете.Ru».

В базовой математике изменения не столь глобальны. Задание №2 объединили с похожим с заданием №7 в новой нумерации — на вычисления и преобразования с использованием свойств функций. Добавлено задание №5 на работу с геометрическими фигурами в реальной жизни. Теперь в ЕГЭ таких заданий 2 (№5 и №10).

Под номером 20 появилось задание, содержащее текстовую задачу на темп или проценты: в профильном ЕГЭ тоже есть такое, но там оно повышенного уровня сложности, а здесь — базового.

«В целом экзамен поменялся не сильно и подобные изменения на скажутся на качестве работы выпускника, потому что все равно так или иначе преследуют иную цель – не дифференцировать ученика по знаниям как профильный уровень, а просто дать понимание усвоил ли он программу средней школы или нет», — считают в Maximum Education.

Русский язык

В ЕГЭ по русскому языку только одно новое задание — №1. В нем нужно провести стилистический анализ текста. Поменялись задания №2 и №3 – теперь текст там может быть не только научным. В демоверсии, например, представлен публицистический.

Изменилось задание №19 на пунктуацию в сложноподчиненном предложении. Теперь оно намного сложнее, так как проверяет пунктуацию во всех типах и комбинациях придаточных, в том числе с составными союзами. Раньше задание в 99% случаев проверяло запятые в сложноподчиненных с придаточными определительными.

Критерии к сочинению остались прежними. А вот требования к пунктуации стали строже. Раньше можно было получить 2 балла за три пунктуационные ошибки, отныне за это дают только 1 балл. За отсутствие ошибок или одну не грубую можно получить 3 балла, за одну-две – 2, за три-четыре – 1. Если их больше пяти, баллов не добавят.

За задание №16 на сложносочиненное предложение теперь можно получить только 1 балл, как за все задания на пунктуацию. Само задание осталось прежним.

Кроме того, ранее заданиями повышенной сложности считались задания №25 (типы речи), №26 (средства выразительности) и №27 (сочинение). Теперь составители ФИПИ все задания оценили базовым уровнем сложности.

«Эти навыки сегодня, действительно, перешли в плоскость базовых, поэтому нет никакого смысла давать заданиям такого типа статус повышенной сложности», — отметила Ирина Абанкина.

Максимальный первичный балл за ЕГЭ по русскому языку в 2022 году вновь будет 58 (как в 2020-м).

«Экзамен по русскому языку чуть «причесали», но сильно он при этом не поменялся. Некоторые задания усложнились. При этом для выпускника, который активно готовился к экзамену, они не будут составлять большого труда.

Эти изменения связаны скорее с линией изменений, которые начались еще в 2019 году, когда процент высокобальников зашкаливал и нужно было усложнить экзамен, чтобы он выполнял свою дифференцирующую функцию. Отвечая этим задачам в экзамене стало больше заданий аналитического плана и сам формат заданий во многом стал более строгим», — подытожили в Maximum Education.

Предметы по выбору

Серьезные изменения произошли в ЕГЭ по истории и обществознанию – из них убрали сочинение.

По словам Ирины Абанкиной, экспертная проверка сочинений не оправдала себя, а превратилось в формальность – их оценивали по ключевым фразам.

«Кроме того, я предполагаю, что экзамен движется в сторону компьютеризации, чтобы в будущем ребята сдавали ЕГЭ на компьютерах. И все, что с трудом проверяется на базе искусственного интеллекта, исключается, чтобы алгоритмизировать проверку и сделать ее максимально объективной», — сказала она.

С одной стороны, экзамен по обществознанию станет проще, считают в Maximum Education: пропали дублирующие друг друга задания, появились новые, требующие от ребят размышлений, умения аргументировать. С другой же стороны, пропало сочинение, которое позволяло ребятам творчески подойти к вопросу. За счет этого время экзамена уменьшилось почти на час, но заданий по-прежнему немало и потенциально могут быть проблемы с тем, чтобы банально успеть все написать за отведенное время.

«Изменения в истории колоссальные и очень неожиданные.

По-прежнему проверяются ключевые единицы знаний из блоков Отечественной и всеобщей истории, русской культуры, навыки работы с исторической картой, иллюстративным материалом, текстовыми источниками, аргументацией, однако форматы этих заданий почти все новые. В целом можно сказать, что реальную сложность представляют собой задание 19, которое соединило в себе два слабых места всех выпускников — аргументацию и элементы всеобщей истории, и задание 4, так как знания географии часто подводят учеников», — заявили в компании.

В литературе теперь проверяются знания не только отечественной, но и зарубежной литературы. Кроме того, теперь в сочинении оценивают грамотность.

«Для ребят, которые не читали зарубежную литературу это серьезный вызов, но к счастью это скорее сделано для того, чтобы «помочь» читающим выпускникам, многие из которых метят на филологические специальности. Также сюрпризом стало, что теперь сочинение оценивается с точки зрения русского языка. Ранее проверялись только речевые нормы, но теперь и грамматика будет важна. Это безусловно усложняет процесс подготовки, так как повышает требования не только к знаниям, но и грамотности выпускников», — отметили в Maximum Education.

Экзамен по английскому языку двигается в сторону международных тестов и стал напоминать формат экзамена IELTS. «Для ребят, которые просто хорошо знают язык – это большой плюс, но нужно понимать, что все равно без специальной подготовки такие задания решать будет проблематично», — отметил собеседник издания в компании.

«Физику очень круто поменяли. Задания стали интереснее, нестандартнее, их стало больше и самое главное, теперь задания могут решать не только ребята имеющие высокий уровень знаний по предмету — например, выпускники физико-математических лицеев, а также и ребята из простых школ при должном уровне подготовки. Кажется, что это сделает экзамен более «демократичным» без потери уровня качества», — добавил он.

В биологии, информатики и химии серьезных изменений не произошло.

Карта сайта

Демоверсии ЕГЭ 2022 по математике

Проекты демоверсий ЕГЭ 2022 по математике от ФИПИ.

→ Демоверсия профильного уровня: math-demo2022-pro.pdf
→ Демоверсия базового уровня: math-demo2022-b.pdf
→ Спецификация профильного уровня: math-s2022-pro.pdf
→ Спецификация базового уровня: math-s2022-b.pdf
→ Кодификатор: math-k2022.pdf
→ Скачать одним архивом: math-demo2022.zip

Изменения в КИМ ЕГЭ 2022 года профильного уровня в сравнении с КИМ 2021 года

1. Удалены задания 1 и 2, проверяющие умение использовать приобретённые знания и умения в практической и повседневной жизни, задание 3, проверяющее умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

2. Добавлены задание 9, проверяющее умение выполнять действия с функциями, и задание 10, проверяющее умение моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий.

3. Внесено изменение в систему оценивания: максимальный балл за выполнение задания повышенного уровня 13, проверяющего умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами, стал равен 3; максимальный балл за выполнение задания повышенного уровня 15, проверяющего умение использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, стал равен 2.

4. Количество заданий уменьшилось с 19 до 18, максимальный балл за выполнение всей работы стал равным 31.

Изменения в КИМ ЕГЭ 2022 года базового уровня в сравнении с КИМ 2021 года

1. Удалено задание 2, проверяющее умение выполнять вычисления и преобразования (данное требование внесено в позицию задачи 7 в новой нумерации).

2. Добавлены задание 5, проверяющее умение выполнять действия с геометрическими фигурами, и задание 20, проверяющее умение строить и исследовать простейшие математические модели.

3. Количество заданий увеличилось с 20 до 21, максимальный балл за выполнение всей работы стал равным 21.

Обобщенные планы вариантов КИМ ЕГЭ 2022 года по математике

Шкала перевода баллов по математике и другим предметам →

Wolfram | Alpha Примеры: математика

Другие примеры

Элементарная математика

Выполняйте основную арифметику. Работайте с дробями, процентами и подобными основами. Решите проблемы с числовыми значениями и словами.

Выполните точную арифметику с дробями:

Другие примеры

Другие примеры

Алгебра

Находите корни и расширяйте, факторизуйте или упрощайте математические выражения — от многочленов до полей и групп.

Другие примеры

Другие примеры

Исчисление и анализ

Вычисляйте интегралы, производные и пределы, а также анализируйте суммы, произведения и ряды.

Решите обыкновенное дифференциальное уравнение:

Другие примеры

Другие примеры

Геометрия

Вычисляйте свойства геометрических объектов различных типов в 2, 3 или более высоких измерениях.Исследуйте и применяйте идеи из многих областей геометрии.

Вычислить свойства геометрической фигуры:

Постройте коническое сечение и определите его тип:

Вычислить свойства многогранника:

Другие примеры

Другие примеры

Дифференциальные уравнения

Решайте дифференциальные уравнения любого порядка.Изучите решения и графики семейств решений. Задайте начальные условия, чтобы найти точные решения.

Решите линейное обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решите нелинейное уравнение:

Другие примеры

Другие примеры

Построение и графика

Визуализируйте функции, уравнения и неравенства.Сделайте это в 1, 2 или 3 измерениях. Сделайте полярные и параметрические графики.

Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:

Другие примеры

Другие примеры

Числа

Работа с разными числами.Проверьте принадлежность к большим множествам, таким как рациональные числа или трансцендентные числа. Преобразование между базами.

Вычислить десятичное приближение к указанному количеству цифр:

Преобразуйте десятичное число в другое основание:

Другие примеры

Другие примеры

Тригонометрия

Выполняйте тригонометрические вычисления и исследуйте свойства тригонометрических функций и тождеств.

Вычислить значения тригонометрических функций:

Решите тригонометрическое уравнение:

Другие примеры

Другие примеры

Линейная алгебра

Исследуйте и вычисляйте свойства векторов, матриц и векторных пространств.

Вычислить свойства вектора:

Вычислить свойства матрицы:

Определите, является ли набор векторов линейно независимым:

Другие примеры

Другие примеры

Теория чисел

Анализировать целые числа; подмножества целых чисел, включая простые числа; и связанные идеи.

Вычислить разложение на простые множители:

Решите диофантово уравнение:

Другие примеры

Другие примеры

Дискретная математика

Исследуйте последовательности и повторения, решайте общие задачи комбинаторики и вычисляйте свойства графов и решеток.

Вычислите возможную формулу и продолжение для последовательности:

Проанализируйте граф, заданный правилами смежности:

Другие примеры

Другие примеры

Комплексный анализ

Анализируйте функции и выражения, содержащие мнимые числа или комплексные переменные.

Вычислить свойства функции сложной переменной (используйте переменную
z
):

Вычислить остаток функции в точке:

Другие примеры

Другие примеры

Прикладная математика

Выполнять численный анализ и оптимизацию систем и объектов, включая упаковку и покрытие объектов и систем управления.

Свернуть или развернуть функцию:

Численно интегрируйте функции, которые не могут быть объединены символически:

Другие примеры

Другие примеры

Логика и теория множеств

Оценивать выражения логической логики и выражения, включающие множества и операторы множеств.Решите булевы уравнения. Вычислить таблицы истинности. Сгенерируйте диаграммы Венна.

Другие примеры

Другие примеры

Математические функции

Изучите свойства математических функций, такие как непрерывность, сюръективность и четность.Используйте известные специальные функции или теоретико-числовые функции.

Выполняйте вычисления со специальными функциями:

Выполните вычисления с теоретико-числовыми функциями:

Найдите представления для функции:

Другие примеры

Другие примеры

Математические определения

Запрашивайте различные определения и описания в математике.

Найдите информацию о математической концепции:

Другие примеры

Другие примеры

Известные математические задачи

Соберите информацию об известных проблемах, гипотезах, теоремах и парадоксах.Узнайте о них и их разработчиках.

Получите информацию о математической гипотезе:

Получите историческую информацию о теореме:

Другие примеры

Другие примеры

Непрерывные дроби

Compute; узнать об алгоритмах, определениях и вовлеченных теоремах; или найдите свойства непрерывных дробей.

Найдите представление числа в виде непрерывной дроби:

Найдите определения терминологии непрерывной дроби:

Найдите статьи о непрерывных дробях по автору:

Другие примеры

Другие примеры

Статистика

Вычислять свойства наборов данных, выполнять статистический вывод или моделировать данные.Работайте с распределениями вероятностей и случайными величинами.

Вычислить основную описательную статистику для набора данных:

Найдите размер выборки, необходимый для оценки биномиального параметра:

Другие примеры

Другие примеры

Вероятность

Вычислить вероятности наступления определенных событий.Вычисляйте совместные, непересекающиеся или условные вероятности и применяйте их к реальным ситуациям.

Вычислите вероятность объединения событий:

Вычислите вероятности подбрасывания монеты:

Другие примеры

Другие примеры

Общая математика ядра

Получите информацию об общих основных стандартах математики для детей от детского сада до восьмого класса.

Вычислить выражение (CCSS.Math.Content.6.EE.A.2c):

Выполните несколько операций с рациональными числами (CCSS.Math.Content.7.NS.A.2c):

Другие примеры

Математический факультет | Колледж Помона в Клермонте, Калифорния

Математика — это инструмент для познания мира, и наш большой отдел предлагает занятия по всем математическим наукам.

Учебная программа по математике в Pomona College предлагает классы, подходящие для студентов, заинтересованных в изучении любого из широкого спектра математических областей.

Программа предназначена не только для студентов-математиков, но и для студентов, желающих познакомиться с математической мыслью с помощью гуманитарных наук, и для ученых-обществоведов или ученых-естественников, которым необходимы технические знания в области математических или статистических методов.

Философия нашего отдела заключается в том, что математика предназначена для всех, и поэтому мы разработали программы, включая Learning Communities, программу Pomona Scholars of Math Program и программу летнего моста 1-2-1 по математике.

Специалисты по математике могут выбрать один из четырех треков:

• Общий курс математики развивает широкое понимание всех математических наук и особенно подходит для тех, кто планирует работать учителями математики в средней школе.
• Трек по чистой математике особенно подходит для студентов, которые хотят понимать математику как таковую. Это полезно для студентов, планирующих обучение в аспирантуре по чистой математике.
• Курс прикладной математики помогает студентам разработать индивидуальный учебный план по математике, который мотивирован и полезен для других областей исследования, таких как экономика, биология или другие науки.Этот курс подходит как подготовка к работе в промышленности или аспирантура по прикладной математике.
• Статистический трек дает основу как в теории, так и в практике анализа данных, подходящих как для трудоустройства, так и для аспирантуры в области статистики.

Различные разделы одного и того же курса могут отличаться друг от друга, поскольку каждому преподавателю предоставляется гибкость в выборе того, что освещать, какой текст использовать и что подчеркивать, что приводит к множеству увлекательных и вдохновляющих курсов.2 & = 1 \\
2x-1 & = y
\ end {align}
$$
это четко видно по эскизу. Что это? Убедитесь, что это решение.

IM Комментарий

Несмотря на то, что эта задача довольно проста, стоит отметить, что она не требует явного указания учащимся искать точки пересечения, когда они рисуют круг и линию. Таким образом, помимо оценки того, могут ли они решить систему уравнений, это оценка простой, но важной части концептуального понимания, а именно соответствия между точками пересечения двух графиков и решениями системы.2 & = 1 \\
0 + 1 & = 1 \\
1 & = 1 \ quad \ галочка
\\ \\
у & = 2х — 1 \\
-1 & = 2 (0) — 1 \\
-1 & = 0-1 \\
-1 & = -1 \ квад \ галочка
\ end {align}
$$

Мы проверили, что $ (0, -1) $ является решением пары уравнений.

Из графика мы видим, что есть еще одно решение (в квадранте I). Однако визуально определить ее точные $ x $ — и $ y $ -координаты сложно. Чтобы найти его точное местоположение, мы можем решить систему уравнений путем подстановки.2 — 4х = 0 \\
& x (5x — 4) = 0
\ end {align}
$$
$$
\ begin {align}
x = 0 \ qquad \ text {или} \ qquad 5x — 4 & = 0 \\
5x & = 4 \\
х & = \ гидроразрыв {4} {5}
\ end {align}
$$

Если $ x = 0 $, мы знаем, что $ y = -1 $, поэтому мы повторно обнаружили первую точку пересечения, которую мы наблюдали. Итак, наша вторая точка пересечения имеет координату $ x $, равную $ \ frac {4} {5} $, и нам осталось только найти ее координату $ y $. Мы просто подставляем $ x = \ frac45 $ в любое уравнение и решаем относительно $ y $.

$$
\ begin {align}
у & = 2х — 1 \
у & = 2 \ влево (\ frac45 \ вправо) -1 \
у & = \ frac85 — 1 \
y & = \ frac85 — \ frac55 \
y & = \ frac35
\ end {align}

$

Теперь у нас есть $ \ left (\ frac45, \ frac35 \ right) $ тоже решение.

ТЕХАСКАЯ ИНИЦИАТИВНАЯ ОЦЕНКА УСПЕХА 2.0 Примеры вопросов по математике

% PDF-1.4
%
1 0 объект
/ Producer (Adobe PDF Library 15.0) / Title (TEXAS SUCCESS INITIATIVE ASSESSMENT 2.0 Примеры вопросов по математике) / Trapped / Unknown >>
эндобдж
2 0 obj
/ MarkInfo 7 0 R / Метаданные 8 0 R / Имена 9 0 R / OpenAction 275 0 R / Контуры 276 0 R / PageLabels 908 0 R / PageLayout / SinglePage / Pages 13 0 R / StructTreeRoot 871 0 R / Тип / Каталог / ViewerPreferences >>>
эндобдж
3 0 obj
> / Шрифт >>> / Поля [] >>
эндобдж
4 0 obj
>
эндобдж
5 0 obj
>
эндобдж
6 0 obj
>
эндобдж
7 0 объект
>
эндобдж
8 0 объект
> поток
3SZfT1uVKS8BEwZpbsDNL32020-08-25T10: 44: 16 + 05: 302020-09-11T17: 24: 31 + 05: 302020-09-11T17: 24: 31 + 05: 30Adobe InDesign CC 13.1 (Macintosh) uuid: 4a96b24f-9028-491d-b897-311e9fb04629adobe: docid: indd: 3e55a07c-90b9-11da-be4c-f9c4cf49cb59xmp.id: 72abcc23-e0d8-4f68aiddf2d: 72abcc23-e0d8-4f66aiddf21cd2d: 41e9-9407-3b491aea0bafxmp.did: 1dc7c3f1-564a-4058-8f93-6d4e79c6507cadobe: docid: indd: 3e55a07c-90b9-11da-be4c-f9c4cf49cb59default

application / pdf

Adobe PDF Library 15.0Unknown1

конечный поток
эндобдж
9 0 объект
>
эндобдж
10 0 obj
>
эндобдж
11 0 объект
> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / XObject >>> / Rotate 0 / StructParents 2 / Tabs / S / TrimBox [0 0 612 792] / Type / Page >>
эндобдж
12 0 объект
> поток
HWrH} Giɹ (3ai & elj6977I; XL {~ jv19bo? EOqF Dmie | 1jfôK ^ &
[c΅ ~ 2!} Mkz> ~ y` * A / Pl |
q7LH \ 2K ItNwyєeeϹ? @ KEU6, + ZtG7y! x) YvDr]
򊶗؇? IGo9 «ǥHH-5YҔR {? YmixkNun` {N = M @ & c0e * ˊ * AE8Ki

арифметика — Формальное доказательство для $ (- 1) \ times (-1) = 1 $

Я предлагаю нижеследующее просто потому, что оно отличается от того, что опубликовали все остальные:

По закону распределения $ (x + 1) (x — 1) = x ^ 2 — 1 $.2 = 1 $.

Спорный вопрос, являются ли предположения, которые я использую, более или менее очевидными, чем заключение. Если вы хотите быть более убедительным, вам, вероятно, следует остановиться на определении целых чисел — их несколько, и то, что вы выбираете, влияет на то, является ли то, что вы цитируете, теоремой или просто определением.

Чтобы изобрести целые числа, вы, вероятно, сначала захотите изобрести натуральные числа ¹ . Если вам интересно, посмотрите аксиомы Пеано, в противном случае просто предположите, что они существуют.

¹ Строго говоря, в этом нет необходимости! Вы могли бы, например, изучать абелевы группы, в которых целые числа имеют особое значение как циклическая группа без отношений, или коммутативные кольца, где целые числа в некотором смысле являются прототипом примера, который отображается в одно другое. Но в целом это более сложные способы.

Если у вас есть $ \ mathbb N $, мне кажется, что «лучшее» определение в смысле «наиболее очевидное правильное» — это то, которое связывает целые числа с решениями уравнений $ a + x = b $: мы наблюдаем что мы можем решить это уравнение для $ x $ в $ \ mathbb N $ всякий раз, когда $ a

Первоначально мы изобретаем «целые числа» как пары натуральных чисел $ (a, b) $, которые мы намереваемся обозначать «решение» для $ a + x = b $ (идея состоит в том, что $ (a, b) ) $ представляет $ b — a $, но мы еще не определили вычитание).

Однако мы быстро замечаем, что по определению сложения натуральных чисел $ (1 + a) + x = 1 + b $, поэтому на самом деле большинство этих пар одинаковы: if $ (a, b) $ решает $ a + x = b $, то же самое делает $ (n + a, n + b) $. Итак, «истинные» целые числа — это пары $ (a, b) $ с учетом , считая, что пара $ (a, b) $ такая же, как пара $ (c, d) $, если мы можем доказать, что каждое решение to $ a + x = b $ также будет решением для $ c + x = d $.Собственное имя для этого — , частное по отношению эквивалентности , если вам интересно узнать о них больше.

Обратите внимание, что эти новые целые числа имеют подмножество, которое ведет себя как натуральные числа: натуральное число $ n $ является решением $ 0 + n = n $, поэтому ведет себя как пара $ (0, n) $ (что то же самое как пара $ (1, n + 1) $, которая совпадает с …).

Теперь есть только один способ определить сложение для этих новых пар, который имеет смысл: $ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) $.Умножение — это $ (a, b) \ times (c, d) = (ad + bc, ac + bd) $. $ (- 1) $ — любая пара вида $ (n + 1, n) $. Подключите соответствующие вещи, и вы получите свой результат.

Математических утверждений

Подраздел Атомные и молекулярные утверждения

Утверждение — это любое декларативное предложение, которое является истинным или ложным. Утверждение — это атомных , если оно не может быть разделено на более мелкие утверждения, в противном случае оно называется молекулярным .

Пример 0.2.1.

Это операторы (на самом деле, атомарных операторов ):

• Телефонные номера в США состоят из 10 цифр.

• Луна сделана из сыра.

• 42 — правильный квадрат.

• Каждое четное число больше 2 может быть выражено как сумма двух простых чисел.

• \ (\ Displaystyle 3 + 7 = 12 \)

И это не утверждения:

Причина, по которой предложение «\ (3 + x = 12 \)» не является утверждением, состоит в том, что оно содержит переменную.В зависимости от того, что такое \ (x \), предложение либо истинно, либо ложно, но сейчас это не так. Один из способов превратить предложение в оператор — это каким-то образом указать значение переменной. Это можно сделать, указав конкретную замену, например, «\ (3 + x = 12 \) where \ (x = 9 \ text {,} \)», что является истинным утверждением. Или вы можете захватить свободную переменную, количественно оценив над ней, например, «для всех значений \ (x \ text {,} \) \ (3 + x = 12 \ text {,} \)», что ложно.Мы обсудим кванторы более подробно в конце этого раздела.

Вы можете построить более сложные (молекулярные) утверждения из более простых (атомных или молекулярных), используя логических связок . Например, это молекулярная инструкция:

Телефонные номера в США состоят из 10 цифр, 42 из которых представляют собой полный квадрат.

Обратите внимание, что мы можем разбить это на два небольших утверждения. Два более коротких оператора соединены с знаком «и».Мы рассмотрим 5 связок: «и» (Сэм — мужчина, а Крис — женщина), «или» (Сэм — мужчина или Крис — женщина), «если…, то…» (если Сэм — мужчина , то Крис — женщина), «если и только если» (Сэм — мужчина, если и только если Крис — женщина) и «нет» (Сэм не мужчина). Первые четыре называются бинарными связками (потому что они соединяют два оператора), а «не» — это пример унарной связки (поскольку он применяется к одному оператору).

Эти молекулярные утверждения, конечно же, остаются утверждениями, поэтому они должны быть либо истинными, либо ложными.Абсолютно ключевое наблюдение здесь состоит в том, что значение истинности молекулярного утверждения полностью определяется типом связки и значениями истинности частей. Нам не нужно знать, что на самом деле говорят части, нам нужно знать только то, истинны они или ложны. Итак, чтобы проанализировать логические связки, достаточно рассмотреть пропозициональных переменных (иногда называемых сентенциальными переменными ), обычно заглавными буквами в середине алфавита: \ (P, Q, R, S, \ ldots \ text {.} \) Мы думаем об этом как о замене (обычно атомарных) операторов, но есть только два значений , которые могут быть достигнуты переменными: истина или ложь. ¹ У нас также есть символы для логических связок: \ (\ wedge \ text {,} \) \ (\ vee \ text {,} \) \ (\ imp \ text {,} \) \ (\ iff \ текст {,} \) \ (\ neg \ text {.} \)

В компьютерном программировании мы должны называть такие переменные Булевыми переменными .

Логические связки.

• \ (P \ wedge Q \) читается как «\ (P \) и \ (Q \ text {,} \)» и называется соединением .
• \ (P \ vee Q \) читается как «\ (P \) или \ (Q \ text {,} \)» и называется дизъюнкцией .
• \ (P \ imp Q \) читается как «если \ (P \), то \ (Q \ text {,} \)» и называется импликацией или условным .
• \ (P \ iff Q \) читается как «\ (P \) тогда и только тогда, когда \ (Q \ text {,} \)» и называется двухусловным .
• \ (\ neg P \) читается как «не \ (P \ text {,} \)» и называется отрицанием .

Значение истинности утверждения определяется значением истинности его части (частей), в зависимости от связок:

Условия истинности для связок.

• \ (P \ wedge Q \) истинно, когда оба \ (P \) и \ (Q \) истинны.
• \ (P \ vee Q \) истинно, когда \ (P \) или \ (Q \) или оба истинны.
• \ (P \ imp Q \) истинно, когда \ (P \) ложно, или \ (Q \) истинно, или и то, и другое.
• \ (P \ iff Q \) истинно, когда \ (P \) и \ (Q \) оба истинны, или оба ложны.
• \ (\ neg P \) истинно, когда \ (P \) ложно.

Обратите внимание, что для нас или — это включительно или (а не иногда используемый исключительный или ), что означает, что \ (P \ vee Q \) на самом деле истинно, когда и \ (P \), и \ (Q \) верны.Что касается других связок, «и» ведет себя так, как и следовало ожидать, как и отрицание. Двуусловное (если и только если) может показаться немного странным, но вы должны думать об этом как о том, что две части утверждений эквивалентны в том смысле, что они имеют одинаковое значение истинности. Остается только условное выражение \ (P \ imp Q \), которое в математике имеет несколько иное значение, чем при обычном использовании. Однако импликации настолько распространены и полезны в математике, что мы должны развить беглость в их использовании, и как таковые они заслуживают отдельного раздела.

Подраздел Значение

Последствия.

Импликация или условная — это молекулярное утверждение формы

\ begin {уравнение *}
P \ imp Q
\ end {уравнение *}

, где \ (P \) и \ (Q \) — утверждения. Мы говорим, что

• \ (P \) — это гипотеза (или антецедент ).
• \ (Q \) — вывод , вывод (или , последующий ).

Подразумевается, что истинно при условии, что \ (P \) ложно или \ (Q \) истинно (или оба), и ложно в противном случае.2 \ text {.} \) ”

Тем не менее, важно помнить, что импликация — это утверждение, и поэтому оно либо истинно, либо ложно. Значение истинности импликации определяется значениями истинности его двух частей. Чтобы согласиться с приведенным выше использованием, мы говорим, что импликация истинна либо тогда, когда гипотеза ложна, либо когда верен вывод. Это оставляет только один путь для того, чтобы импликация была ложной: когда гипотеза верна, а вывод ложен.

Пример 0.2.2.

Рассмотрим выписку:

Если Боб наберет 90 баллов в финале, то Боб пройдет класс.

Это определенно подразумевается: \ (P \) — это утверждение «Боб получает 90 баллов в финале», а \ (Q \) — это утверждение «Боб передаст класс».

Предположим, я сделал это заявление Бобу. При каких обстоятельствах было бы справедливо называть меня лжецом? Что, если Боб действительно набрал 90 баллов в финале и сдал класс? Тогда я не солгал; мое утверждение верно.Однако, если Боб действительно получил 90 баллов в финале и не прошел класс, я солгал, сделав утверждение ложным. Сложный случай заключается в следующем: что, если Боб не набрал 90 баллов в финале? Может, он проходит класс, а может, нет. В любом случае я солгал? Думаю, нет. В этих двух последних случаях \ (P \) было ложным, а утверждение \ (P \ imp Q \) было истинным. В первом случае \ (Q \) было истинным, как и \ (P \ imp Q \ text {.} \). Итак, \ (P \ imp Q \) истинно, когда либо \ (P \) ложно, либо \ (Q \) верно.

Для ясности, хотя мы иногда читаем \ (P \ imp Q \) как «\ (P \) подразумевает \ (Q \)», мы не настаиваем на наличии причинно-следственной связи между утверждениями \ (P \) и \ (Q \ text {.} \) В частности, если вы утверждаете, что \ (P \ imp Q \) ложно , вы не утверждаете, что \ (P \) не подразумевает \ (Q \ text {,} \), а скорее, что \ (P \) истинно, а \ (Q \) ложно.

Пример 0.2.3.

Решите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет. Кратко объясню.

1. Если \ (1 = 1 \ text {,} \), то у большинства лошадей 4 ноги.

2. Если \ (0 = 1 \ text {,} \), то \ (1 = 1 \ text {.} \)

3. Если 8 — простое число, то 7624-я цифра \ (\ pi \) равна 8.

4. Если 7624-я цифра \ (\ pi \) равна 8, то \ (2 + 2 = 4 \ text {.} \)

Решение

Все четыре утверждения верны. Помните, что единственный способ сделать импликацию ложной — это если часть , если будет истинной, а часть , то будет ложной.

1. Здесь и гипотеза, и вывод верны, значит, верно и импликация. Не имеет значения, что нет значимой связи между истинным математическим фактом и фактом о лошадях.

2. Здесь гипотеза ложна, а вывод верен, так что импликация верна.

3. Понятия не имею, что такое 7624-я цифра \ (\ pi \), но это не имеет значения. Поскольку гипотеза ложна, импликация автоматически верна.

4. Точно так же здесь, независимо от истинности гипотезы, вывод верен, а импликация истинна.

Важно понимать условия, при которых импликация истинна, не только для того, чтобы решить, истинно ли математическое утверждение, но и для того, чтобы доказать, , что это так.Доказательства могут показаться пугающими (особенно если у вас был плохой школьный опыт геометрии), но все, что мы на самом деле делаем, — это объясняем (очень осторожно), почему утверждение верно. Если вы понимаете условия истинности импликации, у вас уже есть план доказательства.

Прямые доказательства последствий.

Чтобы доказать импликацию \ (P \ imp Q \ text {,} \), достаточно предположить \ (P \ text {,} \) и из него вывести \ (Q \ text {.} \)

Возможно, лучший способ сказать это — чтобы доказать утверждение формы \ (P \ imp Q \) напрямую, вы должны объяснить, почему \ (Q \) истинно, но вы, , дойдете до , предполагая \ (P \) верно в первую очередь.В конце концов, вы заботитесь только о том, истинно ли \ (Q \) в том случае, если \ (P \) тоже.

Существуют и другие методы доказательства утверждений (подтекстов и т. Д.), С которыми мы будем сталкиваться в ходе наших исследований, и постоянно открываются новые методы доказательства. Прямое доказательство — это самый простой и элегантный вид доказательства, и его преимущество состоит в том, что такое доказательство часто отлично объясняет , почему утверждение верно.

Пример 0.2.4.

Докажите: если два числа \ (a \) и \ (b \) четные, то их сумма \ (a + b \) четна.

Решение

Доказательство.

Предположим, что числа \ (a \) и \ (b \) четные. Это означает, что \ (a = 2k \) и \ (b = 2j \) для некоторых целых чисел \ (k \) и \ (j \ text {.} \) Тогда сумма равна \ (a + b = 2k + 2j = 2 (k + j) \ text {.} \) Поскольку \ (k + j \) является целым числом, это означает, что \ (a + b \) четное число.

Обратите внимание, что, поскольку мы можем предположить гипотезу импликации, у нас сразу есть место для начала. Доказательство основывается на постоянных вопросах и ответах: «Что это значит?» В конце концов, мы приходим к выводу, что это означает заключение.

Аргументы такого рода встречаются и вне математики. Если вы когда-либо начинали спор со слов «предположим, гипотетически…», значит, вы пытались получить прямое доказательство своего желаемого вывода.

Импликация — это способ выражения отношения между двумя утверждениями. Часто интересно спросить, существуют ли другие отношения между утверждениями. Здесь мы вводим общий язык для ответа на этот вопрос.

Конверс и контрапозитив.

• Обратное импликации \ (P \ imp Q \) — это импликация \ (Q \ imp P \ text {.} \) Обратное НЕ логически эквивалентно исходной импликации. То есть, истинно ли обратное импликации, не зависит от истинности импликации.

• контрапозитив импликации \ (P \ imp Q \) — это утверждение \ (\ neg Q \ imp \ neg P \ text {.} \) Импликация и ее контрапозитив логически эквивалентны (они либо оба истина или оба ложь).

Математика изобилует примерами истинных выводов, которые имеют ложное обращение. 2 \ text {,} \), то треугольник со сторонами \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \) — это правый треугольник .Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с математическим выводом, всегда разумно спросить, верно ли обратное.

С другой стороны, контрапозитив всегда имеет то же значение истинности, что и его первоначальный смысл. Это может быть очень полезно при принятии решения о том, верен ли вывод: часто легче проанализировать контрапозитив.

Пример 0.2.5.

Верно или неверно: если вы возьмете любые девять игральных карт из обычной колоды, то у вас будет как минимум три карты одной масти.Верно ли обратное?

Решение

Верно. Первоначальный вывод немного сложно проанализировать, потому что существует так много различных комбинаций из девяти карт. Но рассмотрим контрапозитив: если у вас нет , по крайней мере, трех карт одной масти, то у вас нет девяти карт. Легко понять, почему это так: у вас может быть максимум две карты каждой из четырех мастей, всего восемь карт (или меньше).

Обратное: если у вас есть хотя бы три карты одной масти, значит, у вас девять карт.Это неправда. У вас может быть три лопаты и ничего больше. Обратите внимание: чтобы продемонстрировать, что обратное утверждение (импликация) неверно, мы привели пример, в котором гипотеза верна (у вас есть три карты одной масти), но где вывод неверен (у вас нет девяти карт).

Понимание обратных и контрапозитивных может помочь понять последствия и их истинные значения:

Пример 0.2.6.

Предположим, я скажу Сью, что если она наберет 93% за свой финал, то по классу она получит пятерку.Если предположить, что то, что я сказал, правда, что вы можете сделать в следующих случаях:

1. Сью получает 93% в финале.

2. Сью получает пятерку в классе.

3. Сью не набрала 93% в финале.

4. Сью не получила пятерки в классе.

Решение

Прежде всего обратите внимание, что всякий раз, когда \ (P \ imp Q \) и \ (P \) оба являются истинными утверждениями, \ (Q \) также должно быть истинным. Для этой задачи возьмите \ (P \), чтобы обозначить «Сью набрала 93% за свой финал», и \ (Q \), чтобы обозначить «Сью получит пятерку в классе.”

1. У нас есть \ (P \ imp Q \) и \ (P \ text {,} \), поэтому \ (Q \) следует. Сью получает А.

2. Ничего не сделаешь. Сью могла получить пятёрку, например, потому что она сделала дополнительный балл. Обратите внимание, что мы не знаем, что если Сью получит \ (A \ text {,} \), то она получит 93% в своем финале. Это обратное исходному выводу, так что оно может быть правдой, а может и нет.

3. Противоположностью обратного \ (P \ imp Q \) является \ (\ neg P \ imp \ neg Q \ text {,} \), в котором говорится, что если Сью не наберет 93% в финале, то она не получит пятерку в классе.Но это не следует из первоначального смысла. Опять же, мы ничего не можем сделать. Сью могла бы сделать дополнительную заслугу.

4. Что произойдет, если Сью не получит пятерку, но получит ли 93% в финале? Тогда \ (P \) будет истинным, а \ (Q \) — ложным. 2 \) четно.2 \) четно, то \ (n \) четно.

   Вы можете думать об утверждениях «если и только если» как о двух частях: импликации и обратном. Можно сказать, что одна часть — это «если», а другая — «только если». Мы также иногда говорим, что у операторов «если и только если» есть два направления: прямое \ ((P \ imp Q) \) и обратное (\ (P \ leftarrow Q \ text {,} \), что на самом деле просто неряшливая запись для \ (Q \ imp P \)).

   Давайте немного подумаем, какая часть какая. Является ли \ (P \ imp Q \) частью «если» или частью «только если»? Рассмотрим пример.

   Пример 0.2.7.
   

   Допустим, я пою тогда и только тогда, когда я в душе. Мы знаем, что это означает как то, что если я пою, то я в душе, так и наоборот, что если я в душе, то я пою. Пусть \ (P \) будет утверждением: «Я пою», а \ (Q \) — «Я в душе». Итак, \ (P \ imp Q \) — это утверждение: «Если я пою, значит, я в душе». Какая часть оператора if и only if это?

   На самом деле мы просим о значении слов «Я пою , если я в душе» и «Я пою , только если я в душе.Когда первое (часть «если») ложно ? Когда я в душе, но не пою. Это то же условие ложности, что и утверждение «если я в душе, то я пою». Таким образом, часть «если» — это \ (Q \ imp P \ text {.} \). С другой стороны, сказать: «Я пою, только если я в душе» — это то же самое, что сказать «если я пою, то Я в душе », поэтому часть« только если »- это \ (P \ imp Q \ text {.} \)

   Не так уж важно знать, какая часть является« если »или« только если ». часть, но это действительно иллюстрирует кое-что очень, очень важное: есть много способов заявить о подтексте!

   Пример 0.2.8.
   

   Перефразируйте подтекст: «Если я сплю, значит, я сплю» как можно множеством различных способов. Затем проделайте то же самое с обратным.

   Решение

   Все следующие значения эквивалентны исходному заключению:

   1. Я сплю, если мне снится.

   2. Я мечтаю, только если сплю.

   3. Чтобы мечтать, я должен спать.

   4. Чтобы присниться, нужно, чтобы я спал.

   5. Чтобы уснуть, достаточно мечтать.

   6. Я не сплю, пока не сплю.

   Следующее эквивалентно обратному (если я сплю, то мне снится):

   1. Мне снится, если я сплю.

   2. Я сплю, только если мне снится.

   3. Для того, чтобы уснуть, необходимо, чтобы я мечтала.

   4. Мне достаточно спать, чтобы мечтать.

   5. Если мне не снится, значит, я не сплю.

   Надеюсь, вы согласны с приведенным выше примером. Мы включаем «необходимые и достаточные» версии, потому что они распространены при обсуждении математики. Собственно, давайте раз и навсегда согласимся, что они означают.

   Необходимые и достаточные.

   Если честно, у меня проблемы с ними, если я не очень осторожен. Я считаю, что для справки полезно использовать стандартный пример.

   Пример 0.2.9.
   

   Вспомните из исчисления, если функция дифференцируема в точке \ (c \ text {,} \), то она непрерывна в \ (c \ text {,} \), но обратное этому утверждению неверно (для например, \ (f (x) = | x | \) в точке 0).Подтвердите этот факт, используя «необходимый и достаточный» язык.

   Решение

   Это правда, что для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке \ (c \ text {,} \), необходимо, чтобы функция была непрерывной в точке \ (c \ text {.} \). Однако это не обязательно, чтобы функция была дифференцируемой в точке \ (c \), чтобы она была непрерывной в точке \ (c \ text {.} \)

   Верно, что для непрерывности в точке \ (c \ text {,} \) достаточно, чтобы функция была дифференцируемой в \ (c \ text {.} \). Однако это не тот случай, когда функция непрерывна at \ (c \) достаточно для дифференцируемости функции в \ (c \ text {.} \)

   Размышление о необходимости и достаточности условий также может помочь при написании доказательств и обосновании выводов. Если вы хотите установить какой-то математический факт, полезно подумать, каких других фактов будет достаточно (достаточно), чтобы доказать ваш факт. Если у вас есть предположение, подумайте о том, что также должно быть необходимым, если эта гипотеза верна.

   Подраздел Предикаты и квантификаторы
   

   Расследовать!

   Рассмотрите приведенные ниже утверждения.Решите, эквивалентны ли одни из них или подразумевают какие-то другие.

   1. Некоторых можно постоянно дурачить.

   2. Иногда можно всех обмануть.

   3. Всегда можно кого-нибудь обмануть.

   4. Иногда можно всех обмануть.

   Было бы неплохо использовать переменные в наших математических предложениях. Например, предположим, что мы хотим заявить, что если \ (n \) простое число, то \ (n + 7 \) не простое число.Это похоже на подтекст. Я хотел бы написать что-то вроде

   \ begin {уравнение *}
   Р (п) \ имп \ нег Р (п + 7)
   \ end {уравнение *}

   где \ (P (n) \) означает «\ (n \) простое число». Но это не совсем так. Во-первых, поскольку в этом предложении есть свободная переменная (то есть переменная, о которой мы ничего не указали), это не оператор. Предложение, содержащее переменные, называется предикатом .

   Теперь, если мы вставим определенное значение для \ (n \ text {,} \), мы получим инструкцию.Фактически, оказывается, что независимо от того, какое значение мы подставляем для \ (n \ text {,} \), в этом случае мы получаем истинное значение. Мы действительно хотим сказать, что для всех значений \ (n \ text {,} \), если \ (n \) простое число, то \ (n + 7 \) — нет. Нам нужно количественно определить переменной.

   Хотя существует много типов кванторов в английском языке (например, многие, немногие, большинство и т. Д.) В математике мы, по большей части, придерживаемся двух: экзистенциального и универсального.

   Универсальные и экзистенциальные кванторы.

   Экзистенциальный квантификатор — \ (\ существует \) и читается как «существует» или «существует». Например,

   \ begin {уравнение *}
   \ существует х (х \ lt 0)
   \ end {уравнение *}

   утверждает, что существует число меньше 0.

   Универсальный квантор \ (\ forall \) читается «для всех» или «для каждого». Например,

   \ begin {уравнение *}
   \ forall х (х \ ge 0)
   \ end {уравнение *}

   утверждает, что каждое число больше или равно 0.

   Как и все математические утверждения, мы хотели бы решить, являются ли количественные утверждения истинными или ложными.Рассмотрим утверждение

   \ begin {уравнение *}
   \ forall x \ существует y (y \ lt x) \ text {.}
   \ end {уравнение *}

   Вы бы прочитали это: «для каждого \ (x \) существует некоторый \ (y \) такой, что \ (y \) меньше, чем \ (x \ text {.} \)». Это правда? Ответ зависит от того, какова наша область дискурса : когда мы говорим «для всех» \ (x \ text {,} \), имеем в виду все положительные целые числа или все действительные числа или все элементы некоторого другого набора? Обычно эта информация подразумевается. В дискретной математике мы почти всегда количественно определяем натуральных чисел , 0, 1, 2,…, так что давайте возьмем это для нашей области дискурса здесь.

   Чтобы утверждение было истинным, нам нужно, чтобы независимо от того, какое натуральное число мы выбираем, всегда есть какое-то натуральное число, которое строго меньше. Возможно, мы могли бы позволить \ (y \) быть \ (x-1 \ text {?} \) Но вот проблема: что, если \ (x = 0 \ text {?} \) Тогда \ (y = -1 \ ) и это не число! (в нашей области дискурса). Таким образом, мы видим, что утверждение неверно, потому что существует число, которое меньше или равно всем другим числам. В символах,

   \ begin {уравнение *}
   \ существует x \ forall y (y \ ge x) \ text {.}
   \ end {уравнение *}

   Чтобы показать, что исходное утверждение ложно, мы доказали, что отрицание было истинным. Обратите внимание на сравнение отрицания и исходного утверждения. Это типично.

   Кванторы и отрицание.

   \ (\ neg \ forall x P (x) \) эквивалентно \ (\ exists x \ neg P (x) \ text {.} \)

   \ (\ neg \ exists x P (x) \) эквивалентно \ (\ forall x \ neg P (x)
   \ text {.} \)

   По сути, мы можем передать символ отрицания квантификатору, но это заставит квантификатор переключить тип.Это не должно вызывать удивления: если не все имеет свойство, значит, что-то не имеет этого свойства. И если нет чего-то с свойством, значит, этого свойства нет у всего.

   Неявные квантификаторы.

   В математике всегда полезно быть точным. Однако иногда мы можем немного расслабиться, если все мы согласны с соглашением. Примером такого соглашения является предположение, что предложения, содержащие предикаты со свободными переменными, предназначены как утверждения, в которых переменные универсально количественно определены.

   Например, вы верите, что если фигура представляет собой квадрат, то это прямоугольник? Но как это может быть правдой, если это не утверждение? Чтобы быть немного более точным, у нас есть два предиката: \ (S (x) \) означает «\ (x \) является квадратом» и \ (R (x) \) означает «\ (x \) равно Прямоугольник». Предложение , которое мы рассматриваем, это

   .

   \ begin {уравнение *}
   S (x) \ imp R (x) \ text {.}
   \ end {уравнение *}

   Это ни правда, ни ложь, так как это не утверждение. Но давай! Все мы знаем, что мы хотели рассмотреть заявление

   .

   \ begin {уравнение *}
   \ forall x (S (x) \ imp R (x)) \ text {,}
   \ end {уравнение *}

   , и это то, что наша конвенция советует нам учитывать.

   Точно так же мы часто немного небрежно относимся к различию между предикатом и утверждением. Например, мы могли бы написать , пусть \ (P (n) \) будет оператором , «\ (n \) простое число», , что технически неверно. Неявно подразумевается, что мы определяем \ (P (n) \) как предикат, который для каждого \ (n \) становится утверждением, \ (n \) является простым.

   Концентрация по математике, вычислительной и инженерной математике (CEMA), BS

   Осенний семестр

   MATH 2010 — Исчисление и аналитическая геометрия I (4)

   UNIV 1100 — Семинар первого года (2)

   ENG 1110 — Английский состав I (3)

   HUM 2410 — Искусство и гуманитарные науки I (3)

   Весенний семестр

   MATH 2020 — Исчисление и аналитическая геометрия II (4)

   COMP 2200 — Логика для математических наук (3)

   ENG 1210 — Английская композиция II (3)

   Осенний семестр

   MATH 2030 — Расчет и аналитическая геометрия III (3)

   MATH 2600 — Введение в абстрактную математику (3)

   COMP 2300 — Дискретные структуры для вычислений (3)

   PHYS 2305 — Основы физики I (3)

   PHYS 2410 — Лаборатория основ физики I (1)

   Весенний семестр

   HIST 1320 — Мировые общества (3)

   MATH 4210 — Введение в вероятность и статистику I (3)

   COMP 1520 — Программирование: C ++ (3)

   PHYS 2310 — Основы физики II (3)

   PHYS 2420 — Лаборатория основ физики II (1)

   MFL 1192 — Элементарный (критический язык) II (3)

   Осенний семестр

   MATH 3020 — Дифференциальные уравнения (3)

   MATH 3420 — Линейная алгебра I (3)

   COMP 1525 — объектно-ориентированное программирование (3)

   CEMA 3025 — Уравнения в частных производных прикладной математики (3)

   Весенний семестр

   MATH 4430 — Абстрактная алгебра I (3)

   COMP 2810 — структуры данных (3)

   Осенний семестр

   MATH 4310 — Расширенное многомерное исчисление I (3)

   COMP 3810 — Разработка и анализ алгоритмов (3)

   CEMA 3425 — Линейная алгебра с приложениями к технике (3)

   Весенний семестр

   CEMA 4920 — Дизайн-проект Capstone (3)

   .