Решебник и ГДЗ по геометрии 7
Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдин.
В 7, 8, 9 классах обычных общеобразовательных школ, профильных лицеев, гимназий с углубленным изучением отдельных предметов школьники не всегда могут самостоятельно справиться с задачами по геометрии (рабочая программа: Л.С. Атанасян). Именно поэтому многие пользуются решебником с верными ответами, который размещен в интернете. Они находят в ГДЗ по геометрии (авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдин) подробное решение заданий по номерам упражнений, а дальше действуют разными способами (в зависимости от успеваемости и уровня сложности):
- переписывают в тетрадь;
- разбирают материал на приведенных примерах;
- пытаются воспроизвести по памяти или решить по аналогии;
- изучают возможные варианты построения дополнительных чертежей;
- готовятся к контрольным работам, экзаменам, олимпиадам, геометрическим тестам.
Правильные ответы помогут ученикам основательно подготовиться к уроку по уже изученной или новой теме. При наличии пропусков старшеклассники могут разобрать тему без учителя, посмотрев, как одноклассники решали в классе, или изучить оформление онлайн в проверочных работах – на сайте они всегда соответствуют нормам ФГОС.
Результаты использования ГДЗ по геометрии за 7 — 9 класс от Атанасяна
Учителя заметили положительную тенденцию от появления онлайн-решебников Атанасяна за 7-9 класс, которые общедоступны всем. Зная, что ученики заглядывают в них практически ежедневно, педагоги, репетиторы и родители не ограничивают их в этом, поскольку на занятиях ощущается практическая польза от этого ресурса. Дети стали значительно лучше учиться, чаще тянут руку. Появилась уверенность в себе, обучающиеся не боятся отвечать устно или письменно, смело выходят к доске и быстро решают любые заданные им задачи.
Повысилась общая успеваемость, что естественным образом сказывается на сдаче выпускниками ЕГЭ по математике. Они набирают большее количество баллов, получают реальную возможность поступления в выбранные ими вузы.
Важно отметить, что отстающие учащиеся теперь подтягиваются в знаниях без репетитора. Главное, объяснить им, как разумно пользоваться сайтом, открывать его не только для автоматического списывания, но и вдумчивого разбора номеров.
ГДЗ Геометрия 8 класс Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк (2014) . Ответы и решения
Для поддержки школьников были созданы специальные справочники-помощники, которые называются ГДЗ. Эти книги прошли достаточно длинный путь развития и стали очень популярными в системе образования. Пособия такого формата используют не только ученики, но и взрослые (родители, педагоги). Секрет любви к решебникам, особенно написанным Атанасяном Л.С., кроется в их простой структуре, благодаря которой работать с ними легко и быстро. Кроме того, ГДЗ приносят в жизнь учеников множество положительных тенденций. Давайте рассмотрим некоторые из них.
Польза, которую приносят решебники по геометрии
Такие книги, как ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян были целенаправленно созданы для помощи детям с выполнением заданий различной сложности и усвоением новых тем. Хочется отметить, что они вполне справляются с данной задачей. Но на этом их плюсы не заканчиваются. Решебники играют очень важную роль в повышении успеваемости учеников, которые пользуясь таким видом учебников, получают только высокие баллы за домашние задания.
Кроме того, ученики становятся самостоятельными и уверенными в своих силах. Это происходит благодаря тому, что они могут справляться даже с самыми сложными заданиями без чьей-либо помощи. Все это мотивирует детей добывать новые знания и занимать лидерские позиции в классе.
Еще одним положительным аспектом работы с ГДЗ Атанасяна по геометрии стоит считать то, что эти справочники освобождают много времени. Теперь у школьников появится возможность в полной мере заниматься своими увлечениями и интересами. Если у Вас возникает волнение по поводу того, что Вам не удастся отыскать качественные решебники – откиньте его навсегда. С появлением нашего образовательного сайта VIPGDZ у Вас всегда под рукой будут необходимые процессы выполнений заданий и ответы на них.
Лучшие правильные решения живут на сайте VIPGDZ.ru
Наш портал VIPGDZ сделал все возможное, чтобы в Вашем распоряжении круглосуточно были нужные ответы по геометрии. Хочется отметить, что наш сайт выгодно выделяется среди всех других ресурсов подобного типа по нескольким параметрам: — свободный доступ ко всем материалам на страницах VIPGDZ. Всю информацию, которую мы предлагаем, Вы можете просматривать абсолютно бесплатно; — отсутствие регистрации, что сэкономит Ваше время; — наличие мобильной версии, которая поспособствует тому, чтобы независимо от Вашего места положения, готовые домашние задания всегда были под рукой. Теперь ими можно пользоваться не только с компьютера, но и с любого другого электронного гаджета; — удобный интерфейс нашего портала, которой сделает работу школьников с книгами в режиме онлайн простой и легкой. Благодаря ему найти интересующее ГДЗ удастся всего за несколько секунд.
Для максимально эффективной работы учеников 8 класса с решебниками на нашем портале VIPGDZ, мы советуем добавить страницу с ним в закладки Вашего браузера.
Учитесь с хорошим настроением и получайте высокие баллы по геометрии вместе с нами!
ГДЗ по Геометрии 7-9 класс
ГДЗ по геометрии за 7-9 класс Атанасян – это сборник готовых решений по всем заданиям одноименного учебного пособия, составленного коллективом российских авторов – Л.С. Атанасяном, В. Ф. Бутузовым, С. Б. Кадомцевым и др. Решебник ориентирован на помощь родителям, желающим помочь своим детям в выполнении домашних заданий; а также на школьников, стремящихся самостоятельно разобраться в ходе решения геометрических задач.
Решебник по геометрии за 7-9 класс от Атанасян Л.С. – основа качественных домашних работ
Упражнения практикума по геометрии не всегда понятны для родителей, помогающих своим детям выполнять домашние задания. Школьники же порой не успевают понять алгоритма выполнения упражнений ввиду большой нагрузки в средней и старшей школе.
И тем, и другим может помочь решебник по геометрии за 7-9 класс Атанасяна, в котором представлены пошаговые алгоритмы выполнения заданий и готовые ответы.
Особенно удобно пользоваться пособием в рамках нашего сайта, преимуществами которого выступают:
- Регулярное обновление онлайн-решений для их полного соответствия требованиям школьной программы;
- Удобный поиск позволяет ввести в поисковую строку номер упражнения или часть задания – сделать это можно с любой страницы сайта;
- Возможность просмотра информации с компьютера, планшета или смартфона.
Такие механизмы способствуют экономии времени. К тому же, пошаговые алгоритмы решения позволяют избежать найма дорогостоящих репетиторов и самостоятельно разобраться в сложных геометрических задачках.
Гдз по геометрии за 7-9 класс Атанасян, Бутузов, Кадомцев – базовый курс с задачами
Решебник, представленный на сайте, это сборник выполненных заданий, по учебнику по алгебре Атанасяна Л.С., выпущенному в 2014 году издательством «Просвещение». Пособие включает в себя 131 тему, которые разделены на 4 главы.
Учебник знакомит школьников с такими базовыми понятиями геометрии, как:
- Луч, прямая, отрезок и угол и особенностями их измерения;
- Треугольники, их свойства, виды, законы равенства и подобия;
- Параллельность и перпендикулярность прямых и вытекающие из них свойства;
- Виды многоугольников и их ключевые свойства;
- Окружность и расчет ее длины, круг и его площадь;
- Виды векторов и математические действия с ними.
Отдельную часть учебника представляют задачи повышенной сложности и примеры на повторение материала, изученного в предыдущих классах.
Поскольку сборник готовых домашних заданий включает в себя не только онлайн-ответы на задачи и примеры курса геометрии за 7-9 класс, но и детальный алгоритм решения. Такая структура помогает не только в выполнении домашних заданий, но и содействует подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Геометрия 7 8 9 класс Атанасян
Геометрия 7 8 9 класс Атанасян
СПИСОК НОМЕРОВ ЗАДАЧ:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189
190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
200
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
220 221 222 223 224 225 226 227 228 229
230 231 232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249
250 251 252 253 254 255 256 257 258 259
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279
280 281 282 283 284 285 286 287 288 289
290 291 292 293 294 295 296 297 298 299
300
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309
310 311 312 313 314 315 316 317 318 319
320 321 322 323 324 325 326 327 328 329
330 331 332 333 334 335 336 337 338 339
340 341 342 343 344 345 346 347 348 349
350 351 352 353 354 355 356 357 358 359
360 361 362 363 364 365 366 367 368 369
370 371 372 373 374 375 376 377 378 379
380 381 382 383 384 385 386 387 388 389
390 391 392 393 394 395 396 397 398 399
400
400 401 402 403 404 405 406 407 408 409
410 411 412 413 414 415 416 417 418 419
420 421 422 423 424 425 426 427 428 429
430 431 432 433 434 435 436 437 438 439
440 441 442 443 444 445 446 447 448 449
450 451 452 453 454 455 456 457 458 459
460 461 462 463 464 465 466 467 468 469
470 471 472 473 474 475 476 477 478 479
480 481 482 483 484 485 486 487 488 489
490 491 492 493 494 495 496 497 498 499
500
500 501 502 503 504 505 506 507 508 509
510 511 512 513 514 515 516 517 518 519
520 521 522 523 524 525 526 527 528 529
530 531 532 533 534 535 536 537 538 539
540 541 542 543 544 545 546 547 548 549
550 551 552 553 554 555 556 557 558 559
560 561 562 563 564 565 566 567 568 569
570 571 572 573 574 575 576 577 578 579
580 581 582 583 584 585 586 587 588 589
590 591 592 593 594 595 596 597 598 599
600
600 601 602 603 604 605 606 607 608 609
610 611 612 613 614 615 616 617 618 619
620 621 622 623 624 625 626 627 628 629
630 631 632 633 634 635 636 637 638 639
640 641 642 643 644 645 646 647 648 649
650 651 652 653 654 655 656 657 658 659
660 661 662 663 664 665 666 667 668 669
670 671 672 673 674 675 676 677 678 679
680 681 682 683 684 685 686 687 688 689
690 691 692 693 694 695 696 697 698 699
700
700 701 702 703 704 705 706 707 708 709
710 711 712 713 714 715 716 717 718 719
720 721 722 723 724 725 726 727 728 729
730 731 732 733 734 735 736 737 738 739
740 741 742 743 744 745 746 747 748 749
750 751 752 753 754 755 756 757 758 759
760 761 762 763 764 765 766 767 768 769
770 771 772 773 774 775 776 777 778 779
780 781 782 783 784 785 786 787 788 789
790 791 792 793 794 795 796 797 798 799
800
800 801 802 803 804 805 806 807 808 809
810 811 812 813 814 815 816 817 818 819
820 821 822 823 824 825 826 827 828 829
830 831 832 833 834 835 836 837 838 839
840 841 842 843 844 845 846 847 848 849
850 851 852 853 854 855 856 857 858 859
860 861 862 863 864 865 866 867 868 869
870 871 872 873 874 875 876 877 878 879
880 881 882 883 884 885 886 887 888 889
890 891 892 893 894 895 896 897 898 899
900
900 901 902 903 904 905 906 907 908 909
910 911 912 913 914 915 916 917 918 919
920 921 922 923 924 925 926 927 928 929
930 931 932 933 934 935 936 937 938 939
940 941 942 943 944 945 946 947 948 949
950 951 952 953 954 955 956 957 958 959
960 961 962 963 964 965 966 967 968 969
970 971 972 973 974 975 976 977 978 979
980 981 982 983 984 985 986 987 988 989
990 991 992 993 994 995 996 997 998 999
1000
1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009
1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019
1020 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029
1030 1031 1032 1033 1034 1035 1036 1037 1038 1039
1040 1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049
1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058 1059
1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069
1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079
1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089
1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 1098 1099
1100
1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109
1110 1111 1112 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119
1120 1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129
1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139
1140 1141 1142 1143 1144 1145 1146 1147 1148 1149
1150 1151 1152 1153 1154 1155 1156 1157 1158 1159
1160 1161 1162 1163 1164 1165 1166 1167 1168 1169
1170 1171 1172 1173 1174 1175 1176 1177 1178 1179
1180 1181 1182 1183 1184 1185 1186 1187 1188 1189
1190 1191 1192 1193 1194 1195 1196 1197 1198 1199
1200
1200 1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208 1209
1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219
1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227 1228 1229
1230 1231 1232 1233 1234 1235 1236 1237 1238 1239
1240 1241 1242 1243 1244 1245 1246 1247 1248 1249
1250 1251 1252 1253 1254 1255 1256 1257 1258 1259
1260 1261 1262 1263 1264 1265 1266 1267 1268 1269
1270 1271 1272 1273 1274 1275 1276 1277 1278 1279
1280 1281 1282 1283 1284 1285 1286 1287 1288 1289
1290 1291 1292 1293 1294 1295 1296 1297 1298 1299
1300
1300 1301 1302 1303 1304 1305 1306 1307 1308 1309
1310
Контрольные вопросы к главе VI. Контрольные вопросы к главе VI «Проблемы строительства»
Готовое домашнее задание к учебнику геометрии для учащихся 7-9 классов, авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев, Э. Позняк, И. Юдина, Издательство «Образование» на 2015-2016 учебный год.
Ребята, в 7-9 классах вы будете изучать такой интересный предмет, как геометрия. Чтобы избежать дальнейших проблем с пониманием этого урока, вам нужно усердно работать с самого начала.
На предыдущих занятиях вы уже встречали некоторые геометрические фигуры … В этом шумихе вы расширите этот минимум знаний. Весь курс разделен на два раздела: планиметрия и стереометрия. В 7 и 8 классах вы будете рассматривать фигуры на плоскости — это разрез планиметрии. В 9 классе свойства фигур в пространстве — стереометрия.
Часто возникает ситуация, когда невозможно по условию сделать правильный рисунок, прорисовать все детали в пространстве, и тогда геометрия кажется вам невыносимым объектом.Если у вас начинаются такие трудности, то рекомендуем использовать нашу ГДЗ по геометрии на 7-9 л. Атанасяна, который размещен ниже.
ГДЗ Геометрия 7 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 8 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 9 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии для 8 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии для 9 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по геометрии для 7-9 классов Иченская М.А. можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 7 класса Ершова А.П. можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 8 класса Ершова А.П. можно скачать.
ГДЗ к рабочей тетради по геометрии для 9 класса Мищенко Т.М. можно скачать.
ГДЗ для тематических зачетов по геометрии для 7 класса Мищенко Т.М. можно скачать.
ГДЗ для тематических зачетов по геометрии для 8 класса Мищенко Т.М. можно скачать
Современные дети регулярно сталкиваются с ситуациями, когда с домашним заданием возникают определенные проблемы … Причины таких обстоятельств могут быть самые разные — лень, болезнь, невнимательность. Особенно это касается геометрии, в которой много непонятных упражнений.Если есть проблемы, то старшеклассники — начинают лихорадочно искать варианты решения подобных трудностей. Действительно, кто-то обращается к родственникам, друзьям, наставникам, а кто-то ищет GDZ , которые сделаны профессионалами, которые не ошибаются.
Благодаря стремительному развитию Интернет-технологий появилась прекрасная возможность находить нужные задачи с помощью специализированной платформы. Главное — ответственно отнестись к вопросу, чтобы готовые Д / З были качественными и полностью понятными.Конечно, нужно доверять данным, размещенным на тех интернет-ресурсах, которые успели зарекомендовать себя с сильной стороны. Только такие ресурсы содержат качественную информацию о домашних заданиях, которую вы можете использовать при необходимости.
Представленное решение будет рациональным выбором для определенных ситуаций. Он содержит наиболее грамотные и развернутые ответы, по геометрии для учащихся 7-9 классов … Они подходят для учебников авторов — Атанасяна и Бутузова … Вы можете быстро сравнить результаты на этом сайте и повысить реальный уровень знаний и эрудиции в столь сложной теме. Поэтому его часто используют школьники и их родители.
Высококвалифицированная администрация портала позаботилась о том, чтобы материал был написан в доступной и понятной форме. Если издаются новые книги, то сразу появляются ответы на новые вопросы. Многочисленные посетители портала уже неоднократно могли убедиться в этом.
Важно понимать, что если возникают трудности с изучением базовых дисциплин, то следует убедиться, что они разрешены. Подтягивать не нужно, это приводит к крайне неприятным последствиям … Эта онлайн-страница может послужить отличным местом, где можно проверить правильность исполнения цифр, которые поставили учителя. Многие подростки уже используют его и оставили много хороших отзывов о нем. Это неудивительно, благодаря ей есть прекрасная возможность получить высокие оценки и добиться лучшей успеваемости в школе.
ГДЗ Геометрия 7 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 8 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 9 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии для 8 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии для 9 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ для самостоятельных и контрольных работ по геометрии для 7-9 классов Иченская М.А. можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 7 класса Ершова А.П. можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 8 класса Ершова А.П. можно скачать.
ГДЗ к рабочей тетради по геометрии для 9 класса Мищенко Т.М. можно скачать
1. Что называется соотношением двух отрезков?
2. В каком случае говорится, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1?
3.Дайте определение подобным треугольникам.
4. Сформулируйте и докажите теорему о соотношении площадей подобных треугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый критерий подобия треугольников.
6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй критерий подобия треугольников.
7. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий критерий подобия треугольников.
8. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.
9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в соотношении 2: 1, считая от вершины.
10. Сформулируйте и докажите утверждение, что высота прямоугольного треугольника, начерченного из прямого угла вершины, делит треугольник на аналогичные треугольники.
11. Сформулируйте и докажите утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
12. Приведите пример решения строительной задачи методом подобия.
13. Расскажите, как определить высоту объекта и расстояние до недоступной точки на земле.
14. Объясните, какие две фигуры называются похожими. Каков коэффициент подобия форм?
15. Что называют синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?
16. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и касательные этих углов равны.
17. Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?
18. Какие значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 °, 45 °, 60 °? Обоснуйте ответ.
Дополнительные задачи
604. Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны, AB = 6 см, BC — 9 см, C A = 10 см. Наибольшая сторона треугольника A 1 B 1 C 1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника A 1 IN 1 WITH 1.
605. Диагональ AC трапеции ABCD делит ее на два подобных треугольника.Докажите, что AC 2 = a b, где a и b — основания трапеции.
606. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке O. Найдите соотношение ОК: ВКЛ, если MN = 5 см, NP = 3 см, MP = 7 см.
607. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4: 3, а высота, обращенная к основанию, составляет 30 см. Найдите отрезки, на которые эта высота делится биссектрисой угла при основании.
608. На продолжении боковой стороны OB равнобедренного треугольника AO B с основанием AB берется точка C так, чтобы точка B находилась между точками O и C.Отрезок AC пересекает биссектрису угла AOB в точке M. Докажите, что AM
609. На стороне BC треугольника ABC взята точка D, так что Докажите, что AD является биссектрисой треугольника ABC.
610. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит сторону AC в соотношении 2: 7, считая от вершины A. Найдите стороны отсеченного треугольника, если AB = 10 см. , BC = 18 см, CA = 21,6 см.
611. Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне BC, концы которого лежат на сторонах AB и AC.
612. Две опоры AB и CD разной длины a и b устанавливаются вертикально на определенном расстоянии друг от друга, как показано на рисунке 210. Концы A и D, B и C соединены веревками, пересекающимися в точке O 2. Докажите, что в соответствии с рисунком:
Найдите x и докажите, что x не зависит от расстояния d между полюсами AB и CD.
Рис. 210
613. Докажите, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны, если:
и), где VM и B 1 M 1 — медианы треугольников;
б) ∠A = ∠A 1, где BH и B 1 H 1 — высоты треугольников ABC и A 1 B 1 C 1.
614. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A взаимно перпендикулярны. Основание AB — 6 см, сторона AD — 4 см. Найдите DC, DB и CB.
615. * Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен ее основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны a и b.
616. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от линии, содержащей его среднюю линию.
617. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
618. Точки M и N являются серединами сторон CD и BC параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.
619. Биссектриса внешнего угла в вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что.
620. В треугольнике ABC (AB ≠ AC) через середину стороны BC проводится прямая, параллельная биссектрисе угла A, которая пересекает прямые AB и AC соответственно в точках D и E.Докажите, что BD = CE.
621. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC сумма оснований равна b, диагональ AC равна a, ∠ACB = α. Найдите площадь трапеции.
622. На стороне AD параллелограмма ABCD отмечается точка K так, чтобы AK = 1/4 KD. Диагональ AC и отрезок BK пересекаются в точке P. Найти площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника ARC равна 1 см 2.
623. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC ∠ A = ∠B = 90 °, ∠ACD = 90 °, BC = 4 см, AD = 16 см.Найдите углы C и D трапеции.
624. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
625. AD Основание равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания BC. Высота ЧД пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМГ равна 4 см 2. Найдите площадь трапеции ABCD.
626. Докажите, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны, если где AD и A 1 D 1 — биссектрисы треугольников.
Строительные задания
627. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник A1B1C1, аналогичный треугольнику ABC, площадь которого вдвое больше площади треугольника ABC.
628. Даны три сегмента, длина которых равна соответственно a, b и c. Постройте отрезок прямой, длина которого равна.
629. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
630. Постройте треугольник вдоль стороны и проведите медианы к двум другим сторонам.
Ответы на проблемы
1. Какова последовательность звеньев в цепочке формирования затрат на качество и стоимость фарфоровой посуды?
2. Какие подразделения предприятия обеспечивают качество выпускаемой продукции?
3. Объясните роль отдела планирования, бухгалтерии, отдела подготовки производства в обеспечении качества продукции.
4. Сравните функции отдела закупок и отдела продаж в обеспечении качества продукции.
5. Какие затраты на качество формируются на «исполнительном» уровне отделов?
6. Перечислите состав затрат на управление качеством. Чем они отличаются от серийных?
7. Какие затраты на качество относятся к основным, а какие к дополнительным? Есть ли среди них повторяющиеся?
8. Объясните разницу между внутренней и внешней информацией о качестве продукции.
9. Как ускорить получение выводов о предмете исследования на первичных данных?
10.Каковы формы регистрации данных, позволяющие увидеть взаимосвязь между затратами и факторами, влияющими на них.
11. В чем преимущество сметы расходов по сравнению с другими средствами массовой информации?
12. Перечислите этапы построения диаграммы рассеяния. Можно ли с его помощью определить наличие и направление взаимосвязи между эффективными и факторными показателями?
13. Какое расположение точек на диаграмме рассеяния указывает на положительную, отрицательную корреляцию, ее отсутствие?
14.Каковы принципы использования FSA?
15. Каковы причины классификации функций продукта. Какая между ними связь?
16. Опишите этапы АФН?
17. Что такое принцип Эйзенхауэра в FSA?
18. Можете ли вы использовать табличную форму для определения функций продукта, которые необходимо улучшить или исключить?
19. Что представляет собой матричная таблица выбора продукции для производства? Какие показатели позволяют сделать этот выбор.
20. Как рассчитывается коэффициент корреляции между показателями качества и стоимостью его создания?
21. Как использовать индексный метод для определения влияния качества на себестоимость продукции?
22. Каковы недостатки методов подсчета баллов и цены за единицу? Какова сфера их применения?
23. Где и как применяется показатель доходности?
24. Как рассчитывается обобщающий коэффициент качества?
25. Как определить объем продукции, потерянной предприятием из-за возникновения дефектов, и стоимость их устранения?
26.Каковы направления определения экономической эффективности от внедрения более качественной продукции? Чем они отличаются и что общего при расчете показателя экономической эффективности во всех случаях?
27. В каких областях анализа проектов используются в основном формальные или неформальные методы? Почему?
28. Каковы цели коммерческого анализа?
29. Какие показатели можно использовать для оценки конкурентоспособности продукции?
30. Показать важность анализа проекта и внедрения новой продукции для региона, в котором находится производитель.
31. Отражены ли затраты, связанные с качеством продукта, в цене пункта, в цене за единицу продукта?
32. Отражается ли стоимость качества в показателе рентабельности продукции? Объясните свое мнение.
Контрольные вопросы к главе 8. Контрольные вопросы к главе I. Дополнительные задачи к главе I
Современные дети регулярно сталкиваются с ситуациями, когда возникают определенные проблемы с выполнением домашних заданий. Причины таких обстоятельств могут быть самые разные — лень, болезнь, невнимательность.Особенно это касается геометрии, в которой много непонятных упражнений. Если возникают проблемы, то старшеклассники начинают лихорадочно искать варианты решения таких трудностей. Действительно, кто-то обращается к родственникам, друзьям, наставникам, а кто-то ищет GDZ , которые сделаны профессионалами без ошибок.
Благодаря стремительному развитию Интернет-технологий появилась прекрасная возможность находить нужные задачи с помощью специализированной платформы.Главное — ответственно отнестись к вопросу, чтобы готовые Д / З были качественными и полностью понятными. Конечно, нужно доверять данным, размещенным на тех интернет-ресурсах, которые успели зарекомендовать себя с сильной стороны. Только такие ресурсы содержат качественную информацию о домашних заданиях, которую вы можете использовать при необходимости.
Представленное решение станет рациональным выбором для индивидуальных ситуаций. В нем собраны наиболее грамотные и развернутые ответы по геометрии для учащихся с 7 по 9 классы … Они подходят для учебников авторов — Атанасяна и Бутузова … На этом сайте вы можете быстро сравнить результаты и поднять реальный уровень знаний и эрудиции в столь сложном предмете. Поэтому его часто используют школьники и их родители.
Высококвалифицированная администрация портала позаботилась о том, чтобы материал был написан в доступной и понятной форме. Если издаются новые книги, то сразу появляются ответы на новые вопросы.Многочисленные посетители портала неоднократно могли убедиться в этом.
Важно понимать, что если возникают трудности с изучением базовых дисциплин, то следует убедиться, что они разрешены. Медлить не нужно, это приводит к крайне неприятным последствиям. Эта онлайн-страница может послужить отличным местом, где вы сможете убедиться в правильности выполнения цифр, которые были выставлены учителями. Многие подростки уже пользуются им и оставили много хороших отзывов о нем.Это неудивительно, благодаря ей есть прекрасная возможность получить высокие оценки и добиться лучшей успеваемости в школе.
ГДЗ Геометрия 7 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 8 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 9 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии для 8 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ для дидактических материалов по геометрии для 9 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по геометрии для 7-9 классов Иченская М.А. можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 7 класса А.П. Ершова можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 8 класса Ершова А.П. можно скачать.
ГДЗ к рабочей тетради по геометрии для 9 класса Мищенко Т.М. можно скачать
1. Какова последовательность звеньев в цепочке формирования затрат на качество и стоимость фарфоровой посуды?
2. Какие подразделения предприятия обеспечивают качество выпускаемой продукции?
3. Объясните роль отдела планирования, бухгалтерии, отдела подготовки производства в обеспечении качества продукции.
4. Сравните функции отдела закупок и отдела продаж в обеспечении качества продукции.
5. Какие затраты на качество возникают на «исполнительном» уровне отделов?
6. Перечислите состав затрат на управление качеством. Чем они отличаются от серийных?
7. Какие затраты на качество относятся к основным, а какие к дополнительным? Есть ли среди них повторяющиеся?
8. Объясните разницу между внутренней и внешней информацией о продукте.
9. Как ускорить получение выводов о предмете исследования на первичных данных?
10.Каковы формы регистрации данных, позволяющие увидеть взаимосвязь между затратами и факторами, влияющими на них.
11. В чем преимущество сметы перед другими носителями?
12. Перечислите этапы построения диаграммы рассеяния. Можно ли по нему определить наличие и направление взаимосвязи между эффективными и факторными показателями?
13. Какое расположение точек на диаграмме рассеяния указывает на положительную, отрицательную корреляцию, ее отсутствие?
14.Каковы принципы использования FSA?
15. Каковы причины классификации функций продукта. Какая между ними связь?
16. Опишите этапы АФН?
17. Что такое принцип Эйзенхауэра в FSA?
18. Можете ли вы использовать табличную форму для определения функций продукта, которые необходимо улучшить или исключить?
19. Что представляет собой матричная таблица выбора продукции для производства? Какие показатели позволяют сделать этот выбор.
20. Как рассчитывается коэффициент корреляции между показателями качества и стоимостью его создания?
21. Как использовать индексный метод для определения влияния качества на себестоимость продукции?
22. Каковы недостатки методов подсчета баллов и цены за единицу? Каков их объем?
23. Где и как применяется показатель доходности?
24. Как рассчитывается обобщающий коэффициент качества?
25. Как определить объем продукции, потерянной предприятием из-за возникновения дефектов, и стоимость их устранения?
26.Каковы направления определения экономической эффективности от внедрения более качественной продукции? Чем они отличаются и что общего при расчете показателя экономической эффективности во всех случаях?
27. В каких областях анализа проектов чаще всего используются формальные или неформальные методы? Почему?
28. Каковы цели коммерческого анализа?
29. Какие показатели можно использовать для оценки конкурентоспособности продукции?
30. Показать важность анализа проекта и внедрения новой продукции для региона, в котором находится производитель.
31. Отражены ли затраты, связанные с качеством продукта, в цене пункта, в цене за единицу продукта?
32. Отражается ли стоимость качества в показателе прибыльной продукции? Объясните свое мнение.
Готовое домашнее задание к учебнику геометрии для учащихся 7-9 классов, авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев, Э. Позняк, И. Юдин, Издательство «Образование» на 2015-2016 учебный год.
Ребята, в 7-9 классах вы будете изучать такой интересный предмет, как геометрия.Чтобы избежать дальнейших проблем с пониманием этого урока, вам нужно усердно работать с самого начала.
На предыдущих занятиях вы уже встречались с некоторыми геометрическими фигурами … В этом шумихе вы расширите этот минимум знаний. Весь курс разделен на два раздела: планиметрия и стереометрия. В 7 и 8 классах вы будете рассматривать фигуры на плоскости — это разрез планиметрии. В 9 классе свойства фигур в пространстве — стереометрия.
Часто возникает ситуация, когда невозможно по условию сделать правильный рисунок, прорисовать все детали в пространстве, и тогда геометрия кажется вам невыносимым объектом.Если у вас начинаются такие трудности, то рекомендуем использовать нашу ГДЗ по геометрии для 7-9 класса Л.С. Атанасяна, который размещен ниже.
ГДЗ Геометрия 7 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 8 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ Геометрия 9 класс Рабочую тетрадь Атанасяна можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии для 8 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ для дидактических материалов по геометрии для 9 класса Зив Б.Г. можно скачать.
ГДЗ для самостоятельных и контрольных работ по геометрии для 7-9 классов Иченская М.А. можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 7 класса А.П. Ершова можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий по геометрии для 8 класса Ершова А.П. можно скачать.
ГДЗ к рабочей тетради по геометрии для 9 класса Мищенко Т.М. можно скачать.
ГДЗ для тематических зачетов по геометрии для 7 класса Мищенко Т.М. можно скачать.
ГДЗ для тематических зачетов по геометрии для 8 класса Мищенко Т.М. можно скачать
1 Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики.
2 Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.
3 Какова длина ненулевого вектора? Какова длина нулевого вектора?
4 Какие векторы называются коллинеарными? Нарисуйте сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы.
5 Дайте определение равных векторов.
6 Объясните значение выражения: «Вектор отложен из точки A». Докажите, что из любой точки можно отложить вектор, равный заданному, причем только один.
7 Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. Каково правило треугольника для сложения двух векторов?
8 Докажите, что для любого вектора выполняется равенство
9 Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.
10 Какое правило параллелограмма для сложения двух неколлинеарных векторов?
11 Что такое правило многоугольника для добавления нескольких векторов?
12 Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте разницу между двумя заданными векторами.
13 Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о векторной разности.
14 Какой вектор называется произведением этого вектора на заданное число?
15 Что такое произведение
16 Могут ли векторы быть неколлинеарными?
17 Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
18 Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.
19 Какой сегмент называется средней линией трапеции?
20 Сформулируйте и докажите теорему о средней трапеции.
Дополнительные задачи по главе IX
800. Докажите, что если векторы сонаправлены, то если они противоположны, то
801. Докажите, что для любых векторов выполняются неравенства
802. Точка N отмечена на стороне BC треугольника ABC, так что BN \ u003d 2NC. Выразите вектор через векторы
803. Точки X и Y отмечены на сторонах MN и NP треугольника MNP соответственно, так что
804. Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основания BC. .Точка K отмечена на стороне AD так, чтобы выразить векторы через векторы
805. Три точки A, B и C расположены так, что Докажите, что для любой точки O выполняется равенство
806. Точка C делит отрезок AB в отношении m: n, считая от точки A. Докажите, что для любой точки O выполняется равенство
1. Сколько линий вы можете провести через две точки?
2. Сколько общих точек могут иметь две линии?
3. Объясните, что такое линейный сегмент.
4.Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?
5. Какая форма называется углом? Объясните, что такое верх и боковые стороны угла.
6. Какой угол называется развернутым?
7. Какие цифры называются равными?
8. Объясните, как сравнить две строки.
9. Какая точка называется средней точкой отрезка?
10. Объясните, как сравнивать два угла.
11. Какой луч называется биссектрисой угла?
12.Точка C делит отрезок AB на два отрезка. Как найти длину отрезка AB, если известны длины отрезков AC и CB?
13. Какие инструменты используются для измерения расстояний?
14. В каком градусе измеряется угол?
15. Луч OS делит угол AOB на два угла. Как найти градусную меру угла AOB, если градусная мера углов AOC и COB известна?
16. Какой угол называется острым? непосредственный? глупый?
17.Какие углы называются смежными? Какова сумма смежных углов?
18. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы?
19. Какие прямые называются перпендикулярными?
20. Объясните, почему две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.
21. Какие устройства используются для построения прямых углов на земле?
Дополнительные задачи по главе I
71. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Проведите прямую линию через каждую пару точек.Сколько прямых линий получилось?
72. Даны четыре прямые, две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения у этих линий, если через каждую точку пересечения проходят только две линии?
73. Сколько неразвернутых углов образуется на пересечении трех прямых, проходящих через одну точку?
74. Точка N лежит на отрезке MP. Расстояние между точками M и P составляет 24 см, а расстояние между точками N и M в два раза больше расстояния между точками N и P.Найдите расстояние:
75. Три точки K, L, M лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM = 10 см. Какое может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
76. Отрезок AB длины a разделен точками P и Q на три сегмента AP, PQ и QB так, что AP — 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между:
77. Отрезок длиной m делится:
Найдите расстояние между серединами крайних частей.
78. Отрезок длиной 36 см разделен на четыре не равные друг другу части.Расстояние между серединами наконечников 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.
79. Точки A, B и C лежат на одной прямой, точки M и N являются серединами отрезков AB и AC. Докажите, что BC = 2MN.
80. Известно, что ZAOB = 35 °, ZBOC = 50 °. Найдите угол AOC. Для каждого из возможных случаев нарисуйте рисунок с помощью линейки и транспортира.
81. Угол hk равен 120 °, а угол hm равен 150 °.Найдите угол км. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
82. Найдите смежные углы, если:
83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
84. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
85. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.
86. Даны две пересекающиеся прямые a и b и точка A, которая не лежит на этих прямых.Прямые m и n проводятся через точку A так, что m⊥a, n⊥b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.
Определение параллельной граммы и ее свойств.
В сегодняшнем уроке мы повторяем основные свойства параллелограмма, а затем обращаем внимание на рассмотрение первых двух знаков параллелограмма и их доказательство. Во время доказательства мы вспомним применение знаков равенства треугольников, которое мы изучили в прошлом году и повторили в первом уроке.В конце будет приведен пример применения изученных свойств параллелограмма.
Тема: четырехугольники
Урок: Знаки параллелограмма
Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.
Определение. Параллелограмм — Четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Поллограмма
Запомните основные свойства параллелограмма :
Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими качествами, необходимо быть уверенным, что фигура об этом и есть речевой параллелограмм.Для этого нужно знать такие факты, как знаки параллелограмма. Первые два из них мы рассмотрим сегодня.
Теорема. Первая особенность параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то в этом четырехугольнике — параллелограмм . .
Рис. 2. Первая особенность параллелограмма
Доказательства. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 2), она разбила ее на два треугольника.Пишем, что знаем об этих треугольниках:
по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства этих треугольников следует, что на основании параллельности прямых при пересечении их секущих. У нас это:
Доказано.
Теорема. Второй знак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то в этом четырехугольнике — параллелограмм . .
Рис. 3. Параллелограмм второго знака
Доказательства. Проводим в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), он разбивает его на два треугольника. Пишем, что знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:
По третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что на основе параллельности прямых с пересечением их последовательных. Получаем:
параллелограмм по определению.Q.E.D.
Доказано.
Рассмотрим пример нанесения знаков параллелограмма.
Пример 1. В выпуклом четырехугольнике найти: а) углы четырехугольника; б сторона.
Решение. Картинка с рисом. четыре.
Фиг.4
Поллограмм по первому знаку параллелограмма.
Параллелограмм называется четырехугольником, у которого противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельной прямой
Свойства Pollogram:
Теорема 22. Противоположные стороны параллельного грамма равны.
Доказательства. В параллелограмме АВД проведем диагональ АК. Треугольники ACD и DCA равны, так как имеют общую сторону переменного тока и две пары равных углов. На него отправлено: ∠ Sav = ∠ ACD, ∠ DC = ∠ DAC (как нижележащие углы при параллельных прямых AD и Sun). Итак, Av = CD и Sun = AD, как соответствующие стороны равных треугольников, гл.Т.Д. Из равенства этих треугольников следует также равенство соответствующих углов треугольников:
Теорема 23. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠ A = ∠ C и ∠ B = ∠ D.
Равенство первой пары происходит из равенства треугольников AVD и CBD, а второй — ABC и ACD.
Теорема 24.
Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилегающие к одной стороне, составляют 180 градусов.
Это потому, что это внутренние односторонние углы.
Теорема 25.
Диагональ параллелограмма должна делиться друг на друга в точке их пересечения пополам.
Доказательства. Рассмотрим треугольники Bos и AOD. Согласно первому свойству AD = Sun ∠ OAD = ∠ ASS и ∠ ODA = ∠ ABS, поскольку лежит в основе под параллельными прямыми AD и Sun. Следовательно, треугольники ВС и АОП равны по бокам и прилегающим к ним углам. Итак, при = OD и AO = OS, как соответствующие стороны равных треугольников, гл.Т.Д.
Знаки параллелограмма
Теорема 26.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.
Доказательства. Предположим, что в четырехугольнике AVD есть AD и Sun, AV и CD соответственно (Riga2). Проведем диагональ динамиков. Треугольники ABC и ACD равны трем сторонам. Тогда углы вас и DSA равны и, следовательно, автоматически параллельны CD. Параллельность сторон Солнца и AD следует из равенства углов CAD и DR.
Теорема 27.
Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.
Пусть ∠ A = ∠ C и ∠ B = ∠ D.Поскольку ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 O, то ∠ A + ∠ B = 180 O и AD сторона и солнце параллельны (исходя из параллельности прямой). Мы также доказываем параллелизм сторон AV и CD и заключаем, что AVD является параллелограммом по определению.
Теорема 28.
Если прилегающие углы четырехугольника, т.е. углы, прилегающие к одной стороне, составляют 180 градусов, это параллелограмм.
Если внутренние односторонние углы в сумме равны 180 градусам, то прямолинейно быстро.Итак, AV paralo CD и sun paral ad. Четырехугольник по определению оказывается параллелограммом.
Теорема 29.
Если диагональ четырехугольника в точке пересечения пополам делится пополам, то четырехугольник является параллелограммом.
Доказательства. Если AO = OS, IC = OD, то треугольники AOD и VOS равны, так как имеют равные углы (по вертикали) вверху заключенных между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и Sun равны.Также равны стороны AB и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом на основании 1.
Теорема 30.
Если у четырехугольника есть пара равных параллельных сторон, то это параллелограмм.
Предположим, что у квадрилатера AVD стороны AB и CD параллельны и равны. Проводим диагонали АК и КД. Исходя из параллельности этих прямых, равенство должно быть равным нижележащим углам AVO = CDO и VAO = OSD. Треугольники AVO и CDO равны по бокам и примыкают к его углам.Следовательно, АО = ОС, I = OD, т.е. диагональ точки пересечения делится пополам и четырехугольник получается параллелограммом на основании 4.
В геометрии бывают частные случаи параллелограмм.
Чтобы определить, является ли эта фигура параллелограммом, существует ряд особенностей. Рассмотрим три основных особенности параллелограмма.
1 знак параллелограмма
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
Обоснование:
Рассмотрим квадрилатер ABCD. Пусть они смотрят на AB и CD параллельно. И пусть AB = CD. Проведем в нем диагональ BD. Он разделит этот четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти треугольники равны друг другу с двух сторон и угол между ними (BD — общая сторона, AB = CD по условию, angle1 = угол 2. Как пересечь нижележащие углы с помощью фиксирующего BD параллельно прямых AB и CD .), А значит, angle3 = angle4.
И эти углы будут ближе к пересечению прямых BC и AD, закрепляющих BD. Отсюда следует, что BC и AD параллельны друг другу. У четырехугольника ABCD противоположные стороны параллельны, а это означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2 Знак параллелограмма
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
Обоснование:
Рассмотрим квадрилатер ABCD.Проведем в нем диагональ BD. Он разделит этот четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти два треугольника будут равны друг другу по трем сторонам (BD — общая сторона, AB = CD и BC = AD при условии). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельны CD, то первой особенностью параллелограмма, квадрилатром ABCD будет параллелограмм.
3 Знак параллелограмма
Если диагонально пересекаются в четырехугольнике, а точка пересечения делится пополам, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
Рассмотрим квадрилатер ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые пересекутся в точке O и разделят эту точку пополам.
треугольников AOB и COD будут равны друг другу по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = COD угол как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и angle1 = Angle 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда у нас есть, что в четырехугольнике ABCD сторона AB равна CD и параллельна, а на первом элементе параллелограмма четырехугольник ABCD будет параллелограммом.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Савинская средняя общеобразовательная школа
Исследования
Параллелограмм и его новые свойства
Выполнила: ученица 8Б класса
МБОУ Савинская Сош
Кузнецова Светлана, 14 лет
Руководитель: Учитель математики
Тульчевская Н.А.
стр. Савино
Ивановская область, Россия
2016.
I. Введение ________________________________________________________________________
II. Из истории параллелограмма ___________________________________ стр. 4
III Дополнительные свойства параллелограмма ______________________ стр. 4
IV. Подтверждение свойств _____________________________________ стр. 5
V. Решение задач с использованием дополнительных свойств __________ стр. 8
Vi.Применение свойств параллелограмма в жизни ___________________ стр. 11
VII. Заключение _____________________________________________ стр. 12
VIII. Литература _____________________________________________ стр. 13
Введение
« Среди равных умов
для эквити других условий
выше того, кто знает геометрию»
(Blaze Pascal).
При изучении темы «Параллелограммы» на уроках геометрии мы рассматривали два свойства параллелограмма и три знака, но когда начали решать задачи, оказалось, что этого недостаточно.
У меня вопрос, а есть ли у параллелограмма еще и свойства, и как они помогут при решении задач.
И я решил изучить дополнительные свойства параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.
Предмет исследования
:
параллелограмм
Объект исследования
: Свойства поллограммы
Цель работы:
формулировка и доказательство дополнительных свойств параллелограмма, которые не изучаются в школе;
использование этих свойств для решения проблем.
Задач:
Найти дополнительную литературу по изучаемой теме;
Изучите дополнительные свойства параллелограмма и докажите их;
Покажите использование этих свойств для решения проблем;
Рассмотрим использование свойств параллелограмма в жизни.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
Изучение теоретического материала;
Выбор круга задач, которые можно решить с помощью дополнительных свойств параллелограмма;
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Продолжительность исследования
: 3 месяца: январь-март 2016 г.
Из истории параллелограмма
В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: Поллограмм — такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
Слово «параллелограмм» переводится как «параллельные прямые» (от греческих слов Parallelos — параллель и грамм — линия), этот термин ввел Евклид.В своей книге «Начинающий» Евклид доказал следующие свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы параллелограмма равны, а диагональ делит его пополам.
О точке пересечения параллелограмм Евклида не упоминается. Только к концу средневековья была разработана полная теория параллелограммов и только в XVII веке в учебниках появились теоремы о параллелограммах, которые доказываются с помощью теоремы Евклида о свойствах параллелограмма.
III
Дополнительные свойства параллелограмма
В учебнике по геометрии приведены всего 2 свойства параллелограмма:
Противоположные углы и стороны равны
Диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам
В различных источниках геометрии можно найти следующие дополнительные свойства:
Количество смежных углов Поллограмм, равный 180 0
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равносторонний треугольник;
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектриса смежных углов Параллелограмм пересекаются под прямыми углами;
Биссектриса всех углов параллелограмма с пересечением образует прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же диагонали равны.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединой противоположных сторон, то получится другой параллелограмм.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна двойной сумме квадратов его смежных сторон.
Если в параллелограмме двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
IV
Доказательство свойств параллелограмма
Количество смежных углов Параллелограмм равен 180
0
Dano :
ABCD — параллелограмм
Prove
A +.
Б =.
Доказательства:
AI
B-изогнутые односторонние углы с параллельным прямым солнцем AD и Sale AV, то есть
A +.
Б =.
2
Дано: ABCD —
параллелограмм,
АК-Биссектрис
НО.
Доказательство AVK — равно
Доказательства:
1)
1 =
3 (перекрестно проходит под солнцем AD и Sale AK)
2)
2 =
3 т.К. Ак — бисектриса,
Так 1 =
2.
3) АВК — нерешенный т. 2. 2 угла треугольника равны
. Биссектрисный угловой параллелограмм образует равносторонний треугольник
3
Дано: AVD — параллелограмм,
Ak — Bissektris A,
CP — Bissektris C.
Prove AK ║ ср.
Обоснование:
1) 1 = 2 т.К. Ак-bissectrice
2) 4 = 5 т.к. ср — Bissektris
3) 3 = 1 (Малые углы
Sun ║ AD и AK-SECOND),
4 ) A = C (по свойству параллелограмма), значит 2 = 3 = 4 = 5.
4) из пунктов 3 и 4 следует, что 1 = 4, и этим углам соответствуют для прямого АК и КП и Южного Солнца,
Итак, АК ║ КП (на основе параллельности прямого)
.Биссектриса противоположных углов Параллелограмм лежит на параллельных прямых
Биссектриса смежных углов Параллелограмм пересекается под прямым углом
Дано: AVD — параллелограмм,
Ak-bisectaris A,
DR Bissectrix D
Prove DR AK.
Свидетельство:
1) 1 = 2, потому что Ak — Bissektris
Пусть, 1 = 2 = x, тогда a = 2x,
2) 3 = 4, потому что DR — Bissectrix
Пусть, 3 = 4 = y, тогда d = 2y
3) a + d = 180 0, т.к. сумма смежных углов Параллелограмма равна 180
2) Рассмотрим A OD.
1 + 3 = 90 0, тогда
5. Биссектрика всех углов Параллелограмм с пересечением образуют прямоугольник
Дано: AVD — параллелограмм, ak-bisectaris A,
DR, биссектриса D,
Cm -Bistektris C,
BF -Bissectrice b.
Доказательство : КРНС -ПРЯУГОН
Доказательство:
Исходя из предыдущего свойства 8 = 7 = 6 = 5 = 90 0,
так что КРНС — яркий.
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же диагонали равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, as-диагональ.
VC Ac DP. AC
Prove BC = DR
Evidence: 1) DCR = KAB, как внутренние замыкания, лежащие в основе AB ║ CD и SECOND AC.
2) АКБ =. CDR (сбоку и два регулировочных угла AV = CD Cd p = AB K).
А в равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит DR = BC.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединой противоположных сторон, то получится другой параллелограмм.
Дано: ABCD-параллелограмм.
Докаж ВКДР — параллелограмм.
Свидетельство:
1) BR = KD (ad = bc, указывает на и p
делит эти партии пополам)
2) BP ║ KD (лежит на AD BC)
Если в противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, значит, этот четырехугольник -паралограмма.
Если в параллелограмме двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна двойной сумме квадратов его смежных сторон.
Дано: ABCD — параллелограмм. BD и AC — диагональ.
Prove AC 2
+ тд. 2
= 2 (AB 2
+ AD 2
)
Доказательства: 1) СПРОСИТЬ:
AC
² =
+
2) Б.
R D.
:
BD.
2
=
Б.
R 2
+ Р. Д.
2
(по теореме Пифагора)
3 )
AC
² +
BD.
² = SCQ + A.
К² +. Б.
R² + R. D.
²
4) СК = БП = N (высота )
5) AC. 2
+ Б. Д.
2
=
H.
2
+
А.
К 2
+
H.
2
+ Р. Д.
2
6)
Пусть будет
Д.
К =. А.
P = H. , затем C.
К Д.
:
H.
2
=
CD
2
— Н. 2
согласно теореме Пифагора )
7) как xt + в D.
² = S. D.
2
— x² + ак 1
² +
CD
2
-H. 2
+ Р. Д.
2
, г.
As² + B. Д.
² = 2s D.
2
-2x 2
+
А.
К 2
+ Р. Д.
2
8) А.
К = AD +.
ч. , г.
R D = ad
ч. , г.
As² + B. D.
² = 2. CD
2
-2x 2
+ ( AD
+ х) 2
+ ( н.э.
) 2
, г.
AC ² +
IN D² = 2.
ИЗ D²-2
ч. ² + AD.
2
+ 2AD
ч. +
ч. 2
+ нашей эры
2
-2ад.
ч. +
ч. 2
,
AC ² +
IN D² = 2cd.
2
+ 2AD
2
= 2 (CD
2
+ нашей эры
2
).
В.
. Решение задач с использованием этих свойств
Точка пересечения биссектрисы двух углов параллелограмма, примыкающих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
. Найдите это с самой стороны.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AK — Bissektris
BUT,
D K — биссектриса
D, av = 5
Найти : Sun.
беспорядок
Решение
Поскольку AK — Bissektris
A, то AVC является равным.
Потому что DK — биссектриса
D, T. DCK — Wireless
DC = CK = 5
Тогда Sun = VK + SK = 5 + 5 = 10
Ответ: 10.
2. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
1 корпус
Дано:
НО,
ВК = 14 см, kc = 7 см
Найти: Параллелограмм
3 u0003
u0036
Decision Sun
VK + kc = 14 + 7 = 21 (см)
Поскольку AK — Bissektris
A, то AVC является равным.
AV = VK = 14 см
Тогда p = 2 (14 + 21) = 70 (см)
происходящее
Дано: ABCD — параллелограмм,
DK — биссектриса
D,
ВК = 14 см, kc = 7 см
Найти : P параллелограмм
Решение
Солнце = ВК + kc = 14 + 7 = 21 (см)
Потому что ДК — биссектриса
D, T.DCK — Wireless
DC = CK = 7
Тогда p = 2 (21 + 7) = 56 (см)
Ответ: 70см или 56 см
3. Детекторами параллелограмма являются равны 10 см и 3 см. Биссектриса двух углов, примыкающих к большей стороне, делит противоположную сторону на три сегмента. Найдите эти сегменты.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано: ABCD — параллелограмм, ак — биссектриса
А,
DK — биссектриса
D, av = 3 см, солнце = 10 см
Найти : VM, Mn, NC
Решение
Поскольку AM — Bissektris
A, тогда AVM является равным.
Т.к. DN — Bissektris
D, T. DCN — равно
DC = CN = 3
Тогда Mn = 10 — (Bm + NC) = 10 — (3 + 3) = 4 см.
2 случай: бисектрис пересекаются внутри параллелограмма
Поскольку An — Bissektris
A, то Avn является равновесием.
АВ = Б. Н.
= 3
D.
А раздвижная сетка — для перемещения на необходимое расстояние в дверном проеме
Механизм параллелограмм — Механизм четырехжильный, звенья которого представляют собой параллелограммы.Применяется для реализации поступательного движения с помощью навесных механизмов.
Параллелограмм с неподвижным звеном — Одно звено неподвижно, противоположное совершает колебательное движение, оставаясь параллельным неподвижным. Два соединенных между собой параллелограмма дают конечному звену две степени свободы, оставляя его параллельным неподвижному.
Примеры: автобусы, погрузчики, треноги, подвески, автомобильные подвески.
Параллелограмм с фиксированным шарниром — свойство параллелограмма используется для поддержания постоянного отношения расстояний между тремя точками.Пример: Исходный пантограф — устройство для масштабирования чертежей.
Ромб — Все звенья одинаковой длины приближаются (затягиваются) Пара противоположных шарниров приводит к раскрытию двух других петель. Все ссылки работают на сжатие.
Примеры — автомобильный ромбовидный домкрат, трамвайный пантограф.
Sciser или Х-образный механизм , также известный как ножницы Nuremberg — вариант рома — два звена, соединенные в середине петли. Достоинства механизма — компактность и простота, недостаток — наличие двух пар скольжения.Два (или более) таких механизма, соединенных последовательно, образуют середину ромба (ов). Используется в слушателях, детских игрушках.
VII
Заключение
Кто с детства занимается математикой,
развивает внимание, тренирует свой мозг,
свою волю, повышает настойчивость
и настойчивость в достижении цели
Маркус А.
В процессе работы я доказал дополнительные свойства параллелограмма.
Я убедился, что применяя эти свойства, вы сможете быстрее решать поставленные задачи.
Я показал, как эти свойства применяются на примерах решения конкретных задач.
Я узнал много нового о параллелограмме, чего нет в нашем учебнике по геометрии
Я убедился, что знание геометрии очень важно в жизни на примерах применения свойств параллелограмма .
Цель моей исследовательской работы выполнена.
Насколько важны математические знания, факт, что награда учреждена тому, кто издаст книгу о человеке, который жил без помощи математики. Эту премию еще не получил ни один человек.
VIII.
Литература
Погорелова А.А. Геометрия 7-9: Учебник для общего образования. Учреждения-М.: Просвещение, 2014
Л.С. Танасян и др. Геометрия. Дополнительный. К учебнику 8 кл: ученица. Пособие для школьников и классов с изображением. Исследования. Математика. — М .: Вита Пресс, 2003
Интернет-ресурсы
Материалы википедии
Тематический урок
- Диагональный параллелограмм объекта.
Задачи урока
- Познакомьтесь с новыми определениями и вспомните некоторые из уже изученных.
- Сформулируйте и докажите свойство диагоналей параллелограмма.
- Научитесь применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие — развивают внимание учащихся, усидчивость, усидчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Образовательные — через урок воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимное исполнение, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Введение.
- Повторение ранее изученного материала.
- Поллограмма, ее свойства и признаки.
- Примеры задач.
- Независимая проверка.
Введение
«Крупное научное открытие дает решение большой проблемы, но и в решении любой задачи есть зерно открытия».
Свойство противоположных сторон параллелограмма
У параллелограмма противоположные стороны равны.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. И пусть его диагонали пересекаются в точке О.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому основанию равенства треугольников (∠ aob = ∠ COD, как и вертикаль, AO = OC, DO = OB, по свойству диагональ параллелограмма), то AB = CD. Аналогично из равенства треугольников Вос и ДОА следует, что ВС = DA. Теорема доказана.
Свойство параллелограмма противоположных углов
У параллелограмма противоположные углы равны.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. И пусть его диагонали пересекаются в точке О.
Из доказанного в теореме о свойствах противоположных сторон параллелограмм Δ ABC = δ CDA в трех сторонах (AB = CD, BC = DA из доказанного, AC равен общий). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Также доказано, что ∠ dab = ∠ BCD, что следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.
Диагональный параллелограмм недвижимости
Диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. Проводим диагональ переменного тока. Отметим на нем середину O. На продолжение отрезка DO отложите отрезок OB 1, равный DO.
Согласно предыдущей теореме AB 1 CD — параллелограмм. Следовательно, направьте AB 1 параллельно DC. Но через точку A можно провести только один прямой параллельный DC. Итак, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Это также доказывает, что BC 1 совпадает с BC. Итак, точка C совпадает с 1.Параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам. Теорема доказана.
В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказано так: диагонали параллелограммов разделены на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним — они равны: основания у них противоположные стороны, примыкающие к ней соответствующие углы равны вертикали с параллельными прямыми.То есть отрезки диагоналей попарно равны. Все.
Это все?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагональ пополам — если есть. Само существование приведенных выше рассуждений никоим образом не доказывает. То есть часть теоремы «диагональный параллелограмм пересекается» остается недоказанной.
Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Это, кстати, следует из более общего результата: любая выпуклая четырехконтактная диагональ будет пересчитана, никаких неприятных не будет.
О равенстве треугольников по бокам и двух поправках к нему (второй признак равенства треугольников) и др.
Теорема о равенстве двух треугольников на стороне и двух смежных углов Фалеса нашла важное практическое применение. В гавани Милеты построили дальномер, определяющий расстояние от корабля до моря. Он представлял собой три сбитые сваи A, B и C (AB = Sun) и место прямого SC, перпендикулярного.Когда корабль появляется на прямом SC, была точка D такая, что точки d ,. In и e оказались на одной прямой. Как видно из рисунка, расстояние от КД на земле — это желаемое расстояние до корабля.
Вопросы
- Диагональ квадрата точки пересечения делится пополам?
- Диагональный параллелограмм равен?
- Управляющие углы параллелограмма равны?
- Слово определение параллелограмма?
- Сколько знаков у параллелограмма?
- Может ли ромб быть параллелограммом?
Список использованных источников
- Кузнецов А.В., учитель математики (5-9 классы), Киев
- «ЕГЭ 2006. Математика. Учебные материалы для обучения студентов / Рособрнадзор, Исоп — М .: Интеллект-Центр, 2006»
- Мазур К.И. «Решение основных соревновательных задач по математике сборника под ред. М.И. Сканави»
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. «Геометрия, 7 — 9: Учебник для общеобразовательных учреждений»
Над уроком работали
Кузнецов А.V.
Purknak S.A.
Евгений Петров
Задать вопрос о современном образовании, выразить идею или решить уреранную проблему можно. Образовательный форум Где на международном уровне собирается образовательный совет свежих мыслей и действий. Создание blog Вы не только повысите свой статус грамотного учителя, но и внесете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия лидеров образования Открывает двери для высококлассных специалистов и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших школ мира.
Предмет> Математика> Математика 8 класс
В параллелограмме со всех сторон. Параллелограмм и его свойства
Параллелограмм называется четырехугольником, у которого противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельной прямой
Свойства Pollogram:
Теорема 22.
Противоположные стороны параллельного грамма равны.
Доказательства. В параллелограмме АВД проведем диагональ АК. Треугольники ACD и DCA равны, так как имеют общую сторону переменного тока и две пары равных углов.На него отправлено: ∠ Sav = ∠ ACD, ∠ DC = ∠ DAC (как нижележащие углы при параллельных прямых AD и Sun). Итак, Av = CD и Sun = AD, как соответствующие стороны равных треугольников, гл.Т.Д. Из равенства этих треугольников следует также равенство соответствующих углов треугольников:
Теорема 23.
Противоположные углы параллелограмма равны: ∠ A = ∠ C и ∠ B = ∠ D.
Равенство первой пары происходит из равенства треугольников AVD и CBD, а второй — ABC и ACD.
Теорема 24.
Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилегающие к одной стороне, составляют 180 градусов.
Это потому, что это внутренние односторонние углы.
Теорема 25.
Диагональ параллелограмма должна делиться друг на друга в точке их пересечения пополам.
Доказательства. Рассмотрим треугольники Bos и AOD. Согласно первому свойству AD = Sun ∠ OAD = ∠ ASS и ∠ ODA = ∠ ABS, поскольку лежит в основе под параллельными прямыми AD и Sun.Следовательно, треугольники ВС и АОП равны по бокам и прилегающим к ним углам. Итак, при = OD и AO = OS, как соответствующие стороны равных треугольников, гл.Т.Д.
Знаки параллелограмма
Теорема 26.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.
Доказательства. Предположим, что в четырехугольнике AVD есть AD и Sun, AV и CD соответственно (Riga2). Проведем диагональ динамиков. Треугольники ABC и ACD равны трем сторонам.Тогда углы вас и DSA равны и, следовательно, автоматически параллельны CD. Параллельность сторон Солнца и AD следует из равенства углов CAD и DR.
Теорема 27.
Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.
Пусть ∠ A = ∠ C и ∠ B = ∠ D. Поскольку ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 O, то ∠ A + ∠ B = 180 O и сторона AD и солнце параллельны ( на основе параллелизма прямой). Мы также доказываем параллелизм сторон AV и CD и заключаем, что AVD является параллелограммом по определению.
Теорема 28.
Если прилегающие углы четырехугольника, т.е. углы, прилегающие к одной стороне, составляют 180 градусов, это параллелограмм.
Если внутренние односторонние углы в сумме равны 180 градусам, то прямолинейно быстро. Итак, AV paralo CD и sun paral ad. Четырехугольник по определению оказывается параллелограммом.
Теорема 29.
Если диагональ четырехугольника в точке пересечения пополам делится пополам, то четырехугольник является параллелограммом.
Доказательства. Если AO = OS, IC = OD, то треугольники AOD и VOS равны, так как имеют равные углы (по вертикали) вверху o, заключенного между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и Sun равны. Также равны стороны AB и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом на основании 1.
Теорема 30.
Если у четырехугольника есть пара равных параллельных сторон, то это параллелограмм.
Предположим, что у квадрилатера AVD стороны AB и CD параллельны и равны.Проводим диагонали АК и КД. Исходя из параллельности этих прямых, равенство должно быть равным нижележащим углам AVO = CDO и VAO = OSD. Треугольники AVO и CDO равны по бокам и примыкают к его углам. Следовательно, АО = ОС, I = OD, т.е. диагональ точки пересечения делится пополам и четырехугольник получается параллелограммом на основании 4.
В геометрии бывают частные случаи параллелограмм.
Тематический урок
- Диагональный параллелограмм объекта.
Задачи урока
- Познакомьтесь с новыми определениями и вспомните некоторые из уже изученных.
- Сформулируйте и докажите свойство диагоналей параллелограмма.
- Научитесь применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие — развивают внимание учащихся, усидчивость, усидчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Образовательные — через урок воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимное исполнение, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Введение.
- Повторение ранее изученного материала.
- Поллограмма, ее свойства и признаки.
- Примеры задач.
- Независимая проверка.
Введение
«Крупное научное открытие дает решение большой проблемы, но и в решении любой задачи есть зерно открытия.»
Свойство противоположных сторон параллелограмма
У параллелограмма противоположные стороны равны.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. И пусть его диагонали пересекаются в точке О.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому основанию равенства треугольников (∠ aob = ∠ COD, как и вертикаль, AO = OC, DO = OB, по свойству диагональ параллелограмма), то AB = CD.Аналогично из равенства треугольников Вос и ДОА следует, что ВС = DA. Теорема доказана.
Свойство параллелограмма противоположных углов
У параллелограмма противоположные углы равны.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. И пусть его диагонали пересекаются в точке О.
Из доказанного в теореме о свойствах противоположных сторон параллелограмм Δ ABC = δ CDA в трех сторонах (AB = CD, BC = DA из доказанного, AC равен общий).Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Также доказано, что ∠ dab = ∠ BCD, что следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.
Диагональный параллелограмм недвижимости
Диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. Проводим диагональ переменного тока. Отметим на нем середину O. На продолжение отрезка DO отложите отрезок OB 1, равный DO.
Согласно предыдущей теореме AB 1 CD — параллелограмм. Следовательно, направьте AB 1 параллельно DC. Но через точку A можно провести только один прямой параллельный DC. Итак, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Это также доказывает, что BC 1 совпадает с BC. Итак, точка C совпадает с 1. Параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам. Теорема доказана.
В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказано так: диагонали параллелограммов разделены на 4 треугольника.Рассмотрим одну пару и выясним — они равны: основания у них противоположные стороны, примыкающие к ней соответствующие углы равны вертикали с параллельными прямыми. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Все.
Это все?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагональ пополам — если есть. Само существование приведенных выше рассуждений никоим образом не доказывает. То есть часть теоремы «диагональный параллелограмм пересекается» остается недоказанной.
Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Это, кстати, следует из более общего результата: любая выпуклая четырехконтактная диагональ будет пересчитана, никаких неприятных не будет.
О равенстве треугольников по бокам и двух поправках к нему (второй признак равенства треугольников) и др.
Теорема о равенстве двух треугольников на стороне и двух смежных углов Фалеса нашла важное практическое применение.В гавани Милеты построили дальномер, определяющий расстояние от корабля до моря. Он представлял собой три сбитые сваи A, B и C (AB = Sun) и место прямого SC, перпендикулярного. Когда корабль появляется на прямом SC, была точка D такая, что точки d ,. In и e оказались на одной прямой. Как видно из рисунка, расстояние от КД на земле — это желаемое расстояние до корабля.
Вопросы
- Диагональ квадрата точки пересечения делится пополам?
- Диагональный параллелограмм равен?
- Управляющие углы параллелограмма равны?
- Слово определение параллелограмма?
- Сколько знаков у параллелограмма?
- Может ли ромб быть параллелограммом?
Список использованных источников
- Кузнецов А.В., учитель математики (5-9 классы), Киев
- «ЕГЭ 2006. Математика. Учебные материалы для обучения студентов / Рособрнадзор, Исоп — М .: Интеллект-Центр, 2006»
- Мазур К.И. «Решение основных соревновательных задач по математике сборника под ред. М.И. Сканави»
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. «Геометрия, 7 — 9: Учебник для общеобразовательных учреждений»
Над уроком работали
Кузнецов А.V.
Purknak S.A.
Евгений Петров
Задать вопрос о современном образовании, выразить идею или решить уреранную проблему можно. Образовательный форум Где на международном уровне собирается образовательный совет свежих мыслей и действий. Создание blog Вы не только повысите свой статус грамотного учителя, но и внесете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия лидеров образования Открывает двери для высококлассных специалистов и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших школ мира.
Предмет> Математика> Математика 8 класс
Доказательства
В первую очередь проведем диагональ АС. Получаются два треугольника: ABC и ADC.
Так как ABCD — параллелограмм, то верно следующее:
AD || ВС \ Стрелка вправо \ Угол 1 = \ Угол 2 Как лежащий крест.
AB || CD \ RIGHTARROW \ Angle3 = \ Angle 4 Как лежащий крест.
Следовательно, \ треугольник ABC = \ треугольник ADC (по второму основанию: и AC вообще).
А, значит, \ треугольник ABC = \ треугольник ADC, затем AB = CD и AD = BC.
Проверено!
2. Противоположные углы идентичны.
Свидетельство
Согласно свидетельству свойства 1. Мы знаем, что \ Угол 1 = \ Угол 2, \ Угол 3 = \ Угол 4. Таким образом, сумма противоположных углов равна равным: \ Угол 1 + \ Угол 3 = \ Угол 2 + \ Угол 4. Учитывая, что \ треугольник ABC = \ ТРЕУГОЛЬНИК получается АЦП \ угол а = \ угол с, \ \ угол b = \ угол d.
Проверено!
3. Диагональ отделяется половиной точки пересечения.
Доказательства
Проведем еще диагональ.
По свойство 1. Мы знаем, что противоположные стороны идентичны: AB = CD. Еще раз отметим поперечины, лежащие под равными углами.
Таким образом, видно, что \ треугольник aob = \ треугольник ячейка согласно второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними).То есть BO = OD (напротив углов \ angle 2 и \ angle 1) и AO = OC (напротив углов \ Angle 3 и \ Angle 4 соответственно).
Проверено!
Знаки параллелограмма
Если в вашей задаче присутствует только одна функция, фигура представляет собой параллелограмм и могут использоваться все свойства этой фигуры.
Для лучшего запоминания отметим, что знак параллелограмма ответит на следующий вопрос — «как узнать?» .То есть как узнать, что указанная фигура — параллелограмм.
1. Параллелограмм — это такой четырехугольник, в котором две стороны равны и параллельны.
AB = CD; AB || CD \\ RIGHTARROW ABCD — параллелограмм.
Доказательства
Рассмотрим больше. Почему реклама || ДО Н.Э?
\ треугольник ABC = \ треугольник АЦП ПО свойство 1. : AB = CD, AC — сумма и \ угол 1 = \ угол 2 как сшивки под параллелью AB и CD и ВТОРОЙ AC.
Но если \ треугольник ABC = \ треугольник ADC, то \ угол 3 = \ угол 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И поэтому ad || Bc (\\ Угол 3 и \\ Угол 4 — Лежащая свобода также равна).
Первый знак верный.
2. Параллелограмм — это такой четырехугольник, который равен противоположным направлениям.
AB = CD, ad = BC \ Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательства
Учтите эту особенность.Еще раз диагональ переменного тока.
По свойство 1. \ треугольник ABC = \ треугольник ACD.
Отсюда следует, что: \\ ANGLE 1 = \\ ANGLE 2 \\ RIGHTARROW AD || ДО Н.Э. и \\ УГОЛ 3 = \\ УГОЛ 4 \\ СТРЕЛКА ВПРАВО AB || CD, то есть ABCD — параллелограмм.
Второй знак верен.
3. Параллелограмм — это такой четырехугольник, в котором противоположные углы равны.
\ угол a = \ угол c, \ ANGLE B = \ ANGLE D \ RIGHTARROW ABCD — параллелограмм.(\\ CIRC) говорит, что AD || ДО Н.Э.
При этом \\ Альфа и \\ Бета — внутренние односторонние под Продажу AD. А это значит AB || CD.
Третий знак верен.
4. Параллелограмм — это такой четырехугольник, который по диагонали разделен точкой пересечения пополам.
АО = ОС; Бо = OD \ правый параллелограмм.
Доказательства
БО = OD; AO = OC, \ Angle 1 = \ Angle 2 как вертикаль \ Rightarrow \ треугольник aob = \ треугольник cod, \ Rightarrow \ Angle 3 = \ Angle 4, и \ Rightarrow AB || CD.
Аналогично БО = OD; AO = OC, \ ANGLE 5 = \ ANGLE 6 \ RIGHTARROW \ TRIANGLE AOD = \ TRIANGLE BOC \ RIGHTARROW \ ANGLE 7 = \ ANGLE 8, и \ rightarrow ad || ДО Н.Э.
Четвертый знак — верный.
1. Определение параллелограмма.
Если пара параллельных прямых пересекает другую пару параллельных прямых, то мы получаем четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В квадрилях ABDS и EFNM (рис.224) cd || AC и AB || CD;
EF || Mn и Em || Fn.
Квадрикон, противоположные стороны которого параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Предположим, есть параллелограммы ABDC (рис. 225), в которых AB || CD и AS || CD.
Требуется доказать, что диагональ делит ее на два равных треугольника.
Рисуем в параллелограмме ABDS Диагональ SV. Докажем, что \ (\ Delta \) Cab = \ (\ Delta \) SDV.
Сторона у этих треугольников общая; ∠abc = ∠BCD, как внутреннее прохождение нижележащих углов с параллельными AB и CD и Singing SV; ∠Acb = ∠SVD, также как внутренний проход нижележащих углов с параллельными переменным и cd и вековым CB.
Отсюда \ (\ Delta \) Cab = \ (\ Delta \) SDV.
Таким же образом можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограммы на два равных треугольника ACD и ABD.
Следствие:
1
. Противоположные углы параллелограмма равны друг другу.
∠A = ∠D, следует из равенства треугольников CAB и SDV.
Аналогично и ∠С = ∠.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны друг другу.
AB = CD и AC = CD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагональ параллелограмма в точке их пересечения делится пополам.
Пусть BC и AD — диагональ параллелограмма AVDS (рис. 226). Докажем, что АО = OD и CO = OB.
Для этого сравним пару противоположно расположенных треугольников, например \ (\ deelta \\) aob и \\ (\\ delta \) CD.
В этих треугольниках AB = Cd, как противоположные стороны параллелограмма;
∠1 = ∠2, так как углы внутреннего будут лежать под параллельными AB и CD и Single AD;
∠3 = ∠4 по той же причине, что и AB || CD и SV — их секанс.
Отсюда следует, что \ (\ Delta \) AOB = \ (\ Delta \) CD. А в равных треугольниках против равных углов есть равные стороны. Следовательно, АО = OD и CO = OB.
Теорема 3. Сумма углов, примыкающих к одной стороне параллелограмма, равна .
180 ° .
В параллелограмме ABCD проведем диагональ переменного тока и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (нижележащие углы с параллельными прямыми), а сторона АС общая.
Из равенства \ (\ delta \) ABC = \ (\ Delta \) ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Сумма углов, прилегающих к одной стороне, например, углы A и D равны 180 ° как односторонние с параллельными прямыми линиями.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Савинская общеобразовательная школа
Научно-исследовательская
Параллелограмм и его новые свойства
Выполнила: ученица 8Б класса
МБОУ Савинская Сош
Кузнецова Светлана, 14 лет
Руководитель: Учитель математики
Тульчевская Н.А.
стр. Савино
Ивановская область, Россия
2016.
I. Введение ________________________________________________________________________
II. Из истории параллелограмма ___________________________________ стр. 4
III Дополнительные свойства параллелограмма ______________________ стр. 4
IV. Подтверждение свойств _____________________________________ стр. 5
V. Решение задач с использованием дополнительных свойств __________ стр. 8
Vi.Применение свойств параллелограмма в жизни ___________________ стр. 11
VII. Заключение _____________________________________________ стр. 12
VIII. Литература _____________________________________________ стр. 13
Введение
« Среди равных умов
для эквити других условий
выше того, кто знает геометрию»
(Blaze Pascal).
При изучении темы «Параллелограммы» на уроках геометрии мы рассматривали два свойства параллелограмма и три знака, но когда начали решать задачи, оказалось, что этого недостаточно.
У меня вопрос, а есть ли у параллелограмма еще и свойства, и как они помогут при решении задач.
И я решил изучить дополнительные свойства параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.
Предмет исследования
:
параллелограмм
Объект исследования
: Свойства поллограммы
Цель работы:
формулировка и доказательство дополнительных свойств параллелограмма, которые не изучаются в школе;
использование этих свойств для решения проблем.
Задач:
Найти дополнительную литературу по изучаемой теме;
Изучите дополнительные свойства параллелограмма и докажите их;
Покажите использование этих свойств для решения проблем;
Рассмотрим использование свойств параллелограмма в жизни.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
Изучение теоретического материала;
Выбор круга задач, которые можно решить с помощью дополнительных свойств параллелограмма;
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Продолжительность исследования
: 3 месяца: январь-март 2016 г.
Из истории параллелограмма
В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: Поллограмм — такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
Слово «параллелограмм» переводится как «параллельные прямые» (от греческих слов Parallelos — параллель и грамм — линия), этот термин ввел Евклид.В своей книге «Начинающий» Евклид доказал следующие свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы параллелограмма равны, а диагональ делит его пополам.
О точке пересечения параллелограмм Евклида не упоминается. Только к концу средневековья была разработана полная теория параллелограммов и только в XVII веке в учебниках появились теоремы о параллелограммах, которые доказываются с помощью теоремы Евклида о свойствах параллелограмма.
III
Дополнительные свойства параллелограмма
В учебнике по геометрии приведены всего 2 свойства параллелограмма:
Противоположные углы и стороны равны
Диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам
В различных источниках геометрии можно найти следующие дополнительные свойства:
Количество смежных углов Поллограмм, равный 180 0
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равносторонний треугольник;
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектриса смежных углов Параллелограмм пересекаются под прямыми углами;
Биссектриса всех углов параллелограмма с пересечением образует прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же диагонали равны.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединой противоположных сторон, то получится другой параллелограмм.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна двойной сумме квадратов его смежных сторон.
Если в параллелограмме двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
IV
Доказательство свойств параллелограмма
Количество смежных углов Параллелограмм равен 180
0
Dano :
ABCD — параллелограмм
Prove
A +.
Б =.
Доказательства:
AI
B-изогнутые односторонние углы с параллельным прямым солнцем AD и Sale AV, то есть
A +.
Б =.
2
Дано: ABCD —
параллелограмм,
АК-Биссектрис
НО.
Доказательство AVK — равно
Доказательства:
1)
1 =
3 (перекрестно проходит под солнцем AD и Sale AK)
2)
2 =
3 т.К. Ак — бисектриса,
Так 1 =
2.
3) АВК — нерешенный т. 2. 2 угла треугольника равны
. Биссектрисный угловой параллелограмм образует равносторонний треугольник
3
Дано: AVD — параллелограмм,
Ak — Bissektris A,
CP — Bissektris C.
Prove AK ║ ср.
Обоснование:
1) 1 = 2 т.К. Ак-bissectrice
2) 4 = 5 т.к. ср — Bissektris
3) 3 = 1 (Малые углы
Sun ║ AD и AK-SECOND),
4 ) A = C (по свойству параллелограмма), значит 2 = 3 = 4 = 5.
4) из пунктов 3 и 4 следует, что 1 = 4, и этим углам соответствуют для прямого АК и КП и Южного Солнца,
Итак, АК ║ КП (на основе параллельности прямого)
.Биссектриса противоположных углов Параллелограмм лежит на параллельных прямых
Биссектриса смежных углов Параллелограмм пересекается под прямым углом
Дано: AVD — параллелограмм,
Ak-bisectaris A,
DR Bissectrix D
Prove DR AK.
Свидетельство:
1) 1 = 2, потому что Ak — Bissektris
Пусть, 1 = 2 = x, тогда a = 2x,
2) 3 = 4, потому что DR — Bissectrix
Пусть, 3 = 4 = y, тогда d = 2y
3) a + d = 180 0, т.к. сумма смежных углов Параллелограмма равна 180
2) Рассмотрим A OD.
1 + 3 = 90 0, тогда
5. Биссектрика всех углов Параллелограмм с пересечением образуют прямоугольник
Дано: AVD — параллелограмм, ak-bisectaris A,
DR, биссектриса D,
Cm -Bistektris C,
BF -Bissectrice b.
Доказательство : КРНС -ПРЯУГОН
Доказательство:
Исходя из предыдущего свойства 8 = 7 = 6 = 5 = 90 0,
так что КРНС — яркий.
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же диагонали равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, as-диагональ.
VC Ac DP. AC
Prove BC = DR
Evidence: 1) DCR = KAB, как внутренние замыкания, лежащие в основе AB ║ CD и SECOND AC.
2) АКБ =. CDR (сбоку и два регулировочных угла AV = CD Cd p = AB K).
А в равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит DR = BC.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединой противоположных сторон, то получится другой параллелограмм.
Дано: ABCD-параллелограмм.
Докаж ВКДР — параллелограмм.
Свидетельство:
1) BR = KD (ad = bc, указывает на и p
делит эти партии пополам)
2) BP ║ KD (лежит на AD BC)
Если в противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, значит, этот четырехугольник -паралограмма.
Если в параллелограмме двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна двойной сумме квадратов его смежных сторон.
Дано: ABCD — параллелограмм. BD и AC — диагональ.
Prove AC 2
+ тд. 2
= 2 (AB 2
+ AD 2
)
Доказательства: 1) СПРОСИТЬ:
AC
² =
+
2) Б.
R D.
:
BD.
2
=
Б.
R 2
+ Р. Д.
2
(по теореме Пифагора)
3 )
AC
² +
BD.
² = SCQ + A.
К² +. Б.
R² + R. D.
²
4) СК = БП = Н (высота )
5) AC. 2
+ Б. Д.
2
=
H.
2
+
А.
К 2
+
H.
2
+ Р. Д.
2
6)
Пусть будет
Д.
К =. А.
P = H. , затем C.
К Д.
:
H.
2
=
CD
2
— Н. 2
согласно теореме Пифагора )
7) как xt + в D.
² = S. D.
2
— x² + ак 1
² +
CD
2
-H. 2
+ Р. Д.
2
, г.
As² + B. Д.
² = 2s D.
2
-2x 2
+
А.
К 2
+ Р. Д.
2
8) А.
К = AD +.
ч. , г.
R D = ad
ч. , г.
As² + B. D.
² = 2. CD
2
-2x 2
+ ( н.э.
+ х) 2
+ ( н.э.
) 2
, г.
AC ² +
IN D² = 2.
ИЗ D²-2
ч. ² + AD.
2
+ 2AD
ч. +
ч. 2
+ нашей эры
2
-2ад.
ч. +
ч. 2
,
AC ² +
IN D² = 2cd.
2
+ 2AD
2
= 2 (CD
2
+ нашей эры
2
).
В.
. Решение задач с использованием этих свойств
Точка пересечения биссектрисы двух углов параллелограмма, примыкающих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
. Найдите это с самой стороны.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AK — Bissektris
BUT,
D K — биссектриса
D, av = 5
Найти : Sun.
беспорядок
Решение
Поскольку AK — Bissektris
A, то AVC является равным.
Потому что DK — биссектриса
D, T. DCK — Wireless
DC = CK = 5
Тогда Sun = VK + SK = 5 + 5 = 10
Ответ: 10.
2. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
1 корпус
Дано:
НО,
ВК = 14 см, kc = 7 см
Найти: Параллелограмм
3 u0003
u0036
Decision Sun
VK + kc = 14 + 7 = 21 (см)
Поскольку AK — Bissektris
A, то AVC является равным.
AV = VK = 14 см
Тогда p = 2 (14 + 21) = 70 (см)
происходящее
Дано: ABCD — параллелограмм,
DK — биссектриса
D,
ВК = 14 см, kc = 7 см
Найти : P параллелограмм
Решение
Солнце = ВК + kc = 14 + 7 = 21 (см)
Потому что ДК — биссектриса
D, T.DCK — Wireless
DC = CK = 7
Тогда p = 2 (21 + 7) = 56 (см)
Ответ: 70см или 56 см
3. Детекторами параллелограмма являются равны 10 см и 3 см. Биссектриса двух углов, примыкающих к большей стороне, делит противоположную сторону на три сегмента. Найдите эти сегменты.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано: ABCD — параллелограмм, ак — биссектриса
А,
DK — биссектриса
D, av = 3 см, солнце = 10 см
Найти : VM, Mn, NC
Решение
Поскольку AM — Bissektris
A, тогда AVM является равным.
Т.к. DN — Bissektris
D, T. DCN — равно
DC = CN = 3
Тогда Mn = 10 — (Bm + NC) = 10 — (3 + 3) = 4 см.
2 случай: бисектрис пересекаются внутри параллелограмма
Поскольку An — Bissektris
A, то Avn является равновесием.
АВ = Б. Н.
= 3
D.
А раздвижная сетка — для перемещения на необходимое расстояние в дверном проеме
Механизм параллелограмм — Механизм четырехжильный, звенья которого представляют собой параллелограммы.Применяется для реализации поступательного движения с помощью навесных механизмов.
Параллелограмм с неподвижным звеном — Одно звено неподвижно, противоположное совершает колебательное движение, оставаясь параллельным неподвижным. Два соединенных между собой параллелограмма дают конечному звену две степени свободы, оставляя его параллельным неподвижному.
Примеры: автобусы, погрузчики, треноги, подвески, автомобильные подвески.
Параллелограмм с фиксированным шарниром — свойство параллелограмма используется для поддержания постоянного отношения расстояний между тремя точками.Пример: Исходный пантограф — устройство для масштабирования чертежей.
Ромб — Все звенья одинаковой длины приближаются (затягиваются) Пара противоположных шарниров приводит к раскрытию двух других петель. Все ссылки работают на сжатие.
Примеры — автомобильный ромбовидный домкрат, трамвайный пантограф.
Ножницы или Х-образный механизм , также известный как Нюрнбергские ножницы — вариант рома — два звена, соединенные в середине петли. Достоинства механизма — компактность и простота, недостаток — наличие двух пар скольжения.Два (или более) таких механизма, соединенных последовательно, образуют середину ромба (ов). Используется в слушателях, детских игрушках.
VII
Заключение
Кто с детства занимается математикой,
развивает внимание, тренирует свой мозг,
свою волю, повышает настойчивость
и настойчивость в достижении цели
Маркус А.
В процессе работы я доказал дополнительные свойства параллелограмма.
Я убедился, что применяя эти свойства, вы сможете быстрее решать поставленные задачи.
Я показал, как эти свойства применяются на примерах решения конкретных задач.
Я узнал много нового о параллелограмме, чего нет в нашем учебнике по геометрии
Я убедился, что знание геометрии очень важно в жизни на примерах применения свойств параллелограмма .
Цель моей исследовательской работы выполнена.
Насколько важны математические знания, факт, что награда учреждена тому, кто издаст книгу о человеке, который жил без помощи математики. Эту премию еще не получил ни один человек.
VIII.
Литература
Погорелова А.А. Геометрия 7-9: Учебник для общего образования. Учреждения-М.: Просвещение, 2014
Л.С. Танасян и др. Геометрия. Дополнительный. К учебнику 8 кл: ученица. Пособие для школьников и классов с изображением. Исследования. Математика. — М .: Вита Пресс, 2003
Интернет-ресурсы
Материалы википедии
Средняя линия треугольника. Теорема Фалеса. Полные уроки
О параллельном и секущем.
Вне русскоязычной литературы о теореме Фалеса иногда ссылаются на другую теорему о планиметре, а именно на утверждение, что вписанный угол, основанный на диаметре окружности, является прямым.Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, что является свидетельством лагеря.
Состав
Если один из двух непосредственно отложить последовательно несколько равные отрезки и через их концы провести параллельную прямую, пересекающую вторую прямую, то они отрежут ко вторым прямым равным отрезкам.
Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных сегментах
Параллельная прямая линия, отрезанная на последовательных пропорциональных сегментах:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3.(\ DisplayStyle (\\ FRAC (A_ (1) A_ (2)) (b_ (1) b_ (2))) = (\ FRAC (A_ (2) A_ (3)) (B_ (2) B_ (3))) = (\ FRAC (A_ (1) A_ (3)) (b_ (1) b_ (3))).)
Замечания
- Теорема не имеет ограничений на взаимное расположение секущей (верно как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не имеет значения, где находятся отрезки на секущей.
- Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных сегментах, поскольку равные сегменты могут считаться пропорциональными сегментами с коэффициентом пропорциональности 1.
Доказательство в случае последовательного
Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекает прямую A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D d 1 (\ displaystyle aa_ (1) || bb_ (1) || cc_ (1) || dd_ (1)), где A B = C D (\ DisplayStyle AB = CD).
Доказательство в случае параллельной прямой
Проведем прямую до н.э. . Уголки ABC, и BCD. равны внутренним шкафам, лежащим в основе параллельных прямых AB, и CD, и Sale BC., и уголки ACB. и CBD. равно внутренним шкафам, лежащим в основе параллельными прямыми AC и BD. и продажа до н.э. . Затем по второму знаку равенства треугольников треугольники ABC, и DCB. равных. Отсюда следует, что AC = BD. и AB = CD . ■
Варианты и обобщения
Обратная теорема
Если есть равные отрезки в теореме Фалеса (часто в школьной литературе используется эта формулировка) обратная теорема Также оказывается верной.Для пересекающихся секверов он формулируется как:
В теореме обратного Фаблеса важно, чтобы равные сегменты начинались с вершины
Таким образом (см. Рис.) Из чего CB 1 Ca 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\ displayStyle (\ FRAC (CB_ (1)) (Ca_ (1))) \ u003d (\ FRAC (B_ (1) B_ (2)) (A_ (1) A_ (2))) = \ ldots), следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\\ displaystyle a_ (1) b_ (1) || a_ (2) b_ (2) || \\ ldots).
Если последовательность параллельна, то необходимо потребовать равенства отрезков на обеих секантиях между собой, иначе это утверждение станет некорректным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середину оснований).
Эта теорема используется в навигации: столкновение судов, движущихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление от одного судна к другому.
Лемма Соллертинский
Следующее утверждение, двойственное лемме Соллертина:
Пусть будет F (\ DisplayStyle F) — проективное соответствие между точками прямого L (\ DisplayStyle L) и прямого M (\ DisplayStyle M). Тогда набор прямых будет набором касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). |
В случае теоремы фаз коника будет бесконечно удаленной точкой, соответствующей направлению параллельных прямых.
Это утверждение, в свою очередь, является крайним случаем следующего утверждения:
Пусть будет F (\ DisplayStyle F) — Проективное преобразование хвойных пород. Тогда конверт множества прямых X F (X) (\\ DisplayStyle XF (X)) Будет коника (возможно, вырожденная). |
Гробница небольшая, но слава о ней безмерна.
Перед вами много разумных фантазий.
Надпись на могиле Фалеза Мирецкого
Представьте себе такую картинку. 600 г. до н. Э. Египет. Перед вами огромная египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться в его фаворитах, вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В вашем распоряжении … ничего. Можно впасть в отчаяние, а можно сделать так, как Фалез Милецкий : Используйте подобие треугольников.Да, оказывается, все достаточно просто. Фалез Милецкий дождался совпадения длины его тени и ее роста, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая, соответственно, была равна отбрасываемой тени пирамиды.
Кто этот Фалез Милецкий ? Человек, снискавший славу одного из «семи мудрецов» древности? Фалез Мирецкий — древнегреческий философ, отличившийся успехами в области астрономии, а также математики и физики.Годы его жизни были установлены лишь приблизительно: 625-645 GG BC
Среди свидетельств знания астрономии Фалеса можно привести следующий пример. 28 мая 585 г. до н.э. Милецкое предсказание солнечного затмения Помогло остановить последние 6 лет войны между Лидией и MiDius. Это явление настолько напугало Миддов, что они согласились на невыгодные условия заключения мира с лидийцами.
Достаточно широко известна легенда, характеризующая Фалеса как находчивого человека.Фалесу часто приходилось слышать нелестные отзывы о его бедности. Однажды он решил доказать факт, что оба философа при желании могут жить в достатке. Еще зимой Фалес для наблюдения за звездами определил, что летом будет хороший урожай Маслин. Потом нанял масломб в просо и на Хиосе. Обошлось ему довольно дешево, так как зимой спрос на них практически отсутствует. Когда оливки дали богатый урожай, Фалес стали раздавать свои маслодавилы. Собранные этим методом большие деньги были расценены как свидетельство того, что философы могут заработать своим умом, но их призвание выше таких земных проблем.Эту легенду, кстати, повторил сам Аристотель.
Что касается геометрии, то многие ее «открытия» были заимствованы у египтян. И все же такая передача знаний в Грецию считается одной из главных заслуг Фалеза Милецкого.
Достижения Фалеса считаются формулировкой и доказательством следующих теорем:
- вертикальные углы равны;
- равных треугольников признают те, у которых сторона и два смежных угла соответственно равны;
- углы при основании равномерного треугольника равны;
- делит круг пополам;
- вписанный угол, основанный на диаметре, является прямым.
Диаметр
Именем Фалеса названа еще одна теорема, полезная при решении геометрических задач. Есть обобщенный и частный взгляд, обратная теорема, формулировки тоже могут немного отличаться в зависимости от источника, но смысл их у всех остается единым. Рассмотрим эту теорему.
Если параллельные прямые пересекают сторону угла и отсекают с одной стороны равные отрезки, то отрезают равные отрезки и с другой его стороны.
Предположим, точки A 1, a 2 и 3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, а в 1, 2 и 3 точки пересечения параллельных прямых с другой стороны угла. угол.Необходимо доказать, что если 1 и 2 = 2 А 3, то в 1 при 2 = в 2 в 3.
После точки в 2 проведем прямую, параллельную прямой 1 A 2. Обозначим новую прямую с 1 C 2. Рассмотрим параллелограмм A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3.
Свойства параллелограмма позволяют утверждать, что A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2. А поскольку по нашему условию a 1 A 2 = a 2 A 3, то C 1 B 2 = в 2 c 2.
И, наконец, рассмотрим треугольники Δ C 1 B 2 B 1 и δ C 2 B 2 B 3.
C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано выше).
Это означает, что Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 будут равны на втором основании равенства треугольников (на боковых и прилегающих углах).
Таким образом, теорема Фалеса доказана.
Использование этой теоремы значительно облегчит и ускорит решение геометрических задач. Успехов в развитии этой занимательной математической науки!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Тематический урок
Задачи урока
- Познакомьтесь с новыми определениями и вспомните некоторые из уже изученных.
- Сформулируйте и докажите свойства квадрата, докажите его свойства.
- Научитесь применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие — развивают внимание учащихся, усидчивость, усидчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Образовательные — через урок воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимное исполнение, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Историческая справка.
- Фалес как математик и его работы.
- Полезно запомнить.
Историческая справка
- Теорема Фалеса все еще используется в морской навигации, как правило, что столкновение судов, движущихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс суда.
- Вне русскоязычной литературы о теореме Фалеса иногда ссылаются на другую теорему о планиметре, а именно на утверждение, что вписанный угол, основанный на диаметре окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, что является свидетельством лагеря.
- «Основы геометрии», составленные в Египте.
Открытие и заслуга ее автора
А знаете ли вы, что Фалез Милецкий был одним из семи самых известных по тем временам мудреца Греции.Он основал ионическую школу. Идея, которую продвигал Фалес в этой школе, заключалась в единстве всех вещей. Мудрец считал, что есть единое начало, с которого все и происходит.
Огромная заслуга Фалеза Милецкого — создание научной геометрии. Этому великому учению удалось на основе измерения египетского искусства создать дедуктивную геометрию, в основе которой лежат общие причины.
Помимо огромных познаний в геометрии, Фалес также хорошо разбирался в астрономии. Эму впервые удалось предсказать полное солнечное затмение.Но произошло это не в современном мире, а в далеком 585 году, еще до нашей эры.
Фалес Миетецкий был человеком, который понял, что север можно точно определить по созвездию маленького медведя. Но это было не последнее его открытие, так как ему удалось определить продолжительность года, разбить его на триста шестьдесят пять дней, а также установить время равноденствия.
Фалес на самом деле был разносторонним и мудрым человеком. К тому же он прославился как прекрасным математиком, так и физиком, астрономом, еще он, как настоящий метеоролог, умел довольно точно предсказывать урожай оливок.
Но наиболее примечательно то, что Фалес никогда не ограничивался своими знаниями только в области науки и теории и всегда пытался закрепить доказательства своих теорий на практике. И самое интересное, что Великий Мудрец не был сосредоточен на какой-то области своих знаний, его интересы имели разные направления.
Имя Фалеса уже тогда стало именным для мудреца. Его значение и значение для Греции было так же велико, как имя Ломоносова для России.Конечно, его мудрость можно трактовать по-разному. Но можно сказать, что у него есть как изобретательность, так и практическая несовместимость, а также в какой-то мере продолжение.
Фалез Милецкий был прекрасным математиком, философом, астрономом, любил путешествовать, был купцом и предпринимателем, занимался торговлей, а также был хорошим инженером, дипломатом, призером и активно участвовал в политической жизни. .
Ему даже удалось определить высоту пирамиды с помощью посоха и тени.Так и было. В один солнечный день Фалес положил свой посох на границу, где кончалась тень от пирамиды. Далее он подождал, когда его душа выйдет из тени, он станет равным его росту, и измерил длину тени пирамиды. Вот так, казалось бы, просто Фалес определил высоту пирамиды и доказал, что длина одной тени связана с длиной другой тени, а высота пирамиды связана с высотой посоха. Что и поразило самого фараона Амасиса.
Благодаря Фалесу все известные на тот момент знания были переведены в область научных интересов. Он смог довести результаты до уровня, подходящего для научного потребления, выделив определенный комплекс понятий. А может быть, с помощью Фалеса началось последующее развитие античной философии.
Теорема Фалеса играет одну важную роль в математике. Она была известна не только в Древнем Египте и Вавилоне, но и в других странах и была почвой для развития математики.А в повседневной жизни, при строительстве зданий, сооружений, дорог и т. Д., Без теоремы Фалеса не обойтись.
Теорема Фалеса в культуре
Теорема Фалеса стала известной не только в математике, но и в культуре. Однажды аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (Iz.) На суд зрителей представила песню, которая была посвящена знаменитой теореме. Участники Les Luthiers в своем видеоклипе специально на эту песню представили доказательства прямой теоремы для пропорциональных отрезков.
Вопросы
- Какие прямые называются параллельными?
- Где практически применима теорема Фалеса?
- Что говорит теорема Фалеса?
Список использованных источников
- Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глава. Ксенова М.Д.-М .: Аванта +, 2001.
- «ЕГЭ 2006. Математика. Учебные материалы для обучения студентов / Рособрнадзор, Исоп — М.: Интеллект-Центр, 2006 »
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И.« Геометрия, 7 — 9: Учебник для общеобразовательных учреждений »
Предмет> Математика> Математика 8 класс
Теорема не имеет ограничений на взаимное расположение секущей (верно как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не имеет значения, где находятся отрезки на секущей.
Доказательство в случае прямого параллельного
Проведем прямой БК.Углы ABC и BCD равны, как внутренние подъемы, лежащие с параллельными прямыми AB и CD и Singing BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние, так и более близкие под параллельными прямыми AC и BD и единицей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников aBC треугольники и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
Также существует теорема о пропорциональных отрезках :
Параллельная прямая линия, отрезанная на последовательных пропорциональных сегментах:
\ FRAC (A_1A_2) (B_1B_2) = \ FRAC (A_2A_3) (B_2B_3) = \ FRAC (A_1A_3) (B_1B_3).
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных сегментах, поскольку равные сегменты могут считаться пропорциональными сегментами с коэффициентом пропорциональности 1.
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), обратная теорема также будет верна. Для пересекающихся секверов он формулируется как:
Таким образом (см. Рис.) Из чего \\ FRAC (CB_1) (CA_1) = \\ FRAC (B_1B_2) (A_1A_2) = \ ldots = (\ rm IDEM) Отсюда следует, что прямой A_1b_1 || a_2b_2 || \\ ldots.
Если последовательность параллельна, то необходимо потребовать равенства отрезков на обеих секантиях между собой, иначе это утверждение станет некорректным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середину оснований).
Варианты и обобщения
Следующее утверждение, двойственное лемме Соллертина:
Написать отзыв на статью «Теорема Фалеса»Литература
Банкнотысм. Также
Отрывок, характеризующий теорему Фалеса — Ничего не думаю, просто не понимаю … Анатолий недавно переехал в Долохов. План похищения Ростовой уже несколько дней был респектабельным и был подготовлен Долоховым, и в тот день, когда Соня, подслушав Наташу в дверях, решила его защитить, этот план должен был быть осуществлен.Наташа в десять часов вечера обещала зайти к Курагину на заднее крыльцо. Курагин должен был высадить ее в вареной тройке и отнести за 60 верст от Москвы до села Каменка, где была приготовлена прессованная попа, вынужденная выдать их замуж. В Каменке и был готов стоять, который должен был вывезти их по Варшавской дороге и там они должны были скакать за границу на почте. |
О параллельном и секущем.
Вне русскоязычной литературы о теореме Фалеса иногда ссылаются на другую теорему о планиметре, а именно на утверждение, что вписанный угол, основанный на диаметре окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, что является свидетельством лагеря.
Формулировка
Если один из двух непосредственно откладывать последовательно несколько равные отрезки и через их концы проводить параллельную прямую, пересекающую вторую прямую, то они будут отрезаны ко вторым прямым равным отрезкам.
Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных сегментах
Параллельная прямая линия, отрезанная на последовательных пропорциональных сегментах:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3. (\ DisplayStyle (\ FRAC (A_ (1) A_ (2)) (b_ ( 1) b_ (2))) = (\ FRAC (A_ (2) A_ (3)) (B_ (2) B_ (3))) = (\ FRAC (A_ (1) A_ (3) ) (b_ (1) b_ (3))).)
Примечания
- Теорема не имеет ограничений на взаимное расположение секущей (верно как для пересекающихся прямых, так и для параллельных).Также не имеет значения, где находятся отрезки на секущей.
- Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки могут считаться пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности 1.
Доказательство в случае последовательного
Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекает прямую A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D d 1 (\ displaystyle aa_ (1) || bb_ (1) || cc_ (1) || dd_ (1)), где A B = C D (\ DisplayStyle AB = CD).
- Прорежьте точки A (\ DisplayStyle A) и C (\ DisplayStyle C) прямо, параллельно другой стороне угла. A B 2 B 1 A 1 (\\ DISPLAYSTYLE AB_ (2) B_ (1) A_ (1)) и C D 2 D 1 C 1 (\\ DisplayStyle CD_ (2) D_ (1) C_ (1)). По свойству Pollogram: AB 2 = A 1 B 1 (\ DisplayStyle AB_ (2) = A_ (1) B_ (1)) и C d 2 = C 1 D 1 (\ displaystyle CD_ (2 ) = С_ (1) d_ (1)).
- Треугольники △ A B B 2 (\\ DisplayStyle \\ BigtrianGeUp ABB_ (2)) и △ C d d 2 (\\ DisplayStyle \\ BigTRIANGEUP CDD_ (2)) равны на основании второго признака равенства треугольников
Доказательство в случае параллельного прямого
Проведем прямо до н.э.. Уголки ABC, и BCD. равны внутренним шкафам, лежащим в основе параллельных прямых AB, и CD, и Sale BC. , и уголки ACB. и CBD. равно внутренним шкафам, лежащим в основе параллельными прямыми AC и BD. и продажа до н.э. . Затем по второму знаку равенства треугольников треугольники ABC, и DCB. равных. Отсюда следует, что AC = BD. и AB = CD . ■
Варианты и обобщения
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), обратная теорема также будет верна. Для пересекающихся секверов он формулируется как:
Таким образом (см. Рис.) Из чего CB 1 Ca 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\ displayStyle (\ FRAC (CB_ (1)) (Ca_ (1))) \ u003d (\ FRAC (B_ (1) B_ (2)) (A_ (1) A_ (2))) = \ ldots), следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\\ displaystyle a_ (1) b_ (1) || a_ (2) b_ (2) || \\ ldots).
Если последовательность параллельна, то необходимо потребовать равенства отрезков на обеих секантиях между собой, иначе это утверждение станет некорректным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середину оснований).
Эта теорема используется в навигации: столкновение судов, движущихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление от одного судна к другому.
Лемма Соллертинский
Следующее утверждение, двойственное лемме Соллертина:
Пусть будет F (\ DisplayStyle F) — проективное соответствие между точками прямого L (\ DisplayStyle L) и прямого M (\ DisplayStyle M). Тогда много прямых X F (X) (\ DisplayStyle XF (X)) будет много касательных к каким-то |
ShT-2020-03.indd
% PDF-1.6
%
739 0 объект
>
эндобдж
736 0 объект
> поток
Adobe InDesign CS3 (5.0) 2020-07-09T16: 17: 33 + 03: 002020-07-09T16: 10: 08 + 03: 002020-07-09T16: 17: 33 + 03: 00application / pdf
Acrobat Distiller 8.1.0 (Windows) uuid: ae6fd2ab-c4d9-4b07-8f21-5b3c7f503511uuid: 5523ecd4-6370-46c9-b0f5-a63bd87df766
конечный поток
эндобдж
796 0 объект
> / Кодировка >>>>>
эндобдж
719 0 объект
>
эндобдж
720 0 объект
>
эндобдж
791 0 объект
>
эндобдж
731 0 объект
>
эндобдж
732 0 объект
>
эндобдж
733 0 объект
>
эндобдж
734 0 объект
>
эндобдж
735 0 объект
>
эндобдж
581 0 объект
>
эндобдж
599 0 объект
>
эндобдж
602 0 объект
>
эндобдж
605 0 объект
>
эндобдж
608 0 объект
>
эндобдж
611 0 объект
>
эндобдж
614 0 объект
>
эндобдж
617 0 объект
>
эндобдж
620 0 объект
>
эндобдж
623 0 объект
>
эндобдж
625 0 объект
> поток
h ޜ Zq «= P> LYrĮeVI & ȳ3i RL \ | Iw 랙 Y
Общие свойства треугольника и параллелограмма.Диагональный параллелограмм недвижимости
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Савинская общеобразовательная школа
Научно-исследовательская
Параллелограмм и его новые свойства
Выполнила: ученица 8Б класса
МБОУ Савинская Сош
Кузнецова Светлана, 14 лет
Руководитель: Учитель математики
Тульчевская Н.А.
стр. Савино
Ивановская область, Россия
2016.
I. Введение ________________________________________________________________________
II. Из истории параллелограмма ___________________________________ стр. 4
III Дополнительные свойства параллелограмма ______________________ стр. 4
IV. Подтверждение свойств _____________________________________ стр. 5
V. Решение задач с использованием дополнительных свойств __________ стр. 8
Vi.Применение свойств параллелограмма в жизни ___________________ стр. 11
VII. Заключение _____________________________________________ стр. 12
VIII. Литература _____________________________________________ стр. 13
Введение
« Среди равных умов
для эквити других условий
выше того, кто знает геометрию»
(Blaze Pascal).
При изучении темы «Параллелограммы» на уроках геометрии мы рассматривали два свойства параллелограмма и три знака, но когда начали решать задачи, оказалось, что этого недостаточно.
У меня вопрос, а есть ли у параллелограмма еще и свойства, и как они помогут при решении задач.
И я решил изучить дополнительные свойства параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.
Предмет исследования
:
параллелограмм
Объект исследования
: Свойства поллограммы
Цель работы:
формулировка и доказательство дополнительных свойств параллелограмма, которые не изучаются в школе;
использование этих свойств для решения проблем.
Задач:
Найти дополнительную литературу по изучаемой теме;
Изучите дополнительные свойства параллелограмма и докажите их;
Покажите использование этих свойств для решения проблем;
Рассмотрим использование свойств параллелограмма в жизни.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
Изучение теоретического материала;
Выбор круга задач, которые можно решить с помощью дополнительных свойств параллелограмма;
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Продолжительность исследования
: 3 месяца: январь-март 2016 г.
Из истории параллелограмма
В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: Поллограмм — такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
Слово «параллелограмм» переводится как «параллельные прямые» (от греческих слов Parallelos — параллель и грамм — линия), этот термин ввел Евклид.В своей книге «Начинающий» Евклид доказал следующие свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы параллелограмма равны, а диагональ делит его пополам.
О точке пересечения параллелограмм Евклида не упоминается. Только к концу средневековья была разработана полная теория параллелограммов и только в XVII веке в учебниках появились теоремы о параллелограммах, которые доказываются с помощью теоремы Евклида о свойствах параллелограмма.
III
Дополнительные свойства параллелограмма
В учебнике по геометрии приведены всего 2 свойства параллелограмма:
Противоположные углы и стороны равны
Диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам
В различных источниках геометрии можно найти следующие дополнительные свойства:
Количество смежных углов Поллограмм, равный 180 0
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равносторонний треугольник;
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектриса смежных углов Параллелограмм пересекаются под прямыми углами;
Биссектриса всех углов параллелограмма с пересечением образует прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же диагонали равны.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединой противоположных сторон, то получится другой параллелограмм.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна двойной сумме квадратов его смежных сторон.
Если в параллелограмме двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
IV.
Доказательство свойств параллелограмма
Количество смежных углов Параллелограмм равен 180
0
Dano :
ABCD — параллелограмм
Prove
A +.
Б =.
Доказательства:
AI
B-изогнутые односторонние углы с параллельным прямым солнцем AD и Sale AV, то есть
A +.
Б =.
2
Дано: ABCD —
параллелограмм,
АК-Биссектрис
И.
Доказательство AVK — равно
Доказательства:
1)
1 =
3 (перекрестно проходит под солнцем AD и Sale AK)
2)
2 =
3 т.К. Ак — бисектриса,
Так 1 =
2.
3) АВК — нерешенный т. 2. 2 угла треугольника равны
. Биссектрисный угловой параллелограмм образует равносторонний треугольник
3
Дано: AVD — параллелограмм,
Ak — Bissektris A,
CP — Bissektris C.
Prove AK ║ ср.
Обоснование:
1) 1 = 2 т.К. Ак-bissectrice
2) 4 = 5 т.к. ср — Bissektris
3) 3 = 1 (Малые углы
Sun ║ AD и AK-SECOND),
4 ) A = C (по свойству параллелограмма), значит 2 = 3 = 4 = 5.
4) из пунктов 3 и 4 следует, что 1 = 4, и этим углам соответствуют для прямого АК и КП и Южного Солнца,
Итак, АК ║ КП (на основе параллельности прямого)
.Биссектриса противоположных углов Параллелограмм лежит на параллельных прямых
Биссектриса смежных углов Параллелограмм пересекается под прямым углом
Дано: AVD — параллелограмм,
Ak-bisectaris A,
DR Bissectrix D
Prove DR AK.
Свидетельство:
1) 1 = 2, потому что AK — Bissektris
Пусть, 1 = 2 = x, тогда a = 2x,
2) 3 = 4, потому что DR — Bissectrice
Пусть, 3 = 4 = y, тогда d = 2y
3) a + d = 180 0, т.к. сумма смежных углов Параллелограмма равна 180
2) Рассмотрим A OD.
1 + 3 = 90 0, тогда
5. Биссектрика всех углов Параллелограмм с пересечением образуют прямоугольник
Дано: AVD — параллелограмм, ak-bisectaris A,
DR, биссектриса D,
Cm -Bistektris C,
BF -Bissectrice b.
Доказательство : КРНС -ПРЯУГОН
Доказательство:
Исходя из предыдущего свойства 8 = 7 = 6 = 5 = 90 0,
так что КРНС — яркий.
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же диагонали равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, as-диагональ.
VC Ac DP. AC
Prove BC = DR
Evidence: 1) DCR = KAB, как внутренние замыкания, лежащие в основе AB ║ CD и SECOND AC.
2) АКБ =. CDR (сбоку и два регулировочных угла AV = CD Cd p = AB K).
А в равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит DR = BC.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединой противоположных сторон, то получится другой параллелограмм.
Дано: ABCD-параллелограмм.
Докаж ВКДР — параллелограмм.
Свидетельство:
1) BR = KD (ad = bc, указывает на и r
делит эти партии пополам)
2) BP ║ KD (лежит на AD BC)
Если в противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, значит, этот четырехугольник -паралограмма.
Если в параллелограмме двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна двойной сумме квадратов его смежных сторон.
Дано: ABCD — параллелограмм. BD и AC — диагональ.
Prove AC 2
+ тд. 2
= 2 (AB 2
+ AD 2
)
Доказательства: 1) СПРОСИТЬ:
AC
² =
+
2) Б.
R D.
:
BD.
2
=
Б.
R 2
+ Р. Д.
2
(по теореме Пифагора)
3 )
AC
² +
BD.
² = SCQ + A.
К² +. Б.
R² + R. D.
²
4) СК = БП = Н (высота )
5) AC. 2
+ Б. Д.
2
=
H.
2
+
А.
К 2
+
H.
2
+ Р. Д.
2
6)
Пусть будет
Д.
К =. А.
P = H. , затем C.
К Д.
:
H.
2
=
CD
2
— Н. 2
согласно теореме Пифагора )
7) как xt + в D.
² = S. D.
2
— x² + ак 1
² +
CD
2
-H. 2
+ Р. Д.
2
, г.
As² + B. Д.
² = 2s D.
2
-2x 2
+
А.
К 2
+ Р. Д.
2
8) А.
К = AD +.
ч. , г.
R D = ad
ч. , г.
As² + B. D.
² = 2. CD
2
-2x 2
+ ( н.э.
+ х) 2
+ ( н.э.
) 2
, г.
AC ² +
IN D² = 2.
ИЗ D²-2
ч. ² + AD.
2
+ 2AD
ч. +
ч. 2
+ нашей эры
2
-2ад.
ч. +
ч. 2
,
AC ² +
IN D² = 2cd.
2
+ 2AD
2
= 2 (CD
2
+ нашей эры
2
).
В.
. Решение задач с использованием этих свойств
Точка пересечения биссектрисы двух углов параллелограмма, примыкающих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
. Найдите это с самой стороны.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AK — Bissektris
AND,
D K — биссектриса
D, av = 5
Найти : Sun.
беспорядок
Решение
Поскольку AK — Bissektris
A, то AVC является равным.
Потому что DK — биссектриса
D, T. DCK — Wireless
DC = CK = 5
Тогда Sun = VK + SC = 5 + 5 = 10
Ответ: 10.
2. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
1 корпус
Дано:
AND,
VK = 14 см, kc = 7 см
Найти: Параллелограмм
9000d Sun VK + kc = 14 + 7 = 21 (см)
Поскольку AK — Bissektris
A, то AVC является равным.
AV = VK = 14 см
Тогда p = 2 (14 + 21) = 70 (см)
происходящее
Дано: ABCD — параллелограмм,
DK — биссектриса
D,
ВК = 14 см, kc = 7 см
Найти : P параллелограмм
Решение
Солнце = ВК + kc = 14 + 7 = 21 (см)
Потому что ДК — биссектриса
D, T.DCK — Wireless
DC = CK = 7
Тогда p = 2 (21 + 7) = 56 (см)
Ответ: 70см или 56 см
3. Детекторами параллелограмма являются равны 10 см и 3 см. Биссектриса двух углов, примыкающих к большей стороне, делит противоположную сторону на три сегмента. Найдите эти сегменты.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано: ABCD — параллелограмм, ак — биссектриса
AND,
DK — биссектриса
D, av = 3 см, солнце = 10 см
Найти : VM, Mn, NC
Решение
Поскольку AM — Bissektris
A, то AVM является равным.
Т.к. DN — Bissektris
D, T. DCN — равно
DC = CN = 3
Тогда Mn = 10 — (Bm + NC) = 10 — (3 + 3) = 4 см.
2 случай: бисектрис пересекаются внутри параллелограмма
Поскольку An — Bissektris
A, то Avn является равновесием.
АВ = Б. Н.
= 3
D.
А раздвижная сетка — для перемещения на необходимое расстояние в дверном проеме
Механизм параллелограмм — Механизм четырехжильный, звенья которого представляют собой параллелограммы.Применяется для реализации поступательного движения с помощью навесных механизмов.
Параллелограмм с неподвижным звеном — Одно звено неподвижно, противоположное совершает колебательное движение, оставаясь параллельным неподвижным. Два соединенных между собой параллелограмма дают конечному звену две степени свободы, оставляя его параллельным неподвижному.
Примеры: автобусы, погрузчики, треноги, подвески, автомобильные подвески.
Параллелограмм с фиксированным шарниром — свойство параллелограмма используется для поддержания постоянного отношения расстояний между тремя точками.Пример: Исходный пантограф — устройство для масштабирования чертежей.
Ромб — Все звенья одинаковой длины приближаются (затягиваются) Пара противоположных шарниров приводит к раскрытию двух других петель. Все ссылки работают на сжатие.
Примеры — автомобильный ромбовидный домкрат, трамвайный пантограф.
Ножницы или Х-образный механизм , также известный как Нюрнбергские ножницы — вариант рома — два звена, соединенные в середине петли. Достоинства механизма — компактность и простота, недостаток — наличие двух пар скольжения.Два (или более) таких механизма, соединенных последовательно, образуют середину ромба (ов). Используется в слушателях, детских игрушках.
VII
Заключение
Кто с детства занимается математикой,
развивает внимание, тренирует свой мозг,
свою волю, повышает настойчивость
и настойчивость в достижении цели
Маркус А.
В процессе работы я доказал дополнительные свойства параллелограмма.
Я убедился, что применяя эти свойства, вы сможете быстрее решать поставленные задачи.
Я показал, как эти свойства применяются на примерах решения конкретных задач.
Я узнал много нового о параллелограмме, чего нет в нашем учебнике по геометрии
Я убедился, что знание геометрии очень важно в жизни на примерах применения свойств параллелограмма .
Цель моей исследовательской работы выполнена.
Насколько важны математические знания, факт, что награда учреждена тому, кто издаст книгу о человеке, который жил без помощи математики. Эту премию еще не получил ни один человек.
VIII.
Литература
Погорелова А.А. Геометрия 7-9: Учебник для общего образования. Учреждения-М.: Просвещение, 2014
Л.С. Танасян и др. Геометрия. Дополнительный. К учебнику 8 кл: ученица. Пособие для школьников и классов с изображением. Исследования. Математика. — М .: Вита Пресс, 2003
Интернет-ресурсы
Материалы википедии
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого параллельны противоположные стороны. На следующем рисунке показаны параллелограммы ABCD. У него сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD.
Как вы уже догадались, параллелограмм представляет собой выпуклый четырехугольник. Рассмотрим основные свойства параллелограмма.
Свойства параллелограмма
1. В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. Докажем это свойство — рассмотрим параллелограмм, представленный на следующем рисунке.
Диагональ
BD делит его на два равных треугольника: ABD и CBD. Они равны со стороны BD и двух регулировочных углов, поскольку углы крестовин под блоком BD параллельны прямым BC и AD и AB и CD соответственно.Следовательно, AB = CD и
BC = AD. А из равенства углов 1, 2, 3 и 4 следует, что угол А = угол 1 + угол 3 = угол 2 + угол 4 = угол С.
2. Диагональ параллелограмма точки пересечения делится пополам. Пусть точка o является точкой пересечения диагоналей параллелограмма ABCD и AC и BD.
Тогда треугольник AOB и треугольник COD равны друг другу на стороне и двух прилегающих к нему углах. (Ab = Cd Так как это противоположные стороны параллелограмма.А угол 1 = угол 2 и угол 3 = угол 4 как увеличение нижележащих углов при пересечении прямых AB и CD с помощью AC и BD соответственно.) Из этого следует, что AO = OC и OB = OD, что AO = OC и OB = OD что и надо было доказать.
Все основные свойства показаны на следующих трех фотографиях.
На указателе Parale-le-Lo Gram-ma
1. Определение и основные свойства параллелограмма
Nach, с тем, что UPR-de-le-le-Lo gram-Ma запомнит.
OPRA-de-les. Параллелограмм — прозвище Che-you-ka-уголь, на co-ro, каждые два про-типа-в-слое-ложных роликах (см. Рис. Один).
Рис. 1. PA-RAL-LE-Lo Gram
Erees oS-новый PA-RAL-LE-Lo Gram-Ma :
Для того, чтобы иметь ВОЗ Поль-Зо-Валент, все эти потребности-ди-ди-бэ уве-рен, Ф-ГУ-РА, О «Мы говорим о» Па-Рал-ле -Меньше грамма. Для этого необходимо знать такие факты, как пример Параль-ле-Ло Грам-Ма.Первые два из них мы se-year-nya и Raspie Rome.
2. Первая особенность параллелограмма
Теорема. Перья Parale-le-Lo Gram-Ma. Если есть два pro-second-false-nic-ours во втором-false-ours are equal и Parale-Lel-us, то это che-you-fl-уголь-прозвище параллелограмм . .
Рис. 2. Ручка с Para Ral-le-Lo Gram-ma
Доказательства. Пров-ве-дем в Че-ты-Ри-Нал-Нал (см. Рис. 2), она когда-то-Би-ла на своих двух тре-уголь-ни-ка.В Пи-Шеме, что мы знаем об этих тре-уголь-никах:
по пер-ин-му, на ряд-ку-ве-ве-пробе.
Из Ра-Вен-Ну-в-глаз Тре-Уголь-Ни-Бухта, которая является причиной-ку-Раал-Лел-но-си, прямолинейный Че — их семя. У нас это:
Du-ka-it.
3. Параллелограмм второго знака
Теорема. ВТО-рой со знаком Parale Le-Lo Gram-Ma. Если каждый из двух угольных нике, каждый из двух про-Ti-in-up-пластов равны, тогда этот параллелограмм che-you-fl-уголь-ник ..
Рис. 3. ВОЗ-ВОЗ PA-RAL-LE-LO-MA
Доказательства. Проведем в Че-Ма-Нал-На-Нале (см. Рис. 3), это когда-то-би-ва-он на два тре-уголь-ни-ка. В Пи-Шем, что мы знаем об этих Тре-Уголь-Ни-ках, ИС-Хо-Диа из формы-Му-Ли-Ки Тео-ре-мы:
Согласно Тре-Му, ат-Ку-Ку Ра-Веренов-Тре-Уголь-Ни-Бухта.
Из Ra-Ven-Spenda Tre-Coal-Ni-noves, а также по причине-ku-Raal-Lel-no-si право с ne-re-che Sea-ku In Lou-Chul:
PA-RAL-LE-LOO-грамм в соответствии с защитой de leu.Q.E.D.
Du-ka-it.
4. Пример использования первого признака параллелограмма
Ras-проверено в действии на трассе, отличной от NE-Ski-Raal-Le-Lo Gram-Ma.
Например 1. В тебе-пучке че-ты-дех-уголь-ни-ке находим: а) Уголки Че-ты-дех-уголь-ни-ка; б) сто-по-колодец.
Решение. Исоб-ра и рис. четыре.
PA-RAL-LE-LO-GRAM PER-MU-MU-KU-KU PA-RAL-LE-LOO-MA MA.
И. Согласно Параль-ле-Ло Грам-Ма, о про-Ти-По-Ло-Ло грамм-Ма, по сумме угловых, Леви до ста рун.
B. Согласно работе Ра-Вен-Прос-Ти-Флайт Стро-Рон.
re-Tiy с Para Ral-le-Lo Gram Ma
5. Повторение: определение и свойства Парлиаллограмма
On-Pom-him that параллелограмм — Это то, что вы-ро-уголь-прозвище, в one-ro-th-Ti-Par-Paradh-Para-Raal-Lel-we. То есть, если — грамм Параль-ле-Ло, то (см. Рис. 1).
Parale-le-Lo-Lo-La-La-дает множество свойств: Pro-Ti-B-Fallest углы равны (), Pro-Ti-in-Flap-Po — равны ().Кроме того, dia-go-on-La Parale-le-Lo Gram Ma в точке PE-CE-Lama, сумма углов в Paral-le-Lo gram-Ma, равная любой ста -рублей, равно
Но для того, чтобы Поль-Зоопарк во всех этих, необходимость в необходимости быть аб-со-лют-но уве-рен-сегодня состоит в том, что Рас-Юг Ри-Ва-Эх Че-ты- roh-уголь-ник — Parale-le-Lo Gram. Для этого и поддержания под знаком Parale-le-Lo Gram-Ma: то есть фактов, из которых можно сделать однозначный вывод.что люди Яв-Ла-Лия-Сиа Параль-ле-Ло Грам-Мам. В предыдущем уроке нас уже воспитали двое. Этот час — Римский Трий.
6. Третий знак параллелограмма и его доказательство
Если в том-вы-рых-уголь-ни-ке ди-он-он в точке PE-SE-ламы, то Дэн-ни Рих-уголь-прозвище Ява-Лаа-Сиа Параль-ле-Ло Грам -Мама.
Дано:
Прозвище Che-you-roh-уголь; ; .
До качества:
Параллелограмм.
Обоснование:
Чтобы усомниться в данном факте, необязательно-дитя-ди-ми-дю-ро-лель-лель грамм-ма Парал-лель-Ло-Ма. И Паралель-Леллеан чаще всего идет до Ка-Зы-Вася, через Рен Вен-Рен-Рен их на пересечении лесных углов с этими прямыми. Таким образом, он-луч, он-ши-ва-смта, до-й-ши-вока, Ду-Ка-Прос-Тел-Тель-Гуа Парале Ла-Ло Грам Ма: через Рета-Тре-Уголь-Ни -Cove.
Ду-Ка-Жа Рас-Вен-эти Tre-Coal Ni-Cove. Дей-Тел-тел-а, из Слой-Вия после:.Кроме того, есть углы углов — вернее, они равны. Т.е.:
( per-re-игла tre-уголь — для двести-ро и уголка между ними).
Из Tre-Coal-Ni-ni-cork: (поскольку пересечение равняется углам на рении с этими прямыми и se-ку). Кроме того, Tre-уголь-Ni-ni-knit-роман, который. Знай-чит, мы в Лу-чи, что в Тысячи-уголь-ни-ке двести стержней равны и Паралель-Лель. Согласно пер-ин-Му, ат-ку-ка-Раль-ле-Ло-Ма: — Параль-ле-Ло Грам.
Ду-ка-ит.
7. Пример задания на третий признак параллелограмма и обобщение
Ras-проверено в действии на не-NE-RU-RA-le-Lo Gram-Ma.
В действии 1
Дано:
—
параллелограмм; . — Ce-re-di-on, — se-re-di-on, — se-re-di-on, — se-re-di-on, — se-re-di (см. Рис. 2).
До качества: — Параль-ле-Ло грамм.
Обоснование:
Ноу-чит, в точке Тхие-Уголь-Ни-Ке Диа-На-Да-Лят-Сми-Лима.В Tre-T-Mu, at-ku-ka-Raal-le-Lo gram-Ma, отсюда презренно, что — Parale-le-Lo Gram.
Ду-ка-ит.
Если про-заказ Ana Liz T-Ra-le-Lo Gram-Ma, то вы можете его заработать, что этот кейс является признаком совместного ветеринара. У него есть свой Parale-le-Lo. Грамм-ма. То есть тот факт, что диа-го-он-ли-лят-ся слабый, Яв-ла — это не про-сто Параль-ле-Ло грам-ма, И его от-Ли-Чи -тел, ха-рак-те-река-че-как, на которую он может де выливаться из глотки Че-ты-ро-уголь-ни-ков.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma.
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma.
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46tthxq8j4y.jpg
http://cs10002.vk.me/u311
/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif.
Тематический урок
- Диагональный параллелограмм объекта.
Задачи урока
- Познакомьтесь с новыми определениями и вспомните некоторые из уже изученных.
- Сформулируйте и докажите свойство диагоналей параллелограмма.
- Научитесь применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие — развивают внимание учащихся, усидчивость, усидчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Образовательные — через урок воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимное исполнение, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Вступительное слово.
- Повторение ранее изученного материала.
- Поллограмма, ее свойства и признаки.
- Примеры задач.
- Независимая проверка.
Введение
«Крупное научное открытие дает решение большой проблемы, но и в решении любой задачи есть зерно открытия.»
Свойство противоположных сторон параллелограмма
У параллелограмма противоположные стороны равны.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. И пусть его диагонали пересекаются в точке О.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому основанию равенства треугольников (∠ aob = ∠ COD, как и вертикаль, AO = OC, DO = OB, по свойству диагональ параллелограмма), то AB = CD.Аналогично из равенства треугольников Вос и ДОА следует, что ВС = DA. Теорема доказана.
Свойство параллелограмма противоположных углов
У параллелограмма противоположные углы равны.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. И пусть его диагонали пересекаются в точке О.
Из доказанного в теореме о свойствах противоположных сторон параллелограмм Δ ABC = δ CDA в трех сторонах (AB = CD, BC = DA из доказанного, AC равен общий).Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Также доказано, что ∠ dab = ∠ BCD, что следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.
Диагональный параллелограмм недвижимости
Диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам.
Доказательства.
Пусть ABCD будет этим параллелограммом. Проводим диагональ переменного тока. Отметим на нем середину O. На продолжение отрезка DO отложите отрезок OB 1, равный DO.
Согласно предыдущей теореме AB 1 CD — параллелограмм. Следовательно, направьте AB 1 параллельно DC. Но через точку A можно провести только один прямой параллельный DC. Итак, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Это также доказывает, что BC 1 совпадает с BC. Итак, точка C совпадает с 1. Параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагональ параллелограмма пересекается, а точка пересечения делится пополам. Теорема доказана.
В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказано так: диагонали параллелограммов разделены на 4 треугольника.Рассмотрим одну пару и выясним — они равны: основания у них противоположные стороны, примыкающие к ней соответствующие углы равны вертикали с параллельными прямыми. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Все.
Это все?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагональ пополам — если есть. Само существование приведенных выше рассуждений никоим образом не доказывает. То есть часть теоремы «диагональный параллелограмм пересекается» остается недоказанной.
Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Это, кстати, следует из более общего результата: любая выпуклая четырехконтактная диагональ будет пересчитана, никаких неприятных не будет.
О равенстве треугольников по бокам и двух поправках к нему (второй признак равенства треугольников) и др.
Теорема о равенстве двух треугольников на стороне и двух смежных углов Фалеса нашла важное практическое применение.В гавани Милеты построили дальномер, определяющий расстояние от корабля до моря. Он представлял собой три сбитые сваи A, B и C (AB = Sun) и место прямого SC, перпендикулярного. Когда корабль появляется на прямом SC, была точка D такая, что точки d ,. In и e оказались на одной прямой. Как видно из рисунка, расстояние от КД на земле — это желаемое расстояние до корабля.
Вопросы
- Диагональ квадрата точки пересечения делится пополам?
- Диагональный параллелограмм равен?
- Управляющие углы параллелограмма равны?
- Слово определение параллелограмма?
- Сколько знаков у параллелограмма?
- Может ли ромб быть параллелограммом?
Список использованных источников
- Кузнецов А.В., учитель математики (5-9 классы), Киев
- «ЕГЭ 2006. Математика. Учебные материалы для обучения студентов / Рособрнадзор, Исоп — М .: Интеллект-Центр, 2006»
- Мазур К.И. «Решение основных соревновательных задач по математике сборника под ред. М.И. Сканави»
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. «Геометрия, 7 — 9: Учебник для общеобразовательных учреждений»
Над уроком работали
Кузнецов А.V.
Purknak S.A.
Евгений Петров
Задать вопрос о современном образовании, выразить идею или решить уреранную проблему можно. Образовательный форум Где на международном уровне собирается образовательный совет свежих мыслей и действий. Создание blog Вы не только повысите свой статус грамотного учителя, но и внесете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия лидеров образования Открывает двери для высококлассных специалистов и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших школ мира.
Предмет> Математика> Математика 8 класс
При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмм и соответствующие формулы можно запомнить и применить следующим образом:
- Биссектриса внутреннего угла Параллелограмм разрезает от него равносторонний треугольник
- Биссектрисы внутренних углов, прилегающие к одному боковому параллелограмму, взаимно перпендикулярны
- Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов, параллелограмм, параллельные друг другу или лежащие на одной прямой
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
- Площадь параллелограмма равна половине работы диагоналей на синусоидальном углу между ними
Рассмотрим задачи при решении этих свойств.
Задача 1.
Биссектриса угла с параллелограммом AVD пересекает сторону AD в точке M и продолжение стороны AV на точку A в точке E. Найти периметр параллелограмма, если Ae = 4 , DM = 3.
Решение.
1. Абажур с треугольником — стульчик. (Свойство 1). Следовательно, Cd = Md = 3 см.
2. Треугольник EAM предшествует.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. AD = AM + MD = 7 см.
4. Периметр АБСД = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклой четырехпусковой диагонали АВД. Известно, что Квадрат треугольников AVD, ACD, ADD равен. Докажите, что эта квадриль — параллелограмм.
Решение.
1. Пусть be — высота треугольника AVD, CF — высота треугольника ACD.Так как по условию задания площади треугольников у них тоже общее основание AD, то высота этих треугольников равна. Ve = CF.
2. ve, CF перпендикулярно AD. Точки входа и выхода расположены с одной стороны относительно прямого AD. Ve = CF. Следовательно, прямое солнце || ОБЪЯВЛЕНИЕ. (*)
3. Пусть AL — высота треугольника ACD, Bk — высота треугольника BCD. Поскольку по условию задания площади треугольников у них тоже есть общее основание CD, то высота этих треугольников равна.Al = bk.
4. Al и BK перпендикулярны CD. Точки in и a расположены с одной стороны относительно прямого CD. Al = bk. Следовательно, прямое Av || CD (**)
5. Из условий (*), (**) потоки — параллелограммы AVD.
Ответ. Доказано. АВД — параллелограмм.
Задача 3.
По бокам самолета и CD параллелограмм ABSD отмечены точками M и H соответственно, так что сегменты VM и HD пересекаются в точке O;
Решение.
1. В треугольнике Dom
2. В прямоугольном треугольнике DNS
(
Тогда (Так как в прямоугольном треугольнике катат, лежащий против угла 30 o, равного половине гипотенузы).
А вот cd = av. Тогда av: nd = 2: 1.
3.
4.
Ответ: AV: HD = 2: 1,
Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиной 4√6 имеет угол 60 o, а вторая диагональ имеет такой же угол основания 45 o.Найдите вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6.
2. К треугольнику AOD примените теорему о синусах.
АО / СИН Д = ОД / СИН А.
2√6 / SIN 45 O = OD / SIN 60 O.
OD = (2√6Sin 60 O) / SIN 45 O = (2√6 · √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6.
Ответ: 12.
Задача 5.
Параллелограмм со сторонами 5√2 и 7√2, меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма.Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть D 1, D 2 — диагонально параллелограмм, причем угол между диагоналями и меньшим углом параллелограмма равен f.
1. Отсчитайте
двух разных путей к его области.
S abcd = ab · ad · sin a = 5√2 · 7√2 · sin f,
S abcd = 1/2 AS · cd · sin AOs = 1/2 · d 1 d 2 sin f.
Получаем равенство 5√2 · 7√2 · sin f = 1 / 2D 1 d 2 sin F или
2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2;
2.Используя соотношение сторон и диагоналей параллелограмма установим равенство
(AB 2 + AD 2) · 2 = AC 2 + CD 2.
((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2.
d 1 2 + d 2 2 = 296.
3. Создайте систему:
(D 1 2 + d 2 2 = 296,
(D 1 + d 2 = 140.
Умножьте второе уравнение системы на 2 и сложите первое.
Получаем (D 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда ID 1 + D 2 i = 24.
Поскольку d 1, d 2 — длина диагоналей параллелограмма, то D 1 + d 2 = 24.
Ответ: 24.
Задание 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями составляет 45 o. Найдите область поллограммы.
Решение.
1. Из треугольника AOs, используя теорему косинусов, запишем отношение между стороной параллелограмма и диагоналями.
АБ 2 = АО 2 + в 2 2 · АО · КОС АО.
4 2 = (D 1/2) 2 + (d 2/2) 2 — 2 · (D 1/2) · (d 2/2) COS 45 O;
d 1 2/4 + d 2 2/4 — 2 · (D 1/2) · (D 2/2) √2 / 2 = 16.
d 1 2 + d 2 2 — d 1 · d 2 √2 = 64.
2. Аналогичным образом запишите соотношение для треугольника AOD.
Учитываем то, что
Получаем уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
3. Имеем систему
(D 1 2 + d 2 2 — d 1 · d 2 √2 = 64,
(D 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Выживаем из второго уравнения сначала, получаем 2D 1 · d 2 √2 = 80 или
d 1 · d 2 = 80 / (2√2) = 20√2
4. S ABCD = 1/2 AS · cd · Sin AOs = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10.
Примечание: В этой и в предыдущей задачах нет необходимости решать полную систему, предполагая, что нам понадобится произведение диагоналей в этой задаче для вычисления площади.
Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны 8 и 15. Найдите квадрат наименьшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AV · AD · SIN Vad.
