Задачи для 10 класса по математике – 10

Олимпиадные задания (алгебра, 10 класс) по теме: олимпиадные задания по математике для 10-11 классов

Олимпиадные задания по математике 10-11 классы

1. Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?    

                    Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 прямых  плоскости. Никакие  две из  которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Будем считать, что прямые – это автобусные маршруты, а их точки пересечения – остановки. При этом  с каждой остановки можно проехать на любую другую: если остановки лежат на одной прямой, то без пересадки, а если нет, то с одной пересадкой. Далее, если даже отбросить в этой схеме одну прямую, то всё ещё останется возможность проехать с каждой остановки на любую другую, сделав в пути не больше одной пересадки. Однако если отбросить две прямые, то одна остановка (точка пересечения этих прямых) уже вовсе не будет обслуживаться оставшимися маршрутами и с неё будет невозможно проехать на какую- либо другую.

2. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

Ответ: 1996.

Решение. Первая цифра  числа может быть любой из четырёх (2,4,6 или 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвёртая, если отказаться от условия « не делящихся на тысячу», — любой из пяти ( 0,2, 4,6 или 8). Следовательно, четырёхзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры чётны, всего имеется 4+10+10+5= 2000; так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел, удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000 – 4 = 1996.

3. На доске через запятую выписаны числа 1, 2, 3, … 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак «+» или «» (умножить). После того как запятых не останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечётным числом, то выигрывает первый, а если чётным – второй. Кто выигрывает при правильной игре?

                                                                   Ответ: выигрывает второй игрок.

Решение. Для достижения успеха второй игрок может пользоваться симметричной стратегией: если первый ставит  какой – то знак между числами к и к+1, то второй ставит такой же знак между числами 99-к и 100-к. Выражение, которое получится в конце игры, будет содержать несколько слагаемых – произведений, причём слагаемое,  содержащее число 50, является чётным, а остальные слагаемые естественным образом разобьются на пары «симметричных» слагаемых одинаковой чётности. Таким образом, выражение, полученное в конце игры, окажется чётным.

4. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между  любыми двумя соседними числами была равна 2 или 3.

Решение. Например, так:1, 3, 5, 2, 4, 6, 8,10, 7, 9 , 11, … , 96, 98, 100,97, 99 (в каждой пятёрке порядок расположения чисел 5к+1,  5к+3, 5к+5, 5к+2,  5к+4)

5. На какое наибольшее число натуральных  слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?  

                                   Ответ: на  семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

9 6 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.

Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных ( если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны.  Но сумма  восьми  наименьших нечётных  простых  чисел равна 98.                                                                                                                      

6. Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

Решение. Если рядом с числом 16 стоит число х, то 16 + 1  16 +х =а2  16 + 15, откуда       а2 = 25 и  х = 9. поэтому у числа 16 не может быть более одного соседа и удовлетворяющее условию расположение  чисел по кругу невозможно.  Пример расположения в строку:        

16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8.                                                                  

7. Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них  ровно один  — остроугольный.

Решение. Окружность, описанная около правильного 1997- угольника, является описанной и для любого треугольника   данного разбиения. Так как центр окружности, описанной около правильного 1997- угольника, не лежит на диагонали, то он попадает внутрь  какого-то одного треугольника.

    Треугольник является остроугольным, если центр описанной окружности лежит внутри него, и тупоугольным, если центр описанной окружности лежит вне его. Следовательно, треугольник, в который попал центр описанной окружности, — остроугольный, все остальные – тупоугольные.

8. В классе 33 человека. У каждого ученика  спросили, сколько у него в классе тёзок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые, от 0 до 10 включительно. Докажите что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.

 Решение.  Объединим учеников  в группы по фамилиям и в группы по именам (возможны группы, состоящие из одного человека, — например, ученик, не имеющий однофамильцев).

Каждый войдёт в две группы – по фамилии и по имени. Из условия задачи следует, что в классе ровно 11 групп. Действительно, есть  группы, состоящие из 1, 2,  …, 11 человек, поэтому групп не менее 11, но 1 + 2 + … + 11 = 66 = 2 .33, т. е. мы уже сосчитали каждого ученика дважды, значит, больше групп  нет.

Рассмотрим группу из 11 человек ( скажем, однофамильцев). Остальных групп и, в частности, групп тёзок не более десяти. Поэтому какие – то двое из11 входят в одну группу тёзок, т. е. у  них одинаковы и имя, и фамилия.

9. На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых,  точки пересечения которых называются узлами. Звеном мы будем называть отрезок, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее  число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?

        Ответ: 41 звено.

Решение. Звенья следует стирать через одно.

10. В классе не менее  95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем числе учеников это возможно?

                                                 Ответ: 23.

Решение. Исходя из условия задачи заключаем, что хотя бы один двоечник в классе есть. Понятно,  что меньше всего учеников будет в классе, где двоечник только один. Поскольку двоечников – не более 4,5% от общего числа учеников, то всего в классе не менее 1 : 0,045 =22 29 человек, т. е. не менее 23 человек. Класс из 23 учеников, среди которых ровно один двоечник, удовлетворяет условию задачи.

11. Двое по очереди закрашивают клетки таблицы 8  8. одним ходом разрешается закрасить одну или несколько клеток, расположенных  либо в одной строке, либо в одном столбце таблицы.  Клетки закрашенные ранее, закрашивать вторично запрещается,  проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?                                    

                                                        Ответ: выигрывает партнёр начинающего.

Решение. Для того чтобы победить, он должен каждым своим ходом закрашивать клетки, симметричные клеткам, закрашенным предыдущим ходом начинающего (относительно центра доски или одной из осей симметрии доски, параллельной её краям).

12. Решить в целых числах систему уравнений

                                   ху + z =  94,

                                   х + уz = 95.  

                             Ответ: х = 95, у = 0, z = 94 или х = 31, у = 2, z = 32.  

Решение. Вычтя из второго уравнения первое, получим  (х — z)(1 — у) = 1.

По условию, х, у, z целые, тогда возможны два случая:

1)  х– z =  1,  1 – у = 1,  т. е. у = 0. Подставив  значение у в систему, получим: z =94, x=95.  

2) х –z  = -1, 1 – у = — 1, т. е. z = х +1, у = 2. Подставим найденные значения у и z в первое уравнение, получим  2х + х +1 = 94,  х = 31. Отсюда  z = 32.

13. Докажите, что если  а2 +в2 + ав + вс + са  0, то  а2 +в2  с2.

Решение. Домножим обе части неравенства на 2 и преобразуем его следующим образом:

2а2+2в2+2(ав+вс+са)0,

 а2+в2+с2+2(ав+вс+са)+а2+в2с20,  

(а+в+с)2+а2+в2с20,  

а2+в2с2(а+в+с)20.  

Отсюда  а2+в2с20, или  а2+в2 с2.  

 14. На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены  диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

                                        Ответ: нельзя.      

Решение. Двигаясь по отрезкам диагоналей, мы проходим поочерёдно через вершины и центры граней. Но у куба 8 вершин и только 6 граней.

15. Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?

                                     Ответ: можно.

Решение. Например, круги можно расположить далеко друг от друга так, чтобы их центры  лежали на параболе  у=х2.  

                                            Литература.  

1.Н. Х. Агаханов,  Д. А. Терешин,  Г. М.Кузнецова  ,,Школьные математические олимпиады ,, — М. : Дрофа , 2002.  

2.  Г.А. Гальперин, А.К.Толпыго  ,,Московские математические олимпиады,,  -М.: Просвещение, 1986.  

3.   журнал ,, Математика в школе,,  №4 1995г.

nsportal.ru

Игра «Занимательная математика» 10 класс

Игра

«Занимательная математика»

10 класс

Цели:

— расширение математического кругозора

— воспитание у учащихся интереса к решению задач

— развитие умения применять математические знания при обдумывания

явлений реального мира.

Игра состоит из трех этапов по три задания.

I этап «Исторический»

За правильно и быстро выполненное задание – 3 балла, затем количество баллов уменьшается на 1.

II этап «Решение задач»

За правильно и быстро выполненное задание – 5 баллов, затем «минус» 1 балл и т.д. Решения сдаются жюри.

III этап «Конкурс болельщиков»

За каждое правильное решение 2 балла.

Ход игры.

I этап «Исторический»

Команды получают таблицы старинных мер длины и веса и карточки с заданиями.

1. Задание «Пословицы»

Даны три пословицы:

А) От горшка два вершка.

Б) За семь верст киселя хлебать.

В) Дай ему вершок, он все три аршина отхватит.

Ответ:

А) От горшка 8,9 см.

Б) За 7,4676 км киселя хлебать.

В) Дай ему 4, 45 см, он все 213,36 см отхватит.

Пока команды переводят пословицы, болельщики могут заработать для них баллы, назвав пословицы и поговорки, в которых есть название старинных мер. За каждую пословицу команда получает 1 балл.

2. Задание «Старинный рецепт печенья»

«3/8 фунта холодного масла мелко изрубить, 1/4 фунта сахара , 10 штук горького истолченного миндаля , 5/8 фунта муки размешать, постепенно прибавляя1/3 стакана сливок, чтобы тесто получилось настолько густым, чтобы его можно было раскатать толщиною с тупую сторону ножа. Вырезать разные фигурки, намазать яйцом, посыпать миндалем, сахаром, испечь в горячей печке. Миндаль можно заменить 30-40 золотниками корицы».

Ответ: около 170 г масла

113 г сахара

283 г муки

128-171 г корицы.

3. Задание «Бревно»

Длина бревна 5 аршин. В одну минуту от этого бревна отпиливают по 16 вершков. За сколько минут будет распилено все бревно?

Ответ: 4 минуты.

II этап «Решение задач»

1. Задание «Разносчик телеграмм»

Разносчик телеграмм сказал: «Я сегодня поднимался 5 раз

на 10-й этаж и 10 раз на 5-й этаж. Если бы я не спускался каждый раз после вручения телеграммы вниз, а все время бы поднимался вверх, то на какой этаж я поднялся?

Решение: 5•(10-1)=45 – пролетов

10•(5-1)=40 – пролетов и 1-й этаж,

получилось 40+45+1=86.

На 86 этаж поднялся бы разносчик телеграмм.

2. Задание «Стол и скатерть»

Круглый стол накрыт квадратной скатертью из тонкой ткани (центр квадрата совпадает с центром круга). На сколько углы скатерти ближе к полу, чем середины ее сторон?

Подсказки:

1. Как вы заметили, в условии не дан ни один размер. Как надо поступить при решении таких задач? Вспомните, что советовал учитель?

2. Изменится ли разность этих расстояний, если поменять размеры стола?

Решение: Пусть сторона квадрата АВ=а, тогда диаметр окружности тоже а. Диагональ квадрата АС=а

Тогда АК=1/2(-а)=1/2а(-1) – расстояние от угла квадрата до окружности по диаметру. Т.к . А – конец скатерти, то АК – разница расстояний.

Ответ : конец А ближе к полу на расстояние 1/2а(-1),

где а – сторона квадратной скатерти,

3. Задание «Вычислить»

Ctg5⁰ •ctg10⁰ • ctg15⁰ •…• ctg80⁰• ctg85⁰

Ответ: 1.

III этап «Конкурс болельщиков»

Пока команды решают задачи, баллы зарабатывают болельщики.

1. Задание

На озере росли лилии. Каждый день их число удваивалось, и на 20-й день заросло все озеро. На какой день заросла половина озера? (на 19-й день)

2. Задание

Одна кастрюля вдвое выше другой, но вторая вдвое шире первой. В какую из них войдет больше воды? (во 2-ю)

3. Задание

Есть две сковороды. На каждой помещается 1 блин. Нужно пожарить 3 блина с двух сторон. Каждая сторона жарится 1 минуту. За какое наименьшее время можно это сделать? (3 мин).

Сообщения «Знаете ли вы?»

Пока жюри подводят итоги, ведущие рассказывают интересные сведения из истории математики.

1. Что такое «литр» знают все. А вот кто такой Литр?

Мало кому известно, что термин «литр» введен в честь француза Клода – Эмиля – Жанна – Батиста Литра. Он жил в 18 веке и занимался производством винных бутылок. К сожалению, о нем мало что известно. Считается, что Литр первый из тех, кто стал производить лабораторную посуду. В частности, градуированные стеклянные цилиндры. В 1763 году на 47 году жизни Литр предложил измерять объемы жидкостей с помощью единицы, которую в последствии и назвали литром. Это нововведение было официально утверждено уже после смерти его автора.

2. Знаете ли вы, что существуют «совершенные числа». В Древней Греции число называли совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей (исключая само число).

Например, 6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+ 4+8+16+31+62+124+248

6, 28, 496 – первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа – четные!

Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного числа. Найдите! Сделайте открытие!

Также, не известно конечно ли множество совершенных чисел.

3. Знаете ли вы, что французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности . Одно из свидетельств тому – несколько составленных им геометрических задач. Вот одна из них. «На сторонах произвольного треугольника , как на основаниях построены внешним образом равносторонние треугольники. Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника».

Задача эта может послужить отправным пунктом для небольшого исследования, а если равносторонние треугольники построить внутренним образом, то будут ли их центры также являться вершинами равностороннего треугольника?

infourok.ru

Задания по математике для 10 класса

1. Определите, при каких a уравнение имеет единственное решение. 

Решение: Вместе с x корнем уравнения будет и 1/x. Поэтому в случае единственного решения получаем x = 1/x, откуда x = 1 или x = −1. Подставляя эти значения в исходное уравнение, получим a = 0 или a = −2. Проверяем. Если a = 0, единственность следует из неравенства  В случае a = −2 функция отрицательна в точке x = 1 и положительна в точке x = 2. Поэтому исходное уравнение имеет, кроме x1 = −1, еще хотя бы один корень x2 ∈ (1, 2). Ответ: a = 0.

2. Решая задачу по геометрии, Костя нашел площадь, периметр и радиус вписанной окружности треугольника. Оказалось, что каждое из этих трех чисел удовлетворяет уравнению x² − 14x + 24 = 0. Докажите, что Костя ошибся.
Решение: Пусть стороны треугольника a ≤ b ≤ c, r — радиус вписанной окружности, h — высота, опущенная на c. Имеем цепочку очевидных неравенств: Поэтому отношение периметра к радиусу r всегда больше 6. Но корни Костиного уравнения 2 и 12.

3. Докажите, что уравнение 2(a + b + c) = ab + bc + ca + 3 имеет бесконечно много решений в натуральных числах a, b, c.
Решение:  Положим a = 1. Получим b + c = bc + 1, или (b − 1)(c − 1) = 0, откуда при b = 1, c — любое. В итоге для любого натурального n тройка (1, 1, n) является решением уравнения.

4. Существует ли треугольник ABC и точка O внутри него такие, что площади треугольников AOB, BOC, COA и ABC образуют
a) арифметическую прогрессию;
б) геометрическую прогрессию?
Решение:  Пусть площади треугольников AOB, BOC, COA и ABC равны S₁ , S₂ , S₃ и S соответственно. Справедливо равенство S₁ + S₂ + S₃ = S. В пункте а) получаем 3a + 3d = a + 3d, невозможно. В пункте б) получим b(1 + q + q²) = bq³. Существует положительное решение q0 уравнения 1 + q + q² = q³ . Проведем из произвольной точки O плоскости три луча, образующие друг с другом углы по 120^o , и отложим на них отрезки OH₁, OH₂ и OH₃ , равные 1, q₀ и q₀² соответственно. Прямые, перпендикулярные этим лучам в точках H₁ , H₂ и H₃ образуют стороны правильного треугольника ABC, а точка O удовлетворяет всем нужным требованиям. Ответ: а) не существует; б) существует.

5. Докажите для произвольного натурального числа n, что (2010n)! не делится на 2011ⁿ . Через (M)! обозначен факториал натурального числа M , т.е. произведение всех натуральных чисел от 1 до M : (M)! = 1 · 2 · 3 · . . . M.
Решение: 2011 — простое число. Поэтому, если (2010n)! делится на
2011k , то, расписывая (2010n)! = 1 · 2 · 3 · . . . 2010n, и выделяя сомножители, делящиеся на число 2011 и его степени, получим

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Одноклассники

olimpotvet.ru

Олимпиадные задания и их решения по математике 10-11 класс.

Олимпиадные задания по математике 10-11 класс.

1. При каких значениях параметра m уравнение

2. Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4 см, b = 5 см. Вычислите площадь треугольника.

3. Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

4. Постройте эскиз графика функции:.

5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны.

6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

7. В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Критерии оценивания.

10 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.

8 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.

6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).

4 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.

2 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.

0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Решение.

Задача №1

При каких значениях параметра m уравнение

Решение.

ОДЗ: х

1-й случай. Если 3m-2=0, то m = имеем m + 2 = +2 В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = данное уравнение решений не имеет, то есть m =

2-й случай. 3m-2 . Тогда х² = Так как х≠0, то полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда Решая это неравенство, получим -2m.

Так как в первом случае показано, что m = , также удовлетворяет условию задачи, то получим

Ответ: m∈ [-2; ].

Задача №2.

Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4см, b = 5см. Вычислите площадь треугольника.

Решение. прямой

см, DB = 5см.

Катет СB = 4 + 5 = 9. Используя свойство

биссектрисы угла треугольника:

теореме Пифагора AC ² + CB² = AB^{2 ;}

AC² + 81 = AC² ; 16AC² + 16 81 = 25AC² ;

16 ∙ 81= 9 AC² ; AC = = 12.

S_ABC = AC CB = .

Ответ: 54см²

Задача №3

Путь из села в город таков: сначала 15км в гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно 2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

Решение.

Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а с горы — у км/ч. Больше времени заняла дорога с большим подъемом, поэтому + и b = и решим систему уравнений: Она имеет единственное решение

a = , b = . Откуда х = 6, у= 10. Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6 км/ч, а с горы 10 км/ч.

Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч.

Задача 4. Постройте эскиз графика функции:.

Решение.

Отсюда график:

Задача 5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны.

Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем приа=-1 является х=1. Подходит.
Если а?-1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется

.
С учетом первого случая получаем ответ .

Ответ

Задача 6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс . Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Ответ. Хватит.

Задача №7

В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Решение.

О – центр описанной окружности,

М – центр вписанной окружности,

АВ = ВС = 5, АС = 8, МD = r, ВО = R.

Найдем площадь и периметр данного

треугольника. S_ABC = ACBD;

BD = = 3 , S_ABC = = 12

p = 1.

R = =;

OM = OB + DM = R BD + r =

Ответ: ; R = 4 OM = 2,5.

infourok.ru

Математика 10 класс | Онлайн олимпиада. Участие бесплатно.

Задание по математике для 10 класса — Уравнения

Лимит времени: 0

Информация

Выполните задание онлайн олимпиады и узнайте результат.
Для зарегистрированных участников, результаты отправляются на электронную почту.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 10

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

• 

  Поздравляем!
  Вы отлично выполнили задание.
  Ваш результат соответствует 1 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 1 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы хорошо справились с заданием.
  Ваш результат соответствует 2 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 2 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы выполнили задние допустив незначительное количество ошибок.
  Ваш результат соответствует 3 месту.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и не допустить ошибок.
  Вы можете заказать оформление диплома 3 степени перейдя по ссылке.

• 

  Сделайте работу над ошибками.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и добиться хорошего результата.
  Ваш результат может стать значительно лучше.

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

source2016.ru

Олимпиадные задачи по математике. 10 класс. Ответы.

1.Графики функций у = х² + ах + b и у = х² + сх + d пересекаются в точке с координатами (1; 1). Сравните a⁵ + d⁶ и c⁶— b⁵.
2.Какое наибольшее число ребер шестиугольной призмы может пересечь плоскость, не проходящая через вершины призмы?
3.Решите уравнение : 
4.Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то их высоты тоже образуют геометрическую прогрессию.
5.В клетки квадрата 3 ? 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?

Ответы.

1.a⁵ + d⁶ = c⁶ – b⁵.
Так как графики функций проходят через точку (1; 1), то выполняются равенства: 1 = 1 + а + b и 1 = 1 + с + d, то есть, a = -b и с = -d. Следовательно, а⁵ = -b⁵ и d⁶ = c⁶. Складывая эти неравенства почленно, получим, что а⁵ + d⁶ = c⁶ – b5.

2. Горизонтальной плоскостью можно пересечь все 6 боковых ребер. Наклоним эту плоскость так, чтобы она пересекла верхнее основание около одной из вершин. Ясно, что при этом она станет пересекать два ребра в верхнем основании, но перестанет пересекать одно из боковых ребер. Таким образом, мы увеличим число пересеченных ребер на 1. 
Точно также можно увеличить это число еще на 1 за счет ребер нижнего основания. Так мы получили плоскость, пересекающую 8 ребер призмы.
Почему больше пересечений получить невозможно? Во-первых, никакое сечение не может пересекать более двух ребер одного основания (иначе сечение просто совпадает с плоскостью этого основания). Но пересечение двух ребер в одном основании исключает пересечение хотя бы одного из боковых ребер, а пересечение двух ребер в другом основании – другого бокового ребра.
3.  Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

4. Пусть стороны треугольника равны b, bq, bq², площадь треугольника S, тогда высоты треугольника соответственно равны: 2S/b, 2S/bq, 2S/db², то есть тоже образуют геометрическую прогрессию.

5. Покажем, что n = 14 слишком мало. Среди чисел 1, 2, …, 14 только 2 делятся на 5 (5 и 10), поэтому их нельзя использовать (не во всех строках произведение будет делиться на 5). По тем же соображениям нельзя использовать числа 7 и 14. Тем более, нельзя использовать числа 11 и 13. Итак, 6 чисел уже отпадают. Остается всего 8 чисел, а их не хватит для заполнения клеток квадрата! На рисунке изображен квадрат с n = 15

lib.repetitors.eu