Разное

1 вариант 1 часть математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Содержание

Тренировочные варианты ОГЭ 2021 по математике с ответами

Варианты ОГЭ по математике в новом формате 2021 года с ответами.

Источник информации сайт –  time4math.ru

Автор: Ширяева Елена Алексеевна (математик, профессиональный репетитор)

→ вариант 1-2

→ вариант 3-4

→ вариант 5-6

→ вариант 7-8

→ ответы 1-8


→ вариант 9-10

→ вариант 11-12

→ вариант 13-14

→ вариант 15-16

→ ответы 9-16


→ вариант 17-18

→ вариант 19-20

→ вариант 21-22

→ вариант 23-24

→ ответы 17-24

Еще больше вариантов Вы найдете на сайте автора.

→ книги для подготовки к ОГЭ по математике

Характеристика структуры и содержания КИМ ОГЭ 2021 по математике

Работа содержит 25 заданий и состоит из двух частей.

Часть 1 содержит 19 заданий с кратким ответом; часть 2 – 6 заданий с развёрнутым ответом.

При проверке базовой математической компетентности экзаменуемые должны продемонстрировать владение основными алгоритмами, знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приёмов решения задач и проч.), умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

Задания части 2 направлены на проверку владения материалом на повышенном и высоком уровнях. Их назначение – дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленных обучающихся, составляющих потенциальный контингент профильных классов.

Эта часть содержит задания повышенного и высокого уровней сложности из различных разделов математики. Все задания требуют записи решений и ответа.

Задания расположены по нарастанию трудности: от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом и высокий уровень математической культуры.

Связанные страницы:

ОГЭ 2017 Типовой вариант 1 по математике Ященко

ОГЭ 2017

Типовой вариант 2 по математике Ященко


Инструкция по выполнению работы
Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 — восемь заданий; в части 2 — три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь заданий: в части 1 — пять заданий; в части 2 — три задания. Модуль «Реальная математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля — в части 1.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.
Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в десятичную.

Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер.
Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.
Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 8 баллов, из них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия» и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания оцениваются в 2 балла.
Желаем успеха!

Условия задач

ответы

Часть 1

Модуль “Алгебра”

1. Найдите значение выражения

2. На координатной прямой отмечены числа и . Какая из разностей отрицательна? 1) 2) 3) 4) ни одна из них

3.  Какое из данных ниже чисел является значением выражения ?

1) 2) 3) 4)

4. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5.  На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов и .  В таблице под каждой буквой A Б В, соответствующей графику, укажите соответствующий номер.

6.  Арифметическая прогрессия задана условиями: . Найдите сумму первых шести ее членов.

7.  Найдите значение выражения при .

8.  Укажите решение системы неравенств .
1)  2) 3) нет решений 4)

Модуль “Геометрия”

9.  Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника. www.itmathrepetitor.ru

10.  Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 12. Найдите высоту этого треугольника.

11.   Площадь параллелограмма ABCD равна 180. Точка E – середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.

12.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите его площадь. 

13.  Какое из следующих утверждений верно?
1) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
2) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Модуль “Реальная математика”

14.  Ученый Комаров выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 8:30. В таблице дано расписание ночных поездов Москва – Санкт-Петербург. www.itmathrepetitor.ru Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) поезда, который подходит ученому Комарову.

Номер поезда Отправление из Москвы Прибытие в Санкт-Петербург
032А 23:00 05:46
026А 22:42 06:32
002А 23:55 07:55
004А 23:30 08:30

1) 032А 2) 026А 3) 002А 4) 004А

15.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа из данного периода в Элисте выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.  

16.  Средний вес мальчиков того же возраста, что и Петя, равен 42 кг. Вес Пети составляет 120% среднего веса. Сколько килограммов весит Петя?

17.  Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположена на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (смотрите рисунок). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большой опоры. Ответ дайте в метрах.

18.  На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 миллионов пользователей. 
Какие из этих утверждений неверны?
1) Пользователей из Аргентины больше, чем пользователей из Парагвая.
2) Пользователей из Аргентины больше четверти общего числа пользователей.

3) Пользователей из Парагвая больше, чем пользователей из Эстонии.
4) Пользователей из Бразилии меньше 8 миллионов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

19.  В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, восемнадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

20.  Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула , где – температура в градусах Цельсия, – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 158o по шкале Фаренгейта?

Часть 2

Модуль “Алгебра”

21.  Решите уравнение

22.  Первый рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часов быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

23.  Постройте график функции  Определите, при каких значениях  прямая  имеет с графиком ровно две общие точки.

Модуль “Геометрия”

24.  Высота AH ромба ABCD делит сторону СD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

25.  На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

26.  В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

смотрите также ОГЭ 2017 Типовой вариант 1 Ященко

Ответы
1
1,9
2 3
3 3
4 -1
5 321
6 150
7 -1,8
8 3
9 26
10 36
11 135
12 15
13 3
14 1
15 15
16 50,4
17 2,8
18 24
19 0,88
20 70
21 -5;4
22 13
23 2;3
24 9
25
26

 

ВПР с ответами по математике за 4 класс 2020-2021 года И. В. Ященко — Вариант №1


Задание №1

Найди значение выражения 100 — 63.

Ответ:

37


Задание №2

Найди значение выражения (22 + 28) : 5 + 4.

Решение:

(22 + 28) : 5 + 4 = 50 : 5 + 4 = 10 + 4 = 14

Ответ:

14


Задание №3

Из Бронниц в Егорьевск можно проехать двумя способами. Рассмотри рисунок и ответь на вопрос: на сколько километров один путь короче другого?

 

Решение:

62 + 15 = 77 (км.) — длина первого пути

37 + 27 + 15 = 79 (км.) — длина второго пути

79 — 77 = 2 (км.)

Ответ:

На 2 километра один путь короче другого.


Задание №4

Поезд вышел в два часа дня и прибыл на конечную станцию в пять часов вечера следующих суток. Сколько часов он был в пути?

Решение:

С двух часа дня сегодня до двух часов дня завтра — 24 часа плюс 3 часа до пяти вечера, значит

24 + 3 = 27 (ч.)

Ответ:

Поезд был в пути 27 часов.


Задание №5

На рисунке ниже изображена фигура.

 

  1. Найди площадь этой фигуры, если сторона клетки — 1 см.

Решение:

Самое простое решение — это элементарный подсчет закрашенных клеток — 10.

Ответ:

10 см2

  1. Найди периметр этой фигуры, если сторона клетки — 1 см.

Решение:

1 + 3 + 3 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 16 см

Ответ:

Периметр 16 см

 


Задание №6

В таблице приведены цены на пирожные в трёх кондитерских (в рублях). Используя эти данные, ответь на вопросы.

 

  1. В какой кондитерской пирожное «Корзинка» самое дорогое?

Ответ:

В кондитерской «Наслаждение».

  1.  Какое пирожное и в какой кондитерской дешевле всего?

 

Ответ:

Пирожное «Ромовая баба» в кондитерской «Наслаждение».


Задание №7

Найди значение выражения 15015 : 5 — 230 * 3.

Решение:

15015 : 5 — 230 * 3 = 3003 — 690 = 2313

Ответ:

2313


Задание №8

Ко дню рождения Петя хотел купить 3 двухлитровые бутылки газированной воды. Но в магазине вода была только в бутылках по пол-литра. Петя решил купить столько же воды, но в бутылках по пол-литра. Сколько бутылок он должен купить?

Решение:

3 * 2 = 6 (л.) — всего литров воды хотел купить Петя

6 * 2 = 12 (б.) — потребуется бутылок по пол-литра

 

Ответ:

Петя должен купить 12 бутылок.


Задание №9

Маша, Таня, Света и Катя собираются пойти на дискотеку. При этом девочки хотят надеть платья разных цветов. У Маши есть красное и синие платья, у Тани — красное и зелёное, у Светы — красное и жёлтое, а у Кати только зелёное платье.

  1. Какое платье наденет Таня?

Решение:

Маша — красное и синие

Таня — красное и зелёное

Света — красное и жёлтое

Катя — зелёное

Ответ:

Таня оденет красное платье.

  1. Какое платье наденет Света?

 

Ответ:

Света оденет жёлтое платье.


Задание №10

Ваня написал на футболке свое имя (см. рис.). Затем он подошёл к зеркалу. Нарисуй, как будет выглядеть отражение его имени в зеркале.

 


Задание №11

В классе 24 человека, из них 13 девочек. Известно, что у 15 человек светлые волосы. Сколько может быть девочек со светлыми волосами? Найди наименьшее возможное число.

Решение:

24 — 13 = 11 (ч.) — всего мальчиков в классе

15 — 11 = 4 (ч.) — если предположить, что все мальчики имеют светлые волосы, то на долю девочек останется 4 человек со светлыми волосами

Ответ:

4 девочки.

4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 58

Числа от 1 до 1000


Проверим себя и оценим свои достижения

Ответы к стр. 58

Тест

Вариант 1 

Выбери правильный ответ.

Задание Ответы
1. Как записать цифрами число восемьсот пятнадцать тысяч шесть? 815 006
2. Укажи сумму чисел 70 000 + 400 + 10 70 410
3. В каком ряду числа 4 708, 4 807, 47 008, 4 078 записаны в порядке их увеличения? 4 078, 4 708, 4 807, 47 008
4. Какая последовательность чисел составлена по правилу: каждое следующее число на 9 больше предыдущего? 99, 108, 117, 126
5. Какое число будет следующим в последовательности чисел: 93, 86, 79, 72, ? 65
6. На решение трудной задачи по математике Катя затратила полчаса, Лена – третью часть часа, а Соня 40 мин. Кто из этих девочек быстрее всех решил задачу? Лена
7. В каком ряду значения длины записаны а порядке их уменьшения? 80 км, 8 км, 800 м, 80 м, 800 см
8. Задуманное число уменьшили в 3 раза и получили 140. Какое число задумали? 420
9. Сколько цифр будет в частном при делении 846 на 6? 3
10. С помощью какого выражения можно вычислить периметр прямоугольника со сторонами 20 см и 9 см? (20 + 9) • 2

 

ГДЗ по математике. Учебник. 4 класс. Часть 1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.

Математика. 4 класс

4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 58

4.6 (91.03%) от 29 голосующих

Очень понравились задачи! Назван победитель интернет-турнира «Учительской газеты»

​Прошедшим летом на сайте и в бумажной «Учительской газете» мы объявили необычный конкурс – интернет-турнир, для победы в котором надо было решить 12 задач от Павла Шмакова, директора лицея имени Николая Ивановича Лобачевского при Казанском (Приволжском) федеральном университете. Напоминаем условия турнира – они опубликованы по адресу: http://www.ug.ru/article/362.

Ну а теперь самое главное – у нас есть победитель! Это учитель информатики школы №2 Минусинска Красноярского края Елена Стонт. Поздравляем! Публикуем правильные ответы.1.    В каждый кошелек нужно положить по монете. Первый кошелек нужно положить во второй кошелек. Теперь во втором кошельке лежат монета и первый кошелек с другой монетой. Поэтому во втором кошельке денег в два раза больше (2 монеты), чем в первом (1 монета).2.    Вклад множества «Математики» во множество «Страшилища» больше, чем вклад множества «Страшилища» во множество «Математики» («каждый третий» против «каждый пятый»). Поэтому при прочих равных условиях математиков меньше, чем страшилищ.3.    Точно осталось 7 свечей, которые потушила Королева-мать. Каждая из трех других свечей могла сгореть дотла или не сгореть. Поэтому осталось от 7 до 10 свечей.4.    Из далекой страны в Среднюю Финляндию отправился 31 бегемот.К первому озеру подлетел 31 бегемот. Осталось на озере 15,5 + 0,5 = 16 бегемотов.Ко второму подлетели 15 бегемотов. Осталось 7,5 + 0,5 = 8 бегемотов.К третьему подлетели 7 бегемотов. Осталось 3,5 + 0,5 = 4 бегемота.К четвертому подлетели 3 бегемота.  Осталось 1,5 + 0,5 = 2 бегемота.К пятому подлетел 1 бегемот. Осталось 0,5 + 0,5 = 1 бегемот.5.    Первым поздравление услышал финский Дед Мороз на 9-м этаже, так как расстояние до его ушей от рта Деда Мороза из Африки на 10-м этаже меньше, чем расстояние от рта финского Деда Мороза на 9-м этаже до ушей Деда Мороза из Африки на 10-м этаже. Финский Дед Мороз прибыл в гости к Деду Морозу из Африки.6.    Единица – половинка двух. А половина единицы – это 1/2. Вот так половина половинки равна 1/2.7.    10 обезьян и 10 бананов: 2 гориллы (4 банана), 4 шимпанзе (4 банана), 4 лемура (2 банана).Ответ: в зоопарке живут 2 гориллы, 4 шимпанзе и 4 лемура.8.    Было 9 щурят:Остался один.Ответ: один наелся досыта.9.    Если каждому внуку досталось не более одного поцелуя и/или не более одного объятия, то внуков не меньше 8 и не больше 13, но обязательно число четное (чтобы не получилось полвнука), то есть внуков могло быть: 8 (все 8 обняты, из них 5 еще и поцелованы), или 10 (3 обняты и поцелованы, 5 только обняты, 2 только поцелованы), или 12 (1 обнят и поцелован, 7 только обняты, 4 только поцелованы). Тогда половина внуков 4, или 5, или 6.  Ответ: 4, или 5, или 6 внуков от радости закричали «ура!» и подпрыгнули.10.    Так как у стола отпилен угол, то углы (хотя бы один) у стола были. После того как один угол был отпилен, углов у стола стало на 1 больше или на 1 меньше, чем было. Рисунок 1: стало на один угол меньше (было 4 стало 3). Рисунок 2: стало на один угол больше (было 4 стало 5 углов).Ответ: у королевского стола стало на один угол больше или на один угол меньше, чем было.11.    Вариант 1: 7 частей. 7 воинов + Силач = 8 отважных солдат. Вариант 2: первый удар по щиту делит его на 2 части, которые складываем друг на друга; второй удар дает 4 части, которые складываем друг на друга; третий удар дает 8 частей. 8 воинов + Силач = 9 отважных солдат.12. Если делить восьмерку арифметически, то 4. Если разрезать пополам по вертикали, то 3 и ее вертикальное отражение. Если разрезать пополам горизонтально, то два 0.

Таяние многолетней мерзлоты оказалось причиной выбросов древнего термогенного метана

Nikolaus Froitzheim et al. / PNAS, 2021

Таяние мерзлоты приводит не только к образованию нового метана вследствие микробного разложения законсервированного органического вещества, но и к высвобождению значительных количеств древнего термогенного метана из нижележащих горных пород. К таким выводам пришли ученые, проанализировав эмиссию метана на севере Сибири в условиях тонких почв, отсутствия болот и слаборазвитого растительного покрова. Они связали быстрое наступление проницаемости слоя мерзлоты и подстилающих ее карбонатов с аномальной жарой в июле 2020 и апреле 2021 годов. Статья опубликована в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences.

Деградация многолетней мерзлоты связана с глобальным потеплением положительной обратной связью: законсервированное в мерзлоте органическое вещество после оттаивания может быть переработано микробным сообществом, что приводит к эмиссиям парниковых газов, способствующих дальнейшему потеплению климата. Однако это не единственный механизм воздействия многолетней мерзлоты на климат, ведь потепление делает ее слой проницаемым для газов из подстилающих пород, которые могут находиться там в свободном виде или быть связанными в гидраты. Пока вклад такого вида метана в эмиссию из многолетней мерзлоты изучен слабо, но благодаря изотопным сигнатурам стало известно, что метан над Восточно-Сибирским арктическим шельфом имеет именно такое древнее термогенное происхождение.

Николаус Тронцхайм (Nikolaus Froitzheim) из Боннского университета, Ярослав Майка (Jaroslaw Majka) из Уппсальского университета и Дмитрий Застрожнов (Dmitry Zastrozhnov) из Всероссийского научно-исследовательского геологического института имени Карпинского (ВСЕГЕИ) изучили выбросы метана в северной части Сибири. Для исследования они использовали данные открытые онлайн-ресурсы — карту концентраций метана в атмосфере PULSE и базу данных температур и снежного покрова Climate Reanalyzer.

Атмосферные концентрации метана на севере Сибири с апреля 2020 по апрель 2021 года на карте PULSE.

Nikolaus Froitzheim et al. / PNAS, 2021

Ученым удалось обнаружить значительные выбросы метана над территориями, покрытыми тонкими почвами с редкой растительностью и практически отсутствующими водно-болотными угодьями. В этих местах эмиссию CH4 невозможно объяснить микробным разложением почвенного органического вещества или дыханием болот. В то же время выявленные очаги поступления метана в атмосферу совпадают с расположением Енисей-Хатангского прогиба — местом близкого к поверхности залегания палеозойских карбонатов. Эти породы вмещают в себя древний термогенный метан в виде газогидратов.

Авторы исследования предположили, что таяние мерзлоты сделало ее слой проницаемым для газов из нижележащих горных пород: в начале мобилизовались газогидраты на небольшой глубине, а затем это привело к снижению давления на газогидраты более глубокого залегания и открыло им каналы для эмиссии. Подобные процессы происходят в любых трещиноватых породах, но в карбонатах они могут быть наиболее быстрыми за счет сети взаимосвязанных трещин и карстовых полостей. Этим объясняются пики эмиссий метана, возникшие в периоды аномальной жары на севере Сибири в июле 2020 и апреле 2021 года. Ученые отметили, что принятые в нынешнее время представления о связи деградации многолетней мерзлоты и климата недооценивает эмиссию термогенного метана из нижележащих горных пород.

Ранее ученые уже предостерегали о том, что таяние многолетней мерзлоты помешает достижению целей Парижского соглашения, потому что оно не учитывается в эмиссионных бюджетах стран-участников. Математические модели, на которых базируется климатическая политика большинства стран, были разработаны еще до 2020 года, который стал рекордно жарким для Арктики и отличился масштабными природными пожарами и резким таянием многолетней мерзлоты в этом регионе.

Марина Попова

Вычислительная биология. Как моделируются эпидемии

Пандемия ковида ввела в повседневный обиход медицинскую статистику – скорость распространения болезни, эффективность мер борьбы с ней и так далее. Численные модели используются в медицине все больше, с ростом мощностей компьютеров.

Леонид Шинделевич – математик, который занимается вычислительной биологией. Он учился в Канаде и США (в знаменитом Массачусетском технологическом институте), а сейчас работает в Imperial College London, ведущем британском исследовательском центре, который, в частности, известен тем, что его модели развития эпидемии коронавируса в марте 2020-го заставили британское правительство изменить подходы и принять более активные меры противостояния инфекции.

Шинделевич принимал участие в некоторых исследованиях эпидемии, но в центре его научных интересов – моделирование резистентных к антибиотикам инфекционных заболеваний. О пути математика в биологии и моделировании реальной жизни он рассказал в интервью Радио Свобода.

Шинделевич родился в Екатеринбурге. В 90-х, когда ему было 11 лет, его семья перебралась в Канаду. Отец Шинделевича – математик и программист. “Меня приобщил к математике папа (мама занимается музыкой)”, – говорит он, добавляя, что в институте учился математике и программированию и “постепенно заинтересовался вычислительной биологией”, а когда получил в MIT кандидатскую степень по прикладной математике, то к тому времени вычислительная биология уже была его специализацией:

– В принципе математика меня интересовала с детства, когда я немножко занимался с папой разными развивающими задачами. Ориентирование на биологию пришло где-то в середине института. Сначала я очень интересовался теорией чисел и, в принципе, по-прежнему отношусь к ней с благоговением. Но на втором курсе института был интересный курс по численному анализу. Я понял, что есть возможность совместить строгий подход в математике с вещами, которые имеют приложение в жизни. Примерно в то же время у меня была возможность написать первую научную статью – под руководством профессора, который занимался вычислительной биологией. Это меня зацепило, и я всю карьеру посвятил этому.

– Нужно было получать дополнительное образование по биологии?

– Это интересный вопрос. Биология всегда давалась мне сложновато. Но когда я заинтересовался вычислительной биологией, то понял, что если рассматривать биологию именно с вычислительной точки зрения, через математические модели, алгоритмы, то все становится гораздо более ясным и понятным. Не могу сказать, чтобы я был специалистом по биологии в целом, но те системы, которые я моделирую, в том числе инфекционные заболевания, представляю себе неплохо. Но, конечно, основная подготовка у меня с точки зрения математики и программирования.

Это фактически сводится к гораздо более простой математической формулировке, к вычислительной задаче

– Как, собственно, математика применяется в биологии? Есть знаменитое расщепление Менделя, скажем, при скрещивании дрозофил с красными и белыми глазами у потомства мушки с красными глазами будут в пропорции 3:1 к количеству мушек с белыми. Какие структуры исследуете вы?

– Для анализа биологической системы в какой-то момент наступает необходимость применять количественные методы – биологические системы очень сложны. Раньше какие-то отдельные части этих систем можно было довольно легко себе представить, провести какие-то эксперименты. Но сейчас биология развивается очень быстро, с применением экспериментальных подходов с высокой пропускной способностью, которые выдают огромное количество данных. В результате становится гораздо сложнее анализировать биологическую систему с помощью опытов, просто слишком много возможных гипотез, которые нужно рассмотреть. Математическое моделирование позволяет сузить количество гипотез, которые на самом деле стоит рассматривать. Например, геном человека. В ДНК каждого человека более 20 тысяч генов, плюс к тому многие гены взаимодействуют друг с другом. Если мы будем это пытаться изучать отдельно, по одному гену, это займет огромное количество времени, – попытки понять какие-то отдельные маленькие части генома. Но если мы его рассмотрим в целости, рассмотрим взаимодействие генов друг с другом, то мы можем, например, записать систему в виде графа, где каждая вершина является геном, а ребра обозначают взаимодействие. После этого, используя теорию графов или теорию дифференциальных уравнений, дискретные методы, можно провести анализ. Например, одна из систем, которую я наиболее детально изучал, – туберкулез и резистентность туберкулеза к антибиотикам, устойчивость к антибиотикам отдельных штаммов туберкулеза. Конечно, туберкулез – это бактерия, у них более простой геном, по длине примерно в тысячу раз короче, чем геном человека. Но по количеству генов сравнимо, в среднем у бактерии от 4 до 5 тысяч генов. Если мы рассматриваем различные изменения, которые могут наблюдаться в геноме туберкулеза, и хотим понять, какие именно из этих изменений могут привести к резистентности к антибиотику, то практически невозможно будет проверять экспериментально каждый из этих генов по отдельности, тем более каждую из этих мутаций. Но если мы соберем довольно большое количество штаммов, для каждого из которых известны конкретные мутации в конкретных генах, если соберем данные о том, какие штаммы резистентны или не резистентны к антибиотику, то у нас получается гораздо более простая задача: какие из этих генов играют роль в возникновении резистентности, какие – нет. Это фактически сводится к гораздо более простой математической формулировке, к вычислительной задаче, которую можно решать с помощью статистических методов, с помощью машинного обучения, чем мы и занимаемся в моей группе.

Колонии кишечной палочки. Ген mcr-1 может делать ее резистентной к антибиотикам

– Расскажите подробнее о машинном обучении.

Технология позволяет машине натренировать себя до уровня, который превосходит сильнейших игроков среди людей

– Алгоритмы – последовательность шагов, которые приводят к решению вычислительной задачи, и все известные нам алгоритмы можно, грубо говоря, разделить на две категории. Есть алгоритмы, для которых вся последовательность шагов должна быть описана заранее, а есть алгоритмы, в которых через анализ полученных данных происходят определенные изменения в самих алгоритмах, какие-то модели вырабатываются автоматически на основе данных. Вместо того чтобы человек, разрабатывающий алгоритм, заранее должен был указывать программе, на какие именно характеристики данных нужно обращать внимание, при машинном обучении алгоритм сам в какой-то степени создает модель, чтобы максимально точно предсказать результат. Машинное обучение в приложении к проблеме определения резистентности – это алгоритм, который способен самостоятельно на основе рассмотрения большого количества данных выявить и кристаллизовать те закономерности, которые в этих данных заключены.

– Возможен алгоритм, который с нуля позволяет компьютеру создавать себе какие-то модели? Грубо говоря, может ли компьютер, если ему задать алфавит, выучить язык? Насколько глубоко это может использоваться? В шахматах, как я понимаю, есть самообучающийся алгоритм AlphaZero, который играет лучше человека, а научился шахматам, играя сам с собой, без вкладывания в него шахматной теории.

– Как человек, который в этой области работает довольно давно, могу сказать, что с одной стороны, в этой области за последние 10–15 лет произошел большой скачок. Сейчас фактически технология, о которой вы говорили, для очень большого количества четко определенных ситуаций, как, например, игра в шахматы, игра в го или другие подобные игры, позволяет машине только на основе знания правил полностью натренировать себя до уровня, который превосходит на данный момент сильнейших игроков среди людей. Но, с другой стороны, конечно, всем этим системам еще очень далеко до решения обобщенных задач в более открытых областях, а не в узкой, четко определенной области. Например, создать систему, которая могла бы самостоятельно вести машину не только на дорогах, на которых она натренирована, где у нее есть определенный опыт в виде данных, но в совершенно произвольной системе. Например, машина, натренированная в Соединенных Штатах, где правостороннее движение, попадает в Великобританию, где левостороннее движение – до таких обобщений еще довольно далеко. Система искусственного интеллекта отлично справляется с конкретными, четко определенными задачами, но преждевременно говорить о том, что она достигла какого-то общего интеллекта.

– Давайте поговорим о другом применении математики в биологии – моделировании эпидемий. Если я правильно понимаю, то начинать надо разговор с того, что такое экспонента – рост функций, которые удваиваются в единицу времени. Это то, с чем человечество сталкивается при возникновении эпидемии.

– На начальных стадиях. Если с эпидемией не бороться вообще, просто позволить ей бесконтрольно распространяться среди населения, то в какой-то момент людей, которые еще не были подвержены этой инфекции, практически не останется, и в этот момент эпидемия должна будет сойти на нет. Поэтому экспоненциальный рост наблюдается только на начальных стадиях эпидемии.

Проблема в моделировании эпидемий на начальных стадиях – трудно предсказать, какие значения параметров разумны

– Как моделируются эпидемии?

– Моделирование – это процесс, который позволяет предсказать, как будет развиваться эпидемия, какие меры могут быть эффективными для попыток ее контролировать. Для этого необходимы, во-первых, данные: развитие прошлых эпидемий, плотность населения, его демографические признаки, как тесно люди контактируют друг с другом – чем плотнее контакты, тем у инфекционного возбудителя больше шансов передаваться от человека к человеку. Клинические характеристики, насколько серьезно заболевание, насколько велика смертность, с какой вероятностью заболевший человек либо восстановится, либо умрет, либо заболевание перейдет в хроническое. Все эти данные используются для калибровки параметров модели. Все это в результате дает нам систему, при анализе которой мы можем примерно (примерно, потому что, конечно, всегда остается неопределенность) оценить, как будет развиваться эпидемия в отсутствие каких-либо вмешательств с нашей стороны и как будет развиваться эпидемия при вмешательстве – допустим, если правительство объявит, что все должны сидеть дома после 8 вечера, или закроются все магазины, то как это отразится на заболеваемости.

– Понятно, что есть огромное количество параметров, но вам нужна какая-то первоначальная формула, которая выдает какой-то результат, потом, если я правильно понимаю процесс, вы берете формулу, подставляете прошлые данные и проверяете, соответствует ли результат реальности, – потом происходит корректировка, вы поправляете формулу. Но мы видели, что предсказания моделей часто неточны. Их все время модифицируют?

– Конечно. Берется набор параметров, модель развивается согласно этим параметрам, потом сравнивается с тем, что мы на самом деле наблюдали. Соответственно, параметры немного изменяются, процесс повторяется, пока мы не подойдем к ситуации, где у нас есть хорошее представление о том, в каком интервале должен варьироваться тот или иной параметр, для того, чтобы модель вела себя примерно в соответствии с действительностью, о которой мы собрали данные. Проблема в моделировании эпидемий на начальных стадиях, особенно если эта эпидемия вызвана новым микроорганизмом, с которым у нас нет большого опыта, как это было с коронавирусом в прошлом году, – в том, что трудно предсказать, какие значения параметров разумны. Изначально недостаточно клинических данных, скажем, для того, чтобы оценить инкубационный период, то есть время между заражением и возникновением первых симптомов. Получается, во всех этих параметрах есть определенная доля неопределенности, поэтому всегда результаты модели даются не одним числом – скажем, в результате эпидемии будет ровно 120 тысяч смертей, – а интервалом, который отражает степень неопределенности, допустим, от 50 до 200 тысяч. Потом на основе дополнительных наблюдений можно вносить дополнительные корректировки, значения параметров становятся более точными, мы сужаем интервал и постепенно приходим к более точным оценкам.

– Это делается на основе теоремы Байеса, грубо говоря, новые данные используются, чтобы оценить правдоподобность модели?

– В принципе, много моделей сейчас именно на таком принципе основываются, то есть они все время пытаются на основе самых последних данных скорректировать первоначальные оценки.

Мы пытались оценить эффективность мер, принимавшихся правительствами

– Насколько я понимаю, существуют разные подходы к моделированию?

– Есть модели, которые основываются большей частью на данных, которые пытаются проследить различные факторы развития эпидемии, но не пытаются в деталях моделировать процесс контакта между людьми, передачи вируса или бактерий, сам процесс распространения. То есть эти модели больше основываются на данных о смертности, о количестве случаев и позволяют заострить внимание на примерах конкретных вмешательств. Есть модели, которые делят население на большое количество групп – скажем, по возрасту, по степени подверженности заболеванию, по географии – и потом рассматривают, как инфекция может передаваться от представителей одной группы к представителям другой. Это так называемые компартментные (отсековые) модели. То есть для каждой группы людей создается свой отсек, эти отсеки друг с другом сообщаются, все это моделируется с помощью, как правило, дифференциальных уравнений. Есть еще модели, которые основываются на индивидуальных характеристиках – это так называемые агентные модели, где существует большое количество независимых агентов, каждый из них представляет одного человека. Это получается некая симуляция реальности. В этих моделях можно еще более детально рассмотреть сам процесс, но в них – из-за того, что процесс не детерминированный, а стохастический, – существует большая неопределенность в результатах, поэтому эти симуляции приходится проводить по много раз, чтобы как-то оценить общую картину. Модели, в разработке которых я принимал участие, принадлежат к первой категории.

– Расскажите о них.

– В исследовании, в котором я лично участвовал, мы пытались оценить эффективность мер, принимавшихся правительствами в различных странах. Во время первой волны все меры были очень эффективны, потому что на тот момент просто не было никаких альтернатив, не было ни вакцин, ни даже достаточной информации о том, как протекает заболевание. Поэтому все изначальные меры были очень эффективными для контроля. Но во время второй волны все эти меры оказались менее эффективными. В частности, это могло быть связано и с тем, что просто изменилось поведение людей, они стали больше избегать контактов, стали более осторожно себя вести. Хотя в это, конечно, очень трудно проверить – это просто одна из гипотез.

– Я слышал подобное мнение, что правительственные меры работают, – ношение масок, разные формы локдауна, – но очень важно, что люди сами начинают себя ограничивать, это своеобразная саморегуляция общества. На основе того, что вы видели, можно об этом говорить?

Возможно, люди просто стали более осторожно себя вести

– Да. Скажем так, те данные, которые мы собрали о первой волне и о второй волне, в принципе сопоставимы с этой гипотезой. Я не могу сказать с уверенностью, что эта гипотеза безусловно верна или безусловно неверна, но данные, в принципе, сопоставимы с этой гипотезой.

– Согласно вашему исследованию, самыми эффективными мерами вмешательства правительств были ограничение численности встреч до 10 человек, закрытие школ, а маски оказались не особо эффективными.

– С масками, на самом деле, ситуация обстоит довольно сложно: правительство могло порекомендовать ношение масок, но население могло не следовать этим рекомендациям. В то же время во многих ситуациях, когда ношение масок не было рекомендовано, люди могли носить их. Недавно вышла статья группы моих коллег, которые попытались более четко сформулировать именно эффект масок. Оказалось, что если провести все необходимые уточнения, то маски довольно эффективны.

– То есть маски – тоже эффект саморегуляции общества: люди пугаются, дистанцируются, носят маски? Как это выглядит в результатах исследования?

– Это выглядит так, что те же меры, которые мы оценивали во время первой волны, во время второй волны в совокупности выглядели немного менее эффективными. Получалось, существует какой-то дополнительный фактор, который нужно ввести для того, чтобы объяснить, откуда берется разница между эффективностью мер во время первой и второй волн. Гипотеза, которая на данный момент не доказана, состояла в том, что, возможно, недостающий фактор – это то, что люди просто стали более осторожно себя вести в целом, именно это позволило базовому показателю репродукции заболевания снизиться.

Мы не в состоянии точно предсказать, какие варианты вируса гриппа будут наиболее опасными

– Насколько сейчас точны модели эпидемии коронавируса?

– Конечно, сейчас мы уже довольно хорошо представляем себе, что такое COVID-19, как развивается эпидемия, какие будут последствия различных мер. Меньше неопределенностей, но все равно не существует совершенных моделей, всегда есть допущения. Например, один из источников неопределенности – существование различных вариантов коронавируса, генетически отличающихся от изначального штамма, и трудно предсказать с абсолютной точностью, как именно будет развиваться эпидемия в присутствии этих вариантов.

– Есть параметр R – количество людей, которых носитель данного варианта вируса может заразить. Это ведь эмпирический параметр, по идее, модель должна сверяться с данными о количестве вновь заболевших и сообщать: в данный момент R равно тому-то?

– На основе течения эпидемии мы можем примерно оценить значение R в разные моменты времени. В нашем исследовании это происходило как ретроспективный анализ, мы анализировали данные того, что уже произошло. Но есть другие модели, которые это делают и в реальном времени. Наша модель задавалась не вопросом о предсказании конкретного значения R, она задавалась именно вопросом об эффективности разных мер в первую и вторую волны эпидемии. Эпидемиологи очень заинтересованы в оценке этого параметра R, как для изначального вируса, так и для новых вариантов. Это вопрос очень важный, сейчас на него пытаются ответить многие люди, занимающиеся этой областью. И это сложный вопрос. Для сравнения – пример гриппа, который возникает каждый зимний сезон. Казалось бы, на основе всех данных, которые у нас есть за последние десятилетия, мы должны бы были в состоянии предсказать, какие именно штаммы гриппа в данный сезон будут максимально распространены. Но, к сожалению, на данный момент этого сделать не удается. Конечно, есть прогресс в этом направлении, но мы по-прежнему не в состоянии точно предсказать, какие именно варианты вируса гриппа будут наиболее опасными в данный сезон.

– А почему, что мешает?

– Думаю, комбинация нескольких факторов. Нет хорошего понимания взаимодействия этих вариантов друг с другом, какие именно эволюционные силы направляют их, что именно приводит к успеху одних и относительному неуспеху других вариантов гриппа. С другой стороны, не так много собрано данных. Чем больше данных будет собрано, тем точнее будут ответы. Может, – так как за время эпидемии ковида огромные научные усилия были направлены на понимание коронавирусов, – в случае с ковидом это будет немножко проще.

Резистентные виды бактерий стали еще более распространены

– Звучит не очень оптимистично, раз даже грипп, который много лет наблюдают, по-прежнему не очень хорошо предсказывают. Но вы сейчас не занимаетесь исследованием эпидемии ковида?

– Я хотел вернуться к основной теме своих научных исследований, к моделированию резистентных бактерий. Частично потому, что уже довольно очевидно, что ввиду успеха вакцинации в разных странах, таких серьезных последствий как в первую и вторую волны вряд ли стоит ожидать. Конечно, нет никаких гарантий, и очень важно, чтобы население максимально получило доступ к вакцинам, – не только в развитых, но и в развивающихся странах, чтобы эпидемия полностью была взята под контроль. Но, как выяснилось, использование во время эпидемии большого количества антибиотиков по всему миру привело к тому, что резистентные виды бактерий стали еще более распространены. Сейчас, на мой взгляд, одна из самых насущных задач на ближайшие 5–10 лет состоит именно в том, как бороться с ними.

Вариант 1 или Вариант 2

Исследование процессов принятия решений о злоупотреблении психоактивными веществами

Дженнифер Т. Аллен

ИНТЕРЕС ДЖОША БЕКМАНА К ФИЛОСОФИИ вел его через смежные области эпистемологии, феноменологии и философии науки, пока он не начал сомневаться, как можно совместить эти идеи с реальными данными. Этот вопрос привел его к получению второй степени бакалавра психологии.

Получив степени магистра и доктора в Университете Южного Иллинойса, Бекманн поступил в Университет Кентукки в 2008 году в качестве аспиранта, работающего в лабораториях Майкла Бардо и Грега Герхардта.В 2014 году он присоединился к кафедре психологии в качестве доцента с акцентом на поведение выбора.

Бекманн и его команда аспирантов концентрируются на процессах принятия решений в моделях злоупотребления психоактивными веществами. «Мы пытаемся понять, почему организм выбирает наркотик, вызывающий злоупотребление, вместо того, чтобы иметь возможность одновременно участвовать в каком-либо другом подкрепляющем поведении, таком как прием пищи», – объяснил Бекманн.

Попытка выяснить, что такое наркотики, вызывающие злоупотребление, и как они конкурируют с другими подкрепляющими средствами, чтобы создать своего рода близорукое поведение, связанное с наркотиками, которое характерно для злоупотребления, – это суть исследования Бекманна.И они смотрят на это на нескольких уровнях.

Внутри лаборатории

Исследование начинается с измерения поведения. В одном сценарии они делают это, спрашивая крысу, хочет ли она принять кокаин или съесть сладкие шарики. Затем они создают разные условия, при которых крыса может двигаться в том или ином направлении. Несмотря на то, что окружающая среда и условия одинаковы, некоторые крысы употребляют кокаин, а некоторые – гранулы.

«Идея состоит в том, чтобы понять нейроповеденческие процессы, которые управляют поведением», – сказал Бекманн.«Мы пытаемся понять, что такого в крысах, которые не пьют кокаин. Какие нейроповеденческие процессы лежат в основе этих решений, связанных с наркотиками? »

Бекманн также проводит аналогичное исследование ожирения, которое усложняет ситуацию. Бекманн объяснил, что ожирение сопровождается значительными изменениями в метаболизме, поэтому трудно отделить метаболический эффект ожирения от связанных с ним усиливающих эффектов. Чтобы решить эту проблему, модели выделяют определенные области вознаграждения в мозгу и спрашивают животное, насколько сильно они хотят стимулировать эту область.«Поступая таким образом, мы пытаемся выяснить, можем ли мы отделить метаболические эффекты, связанные с ожирением, от изменений вознаграждения, связанных с ожирением», – сказал Бекманн.

Еще одно направление лаборатории Бекманна – игровое поведение и то, как стимулы окружающей среды способствуют формированию чувства неоптимального выбора. Для этого крысе дают два варианта: первый дает им пищу 50% времени, а второй – только 12,5% времени. Если сигнализировать прогностическим способом, например, светом или звуком, создается субъективный опыт, создающий 12.На 5% более заметным, и тогда он становится предпочтительным вариантом. «Они выбирают вариант 12,5% с сигналом, хотя они могут получить больше вознаграждения, выбрав вариант 50%», – сказал Бекманн.

Аспиранты были неотъемлемой частью успеха лаборатории. «Без большого количества сотрудников в лаборатории все, что будет сделано, зависит от студентов», – сказал он. «Это идет от разработки и проведения экспериментов до анализа данных и программирования компьютеров. Студенты участвуют практически во всех аспектах исследования.”

Джош Лави, заведующий лабораторией, создает электрод для нейронных записей.

Сет Баттен, аспирант 3-го курса поведенческой нейробиологии и психофармакологии, занимается калибровкой записывающего электрода.

На слайдах корональные срезы мозга крысы.

О чем говорит нам изучение поведения выбора?

«Если вы хотите изучить полезные свойства лекарства, вы изучаете только это лекарство.Если вы хотите изучить положительный эффект от еды, вы изучаете только пищу. Если вы хотите думать о людях с расстройствами, связанными со злоупотреблением психоактивными веществами, у них всегда есть параллельные подкрепления », – сказал Бекманн.

Исследование поведения выбора изучает, что делает человек, когда ему предлагается несколько вариантов выбора. «Если мы знаем, что контролирует поведение, это позволяет нам лучше вмешиваться в терапию», – сказал Бекманн.

Следующие шаги лаборатории Бекманна включают подачу заявки на грант на дальнейшие исследования.В настоящее время Бекманн вместе с коллегами из Департамента поведенческих наук пишет грант, направленный на поиск основных механизмов, которые являются постоянными для разных видов (крыс и людей), чтобы они могли преобразовать то, что они считают эффективным у людей, на крыс для дальнейшего изучения основных нейробиологических процессов. . «Мы надеемся, что это поможет нам углубиться и найти некоторые нейронные цели, которые могут привести к лучшему терапевтическому решению в будущем», – сказал Бекманн.

Финансирование лаборатории

Когда Бекманн поступил в Колледж искусств и наук три года назад, Колледж и факультет психологии предоставили начальные средства, чтобы его лаборатория заработала.Он также смог получить небольшую сумму финансирования из гранта на обучение после докторантуры Национального института здравоохранения (NIH), который перешел в небольшую сумму начального финансирования, когда Бекманн стал преподавателем.

«В наши дни действительно трудно получить грант», – сказал он. «Успешность получения гранта на исследовательский проект (RO1) от NIH действительно низка и, похоже, не растет. Если вы хотите открыть новую лабораторию, это в значительной степени зависит от стартовых средств ».

«Без средств для начала исследований в новой лаборатории мало надежды на получение гранта. «Стартовые фонды позволили нам быстро расшириться и подготовиться к подаче заявки на новые гранты», – сказал Бекманн. «Если бы у нас не было этих денег, мы были бы мертвыми в воде до следующего гранта».

Когда Бекманн думает о будущем, он сосредоточен на одной цели.

«Я надеюсь добраться до места, где мы узнаем, как лучше лечить людей, страдающих от злоупотребления наркотиками», – сказал он.

Лаборатория Джоша Бекманна работает над раскрытием процессов принятия решений, лежащих в основе злоупотребления психоактивными веществами.
На фото слева направо: Аарон Смит, докторант 4-го курса; Сет Баттен, докторант 3-го курса; Джош Лави, менеджер лаборатории; Джонатан Чоу, докторант 4 курса; и Бекманн, профессор кафедры психологии


Для получения дополнительной информации о том, как помочь Великобритании сократить разрыв между лабораторными исследованиями и решениями наиболее насущных проблем со здоровьем наших дней, свяжитесь с Лаурой Саттон по телефону (859) 257-3551 или lsutton @ uky.edu.

Вперед >>

Прикладная и вычислительная математика 4 + 1 вариант

MATH 300

Math Lang Proof & Struct

3

MATH 551

Расширенное исчисление I

3

MATH 562

Математическое моделирование

3

MATH 572 или

MATH 573

Численный анализ

Матричные вычисления

3

MATH 412

Первый курс современной алгебры

3

Заполните вариант алгебры или анализа:

6

Алгебра Опция:

MATH 413

Линейная алгебра

Выберите хотя бы одно из:

MATH 452

Расширенное исчисление II

MATH 492

Введение в топологию

MATH 455

Функция комплексной переменной с приложением

Вариант анализа:

MATH 452 или

MATH 492

Расширенное исчисление

Введение в топологию

Выберите хотя бы одно из:

MATH 331

Обзор геометрии

MATH 395

Элементарная теория чисел

MATH 413

Линейная алгебра

MATH 455

Функция комплексной переменной с приложением

Выполните вариант I, вариант II или вариант III:

18

Вариант I:

Выберите два из:

MATH 504

Динамические системы

MATH 520

Случайные процессы

MATH 525

Математическая статистика

MATH 554

Фурье и граница

MATH 558

Введение в вейвлеты

MATH 523

Линейная алгебра с приложениями

MATH 514

Метод конечных разностей для дифференциальных уравнений

MATH 516

Метод конечных элементов для дифференциальных уравнений

Выберите два 300+ родственников из утвержденного списка студентов бакалавриата

Выберите двух 500+ одноклассников из утвержденного списка выпускников

Вариант II:

Выберите двух 500+ одноклассников из утвержденного списка выпускников

Выберите два курса с номерами MATH 300+

Выберите два курса MATH / STAT 500+, которые соответствуют областям специализации моделирования

Вариант III:

Выберите один из:

MATH 504

Динамические системы

MATH 520

Случайные процессы

MATH 525

Математическая статистика

MATH 554

Фурье и граница

MATH 558

Введение в вейвлеты

MATH 523

Линейная алгебра с приложениями

MATH 514

Метод конечных разностей для дифференциальных уравнений

MATH 516

Метод конечных элементов для дифференциальных уравнений

Выберите одного 500+ одноклассников из утвержденного списка выпускников

Выберите одного 300+ родственников из утвержденного списка студентов бакалавриата

Выберите один курс с номером MATH 300+

Выберите два курса MATH / STAT 500+, которые соответствуют областям специализации моделирования

MATH 4000

Capstone

3

Два MATH / STAT 500+ для выполнения требований специализации моделирования

6

MATH 595 или

MATH 599

Семинар по магистерским проектам

Независимый исследовательский проект

3

Всего кредитных часов

51

Требования к выпускным экзаменам – Комплексная система оценивания штата Массачусетс

И.Требования к выпускному

A. Справочная информация

Закон штата Массачусетс о реформе образования 1993 г., закон штата, G.L. c. 69, § 1D, требует, чтобы все учащиеся, которые стремятся получить аттестат об окончании средней школы, включая учащихся, получивших образование за счет государства в совместных образовательных учреждениях, а также в утвержденных и неутвержденных частных школах специального образования в пределах и за пределами штата, должны соответствовать определению компетентности (CD). стандарт, а также отвечает всем местным требованиям.

B. Требования к определению компетентности

1. Требования к компакт-диску

Студенты должны набрать проходной балл по тестам MCAS по английскому языку (ELA) и математике, а также по одному из тестов по науке и технологиям / инженерии (STE) (биология, химия, вводная физика и технология / инженерия), чтобы соответствовать их Требование CD (исключения из-за пандемии COVID-19 указаны ниже).

В связи с переходом на тесты MCAS следующего поколения, в настоящее время существуют различные требования к компакт-дискам в зависимости от начального выпускного класса студента, как показано в таблице ниже.Требования к классам на 2021–2023 гг. Отражают промежуточный стандарт прохождения по английскому языку и математике, определяющий уровень успеваемости по новым тестам, аналогичный стандарту для унаследованных тестов. Информация о будущих занятиях будет предоставлена ​​позже. Обратите внимание, что некоторые учащиеся классов 2021–2023 гг. Могли иметь баллы на уровне «Не соответствует ожиданиям», но их шкала баллов достаточно высока, чтобы получить компакт-диск по этому предмету. Подробную информацию см. В таблице ниже.

Студенты могут выполнить требования CD через стандартные тесты MCAS или представив портфолио компетенций MCAS.Учащиеся, не сдавшие тесты MCAS в 10 классе, могут пройти повторные тесты в соответствии с этими правилами участия в 11 и 12 классах и выше.

Совет по начальному и среднему образованию проголосовал за принятие временных изменений в требованиях к компакт-дискам из-за воздействия COVID-19. Эти изменения показаны в таблицах ниже.

Требования к компакт-диску по английскому языку и математике
Тема Классы 2021 и 2022 Класс 2023
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 1 Вариант 2
9026 ELA Наберите 472 балла или выше Успешное завершение соответствующего курса средней школы (Подробную информацию о временном изменении требований к компакт-диску см. По приведенным выше ссылкам.) Наберите 472 балла или выше

Набрать от 455 до 471

и

Выполнить требования Плана повышения квалификации (который будет реализован в 2021-22 учебном году)

Математика Наберите 486 или больше баллов Успешное завершение соответствующего курса средней школы (подробности см. По приведенным выше ссылкам.) Наберите 486 или больше баллов

Набрать от 469 до 485

и

Выполнить требования Плана повышения квалификации (который будет реализован в 2021-22 учебном году)

Для справки, в таблице ниже показаны варианты получения компакт-диска по английскому языку и математике для класса 2020 года. (Варианты, доступные для классов 2019 года и ранее, были вариантами 1 или 2.)

Тема Класс 2020
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
ELA Наберите 240 или выше

Набрать от 220 до 238

и

Выполнить требования образовательного плана

Успешное завершение соответствующего курса средней школы (подробности о временном изменении требований к компакт-диску см. В обновлении от 29 апреля 2020 г., приведенном выше).)
Математика Наберите 240 или выше

Набрать от 220 до 238

и

Выполнить требования образовательного плана

Успешное завершение соответствующего курса средней школы (подробности см. В обновлении от 29 апреля 2020 г.)
Требования к компакт-диску
для STE
22 9109
Тема Класс 2020 года Класс 2021–2023 Класс 2024
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 1 Вариант 2
Наберите 220 баллов или выше (для студентов, сдавших тест STE в феврале 2020 года или ранее) Успешное завершение соответствующего курса средней школы (подробности см. В обновлении от 29 апреля 2020 г., приведенном выше.) Наберите 220 баллов или выше (для студентов, сдавших тест STE в феврале 2020 года или ранее) Успешное завершение соответствующего курса средней школы (подробности см. В Обновлении от 26 мая 2020 г., приведенном выше). Наберите 220 или выше

Приложены ответы на часто задаваемые вопросы по модифицированному CD и список принятых курсов , которые соответствуют требованиям модифицированного CD.

2.Планы повышения квалификации (EPP)

EPP должен быть разработан для любого учащегося, который не соответствует или не превышает уровень Proficient (минимальный балл по шкале 240) или эквивалент следующего поколения на тестах 10 класса по ELA и / или математике.

Каждый EPP включает как минимум:

  • обзор сильных и слабых сторон учащегося на основе MCAS и других результатов оценивания, курсовой работы, оценок и отзывов учителя;
  • курсов, которые ученик должен будет пройти и успешно закончить в 11 и 12 классах; и
  • – описание экзаменов, которые школа будет проводить на регулярной основе, чтобы определить, приближается ли учащийся к уровню владения языком.

Программа EPP не требуется для учащихся классов 2020–2022 годов, которые имеют право на получение модифицированного компакт-диска. Он потребуется в 2021–2022 учебном году для последующих занятий.

C. Требования к определению компетентности учащихся в семьях действующей военной службы

С принятием в 2012 г. главы 108 Закона о доступе, средствах к существованию, возможностях и ресурсах для ветеранов, также известном как Закон ДОЛЖНОСТИ, Массачусетс присоединился к Межгосударственному договору о возможностях образования для детей-военнослужащих.В соответствии с Законом VALOR Департамент начального и среднего образования штата Массачусетс стремится содействовать своевременному выпуску старшеклассников в семьях военнослужащих, предоставляя альтернативы, позволяющие этим учащимся получить оценку компетентности в старшей школе (CD ) по английскому языку, искусству, математике, естествознанию и технологиям / инженерии.

Ознакомьтесь с требованиями к компакт-дискам для учащихся активных семей .

Д.Требования к окончанию школы для студентов, получающих услуги специального образования

Массачусетс выдает один обычный диплом средней школы для всех учащихся, финансируемых государством, включая учащихся с индивидуальными образовательными программами (IEP). Согласно законодательству штата, все учащиеся, желающие получить аттестат об окончании средней школы, должны соответствовать стандарту определения компетенций (CD), а также местным требованиям для получения диплома. Закон штата Массачусетс, однако, не требует, чтобы диплом выдавался студенту, получившему CD и выполнившему местные выпускные требования.Скорее, эти два условия являются предпосылками для окончания учебы.

В соответствии с федеральным законом об образовании лиц с ограниченными возможностями (IDEA), даже если учащийся с IEP выполнил требования штата и местные требования для получения диплома, округ не может должным образом окончить его, если округ не предоставил «соответствующее бесплатное государственное образование». (FAPE) этому студенту.

Для получения дополнительной информации о требованиях к выпускным экзаменам для студентов с IEP см. Administrative Advisory SPED 2018-2: Secondary Transition Services and Graduation with a High School Diploma .

Учащиеся с IEP, которые не соответствуют стандарту CD штата, будут иметь право на получение образовательных услуг до тех пор, пока они не выполнят все требования для окончания обучения или не достигнут возраста двадцати двух лет.

E. Апелляция MCAS

В дополнение к стандартным тестам MCAS, повторным тестам и портфелям альтернативных оценочных компетенций учащиеся могут получить определение компетенций (CD) в процессе подачи апелляций MCAS. Совет установил этот процесс в 2002 году для студентов, которые не смогли продемонстрировать требуемый уровень успеваемости на тестах MCAS, чтобы продемонстрировать в ходе своей курсовой работы, что они обладают знаниями и навыками, чтобы соответствовать или превосходить проходной стандарт.Если апелляция удовлетворена, это не отказ от требований CD, а дополнительный способ заработать CD.

Если официальные лица школы и округа считают, что есть убедительные доказательства того, что учащийся продемонстрировал достижение государственных стандартов обучения посредством курсовой работы, суперинтендант может подать апелляцию на успеваемость Уполномоченному от имени учащегося.

Перед рассмотрением апелляции на успеваемость необходимо представить доказательства, подтверждающие, что учащийся соответствует требованиям для подачи апелляции на успеваемость.Комиссар имеет право отказаться от одного или нескольких требований к участию в программе при наличии смягчающих обстоятельств, таких как серьезное заболевание или другие трудности. В этих случаях суперинтендант должен представить письменное обоснование отказа от требований приемлемости.

II. Свидетельство о достижении

Учащиеся, не получившие компакт-дисков по обязательным предметам, могут иметь право на получение Сертификата об образовании, если они выполнили все местные (но не государственные) требования для получения диплома.

Обновленную информацию о требованиях к Сертификату достижений для класса 2021 года см. В Информационном бюллетене Уполномоченного от 20 апреля 2021 г.

III. Стипендии, относящиеся к MCAS

Две стипендии частично зависят от успеваемости учащихся на тестах MCAS по английскому языку, математике, естествознанию и технике / инженерному делу:

IV. Прочие требования и правила средней школы

Закон штата Массачусетс требует изучения американской истории и гражданского права (G.L. c. 71, § 2) и физическое воспитание (G.L. c. 71, § 3).

Программа обучения для старших классов средней школы штата Массачусетс (MassCore) предназначена для того, чтобы помочь выпускникам средних школ поступить в колледж или на рабочее место хорошо подготовленными, а также сократить количество студентов, проходящих коррекционные курсы в колледже. Департамент рекомендует учащимся старших классов пройти программу обучения MassCore, которая представляет собой полный набор курсов и разделов по предметным областям, а также другие возможности обучения, прежде чем окончить среднюю школу.

Программа MassCore включает четыре года обучения английскому языку; четыре года математики; три года лабораторных исследований; трехлетняя история; два года обучения на одном иностранном языке; один год художественной программы; и пять дополнительных «основных» курсов, таких как бизнес-образование, здоровье и / или технологии. MassCore также включает дополнительные возможности обучения, включая классы AP, двойное зачисление, проект для старших классов, онлайн-курсы для получения кредита в старшей школе или колледже, а также обучение на рабочем месте или на рабочем месте.

Последнее обновление: 29 июля 2021 г.

вариантов размещения по математике | Отделение математических наук

Варианты зачисления по математике

Все студенты UNLV должны пройти хотя бы один курс математики, чтобы получить степень и получить диплом. Штат Невада предписывает студентам выполнить это требование в первый учебный год зачисления.Студенты UNLV могут быть приняты на курсы математики со следующими вариантами.

Вариант 1: Оценка ACT / SAT

Поступление на начальный курс. Результаты хороши только в течение двух лет.

Оценка ACT SAT Старый SAT Новый Размещение
<22 <500 <530 Математика 095 Элементарная алгебра
<22 <500 <530 Математика 096 Промежуточная алгебра
22 500 530 Математика 120 Основы математики в колледже
22 500 530 Математика 122 Числовые концепции Elem Teachers
22 500 530 Математика 124 Алгебра колледжа
23 520 550 Математика 126 Precalculus I
25 560 580 Математика 127 Precalculus II
25 560 580 Математика 128 Предвычисление и тригнометрия
24 560 580 Математика 132 Конечная математика
28 630 650 Математика 181 Исчисление I

Вариант 2: Вводный экзамен на факультет математики

Вариант 3: Аттестация по математике ALEKS

Учебный центр математики (MLC) предлагает аттестацию по математике ALEKS.ALEKS берется онлайн, в любое время и в любом месте, где это удобно для учащихся.

Посетите страницу размещения ALEKS для получения дополнительной информации.

Логические и математические утверждения – Рабочие примеры

Рабочие примеры

Математические утверждения

Брилфи математическое утверждение – это предложение, которое либо истинно, либо ложно. Он может содержать слова и символы. Например, «квадратный корень из 4 равен 5» – это математическое утверждение (которое, конечно, неверно).В математике мы используем язык очень точно, и иногда он немного отличается от повседневного использования. Мы начнем с обсуждения некоторых часто возникающих различий.

Часть 1. «Либо / Или» В повседневном языке мы используем фразу «либо А, либо В», чтобы обозначить, что один из двух вариантов верен, но не оба одновременно. Например, когда большинство людей говорят что-то вроде «У вас может быть хот-дог или гамбургер», они обычно не предлагают вам и то, и другое. Использование «или / или» в повседневном английском обычно вызывает разногласия и предназначено для подразумевают, что есть только два варианта: A или B, но не одновременно A и B.(Использование «или» таким образом иногда называют «исключающим или».)

Однако использование «либо А, либо В» в математике допускает вариант, который поддерживают и А, и Б. (Использование «или» таким образом иногда называют «включающим или».)

Например, в математике утверждение «Если $ x $ – действительное число, то либо $ x \ leq 0 $, либо $ x \ geq 0 $» допускает возможность того, что $ x $ удовлетворяет как $ x \ leq 0 $, а также $ x \ geq 0 $ (что верно для действительного числа $ 0 $). Если мы подумаем об этом утверждении, то увидим, что оно истинно, поскольку любое действительное число удовлетворяет хотя бы одному из этих неравенств.Однако, если бы мы взяли обычное использование «или / или», мы бы подумали, что это утверждение неверно, поскольку можно удовлетворить оба неравенства.

Часть 2. «И» В математике использование «и» также заслуживает краткого обсуждения, хотя его использование согласуется с повседневным употреблением. Как и следовало ожидать, фраза «A и B» означает, что должны выполняться как A, так и B. Например, рассмотрим утверждение «Если $ n $ – целое число, которое делится на 4, то $ \ frac {n} {2} $ и $ \ frac {n} {4} $ – целые числа.”Чтобы целое число делилось на 4, должно быть верно, что $ \ frac {n} {2} $ – это целое число , а $ \ frac {n} {4} $ – целое число.

Можно использовать диаграммы Венна, чтобы понять использование «или / или», а также «и», как показано на диаграмме ниже.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp
& nbsp

“либо A, либо B”

“А и Б”

Math | SBE

Учащиеся класса с 2013 по 2018 год (учащиеся, перешедшие в 9-й класс после 1 июля 2012 г. и до 30 июня 2015 г.) должны пройти алгебру II или интегрированную математику III или строгий курс математики на уровне средней школы. который отвечает целям студента в области образования и карьеры, определенным в плане старшей школы и за его пределами, при соблюдении следующих требований:

  • Выберите курс, основанный на программе обучения, ориентированной на карьеру, определенной в их старшей школе и сверх плана.
  • Встретьтесь с представителем старшей школы и их родителем / опекуном (или назначенным лицом, если родитель или опекун недоступен), чтобы обсудить план учащегося в старшей школе и за ее пределами, а также требования для получения зачетных единиц двух- и четырехлетних курсов математики на уровне колледжа.
  • Подпишите форму вместе с представителем средней школы и родителем / опекуном, чтобы подтвердить, что: 1) встреча была проведена, 2) была обсуждена необходимая информация и 3) родитель / опекун (или назначенное лицо, если родитель или опекун недоступен) согласен с тем, что курс больше подходит для образовательных и карьерных целей студента.

Для учащихся класса 2019 года и выше (если округ, где проживает учащийся, не подал заявку на отказ, продлевающий выполнение требований по выпуску с 24 кредитами до двух лет), E2SHB 6552, принятый Законодательным собранием в 2014 году, указывает, что содержание третьего кредита по математике может быть выбрано учащимся на основе интересов учащегося и его старшей школы и помимо плана, с согласия родителя или опекуна учащегося или с согласия школьного консультанта или директора.Правила, принятые SBE, WAC 180-51-068 и WAC 180-51-210, разъясняют, что школа должна отдавать предпочтение указаниям родителей или опекунов, если они предусмотрены, и что просьба о согласии должна подаваться в преобладающем язык родителей или опекуна, насколько это возможно.

Студенты и преподаватели должны знать, что Алгебра II, а также математический математический курс старших классов, являются требованиями академического распределения колледжей (CADR), необходимыми для поступления в государственные учреждения штата Вашингтон с четырехлетним курсом бакалавриата, а также во многие другие учебные заведения. другие колледжи и университеты.

Государственный совет по образованию намеревается, что третий зачет будет представлять собой строгий курс математики на уровне средней школы, который будет служить целям обучения и карьеры учащегося. Курсы, в которых большая часть математики находится на уровне K-8, не имеют права на получение третьего кредита. Примеры традиционной математики могут включать, но не ограничиваются: статистикой, дискретной математикой, линейной алгеброй и математическим моделированием.

% PDF-1.5 % 20 0 объект > эндобдж xref 20 349 0000000016 00000 н. 0000007997 00000 н. 0000008096 00000 н. 0000011960 00000 п. 0000012097 00000 п. 0000012790 00000 п. 0000013212 00000 п. 0000013676 00000 п. 0000014309 00000 п. 0000014712 00000 п. 0000015134 00000 п. 0000015169 00000 п. 0000015213 00000 п. 0000015257 00000 п. 0000015301 00000 п. 0000015345 00000 п. 0000015390 00000 н. 0000015435 00000 п. 0000015480 00000 п. 0000015525 00000 п. 0000015570 00000 п. 0000015615 00000 п. 0000015660 00000 п. 0000015706 00000 п. 0000015752 00000 п. 0000015797 00000 п. 0000015842 00000 п. 0000015887 00000 п. 0000015932 00000 п. 0000015977 00000 п. 0000016022 00000 п. 0000016067 00000 п. 0000016113 00000 п. 0000016159 00000 п. 0000016203 00000 п. 0000016247 00000 п. 0000016291 00000 п. 0000016335 00000 п. 0000016379 00000 п. 0000016423 00000 п. 0000016536 00000 п. 0000016659 00000 п. 0000016770 00000 п. 0000016883 00000 п. 0000016997 00000 н. 0000017022 00000 п. 0000017329 00000 п. 0000017448 00000 п. 0000018008 00000 п. 0000018642 00000 п. 0000019020 00000 н. 0000019458 00000 п. 0000019829 00000 п. 0000020268 00000 н. 0000020626 00000 п. 0000021039 00000 п. 0000021123 00000 п. 0000021476 00000 п. 0000021909 00000 п. 0000053901 00000 п. 0000088972 00000 п. 0000118903 00000 н. 0000148508 00000 н. 0000170835 00000 н. 0000196835 00000 н. 0000229681 00000 п. 0000266879 00000 н. 0000269528 00000 н. 0000272446 00000 н. 0000272515 00000 н. 0000272599 00000 н. 0000274679 00000 н. 0000280051 00000 н. 0000280621 00000 н. 0000280898 00000 н. 0000283587 00000 н. 0000286659 00000 н. 0000286812 00000 н. 0000287199 00000 н. 0000287586 00000 н. 0000287816 00000 н. 0000287959 00000 н. 0000288104 00000 п. 0000288157 00000 н. 0000288210 00000 п. 0000288263 00000 н. 0000288316 00000 н. 0000288601 00000 н. 0000288890 00000 н. 0000289137 00000 н. 0000289245 00000 н. 0000289533 00000 н. 0000289650 00000 н. 0000289743 00000 н. 00002

00000 н. 00002

00000 н. 00002 00000 н. 00002 00000 н. 0000291539 00000 н. 0000291834 00000 н. 0000292193 00000 н. 0000292530 00000 н. 0000292858 00000 н. 0000293654 00000 н. 0000294201 00000 н. 0000294257 00000 н. 0000294310 00000 н. 0000294366 00000 н. 0000294422 00000 н. 0000294475 00000 н. 0000294528 00000 н. 0000294602 00000 н. 0000294677 00000 н. 0000294752 00000 н. 0000294869 00000 н. 0000295018 00000 н. 0000295344 00000 п. 0000295399 00000 н. 0000295515 00000 н. 0000295639 00000 н. 0000297881 00000 н. 0000298241 00000 н. 0000298655 00000 н. 0000334615 00000 н. 0000334654 00000 н. 0000379049 00000 н. 0000379088 00000 н. 0000379454 00000 н. 0000379685 00000 н. 0000379806 00000 н. 0000379959 00000 н. 0000380347 00000 н. 0000380693 00000 н. 0000380814 00000 н. 0000380959 00000 н. 0000381332 00000 н. 0000381679 00000 п. 0000381800 00000 н. 0000381945 00000 н. 0000382176 00000 н. 0000382564 00000 н. 0000382794 00000 н. 0000382940 00000 н. 0000383085 00000 н. 0000383473 00000 н. 0000383861 00000 н. 0000383996 00000 н. 0000384141 00000 п. 0000384529 00000 н. 0000384758 00000 п. 0000384894 00000 н. 0000385039 00000 н. 0000385270 00000 н. 0000385405 00000 н. 0000385550 00000 н. 0000385624 00000 н. 0000414557 00000 н. 0000414631 00000 н. 0000414995 00000 н. 0000415069 00000 н. 0000415182 00000 н. 0000415578 00000 н. 0000415652 00000 н. 0000415778 00000 н. 0000415852 00000 н. 0000416220 00000 н. 0000416294 00000 н. 0000416661 00000 н. 0000416735 00000 н. 0000417107 00000 н. 0000417423 00000 н. 0000419539 00000 п. 0000421655 00000 н. 0000423003 00000 н. 0000429073 00000 н. 0000429295 00000 н. 0000429529 00000 н. 0000429781 00000 н. 0000430006 00000 н. 0000430254 00000 н. 0000430705 00000 н. 0000430930 00000 н. 0000431447 00000 н. 0000431926 00000 н. 0000432159 00000 н. 0000433054 00000 н. 0000433502 00000 н. 0000433740 00000 н. 0000433968 00000 н. 0000434415 00000 н. 0000435296 00000 п. 0000435515 00000 н. 0000436412 00000 н. 0000436606 00000 н. 0000436807 00000 н. 0000437702 00000 п. 0000438586 00000 н. 0000438804 00000 п. 0000439050 00000 н. 0000439946 00000 н. 0000440410 00000 п. 0000440635 00000 п. 0000441127 00000 н. 0000441618 00000 н. 0000441846 00000 н. 0000442731 00000 н. 0000442965 00000 н. 0000443199 00000 н. 0000443437 00000 н. 0000443667 00000 н. 0000443867 00000 н. 0000444085 00000 н. 0000444955 00000 н. 0000445173 00000 п. 0000446043 00000 н. 0000446261 00000 н. 0000446461 00000 н. 0000446679 00000 н. 0000446897 00000 н. 0000447133 00000 н. 0000447333 00000 н. 0000447551 00000 н. 0000447769 00000 н. 0000447987 00000 н. 0000448857 00000 н. 0000449106 00000 н. 0000449324 00000 н. 0000449524 00000 н. 0000449742 00000 н. 0000449972 00000 н. 0000450190 00000 н. 0000450390 00000 н. 0000450608 00000 н. 0000450826 00000 н. 0000450995 00000 н. 0000451180 00000 н. 0000451415 00000 н. 0000452286 00000 н. 0000452506 00000 н. 0000453377 00000 н. 0000453598 00000 н. 0000453820 00000 н. 0000454044 00000 н. 0000454267 00000 н. 0000454495 00000 н. 0000454681 00000 п. 0000454908 00000 н. 0000455094 00000 н. 0000455266 00000 н. 0000455466 00000 н. 0000455690 00000 н. 0000455919 00000 н. 0000456143 00000 н. 0000456372 00000 п. 0000456597 00000 н. 0000456830 00000 н. 0000457077 00000 н. 0000457256 00000 н. 0000457444 00000 н. 0000457638 00000 н. 0000457838 00000 п. 0000458056 00000 н. 0000458259 00000 н. 0000458428 00000 н. 0000458653 00000 н. 0000458894 00000 н. 0000459079 00000 п. 0000459297 00000 н. 0000459476 00000 н. 0000459664 00000 н. 0000459864 00000 н. 0000460065 00000 н. 0000460308 00000 п. 0000460535 00000 п. 0000460783 00000 н. 0000461025 00000 н. 0000461252 00000 н. 0000462123 00000 п. 0000462344 00000 п. 0000462569 00000 н. 0000463441 00000 н. 0000463729 00000 н. 0000463931 00000 н. 0000464807 00000 н. 0000465026 00000 н. 0000465211 00000 н. 0000465431 00000 н. 0000465654 00000 н. 0000465877 00000 н. 0000466100 00000 н. 0000466328 00000 н. 0000467200 00000 н. 0000467388 00000 п. 0000468268 00000 н. 0000468491 00000 п. 0000468718 00000 н. 0000469589 00000 н. 0000469809 00000 п. 0000470030 00000 н. 0000470901 00000 п. 0000471121 00000 н. 0000471391 00000 н. 0000471570 00000 н. 0000471763 00000 н. 0000471965 00000 н. 0000472836 00000 н. 0000473061 00000 н. 0000473291 00000 н. 0000474162 00000 н. 0000474365 00000 н. 0000474587 00000 н. 0000474811 00000 н. 0000475036 00000 н. 0000475906 00000 н. 0000476128 00000 н. 0000476353 00000 н. 0000476576 00000 н. 0000476799 00000 н. 0000477026 00000 н. 0000477906 00000 н. 0000478094 00000 н. 0000478316 00000 н. 0000478539 00000 н. 0000478766 00000 н. 0000479636 00000 н. 0000479854 00000 н. 0000480725 00000 н. 0000480947 00000 н. 0000481172 00000 н. 0000482043 00000 н. 0000482264 00000 н. 0000483134 00000 н. 0000483352 00000 н. 0000483574 00000 н. 0000483776 00000 н. 0000483945 00000 н. 0000484145 00000 н. 0000484346 00000 н. 0000484548 00000 н. 0000484997 00000 н. 0000485229 00000 н. 0000485716 00000 н. 0000486624 00000 н. 0000486847 00000 н. 0000487216 00000 н. 0000487466 00000 н. 0000487690 00000 н. 0000488070 00000 н. 0000007276 00000 н. трейлер ] / Назад 534428 >> startxref 0 %% EOF 368 0 объект > поток h ެ SKHQ59) դ YQEh n) uQD, \ H ڈ di> (ci | “TPBm ܶ E9? ʼnXAc`k ~ O7bGѳdf | 6l ܴ KzG_ (p: xT ~ wZAd’̤

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *