Геометрия 9 класс для чайников – Геометрия с нуля

Геометрия с нуля

В 21 веке, несмотря на активное развитие науки, у
многих школьников Российской Федерации такая
наука, как геометрия вызывает все больше
затруднений, а какая-то часть детей и вовсе не
может решать простейшие геометрические задачи.
Поэтому необходимо признать тот факт, что
восприятие у нового поколения совершенно иное, и
дело тут вовсе не в их деградации. Дети все также
хотят развиваться: читают книги, смотрят научные
фильмы и проводят эксперименты. Но самое главное,
чего они не хотят, так это заучивать то, чего не
понимают. На основе этого утверждения как раз и
будет построена моя программа.

Представим, что перед нами сидит человек,
который вообще не представляет, что такое
геометрия. А именно так и выглядит бОльшая часть
детей приходящих в 7 класс. Этот человек не в
состоянии накладывать треугольники друг на
друга и тем более не может делать из этого
какие-то выводы. Поэтому сначала его нужно долго
и упорно знакомить его с геометрией, чтобы в
итоге он понял, насколько она проста и полюбил ее.

Разделение на уровни

Прежде всего, необходимо понять, что должен
знать ребенок на определенном этапе. Для этого
нужно разделить геометрию (планиметрию 7-9 класса)
на 3 уровня:

• Базовый уровень: школьник знает(не обязательно
  наизусть) и понимает простейшие теоремы, а также
  решает незамысловатые задачи;
• Средний уровень: школьник умеет доказывать
  теоремы и решать задачи, используя
  доказательства;
• Высокий уровень: школьник знает сложные теоремы
  и умеет решать сложные задачи.

Именно эти три пункта будут подробно описаны в
статье.

Базовый уровень (простейшая теория и задачи)

— понятие точки, прямой, луча, отрезка, угла,
фигуры и т.д.

Прежде всего, школьник должен понять, с чем он
будет иметь дело на протяжении ближайших трех
лет, поэтому начинать необходимо с вводного
курса. Не надо давать детям сложные задачи, а их
надо просто познакомить с геометрией.

— углы (по градусам)

Углам нужно уделить особое внимание, потому что
далеко не все дети могут в пространстве могут
отличить тупой угол от прямого. Кроме того,
максимум внимания нужно уделить развернутому
углу, потому что на нем будет основан следующий
пункт.

— смежные углы

Многим детям тяжело запомнить существующее
определение смежных углов, и именно в
большинстве случаев начинаются первые проблемы
с геометрией. Поэтому мною будет предложено
новое определение смежных углов: “Смежные углы
– это углы, полученные в результате деления
развернутого угла на две части.” Если уделить
должное время развернутому углу, то получится
сэкономить время на объяснении свойства смежных
углов, т.к. оно итак будет понятно.

— вертикальные углы

Вертикальные углы, также как и смежные, имеют
весьма непростое определение, которое можно
заменить ан более просто. Достаточно
ограничиться следующим: “Вертикальные
углы-это углы между пересекающимися прямыми.”, а
далее просто постараться разобрать как можно
больше примеров, связанных с вертикальными и
смежными углами.

— перпендикулярные прямые

Этой теме я не стану уделять много внимания, т.к.
он итак понятен большинству школьников.

— параллельные прямые

Вместо равенства треугольников гораздо лучше
рассматривать параллельные прямые, т.к., помимо
получения новой информации, дети закрепляют
старую, используя вертикальные и смежные углы
при решении задач на параллельные прямые.
Объяснять данную тему проще с признака,
основанного на внутренних односторонних углах,
т.к. единственное, что запоминают дети после
шестого класса, это что сумма углов треугольника
равна 180 градусам. Опираясь на это можно
представить, что прямые пересекутся и образуют с
секущей треугольник, сумма углов которого равна
180 градусам. А после этого показать детям вариант,
при котором треугольника не будет, т.е. когда
внутренние односторонние углы заберут градусную
меру третьего угла треугольника. После этого
остальные признаки доказать уже будет не так и
сложно. Самое главное, не надо заставлять детей
учить первые доказательства, т.к. они должны их
понять.

— биссектриса, высота и медиана

После всех предыдущих тем, ребенок будет
понимать, что такое углы и уметь с ними работать,
а также будет знаком с прямыми, отрезками,
фигурами и прочим. В этот момент ему уже можно
давать более-менее сложные темы, которые ему в
дальнейшем будут постоянно пригождаться. В
определениях ничего менять не стоит, т.к. они итак
максимально доступны. Единственное, что нужно
обязательно сделать, так это убедиться в том, что
ребенок может провести биссектрисы, медианы и
высоты в любой фигуре и из любой вершины!

— треугольники *(при объяснении свойств
треугольников можно и нужно опираться на
признаки равенства)

Теперь, когда школьник со знаком с основами,
можно приступать к рассмотрению фигур. Начать
лучше всего с треугольников, т.к. именно они
используются в большинстве задач. Здесь
необходимо рассмотреть все виды треугольников с
их свойствами. Объяснить ребенку откуда что
берется, опять же не заставляя это заучивать. Но
определения и свойства школьник должен знать,
т.к. именно на этапе прохождения свойств фигур, мы
можем начинать спрашивать с ребенка теорию.
Теперь он уже полноценно вовлечен в процесс.

— четырехугольники *(при объяснении свойств
четырехугольников можно и нужно опираться на
признаки равенства)

Здесь я бы хотела представить Вашему вниманию
увлекательный процесс эволюции параллелограмма,
который детям запомнить гораздо проще, чем
определения из учебника:

Здесь рассмотрены только те свойства, которые
способен легко усвоить школьник на базовом
уровне.

Кроме того, сюда же необходимо включить и
трапецию со всеми ее свойствами и
разновидностями.

Таким образом, мы сможем закрепить
параллельные прямые и понять, откуда что берется
в четырехугольниках.

— многоугольники

В этой теме необходимо рассмотреть разные виды
многоугольников и сумму углов n-угольника.

— теорема Пифагора

Тема, которую итак все прекрасно понимают,
поэтому ничего усложнять не надо.

— площади

Здесь я опять же хочу предложить удобную схему, которую необходимо объяснять с
помощью бумажных фигурок.

Трапеция опять же рассматривается отдельно.

— подобие и первый признак подобия

Рассматривается исключительно в
ознакомительных целях, чтобы детям легче было
понимать начала тригонометрии.

— средние линии треугольника и трапеции

Средние линии лучше рассматривать вместе,
потому что так они лучше усваиваются.

— тригонометрия

В самом начала тригонометрии, школьникам стоит
напомнить о том, что такое соотношения, а после
очень много времени посвятить самим
определениям синуса, косинуса, тангенса и
котангенса, чтобы школьники понимали, откуда
взялись эти странные английские буквы. Затем
необходимо рассмотреть множество задач, в
которых они будут использоваться. Удобнее всего
давать задачи на теорему Пифагора и площади.
Желательно уже на базовом уровне ознакомить
детей с таблицей, т.к. сейчас они уже максимально
близки к среднему и уровню и способны усваивать
информацию средней сложности.

— окружность и круг

И, наконец, последняя тема на базовом уровне.
Здесь необходимо напоминать детям обо всем, что
связано с окружностью и кругом, начиная с
определений, т.к. никто уже ничего не помнит из
курса 6 класса. А также стоит рассмотреть
свойство касательной, вписанный и центральный
углы, и свойство гипотенузы прямоугольного
треугольника.

На этом базовый курс окончен. У рядового
школьника достаточно базовых знаний, на которые
он мог бы опираться при решении задач, с
использованием доказательств. Пришла пора
поближе с ними познакомиться.

Средний уровень (доказательства)

Расписывать программу для среднего уровня
смысла нет, т.к. на этом этапе ребенок готов
усваивать практически любую информацию и
способен аргументированно решать задачи на
доказательства. Единственное, что стоит сделать,
так это перечислить темы среднего уровня:

— соотношения между сторонами и углами;

— неравенство треугольника;

— признаки равенства треугольников;

— признаки подобия треугольников;

— четыре замечательные точки;

— вписанная и описанная окружности.

Этого вполне достаточно для доказательств
средней степени сложности.

Высокий уровень (сложные доказательства и
решение сложных задач)

К сожалению, немногие могут достичь высокого
уровня, но каждый должен хотя бы попытаться.
Опять же, нет смысла все подробно расписывать,
поэтому будут перечислены лишь темы:

— теорема Фалеса;

— теорема Герона;

— теорема синусов;

— теорема косинусов;

— углы при окружности;

— хорды окружности;

— и т.д.

Заключение

Из всего вышесказанного можно сделать
следующий вывод: прогресс любого школьника
основан на его базовых знаниях. Если они есть, то
их необходимо лишь грамотно развивать. Поэтому,
прежде всего, необходимо упростить получение
базовых знаний и сделать их максимально
доступными для всех школьников без исключения.

Примечание: векторы в статье не учтены, т.к.
являются дополнением ко всему вышесказанному.

urok.1sept.ru

Правильный многоугольник. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Тема: Длина окружности и площадь круга

Урок: Правильный многоугольник

Правильный многоугольник является частным случаем произвольного многоугольника, поэтому мы вспомним определение произвольного многоугольника, его свойства, а затем перейдем к обсуждению правильных многоугольников.

Рис. 1.

На Рис. 1 представлены примеры произвольных многоугольников.

Определение. Многоугольник – это замкнутая ломаная без самопересечений. Или в более полной формулировке: многоугольник – это фигура, составленная из отрезков, так что:

1. смежные отрезки не лежат на одной прямой;

2. несмежные отрезки не имеют общих точек.

Далее вспомним определения выпуклого и невыпуклого многоугольников (Рис. 1).

Рис. 2.

Отрезки называются сторонами многоугольника, концы этих отрезков – вершинами многоугольника.

Если провести прямую (Рис. 1, слева)  А₁А₆, то весь многоугольник лежит по одну сторону от этой прямой. Если же провести другую прямую А₄А₅, то она разделит многоугольник на две части, лежащие по разные стороны от этой прямой. Такой многоугольник – невыпуклый.

Теперь рассмотрим многоугольник на Рис.1, справа. Какую бы прямую, содержащую одну из его сторон, мы не построили (например, А₁А₂, А₄А₅), многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой подобной прямой. Данный многоугольник – выпуклый.

Сформулируем определение: выпуклым называется многоугольник, целиком лежащий по одну сторону от прямой, проведенной через любые две соседние вершины многоугольника.

Дадим другое определение выпуклого многоугольника.

Любой многоугольник делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Выпуклым будем называть такой многоугольник, у которого отрезок, соединяющий две произвольные точки внутренней области, сам целиком принадлежит внутренней области. На Рис. 2б показан пример такого отрезка и, соответственно, выпуклого многоугольника. На Рис. 2а, в свою очередь, показан невыпуклый многоугольник и пример отрезка М₁М₂, который не принадлежит целиком внутренней области многоугольника, хотя его концы принадлежат ей.

Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. На Рис. 3 приведены два примера правильных многоугольников.

Рис. 3 а: n = 3. Это уже хорошо знакомый нам правильный треугольник. У него все стороны равны (АВ = ВС = АС) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = 60°), сумма углов равна 180°.

n=4. Это не менее хорошо знакомый нам квадрат (правильный четырехугольник). Все стороны равны (АВ = ВС = CD = AD) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = ÐD = 90°), сумма внутренних углов равна 360°.

Рис. 3.

Далее попробуем ответить на вопрос: а какова сумма градусных мер всех внутренних углов многоугольника при произвольном n?

Ответ дает следующая теорема:

Сумма углов выпуклого многоугольника равна , где n – число сторон многоугольника.

Рис. 4.

Доказательство. Рассмотрим произвольный выпуклый многоугольник А₁ … А_n (Рис. 4).

Построим диагонали многоугольника (см. Рис. 4), исходящие из одной вершины, например, А₁. Получаем серию треугольников, обозначенных на рисунке ∆₁, ∆₂, … ∆_n-2. Сумма углов каждого из этих треугольников нам известна, она равна 180°. Число треугольников, на которые можно разбить многоугольник указанным способом,  равно (n – 2).  Тогда искомая сумма углов есть сумма углов всех треугольников, на которые разбит многоугольник, то есть . Теорема доказана.

Для произвольного выпуклого многоугольника важную роль играет теорема о сумме внешних углов: 

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Рис. 5.

Доказательство. Рассмотрим внешние углы β₁, β₂, … β_n выпуклого многоугольника (Рис. 5).

Для этих углов справедливы следующие соотношения:

,

где α₁, α₂ , … α_n – внутренние углы многоугольника. Справедливость приведенных соотношений вытекает из свойств смежных углов. Сложим приведенные равенства:

. Используя предыдущую теорему, получим , а раскрыв скобки, получим в правой части 360°, то есть придем к выражению, приведенному в формулировке теоремы.

Рис. 6.

Имея на вооружении сформулированные свойства правильных многоугольников и доказанные теоремы, приступим к решению задач.

Дано число сторон правильного многоугольника n. Найти угол α_n.

Решение.

Согласно теореме, сумма углов многоугольника равна 180° · (n – 2). С другой стороны, поскольку многоугольник правильный, все его углы равны, а следовательно, сумма этих углов равна , где α_n – искомый угол. Приравнивая эти два выражения, получим, что внутренний угол правильного многоугольника равен: .

Рис. 7.

Решим задачу на нахождение числа сторон правильного многоугольника.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если:

а. каждый его угол α_n равен 150°?

б. каждый его внешний угол β_n равен 120°?

Решение.

а. Используем формулу для угла правильного многоугольника, полученную при решении предыдущей задачи. Отсюда выразим число сторон многоугольника ; подставив в это выражение значение угла, данное в условии задачи, получим n = 12.

б. Очевидно, что у правильного многоугольника все внешние углы равны между собой, следовательно, сумма внешних углов правильного многоугольника равна . С другой стороны, теорема о сумме внешних углов многоугольника дает нам численное значение этой суммы, т. е. 360°. Приравнивая этому значению выражения для суммы углов и учитывая заданное в условии значение внешнего угла, получим: , откуда       n = 3 (равносторонний треугольник).

Итак, мы познакомились с правильным многоугольником. На следующем уроке мы познакомимся с окружностью, описанной около правильного многоугольника.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru (Источник).

2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольные вопросы № 5–7. Задачи (стр. 212) № 9, 10. 

interneturok.ru

Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания

www.yaklass.ru