Макарычев миндюк дидактические материалы 9 класс: Решебник (ГДЗ) к дидактическим материалам по алгебре 9 класс Макарычев

Страница не найдена

Новости

25 авг

Президент России Владимир Путин по видеосвязи проводит встречу, в которой принимают участие учителя и преподаватели вузов, студенты, абитуриенты и ученики школ. Также на 25 августа запланировано заседание президиума Государственного Совета, в ходе которого будут обсуждаться предложения по повышению качества общего образования в РФ.

25 авг

Ученики 8-11-х классов смогут бесплатно изучать языки программирования на двухгодичных курсах, сообщила на онлайн-конференции директор департамента координации программ и проектов Минцифры Татьяна Трубникова.

24 авг

Депутат Госдумы, академик РАН Геннадий Онищенко отметил, что в российских школах важно создавать благоприятную среду для профилактики заболеваний.

24 авг

В рамках подготовки к новому учебному году школы на Ямале обследуют специальные комиссии, особое внимание уделяется противопожарной безопасности и антитеррористической защищённости учреждений.

24 авг

Праздничные линейки в школах Оренбурга пройдут 1 сентября в очном формате, заявила начальник управления образования городской администрации Лариса Бебешко.

24 авг

Заслуженный учитель России, доктор педагогических наук Евгений Ямбург назвал логичной и замечательной идею мэра Москвы Сергея Собянина об отмене обязательного ношения масок преподавателями на уроках.

24 авг

Мэр Москвы Сергей Собянин заявил, что всего в столичном регионе привились от коронавирусной инфекции COVID-19 около 80% учителей.

ГДЗ Алгебра 9 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева 2005-2010

Дидактические материалы по алгебре – это пособие с упражнениями для самостоятельных работ, которые носят обучающий характер. Также данное пособие содержит тексты контрольных работ и задания для проведения математических олимпиад. Этот материал предназначен для организации самостоятельной работы учеников. Использование данного издания помогает контролировать знания учеников, развивать их умения и навыки.

Используют алгебра 9 класс Макарычев 2008 вместе с учебником «Алгебра. Учебник для 9 класса» Макарычева Ю.Н. под редакцией Телявского С.А., а также если преподавание ведется по учебнику «Алгебра. Учебник для 9 класса» авторов Алимова Ш.А. под руководством Тихонова А.Н.

Дидактическое пособие состоит из пяти групп: самостоятельные работы, контрольные работы, итоговое повторение по темам, повторение курсу алгебры, внутришкольные олимпиады. Самостоятельные работы отмечены индексами С. Многие их них соответствуют учебникам. Также в книге приведена таблица, в которой означены соответствия работ с учебниками, что удобно для учителей.

Представлены самостоятельные работы в двух вариантах и носят они обучающий характер. Каждая их работ состоит из двоих блоков заданий. Первый состоит из обычных тренировочных упражнений, соответственно второй – состоит из усложненных заданий, которые способствуют развитию учеников. В каждом задании расположено несколько упражнений.

Самостоятельные задания имеют достаточно много заданий и рассчитаны не на одно выполнение. Также учитель может определить, каким ученикам какие задания выполнять. Учебник можно также использовать для дополнительного и самостоятельного обучения, чтобы повысить свои знания в области алгебры.

Данное пособие вы можете скачать учебник Макарычев алгебра 9 в интернет-ресурсах. А также вам пригодится решебник с ответами к данному пособию, чтобы проверять правильность выполненных заданий. Также решебник пригодится родителям для контроля выполненных заданий.

Гдз и решебник Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева — Дидактические материалы

Алгебра 9 класс

Тип пособия: Дидактические материалы

Авторы: Макарычев, Миндюк, Крайнева

Издательство: «Просвещение»

Любой школьник понимает, что умение считать, как и писать, ему необходимо. А вот отношение к изучению алгебры не простое – большинство учеников считает этот предмет не только крайне сложным, но и абсолютно ненужным. Доля истины в этом есть – каждый человек должен освоить главные арифметические действия, но квадратичные функции и интегралы появляются в жизни ученика на короткий промежуток времени и никогда не вспомнятся в послешкольной жизни. Но алгебру необходимо сдавать на выпускных экзаменах, и это решающий аргумент.

Освоить алгебру поможет решебник Макарычева

Девятиклассники – люди достаточно взрослые. Они уже имеют свои учебные предпочтения и представляют направление своей дальнейшей учебы. Неудивительно, если будущие гуманитарии или любители естественных наук предпочитают основное время отдавать тем предметам которые им интересны и понадобятся для поступления в ВУЗ. А если алгебра не входит в их число? Тогда ученик подсознательно отодвигает ее изучение на второй план. Результат – серьезные проблемы на ближайшей же контрольной работе и снижение успеваемости. А исправить такое положение гораздо сложнее, чем не допустить его. Именно для помощи старшеклассникам и разработана великолепная вспомогательная литература — решебник к пособию «Алгебра 9 класс Дидактические материалы Макарычев, Миндюк, Крайнева (Просвещение)».

Что включено в Дидактические материалы

Решебник охватывает весь курс алгебры девятого класса и позволяет повторить ранее изученный материал. Содержание пособия:

1. Тридцать две самостоятельных работы, каждая из которых представлена в двух вариантах.
2. Девять контрольных работ, составленных в четырех вариантах.
3. Задачи по всем разделам основного учебника для закрепления пройденного материала.

Дополнительно в решебник включены задания для математических олимпиад и экзаменационный итоговый тест.

Как работать с ГДЗ

Безусловно, одна из главных проблем старшеклассников – острая нехватка времени. Именно поэтому возникает соблазн просто переписать готовый ответ, особо не задумываясь над его смыслом. Но это не простой тупиковый путь – это верная гарантия серьезных проблем: ведь на контрольных проверках в классе подсматривать решение не получится. Единственный алгоритм работы с пособием:

• самостоятельно выполнить упражнение;
• сверить правильность своего ответа с вариантов решебника;
• проверить, насколько верно выполнено оформление решения.

Работа с ГДЗ должна быть вдумчивой и регулярной.

Похожие ГДЗ Алгебра 9 класс

Задания для олимпиад: Задания для олимпиад

Гдз алгебра 9 класс макарычев дидактический материал

Скачать гдз алгебра 9 класс макарычев дидактический материал EPUB

Готовые Домашние Задания по Алгебре. Дидактическиие материалы.(9 класс). Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.Г. г. Завершает ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев итоговый тест, который предстоит сдать перед экзаменами.

Для чего он создан. Невозможно делать несколько дел одновременно и получать при этом хорошие результаты.  Дидактические материалы 9 класс» Макарычев, где отражены все необходимые нюансы. «Просвещение», г.

Похожие ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк, Нешков. Дидактический материал по. алгебре 9 класс. Учитель: Чеснокова С. А. Г. Кызылорда.

Аннотация. дидактического материала по алгебре. за 9 класс. Дидактические карточки по курсу алгебры для 9 классов предназначены для организации самостоятельной работы учащихся и для осуществления контроля за их знаниями, умениями и навыками. Задания карточек рассчитаны на минут. Каждая из них может использоваться отдельными фрагментами на различных этапах формирования конкретных умений.

С помощью карточек можно дифференцировать деятельность учащихся согласно содержанию материала, выделяя для разных ученико. ГДЗ: Онлайн готовые домашние задания Дидактические материалы по алгебре за 9 класс, автор Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, спиши решения и ответы на triocenter.ru  год. ГДЗ к учебнику по алгебре за 9 класс Макарычев Ю.Н. можно скачать здесь. ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 9 класс Миндюк Н.Г. можно скачать здесь. ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 9 класс Дудницын Ю.П.

можно скачать здесь. ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 9 класс Звавич Л.И. можно скачать здесь. ГДЗ: Онлайн готовые домашние задания Дидактические материалы по алгебре за 9 класс, автор Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, спиши решения и ответы на triocenter.ru Самостоятельные работы. Дидактические материалы по алгебре – это пособие с упражнениями для самостоятельных работ, которые носят обучающий характер.

Также данное пособие содержит тексты контрольных работ и задания для проведения математических олимпиад. Этот материал предназначен для организации самостоятельной работы учеников.  Используют алгебра 9 класс Макарычев вместе с учебником «Алгебра. Учебник для 9 класса» Макарычева Ю.Н. под редакцией Телявского С.А., а также если преподавание ведется по учебнику «Алгебра. Учебник для 9 класса» авторов Алимова Ш.А. под руководством Тихонова А.Н.

ГДЗ к РТ по алгебре за 9 класс. АВТОР: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М., На этом сайте выложены лучшие ответы к рабочей тетради по алгебре за девятый класс авторов Макарычев Ю.Н.

Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М. года выпуска. Теперь решебники и ГДЗ по любым предметам можно обнаружить на нашем сайте! Ответы. Ответы на задания по алгебре за девятый класс к рабочей тетради Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М. Дидактические материалы Макарычев, Миндюк, Крайнева: Задания для школьных олимпиад: Весенняя оли. Решебник (ГДЗ) для 9 класса по алгебре Дидактические материалы. Авторы учебника: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева Содержит в себе полные и подробные ответы на все упражнения онлайн на пять фан.

ГДЗ к учебнику по алгебре за 9 класс Макарычев Ю.Н. ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 9 класс Миндюк Н.Г. ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 9 класс Дудницын Ю.П. ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 9 класс Звавич Л.И.

Самостоятельные работы. Вариант 1. Готовое домашние задание по алгебре за 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.

Нешков, С.Б. Суворова — е издание — Просвещение, г.  Эта проблема решается через использование ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев, ведь именно в этом пособии представлены не только готовые ответы, но и порядок выполнения задач и упражнений.

Рассматривая их, школьник запомнит, как правильно решать тот или иной пример и воспользуется этими знаниями на экзамене.

txt, fb2, txt, EPUB

Похожее:

1. Жохов В.И. Дидактические материалы по алгебре. 9 класс Москва

1

2 Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа по математике составлена на основе Примерной программы основного общего образования (базовый уровень) с учетом требований федерального компонента государственного стандарта основного общего образования и в соответствии с авторской программой Ю.Н. Макарычева. Данная рабочая программа рассчитана на 105 учебных часов (3 часа в неделю), в том числе контрольных работ 10. Используется учебно-методический комплект: Учебники: Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н, Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. 9-е изд. М.: Просвещение, с.: ил. Дополнительная литература: 1. Жохов В.И. Дидактические материалы по алгебре. 9 класс Москва «Просвещение» Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, под редакцией С.А. Теляковского 3. Математика в таблицах классы. Справочные материалы. Москва «Просвещение» 2009 Москва «АСТ. Астрель» 2010 При реализации рабочей программы используется дополнительный материал (выделенный в стандарте курсивом) в ознакомительном плане «Раздел для тех, кто хочет знать больше», создавая условия для максимального математического развития учащихся, интересующихся предметом, для совершенствования возможностей и способностей каждого ученика. Выявление итоговых результатов изучения темы завершается контрольной работой. Контрольные работы составляются с учетом обязательных результатов обучения. Увеличивается время на повторение, систематизацию и обобщение учебного, на достижение опорного уровня, который позволяет ученику с невысоким уровнем математической подготовки адаптироваться к изучению нового на следующей ступени обучения. В ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность: развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру; овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач; изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей; развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами; получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

3 развить логическое мышление и речь умениия логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений. Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: овладение системой математических знаний и, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования; интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей; формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов; воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса. Основные развивающие и воспитательные цели Развитие: Ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей; Математической речи; Сенсорной сферы; двигательной моторики; Внимания; памяти; Навыков само и взаимопроверки. Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов. Воспитание: Культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса; Волевых качеств; Коммуникабельности; Ответственности. Место предмета в федеральном базисном учебном плане Согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации на изучение математики на ступени основного общего образования отводится в 9 классе 3 ч в неделю, всего 102 ч. В настоящей рабочей программе изменено соотношение часов на изучение тем, добавлены темы элементов статистики. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности. В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и, следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт: планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов; решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения; исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач; ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического),

4 свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования; поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии. Результаты обучения Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ В результате изучения математики ученик должен знать/понимать существо понятия математического доказательства; примеры доказательств; существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов; как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач; как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания; как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа; вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов; каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики; смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации; АЛГЕБРА уметь составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные; выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений; применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни; решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы; решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы; решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи; изображать числа точками на координатной прямой; определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства; распознавать арифметические и геометрические ; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов; находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;

5 определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств; описывать свойства изученных функций, строить их графики; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных х; моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры; описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций; интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами; СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ УЧЕБНОГО КУРСА Алгебра 9 класс 1. Квадратичная функция (22 ч) Функция. Возрастание и убывание функции. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение задач путем выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Функция y=ax 2 + bx + с, её свойства, график. Простейшие преобразования графиков функций. Решение неравенств второй степени с одной переменной. [Решение рациональных неравенств методом интервалов.] Цель выработать умение строить график квадратичной функции и применять графические представления для решения неравенств второй степени с одной переменной. Знать основные свойства функций, уметь находить промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания функций Уметь находить область определения и область значений функции, читать график функции Уметь решать квадратные уравнения, определять знаки корней Уметь выполнять разложение квадратного трехчлена на множители Уметь строить график функции у=ах 2, выполнять простейшие преобразования графиков функций Уметь строить график квадратичной функции, выполнять простейшие преобразования графиков функций Уметь строить график квадратичной функции» находить по графику нули функции, промежутки, где функция принимает положительные и отрицательные значения. Уметь построить график функции y=ax 2 и применять её свойства. Уметь построить график функции y=ax 2 + bx + с и применять её свойства Уметь находить токи пересечения графика Квадратичной функции с осями координат. Уметь разложить квадратный трёхчлен на множители. Уметь решать квадратное уравнение. Уметь решать квадратное неравенство алгебраическим способом. Уметь решать квадратное неравенство с помощью графика квадратичной функции Уметь решать квадратное неравенство методом интервалов. Уметь находить множество значений квадратичной функции. Уметь решать неравенство ах 2 +вх+с. 0 на основе свойств квадратичной функции 2. Уравнения и неравенства с одной переменной (14 часов) 3. Уравнение и неравенства с двумя переменными (17 ов) Целое уравнение и его корни. Решение уравнений третьей и четвертой степени с одним неизвестным с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной. Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности. Решение систем, содержащих одно уравнение первой, а другое второй степени. Решение задач методом составления систем. Решение систем двух уравнений второй степени с двумя переменными.

6 Цель выработать умение решать простейшие системы, содержащие уравнения второй степени с двумя переменными, и решать текстовые задачи с помощью составления таких систем. Знать методы решения уравнений: а) разложение на множители; б) введение новой переменной; в) графический способ. Уметь решать целые уравнения методом введения новой переменной Уметь решать системы 2 уравнений с 2 переменными графическим способом Уметь решать уравнения с 2 переменными способом подстановки и сложения Уметь решать задачи «на работу», «на движение» и другие составлением систем уравнений. 4. Арифметическая и геометрические (15 ч) Арифметическая и геометрическая. Формулы n-го члена и суммы n первых членов. Цель дать понятие об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида. Добиться понимания терминов «член последовательности», «номер члена последовательности», «формула n го члена арифметической» Знать формулу n го члена арифметической, свойства членов арифметической, способы задания арифметической Уметь применять формулу суммы n первых членов арифметической при решении задач Знать, какая последовательность является геометрической, уметь выявлять, является ли последовательность геометрической, если да, то находить q Уметь вычислять любой член геометрической по формуле, знать свойства членов геометрической Уметь применять формулу при решении стандартных задач в Уметь применять формулу S= при решении практических задач 1 q Уметь находить разность арифметической Уметь находить сумму n первых членов арифметической. Уметь находить любой член геометрической. Уметь находить сумму n первых членов геометрической. Уметь решать задачи. 5. Элементы комбинаторики и теории вероятностей (16 ов) Комбинаторные задачи. Перестановки, размещения, сочетания. Перестановки. Размещения. Сочетания Вероятность случайного события Знать формулы числа перестановок, размещений, сочетаний и уметь пользоваться ими. Уметь пользоваться формулой комбинаторики при вычислении вероятностей 6. Повторение. Решение задач (21 ч) знаний, и навыков, полученных на ах по данным темам (курс алгебры 9 класса). Распределение курса по темам:

7 Квадратичная функция 22 часа Уравнения и неравенства с одной переменной 14 часов Уравнения и неравенства с двумя переменными 17 часов Арифметическая и геометрическая 15 часов Элементы комбинаторики и теории вероятностей 16 часов Повторение 21 час.

8 Тематическое планирование а а по теме Тема а Тип а Элементы содержания Ууд (универсальные учебные действия) Квадратичная функция (22 часа) 1 1 Функции и их свойства Актуализация знаний и 2 2 Функции и их свойства Актуализация знаний и 3 3 Функции и их свойства Ознакомление с новым учебным материалом 4 4 Функции и их свойства 5 5 Функции и их свойства 6 6 Квадратный трехчлен Ознакомление с новым учебным материалом 7 7 Квадратный трехчлен 8 8 Квадратный трехчлен Ознакомление с новым учебным материалом 9 9 Квадратный трехчлен К/р 1 Контроль знаний и Функция у=ах², ее график и Анализ к/р, свойства комбинированный Функция у=ах², ее график и свойства Графики функций у=ах²+n и у=а(х-m)² Ознакомление с новым учебным материалом Функция. Область определения. Множество значений. Примеры функциональных зависимостей. Возрастание и убывание функций. Квадратный трехчлен, корни кв. тр-на Выделение квадрата двучлена их кв. тр-на. Разложение кв. тр-на на множители. Функция у=ах², ее график Квадратичная функция, Знать:функциональную терминологию. Уметь: решать 1 и 2ую функциональные задачи Знать: понятие кв. трна, формулу разложения его на множители Уметь: уметь выделять квадрат двучлена, раскладывать кв. тр-н на множители Знать функции у=ах², их свойства и особенности графиков Уметь строить графики фукций у=ах², Знать функций у=ах²+n и у=а(х-m)², их Дата проведения Сентябрь

9 14 14 Графики функций у=ах²+n и у=а(х-m)² Графики функций у=ах²+n и у=а(х-m)² Построение графика квадратичной функции Построение графика квадратичной функции Построение графика квадратичной функции Степенная функция. Корень n- ой степени Степенная функция. Корень n- ой степени Степенная функция. Корень n- ой степени Систематизация знаний учащихся Ознакомление с новым учебным материалом Обобщение и учащихся Ознакомление с новым учебным материалом Систематизация знаний учащихся К/р 2 Контроль знаний и преобразование графика функции Функция у= ах²+bх+с. Промежутки возрастания и убывания квадратичной функции Функция у=х. определение корня n- ой степени Уравнения и неравенства с одной переменной (14 часов) 23 1 Целое уравнение и его корни Комбинированный 24 2 Целое уравнение и его корни Степень уравнения и его корни свойства и особенности графиков. Уметь строить их графики. Знать алгоритм получения графика функции у= ах²+bх+с из графика у= ах². Уметь строить график кв. ф-и, уметь находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства. Наибольшее и наименьшее значения Знать свойства степенной функции с натуральным показателем, понятие корня n-ой степени. Уметь перечислять свойства степенных функций, уметь вычислять корни Знать понятие целого рационального уравнения и его степени, Уметь решать уравнения третьей и четвертой степени с

10 25 3 Уравнения, приводимые к квадратным 26 4 Уравнения, приводимые к квадратным 27 5 Уравнения, приводимые к квадратным 28 6 Дробные рациональные уравнения 29 7 Дробные рациональные уравнения 30 8 Дробные рациональные уравнения 31 9 Решение неравенств второй степени с одной переменной Решение неравенств второй степени с одной переменной Решение неравенств методом интервалов Решение неравенств методом интервалов Решение неравенств методом интервалов Проверка и коррекция знаний Ознакомление с новым учебным материалом Систематизация знаний учащихся Целое уравнение и его корни, степень уравнения. Биквадратное уравнение, уравнения, приводимые к квадратным и методы их решения Дробное рациональное уравнение, алгоритм решения Решение неравенств второй степени с одной переменной Метод интервалов помощью разложения на множители Знать понятие целого рационального уравнения и его степени, метод введения новой переменной Уметь решать уравнения третьей и четвертой степени Знать о дробных рациональных уравнениях, об освобождении от знаменателя при решении уравнений Уметь их решать применяя формулы су и разложения квадратного трехчлена на множители Знать методы решения неравенств второй степени с одной переменной Уметь их решать, применять графическое представление для решения Уметь применять метод интервалов при решении неравенств с одной переменной, дробных рациональных неравенств

11 36 14 К/р 3 Контроль знаний и 37 1 Уравнение с двумя переменными и его график 38 2 Графический способ решения систем уравнений 39 3 Графический способ решения систем уравнений 40 4 Решение систем уравнений второй степени 41 5 Решение систем уравнений второй степени 42 6 Решение систем уравнений второй степени 43 7 Решение систем уравнений второй степени 44 8 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени 45 9 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени Уравнения и неравенства с двумя переменными (17 часов) Комбинированный Проверка и коррекция знаний Систематизация знаний учащихся Уравнение с двумя переменными и его график, уравнение окружности Системы двух уравнений второй степени с двумя переменными Системы уравнений второй степени Знать и понимать уравнение с двумя переменными, его график и уравнение окружности Знать Системы двух уравнений второй степени с двумя переменными графический способ их решения Уметь решать графически системы уравнений Знать Системы двух уравнений второй степени с двумя переменными и методы их решения Уметь решать системы, содержащие одно уравнение первой, а другое второй степени, системы двух уравнений второй степени с двумя переменными Знать и понимать системы уравнений второй степени и методы их решения Уметь решать текстовые задачи

12 46 10 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени Решение задач с помощью систем уравнений второй степени Решение задач с помощью систем уравнений второй степени Неравенства с двумя переменными Неравенства с двумя переменными Системы неравенств с двумя переменными Проверка знаний и Обобщение и, систематизация Системы неравенств с двумя переменными К/р 4 Контроль знаний и 54 1 Анализ контрольной работы последовательности 55 2 Определение арифметической, формула n-го члена арифметической Неравенства с двумя переменными, решение неравенств с двумя переменными Системы, решение систем Системы, решение систем Арифметическая и геометрическая (15 часов) Комбинированный последовательности Формула n-го члена последовательности, ар. Пр. методом составления систем уравнений Иметь представление о решении этих неравенств Уметь изображать множество решений на координатной плоскости Знать понятие последовательности, n- го члена последовательности Уметь использовать индексные обозначения Зать ар. Пр. числовая последовательность особого вида Уметь решать задачи с непосредственным 56 3 Определение арифметической Характеристическое

13 , формула n-го члена арифметической 57 4 Определение арифметической, формула n-го члена арифметической 58 5 Формула суммы n первых членов арифметической 59 6 Формула суммы n первых членов арифметической 60 7 Формула суммы n первых членов арифметической свойсво ар. Пр. применением изучаемых формул Обобщение и Обобщение и 61 8 к/р 5 Контроль знаний и 62 9 Определение геометрической, формула n-го члена геометрической Определение геометрической, формула n-го члена арифметической Определение геометрической, формула n-го члена арифметической Формула суммы n первых членов геометрической Формула суммы n первых членов геометрической Формула суммы n первых членов арифметической Последовательность, Формула n-го члена последовательности, геом. Пр., формула n- го члена геометрической. Характеристическое свойство геометрической. Формула суммы n первых членов геометрической Знать формулы Уметь решать задачи с непосредственным применением изучаемых формул Знать геометрическая прогрессия- числовая последовательность особого вида Уметь решать задачи с непосредственным применением изучаемых формул Знать формулу суммы n первых членов геометрической Уметь решать задачи с непосредственным

14 67 14 Формула суммы n первых членов геометрической Обобщение и к/р 6 Контроль знаний и 69 1 Элементы комбинаторики, примеры комбинаторных задач 70 2 Элементы комбинаторики, примеры комбинаторных задач применением изучаемых формул Элементы комбинаторики и теории вероятностей (16часов) 71 3 Перестановки 72 4 Перестановки 73 5 Размещения 74 6 Размещения 75 7 Сочетания 76 8 Сочетания 77 9 сочетания Обобщение и Начальные сведения из теории вероятностей, относительная частота случайного события. Вероятность равновозможных полученных знаний событий Примеры комбинаторных задач Перестановки Размещения Сочетания Сочетания Сочетания Случайные, достоверные, невозможные события. Статистическое и классическое определение Знать комбинаторное правило умножения формулы числа перестановок, размещений, сочетаний Уметь решать упражнения и задача с непосредственным применением изученных формул Уметь решать упражнения и задача с непосредственным применением изученных формул Уметь решать упражнения и задача с непосредственным применением изученных формул Уметь вычислять вероятности, использовать формулы комбинаторики

15 83 15 вероятности к/р 7 Повторение (21 часов) 85 1 Анализ контрольной работы. Повторение. Вычисления Комбинированный 86 2 Вычисления Комбинированный 87 3 Тождественные преобразования 88 4 Тождественные преобразования 89 5 Тождественные преобразования Обобщение и Комбинированный Комбинированный 90 6 Уравнения и системы уравнений Обобщение и 91 7 Уравнения и системы Комбинированный уравнений 92 8 Уравнения и системы Комбинированный уравнений 93 9 Уравнения и системы Комбинированный уравнений Уравнения и системы Комбинированный уравнений Уравнения и системы Комбинированный Числовые выражения, арифметический квадратный корень,, степень с натуральным и целым показателем. Действия с многочленами, с выражениями, содержащими квадратные корни Уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными. Арифметическая и геометрическая Уметь находить значения числовых и буквенных выражений, применять формулы прогрессий. Уметь выполнять действия с многочленами, с дробными рациональными выражениями, применять формулы сокращенного умножения, упрощать выражения, содержащие квадратные корни, раскладывать многочлен на множители различными способами Уметь решать уранения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, решать задачи с помощью составления уравнений и систем.

16 уравнений Неравенства Обобщение и Неравенства Комбинированный Неравенства Комбинированный Функции Обобщение и Функции Комбинированный Функции Комбинированный к/р итоговая к/р итоговая Анализ контрольной работы Обобщение и Контроль знаний и Повторение Обобщение и Неравенства и системы неравенств с одной переменной. Область определения выражения Функция, график, свойства Уметь решать неравенства и системы неравенств с одной переменной Уметь строить графики, исследовать функции на монотонность, находить промежутки знакопостоянства, область определения и область значений Уметь решать задания по изученному материалу Уметь решать задания по изученному материалу

Гдз алгебра 9 класс макарычев дидактический материал

Скачать гдз алгебра 9 класс макарычев дидактический материал PDF

ГДЗ и решебник к дидактическим материалам по алгебре за 9 класс, авторов Макарычев, Миндюк, Крайнева Решение и ответы к контрольным и самостоятельным работам по алгебре за 9 класс. Дополнительные упражнения для выпускника основной школы – шанс лучше подготовиться к экзаменам. В решебник по алгебре 9 класс (дидактические материалы, авторская разработка Макарычева) включены задания на все темы для более полного их усвоения и тренировки перед испытаниями.

Развернуто-детальные пояснения, включающие основные теоретические знания девятиклассника, помогают понять логику решения уравнений. ГДЗ к дидактическим материалам по Алгебре 8 класс Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. г. Алгебра 9 Контрольные Макарычев — это ОТВЕТЫ на контрольные работы с повышенным уровнем математической подготовки из пособия для учащихся «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы / И.Е.

Феоктистов — М.: Мнемозина», которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 9 класс. Углубленное изучение» авторов: Ю.Н.

Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешкова, И.Е. Феоктистов. Цитаты из пособия указаны в учебных целях, а также во избежание редакционных ошибок. При постоянном использовании контрольных работ в 9 классе рекомендуем купить книгу, в которой кроме контрольных работ есть много самостоятельных. Дидактический материал по. алгебре 9 класс.

Учитель: Чеснокова С. А. Г. Кызылорда. Аннотация. дидактического материала по алгебре. за 9 класс. Дидактические карточки по курсу алгебры для 9 классов предназначены для организации самостоятельной работы учащихся и для осуществления контроля за их знаниями, умениями и навыками. Задания карточек рассчитаны на минут. Каждая из них может использоваться отдельными фрагментами на различных этапах формирования конкретных умений.

С помощью карточек можно дифференцировать деятельность учащихся согласно содержанию материала, выделяя для разных ученико. Пособие содержит упражнения для самостоятельных работ, которые носят обучающий характер, а также тексты контрольных работ и задания для проведения школьных математических олимпиад.

Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 3 Самостоятельные работы 5 Вариант I — Вариант II 33 Контрольные работы 61 Итоговый тест 81 Итоговое повторение по темам 84 Задания для школьных олимпиад 93 Ответы к контрольным работам 94 Ответы и указания к заданиям олимпиад Дидактические материалы по алгебре для 9 класса.

Предложения интернет-маг.

Завершает ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев итоговый тест, который предстоит сдать перед экзаменами. Для чего он создан. Невозможно делать несколько дел одновременно и получать при этом хорошие результаты.  Дидактические материалы 9 класс» Макарычев, где отражены все необходимые нюансы. «Просвещение», г. Похожие ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк, Нешков. Решебник «Алгебра 9 Класс Дидактические материалы» (Авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева) – это отличная помощь для школьников, учителей, а также родителей.

В выпускном классе основной школы важно не допустить серьезных пробелов в знаниях, чтобы учащиеся отлично подготовились к экзаменам. Подходит для всех. Здесь представлены готовые домашние работы, которые соответствуют ФГОС второго поколения. Готовые Домашние Задания по Алгебре. Дидактическиие материалы.(9 класс). Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.Г. г.

rtf, EPUB, EPUB, djvu

Похожее:

Гдз алгебра 9 класс макарычев дидактический материал

Скачать гдз алгебра 9 класс макарычев дидактический материал txt

Ответы к дидактическим материалам по алгебре за 9 класс авторов Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайневой Л.Б., Коротковой Л.М.

года издания. Учебное пособие состоит из самостоятельных работ обучающего характера по программе. Они представлены двумя вариантами с повышением уровня сложности, и содержат алгоритмы решения множества задач. Решебник «Алгебра 9 Класс Дидактические материалы» (Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева) применяется учителями, учениками, родителями. Онлайн-версия книги поможет оперативно проверять знания и умения школьников по курсу математики девятого класса и эффективно готовиться к государственному экзамену.

Поможет ли решебник? Учащиеся как правило испытывают проблемы при освоении курса алгебры в 9 классе. Даже хорошо успевающие дети не всегда усваивают программу на «отлично».

ГДЗ > Алгебра > 9 класс > Дидактические материалы по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева Просвещение. ГДЗ дидактические материалы по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева Просвещение. Авторы: Макарычев, Миндюк, Крайнева. Издательство: Просвещение.  Им предстоит усваивать большой объем материала.

Но домашка порой вызывает недоумение даже у родителей. В этом случае ГДЗ по алгебре для 9 класса авторов Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б. – верная и надежная подсказка в изучении этого нелегкого предмета. На сайте приведены ответы к учебнику, который непосредственно используют на занятиях в школе, а также ход решения заданий. Готовое домашние задание по алгебре за 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций Ю.Н.

Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова — е издание — Просвещение, г.  Эта проблема решается через использование ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев, ведь именно в этом пособии представлены не только готовые ответы, но и порядок выполнения задач и упражнений.

Рассматривая их, школьник запомнит, как правильно решать тот или иной пример и воспользуется этими знаниями на экзамене. Решебник «Алгебра 9 Класс Дидактические материалы» (Авторы Ю.Н.

Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева) – это отличная помощь для школьников, учителей, а также родителей. В выпускном классе основной школы важно не допустить серьезных пробелов в знаниях, чтобы учащиеся отлично подготовились к экзаменам. Подходит для всех. Здесь представлены готовые домашние работы, которые соответствуют ФГОС второго поколения.

ГДЗ Решебник Дидактические материалы Алгебра 9 класс Макарычев. Алгебра 9 класс Дидактические материалы Макарычев, Миндюк, Крайнева «Просвещение». Зачастую обучение в школе проходит не так гладко, как хотелось бы большинству родителей. Да это и не удивительно, учитывая сложность учебной программы.

Поэтому учащимся может весьма пригодится решебник к учебнику «Алгебра 9 класс Дидактические материалы, авторы: Макарычев, Миндюк, Крайнева» от издательства Просвещение, которое входит в серии УМК «». В сборнике подробно приводятся решения всех заданий, которые так же сопровождаются условиями. ГДЗ к РТ по алгебре за 9 класс.

АВТОР: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М., На этом сайте выложены лучшие ответы к рабочей тетради по алгебре за девятый класс авторов Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г.

Крайнева Л.Б., Короткова Л.М. года выпуска. Теперь решебники и ГДЗ по любым предметам можно обнаружить на нашем сайте! Ответы. Ответы на задания по алгебре за девятый класс к рабочей тетради Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М. Дидактические материалы Макарычев, Миндюк, Крайнева: Задания для школьных олимпиад: Весенняя оли. Готовые Домашние Задания по Алгебре 9 класс. Дидактическиие материалы. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. г. (Контрольные работы.).

djvu, rtf, fb2, txt

Похожее:

Готовые школьные домашние задания: фото ответы на задания APK

Готовые школьные домашние задания по фотографиям — мечта каждого, кто учится в средней или старшей школе! Это приложение поможет найти готовые домашние задания по всем школьным предметам с 1 по 11 класс. Достаточно сфотографировать на смартфон страницу с домашним заданием из учебника или рабочей тетради, и приложение найдет ответ. Также вы можете получить решения задач, уравнения и примеры по фото.

Преимущество нашего образовательного приложения — это широкая база авторов учебников, рабочих тетрадей, тестов и викторин по основным школьным предметам.

Вы найдете готовые домашние задания по самым популярным школьным предметам:
— Математика
— Русский
— Алгебра
— Английский
— Геометрия
— Физика
— Биология
— История
— География
— Литература
— Химия
— Немецкий
— Компьютерные науки
— Социальные науки

В приложении вы найдете готовые домашние задания по учебникам, рабочие тетради, контрольные материалы, дидактические материалы, тесты, викторины, тренажеры и сборники заданий от следующих авторов: Александрова, Алимов, Атанасян , Афанасьева, Баранов, Баранова, Бархударов, Башмаков, Боголюбова, Босова, Бунеев, Бунимович, Бутузов, Быстрова, Ваулина, Виленкин, Волкова, Габриелян, Гаврилова, Гамбарин, Глазков, Гольцова, Дорастьева, Дорогорцова, Дорогорцова, Горецкий , Ерина, Ефремова, Желтовская, Жохов, Звавич, Зив, Зубарева, Иванов, Истомина, Иченская, Канакина, Кауфман, Кибирева, Климанова, Ключникова, Козлов, Колягин, Комарова, Коровин а, Кузнецова, Кузовлева, Купалова, Ладыженская, Ларионова, Литвинова, Львова, Макарычева, Мартышова, Мерзляк, Меркин, Минаева, Миндюк, Миракова, Мищенко, Мордкович, Моро, Муравин, Мякишев, Никитерсышва, Никитины, Никитина, Никольский Пичугов, Погорелов, Полонский, Попов, Попова, Потапов, Разумова, Разумовская, Рамзаева, Рубин, Рудницкая, Рыбченкова, Смирнова, Соловейчик, Ткачева, Тростенцова, Чекин, Чесноков, Чулков, Шарыгин, Шмелев и другие.

кв ур. Квадратные уравнения. Решение полных квадратных уравнений. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Надеюсь, изучив эту статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения; другие методы используются для решения неполных квадратных уравнений, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие квадратные уравнения называются полными? Это уравнений вида ax 2 + b x + c = 0 где коэффициенты a, b и c не равны нулю.Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, вам нужно вычислить дискриминант D.

D = b 2 — 4ac.

В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, запишем ответ.

Если дискриминант отрицательный (D

Если дискриминант равен нулю, то x = (-b) / 2a. Когда дискриминант — положительное число (D> 0),

, то x 1 = (-b — √D) / 2a, а x 2 = (-b + √D) / 2a.

Например. Решите уравнение x 2 — 4x + 4 = 0.

D = 4 2 — 4 4 = 0

х = (- (-4)) / 2 = 2

Ответ: 2.

Решите уравнение 2 x 2
+ х + 3 = 0.

D = 1 2 — 4 2 3 = — 23

Ответ: без корней .

Решите уравнение 2 x 2
+ 5х — 7 = 0 .

D = 5 2 — 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81) / (2 2) = (-5 — 9) / 4 = — 3.5

х 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Ответ: — 3,5; 1 .

Итак, представим решение полных квадратных уравнений схемой на Рисунке 1.

С помощью этих формул можно решить любое полное квадратное уравнение. Вам просто нужно быть осторожным, чтобы убедиться, что уравнение было записано как стандартный полином

и x 2

+ bx + c, иначе можно ошибиться.Например, записывая уравнение x + 3 + 2x 2 = 0, можно ошибочно решить, что

а = 1, b = 3 и c = 2. Тогда

D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неправда. (См. Решение примера 2 выше).

Следовательно, если уравнение не записывается как многочлен стандартной формы, сначала полное квадратное уравнение должно быть записано как многочлен стандартной формы (в первую очередь должен быть одночлен с наибольшим показателем, то есть и х 2


, то с менее —
bx , а затем бесплатный член от.

При решении сокращенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором члене можно также использовать другие формулы. Давайте также познакомимся с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении со вторым членом коэффициент четный (b = 2k), то уравнение можно решить по формулам, приведенным на схеме на рисунке 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент равен x 2


равно единице и уравнение принимает вид x 2 + px + q = 0 … Такое уравнение может быть дано для решения, или оно получено путем деления всех коэффициентов уравнения на коэффициент и , стоящий на x 2


.

На рисунке 3 показана схема решения приведенных квадратных уравнений
. Давайте посмотрим на пример применения формул, обсуждаемых в этой статье.

Пример. Решите уравнение

3 x 2


+ 6х — 6 = 0.

Давайте решим это уравнение, используя формулы, показанные на диаграмме на рисунке 1.

D = 6 2 — 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √ (363) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 — √3

х 2 = (-6 + 6√3) / (2 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3

Можно отметить, что коэффициент при x в этом уравнении является четным числом, то есть b = 6 или b = 2k, откуда k = 3.Затем попробуем решить уравнение по формулам, показанным на схеме фигуры D 1 = 3 2 — 3 · (- 6) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √27 = √ (9 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3) / 3 = (3 (-1 — √ (3))) / 3 = — 1 — √3

х 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3 … Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполняя деление, получаем сокращенное квадратное уравнение x 2 + 2x — 2 = 0 Решите это уравнение, используя формулы для Сокращенное квадратное уравнение
рисунок 3.

D 2 = 2 2 — 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√ (D 2) = √12 = √ (4 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3) / 2 = (2 (-1 — √ (3))) / 2 = — 1 — √3

х 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3.

Как видите, решая это уравнение по разным формулам, мы получили один и тот же ответ. Следовательно, хорошо усвоив формулы, представленные на диаграмме на рисунке 1, вы всегда можете решить любое полное квадратное уравнение.

Сайт

, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

Продолжаем изучать тему « решение уравнений ». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями .

Сначала мы проанализируем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим соответствующие определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения.Затем мы переходим к решению полных уравнений, получаем формулу для корней, знакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассматриваем решения типичных примеров. Наконец, давайте проследим связь между корнями и коэффициентами.

Навигация по страницам.

Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала нужно четко понять, что такое квадратное уравнение. Поэтому логично начать разговор о квадратных уравнениях с определения квадратного уравнения, а также с определениями, связанными с ним.После этого можно будет рассматривать основные типы квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение Представляет собой уравнение вида a x 2 + b x + c = 0 , где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, а a — ненулевое значение.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени.Это потому, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Итак, 2 х 2 + 6 х + 1 = 0, 0,2 х 2 + 2,5 х + 0,03 = 0 и т. Д. Являются квадратными уравнениями.

Определение.

Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, а коэффициент a называется первым, или наибольшим, или коэффициент при x 2, b — вторым коэффициент или коэффициент при x, а c — свободный член.

Например, возьмем квадратное уравнение вида 5 x 2 −2 x — 3 = 0, здесь старший коэффициент равен 5, второй коэффициент равен −2, а точка пересечения равна −3. Обратите внимание, что когда коэффициенты b и / или c отрицательны, как в только что приведенном примере, тогда краткая форма квадратного уравнения равна 5 x 2 −2 x — 3 = 0, а не 5 x 2 + (- 2). Х + (- 3) = 0,

Следует отметить, что когда коэффициенты a и / или b равны 1 или −1, то они обычно явно не присутствуют в квадратном уравнении, что связано с особенностями их записи.Например, в квадратном уравнении y 2 −y + 3 = 0 старший коэффициент равен единице, а коэффициент при y равен −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратичное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называется сокращенным квадратным уравнением … В противном случае квадратное уравнение будет несведенным .

Согласно этому определению, квадратные уравнения x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x — 2/3 = 0 и т. Д. — даны, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5 x 2 −x — 1 = 0 и т. Д. — неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1.

Из любого неприведенного квадратного уравнения, разделив обе его части на старший коэффициент, можно перейти к сокращенному. Это действие является эквивалентным преобразованием, то есть полученное таким образом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, как и оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как происходит переход от неприведенного квадратного уравнения к сокращенному.

Пример.

Из уравнения 3 x 2 + 12 x — 7 = 0 перейти к соответствующему сокращенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3, он ненулевой, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3 x 2 + 12 x — 7): 3 = 0: 3, что то же самое, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, и далее ( 3: 3) х 2 + (12: 3) х — 7: 3 = 0, откуда.Итак, мы получили сокращенное квадратное уравнение, которое эквивалентно исходному.

Ответ:

Полные и неполные квадратные уравнения

Определение квадратного уравнения содержит условие a ≠ 0. Это условие необходимо для того, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было точно квадратичным, так как при a = 0 оно фактически становится линейным уравнением вида Ьх + с = 0,

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю как по отдельности, так и вместе.В этих случаях квадратное уравнение называется неполным.

Определение.

Квадратное уравнение a x 2 + b x + c = 0 называется неполным , если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение Это уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля.

Эти имена даны не случайно. Это станет ясно из следующих соображений.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0 x + c = 0, и оно эквивалентно уравнению ax 2 + c = 0. Если c = 0, то то есть квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + 0 = 0, тогда его можно переписать как ax 2 + bx = 0. А при b = 0 и c = 0 получаем квадратное уравнение a · X 2 = 0. Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат ни члена с переменной x, ни свободного члена, ни того и другого.Отсюда их название — неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения x 2 + x + 1 = 0 и −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 являются примерами полных квадратных уравнений, а x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, −x 2 −5 · x = 0 — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Из информации в предыдущем абзаце следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений :

• ax 2 = 0, коэффициенты b = 0 и c = 0 соответствуют Это;
• a x 2 + c = 0 при b = 0;
• и a x 2 + b x = 0 при c = 0.

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих типов.

а х 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть с уравнениями вида a · x 2 = 0. Уравнение a · x 2 = 0 эквивалентно уравнению x 2 = 0, который получается из оригинала делением обеих его частей на ненулевое число a. Очевидно, что корень уравнения x 2 = 0 равен нулю, так как 0 2 = 0.Других корней это уравнение не имеет, что объясняется, ведь для любого ненулевого числа p выполняется неравенство p 2> 0, откуда следует, что при p ≠ 0 равенство p 2 = 0 никогда не достигается.

Итак, неполное квадратное уравнение a · x 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4 · x 2 = 0. Уравнение x 2 = 0 ему эквивалентно, его единственный корень — x = 0, следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень ноль.

Краткое решение в этом случае можно сформулировать так:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

а х 2 + с = 0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c ≠ 0, то есть уравнения вида a · x 2 + c = 0. Мы знаем, что перенос члена переход от одной части уравнения к другой с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на ненулевое число дает эквивалентное уравнение.Следовательно, мы можем провести следующие эквивалентные преобразования неполного квадратного уравнения a x 2 + c = 0:

• переместим c в правую часть, что дает уравнение max 2 = −c,
• и разделив обе части на a, получим.

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. В зависимости от значений a и c значение выражения может быть отрицательным (например, если a = 1 и c = 2, то) или положительным, (например, если a = −2 и c = 6, то), он не равен нулю, так как по условию c ≠ 0.Разберем отдельно случаи и.

Если, то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того факта, что квадрат любого числа является неотрицательным числом. Из этого следует, что когда, то для любого числа p равенство выполняться не может.

Если, то иная ситуация с корнями уравнения. В этом случае, если вспомнить про, то сразу становится очевидным корень уравнения, это число, т.к. Несложно догадаться, что число действительно является корнем уравнения.Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, от противного. Давай сделаем это.

Обозначим корни только что озвученного уравнения как x 1 и −x 1. Предположим, что уравнение имеет еще один корень x 2, отличный от указанных корней x 1 и −x 1. Известно, что подстановка его корней в уравнение вместо x превращает уравнение в истинное числовое равенство. Для x 1 и −x 1 имеем, а для x 2 имеем. Свойства числовых равенств позволяют выполнять почленное вычитание истинных числовых равенств, поэтому вычитание соответствующих частей равенств дает x 1 2 — x 2 2 = 0.Свойства действий с числами позволяют переписать полученное равенство как (x 1 — x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда при хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, из полученного равенства следует, что x 1 — x 2 = 0 и / или x 1 + x 2 = 0, что то же самое, x 2 = x 1 и / или x 2 = −x 1 Таким образом мы пришли к противоречию, поскольку в начале мы сказали, что корень уравнения x 2 отличен от x 1 и −x 1.Это доказывает, что уравнение не имеет корней, кроме и.

Подведем итог по этому пункту. Неполное квадратное уравнение a x 2 + c = 0 эквивалентно уравнению, что

• не имеет корней, если,
• имеет два корня и, если.

Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений вида a · x 2 + c = 0.

Начнем с квадратного уравнения 9 x 2 + 7 = 0. После переноса свободного члена в правую часть уравнения он примет вид 9 · x 2 = −7.Разделив обе части полученного уравнения на 9, получим. Поскольку в правой части стоит отрицательное число, это уравнение не имеет корней, следовательно, исходное неполное квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не имеет корней.

Решите еще одно неполное квадратное уравнение −x 2 + 9 = 0. Переместите девятку вправо: −x 2 = −9. Теперь разделим обе части на −1, получим x 2 = 9. В правой части стоит положительное число, из которого делаем вывод, что или. Затем записываем окончательный ответ: неполное квадратное уравнение −x 2 + 9 = 0 имеет два корня x = 3 или x = −3.

а х 2 + b х = 0

Осталось разобраться с решением последнего типа неполных квадратных уравнений при c = 0. Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0 позволяют решить методом факторизации … Очевидно, мы можем , расположенный в левой части уравнения, для которого достаточно вынести общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к эквивалентному уравнению вида x · (a · x + b) = 0.И это уравнение эквивалентно комбинации двух уравнений x = 0 и a x + b = 0, последнее из которых является линейным и имеет корень x = −b / a.

Итак, неполное квадратное уравнение a x 2 + b x = 0 имеет два корня x = 0 и x = −b / a.

Для закрепления материала разберем решение на конкретном примере.

Пример.

Решите уравнение.

Решение.

Вынесение x из скобок дает уравнение.Это эквивалентно двум уравнениям x = 0 и. Решаем полученное линейное уравнение:, и разделив смешанное число на обыкновенную дробь, находим. Следовательно, корнями исходного уравнения являются x = 0 и.

После получения необходимой практики решения таких уравнений можно записать вкратце:

Ответ:

х = 0 ,.

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Существует формула корня для решения квадратных уравнений.Запишем квадратную формулу :, где D = b 2 −4 a c — так называемый квадратичный дискриминант … Обозначение по сути означает то.

Полезно знать, как была получена формула корней и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Давайте разберемся.

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Допустим, нам нужно решить квадратное уравнение a x 2 + b x + c = 0.Выполним несколько эквивалентных преобразований:

• Мы можем разделить обе части этого уравнения на ненулевое число a, в результате мы получим сокращенное квадратное уравнение.
• Теперь выберите полный квадрат на его левой стороне :. После этого уравнение примет вид.
• На данном этапе можно осуществить перенос двух последних членов в правую часть с противоположным знаком, как у нас.
• А еще трансформируем выражение в правой части :.

В результате мы приходим к уравнению, которое эквивалентно исходному квадратному уравнению a x 2 + b x + c = 0.

Мы уже решали уравнения, аналогичные по форме в предыдущих параграфах, когда мы их анализировали. Это позволяет сделать следующие выводы относительно корней уравнения:

• если, то уравнение не имеет реальных решений;
• если, то уравнение имеет вид, следовательно, откуда виден его единственный корень;
• если, то или, что одно и то же, или, то есть уравнение имеет два корня.

Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения, а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения в правой части. В свою очередь, знак этого выражения определяется знаком числителя, поскольку знаменатель 4 · a 2 всегда положительный, то есть знак выражения b 2 −4 · a · c. Это выражение b 2 −4 a c было названо дискриминантом квадратного уравнения и обозначено буквой D … Отсюда понятна суть дискриминанта — по его значению и знаку делается вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если да, то каково их количество — один или два.

Возвращаясь к уравнению, перепишем его, используя дискриминантную запись :. И делаем выводы:

• если D
• если D = 0, то это уравнение имеет единственный корень;
• наконец, если D> 0, то уравнение имеет два корня или, которые в силу этого можно переписать в виде или, а после разложения и сведения дробей к общему знаменателю получим.

Итак, мы вывели формулы для корней квадратного уравнения, они имеют вид, где дискриминант D вычисляется по формуле D = b 2 −4 · a · c.

С их помощью с положительным дискриминантом можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. Когда дискриминант равен нулю, обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А с отрицательным дискриминантом, пытаясь использовать формулу для корней квадратного уравнения, мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки школьной программы… С отрицательным дискриминантом квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корней , которые можно найти с помощью тех же формул корней, которые мы получили.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнений можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой можно вычислить их значения. Но это больше касается поиска сложных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о вещественных корнях квадратного уравнения.В этом случае желательно сначала найти дискриминант перед использованием формул для корней квадратного уравнения, убедиться в его неотрицательности (в противном случае можно сделать вывод, что уравнение не имеет действительных корней) и только после которые вычисляют значения корней.

Приведенное выше рассуждение позволяет написать решатель квадратного уравнения … Для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 необходимо:

• по дискриминантной формуле D = b 2 −4 · a · C рассчитать его стоимость;
• заключают, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле, если D = 0;
• найти два действительных корня квадратного уравнения, используя формулу корня, если дискриминант положительный.

Здесь просто отметим, что если дискриминант равен нулю, можно использовать и формулу, она даст то же значение, что и.

Можно перейти к примерам использования алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и нулевым дискриминантами. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение.Давайте начнем.

Пример.

Найдите корни уравнения x 2 + 2 x — 6 = 0.

Решение.

В данном случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a = 1, b = 2 и c = −6. По алгоритму сначала нужно вычислить дискриминант, для этого подставляем указанные a, b и c в формулу дискриминанта, у нас D = b 2 −4 ac = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28 … Поскольку 28> 0, то есть дискриминант больше нуля, квадратное уравнение имеет два действительных корня.Находим их по формуле корня, получаем, здесь можно упростить полученные выражения, выполнив , вычитая знак корня с последующим уменьшением дроби:

Ответ:

Перейдем к следующему типичному примеру.

Пример.

Решите квадратное уравнение −4×2 + 28x — 49 = 0.

Решение.

Начнем с нахождения дискриминанта: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0… Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который мы находим как

Ответ:

х = 3,5.

Осталось рассмотреть решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решите уравнение 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Решение.

Вот коэффициенты квадратного уравнения: a = 5, b = 6 и c = 2. Подставляя эти значения в дискриминантную формулу, имеем D = b 2 −4 ac = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4… Дискриминант отрицательный, следовательно, это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если нужно указать комплексные корни, то применяем известную формулу для корней квадратного уравнения и выполняем операций с комплексными числами :

Ответ:

настоящих корней нет, сложные корни выглядят следующим образом :.

Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что реальных корней нет, а комплексные корни не найдены.

Формула корня для четных вторых коэффициентов

Формула корней квадратного уравнения, где D = b 2 −4 ac, позволяет получить формулу более компактного вида, позволяющую решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x (или просто с коэффициентом вида 2 n, например, или 14 ln5 = 2 7 ln5). Давай вытащим это.

Допустим, нам нужно решить квадратное уравнение вида a x 2 + 2 n x + c = 0. Найдем его корни по известной нам формуле.Для этого вычисляем дискриминант D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), а затем используем формулу корня:

Обозначим выражение n 2 — a · c как D 1 (иногда его обозначают D «). Тогда формула для корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 n принимает вид, где D 1 \ u003d n 2 — a · c.

Легко видеть, что D = 4 · D 1, или D 1 = D / 4. Иными словами, D 1 — четвертая часть дискриминанта.Понятно, что знак D 1 совпадает со знаком D. То есть знак D 1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение со вторым коэффициентом 2 n, вам нужно

• Вычислить D 1 = n 2 −a · c;
• Если D 1
• Если D 1 = 0, то вычислить единственный корень уравнения по формуле;
• Если D 1> 0, то найти два действительных корня по формуле.

Рассмотрим решение примера с использованием формулы корня, полученной в этом абзаце.

Пример.

Решите квадратное уравнение 5×2 −6x — 32 = 0.

Решение.

Второй коэффициент этого уравнения может быть представлен как 2 · (−3). То есть можно переписать исходное квадратное уравнение в виде 5 x 2 + 2 (−3) x — 32 = 0, здесь a = 5, n = −3 и c = −32, и вычислить четвертая часть дискриминанта: D 1 = n 2 −ac = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169… Поскольку его значение положительное, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корня:

Обратите внимание, что можно было использовать обычную формулу для корней квадратного уравнения, но в этом случае потребуется больше вычислительной работы.

Ответ:

Упрощение квадратных уравнений

Иногда, прежде чем приступить к вычислению корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задать вопрос: «Можно ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане расчетов решить квадратное уравнение 11 x 2 −4 x — 6 = 0 будет проще, чем 1100 x 2 −400 x — 600 = 0.

Обычно упрощение формы квадратного уравнения достигается умножением или делением обеих его частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце нам удалось упростить уравнение 1100×2 −400x — 600 = 0, разделив обе части на 100.

Аналогичное преобразование проводится с квадратными уравнениями, коэффициенты которых нет. В этом случае обе части уравнения обычно делятся на абсолютные значения его коэффициентов. Например, возьмем квадратное уравнение 12 x 2 −42 x + 48 = 0.абсолютные значения его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6. Деление обеих сторон исходной квадратичной уравнение на 6, приходим к эквивалентному квадратному уравнению 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно делается, чтобы избавиться от дробных коэффициентов. В этом случае умножение производится на знаменатели его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4 x — 18 = 0.

В заключение этого абзаца отметим, что мы почти всегда избавляемся от минуса в главном коэффициенте квадратного уравнения, меняя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1. Например, обычно от квадратного уравнения −2×2 −3x + 7 = 0 переходит к решению 2×2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формула для корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты.На основе формулы корня можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самые известные и применимые формулы взяты из теоремы Виета о форме и. В частности, для данного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Например, по виду квадратного уравнения 3 x 2 −7 x + 22 = 0 сразу можно сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Используя уже написанные формулы, можно получить ряд других соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, вы можете выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Список использованной литературы.

• Алгебра: уч. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд.- М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
• А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 11-е изд., Стер. — М .: Мнемозина, 2009. — 215 с .: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Just. По формулам и понятным простым правилам. На первом этапе

необходимо привести данное уравнение к стандартному виду, т.е. посмотреть:

Если уравнение уже дано вам в этой форме, вам не нужно делать первый шаг.Самое главное правильно

определяют все коэффициенты, и , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения.

Выражение под знаком корня называется дискриминантом
… Как видите, чтобы найти x, мы

использовать только a, b и c .
Тех. коэффициенты из квадратного уравнения … Просто аккуратно подставьте

означает a, b и c в эту формулу и посчитайте.Замените на их знаки !

например , в уравнении:

, и = 1; b = 3; с = -4.

Подставляем значения и пишем:

Пример почти решен:

Это ответ.

Самая распространенная ошибка — путаница со значащими знаками. a, b и из … Вернее, с заменой

отрицательных значения в формулу вычисления корней.Здесь подробное обозначение формулы спасает

с конкретными номерами. Если у вас есть вычислительные проблемы, сделайте это!

Предположим, вам нужно решить этот пример:

Здесь a = -6;
b = -5;
с = -1

Расписываем все подробно, тщательно, ничего не упускаем со всеми знаками и скобками:

Квадратные уравнения часто выглядят немного иначе.Например, так:

А теперь обратите внимание на передовые методы, которые значительно уменьшат количество ошибок.

Первый прием … Не поленитесь перед решением квадратного уравнения приведите его к стандартному виду.

Что это значит?

Допустим, после любых преобразований вы получили следующее уравнение:

Не торопитесь писать формулу корня! Вы почти наверняка перепутаете шансы. а, б и в.

Постройте пример правильно. Сначала X возводится в квадрат, затем без квадрата, затем свободный член. Как это:

Избавьтесь от минуса. Как? Вы должны умножить все уравнение на -1. Получаем:

Но теперь вы можете спокойно записать формулу для корней, вычислить дискриминант и завершить пример.

Сделай сам. У вас должны быть корни 2 и -1.

Прием второй. Проверь корни! По теореме вьета .

Для решения данных квадратных уравнений, т.е. если коэффициент

х 2 + bx + c = 0,

, затем х 1 х 2 = c

х 1 + х 2 = — б

Для полного квадратного уравнения, в котором a ≠ 1 :

x 2 + b x + c = 0,

разделите все уравнение на и:

→ →

, где x 1, и x 2 — корни уравнения.

Прием третий … Если ваше уравнение содержит дробные коэффициенты, избавьтесь от дробей! Умножить

уравнение с общим знаменателем.

Выход. Практический совет:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, строим справа .

2. Если перед x в квадрате стоит отрицательный коэффициент, мы исключаем его, умножая сумму

.

уравнений на -1.

3. Если коэффициенты дробные, мы исключаем дроби, умножая все уравнение на соответствующее

Фактор

.

4. Если квадрат x чистый, коэффициент равен единице, решение можно легко проверить с помощью

.

Квадратные уравнения … Общие сведения.

IN квадратный x должен присутствовать в квадрате (поэтому он называется

«Квадрат»). Помимо него в уравнении могут (а может и не быть!) Просто x (в первой степени) и

просто номер ( бесплатный член ). И не должно быть x в степени больше двух.

Общее алгебраическое уравнение.

где x — свободная переменная, a ,
b , c — коэффициенты, а a ≠ 0
.

например :

Выражение, называемое квадратным трехчленом .

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

Называется первым или наивысшим коэффициентом,

Называется второй или коэффициент при,

· Вызывается свободным участником.

Полное квадратное уравнение.

Эти квадратные уравнения содержат полный набор членов слева. X в квадрате с

коэффициент и x в первую степень с коэффициентом b и свободный элемент от. IN все коэффициенты

должно быть ненулевым.

Неполным называется квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме

наивысший из них (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Предположим, что b = 0, — x исчезает в первой степени. Получается, например:

2х 2 -6х = 0,

и т.д. А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то все еще проще, например:

2х 2 = 0,

Обратите внимание, что квадрат x присутствует во всех уравнениях.

Почему и не могут быть нулевыми? Затем квадрат x исчезает, и уравнение становится линейным .

А решено совсем иначе …

Неполное квадратное уравнение отличается от классических (полных) уравнений тем, что его множители или точка пересечения равны нулю. График таких функций — параболы. В зависимости от общего вида они делятся на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Нет ничего сложного в определении типа неполного многочлена. Лучше всего рассмотреть основные отличия на наглядных примерах:

1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax 2 + c = 0.
2. Если c = 0, то следует решить выражение ax 2 + bx = 0.
3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен становится равенством типа ax 2 = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в задачах проверки знаний, поскольку единственное допустимое значение переменной x в выражении равно нулю. В дальнейшем будут рассмотрены методы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) типов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Независимо от типа уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

1. Приведите выражение к форме, удобной для поиска корней.
2. Выполните вычисления.
3. Запишите свой ответ.

Самый простой способ решить неполные уравнения — это факторизовать левую часть и оставить ноль справа. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для нахождения корней сводится к вычислению значения x для каждого из факторов.

Можно только научиться решать его на практике, поэтому давайте рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

Как видите, в данном случае b = 0. Факторизуем левую часть и получаем выражение:

4 (х — 0,5) ⋅ (х + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, если хотя бы один из факторов равен нулю. Этим требованиям соответствуют значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Чтобы легко и быстро справиться с задачей разложения трехчлена квадрата на множители, следует запомнить следующую формулу:

Если в выражении нет свободного члена, задача значительно упрощается.Достаточно просто найти и вынести общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + bx = 0.

Возьмем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

х ⋅ (х + 3) = 0.

Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционное решение и неполные квадратные уравнения

Что произойдет, если вы примените дискриминантную формулу и попытаетесь найти корни многочлена с коэффициентами, равными нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий к ЕГЭ в 2017 году, решим его по стандартным формулам и методом факторинга.

7х 2 — 3х = 0.

Рассчитаем значение дискриминанта: D = (-3) 2-4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, что у полинома два корня:

Теперь давайте решим уравнение на множители и сравним результаты.

Х ⋅ (7х + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Как видите, оба метода дают одинаковый результат, но решение уравнения вторым методом оказалось намного проще и быстрее.

Теорема Виета

А что делать с любимой теоремой Виета? Можно ли использовать этот метод с неполным трехчленом? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

Фактически, в этом случае можно применить теорему Виета. Нужно только привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены на ноль.

Например, при b = 0 и a = 1, чтобы исключить вероятность путаницы, задание следует записать в виде: ax2 + 0 + c = 0.Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Теоретические расчеты помогают познакомиться с сутью вопроса и всегда требуют практических навыков решения конкретных задач. Обратимся еще раз к справочнику типовых заданий к ЕГЭ и найдем подходящий пример:

Запишем выражение в форме, удобной для применения теоремы Виета:

х 2 + 0-16 = 0.

Следующим шагом будет создание системы условий:

Очевидно, что корни квадратного многочлена будут x 1 = 4 и x 2 = -4.

А теперь попрактикуемся в приведении уравнения к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4 × x 2-1 = 0

Чтобы применить теорему Виета к выражению, необходимо избавиться от дроби. Умножьте левую и правую части на 4 и посмотрите на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово к решению по теореме Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ, просто передав c \ u003d 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итог, следует сказать, что лучший способ решения неполных уравнений — это факторизация, которая является самым простым и быстрым методом. Если вы столкнулись с трудностями в процессе поиска корней, можете обратиться к традиционному методу поиска корней через дискриминант.

Как читать третье свойство алгебраических дробей. Правила алгебраических дробей. Основное свойство алгебраической дроби

От школьной программы курса алгебры перейдем к конкретике.В этой статье мы подробно рассмотрим особые виды рациональных выражений — рациональных дробей , а также рассмотрим, какие характерные одинаковые преобразования рациональных дробей имеют место.

Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определяем ниже, называются алгебраическими дробями в некоторых учебниках алгебры. То есть в этой статье мы будем иметь в виду то же, что и рациональные и алгебраические дроби.

Как обычно, начнем с определения и примеров.Далее поговорим о приведении рациональной дроби к новому знаменателю и об изменении знаков членов дроби. После этого разберем, как происходит сокращение фракций. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Вся информация будет снабжена примерами с подробным описанием решений.

Навигация по страницам.

Определение и примеры рациональных дробей

Рациональные дроби преподаются на уроках алгебры 8-го класса.Воспользуемся определением рациональной дроби, которое дано в учебнике алгебры для 8 классов Ю.Н. Макарычев и др.

В этом определении не указано, должны ли полиномы в числителе и знаменателе рациональной дроби быть полиномами стандартного вида или нет. Поэтому будем предполагать, что записи рациональных дробей могут содержать как стандартные, так и нестандартные многочлены.

Вот несколько примеров рациональных дробей … Итак, x / 8 и — рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них нет полинома в числителе, а во втором и в числителе, и в знаменателе есть выражения, не являющиеся полиномами.

Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель любой дроби являются самодостаточными математическими выражениями, в случае рациональных дробей это многочлены, в частном случае — одночлены и числа.Следовательно, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить идентичные преобразования. Другими словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменить идентичным ему выражением, а также знаменателем.

В числителе и знаменателе рациональной дроби можно произвести одинаковые преобразования. Например, в числителе можно сгруппировать и вывести похожие термины, а в знаменателе — произведение нескольких чисел, заменить его на его значение.А поскольку числитель и знаменатель рациональной дроби являются многочленами, с ними можно производить преобразования, характерные для многочленов, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.

Для наглядности рассмотрим решения на нескольких примерах.

Пример.

Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы числитель содержал многочлен стандартной формы, а знаменатель содержал произведение многочленов.

Решение.

Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном используется при сложении и вычитании рациональных дробей.

Замена знаков перед дробью, а также ее числителя и знаменателя

Основное свойство дроби можно использовать для изменения знаков членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 эквивалентно изменению их знаков, и в результате получается дробь, которая тождественно равна заданной.К этому преобразованию приходится обращаться довольно часто при работе с рациональными дробями.

Таким образом, если одновременно поменять знаки числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению соответствует равенство.

Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить на идентично равную дробь с измененными знаками числителя и знаменателя формы.

Еще одно идентичное преобразование можно провести с дробями, у которых меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе.Мы объявим соответствующее правило. Если вы замените знак дроби на знак числителя или знаменателя, вы получите дробь, идентичную исходной. Письменное заявление соответствует равенствам и.

Доказать эти равенства несложно. Доказательство основано на свойствах умножения чисел. Докажем первую из них: Равенство доказывается с помощью аналогичных преобразований.

Например, можно заменить дробь на или.

В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и. То есть, если изменить знак только числителя или только знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и.

Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак членов дроби, часто используются при преобразовании дробно-рациональных выражений.

Приведение рациональных фракций

Следующее преобразование рациональных дробей, которое называется сокращением рациональных дробей, основано на том же основном свойстве дроби.Это преобразование соответствует равенству, где a, b и c — некоторые полиномы, а b и c ненулевые.

Из приведенного выше равенства становится ясно, что уменьшение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.

Пример.

Уменьшить рациональную дробь.

Решение.

Общий множитель 2 виден сразу, по нему произведем редукцию (записывая общие множители, которыми удобно зачеркивать).У нас есть … Так как x 2 = xx и y 7 = y 3 y 4 (см., Если необходимо), ясно, что x является общим делителем числителя и знаменателя получившейся дроби, например y 3. Давайте уменьшим на эти факторы: … Это завершает сокращение.

Выше мы последовательно проводили сокращение рациональной дроби. И можно было произвести редукцию за один шаг, сразу уменьшив дробь на 2 · x · y 3. В этом случае решение будет выглядеть так:.

Ответ:

.

При отбрасывании рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя не всегда виден. Более того, он существует не всегда. Чтобы найти общий множитель или убедиться, что он отсутствует, нужно разложить числитель и знаменатель рациональной дроби на множители. Если общего множителя нет, то исходную рациональную дробь отменять не нужно, в противном случае выполняется отмена.

В процессе сокращения рациональных фракций могут возникать различные нюансы.Основные тонкости с примерами и подробно рассмотрены в статье редукции алгебраических дробей.

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование идентично, и основная сложность его реализации заключается в факторизации многочленов в числителе и знаменателе.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Довольно специфичным, но в некоторых случаях очень полезным является преобразование рациональной дроби, которое состоит в ее представлении в виде суммы нескольких дробей или суммы целочисленного выражения и дроби.

Рациональная дробь, в числителе которой стоит многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, … Это представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

В общем, любая рациональная дробь может быть представлена ​​как сумма дробей множеством различных способов.Например, дробь a / b может быть представлена ​​как сумма двух дробей — произвольной дроби c / d и дроби, равной разнице между дробями a / b и c / d. Это утверждение верно, поскольку равенство … Например, рациональная дробь может быть представлена ​​как сумма дробей различными способами: Давайте представим исходную дробь как сумму целочисленного выражения и дроби. Разделив числитель на знаменатель в столбце, получим равенство …Значение выражения n 3 +4 для любого целого числа n является целым числом. И значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1, -1, 3 или -3. Эти значения соответствуют значениям n = 3, n = 1, n = 5 и n = -1 соответственно.

Ответ:

-1
, 1
, 3
, 5
.

Библиография.

• Алгебра: уч. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд.С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
• А.Г. Мордкович Алгебра. 7-й класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 13 изд., Перераб. — М .: Мнемосина, 2009. — 160 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 11-е изд., Стерт. — М .: Мнемозина, 2009. — 215 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учебное пособие. руководство по эксплуатации. — М .; Выше. шк., 1984.-351 с., ил.

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе, можно решить двумя способами:

Приведение дробей к общему знаменателю

Использование основного соотношения сторон

Независимо от выбранного метода, необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных приемлемых значений, то есть таких, которые не превращают знаменатель в $ 0 $.

1 ход. Приведение дробей к общему знаменателю.

Пример 1

$ \ frac (2x + 3) (2x-1) = \ frac (x-5) (x + 3)

долларов США

Решение:

1. Переместите дробь из правой части уравнения влево

\ [\ frac (2x + 3) (2x-1) — \ frac (x-5) (x + 3) = 0 \]

Чтобы сделать это правильно, помните, что когда элементы переносятся в другую часть уравнения, знак перед выражениями меняется на противоположный.Это означает, что если с правой стороны перед дробью был знак «+», то с левой стороны перед ним будет знак «-». Тогда в левой части получаем разницу дробей.

2. Теперь заметим, что дроби имеют разные знаменатели, а это значит, что для восполнения разницы необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов от знаменателей исходных дробей: $ (2x-1) (x + 3) $

.

Чтобы получить идентичное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $ (x + 3) $, а второй — на многочлен $ (2x-1) $. 2-11x + 5) ((x + 3) (2x- 1)) = 0 \]

Теперь дроби с тем же знаменателем, что означает, что вы можете вычесть.2 + 11x-5 = 20x + 4 $

Тогда дробь примет вид

\ [\ frac ((\ rm 20x + 4)) ((2x-1) (x + 3)) = 0 \]

3. Дробь равна $ 0 $, если ее числитель равен 0. Следовательно, мы приравниваем числитель дроби к $ 0 $.

\ [(\ rm 20x + 4 = 0) \]

Решим линейное уравнение:

4. Сделаем выборку корней. Это означает, что необходимо проверить, не превращаются ли знаменатели исходных дробей в $ 0 $ для найденных корней.

Зададим условие, что знаменатели не равны $ 0 $

x $ \ ne 0,5 $ x $ \ ne -3 $

Это означает, что разрешены все значения переменных, кроме $ -3 $ и $ 0,5 $.

Найденный нами корень является допустимым значением, поэтому его можно смело считать корнем уравнения. Если бы найденный корень не был допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и, конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ: -0,2 $.$

Теперь мы можем составить алгоритм решения уравнения, содержащего переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, содержащего переменную в знаменателе

Переместите все элементы из правой части уравнения влево. Чтобы получить идентичное уравнение, необходимо поменять все знаки перед выражениями в правой части на противоположные

Если в левой части получается выражение с разными знаменателями, то мы приводим их к общему, используя главное свойство дроби.Выполните преобразования, используя идентичные преобразования, и получите финальную дробь, равную $ 0 $.

Установите в числителе значение $ 0 $ и найдите корни полученного уравнения.

Давайте возьмем образец корней, т.е. найдем допустимые значения для переменных, которые не преобразуют знаменатель в $ 0 $.

Метод 2. Использование основного свойства пропорции

Основное свойство пропорции состоит в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.2-10x-x + 5 \]

Решив полученное уравнение, находим корни исходного

2. Найдем допустимые значения переменной.

Из предыдущего решения (метод 1) мы уже обнаружили, что допустимы любые значения, кроме $ -3 $ и $ 0,5 $.

Затем, установив, что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $ -0.2 $ будет корнем.

Гипермаркет знаний >> Математика >> Математика 8 класс >> Математика: Умножение и деление алгебраических дробей.Возведение в степень алгебраической дроби

Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение в степень алгебраической дроби

Умножение алгебраических дробей осуществляется по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей :

Похожая ситуация с делением алгебраических дробей, при возведении алгебраических дробей в натуральную степень. Правило деления выглядит так:

и правило возведения в степень

Перед тем, как выполнять умножение и деление алгебраических дробей, полезно иметь их числители и знаменатели , разложив на множители — это упростит уменьшение алгебраической дроби, полученной в результате умножения или деления.

Пример 1. Выполните следующие действия:

Воспользуемся тем, что (b — a) 2 = (a — b) 2. Получаем

Мы учли, что деление a — b на b — a даст -1.
Однако в этом случае лучше переместить знак «-» в знаменатель:

Пример Z. Выполните следующие действия:

А.Г. Мордкович, Алгебра … 8 класс: Учебное пособие.для общего образования. учреждения. — 3-е изд., Перераб. — М .: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

Математика для 8 класса скачать бесплатно, планы конспектов уроков, подготовка к школе онлайн

Если у вас есть исправления или предложения по этому уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Форум образования.

Алгебраические дроби. Приведение алгебраических дробей

Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей, рекомендуем вам вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

Любая дробь, содержащая буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

Примеры алгебраических дробей .

Как и обычная дробь, алгебраическая дробь имеет числитель (вверху) и знаменатель (внизу).

Приведение алгебраических дробей

Алгебраическая дробь может быть отменена … При сокращении используйте правила сокращения обыкновенных дробей.

Напоминаем, что при отмене обыкновенной дроби мы разделили числитель и знаменатель на одно и то же число.

Алгебраическая дробь может быть сокращена таким же образом, но только числитель и знаменатель делятся на один и тот же многочлен.

Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби .

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «а». Наименьшая степень монома «а» стоит в знаменателе — это вторая степень.

Разделите числитель и знаменатель на 2. При делении одночленов мы используем свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или цифра с нулевым градусом является единицей измерения.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, к чему сводилась алгебраическая дробь. Достаточно помнить о степени снижения и записывать только результат.

Краткое обозначение сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Можно уменьшить только одинаковые буквенные множители.

Не режется

Укорачивается

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь с полиномом в числителе.

Отменить полином в скобках можно только с точно таким же полиномом в скобках!

Ни в коем случае нельзя вырезать часть полинома внутри скобок!

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто.Между многочленами может быть только знак умножения. В скобках указан весь многочлен.

После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, мы сокращаем многочлен «(m — n)» в числителе с многочленом «(m — n)» в знаменателе.

Примеры сокращения алгебраических дробей многочленами.

Удаление общего множителя при уменьшении дроби

Чтобы одни и те же многочлены фигурировали в алгебраических дробях, иногда необходимо вынести общий множитель за скобки.

Невозможно сократить алгебраическую дробь в этой форме, так как многочлен
«(3f + k)» может быть сокращен только с помощью многочлена «(3f + k)».

Следовательно, чтобы в числителе получилось «(3f + k)», выньте общий множитель «5».

Сокращение дробей с помощью сокращенных формул умножения

В других примерах сокращение алгебраических дробей требует применения
сокращенных формул умножения.

Отменить алгебраическую дробь в ее первоначальном виде невозможно, так как нет одинаковых многочленов.

Но если применить формулу разности квадратов для многочлена «(a 2 — b 2)», то появятся такие же многочлены.

Еще примеры сокращения алгебраических дробей с использованием формул сокращенного умножения.

Умножение алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей используйте правила умножения обыкновенных дробей.

Правило умножения алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей
числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель.

Рассмотрим пример умножения алгебраических дробей .

При отмене алгебраических дробей используются правила отмены алгебраических дробей.

Рассмотрим другой пример умножения алгебраических дробей, которые содержат многочлены как в числителе, так и в знаменателе.

При умножении алгебраических дробей, которые содержат многочлены как в числителе, так и в знаменателе, заключайте полиномы в круглые скобки.

Неправильно

Как умножить алгебраическую дробь на одночлен (букву)

Рассмотрим пример умножения алгебраической дроби на моном.

Представим моном «21z 5» в виде алгебраической дроби со знаминателем «1». Это можно сделать, потому что деление на «1» дает тот же моном.

Не забудьте использовать правило знаков при умножении алгебраической дроби.

Рассмотрим пример умножения двух отрицательных алгебраических дробей.

Перед тем, как умножать алгебраические дроби, определим окончательный знак по правилу знаков: «минус на минус дает плюс».

Это означает, что окончательным знаком работы будет знак «+».

Методические разработки по теме «Алгебраические дроби». 7 класс

Разделов: Математика

Данный урок проводился по окончании изучения темы «Алгебраические дроби» с целью повторения и закрепления знаний об основных алгоритмах преобразований и действий с алгебраическими дробями.

Тема методической разработки.

Методика организации урока обобщения и систематизации знаний в соответствии с требованиями нового ФГОС.

Методологические цели развития .

Использование различных видов студенческой деятельности, использование элементов современных педагогических технологий (метапредметные технологии, технологии многоуровневого обучения, проблемно-развивающее обучение, работа в команде, работа в парах).

Методологическое обоснование темы.

Изучение темы «Алгебраические дроби» является трудным для многих студентов, особенно сложение и вычитание алгебраических дробей. Умение выполнять преобразования с алгебраическими дробями предполагает наличие у учащихся знаний и умений по предыдущим темам, изученным в 7 классе: «Алгебраические выражения», «Мономы и многочлены», «Полиномиальная факторизация», а также правил действий с обыкновенные дроби и др….

Решение многих теоретических и практических задач сводится к составлению математических моделей в виде алгебраических выражений, включая алгебраические дроби. Приобретая опыт работы с такими моделями, учащиеся могут использовать этот опыт для изучения других предметов в школе и в практической жизни.

Сложность данной темы и ее важность для развития метапредметных навыков учащихся очевидны и требуют особенно внимательного подхода к ее изучению с учетом внедрения в школе новых образовательных стандартов.

На изучение темы «Алгебраические дроби» по учебнику Ш.А. Алимова отведено 22 часа. Из них 5 часов — на тему «Совместные действия с алгебраическими дробями». Рассматриваемый урок рекомендуется проводить по окончании изучения данной темы перед тестом.

Учитывая математическую подготовленность класса, можно варьировать объем самостоятельной работы учащихся, допуская повторение изученных алгоритмов действий с алгебраическими дробями в учебнике.

Тема урока: «Алгебраические дроби»

Тип урока: Урок повторения, систематизация и обобщение знаний, закрепление навыков .

Тип урока: Конкурсное занятие.

Формы работы на уроке: Коллективная, индивидуальная, в паре, в диалоге.

Методическая цель: Более глубокое усвоение, обобщение и систематизация знаний по теме «Алгебраические дроби» для обеспечения возможности их содержательного использования учащимися вне уроков математики.

• Обучение :
  Консолидация знаний, развитие навыков использования сокращенных формул умножения, методов факторизации многочленов, правил преобразования, совместных действий над алгебраическими дробями. Обобщение материала по теме.
  
• Развитие: Создание условий, обеспечивающих активную познавательную позицию учащихся на уроке за счет использования различных видов анкетирования, самостоятельной работы, межпредметного общения, развития умения объяснять особенности, закономерности, анализировать, сравнивать, сравнивать.
  
• Образование: Повышение самооценки, самоконтроля в процессе самостоятельного выбора уровня сложности заданий. Воспитание общей культуры труда.

Материально-техническое обеспечение урока: карточек с многоуровневыми заданиями, жетоны (синий — 1 балл, зеленый — 2 балла, красный — 3 балла), компьютерная техника (компьютер, мультимедийный проектор, мобильный экран).

• Урок постановка цели и мотивация учебной деятельности учащихся (презентация преподавателя).
• Воспроизведение и исправление базовых знаний по теме «Алгебраические дроби», которая включает операции приведения, сложения и вычитания, умножения и деления алгебраических дробей, а также совместные операции с алгебраическими дробями. Сравнение алгоритмов действий с обыкновенными и алгебраическими дробями. Решение задач разной степени сложности.
• Расслабляющая пауза (включается в ход урока после повторения темы «Сложение и вычитание алгебраических дробей»).
• Решение проблемы, показывающей междисциплинарное общение.
• Подведение итогов урока.
• Домашнее задание.

1. Вступительное слово преподавателя

Сегодня на уроке мы повторим большую тему «Алгебраические дроби», подготовимся к тестовой работе и попробуем разобраться, зачем нам нужны знания по этой теме.

Наше занятие будет проходить в форме соревнований на личное первенство. В процессе работы на уроке каждый из вас может «заработать» баллы за правильно выполненные задания, ответы и получить соответствующую оценку.

Попробуем ответить на вопросы:

• Что такое алгебраическая дробь?
• Какие операции выполняются с алгебраическими дробями?
• Математическая модель. Что это?
• Где используются алгебраические дроби?

Студенты отвечают на вопросы.

Презентация учителя «В мире алгебраических дробей» поможет нам правильно оценивать ответы. (Приложение 1) .

Какие выводы мы можем сделать после просмотра презентации?

Студенты высказывают свое мнение.

• Алгебраические дроби используются не только на уроках математики, но и во многих сферах человеческой деятельности.
• Чтобы использовать алгебраические дроби, вам нужно научиться правильно ими пользоваться: выполнять сокращение, сложение, вычитание, умножение, деление.

2. Повтор темы: «Алгебраическая дробь. Редукция алгебраических дробей ».

2.1. Дифференцированный обзор досок по картам:

2.2. При подготовке респондентов у доски — фронтальный опрос (за каждый правильный ответ — 1 балл):

• Дайте определение алгебраической дроби.
• Как мне найти его числовое значение?
• Могут ли буквы в алгебраической дроби иметь какое-либо значение?
• Какое главное свойство дроби?
• Что значит отменить обыкновенную дробь?
• Что значит сократить алгебраическую дробь?
• Отличаются ли правила сокращения обыкновенных и алгебраических дробей?
• Какие методы разложения многочлена вы знаете?

Учитель подводит итог:

Правила исключения обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

2.3. Слушаем, добавляем пояснения, оцениваем ответы студентов, стоящих у доски.
Студенты получают жетоны (баллы) за правильные дополнительные ответы.

Учащиеся работают в парах, чтобы проверить правильность решения.

3. Повтор темы: «Сложение и вычитание алгебраических дробей»

3.1. Индивидуальный дифференцированный опрос по карточкам на доске. Выбор сложности задания не является обязательным.Срок исполнения — 10 минут.

Ответы появятся на экране мобильного позже (во время проверки).

3.2. Во время подготовки учеников по карточкам класс пишет диктант. Диктант состоит из выполненных упражнений. Задачи выводятся на экран мобильного телефона (ответы — позже). При решении некоторых из них были допущены ошибки. Запишите выполненные задания в блокнот. Если задание выполнено правильно, дайте краткий ответ: «Да», если неправильно: «Нет».Выделите место ошибки (карандашом).

Учащиеся работают в парах, чтобы проверить правильность решения. Учитель объявляет правильные ответы.

3.3. Слушаем, дополняем, комментируем ответы студентов, выполняющих задания на доске. Повторяем правила сложения и вычитания алгебраических дробей. Студенты получают жетоны (баллы) за правильные добавления.

Вопрос: Что вы можете сказать, сравнивая правила сложения обыкновенных и алгебраических дробей?

Ответ: Да, правила сложения обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

4. Релаксационная пауза.

Выполняем упражнения для расслабления глаз. Сидеть прямо. Закройте глаза ладонями, опустите веки. Попробуйте вспомнить что-нибудь приятное, например, море, звездное небо, гладь реки. Даже через 15-30 секунд ваши глаза немного отдохнут.

5. Повтор темы: «Умножение и деление алгебраических дробей».

5.1. Индивидуально-дифференцированное обследование по картам:

Примеры под номером 1) предлагают решение у доски, под номером 2) — самостоятельно, выбирая по желанию один пример из трех.

Слушаем, дополняем, комментируем ответы студентов, выполняющих задания на доске. Студенты получают жетоны (баллы) за правильные добавления.

5.2. Поперечное исследование:

• Правило умножения алгебраических дробей (1 балл).
• Правило деления алгебраических дробей (1 балл).
• Правило возведения в степень алгебраической дроби (1 балл).
• Правила умножения, деления, возведения в степень обыкновенных дробей.

Вопрос: Какой вывод вы можете сделать?

Ответ: Да, правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

6. Повтор темы: «Совместные действия над алгебраическими дробями».

Контрольные вопросы:

• Как устанавливается числовой порядок?
• Как устанавливается порядок действий в алгебраическом выражении?
• Какие способы написания решения при выполнении совместных действий над алгебраическими дробями вам известны?

Подготовительные работы — попарно, затем — фронтальная съемка.

Самостоятельная работа. Следуйте инструкциям:

Время работы ограничено. Выбор заданий — по желанию, после представления правильных ответов ученики проводят самотестирование самостоятельной работы.

7. Задача и учебник № 518 — как пример использования междисциплинарного общения.

Сопротивление R участка цепи, состоящей из двух параллельно соединенных проводов, рассчитывается по формуле:

8.Подводя итоги:

WikiHow работает как вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 9 человек (а).

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный студент может подумать, что с ними ничего нельзя поделать. Беспорядок переменных, чисел и даже степеней внушает страх. Однако те же правила используются для сокращения регулярных (например, 15/25) и алгебраических дробей.

ступеней

Редукционные

Ознакомьтесь с шагами для простых дробей. Операции с обыкновенными и алгебраическими дробями аналогичны. Например, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, нужно найти общий делитель … Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 как в числителе, так и в знаменателе:

15
→ 5 * 3
35 → 5 * 7

Теперь вы можете уменьшить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе.В результате получаем упрощенную дробь 3/7
… В алгебраических выражениях общие множители различаются так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко различить 5 из 15 — тот же принцип применяется к более сложным выражениям, таким как 15x — 5. Найдите общий множитель. В этом случае это будет 5, поскольку оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и раньше, выберите общий множитель и перенесите его на влево на .

15x — 5 = 5 * (3x — 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно выражение в скобках умножить на 5 — результатом будут те же числа, что были вначале.Сложные элементы можно выбирать так же, как и простые. Для алгебраических дробей действуют те же принципы, что и для обычных. Это самый простой способ уменьшить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x + 2) (x-3) (x + 2) (x + 10)

Обратите внимание, что как числитель (вверху), так и знаменатель (внизу) содержат член (x + 2), поэтому он может быть отменяется так же, как и общий множитель 5 в дроби 15/35:

(x + 2) (x-3) → (x-3) (x + 2) (x + 10) → (x + 10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x- 3) / (х + 10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби.При отмене алгебраической дроби первым делом нужно упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь расширить его до как можно большего числа множителей. Рассмотрим следующую дробь в этом разделе:

9x-3 15x + 6

Начнем с числителя: 9x — 3. Для 9x и -3 общий множитель равен 3. Выньте 3 из скобок, как это делается с обычными числами: 3 * (3x- 1). В результате этого преобразования получится следующая дробь:

3 (3x-1) 15x + 6

Найдите общий множитель в числителе.Продолжим приведенный выше пример и выпишем знаменатель: 15x + 6. Как и раньше, найдите число, на которое делятся обе части. В этом случае общий множитель равен 3, поэтому вы можете написать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь следующим образом:

3 (3x-1) 3 (5x + 2)

Уменьшить идентичные элементы. На этом этапе вы можете упростить дробь. Отмените одинаковые термины в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x + 2) → (5x + 2)

Определите, что дробь имеет простейшую форму.Дробь полностью упрощается, если в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Обратите внимание, что вы не можете исключить те термины, которые находятся внутри скобок — в данном примере нет способа отделить x от 3x и 5x, поскольку полные члены (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит так:

(3x-1) (5x + 2)

Практикуйтесь в сокращении дробей самостоятельно. Лучший способ освоить метод — это самостоятельное решение задач.Правильные ответы приведены под примерами.

4 (x + 2) (x-13) (4x + 8)

Ответ: (x = 13)

2x 2 -x 5x

Ответ: (2x-1) / 5

Специальные приемы

Выносим знак минуса из дроби. Допустим, дана следующая дробь:

3 (x-4) 5 (4-x)

Обратите внимание, что (x-4) и (4-x) «почти» идентичны, но их нельзя сократить сразу, потому что они «перевернуты». Однако (x — 4) можно записать как -1 * (4 — x), так же как (4 + 2x) можно записать как 2 * (2 + x).Это называется «смена знака».

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Теперь вы можете отменить те же условия (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Итак, окончательный ответ получаем: -3/5
… Научитесь распознавать разницу в квадратах. Разница квадратов — это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 — b 2). Разность полных квадратов всегда можно разложить на две части — сумму и разность соответствующих квадратных корней… Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 — b 2 = (a + b) (a-b)

Этот метод очень полезен при поиске общих терминов в алгебраических дробях.

• Проверьте, правильно ли вы разложили на множители то или иное выражение. Для этого умножьте множители — в результате должно получиться такое же выражение.
• Чтобы полностью упростить дробь, всегда выбирайте самые большие множители.

Эта статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие, как сокращение алгебраических дробей.Мы определим сам термин, сформулируем правило редукции и проанализируем практические примеры.

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби учитывалась ее редукция. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Уменьшение алгебраической дроби — аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраических дробей Деление числителя и знаменателя на общий множитель.Более того, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), многочлен, в частности одночлен или число, может служить общим делителем числителя и знаменателя алгебраической дроби.

Например, алгебраическая дробь 3 x 2 + 6 xy 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 может быть уменьшена на 3, в результате получим: x 2 + 2 xy 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 Мы можем сократить ту же дробь переменной x, и это даст нам выражение 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 xy 2.Также возможно уменьшить данную дробь на одночлен 3 x или любой из многочленов x + 2 y , 3 x + 6 y, x 2 + 2 x y или 3 x 2 + 6 x y.

Конечная цель сокращения алгебраической дроби — дробь большего, чем простой вид, в лучшем случае несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби сократимы?

Опять же, из материалов об обычных дробях мы знаем, что есть сокращаемые и несократимые дроби.Не подлежащие отмене дроби — это дроби, у которых нет общего знаменателя и множителя числителя, кроме 1.

С алгебраическими дробями все то же самое: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь за счет уменьшения. При отсутствии общих факторов оптимизировать данную фракцию методом редукции невозможно.

В общих случаях для данного вида дроби довольно сложно понять, можно ли его уменьшить.Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя между числителем и знаменателем очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 x 2 3 y совершенно ясно, что общий множитель равен 3.

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 мы также сразу понимаем, что ее можно уменьшить на x, y или на x · y. И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще он просто отсутствует.

Например, мы можем сократить дробь x 3 — 1 x 2 — 1 на x — 1, в то время как указанный общий множитель отсутствует в записи. Но дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 не может быть подвергнута редукционному действию, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос прояснения возможности сокращения алгебраической дроби не так прост, и часто легче работать с дробью заданной формы, чем пытаться выяснить, можно ли ее сократить.В этом случае имеют место такие преобразования, которые в отдельных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем подробнее этот вопрос в следующем абзаце статьи.

Правило сокращения для алгебраических дробей

Правило отмены для алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

• нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
• в случае обнаружения такового, осуществление прямого действия по уменьшению фракции.

Самый удобный способ найти общие знаменатели — разложить многочлены в числителе и знаменателе данной алгебраической дроби. Это позволяет сразу визуализировать наличие или отсутствие общих факторов.

Само действие сокращения алгебраической дроби основано на основном свойстве алгебраической дроби, выраженном равенством undefined, где a, b, c — некоторые многочлены, а b и c ненулевые. На первом этапе дробь приводится к виду a c b c, в котором мы сразу замечаем общий множитель c.На втором этапе выполняется редукция, т.е. переход к дроби вида a b.

Типовые примеры

Несмотря на некоторую очевидность, поясним особый случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Такие дроби тождественно равны 1 на всей ODZ переменных этой дроби:

5 5 = 1; — 2 3 — 2 3 = 1; х х = 1; — 3, 2 х 3 — 3, 2 х 3 = 1; 1 2 x — x 2 y 1 2 x — x 2 y;

Поскольку обычные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, вспомните, как их можно сократить.Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, разлагаются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если есть).

Например, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2105

Произведение простых равных множителей можно записать в виде степеней, а в процессе уменьшения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда приведенное выше решение будет таким:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 5 7 = 2105

(числитель и знаменатель делятся на общий множитель 2 2 3 ).Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, дадим решению следующий вид:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2105

По аналогии проводится редукция алгебраических дробей, у которых есть одночлены с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе.

Пример 1

Дана алгебраическая дробь — 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z. Надо его уменьшить.

Решение

Можно записать числитель и знаменатель данной дроби как произведение простых множителей и переменных, а затем выполнить сокращение:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = — 3 3 3 a a a a a a a b b c c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = — 3 3 a a a a 2 c c c c c c c c c = — 9 a 3 2 c 6

Однако более рациональным способом было бы записать решение в виде выражения с степенями:

27 a 5 b 2 cz 6 a 2 b 2 c 7 z = — 3 3 a 5 b 2 cz 2 3 a 2 b 2 c 7 z = — 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 cc 7 zz = = — 3 3 — 1 2 a 5 — 2 1 1 1 c 7 — 1 1 = — 3 2 a 3 2 c 6 = — 9 a 3 2 c 6.

Ответ: — 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = — 9 a 3 2 c 6

Когда есть дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе алгебраической дроби, есть два возможных способа дальнейших действий: либо отдельно провести деление этих дробных коэффициентов, либо сначала избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель. некоторым натуральным числом … Последнее преобразование осуществляется в силу основного свойства алгебраической дроби (об этом вы можете прочитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Указанная дробь равна 2 5 x 0,3 x 3. Необходимо ее уменьшить.

Решение

Можно уменьшить дробь таким образом:

2 5 x 0,3 x 3 = 2 5 3 10 x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов — умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е.е. на LCM (5, 10) = 10. Тогда получаем:

2 5 x 0,3 x 3 = 10 2 5 x 10 0,3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Ответ: 2 5 x 0,3 x 3 = 4 3 x 2

Когда мы отменяем общий вид алгебраических дробей, в котором числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда виден сразу. Или, более того, его просто не существует. Затем для определения общего множителя или фиксации факта его отсутствия числитель и знаменатель алгебраической дроби факторизуются.

Пример 3

Рациональная дробь равна 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3. Необходимо уменьшить ее.

Решение

Разложим многочлены в числителе и знаменателе на множители. Выполним скобки:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках можно преобразовать с помощью сокращенных формул умножения:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 — 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a — 7) (a + 7)

Хорошо видно, что дробь можно уменьшить общим множителем b 2 (a + 7) … Сделаем сокращение:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a — 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a — 7) = 2 a + 14 a b — 7 b

Напишем короткое решение без пояснений в виде цепочки равенств:

2 a 2 b 2 + 28 ab 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 — 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a — 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a — 7) = 2 a + 14 ab — 7 b

Ответ: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3 = 2 a + 14 a b — 7 b.

Бывает, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально вынести числовые множители при наивысших степенях числителя и знаменателя за скобки.

Пример 4

Вам дана алгебраическая дробь 1 5 x — 2 7 x 3 y 5 x 2 y — 3 1 2. По возможности ее следует уменьшить.

Решение

На первый взгляд числитель и знаменатель не имеют общего знаменателя.Однако попробуем преобразовать данную дробь. Выносим множитель x в числителе за скобки:

1 5 x — 2 7 x 3 y 5 x 2 y — 3 1 2 = x 1 5-2 7 x 2 y 5 x 2 y — 3 1 2

Теперь вы можете увидеть некоторое сходство между выражением в скобках и выражением в знаменателе из-за x 2 y .
Выведем из скобки числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x 1 5-2 7 x 2 y 5 x 2 y — 3 1 2 = x — 2 7-7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y — 1 5 3 1 2 = = — 2 7 x — 7 10 + х 2 у 5 х 2 у — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, проводим редукцию:

2 7 x — 7 10 + x 2 y 5 x 2 y — 7 10 = — 2 7 x 5 = — 2 35 x

Ответ: 1 5 x — 2 7 x 3 y 5 x 2 y — 3 1 2 = — 2 35 x.

Подчеркнем, что умение сокращать рациональные дроби зависит от умения разложить многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Разъяснение темы тождественно равным выражениям. Идентичные преобразования выражений, их типы

После того, как мы разобрались с концепцией идентичности, мы можем перейти к изучению идентично равных выражений. Цель этой статьи — объяснить, что это такое, и на примерах показать, какие выражения будут идентичны другим.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Одинаковые выражения: Определение

Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Вот базовое определение, взятое из одного учебника:

Определение 1

Идентично равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковыми для любых возможных значений переменных, входящих в их состав.

Также такие числовые выражения считаются тождественно равными, если одинаковые значения будут соответствовать.

Это довольно широкое определение, которое будет правильным для всех целочисленных выражений, значение которых не меняется при изменении значений переменных. Однако позже возникает необходимость уточнить это определение, поскольку помимо целых чисел существуют другие типы выражений, которые не имеют смысла для определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости определенных значений переменных, а также необходимость определения диапазона допустимых значений.Сформулируем более точное определение.

Определение 2

Одинаковые выражения
— это выражения, значения которых равны между собой при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут одинаково равны друг другу при условии, что они имеют одинаковые значения.

Фраза «для любых допустимых значений переменных» относится ко всем тем значениям переменных, для которых оба выражения будут иметь смысл.Мы объясним эту позицию позже, когда дадим примеры идентично равных выражений.

Вы также можете указать следующее определение:

Определение 3

Одинаково равные выражения — это выражения, расположенные в одном идентификаторе слева и справа.

Примеры идентичных выражений

Используя определения, данные выше, давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Начнем с числовых выражений.

Пример 1

Итак, 2 + 4 и 4 + 2 будут одинаково равны друг другу, поскольку их результаты будут равны (6 и 6).

Пример 2

Таким же образом выражения 3 и 30 идентичны: 10, (2 2) 3 и 2 6 (для вычисления значения последнего выражения необходимо знать свойства степени).

Пример 3

Но выражения 4-2 и 9-1 не будут равны, так как их значения разные.

Перейдем к примерам буквальных выражений.A + b и b + a будут одинаково равны, и это не зависит от значений переменных (равенство выражений в этом случае определяется свойством смещения сложения).

Пример 4

Например, если a равно 4, а b равно 5, то результаты все равно будут такими же.

Еще один пример идентично равных выражений с буквами — 0 x y z и 0. Какими бы ни были значения переменных в этом случае, при умножении на 0 они дадут 0.Неравные выражения — это 6 x и 8 x, поскольку они не будут равны ни для одного x.

В том случае, если диапазоны допустимых значений переменных совпадают, например, в выражениях a + 6 и 6 + a или ab 0 и 0, или x 4 и x, а значения сами выражения будут равны для любых переменных, тогда такие выражения считаются одинаковыми. Итак, a + 8 = 8 + a для любого значения a, и a b 0 = 0 тоже, так как умножение любого числа на 0 дает в итоге 0.Выражения x 4 и x будут одинаково равны для любого x из интервала [0, + ∞).

Но диапазон допустимости одного выражения может отличаться от диапазона другого.

Пример 5

Например, возьмем два выражения: x — 1 и x — 1 x x. Для первого из них диапазоном допустимых значений x будет весь набор действительных чисел, а для второго — набор всех действительных чисел, кроме нуля, потому что тогда мы получим 0 в знаменатель, и такое деление не определено.Эти два выражения имеют общий диапазон значений, образованный пересечением двух отдельных областей. Можно сделать вывод, что оба выражения x — 1 x x и x — 1 будут иметь смысл для любых реальных значений переменных, кроме 0.

Базовое свойство дроби также позволяет сделать вывод, что x — 1 xx и x — 1 будут равны для любого x, отличного от 0. Это означает, что в общем диапазоне допустимых значений эти выражения будут идентичны равны друг другу, и для любого действительного x нельзя говорить о тождественном равенстве.

Если мы заменим одно выражение другим, идентично ему, то этот процесс называется преобразованием идентичности. Это очень важное понятие, о нем мы подробно поговорим в отдельной статье.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Рассмотрим два равенства:

1.а 12 * а 3 = а 7 * а 8

Это равенство будет выполняться для любых значений переменной a. Диапазон допустимых значений для этого равенства будет представлять собой весь набор действительных чисел.

2.a 12: a 3 = a 2 * a 7.

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной a, кроме равного нулю. Диапазон допустимых значений этого неравенства — это весь набор действительных чисел, кроме нуля.

Каждое из этих равенств можно сказать истинным для любых допустимых значений переменных a. Такие равенства в математике называются тождествами .

Идентификационная концепция

Идентичность — это равенство, истинное для любых допустимых значений переменных.Если подставить в это равенство какие-либо допустимые значения вместо переменных, то должно получиться правильное числовое равенство.

Стоит отметить, что истинные числовые равенства также являются тождествами. Например, идентичности будут свойствами действий с числами.

3.a + b = b + a;

4.а + (b + c) = (a + b) + c;

6.а * (b * c) = (a * b) * c;

7.a * (b + c) = a * b + a * c;

11.a * (- 1) = -a.2 * b) и -a 3 * b 2;

3. ((x 3 * x 8) / x) и x 10.

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, идентичным первому. Такая замена будет идентичным преобразованием.

Примеры идентичностей

Пример 1: равны следующие равенства:

1.а + 5 = 5 + а;

2.a * (- b) = -a * b;

3,3 * а * 3 * б = 9 * а * б;

Не все вышеперечисленные выражения будут идентичностями.Из этих равенств тождествами являются только 1, 2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставляли, вместо переменных a и b мы все равно получим правильные числовые равенства.

Но 4 равенство больше не идентичность. Потому что это равенство не будет выполняться для всех допустимых значений. Например, при a = 5 и b = 2 вы получите следующий результат:

Это равенство неверно, так как число 3 не равно числу -3.

Получив представление об идентичностях, логично перейти к знакомству с.В этой статье мы ответим на вопрос, что такое идентично равные выражения, а также воспользуемся примерами, чтобы выяснить, какие выражения идентичны, а какие нет.

Навигация по страницам.

Что такое идентично равные выражения?

Определение идентично равных выражений дается параллельно с определением идентичности. Это происходит на уроках алгебры в 7-м классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю.Н. Макарычева, дается следующая формулировка:

Определение.

— это выражения, значения которых равны для любых значений входящих в них переменных. Числовые выражения, имеющие одинаковые значения, также называются идентично равными.

Это определение используется до 8 класса, оно действительно для целочисленных выражений, так как они имеют смысл для любых значений переменных, которые они содержат. А в 8 классе уточняется определение тождественно одинаковых выражений. Поясним, с чем это связано.

В 8 классе начинается изучение других типов выражений, которые, в отличие от целочисленных выражений, могут не иметь смысла для некоторых значений переменных. Это вынуждает ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также диапазона допустимых значений ODZ переменной, и, как следствие, уточнить определение тождественно равных выражений.

Определение.

Два выражения, значения которых равны для всех допустимых значений входящих в них переменных, называются идентично равными выражениями … Два числовых выражения, которые имеют одинаковое значение, также называются одинаково равными.

В этом определении идентично равных выражений стоит пояснить значение фразы «для всех допустимых значений входящих в них переменных». Он подразумевает все такие значения переменных, для которых одновременно имеют смысл оба идентично равных выражения. Мы поясним эту идею в следующем абзаце на примерах.

Определение идентично равных выражений в A.Учебник Г. Мордковича дан немного иначе:

Определение.

Идентично одинаковые выражения Выражения в левой и правой частях идентичности.

Смысл этого и предыдущего определений совпадает.

Примеры идентично равных выражений

Определения, представленные в предыдущем абзаце, позволяют использовать примеров идентично равных выражений .

Начнем с одинаково равных числовых выражений.Числовые выражения 1 + 2 и 2 + 1 одинаково равны, так как им соответствуют равные значения 3 и 3. Также выражения 5 и 30: 6 одинаково равны, как и выражения (2 2) 3 и 2 6 ( значения последних выражений по силе равны). Но числовые выражения 3 + 2 и 3−2 не равны тождественно, так как соответствуют значениям 5 и 1 соответственно и не равны.

Теперь мы приведем примеры тождественно равных выражений с переменными.Это выражения a + b и b + a. Ведь при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одинаковые значения (что следует из чисел). Например, для a = 1 и b = 2 имеем a + b = 1 + 2 = 3 и b + a = 2 + 1 = 3. Для любых других значений переменных a и b, мы тоже получаем равные значения этих выражений. Выражения 0 x y z и 0 также одинаковы для любых значений переменных x, y и z.Но выражения 2 x и 3 x не равны тождественно, так как, например, при x = 1 их значения не равны. Действительно, при x = 1 выражение 2 x равно 2 1 = 2, а выражение 3 x равно 3 1 = 3.

Когда диапазоны допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях a + 1 и 1 + a, или ab 0 и 0, или и, и значения этих выражений равны для всех значений переменных из этих областей, то здесь все ясно — эти выражения одинаково равны для всех допустимых значений переменных, входящих в них.Итак, a + 1≡1 + a для любого a, выражения a · b · 0 и 0 одинаково равны для любых значений переменных a и b, а выражения и одинаковы для всех x из; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 240 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019315-3.

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, могут быть заменены идентично равными выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к выражению, идентично ему.

Например, в выражении 3 + x число 3 можно заменить суммой 1 + 2, и получится выражение (1 + 2) + x, которое идентично исходному выражению. Другой пример: в выражении 1 + a 5 степень 5 может быть заменена идентично равным произведением, например, формы a · a 4. Это даст нам выражение 1 + a · a 4.

Это преобразование, несомненно, искусственное и обычно является подготовкой к дальнейшему преобразованию.Например, в сумме 4 x 3 + 2 x 2, принимая во внимание свойства степени, член 4 x 3 может быть представлен как произведение 2 x 2 2 x. После этого преобразования исходное выражение примет вид 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Очевидно, что члены полученной суммы имеют общий множитель 2 · x 2, поэтому мы можем выполнить следующее преобразование — скобка. После этого мы приходим к выражению: 2 x 2 (2 x + 1).

Сложить и вычесть то же число

Еще одно искусственное преобразование выражения — это одновременное сложение и вычитание одного и того же числа или выражения.Это преобразование идентично, поскольку оно по сути эквивалентно добавлению нуля, а добавление нуля не меняет значения.

Рассмотрим пример. Возьмем выражение x 2 + 2 x. Если к нему прибавить единицу и вычесть единицу, то это позволит в будущем выполнить еще одно идентичное преобразование — выбрать квадрат бинома : x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1−1 = (х + 1) 2 -1.

Библиография.

• Алгебра: уч. за 7 кл.общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 240 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: уч. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
• А.Г. Мордкович Алгебра.7-й класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 17-е изд., Доп. — М .: Мнемосина, 2013. — 175 с .: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Идентичные преобразования представляют работу, которую мы выполняем с числовыми и литеральными выражениями, а также с выражениями, содержащими переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к виду, удобному для решения задачи. В этой теме мы рассмотрим основные виды идентичных преобразований.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Идентичное преобразование выражения. Что это?

Впервые мы встречаемся с концепцией тождественного преобразования на уроках алгебры в 7 классе. В то же время мы сначала знакомимся с концепцией идентично равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы упростить понимание темы.

Определение 1

Идентичное преобразование выражения — это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения выражением, которое будет идентично оригиналу.

Это определение часто используется в сокращенной форме, в которой отсутствует слово «идентичный». Предполагается, что в любом случае мы проводим преобразование выражения таким образом, чтобы получить выражение, идентичное исходному, и это не нужно особо подчеркивать.

Проиллюстрируем это определение примерами.

Пример 1

Если заменить выражение x + 3 — 2 на идентичное выражение x + 1 , то мы выполним идентичное преобразование выражения x + 3 — 2 .

Пример 2

Замена выражения 2 a 6 на выражение a 3 Является идентичным преобразованием, тогда как замена выражения x на выражение x 2 не является идентичным преобразованием, поскольку выражения x и x 2 не идентичны.

Обращаем ваше внимание на форму написания выражений при проведении идентичных преобразований. Обычно мы записываем исходное выражение и результирующее выражение как равенство.Итак, запись x + 1 + 2 = x + 3 означает, что выражение x + 1 + 2 было приведено к виду x + 3.

Последовательное выполнение действий приводит нас к цепочке равенств, которая представляет собой несколько одинаковых преобразований, расположенных подряд. Итак, обозначение x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x мы понимаем как последовательную реализацию двух преобразований: сначала выражение x + 1 + 2 приводилось к виду x + 3, а оно — к виду 3 + x.

Идентичные преобразования и ODU

Ряд выражений, которые мы начинаем учить в 8 классе, не имеют смысла для всех значений переменных.Проведение идентичных преобразований в этих случаях требует от нас обращать внимание на диапазон допустимых значений переменных (ADV). Выполнение идентичных преобразований может оставить ODZ без изменений или сузить его.

Пример 3

При переходе от выражения a + (- b) к выражению a — b диапазон переменных a и b остается прежним.

Пример 4

Переход от выражения x к выражению x 2 x приводит к сужению диапазона допустимых значений переменной x от набора всех действительных чисел до набора всех действительных чисел, от какой ноль был исключен.

Пример 5

Идентичное преобразование выражения x 2 x выражение x приводит к расширению диапазона допустимых значений переменной x из набора всех действительных чисел, кроме нуля, до множества всех действительных чисел числа.

Сужение или расширение диапазона допустимых значений переменных при проведении идентичных преобразований важно при решении задач, так как это может повлиять на точность расчетов и привести к ошибкам.

Основные преобразования идентичности

Давайте теперь посмотрим, что такое идентичные преобразования и как они выполняются. Выделим в основную группу те типы идентичных преобразований, с которыми нам приходится иметь дело чаще всего.

Помимо основных идентичных преобразований существует ряд преобразований, относящихся к выражениям определенного типа. Для дробей это методы приведения и приведения к новому знаменателю. Для выражений с корнями и степенями все действия, выполняемые на основе свойств корней и степеней.Для логарифмических выражений — действия, выполняемые на основе свойств логарифмов. Для тригонометрических выражений все действия с использованием тригонометрических формул … Все эти частные преобразования подробно описаны в отдельных разделах, которые можно найти на нашем ресурсе. В связи с этим мы не будем на них останавливаться в данной статье.

Перейдем к рассмотрению основных идентичных преобразований.

Перестановка членов, множители

Начнем с перестановки терминов.Чаще всего мы имеем дело с этим идентичным преобразованием. И здесь главным правилом можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка членов местами не влияет на результат.

Это правило основано на свойствах смещения и комбинации сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять термы местами и получать выражения, идентичные исходным. Вот почему перестановка слагаемых местами в сумме — это тождественное преобразование.

Пример 6

У нас есть сумма трех членов 3 + 5 + 7. Если мы поменяем местами члены 3 и 5, то выражение примет форму 5 + 3 + 7. Есть несколько вариантов перестановки членов в Это дело. Все они приводят к получению выражений, идентичных исходному.

Не только числа, но и выражения могут выступать в качестве членов в сумме. Их, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.

Пример 7

В сумме трех членов 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 и — 12 a формы 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + (- 12) · a могут быть переставлены, например, следующим образом (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3.В свою очередь, вы можете переставить члены в знаменателе дроби 1 a + b, и дробь примет вид 1 b + a. И выражение под знаком корня a 2 + 2 a + 5 также является суммой, в которой члены можно поменять местами.

Так же, как и члены, в исходных выражениях можно поменять местами множители и получить идентично правильные уравнения. Это действие регулируется следующим правилом:

Определение 2

В продукте перестановка факторов местами не влияет на результат вычислений.

Это правило основано на свойствах смещения и комбинации умножения, которые подтверждают правильность идентичного преобразования.

Пример 8

Состав 3 5 7 перестановка факторов может быть представлена ​​в одной из следующих форм: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 или 3 7 5 .

Пример 9

Преобразование множителей в произведении x + 1 x 2 — x + 1 x дает x 2 — x + 1 x x + 1

Кронштейны раздвижные

Скобки могут содержать числовые и переменные выражения.Эти выражения можно преобразовать в идентично равные выражения, в которых вообще не будет скобок или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называется раскрытием скобок.

Пример 10

Выполним действия со скобками в выражении вида 3 + x — 1 x , чтобы получить идентично правильное выражение 3 + x — 1 x .

Выражение 3 x — 1 + — 1 + x 1 — x может быть преобразовано в идентично равное выражение без скобок 3 x — 3 — 1 + x 1 — x.

Мы подробно описали правила преобразования выражений со скобками в теме «Раскрывающиеся скобки», которая размещена на нашем ресурсе.

Группировка терминов, коэффициенты

В случаях, когда мы имеем дело с тремя и большим количеством терминов, мы можем прибегнуть к такой форме преобразования идентичности, как группирование терминов. Под этим методом преобразований мы подразумеваем объединение нескольких терминов в группу путем их перестановки и заключения в круглые скобки.

Во время группировки термины меняются местами, так что термины, которые нужно сгруппировать, появляются в выражении рядом друг с другом.Затем их можно заключить в круглые скобки.

Пример 11

Возьмем выражение 5 + 7 + 1
… Если мы сгруппируем первый член с третьим, мы получим (5 + 1) + 7
.

Группировка факторов осуществляется аналогично группировке терминов.

Пример 12

В работе 2 3 4 5 мы можем сгруппировать первый фактор с третьим, а второй с четвертым, и мы приходим к выражению (2 4) (3 5) … А если бы мы сгруппировали первый, второй и четвертый факторы, мы получили бы выражение (2 3 5) 4 .

Сгруппированные термины и множители могут быть представлены как простыми числами, так и выражениями. Подробно правила группировки обсуждались в теме «Группировка терминов и факторов».

Замена разницы суммами, частичными произведениями и наоборот

Замена разницы на суммы стала возможной благодаря нашему знакомству с противоположными числами.Теперь вычитание из числа a чисел b можно рассматривать как прибавление к числу a чисел — b … Равенство a — b = a + (- b) можно считать справедливым и на его основе заменить разницу суммами.

Пример 13

Возьмем выражение 4 + 3 — 2
, в котором разность чисел 3 — 2
можно записать как сумму 3 + (- 2)
… Получаем 4 + 3 + (- 2)
.

Пример 14

Все различия в выражении 5 + 2 x — x 2 — 3 x 3 — 0, 2 могут быть заменены такими суммами, как 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3 ) + (- 0, 2) .

Мы можем исчислить любые расхождения. Аналогичным образом можно произвести обратную замену.

Замена деления умножением на величину, обратную делителю, стала возможной благодаря концепции обратных чисел. Это преобразование можно записать равенством a: b = a (b — 1) .

Это правило легло в основу правила деления обыкновенных дробей.

Пример 15

Частный 1 2: 3 5
можно заменить продуктом вида 1 2 5 3 .

Аналогично, по аналогии, деление можно заменить умножением.

Пример 16

В случае выражения 1 + 5: x: (x + 3) заменить деление на x можно умножить на 1 x … Деление на x + 3 мы можно заменить умножением на 1 x + 3 … Преобразование позволяет получить выражение, идентичное исходному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Замена умножения делением осуществляется по схеме a b = a: (b — 1) .

Пример 17

В выражении 5 x x 2 + 1-3 умножение можно заменить делением как 5: x 2 + 1 x — 3.

Выполнение действий с номерами

Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка действий.Сначала действия выполняются со степенями чисел и корнями чисел. После этого заменяем логарифмы, тригонометрические и другие функции их значениями. Затем выполняются действия, указанные в скобках. А дальше все остальные действия можно проводить слева направо. Важно помнить, что умножение и деление выполняются перед сложением и вычитанием.

Операции с числами позволяют преобразовать исходное выражение в идентичное ему.

Пример 18

Перепишем выражение 3 · 2 3 — 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, выполнив все возможные действия с числами.

Решение

Прежде всего обратим внимание на градус 2 3
и корень 4 и вычислите их значения: 2 3 = 8
и 4 = 2 2 = 2.

Подставляем полученные значения в исходное выражение и получаем: 3 · (8 — 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Теперь выполним действия в скобках: 8 — 1 = 7
… И переходим к выражению 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x).

Нам осталось произвести умножение чисел 3
и 7
… Получаем: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Ответ: 3 2 3 — 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Действиям с числами могут предшествовать другие виды идентичных преобразований, например группировка чисел или раскрытие скобок.

Пример 19

Возьмем выражение 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) — 2 + 11 .

Решение

Первый шаг — заменить частное в скобках 6: 3
по его стоимости 2
… Получаем: 3 + 2 2 x (y 3 4) — 2 + 11.

Раскроем скобки: 3 + 2 2 x (y 3 4) — 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4-2 + 11 .

Сгруппируем числовые множители в продукте, а также термины, которые являются числами: (3 — 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 .

Выполним действия в скобках: (3 — 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Ответ: 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) — 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Если мы работаем с числовыми выражениями, то целью нашей работы будет найти смысл выражения.Если мы преобразуем выражения с помощью переменных, то цель наших действий будет заключаться в упрощении выражения.

Выведение общего множителя

В случаях, когда члены в выражении имеют одинаковый множитель, мы можем вывести этот общий множитель из скобок. Для этого нам сначала нужно представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных терминов без общего множителя.

Пример 20

Численно 2 7 + 2 3 мы можем вычесть общий множитель 2
скобок и получим идентично правильное выражение вида 2 (7 + 3) .

Вы можете освежить в памяти правила вывода общего множителя за скобки в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно обсуждаются правила вывода общего множителя за скобки и приводится множество примеров.

Сокращение аналогичных сроков

А теперь перейдем к суммам, которые содержат аналогичные термины. Возможны два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые, и суммы, слагаемые которых различаются числовым коэффициентом.Действия с суммами, содержащими такие условия, называются уменьшением таких сроков. Осуществляется он следующим образом: общую буквенную часть выносим за скобки и вычисляем сумму числовых коэффициентов в скобках.

Пример 21

Рассмотрим выражение 1 + 4 x — 2 x … Мы можем вынести буквальную часть x за скобки и получить выражение 1 + x (4-2) … Давайте вычислить значение выражения в скобках и получить сумму вида 1 + x · 2.

Замена чисел и выражений идентичными выражениями

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, могут быть заменены идентично равными выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к выражению, идентично ему.

Пример 22 Пример 23

Рассмотрим выражение 1 + a 5 , в котором мы можем заменить степень 5 идентично равным произведением, например, в форме a a 4 … Это даст нам выражение 1 + a a 4 .

Преобразование выполнено искусственно. Это имеет смысл только при подготовке к другим преобразованиям.

Пример 24

Рассмотрим преобразование суммы 4 x 3 + 2 x 2 … Здесь член 4 x 3 мы можем представить как произведение 2 x 2 2 x … Как В результате исходное выражение принимает вид 2 x 2 2 x + 2 x 2 … Теперь мы можем выбрать общий множитель 2 x 2 и вывести его за скобки: 2 x 2 (2 x + 1 ) .

Сложить и вычесть то же число

Одновременное сложение и вычитание одного и того же числа или выражения — это искусственный метод преобразования выражений.

Пример 25

Рассмотрим выражение x 2 + 2 x … Мы можем добавить или вычесть из него единицу, что позволит нам впоследствии выполнить другое идентичное преобразование — выбрать квадрат бинома: x 2 + 2 х = х 2 + 2 х + 1 — 1 = (х + 1) 2 — 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Зависимость от решений. Видеоурок «Метод алгебраического сложения

.

Очень часто ученикам мешает выбор метода решения систем уравнений.

В этой статье мы рассмотрим один из способов решения систем — метод подстановки.

Если вы найдете общее решение двух уравнений, они скажут, что эти уравнения образуют систему.В системе уравнений каждое неизвестное обозначает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что эти уравнения образуют систему, они обычно записываются одно под другим и объединяют фигурные скобки, например

Заметим, что при x = 15, а y = 5 оба уравнения системы верны. Эта пара чисел является решением системы уравнений. Каждая пара неизвестных значений, которая одновременно удовлетворяет обеим системным уравнениям, называется решением решения.

Система может иметь одно решение (как в нашем примере), бесконечно много решений и не иметь решений.

Как решить систему методом подстановки? Если коэффициенты с некоторыми неизвестными в обоих уравнениях равны по абсолютной величине (но не равны, затем выровняйте), то складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), вы можете получить уравнение с одним неизвестным. Затем решаем это уравнение. Мы определяем одно неизвестное. Подставляем полученное значение неизвестного в одно из уравнений системы (первое или второе). Найдите еще одно неизвестное. Рассмотрим использование этого метода на примерах.

Пример 1. Решите систему уравнений

Здесь коэффициенты по модулю равны друг другу, но противоположны знаку. Попробуем переоценить систему уравнений.

Полученное значение x = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, первое) и находим значение:

2 * 4 + y = 11, y = 11-8, y = 3.

В нашей системе есть решение x = 4, y = 3.или ответ можно записать в скобках, как координаты точки, в первую очередь х, во вторую.

Ответ: (4; 3)

Пример 2. . Решите систему уравнений

Выровняйте коэффициенты с переменной x, для этого вы умножите первое уравнение на 3, а второе на (-2), мы получим

Будьте осторожны при сложении уравнений

Тогда y = — 2.Подставляем в первое уравнение вместо числа (-2), получаем

4 + 3 (-2) = — 4. Решаем это уравнение 4x = — 4 + 6, 4x = 2, x = ½.

Ответ: (1/2; — 2)

Пример 3. Решите систему уравнений

Умножьте первое уравнение на (-2)

Решаем систему

получаем 0 = — 13.

В системе решений нет, поэтому 0 не равно (-13).

Ответ: решений нет.

Пример 4. Решите систему уравнений

Заметим, что все коэффициенты второго уравнения делятся на 3,

разделим второе уравнение на три и получим систему, состоящую из двух одинаковых уравнений.

Эта система имеет бесконечно много решений, поскольку первое и второе уравнение одинаковы (мы получили только одно уравнение с двумя переменными).Как представить решение этой системы? Выразим переменную из уравнения x + y = 5. Получаем y = 5x.

Тогда ответ Неправильно вроде этого: (x; 5-x), x — любое число.

Мы рассмотрели решение систем уравнений методом сложения. Если у вас есть вопросы или что-то непонятно, записывайтесь на урок и мы устраним все проблемы.

blog.set, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Метод алгебраического сложения

Систему уравнений с двумя неизвестными можно решить различными способами — графическим методом или методом замены переменной.

В этом уроке мы познакомимся с другим способом решения систем, который вам, вероятно, понравится, — это способ алгебраического сложения.

А откуда взялась идея — что-то в системах? При решении систем основной проблемой является наличие двух переменных, потому что мы не можем решить уравнения с двумя переменными.Значит, необходимо каким-либо образом исключить одно из них. И такими законными методами являются математические правила и свойства.

Одно из этих свойств звучит так: сумма противоположных чисел равна нулю. Это означает, что если у одной из переменных будут противоположные коэффициенты, то их количество будет равно нулю и мы сможем исключить эту переменную из уравнения. Понятно, что мы не имеем права добавлять в альтернативу нужную нам переменную. Необходимо полностью свернуть уравнение, т.е.е. По отдельности сложите аналогичные компоненты в левой части, затем в правой. В результате мы получаем новое уравнение, содержащее только одну переменную. Рассмотрим сказанное на конкретных примерах.

Мы видим, что в первом уравнении есть переменная y, а во втором — противоположное число. Значит, это уравнение можно решить методом сложения.

Одно из уравнений оставить как есть. Всем, что вам больше нравится.

Но второе уравнение будет получено сложением этих двух уравнений почвы.Те. 3 Двигаясь с 2х, добавляя C -OU, 8 ложил от 7.

Получаем систему уравнений

Второе уравнение этой системы — простое уравнение с одной переменной. Из него находим x = 3. Подставляя найденное значение в первое уравнение, находим y = -1.

Ответ: (3; — 1).

Дизайн образца:

Решите метод алгебраического сложения системы уравнений

В этой системе нет переменных с противоположными коэффициентами.Но мы знаем, что обе части уравнения можно умножить на одно и то же число. Умножим первое уравнение системы на 2.

Тогда первое уравнение примет вид:

Теперь мы видим, что у переменной x есть противоположные коэффициенты. Так что поступим так же, как в первом примере: одно из уравнений останется без изменений. Например, 2у + 2х = 10. А второе мы адресуем.

Теперь у нас есть система уравнений:

Легко найти из второго уравнения y = 1, а затем из первого уравнения x = 4.

Дизайн образца:

Подведем итог:

Мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методами алгебраического сложения. Таким образом, теперь нам известны три основных метода решения таких систем: графический, метод замены переменной и метод сложения. С помощью этих методов можно решить практически любую систему. В более сложных случаях используется комбинация этих методов.

Список литературы:

1. Мордкович А.G, Алгебра 7 класс в 2 части, Часть 1, Учебное пособие для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 10-е изд., Вторсырье — М .: Мнемозина, 2007.

.

2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2-х частях, Часть 2, Такакон для общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; Под ред. А.Г. Мордковича — издание 10, переработанное — М., Мнемозина, 2007.
3. HER. Тульчинская, класс алгебры 7. Блиц-опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, Мнемозина, 2008.
4. Александрова Л.А., алгебра 7 класс. Тематические проверки в новой форме Для учащихся общеобразовательных учреждений / под ред. А.Г. Мордковича, Москва, Мнемозина, 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельная работа для учащихся общеобразовательных учреждений под ред. А.Г. Мордковича — 6-е изд., Стереотип, Москва, «Мнемозина», 2010.

Мы проанализируем два типа решений систем уравнения:

1. Решение системы подстановкой.
2. Решение системы методом сложения (вычитания) системы уравнений.

Чтобы решить систему уравнений для метода подстановки Вам необходимо следовать простому алгоритму:
1. Экспресс. Из любого уравнения мы выражаем одну переменную.
2. Заменитель. Подставляем вместо полученной ярко выраженной переменной другое уравнение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим системное решение.

Для решения системы введения системы (вычитания) необходимо:
1.Дать переменную, к которой мы будем делать те же коэффициенты.
2. Расширяем или вычитаем уравнения, в результате получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем получившееся линейное уравнение. Находим системное решение.

Системное решение — это точка пересечения графиков функций.

Рассмотрим подробно на примерах систем.

Пример № 1:

Решением заменой

Решение системы уравнений заменой

2x + 5y = 1 (1 уравнение)
x-10y = 3 (2 уравнения)

1.Выражение
Видно, что во втором уравнении есть переменная x с коэффициентом 1, оказывается, что переменную x из второго уравнения выразить проще.
х = 3 + 10у

2. После того, как выражено, подставляем в первое уравнение 3 + 10y вместо переменной x.
2 (3 + 10y) + 5Y = 1

3. Над полученным уравнением с одной переменной.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (раскрыть скобки)
6 + 20Y + 5Y = 1
25Y = 1-6.
25Y = -5 |: (25)
Y = -5: 25
Y = -0,2

Решение системы уравнения — это точки пересечения графиков, поэтому нам нужно найти x и y, потому что точка пересечения состоит из их X и Y. Над X, в первом абзаце, где мы выразили, подставляем Y.
x = 3 + 10y
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1

На запись берется

баллов, в первую очередь пишем переменную x, а во вторую переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример № 2:

Решением методом сложения (вычитания).

Решение системы уравнений сложением

3x-2y = 1 (1 уравнение)
2x-3y = -10 (2 уравнение)

1. Выберите переменную, скажем, выберите x. В первом уравнении в переменной x коэффициент 3, во втором 2. Необходимо сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право умножать уравнения или делить на любое число.Первое уравнение допускает 2, второе — 3, и мы получаем общий коэффициент 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30

2. Из первого уравнения вычитается второе, чтобы избавиться от переменной X. Линейное уравнение.
__6x-4y = 2

5Y = 32 | : пять
Y = 6,4.

3. Земельный участок х. Подставляем в любое из найденных уравнений y, скажем, в первое уравнение.
3x-2y = 1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точка пересечения будет x = 4,6; Y = 6,4.
Ответ: (4,6; 6.4)

Хотите бесплатно подготовиться к экзаменам? Репетитор онлайн. бесплатно . Без шуток.

Система линейных уравнений с двумя неизвестными — это два или более линейных уравнения, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.Общий вид Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными показаны на рисунке ниже:

(A1 * X + B1 * Y = C1,
(A2 * X + B2 * Y = C2

Здесь x и в неизвестных переменных A1, A2, B1, B2, C1, C2 — некоторые действительные числа. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется парой чисел (x, y), так что если мы подставим эти числа в уравнение системы, каждое из уравнений системы обращается к правильному равенству. Есть несколько способов решить систему линейных уравнений.Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения.

Алгоритм решения метода сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способами сложения.

1. При необходимости эквивалентными преобразованиями уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывание или вычитание полученных уравнений для получения линейного уравнения с одним неизвестным

3.Решите полученное уравнение с одним неизвестным и найдите одну из переменных.

4. Подставьте полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решите это уравнение, получив вторую переменную.

5. Сделайте проверку решения.

Пример решения метода сложения

Для большей наглядности решив следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

) Поскольку одинаковых коэффициентов нет ни в каких переменных, выровняйте коэффициенты в переменной y.Для этого умножьте первое уравнение на три, а второе уравнение — на два.

(3 * x + 2 * y = 10 | * 3
(5 * x + 3 * y = 12 | * 2

Получите следующую систему уравнений:

(9 * x + 6 * y = 30;
(10 * x + 6 * y = 24;

) Теперь из второго уравнения вычитаю первое. Даем такие составляющие и решаем получившееся линейное уравнение.

10 * х + 6 * y — (9 * x + 6 * y) = 24-30; х = -6;

Полученное значение подставляется в первое уравнение исходной системы и решает полученное уравнение.

(3 * (- 6) + 2 * y = 10;
(2 * y = 28; y = 14;

Получилась пара чисел x = 6 и y = 14. Проводим проверку. Сделайте замену.

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

{3 * (- 6) + 2 * (14) = 10;
{5 * (- 6) + 3 * (14) = 12;

{10 = 10;
{12 = 12;

Как видите, получилось два верных равенства, следовательно, мы нашли правильное решение.

В этом уроке мы продолжим изучение метода решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения.Сначала рассмотрим использование этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомните, как уравнять коэффициенты в уравнениях. И мы решаем ряд задач по применению этого метода.

Тема: Системы уравнений

Урок: Метод алгебраического сложения

1. Метод алгебраического сложения на примере линейных систем

Рассмотрим метод алгебраического сложения На примере линейных систем.

Пример 1. Решить систему

Если мы сложим эти два уравнения, то y взаимно разрушится, и уравнение останется относительно x.

Если второе будет вычтено из первого уравнения, X взаимно уничтожается, и мы получаем уравнение относительно Y. В этом смысл метода алгебраического сложения.

Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторяем его суть: мы можем складывать и вычитать уравнение, но необходимо следить за тем, чтобы уравнение было только с одной неизвестной.

2. Метод алгебраического сложения с предварительным уравниванием коэффициентов

Пример 2. Решить систему

Член присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Второе уравнение будет вычтено из первого уравнения.

Ответ: (2; -1).

Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что для нее удобен метод алгебраического сложения, и его применяют.

Рассмотрим другую линейную систему.

3. Решение нелинейных систем

Пример 3. Решить систему

Мы хотим избавиться от y, но в двух уравнениях коэффициенты при y разные. Обеспечьте их, для этого вы умножите первое уравнение на 3, второе — на 4.

Пример 4. Решить систему

Равные коэффициенты при x

Можно сделать иначе — уравнять коэффициенты при y.

Решили систему, дважды применили метод алгебраического сложения.

Метод алгебраической зависимости применим и при решении нелинейных систем.

Пример 5. Решить систему

Переместив эти уравнения, мы избавимся от Y.

Эту же систему можно решить, дважды применяя метод алгебраического сложения. Перемещение и вычитание отличается от одного уравнения.

Пример 6. Решить систему

Ответ:

Пример 7. Решить систему

Метод алгебраического сложения для избавления от члена XY.Умножьте первое уравнение на.

Первое уравнение остается без изменений, вместо второго напишите алгебраическую сумму.

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Умножьте второе уравнение на 2, чтобы выделить полный квадрат.

Наша задача свелась к решению четырех простейших систем.

4. Заключение

Мы рассмотрели метод алгебраического сложения на примере решения линейных и нелинейных систем.На следующем уроке рассмотрим метод введения новых переменных.

1. Мордкович А.Г. и другие. Алгебра 9 кл: учеб. Для общего образования. Учреждения. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-192 с .: Ил.

2. Мордкович А.Г. и другие. Алгебра 9 кл .: Tacider для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: Ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: этюд. Для школьников, общеобразовательных.Учреждения / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктисты. — 7-е изд., Акт. и добавить. — М .: Мнемозина, 2008.

.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. V. Алгебра. 9 класс. 16 изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 сорт. По 2 ч. Л. 1. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., Чед. — М .: 2010 — 224 с .: Ил.

6. Алгебра. 9 сорт. По 2 ч. Л. 2. Такакон для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Мордкович, Л. А. Александров, Т. Н. Мишустина и др .; Эд. А.Г. Мордкович. — 12-е изд., Акт. — М .: 2010.-223 с .: Ил.

1. Секция Колледжа. RU по математике.

2. Интернет-проект «Задачи».

3. Образовательный портал «РТУМ ЕГЭ».

1. Мордкович А.Г. и другие. Алгебра 9 кл .: Tacider для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: Ил. № 125 — 127.

Нужно скачать план ели по теме »Метод алгебраического сложения ?

Просмотры

Все предложения | Vendita appartamenti valledoria e sassari e la ciaccia

Местные:
3

Баньи:
1

Camere:
2

Anno di costruzione:
2013

Гаражи:
1

Досуг:

90 кв.м.

Situata nella periferia di Valledoria, на улице Виа Е.D’arborea, Ricca di Rifiniture e Partial Estetici come porticati e arcate dista dal mare около 1400 м, Il complesso edilizio si sviluppa su tre piani con originari 20 appartamento di cui 12 appartamenti sono disponibili alla vendita, così0003 Suddivisi: 9

· N ° 3 трилокали для фортепиано с терради около 65,00 кв. cad.
· N ° 1 двухкамерный пиано терра ди около 50,00 кв.
· N ° 5 трехокальное фортепиано примо ди около 65,00 mq. cad.
· N ° 3 трилокали на фортепиано secondo + солярий около 75,00 mq.Cad.
Per quanto riguarda gli appartamenti al piano terra, questi godono di ingresso indipendente dal parcheggio condominiale, ai piani superiori si Accede Tramite due scale Inserite all’interno della struttura stessa. Come si può ben notare dalle foto anche questa costruzione segue pi o meno lo stesso stile costruttivo, esternamente il fabbricato e rifinito in colori pastello tenue, e altri special decorativi, nonché una specialolare attzione alla qualità dei material.