Разное

Геометрия 7 8: ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян Просвещение ответы и решения онлайн

Содержание

Уроки — Математическая вертикаль

Рекомендованного учебника для проекта нет. Каждая школа выбирает привычный учебник и дополняет его материалами из МЭШ (Московской электронной школы).

Учебные пособия в библиотеке МЭШ

Доступны всем желающим, но надо зарегистрироваться и войти в МЭШ.

Пособия по алгебре разрабатывает коллектив авторов под руководством Станислава Игоревича Комарова, по геометрии — Максима Анатольевича Волчкевича, по теории вероятностей и статистике — Ивана Ростиславовича Высоцкого.

7 класс

Алгебра. 7 класс 2019-20 учебный год
Алгебра. 7 класс 2020-21 учебный год
Теория вероятностей и статистика. 7 класс
Геометрия. 7 класс 

8 класс

Алгебра. 8 класс 2019-20 учебный год
Алгебра. 8 класс 2020-21 учебный год
Геометрия. 8 класс
Теория вероятностей и статистика. 8 класс

9 класс

Алгебра. 9 класс
Геометрия. 9 класс
Теория вероятностей и статистика. 9 класс

Самостоятельные работы

Самостоятельные работы по геометрии, 7 класс

Для дистанционных уроков

Благодаря карантину, появились два видеокурса геометрии: 7 и 8 классов. Это годовой курс, который рассказывается за 14 занятий. Видеозаписи занятий транслируются среди Яндекс.Уроков.

Чтобы было удобно следить за конкретным занятием, мы собрали все занятия курса на одной странице:
7 класс
8 класс

Похожие ресурсы, которые тоже пригодятся

Материалы по теории вероятностей И. Р. Высоцкий

«Уроки геометрии в задачах. 7–9 класс» М. А. Волчкевич 
Анкета обратной связи

Методическое пособие по алгебре, 7 класс С. М. Крачковский
Методические материалы по алгебре, 7 класс С. М. Крачковский

Виртуальные лаборатории по математике в МЭШ

Сценарии уроков в МЭШ

Любой учитель может создать сценарий для урока в МЭШ и грант получить. Здесь мы будем публиковать такие сценарии, которые нам пришлют учителя, не вникая подробно в их качество. Вы вправе использовать для работы то, что вам понравится.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике — Лариса Николаевна Федорова

Параллелограмм — Надежда Владимировна Довгаль

Трапеция, ее определение. Свойства и признаки равнобокой трапеции — Надежда Владимировна Довгаль

Теорема Вариньона для произвольного четырехугольника — Ольга Геннадьевна Мазурова

Лемма Архимеда — Ольга Геннадьевна Мазурова

Наша инициатива

Открытые уроки в РЦ
Физика и информатика
Все задачи на окружности из ОГЭ с пошаговыми решениями
Альбом подвижных чертежей к задачнику Волчкевича. Видеогид к этому альбому (9 минут)
Графическое решение уравнений и систем
Занятия по компьютерной алгебре

Материалы проекта

Математическое домино на признаки равенства треугольников
Ключевые задачи курса алгебры 7 класса
Ключевые задачи курса алгебры 8 класса

Игра «Геометрические завоевания»

Полезные ссылки

Евклидия — игра в геометрические построения.
Пифагория — приложение-игра про геометрию на клетчатой бумаге.
Дзен-канал «Поучи учителя» — материалы углубленного уровня для учителей математики

  Поиск Поиск
  • Школьный помощник
    • математика 5 класс
    • математика 6 класс
    • алгебра 7 класс
    • алгебра 8 класс
    • геометрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс
  • математика
  • алгебра
  • геометрия
  • русский язык

“”

следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

  • Популярные запросы
    • Обстоятельство
    • Дополнение
    • Определение
    • Деление дробей
    • Математика 6 класс
    • Русский язык 6 класс
    • Русский язык 5 класс
    • Математика 5 класс
    • Алгебра 8 класс
    • Русский язык 7 класс
    • Алгебра 7 класс
    • Наименьшее общее кратное
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / – гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / – гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
    • Квадратный корень из неотрицательного числа
    • Доли. Обыкновенные дроби
    • Окружность и круг
    • Деление и дроби
    • Антонимы. Синонимы
    • Десятичная запись дробных чисел
    • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

Геометрия: уроки, тесты, задания.

Геометрия: уроки, тесты, задания.
    1. Прямая, отрезок, точки
    2. Луч, угол, обозначение угла
    3. Сравнение отрезков и углов. Биссектриса
    4. Измерение отрезков и углов
    5. Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы
    1. Первый признак равенства треугольников
    2. Медиана, биссектриса, высота треугольника
    3. Второй и третий признаки равенства треугольников
    4. Окружность. Радиус. Задачи на построение
    1. Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых
    1. Сумма углов треугольника. Виды треугольников
    2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
    3. Прямоугольный треугольник. Свойства. Признаки равенства
    4. Расстояние от точки до прямой. Построение треугольника по трём элементам
    1. Ломаная. Виды ломаных. Многоугольники
    2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Трапеция
    3. Прямоугольник, квадрат. Признаки прямоугольника и квадрата. Ромб
    1. Площадь многоугольника. Свойства площадей
    2. Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции
    3. Теорема Пифагора. Доказательство
    1. Подобные треугольники. Пропорциональные отрезки
    2. Признаки подобия треугольников
    3. Применение подобия. Решение задач
    4. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
    1. Касательная и окружность
    2. Центральные и вписанные углы. Свойство пересекающихся хорд окружности
    3. Замечательные точки треугольника
    4. Вписанная и описанная окружности
    1. Понятие вектора. Виды векторов
    2. Правила сложения и вычитания векторов
    3. Умножение векторов на число
    4. Проекция вектора на ось
    1. Вектор в системе координат
    2. Решение простейших задач в координатах
    3. Уравнение окружности. Уравнение прямой
    1. Синус, косинус, тангенс угла
    2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
    3. Скалярное произведение векторов. Свойства
    1. Правильные многоугольники
    2. Длина окружности. Площадь круга
    1. Понятие движения. Симметрия
    2. Параллельный перенос и поворот
    1. Многогранники. Основные формулы для расчётов
    2. Цилиндр. Конус. Сфера
    1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
    1. Определение и свойства параллельности прямых, прямой и плоскости
    2. Определение и свойства скрещивающихся прямых. Угол между прямыми
    3. Определение, признак и свойства параллельности плоскостей
    4. Элементы тетраэдра и параллелепипеда
    1. Определение и свойства перпендикулярности прямой и плоскости
    2. Определение перпендикуляра, наклонной. Теорема о трёх перпендикулярах
    3. Понятие двугранного угла. Признак перпендикулярности плоскостей
    1. Понятие многогранника. Призма
    2. Элементы пирамиды. Виды пирамид
    3. Определение и свойства правильных многогранников
    1. Определение и физический смысл вектора в пространстве
    2. Как складывать векторы и умножать вектор на число
    3. Разложение вектора. Понятие компланарности
    1. Абсцисса, ордината и аппликата точки. Простейшие задачи в координатах
    2. Угол между векторами. Скалярное произведение
    3. Отображения пространства на себя. Виды движения
    1. Элементы цилиндра. Площадь поверхности
    2. Элементы конуса. Площадь поверхности
    3. Элементы сферы и шара. Уравнение сферы. Сечение шара плоскостью
    1. Как найти объём прямоугольного параллелепипеда
    2. Как найти объём прямой призмы, цилиндра
    3. Как найти объём наклонной призмы, пирамиды, конуса
    4. Как найти объём шара
  1. Коллекция интерактивных моделей

Геометрія 7 клас гдз мерзляк

Скачать геометрія 7 клас гдз мерзляк doc

Бесплатные ответы из нового сборника ГДЗ по геометриии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского, Якира. Учись на отлично!  Главная ГДЗ 7 класс геометрия Мерзляк, Полонский, Якир. Мерзляк, Полонский, Якир. Вентана-Граф. год. решебник по геометрии 7 класс Мерзляк, Полонский. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства. (Страницы 9 – 48) Вопросы к §1. Cтраница 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; Вопросы к §2. Cтраница 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; А.Г.

Мерзляк, Ю.М. Рабинович, В.Б. Полонский – Геометрия, 7 класс. Авторы, издание: Мерзляк A. Г., Рабинович Ю. М., Полонский B. Б., Якир М. С. Нравится. Твитнуть.  О решебнике А.Г. Мерзляк, Ю.М. Рабинович, В.Б. Полонский. Другие решебники по геометрии для 7 классa. Л.С. Атанасян Л.С. Атанасян и др. — е изд. ГДЗ (решебники) – подробные готовые домашние задания Геометрия за 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир.  Содержание пособия.

В данном решебнике учащиеся седьмых классов могут найти следующее: Вопросы к параграфам. Задания для самопроверки. Решения абсолютно ко всем упражнениям, которые содержатся в учебнике. Стоит ли им пользоваться. Использовать решебник по геометрии, несомненно, стоит. Потому как этот школьный предмет не терпит спешки, а учащиеся седьмых классов обычно стараются все сделать как можно быстрее. Потому родителям необходимо держать данный процесс под контролем. Проверь себя в тестовой форме.

№ 1 № 2 № 3 № 4. Задания. Геометрія у 7 класі: вчимося на практиці. Шкільний підручник з нового і майже невідомого для семикласників предмета, а разом з ним і ГДЗ з геометрії 7 клас (Якір, Полонський, Мерзляк), складаються із чотирьох параграфів плюс чотирьох варіантів завдань для самоперевірки. В ГДЗ на ресурсі FreeGDZ розв’язки й приклади вирішення вправ подаються згідно з їхнім порядковим номером у книзі.

Задач у кожному параграфі чимало. Тому щоб не витрачати дорогоцінний час на пошук щоразу нової відповіді, на сайті передбачені стрілочки, за якими можна миттєво перейти на наступну сторінку. Геометрия 7 Контрольные Мерзляк – контрольные работы из пособия «Геометрия.

Дидактические материалы.  Контрольные работы по геометрии 7 класс (УМК Мерзляк и др.) Цитаты из вышеуказанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению я в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования. При постоянном использовании контрольных работ по геометрии в 7 классе рекомендуем купить книгу: Геометрия.

Дидактические материалы.

Геометрия 7 класс. Учебник. Мерзляк, Полонский, Якир. 1. Алгоритм успеха.  Действительно, появившаяся лишь в седьмом классе новая дисциплина геометрия требует от учеников не только знание теории, но и умение полноценно применять ее при решении практических задач.

Вряд ли многие родители смогут оказать помощь в изучении предмета, с которым они сами не сталкивались около двадцать лет. Гораздо эффективнее использовать помощь профессионала в этой науке – решебника к пособию «Геометрия 7 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир Вентана-Граф Алгоритм успеха».

Что входит в состав решебника. Решебник (ГДЗ) по Геометрии за 7 (седьмой) класс авторы: Мерзляк, Полонский, Якир издательство Вентана-граф, год.  В этом разделе онлайн-решебника по геометрии за 7 класс от Мерзляка учителя, школьники и их родители найдут решение заданий по рабочей программе математики за 7 класс группы авторов Мерзляк, Полонский, Якир. ГДЗ рассчитано на учеников, занимающихся в школе и обучающихся на дому.

Они могут использовать верные ответы несколькими способами: списывание или проверка упражнений. Предмет так Клас: Геометрія 7 клас. Посібник складено відповідно до чинної програми та підручника Мерзляк А.

Г., Полонський В. Б., Якір М. С. «Геометрія 7 клас» для загальноосвітніх навчальних закладів. Читати онлайн: ГДЗ (Відповіді, решебник) Геометрія 7 клас Мерзляк Предыдущая статьяГДЗ (Відповіді, решебник) Українська мова 7 клас Глазова Следующая статьяГДЗ (Відповіді, решебник) Геометрія 7 клас Істер alinka. Схожие статьи больше от автора. ГДЗ (Відповіді, решебник) Геометрия 7 класс Бевз. ГДЗ (Відповіді, решебник) Комплексний зошит Геометрія 7 клас Роганін. ГДЗ (Відповіді.

djvu, doc, EPUB, doc

Похожее:

  • Шкільна програма української літератури 6 клас
  • Географія 6 клас характеристика річки дніпро
  • Тренінги з основ здоровя 5 клас
  • Анг мова 3 класс
  • Дпа 9 клас 2010 рік математика відповіді бурда
  • Символи україни презентація 1 клас
  • Теория по геометрии 7-9 класс

    Виды углов:

    · острый угол – от 0 до 90 градусов;

    · прямой угол – равен 90 градусам;

    · тупой угол – от 90 до 180 градусов;

    · развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

    Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.

    Свойство смежных углов:

    · сумма смежных углов равна 180 градусам.

    Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.

    Свойство вертикальных углов:

    · вертикальные углы равны.

    Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.

    Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.

    Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

    Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

    Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

    Виды треугольников:

    · остроугольный треугольник – все три угла острые;

    · прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;

    · тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.

    Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

    Свойства равных треугольников:

    · если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;

    · в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.

    Признаки равенства треугольников:

    1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;

    2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;

    3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

    Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.

    Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.

    Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.

    Свойства равнобедренного треугольника:

    · углы при основании равны;

    · биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

    Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

    Свойства равностороннего треугольника:

    · углы равны по 60 градусов;

    · биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.

    Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.

    Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.

    Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

    · накрест-лежащие;

    · соответственные;

    · односторонние.

    Свойства параллельных прямых:

    · при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;

    · при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;

    · при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.

    Признаки параллельности прямых:

    · если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;

    · если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

    · если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

    Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

    Следствия из аксиомы:

    · если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;

    · если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

    Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

    Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.

    Свойство внешнего угла треугольника:

    · внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

    Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

    Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

    Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.

    Свойства прямоугольного треугольника:

    · сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;

    · в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;

    · если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников:

    1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

    2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

    3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

    4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

    Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.

    Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.

    Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.

    Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.

    Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.

    Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

    Свойства параллелограмма:

    · противоположные углы и стороны равны;

    · диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

    Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.

    Признаки параллелограмма:

    · если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;

    · если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;

    · если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.

    Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).

    Виды трапеций:

    · произвольная;

    · прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;

    · равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

    Свойства равнобедренной трапеции:

    · углы при основаниях равны;

    · диагонали равны.

    Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

    Свойство ромба:

    · у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.

    Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.

    Свойство прямоугольника:

    · у прямоугольника диагонали равны

    Признак прямоугольника:

    · если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

    Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

    Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

    Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.

    Свойство площадей:

    · равные многоугольники имеют равные площади;

    · если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.

    Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =

    Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =

    Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =

    Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

    Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

    Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =

    Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

    Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

    S =

    Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

    Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =

    Формула Герона, где р – полупериметр: S =

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =

    Площадь равностороннего треугольника, где а – сторона треугольник: S =

    Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника, где а – сторона треугольника: h =

    Площадь круга, где r – радиус: S =

    Длина окружности, где r – радиус: C = 2

    Длина дуги окружности, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

    Площадь кругового сектора, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

    Площадь правильного шестиугольника, где а – сторона шестиугольника: S =

    Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =

    Свойства площадей треугольников:

    · если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;

    · если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

    Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.

    Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: , где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

    Формула для нахождения диагонали квадрата: , где х – сторона квадрата.

    Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).

    Пропорция – равенство нескольких дробей.

    Основное свойство пропорции: *d = c*b

    Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

    Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.

    Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.

    Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

    Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

    Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.

    Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

    Признаки подобия треугольников:

    1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

    2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;

    3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

    Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

    Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.

    Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.

    Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.

    Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:

    · высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

    · катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

    Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.

    Основное тригонометрическое тождество: sin2(a) + cos2(a) = 1

    Тригонометрические формулы:

    ·

    ·

    Табличные углы:

     

    В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого

    В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого

    В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого

    В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого

    Синусы смежных углов равны

    Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками

    Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

    Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

    Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).

    Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

    Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.

    Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

    Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.

    Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.

    Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

    Теоремы о касательных:

    1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

    2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

    Теорема о хордах:

    Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

    Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.

    Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

    Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.

    Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

    Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

    Следствия из измерений центрального и вписанного углов:

    1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;

    2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;

    3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.

    Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.

    Четыре замечательные точки треугольника:

    · биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

    · медианы треугольника пересекаются в одной точке;

    · высоты треугольника пересекаются в одной точке;

    · серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

    Теорема о биссектрисе:

    Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

    Теорема о медианах:

    Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

    Теорема о серединном перпендикуляре:

    Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

    Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.

    Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.

    История развития геометрии. История возникновения геометрии.

    Геометрия – одна из древнейших отраслей математики. Геометрические тела были известны задолго до того, как были выведены математические принципы. Геометрия – это математическое исследование точек, линий, плоскостей, замкнутых плоских фигур и твердых тел. Используя это, можно описать или построить каждый видимый и невидимый предмет.

     

    Геометрия происходит от слова “geo” – земля, “metria” – мера. Геометрия возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия одна из двух областей математики, вторая – арифметика, или алгебра.

     История возникновения геометрии

     

    Геометрия с практической точки зрения – это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.

     

    Около \(2900\) лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется \(2000\) годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.

     

    Именно греки \(600\) – \(400\) лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.


    Пифагор (\(569-475\) лет до н. э.)

     

    Следующим считается Пифагор. Пифагор был первым математиком, логически выводящим геометрические факты из основных принципов. Пифагор основал братство под названием “пифагорейцы”, которые преследовали знания в математике, науке и философии. Некоторые люди считают пифагорейскую школу местом рождения разума и логической мысли. Наиболее известным и полезным вкладом пифагорейцев была теорема Пифагора. Теория гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

     


    Евклид Александрийский (\(325-265\) лет до н. э.) 

     

    Евклид Александрийский считается “отцом современной геометрии”. Евклид  ввел математическую строгость и аксиоматический метод, все еще используемый сегодня. Его книга “Начало”, написанная около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Книга “Начало” была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века. Евклид изобрел \(23\) определения, \(5\) постулатов и \(5\) аксиом.

     

    Аксиома – это утверждение, которое принимается без доказательств. Как только он доказал свое первое утверждение, на его основе он доказал второе, затем третье и т. д. Этот процесс известен как аксиоматический подход. Элементы Евклида составляют основу современной геометрии, которая преподается сегодня в школах, колледжах и университетах.


    Рене Декарт (\(1596-1650\))

     

    До появления Рене Декарта  в геометрии не было крупных изменений. Декарт объединил алгебру и геометрию для создания аналитической геометрии. Аналитическая геометрия, также известная как координатная геометрия, включает размещение геометрической фигуры в системе координат для иллюстрации доказательств и получения информации с использованием алгебраических уравнений.


    Карл Фридрих Гаусс (\(1777-1855\))

     

    Следующее большое развитие в геометрии пришло с развитием неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс изобрел неевклидову геометрию, не основанную на постулатах Евклида. Параллельный постулат гласит, что через заданную точку  на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую основу для теории относительности Эйнштейна.

     

     

    Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

    Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

    Наши преподаватели

    Оставить заявку

    Репетитор по математике

    Южно-Российский государственный технический университет им. М. И. Платова

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор 5-11 классов. Моя методика заключается в том, чтобы ребенок научился решать задачи любой сложности. Ученик, тем самым, повысит свою самооценку, а также улучшит успеваемость по данному предмету. Мои учащиеся получают только высокие баллы при сдаче ОГЭ и ЕГЭ!

    Оставить заявку

    Репетитор по математике

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор 5-11 классов. Я люблю математику за её универсальность. Она превосходит языки, литературу, искусство. Математические законы непреложны, и при этом каждая задача несет в себе что-то новое. По-моему, это особый вид магии!

    Оставить заявку

    Репетитор по математике

    Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор 4-9 классов. Введу активную методическую работу. Имею опыт в проведении онлайн – уроков. Подготовила детей к олимпиадам и конкурсам. Умею найти общий язык с детьми, быстро осваиваю новые умения и навыки. Имею статьи в профильном журнале. Математика- это будущие нашей планеты, так математика учит логике и последовательность действий. А сейчас без этого никак.

    Математика 10 класс

    • – Индивидуальные занятия
    • – В любое удобное для вас время
    • – Бесплатное вводное занятие

    Курсы ОГЭ

    • – Индивидуальные занятия
    • – В любое удобное для вас время
    • – Бесплатное вводное занятие

    Похожие статьи

    Математика для 7-го класса – Блок 6: Геометрия

    Сводка по агрегату

    В Блоке 6 ученики седьмого класса изучают широкий круг тем, от отношений углов до кругов и многоугольников до твердых фигур. Стандарты геометрии седьмого класса относятся к категории дополнительных стандартов, однако в подразделении есть несколько возможностей, когда учащиеся заняты основной работой класса. В начале раздела учащиеся используют и решают уравнения, чтобы представить отношения между углами и найти недостающие меры углов.Исследуя круги, учащиеся обнаруживают пропорциональную зависимость между длиной окружности и ее диаметром и понимают π как отношение этих двух величин. Студенты также будут использовать свои навыки выражения для написания числовых выражений, которые можно использовать для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур.

    На протяжении всего раздела учащиеся сталкиваются с несколькими словарными словами, такими как дополнительные углы, вертикальные углы, радиус и окружность. Многие из этих слов позволяют студентам более точно общаться друг с другом (МП.6). Студенты также столкнутся со сложными диаграммами углов и трехмерными фигурами, где им нужно будет понять, какую информацию они могут почерпнуть из диаграммы, и спланировать путь решения, прежде чем приступить к работе (МР.1). Учащиеся должны иметь доступ к нескольким инструментам, которые они могут использовать на уроке, включая линейки, транспортиры, компасы и справочные листы (МР.5).

    Базовые навыки для стандартов в этом блоке относятся к четвертому – шестому классам. В четвертом классе ученики изучали принципы измерения углов и считали, что измерение угла является аддитивным.В пятом классе ученики развили понимание трехмерного объема, которое они в дальнейшем развили в шестом классе. Шестиклассники также начали различать трехмерное пространство, которое занимает объект, и площадь поверхности, которая его покрывает.

    В восьмом классе ученики будут увеличивать масштаб прямоугольных треугольников и применять теорему Пифагора для определения длин сторон прямоугольных треугольников. Они также продолжат решать реальные приложения площади и объема с добавлением конусов, сфер и цилиндров.

    Темп: 23 учебных дня (21 урок, 1 гибкий день, 1 контрольный день)

    Чтобы узнать, как изменить темп на 2020-2021 учебный год в связи с закрытием школ, см. Наши рекомендуемые корректировки объема и последовательности занятий для 7-го класса.

    Математика-средняя школа / 7-8, 9-11 Алгебра, 10 Геометрия, HS Исследовательский / Добро пожаловать

    Математика-Средняя школа / 7-8, 9-11 Алгебра, 10 Геометрия, HS Исследовательский / Добро пожаловать
    • Дом
    • Наш район
    • Школьная доска
    • Сотрудники
    • Учебные классы
      • 12 Principel of Tech / 11-12 Цифровая фотография / 9 Экология
      • 1 класс
      • 2 класс
      • 3 класс
      • 4 класс
      • 5 класс
      • 8-9-10-11История / 12 CWP / 12 дебатов
      • Американский язык жестов / Фонд чтения JH
      • 7,10 Искусство английского языка
      • JH-HS Арт.
      • JH-HS Драма, 9-11-12 Искусство английского языка, 10 PE, Elementary PE
      • JH-HS Shop / 6-7 История / HS Robotics / RTI / Строительство
      • Детский сад (Мисс.Мансон)
      • Math-11-12 Advanced, RTI Math -8, JH Exploration, Driver’s ED
      • Математика – Средняя школа / 7-8, 9-11 Алгебра, 10 Геометрия, HS Исследовательский
      • Салиш
      • Наука-6-7-8, Геология, Науки об окружающей среде, Науки о Земле
      • 6-7-8-9 PE / 11-12 Командные виды спорта
      • 6-я ELA, 6-я математика, 8-я ELA
      • Испанский 6, 7, 8 Специальное издание.
    • легкая атлетика
    • Меню
    • Формы
    • Календарь

    Как найти площадь прямоугольного треугольника

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Geometry: Answer Key

    Answer Key

    Здесь представлены ответы и решения для задания «Поместите меня, тренер!». ящики для упражнений, организованные по секциям.

    Снятие бремени доказательств

    1. Да
    2. Теорема 8.3: Если два угла дополняют один и тот же угол, то эти два угла конгруэнтны.

    ? A и? B дополняют друг друга, а? C и? B – дополняют друг друга.

    Дано:? A и? B дополняют друг друга, а? C и? B дополняют друг друга.

    Докажите:? A ~ =? C.

    Заявления Причины
    1. ? A и? B дополняют друг друга, а? C и? B дополняют друг друга. Дано
    2. m? A + m? B = 90, m? C + m? B = 90 Определение дополнительного
    3. m? A = 90 – m? B, m? C = 90 – m? B Свойство вычитания равенства
    4. m? A = m? C Замена (шаг 3)
    5. ? A ~ =? C Определение ~ =

    Доказательство взаимосвязи сегмента и угла

    1. Если E находится между D и F, то DE = DF? EF.

    E находится между D и F.

    Дано: E находится между D и F

    Доказать: DE = DF? EF.

    Заявления Причины
    1. E находится между D и F Дано
    2. D, E и F являются коллинеарными точками, а E находится на D Определение между
    3. DE + EF = DF Постулат добавления сегмента
    4. DE = DF? EF Свойство вычитания равенства

    2. Если? BD делит? ABC на два угла,? ABD и? DBC, то m? ABC = m? ABC – m? DBC.

    ? BD делит? ABC на два угла,? ABD и? DBC.

    Дано:? BD делит? ABC на два угла,? ABD и? DBC

    Докажите: m? ABD = m? ABC – m? DBC.

    Заявления Причины
    1. ? BD делит? ABC на два угла,? ABD и? DBC Дано
    2. m? ABD + m? DBC = m? ABC Постулат сложения углов
    3. m? ABD = m? ABC – m? DBC Свойство вычитания равенства

    3. Биссектриса угла уникальна.

    ? ABC с двумя биссектрисами:? BD и? BE.

    Дано:? ABC с двумя биссектрисами:? BD и? BE.

    Доказать: m? DBC = 0.

    Заявления Причины
    1. ? BD и? BE пополам? ABC Дано
    2. ? ABC ~ =? DBC и? ABE ~ =? EBC Определение биссектрисы ангела
    3. m? ABD = m? DBC и m? ABE ~ = m? EBC Определение ~ =
    4. m? ABD + m? DBE + m? EBC = m? ABC Постулат добавления угла
    5. m? ABD + m? DBC = m? ABC и m? ABE + m? EBC = m? ABC Постулат сложения углов
    6. 2m? ABD = m? ABC и 2m? EBC = m? ABC Замена (шаги 3 и 5)
    7. m? ABD = m? ABC / 2 и m? EBC = m? ABC / 2 Алгебра
    8. m? ABC / 2 + m? DBE + m? ABC / 2 = m? ABC Замена (шаги 4 и 7)
    9. m? ABC + m? DBE = m? ABC Алгебра
    10. m? DBE = 0 Свойство вычитания равенства

    4. Дополнением прямого угла является прямой угол.

    ? A и? B – дополнительные углы, а? A – прямой угол.

    Дано:? A и? B – дополнительные углы, а? A – прямой угол.

    Докажите:? B – прямой угол.

    Доказательство взаимосвязи между линиями

    1. m? 6 = 105, m? 8 = 75
    2. Теорема 10.3: Если две параллельные линии пересекаются трансверсалью, то чередующиеся внешние углы совпадают.

    л? ? м, разрезанный поперечным т. д.

    Дано: l? ? м, разрезанный поперечным т. д.

    Доказать:? 1 ~ =? 3.

    Заявления Причины
    1. ? A и? B – дополнительные углы, а? A – прямой угол Дано
    2. m? A + m? B = 180 Определение дополнительных углов
    3. m? A = 90 Определение прямого угла
    4. 90 + m? B = 180 Замена (шаги 2 и 3)
    5. m? B = 90 Алгебра
    6. ? B – прямой угол Определение прямого угла
    Выписки Причины
    1. л? ? м, разрезанный поперечно t Дано
    2. ? 1 и? 2 – вертикальные углы Определение вертикальных углов
    3. ? 2 и? 3 – соответствующие углы Определение соответствующих углов
    4. ? 2 ~ =? 3 Постулат 10.1
    5. ? 1 ~ =? 2 Теорема 8.1
    6. ? 1 ~ =? 3 Переходное свойство 3.

    3. Теорема 10.5: Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то внешние углы остаются на одной и той же стороны поперечной – дополнительные углы.

    л? ? м, разрезанный поперечным т. д.

    Дано: l? ? м, разрезанный поперечным т. д.

    Докажите:? 1 и? 3 являются дополнительными.

    Заявление Причины
    1. л? ? m, разрезанный поперечно t Дано
    2. ? 1 и? 2 – дополнительные углы, а m? 1 + m? 2 = 180 Определение дополнительных углов
    3. ? 2 и? 3 – соответствующие углы Определение соответствующих углов
    4. ? 2 ~ =? 3 Постулат 10.1
    5. m? 2 ~ = m? 3 Определение ~ =
    6. m? 1 + m? 3 = 180 Замена (шаги 2 и 5)
    7. ? 1 и? 3 являются дополнительными Определение дополнительных

    Лучшие 3D-принтеры

    Заинтересованы в 3D-печати?

    Мы изучили основные моменты, которые следует учитывать при покупке 3D-принтера, и выбрали лучшие принтеры 2020 года в соответствии с вашими потребностями.

    4. Теорема 10.9: Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что чередующиеся внешние углы совпадают, то эти прямые параллельны.

    Линии l и m нарезаны поперечной t.

    Дано: Прямые l и m пересекаются поперечной точкой t, причем? 1 ~ =? 3.

    Подтвердить: l? ? м.

    Заявление Причины
    1. Линии l и m обрезаются поперечным t, при? 1 ~ =? 3 Дано
    2. ? 1 и? 2 – вертикальные углы Определение вертикальных углов
    3. ? 1 ~ =? 2 Теорема 8.1
    4. ? 2 ~ =? 3 Переходное свойство ~ =.
    5. ? 2 и? 3 – соответствующие углы Определение соответствующих углов
    6. l? ? m Теорема 10,7

    5. Теорема 10.11: Если две прямые пересекаются трансверсалью, так что внешние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то эти прямые параллельны.

    Линии l и m нарезаны t поперечной t.

    Дано: Линии l и m пересекаются поперечиной t,? 1 и? 3 – дополнительные углы.

    Подтвердить: l? ? м.

    Заявление Причины
    1. Линии l и m пересекаются поперечным t, а? 1 -? 3 дополнительных угла Дано
    2. ? 2 и? 1 – дополнительные углы Определение дополнительных углов
    3. ? 3 ~ =? 2 Пример 2
    4. ? 3 и? 2 – соответствующие углы Определение соответствующих углов
    5. l? ? м Теорема 10,7

    Компания двух. Тройка – это треугольник

    1. Равнобедренный тупой треугольник
    2. Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга.

    ? ABC – прямоугольный треугольник.

    Дано:? ABC – прямоугольный треугольник, а? B – прямой угол.

    Докажите:? A и? C – дополнительные углы.

    Заявление Причины
    1. ? ABC – прямоугольный треугольник, а? B – прямой угол Дано
    2. m? B = 90 Определение прямого угла
    3. m? A + m? B + m? C = 180 Теорема 11.1
    4. m? A + 90 + m? C = 180 Замена (шаги 2 и 3)
    5. m? A + m? C = 90 Алгебра
    6. ? A и? C – дополнительные углы Определение дополнительных углов

    3. Теорема 11.3: Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух несмежных внутренние углы.

    ? ABC с внешним углом? BCD.

    DCA = 180
    Заявление Причины
    1. ? ABC с внешним углом? BCD Дано
    2. ? DCA – прямой угол, а Определение прямого угла
    3. m? BCA + m? BCD = m? DCA Постулат сложения угла
    4. m? BCA + m? BCD = 180 Замена ( шаги 2 и 3)
    5. m? BAC + m? ABC + m? BCA = 180 Теорема 11.1
    6. m? BAC + m? ABC + m? BCA = m? BCA + m? BCD Замена ( шаги 4 и 5)
    7. m? BAC + m? ABC = m? BCD Свойство вычитания равенства

    4. 12 единиц 2

    5. 30 единиц 2

    6. Нет, треугольник с такими длинами сторон нарушил бы неравенство треугольника.

    Конгруэнтных треугольников

    1.Рефлексивное свойство:? ABC ~ =? ABC.

    Симметричное свойство: Если? ABC ~ =? DEF, то? DEF ~ =? ABC.

    Переходное свойство: Если? ABC ~ =? DEF и? DEF ~ =? RST, то? ABC ~ =? RST.

    2. Доказательство: Если AC ~ = CD и? ACB ~ =? DCB, как показано на рисунке 12.5, то? ACB ~ =? DCB.

    свойство
    Заявление Причины
    1. AC ~ = CD и? ACB ~ =? DCB Учитывая
    2. BC ~ = BC =
    3. ? ACB ~ =? DCB Постулат SAS

    3. Если CB? AD и? ACB ~ =? DCB, как показано на рисунке 12.8, тогда? ACB ~ =? DCB.

    Заявление Причины
    1. CB? AD и? ACB ~ =? DCB Дано
    2. ? ABC и? DBC – прямые углы Определение?
    3. m? ABC = 90 и m? DBC = 90 Определение прямых углов
    4. m? ABC = m? DBC Замена (шаг 3)
    5. ? ABC ~ =? DBC Определение ~ =
    6. BC ~ = BC Отражающее свойство ~ =
    7. ? ACB ~ =? DCB Постулат ASA

    4. Если CB? AD и? CAB ~ =? CDB, как показано на рисунке 12.10, тогда? ACB ~ =? DCB.

    Заявление Причины
    1. CB? AD и? CAB ~ =? CDB Дано
    2. ? ABC и? DBC – прямые углы Определение?
    3. m? ABC = 90 и m? DBC = 90 Определение прямых углов
    4. m? ABC = m? DBC Замена (шаг 3)
    5. ? ABC ~ =? DBC Определение ~ =
    6. BC ~ = BC Отражательная способность ~ =
    7. ? ACB ~ =? DCB Теорема AAS

    5. Если CB? AD и AC ~ = CD, как показано на рисунке 12.12, тогда? ACB ~ =? DCB.

    Заявление Причины
    1. CB? AD и AC ~ = CD Дано
    2. ? ABC и? DBC – прямоугольные треугольники Определение прямоугольного треугольника
    3. BC ~ = BC Отражающее свойство ~ =
    4. ? ACB ~ =? DCB HL Теорема для прямоугольных треугольников

    6. Если? P ~ =? R и M – средняя точка PR, как показано на рисунке 12.17, то? N ~ =? Q .

    Заявление Причины
    1. ? P ~ =? R и M – средняя точка PR Учитывая
    2. PM ~ = MR Определение средняя точка
    3. ? NMP и? RMQ – вертикальные углы Определение вертикальных углов
    4. ? NMP ~ =? RMQ Теорема 8.1
    5. ? PMN ~ = RMQ Постулат ASA
    6. ? N ~ =? Q
    CPOCTAC 901

    Улыбающиеся треугольники

    1. x = 11
    2. x = 12
    3. 40 и 140
    4. Если? A ~ =? D, как показано на рисунке 13.6, то BC / AB = CE / DE .
    40
    Заявление Причины
    1. ? A ~ =? D Дано
    2. ? BCA и? DCE – вертикальные углы Определение вертикальных углов
    3. ? BCA ~ =? DCE Теорема 8.1
    4. ? ACB ~? DCE AA Теорема подобия
    5. BC / AB = CE / DE
    DE CSAP 5.150 футов.

    Открывающиеся двери с похожими треугольниками

    1. Если линия параллельна одной стороне треугольника и проходит через середину второй стороны, то она будет проходить через середину третьей стороны.

    DE? ? AC и D – середина AB.

    Дано: DE? ? AC и D – середина AB.

    Доказательство: E – середина BC.

    = BE / BC
    Заявление Причины
    1. DE? ? AC и D – середина AB. Дано
    2. DE? ? AC и пересекается поперечным? AB Определение поперечного
    3. ? BDE и? BAC – соответствующие углы Определение соответствующих углов
    4. ? BDE ~ =? BAC Постулат 10.1
    5. ? B ~ =? B Отражающее свойство ~ =
    6. ? ABC ~? DBE AA Теорема подобия
    7. DB / AB = BE / BC CSSTAP
    8. / 2 Теорема 9.1
    9. DB / AB = 1 / 2 Алгебра
    1 10 Замена (шаги 7 и 9)
    11. BC = 2BE Алгебра
    12. BE + EC = BC Постулат добавления сегмента
    13. BE + EC = 2BE Замена 901 (шаги 11 и )
    14. EC = BE Алгебра
    15. E – средняя точка BC Определение средней точки

    2. AC = 4? 3, AB = 8? , RS = 16, RT = 8? 3

    3.AC = 4? 2, BC = 4? 2

    Размещение четырехугольников на переднем плане

    1. AD = 63, BC = 27, RS = 45
    2. AX, CZ и DY

    Трапеция ABCD с ее XB CY-4 показаны высоты.

    3. Теорема 15.5: У воздушного змея одна пара противоположных углов конгруэнтна.

    Воздушный змей ABCD.

    Дано: Воздушный змей ABCD.

    Доказать:? B ~ =? D.

    Заявление Причины
    1. ABCD – воздушный змей Дано
    2. AB ~ = AD и BC ~ = DC Определение воздушного змея
    3. AC ~ = AC Отражательная способность ~ =
    4. ? ABC ~ =? ADC Постулат SSS
    5. ? B ~ =? D CPOCTAC

    4. Теорема 15.6: Диагонали воздушного змея перпендикулярны, а диагональ, противоположная конгруэнтным углам, делит другие диагонали пополам. .

    Воздушный змей ABCD.

    Дано: Воздушный змей ABCD.

    Доказать: BD? AC и BM ~ = MD.

    =
    Заявление Причины
    1. ABCD – воздушный змей Дано
    2. AB ~ = AD и BC ~ = DC Определение
    3. AC ~ = AC Отражательная способность ~ =
    4. ? ABC ~ =? ADC Постулат SSS
    5. ? BAC ~ =? DAC CPOCTAC
    6. AM ~ = AM Отражательная способность ~ =
    7. ? ABM ~ =? ADM Постулат SAS
    8. BM ~ = MD CPOCTAC
    9. ? BMA ~ =? DMA CPOCTAC
    10. m? BMA = m? DMA
    11. ? MBD – прямой угол, а m? BMD = 180 Определение прямого угла
    12. m? BMA + m? DMA = m? BMD Постулат сложения угла
    13. m? BMA + m? DMA = 180 Замена (шаги 9 и 10)
    14. 2m? BMA = 180 Замена (шаги 9 и 12)
    15. m? BMA = 90 Алгебра
    16. ? BMA является прямым углом Определение прямой угол
    17. BD? AC Определение?

    5.Теорема 15.9: Противоположные углы параллелограмма равны.

    Параллелограмм ABCD.

    Дано: Параллелограмм ABCD.

    Докажите:? ABC ~ =? ADC.

    Заявление Причины
    1. Параллелограмм ABCD имеет диагональ переменного тока. Дано
    2. ? ABC ~ =? CDA Теорема 15.7
    3. ? ABC ~ =? ADC CPOCTAC

    .144 шт. 2

    7. 180 шт. 2

    8. Кайт ABCD имеет площадь 48 шт. 2 .

    Параллелограмм ABCD имеет площадь 150 единиц 2 .

    Прямоугольник ABCD имеет площадь 104 единицы 2 .

    Ромб ABCD имеет площадь 35 / 2 шт. 2 .

    Анатомия круга

    1. Окружность: 20? футов, длина? RST = 155 / 18 ? футов
    2. 9? футы 2
    3. 15? футов 2
    4. 28

    Единичный круг и тригонометрия

    1. 3 /? 34 = 3? 34 / 34
    2. 1 /? 3 = ? 3 / 3
    3. коэффициент касания = ? 40 / 3 , коэффициент синуса = ? 40 / 7
    4. коэффициент касания = 5 /? 56 = 5? 56 / 56 , отношение косинуса = ? 56 / 9

    Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004, Дениз Сечей, Ph.D .. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

    Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

    похожих треугольников

    Два треугольника подобны, если разница только в размере (и, возможно, в необходимости перевернуть или перевернуть один треугольник).

    Все эти треугольники похожи:

    (равные углы отмечены таким же количеством дуг)

    Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые перевернуты или перевернуты.

    Для подобных треугольников:


    Все соответствующие углы равны

    и


    Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение

    Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены к соответствующим углам.Например, стороны, обращенные к углам с двумя дугами, соответствуют друг другу.

    Соответствующие стороны

    В подобных треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одинаковом соотношении.

    Например:

    Треугольники R и S похожи. Равные углы обозначены одинаковым количеством дуг.

    Какова соответствующая длина?

    • Длины 7 и a соответствуют (они обращены к углу, отмеченному одной дугой)
    • Длины 8 и 6.4 соответствуют (обращены к размеченному двумя дугами углу)
    • Длины 6 и b соответствуют (они обращены к углу, отмеченному тремя дугами)

    Расчет длин соответствующих сторон

    Иногда мы можем вычислить длины, которых еще не знаем.

    • Шаг 1: Найдите отношение соответствующих сторон
    • Шаг 2: Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестную длину

    Пример: Найдите длины a и b треугольника S

    Шаг 1. Найдите соотношение

    Мы знаем все стороны треугольника R и
    Мы знаем сторону 6.4 дюйм Треугольник S

    6.4 обращен к углу, отмеченному двумя дугами, как и сторона длиной 8 в треугольнике R .

    Таким образом, мы можем сопоставить 6.4 с 8 , и поэтому отношение сторон в треугольнике S к треугольнику R будет:

    6,4 к 8

    Теперь мы знаем, что длины сторон в треугольнике S равны 6,4 / 8, умноженным на длин сторон в треугольнике R .

    Шаг 2: Используйте соотношение

    a обращен к углу с одной дугой, как и сторона длиной 7 в треугольнике R .

    a = (6,4 / 8) × 7 = 5,6

    b обращен к углу с тремя дугами, как и сторона длиной 6 в треугольнике R .

    b = (6,4 / 8) × 6 = 4,8

    Готово!

    Что такое геометрия? – Определение, факты и примеры

    Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

    Что такое геометрия?

    Геометрия – это раздел математики, изучающий размеры, формы, углы расположения и размеры предметов.

    Плоские формы, такие как квадраты, круги и треугольники, являются частью плоской геометрии и называются 2D-фигурами. Эти формы имеют только 2 измерения: длину и ширину.

    Примеры двумерных форм в плоской геометрии

    Твердые объекты также известны как трехмерные объекты, имеющие третье измерение высоты или глубины.

    Примеры трехмерных форм в твердой геометрии

    Уголок :

    Вершина фигуры, в которой встречаются два ребра, образуют угол.Различные геометрические формы имеют разные размеры углов.

    Например, :

    • Треугольник – это 3-сторонняя форма, размеры трех внутренних углов которого равны 180 °.

    • Квадрат, прямоугольник или четырехугольник имеют четырехугольную форму, а их внутренние углы измеряются 360 °.

    • Другие многоугольники, такие как пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, имеют 5, 6, 7, 8 сторон соответственно и разные углы.

    Примеры различных многоугольников с их углами и сторонами

    Мы изучаем различные аспекты форм, такие как измерение углов, длины сторон, площади, объема и т. Д. В геометрии.

    Сходство и соответствие – два важных аспекта геометрии.

    Сходство : Сходство – это когда две формы одинаковы, но их размеры могут различаться.

    Конгруэнтность : Конгруэнтность – это когда две формы абсолютно одинаковы по форме и размеру.

    Координатная плоскость :

    • Координатная плоскость – это двумерная поверхность, образованная двумя числовыми линиями, пересекающими друг друга под прямым углом.

    • Горизонтальная числовая линия – это ось x, а вертикальная числовая линия – ось y.

    • Пересечение двух осей – координата (0,0).

    • Используя координатную плоскость, мы наносим точки, линии и т. Д. Соединяя различные точки на координатной плоскости, мы можем создавать формы.

    Мы используем формулу и теоремы для решения геометрических задач.

    Формула – это математическое уравнение для решения геометрической задачи, а теорема – это утверждение, которое доказывается с использованием ранее известных фактов.

    Например, «Теорема Пифагора » доказала, что a2 + b2 = c2 для прямоугольного треугольника, где a и b – стороны прямоугольного треугольника, а c – гипотенуза.

    Однако a2 + b2 = c2 – это формула для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Интересные факты

    Kumon Publishing Детские учебные пособия – Геометрия – 7-8 классы

    перейти к содержанию
    • Быстрый заказ
    • Мой счет
    • Корзина
    Français Быстрый заказ Войти Корзина
    1. Дом
    2. > Офисные принадлежности
    3. > Образование
    4. > Учебные материалы
    5. > Учебные книги и рабочие тетради
    6. Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *