Алгебра 8 класс: все темы, правила и формулы
Алгебра 8 класс: все темы, правила и формулы.
Краткий курс алгебры за 8 класс.
«Алгебра 8 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение алгебры за 8 класс (основные понятия, формулы и определения). Вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2017.
Выражения и их преобразования
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы уравнений, не имеющие решений, также считают равносильными.
Для решения систем уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения.
При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:
- если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы;
- если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы.
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:
- выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;
- подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
- решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:
- умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами;
- складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
- решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.
Неравенства
Функции
Действительные числа. Приближённые вычисления
Элементы статистики
Вы смотрели «Алгебра 8 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение алгебры за 8 класс (основные понятия, формулы и определения). Краткий курс алгебры в 8 классе: вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце.
Алгебра 8 класс: все темы, правила и формулы
5 (100%) 2 vote[s]
uchitel.pro
1. |
Дискриминант квадратного уравнения
|
1 |
2. |
Число корней квадратного уравнения
|
1 |
3. |
Полное квадратное уравнение (a = 1; b > 0)
|
2 |
4. |
Полное квадратное уравнение (а не равно 1)
|
2 |
5. |
Квадратное уравнение, введение новой переменной
|
3 |
6. |
Квадратное уравнение, равенство произведения 0
|
1 |
7. |
Задача на составление квадратного уравнения
|
4 |
8. |
Сокращение алгебраической дроби, разложение на множители квадратного трёхчлена
|
4 |
9. |
Сокращение алгебраической дроби, формула разности кубов
|
4 |
10. |
Разложение на множители квадратного трёхчлена, отрицательные корни
|
2 |
www.yaklass.ru
Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Формулы сокращенного умножения
К оглавлению…
Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность квадратов:
Разность кубов:
Сумма кубов:
Куб суммы:
Куб разности:
Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:
Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
К оглавлению…
Пусть квадратное уравнение имеет вид:
Тогда дискриминант находят по формуле:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:
Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:
Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:
Парабола
График параболы задается квадратичной функцией:
При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
Игрек вершины параболы:
Свойства степеней и корней
К оглавлению…
Основные свойства степеней:
Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.
Основные свойства математических корней:
Для арифметических корней:
Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:
Для корня четной степени имеется следующее свойство:
Формулы с логарифмами
К оглавлению…
Определение логарифма:
Определение логарифма можно записать и другим способом:
Свойства логарифмов:
Логарифм произведения:
Логарифм дроби:
Вынесение степени за знак логарифма:
Другие полезные свойства логарифмов:
Арифметическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена арифметической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
Формула суммы арифметической прогрессии:
Свойство арифметической прогрессии:
Геометрическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена геометрической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:
Формула суммы геометрической прогрессии:
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Свойство геометрической прогрессии:
Тригонометрия
К оглавлению…
Пусть имеется прямоугольный треугольник:
Тогда, определение синуса:
Определение косинуса:
Определение тангенса:
Определение котангенса:
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла
Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Тангенс двойного угла:
Котангенс двойного угла:
Тригонометрические формулы сложения
Синус суммы:
Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:
Тангенс разности:
Котангенс суммы:
Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
Сумма синусов:
Разность синусов:
Сумма косинусов:
Разность косинусов:
Сумма тангенсов:
Разность тангенсов:
Сумма котангенсов:
Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
Произведение синусов:
Произведение синуса и косинуса:
Произведение косинусов:
Формулы понижения степени
Формула понижения степени для синуса:
Формула понижения степени для косинуса:
Формула понижения степени для тангенса:
Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла
Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:
Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения задаются в виде таблицы:
Тригонометрическая окружность
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Геометрия на плоскости (планиметрия)
К оглавлению…
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Геометрия в пространстве (стереометрия)
К оглавлению…
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:
Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
Объем кругового конуса:
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:
Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):
Координаты
К оглавлению…
Длина отрезка на координатной оси:
Длина отрезка на координатной плоскости:
Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):
Таблица умножения
К оглавлению…
Таблица квадратов двухзначных чисел
К оглавлению…
Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:
К оглавлению…
educon.by
Краткий курс алгебры 8 класс.
8 класс алгебра Рациональные дроби и их свойства.
-
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
-
Значения переменных при которых выражение имеет смысл , называют допустимыми значениями переменных.
-
Дробь , числитель и знаменатель которой многочлены , называют рациональной дробью.
-
Основное свойство рациональной дроби: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен , то получится равная ей дробь.
-
Тождеством называется равенство , верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
-
Если изменить знак числителя ( или знак знаменателя ) дроби и знак перед дробью , то получим выражение , тождественно равное данному.
Сумма и разность дробей.
-
Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями , надо сложить их числители , а знаменатель оставить тем же.
-
Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби , а знаменатель оставить тем же.
-
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями .Для этого дроби приводят к общему знаменателю.
Произведение и частное дробей.
-
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем дроби.
-
Чтобы возвести дробь в степень , надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе , а второй – в знаменателе дроби.
-
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй.
Функция у= и её график.
-
Обратной пропорциональностью называется функция , которую можно задавать формулой у= , где х – незави симая переменная и k – не равное нулю число.
-
Областью определения функции у= является множество всех чисел , отличных от нуля.
-
Кривую , являющуюся графиком обратной пропорциональности , называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
Действительные числа.
-
Всякое рациональное число , как целое , так и дробное , можно представить в виде дроби , где m- целое число , а n – натуральное. Одно и то же рациональное число
можно представить в таком виде разными способами. -
Среди дробей , с помощью которых записывается данное рациональное число , всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель , равный 1.
-
Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
-
Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.
-
Среди рациональных чисел нет такого числа , квадрат которого равен 2.
-
Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им им числа и число нуль , то получим множество чисел , которые называют действительными числами.
-
Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
Арифметический квадратный корень.
-
Квадратным корнем из числа а называют число , квадрат которого равен а.
-
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число , квадрат которого равен а.
-
= b , если выполняются два условия : 1) b ≥ 0 ; 2) = а.
-
При а ‹ 0 выражение не имеет смысла.
-
При любом а , при котором выражение имеет смысл , верно равенство ( = а.
-
Выражение имеет смысл при любом а ≥ 0
-
Если а ≥ 0 и b 0 , то Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
-
Если а ≥ 0 и b 0 , то = . Корень из дроби , числитель которой неотрицателен , а знаменатель положителен , равен корню из числителя , делённому на корень из знаменателя.
-
При любом значении х верно равенство = | x | .
Функция у = и её график.
-
Если х = 0 , то у = 0 , поэтому начало координат принадлежит графику функции. 0
-
Если х › 0 , у › 0 : график расположен в первой координатной четверти.
-
Большему значению аргумента соответствует дольше значение функции ; график функции идёт вверх.
Квадратное уравнение и его корни.
-
Квадратным уравнением называется уравнение вида a+bx +c = 0 , где а,b и с – некоторые числа , причём а ≠ 0.
-
Квадратное уравнение в котором а = 1, называют приведённым квадратным уравнением.
-
Если в квадратном уравнении a+bx +c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю , то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением
-
При решении квадратного уравнения a+bx +c = 0 целесообразно поступать следующим образом: 1. Вычислить дискриминант и сравнить его с нулём ; 2. Если дискриминант положителен , то воспользоваться формулой корней , если дискриминант отрицателен , то записать , что корней нет.
-
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.(Теорема Виета).
-
Если числа m и n таковы , что их сумма равна — p , а произведение равно g , то эти числа являются корнями уравнения +px +g = 0 ( Обратная теореме Виета )
Дробные рациональные уравнения.
-
При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом:
1 Найти общий знаменатель дробей , входящих в уравнение;
2 Умножить обе части уравнения на их общий знаменатель;
3Решить получившееся целое уравнение;
4 Исключить из его корней те , которые обращают в нуль общий знаменатель.
Числовые неравенства и их свойства.
-
Число а больше числа b , если разность а – b – положительное число ; число а меньше числа b , если разность а – b – отрицательное число.
-
Если а › b ,то b ‹ а; если а ‹ b ,то b › а.
-
Если а ‹ b и b ‹ с , то а ‹ с .
-
Если а ‹ b и с— любое число ,то а + с ‹ b + с. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число , то получится верное неравенство.
-
Если а ‹ b и с— положительное число ,то ас ‹ bс. Если а ‹ b и с— отрицательное число ,то ас › bс.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число , то получится верное равенство.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный , то получится верное равенство.
-
Если а и b – положительные числа и а ‹ b ,то ‹
-
Если а ‹ b и с ‹ d ,то а + с ‹ b + d. Если почленно сложить верные неравенства одного знака , то получится верное неравенство.
-
Если а ‹ b и с ‹ d , где а, b, с , d – положительные числа ,то ас ‹ bd.
Если почленно перемножить верные неравенства одного знака , левые и правые части которых – положительные числа , то получится верное неравенство.
-
Если а и b – положительные числа и а ‹ b ,то ‹ , где n – натуральное число.
-
Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
-
Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
Неравенства с одной переменной и их системы.
-
Пересечением двух множеств называют множество , состоящее из всех общих элементов этих множеств.
-
Объединением двух множеств называют множество , состоящее из всех элементов , принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.
-
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной , которое обращает его в верное числовое неравенство.
-
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной , при котором верно каждое из неравенств системы.
Степень с целым показателем и её свойства.
-
Если а ≠ 0 и n – целое отрицательное число , то = .
-
Выражению при целом отрицательном n ( так же как и при n = 0 ) не приписывают никакого значения ; это выражение не имеет смысла.
-
Для каждого а ≠ 0 и любых целых m и n
= ; = ; = ;
-
Для каждых а ≠ 0 и b ≠ 0 и любого n
= ; ( = ;
Стандартным видом числа а называют его запись в виде а* , где 1≤ а ≤ 10 и
n – число. Число n называется порядком числа а.
Геометрия 8 класс
Многоугольники
-
Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек , то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называют сторонами многоугольника , а длина ломаной называется периметром многоугольника.
-
Отрезок соединяющий любые две несоседние вершины , называеся диагональю многоугольника.
-
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой , проходящей через две его соседние вершины.
-
Сумма углов выпуклого n- угольника равна ( n – 2 )*
-
Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол , смежный с углом многоугольника.
-
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна
-
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными.
-
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна
-
Параллелограммом называется четырехугольник , у которого противоположные стороны попарно параллельны.
-
Свойства параллелограмма:
-
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
-
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
-
Признаки параллелограмма:
-
Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны , то этот четырёхугольник – параллелограмм.
-
Если в четырёхугольнике две стороны попарно равны , то этот четырёхугольник – параллелограмм.
-
Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам , то этот четырёхугольник – параллелограмм.
-
Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые , пересекающие вторую прямую , то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
-
Трапецией называется четырёхугольник у которого две стороны параллельны , а две другие стороны не параллельны.
-
Трапеция называется равнобедренной , если её боковые стороны равны.
-
Трапеция называется прямоугольной , если один из её углов прямой.
-
Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые.
-
Свойства прямоугольника:
-
В прямоугольнике противоположные стороны равны и все углы равны.
-
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
-
Диагонали прямоугольника равны.
-
Признаки прямоугольника:
-
Если в параллелограмме диагонали равны , то этот параллелограмм – прямоугольник.
-
Ромбом называется параллелограмм , у которого все стороны равны.
-
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
-
Квадратом называется прямоугольник у которого все стороны равны.
-
Свойства квадрата:
-
Все углы квадрата прямые.
-
Диагонали квадрата равны , взаимно перпендикулярны , точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Осевая и центральная симметрии.
-
Две точки А и В называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.
-
Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
-
Прямая а называется ось симметрии фигуры.
-
Две точки А и В называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АВ.
-
Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
-
Тока О называется центром симметрии фигуры.
Площадь многоугольника.
-
Равные многоугольники имеют равные площади.
-
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
-
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
-
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
-
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
-
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
-
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
-
Если высоты двух треугольников равны , то их площади относятся как основания.
-
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника , то площади этих треугольников относятся как произведения сторон , заключающих равные углы.
-
Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.
Теорема Пифагора.
-
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетеов.
-
Обратная теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон , то треугольник прямоугольный.
-
Формула Герона : площадь S треугольника со сторонами a,b,c выражается формулой S = , где p = (a + b + c) — полупериметр треугольника.
Определение подобных фигур.
-
Отношение отрезков АВ и СD называется отношение их длин , т.е. АВ/CD.
-
Говорят ,что отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁ , если
АВ/ А₁В₁ = СD/ С₁D₁ .
-
Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
-
Число k равное отношению сходственных сторон подобных треугольников , называется коэффициентом подобия.
-
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников.
-
1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого , то такие треугольники подобны.
-
2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы , заключённые между этими сторонами , равны , то такие треугольники подобны.
-
3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.
-
Средней линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон.
-
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
-
Отрезок ХУ называется средним пропорциональным ( или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD , если ХУ =
-
Высота прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла , есть среднее пропорциональное для отрезков , на которые делится гипотенуза этой высотой.
-
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы , заключенного между катетом и высотой , проведённой из вершины прямого угла.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
-
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
-
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
-
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
-
Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
-
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника , то синусы этих углов равны , косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
-
Основное тригонометрическое тождество: = 1
Касательная к окружности.
-
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d ‹ r ) , то прямая и окружность имеют две общие точки.
-
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r ) , то прямая и окружность имеют одну общую точку.
-
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d › r ) , то прямая и окружность не имеют общих точек.
-
Прямая , имеющая с окружностью одну общую точку , называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
-
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведенному к точке касания.
-
Отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.
-
Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому радиусу , то она является касательной.
Центральные и вписанные углы.
-
Дуга называется полуокружностью , если отрезок , соединяющий её концы , является диаметром окружности.
-
Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности , то уё градусная мера считается равной – уг.АОВ –
-
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна
infourok.ru
Основные формулы и соотношения в 8 классе.
Основные формулы
и
соотношения.
в 8 классе
2011-2012 г.
Учитель: Удодова Л.В.
Календарно-тематическое планирование
Занятий дополнительного образования
по математике в 8 классе (1 час в неделю)
№
Кол-во часов
Тема занятия
Дата
1
1
Алгебраические дроби
2
1
Занимательные многоугольники
3
1
Складываем дроби
4
1
Увлекательные параллелограммы
5
1
Операции с дробями
6
1
Рациональные уравнения
7
1
Прямоугольник,ромб,квадрат
8
1
Системы уравнений
9
1
Средняя линия треугольника,
трапеции
10
1
Теорема Фалеса
11
1
Математическая карусель
12
1
Веселые параболы
13
1
Понятие площади
14
1
Гиперболы тоже умеют веселиться
15
1
Площади фигур
16
1
Преобразование графиков
17
1
Арифметический квадратный корень
18
1
Теорема Пифагора
19
1
Преобразование выражений с корнями
20
1
Больше задач-хороших и разных
21
1
Функция арифметического
квадратного корня
22
1
Осевая и центральные симметрии
23
1
Задачи для повторения
24
1
Олимпиадные задачи
25
1
Квадратные уравнения и их
особенности
26
1
Координаты на плоскости и
операции с ними
27
1
Дробные рациональные
уравнения в решении задач
28
1
Вектора и действия с ними
29
1
Неравенства и системы
неравенств
30
1
Системы уравнений
31
1
Степени с рациональным
показателем
32
1
И тоговый урок «Мои
Познания в математике»
Автор: Удодова Любовь Валентиновна
pedportal.net
Интернет школа Interneturok — бесплатные школьные уроки по алгебре в 8 классе онлайн, видео уроки по алгебре
Современный учебник по алгебре 8 класса содержит в себе материалы, ориентированные на повторение пройденного за предыдущий год, а также дальнейшее изучение квадратичных функций, их свойств, графиков, сравнение значений, произведение и частное дробей т.д. Школьные уроки алгебры в 8 классе – это изучение параболы, действительных чисел, иррациональных выражений, нулей, квадратных уравнений (полных и неполных), теоремы Виета, алгебраических дробей и многое другое.
Видеоуроки по алгебре
Во избежание проблем с усвоением этих и других тем воспользуйтесь разделом алгебра 8 класс онлайн, входящим в структуру нашего сайта, и вы увидите, как эффектно работают обучающие материалы в формате видео. Учитывая то, что уроки алгебры за 8 класс бесплатны и круглосуточно доступны всем пользователям, их использование становится действительно стоящим делом. Необходимость в посещении дополнительных занятий в школе или в вызове платного домашнего репетитора теперь может отпасть!
Программа по алгебре 8 класса
Числовые неравенства, неравенства с одной переменной, их системы и решение уравнений, понятие и свойства степеней с целым показателем, запись и действия с приближенными значениями – вот что предстоит узнать школьникам в рамках изучения алгебры в 8 классе.
Продолжая в этом курсе знакомство с одной из наиболее сложных математических дисциплин, пользователи смогут уделить особое внимание тому, как осуществляется решение задач по алгебре, и попрактиковаться в этом вместе с преподавателем, а потом и самостоятельно, используя тесты и тренажеры. Задачи на сложение и вычитание дробей, решения рациональных уравнений и многое другое представлено на страницах нашего портала. И для того, чтобы все это уметь успешно решать необходимо знать формулы по алгебре, изучение которых началось еще в предыдущем курсе алгебры 7 класса.
Серьезные темы, которым будет уделено внимание в 8 классе, связаны с изучением различных алгебраических функций, среди которых квадратичная функция. В течение нескольких уроков преподаватель будет знакомить учащихся с ее свойствами и построением графика, поскольку любая алгебраическая функция имеет графическое отражение. В этом классе они также продолжат изучать действительные числа, узнав, что такое его модуль и какие бывают основные числовые множества, а также другие аспекты этой важной темы.
В конце курса будет уделено внимание закреплению изученных формул по алгебре и новым математическим понятиям. Это очень важный материал, поскольку для тех, кто хорошо понимает его суть в дальнейшем, решение задач по алгебре не составит особого труда.
На страницах нашего портала имеется множество видеоуроков, которые позволят ученикам средних общеобразовательных школ лучше ориентироваться в этой довольно сложной науке. Здесь размещены видеоуроки, которые были сняты с участием опытных преподавателей школьных дисциплин. С их помощью сложные темы в алгебре будут раскрыты максимально быстро, и восьмиклассникам будет намного легче продолжать освоение этой науки. Дробные рациональные уравнения и их решение графическим способом, формулы коней квадратного уравнения, свойства арифметического квадратного корня и материалы на многие другие темы в формате видео находятся на нашем портале в соответствующих разделах.
interneturok.ru
Математика 8 класс все правила и формулы по алгебре и геометрии
Графическое решение линейного уравнения с двуям переменными, способы решения линейного уровнения с двумя переменными.
Математика 8 класс все правила и формулы по алгебре и геометрии
Задача 1. Диагональ прямоугольника равна 16 и составляет со стороной угол 30°. Найти площадь прямоугольника.
Катет AD можно было найти иначе – через косинус ∠САD. Так как косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего углу катета к гипотенузе, то отсюда следует: катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла.
Подставим найденные значения в формулу площади прямоугольника.
Задача 2. Диагональ прямоугольника составляет с его стороной, равной 10 см, угол 60°. Найти периметр и площадь прямоугольника.
8.2.3. Прямоугольник. Решение задач
Задача 1. Одна сторона прямоугольника меньше другой на 7 см, а диагональ прямоугольника равна 17 см. Найти периметр прямоугольника.
AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(х+7) 2 =17 2 ⇒ х 2 +х 2 +14х+49=289;
2х 2 +14х-240=0; х 2 +7х-120=0, отсюда по теореме Виета х1=-15; х2=8.
Следовательно, АВ=8 см, AD=8+7=15 см. Периметр прямоугольника:
Задача 2. Периметр прямоугольника 94 см, а диагональ 37 см. Найти площадь прямоугольника.
AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(47-х) 2 =37 2 ⇒ х 2 +47 2 -94х+ х 2 =1369;
2х 2 -94х+2209—1369=0; 2х 2 -94х+840=0. Делим обе части равенства на 2. Получаем:
Х 2 -47х+420=0. Найдем дискриминант.
D=b 2 -4ac=47 2 -4∙1∙420=2209—1680=529=23 2 >0; 2 д. к.
Так как АВ=х, то либо АВ=12, тогда AD=47-12=35; либо АВ=35, тогда AD=47-35=12. Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см. Площадь прямоугольника S□ = AB∙AD=12∙35=420 (см 2 ). Ответ: 420 см 2 .
Задача 3. Стороны прямоугольника относятся как 3:4, а площадь прямоугольника равна 108 см 2 . Найти диагональ прямоугольника.
Так как S□ = AB∙AD и по условию равна 108 см 2 , то можно составить уравнение:
3х∙4х=108. Тогда 12х 2 =108, а разделив обе части равенства на 12, получаем:
Х 2 =9. Отсюда х=3, так как х – положительное число. Стороны прямоугольника
Тогда АВ=3х=3∙3=9 и AD=4х=4∙3=12. Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора найдем BD – искомую диагональ прямоугольника.
BD 2 =AB 2 +AD 2 =9 2 +12 2 =81+144=225, отсюда BD=15 см. Ответ: 15 см.
Задача 4. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите диагональ прямоугольника, если его меньшая сторона равна 15 см.
АС 2 =AB 2 +ВС 2 =15 2 +30 2 =225+900=1125, отсюда получаем:
Задача 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 7 см дальше, чем от большей стороны. Диагональ прямоугольника равна 26 см. Найдите стороны прямоугольника.
ОМ 2 +МА 2 =АО 2 или х 2 +(х+7) 2 =13 2 . Упрощаем равенство:
Х 2 +х 2 +14х+49=169; 2х 2 +14х-120=0; х 2 +7х-60=0. Корни этого приведенного квадратного уравнения удобно найти по теореме Виета.
Х1=-12, х2=5. Так как сторона выражается положительным числом, то ОМ=х=5 см. тогда ОК=5+7=12 (см). АК=ОМ=5 см и АМ=ОК=12 см – это половинки сторон прямоугольника. Тогда АВ=2∙АК=10 см и AD=2∙МА=24 см. Ответ: 10 см и 24 см.
8.2.5. Основные тригонометрические тождества. Часть 2
Основные тригонометрические тождества.
Пример 1. Вычислить значения cosα, tgα, ctgα, если sinα = 5/13 и угол α – острый.
Решение. Найдем cosα по формуле 1б), учитывая, что угол α – острый.
Тангенс α найдем по формуле 2). Подставим значения синуса и косинуса.
Так как по формуле 6) tgα ∙ ctgα = 1, то ctgα = 1 : tgα. Говорят, что котангенс – это «перевернутый» тангенс, следовательно,
Пример 2. Вычислить значения sinα, tgα, ctgα, если cosα = 0,6 и угол α – острый.
Тангенс α найдем по формуле 2). Подставим значения синуса и косинуса.
Пример 3. Вычислить значения sinα, cosα, ctgα, если tgα = 15/8 и угол α – острый.
Котангенс – это «перевернутый» тангенс, поэтому, ctgα = 8/15. Далее находим cosα.
Применим формулу 7), подставив в эту формулу данное значение тангенса Α.
Пример 4. Вычислить значения sinα, cosα, tgα, если ctgα = 9/40 и угол α – острый.
Тангенс – это «перевернутый» котангенс, поэтому, tgα = 40/9. Далее находим cosα,
Применяя ту же формулу 7). Подставим в эту формулу полученное значение тангенса Α.
8.2.4. Основные тригонометрические тождества. Часть 1
Основные тригонометрические тождества.
Secα читают: «секанс альфа». Это число, обратное косинусу альфа.
Соsecα читают: «косеканс альфа». Это число, обратное синусу альфа.
Примеры. Упростить выражение:
Е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; Ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; З) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; И) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
Б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = — sin 2 α также применили формулу 1);
В) (1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Вначале мы применили формулу разности квадратов двух выражений: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 , а затем формулу 1)
poiskvstavropole.ru