9 класс

Геометрия 9 класс для чайников – Геометрия с нуля

Геометрия с нуля

В 21 веке, несмотря на активное развитие науки, у многих школьников Российской Федерации такая наука, как геометрия вызывает все больше затруднений, а какая-то часть детей и вовсе не может решать простейшие геометрические задачи. Поэтому необходимо признать тот факт, что восприятие у нового поколения совершенно иное, и дело тут вовсе не в их деградации. Дети все также хотят развиваться: читают книги, смотрят научные фильмы и проводят эксперименты. Но самое главное, чего они не хотят, так это заучивать то, чего не понимают. На основе этого утверждения как раз и будет построена моя программа.

Представим, что перед нами сидит человек, который вообще не представляет, что такое геометрия. А именно так и выглядит бОльшая часть детей приходящих в 7 класс. Этот человек не в состоянии накладывать треугольники друг на друга и тем более не может делать из этого какие-то выводы. Поэтому сначала его нужно долго и упорно знакомить его с геометрией, чтобы в итоге он понял, насколько она проста и полюбил ее.

Разделение на уровни

Прежде всего, необходимо понять, что должен знать ребенок на определенном этапе. Для этого нужно разделить геометрию (планиметрию 7-9 класса) на 3 уровня:

  • Базовый уровень: школьник знает(не обязательно наизусть) и понимает простейшие теоремы, а также решает незамысловатые задачи;
  • Средний уровень: школьник умеет доказывать теоремы и решать задачи, используя доказательства;
  • Высокий уровень: школьник знает сложные теоремы и умеет решать сложные задачи.

Именно эти три пункта будут подробно описаны в статье.

Базовый уровень (простейшая теория и задачи)

– понятие точки, прямой, луча, отрезка, угла, фигуры и т.д.

Прежде всего, школьник должен понять, с чем он будет иметь дело на протяжении ближайших трех лет, поэтому начинать необходимо с вводного курса. Не надо давать детям сложные задачи, а их надо просто познакомить с геометрией.

– углы (по градусам)

Углам нужно уделить особое внимание, потому что далеко не все дети могут в пространстве могут отличить тупой угол от прямого. Кроме того, максимум внимания нужно уделить развернутому углу, потому что на нем будет основан следующий пункт.

– смежные углы

Многим детям тяжело запомнить существующее определение смежных углов, и именно в большинстве случаев начинаются первые проблемы с геометрией. Поэтому мною будет предложено новое определение смежных углов: “Смежные углы – это углы, полученные в результате деления развернутого угла на две части.” Если уделить должное время развернутому углу, то получится сэкономить время на объяснении свойства смежных углов, т.к. оно итак будет понятно.

– вертикальные углы

Вертикальные углы, также как и смежные, имеют весьма непростое определение, которое можно заменить ан более просто. Достаточно ограничиться следующим: “Вертикальные углы-это углы между пересекающимися прямыми.”, а далее просто постараться разобрать как можно больше примеров, связанных с вертикальными и смежными углами.

– перпендикулярные прямые

Этой теме я не стану уделять много внимания, т.к. он итак понятен большинству школьников.

– параллельные прямые

Вместо равенства треугольников гораздо лучше рассматривать параллельные прямые, т.к., помимо получения новой информации, дети закрепляют старую, используя вертикальные и смежные углы при решении задач на параллельные прямые. Объяснять данную тему проще с признака, основанного на внутренних односторонних углах, т.к. единственное, что запоминают дети после шестого класса, это что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Опираясь на это можно представить, что прямые пересекутся и образуют с секущей треугольник, сумма углов которого равна 180 градусам. А после этого показать детям вариант, при котором треугольника не будет, т.е. когда внутренние односторонние углы заберут градусную меру третьего угла треугольника. После этого остальные признаки доказать уже будет не так и сложно. Самое главное, не надо заставлять детей учить первые доказательства, т.к. они должны их понять.

– биссектриса, высота и медиана

После всех предыдущих тем, ребенок будет понимать, что такое углы и уметь с ними работать, а также будет знаком с прямыми, отрезками, фигурами и прочим. В этот момент ему уже можно давать более-менее сложные темы, которые ему в дальнейшем будут постоянно пригождаться. В определениях ничего менять не стоит, т.к. они итак максимально доступны. Единственное, что нужно обязательно сделать, так это убедиться в том, что ребенок может провести биссектрисы, медианы и высоты в любой фигуре и из любой вершины!

– треугольники *(при объяснении свойств треугольников можно и нужно опираться на признаки равенства)

Теперь, когда школьник со знаком с основами, можно приступать к рассмотрению фигур. Начать лучше всего с треугольников, т.к. именно они используются в большинстве задач. Здесь необходимо рассмотреть все виды треугольников с их свойствами. Объяснить ребенку откуда что берется, опять же не заставляя это заучивать. Но определения и свойства школьник должен знать, т.к. именно на этапе прохождения свойств фигур, мы можем начинать спрашивать с ребенка теорию. Теперь он уже полноценно вовлечен в процесс.

четырехугольники *(при объяснении свойств четырехугольников можно и нужно опираться на признаки равенства)

Здесь я бы хотела представить Вашему вниманию увлекательный процесс эволюции параллелограмма, который детям запомнить гораздо проще, чем определения из учебника:

Здесь рассмотрены только те свойства, которые способен легко усвоить школьник на базовом уровне.

Кроме того, сюда же необходимо включить и трапецию со всеми ее свойствами и разновидностями.

Таким образом, мы сможем закрепить параллельные прямые и понять, откуда что берется в четырехугольниках.

– многоугольники

В этой теме необходимо рассмотреть разные виды многоугольников и сумму углов n-угольника.

– теорема Пифагора

Тема, которую итак все прекрасно понимают, поэтому ничего усложнять не надо.

– площади

Здесь я опять же хочу предложить удобную схему, которую необходимо объяснять с помощью бумажных фигурок.

Трапеция опять же рассматривается отдельно.

– подобие и первый признак подобия

Рассматривается исключительно в ознакомительных целях, чтобы детям легче было понимать начала тригонометрии.

– средние линии треугольника и трапеции

Средние линии лучше рассматривать вместе, потому что так они лучше усваиваются.

– тригонометрия

В самом начала тригонометрии, школьникам стоит напомнить о том, что такое соотношения, а после очень много времени посвятить самим определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса, чтобы школьники понимали, откуда взялись эти странные английские буквы. Затем необходимо рассмотреть множество задач, в которых они будут использоваться. Удобнее всего давать задачи на теорему Пифагора и площади. Желательно уже на базовом уровне ознакомить детей с таблицей, т.к. сейчас они уже максимально близки к среднему и уровню и способны усваивать информацию средней сложности.

– окружность и круг

И, наконец, последняя тема на базовом уровне. Здесь необходимо напоминать детям обо всем, что связано с окружностью и кругом, начиная с определений, т.к. никто уже ничего не помнит из курса 6 класса. А также стоит рассмотреть свойство касательной, вписанный и центральный углы, и свойство гипотенузы прямоугольного треугольника.

На этом базовый курс окончен. У рядового школьника достаточно базовых знаний, на которые он мог бы опираться при решении задач, с использованием доказательств. Пришла пора поближе с ними познакомиться.

Средний уровень (доказательства)

Расписывать программу для среднего уровня смысла нет, т.к. на этом этапе ребенок готов усваивать практически любую информацию и способен аргументированно решать задачи на доказательства. Единственное, что стоит сделать, так это перечислить темы среднего уровня:

– соотношения между сторонами и углами;

– неравенство треугольника;

– признаки равенства треугольников;

– признаки подобия треугольников;

– четыре замечательные точки;

– вписанная и описанная окружности.

Этого вполне достаточно для доказательств средней степени сложности.

Высокий уровень (сложные доказательства и решение сложных задач)

К сожалению, немногие могут достичь высокого уровня, но каждый должен хотя бы попытаться. Опять же, нет смысла все подробно расписывать, поэтому будут перечислены лишь темы:

– теорема Фалеса;

– теорема Герона;

– теорема синусов;

– теорема косинусов;

– углы при окружности;

– хорды окружности;

– и т.д.

Заключение

Из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод: прогресс любого школьника основан на его базовых знаниях. Если они есть, то их необходимо лишь грамотно развивать. Поэтому, прежде всего, необходимо упростить получение базовых знаний и сделать их максимально доступными для всех школьников без исключения.

Примечание: векторы в статье не учтены, т.к. являются дополнением ко всему вышесказанному.

urok.1sept.ru

Правильный многоугольник. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Тема: Длина окружности и площадь круга

Урок: Правильный многоугольник

Правильный многоугольник является частным случаем произвольного многоугольника, поэтому мы вспомним определение произвольного многоугольника, его свойства, а затем перейдем к обсуждению правильных многоугольников.

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

На Рис. 1 представлены примеры произвольных многоугольников.

Определение. Многоугольник – это замкнутая ломаная без самопересечений. Или в более полной формулировке: многоугольник – это фигура, составленная из отрезков, так что:

1. смежные отрезки не лежат на одной прямой;

2. несмежные отрезки не имеют общих точек.

Далее вспомним определения выпуклого и невыпуклого многоугольников (Рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

Отрезки называются сторонами многоугольника, концы этих отрезков – вершинами многоугольника.

Если провести прямую (Рис. 1, слева)  А1А6, то весь многоугольник лежит по одну сторону от этой прямой. Если же провести другую прямую А4А5, то она разделит многоугольник на две части, лежащие по разные стороны от этой прямой. Такой многоугольник – невыпуклый.

Теперь рассмотрим многоугольник на Рис.1, справа. Какую бы прямую, содержащую одну из его сторон, мы не построили (например, А1А2, А

5), многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой подобной прямой. Данный многоугольник – выпуклый.

Сформулируем определение: выпуклым называется многоугольник, целиком лежащий по одну сторону от прямой, проведенной через любые две соседние вершины многоугольника.

Дадим другое определение выпуклого многоугольника.

Любой многоугольник делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Выпуклым будем называть такой многоугольник, у которого отрезок, соединяющий две произвольные точки внутренней области, сам целиком принадлежит внутренней области. На Рис. 2б показан пример такого отрезка и, соответственно, выпуклого многоугольника. На Рис. 2а, в свою очередь, показан невыпуклый многоугольник и пример отрезка М1М2, который не принадлежит целиком внутренней области многоугольника, хотя его концы принадлежат ей.

Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. На Рис. 3 приведены два примера правильных многоугольников.

Рис. 3 а: n = 3. Это уже хорошо знакомый нам правильный треугольник. У него все стороны равны (АВ = ВС = АС) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = 60°), сумма углов равна 180°.

n=4. Это не менее хорошо знакомый нам квадрат (правильный четырехугольник). Все стороны равны (АВ = ВС = CD = AD) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = ÐD = 90°), сумма внутренних углов равна 360°.

 

Рис. 3.

Далее попробуем ответить на вопрос: а какова сумма градусных мер всех внутренних углов многоугольника при произвольном n?

Ответ дает следующая теорема:

Сумма углов выпуклого многоугольника равна , где n – число сторон многоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

Доказательство. Рассмотрим произвольный выпуклый многоугольник А1 … Аn (Рис. 4).

Построим диагонали многоугольника (см. Рис. 4), исходящие из одной вершины, например, А1. Получаем серию треугольников, обозначенных на рисунке ∆1, ∆2, … ∆n-2. Сумма углов каждого из этих треугольников нам известна, она равна 180°. Число треугольников, на которые можно разбить многоугольник указанным способом,  равно (n – 2).  Тогда искомая сумма углов есть сумма углов всех треугольников, на которые разбит многоугольник, то есть . Теорема доказана.

Для произвольного выпуклого многоугольника важную роль играет теорема о сумме внешних углов: 

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.


 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

Доказательство. Рассмотрим внешние углы β1, β2, … βn выпуклого многоугольника (Рис. 5).

Для этих углов справедливы следующие соотношения:

,

где α1, α2 , … αn – внутренние углы многоугольника. Справедливость приведенных соотношений вытекает из свойств смежных углов. Сложим приведенные равенства:

. Используя предыдущую теорему, получим , а раскрыв скобки, получим в правой части 360°, то есть придем к выражению, приведенному в формулировке теоремы.

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.

Имея на вооружении сформулированные свойства правильных многоугольников и доказанные теоремы, приступим к решению задач.

Дано число сторон правильного многоугольника n. Найти угол αn.

Решение.

Согласно теореме, сумма углов многоугольника равна 180° · (n – 2). С другой стороны, поскольку многоугольник правильный, все его углы равны, а следовательно, сумма этих углов равна , где αn – искомый угол. Приравнивая эти два выражения, получим, что внутренний угол правильного многоугольника равен: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.

Решим задачу на нахождение числа сторон правильного многоугольника.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если:

а. каждый его угол αn равен 150°?

б. каждый его внешний угол βn равен 120°?

Решение.

а. Используем формулу для угла правильного многоугольника, полученную при решении предыдущей задачи. Отсюда выразим число сторон многоугольника ; подставив в это выражение значение угла, данное в условии задачи, получим n = 12.

б. Очевидно, что у правильного многоугольника все внешние углы равны между собой, следовательно, сумма внешних углов правильного многоугольника равна . С другой стороны, теорема о сумме внешних углов многоугольника дает нам численное значение этой суммы, т. е. 360°. Приравнивая этому значению выражения для суммы углов и учитывая заданное в условии значение внешнего угла, получим: , откуда       n = 3 (равносторонний треугольник).

Итак, мы познакомились с правильным многоугольником. На следующем уроке мы познакомимся с окружностью, описанной около правильного многоугольника.

 

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru (Источник).

2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольные вопросы № 5–7. Задачи (стр. 212) № 9, 10. 

interneturok.ru

Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания

  • Векторы

    1. Понятие вектора
    2. Сложение и вычитание векторов
    3. Умножение векторов на число
    4. Применение векторов к решению задач
  • Метод координат

    1. Координаты вектора
    2. Простейшие задачи в координатах
    3. Уравнение окружности. Уравнение прямой
  • Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

    1. Синус, косинус, тангенс угла
    2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
    3. Скалярное произведение векторов
  • Длина окружности и площадь круга

    1. Правильные многоугольники
    2. Длина окружности и площадь круга
  • Движение

    1. Понятие движения. Симметрия
    2. Параллельный перенос и поворот
  • Начальные сведения о стереометрии

    1. Многогранники
    2. Тела и поверхности вращения
  • www.yaklass.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *