Математика моро бантова бельтюкова 1 класс: Математика 1 класс (Моро, Бантова, Бельтюкова) 1990 год

ГДЗ по Математике 1 класс Моро часть 1, 2 Учебник

Математика это волшебная наука, которая разовьет умение вычислять, логически мыслить, быть внимательным и настойчивым, а так же упорным и аккуратным. Математика в 1 классе это, своего рода, путешествие в мир цифр. Ученик получит навыки арифметических действий с числами. Первые сложности могут отрицательно повлиять на дальнейший процесс усвоения математики, а этого ни как нельзя допустить на начальном этапе изучения. Поэтому основной и главной задачей не только учителей, но и родителей, является помочь первокласснику получить первоначальные математические знания. Современные методы обучения во многом отличаются от тех, которые применялись в школьные времена родителей. Даже в 1 классе некоторые задания ставят взрослых в тупик. Чтобы родители смогли всегда придти на помощь своему ребенку, в этом им поможет такое пособие, как ГДЗ по математике для 1 класса авторы: Моро, Волкова Он соответствует требованиям ФГОС и является важной частью системы «Школа России» и идеально подходит для начального уровня обучения.

Учебник состоит из двух частей, Первая часть начинается с подготовки ученика к изучению чисел, их нумерация, а так же распознавать и изображать точку, прямую и кривую линии, отрезок, луч, измерять их. Вторая часть расскажет о том, какие арифметические действия можно производить с числами, продолжается изучение нумерации цифр.

Решебник поможет первокласснику не бояться уроков математики, а даст ему возможность:

• разобраться в непонятных заданиях;
• найти правильный ответ на любое упражнение из учебника;
• быстро и правильно выполнить домашнее задание;
• быть всегда подготовленным к следующему уроку.

Онлайн формат сократит время на поиски, его можно использовать везде, где имеется доступ к Интернету.

Педагог может рассматривать решебник по математике под авторством Моро В.И. как шаблон для своей собственной уникальной программы, которая вызовет интерес к математике у каждого ученика в классе.

С этим решебником родители смогут всегда придти на помощь своему первокласснику, вместе разобраться в решении любых каверзных задач. Только совместная работа даст ребенку необходимые знания математики.

▶▷▶ решебник математика 1 класс 2 часть ответы моро и волкова

▶▷▶ решебник математика 1 класс 2 часть ответы моро и волкова

решебник математика 1 класс 2 часть ответы моро и волкова — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download ГДЗ по Математике 2 класс Моро Волкова решебник gdzme › 2 класс › Математика Онлайн ответы из решебника по математике за 2 класс автора Моро М И 2017 года издания Решебник по математике за 1 класс МИ Моро, СИ Волкова ФГОС gdzguru › Математика При этом ГДЗ для 1 класса по математике Моро , Волкова ( 1 , 2 часть ) включает в себя полный разбор всех примеров, а также рабочая тетрадь ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро, Волкова, Степанова reshatorru/ 1 -klass/matematika/moro Cached Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро , Волкова , Степанова ответы к учебнику часть 1 , 2 — Решатор! Решебник Математика 1 Класс 2 Часть Ответы Моро И Волкова — Image Results More Решебник Математика 1 Класс 2 Часть Ответы Моро И Волкова images Решебник по математике за 1 класс рабочая тетрадь Моро МИ gdzguru › Математика ГДЗ к учебнику по математике за 1 класс Моро М И можно скачать здесь ГДЗ к тетради учебных достижений по математике за 1 класс Волкова С И можно скачать здесь ГДЗ Математика 1 класс рабочая тетрадь 2 часть Моро, Волкова 7gyru/shkola/nachalnaya-shkola/1175-gdz Cached ГДЗ Математика учебник 2 класс 1 часть Дорофеев, Миракова, Бука Решебник , готовые ответы на задания 📚 Наверх ГДЗ решебник по математика 2 класс Моро 1 и 2 часть — онлайн gdzpopme/ 1 -4-klassyi/matematika- 1 -4/gdz Cached Вашему вниманию предлагаются ответы к учебнику по математике 2 класс Моро , Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть и рабочей тетради Моро Волкова ГДЗ по математике 3 класс Моро Волкова рабочая тетрадь gdzme › 3 класс › Математика Онлайн ответы из рабочей тетради по математике за 3 класс авторов Моро М И , Волкова С И 2016 года издания ГДЗ по математике 4 класс Моро 1 и 2 часть yagdzcom › 1 -4 класс › Математика ГДЗ решебник к рабочей тетради по математике 4 класс Моро Бантова Бельтюкова Волкова Степанова Часть 1 и 2 ГДЗ по Математике за 1 класс Школа России МИ Моро, СИ Волкова gdz-putinacom/klass- 1 /matematika/moro Cached Математика 1 класс Решебник М И Моро Авторы: М И Моро , С И Волкова , СВ Степанова Мария Игнатьевна Моро со своими коллегами составили отличное пособие по математике для 1 класса ГДЗ математика 4 класс Моро, Волкова учебник 1, 2 часть ответы newgdznet/gdz/4-klass/category/uchebnik-v- 2 -kh Cached Решебник по математике для 4 класса Моро учебник 1 , 2 части В начальной школе изучению математики отводится важное место Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 32,200 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

• ВГ Горецкий издательство: Прос Скрыть 8 Решебник к учебнику по русскому языку за 4 класс Канакина — смотрите картинки ЯндексКартинки › решебник к учебнику по русскому языку за 4 класс Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 9 ГДЗ по русскому языку 4 класс Канакина
• авторы: ВП Канакина
• а также информацию для эффективной подготовки к контрольным мероприятиям

приведённых в учебнике Пособие даёт ответы на многие вопросы

авторы: ВП Канакина

• 2 часть ) включает в себя полный разбор всех примеров
• Волкова 7gyru/shkola/nachalnaya-shkola/1175-gdz Cached ГДЗ Математика учебник 2 класс 1 часть Дорофеев
• Волкова учебник 1

ГДЗ Математика 2 класс Моро, Бантова, Бельтюкова Учебник 1, 2 часть

Авторы: Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др.
Издательство: Просвещение
Тип: Учебник

ГДЗ по математике для 2 класса Моро пригодится любому родителю, который хочет помочь своему ребёнку. Пособие рекомендуется не только для проверки д/з, а и для обучения второклассника, заполнении пробелов в знаниях. Сборник выполнен по всех рекомендациях ФГОС и подходит любому второкласснику.

Важно заинтересовать школьника в изучении такой науки, чтобы развить его логическое и аналитическое мышление. Часто дети делают самые элементарные ошибки, поэтому стоит уделять больше внимания практике. Справиться со всеми испытаниями поможет решебник по математике для 2 класса Моро, Бантовой.

ЧАСТЬ 1

ЧАСТЬ 2

Часто можно услышать от разных людей «где пригодится математика, деньги считать все умеют». Тем не менее, нужно понимать, что это основа всех наук, она используется в разработке исследованиях и новых открытиях. Навыки в этой дисциплине каждый день встречаются нам на пути. Для того, чтобы развивать свой мозг, абстрактное мышление, математика изучается на протяжении всего школьного курса.

Во 2-ом классе не каждый ребёнок может понимать, как вычитать примеры, последовательность развязывания задач и прочее. Дополнительная литература, репетиторы, занятия после школы – не лучший вариант для родителей. Второклассники только на старте длинного, сложного, но такого важного пути – познанию математики. Стоит научить ребёнка пользоваться решебником и это упростит задачу как родителям, так и учителям, и самым детям.

Математика – начало всех основ, стержень инноваций и новых технологий. Математика сегодня всюду: торговые центры, работа, метро. Исходя из этого, нужно с детства прививать ученику любовь к математике. Она не будет лишней никогда, ведь это основа жизни.

Если ребёнок не силён в точных науках, руководство поможет с лёгкостью переходить в следующие классы без приложения особых усилий. Тем не менее, бездумное списывание ответов не приведёт ни к чему хорошему.

Учебник для 2 класса имеет 1 и 2 часть, в то время как в пособии все задания вместе. Каждое из них детально и подробно объяснено, что упростит задачу родителям при проверке домашнего задания. Задачи, примеры – стоит только выбрать нужный номер и сверить решение.

Сборник по математике (автор Моро, Бельтюкова) позволит:

1. улучшить свои знания и повысить успеваемость;
2. удивить своими навыками не только родителей, а и учителя;
3. полностью осмыслять материал благодаря подробным ответам;
4. удобно и качественно проверять ответы на д/з;

▶▷▶ математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник

▶▷▶ математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник

математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download ГДЗ математика 4 класс Моро, Волкова учебник 1, 2 часть ответы newgdznet/gdz/4-klass/category/uchebnik-v- 2 -kh Cached Сборник ГДЗ по предмету Математика 4 класс Моро 1 , 2 часть учебник станет отличным помощником вашему ребенку при изучении нового материала, при решении сложных заданий и при проверке уже ГДЗ по математике 3 класс учебник Моро 1 и 2 часть yagdzcom › 1 -4 класс › Математика ГДЗ решебник к учебнику по математике 3 класс Моро Бантова Бельтюкова Волкова Степанова Часть 1 и 2 ГДЗ Математика Моро 2 класс учебник 2 часть Ответы на igryplusru/gdz/matematika- 2 -klass-uchebnik-moro- 2 -chast Cached Готовые домашние задания по предмету Математика Моро 2 класс учебник 2 часть , ответы на задания, решебник с ГДЗ по программе Школа России онлайн Математика 1 Класс Моро 2 Часть Ответы 2013 Гдз Учебник — Image Results More Математика 1 Класс Моро 2 Часть Ответы 2013 Гдз Учебник images ГДЗ решебник по математика 2 класс Моро 1 и 2 часть gdzcenter › 1 -4 классы › Математика ГДЗ , учебник , решебник и ответы для — ГДЗ решебник по математика 2 класс Моро 1 и 2 часть Все части и страницы ГДЗ по Математике 2 класс Моро Волкова решебник gdzme › 2 класс › Математика Онлайн ответы из решебника по математике за 2 класс автора Моро МИ 2017 года издания ГДЗ по математике 4 класс Моро 1 и 2 часть yagdzcom › 1 -4 класс › Математика ГДЗ по математике 4 класс учебник Моро ГДЗ решебник к учебнику по математике 4 класс Моро Бантова Бельтюкова Волкова Степанова Часть 1 и 2 ГДЗ решебник по математика 3 класс Моро 1 и 2 часть gdzavrorg/gdz-po-matematike/950-gdz-reshebnik Cached Публикуем для Вас ответы к учебнику и рабочая тетрадь по математика 3 класс Моро , Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть ГДЗ решебник по математика 2 класс Моро 1 и 2 часть — онлайн gdzpopme/ 1 -4-klassyi/matematika- 1 -4/gdz Cached Вашему вниманию предлагаются ответы к учебнику по математике 2 класс Моро , Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть и рабочей тетради Моро Волкова ГДЗ Математика 2 класс Моро — gdzlolbiz gdzlolbiz/matematika- 2 -klass-morohtml Cached Здесь вы найдете ответы на все упражнения учебного пособия ( 1 и 2 части) для учеников 2 класса начальной школы по программе Моро Марии Игнатьевны ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро, Волкова, Степанова reshatorru/ 1 -klass/matematika/moro Cached Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро , Волкова, Степанова ответы к учебнику часть 1 , 2 — Решатор! Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 75,800 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

• 2 — Решатор! Задача начальной школы — сформировать у ребенка практические умения и навыки
• веру в свои способности и не бояться никаких трудностей Рекомендуемые решебники ГДЗ Рабочая тетрадь математика 1 класс Моро МИ ГДЗ Тетрадь учебных достижений математика 1 класс Волкова СИ ГДЗ Контрольно-измерительные материалы математика 1 класс Глаголева ЮИ ГДЗ Контрольные работы математика 1 -4 к Скрыть ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро (в 2 -х частях ) gdzmaniacom › gdz/8-gdz-matematika-morohtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ ( готовые домашние задания ) и решебник по математике за 1 класс
• часть 1

авторы: МИ Моро

СИ Волкова

• Волкова
• Степанова reshatorru/ 1 -klass/matematika/moro Cached Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро
• easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 75

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 ГДЗ по математике 1 класс Моро Часть 1, 2 GdzPutinaru › Математика › Математика 1 класс авторы Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ к учебнику по математике за 1 класс Моро Часть 1, Часть 2 отвечают на все вопросы, решают все задачи и примеры Такой материал на отлично поможет справиться с любой домашней работой, а также подготовит ученика к решению упражнений в классе Вы не будете переживать за успеваемость Читать ещё ГДЗ к учебнику по математике за 1 класс Моро Часть 1, Часть 2 отвечают на все вопросы, решают все задачи и примеры Такой материал на отлично поможет справиться с любой домашней работой, а также подготовит ученика к решению упражнений в классе Вы не будете переживать за успеваемость своего первоклассника, когда начнёте использовать такую надёжную и эффективную литературу Скрыть 2 ГДЗ 1 класс , Математика , Моро , Волкова, Степанова budu5com › ГДЗ › Учебник Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ решебник и ответы 1 класс , Математика , Моро МИ, Волкова СИ, Степанова СВ, Учебник , 2 часть , 2015 год, 2016 год, 2017 год, 2018 год Готовые домашние задания с подробными ответами 3 Решебник и ГДЗ по Математике за 1 класс , авторы gdz-putinanet › 1-klass-matematika-moro Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по Математике 1 класс авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Именно поэтому учебник математики для 1 класса Моро так выделяется среди других школьных И найти ответы на запутанный номер, или проверить, правильно ли ребёнок решил Ведь сейчас математика стала намного многообразной и наличие ГДЗ по математике для 1 класса Моро в двух частях порой необходимо Читать ещё ГДЗ по Математике 1 класс авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Поступление ребёнка в первый класс – сложный период в жизни родителей Именно поэтому учебник математики для 1 класса Моро так выделяется среди других школьных книжек, ведь он делает решение задач весёлым и увлекательным занятием, от которого тяжело оторвать Книга способствует появлению начальных знаний и умений применения их на практических заданиях И найти ответы на запутанный номер, или проверить, правильно ли ребёнок решил упражнение не составит проблем Ведь сейчас математика стала намного многообразной и наличие ГДЗ по математике для 1 класса Моро в двух частях порой необходимо Скрыть 4 ГДЗ по математике 1 класс Моро часть 1, 2 учебник все gdznikinet › 1-klass/gdz-po-matematike-1…moro/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по математике 1 класс составляли учебник Моро в решебник входит часть 1, 2 полные готовые подробные ответы , спишите онлайн все задания на gdznikinet 5 Решебник гдз по математике 1 класс Моро учебник gdz-reshebnikcom › matematika/1…moro…1…chast…2html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Спишите домашнее задание (работу) к книге- учебнику математики Моро Волкова Степанова за 2016, 2017, 2018 год — ФГОС Все решения задач (упражнений) удобно смотреть и читать с компьютера, планшета, телефона, смартфона, айфона Выбери номер № нужной страницы с готовыми ответами : Часть 1 4-17 Читать ещё Спишите домашнее задание (работу) к книге- учебнику математики Моро Волкова Степанова за 2016, 2017, 2018 год — ФГОС Все решения задач (упражнений) удобно смотреть и читать с компьютера, планшета, телефона, смартфона, айфона Выбери номер № нужной страницы с готовыми ответами : Часть 1 4-17; 18-30; 30-41; 41-50; 50-62; 62-77; 78-90; 90-101; 101-110; 111-121; 122-127 Часть 2 4-13; 13-23; 23-31; 31-40; 40-50; 50-60; 60-70; 70-77; 77-86; 86-94; 95-104; 104-111 Задания внизу страницы 5-32; 33-88 Задания на полях страницы 4-38; 39-72; 73-103 Скрыть 6 ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро , Волкова reshatorru › 1 класс › Математика › Моро Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро , Волкова, Степанова ответы к учебнику часть 1, 2 — Решатор! Задача начальной школы — сформировать у ребенка практические умения и навыки, научить внимательно смотреть в учебник , отвечать на заданный вопрос корректно и точно С этой точки зрения решебник Читать ещё Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро , Волкова, Степанова ответы к учебнику часть 1, 2 — Решатор! Задача начальной школы — сформировать у ребенка практические умения и навыки, научить внимательно смотреть в учебник , отвечать на заданный вопрос корректно и точно С этой точки зрения решебник по математике за 1 класс Моро – комплексный помощник С таким ГДЗ ученик без труда: освоит сложение и вычитание чисел, научится сравнивать величины, получит представление о плоских и пространственных фигурах, увидит, как проверять полученные ответы Если в средней школе дети больше полагаются на слух Скрыть 7 ГДЗ за 1 класс по Математике МИ Моро , СИ Волкова GDZim › 1 класс › Математика › Моро Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Но с учебником автора Моро у вас не будет никаких проблем с изучением предметной области Данное ГДЗ по математике для 1 класса Моро , Волкова 1, 2 часть содержит правильные и проверенные временем и учениками ответы , на вопросы, задачи и упражнения Рекомендуемые решебники рабочая Читать ещё Но с учебником автора Моро у вас не будет никаких проблем с изучением предметной области Он написан самым доступным языком, да и еще с красочными иллюстрациями, что школьника тут же погружается в учебное издание Ну а для чего тогда решебник? Данное ГДЗ по математике для 1 класса Моро , Волкова 1, 2 часть содержит правильные и проверенные временем и учениками ответы , на вопросы, задачи и упражнения Рекомендуемые решебники рабочая тетрадь Моро МИ, Просвещение тетрадь учебных достижений Волкова СИ, Просвещение контрольно-измерительные материалы Глаголева ЮИ, Просвещение контрольные работы Волкова СИ, Просвещение тесты Волкова СИ, Просвещение Часть 1 Скрыть 8 Решебник по математике за 1 класс МИ Моро | Гдз GDZguru › reshebniki/1-klass/matematika/moro/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ : Онлайн готовые домашние задания по математике ФГОС за 1 класс , автор Авторы учебника Моро , Волкова и Степанова постарались охватить вниманием всё самое При этом ГДЗ для 1 класса по математике Моро , Волкова (1, 2 часть ) включает в себя полный разбор всех примеров, а также рабочая тетрадь Читать ещё ГДЗ : Онлайн готовые домашние задания по математике ФГОС за 1 класс , автор МИ Моро , СИ Волкова, спиши решения и ответы на ГДЗ гуру Авторы учебника Моро , Волкова и Степанова постарались охватить вниманием всё самое необходимое и даже больше Здесь встретятся герои сказок и расскажут о фундаментальных действиях сложения и вычитания А решение задач удивит первоклассника логическими постановками, что позволит развить мышление на уровне представления, логики и сообразительности При этом ГДЗ для 1 класса по математике Моро , Волкова (1, 2 часть ) включает в себя полный разбор всех примеров, а также рабочая тетрадь Скрыть 9 Математика 1 класс Моро 2 часть ответы 2013 ГДЗ Учебник — смотрите картинки ЯндексКартинки › математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 ГДЗ по Математике 1 класс МИ Моро , СИ Волкова гдзрус › reshebniki/matematika/1-class/moro Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ рус поможет Вам справиться с самым непростым и непонятным заданием по Математике 1 класса МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Ведь здесь описан полный ход действий, который поможет вам выполнить домашние задание Читать ещё ГДЗ рус поможет Вам справиться с самым непростым и непонятным заданием по Математике 1 класса МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Ведь здесь описан полный ход действий, который поможет вам выполнить домашние задание авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова издательство: Просвещение 2016 год Часть : 1, 2 Когда ребенок становится первоклассником, очень важно, чтобы новоиспеченный школьнику научился усваивать приобретенные на уроках знания по математической дисциплине и применять их выполняя домашнее задание Скрыть ГДЗ по математике 1 класс МИ Моро часть 1, 2 MegaReshebaru › gdz/matematika/1-klass/moro Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Коим является ГДЗ по математике учебник 1 класс Моро Часть 1, 2 Оно составлено с учетом психологии каждого ребенка Взрослые, воспользовавшиеся этим пособием, смогут грамотно объяснить своему малышу, как правильно выполнять домашнее задание С первых дней учебы очень важно заложить Читать ещё Коим является ГДЗ по математике учебник 1 класс Моро Часть 1, 2 Оно составлено с учетом психологии каждого ребенка Взрослые, воспользовавшиеся этим пособием, смогут грамотно объяснить своему малышу, как правильно выполнять домашнее задание С первых дней учебы очень важно заложить ребенку, веру в свои способности и не бояться никаких трудностей Рекомендуемые решебники ГДЗ Рабочая тетрадь математика 1 класс Моро МИ ГДЗ Тетрадь учебных достижений математика 1 класс Волкова СИ ГДЗ Контрольно-измерительные материалы математика 1 класс Глаголева ЮИ ГДЗ Контрольные работы математика 1 -4 к Скрыть ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро (в 2 -х частях ) gdzmaniacom › gdz/8-gdz-matematika-morohtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ ( готовые домашние задания ) и решебник по математике за 1 класс , авторы: МИ Моро , СИ Мы подготовили для вас готовые ответы или ГДЗ по математике за 1 класс автора Моро Марии Игнатьевны Выберите страницу учебника : 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 32 33 34 35 Читать ещё ГДЗ ( готовые домашние задания ) и решебник по математике за 1 класс , авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Мы подготовили для вас готовые ответы или ГДЗ по математике за 1 класс автора Моро Марии Игнатьевны Данный решебник поможет родителям проверить правильность выполнения домашней работы своего ребенка Cмотреть тут: рабочая тетрадь (Волкова), проверочные работы (Волкова) Выберите страницу учебника : 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 51 54 55 57 58 60 61 62 63 65 68 69 70 74 75 80 81 83 85 87 88 90 91 92 93 94 95 97 98 99 100 101 103 106 107 108 109 110 111 Часть 2 Скрыть ГДЗ математика 1 класс Моро ( учебник ) 1, 2 часть NewGDZnet › ГДЗ › 1 класс › Учебник Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Готовые домашние задания за 1 класс по математике Моро ( учебник ) в 2 -х частях — ответы и решебники на Авторы: Моро М И, Волкова С И, Степанова С В Предмет: Математика Класс : 1 Выберите из списка ниже необходимое задание Часть 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 Читать ещё Готовые домашние задания за 1 класс по математике Моро ( учебник ) в 2 -х частях — ответы и решебники на сайте ГДЗ по-новому Авторы: Моро М И, Волкова С И, Степанова С В Предмет: Математика Класс: 1 Выберите из списка ниже необходимое задание Часть 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 51 54 55 57 58 60 61 62 63 65 68 69 70 74 75 80 81 83 85 87 88 90 91 92 93 94 95 97 98 99 100 101 103 106 107 108 109 110 111 Часть 2 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 74 75 76 77 78 79 81 82 8 Скрыть ГДЗ по Математике учебник за 1 класс Часть 1, 2 Моро GDZru › class-1/matematika/moro-m-i-2011/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по математике за 1 класс , решебник МИ Моро , ФГОС, часть 1, часть 2 онлайн ответы Сборник готовых решений ( ГДЗ ) по математике к учебнику для первоклассников от авторов МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова в двух частях ( 1 и 2 ) представляет собой полный Читать ещё ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по математике за 1 класс , решебник МИ Моро , ФГОС, часть 1, часть 2 онлайн ответы на GDZRU Сборник готовых решений ( ГДЗ ) по математике к учебнику для первоклассников от авторов МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова в двух частях (1 и 2 ) представляет собой полный перечень ответов на задания, представленные в основной книге по математике Дополнительно в издании приведены и детальные пояснения, объясняется материал, который может вызывать трудности у первоклассников Скрыть ГДЗ по Математике 1 класс Моро , Волкова, Степанова onlinegdznet › Гдз моро 1 класс 2017 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Заходи и делай уроки с ГДЗ по Математике 1 класс Моро 1, 2 Часть База решебников и учебников которая всегда пополняется Более ГДЗ по всем школьным предметам 100 % правильные ответы Теперь 5 у тебя в дневнике Читать ещё ➫ Заходи и делай уроки с ГДЗ по Математике 1 класс Моро 1, 2 Часть ➫ База решебников и учебников которая всегда пополняется ➫ Более ГДЗ по всем школьным предметам ➫ 100 % правильные ответы ➫ Теперь 5✚ у тебя в дневнике ГДЗ по Математике 1 класс Моро , Волкова, Степанова 1, 2 часть Решебник OnlineGDZ Сам учебник 1 класса по математике Моро также предоставлен на нашем сайте Нет необходимости искать его в интернете и тратить на это свое драгоценное время Скрыть ГДЗ : Решебник Математика 1 класс МИ Моро yougdzcom › Моро Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 1 класс » (в двух частях ) авторов МИ Моро и др разработан в соответствии с ФГОС НОО и является составной частью завершённой предметной линии учебников » Математика » системы учебников «Школа России» Математика 1 класс : Часть 2 Авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Издательство Читать ещё 1 класс » (в двух частях ) авторов МИ Моро и др разработан в соответствии с ФГОС НОО и является составной частью завершённой предметной линии учебников » Математика » системы учебников «Школа России»Материал учебника способствует формированию у учащихся системы начальных математических знаний и умений их применять для решения учебно-познавательных и практических задач Содержание и структура учебника направлены на достижение учащимися личностных, метапредметных и предметных результатов, отражённых в ФГОС НОО Математика 1 класс : Часть 2 Авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Издательство: 2011 год Задания : открыть список Числа от 1 до 10 С4 С5 Скрыть Школьные учебники В наличии! – Учебники для 2 класса Лабиринт Пресс Акции Главные книги года Подарочные книги labirintru › учебники Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама Почти 20 000 видов Доставка Контактная информация +7 (495) 745-95-25 пн-пт круглосуточно Магазин на Маркете 18+ Вместе с « математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник » ищут: математика 2 класс моро 1 и 2 часть учебник ответы решебник русский язык 1 класс канакина горецкий 1 часть решебник ответы математика 1 класс моро 1 и 2 часть учебник ответы решебник математика 2 класс моро 1 и 2 часть рабочая тетрадь ответы решебник 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашлось 399 млн результатов Дать объявление Показать все Регистрация Войти 0+ Браузер с Алисой, которая всегда готова побеседовать Установить Закрыть Спасибо, что помогаете делать Яндекс лучше! Эта реклама отправилась на дополнительную проверку ОК ЯндексДирект Попробовать еще раз Включить Москва Настройки Клавиатура Помощь Обратная связь Для бизнеса Директ Метрика Касса Телефония Для души Музыка Погода ТВ онлайн Коллекции Яндекс О компании Вакансии Блог Контакты Мобильный поиск © 1997–2018 ООО «Яндекс» Лицензия на поиск Статистика Поиск защищён технологией Protect Алиса в ЯндексБраузере Выключит компьютер по голосовой команде 0+ Установить

Математика — Бесплатные учебники

Моро М.И. и др. — Математика 4 класс,

Часть 1

Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Волкова С.И., Степанова С.В.
Учебник. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 112 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978–5–09–023769–7.

pdf

Часть 2

Учебник. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 112 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978–5–09–023772–7.

pdf

Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др. Математика. 4 класс. 

Часть 2. Учебник. — В 2-х частях. — М.: Просвещение, 2013. — 128 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978-5-09-023201-2.

djvu (яндекс.диск)

Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика. 4 класс.

Часть 1

Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Волкова С.И., Степанова С.В.
Учебник. — В 2-х частях. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 2015. — 112 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978-5-09-035799-9.

PDF (яндекс.диск)

 Моро М.И., Волкова С.И. Тетрадь по математике для 1 класса

начальной школы — 2005  

№1  №2   djvu

Моро М.И., Волкова С.И. Математика. 2 класс. Рабочая тетрадь. 

М.: Просвещение, 2011. — 80 с + 80 с. 

Часть 1 pdf (яндекс.диск)

Часть 2 pdf (яндекс.диск)

Моро М.И., Волкова С.И. Для тех, кто любит математику. 2 класс

9-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 64 с.: ил.

pdf (яндекс.диск)

М. И. Моро, С. И. Волкова Для тех, кто любит математику. 3 класс

(Школа России)-2010

pdf

ГДЗ к учебнику Математика. 3 класс. Моро М.И. и др.; Ч.1 и 2 (2006-2009) pdf

Волкова С.И. Математика. Проверочные работы. 1 класс

2-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 64 с.

pdf (яндекс.диск)

Волкова С.И. Математика. Проверочные работы. 2 класс

М.: Просвещение, 2014. — 80 с.

rar (pdf) (яндекс.диск)

Волкова С.И. Математика. Проверочные работы. 3 класс

2-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с. — (Серия «Школа России», ФГОС).

rar (pdf) (яндекс.диск)

Волкова С.И. Математика. Проверочные работы. 4 класс

4-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 97 с.

pdf (яндекс.диск)

2-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 96 с.

pdf (яндекс.диск)

Волкова С.И. Математика. Контрольные работы. 1-4 классы

Пособие для учителей. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 80 с. — (Школа России).

pdf (яндекс.диск)

Рудницкая В.Н. Контрольные работы по математике: к учебнику Моро М.И. и др. Математика. 1 класс

М: Экзамен, 2014. — 128 с.

pdf (яндекс.диск)

Рудницкая В.Н. — Контрольные работы по математике. 2 класс — 2012 pdf

М.: Экзамен, 2012. — 127 с. — ISBN 978-5-377-04439-0.

Рудницкая В.Н. Контрольные работы по математике: к учебнику Моро М.И. и др. Математика. 3 класс

10-е изд., стер. — М.: Экзамен, 2013. — 126 с. — ISBN 978-5-377-05663-8.

pdf (яндекс.диск)

Рудницкая В.Н. Контрольные работы по математике. 4 класс. 

К учебнику Моро М.И. и др. «Математика. 4 класс (в 2-х частях)». — 11-е изд., перераб. и доп. — М.: Экзамен, 2014. — 64 с+80 с.

Часть 1. pdf (яндекс.диск)

Часть 2. pdf (яндекс.диск)

Рудницкая В.Н. Математика. 1 класс. Контрольные измерительные материалы

2—е изд., перераб. и доп. — М.: Экзамен, 2014. — 96 с. — Серия «Контрольно—измерительные материалы».

pdf (яндекс.диск)

Рудницкая В.Н. Математика. 2 класс. Контрольные измерительные материалы

2-е изд., перераб. и доп. — М.: Экзамен, 2014. — 96 с. — (Контрольные измерительные материалы). 

pdf (яндекс.диск)

Рудницкая В.Н. Математика. 3 класс. Контрольные измерительные материалы

М.: Экзамен, 2014. — 96 с.

pdf (яндекс.диск)

Рудницкая В.Н. Математика. 4 класс. Контрольные измерительные материалы

М.: Экзамен, 2014. — 96 с.

pdf (яндекс.диск)

Бахтина С.В. Поурочные разработки по математике. 1 класс: к учебнику М.И. Моро и др. Математика. 1 класс. В 2-х частях

4-е изд., стереотип. — М.: Экзамен, 2012. — 319 с.

 pdf (turbobit.net)

pdf (dropbox.com)

Самостоятельные работы по математике. 4 класс. К учебнику Моро М.И. и др. Самсонова Л.Ю. zip

Математика. 2 класс. Поурочные планы по учебнику М.И. Моро

М.: 2011. — 508 с.

pdf (яндекс.диск)

Математика. 4 класс. Поурочные планы к учебнику М.И. Моро и др.

М.: 2011. — 381 с.

pdf (яндекс.диск)

Календарно-тематическое планирование к учебнику «Математика», авт. М.И. Моро и др.

1 класс

2 класс

3 класс

4 класс

Поурочные разработки к учебнику «Математика 1 класс» М.И. Моро и др.

1 класс

2 класс

3 класс

4 класск

Учебно-методические материалы 1 класс к учебнику математики автора Моро

1 класс

2 класс

3 класс

4 класс

Планируемые результаты по итогам обучения школьников математике

1 класс

2 класс

3 класс

4 класс

 Математика. Рабочая программa doc, (151 Kb) к учебникам М.И.Моро

 Пояснительная записка к завершенной предметной линии учебников «Математика» для 1—4 классов общеобразовательных учреждений Авторы: М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова, С.В. Степановa doc, doc (128 Kb)

 Технологические карты по Математике 1 класс

ГДЗ по математике за 2 класс Моро, Бантова, Бельтюкова. Ответы и решебник к учебнику часть 1, 2.

Страница 4. Письменные вычисления:

Страница 5:

Страница 6:

Страница 7:

Страница 9. Угол. Виды углов.

Страница 10:

Страница 12:

Страница 13. Странички для любознательных:

Страница 14. Прямоугольник:

Страница 15:

Страница 16:

Страница 17:

Страница 18:

Страница 19:

Страница 20. Странички для любознательных:

Страница 22. Что узнали. Чему научились:

Страница 28. Странички для любознательных:

Страница 29:

Страница 30:

Страница 31:

Страница 32:

Страница 33:

Страница 34. Квадрат:

Страница 35:

Страница 38. Странички для любознательных:

Страница 40. Что узнали. Чему научились:

Страница 46. Странички для любознательных:

Страница 48. Умножение:

Страница 49:

Страница 50:

Страница 51:

Страница 52:

Страница 53:

Страница 54:

Страница 55:

Страница 56:

Страница 57:

Страница 58. Деление:

Страница 59:

Страница 60:

Страница 61:

Страница 62:

Страница 63. Что узнали. Чему научились:

Страница 64. Странички для любознательных:

Страница 71. Странички для любознательных:

Страница 72:

Страница 73:

Страница 74:

Страница 75:

Страница 76:

Страница 77:

Страница 78. Проверим себя и оценим свои достижения. Вариант №1:

Страница 79. Проверим себя и оценим свои достижения. Вариант №2:

Страница 80. Табличное умножение и деление:

Страница 81:

Страница 82:

Страница 83:

Страница 84:

Страница 85:

Страница 86. Странички для любознательных:

Страница 88. Что узнали. Чему научились:

Страница 90:

Страница 91:

Страница 92:

Страница 93:

Страница 94:

Страница 95. Странички для любознательных:

Страница 96. Что узнали. Чему научились:

Страница 100. Проверим себя и оценим свои достижения. Вариант №1:

Страница 101. Проверим себя и оценим свои достижения. Вариант №2:

Страница 102. Что узнали, чему научились во 2 классе?:

Страница 103:

Страница 104:

Страница 106:

Страница 109:

Страница 110. Тексты для контрольных работ. Задания базового уровня:

Страница 111. Тексты для контрольных работ. Задания повышенного уровня:

Гдз по математике 3 класс моро бантова бельтюкова волкова и степановна 1 часть :: highmelabel

06.12.2016 19:58

В. Есть вопросы. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн без скачивания с компьютера и мобильных устройств. Решебник по математике 3 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе. Моро М. И., 1 часть, 2 часть. Готовое домашнее задание ГДЗ по. Готовые домашние задания ГДЗ по математике для 1 11 классов:. Напиши в комментариях справа. ГДЗ ответы на вопросы к учебнику и рабочая тетрадь по математика 3 класс Моро, Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть ФГОС от Путина. Волкова Светлана. Моро, Волкова, Бантова, Бельтюкова, СтепановаМатематика.3 класс. В. Математика.3 класс. Учебник. В 2 х частях. Часть 1. РИТМ. ФГОС 1 фото.

1 11 классов:. Математика.1 класс.2 части. Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Гг. Математика.3 класс.2 части. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. Часть 2011. Гдз по. Решебник готовое домашнее задание. Здесь представлены ответы к учебнику и рабочая тетрадь по математика 3 класс Моро, Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть. Часть В корзину. Математика.1 класс. Учебное пособие М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова. Моро М. И. М. А., Бельтюкова Г. В., Степанова С. В., Волкова С. И., 2011. Онлайн решебник 2011 года содержит 2 части решенных заданий из учебника Моро, Бантова, Бельтюкова. Моро.

Бельтюкова Г. В. Задача 11 часть 1на рис. Представлено решение задачи 11ответы, гдз и решебник онлайн. Математика 1 класс, Моро М. И.,. Степанова С. В. Часть 1, Часть 2, Часть 3, Задачи на повторение. ГДЗ решебник по математика 3 класс Моро 1 и 2 частьлучший онлайн. Математика, 3 класс, Часть 2, Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. ГДЗ 3 класс по математике по учебнику в двух частях автора Моро М. И. Учебник Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. И др. Просвещение. Иллюстрации к книге Моро, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Степанова. Также смотрите разделы связанные с разделом ГДЗ по Математике:. К. Готовые домашние задания ГДЗ по математике для.

Класс моро бантова бельтюкова волкова степанова. Часть 2 из 2 . Математика 3 класс М. И. Моро. Подробные гдз и решебник по Математике для 3 класса, авторы учебника: М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова на год. Что узнали, чему научились в 3 классе. Математика 3 класс,. Гдз по математика 3 класс часть 2 м и моро м а. Публикуем для Вас ответы к учебнику и рабочая тетрадь по математика 3 класс Моро, Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть. Спишите домашнюю работу к учебнику Моро из ГДЗ по математике за 3 класс. Математика.1 класс.2 части. Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С.

М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика.1 класс. Часть 1.2011. Математика, 1 класс, Часть 1, Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В., 2009. Решебник: Математика 3 класс Моро М. И, Волкова С. И, Степанова С. В Домашняя работа по математике 3 класс Моро. Ответы учебник по математике 3 класс моро бантова 1 часть. Ответы и решения на задания на сайте ЯГДЗ из рабочей тетради 3 класс Моро позволят. Введите в форму поиска название нужного вам ГДЗ или часть текста задания, вопроса и получите свой решебник. Главная. ГДЗЕЙКА. КОМ. ГДЗ математика 3 класс Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Решебник к учебнику и рабочей тетради. Гдз по математике 3.

Неработоспособность 3 класс в 2 х рукавицах часть 1 день фгос. Часть 2 из 2 М. И. Моро. Степанова С. В. Волкова С. И. Моро М. И., 2 е изд., перераб. И доп. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Ивановна. Здесь представлены ответы к учебнику и рабочая тетрадь по математика 3 класс Моро, Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть. Рабочая тетрадь Волкова. Получайте только отличные оценки на уроках при помощи онлайн решебников с нашего сайта. Волкова Светлана Ивановна. Бельтюкова Г. Домашняя работа ответы к учебникуМатематика 3 класс в 2 х частях Моро М. И.,Бантова М. А.,Бельтюков Г. В.,Волкова С. И., Степанова С. В. Готовая домашняя работа для учебника по математике 3 класс Моро М. И., Бантова М. А.,.

Вместе с Гдз по математике 3 класс моро бантова бельтюкова волкова и степановна 1 часть часто ищут

гдз по русскому языку 3 класс.

математика 3 класс демидова.

гдз по математике 3 класс рудницкая.

математика 3 класс задачи.

математика 3 класс примеры.

гдз по математике 3 класс петерсон.

гдз по математике 7 класс.

гдз по математике 2 класс

Читайте также:

2500 задач по математике 1-4 классы узорова нефёдова читать

Гдз галицкий №

Гдз по алгебре авторыа.г.мордкович, л.а.александрова, т.н.мишустина, е.е.тульчинская за класс

Анализ задач на сложение и вычитание слов в американских и советских учебниках элементарной математики на JSTOR

Редакция и редакционная коллегия «Познания и обучения» вспоминают увещевание историка науки де Соллы Прайса рассматривать научные рассуждения как «творческое мышление обо всем без каких-либо ограничений». Мы предлагаем работы, которые творчески рассматривают проблемы в познании и обучении, наряду с доказательствами, которые позволили бы другим участвовать в упражнении такого воображения.Учитывая, что методологии являются инструментами теории, мы предлагаем внимательно рассмотреть, как методы и теории рефлексивно конституируются в отчетах об обучении и обучении. Помня о том, что образование долгое время считалось профессией дизайнера, мы больше всего заинтересованы в развитии прагматических теорий, которые предлагают эмпирически обоснованные отчеты о познании в определенных контекстах, таких как школы, музеи и рабочие места. Мы приглашаем рукописи, которые: систематически исследуют дизайн, создание, функционирование и поддержку инновационных контекстов для обучения; исследовать рост и развитие интереса и идентичности в этих контекстах; изучить, как социальные практики, особенно в профессиях, влияют на познание; описать деятельность преподавания в поддержку обучения; продвигать наше понимание когнитивных процессов и их развития, поскольку они происходят в предметных областях и в разных контекстах, таких как лаборатории, школы, профессии и неформальные места обучения; проанализировать природу свободного и квалифицированного познания, включая профессиональный опыт, в важных областях знаний и работы; изучать взаимодействие учащихся с инновационными инструментами, разработанными для поддержки новых форм грамотности; и внести свой вклад в построение теории и образовательные инновации.Приветствуются исследования, изучающие познание и обучение с использованием разных размеров зерна и с использованием смешанных методов. Кроме того, рассматриваются предложения по тематическим специальным выпускам.

Красота и интуиция в преподавании математики

Аннотация

i

Интуиция была определена как случайное возникновение и развитие событий в счастливой и полезной
способ. Beauty описывается в одном словаре как «сочетание качеств, таких как форма, цвет или форма,
доставляющее удовольствие чувствам или приятное возвышение ума или духа ». В этой статье приведены примеры того, как эти
два аспекта опыта повлияли на то, что я хотел бы видеть в классах математики и в моей учебной программе
работа по развитию, чтобы породить их, до и через работу математики школы Чикагского университета
Проект.

Введение

ii

Возможность написать эту статью возникла из-за того, что я получил одну из двух премий ISDDE 2017 года за пожизненные достижения в
разработка и разработка учебной программы, другая — Кей Стейси. Этот документ основан на представленном пленарном докладе.
на конференции ISDDE 2018 года в Голуэе, Ирландия.

Я бы не получил эту награду без работы многих других людей. Принято говорить, что мы работаем над
плечи гигантов, но на самом деле мы работаем у ног таких людей, как Поля, Фройденталь или Кляйн, а
многочисленные великие математики и преподаватели на протяжении веков и во всем мире, которые создали область, которая является нашей
детская площадка.Но мы работаем плечом к плечу с нашими коллегами, коллегами и студентами, от которых
мы многому учимся, и их труды нам помогают.

Получение этой награды особенное, потому что она исходит от моих коллег. Я хочу поблагодарить членов
наградный комитет, и особенно благодарю Боба и Барбару Рейс за их работу по составлению документов для моего
номинации и тем, кто написал письма поддержки. Эти люди внесли непосредственный вклад в мое получение этой награды.Но есть десятки других людей — нет, сотни других людей — без которых я бы не стоял раньше.
ты. Некоторые будут указаны здесь, но я не могу назвать их всех.

Меня бы здесь не было, если бы не интуитивная интуиция, многие удачные обстоятельства, которые пришли ко мне без всякой работы
в моей части. Поэтому я решил сделать интуитивную прозорливость одной из тем своих замечаний.

Удачная география

iii

Я родился в Чикаго и, окончив среднюю школу, поступил в ведущий университет моего штата, Университет Иллинойса, потому что туда учился мой брат.За много лет до этого я решил, что хочу преподавать математику.

Мой первый образовательный курс назывался «Введение в образование», и я был в секции для будущих учителей математики. Учителем в этом классе был Кеннет Хендерсон, профессор математического образования и одаренный учитель. Несколько лет спустя среди его докторантов были Джон Досси и Том Куни. Предмет этого класса включал подробное изучение материалов средней школы, разработанных Комитетом по школьной математике Университета Иллинойса (UICSM).UICSM, начатый в 1951 г. Максом Беберманом (Beberman, 1958), был первым из проектов «новой математики» в Соединенных Штатах (Kinsella, 1965).

Материалы UICSM (UICSM, 1959; Beberman and Vaughan, 1964) начались с урока, который в свое время был известен, переписки рукописным письмом между студентом из Соединенных Штатов и студентом на Аляске, в котором первый студент хочет чтобы помочь студенту с Аляски и, чтобы определить потребности студента с Аляски, задает студенту с Аляски несколько вопросов.

Среди них: «Убери 2 из 21.» Студент с Аляски пишет «1». «Сколько раз 3 переходит в 8?» Аляска
студент отвечает «дважды». «Напишите число больше 4.» Студент с Аляски пишет 4 .

Целью урока было показать, что то, что вы пишете, является представлением концепции числа, а не самого числа. И то, что вы пишете, является числом, и этот урок научил различать число и число. Никто из нас, студентов университета, никогда не задумывался об этом различии.

UICSM очень осторожно использовал язык, но переборщил с этой конкретной идеей. Письмо, такое как
x , используемое в уравнении, называлось не переменной, а местоимением , потому что оно означало
числительное так же, как местоимение заменяет существительное. Описание алгебраических свойств, таких как
распределительному свойству умножения над сложением предшествовали кванторы: ∀ a , ∀ b , ∀ c , a ( b + c ) = ab + ac.Существование личности было
описывается: ∃ b ∋∀ a , a + b = a . Тщательно основывая решение уравнений и манипуляции с алгебраическими выражениями на этих
свойств, UICSM принес математические системы и доказательства в изучение алгебры, идеи, которые ранее не
был частью исследования этого предмета.

Мне понравился подход. Но более того, мне нравился тот факт, что к математике, которой меня учили одним способом, можно было подойти совершенно иначе.UICSM научил нас, что это не только нормально, но и более того, что это было ценно, — внимательно смотреть на то, чему учат, потому что тщательное изучение математики может привести к лучшему лечению.

В стране есть всего несколько других университетов, в которых я мог бы получить аналогичный урок. И почему я получил это образование? Потому что Иллинойс был моим государственным университетом, и мой брат учился там. Это случайность, случайное возникновение и развитие событий счастливым или благоприятным образом .

UICSM организовал алгебру последовательным образом. Это было красиво. Больше не нужно изучать изолированные правила. Все можно проследить до свойств поля действительных чисел.

Пять лет спустя, когда я стал штатным учителем, я преподавал, используя материалы, на которые сильно повлиял SMSG, крупнейший из новых математических проектов в США. Подобно материалам штата Иллинойс, SMSG проследила свойства, используемые в алгебре, до свойства поля действительных чисел. Не такой строгий подход, как UICSM, но опять же проявление возможности подойти к стандартному курсу математики существенно иным способом, чем существовавший ранее, способом, который был математически более последовательным, чем я когда-либо видел.Он отвечал критерию красоты, так как радовал мои чувства и возносил мой разум и дух. Красота математики позволяет иметь красивые уроки, разделы и курсы по математике.

Воспользовавшись интуицией

iv

Несколько лет назад я наблюдал, как одна из моих магистрантов преподавала в классе 12 вместе со своей ученицей.
опыт преподавания.Темой дня было построение графиков в полярных координатах, и одним из примеров было построение графиков в полярных координатах.
кардиоидный (см. рисунок 1).

Кардиоида получила свое название, потому что она имеет форму сердца. Сидя в глубине комнаты, я понял, что свидание
этот день как раз случилось 14 февраля ^-го года, День святого Валентина в США (и во многих других странах по всему миру).
мир). И поэтому я ждал, пока этот студент-учитель укажет, что эта кривая примерно напоминает сердце на
Валентинка.

О связи никогда не упоминалось. Это был традиционный класс предварительного вычисления, в котором связи между математикой и реальным миром почти полностью отсутствовали, и здесь был шанс показать хотя бы небольшую часть связи, и возможность была упущена. Это совпадение, что эта тема попала в День святого Валентина. Это была возможность для интуитивной прозорливости, случайная встреча, которая, я думаю, обрадовала бы студентов.

Конечно, сердце Валентина не совсем похоже на кардиоиду, поэтому люди экспериментировали с различными
математические выражения для отображения графиков, которые больше похожи на валентинки или сердечки на игральных картах.На рисунке 2 показаны некоторые из разнообразных выражений, образующих кривые, напоминающие кривые валентинки.
сердце. Мне особенно нравится средняя кривая в верхнем ряду, график уравнения 6 ^th градусов в x и
y с довольно кратким алгебраическим описанием. При соответствующем масштабировании он почти соответствует валентинке.
сердце. Это прекрасный с эстетической точки зрения пример того, как алгебра может математически моделировать реальные объекты.Хорошо продуманная учебная программа даст учащимся понять, что математика может моделировать даже сложные
геометрические фигуры. И он покажет или приведет ученика к другим красивым кривым с красивыми математическими
описания.

Источник: Weisstein, Eric W. Heart Curve. Из MathWorld — Интернет-ресурс по Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html

Как этот ученик-учитель мог пропустить связь между кардиоидой и Днем святого Валентина? Одна из причин в том, что
наиболее распространенное размещение кардиоиды — с горизонтальной линией симметрии.Другая причина в том, что кардиоида
в учебной программе, потому что она дает хороший пример кривой, описанной в полярных координатах r и
θ , а не x и y , а не из-за его связи с сердечками или валентинками. Рутина
и традиции часто мешают интуиции и часто приучают нас к красоте того, чему мы учим.

Элегантность преобразований

v

Красота в математике принимает разные формы.Одна из форм — elegance . Будучи докторантом
В Мичиганском университете я искал темы, по которым я мог бы написать диссертацию, и Джозеф (Джо) Пейн, мой
советник, посоветовал мне изучить использование таких преобразований, как отражения, вращения, переводы и
так далее, в геометрии. Я изучил идею, и она мне понравилась. Меня очаровала элегантность определения
совпадающие цифры в этом подходе. В традиционном подходе требуется другое определение конгруэнтности для
каждый разный тип фигуры.Используя преобразования, нужно только одно определение. Таблица 1 показывает это.

Джо сказал, что эта идея заинтересовала не его, а Арта Коксфорда, молодого профессора университета. Арт подумал, что это может быть обычная диссертация по учебной программе — напишите 3-недельный или 6-недельный блок, попробуйте его и сравните с традиционными классами, чтобы увидеть, есть ли какие-либо различия, но к этому времени мы с Кеном Хендерсоном уже успели уже написал рукопись для годичного предварительного расчета (Henderson, Usiskin & Zaring, 1971).Я утверждал, что трехнедельные и шестинедельные блоки никогда не влияют на то, что изучается в более общем плане, поэтому мы должны написать годичный курс с использованием преобразований. И поэтому мы решили, что в течение следующего учебного года мы будем писать вместе, и каждый из нас будет пилотировать полный год 10 ^{-го класса геометрии} , используя то, что мы написали.

Летом снова вспыхнула интуиция. Я работал помощником директора в летнем институте учителей Национального научного фонда США (NSF).В служебной библиотеке режиссера Фила Джонса я нашел книгу с использованием преобразований Transformatiemeetkunde , написанную голландской командой под руководством Рудольфа Трельстры (Troelstra, Haberman, deGroot & Bulens, 1965). В этой книге первое, что было сделано с фигурой, — это доказать ее симметрию, из которой можно автоматически получить многие другие свойства.

Например, одна из первых теорем, изученных в геометрии средней школы, заключается в том, что базовые углы равнобедренного
треугольник конгруэнтны, т.е., у них такая же мера. При традиционном подходе разделяем равнобедренные
треугольник на два треугольника, проведя отрезок от угла при вершине до середины основания
(Рисунок 3а).
Два образованных таким образом треугольника совпадают по SSS (сторона-сторона-сторона) и углам основания, являясь соответствующими
углы этих треугольников, таким образом, должны совпадать. В подходе преобразования мы заключаем, что треугольник
собственное изображение под отражением над этой биссектрисой, и поскольку один базовый угол является изображением другого, они должны
быть конгруэнтным (рис. 3b).

Подход с преобразованием основан на нашей интуиции относительно отражательно-симметричных фигур и может быть применен к
получить некоторые основные свойства параллелограммов, прямоугольников, квадратов, правильных многоугольников, конических сечений и многих других
другие цифры (Coxford & Usiskin, 1971, 1972). Этим способом,
преобразования представляют собой элегантный и интуитивно понятный способ приближения к евклидовой геометрии, подходящий не только для
студенты, которые будут больше изучать математику, но также для студентов, которым трудно визуализировать и организовывать
свойства фигур.В моей докторской диссертации, предпринятой на основе пересмотра пилотных материалов, сравнивались
успеваемость и отношение 425 студентов, использующих эти материалы, 475 студентов, использующих традиционную геометрию
материалы (Усискин, 1972). Коммерческое издание включило в себя еще
доработка по результатам диссертационного исследования.

Разработка курса Геометрия — подход к трансформации произошла в конце 1960-х годов, незадолго до того, как рисунки Эшера стали известны в США.S.A. Когда в 1971 году появилось коммерческое издание, Гарольд Джейкобс поместил рисунок Эшера на обложку своей знаменитой книги Mathematics — A Human Endeavor (1971). Вскоре работу Эшера заметили повсюду, слово мозаика вошло в наш словарный запас, и мы увидели совпадающих лошадей, птиц, рыб и всевозможные другие фигуры. Красивое искусство и красивая математика.

Исследование паттернов

vi

Ряд людей охарактеризовали математику как изучение закономерностей , то есть изучение сходства.
в структуре.Возможно, наиболее известные работы по математике и шаблонам принадлежат Г. Харди (1940).

«Математик, как художник или поэт, создает узоры … Математические узоры, как и узор художника или поэта, должны быть красивыми, идеи, такие как цвета или слова, должны гармонично сочетаться друг с другом. . Красота — это первое испытание; в мире нет постоянного места для уродливой математики ».

Особенно приятно осознавать, что некоторые математические свойства, которые выглядят по-разному, являются экземплярами одного и того же паттерна.Но в этом плане математика вовсе не уникальна. Исследователи во всех областях ищут общие черты. Что делает математика, так это описывает модели алгебраически или геометрически, а затем изучает сами закономерности, часто не обращая внимания на их происхождение.

Описания узоров настолько запечатлелись в нашем сознании, что буквы, которые мы используем, — это все, что нужно для обозначения
параметр. В качестве примера в таблице 2 показаны шесть математически идентичных уравнений.В каждом произведении
два числа — это третье число. Они различаются только буквами, используемыми для обозначения цифр, но этого достаточно, чтобы
дайте нам знать, какую ситуацию они описывают. Читатель может захотеть охватить правый столбец этой таблицы.
и угадайте, что представляет собой каждое уравнение в левом столбце.

Другой пример значения букв связан с построением парабол, что является темой во всех США.
тексты по алгебре, обычно на втором году обучения алгебре.Студенты узнают, что вершина параболы с
уравнение y = ( x + 3) ² + 5 можно увидеть в его уравнении. Сегодня они могут даже связать алгебру с геометрией, а именно с тем, что граф
of y = ( x + 3) ² + 5 — это преобразованное изображение параболы с уравнением y = x ² . Чего они не узнают из большинства американских учебников, так это того,
общая теорема, применимая ко всем переводным изображениям (Usiskin, 1975).В отношении, описанном предложением в
x и y , следующие два процесса дают один и тот же график: (1) замена x на
x — h и y по y — k ; (2) применение трансляции T ( x ,
y ) = ( x + h , y + k ) к графику исходного отношения. Некоторые
Следствия этой теоремы о переносе графов показаны в таблице 3.

Непосредственные следствия теоремы о переводе графов пронизывают многие темы математики в старших классах. Однако,
они замаскированы, потому что конкретные буквы h и k , которые сигнализируют о величине
перевод обычно появляется только с кругом и параболой. Такие символы, как x ₀ , y ₀ , m ,
и b , и большинство студентов не понимают, что все следствия являются частными случаями одного и того же
теорема.Им не говорят, что графики функций синуса и косинуса конгруэнтны, и что графики всех
экспоненциальные и логарифмические функции с одинаковым основанием конгруэнтны. В США на протяжении многих десятилетий
полемика относительно того, что лучше иметь трехлетнюю последовательность алгебра-геометрия-алгебра или то, что называется
интегрированная последовательность. Вот замечательный пример интеграции алгебры и геометрии, которая должна быть в обоих
последовательности, но, насколько мне известно, можно найти только в материалах UCSMP.Но основа была сделана задолго до UCSMP.
существовал.

Переводы координатных графов, которые являются предметом теоремы о переносе графов, выполняются
добавление фиксированных значений к координатам прообраза. Красивая соответствующая мультипликативная структура дает
растягивает и сжимает графики. Мы называем эту теорему теоремой об изменении масштаба графа (Usiskin, 1975;
Рубинштейн, Шульц, Сенк, Хакворт, МакКоннелл и Виктора, 1992).В отношении, описанном предложением x и
y , следующие два процесса дают один и тот же график (1) с заменой x на x / a и
y по y / b ; (2) применение изменения масштаба T ( x , y ) = ( ax ,
на ) к графику исходного отношения.

Там, где мы складывали раньше, мы умножаем здесь. То, что мы вычитали раньше, мы делим.Опять же, есть множество полезных
следствия, наиболее частые из которых приведены в таблице 4. Следствием этого является то, что все параболы
похоже, что все прямоугольные гиперболы похожи, и что графики всех экспоненциальных и логарифмических функций
похожи вне зависимости от базы. При создании учебной программы для студентов я счел важным включить эти
чудесные объединяющие теоремы — красивая элегантная математика.

Приближение к алгебре через приложения

vii

Пока я разыгрывал учебные проявления прекрасной математики матриц и связанных групп
с преобразованиями мой коллега из Чикагского университета Макс Белл писал о фундаментальных
важность приложений в изучении математики (Bell, 1972).Максимум
был мощным сторонником включения реального мира в класс математики. Он утверждал (как
Торндайк,
Cobb, Orleans, Symonds, Wald & Woodyard. (1923)
десятилетия назад утверждал), что традиционные «проблемы со словами»
(или «сюжетные задачи»), встречающиеся в текстах по алгебре — те, которые имеют дело с монетами, возрастом или целыми числами, — не были
актуальные приложения. Я убедился, что он прав.

В то время около трех четвертей выпускников средних школ в США.S.A. закончили один год алгебры, и только половина из них закончила второй год, однако книги для этих двух курсов были написаны в том же стиле, как если бы они были для одного и того же населения. Я чувствовал, что им нужны разные стили; первый курс должен был понравиться всем. Итак, в 1973 году я подал заявку и получил грант NSF на разработку начального курса алгебры, в котором алгебра будет разрабатываться на основе приложений, а также будут учитываться вероятность и статистика. Я нашел типичную школу и наладил отношения, как и в других местах, а именно: вести урок алгебры каждый день в течение всего года, а кто-то другой преподает тот же урок позже в тот же день классу таких же учеников.

Как начать такой курс? Макс писал об использовании чисел и использовании четырех основных арифметических операций, поэтому я начал с этого и расширил обсуждение до использования переменных. Это, естественно, приведет к реальным ситуациям, приводящим к выражениям и линейным уравнениям типа a + x = b , ax = b , ax + b = c x + d , и в различных проявлениях свойства распределения, построении графиков линий и, расширяя умножение до целых степеней, обсуждение может привести к сложному проценту и экспоненциальным функциям.Квадратичные выражения и уравнения могут обрабатываться стандартными приложениями для подсчета, площади и ускорения.

Но я понятия не имел, как использовать приложения для получения полиномиальных выражений. А потом, в этом классе 9 ^{-го класса} ,
когда мы обсуждали сложные проценты, студент поднял руку с вопросом. Он сказал: «Я перебирал
домашнее задание с моим отцом, и он спросил меня, имеет ли эта математика какое-либо отношение к сумме, которую мы платим за наши
ипотечный кредит.Я подумал: «Его отец решил мою проблему». Отсюда урок по введению многочленов, которые я
ни разу не видел никого копировать. Урок начинается со следующей задачи (Usiskin, 1979), показанной здесь в
Рисунок 4.

После того, как решение дается на уроке, ответ анализируется (как показано на рисунке 4), и различные компоненты полиномиального выражения изменяются, чтобы показать вклад коэффициентов и показателей.На этом этапе обучения общая формула для расчета стоимости ипотеки не является разумной, поскольку для этого требуется некоторое знание суммы конечного геометрического ряда. Но зародыш идеи здесь.

Я не знаю, как бы я подошел к полиномам в этом курсе, если бы этот студент не передал мне вопрос своего отца. Я знаю, что это был один из многих случаев, когда на содержание моих писем значительно повлияло то, что происходило в классе, когда я преподавал.Обучение увеличивает вероятность того, что произойдет что-то неожиданное.

Интуиция и статистика

viii

Сорок лет назад статистика в школьных учебниках по математике в США относилась только к вычислению среднего, медианы и модуляции, обычно выполнявшемуся в 7 и 8 классах перед старшей школой. Но в поисках реальных приложений математики, включающей алгебру, я все время натыкался на статистику.

Serendipity поместила Билла Краскала в мой факультетский квартал.Билл был профессором статистики в Чикаго, в прошлом возглавлял этот факультет и был одним из первых членов объединенного комитета NCTM и Американской статистической ассоциации по статистике в школах. Я спросил Билла, посмотрит ли он статистику в материалах по алгебре, которые я создавал, и он согласился.

Билл был крутым читателем. Он нацарапал всю мою рукопись. Он утверждал, что статистика — это не подмножество математики. Это прикладная математика, такая как исследование операций или физика, потому что проблемы в статистике возникают не в математике, а для того, чтобы проводить статистику, человеку необходимо знать не только математические, но и соответствующие области.

Билл гордился тем, что работал статистиком в Чикаго. В Чикаго отдел статистики отделился от математического вскоре после Второй мировой войны, и факультет статистики твердо верил, что статистика — это самостоятельная дисциплина. Первые строки книги Природа статистики (Wallis & Roberts, 1954) подтверждают эту точку зрения.

«Статистика — это совокупность методов для принятия мудрых решений в условиях неопределенности… Эта современная концепция
тема далека от той, которой обычно придерживаются миряне.Действительно, даже пионеры статистических исследований
принял его только в течение последнего десятилетия или около того ».

(Уоллис и Робертс, 1954 г.)

Для разработчиков учебных программ это различие заслуживает внимания. В текстах по математике часто используются термины теоретическая вероятность и экспериментальная вероятность, чтобы различать, например, (теоретическую) вероятность подбрасывания честной монеты (½) и то, что вы получаете, когда подбрасываете монету (что-то около ½).Билл Краскал утверждал, что все вероятности являются теоретическими и что то, что математики называют экспериментальной вероятностью , более точно описывается как относительная частота .

В книгах часто возникают проблемы со следующей формулировкой: Если вы бросите честный кубик, какова вероятность выпадения 3 орлов подряд? Статистики сказали бы, что нельзя бросить честный кубик. Абсолютно невозможно определить, является ли кубик честным или нет. Вы можете только представить, что бросает честный кубик.Вы можете предположить, что игральная кость справедлива , а затем рассуждать на основании этого. Больше чем семантика. С этой точки зрения вероятностные задачи представляют собой прекрасные примеры вывода из предполагаемых утверждений.

Статистика эволюционировала за последние четыре десятилетия. Более актуальное определение звучит так: «Статистика — это наука о данных». (Йейтс, Мур и Старнс, 2003 г.).

Применение арифметики

ix

Десятилетие 1970-х было временем спада в математическом образовании в Соединенных Штатах, что очень похоже на наше нынешнее десятилетие.За исключением моего проекта по алгебре, NSF больше не финансировал разработку учебных программ по математике. Реакция на « новую математику » шестидесятых годов во многом была вызвана бихевиоризмом, в результате чего многие школы сосредоточились на поведенческих или производственных задачах, которые в основном были манипулятивными навыками в арифметике и алгебре, не слишком отличавшимися от сегодняшнего Common Core (Центр ассоциации национальных губернаторов). for Best Practices, Совет директоров государственных школ, 2010 г.). Запрограммированные учебные материалы разбивали учебную программу на небольшие этапы, не слишком отличавшиеся от сегодняшнего адаптивного формирующего и суммативного тестирования.И все это в одно десятилетие с появлением портативных калькуляторов. Чему можно было научить, если калькуляторы могли делать все арифметические операции?

В 1976 году нас с Максом Беллом попросила написать эссе по этому вопросу Мэрилин Суйдам, которая вместе с Диком Шамуэем из Университета штата Огайо писала для NSF отчет об электронных калькуляторах (Suydam, 1976). Наше эссе объемом 75 страниц было приложением к этому отчету. И мы только поцарапали поверхность. Итак, мы обратились в NSF за грантом для написания материалов о применении арифметики, поскольку мы чувствовали, что с калькуляторами основное внимание в учебной программе должно уделяться использованию арифметики, а не арифметическим алгоритмам.В результате появилась рукопись объемом более 500 страниц (Usiskin & Bell, 1983), которую мы разделили на три части: числа, операции и маневры (переписывание, оценка, преобразование, отображение).

Когда мы писали эту рукопись, стало очевидно, что назвал свойств операций
арифметика в книгах — это чистая математика: умножение ассоциативно и коммутативно, имеет тождество 1, является
распределительный над сложением и т. д.Но фундаментальный использует операций, которым не дается такой вид
статус. Мы назвали эти значениями использования , и основные из них показаны в таблице 5.
(Из Usiskin & Bell, 1983)

Наше мнение заключалось в том, что, поскольку именно эти значения использования сделали операции важными вне математики, они были истоком абстракций, которые создали математику, и что значения использования должны быть свойствами, которым учат студентов с такой же важностью, как и чисто математические свойства. которые есть в учебной программе.

Другие (например, см. Carpenter, Moser & Romberg, 1982; или Stigler, Fuson, Ham & Kim, 1986) подробно описали больше видов словесных задач, связанных с арифметическими операциями, чем мы, но наша точка зрения была с точки зрения основных значений из которого могут быть получены другие значения. В результате получается очень хорошее сочетание чистой и прикладной математики. Например, очевидно, что объединение и вынос отменяют друг друга, но то же самое происходит с изменением размера и соотношения. То есть, если две одинаковые фигурки имеют высоту 15 и 25 см, то деление на пропорции говорит нам, что большая фигурка составляет 5/3 высоты меньшей.Число 5/3 — коэффициент изменения размера; если мы умножим 15 на 5/3, мы получим 25. Точно так же и коэффициент ставки, и действие при умножении возникают из деления ставки. Если мы не раскроем эти способы использования, мы будем учить точно так же, как этот ученик-учитель с кардиоидой; пользователи смотрят нам в глаза, но мы их игнорируем.

Теория Ван Хиле

x

Примерно в это время Исаак Виршуп, профессор математики в университете, рекламировал теорию сцены, разработанную Пьером ван Хиле и Диной ван Хиле-Гельдоф, учениками Ганса Фройденталя в Нидерландах.Виршуп сообщил, что эту теорию использовал советский математик Пышкало при построении учебной программы для молодых студентов. Исследователи из США были увлечены теорией, которая предполагала, что ученик должен пройти следующие этапы в понимании геометрии и в таком порядке: признание, анализ, порядок, дедукция и строгость.

Теория изящная. Учащийся не может быть на уровне Ван Хиле n , не пройдя уровень n -1.То, что является внутренним на уровне n -1, становится внешним на уровне n . На каждом уровне есть свои лингвистические символы и своя сеть взаимоотношений. Два человека, рассуждающие на разных уровнях, не могут понять друг друга. Эта теория была использована для объяснения некоторых трудностей, с которыми студенты сталкивались в то время типичном для средней школы курсе геометрии в США

.

Я скептически относился к этой теории, особенно к первому свойству. Я чувствовал, что не прошел через эти стадии, как и многие другие представители моего поколения.В те дни студенты углублялись в изучение геометрии на уровне 3 или уровне 4. Мы с Шэрон Сенк, в то время докторантом, решили подать заявку на финансирование от Национального института образования на тест теории. Мы разработали грубый тест вопросов для каждого уровня, основанный на трудах Пьера и Дины ван Хиле, и провели его лично, когда он посетил Чикагский университет. Мы провели тест около 2400 студентов-геометров в 5 штатах США и обнаружили, как и предсказывал Виршуп, большинство студентов были на уровнях 1 и 2, и нельзя было ожидать, что они преуспеют в ориентированном на доказательства курсе геометрии.Мы также обнаружили, что есть студенты, которым нельзя присвоить уровень. Уровни разумно предсказывали успеваемость по курсу геометрии, как и простой тест содержания, проведенный в начале года.

Разработанный нами тест (Usiskin, 1982) был переведен как минимум на 10 языков и использован в десятках магистерских и докторских диссертаций. Диссертации. Практически каждый, кто использует тест, считает, что теория верна, и не считает, что наш тест был разработан для проверки теории.

UCSMP и Serendipity

xi

Моя связь с UCSMP возникла в результате того, что я снова оказался в нужном месте в нужное время. Осенью 1982 года, когда мы завершали исследование van Hiele и рукопись Applying Arithmetic , Изаак Виршуп работал над возможностью получения университетом 6-летнего гранта в размере 6 миллионов долларов от фонда Amoco Foundation. благотворительное подразделение Amoco Corporation (ныне BP), если бы мы были заинтересованы, и университет разрешил бы проект с такой беспрецедентной продолжительностью и финансированием.Не было очевидным, согласится ли университет на такой проект, потому что для чего-то такого масштаба требуется много офисных и рабочих помещений, а пространство — очень ценный товар в университете.

Изаак и Пол Салли из Департамента математики, я, Ларри Хеджес и Сьюзан Стодольски из Департамента образования встречались еженедельно до весны 1983 года. Мы предложили проект K-12 по математике, который будет основываться на проделанной работе. мир, чтобы создать и протестировать полную учебную программу по математике для подавляющего большинства U.С. студенты. Нас поддержали председатели наших отделов Феликс Браудер и Чарльз Бидуэлл. Два заведующих кафедрой, Изаак, Пол и я — пять профессоров — принесли наше дело ректору университета. Проректор сказал, что университет может позволить себе место для проекта стоимостью 5 миллионов долларов. Мы знали, что нам нужно в общей сложности около 12 миллионов долларов, чтобы сделать то, что мы планировали (что эквивалентно примерно 30 миллионам долларов сегодня), но мы не сказали об этом ректору. Проректор одобрил проект при условии, что фонд Amoco не сократит другие пожертвования университету.Фонд сдержал слово.

С самого начала мы разделили проект на четыре компонента: компонент ресурсов, возглавляемый Изааком, который будет переводить материалы из других стран для поддержки работы элементарного компонента в классах K-6 и второстепенного компонента в классах 7-12, и компонент оценки, возглавляемый Ларри и Сьюзен, для количественного и качественного исследования работы, проделанной компонентами уровня класса.

Было сочтено, что для того, чтобы измениться, первая работа в K-6 должна быть связана с образованием учителей.Пол Салли и местный учитель Шейла Сконьер возглавили этот компонент. Было понятно, что я буду направлять компонент 7-12. В отличие от тех, кто занимается с классами K-6, я чувствовал, что учителям 7–12 классов необходимо просмотреть материалы, прежде чем они изменятся. Существование UCSMP предоставило уникальную возможность объединить различные работы, которые занимали мое время в течение предыдущих 16 лет. Это означало, что основные темы и многие подробные разработки более ранней работы — приложения, преобразования, использование калькуляционной технологии — могут быть перенесены.

В начале UCSMP Макс Белл был в отпуске из университета. Пройдет два года, прежде чем он вернется, а затем он приступит к проектированию и разработке учебной программы UCSMP для классов preK-6, учебной программы, все еще весьма успешной с коммерческой точки зрения под названием Everyday Mathematics (UCSMP, 2016). Сегодня эти усилия возглавляет Энди Айзекс. В Приложении A приводится полная информация об опубликованных, предпубликационных и тестовых версиях вторичных материалов UCSMP. При этом в приложении также указывается объем работы над коммерческими выпусками.

Два конкурирующих прекрасных аспекта математики

xii

В европейской традиции мы склонны считать книгу Евклида Elements (Heath, 1956) первым учебником математики. Это, безусловно, оказало наибольшее влияние на установление доказательства как определяющего фактора истинности математического утверждения. В этом отношении развитие всей геометрии и теории чисел в Elements является прекрасным. На протяжении двух тысячелетий это оказало большое влияние на преподавание геометрии в Европе, а затем и в Америке.

Алгебра развивается отдельно от геометрии. Несмотря на то, что Декарт и Ферма разработали аналитическую геометрию в 1600-х годах, менее чем через полвека после новаторской работы Вите с переменными, Эйлера 1770 Vollständige Anleitung zur Algebra ( Полное руководство по алгебре) , прототипа последующих текстов по алгебре, не содержит геометрии (Эйлер, 1972).

В конце 19-го, ^-го, -го века, более 100 лет назад, два U.Национальные отчеты S. (Национальная ассоциация образования, 1894; Янг, 1899) учредили годичный курс алгебры, за которым следует годовой курс демонстративной геометрии, как 9 и 10 курсов для студентов начального уровня по математике. «Демонстрационный» означает, что курс геометрии очень ориентирован на доказательства, а теоремы демонстрируются доказательствами. Напротив, хотя правила или свойства будут приводиться в качестве обоснования шагов в решении уравнений или упрощении выражений, в курсе алгебры не упоминается доказательство.Постепенно за курсом геометрии последовал второй годичный курс алгебры, возможно, с некоторой тригонометрией, опять же с небольшими доказательствами или без них. Таким образом, последовательность алгебра-геометрия-алгебра закрепилась в большинстве школьных округов; более того, курсы алгебры содержали мало, если вообще не содержали геометрии, а курс геометрии не содержал почти никакой алгебры. Сегодня эта последовательность начинается в 8 ^{-м классе} примерно для одной трети учащихся в США

.

Работа с приложениями алгебры показала, что одна из причин, по которой студенты не могли применять алгебру, заключалась в том, что они не могли применять арифметику за пределами малых целых чисел.Работа ван Хиле показала, что большинство учеников поступили на курс геометрии в средней школе со слишком слабыми знаниями геометрии, чтобы хорошо успеть на курсе. Итак, еще до начала UCSMP осенью 1983 года я решил пойти в школу, чтобы написать и преподавать книгу, которая объединяла бы приложения арифметики с подготовкой студентов к алгебре и геометрии. Эта книга стала Математика переходов .

Пока писалась Переходная математика , мы пригласили шесть лучших специалистов по разработке учебных программ в стране в качестве консультативной группы, чтобы помочь определить, какими будут следующие пять курсов.Основная проблема касалась последовательности алгебра-геометрия-алгебра. С начала 20 ^— века были сторонники интеграции алгебры и геометрии, то есть преподавания некоторой геометрии и некоторой алгебры каждый год, и книги, реализующие интегрированную учебную программу, были нам известны, хотя их редко можно было найти в школах. Итак, один из первых вопросов, с которыми мы столкнулись в UCSMP, заключался в том, должны ли мы интегрировать алгебру и геометрию в годы после Transition Mathematics .

Многие из консультативных групп, как известно, предпочитали трехлетнюю последовательность, которая охватывала бы традиционную алгебру и геометрическое содержание, не имея всей геометрии за один год. Результатом группового мышления стал первый год, который был посвящен почти всей алгебре с небольшой геометрией, второй год, который начался с большого количества алгебры и закончился большим количеством геометрии, и третий год, который продолжил работу по геометрии и закончился много алгебры.

В конечном итоге это было мое решение сохранить последовательность алгебра-геометрия-алгебра, потому что альтернатива, созданная этой группой, была близка к этой последовательности, и я не хотел бороться с требованиями штата, округа и школы, которые обычно требовали двух курсов алгебры и одного. курс геометрии.Я чувствовал, что мы могли бы использовать приложения геометрии во всех наших курсах алгебры и задействовать алгебру во всех наших курсах геометрии. Результатом стал первый курс, который можно было бы описать как «поезд алгебры», на котором пассажиры изучают арифметику, геометрию и статистику; второй курс, который можно было бы описать как «поезд геометрии», на котором пассажиры-алгебры; и второй курс «поезда алгебры», в котором участвуют геометрия и тригонометрия. Все это использует прекрасный аспект математики; что математика едина в том смысле, что результаты одного раздела математики могут быть использованы в другом.

Традиционные ориентированные на доказательство курсы геометрии в США начали с того, что отметили, что точка, линия и плоскость — это три термина, которые не определены, потому что мы не можем определить все термины, не имея круговых определений. Вместо определений утверждаются определенные постулаты, что неявно определяет, какой точкой, линией и плоскостью может быть; такие постулаты, как «есть ровно одна линия, проходящая через две точки» и «для данной точки и прямой есть ровно одна линия, содержащая эту точку и параллельная данной линии.«Большинству учителей и учеников неопределенные термины кажутся слабостью. Но когда вы интегрируете алгебру в курс геометрии, она становится сильной стороной.

UCSMP Геометрия (Coxford, Hirschhorn & Usiskin, 1991; Usiskin et al., 1997; Benson et al., 2009) начинается с геометрического представления точек и линий, в котором из постулатов типа «Через два в разных точках есть ровно одна линия ». учащихся заставляют думать, что точка обозначает место на плоской поверхности, а линии — это продолжение того, что мы рисуем с помощью линейок.Но затем, в следующем уроке, мы отметим, что те же постулаты охватывают геометрию, в которой точка — это упорядоченная пара действительных чисел, а линия — это набор упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению вида. Таким образом, с самого начала курса геометрии мы оправдываем использование синтетических нечисловых методов, а также аналитической или координатной геометрии. Этот подход использует красоту дедукции, а также красоту единства математики и позволяет одновременно применять алгебру и геометрию во всех последующих курсах.

Красота связей

xiii

Основываясь на обсуждениях консультативной группы, мы решили, что последние два курса должны иметь по две темы: функции и статистика для курса 11 ^{-го класса} , а также предварительные вычисления и дискретная математика для курса 12 ^{-го класса} . Тригонометрия была добавлена ​​к названию первого из этих курсов, чтобы сделать текст пригодным для использования в районах, где требовался курс тригонометрии.

Со статистикой в ​​качестве «пассажира» в курсе алгебры и функциями и статистикой в ​​качестве основных тем в курсе
11 ^{-й класс} , мы обнаружили много способов, которыми идеи из одной из этих тем были связаны с идеями в
другой.Например, сигма-нотация, используемая в сериях, была введена необходимостью суммирования данных для вычисления
простая статистика уже на первом курсе алгебры. На курсе UCSMP 11 ^th мы смогли:
обсудить переводы изображений графиков функций и отношений наряду с добавлением или вычитанием константы из
все элементы в наборе данных, чтобы установить среднее значение 0. Мы могли бы обсудить масштабные преобразования графиков вместе с
масштабирование данных, когда мы хотели нормализовать эти данные до стандартного отклонения, равного 1.В таблице 6 показаны эти и другие
способы, которыми мы используем темы из статистики, чтобы мотивировать или применять традиционные темы математики.

Последний курс UCSMP должен был объединить темы предварительного вычисления, необходимые для успеха в исчислении, с дискретной математикой, которая будет полезна в информатике. Таким образом, мы добавили год к стандартной учебной программе академической школы, но начали концентрированное изучение алгебры на год раньше обычного. Имея предварительное вычисление и дискретную математику в качестве двух основных тем нашего курса 12 ^— , мы смогли объединить идеи, которые обычно разделяются.Например, мы смогли применить идеи формальной логики, чтобы объяснить, почему решение некоторых уравнений приводит к так называемым посторонним решениям . Мы могли бы обсудить факторизацию целых чисел вместе с факторизацией многочленов, простые целые числа вместе с простыми многочленами, наименьшее общее кратное целых чисел вместе с наименьшим общим кратным многочленов и так далее. И мы могли бы объединить идеи из этого курса с идеями из всех наших предыдущих курсов.

В 1623 году, когда Галилей в своей книге Il Saggiatore («Пробирщик») написал, что Вселенная написана на языке математики, он был частью новаторского движения, принявшего то, что мы сегодня называем научным методом.Одна из целей школьной математики — познакомить учащихся с этим языком, но недостаточно ценится то, что язык математики может принимать разные формы, и необходимо научить учащихся, как переходить из одной формы в другую. Возможность разрабатывать многолетние учебные программы давала возможность обсуждать одну и ту же идею совершенно разными способами, обеспечивая прекрасные математические связи.

Рассмотрим понятие последовательных поворотов вокруг точки.Эволюция начинается в младших классах с физического
поворачивая, что мы можем измерять в градусах или оборотах, и мы добавляем эти меры, чтобы получить результат. Вращения
Около точки на плоскости находятся математическая модель физического действия. В геометрии, когда мы обсуждаем, что такое
иногда это называется «сложение углов» или «свойство смежного угла», мы обычно проводим руками, чтобы соединиться с
физическое действие, хотя евклидова геометрия статична — фигуры не двигаются.В координатной плоскости мы можем
представляют поворот вокруг начала координат матрицей 2 x 2, а последовательные вращения — умножением матриц. Когда мы
запишите вращения величин x и y в матричной форме, как на рисунке 5, и умножьте
матрицы, получаем формулы для cos (x + y) и sin (x + y) в одну строку. Фактически, мы получаем каждый
формула дважды. Прекрасная математика.

Потому что хорошей и доступной математики для учащихся гораздо больше, чем мы можем уместить в школьной математике.
учебной программы, если бы мы использовали только матрицы в этой настройке, было бы неэкономично тратить время на разработку
механизмы, необходимые для демонстрации элегантного вывода формулы для R _x , которая используется на рисунке 5.Однако у матриц гораздо больше приложений, чем у этого — для понимания других преобразований, для решения
системы уравнений, к сетям и цепям Маркова.

Элегантная теория математического понимания

xiv

В ходе пленарного выступления ICME в 2008 году Джереми Килпатрик отметил, что «математическое образование не похоже на другие области науки» (Artigue & Kilpatrick, 2008). Он процитировал заявление в Эрлангенском обращении Феликса Кляйна в 1872 году о том, что

«Каждое математическое поколение опирается на достижения своих предшественников, тогда как в других областях [включая
математическое образование] часто бывает, что старые здания сносят до того, как можно будет построить новое.
продолжить.”

Джереми отметил, что «мы не всегда начинаем полностью с нуля, но мы много сносим, ​​а также строим».

Однако я считаю, что между математикой и математическим образованием есть промежуток, в котором есть вечные истины. В этом пространстве мы стремимся к тому, чтобы учащиеся «понимали» математику, которую они изучают. Для материалов UCSMP это понимание рассматривается открыто и включает четыре аспекта (Usiskin, 2015):

1. измерение навыка-алгоритма, которое варьируется от механического применения алгоритма до изучения алгоритмов и изобретения новых алгоритмов;
2. — измерение доказательства собственности, которое варьируется от механического обоснования свойств до написания доказательств и открытия новых свойств;
3. измерение использования-приложения, которое варьируется от простейших применений, известных каждому, до использования известных математических моделей и затем изобретения новых; и
4. измерение представления-метафоры, которое варьируется от повторения известных изображений математических идей до изобретения новых представлений.

Такой многогранный взгляд на понимание необходим, потому что для разных людей каждое из этих измерений преобладает над другими тремя по важности. Пресловутый «средний человек с улицы» склонен думать, что вы разбираетесь в математике, если знаете, как получить ответы на математические вопросы. Математики склонны рассматривать человека как понимающего математику, если он может сослаться на свойства, объясняющие рассматриваемую математику. Инженеры склонны полагать, что на самом деле вы не понимаете математику, пока не сможете применить математику в реальных ситуациях.И многие психологи думают, что настоящее понимание означает способность каким-то образом представить математику, возможно, с помощью метафоры. Все эти четыре аспекта присутствуют в преподавании и изучении математики и удивительно независимы друг от друга. Вот почему я называю их размерами. Практически для каждой концепции учебной программы UCSMP, наших уроков и тестов мы стремимся познакомить учащихся со всеми четырьмя измерениями. Кроме того, есть по крайней мере еще одно измерение в понимании математики — историко-социальное измерение — как математика развивалась и находилась под влиянием социальных сил; этот способ обычно игнорируется в классах.

Одним из следствий многомерного взгляда на понимание является то, что мы постоянно вовлекались в геометрические представления числовых и алгебраических идей и в алгебраические представления геометрических идей. Таким образом, такой подход к пониманию помог нам воспользоваться преимуществом общего единства математики. И хотя это кажется сложным взглядом на понимание, в некотором смысле это элегантная структура для очень неэлегантной реальности.

Через некоторое время мы начали понимать, что наши авторы, как правило, предпочитали одно или два измерения понимания математики другим.При написании прозы и задач некоторые, как правило, сосредотачивались на навыках, некоторые на математических свойствах, некоторые на приложениях, некоторые на представлениях, а некоторые на историко-социальном измерении. Мы учли эти сильные стороны при создании наших писательских команд, и я думаю, что это обогатило наши материалы.

Команды писателей и процесс письма

xv

Разработка хорошей учебной программы требует не только знания математики, но и умения писать понятный и интересный материал.С самого начала талантливые люди участвовали в написании текстов UCSMP (см. Ссылки на UCSMP в конце этой статьи). После того, как я написал первый черновик Переходной математики , четыре очень умных и опытных местных учителя отредактировали материалы. Для каждого из других курсов мы выбрали опытных авторов в качестве руководителей групп. Джон МакКоннелл был главой отдела математики в местной средней школе и получил докторскую степень по математическому образованию в Северо-Западном университете, изучая отношения между учителями и студентами по алгебре 9 ^{-го класса} (МакКоннелл, 1978).Он стал руководителем нашей группы алгебры. Шэрон Сенк, учительница средней школы в Ньютоне, штат Массачусетс, преподавала ученикам геометрию и продвинутую алгебру. Кроме того, в исследовании ван Хиле она изучала успеваемость студентов по доказательству (Senk, 1985). Она согласилась возглавить группу продвинутой алгебры. Чтобы заполнить команды по алгебре, мы разместили рекламу на национальном уровне, попросили кандидатов прислать образцы письменных работ, а затем пригласили финалистов, чтобы оценить их способность работать с командой, чтобы планировать и писать на месте.Таким образом мы получили некоторых талантливых авторов. Что касается геометрии, мне удалось убедить Арта Коксфорда снова заняться этим.

На последних двух курсах два человека разделили лидерство. Для курса мы первоначально называли функций и статистики , а теперь — FST , у нас были Рета Рубенштейн, тогда учитель в государственных школах Детройта, которая была замечательным автором в нашей группе продвинутой алгебры, и Джим Шульц, профессор из Университета штата Огайо (позже переехавшего в Университет Огайо), который уже написал замечательный учебник по математике для учителей начальной школы (Schultz, 1977).Для Precalculus and Discrete Mathematics мы убедили двух математиков, Тони Пересини и Сюзанну Эпп, стать соруководителями. Тони взял на себя инициативу по частям предварительного вычисления, в то время как Сюзанна, написав учебник по дискретной математике для колледжа (Epp, 1990), взяла на себя инициативу по урокам дискретной математики.

За исключением FST, который в основном писался вне университета, группы писателей работали летом от 6 до 8 недель, 5 дней в неделю, в одной комнате, достаточно большой, чтобы разместить их с одним или двумя студентами-редакторами и справочными материалами.Планировочные встречи были постоянными. Я старался присутствовать на каждой встрече по планированию и был последним редактором на каждом уроке. Видимо, я был крутым редактором. Несколько лет назад на «жарке» после ужина в мою честь некоторые авторы подготовили скетч о моем редактировании. В скетче один из авторов прыгает от радости, когда видит, что написанное ею слово пережило мое редактирование — слово «the».

После того, как тексты по алгебре были написаны, мы поняли, что редакторы наших докторантов (Дэн Хиршхорн, Дора Аксой, Джим Фландерс, Барри Киссейн, Джефф Бирки и Грег Макрилл) делали много авторской работы, и мы сочли целесообразным идентифицировать их как авторов.Им помогали другие студенты университета, которые вычитывали текст и давали ответы и решения проблем. Студенты в университете также были нашими производителями, которые брали рукописный текст и переводили его в книжную форму, чтобы материалы могли быть протестированы на все большем количестве студентов. За эти годы мы наняли более 200 студентов Чикагского университета в качестве редакторов или помощников по производству.

Нашими полевыми тестовыми версиями были черно-белые издания в мягкой обложке или в спиральном переплете.В первых двух выпусках этой работой руководила Сьюзан Чанг. Режиссером третьего выпуска был Бен Бальскус. Когда наши книги стали коммерчески издаваться, наши издатели сделали полноцветное издание в твердом переплете и прилагаемое к нему издание для учителей. Но было исключение — под руководством Бена мы сами выполнили коммерческое производство двух последних книг третьего издания. Наличие редакторов в помещениях, примыкающих к окончательной постановке, было чрезвычайно эффективным и, на наш взгляд, беспрецедентным случаем.

Также пришлось провести большие исследования наших материалов. Сначала Ларри Хеджес и Сьюзан Стодольски руководили нашими итоговыми исследованиями. Через несколько лет нам стало ясно, что наше желание иметь независимых оценщиков в UCSMP оставило нас без некоторых видов данных, которые мы очень хотели. Например, нас очень интересовало влияние калькуляторов на обучение студентов, но оценщики сочли это незначительной проблемой. В результате мы с Шэрон Сенк поделились большей частью работы над более поздними оценками первого издания.Затем Денисс Томпсон, которая начала с нами, будучи отобранной в конкурсе авторов, а затем стала докторантом, решила использовать тестирование Precalculus и Discrete Mathematics для своей докторской диссертации, а затем стала директором наших исследований (Thompson , Senk, et al., Несколько лет).

Первое издание было закончено в 1991 году, и в результате продаж наш издатель попросил нас немедленно начать работу над вторым изданием. Для второго издания мы пригласили многих из авторов первого издания и повторили конкурс, чтобы заполнить авторские команды.Два новых имени появляются в трех книгах каждая: Дэвид Витонски, редактор, и Нильс Абель, учитель средней школы, который с тех пор много лет возглавлял отдел в частной школе Дирфилд Академии в Массачусетсе. Нильс воплощает принцип, который неоднократно подтверждался на протяжении многих лет, а именно, что в наших школах есть учителя математики, чьи знания и способности в области школьной математики не уступают любым университетским профессорам в нашей области. Второе издание было сделано к 1997 году.

Для третьего издания мы поменяли издателей и работали с 2005 по 2010 год. Мы также добавили курс, предшествующий Transition Mathematics, чтобы отразить изменения в США в концепции средней школы для 6-8 классов. Это чрезвычайно важно для многих. Автором этого издания была Натали Якуцин, которая пришла к нам в качестве опытного преподавателя, помогавшего редактировать первое издание Advanced Algebra . Для второго издания она отвечала за редактирование рукописей каждой книги.Затем она вернулась к преподаванию на полную ставку, но вернулась к написанию третьего издания, а совсем недавно она возглавила работу по созданию цифровой платформы для семи книг третьего издания.

Наконец, важно признать, что проект такого размера требует административной группы. Кэрол Сигел, наш офис-менеджер в течение трех десятилетий, руководила пятью из семи международных конференций, которые UCSMP проводил в Чикагском университете с 1985 года, включая две самые последние под эгидой Центра изучения математики, поддерживаемого NSF.Она также помогла отобрать всех претендентов на редакционные и производственные должности в UCSMP, и благодаря ей и другому административному персоналу мы постоянно собирали необычайно хорошую команду поддержки для наших усилий по написанию, редактированию и производству.

Более подробную информацию о дизайне и разработке учебных материалов до и в рамках проекта математики школы Чикагского университета можно найти в бюллетенях UCSMP 1-40 на сайте http://ucsmp.uchicago.edu/newsletters, а также в Usiskin ( 2003); Usiskin (2007) и Reys & Reys (2014).

Заключение и благодарность

xvi

В этой статье я попытался описать некоторые подробные размышления и работу, которые потребовались при разработке учебной программы UCSMP. Практически во всех случаях мы не были первопроходцами. Люди до нас разрабатывали учебную программу, включающую приложения и моделирование, включая преобразования, включая статистику и дискретную математику, используя новейшие технологии и работая над пониманием в математике. В Чикаго у меня была необычная возможность, предоставленная немногим людям — организовать и возглавить команду по разработке и написанию полной учебной программы по математике для средних школ.Эта работа не была бы известна сегодня, если бы не тот факт, что многие другие люди во всем мире работали над достижением тех же целей — над созданием актуальной, доступной для обучения и усвоения учебной программы по математике для подавляющего большинства студентов.

На нашу работу в начальной школе повлияли наши переводы советских учебников (Моро, Бантова, 1992; Моро, Бантова, Бельтюкова, 1992; Пчолько, Бантова, Моро и Пышкало, 1992; Усискин, 1997). На то, что у нас могут возникнуть ожидания в средних школах, повлияли наши переводы японских учебников (Kodaira, 1992), материалы Брайана Туэйтса и Джеффри Хаусона из SMP в США.К., работой Ганса Фройденталя, а затем и Института Фройденталя, Сола Гарфанкеля из COMAP, Могенса Нисса и Вернера Блюма и сотрудников ICTMA, занимающихся математическим моделированием и приложениями, новаторскими работами Джима Фея и Кэти Хайд в компьютерной алгебре. систем, работ Жана-Мари Лаборда и Ника Джекива по динамической геометрии, а также работ Texas Instruments и Casio по созданию удобных и недорогих технологий для школ.

Даже со всем этим руководством мы не смогли бы выполнить эту работу без поддержки сотен школьных администраторов и учителей в наших формальных исследованиях и тысяч учителей, желающих преподавать материалы, значительно отличающиеся от тех, которые они видели или преподавали ранее.

Это замечательно, что у нас есть всемирное сообщество, посвятившее себя совершенствованию учебных программ, которые мы даем студентам. Но мы не должны расслабляться. После периода замечательной разработки учебных программ по математике в США в 1990-х годах, который растянулся до 2000-х годов, в настоящее время в США практически нет разработки учебных программ. Common Core убил разработку учебных программ по математике здесь. не только с его регрессивным контентом, возвращающим к основам, но и с созданием мегалитической структуры тестирования, которая затруднит реализацию будущих изменений.Нам нужно праздновать наши успехи, но мы должны опасаться тех, кто хочет диктовать свое мнение об образовании, как будто это единственный путь.

Ссылки

xvii

Джейкобс, Х. (1971). Математика — человеческое начало . Бостон: W.H. Фримен.

Моро, М.И. и Бантова М.А. (1992). Русский язык 2 класс по математике . Перевод Р. Х. Сильвермана. Чикаго: UCSMP.

Усискин, З. (1997). Изучение алгебры в классах K-4. Обучение детей математике 3 (6), стр. 346-356.

Приложение А.Тексты UCSMP для средних школ (6–12 классы)

xviii

Первое издание (коммерческое издание Гленвью, Иллинойс: Скотт Форесман)

Математика переходов . Залман Усискин, Джеймс Фландерс, Кэти Хайнс, Лидия Полонски, Сьюзен Портер и Стивен Виктора. Полевые испытания версий 1983-85 гг .; Полевые испытания в твердом переплете 1986 г .; Скотт, Foresman изданий 1990, 1992

Алгебра . Джон В. МакКоннелл, Сьюзан Браун, Сьюзен Эддинс, Маргарет Хакворт, Лерой Сакс, Эрнест Вудворд, Джеймс Фландерс, Дэниел Хиршхорн, Кэти Хайнс, Лидия Полонски и Залман Усискин.Полевые испытания версий 1985-88 гг .; Скотт, Foresman изданий 1990, 1993

Геометрия . Артур Ф. Коксфорд младший, Дэниел Хиршхорн и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1986-89 гг .; Скотт Форесман издания 1991, 1993

Продвинутая алгебра . Шэрон Л. Сенк, Денисс Р. Томпсон, Стивен С. Виктора, Рета Рубенштейн, Джуди Халворсон, Джеймс Фландерс, Кэти Хайнс, Натали Якуцин, Джеральд Пиллсбери и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1985-88 гг .; Скотт, Foresman изданий 1990, 1993

Функции, статистика и тригонометрия .Рета Н. Рубинштейн, Джеймс Э. Шульц, Шэрон Л. Сенк, Маргарет Хакворт, Джон В. МакКоннелл, Стивен С. Виктора, Дора Аксой, Джеймс Фландерс, Барри Киссан и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1986-89 гг .; Скотт, Foresman edition 1992

Предварительные вычисления и дискретная математика . Энтони Л. Перессини, Сюзанна С. Эпп, Кэтлин А. Холлоуэлл, Сьюзан Браун, Уэйд Эллис младший, Джон В. Макконнелл, Джек Сортеберг, Денисс Р. Томпсон, Дора Аксой, Джеффри Д. Бирки, Грег Макрилл и Залман Усискин.Полевые испытания версий 1987-90 гг .; Скотт Форесман издание 1992 г.

Второе издание (коммерческое издание Glenview, IL: Scott Foresman and Scott Foresman — Addison Wesley, and Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall)

2

Математика переходов . Залман Усискин, Кэти Хайнс Фельдман, Сюзанна Дэвис, Шэрон Малло, Глэдис Сандерс и Дэвид Витонски. Тестовая версия 1992-93; Скотт Форесман, издание 1995 г .; Скотт Форесман — Эддисон Уэсли издание 1998 г .; Издание Prentice Hall 2002

Алгебра. Джон В. МакКоннелл, Сьюзан Браун, Шэрон Л. Сенк, Тед Видерски, Скотт Андерсон и Залман Усискин. Тестовая версия 1992-93; Скотт Форесман издание 1996 г., Скотт Форесман — издание Эддисон Уэсли 1998 г .; Калифорнийское издание, 2000 г .; Издание Prentice Hall 2002

Геометрия . Залман Усискин, Дэниел Б. Хиршхорн, Вирджиния Хайстоун, Хестер Левеллен, Николас Оппонг, Ричард ДиБьянка и Мерили Мэйр. Тестовая версия 1993-94; Скотт Форесман издание 1997 г .; Издание Prentice Hall 2002

Продвинутая алгебра .Шэрон Л. Сенк, Денисс Томпсон, Стивен С. Виктора, Залман Усискин, Нильс П. Абель, Сюзанна Левин и Марсия Вайнхольд. Тестовая версия 1993-94; Скотт Форесман издание 1996 г .; Издание Prentice Hall 2002

Функции, статистика и тригонометрия . Шэрон Л. Сенк, Джон В. Макконнелл, Стивен С. Виктора, Залман Усискин, Нильс П. Абель, Вирджиния Хайстоун и Дэвид Витонски. Скотт Форесман — Эддисон Уэсли 1997

Предварительные вычисления и дискретная математика .Энтони Л. Перессини, Джон В. Макконнелл, Залман Усискин, Нильс П. Абель и Дэвид Витонски. Скотт Форесман — Эддисон Уэсли 1998

Третье издание (коммерческое издание Чикаго: Wright Group / McGraw-Hill; Чикаго: UChicagoSolutions)

3

Математика до переходного периода . Джон В. МакКоннелл, Кэти Хайнс Фельдман, Дебора Хирес, Эмили Каллемейн, Энрике Ортис, Норин Виннингем, Карен Хант, Трой П. Регис, Михаэла Флоренс Сингер, Джон Вулф, Натали Джакусин и Залман Усискин.Версия для полевых испытаний 2006-07; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г.

Математика переходов . Стивен С. Виктора, Эрика Чунг, Вирджиния Хайстоун, Кэтрин Капуцци, Дебора Хирес, Нева Меткалф, Сьюзен Сабрио, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2005-06; Wright Group / McGraw-Hill издание 2008 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Алгебра . Сьюзан Браун, Р. Джеймс Бренлин, Мэри Х. Уилтьер, Кэтрин М. Дегнер, Сьюзан К.Эддинс, Майкл Тодд Эдвардс, Нева Меткалф, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2005-06; Wright Group / McGraw-Hill издание 2008 г.

Геометрия . Джон Бенсон, Рэй Кляйн, Мэтью Дж. Миллер, Кэтрин Капуцци-Фейерштейн, Майкл Флетчер, Джордж Марино, Нэнси Пауэлл, Натали Якуцин и Залман Усискин. Версия для полевых испытаний 2006-07; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Продвинутая алгебра .Джеймс Фландерс, Маршал Лассак, Жан Сеч, Мишель Эггердинг, Пол Дж. Карафиол, Лин Макмаллин, Нил Вейсман и Залман Усискин. Версия для полевых испытаний 2006-07; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Функции, статистика и тригонометрия . Джон В. МакКоннелл, Сьюзен А. Браун, Пол Дж. Карафиол, Сара Брауэр, Мэри Айвз, Роза МакКаллаг, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2007-08; Wright Group / McGraw-Hill издание 2010 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Предварительные вычисления и дискретная математика .Энтони Л. Перессини, Питер Д. ДеКрейн, Молли А. Рокстро, Стивен С. Виктора, Уорд Э. Кэнфилд, Мэри Хелен Уилтьер и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2007-08; Wright Group / McGraw-Hill издание 2010 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Теория школьной арифметики: целые числа

18.7.1 Умножение

Определение 10

Произведение двух чисел — это третье число, которое содержит столько единиц, сколько одно число, взятое столько раз, сколько единиц в другом. .

Операция нахождения произведения двух чисел называется умножением . (Например, сколько три берется четыре раза?)

Это количественное соотношение, очевидно, более сложное, чем соотношение суммы двух чисел. Во-первых, в этих отношениях появляется новый тип единиц: на рис. 18.8 каждая копия первого числа представляет собой новую единицу «многие как один», созданную путем рассмотрения группы единиц как единой вещи. ¹⁸ Рис. 18.8

Определение произведения двух чисел

Во-вторых, в отличие от отношения «сумма двух чисел», произведение двух чисел включает два типа единиц: «один как один» и «многозначный». as-one ‘единицы.Это иллюстрирует рис. 18.8.

В-третьих, на рис. 18.8 единицы второго числа определяют количество копий первого числа. Единицы «один в один» в коллекции копий образуют третье число, которое является продуктом.

Приведенное выше определение произведения двух чисел не эквивалентно рассмотрению произведения как результата повторного сложения. Это определение также не эквивалентно определению декартова произведения, поскольку оно включает создание нового типа единиц, а не набора пар единиц.

В обучении умножение часто вводится с повторным сложением. Когда ученики видят 4 + 4 + 4 как «4 прибавлено к 4, прибавлено к 4», они используют концепцию сложения. Когда ученики могут распознать 4 + 4 + 4 как три четверки, они начинают разрабатывать концепцию умножения. Мы должны помочь студентам осуществить этот переход как можно скорее.

Хотя вполне вероятно, что концепция сложения тесно связана с врожденной примитивной концепцией, концепция умножения — нет.При формировании концепции умножения можно выделить три этапа обучения. Во-первых, способность рассматривать многие как одно, например, одну группу, один класс и одну корзину вещей. Во-вторых, способность вообразить несколько единиц «многие-как-одно», например, несколько групп, классов или корзин вещей (все одного размера). В-третьих, при анализе количественных соотношений возможность управлять двумя типами единиц одновременно.

В истории человечества существует большой разрыв между развитием сложения и развитием умножения.Для студентов тоже есть пробел. Одна из задач школьной арифметики — дать ученикам возможность преодолеть этот пробел.

18.7.1.1 Множаемое, множитель и множители

Определение 11

Множаемое — это число, которое нужно взять. Множитель — это число, которое указывает, сколько раз берется множимое.

Множаемое — это число, представленное первым членом в выражении умножения. Он представлен членом слева от знака умножения.

Множаемое — это снимаемое число. Его копии — это новообразованные единицы «многие как один». Студенты впервые использовали единицы «многие как один».

В течение последних нескольких сотен лет множимое традиционно представлялось как первый член при умножении. ¹⁹ Эта традиция указывать сначала множимое соответствует его роли в коммерческой арифметике. ²⁰ В системе определений указание первого множимого согласуется с акцентом на концепции единицы.

При введении умножения с повторным сложением учащиеся должны заметить, что множимое — это слагаемое.

Множитель представлен третьим членом в выражении умножения. Он представлен членом справа от знака умножения.

Множитель всегда является абстрактным числом.

Выражение умножения читается как «умножаемое на множитель» или «умножаемое на умножаемое» (например, 5 × 3 читается как «5, умноженное на 3» или «3 умноженное на 5»).

Множитель показывает, сколько копий множимого содержится в произведении.

Некоторые думают, что различение множимого и множителя или чтение выражения, как описано выше, обременяют учащихся ненужными деталями. Но это временное осложнение — цена более простого будущего.

Когда и множимое, и множитель являются абстрактными числами, их также называют множителями .

В школьной арифметике есть две ситуации, когда различие между множимым и множителем не имеет значения.Во-первых, при факторинге. Во-вторых, в таких формулах, как площадь прямоугольника или треугольника, объем куба. Последний шаг — последний шаг процесса, который начинается с зависимости от различия между множителем и множимым.

Хотя различие между множимым и множителем не сохраняется на протяжении всей начальной математики, это важно, потому что помогает учащимся узнать о новом типе единиц, тем самым помогая расширить их представление о единицах.

18.7.1.2 Правило одинаковых чисел для умножения

Когда множимое является конкретным числом, множимое и множитель не похожи на числа.В этом случае произведение и множимое подобны числам.

Анализ количественных соотношений в школьной арифметике практикуется в основном путем решения словесных задач. Большинство чисел в задачах со словами — это конкретные числа. Например:

A.

На полке 24 книги. Билл кладет на полку еще шесть книг. Сколько сейчас книг? Решение — 30 книг.

Б.

На полке 24 книги. Сколько книг на шести полках? Решение — 144 книги.

Задача A — найти сумму. Решение и дополнения похожи на числа.

Задача B — найти произведение двух чисел. Два конкретных числа, представленные в задаче, 24 книги и 6 полок, не похожи на числа. Первое — это число, множимое. Последний, множитель, определяет, что существует шесть групп по 24 книги. Произведение, 144 книги и множимое подобны числам. Это согласуется с правилом одинаковых чисел для умножения: когда множимое является конкретным числом, множимое и множитель не похожи на числа.В этом случае произведение и множимое подобны числам.

Хотя 6 полок — это конкретное число, в качестве множителя оно рассматривается как абстрактное число.

18.7.2 Деление

Определение 12

Если произведение и одно из множителя или множителя известны, операция нахождения неизвестного множителя или, соответственно, множимого называется делением .

Деление — это также операция по поиску неизвестного фактора, когда известны продукт и один фактор.

Деление является обратным умножению в том смысле, что оно «отменяет» умножение.

Определение умножения и деления в терминах «произведения двух чисел» связывает две операции деления и умножения одним количественным соотношением, аналогично связи между вычитанием и сложением. Однако, поскольку множимое и множитель могут быть разными типами чисел, существует несколько возможных форм обратной операции.

Определение 13

Поиск неизвестного множимого называется частичным делением .

Например, 12 яблок поровну делятся между 3 детьми. Сколько получает каждый ребенок? (Разделите 12 на три части. Сколько в каждой части?)

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно цитатное деление .

Например, есть 12 яблок. Дайте каждому ребенку по 4 яблока. Сколько детей могут получить яблоки? (Сколько четверок в 12? 12 — это во сколько раз больше 4?)

Поиск неизвестного фактора не является ни цитатным, ни частичным делением.

Например, известны площадь и длина прямоугольника.Найдите ширину.

Мы можем сказать: «Например, произведение двух факторов равно 15. Один фактор равен 5, а какой другой фактор?»

18.7.2.1 Дивиденд, делитель, коэффициент, остаток

Определение 14

Известные продукт в подразделении называется дивидендом .

Известный множитель, множитель или множитель называется делителем .

Неизвестное, которое является результатом операции деления, называется частным .

Соответствие между членами при умножении и делении показано на рис. 18.9. 18.9

Соответствие между членами умножения и деления

Дивиденд может быть суммой произведения, в котором один множитель является делителем, а число меньше делителя. Последний называется остатком . В этом случае результат деления состоит из двух частей: частного и остатка.

Остаток — временный семестр в школьной арифметике. После введения дробей в этом термине больше нет необходимости.

18.7.2.2 Правило одинаковых чисел для умножения, применяемое к делению

При дробном делении делимое и частное подобны числам.

При квантовом делении делимое и делитель подобны числам.

Правило одинаковых чисел может помочь учащимся распознать количественные отношения.

18.7.3 Три случая неизвестного числа в соотношении «произведение двух чисел»

Количественное соотношение «произведение двух чисел» касается трех чисел.Когда известны два, можно найти третий (рис. 18.10). Это три случая: Рис. 18.10

Умножение, дробное и цитатное деление

1. (a)

   Множаемое и множитель известны, чтобы найти произведение. (В терминах деления: делитель и частное известны, чтобы найти делимое.)

2. (b)

   Произведение и множимое известны, чтобы найти неизвестный множитель. (В терминах деления: известны делимое и частное, чтобы найти неизвестный делитель.)

3. (c)

   Произведение и множитель известны, чтобы найти множимое. (В терминах деления: дивиденд и делитель известны, чтобы найти неизвестное частное.)

% PDF-1.3
%
128 0 объект
>
эндобдж
xref
128 67
0000000016 00000 н.
0000001709 00000 н.
0000001766 00000 н.
0000002716 00000 н.
0000002891 00000 н.
0000002930 00000 н.
0000003072 00000 н.
0000003213 00000 н.
0000003473 00000 н.
0000003681 00000 п.
0000013567 00000 п.
0000013764 00000 п.
0000014204 00000 п.
0000014659 00000 п.
0000015032 00000 п.
0000015242 00000 п.
0000015514 00000 п.
0000025794 00000 п.
0000026235 00000 п.
0000026416 00000 п.
0000027115 00000 п.
0000027319 00000 н.
0000031497 00000 п.
0000031685 00000 п.
0000031789 00000 п.
0000031812 00000 п.
0000037407 00000 п.
0000037613 00000 п.
0000037894 00000 п.
0000038366 00000 п.
0000047817 00000 п.
0000048034 00000 п.
0000048483 00000 п.
0000058330 00000 п.
0000058769 00000 п.
0000058984 00000 п.
0000059245 00000 п.
0000060328 00000 п.
0000060349 00000 п.
0000060601 00000 п.
0000061019 00000 п.
0000065386 00000 п.
0000065598 00000 п.
0000065703 00000 п.
0000065725 00000 п.
0000066139 00000 п.
0000066161 00000 п.
0000067204 00000 п.
0000067226 00000 п.
0000067440 00000 п.
0000067659 00000 п.
0000069735 00000 п.
0000070572 00000 п.
0000070594 00000 п.
0000071490 00000 п.
0000071512 00000 п.
0000072360 00000 п.
0000072382 00000 п.
0000072461 00000 п.
0000073263 00000 п.
0000073285 00000 п.
0000074144 00000 п.
0000074166 00000 п.
0000075059 00000 п.
0000075120 00000 п.
0000001907 00000 н.
0000002694 00000 н.
трейлер
]
>>
startxref
0
%% EOF

129 0 объект
>
эндобдж
130 0 объект
`Dz — # _ m_} g)
/ U (^ ɤXq; \).xh5 = # X, á] L &

Как найти неизвестный множитель 2. Нахождение неизвестного множителя, деления или делителя

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. Прежде всего, необходимо научиться решать уравнения, слева от которых есть разность, количество, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа от другого числа. Другими словами, в этих уравнениях есть один неизвестный член и / или сокращенный с вычитанием или делимый с делителем и т. Д.Именно об уравнениях этого типа мы и поговорим с вами.

Эта статья посвящена основным правилам нахождения множителей, неизвестных членов и прочего. Все теоретические положения сразу объясню на конкретных примерах.

Яндекс.rtb R-A-339285-1

Поиск неизвестных терминов

Предположим, у нас есть некоторое количество шаров в двух вазах, например 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шара. Как найти номер во втором? Запишем это задание в математической форме, указав число, которое вы хотите найти, как x.По начальному условию это число вместе с 4 образуют 9, это означает, что можно записать уравнение 4 + x = 9. Слева вывернули сумму с одним неизвестным членом, справа — значение этой суммы. Как найти х? Для этого нужно использовать правило:

Определение 1.

Чтобы найти неизвестную составляющую, необходимо вычесть из суммы хорошо известную.

В данном случае мы придаем значение дедукции, которое является обратным смыслом сложения. Другими словами, между действиями сложения и вычитания существует определенная взаимосвязь, которую в буквенном видео можно выразить так: если A + B = C, то C — A = B и C — B = A, а наоборот, из выражений C — a = b и c — b = a можно вывести, что A + B = C.

Зная это правило, мы можем найти один неизвестный термин с помощью хорошо известного и суммы. Какой компонент нам известен, первый или второй, в данном случае значения не имеет. Посмотрим, как применить это правило на практике.

Пример 1.

Возьмем уравнение, которое у нас получилось выше: 4 + x = 9. По правилу нам нужно вычесть из некоторой суммы, равной 9, известный член, равный 4. Submount одно натуральное число от другого: 9-4 = 5. Получили нужный нам член, равный 5.

Обычно решения таких уравнений записываются следующим образом:

1. Первое — это исходное уравнение.
2. Затем мы записываем уравнение, которое возникло после того, как мы применили правило вычисления неизвестного члена.
3. После этого запишем уравнение, которое произошло после всех действий с числами.

Эта форма записи необходима для иллюстрации последовательной замены эквивалента исходного уравнения и отображения процесса нахождения корня.Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно запишет это:

4 + x = 9, x = 9-4, x = 5.

Мы можем проверить правильность ответа. Мы заменим то, что у нас было, в исходное уравнение и посмотрим, получится ли из него правильное числовое равенство. Подставляем 5 в 4 + x = 9 и получаем: 4 + 5 = 9. Равенство 9 = 9 верно, значит, неизвестный член найден правильно. Если равенство оказалось неверным, то мы должны вернуться к решению и перепроверить его, потому что это признак ошибки.Как правило, чаще всего это ошибка вычислений или применение неправильного правила.

Нахождение неизвестного с вычитанием или уменьшением

Как мы уже упоминали в первом абзаце, существует определенная связь между процессами сложения и вычитания. С его помощью вы можете сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшенное, когда мы знаем разницу и вычитаемое, или неизвестное вычитание через уменьшение или разницу. Мы по очереди пишем эти два правила и показываем, как их применять при решении задач.

Определение 2.

Чтобы найти неизвестное уменьшение, необходимо прибавить к разнице вычитаемое.

Пример 2.

Например, у нас есть уравнение x — 6 = 10. Неизвестно уменьшено. По правилу, нам нужно прибавить к разности 10, вычитаем 6, получаем 16. То есть начальное убавляемое — шестнадцать. Пишем все решение целиком:

х — 6 = 10, х = 10 + 6, х = 16.

Проверяем полученный результат, прибавляя полученное число к исходному уравнению: 16-6 = 10.Равенство 16 — 16 будет верным, значит, мы все правильно посчитали.

Определение 3.

Чтобы найти неизвестную вычитаемую, необходимо вычесть разницу из уменьшительной.

Пример 3.

Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 — x = 8. Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам нужно из 10 вычесть разницу, т.е. 10-8 = 2. Итак, желаемая вычитаемая величина — два. Вот полный протокол решения:

10 — х = 8, х = 10-8, х = 2.

Давайте проверим правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получаем верное равенство 10-2 = 8 и убеждаемся, что найденное нами значение будет правильным.

Прежде чем перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любого соединения из одной части уравнения в другую со знаком знака на противоположный. Все вышеперечисленные правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Рассмотрим два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12.В обоих мы знаем стоимость работы и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам нужно воспользоваться другими правилами.

Определение 4.

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо разделить работу по известному множителю.

Это правило основано на смысле, обратном умножению. Между умножением и делением существует следующая связь: a · b = c с a и b, не равными 0, C: a = b, C: B = C и наоборот.

Пример 4.

Вычисляем неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известные частные 20 на известный множитель 2. Производим деление натуральных чисел И получаем 10. Записываем последовательность уравнений:

х · 2 = 20 х = 20: 2 х = 10.

Подставляем первую десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.

Уточняем, что если один из нулевых множителей, это правило применить нельзя.Итак, уравнение x · 0 = 11 С ним мы не можем его решить. Эта запись не имеет смысла, потому что для решения необходимо разделить 11 на 0, а деление на ноль не определено. Подробнее о таких случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Применяя это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой коэффициент, отличный от 0. Есть отдельное правило, согласно которому это деление может быть выполнено, и оно не повлияет на корни. уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласен.

Нахождение неизвестного деления или делителя

Другой случай, который нам необходимо рассмотреть, — это найти неизвестное деление, если мы знаем делитель и частное, а также найти разделитель с известным частным и делением. Мы можем сформулировать это правило, используя уже упомянутые здесь связи между умножением и делением.

Определение 5.

Чтобы найти неизвестное деление, вам нужно умножить делитель на частный.

Давайте посмотрим, как действует это правило.

Пример 5.

С его помощью уравнение X: 3 = 5. В качестве альтернативы знаменитому частному и всем известному делителю и получаем 15, которое будет делиться для нас.

Вот краткая запись всего решения:

х: 3 = 5, х = 3 · 5, х = 15.

Проверка показывает, что все мы посчитали правильно, потому что при делении 15 на 3 действительно получается 5. Точное числовое равенство — свидетельство правильного решения.

Это правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одно и то же отличное от 0 число.Это преобразование не влияет на корни уравнения.

Перейти к следующему правилу.

Определение 6.

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно разделить делимые на частные.

Пример 6.

Возьмем простой пример — уравнение 21: x = 3. Чтобы решить его, мы делим хорошо известное делимое 21 на частное 3 и получаем 7. Это будет искомый делитель. Теперь составим решение правильно:

21: х = 3, х = 21: 3, х = 7.

Убедитесь, что результат получился, подставив семерку в исходное уравнение. 21: 7 = 3, значит, корень уравнения был рассчитан правильно.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда private не равен нулю, потому что в противном случае нам снова придется делить на 0. Если private равно нулю, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение имеет вид 0: x = 0, то значение переменной будет любым, то есть это уравнение имеет бесконечное количество корней.Но уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, не будет иметь решений, так как таких значений делителя не существует. Примером может служить уравнение 5: x = 0, не имеющее корня.

Последовательное применение правил

Часто на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения членов, сокращенных, вычитаемых, множителей, делимых и частных должны применяться последовательно. Приведем пример.

Пример 7.

У нас есть уравнение вида 3 · X + 1 = 7. Вычислите неизвестный член 3 · x, используя 7 единиц. Получаем в итоге 3 · x = 7 — 1, затем 3 · x = 6. Это уравнение решается очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.

Вот краткая запись решения другого уравнения (2 · X — 7): 3-5 = 2:

(2 · X — 7): 3 — 5 = 2, (2 · x — 7): 3 = 2 + 5, (2 · x — 7): 3 = 7, 2 · x — 7 \ u003d 7 · 3, 2 · x — 7 = 21, 2 · x = 21 + 7, 2 · x = 28, x = 28: 2, x = 14.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Основные правила математики.

Чтобы найти неизвестный член, необходимо найти значение известного выравнивания.

Чтобы найти неизвестную уменьшенную сумму, необходимо добавить франшизу к разнице.

Чтобы найти неизвестную вычитаемую, необходимо вычесть значение разницы из уменьшения.

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо разделить произведение на знаменитый множитель

Чтобы найти неизвестное деление, необходимо умножить значение на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо разделить на частное значение.

Административное право:

Механизм: A + B = B + A (от перестановки мест членов сумма суммы не меняется)

Комбинатив: (a + c) + c = a + (B + C) (чтобы к сумме двух компонентов добавить третий член, можно было добавить сумму второго H в первых компонентах к первому члену).

Закон сложения числа C 0: A + 0 = A (при сложении числа с нулем получаем такое же число).

Законы умножения:

Движение: A ∙ B = B ∙ A (от перестановки граней множителей значение работы не меняется)

Комбинатив: (A ∙ c) ∙ C = A ∙ (B ∙ C ) — Чтобы произведение двух множителей умножалось на третий множитель, вы можете умножить первый множитель на работу второго и третьего множителей.

Распределительный закон умножения: A ∙ (B + C) = A ∙ C + B ∙ C (для умножения количества суммы можно умножить это число на каждую из составляющих и полученные произведения складываются).

Закон умножения на 0: A ∙ 0 = 0 (при умножении любого числа на 0 получается 0)

Законы деления:

a: 1 = A (при делении числа 1 получается такое же число)

0: a = 0 (при делении 0 на число получается 0)

Нельзя делить на ноль!

Периметр прямоугольника в два раза превышает сумму его длины и ширины. Или: периметр прямоугольника равен сумме удвоенной ширины и удвоенной длины: p = (a + c) ∙ 2,

P = A ∙ 2 + B ∙ 2

Периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на 4 (p = A ∙ 4)

1 м = 10 дм = 100 см 1 час = 60 мин 1т = 1000 кг = 10 с 1м = 1000 мм

1 дм = 10 см = 100 мм 1 мин = 60 секунд 1 с = 100 кг 1 кг = 1000 г

1 см = 10 мм 1 день = 24 часа 1 км = 1000 м

При выполнении сравнения различий большего числа меньшее вычитается, при выполнении множественного сравнения большее число делится на меньшее.

Равенство, содержащее неизвестное, называется уравнением. Корнем уравнения является число, при подстановке которого уравнение получается в уравнении вместо x. Решить уравнение — значит найти его корень.

Диаметр делит круг пополам — на 2 равные части. Диаметр равен двум радиусам.

Если в выражении без скобок представлены действия первого (сложение, вычитание) и второго (умножение, деление) этапа, то сначала выполняются в порядке действий второго этапа, и только потом действия вторая стадия.

12 часов дня полдень. 12 часов ночи — полночь.

Римские числа: 1 — I, 2 -II, 3 — III, 4 — IV, 5 — V, 6 — VI, 7 — VII, 8 — VIII, 9 — IX, 10 — X, 11 — XI, 12 — XII, 13 — XIII, 14 — XIV, 15 — XV, 16 — XVI, 17 — XVII, 18 — XVIII, 19 — XIX, 20 — XX и т. Д.

Алгоритм Решение уравнения: определить, что является неизвестным , запомните правило, как найти неизвестное, примените правило, чтобы проверить.

Спешите воспользоваться до 60% на информационных курсах

Дополнение:

Вычитание:
прибавить вычесть разницы.

Умножение:

Отдел:
умножить разделить на приват.

Узнать названия компонентов действий и правила поиска неизвестных компонентов:

Дополнение:
Срок, сроки, сумма. Чтобы найти неизвестный термин, нужно вычесть известную сумму выравнивания.

Вычитание:
Приведенная, вычтенная разница.Чтобы найти уменьшенную, вам нужно прочитать добавить разницы. Чтобы найти франшизу, вам нужно из миниатюрной вычесть разницы.

Умножение:
Множитель, множитель, работа. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно разделить работу на известный множитель.

Отдел:
Делими, разделитель, частный. Чтобы найти деление, вам понадобится делитель , умножьте на приват. Чтобы найти разделитель, нужно разделить на частные.

• Макаренко Инна Александровна
• 30.09.2016

Номер материала: dB-225492

Свидетельство о публикации данного материала. Автор может скачать его в разделе «Достижения» своего сайта.

Не нашли то, что искали?

Вас заинтересуют эти курсы:

Спасибо за вклад в разработку крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала на БЕСПЛАТНО Получите и скачайте эту благодарность

Свидетельство о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта.

Первичная по использованию ИКТ в работе учителя

Публикуйте минимум 10 материалов на БЕСПЛАТНО

Свидетельство о предъявлении обобщенного педагогического опыта общероссийского уровня

Опубликуйте минимум 15 материалов на БЕСПЛАТНО Получите и скачайте этот вид

Отличие в высоком профессионализме, проявившемся в процессе создания и развития собственного педагогического сайта в рамках проекта «Информоке»

Опубликуйте минимум 20 материалов на БЕСПЛАТНО получите и скачайте этот сертификат

Первичная за активное участие в работе по повышению качества образования совместно с проектом «Информоке»

Опубликуйте минимум 25 материалов на БЕСПЛАТНО получите и скачайте этот сертификат

Почетный диплом за научную и образовательную деятельность в рамках проекта «ИнфоРок»

Опубликуйте минимум 40 материалов на БЕСПЛАТНО Получите и загрузите этот почетный диплом.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта или размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может отличаться от мнения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, размещающие стабильные материалы на сайте.Однако редакция готова оказать всевозможную поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и наполнением сайта. Если вы заметили, что материалы на этом сайте используются незаконно, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Как найти неизвестный термин за вычетом сокращенного правила

Числовое выражение составляется по определенным правилам. Запись, в которой используются числа, знаки арифметического действия и скобки.

Пример: 7 · (15 — 2) — 25 · 3 + 1.

Чтобы найти числовое выражение, значение не содержащее скобок, нужно выполнить слева направо по порядку сначала все действия умножения и деления, а затем все действия сложения и вычитания.

Если в числовом выражении есть скобки, то действия выполняются в первую очередь.

Алгебраическое выражение — это составленная по определенным правилам запись, в которой используются буквы, числа, арифметические действия и скобки.

Пример: a + b +; 6 + 2 · (п — 1).

Если в алгебраическом выражении вместо буквы подставить число, то перейдем от алгебраического выражения к числовому: например, если в выражении 6 + 2 · (n — 1) вместо буквы N подставить число 25, то получится 6 + 2 · (25 — 1).

Таким образом,
6 + 2 · (n — 1) — алгебраическое выражение;
6 + 2 · (25 — 1) — числовое выражение;
54 — Значение числового выражения.

Уравнение называется равенством выражений, содержащих букву, если задача нахождения этой буквы поставлена ​​.Само письмо называется неизвестно . Значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается правильное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Пример:
x + 9 = 16 — уравнение; X — неизвестно.
При x = 7, 7 + 9 = 16 правильное числовое равенство, а значит 7 — корень уравнения.

Решите уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что это не так.

При решении простейших уравнений используются законы арифметических действий и правила нахождения составляющих действий.

Правила поиска составляющих действий:

1. Чтобы найти неизвестную скорость , необходимо из суммы известного выравнивания.
2. Чтобы найти minuend , необходимо прибавить разницу к вычитаемому.
3. Чтобы найти вычитаемого , необходимо вычесть разницу из уменьшения.

Если разница уменьшается, она будет вычтена.

Эти правила являются основой для подготовки к решению уравнений, решаемых в начальной школе с поддержкой правила соответствующего неизвестного компонента равенства.

Решите уравнение 24-x-19.

В уравнении вычтено неизвестное. Чтобы найти неизвестное готово, необходимо от уменьшительно-ласкательного вычесть разницу: х = 24 — 19, х = 5.

В стабильном учебнике математики действие сложения и вычитания изучается одновременно.В некоторых альтернативных учебниках (И.И. Аргенская, Н.Б. Истомин) сначала этюд, а потом вычитание.

Выражение формы 3 + 5 называется сумма
.

Цифры 3 и 5 в этой записи называются скорость
.

Запись вида 3 + 5 = 8 называется равенство
. Число 8 называется значением выражения .
Поскольку число 8 в данном случае получается в результате суммирования, его также часто называют суммой .

Найдите сумму чисел 4 и 6 (Ответ: количество чисел 4 и 6 равно 10).

Выражения формы 8-3 называются разницей.

Номер 8 называется сокращенный
, а число 3 — вычитаем .

Значение выражения — цифра 5 может также вызвать разницу.

Найдите разницу между числами 6 и 4. (ответ: разница между числами 6ia4 равна 2.)

Поскольку названия компонентов действий сложения и вычитания вводятся по договоренности (дети сообщают эти названия и должны запоминать), учитель активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и использования их названий в речи.

7. Найдите среди этих выражений те, в которых первый член (сокращенный, вычитаемый) равен 3:

8. Составьте выражение, в котором второй член (убывающий, вычитаемый) равен 5.Найдите его ценность.

9. Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Выделите красным цветом. Выберите примеры, в которых разница равна 2. Подчеркните их синим цветом.

10. Как они называют число 4 в выражении 5-4? Что за цифра 5? Найдите разницу. Приведем еще один пример, в котором разница равна одному и тому же числу.

11. Сокращение 18, вычитание 9. Найдите разницу.

12. Найдите разницу между числами 11 и 7. Назовите уменьшенное, вычитаемое.

Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действия сложения и вычитания:

Сложение можно проверить вычитанием:

57 + 8 = 65. Чек: 65-8 = 57

Из суммы одного вычли, получил другой совмещенный. Итак, сложение выполнено правильно.

Это правило применяется к проверке действия добавки при любой концентрации (при проверке вычислений с любыми числами).

Вычитание можно проверить, добавив:

63-9 = 54. Чек: 54 + 9 = 63

Разницу добавили вычли, получили уменьшили. Итак, вычитание произведено правильно.

Это правило касается и проверки вычитания с любыми числами.

В 3 классе дети знакомятся с правилами соотношения компонентов сложения и вычитания,
Это обобщение представлений ребенка о методах проверки сложения и вычитания:

Если сумма вычитания составляет одно слагаемое, то другое является основанием.

Поиск отправленный, сокращенный и разностный для первоклассников

Долгая дорога в мир знаний Начинается с первых примеров, простых уравнений и задач. В нашей статье мы рассмотрим уравнение дедукции, которое, как известно, состоит из трех частей: уменьшенной, вычитаемой разности.

Теперь рассмотрим правила расчета каждого из этих компонентов на простых примерах.

Чтобы юным математикам было проще и доступнее понять Азов, представьте эти сложные и пугающие термины с названиями чисел в уравнении.Ведь у каждого человека есть имя, за которым к нему обращаются, чтобы о чем-то спросить, что-то сказать, обменяться информацией. Учитель в классе, подводя ученика к доске, смотрит на него и называет имя. Таким образом, мы, глядя на числа в уравнении, можем очень легко понять, что это за имя. А после уже и обратимся к числу, чтобы решить уравнение правильно или даже найти потерянное число, чуть позже.

Интересно: сроки разряда — что это?

Но, ничего не зная о числах в уравнении, давайте с ними познакомимся.Для этого приведем пример: уравнение 5-3 = 2. Первое и самое большое число 5 После того, как мы взяли из него 3, оно становится меньше, убывает. Поэтому в мире математики его еще называют — редуцированный. Второе число 3, которое мы отнимаем от первого, тоже легко узнается и запоминается — оно вычитается. Глядя на третье число 2, мы видим разницу между убываемым и вычитаемым — это разница, которую мы получили в результате вычитания. Нравится.

Как найти неизвестное

мы встречаем трех братьев:

Но бывают случаи, когда часть номеров утеряна или просто неизвестна.Что делать? Все очень просто — чтобы найти такое число, нам нужно знать всего два других значения, а также несколько правил математики и, конечно же, уметь их использовать. Начнем с самой простой ситуации, когда нам нужно найти разницу.

Интересно: что такое хорда круга в геометрии, определении и свойствах.

Как найти разницу

Представьте, что мы купили 7 яблок, подарили их сестре 3 яблока и оставили себе какое-то количество.Уменьшено — это наши 7 яблок, количество которых уменьшилось. Приглушенный — это те 3 подаренных нами яблока. Разница в количестве оставшихся яблок. Что делать, чтобы узнать это количество? Решите уравнение 7-3 = 4. Таким образом, хотя мы подарили сестре 3 яблока, у нас все еще остается 4.

Правило поиска сокращено

Теперь мы знаем, что делать, если потеряно уменьшено .

Как найти франшизу

Рассмотрим, что делать , если потеряна франшиза .Представьте, что мы купили 7 яблок, принесли домой и пошли гулять, а когда вернулись — все осталось 4. Количество яблок, которые кто-то съел в наше отсутствие, будет. Обозначим это число в виде буквы Y. Получается уравнение 7-y = 4. Чтобы найти неизвестное готово, нужно знать простое правило и сделать следующее — от уменьшения разницы, то есть , 7 -4 = 3. Нашлось неизвестное значение, это 3. Ура! Теперь мы знаем, сколько его было съедено.

На всякий случай можете проверить наши успехи и подставить найденное вычтенное в исходный пример.7-3 = 4. Разница не изменилась, а значит, все сделали правильно. Было 7 яблок, съело 3, осталось 4.

Правила очень простые, но чтобы быть уверенным и ничего не забыть, вы можете сделать это — придумать простой и понятный пример. Для вычитания и, решая другие примеры, найдите неизвестные значения, просто подставляя числа и легко находя правильный ответ. Например, 5-3 = 2. Мы уже знаем, как найти и сократить 5, и вычесть 3, поэтому, решив более сложное уравнение, скажем, 25-x = 13, мы можем вспомнить наш простой пример и понять, что нужно найти Выжил неизвестный, нужно только забрать с 25 число 13, то есть 25-13 = 12.

Ну вот и познакомились с вычитанием, его основными участниками.

Мы можем отличить их друг от друга, выяснить, неизвестны ли они, и решить любые уравнения с их участием. Пусть эти знания помогут и пригодятся вам в начале интересного и увлекательного пути в страну математики. Удачи!

Составные задачи для поиска уменьшения, вычитания и разницы

Этот видеоурок доступен по подписке

У вас уже есть подписка? Приехать в

На этом уроке учащиеся познакомятся с составными заданиями на определение уменьшения, вычитания и разницы.Будет рассмотрено несколько составных задач (в нескольких действиях), в которых нужно будет найти разницу, вычитаемую и сокращаемую.

Повторим определение составных задач.

Составные задачи — это задачи, в которых ответ на основной вопрос задачи требует нескольких действий.

Давайте вспомним, составляющие, какое действие сокращается и вычитается. Это компоненты вычитания. В каком действии разница? И разница также является результатом вычитания.

Решение задачи 1.

Задача 1.

Рис. 2. Схема задания 1

Из схемы на рис. 2 Мы видим, что знаем все — это 90 роз. В этой задаче уменьшенная, состоящая из двух частей: вычитаемой и разностной. Мы видим, что размер франшизы нам еще неизвестен, но мы можем это узнать. Мы можем узнать, сколько роз в трех букетах. И неизвестное в этой задаче — это разница, мы найдем это вторым действием.

Во-первых, нам нужно знать, сколько роз в трех букетах. Букеты были одинаковыми, в каждом букете было по 9 роз. Итак, чтобы узнать, сколько роз в трех букетах, нужно повторить трижды, то есть 9 умножить на 3.

Сколько роз осталось? Мы ищем разницу. Чтобы найти разницу, нужно из приведенного вычитания вычесть. Из количества роз, которые принесли в магазин, -90 — вычтите количество роз, которые в букетах — 27.Итак, осталось 63 розы.

В задаче 1 мы нашли разницу. Такие задачи называются задачами поиска разницы .

Задача Решение 2.

Задача 2.

Рис. 4. Таблица проблем 2

Из схемы на рис. 4 Хорошо видно, что нас знают. Мы пока не знаем, сколько учебников на полках, но можем посчитать. Мы знаем, сколько учебников еще не положено на полки 8.И мы не знаем всего .
В данном случае это уменьшено. Итак, переходим к задаче , чтобы найти уменьшение .

Давайте запомним правило поиска уменьшения, если мы знаем франшизу и разницу. Чтобы найти уменьшительное, нам нужно добавить франшизу к разнице. Но это нам еще не известно, мы это узнаем.

Если каждая полка стоит 15 учебников, а таких полок 4, то можно узнать, сколько учебников стоит на полках. Для этого количество учебников на одной полке — 15 — умножьте на количество полок — 4.И мы определяем, что на четырех полках 60 книг.

А у нас осталось восемь учебников, они еще не положены на полки. Как узнать, сколько книг принесено в библиотеку? По количеству учебников на полках — 60 — складываем количество оставшихся учебников — 8 — и узнаем, что в школьную библиотеку принесли 68 книг.

Решение задачи 3.

Вы уже встречались с задачами найти разницу и найти уменьшительное.Определим, что неизвестно в задаче 3.

Задача 3.

Давайте выясним, что неизвестно в этой задаче.

Рис. 6. Схема для задания 3

Из схемы на рис. 6 Видно, что мы знаем целое — это количество бочек, в которых был Винни-Пуха — 10. В целом в нашей задаче сокращается то, что мы знаем. Та часть, которую он дал кролику, нам пока не известна, и это главный вопрос задания.Также известно, что оставшиеся кеги с Медом Винни-Пух кладут на две полки по 3 бочки на каждую полку. Мы пока не знаем, сколько бочек стоит на прилавках, но можем посчитать.

В этой задаче неизвестно вычитается. Чтобы нашел готовое, вам нужно из уменьшения , которое мы знаем , вычесть разницу , которая нам пока неизвестна. С разницей приступим к решению проблемы.

Винный пух на две полки составляет 3 бочки. Как узнать, сколько кег стоит на полках? Для этого нужно количество бочек на одной полке — 3 — повторить, то есть умножить на 2, так как полок было две.

Итак, из 10 бочек на прилавках стоят 6, а Винни-Пух остальным дал кролика. Как узнать, сколько бочонков с Медом Винни Пух дал кролику? Для этого воспользуемся правилом уменьшенной разницы, и у нас будет вычитаемая величина, равная 4. Итак, 4 бочки с Хани Винни Пух подарил своему другу кролика.

Сегодня на уроке мы познакомились с новым типом задач и научились правильно их решать. В следующем уроке мы решим составные задачи на различие и множественное сравнение.

Библиография

1. Александрова Е.И. Математика. 2 класс — М .: Капля, 2004.

.

2. Башмаков М.И., Нефодеова М.Г. Математика. 2 класс. — М .: Астрель, 2006.

.

3. Дорофеев Г.В., Мирака Т.И. Математика. 2 класс — М .: Просвещение, 2012.

.

Домашнее задание

Какие задачи называются составными? Компоненты какого действия сокращаются и вычитаются?

Ежик собрал 28 яблок. 9 из них он дал ёжику и ещё несколько протеина.Сколько яблок дал ежик белке, если у него было 12 яблок?

В банке были соленые огурцы. На завтрак съели 12 огурцов, а на обед — 21. Сколько огурцов было в банке, если в ней осталось 15 огурцов?

Туристы прошли в первый день 5 км, во второй день — 3 км. Сколько нужно пройти КМ, если он остается на расстоянии 2 км?

Долгий путь обширных навыков решение уравнений Он начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений.Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых есть сумма, разница, продукт или два частных числа, одно из которых неизвестно, и это число того стоит. То есть эти уравнения содержат неизвестный член, сокращенный, вычитаемый, множитель, делимый или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.

Здесь мы дадим правила нахождения неизвестного члена, множителя и т. Д. Более того, мы сразу рассмотрим применение этих правил на практике, решая характеристические уравнения.

Страница навигации.

Итак, подставляем 3 + x = 8 в исходное уравнение 3 + x = 8 вместо числа x 5, получаем 3 + 5 = 8 — это равенство верно, значит, мы правильно нашли неизвестную щелочь. Если при проверке мы получили неверное числовое равенство, это указывало бы на то, что мы упустили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение неправильного правила, которое необходимо, либо ошибки вычислений.

Как найти неизвестное уменьшенное, вычтенное?

Связь между сложением и вычитанием чисел, о которой мы уже упоминали в предыдущем абзаце, позволяет нам получить правило нахождения неизвестного уменьшения известной вычитаемой и разницы, а также правило нахождения неизвестного считается через известное сокращение и разницу.Сформулируем их по очереди и сразу решим решение соответствующих уравнений.

Чтобы найти неизвестную уменьшенную, необходимо к разнице прибавить франшизу.

Например, рассмотрим уравнение x-2 = 5. Оно содержит неизвестную убыль. Настоящее правило указывает, что для его нахождения мы должны прибавить к известной разности 5, мы имеем 5 + 2 = 7. Таким образом, желаемое уменьшение равно семи.

Если опустить пояснение, решение запишется так:
х-2 = 5,
х = 5 + 2,
х = 7.

Для самоконтроля выполните проверку. Подставляем полученную убыль в исходное уравнение, при этом получаем числовое равенство 7-2 = 5. Это правда, поэтому можете быть уверены, что мы правильно определили значение неизвестной убыли.

Вы можете приступить к поиску неизвестного вычитаемого. Это путем добавления дополнения к следующему правилу: , чтобы найти неизвестное готово, необходимо вычесть разницу из уменьшенного .

Решаю уравнение вида 9-х = 4 по записанному правилу.В этом уравнении вычитается неизвестное. Чтобы его найти, нам нужно из общеизвестной приведенной 9 взять некую разность 4, у нас 9-4 = 5. Таким образом, искомая вычитаемая равна пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9-x = 4,
x = 9-4,
x = 5.

Осталось только проверить правильность найденной вычитаемой. Проверим, для чего подставляем в исходное уравнение вместо x найденное значение 5, при этом получаем числовое равенство 9-5 = 4.Это правда, значит, значение правильного значения найдено.

И прежде чем переходить к следующему правилу, отметим, что в 6 классе учитывается правило решений, которое позволяет осуществить перенос любого соединения из одной части уравнения в другую с противоположными знакомыми. Так что все правила поиска неизвестного выравнивания, сокращенного и вычтенного вместе с ним полностью согласованы.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно …

Давайте посмотрим на уравнение x · 3 = 12 и 2 · y = 6.В них неизвестное число — множитель в левой части, а работа и второй множитель известны. Чтобы найти неизвестный множитель, можно использовать такое правило: , чтобы найти неизвестный множитель, необходимо разделить работу на известный множитель .

Основа этого правила состоит в том, что деление чисел, которые мы придали значению, инвертирует значение умножения. То есть между умножением и делением существует связь: из равенства A · b = c, при котором A ≠ 0 и B ≠ 0 следует, что C: a = b и c: b = c, и обратно.

Например, находим неизвестный множитель уравнения x · 3 = 12. По правилу нам нужно известное произведение 12 разделить на всем известный множитель 3. Потратим: 12: 3 = 4. Таким образом, неизвестный множитель равен 4.

.

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенства:
х · 3 = 12,
х = 12: 3,
х = 4.

Результат желательно проверить: подставляем вместо буквы найденное значение в исходном уравнении, получаем 4 · 3 = 12 — правильное числовое равенство, значит, мы правильно нашли значение неизвестного множителя.

И еще один момент: действуя по изученным правилам, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на разные известные множители. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножить и разделить на одно и то же ненулевое число, это не влияет на корни уравнения.

Как найти неизвестный разделитель, разделитель?

В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестный делитель с известным делителем и приват, а также как найти неизвестный делитель с известным делением и приват.Ответить на эти вопросы позволяет уже упоминавшаяся в предыдущем абзаце связь между умножением и делением.

Чтобы найти неизвестное деление, нужно умножить делитель.

Рассмотрим его применение на примере. Пусть уравнение x: 5 = 9. Чтобы найти неизвестное деление этого уравнения, по правилу умножая известное частное 9 на всем известный делитель 5, то есть производим умножение натуральных чисел: 9 · 5 = 45.Таким образом, желаемый делитель равен 45.

Покажем краткую запись решения:
x: 5 = 9,
x = 9 · 5,
x = 45.

Проверка подтверждает, что значение неизвестного деления найдено правильно. Ведь при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 имеется в виду правильное числовое равенство 45: 5 = 9.

Обратите внимание, что дизассемблированное правило можно интерпретировать как умножение обеих частей уравнения на хорошо известный делитель.Такое преобразование не влияет на корни уравнения.

Перейти к правилу поиска неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, необходимо разделить на частный .

Рассмотрим пример. Находим неизвестный делитель из уравнения 18: x = 3. Для этого нам понадобится известный делитель 18, разделенный на известные частные 3, у нас 18: 3 = 6. Таким образом, искомый делитель равен шести.

Решение может быть оформлено следующим образом:
18: x = 3,
x = 18: 3,
x = 6.

Проверьте этот результат на достоверность: 18: 6 = 3 — правильное числовое равенство, значит, корень уравнения найден правильно.

Понятно, что это правило можно использовать только тогда, когда приват отличен от нуля, чтобы не встретить деление на ноль. Когда приват равен нулю, возможны два случая. Если при этом делимом равном нулю, то есть уравнение имеет вид 0: x = 0, то это уравнение удовлетворяет любому другому значению делителя. Другими словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю.Если при равном нуле частное деление отличается от нуля, то при любых значениях делителя исходное уравнение не относится к правильному числовому равенству, то есть уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5: x = 0, оно не имеет решений.

Правила обмена

Последовательное применение правил поиска неизвестного выравнивания, уменьшения, представления, множителя, деления и делителя позволяет решать уравнения с одной переменной более сложного вида.Разберемся с этим на примере.

Рассмотрим уравнение 3 · X + 1 = 7. Сначала можно найти неизвестный член 3 · X, для этого необходимо из суммы 7 отнять известный член 1, получим 3 · x = 7- 1 и далее 3 · x = 6. Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив работу 6 на известный множитель 3, имеем x = 6: 3, откуда x = 2. Итак, корень из числа исходное уравнение было найдено.

Для закрепления материала приводим сводку Еще одно уравнение (2 · X-7): 3-5 = 2.
(2 · X-7): 3-5 = 2,
(2 · x-7): 3 = 2 + 5,
(2 · x-7): 3 = 7,
2 · x -7 = 7 · 3,
2 · x-7 = 21,
2 · x = 21 + 7,
2 · x = 28,
x = 28: 2,
x = 14.

Библиография.

• Математика. . 4 класс. Исследования. Для общего образования. учреждения. Через 2 ч. 1 / [М. Моро И., Бантова М. А., БЕЛТЮКОВА Г. В. и др.] — 8-е изд. — М .: Просвещение, 2011. — 112 с .: Ил. — (Школа России).- ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика : учеб. за 5 кл. общее образование. Учреждения / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. — 21-е изд., Чед. — М .: Мнемозина, 2007. — 280 с .: Ил. ISBN 5-346-00699-0.

Для поиска неизвестного нужно разделить.

Долгий путь обширных навыков решение уравнений Он начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых есть сумма, разница, продукт или два частных числа, одно из которых неизвестно, и это число того стоит.То есть эти уравнения содержат неизвестный член, сокращенный, вычитаемый, множитель, делимый или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.

Здесь мы дадим правила нахождения неизвестного члена, множителя и т. Д. Более того, мы сразу рассмотрим применение этих правил на практике, решая характеристические уравнения.

Страница навигации.

Итак, подставляем 3 + x = 8 в исходное уравнение 3 + x = 8 вместо числа x 5, получаем 3 + 5 = 8 — это равенство верно, значит, мы правильно нашли неизвестную щелочь.Если при проверке мы получили неверное числовое равенство, это указывало бы на то, что мы упустили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение неправильного правила, которое необходимо, либо ошибки вычислений.

Как найти неизвестное уменьшенное, вычтенное?

Связь между сложением и вычитанием чисел, о которой мы уже упоминали в предыдущем абзаце, позволяет нам получить правило нахождения неизвестного уменьшения известной вычитаемой и разницы, а также правило нахождения неизвестного считается через известное сокращение и разницу.Сформулируем их по очереди и сразу решим решение соответствующих уравнений.

Чтобы найти неизвестную уменьшенную, необходимо к разнице прибавить франшизу.

Например, рассмотрим уравнение x-2 = 5. Оно содержит неизвестную убыль. Настоящее правило указывает, что для его нахождения мы должны прибавить к известной разности 5, мы имеем 5 + 2 = 7. Таким образом, желаемое уменьшение равно семи.

Если опустить пояснение, решение запишется так:
х-2 = 5,
х = 5 + 2,
х = 7.

Для самоконтроля выполните проверку. Подставляем полученную убыль в исходное уравнение, при этом получаем числовое равенство 7-2 = 5. Это правда, поэтому можете быть уверены, что мы правильно определили значение неизвестной убыли.

Вы можете приступить к поиску неизвестного вычитаемого. Это путем добавления дополнения к следующему правилу: , чтобы найти неизвестное готово, необходимо вычесть разницу из уменьшенного .

Решаю уравнение вида 9-х = 4 по записанному правилу.В этом уравнении вычитается неизвестное. Чтобы его найти, нам нужно из общеизвестной приведенной 9 взять некую разность 4, у нас 9-4 = 5. Таким образом, искомая вычитаемая равна пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9-x = 4,
x = 9-4,
x = 5.

Осталось только проверить правильность найденной вычитаемой. Проверим, для чего подставляем в исходное уравнение вместо x найденное значение 5, при этом получаем числовое равенство 9-5 = 4.Это правда, значит, значение правильного значения найдено.

И прежде чем перейти к следующему правилу, отметим, что в 6 классе учитывается правило решений, которое позволяет переносить любое скомпилированное из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так что все правила поиска неизвестного выравнивания, сокращенного и вычтенного вместе с ним полностью согласованы.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно …

Давайте посмотрим на уравнение x · 3 = 12 и 2 · y = 6.В них неизвестное число — множитель в левой части, а работа и второй множитель известны. Чтобы найти неизвестный множитель, можно использовать такое правило: , чтобы найти неизвестный множитель, необходимо разделить работу на известный множитель .

Основа этого правила состоит в том, что деление чисел, которые мы придали значению, инвертирует значение умножения. То есть между умножением и делением существует связь: из равенства A · b = c, при котором A ≠ 0 и B ≠ 0 следует, что C: a = b и c: b = c, и обратно.

Например, находим неизвестный множитель уравнения x · 3 = 12. По правилу нам нужно известное произведение 12 разделить на всем известный множитель 3. Потратим: 12: 3 = 4. Таким образом, неизвестный множитель равен 4.

.

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенства:
х · 3 = 12,
х = 12: 3,
х = 4.

Результат желательно проверить: подставляем вместо буквы найденное значение в исходном уравнении, получаем 4 · 3 = 12 — правильное числовое равенство, значит, мы правильно нашли значение неизвестного множителя.

И еще один момент: действуя по изученным правилам, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на разные известные множители. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножить и разделить на одно и то же ненулевое число, это не влияет на корни уравнения.

Как найти неизвестный разделитель, разделитель?

В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестный делитель с известным делителем и приват, а также как найти неизвестный делитель с известным делением и приват.Ответить на эти вопросы позволяет уже упоминавшаяся в предыдущем абзаце связь между умножением и делением.

Чтобы найти неизвестное деление, нужно умножить делитель.

Рассмотрим его применение на примере. Пусть уравнение x: 5 = 9. Чтобы найти неизвестное деление этого уравнения, необходимо по правилу умножить знаменитое частное 9 на всем известный делитель 5, то есть произвести умножение натуральных чисел: 9 · 5 = 45.Таким образом, желаемый делитель равен 45.

Покажем краткую запись решения:
x: 5 = 9,
x = 9 · 5,
x = 45.

Проверка подтверждает, что значение неизвестного деления найдено правильно. Ведь при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 имеется в виду правильное числовое равенство 45: 5 = 9.

Обратите внимание, что дизассемблированное правило можно интерпретировать как умножение обеих частей уравнения на хорошо известный делитель.Такое преобразование не влияет на корни уравнения.

Перейти к правилу поиска неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, необходимо разделить на частный .

Рассмотрим пример. Находим неизвестный делитель из уравнения 18: x = 3. Для этого нам понадобится известный делитель 18, разделенный на известные частные 3, у нас 18: 3 = 6. Таким образом, искомый делитель равен шести.

Решение может быть оформлено следующим образом:
18: x = 3,
x = 18: 3,
x = 6.

Проверьте этот результат на достоверность: 18: 6 = 3 — правильное числовое равенство, значит, корень уравнения найден правильно.

Понятно, что это правило можно использовать только тогда, когда приват отличен от нуля, чтобы не встретить деление на ноль. Когда приват равен нулю, возможны два случая. Если при этом делимом равном нулю, то есть уравнение имеет вид 0: x = 0, то это уравнение удовлетворяет любому другому значению делителя. Другими словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю.Если при равном нуле частное деление отличается от нуля, то при любых значениях делителя исходное уравнение не относится к правильному числовому равенству, то есть уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5: x = 0, оно не имеет решений.

Правила обмена

Последовательное применение правил поиска неизвестного выравнивания, уменьшения, представления, множителя, деления и делителя позволяет решать уравнения с одной переменной более сложного вида.Разберемся с этим на примере.

Рассмотрим уравнение 3 · X + 1 = 7. Сначала можно найти неизвестный член 3 · X, для этого необходимо из суммы 7 отнять известный член 1, получим 3 · x = 7- 1 и далее 3 · x = 6. Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив работу 6 на известный множитель 3, имеем x = 6: 3, откуда x = 2. Итак, корень из числа исходное уравнение было найдено.

Для закрепления материала дадим краткое решение еще одного уравнения (2 · X-7): 3-5 = 2.
(2 · X-7): 3-5 = 2,
(2 · x-7): 3 = 2 + 5,
(2 · x-7): 3 = 7,
2 · x -7 = 7 · 3,
2 · x-7 = 21,
2 · x = 21 + 7,
2 · x = 28,
x = 28: 2,
x = 14.

Библиография.

• Математика. . 4 класс. Исследования. Для общего образования. учреждения. Через 2 ч. 1 / [М. Моро И., Бантова М. А., БЕЛТЮКОВА Г. В. и др.] — 8-е изд. — М .: Просвещение, 2011. — 112 с .: Ил. — (Школа России).- ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика : учеб. за 5 кл. общее образование. Учреждения / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. — 21-е изд., Чед. — М .: Мнемозина, 2007. — 280 с .: Ил. ISBN 5-346-00699-0.

Чтобы найти неизвестный термин, вам необходимо …………………………………. ………………………………………….. …….. .. Результат двух и более факторов называется …………………………. ………. ……… Чтобы найти разделение, вам нужно …………………….. ………………………………………….. ……………………… Результат вычитания чисел называется …………… ……… ………………………………….. ………. Результат сложения двух и более компонентов называется ………………………. …………….. Найти неизвестный множитель …………… …………. ………………………………….. Результат деления чисел называется …………………………………………… ……………………… Чтобы найти уменьшенную, вам необходимо ……………. ………………………………………….. ……………… Чтобы найти разделитель, вам потребуется ……………………. ……… ………………………………….. …………. Чтобы найти франшизу, вам необходимо ………………………… ………………………………………….. … Чтобы узнать, насколько одно число больше или меньше другого, вам нужно…………………………………………… ………………………………………….. ………. …………………………………. ………………………………………….. …………………………………… …….. ………………………………………….. ………………………………….. В выражении без скобок, содержащем только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются ……………………………………………………………… ……………… В выражениях, содержащих квадратные скобки, сначала выполняются все действия ……………….. ………………………………………….. ……………………………………… ….. ………………………………………….. ………………………………………….. ……………………………………… ….. ……………. .. Периметр рисунка …………………….. ………………………………………………… ……………………………….. ………… ………………………………………….. …………………… Площадь периметра ………………….. …………………………………….. …… ……………………………… Полупериод прямоугольника …… ………………………………………….. ………………………………………….. ………………………………………….. .Чтобы найти сторону квадрата ……………… Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно ………… ………………………………………….. ……… Чтобы найти ширину прямоугольника, необходимо ………………… ………. ……………….. Чтобы найти длину прямоугольника, вам нужно ……………….. …………………………………………..

Чтобы найти неизвестный член, необходимо из суммы вычитания другого члена.
Результат умножения двух или более множителей называется произведением.
Чтобы найти деление, необходимо умножить делитель на частное.

Результат вычитания чисел называется разницей
Результат сложения двух и более компонентов называется суммой.
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо разделить работу на другой множитель.
Результат деления чисел называется личным.
Чтобы найти убавляемую, необходимо прибавить разницу к вычитаемой.
Чтобы найти разделитель, нужно разделить на частные.
Чтобы найти франшизу, необходимо вычесть разницу из уменьшения.
Чтобы определить, насколько одно число больше или меньше другого, необходимо использовать большее количество франшизы.
…………………………………………………………………………………………………………… ..

Чтобы узнать, сколько раз одно число больше или меньше другого, вам нужно отделить меньшее.

………………………………………………………………………………………………………………….

В выражении бессмысленных скобок
, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление,
Действия выполняются по порядку. ………………… ……………………….. …………………………………..

В выражениях, содержащих квадратные скобки, все сначала выполняются действия в скобках. ……………………… ..

………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………… ..

Периметр фигуры равен сумме длин всех сторон.

Периметр прямоугольника равен сумме обеих сторон, умноженной на 2. p = 2 * (a + c) ………………………………………………………… ……………

Периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на 4 ………………………….. ………………………………………….. ……………………..

Полупериод прямоугольника — это длина обеих сторон ……… ………………………………………….. ………………………… ..

Чтобы найти сторону квадрата, необходимо периметр поделить на периметр ………………….. ……………………

Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо длину умножить на значение ширины.
Чтобы найти ширину прямоугольника, необходимо разделить его площадь на длину. …………………………………………..

Чтобы найти длину прямоугольника, необходимо разделить его площадь на ширину…………………………………………… ………………..

Цель:

• Познакомить детей с решением уравнений на основе сокращенного общения с вычитанием и различием, выраженным в виде выражения.
• Совершенствуйте навыки обучения складыванию и вычитанию многозначных чисел.
• Развивайте навык грамотно, логично, полно отвечайте на вопросы;
• Развивайте мыслительные процессы: память, мышление.воображение. Восприятие, внимание, эмоции.
• Воспитание в тюрьме, уверенность в своих силах, аккуратность при выполнении заданий, ответственность, любознательность, интерес к предмету.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний учащихся.

Форма урока: Урок-путешествие

Методы:

• Замечательно
• Практический
• Визуальный
• Частичный поиск

Оборудование:

• интерактивная доска, презентация, макеты Кубы, открытки, билеты с заданиями, методические пособия.

На занятиях

Org. момент

1. Психологическая обстановка

Раздался звонок.
Урок начинается.
Встаньте прямо, не убеждайтесь
Даже на столе посмотрите.
Все на месте, хорошо:
Книга, ручка и блокнот.
Знает каждого ученика
Потребуется дневник.

Привет, ребята. Сели.

Перейдем к новой теме.

Ребята, а вы любите путешествовать?

Сегодня у нас необычный урок.Отправляемся в путешествие по Казахстану на самолете. Капитан, я приму тебя. Вы назначены моими помощниками. И мы отправимся по городам Казахстана, где нас ждет много интересного. Отправляясь в путешествие, мы возьмем с собой знания, навыки, умения и дружбу. Эти качества помогут преодолеть все препятствия и достичь желаемой цели.

Мотивация:

Попробуй разобраться во всем
Ответить полностью
Так что получишь,
Только пятерка.

Итак, предлагаю устный счет

Наша задача закрепить вычислительные навыки

Слайд 2 с ответами

А) Уменьшить число 600 до 330 = 270

Б) увеличиваем число 400 до 460 = 860

В) Найдите сумму чисел 560 и 240 = 800

Г) Найдите разницу между числами 270 и 90 = 180

E) произведение чисел 36 и 3 равно 72? нет, а сколько 90 + 18 = 108

E) Делими — 75, делитель — 25, частное равно 3? Да докажи 60 + 15 = 75

Найдите периметр и квадрат со стороной 8 мм

Слайд 3 — Таблица

Таблица заполнения задач

Ответы 6,130,32,899,706,1376

В первой строке — уменьшено

Во второй строке — вычтено

В третьей строке — разница

В первом столбце, который неизвестен — вычтено

Как найти франшизу?

Дети — Чтобы найти франшизу из уменьшенной разницы вычетов.

Во втором столбце — неизвестно уменьшено

Как найти убавленный?

Дети: Чтобы найти уменьшенную, нужно вычесть, чтобы сложить с разницей

Ответы 6,130,32, 899,706,1376

Вывод: Итак, как найти прочитанное …

Как найти уменьшенное …..

Кто уже мог догадаться назвать тему нашего урока?

Дети: найдите уменьшенное, вычтенное

Тема урока: поиск неизвестного убывания, неизвестное вычитаемое

Наша задача урока: научиться решать с неизвестными убывающими и вычитаемыми уравнениями.

Откройте блокнот и напишите число

Проверьте осанку, как тетрадь лежит, ступни к полу поставьте

Дети: Мы решили уравнения, нашли неизвестное уменьшенное и вычитаемое. Мы научились решать уравнения с неизвестным.

Как найти убавленный? Вычитаемое?

• Чтобы найти неизвестный термин, необходимо по значению значения известного знаменитому термину
• Чтобы найти неизвестное уменьшенное значение, необходимо прибавить к разнице вычтенное значение
• Чтобы найти неизвестную вычитаемую, необходимо взять значение разницы из уменьшения

გადაწყვეტილება мат 1 ч. 3 кл. რა არის სახელმძღვანელოში

მათემატიკის СОРТ 3.

Моро, Бантова, Бельтюкова

რუსეთის სკოლა

Განათლება

Трекч კლასის მოსწავლეები ელოდება რთულ წელს. არა მხოლოდ მათ მოუწევთ მრავალი ახალი ინფორმაციის დასაფარავად, ასევე მუდმივი შემოწმების სამუშაოები გაანადგურეს რუტიდან. სწორედ ამიტომ სისტემატური შესწავლა решебник სახელმძღვანელოს «მათემატიკის 3 класс» Моро, Бантова, Бельтюкова მას შეუძლია ხელი შეუწყოს მოსწავლეებს, რადგან ამ კოლექციაში ყველაფერი დეტალურადაა და ნათლად.

რა არის სახელმძღვანელოში.

კოლექცია ორ ნაწილად იყოფა, რომელთაგან თითოეული ასი თერთმეტი გვერდია. ასევე GDZ მათემატიკაში 3 კლასი წარმოდგენილია ძირითადი და მაღალი დონის სირთულის ამოცანები. პარაგრაფების დამატებითი კითხვები მოსწავლეებს დაეხმარება, რომ შეისწავლონ მასალების კონსოლიდაცია.

რა არის საჭირო.

ტრენინგი სკოლებში იმდენად რთულია, რომ მოსწავლეები უფრო მეტად იწყებენ ისტერიული მანიფესტაციებისა და სრული ფსიქოზისგან. ბავშვთა შორის სუიციდური მცდელობის პროცენტული მაჩვენებელი კრიტიკულ დონეზე აღწევს, ყველა მათგანი არ უკავშირდება ე.წ. «სიკვდილი ჯგუფებს». და მხოლოდ ძალიან მძიმე დატვირთვები, რომ ბავშვები განიცდიან სწავლის დროს, არღვევს უკვე არასტაბილურ ფსიქიკას. ასევე არ არის საინტერესო და ის ფაქტი, რომ პროგრამის გართულების მიუხედავად, გარკვეული მიზეზების გამო პედაგოგებს ჯერ კიდევ არ აქვთ ახალი პირობები, ამიტომ მშობლები ხშირად იყენებენ თავიანთი შთამომავლების ცოდნას, რომელიც გაკვეთილების შემდეგ წარმოიქმნება. Решебник № «მათემატიკის 3 класс» Моро ეს სასარგებლო იქნება. «», 2012

: განათლება 2015 წელი.

ინტერნეტში მოსწავლეებს სწავლისთვის ბევრი შესაძლებლობა აძლევს — აქ თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ გამოსავალი, რომ დაწერა, ან მიიღოთ დამატებითი ცოდნა. მშობლების უმრავლესობა კრძალავს მათი შვილების ინფორმაციის ელექტრონული წყაროების გამოყენებას. თუმცა, ასეთი ცოდნა არ არის ბოროტი, მაგრამ მხოლოდ ინსტრუმენტი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორივე.

მათემატიკა ადრე თუ გვიან იწვევს სირთულეებს კი შესანიშნავი. და თუ მშობელი სურს გაიზარდოს თავისი შვილი დამოუკიდებელი და დამოუკიდებელი მოზარდების მუდმივი დახმარებისგან, მას მოუწევს სტუდენტის გამოყენება მისთვის სასარგებლო რესურსების მომზადებაში — მათ ჩათვლით საშინაო დავალება.

მჭირდება GDZ დაწყებითი სკოლის მოსწავლეები?

თუ ხანდაზმული ბავშვები არ ითხოვენ Moms და Dads, მაგრამ მხოლოდ ჩამოტვირთვა საჭირო მასალები, ასეთი პრივილეგიების მესამე კლასის მოსწავლეები კვლავ ჩამოერთვათ. და მათი სიტუაციის საშინაო დავალების გამოყენებისას, მხოლოდ მშობლები შეიძლება გადაჭრას. ონლაინ решебник მათემატიკაში 3 класс (ავტორები М.и Моро, М.А. Бантова და Бельтюкова Г.В.) : — არ არის детская кроватка და არ ნიღბს «სახლის» მომზადებაზე. დღეს კი, ახალგაზრდა მოსწავლეებიც კი გადამოწმებულნი არიან პროცესში.დამოუკიდებელი მუშაობა. წიგნი დაეხმარება:

• მესმის თემის გარეშე მასწავლებლის ან მოზარდების გარეშე;
• უფრო დამოუკიდებელი გახდება;
• თქვენ შეგიძლიათ მარტივად მკურნალობა შეცდომები და არასწორი პასუხი — ისინი ყოველთვის შეიძლება მუშაობდეს საკუთარ თავზე.

სახელმძღვანელოს აღწერა

წარმოადგინა Решебник для 3 класса ქვეშ ავტორიზაციის М.и. მორო. მოამზადებს გადამოწმებას და კონტროლის სამუშაო, «საშინაო დავალებების შესრულებისას ახალი ამოცანები დაიშალა.»პუბლიკაციაში წარმოდგენილი ერთგული რეაგირება შეესაბამება სტანდარტულ სამუშაო პროგრამას გამოიყენებს ჩვეულებრივი სკოლების და მათ, ვინც მათემატიკას სწავლობს. საბაჟო მოთხოვნების შესაბამისად მარტივი სტრუქტურისა და დიზაინის წყალობით, ეს შემწეობა აუცილებელია არა მხოლოდ ახალგაზრდა სტუდენტებისთვის, არამედ მათი მასწავლებლებისთვის. წიგნი ხელს შეუწყობს გაკვეთილისთვის ინფორმაციის მოამზადებას და ბავშვებისთვის ახალი საიმედო წყარო გახდება. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამოცემა ონლაინში ჩვენს საიტზე — საკმარისია სასურველი სწავლების ნომერი.

ГДЗ К. სამუშაო ნოუთბუქი მათემატიკაში 3 класс Моро М.и. შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ.

GDZ- ს სამსახურში შესამოწმებლად მათემატიკაში 3 კლასის ვოლკოვა S.i. შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ.

ГДЗ- სთვის Математика- ში სასწავლო მიღწევების ნოუთბუქისთვის 3 კლასის Волкова С.И.- ს შეუძლია ჩამოტვირთოთ.

ГДЗ- სთვის Глаголев Ю.- მე -3 კლასში მათემატიკის გაზომვის მასალების გაზომვა შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ

: განათლება 2015 წელი.

ინტერნეტში მოსწავლეებს სწავლისთვის ბევრი შესაძლებლობა აძლევს — აქ თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ გამოსავალი, რომ დაწერა, ან მიიღოთ დამატებითი ცოდნა.მშობლების უმრავლესობა კრძალავს მათი შვილების ინფორმაციის ელექტრონული წყაროების გამოყენებას. თუმცა, ასეთი ცოდნა არ არის ბოროტი, მაგრამ მხოლოდ ინსტრუმენტი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორივე.

მათემატიკა ადრე თუ გვიან იწვევს სირთულეებს კი შესანიშნავი. და თუ მშობელი სურს გაიზარდოს თავისი შვილი დამოუკიდებელი და დამოუკიდებელი მოზარდების მუდმივი დახმარებისგან, მას მოუწევს სტუდენტის გამოყენება მისთვის სასარგებლო რესურსების მომზადებაში — მათ ჩათვლით საშინაო დავალება.

მჭირდება GDZ დაწყებითი სკოლის მოსწავლეები?

თუ ხანდაზმული ბავშვები არ მოითხოვონ Moms და Dads, მაგრამ უბრალოდ ჩამოტვირთოთ საჭირო მასალები, მაშინ ასეთი პრივილეგიების მესამე კვლავ ჩამოერთვათ.და მათი სიტუაციის საშინაო დავალების გამოყენებისას, მხოლოდ მშობლები შეიძლება გადაჭრას. ონლაინ решебник მათემატიკაში 3 класс (ავტორები М.и Моро, М.А. Бантова და Бельтюкова Г.В.) : — არ არის детская кроватка და არ ნიღბს «სახლის» მომზადებაზე. დღესაც კი, ახალგაზრდა მოსწავლეები დამოუკიდებელი მუშაობის პროცესშიც შემოწმდებიან. წიგნი დაეხმარება:

• მესმის თემის გარეშე მასწავლებლის ან მოზარდების გარეშე;
• უფრო დამოუკიდებელი გახდება;
• თქვენ შეგიძლიათ მარტივად მკურნალობა შეცდომები და არასწორი პასუხი — ისინი ყოველთვის შეიძლება მუშაობდეს საკუთარ თავზე.

სახელმძღვანელოს აღწერა

წარმოადგინა Решебник для 3 класса ქვეშ ავტორიზაციის М.и. მორო. იგი მოამზადებს გადამოწმებას და ტესტირებას, დაიშალა ახალი ამოცანები «საშინაო დავალებების» შესრულებისას. პუბლიკაციაში წარმოდგენილი ერთგული რეაგირება შეესაბამება სტანდარტულ სამუშაო პროგრამას გამოიყენებს ჩვეულებრივი სკოლების და მათ, ვინც მათემატიკას სწავლობს. საბაჟო მოთხოვნების შესაბამისად მარტივი სტრუქტურისა და დიზაინის წყალობით, ეს შემწეობა აუცილებელია არა მხოლოდ ახალგაზრდა სტუდენტებისთვის, არამედ მათი მასწავლებლებისთვის.წიგნი ხელს შეუწყობს გაკვეთილისთვის ინფორმაციის მოამზადებას და ბავშვებისთვის ახალი საიმედო წყარო გახდება. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამოცემა ონლაინში ჩვენს საიტზე — საკმარისია სასურველი სწავლების ნომერი.

ГДЗ სამუშაო ნოუთბუქის მათემატიკაში 3 класс Моро М.и. შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ.

GDZ- ს სამსახურში შესამოწმებლად მათემატიკაში 3 კლასის ვოლკოვა S.i. შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ.

ГДЗ- სთვის Математика- ში სასწავლო მიღწევების ნოუთბუქისთვის 3 კლასის Волкова С.И.- ს შეუძლია ჩამოტვირთოთ.

ГДЗ- სთვის Глаголев Ю.- მე -3 კლასში მათემატიკის გაზომვის მასალების გაზომვა შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ

არითმეტიკული კვლევის შესახებ, მათემატიკის პირველი ნაწილი, დროა დაწყებითი სკოლა. მოსწავლეებს უნდა დაეუფლონ გამრავლების მაგიდას, ვისწავლოთ ოპერაციების შესრულება (გარდა ამისა, გამოკლება, განყოფილება, რიცხვითი ნარჩენების ძიება, გამრავლება) ბუნებრივი ნომრებით, სამი ტიპის მარტივი პრაქტიკული ამოცანების მოსაგვარებლად და ასევე გაიგოს, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ ახორციელებს ათობითი რიცხვი.ეს არის ამ დისციპლინის განვითარების წარმატება, რომ ზოგადი განათლების ხარისხი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი ბავშვს შეუძლია მიმართოს. მოსწავლეები სხვადასხვა შესაძლებლობებით ზუსტ მეცნიერებებში მოითხოვს სპეციალურ მიდგომას და პედაგოგიურ ყურადღებას.

Моро м.и., бантова м.а. და Бельфюкова Г.В. Решебник ავტორები 3 класс. გამომცემლობა «განმანათლებლობა» პასუხისმგებელია ბეჭდვისა და განაწილების მომზადებისთვის ეს სახელმძღვანელო 2019 წელს. ონლაინ შედგენა შეესაბამება GEF- ს. რეკომენდირებულია ყველასთვის ზოგადი განათლების ორგანიზაციების გამონაკლისი.რუსეთის ფედერაცია დაწყებითი სკოლის გამოყენება.

რატომ მესამე კლასის მოსწავლეები გიყვართ GDZ Moro მათემატიკაში?

სინამდვილეში ყველაფერი ძალიან მარტივია. ამოცანების შეგროვებას მზა პასუხი ადვილია. წარმატებით შერჩეული და კარგად დახარისხებული ამოცანების წყალობით, პრაქტიკულად არ არის რთული. საკმარისია კომპიუტერის, ტელეფონით ან ტაბლეტის ჩართვა ჩვენს საიტზე. მაგიდის მაჩვენებელზე, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ სასურველი სწავლების რაოდენობა და გაეცანით მის სწორ შესრულებას. ამის შემდეგ აუცილებელია მიღებული ღირებული უნარებისა და უნარების უზრუნველსაყოფად.Моро Маоуро, Бельтюкова, Бельтюкова საიტზე აქვს შემდეგი უპირატესობები:

• ოთახები ადვილად იპოვონ ნიშანი;
• წარმოდგენილია სახელმძღვანელოების ყველაზე რეალური ვერსიები;
• მასალები მუდმივად განახლდება;
• პასუხი გვერდზე ხელმისაწვდომია ნებისმიერ დროს.

ერთად GDZ ადვილია მოამზადოს კონტროლისა და გადამოწმების სამუშაო, შეასრულოს ტესტები, გაიმეორეთ დავიწყებული თემა. სისტემატური კლასები გამოიწვევს აკადემიური სპექტაკლის ზრდას და საკუთარ ძალებში უფრო მეტ ნდობას.

რატომ решебник 3 კლასის Моро და Бангеры მარჯვენა Репетитор?

არ გაატაროთ ბავშვი დამატებითი ინდივიდუალური კლასებით კერძო პედაგოგებთან ან კურსებზე. GDZ- ის დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ თქვენი შვილის პირადი დამრიგებელი გახდე და მიღწეული შედეგი შეიძლება კიდევ უფრო უკეთესი იყოს. ყველამ იცის, რა არის უფრო სასიამოვნო, რომ გააკეთოს დედა ან მამა, ვიდრე უცნობი დეიდა. საიტის გამოყენებით, თქვენ მიიღებთ ცოდნას რიცხვებით, გაზომვის, გეომეტრიული ფორმების ერთეულებზე, სვეტში ოპერაციების შესრულებაზე.ყველა წვრთნები გადაწყდება მოთხოვნებისა და რეგულაციების მიხედვით. მესამე კლასში ძირითადი თემები იქნება შემდეგი თემები:

• ბუნებრივი ნომრების წარმომადგენლობა;
• განსახლებისა და სუბტრაქციული ტექნიკა;
• თანასწორობა და უთანასწორობა. ამოცანები ორი ნომრის შედარებით;
• რეი, სწორი ხაზი, დაჭრილი. მუშაობა მმართველთან;

2-ნაწილში ონლაინ შედგენა არ არის წყარო, რომელიც ადვილად დაწერა საშინაო დავალებას. პირიქით, ეს არის ინსტრუმენტი, რომელიც ღრმა გაგებაა სუბიექტისა და მისი უნარების განვითარებისთვის.

.