6 класс

Математика виленкин 6 класс номер 210: ГДЗ учебник 2015. номер 210 (215) математика 6 класс Виленкин, Жохов

Содержание

Страница 33 №206-210 ГДЗ к учебнику «Математика» 6 класс Виленкин, Жохов, Чесноков

Задание № 206. Решите уравнение:
а) (х + 36,1) * 5,1 = 245,82;
б) (m − 0,67) * 0,02 = 0,0152;
в) (х + 24,3) : 18,3 = 3,1;
г) (у − 15,7) : 19,2 = 4,7.

Решение

а) (x + 36,1) * 5,1 = 245,82
x + 36,1 = 245,82 : 5,1
x + 36,1 = 48,2
x = 48,2 − 36,1 = 12,1

б) (m − 0,67) * 0,02 = 0,0152
m − 0,67 = 0,0152 : 0,02
m − 0,67 = 0,76
m = 0,76 + 0,67 = 1,43

в) (x + 24,3) : 18,3 = 3,1
x + 24,3 = 3,1 * 18,3
x + 24,3 = 56,73
x = 56,73 − 24,3 = 32,43

г) (у − 15,7) : 19,2 = 4,7
у − 15,7 = 4,7 * 19,2
у − 15,7 = 105,94
y = 105,94 + 15,7 = 121,64

Задание № 207. Запишите в виде дроби частные:
27 : 8;
72 : 8;
483 : 18;
1225 : 12 и выделите из них целые части.

Решение

Задание № 208. Найдите среднее арифметическое чисел: 5,24; 6,97; 8,56; 7,32 и 6,23.

Решение

(5,24 + 6,97 + 8,56 + 7,32 + 6,23) : 5 = 34,32 : 5 = 6,864.

Задача № 209. Поезд шёл 3 ч со скоростью 65,2 км/ч и 2 ч со скоростью 83,3 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда за эти 5 ч.

Дано:
t1 = 3ч
v1 = 65,2 км/ч
t2 = 2 ч
v2 = 83,3 км/ч
vср = ? км/ч

Решение
vср = Sвсе : tвсе
vср = (v1 * t1 + v2 * t2) : (t1 + t2)
vср = (65,2 * 3 + 83,3 * 2) : (3 + 2)
vср = (195,6 + 166,6) : 5
vср = 362,2 : 5
vср = 72,44 км/ч.
Ответ: vср = 72,44 км/ч.

Задание № 210. Найдите значение выражения:
а) 51 − (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7) * 2,4;
б) (650 000 : 3125 − 196,5) * 3,14.

Решение

а) 51 − (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7) * 2,4 = 51 − (1,25 = 3,5) * 2,4 = 51 − (1,25 = 3,5) * 2,4 = 51 − 11,4 = 39,64

б) (650 000 : 3125 − 196,5) • 3,14 = (208 − 196,5) • 3,14 = 36,11

 

ГДЗ по математике 6 класс Бунимович Просвещение ответы и решения онлайн

Шестиклассники, отмечая трудности в усвоении программы, выделяют, прежде всего, большое количество новых терминов и определений, с которыми они не встречались в предыдущие года учебы. Преодолеть сложности можно, дополнив подготовку самостоятельной работой. Освоить полезный навык самообучения поможет гдз по математике за 6 класс Бунимович — сборник, составленный для учеников общеобразовательных учебных заведений. Специалисты подчеркивают тот факт, что все темы изучаемого курса рассматриваются в подробном, понятном и доступном виде. Кроме того, комплект материалов позволяет развивать навыки, опираясь на полученные в младших классах знания, изучая такую науку, как математика.

Для кого предназначены онлайн решебники?

Среди тех, кто намеренно и часто использует правильные ответы по математике для 6 класса Бунимовича встречаются:

  • шестиклассники, серьезно заинтересованные в приобретении основательных знаний по дисциплине, участвующие в научных и конкурсных мероприятиях по ней и желающие получить конкурентные преимущества перед другими участниками. Особенно, если тема изучалась в школе по другим учебникам;
  • школьники, выбравшие этот предмет, чтобы написать выпускной экзамен в девятом классе или использовать его в одиннадцатом классе. Ресурс позволит повторить материал курса для 5 класса, а решебник станет площадкой для систематизации знаний и развития вашей подготовительной программы.
  • дети, пропускающие школу по тем или иным причинам. Для них платформа является альтернативой или дополнением к объяснению учителя, которое помогает понять сложные моменты материала, хорошо подготовиться к следующему ответу на уроке или написать важную проверочную работу;
  • родители учеников шестых классов, которым нужно систематически проверять домашние задания детей, следить за успеваемостью и уровнем знания.

Доводы в защиту учебно-практических пособий

На сегодняшний день не все родители и учителя понимают полезность и необходимость занятий со

справочными материалами по математике 6 класс автор Бунимович для школьников. Некоторые до сих пор считают, что это просто площадка для списания готовых решений, что противоречит самостоятельному усвоению знаний. Те, кто оценил пользу и эффективность решебников, отмечают следующие достоинства:

  • минимальное количество времени, которое необходимо потратить, чтобы найти и применить желаемый ответ;
  • постоянная доступность ресурса для всех заинтересованных пользователей в любое время;
  • возможность существенно сэкономить семейный бюджет, отказавшись от дорогостоящих репетиторов, платных курсов или клубов, либо значительно снизив стоимость этих предметов;
  • все материалы составлены в соответствии с положением об образовательных стандартах, что важно при написании ВПР, прохождении олимпиад и конкурсов, сдаче экзаменов.

Грамотные и подробные математические решения на еуроки ГДЗ являются важным ресурсом для развития способностей учащихся, если они применяются правильно и систематически. Например, чтобы сверить свои ответы со справочными ответами, сначала проверьте решения задачи, прежде чем передать работу учителю, что снижает риск получения плохих оценок.

Решение — № №210 по Математике за 6 класс Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд

Учебник/ № / 210

Решебник №1/ № / 210

Видеорешение/ № / 210

Решебник №2/ № / 210

Решебник №3/ № / 210

6 + 4 = 210 Разъяснение теста интеллекта — помните о своих решениях

Я опубликовал видео о проблеме, которой более 3 миллионов раз поделились на Facebook. В Твиттере люди утверждают, что решение этой проблемы означает, что ваш настоящий IQ превышает 150 баллов.

Intelligence Test — Поделитесь, если вы поняли

Если вы не можете посмотреть видео, вот его текстовая версия.

Следующие уравнения описаны как «тест интеллекта».

6 + 4 = 210
9 + 2 = 711
8 + 5 = 313
5 + 2 = 37
7 + 6 = 113
9 + 8 = 117
10 + 6 = 416
15 + 3 = 1218

Он имеет слоган: «Поделитесь, если вы это поняли.”

С тестом много проблем; возможно, самое поразительное то, что читателям никогда не нужно доказывать, что они действительно понимают правило. Настоящий тест интеллекта, вероятно, потребует решения новой проблемы. Поэтому предлагаю следующее:

? + ?? = 123

Сможете разобраться?

Продолжайте читать для объяснения.
.
.

«Все будет хорошо, если ты будешь использовать свой разум для принятия решений, и думать только о своих решениях». С 2007 года я посвятил свою жизнь разделению радости теории игр и математики.MindYourDecisions теперь имеет более 1000 бесплатных статей без рекламы благодаря поддержке сообщества! Помогите и получите ранний доступ к сообщениям с обещанием на Patreon.

.
.

.
.
.
.
M
I
N
D
.
Y
O
U
R
.
D
E
C
I
S
I
O
N
S
.
.
.
.
Ответ на 6 + 4 = 210 Тест интеллекта

Вы можете заметить закономерность, если начнете складывать числа.

6 + 4 = 10
9 + 2 = 11
8 + 5 = 13
5 + 2 = 7
7 + 6 = 13
9 + 8 = 17
10 + 6 = 16
15 + 3 = 18

Это объясняет последнюю цифру или последние две цифры исходного рисунка.

Тогда начальную цифру или цифры можно рассматривать как разницу двух вместе взятых чисел.

6-4 = 2
9-2 = 7
8-5 = 3
5-2 = 3
7-6 = 1
9-8 = 1
10-6 = 4
15-3 = 12

Это приводит к правилу: два числа x и y объединяются, беря их разность и затем добавляя их сумму.

( x y ) | ( x + y )

Теперь о задаче.

? + ?? = 123

Если разделить результат на 1 | 23, тогда x и y должны иметь разность 1 и сумму 23.

x y = 1
x + y = 23

. получить:

2 x = 24

Это означает, что x = 12 и y = 11.

Но это не единственный ответ.

Если разделить результат на 12 | 3, то два числа x и y должны иметь разницу 12 и сумму 3.

x y = 12
x + y = 3

. уравнения, получаем:

2 x = 15

Это означает x = 15/2 и y = -9/2.

Для решения этой проблемы требуется нечто большее, чем просто публикация сообщения.Это требует понимания правила, решения системы уравнений, поиска второго набора ответов и не уклонения от дробей или отрицательных чисел, потому что область не была ограничена положительными целыми числами.

Итак, я вас спрашиваю: вы поняли?

Поделитесь если смогли решить проблему. Будьте честны 😉

Исходный тест имел следующие уравнения:

6 + 4 = 210
9 + 2 = 711
8 + 5 = 313
5 + 2 = 37
7 + 6 = 113
9 + 8 = 117
10 + 6 = 416
15 + 3 = 1218

Есть ли другие способы получить такой же результат? Например, мы также можем получить:

10.5 + -10,5 = 210

Решим остальные случаи.

9 + 2 = 711
? + ?? = 711

8 + 5 = 313
? + ?? = 313

7 + 6 = 113
? + ?? = 113

9 + 8 = 117
? + ?? = 117

10 + 6 = 416
? + ?? = 416

15 + 3 = 1218
? + ?? = 1218

МОИ КНИГИ

Если вы совершите покупку по этим ссылкам, я могу получить компенсацию за покупки, сделанные на Amazon. Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках.Это не влияет на цену, которую вы платите.

Рейтинг книг с июня 2021 года.

(ссылки для США и мира)
https://mindyourdecisions.com/blog/my-books

Не забывайте о своих решениях — это сборник из 5 книг:

(1) Радость теории игр: введение в стратегическое мышление
(2) 40 парадоксов в теории логики, вероятностей и игр
(3) Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость
(4) Лучшие уловки с математической математикой
(5) Умножение чисел на рисование линий

Радость теории игры показывает, как можно использовать математику, чтобы перехитрить своих конкурентов.(рейтинг 4,2 / 5 звезд в 200 отзывах)


40 парадоксов в логике, вероятностях и теории игр содержит наводящие на размышления и противоречащие интуиции результаты. (рейтинг 4,1 / 5 звезд в 30 обзорах)


Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость — это руководство, которое объясняет, как мы предвзято относимся к принятию решений, и предлагает методы для принятия разумных решений. (оценка 4/5 звезд по 17 отзывам)


Лучшие уловки в области ментальной математики учит, как можно выглядеть гением математики, решая задачи в уме (оценка 4.2/5 звезд в 57 обзорах)


Умножение чисел на рисование линий Эта книга представляет собой справочное руководство для моего видео, которое набрало более 1 миллиона просмотров по геометрическому методу умножения чисел. (рейтинг 4,1 / 5 звезд в 23 обзорах)


Mind Your Puzzles — это сборник из трех книг «Математические головоломки», тома 1, 2 и 3. Темы головоломок включают математические предметы, включая геометрию, вероятность и т. д. логика и теория игр.

Math Puzzles Volume 1 содержит классические головоломки и загадки с полными решениями задач счета, геометрии, вероятности и теории игр.Том 1 получил оценку 4,4 / 5 звезд в 75 отзывах.

Math Puzzles Volume 2 — это продолжение книги с более серьезными задачами. (рейтинг 4.3 / 5 звезд в 21 обзоре)

Math Puzzles Volume 3 — третий в серии. (рейтинг 4.3 / 5 звезд по 17 отзывам)

KINDLE UNLIMITED

Учителя и студенты со всего мира часто пишут мне о книгах. Поскольку образование может иметь такое огромное влияние, я стараюсь сделать электронные книги доступными как можно шире по как можно более низкой цене.

В настоящее время вы можете читать большинство моих электронных книг с помощью программы Amazon Kindle Unlimited. Включив подписку, вы получите доступ к миллионам электронных книг. Вам не нужно устройство Kindle: вы можете установить приложение Kindle на любой смартфон / планшет / компьютер и т. Д. Ниже я собрал ссылки на программы в некоторых странах. Пожалуйста, проверьте свой местный веб-сайт Amazon, чтобы узнать о доступности и условиях программы.

США, список моих книг (США)
Великобритания, список моих книг (Великобритания)
Канада, результаты книги (CA)
Германия, список моих книг (DE)
Франция, список моих книг (FR)
Индия , список моих книг (IN)
Австралия, результаты книги (AU)
Италия, список моих книг (IT)
Испания, список моих книг (ES)
Япония, список моих книг (JP)
Бразилия, книга results (BR)
Mexico, book results (MX)

MERCHANDISE

Купите кружку, футболку и многое другое на официальном сайте для товаров: Mind Your Decisions at Teespring .

Комбинаторный калькулятор, калькулятор комбинаций, вариаций, перестановок

Узнайте, сколько разных способов выбрать
k
предметов из набора n . С / без повторения, с / без заказа.

Расчет:

Ck (n) = (nk) = n! K! (N − k)! n = 10 k = 4 C4 (10) = (104) = 10! 4! (10−4)! = 10⋅9⋅8⋅74⋅3⋅2⋅1 = 210Ck (n) = (kn) = k! (n − k)! n! n = 10 k = 4 C4 (10) = (410) = 4! (10−4)! 10! = 4⋅3⋅2⋅110⋅9 ⋅8⋅7 = 210

Количество комбинаций: 210

Варианты

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа из k элементов, сформированная из набора из n элементов.Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов группы (следовательно, упорядочены).

Количество вариантов легко вычислить, используя комбинаторное правило произведения. Например, если у нас есть набор n = 5 чисел 1, 2, 3, 4, 5 и мы должны сделать вариации третьего класса, их V 3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.

Vk (n) = n (n − 1) (n − 2) … (n − k + 1) = n! (N − k)! Vk (n) = n (n − 1) ( п-2) … (п-к + 1) = (п-к)! п!

п! мы называем факториалом числа n, которое является произведением первых n натуральных чисел.Обозначения с факториалом только нагляднее, эквивалентны. Для расчетов вполне достаточно использовать процедуру, вытекающую из комбинаторного правила произведения.

Перестановки

Перестановка является синонимом варианта n-го класса n-элементов. Таким образом, это любая упорядоченная группа из n элементов, состоящая из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов в группе.

P (n) = n (n − 1) (n − 2) … 1 = n! P (n) = n (n − 1) (n − 2)…1 = п!

Типичный пример: у нас есть 4 книги, и сколькими способами мы можем расположить их рядом на полке?

Вариации с повторением

Вариантом k-го класса из n элементов является упорядоченная группа из k элементов, сформированная из набора из n элементов, причем элементы могут повторяться и зависит от их порядка. Типичный пример — формирование чисел из чисел 2, 3, 4, 5, и нахождение их количества. Подсчитываем их количество по комбинаторному правилу произведения:

Vk ′ (n) = n⋅n⋅n⋅n…n = nkVk ′ (n) = n⋅n⋅n⋅n … n = nk

Перестановки с повторением

Повторяющаяся перестановка — это упорядоченная k-элементная группа из n-элементов, при этом некоторые элементы повторяются в группе. Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок.

Pk1k2k3 … км ′ (п) = n! K1! K2! K3! … км! Pk1 k2 k3 … км ′ (п) = k1! K2! K3! … км! п!

Типичный пример — узнать, сколько семизначных чисел образовано из чисел 2,2,2, 6,6,6,6.

Комбинации

Комбинация k-го класса из n элементов представляет собой неупорядоченную группу из k элементов, сформированную из набора из n элементов. Элементы не повторяются, и порядок элементов в группе не имеет значения. В математике неупорядоченные группы называются множествами и подмножествами. Их количество является комбинационным числом и рассчитывается следующим образом:

Ck (n) = (nk) = n! K! (N − k)! Ck (n) = (kn) = k! (N − k)! N!

. Типичный пример комбинаций: у нас 15 учеников, и нам нужно выбрать троих.Сколько их будет?

Комбинации с раппортом

Здесь мы выбираем k групп элементов из n элементов, независимо от порядка, и элементы могут повторяться. k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации). Их количество:

Ck ′ (n) = (n + k − 1k) = (n + k − 1)! K! (N − 1)! Ck ′ (n) = (kn + k − 1) = k! ( п — 1)! (п + к — 1)!

Пояснение к формуле — количество комбинаций с повторением равно количеству расположений n — 1 разделителей на n-1 + k местах.Типичный пример: мы идем в магазин, чтобы купить 6 конфет. Предлагают всего 3 вида. Сколько у нас вариантов? к = 6, п = 3.

Основы комбинаторики в словесных задачах

следующие математические задачи »

Как найти наименьшее общее кратное трех чисел. Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Рассмотрим три способа найти наименьшее общее кратное.

Факторинг

Первый способ — найти наименьшее общее кратное, разложив эти числа на простые множители.

Предположим, нам нужно найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого мы разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Для того, чтобы искомое число делилось на 99, 30 и 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам нужно взять все простые множители этих чисел в максимально возможную степень и умножить их вместе:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Итак, НОК (99, 30, 28) = 13860.Никакое другое число меньше 13 860 не делится на 99, 30 или 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное этих чисел, вам нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем, с которым оно встречается, и умножить эти множители вместе.

Поскольку у взаимно простых чисел нет общих простых делителей, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 взаимно просты. следовательно

НОК (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

То же самое нужно сделать при поиске наименьшего общего кратного различных простых чисел. Например, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Поиск выбором

Второй способ — найти наименьшее общее кратное путем подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из заданных чисел целиком делится на другие заданные числа, НОК этих чисел оказывается равным большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится на 60, поэтому:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В противном случае используется следующая процедура для поиска наименьшего общего кратного:

  1. Определите наибольшее количество этих чисел.
  2. Затем мы находим числа, кратные наибольшему числу, умножаем его на натуральные числа в порядке возрастания и проверяем, делятся ли оставшиеся заданные числа на полученное произведение.

Пример 2. Даны три числа 24, 3 и 18. Определите наибольшее из них — это число 24. Затем найдите числа, кратные 24, и проверьте, делится ли каждое из них на 18 и 3:

24 1 = 24 — делится на 3, но не делится на 18.

24 2 = 48 — делится на 3, но не делится на 18.

24 3 = 72 — делится на 3 и 18.

Итак, НОК (24, 3, 18) = 72.

Поиск путем последовательного поиска LCM

Третий способ — найти наименьшее общее кратное путем последовательного нахождения НОК.

НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найдем НОК двух заданных чисел: 12 и 8.Определите их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Умножьте эти числа:

Разделяем работы по их НОД:

Таким образом, LCM (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трех или более чисел, используйте следующую процедуру:

  1. Сначала найдите НОК любых двух из заданных чисел.
  2. Затем найдется НОК наименьшего общего кратного и третьего заданного числа.
  3. Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвертого, и так далее.
  4. Таким образом, поиск LCM продолжается, пока есть числа.

Пример 2. Давайте найдем НОК трех заданных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное 24 и третьего заданного числа — 9. Определить их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Умножить НОК на число 9:

Разделяем работы по их НОД:

Итак, НОК (12, 8, 9) = 72.

Как найти наименьшее общее кратное?

    Вам нужно найти каждый множитель каждого из двух чисел, для которых мы находим наименьшее общее кратное, а затем умножить множители, совпадающие в первом и втором числах, друг на друга. Результатом продукта будет желаемый кратный.

    Например, у нас есть числа 3 и 5, и нам нужно найти НОК (наименьшее общее кратное). Нам нужно умножить и тройку и пятерку на все числа, начиная с 1 2 3… и так далее, пока мы не увидим один и тот же номер и там, и там.

    Умножаем тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

    Умножаем пятку и получаем: 5, 10, 15

    Метод разложения на простые множители является наиболее классическим методом нахождения наименьшего общего кратного (НОК) для нескольких чисел. Этот метод наглядно и просто продемонстрирован в следующем видео:

    Сложение, умножение, деление, приведение к общему знаменателю и другие арифметические операции — очень увлекательное упражнение, особенно восхищаются примеры, занимающие целый лист.

    Итак, найдите общее кратное двух чисел, которое будет наименьшим числом, которое делит два числа. Хочу отметить, что нет необходимости в будущем прибегать к формулам, чтобы найти то, что вы ищете, если вы умеете считать в уме (а это можно тренировать), то сами числа всплывают в вашей голове, а затем дроби щелкают, как орехи.

    Для начала давайте узнаем, что вы можете умножить два числа друг на друга, а затем уменьшить это число и разделить его поочередно на заданные два числа, так что мы найдем наименьшее кратное.

    Например, два числа 15 и 6. Умножьте и получите 90. Это явно большее число. Более того, 15 делится на 3, а 6 делится на 3, так что 90 также делится на 3. Мы получаем 30. Попытка 30 разделить 15 равно 2. А 30 делить 6 равно 5. Поскольку 2 является пределом, получается что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.

    Большие числа будет немного сложнее. но если вы знаете, какие числа дают нулевой остаток при делении или умножении, то в принципе больших трудностей нет.

  • Как найти NOC

    Вот видео, в котором показаны два способа найти наименьшее общее кратное (НОК). Практикуясь в использовании первого метода, вы сможете лучше понять, какое наименьшее общее кратное.

  • Вот еще один способ найти наименьшее общее кратное. Рассмотрим это на наглядном примере.

    Необходимо найти НОК сразу трех чисел: 16, 20 и 28.

    • Мы представляем каждое число как произведение его простых множителей:
    • Запишем степени всех простых множителей:

    16 = 224 = 2 ^ 24 ^ 1

    20 = 225 = 2 ^ 25 ^ 1

    28 = 227 = 2 ^ 27 ^ 1

    • Выбираем все простые делители (множители) с наибольшими степенями, умножаем их и находим НОК:

    НОК = 2 ^ 24 ^ 15 ^ 17 ^ 1 = 4457 = 560.

    НОК (16, 20, 28) = 560.

    Таким образом, в результате расчета получилось число 560. Это наименьшее общее кратное, то есть делится на каждое из трех чисел без остатка.

    Наименьшее общее кратное — это число, которое можно разделить на несколько предлагаемых чисел без остатка. Чтобы вычислить такое число, вам нужно взять каждое число и разложить его на простые множители. Удаляем те числа, которые совпадают. Оставляем все по одному, по очереди умножаем их между собой и получаем желаемое — наименьшее общее кратное.

    НОК или наименьшее общее кратное — это наименьшее натуральное число из двух или более чисел, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

    Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.

    • Первый шаг — разложить эти числа на простые множители.

    Для 30 это 2 x 3 x 5.

    Для 42 — это 2 x 3 x 7. Поскольку 2 и 3 находятся в разложении числа 30, мы их удаляем.

    • Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5.
    • Теперь вам нужно умножить их на недостающий коэффициент, который у нас есть при разложении 42, и это 7. Получаем 2 x 3 x 5 x 7.
    • Найдите 2 x 3 x 5 x 7 и получите 210.

    В результате получаем, что НОК чисел 30 и 42 равно 210.

    Чтобы найти наименьшее общее кратное , необходимо последовательно выполнить несколько простых шагов.Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12

    .
  1. Раскладываем оба числа на простые множители: 8 = 2 * 2 * 2 и 12 = 3 * 2 * 2
  2. Сократите те же множители для одного из чисел. В нашем случае 2 * 2 совпадают, уменьшим их на число 12, тогда у 12 будет один множитель: 3.
  3. Найдите произведение всех оставшихся множителей: 2 * 2 * 2 * 3 = 24

Проверяя, мы убеждаемся, что 24 делится как на 8, так и на 12, и это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.Здесь найдено наименьшее общее кратное .

Попробую объяснить это на примере чисел 6 и 8. Наименьшее общее кратное — это число, которое можно разделить на эти числа (в нашем случае 6 и 8), и остатка не будет.

Итак, начинаем умножать первые 6 на 1, 2, 3 и т. Д. И 8 на 1, 2, 3 и т. Д.

Математические выражения и задачи требуют дополнительных знаний. НОК является одним из основных, особенно часто используется в теме изучается в старшей школе, при этом разобраться в материале не особо сложно, человеку, знакомому со степенями и таблицей умножения, не составит труда выбрать ту. нужные числа и найдите результат.

Определение

Общее кратное — это число, которое можно полностью разделить на два числа одновременно (a и b). Чаще всего это число получается путем умножения исходных чисел a и b. Число должно делиться сразу на оба числа, без отклонений.

NOC — сокращенное название, принятое для обозначения, составленное из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК метод умножения чисел не всегда подходит; он намного лучше подходит для простых однозначных или двузначных чисел.принято делить на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

В простейшем примере школы обычно принимают простые однозначные или двузначные числа. Например, вам нужно решить следующую задачу, найти наименьшее общее кратное 7 и 3, решение довольно простое, просто умножьте их. В итоге есть цифра 21, меньшего числа просто нет.

Пример №2

Второй вариант задачи намного сложнее.Учитывая числа 300 и 1260, поиск LCM является обязательным. Для решения задачи предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждый из полученных чисел должен участвовать в подсчете окончательного результата. Для каждого фактора наибольшее количество вхождений берется из исходных чисел.НОК — это общее число, поэтому множители чисел должны быть повторены в нем до единицы, даже если они присутствуют в одной копии. Оба исходных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разной степени, 7 есть только в одном случае.

Чтобы вычислить окончательный результат, вам нужно взять каждое число в наибольшей из степеней, представленных в уравнении. Остается только умножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без объяснения причин:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся проблема, если попытаться вычислить нужное число умножением, то ответ точно не будет правильным, так как 300 * 1260 = 378000.

Чек:

6300/300 = 21 — верно;

6300/1260 = 5 — правильно.

Правильность результата определяется проверкой — делением НОК на оба начальных числа, если число является целым числом в обоих случаях, то ответ правильный.

Что означает НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, и эта не исключение. Чаще всего это число используется для приведения дробей к общему знаменателю. То, что обычно преподают в 5-6 классах средней школы. Кроме того, это также общий делитель для всех кратных, если такие условия присутствуют в проблеме. Подобное выражение может найти кратное не только двум числам, но и гораздо большему числу — трем, пяти и так далее.Чем больше цифр — тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, по числам 250, 600 и 1500 нужно найти их общую НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 — этот пример описывает факторизация подробно, без отмены.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 * 5 2;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 * 2 2;

Для составления выражения необходимо указать все коэффициенты, в данном случае приведены 2, 5, 3, — для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо довести до полного упрощения, по возможности до уровня однозначных.

Чек:

1) 3000/250 = 12 — верно;

2) 3000/600 = 5 — верно;

3) 3000/1500 = 2 — верно.

Этот метод не требует никаких уловок и гениальных способностей, все просто и понятно.

Другой способ

В математике много связано, много может быть решено двумя или более способами, то же самое относится к поиску наименьшего общего кратного, НОК.Следующий метод может использоваться в случае простых двузначных и однозначных чисел. Составляется таблица, в которую множитель вводится по вертикали, множитель по горизонтали, а произведение указывается в пересекающихся ячейках столбца. Отразить таблицу можно с помощью строки, берется число и результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, записываются в строку, иногда достаточно 3-5 баллов, второе и последующие числа — это подвергаются тому же вычислительному процессу.Все происходит до тех пор, пока не будет общего кратного.

Учитывая числа 30, 35, 42, вам нужно найти НОК, соединяющий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. Д.

2) Кратное 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. Д.

3) Кратное 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. Д.

Заметно, что все числа сильно различаются , единственное общее число среди них — 210, поэтому это будет LCM. Среди процессов, связанных с этим вычислением, также есть наибольший общий делитель, который вычисляется по аналогичным принципам и часто встречается в соседних задачах.Разница небольшая, но достаточно значительная: НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все заданные начальные значения, а НОД предполагает вычисление наибольшего значения, на которое делятся исходные числа.

Кратное — это число, которое без остатка делится на заданное число. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел — это наименьшее число, которое без остатка делится на каждое число в группе. Чтобы найти наименьшее общее кратное, вам нужно найти простые множители заданных чисел.НОК также можно вычислить с помощью ряда других методов, применимых к группам из двух или более чисел.

Ступеньки

Серия кратных

    Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше всего использовать, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если числа большие, используйте другой метод.

  • Например, найдите наименьшее общее кратное 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому вы можете использовать этот метод.
  • Кратное — это число, которое без остатка делится на заданное число. В таблице умножения можно найти несколько чисел.

    • Например, числа, кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
  • Запишите последовательность чисел, кратных первому числу. Сделайте это под числами, кратными первому числу, чтобы сравнить две строки чисел.

    • Например, числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.
  • Найдите наименьшее число, которое появляется в обеих строках кратных. Возможно, вам придется написать длинную серию кратных чисел, чтобы найти общую сумму. Наименьшее число, которое появляется в обеих строках кратных, является наименьшим общим кратным.

    • Например, наименьшее число, которое появляется в серии, кратной 5 и 8, равно 40. Следовательно, 40 является наименьшим общим кратным 5 и 8.

    Разложение на простые множители

    1. Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше всего использовать, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, используйте другой метод.

      • Например, найдите наименьшее общее кратное 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому вы можете использовать этот метод.
    2. Разложите первое число на простые множители. То есть вам нужно найти такие простые числа, при умножении которых вы получите заданное число. Найдя простые множители, запишите их как равенства.

      • Например, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 10 = 20) и 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2) ) \ times (\ mathbf (5)) = 10) … Таким образом, простые делители 20 равны 2, 2 и 5. Запишите их в виде выражения :.
    3. Разделите второе число на простые множители. Сделайте это так же, как вы разложили на множители первое число, то есть найдите простые числа, которые при умножении дадут данное число.

      • Например, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7) ) \ times 6 = 42) и 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ times (\ mathbf (2)) = 6) … Таким образом, простое делители 84 равны 2, 7, 3 и 2. Запишите их в виде выражения :.
    4. Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите эти множители как операцию умножения.Когда вы записываете каждый фактор, вычеркивайте его в обоих выражениях (выражениях, описывающих простые факторизации).

      • Например, общий множитель для обоих чисел равен 2, поэтому напишите 2 × (\ displaystyle 2 \ times) и вычеркните 2 в обоих выражениях.
      • Общим для обоих чисел является еще один множитель 2, поэтому напишите 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2) и вычеркните второе 2 в обоих выражениях.
    5. Добавьте оставшиеся множители к операции умножения. Это факторы, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть факторы, которые не являются общими для обоих чисел.

      • Например, в выражении 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ times 2 \ times 5) обе двойки (2) зачеркнуты, потому что они являются общими множителями. Множитель 5 не зачеркнут, поэтому запишите операцию умножения так: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5)
      • В выражении 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ times 7 \ times 3 \ times 2) также зачеркнуты обе двойки (2).Множители 7 и 3 не зачеркнуты, поэтому запишите операцию умножения так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).
    6. Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого умножьте числа в записанной операции умножения.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420) … Так что наименее распространенный кратное 20 и 84 равно 420.

    Нахождение общих делителей

    1. Нарисуйте сетку, как в игре в крестики-нолики. Такая сетка состоит из двух параллельных линий, которые пересекаются (под прямым углом) с двумя другими параллельными линиями. В результате получится три строки и три столбца (сетка очень похожа на знак #). Напишите первое число в первой строке и втором столбце. Напишите второе число в первой строке и третьем столбце.

      • Например, найдите наименьшее общее кратное 18 и 30.Напишите 18 в первом ряду и втором столбце и 30 в первом ряду и третьем столбце.
    2. Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите это в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые множители, но это не обязательно.

      • Например, 18 и 30 — четные числа, поэтому их общий множитель равен 2. Так что напишите 2 в первой строке и первом столбце.
    3. Разделите каждое число на первый делитель. Напишите каждое частное под соответствующим числом. Частное — это результат деления двух чисел.

      • Например, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9), поэтому напишите 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) поэтому пишите 15 под 30.
    4. Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите следующие два шага. В противном случае запишите делитель во второй строке и первом столбце.

      • Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому напишите 3 во второй строке и первом столбце.
    5. Разделите каждое частное на второй множитель. Запишите результат каждого деления под соответствующим частным.

      • Например, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3), поэтому напишите 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) поэтому напишите 5 под 15.
    6. При необходимости дополнить сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные шаги, пока у частных не будет общий делитель.

    7. Обведите числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем запишите выбранные числа как операцию умножения.

      • Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 — в последней строке, поэтому запишите операцию умножения следующим образом: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ раза 3 \ раза 5).
    8. Найдите результат умножения чисел. Будет вычислено наименьшее общее кратное двух заданных чисел.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90) … Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.

    Алгоритм Евклида

    1. Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Дивиденд — это число, которое делится. Делитель — это число, деленное на.Частное — это результат деления двух чисел. Остаток — это число, оставшееся после деления двух чисел.

      • Например, в выражении 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ост. 3:
        15 — дивиденд
        6 — делитель
        2 — частное
        3 — остаток.
  • Наименьшее общее кратное двух чисел напрямую связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Связь между gcd и nc определяется следующей теоремой.

    Теорема.

    Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел a и b равно произведению a и b, деленному на наибольший общий делитель a и b, то есть НОК (a, b) = ab: gcd (a, b ).

    Доказательства.

    Позвольте быть M является любым кратным a и b. То есть M делится на a, и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что верно равенство M = a · k. Но M делится на b, тогда a · k делится на b.

    Обозначим gcd (a, b) как d. Тогда мы можем записать равенства a = a 1 d и b = b 1 d, а a 1 = a: d и b 1 = b: d будут взаимно простыми числами. Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что ak делится на b, можно переформулировать следующим образом: a 1 dk делится на b 1 d, и это, в силу свойств делимости, эквивалентно условию, что a 1 k делится пользователя b 1.

    Также необходимо записать два важных следствия рассматриваемой теоремы.

      Общие кратные двух чисел равны кратным их наименьшему общему кратному.

      Это действительно так, поскольку любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M = LCM (a, b) t для некоторого целочисленного значения t.

      Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

      Обоснование этого факта довольно очевидно. Поскольку a и b взаимно просты, то НОД (a, b) = 1, следовательно, НОК (a, b) = a b: GCD (a, b) = a b: 1 = a b.

    Наименьшее общее кратное трех или более чисел

    Нахождение наименьшего общего кратного трех или более чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме. A 1, a 2,…, a k совпадают с кратными m k-1 и a k, следовательно, совпадают с кратными m k. И поскольку наименьшее положительное кратное числа m k — это само число m k, наименьшее общее кратное чисел a 1, a 2,…, a k равно m k.

    Список использованной литературы.

    • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
    • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
    • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
    • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: учебник для студентов физико-математических факультетов. специальностей педагогических институтов.

    Простые и составные числа. Факторинг Числовые Методы Факторинга

    Каждое натуральное число, кроме одного, имеет два или более делителя.Например, число 7 делится только на 1 и 7 без остатка, то есть имеет два делителя. А у числа 8 есть делители 1, 2, 4, 8, то есть целых 4 делителя сразу.

    Чем отличаются простые и составные числа

    Числа, имеющие более двух делителей, называются составными числами. Числа, у которых есть только два делителя: один и само число, называются простыми числами.

    Число 1 имеет только одно деление, а именно это число. Единица не применяется ни к простым, ни к составным числам.

    • Например, 7 — простое, а 8 — составное.

    Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 — единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

    Число 78 составное, так как кроме 1 и самого себя оно делится еще и на 2. При делении на 2 получаем 39. То есть 78 = 2 * 39. В таких случаях говорят число необходимо разложить на множители 2 и 39.

    Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1.С простым числом этот трюк не сработает. Такие дела.

    Разложение числа на простые множители

    Как отмечалось выше, любое составное число можно разложить на два множителя. Возьмем, например, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 также составны, и мы можем разложить их на два множителя. Получаем 10 = 2 * 5, 21 = 3 * 7. И в результате число 210 уже разложилось на 4 фактора: 2,3,5,7.Эти числа уже простые и не могут быть расширены. То есть мы разложили число 210 на простые множители.

    При разложении составных чисел на простые множители они обычно записываются в порядке возрастания.

    Следует помнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и при этом уникальным образом с точностью до перестановки.

    • Обычно при разложении числа на простые множители используются критерии делимости.

    Разобьем число 378 на простые множители

    Запишем числа, разделив их вертикальной чертой.Число 378 делится на 2, так как оно заканчивается на 8. При делении получаем число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, что означает, что само число 189 делится на 3. Поскольку в результате получаем 63.

    Число 63 также делится на 3 в зависимости от делимости. Получаем 21, число 21 можно снова разделить на 3, получаем 7. Семерка делится только сама по себе, получаем единицу. На этом разделение завершено. Справа после строки находятся простые множители, на которые разложено число 378.3 + х). Чтобы увидеть, как выполняется решение, щелкните Показать шаги. Если вам нужно получить результат в формате Word, воспользуйтесь этой услугой.

    Примечание : число «пи» (π) записывается как «пи»; квадратный корень как sqrt, например sqrt (3), касательная tg записывается как tan. См. Ответ в разделе «Альтернатива».

    1. Если дано простое выражение, например 8 * d + 12 * c * d, то факторинг выражения означает представление выражения в виде множителей. Для этого нужно найти общие факторы.Запишем это выражение как: 4 * d * (2 + 3 * c).
    2. Представьте произведение в виде двух биномов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Здесь нам нужно найти несколько общих множителей: x (x + 7z) + 3y (x + 7z). Вынимаем (x + 7z) и получаем: (x + 7z) (x + 3y).

    см. Также Угловое деление многочленов (показаны все шаги деления в длину)

    Полезными при изучении правил факторизации будут сокращенных формул умножения , с помощью которых будет понятно, как раскрыть скобки с квадратом :

    1. (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2
    2. (ab) 2 = (ab) (ab) = a 2 — 2ab + b 2
    3. (a + b) (ab) = a 2 — b 2
    4. a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)
    5. a 3 -b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2)
    6. (a + b) 3 = (a + b) (a + b) 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
    7. (ab) 3 = (ab) (ab) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

    Методы факторинга

    Изучив несколько приемов факторизации , вы можете составить следующую классификацию решений:
    1. Используя сокращенные формулы умножения.
    2. Нахождение общего множителя.

    Все начинается с геометрической прогрессии. В первой лекции по строкам (см. Раздел 18.1. Основные определения ) мы доказали, что эта функция является суммой ряда, и ряд сходится к функции для
    … Итак,


    .

    Выведем несколько разновидностей этой серии. Замена x по — x , получаем

    при замене х на
    получаем

    и т. Д.; область схождения всех этих рядов одинакова:
    .

    2.
    .

    Все производные этой функции в точке x = 0 равны
    , поэтому серия имеет вид

    .

    Областью сходимости этого ряда является вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда ), поэтому
    на
    … Как следствие, остаток формулы Тейлора
    … Следовательно, ряд сходится к
    в любой точке x .

    3.
    .

    Этот ряд сходится абсолютно для

    , и его сумма действительно равна
    … Остальная часть формулы Тейлора имеет вид
    , где
    или
    — ограниченная функция, а
    (это общий термин предыдущих расширение).

    4.
    .

    Это разложение, как и предыдущие, можно получить последовательным вычислением производных, но поступим иначе. Продифференцируем предыдущую строку по члену:

    Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании для степенного ряда.

    5. Самостоятельно докажите, что на всей числовой оси.

    6.
    .

    Ряд для этой функции называется биномиальным рядом … Здесь мы вычислим производные.

    … Ряд Маклорена имеет вид

    Мы ищем интервал сходимости: следовательно, интервал сходимости равен
    … Исследование остатка и поведения ряда на концах сходимости интервал проводиться не будет; получается, что для
    ряд сходится абсолютно в обеих точках
    , в
    ряд условно сходится в точке
    и расходится в точке
    , в
    расходится в обеих точках.

    7.
    .

    Здесь мы воспользуемся тем, что
    … Так как тогда после почленного интегрирования,

    Область сходимости этого ряда представляет собой полуинтервал
    , сходимость к функции во внутренних точках следует из почленного интегрирования Теорема для степенного ряда в точке x = 1 — от непрерывности как функции, так и суммы степенного ряда во всех точках, произвольно близких к x = 1 слева.Обратите внимание, что если взять x = 1, найдем сумму ряда.

    8. Путем почленного интегрирования ряда получим разложение для функции
    … Выполните все вычисления самостоятельно, выпишите область сходимости.

    9. Запишем разложение функции
    по формуле биномиального ряда с
    :. Знаменатель
    , представленный как двойной факториал
    , означает произведение всех натуральных чисел одинаковой четности, не превышающих… Расширение сходится к функции для
    … Путем постепенного интегрирования от 0 до x , получаем. Оказывается, этот ряд сходится к функции на всем интервале
    ; при x = 1 получаем еще одно красивое представление числа:
    .

    18.2.6.2. Решение задач о разложении функций в ряд. Большинство задач, в которых требуется расширить элементарную функцию в степенном ряду
    , решается с помощью стандартных расширений.К счастью, любая простая элементарная функция имеет свойство, позволяющее это делать. Давайте посмотрим на несколько примеров.

    1. Разложите функцию
    на градусы
    .

    Решение. … Ряд сходится к
    .

    2. Разложите функцию
    на градусы
    .

    Решение.
    … Область конвергенции:
    .

    3. Разложите функцию
    на градусы
    .

    Решение. … Ряд сходится к
    .

    4. Разложите функцию
    на градусы
    .

    Решение. … Ряд сходится к
    .

    5. Разложите функцию
    на градусы
    .

    Решение. … Область конвергенции
    .

    6. Разложите функцию
    на градусы
    .

    Решение. Разложение в ряд простых рациональных дробей второго типа получается почленным дифференцированием соответствующих разложений дробей первого типа. В этом примере. Далее, почленным дифференцированием можно получить разложения функций
    ,
    и др.

    7. Разложите функцию
    на градусы
    .

    Решение. Если рациональная дробь не простая, она сначала представляется как сумма простых дробей:
    , а затем действует, как в примере 5 :, где
    .

    Естественно, такой подход неприменим, например, для разложения функции по степеням x … Здесь, если вам нужно получить несколько первых членов ряда Тейлора, проще всего найти значения в точке x = 0 от необходимого количества первых производных.

    Что значит множитель на простые множители? Как это сделать? Что вы можете узнать, если разложить число на простые множители? Ответы на эти вопросы проиллюстрированы конкретными примерами.

    Определения:

    Простое число — это число, у которого ровно два разных делителя.

    Составное число — это число, у которого больше двух делителей.

    Факторизация натурального числа означает представление его как произведения натуральных чисел.

    Разложить натуральное число на простые множители — значит представить его как произведение простых чисел.

    Примечания:

    • В раскрытии простого числа один из множителей равен одному, а другой равен самому этому числу.
    • Нет смысла говорить о факторизации единицы.
    • Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличается от 1.

    Фактор 150.Например, 150 — это 15 умножить на 10.

    15 — составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3.

    10 — составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

    Записав вместо 15 и 10 их разложение на простые множители, мы получили разложение 150.

    Число 150 можно разложить на множители по-разному. Например, 150 — это произведение чисел 5 и 30.

    5 — простое число.

    30 — составное число. Его можно рассматривать как произведение 10 и 3.

    10 — составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

    У нас есть разложение на простые множители 150 по-другому.

    Обратите внимание, что первое и второе разложения одинаковы. Они различаются только порядком множителей.

    Принято писать множители в порядке возрастания.

    Любое составное число можно однозначно разложить на простые множители вплоть до порядка множителей.

    При разложении больших чисел на простые множители используйте запись столбца:

    Наименьшее простое число, делимое на 216, равно 2.

    Делим 216 на 2. Получаем 108.

    Полученное число 108 делится на 2.

    Сделаем деление.Результат 54.

    По критерию делимости на 2 число 54 делится на 2.

    После деления получаем 27.

    Число 27 заканчивается нечетной цифрой 7. Это

    Не делится на 2. Следующее простое число — 3.

    Делим 27 на 3. Получаем 9. Наименьшее простое число

    Число, которое делит 9, равно 3. Три — это простое число, оно делится само на себя и на единицу.Давайте разделим 3 на себя. В итоге получили 1.

    • Число делится только на те простые числа, которые являются частью его разложения.
    • Число делится только на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью содержится в нем.

    Рассмотрим несколько примеров:

    4900 делится на простые числа 2, 5 и 7.(они входят в разложение 4900), но не, например, 13.

    11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550.

    Результатом деления станет произведение множителей 2, 7 и 11.

    11550 не делится на 4, потому что при факторизации четырех есть лишние два.

    Найдите частное от деления числа a на число b, если эти числа разложить на простые множители следующим образом: a = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 19; b = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 5 ∙ 19

    Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.

    Результат деления a на b — произведение трех чисел, оставшихся в разложении a.

    Итак, ответ — 30.

    Библиография

    1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012.
    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия. 2006.
    3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — М .: Просвещение, 1989.
    4. .
    5. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математики 5-6 класс. — М .: ЗШ МИФИ, 2011.
    6. .
    7. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Учебное пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — М .: ЗШ МИФИ, 2011.
    8. .
    9. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-товарищ для 5-6 классов средней школы.- М .: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
    10. .
    1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
    2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

    Домашнее задание

    1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012. № 127, № 129, № 141.
    2. Иные поручения: № 133, № 144.

    Наименьшее общее кратное 2100 и 6930. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.Онлайн калькулятор

    Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком LCM — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между LCM и GCD. Здесь мы поговорим о нахождении наименьшего общего кратного (НОК) , и мы уделим особое внимание решениям примеров. Во-первых, мы покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Затем подумайте о том, чтобы найти наименьшее общее кратное, разложив числа на простые множители.После этого мы сосредоточимся на нахождении НОК трех и более чисел, а также обратим внимание на вычисление НОК отрицательных чисел.

    Навигация по страницам.

    Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через gcd

    Один из способов найти наименьшее общее кратное основан на соотношении между LCM и GCD. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислить наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел через известный наибольший общий делитель.Соответствующая формула: НОК (a, b) = a b: gcd (a, b) … Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной выше формуле.

    Пример.

    Найдите наименьшее общее кратное числам 126 и 70.

    Решение.

    В этом примере a = 126, b = 70. Давайте использовать взаимосвязь между LCM и GCD, которая выражается формулой LCM (a, b) = ab: gcd (a, b) … Это состоит в том, что сначала мы должны найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126, после чего мы можем вычислить НОК этих чисел, используя записанную формулу.

    Найдите НОД (126, 70) с помощью алгоритма Евклида: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, следовательно, НОД (126, 70) = 14.

    Теперь мы находим необходимое наименьшее общее кратное: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

    Ответ:

    НОК (126, 70) = 630.

    Пример.

    Что такое LCM (68, 34)?

    Решение.

    Поскольку 68 делится на 34, то НОД (68, 34) = 34. Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

    Ответ:

    НОК (68, 34) = 68.

    Обратите внимание, что предыдущий пример соответствует следующему правилу поиска НОК для положительных целых чисел a и b: если a делится на b, то наименьшее общее кратное этих чисел равно a.

    Нахождение НОК путем разложения чисел на простые множители

    Другой способ найти наименьшее общее кратное основан на разложении чисел на простые множители. Если вы составите произведение всех простых множителей этих чисел, а затем исключите из этого произведения все общие простые множители, присутствующие в разложениях этих чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному этих чисел.

    Указанное правило нахождения НОК следует из равенства НОК (a, b) = ab: gcd (a, b) … Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех факторов, входящих в разложения чисел a и b. В свою очередь, НОД (a, b) равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях чисел a и b (как описано в разделе о нахождении НОД путем разложения чисел на простые множители).

    Приведем пример.Предположим, мы знаем, что 75 = 3 5 5 и 210 = 2 3 5 7. Составим произведение из всех множителей этих разложений: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7. Теперь исключим из этого произведения все если множители присутствуют как в разложении числа 75, так и в разложении числа 210 (такие множители — 3 и 5), то произведение будет иметь вид 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Стоимость этого продукта равно наименьшему общему кратному 75 и 210, то есть LCM (75, 210) = 2 3 5 5 7 = 1,050.

    Пример.

    Разложив 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

    Решение.

    Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

    Получаем 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7.

    Теперь составим произведение всех факторов, участвующих в разложениях этих чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Исключаем из этого произведения все факторы, которые одновременно присутствуют в обоих. разложения (такой множитель только один — это цифра 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7.Таким образом, LCM (441, 700) = 2 2 3 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

    Ответ:

    НОК (441 700) = 44 100.

    Правило нахождения НОК с использованием разложения на простые множители можно сформулировать несколько иначе. Если мы добавим недостающие множители из разложения числа b к множителям из разложения числа a, то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

    Например, возьмем все те же числа 75 и 210, их разложение на простые множители будет следующим: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7.К множителям 3, 5 и 5 из разложения числа 75 прибавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210, получаем произведение 2 · 3 · 5 · 5 · 7, значение которого равно равно НОК (75, 210).

    Пример.

    Найдите наименьшее общее кратное 84 и 648.

    Решение.

    Во-первых, мы получаем разложение чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84 = 2 2 3 7 и 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. К множителям 2, 2, 3 и 7 из разложения числа 84 добавьте недостающие множители 2, 3, 3 и 3. из расширения числа 648 мы получаем произведение 2 2 2 2 3 3 3 3 3 7, что составляет 4 536… Таким образом, желаемое наименьшее общее кратное 84 и 648 равно 4536.

    Ответ:

    НОК (84, 648) = 4536.

    Нахождение НОК трех и более чисел

    Наименьшее общее кратное трех или более чисел можно найти, последовательно находя НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, позволяющую найти НОК трех и более чисел.

    Теорема.

    Пусть даны положительные целые числа a 1, a 2,…, ak, наименьшее общее кратное mk этих чисел находится путем последовательного вычисления m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, mk = LCM (mk — 1, ak).

    Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

    Пример.

    Найдите НОК четырех чисел 140, 9, 54 и 250.

    Решение.

    В этом примере a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

    Сначала находим m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) … Для этого с помощью алгоритма Евклида определяем НОД (140, 9), имеем 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4.5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4, следовательно, НОД (140, 9) = 1, откуда НОД (140, 9) = 140 9: НОД (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. То есть м 2 = 1260.

    Теперь находим m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) … Мы вычисляем его через GCD (1 260, 54), который также определяется алгоритмом Евклида: 1 260 = 54 · 23 + 18, 54 = 18 · 3. Тогда НОД (1,260, 54) = 18, откуда НОД (1,260, 54) = 1,260,54: НОД (1,260,54) = 1,260,54: 18 = 3,780 . То есть m 3 = 3 780.

    Осталось найти m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250)… Для этого находим НОД (3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780 = 250 15 + 30, 250 = 30 8 + 10, 30 = 10 3. Следовательно, НОД (3 780, 250 ) = 10, откуда НОК (3 780, 250) = 3 780 250: GCD (3 780, 250) = 3 780 250: 10 = 94 500. То есть m 4 = 94 500.

    Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел составляет 94 500.

    Ответ:

    НОК (140, 9, 54, 250) = 94 500.

    Во многих случаях удобно находить наименьшее общее кратное трех или более чисел, используя разложение этих чисел на простые множители.В этом случае следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составлено следующим образом: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, недостающие множители из разложения третьего числа добавляются к полученным множителям и т. д.

    Рассмотрим пример поиска наименьшего общего кратного с использованием разложения на простые множители.

    Пример.

    Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

    Решение.

    Во-первых, мы получаем разложение этих чисел на простые множители: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7 (7 — простое число, оно совпадает с его разложением на простые множители ) и 143 = 11 13.

    Чтобы найти НОК этих чисел с множителями первого числа 84 (это 2, 2, 3 и 7), вам нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6.Факторизация 6 не содержит недостающих множителей, так как 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84. Далее, к множителям 2, 2, 3 и 7 мы добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения из третьего числа 48 получаем набор множителей 2, 2, 2, 2, 3 и 7. На следующем шаге к этому набору нет необходимости добавлять множители, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, добавьте недостающие множители 11 и 13 из разложения 143 на множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7.Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, что составляет 48 048.

    Общее кратное двух целых чисел — это целое число, которое без остатка делится на оба заданных числа.

    Наименьшее общее кратное двух целых чисел — это наименьшее из всех целых чисел, которое делится без остатка на оба заданных числа.

    Метод 1 … Вы можете найти НОК, в свою очередь, для каждого из заданных чисел, записав в порядке возрастания все числа, полученные умножением их на 1, 2, 3, 4 и т. Д. .

    Пример для чисел 6 и 9.
    Умножаем число 6 последовательно на 1, 2, 3, 4, 5.
    Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
    Умножаем число 9 последовательно на 1, 2, 3, 4, 5.
    Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
    Как видите, НОК для чисел 6 и 9 будет 18.

    Этот метод удобен, когда оба числа маленькие и их легко умножить на последовательность целых чисел. Однако бывают случаи, когда вам нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также когда исходные числа составляют три или даже больше.

    Метод 2 … НОК можно найти, преобразовав исходные числа в простые множители.
    После раскрытия необходимо вычеркнуть те же числа из полученного ряда простых множителей. Оставшиеся числа первого числа будут множителем второго, а оставшиеся числа второго будут множителем первого.

    Пример для числа 75 и 60.
    Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти, не записывая в ряд кратные этих чисел.Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
    75 = 3 * 5 * 5, а
    60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
    Как видите, множители 3 и 5 находятся в обеих строках. Мысленно «вычеркиваем» их.
    Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При расширении числа 75 у нас остается число 5, а при раскрытии числа 60 у нас есть 2 * 2
    Итак, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно умножить оставшиеся числа из разложения 75 (это 5) на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2), умножаются на 75.То есть для простоты понимания мы говорим, что умножаем «крест-накрест».
    75 * 2 * 2 = 300
    60 * 5 = 300
    Вот как мы нашли НОК для чисел 60 и 75. Это число 300.

    Пример … Определите НОК для чисел 12, 16, 24
    В этом случае наши действия будут несколько сложнее. Но сначала, как всегда, мы разлагаем все числа на простые множители
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3
    Чтобы правильно определить НОК, мы выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно просматриваем его множители, вычеркивая их, если хотя бы одна из других серий чисел содержит такой же, еще не вычеркнутый множитель.

    Шаг 1. Мы видим, что 2 * 2 встречается во всех строках чисел. Вычеркните их.
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3

    Шаг 2. В простых множителях числа 12 остается только число 3. Но он присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркните число 3 из обеих строк, в то время как для числа 16 никаких действий не предполагается.
    12 = 2 * 2 * 3
    16 = 2 * 2 * 2 * 2
    24 = 2 * 2 * 2 * 3

    Как видите, при раскрытии числа 12 мы «вычеркнули» все числа.Это означает, что поиск НОК завершен. Осталось только рассчитать его стоимость.
    Для числа 12 мы берем оставшиеся множители числа 16 (ближайший в порядке возрастания)
    12 * 2 * 2 = 48
    Это NOC

    Как видите, в этом случае нахождение НОК было несколько сложнее, но когда вам нужно найти его для трех и более чисел, этот метод позволяет сделать это быстрее. Однако оба метода поиска НОК верны.

    Как найти наименьшее общее кратное?

      Вам нужно найти каждый множитель каждого из двух чисел, для которых мы находим наименьшее общее кратное, а затем умножить множители, совпадающие в первом и втором числах, друг на друга.Результатом продукта будет желаемый кратный.

      Например, у нас есть числа 3 и 5, и нам нужно найти НОК (наименьшее общее кратное). US нужно умножить и три и пять на все числа, начиная с 1 2 3 … и так далее, пока мы не увидим одно и то же число и там, и там.

      Умножаем тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

      Умножаем пятку и получаем: 5, 10, 15

      Метод разложения на простые множители является наиболее классическим методом нахождения наименьшего общего кратного (НОК) для нескольких чисел.Этот метод наглядно и просто продемонстрирован в следующем видео:

      Сложение, умножение, деление, приведение к общему знаменателю и другие арифметические операции — очень увлекательное упражнение, особенно интересны примеры, занимающие целый лист.

      Итак, найдите общее кратное двух чисел, которое будет наименьшим числом, которое делит два числа. Хочу отметить, что необязательно прибегать к формулам в будущем, чтобы найти то, что вы ищете, если вы умеете считать в уме (а это можно тренировать), то сами числа всплывают в вашей голове, а затем дроби щелкают, как орехи.

      Для начала давайте узнаем, что вы можете умножить два числа друг на друга, а затем уменьшить это число и разделить его поочередно на заданные два числа, так что мы найдем наименьшее кратное.

      Например, два числа 15 и 6. Умножьте и получите 90. Это явно большее число. Кроме того, 15 делится на 3, а 6 делится на 3, так что 90 также делится на 3. Мы получаем 30. Попытка 30 разделить 15 равно 2. А 30 делить 6 равно 5. Поскольку 2 является пределом, получается что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.

      Большие числа будет немного сложнее. но если вы знаете, какие числа дают нулевой остаток при делении или умножении, то в принципе больших трудностей нет.

    • Как найти NOC

      Вот видео, в котором показаны два способа найти наименьшее общее кратное (НОК). Практикуясь в использовании первого из этих методов, вы сможете лучше понять, какое наименьшее общее кратное.

    • Вот еще один способ найти наименьшее общее кратное.1 = 4457 = 560.

      НОК (16, 20, 28) = 560.

      Таким образом, в результате расчета получилось число 560. Это наименьшее общее кратное, то есть делится на каждое из трех чисел без остатка.

      Наименьшее общее кратное — это число, которое можно разделить на несколько предлагаемых чисел без остатка. Чтобы вычислить такое число, вам нужно взять каждое число и разложить его на простые множители. Удаляем те числа, которые совпадают.Оставляем все по одному, по очереди умножаем их между собой и получаем желаемое — наименьшее общее кратное.

      NOC, или наименьшее общее кратное — это наименьшее натуральное число из двух или более чисел, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

      Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.

      • Первый шаг — разложить эти числа на простые множители.

      Для 30 это 2 x 3 x 5.

      Для 42 — это 2 x 3 x 7. Поскольку 2 и 3 находятся в разложении числа 30, мы их удаляем.

      • Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5.
      • Теперь вам нужно умножить их на недостающий коэффициент, который у нас есть при разложении 42, и это 7. Получаем 2 x 3 x 5 x 7.
      • Найдите 2 x 3 x 5 x 7 и получите 210.

      В результате получаем, что НОК чисел 30 и 42 равно 210.

      Чтобы найти наименьшее общее кратное , вам нужно последовательно выполнить несколько простых шагов. Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12

      .
    1. Разложим оба числа на простые множители: 8 = 2 * 2 * 2 и 12 = 3 * 2 * 2
    2. Сократите те же множители для одного из чисел. В нашем случае 2 * 2 совпадают, уменьшим их на число 12, тогда у 12 будет один множитель: 3.
    3. Найдите произведение всех оставшихся множителей: 2 * 2 * 2 * 3 = 24

    Проверяя, мы убеждаемся, что 24 делится как на 8, так и на 12, и это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.Здесь найдено наименьшее общее кратное .

    Попробую объяснить это на примере чисел 6 и 8. Наименьшее общее кратное — это число, которое можно разделить на эти числа (в нашем случае 6 и 8), и остатка не будет.

    Итак, начинаем умножать первые 6 на 1, 2, 3 и т. Д. И 8 на 1, 2, 3 и т. Д.

    Наименьшее общее кратное двух чисел напрямую связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Этот взаимосвязь между GCD и NOC определяется следующей теоремой.

    Теорема.

    Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел a и b равно произведению a и b, деленному на наибольший общий делитель a и b, то есть LCM (a, b) = ab: gcd (a, b) .

    Доказательство.

    Позвольте быть M является любым кратным a и b. То есть M делится на a, и по определению делимости существует некоторое целое k такое, что верно равенство M = a · k. Но M делится на b, тогда a · k делится на b.

    Обозначим gcd (a, b) как d.Тогда мы можем записать равенства a = a 1 d и b = b 1 d, а a 1 = a: d и b 1 = b: d будут взаимно простыми числами. Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что ak делится на b, можно переформулировать следующим образом: a 1 dk делится на b 1 d, и это, в силу свойств делимости, эквивалентно условию, что a 1 k делится пользователя b 1.

    Также необходимо записать два важных следствия рассматриваемой теоремы.

      Общие кратные двух чисел равны кратным их наименьшему общему кратному.

      Это действительно так, поскольку любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M = LCM (a, b) t для некоторого целого значения t.

      Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

      Обоснование этого факта довольно очевидно. Поскольку a и b взаимно просты, то GCD (a, b) = 1, следовательно, LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) = a b: 1 = a b.

    Наименьшее общее кратное трех или более чисел

    Нахождение наименьшего общего кратного трех или более чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел.Как это делается, указано в следующей теореме. A 1, a 2,…, a k совпадают с кратными m k-1 и a k, следовательно, совпадают с кратными m k. И поскольку наименьшее положительное кратное числа m k — это само число m k, то наименьшее общее кратное чисел a 1, a 2,…, a k равно m k.

    Библиография.

    • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
    • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
    • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
    • Куликов Л.Я. и другие. Сборник задач по алгебре и теории чисел: учебник для студентов физико-математических специальностей. специальностей педагогических институтов.

    Тема «Кратные» изучается в 5-м классе общеобразовательной школы. Его цель — улучшить письменные и устные навыки математических расчетов. В этом уроке вводятся новые понятия — «кратные» и «делители», отрабатывается методика нахождения делителей и кратных натурального числа, возможность найти НОК различными способами.

    Эта тема очень важна. Знания о нем можно применить при решении примеров с дробями. Для этого вам нужно найти общий знаменатель, вычислив наименьшее общее кратное (НОК).

    Кратное A — целое число, которое делится на A без остатка.

    Каждое натуральное число имеет бесконечное количество его кратных. Сама она считается самой маленькой. Кратное не может быть меньше самого числа.

    Нам нужно доказать, что 125 делится на 5.Для этого первое число разделите на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.

    Этот метод применим для небольших чисел.

    Есть особые случаи при вычислении НОК.

    1. Если вам нужно найти общее кратное для двух чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) равно наименьшее кратное из этих двух чисел.

    НОК (80, 20) = 80.

    2. Если два числа не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК является произведением этих двух чисел.

    LCM (6, 7) = 42.

    Давайте посмотрим на последний пример. 6 и 7 относительно 42 являются делителями. Они делят кратное без остатка.

    В этом примере 6 и 7 — парные делители. Их произведение равно наибольшему кратному числу (42).

    Число называется простым, если оно делится только само на себя или на 1 (3: 1 = 3; 3: 3 = 1).Остальные называются составными.

    В другом примере вам нужно определить, является ли 9 делителем 42.

    42: 9 = 4 (остаток 6)

    Ответ: 9 не является делителем 42, потому что в ответе есть остаток.

    Делитель отличается от кратного тем, что делитель — это число, на которое делятся натуральные числа, а само кратное делится на это число.

    Наибольший общий делитель чисел a и b , умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a и b .

    А именно: НОД (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

    Общие кратные для более сложных чисел находятся следующим образом.

    Например, найдите НОК для 168, 180, 3024.

    Разложим эти числа на простые множители, запишем их в виде произведения степеней:

    168 = 2³х3¹х7¹

    2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

    НОК ( 168, 180, 3024) = 15120.

    Разложение числа 6 по множителям. Простые и составные числа

    Этот онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции по множителям.3 + х). Чтобы увидеть ход решения, щелкните Показать шаги. Если вам нужно получить результат в формате Word, воспользуйтесь этой услугой.

    Примечание : Число «PI» (π) записывается как PI; Квадратный корень как SQRT, например, SQRT (3), TG tangent записывается как tan. См. Альтернативный раздел, чтобы просмотреть ответ.

    1. Если указано простое выражение, например 8 * D + 12 * C * d, выражение «развернуть множители» означает представить выражение в форме фабрики.Для этого нужно найти общие факторы. Это выражение будет записано как: 4 * d * (2 + 3 * c).
    2. Представьте работу в виде двух твистов: x 2 + 21yz + 7xz + 3XY. Здесь уже нужно найти несколько общих заводчиков: x (x + 7z) + 3y (x + 7z). Выполняем (x + 7z) и получаем: (x + 7z) (x + 3y).

    см. Также деление многочленов на угол (показаны все шаги деления столбца)

    Полезными при изучении правил разложения множителей будут формул сокращенного умножения , с которыми будет понятно, как раскрыть скобки с квадратом:

    1. (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2
    2. (AB) 2 = (AB) (AB) = A 2 -2AB + B 2
    3. (A + B) (AB) = A 2 — B 2
    4. a 3 + B 3 = (A + B) (A 2 -AB + B 2)
    5. a 3 -B 3 = (AB) (A 2 + AB + B 2)
    6. (a + b) 3 = (a + b) (a + b) 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
    7. (AB) 3 = (AB) (AB) 2 = A 3 -3A 2 B + 3ab 2 -B 3

    Методы разложения множителей

    Изучив несколько методик факторизации Вы можете создать следующую классификацию решений:
    1. Использование формул сокращенного умножения.
    2. Найдите общий множитель.

    Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно найти в разложении числа на простые множители? Ответы на эти вопросы проиллюстрированы конкретными примерами.

    Определения:

    Простым называется число, имеющее ровно два разных делителя.

    Составное число относится к числу, которое имеет более двух делителей.

    Исключить натуральное число множителей — это означает представить его как произведение натуральных чисел.

    Исключить натуральное число в простых множителях — это означает представить его как произведение простых чисел.

    Примечания:

    • При разложении простого числа один из множителей равен одному, а другой — большей части этого числа.
    • Имеет смысл поговорить о разложении единиц по множителям.
    • Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличается от 1.

    Разложите число 150 для множителей.Например, 150 — это 15 умноженное на 10.

    15 — составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3.

    10 — составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

    Записав вместо 15 и 10 их разложения в простые множители, мы получили разложение числа 150.

    Число 150 можно по-разному распределить по множителям.Например, 150 — это произведение чисел 5 и 30.

    5 — номер простой.

    30 — номер составной. Его можно представить как кусок из 10 и 3.

    10 — номер составной. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

    Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.

    Обратите внимание, что первое и второе разложение одинаковы. Отличаются они только порядком нахождения множителей.

    Принято записывать множители в порядке возрастания.

    Любое составное число может быть разложено на простые множители единственным способом, вплоть до процедуры для множителей.

    При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбце:

    Наименьшее простое число, на которое делится 216, равно 2.

    Делим 216 на 2.Получите 108.

    Полученное число 108 делится на 2.

    Выполнить деление. Получаем в результате 54.

    По признаку делимости 2, 54 делится на 2.

    Выполняя деление, получаем 27.

    Число 27 заканчивается нечетной цифрой 7. Это

    Не делится на 2. Следующее простое число — 3.

    Делим 27 на 3.Получите 9. Самая маленькая простая

    Число, на которое делится 9, равно 3. Три — само по себе простое число, оно делится на себя и на единицу. Делим 3 на себя. В итоге получили 1.

    • Число делится только на те простые числа, которые являются частью его разложения.
    • Число делится только на те составляющие, разложение которых на простые множители полностью отсутствует.

    Рассмотрим примеры:

    4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (Они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.

    11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550.

    В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11.

    11550 не делится на 4, потому что в расширении четырех есть лишние два.

    Найдите частное из деления числа A на число B, если эти числа сложить на простые множители следующим образом: A = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 19; В = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 5 ∙ 19

    Разложение числа B полностью содержится в разложении числа a.

    Результат деления A на B является произведением трех чисел, оставшихся в раскрытии.

    Итак, ответ: 30.

    Библиография

    1. Вилекин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика 6. — М .: Мнемозина, 2012.
    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия. 2006.
    3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — М .: Просвещение, 1989.
    4. .
    5. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математики 5-6 класс. — М .: Ж МИПИ, 2011.
    6. .
    7. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Учебное пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — М .: Ж МИПИ, 2011.
    8. .
    9. Шеврин Л.Н., Гаин А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник — Собеседник для 5-6 классов средней школы.- М .: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
    10. .
    1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
    2. Интернет-портал Math-Portal.ru ().

    Домашнее задание

    1. Вилекин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика 6. — М .: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
    2. Прочие задачи: № 133, № 144.

    Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителя. Например, число 7 делится без остатка на 1 и 7, то есть имеет два делителя.А в числе 8 делители 1, 2, 4, 8, то есть целых 4 делителя сразу.

    В чем разница между простыми и составными числами

    Числа, у которых больше двух делителей, называются составными. Числа, у которых всего два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

    Число 1 нужно разделить только на одно, а именно на само число. Единица не распространяется ни на простые, ни на составные числа.

    • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

    Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 — единственное четное простое число, все остальные простые числа — нечетные.

    Число 78 составное, так как кроме 1 и самого себя оно делится еще и на 2. При делении 2 получаем 39. То есть 78 = 2 * 39. В таких случаях говорят, что число разложилось на множители 2 и 39.

    Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1.С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

    Разложение ряда простых факторов

    Как отмечалось выше, любое составное число можно разложить на два фактора. Возьмем, например, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложите их на два множителя. Получаем 10 = 2 * 5, 21 = 3 * 7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и разложить их нельзя.То есть число 210 мы выложили на простые множители.

    При разложении компонентов на простые множители они обычно записываются в порядке возрастания.

    Следует помнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и единственным способом, с точностью перестановки.

    • Обычно при разложении числа на простые множители используют знаки делимости.

    Разложите число 378 на простые множители

    Мы будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой.Число 378 делится на 2, так как оно заканчивается на 8. При делении мы получаем число 189. Количество чисел в числе 189 делится на 3, что означает, что число 189 делится на 3. В результате, получаем 63.

    Число 63 также делится на 3 по принципу делимости. Получаем 21, число 21 можно снова разделить на 3, получаем 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. Это законченное разделение. Справа после функции оказались простые множители, для которых число 378 сворачивается.

    378 | 2
    189 | 3
    63 | 3
    21 | 3

    Все начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции о рангах (см. Раздел 18.1. Основные определения ) Мы доказали, что эта функция является суммой ряда, и число сходится к функциям, когда
    . Итак,


    .

    Выпейте несколько сортов этой серии. Заменить ч. по — ч. , получаем

    при замене ч. на
    Прием

    и т.д .; Область схождения всех этих строк одинакова:
    .

    2.
    .

    Все производные этой функции в точке h. = 0 равно
    , поэтому серия имеет вид

    .

    Область сходимости этой строки — это вся числовая ось (Пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда ), поэтому
    для
    .В результате остаточный член формулы Тейлора
    . Следовательно, ряд сходится к
    в любой точке h. .

    3.
    .

    Этот диапазон абсолютно сходится, когда

    и его сумма действительно равна
    . Остаточный член формулы Тейлора имеет
    , где
    или
    — ограниченная функция, и
    (это общий член предыдущего разложения).

    4.
    .

    Это разложение может быть получено, как и предыдущее последовательное вычисление производных, но мы сделаем иначе. Повторная переустановка предыдущего ряда:

    Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о дифференциации почв степенного ряда.

    5. Самостоятельно докажите, что на всей числовой оси.

    6.
    .

    Строка для этого объекта называется биномом рядом с . Здесь мы будем вычислять производные.

    … Серия Маклорена имеет вид

    Ищем интервал сходимости: следовательно, интервал сходимости равен
    . Исследование остаточного члена и поведения числа на концах интервала сходимости не проводится; Получается, что при
    Строка абсолютно сходится в обеих точках.
    , P.
    Ряд условно сходятся в точке
    и расходятся в точке
    , P.
    Развелись по обоим пунктам.

    7.
    .

    Здесь мы используем тот факт, что
    . Так как тогда, после убитого интегрирования,

    Область сходимости этого ряда — полуинтервал
    , сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почвенном интегрировании степенного ряда, в точке h . = 1 — по непрерывности и функциям, а суммы силового ряда во всех точках, сколь угодно близкие к ч. = 1 осталось. Отметим, что взяв ч. = 1, найдем сумму строки.

    8. Интегрируя строку сзади, получаем разложение функции
    . Все расчеты произведите самостоятельно, запишите область схождения.

    9. Удалите разложение функции
    по формуле биномиального ряда с
    :. Знаменатель
    Размещено вроде, двойной факториал
    означает работу всех натуральных чисел одинаковой готовности как не превышающей.Разложение сходится к функции, когда
    . Выпрямляя его от 0 до ч. , я понял. Оказывается, этот ряд сходится к функции на всем отрезке.
    ; для ч. = 1 Получится еще одно красивое представление числа:
    .

    18.2.6.2. Решение задач по разложению функций в ряд. Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням
    , решается с помощью стандартных разложений.К счастью, у любой базовой элементарной функции есть свойство, которое позволяет вам это делать. Рассмотрим ряд примеров.

    1. Функция дезинтеграции
    в градусах
    .

    Решение. . Число сходится как
    .

    2. Функция отправки
    в градусах
    .

    Решение.
    . Поле совпадения:
    .

    3. Функция отправки
    в градусах
    .

    Решение. . Число сходится как
    .

    4. Определите функцию
    в градусах
    .

    Решение. . Число сходится как
    .

    5. Определите функцию
    в градусах
    .

    Решение. . Схождение регионов
    .

    6. Функция отправки
    в градусах
    .

    Решение. Разложение на ряд простых рациональных дробей второго типа получается неприятным дифференцированием соответствующих разложений дробей первого типа. В этом примере. Дальнейшая дифференциация по времени дает разложение функций
    ,
    и др.

    7. Функция отправки
    в градусах
    .

    Решение. Если рациональная дробь не простая, она сначала отображается как сумма простых дробей:
    , а затем действует, как в Примере 5: где
    .

    Естественно, такой подход неприменим, например, для разложения функции по степеням h. . Здесь, если вам нужно получить несколько первых членов ряда Тейлора, проще всего найти значения в точке h. = 0 необходимое количество первых производных.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.