Конспект «Алгебра 7 класс. Все формулы и определения»
Алгебра 7 класс. Все формулы и определения.
Краткий курс алгебры за 7 класс.
«Алгебра 7 класс. Все формулы и определения» — это краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2013.
Выражения и их преобразования
☑ 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а:
Степенью числа а с показателем 1 называют само число а: а1 = а.
Степень числа а ≠ 0 с показателем 0 равна 1: а0 = 1.
☑ 2. Свойства степеней с натуральными показателями:
аn • аn = аn + 1
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
аm : аn = аm — n, где а ≠ 0, m ≥ n
(аm)n = аmn
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
(ab)n = аnbn
При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.
☑ 3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, 5а2х, –3а2b3, 4, х, у5 — одночлены.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена –8а2b4 равна 6.
☑ 4. Многочленом называют сумму одночленов. Например, 3х5 – 4х2 + 1, 7a3b – ab2 + ab + 6—многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 5х3у + 3х2у5 + ху равна степени одночлена 3х2у5, т. е. равна 7.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
☑ 5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,
(3аb + 5с2) + (ab – с2) = 3ab + 5с2 + ab – с2 = 4аb + 4с2
При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,
(6x2 – у) – (2x2 – 8у) = 6х2 – у – 2х2 + 8у = 4х2 + 7у
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например,
а2 (3аb – b3 + 1) = 3а3b – а2b3 + а2
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например,
(5х – 1)(3х + 2) = 15x2 – Зx + 10x – 2 = 15x2 + 7x – 2
☑ 6. Формулы сокращённого умножения:
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
(а – b)2 = а2 – 2аb + b2
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(а – b)3 = а3 – 3а2b + Заb2 – b3
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(а – b)(а + b) = а2 – b2
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
а3 + b3 = (а + b)(a2 – аb + b2)
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
а3 – b3 = (а – b)(a2 + ab + b2)
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
☑ 7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов.
Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Например, многочлен 5х3 – х2у можно разложить на множители, вынеся за скобки х2 : 5х3 – х2у = х2 (5х – у). Многочлен 3х – 3у – ах + ау можно разложить на множители, используя способ группировки:
3х – 3у – ах + ау = (3x – 3у) – (ах – ау) = 3(х – у) – а (х – у) = (х – у)(3 – а).
Многочлен а4 – 25x2 можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений:
а4 – 25x2 = (а2)2 – (5x)2 = (а2 – 5x)(а2 + 5x).
Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив последовательно несколько способов.
Уравнения
☑ 8. Корнем уравнения с одной переменной называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 8 — корень уравнения 3x +1 = 5х – 15, так как верно равенство 3•8 + 1= 5•8 – 15.
Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
☑ 9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Например, уравнения x2 = 25 и (х + 5)(х – 5) = 0 равносильны. Каждое из них имеет два корня: –5 и 5. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
☑ 10. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа.
Если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень b/a.
Например, уравнение 7х = 2 имеет корень 2/7.
Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 7 не имеет корней.
Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах = b является любое число.
☑ 11. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую это уравнение в верное равенство. Например, пара чисел х = —1, у = 4 — решение уравнения 5х + 3у = 7.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
В уравнении с двумя переменными можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.
☑ 12. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — числа.
☑ 13. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
☑ 14. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 7, у = –1 — решение системы
так как является верным каждое из равенств 7 + (–1) = 6 и 2 • 7 – (–1) = 15.
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
☑ 15. Для решения систем линейных уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения.
При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:
- если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы;
- если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы.
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:
- выражают из какого–либо уравнения системы одну переменную через другую;
- подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
- решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:
- умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами;
- складывают почленно левые и правые части уравнений системы; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.
Функции
☑ 16. Функциональная зависимость, или функция, — это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
☑ 17. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — числа.
Графиком линейной функции у = kx + b является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = kx + b.
Если k ≠ 0, то график функции у = kx + b пересекает ось х; если k = 0 и b ≠ 0, то прямая — график функции у = kx + b, параллельна оси х; если k = 0 и b = 0, то график функции совпадает с осью х.
Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.
Линейную функцию, задаваемую формулой у – kx при k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.
График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой координатных четвертях.
☑ 18. График функции у = х2 — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.
График функции у = х3 проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.
Статистические характеристики
☑ Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называют число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Например, медиана ряда чисел 17, 21, 27, 29, 32, 37, 41 равна 29, а медиана ряда чисел 28, 43, 54, 56, 58, 62 равна 55.
Медианой произвольного ряда чисел называют медиану соответствующего упорядоченного ряда.
Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Вы смотрели Конспект «Алгебра 7 класс. Все формулы и определения» — краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского).
Алгебра 7 класс. Все формулы и определения
5 (100%) 5 votes
uchitel.pro
Алгебра 7-9 классы — Всё для чайников
Главная
Видеотека
Естествознание
Физика
Математика
Химия
Биология
Экология
Обществознание
Обществознание — как наука
Иностранные языки
История
Психология и педагогика
Русский язык и литература
Культурология
Экономика
Менеджмент
Логистика
Статистика
Философия
Бухгалтерский учет
Технические науки
Черчение
Материаловедение
Сварка
Электротехника
АСУТП и КИПИА
Технологии
Теоретическая механика и сопромат
САПР
Метрология, стандартизация и сертификация
Геодезия и маркшейдерия
Программирование и сеть
Информатика
Языки программирования
Алгоритмы и структуры данных
СУБД
Web разработки и технологии
Архитектура ЭВМ и основы ОС
Системное администрирование
Создание программ и приложений
Создание сайтов
Тестирование ПО
Теория информации и кодирования
Функциональное и логическое программирование
Программы
Редакторы и компиляторы
Офисные программы
Работа с аудио видео
Работа с компьютерной графикой и анимацией
Автоматизация бизнеса
Прочие
Музыка
Природное земледелие
Рисование и живопись
Библиотека
Естествознание
Физика
Математика
Химия
Биология
Экология
Астрономия
Обществознание
forkettle.ru
Содержание учебников по алгебре 7 класс
Содержание учебников по алгебре 7 класс
- Алгебра. 7 класс. Учебник. Алимов Ш.А.
- Алгебра. 7 класс. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б.
- Алгебра. 7 класс. Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др.
- Алгебра. 7 класс. Учебник. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
- Алгебра. 7 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К. и др.
1. Алгебра. 7 класс. Учебник. Алимов Ш.А.
18-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 224 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Алгебраические выражения
§ 1. Числовые выражения 3
§ 2. Алгебраические выражения 8
§ 3. Алгебраические равенства. Формулы 10
§ 4. Свойства арифметических действий 14
§ 5. Правила раскрытия скобок 19
Упражнения к главе I 23
Глава II. Уравнения с одним неизвестным
§ 6. Уравнение и его корни 27
§ 7. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным 30
§ 8. Решение задач с помощью уравнений 35
Упражнения к главе II 41
Глава III. Одночлены и многочлены
§ 9. Степень с натуральным показателем 44
§ 10. Свойства степени с натуральным показателем 48
§11. Одночлен. Стандартный вид одночлена 55
§ 12. Умножение одночленов 58
§ 13. Многочлены 61
§ 14. Приведение подобных членов 63
§ 15. Сложение и вычитание многочленов 67
§ 16. Умножение многочлена на одночлен 69
§17. Умножение многочлена на многочлен 71
§ 18. Деление одночлена и многочлена на одночлен 75
Упражнения к главе III 78
Глава IV. Разложение многочленов на множители
§ 19. Вынесение общего множителя за скобки 81
§ 20. Способ группировки 85
§21. Формула разности квадратов 88
§ 22. Квадрат суммы. Квадрат разности 90
§ 23. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители 94
Упражнения к главе IV 97
Глава V. Алгебраические дроби
§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей 99
§25. Приведение дробей к общему знаменателю 104
§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей 108
§ 27. Умножение и деление алгебраических дробей 112
§ 28. Совместные действия над алгебраическими дробями …. 114
Упражнения к главе V 118
Глава VI. Линейная функция и ее график
§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости 121
§ 30. Функция 124
§ 31. Функция y = kx и ее график 132
§32. Линейная функция и ее график 138
Упражнения к главе VI 143
Глава VII. Системы двух уравнений с двумя неизвестными
§ 33. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений 147
§34. Способ подстановки 152
§ 35. Способ сложения 156
§ 36. Графический способ решения систем уравнений 160
§ 37. Решение задач с помощью систем уравнений 165
Упражнения к главе VII 170
Глава VIII. Элементы комбинаторики
§38. Различные комбинации из трех элементов 173
§39. Таблица вариантов и правило произведения 177
§ 40. Подсчет вариантов с помощью графов 181
Упражнения к главе VIII 187
Упражнения для повторения курса алгебры VII класса 188
Задачи для внеклассной работы 198
Краткое содержание курса алгебры VII класса . . . 202
Ответы 209
Предметный указатель 222
2. Алгебра. 7 класс. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Дроби и проценты
1.1. Сравнение дробей 5
1.2. Вычисления с рациональными числами 10
1.3. Степень с натуральным показателем 14
1.4. Задачи на проценты 21
1.5. Статистические характеристики 30
1.6. Последняя цифра степени (Для тех, кому интересно) 36
Дополнительные задания 37
Чему вы научились 40
Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность
2.1. Зависимости и формулы 44
2.2. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность 50
2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций 57
2.4. Пропорциональное деление 64
2.5. Задачи на «сложные» пропорции (Для тех, кому интересно) . 66
Дополнительные задания 68
Чему вы научились 70
Глава 3. Введение в алгебру
3.1. Буквенная запись свойств действий над числами 73
3.2. Преобразование буквенных выражений 78
3.3. Раскрытие скобок 85
3.4. Приведение подобных слагаемых 89
3.5. Ещё раз о законах алгебры (Для тех, кому интересно) 95
Дополнительные задания 98
Чему вы научились 100
Глава 4. Уравнения
4.1. Алгебраический способ решения задач 103
4.2. Корни уравнения 107
4.3. Решение уравнений 109
4.4. Решение задач с помощью уравнений 115
4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений (Для тех, кому интересно) 121
Дополнительные задания 123
Чему вы научились 124
Глава 5. Координаты и графики
5.1. Множества точек на координатной прямой 127
5.2. Расстояние между точками координатной прямой 131
5.3. Множества точек на координатной плоскости 134
5.4. Графики 139
5.5. Ещё несколько важных графиков 143
5.6. Графики вокруг нас 148
5.7. Графики зависимостей, заданных равенствами с модулями (Для тех, кому интересно) 156
Дополнительные задания —
Чему вы научились 160
Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем
6.1. Произведение и частное степеней 163
6.2. Степень степени, произведения и дроби 168
6.3. Решение комбинаторных задач 174
6.4. Перестановки 177
6.5. Круговые перестановки (Для тех, кому интересно) 181
Дополнительные задания 182
Чему вы научились 185
Глава 7. Многочлены
7.1. Одночлены и многочлены 188
7.2. Сложение и вычитание многочленов 193
7.3. Умножение одночлена на многочлен 197
7.4. Умножение многочлена на многочлен 201
7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности 205
7.6. Решение задач с помощью уравнений 211
7.7. Деление с остатком (Для тех, кому интересно) 218
Дополнительные задания 219
Чему вы научились 222
Глава 8. Разложение многочленов на множители
8.1. Вынесение общего множителя за скобки 226
8.2. Способ группировки 231
8.3. Формула разности квадратов 233
8.4. Формулы разности и суммы кубов 237
8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов 240
8.6. Решение уравнений с помощью разложения на множители 243
8.7. Несколько более сложных примеров (Для тех, кому интересно) 245
Дополнительные задания 247
Чему вы научились 250
Глава 9. Частота и вероятность
9.1. Случайные события 253
9.2. Частота случайного события 260
9.3. Вероятность случайного события 266
9.4. Сложение вероятностей (Для тех, кому интересно) 270
Дополнительные задания 271
Чему вы научились 272
Ответы 275
Справочный материал 282
Предметный указатель 283
3. Алгебра. 7 класс. Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 5
§ 1. Числовые выражения 6
§ 2. Алгебраические выражения 13
§ 3. Алгебраические равенства. Формулы 18
§ 4. Свойства арифметических действий 23
§ 5. Правила раскрытия скобок 29
Упражнения к главе I 34
ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 41
§ 6. Уравнение и его корни 42
§ 7. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным 46
§ 8. Решение задач с помощью уравнений 53
Упражнения к главе II 59
ГЛАВА III. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ 65
§ 9. Степень с натуральным показателем 66
§ 10. Свойства степени с натуральным показателем 73
§ 11. Одночлен. Стандартный вид одночлена 82
§ 12. Умножение одночленов 86
§ 13. Многочлены 89
§ 14. Приведение подобных членов 93
§ 15. Сложение и вычитание многочленов 97
§ 16. Умножение многочлена на одночлен 101
§ 17. Умножение многочлена на многочлен 104
§ 18. Деление одночлена и многочлена на одночлен 109
Упражнения к главе III 113
ГЛАВА IV. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 119
§ 19. Вынесение общего множителя за скобки 120
§ 20. Способ группировки 124
§ 21. Формула разности квадратов 128
§ 22. Квадрат суммы. Квадрат разности 132
§ 23. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители 138
Упражнения к главе IV 143
ГЛАВА V. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ 147
§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей 148
§ 25. Приведение дробей к общему знаменателю 154
§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей 158
§ 27. Умножение и деление алгебраических дробей 164
§ 28. Совместные действия над алгебраическими дробями 168
Упражнения к главе V 171
ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК 177
§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости 178
§ 30. Функция 182
§ 31. Функция у = kx и её график 192
§ 32. Линейная функция и её график 200
Упражнения к главе VI 205
ГЛАВА VII. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 213
§ 33. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений 214
§ 34. Способ подстановки 220
§ 35. Способ сложения 225
§ 36. Графический способ решения систем уравнений 230
§ 37. Решение задач с помощью систем уравнений 236
Упражнения к главе VII 243
ГЛАВА VIII. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 249
§ 38. Различные комбинации из трёх элементов 250
§ 39. Таблица вариантов и правило произведения 257
§ 40. Подсчёт вариантов с помощью графов 262
Упражнения к главе VIII 272
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ VII КЛАССА 277
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ 287
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 291
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ V—VI КЛАССОВ 293
ОТВЕТЫ 302
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 317
4. Алгебра. 7 класс. Учебник. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
ОГЛАВЛЕНИЕ (2013г.)
ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ
§ 1. ВЫРАЖЕНИЯ 5
1. Числовые выражения —
2. Выражения с переменными 8
3. Сравнение значений выражений 12
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ 17
4. Свойства действий над числами —
5. Тождества. Тождественные преобразования выражений 20
§ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 25
6. Уравнение и его корни —
7. Линейное уравнение с одной переменной 28
8. Решение задач с помощью уравнений 32
§ 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 36
9. Среднее арифметическое, размах и мода —
10. Медиана как статистическая характеристика 42
Для тех, кто хочет знать больше
11. Формулы 46
Дополнительные упражнения к главе I 49
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ
§ 5. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 55
12. Что такое функция —
13. Вычисление значений функции по формуле 59
14. График функции 62
§ 6. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 69
15. Прямая пропорциональность и её график —
16. Линейная функция и её график 75
Для тех, кто хочет знать больше
17. Задание функции несколькими формулами 84
Дополнительные упражнения к главе II 88
ГЛАВА III. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 7. СТЕПЕНЬ И ЕЁ СВОЙСТВА 93
18. Определение степени с натуральным показателем —
19. Умножение и деление степеней 99
20. Возведение в степень произведения и степени 103
§ 8. ОДНОЧЛЕНЫ 108
21. Одночлен и его стандартный вид —
22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 110
23. Функции у = х2 и у = х3 и их графики 112
Для тех, кто хочет знать больше
24. О простых и составных числах 119
Дополнительные упражнения к главе III 121
ГЛАВА IV. МНОГОЧЛЕНЫ
§ 9. СУММА И РАЗНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ 127
25. Многочлен и его стандартный вид —
26. Сложение и вычитание многочленов 130
§ 10. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА 135
27. Умножение одночлена на многочлен —
28. Вынесение общего множителя за скобки 140
§ 11. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ 145
29. Умножение многочлена на многочлен —
30. Разложение многочлена на множители способом группировки 150
Для тех, кто хочет знать больше
31. Деление с остатком 152
Дополнительные упражнения к главе IV 155
ГЛАВА V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
§ 12. КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ 163
32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений —
33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности 169
§ 13. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ 172
34. Умножение разности двух выражений на их сумму —
35. Разложение разности квадратов на множители 177
36. Разложение на множители суммы и разности кубов 180
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 183
37. Преобразование целого выражения в многочлен —
38. Применение различных способов для разложения на множители 186
Для тех, кто хочет знать больше
39. Возведение двучлена в степень 190
Дополнительные упражнения к главе V 193
ГЛАВА VI. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ 199
40. Линейное уравнение с двумя переменными —
41. График линейного уравнения с двумя переменными 204
42. Системы линейных уравнений с двумя переменными 207
§ 16. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 211
43. Способ подстановки —
44. Способ сложения 215
45. Решение задач с помощью систем уравнений 219
Для тех, кто хочет знать больше
46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы 223
Дополнительные упражнения к главе VI 226
Задачи повышенной трудности 232
Исторические сведения 236
Сведения из курса математики 5—6 классов 240
Список дополнительной литературы 245
Предметный указатель 246
Ответы 247
5. Алгебра. 7 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К. и др.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. Действительные числа
§ 1. Натуральные числа 5
1.1. Натуральные числа и действия с ними —
1.2. Степень числа 7
1.3. Простые и составные числа 9
1.4. Разложение натуральных чисел на множители 11
§ 2. Рациональные числа 14
2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби —
2.2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь 17
2.3. Периодические десятичные дроби 19
2.4*. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби 22
2.5. Десятичное разложение рациональных чисел 26
§ 3. Действительные числа 29
3.1. Иррациональные числа —
3.2. Понятие действительного числа 30
3.3. Сравнение действительных чисел 32
3.4. Основные свойства действительных чисел 34
3.5. Приближения чисел 38
3.6. Длина отрезка 42
3.7. Координатная ось 45
Дополнения к главе 1 47
1. Делимость чисел —
2. Исторические сведения 54
ГЛАВА 2. Алгебраические выражения
§ 4. Одночлены 59
4.1. Числовые выражения —
4.2. Буквенные выражения 63
4.3. Понятие одночлена 66
4.4. Произведение одночленов 68
4.5. Стандартный вид одночлена 72
4.6. Подобные одночлены 74
§ 5. Многочлены 76
5.1. Понятие многочлена —
5.2. Свойства многочленов 78
5.3. Многочлены стандартного вида 79
5.4. Сумма и разность многочленов 82
5.5. Произведение одночлена и многочлена 85
5.6. Произведение многочленов 87
5.7. Целые выражения 92
5.8. Числовое значение целого выражения 94
5.9. Тождественное равенство целых выражений 97
§ 6. Формулы сокращённого умножения 100
6.1. Квадрат суммы —
6.2. Квадрат разности 102
6.3. Выделение полного квадрата 104
6.4. Разность квадратов 107
6.5. Сумма кубов 109
6.6. Разность кубов 111
6.7*. Куб суммы 113
6.8*. Куб разности 114
6.9. Применение формул сокращённого умножения 115
6.10. Разложение многочлена на множители 118
§ 7. Алгебраические дроби 124
7.1. Алгебраические дроби и их свойства —
7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю 128
7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями 130
7.4. Рациональные выражения 136
7.5. Числовое значение рационального выражения 139
7.6. Тождественное равенство рациональных выражений 144
§ 8. Степень с целым показателем 148
8.1. Понятие степени с целым показателем —
8.2. Свойства степени с целым показателем 152
8.3. Стандартный вид числа 155
8.4. Преобразование рациональных выражений 157
Дополнения к главе 2 161
1. Делимость многочленов —
2. Исторические сведения 168
ГЛАВА 3. Линейные уравнения
§ 9. Линейные уравнения с одним неизвестным 171
9.1. Уравнения первой степени с одним неизвестным —
9.2. Линейные уравнения с одним неизвестным 174
9.3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным 177
9.4. Решение задач с помощью линейных уравнений 180
§ 10. Системы линейных уравнений 182
10.1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными —
10.2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 186
10.3. Способ подстановки 189
10.4. Способ уравнивания коэффициентов 192
10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений 195
10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными 200
10.7*. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 203
10.8*. Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными 206
10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени 208
Дополнения к главе 3 216
1. Линейные диофантовы уравнения
2. Метод Гаусса 220
3. Исторические сведения 223
Задания для повторения 225
Задания на исследование 269
Задания для самоконтроля 271
Список дополнительной литературы 273
Предметный указатель 275
Ответы 276
все статьи по математике
www.itmathrepetitor.ru
Правила по алгебре 7 класс
— это выражение, состоящее из чисел.
— это выражение, состоящее из чисел и переменных (букв)
Уравнение вида где переменная, некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.
Математическая модель – составленное по данному условию уравнение.
Алгоритм – последовательность действий.
Выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях, входящих в них переменных, называют тождественно равными.
Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.
Степень числа а с показателем 1 называют само это число.
При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число. При возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательного числа.
Свойства степени:
Одночлен – произведение чисел, переменных и их степеней.
Коэффициент одночлена – числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.
Подобные одночлены – одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.
Многочлены – выражения, состоящие из суммы нескольких одночленов.
Многочлен стандартного вида – многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида.
Степень многочлена стандартного вида – наибольшая степень из степени одночлена, из которых составлен многочлен.
Нуль – многочлен – число нуль, также многочлены, тождественно равные нулю.
Тождественно равные выражения – выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.
Разложение многочлена на множители: представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов.
Формулы сокращенного умножения
Полный квадрат – трехчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена.
P=4a, где а – независимая переменная(может принимать любые значения), Р – зависимая(изменятся в зависимости от а)
Функция – правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.
Функциональная зависимость – зависимость одной переменной от другой.
Аргумент — независимая переменная.
Область определения – все значения, которые принимает аргумент.
Значение функции – значение зависимой переменной.
Заданная функция – функция, где указаны её область определения и правило, с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной.
Область значений функций – все значения, которые принимает зависимая переменная.
Способы задание функции: 1. Описательный, 2. С помощью формул, 3. Табличный.
Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким способом, образуют график функции.
График функции f – геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции f.
Линейная функция – функция, которую можно задать формулой Её график – прямая.
Линейная функция, которая задается формулой называют прямой пропорциональностью.
Случай, когда значение функции будет оставаться неизменным при любых значениях аргумента.
Равенство, содержащее две переменные называется уравнением с двумя переменными.
Пару значений, обращающую уравнение в верное равенство называют решением уравнения с двумя переменными.
Решить уравнение с двумя переменными – значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.
График уравнения с двумя переменными – геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решением данного уравнения.
Линейное уравнение с двумя переменными называют уравнение вида
Случай, когда графиком уравнения является прямая.
Решить систему уравнений – значит найти все её решения или показать, что оно не имеет решений.
Суть графического метода: 1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему, 2) найти координаты всех точек пересечения графиков, 3) полученные пары чисел будут искомыми рениями.
Суть метода подстановки: 1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую, 2) подставить в другое уравнение системы, вместо этой переменной, 3) решить уравнение с одной переменной, 4) подставить найденное значение переменной в выражение, получено на первом шаге, 5) вычислить значение другой переменной.
Суть метода сложения: 1) подобрав «выгодные» множители, преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициентом при одной из переменных стали противоположными числами, 2) сложить почленно левые и правые части уравнений, 3) решить уравнение с одной переменной, 4)подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы, 5) вычислить значение другой переменной.
infourok.ru
шпаргалка правила по алгебре 7 класс
Алгебра (математика) 7 класс
Видеоуроки, тесты и тренажёры по Алгебра за 7 класс по школьной программе. Используйте конспект уроков раздела «Алгебра 7 класс» для закрепления полученных знаний.
interneturok.ru > Алгебра (математика) 7
Алгебра 7 класс, Интерактивный учебник. Задания с проверкой.Алгебра 7 класс. Правила, задачи, примеры. Математический язык. Математическая модель.
school-assistant.ru >
Алгебра 7 класс. Правила.
Конспект «Алгебра 7 класс. Все формулы и определения…»
Краткий курс алгебры за 7 класс.При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
uchitel.pro >
Конспект «Алгебра 7 класс.
Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии — Инженерный…
Производная. Правила дифференцирования.Вы сейчас здесь: Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии.Примерно 7 класс (13 лет). Нахождение наиМЕНЬШЕГО общего кратного (НОК) и наиБОЛЬШЕГО общего делителя (НОД) натуральных чисел.
dpva.ru >
Шпаргалки по математике,
Опорные таблицы по учебнику «Алгебра 7 класс» автор…
infourok.ru >
Опорные таблицы по
Справочные таблицы по алгебре 7 класса скачать
выражений, соединённых знаками « + » и « — ». Правила раскрытия скобок. ➢ Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая.Алгебра. 7 класс. 1. Алгебраические выражения. 2. Уравнения с одним неизвестным.
uchitelya.com >
Справочные таблицы по
Функции и графики. Шпаргалка для 7 класса
multiurok.ru >
Функции и графики.
Алгебра 7-9 классы — Всё для чайников
Деревообра-батывающие станки. Сварочное оборудование. Правила.Алгебра 7-9 классы. 1. Уравнения с одной переменной. Выражения и их преобразования. 5175. Алгебра 7-9 классы.
forkettle.ru >
Алгебра 7-9 классы — Всё для
7 класс. Алгебра
Рубрика «7 класс. Алгебра«. 7.2.3. Действия с одночленами и многочленами. I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночленПо правилу мы должны каждый член первого многочлена (4×2-6xy+9y2) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y).
mathematics-repetition.com >
7 класс.
Алгебра 7 класс. Правила, задачи, примеры. Обсуждение на…
Отчеты: Посетители Поисковые фразы. Алгебра 7 класс. Правила, задачи, примеры.
liveinternet.ru >
Алгебра 7 класс. Правила,
Ответы@Mail.Ru: все правила по алгебре за 7 класс!!!!…
Другие предметы. — 2 (147). все правила по алгебре за 7 класс!!!!напишите»!!!! 7 лет.1. Числовые и алгебраические выражения. Правила Числовым выражением называют всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом.
touch.otvet.mail.ru >
Ответы@Mail.Ru: все правила по
Шпоры по алгебре и геометрии — n1.rtf
Шпоры по алгебре и геометрии скачать (20.7 kb.) Доступные файлы (1)Тригонометрия (шпаргалка) (Документ). Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского (Документ). Морозов А.В. Домашняя работа по алгебре за 7 класс (Документ).
nashaucheba.ru >
Шпоры по алгебре и
Шпаргалки (шпора) — Универсальные шпаргалки
Универсальные шпаргалки: Алгебра: Геометрия
vseshpargalki.narod.ru >
Шпаргалки (шпора) —
Справочный материал | по алгебре и началам анализа
По алгебре и началам анализа. 1. Формулы сокращенного умножения.Правила нахождения первообразных. Пусть F (x), G(x) ― первообразные для функций f (x) и g(x) соответственно, a, b, k ― постоянные, k ≠ 0 . Тогда
ege.sdamgia.ru >
Справочный материал | по
Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания
Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Алгебра, 7 класс. Задания составлены профессиональными педагогами. ЯКласс — онлайн-школа нового поколения.
yaklass.ru >
Алгебра, 7 класс: уроки,
Шпаргалки по алгебре
Шпаргалки по алгебре. Математика. Справочные материалы по алгебре в компактной форме.Тест по алгебре для 8 класса. Очень полезные шпоргалки по алгебре и геометрии.
4ege.ru >
Шпаргалки по
Алгебра — Школьная программа (7-11 классы)
Алгебра — Школьная программа (7-11 классы). 7 класс. 01. Глава 1. Математический язык. Математическая модель.06. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями основные правила, простейшие случаи.
test-uz.ru >
Алгебра — Школьная
все правила по алгебре за 7 класс!!!!напишите»!!!!
a b любые значения за исключением двух вариантов a(a b) (a 0) и (a b). Обычно, при нахождении области определения, мы должны исключить такие значения переменных, при которых придется делить на нуль. Ты думаешь кто то тебе будет 1 час писать правила?
info-4all.ru >
все правила по алгебре за 7
ГДЗ по алгебра 7 класс. Макарычев часть 1 — коллекция курсовых…
ГДЗ алгебра 7 класс гдз по алгебре ГДЗ решебники.Готовые домашние задания по алгебре 7 класс Алгебра 7 класс. Макарычев Часть первая.
studentik.net >
ГДЗ по алгебра 7 класс.
Алгебра (7 класс) — Викиверситет
Алгебра (7 класс). Материал из Викиверситета. Перейти к навигации Перейти к поиску.Уроки по алгебре за 7 класс по школьной программе.
ru.wikiversity.org >
Алгебра (7 класс) —
Справочные таблицы по алгебре 7 класса — К уроку… — Pedsovet.su
Алгебра 7 класс. 1. Алгебраические выражения. 2. Уравнения с одним неизвестным.Полный текст материала Справочные таблицы по алгебре 7 класса смотрите в скачиваемом файле. На странице приведен фрагмент.
pedsovet.su >
Справочные таблицы по
Алгебра.7 класс.Определения за первое полугодие. | Quizlet
Start studying Алгебра.7 класс.Определения за первое полугодие.. Learn vocabulary, terms and more with flashcards, games and other study tools.Алгебра.7 класс.Определения за первое полугодие.
quizlet.com >
Алгебра.7
Учебно-методический материал по алгебре (7 класс) на тему…
Памятки-опорные конспекты по алгебре 7 класс.Учебно-методический материал по алгебре (7 класс) на тему: Памятки.
nsportal.ru >
Учебно-методический
Материалы школьной программы по математике за 7 класс
Школьная программа по математике в 7 классе знакомит школьников с такими важными понятиями как функции и многочлен. Изучаются свойства степени с натуральным показателем, а также рассматривается график линейной функции. Школьники научатся строить графики…
nado5.ru >
Материалы школьной
§ Алимов 7 класс учебник. Электронная библиотека по математике
Алимов 7 класс из электронной библиотеки по математике.Правила раскрытия скобок. Упражнения к главе I. Глава II.Упражнения для повторения курса алгебры VII класса.
math-prosto.ru >
§ Алимов 7 класс учебник.
Хочу учиться — Повторение курса 7 класса
Зверев Егор. Гая Григорьевна, можете пожалуйста выложить шпаргалку №1 по параметрам на сайт ?А нам завтра надо приносить тетради по алгебре или в понедельник?
gghelp.ru >
Хочу учиться — Повторение
Все формулы по алгебре за 7 класс — Школьнику.com
Если ответа нет или он оказался неправильным по предмету Алгебра, то попробуй воспользоваться поиском на сайте или задать вопрос самостоятельно.
shkolniku.com >
Все формулы по алгебре за 7
Алгебра — 7 класс, самостоятельные работы по Мордковичу.
mathematics-tests.com >
Алгебра — 7 класс,
Репетитор по математике 7 класс: материалы и советы…
Тест за 7 класс по алгебре (учебник Макарычева). Задание 1. Решите уравнение и укажите его корень.Как мне кажется, правильная работа репетитора по математике с 7 классом по геометрии в самом начале ее изучения должна быть направлена запоминание наиболее часто…
ankolpakov.ru >
Репетитор по математике 7
www.boomle.ru
Таблица основных степеней. Видеоурок. Алгебра 7 Класс
На этом уроке мы рассмотрим таблицу основных степеней.
Вначале вспомним определение степени. Затем составим таблицу основных степеней чисел от 1 до 10 и решим ряд задач с ее использованием.
Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок: Таблица основных степеней
Напоминание определения:
Здесь a — основание степени,
n— показатель степени,
— n-ая степень числа.
Из определения степени получаем таблицу основных степеней, где основание – простые числа в пределах 10.
Таблица основных степеней:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая и обратная задачи
1) Вычислить
interneturok.ru
