Дидактические материалы потапов шевкин 11 класс: ГДЗ по Алгебре за 11 класс Дидактические материалы МГУ

Содержание

Решебник по алгебре за 11 класс, ответы онлайн

ГДЗ
11 класс
Алгебра

Алгебра 11 класс
дидактические материалы
Авторы:
Ивлев Б.М. Саакян С.М.
Алгебра 10-11 класс
Авторы:
Ш.А. Алимов Ю.М. Колягин
Алгебра 10-11 класс
Учебник, Задачник
Автор: А. Г. Мордкович
Алгебра 10-11 класс
Авторы:
А.Н. Колмогоров А.М. Абрамов
Алгебра 11 класс
Авторы:
Е.П. Кузнецова Г.Л. Муравьева
Алгебра 11 класс
Авторы:
Г.П. Бевз В.Г. Бевз

Алгебра 11 класс
Авторы:
Мерзляк А.Г. Номіровський Д.А.
Алгебра 11 класс
Авторы:
Є. П. Неліна О.Є. Долгова
Алгебра 11 класс
Авторы:
М.І. Шкіль З.І. Слєпкань
Алгебра 11 класс
сборник задач
Авторы:
Е. П. Кузнецова Г. Л. Муравьева
Алгебра 11 класс
сборник задач
Авторы:
А.Г. Мерзляк В.Б. Полонський
Алгебра 11 класс
Авторы:
Никольский С. М. Потапов М. К.

Алгебра 11 класс
Авторы:
Муравин Г. К. Муравина О.В.
Алгебра 11 класс
Авторы:
Колягин Ю.М. Ткачева М.В.
Алгебра 11 класс
Учебник, Задачник
Авторы:
Мордкович А.Г. Денищева О.Л.
Алгебра 11 класс
Авторы:
Мерзляк А.Г. Номировский Д.А.
Алгебра 11 класс
дидактические материалы
Авторы:
Шабунин М.И. Газарян Р.Г.
Алгебра 10-11 класс
самостоятельные и контрольные работы
Авторы:
Ершова А. П. Голобородько В.В.

Алгебра 11 класс
контрольные работы
Автор: Глизбург В.И.
Алгебра 11 класс
самостоятельные работы
Автор: Александрова Л.А.
Алгебра 11 класс
самостоятельные работы
Автор: Александрова Л.А.
Алгебра 11 класс
тематические тесты ЕГЭ
Автор: Ю.В. Шепелева
Алгебра 11 класс
контрольно-измерительные материалы
Автор: Рурукин А. Н.
Алгебра 11 класс
контрольные работы
Автор: Глизбург В.И.

Алгебра 11 класс
Авторы:
Мерзляк А.Г. Новомировский Д.А.
Алгебра 11 класс
комплексная тетрадь для контроля знаний
Автор: Зинченко О.Г.
Алгебра 11 класс
комплексная тетрадь для контроля знаний
Автор: Зинченко О.Г.
Алгебра 11 класс
Авторы:
Муравин Г. К. Муравина О.В.
Алгебра 11 класс
Авторы:
Абылкасымова А.Е. Шойынбеков К.Д.
Алгебра 11 класс
дидактические материалы
Авторы:
Мерзляк А.Г. Полонский В.Б.

Алгебра 11 класс
самостоятельные и контрольные работы
Авторы:
Мерзляк А.Г. Полонский В.Б.
Алгебра 11 класс
дидактические материалы
Авторы:
Потапов М. К. Шевкин А.В.
Алгебра 11 класс
Авторы:
Арефьева И.Г. Пирютко О.Н.
Алгебра 11 класс
Авторы:
Мордкович А.Г. Семенов П.В.
Алгебра 11 класс
Контрольные работы (из Методического пособия)
Авторы:
Буцко Е.В. Мерзляк А.Г.
Алгебра 11 класс
контрольные работы
Автор: Шуркова М.В.

Поиск материала «Алгебра и начало математического анализа, 11 класс, Дидактические материалы, Потапов М.

К., Шевкин А.В., 2008» для чтения, скачивания и покупки

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
11klasov.net
Скачать бесплатно Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
fizikadlyvas.net
Купить эту книгу

Канцтовары

Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради.
Ранцы, рюкзаки, сумки.
И многое другое.

my-shop.ru
Потапов дидактические материалы 11 класс алгебра…
Автор: М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Предмет (категория): Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. Класс: 11. Читать онлайн: Да. Скачать бесплатно: Да. Формат книги: jpg. Размер книги/ГДЗ: 15,9 Мб. Год публикации (выпуска): 2017. Читать онлайн или скачать дидактические материалы по алгебре для 11 класса Потапова 2017 года
gdz-online.ws
Скачать бесплатно Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
fizikadlyvas.net
Алгебра и начала математического анализа. — alleng.me
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
uchebniki.alleng.me
Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
www.at.alleng.org
textbooks1-11-textbooks1-11
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
textbooks1-11.ru
Potapov_Algebra_11_metod_reco…
11 класс» авторов С. М. Николь-ского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова, А. В. Шевкина, при-ведены 4 варианта примерного тематического планирования, даны методические рекомендации по изучению курса и комментарии к ре-шению наиболее трудных задач, а также рекомендации по исполь-зованию дидактических материалов к данному учебнику (авторы: М. К. Потапов, А. В. Шевкин). Книга предназначена учителям, работающим по учебнику «Алгеб-ра и начала математического анализа, 11» С. М. Никольского и др.
www.shevkin.ru
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс…
Дидактические материалы по курсу алгебры и начал анализа содержат 50 самостоятельных и 7 контрольных работ в четырех вариантах, а также тест для самоконтроля в двух вариантах. Ко всем вариантам контрольных работ и к тесту имеются ответы. Содержание дидактических материалов полностью соответствует учебнику серии «МГУ – школе» для 11 класса (С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин) и дополняет его более сложными заданиями, необходимыми для работы в профильных классах.
www.shevkin.ru
Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
alleng.net
Алгебра и начала математического анализа. Дидактические…
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
alleng.net
Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического…
Автор: Потапов М.К., Шевкин А.В. Название: Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс Формат: PDF Размер: 2,64 Мб Язык: Русский. Скачать по прямой ссылке. Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики.
www.psyoffice.ru
Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала…
Автор: Потапов М.К., Шевкин А.В. Название: Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс Формат: PDF Размер: 2,64 Мб Язык: Русский. Скачать по прямой ссылке. Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики.
www.psyoffice.ru
Алгебра 11 Никольский Контрольные работы с ответами
Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс : базовый и углубленный уровни / М.К. Потапов, А.В. Шевкин» использованы в учебных целях.
Дидактические материалы дополняют учебник С.М. Никольского (МГУ — школе) более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углублённым изучением математики.. При постоянном использовании контрольных работ по алгебре в 11 классе рекомендуем купить книгу: Потапов, Шевкин: Алгебра и начала математического анализа.
xn--b1agatflbfbtgq5jm.xn--p1ai
Алгебра и начала математического анализа. Дидактические…
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 10» С. М. Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
11klasov.net
Алгебра 11 Никольский Контрольные работы с ответами
Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс : базовый и углубленный уровни / М.К. Потапов, А.В. Шевкин» использованы в учебных целях.
Дидактические материалы дополняют учебник С.М. Никольского (МГУ — школе) более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углублённым изучением математики.. При постоянном использовании контрольных работ по алгебре в 11 классе рекомендуем купить книгу: Потапов, Шевкин: Алгебра и начала математического анализа.
xn--b1agatflbfbtgq5jm.xn--p1ai
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс.
В книге рассмотрены концепция и структура учебника «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов С.М.Никольского, М.К.Потапова, Н.Н.Решетникова, А.В.Шевкина, приведены 4 варианта примерного тематического планирования, даны методические рекомендации по изучению курса и комментарии к решению наиболее трудных задач, а также рекомендации по использованию дидактических материалов к данному учебнику (авторы: М. К.Потапов, А.В.Шевкин).
11klasov.net
Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 10» С. М. Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
11klasov.net
Потапов М.К. Шевкин А.В.Алгебра и начала математического…
(Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С. М. Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
www.studmed.ru
Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С. М. Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углублённым изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
child-class.ru
1-11klasses Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
1-11klasses.ru
Потапов М.К. Шевкин А.В.Алгебра и начала…
(Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С. М. Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
www.studmed.ru
Алгебра 11 Никольский Контрольные работы с ответами
Дидактические материалы дополняют учебник С.М. Никольского (МГУ — школе) более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углублённым изучением математики.. При постоянном использовании контрольных работ по алгебре в 11 классе рекомендуем купить книгу: Потапов, Шевкин: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Дидактические материалы. Баз. и углубл. уровни, в которой кроме контрольных работ есть ещё и самостоятельные работы.
xn—-ctbjbygnbgbvgs4kna.xn--p1ai
Алгебра 11 Никольский Контрольные работы с ответами
Дидактические материалы дополняют учебник С.М. Никольского (МГУ — школе) более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углублённым изучением математики.. При постоянном использовании контрольных работ по алгебре в 11 классе рекомендуем купить книгу: Потапов, Шевкин: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Дидактические материалы. Баз. и углубл. уровни, в которой кроме контрольных работ есть ещё и самостоятельные работы.
xn—-ctbjbygnbgbvgs4kna.xn--p1ai
1-11klasses Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
1-11klasses.ru
Алгебра и начала математического анализа. Дидактические…
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С. М. Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углублённым изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
child-class.ru
Класс — Потапов дидактические материалы 11 класс…
М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Читайте на сайте Класс.Москва про дидактические материалы по алгебре для 11 класса Потапова 2017 года: На сайте Класс.Москва вы можете прочитать гдз, решебник и ответы для — Потапов дидактические материалы 11 класс алгебра и начала математического анализа , часть №1 бесплатно.
xn--80atdza. xn--80adxhks
Класс — Потапов дидактические материалы 11 класс алгебра…
М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Читайте на сайте Класс.Москва про дидактические материалы по алгебре для 11 класса Потапова 2017 года: На сайте Класс.Москва вы можете прочитать гдз, решебник и ответы для — Потапов дидактические материалы 11 класс алгебра и начала математического анализа , часть №1 бесплатно.
xn--80atdza.xn--80adxhks
Потапов, Шевкин дидактические материалы 10 класс алгебра…
Автор: М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Предмет (категория): Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. Класс: 10. Читать онлайн: Да. Скачать бесплатно: Да. Формат книги: jpg. Размер книги/ГДЗ: 12,5 Мб. Год публикации (выпуска): 2017. Читать онлайн или скачать дидактические материалы по алгебре для 10 класса Потапова 2017 года
gdz-online. ws
Потапов, Шевкин дидактические материалы 10 класс…
Автор: М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Предмет (категория): Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. Класс: 10. Читать онлайн: Да. Скачать бесплатно: Да. Формат книги: jpg. Размер книги/ГДЗ: 12,5 Мб. Год публикации (выпуска): 2017. Читать онлайн или скачать дидактические материалы по алгебре для 10 класса Потапова 2017 года
gdz-online.ws
10 класс. Алгебра и начала анализа. Базовый и профильный…
10 класс Дидактические материалы М.В. Потапов, А.В. Шевкин Скачать дид.материалы 50 Мб, формат .pdf #Никольский #алгебра10класс #алгебра11класс. Последние записи: Поиск по стене группы: vk.com/wall-38977847?search=1 Внимание! Вышли электронные учебники «Школа 2100»!
vk. com
Алгебра и начала математического анализа.
Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 10» С. М. Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ.
fizikadlyvas.net

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Алгебра и начало математического анализа, 11 класс, Дидактические материалы, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2008»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс. XML.

Нашлось 64 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы: четверг, 27 октября 2022 г., 20:13:09 GMT

Как решать иррациональные уравнения с корнями. Способы решения иррациональных уравнений

Уравнения называются иррациональными, если они содержат неизвестную величину под знаком корня. Таковы, например, уравнения

. Во многих случаях, применяя один или несколько раз возведение в степень обеих частей уравнения, можно свести иррациональное уравнение к алгебраическому уравнению той или иной степени (что является следствием исходного уравнения). Так как при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние решения, то, решив алгебраическое уравнение, к которому мы привели это иррациональное уравнение, следует проверить найденные корни, подставив в исходное уравнение, и сохранить только те, которые ему удовлетворяют, а остальное отбросить — лишнее.

При решении иррациональных уравнений мы ограничиваемся только их действительными корнями; все корни четной степени в записи уравнений понимаются в арифметическом смысле.

Рассмотрим несколько типичных примеров иррациональных уравнений.

A. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком квадратного корня. Если это уравнение содержит только один квадратный корень, под знаком которого стоит неизвестное, то этот корень следует выделить, то есть поместить в одну часть уравнения, а все остальные члены перенести в другую часть. Возведя в квадрат обе части уравнения, мы уже освободились от иррациональности и получили алгебраическое уравнение для

Пример 1. Решить уравнение.

Раствор. Мы изолируем корень в левой части уравнения;

Возводим в квадрат полученное уравнение:

Находим корни этого уравнения:

Проверка показывает, что удовлетворяет только исходное уравнение.

Если уравнение содержит два или более корней, содержащих x, то возведение в квадрат необходимо повторить несколько раз.

Пример 2. Решить следующие уравнения:

Решение, а) Возводим в квадрат обе части уравнения:

Выделяем корень:

Полученное уравнение снова возводим в квадрат:

После преобразований получаем следующее квадратное уравнение для:

решаем его:

Подставляя в исходное уравнение, убеждаемся, что его корень есть, но он является для него посторонним корнем.

б) Пример может быть решен так же, как был решен пример а). Однако, воспользовавшись тем, что правая часть этого уравнения не содержит неизвестной величины, поступим иначе. Умножим уравнение на выражение, сопряженное к его левой части; мы получаем

Справа произведение суммы и разности, то есть разности квадратов. Отсюда

В левой части этого уравнения стояла сумма квадратных корней; в левой части полученного уравнения стоит разность тех же корней. Запишем данное и полученное уравнения:

Сложив эти уравнения, получим

Возводим последнее уравнение в квадрат и после упрощений получаем

Отсюда мы находим . Проверкой убеждаемся, что корнем этого уравнения служит только число. Пример 3. Решить уравнение

Здесь уже под знаком радикала стоят квадратные трехчлены.

Раствор. Умножаем уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью:

Вычитаем последнее уравнение из данного:

Возведем это уравнение в квадрат:

Из последнего уравнения находим . Проверкой убеждаемся, что корнем этого уравнения служит только число х = 1.

B. Уравнения, содержащие корни третьей степени. Системы иррациональных уравнений. Ограничимся отдельными примерами таких уравнений и систем.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Покажем два способа решения уравнения (70.1). Первый способ. Возведем в куб обе части этого уравнения (см. формулу (20.8)):

(здесь мы заменили сумму кубических корней числом 4, используя уравнение).

Итак, имеем

т.е. после упрощения

откуда Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Второй способ. Положим

Уравнение (70.1) запишется в виде . Более того, понятно, что . Из уравнения (70.1) мы перешли к системе

Разделив первое уравнение системы почленно на второе, находим

Конспект урока

«Методы решения иррациональных уравнений»

11 класс физико-математического профиля.

Зеленодольский муниципальный район Республики Татарстан

Валиева С. З.

Тема урока: Методы решения иррациональных уравнений

Цель урока: 1. Изучить различные способы решения иррациональных уравнений.

Развивать умение обобщать, правильно выбирать методы решения иррациональных уравнений.
Развивать самостоятельность, воспитывать речевую грамотность

Тип урока: семинар.
План урока:

Время на организацию
Изучение нового материала
Закрепление
Домашнее задание
Итоги урока

Во время занятий

я . Организационное время: сообщение темы урока, цель урока.

В предыдущем уроке мы рассмотрели решение иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, путем их возведения в квадрат. В этом случае мы получаем уравнение следствия, которое иногда приводит к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней. Мы также рассмотрели решение уравнений с использованием определения квадратного корня. В этом случае проверку можно не проводить. Однако при решении уравнений не всегда нужно сразу переходить к «слепому» применению алгоритмов решения уравнения. В заданиях ЕГЭ довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать метод решения, позволяющий решать уравнения проще и быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с которыми мы сегодня познакомимся. Предварительно класс был разделен на 8 творческих групп, и им были даны конкретные примеры для раскрытия сути того или иного метода. Мы даем им слово.

II. Изучение нового материала.

От каждой группы 1 ученик объясняет детям, как решать иррациональные уравнения. Весь класс слушает и записывает их рассказ.

1 способ. Введение новой переменной.

Решите уравнение: (2x + 3) 2 — 3

4x 2 + 12x + 9 — 3

4x 2 — 8x — 51 — 3

, t ≥0

\6 — 2 x 2 u003d т 2;

4т 2 – 3т – 27 = 0

х 2 — 2х — 15 = 0

х 2 — 2х — 6 = 9;

Ответ: -3; 5.

2-ходовой. исследование ОДЗ.

решаем уравнение

ОДЗ:

х = 2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.

3-ходовой. Умножение обеих частей уравнения на коэффициент сопряжения.

+
(умножить обе части на —
)

х + 3 — х — 8 = 5 (-)

2=4, следовательно, x=1. Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем этого уравнения.

4-ходовой. Приведение уравнения к системе введением переменной.

решить уравнение

Пусть = u,
= v.

Получаем систему:

Решим методом подстановки. Получаем u = 2, v = 2. Отсюда

получаем x = 1.

Ответ: x = 1.

5 способ. Выбор полного квадрата.

решить уравнение

Откроем модули. Поскольку -1≤cos0,5x≤1, тогда -4≤cos0,5x-3≤-2, поэтому . Аналогично,

Тогда мы получаем уравнение

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

6-ходовой. Метод оценки

решаем уравнение

ОДЗ: х 3 — 2х 2 — 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть -х 3 + 2х 2 + 4х — 8 ≥ 0

получаем
т.е. х 3 — 2х 2 — 4х + 8 = 0. Решив уравнение факторизацией, получим х = 2, х = -2

Способ 7: Использование свойства монотонности функций.

Решите уравнение. Функции строго возрастают. Сумма возрастающих функций возрастает и это уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x = 1.

8 способ. Использование векторов.

Решите уравнение. ОДЗ: -1≤х≤3.

Пусть вектор
. Скалярное произведение векторов — это левая часть. Найдем произведение их длин. Это правая сторона. Получил
, т.е. векторы a и b коллинеарны. Отсюда
. Возведем обе стороны в квадрат. Решая уравнение, получаем х=1 и х=
.

Консолидация. (каждому учащемуся выдается рабочий лист)

Фронтальная устная работа

Найди идею для решения уравнений (1-10)

1.
(ОДЗ — )

2.
х = 2

3. х 9 — 3 )

4. (выбор полного квадрата)

5.
(Приведение уравнения к системе введением переменной.)

6.
(путем умножения на сопряженное выражение)

7.
потому что
. Это уравнение не имеет корней.

8. Поскольку каждое слагаемое неотрицательно, приравниваем их к нулю и решаем систему.

9. 3

10. Найдите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько) уравнения.

Письменная самостоятельная работа с последующей проверкой

решить уравнения с номерами 11,13,17,19

решить уравнения:

12. (x + 6) 2 —

14.

Метод оценки монотонности

8 9

Использование векторов.

Какие из этих методов используются для решения других типов уравнений?
Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?

Домашнее задание: решить оставшиеся уравнения.

Библиография:

Алгебра и начало математического анализа: учеб. на 11 кл. общеобразовательные учреждения / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М: Просвещение, 2009

Дидактические материалы по алгебре и основам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.
Мордкович А.Г. Алгебра и начало анализа. 10 — 11 кл.: Тетрадь для общеобразовательных задач. учреждения. – М.: Мнемозина, 2000.
Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельная и контрольная работа по алгебре и основам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2004
КИМ УСЕ 2002 — 2010

6. Алгебраический тренажер. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Пособие для школьников и абитуриентов. Москва.: «Илекса» 2001.
7. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учебно-методическое пособие. 10 — 11 классы. С.Н. Олейник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. Москва. «Дрофа». 2001

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации или связи с конкретным лицом.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу личную информацию:

Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории РФ — раскрыть свои Персональные данные. Мы также можем раскрывать информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, правоохранительных органов или по другим причинам, представляющим общественный интерес.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Обеспечение конфиденциальности на уровне компании

Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением правил конфиденциальности.

При изучении алгебры учащиеся сталкиваются с различными уравнениями. Среди наиболее простых можно назвать линейные, содержащие одно неизвестное. Если переменная в математическом выражении возведена в определенную степень, то уравнение называется квадратным, кубическим, биквадратным и так далее. Эти выражения могут содержать рациональные числа. Но есть и иррациональные уравнения. Они отличаются от других наличием функции, где неизвестная стоит под знаком корня (то есть чисто внешне переменная здесь видна записанной под квадратным корнем). Решение иррациональных уравнений имеет свои характерные особенности. При вычислении значения переменной для получения правильного ответа их необходимо учитывать.

«Невыразимое словами»

Не секрет, что древние математики оперировали в основном рациональными числами. К ним относятся, как известно, целые числа, выраженные через обыкновенные и десятичные периодические дроби, представители этого сообщества. Однако ученые Среднего и Ближнего Востока, а также Индии, развивая тригонометрию, астрономию и алгебру, тоже научились решать иррациональные уравнения. Например, греки знали такие величины, но, облекая их в словесную форму, пользовались понятием «алогос», что означало «невыразимый». Несколько позже европейцы, подражая им, называли такие числа «глухими». Они отличаются от всех остальных тем, что могут быть представлены только в виде бесконечной непериодической дроби, окончательное числовое выражение которой получить просто невозможно. Поэтому чаще таких представителей царства чисел записывают в виде чисел и знаков как какое-то выражение, находящееся под корнем второй или большей степени.

На основании вышеизложенного попробуем определить иррациональное уравнение. Такие выражения содержат так называемые «невыразимые числа», записанные с использованием знака квадратного корня. Это могут быть всевозможные довольно сложные варианты, но в самом простом виде они выглядят так, как на фото ниже.

Приступая к решению иррациональных уравнений, прежде всего необходимо вычислить диапазон допустимых значений переменной.

Имеет ли смысл выражение?

Необходимость проверки полученных значений следует из свойств. Как известно, такое выражение допустимо и имеет какое-либо значение только при определенных условиях. В случаях четного корня все подкоренные выражения должны быть положительными или равными нулю. Если это условие не выполняется, то представленную математическую запись нельзя считать содержательной.

Приведем конкретный пример решения иррациональных уравнений (на фото ниже).

В данном случае очевидно, что эти условия не могут быть выполнены ни для каких значений, принимаемых искомой величиной, так как получается, что 11 ≤ x ≤ 4. Значит, решением может быть только Ø.

Метод анализа

Из вышеизложенного становится понятно, как решать некоторые типы иррациональных уравнений. Здесь может помочь простой анализ.

Приведем ряд примеров, которые еще раз наглядно это демонстрируют (на фото ниже).

В первом случае при внимательном рассмотрении выражения сразу становится предельно ясно, что оно не может быть истинным. Ведь ведь в левой части равенства должно получиться положительное число, которое никак не может быть равно -1.

Во втором случае сумму двух положительных выражений можно считать равной нулю только тогда, когда x — 3 = 0 и x + 3 = 0 одновременно. Опять же, это невозможно. И так, в ответе следует снова написать Ø.

Третий пример очень похож на предыдущий. Действительно, здесь условия ОДЗ требуют выполнения следующего абсурдного неравенства: 5 ≤ x ≤ 2. И такое уравнение аналогичным образом не может иметь разумных решений.

Неограниченное увеличение

Природа иррационального может быть наиболее ясно и полно объяснена и познана только через бесконечный ряд десятичных чисел. И конкретным, ярким примером членов этого семейства является число пи. Недаром предполагается, что эта математическая константа известна с древних времен, применяясь при вычислении длины окружности и площади круга. Но среди европейцев его впервые применили на практике англичанин Уильям Джонс и швейцарец Леонард Эйлер.

Эта константа возникает следующим образом. Если сравнивать самые разные окружности, то отношение их длин и диаметров обязательно равно одному и тому же числу. Это пи. Если выразить через обыкновенную дробь, то примерно получится 22/7. Впервые это сделал великий Архимед, портрет которого изображен на рисунке выше. Именно поэтому подобный номер получил его имя. Но это не явное, а приблизительное значение, пожалуй, самого удивительного из чисел. Гениальный ученый нашел искомое значение с точностью до 0,02, но, на самом деле, эта константа не имеет реального значения, а выражается как 3,14159.26535… Это бесконечный ряд чисел, бесконечно приближающийся к какому-то мифическому значению.

Возведение в квадрат

Но вернемся к иррациональным уравнениям. Для нахождения неизвестного в этом случае очень часто прибегают к простому приему: возводят в квадрат обе части существующего равенства. Этот метод обычно дает хорошие результаты. Но следует учитывать коварство иррациональных ценностей. Все корни, полученные в результате этого, необходимо проверить, потому что они могут оказаться неподходящими.

Но продолжим рассмотрение примеров и попробуем найти переменные вновь предложенным способом.

Совсем не сложно, пользуясь теоремой Виета, найти искомые значения величин после того, как в результате определенных операций мы составили квадратное уравнение. Вот и получается, что среди корней будет 2 и -19. Однако при проверке, подставляя полученные значения в исходное выражение, можно убедиться, что ни один из этих корней не подходит. Это обычное явление в иррациональных уравнениях. Это означает, что наша дилемма снова не имеет решений, и в ответе должно быть указано пустое множество.

Более сложные примеры

В некоторых случаях требуется возвести в квадрат обе части выражения не один раз, а несколько раз. Рассмотрим примеры, где требуется вышеописанное. Их можно увидеть ниже.

Получив корни, не забудьте их проверить, т.к. могут возникнуть лишние. Следует пояснить, почему это возможно. При применении такого метода происходит некоторая рационализация уравнения. Но избавляясь от неугодных нам корней, мешающих производить арифметические действия, мы как бы расширяем существующий диапазон значений, что чревато (как вы понимаете) последствиями. Предвидя это, делаем проверку. В этом случае есть шанс убедиться, что подходит только один из корней: x = 0,

Системы

Что делать в случаях, когда требуется решить системы иррациональных уравнений, а у нас не одно, а целых два неизвестных? Здесь поступаем так же, как и в обычных случаях, но с учетом указанных выше свойств этих математических выражений. И в каждой новой задаче, конечно же, следует применять творческий подход. Но, опять же, лучше все рассмотреть на конкретном примере, представленном ниже. Здесь требуется не только найти переменные x и y, но и указать в ответе их сумму. Итак, имеется система, содержащая иррациональные величины (см. фото ниже).

Как видите, такая задача не является сверхъестественно сложной. Вам просто нужно проявить смекалку и догадаться, что левая часть первого уравнения — это квадрат суммы. Подобные задания встречаются на экзамене.

Иррациональное в математике

Каждый раз у человечества возникала потребность в создании новых типов чисел, когда ему не хватало «пространства» для решения каких-то уравнений. Иррациональные числа не являются исключением. Как свидетельствуют факты из истории, впервые на это обратили внимание великие мудрецы еще до нашей эры, в 7 веке. Это сделал математик из Индии, известный как Манава. Он ясно понимал, что из некоторых натуральных чисел невозможно извлечь корень. Например, к ним относятся 2; 17 или 61, а также многие другие.

Один из пифагорейцев, мыслитель по имени Гиппас, пришел к такому же выводу, пытаясь производить вычисления с числовыми выражениями сторон пентаграммы. Обнаружив математические элементы, которые не могут быть выражены числовыми значениями и не обладают свойствами обычных чисел, он так разозлил своих коллег, что был выброшен за борт в море. Дело в том, что другие пифагорейцы считали его рассуждения бунтом против законов мироздания.

Подкоренный знак: Эволюция

Знак корня для выражения числового значения «глухих» чисел стал использоваться при решении иррациональных неравенств и уравнений далеко не сразу. Впервые европейские, в частности итальянские, математики начали задумываться о радикале примерно в 13 веке. В то же время им пришла в голову идея использовать для обозначения латинскую R. Но немецкие математики поступили в своих работах иначе. Им больше нравилась буква В. В Германии вскоре распространилось обозначение V(2), V(3), которое предназначалось для выражения квадратного корня из 2, 3 и так далее. Позже вмешались голландцы и изменили знак радикала. А Рене Декарт завершил эволюцию, доведя знак квадратного корня до современного совершенства.

Избавление от иррационального

Иррациональные уравнения и неравенства могут включать переменную не только под знаком квадратного корня. Он может быть любой степени. Самый распространенный способ избавиться от него — возвести обе части уравнения в соответствующую степень. Это основное действие, помогающее при операциях с иррациональным. Действия в четных случаях особо не отличаются от уже разобранных нами ранее. Здесь следует учитывать условия неотрицательности корневого выражения, а также в конце решения необходимо отсеять посторонние значения переменных так, как это было показано в примеры уже рассмотрены.

Из дополнительных преобразований, помогающих найти правильный ответ, часто используют умножение выражения на сопряженное, а также часто приходится вводить новую переменную, что облегчает решение. В некоторых случаях для нахождения значения неизвестных целесообразно использовать графики.