Геометрии 8 класс: ГДЗ по геометрии за 8 класс, решебник и ответы онлайн

ГДЗ (ДҮЖ) по геометрии 8 класс Шыныбеков

Такой предмет как геометрия практически всегда вызывает сложности у школьников. Ведь для того, чтобы иметь хорошие результаты, необходимо не только на «отлично» знать теоретический материал, но ещё и правильно применять его на практике. К сожалению, у многих это не получается и страдает от этого успеваемость. Решить подобную проблему поможет виртуальный консультант, о котором мы сейчас расскажем подробнее.

Для чего нужно изучать эту точную науку

Дисциплина является важнейшим компонентом математического образования. Благодаря ей учащиеся получают знания о пространстве и формах. Эти навыки необходимы не только в повседневной жизни, но и для дальнейшего профессионального образования. Кроме этого изучение предмета способствует развитию образного мышления, воображения, интуиции, а также формированию умений обосновывать, доказывать и приводить четкие определения. Здания, предметы, интерьеры квартир – все это имеет ту или иную геометрическую форму, поэтому знать геометрию на элементарном уровне чрезвычайно важно, ведь ее проявления окружают нас повсюду.

Краткое описание предусмотренного учебного курса решебника по геометрии за 8 класс от Шыныбекова

Учебная программа восьмого года обучения рассчитана на изучение основных видов четырехугольников. В ходе ее освоения восьмиклассники столкнутся со следующими темами:

1. Свойства и понятие параллелограмма.
2. Признаки подобия треугольников.
3. Окружности, их характеристики и виды.
4. Правила работы с векторами и др.

Курс достаточно трудный. Чтобы во время его освоения не возникало проблем с пониманием тематического материала ребятам лучше всего воспользоваться помощью вспомогательной литературы, к числу которой относится представленный справочник.

Неоценимая помощь ГДЗ по геометрии для 8 класса авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.

Решебник составлен экспертами и имеет в своем составе верные ответы практически к каждому заданию учебника. Также важно отметить, что портал имеет удобную навигацию, поэтому отыскать нужный номер не составит никакого труда: стоит лишь выбрать интересующий раздел, кликнуть на задание и перед вами откроется правильное решение. Используя его в процессе обучения ученик сможет:

• разобрать особо сложную тему и понять основную суть вопроса;
• тщательным образом подготовиться к предстоящему опросу на уроке;
• доработать непонятный материал и закрепить его;
• быстро и без ошибок выполнить домашнее задание.

Структура онлайн-сборника идентична учебному изданию и расположение номеров упражнений имеет полное соответствие, поэтому отыскать нужную информацию не составит никакого труда. Систематическое применение ГДЗ даст только положительные результаты, плюс ко всему ученик всегда будет наилучшим образом подготовлен к любой самостоятельной работе в классе.

ГДЗ по геометрии 8 класс Солтан, Солтан Решебник

Наш сборник всегда выручает подростков в условиях нехватки времени, и дает необходимые знания. В восьмом классе сложность математических дисциплин продолжает расти. Учителя отмечают, что именно с этого начинается изучение углубленного уровня по предмету.

Рабочая программа решебника по геометрии за 8 класс Солтан

Если в 7 классе дети ограничились знакомством с геометрическими местами точек и простыми задачами на вычисление, доказательством и построением, то в этом году после краткого повтора пройденного, будет осваиваться:

• свойства биссектрис, виды трапеций, их признаки;
• отношение площадей треугольников, теорема Пифагора;
• диаметр и хорда, вневписанные окружности, точки ее касания к треугольнику.

Предусмотрено много часов на решение упражнений по указанным темам. Впрочем, в рамках учебной программы геометрии уделяется мало внимания, а значит, частично придется разбираться самому. Поможет решебник. У ребенка даже появится возможность подготовиться к контрольным работам и олимпиадам любого уровня (школьные, городские, областные, всероссийские, международные).

Требования по геометрии к восьмикласснику

По истечении двух семестров школьник должен уметь:

• готовить и представлять развернутое математическое доказательство;


приводить к нему примеры;

• владеть измерительными инструментами для построения фигур на плоскости;
• вычислять геометрические величины;
• знать алгоритмы решения задач и уравнений по изученным темам;
• выполнять чертежи, осуществлять преобразование многоугольников.

Ребятам обычно легко зазубрить теоремы, и даже доказательства. Но когда дело касается начертания фигур и расчетов, здесь большинство пасует. Чтобы не допустить утраты важных навыков, позанимайтесь с готовыми ответами.

Структура и преимущества решебника по геометрии для 8 класса авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.

Пособие организовано в соответствии с учебной программой. Решения приведены по номерам упражнений, поэтому нет необходимости долго искать нужную страницу. Далее идут вопросы для повторения, и задания на закрепление умений. Готовые ответы моно использовать различными способами, в зависимости от вашей цели:

• для перепроверки уже сделанной домашней работы;
• в качестве дополнительного тренажера, откуда можно брать задачи для улучшения способностей к построению и вычислению;
• для вспоминания ранее пройденного материала, который подзабылся;
• как «напоминалку» перед контрольными;
• с целью быстрого выполнения домашнего задания.

Старайтесь не применять готовые ответы для механического списывания – лучше перепроверять по гдз упражнения, выполненные самостоятельно. Так вы за короткий срок прокачаете необходимые навыки. Здесь интуитивно понятное расположение упражнений в табличном формате с возможностью поиска нужного номера через специальное поле.

Дополнительные главы геометрии. 8 класс: О курсе

Курс ориентирован на слушателей, владеющих школьной программой 8 класса по геометрии. Учащиеся познакомятся с яркими геометрическими сюжетами, систематизируют теоретические знания, научатся решать задачи повышенной сложности.

Курс поможет школьникам не только на уроках геометрии в школе, но и позволит успешнее выступать на олимпиадах, а учителям математики — лучше понять аспекты теории и задачные акценты, примыкающие к школьной программе и характерные для математических олимпиад, использовать задачную базу курса на занятиях в школе.

Курс состоит из 23 обязательных и 5 лекционных модулей, 78 видеолекций с конспектами, 503 обязательных упражнений и факультативных задач для самостоятельного решения. На старте курса ученикам будет предложено пройти входное тестирование, по итогам которого будет определен начальный уровень ученика и, соответственно, определена индивидуальная образовательная траектория. По итогам тестирования может быть зачтена часть учебных модулей.

В курсе содержатся материалы двух уровней сложности. Первый уровень сложности: рассказываются базовые вещи, даны наиболее простые упражнения и задачи. Второй уровень сложности иногда содержит дополнительную теорию, задачи и упражнения, для того, чтобы можно было углубить свои знания в соответствующей теме. Рекомендуется сначала пройти все учебные модули на базовом уровне, и только потом приступать к изучению продвинутого уровня.

Учебные модули

Внутри каждого модуля есть:

– видео с кратким конспектом, где обсуждается теория и разбираются примеры решения задач,
– упражнения с автоматической проверкой, позволяющие понять, как усвоена теория,
– задачи для самостоятельного решения, которые не учитываются в прогрессе и не идут в зачет по модулю, но позволяют качественно повысить свой уровень. 

В каждом разделе есть ответы на популярные вопросы, где можно уточнить свое понимание теории или условия задачи, но нельзя получить подсказки по решению.

По итогам обучения выдается электронный сертификат. Для его получения необходим зачет по всем учебным модулям, кроме лекционных. Условие получения зачета по модулю — успешное выполнение не менее 70% упражнений. Сертификаты могут учитываться при отборе на очные программы по направлению «Наука».

Если ученик не успеет получить зачет по отдельным модулям, то он не сможет получить сертификат, но сможет возобновить обучение, когда курс стартует в следующий раз. При этом выполнять пройденные модули заново не потребуется (но может быть предложено, если соответствующие учебные материалы обновятся).

В следующий раз курс будет открыт осенью 2021 года.

Гдз по геометрии 8класс босова :: lampmehnannpen

1 по 11 класс. ГДЗ по Английскому языку для 5 9 классов. Рабочие тетради. ГДЗ решебники по информатике 8 класс Босова рабочая тетрадь ФГОС. Сборник задач по физике для 7 9 классов. Ответы на вопросы и задания из учебников и рабочих тетрадей по истории, технологии, русскому, алгебре, геометрии, английскому и др. Помогут проверить правильность выполнения ДЗ онлайн без скачивания. ГДЗ по информатике 8 класс Босова рабочая тетрадь ФГОС. Рабочая тетрадь по информатике 8 класс. Все домашние задания: 1 класс математика, русский язык и т.д. Выберите класс, по которому вы ищете решебники. Информатика 8 класс. Автор: Миняйлова Е. Л. Издательство: Народная асвета. Чем старше ученик, тем объемней и сложней задания, которые приходится выполнять самостоятельно. Решебник по Геометрии 8 класс И. М. Смирнова. Авторы: И. М. Смирнова, В. А. Смирнов.авторы: Босова Л. Л., Босова А. Ю. Готовые домашние задания ГДЗ по геометрии за 7 9 класс автор А. В. Погорелов. Настоящее учебно методическое издание включает в сем решение всех задач и упражнений нового учебника и рабочей тетради Л. Л. Босовой по информатике за 5 класс. Более 400 ГДЗ. Все ГДЗ по Геометрии 8 класс. ГДЗ Информатика 7 класс. Босова Л. Л.2015 г. ГДЗ: Спиши готовые домашние задания по геометрии за 8 класс, решебник и ответы онлайн на Геометрия 8 класс рабочая тетрадь. Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина. Конформизм, соционика, ценность жизни, познание себя, концепция жизни, успешность, дауншифтинг.

Решебники гдз по информатике за 8 класс. ФГОС Босова Бином. Информатика и ИКТ 8 класс рабочая тетрадь Босова. Полный и качественный учебник Информатика 8 класс Л. Л. Босова, А. Ю. Босова 2014 скачать онлайн. Готовые Домашние Задания Онлайн по Алгебре, Геометрии, Физике, Химии, Информатике, по Русскому, Английскому, Немецкому языкам для 2 11 классов. Ответы к учебнику Информатики за 6 класс. Л. Л. Босова 2014 г. ГДЗ готовые домашние задания по информатике за 8 класс к рабочей тетради Босовой заданиеномер 8. Все домашние задания за 5 класс. Только мы собрали все ответы к рабочей тетради по информатике Босова за 8 класс ФГОС. ГДЗ по информатике 8 класс Босова рабочая тетрадь. На этой страничке вы найдете ответы к учебнику геометрии с седьмого по девятый классы. ГДЗ Решебники 8 класс. Готовые Домашние Задания 8 класс. ГДЗ по информатике 8 класс Босова рабочая тетрадь ФГОС. ГДЗ ответы на вопросы рабочей тетради по информатике Босова за 8 класс. Геометрия. Харитонова Н. В. Человек и человечество 4 класс, 2 часть. Доступно на ваших смартфонах. Информатика. ГДЗ: Спиши готовые домашние задания рабочая тетрадь икт по информатике за 8 класс, решебник Л. Л. Босова, онлайн ответы на Подробный решебник гдз по Геометрии за издательство: Просвещение. Решебники и Ответы ко всем домашним заданиям, для всех учебников, онлайн. Гдз виленкин 5 класс решебник. ГДЗ по Информатике Босова 6 класс онлайн ГДЗ по Информатике Босова 6 класс онлайн. ГДЗ сборник задач по физике 7 9.

Класс Лукашик Иванова. Решебник по Информатике для 8 класса, авторы учебника: Босова на год. От авторов. Гдз по геометрии 8 класс дудницын. Оригинальное название: Презентация внутренние строение пресмыкающихся 8 класс. Геометрия. ГДЗ к учебнику Физики для 7 9 классов. ГДЗ рабочая тетрадь по информатике 8 класс Босова Босова. ГДЗ решебник по геометрии 8 класс Погорелов 7 9. ГДЗ готовые домашние задания по информатике за 8 класс к рабочей тетради Босовой заданиеномер 189. Французский язык. Готовые Домашние Задания Онлайн по Алгебре, Геометрии, Физике, Химии, Информатике, по Русскому, Английскому, Немецкому языкам для 2 11 классов. Л. Л. Босова 2014 г. История юдовская гдз 7 класс рабочая тетрадь. Ответы к рабочей тетради по информатике 8 класс Босова онлайн, прорешенная тетрадьгдз с удобным просмотром ответов. На сайте. Вы найдете ответы к рабочей тетради по информатике Босова за 8 класс ФГОС. ГДЗ по всем предметам школьной программы. ГДЗ: Спиши готовые домашние задания по информатике за 8 класс, решебник и ответы онлайн. Информатика 8 класс Босова. Поурочные планы литературное чтение 1 класс свиридова скачать. Информатика, 8 класс Л. Л. Босов, А. Ю. Босова 2014. Они особенно востребованы у учеников восьмого класса. ФГОС Босова Бином Рабочая тетрадь по информатике 8 класс. М.: 2014 — 128 с. Подробный решебник ГДЗ к рабочей тетради по информатике 8 класс Босова Л. Л., Босова А. Ю.2012, онлайн ответы на домашнюю работу. Информатика 8 класс Рабочая тетрадь. Информатика 8 класс Миняйлова. Решебники к рабочим тетрадям и учебникам с.

Вместе с Гдз по геометрии 8класс босова часто ищут

решебник по информатике 8 класс босова

гдз по информатике 8 класс босова учебник

решебник по информатике 8 класс рабочая тетрадь овчинникова

информатика 8 класс учебник

гдз по информатике 8 класс босова рабочая тетрадь 1 часть

гдз по информатике 7 класс

гдз по информатике 8 класс семакин залогова русаков шестакова

гдз по информатике 8 класс босова учебник 2012

Читайте также:

Английский язык 5 класс рабочая тетрадь лапицкая

Учебник помощник по биологии 7 класс сухорукова

Упражнение 141 по русскому языку за 4 класс

Формулы геометрии. Площади фигур — материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по Математике

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

ГДЗ решебники по геометрии за 8 класс

Геометрия 7-9 класс

Учебник

Просвещение

Геометрия 8 класс

Учебник

Казаков

Народная асвета

Геометрия 7-9 класс

Учебник

Просвещение

Геометрия 8 класс

Учебник

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.

Вентана-Граф

Геометрия 8 класс

Учебник

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.

Вентана-Граф

Геометрия 8 класс

Дидактические материалы

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М.

Вентана-Граф

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь

Глазков, Камаев

Экзамен

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь

Атанасян, Бутузов, Глазков

Просвещение

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь

Дудницин

Просвещение

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь

Мищенко

Экзамен

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь к учебнику Шарыгина

Егоров, Раббот

Дрофа

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь

Лысенко, Кулабухова

Легион

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь

Мерзляк, Полонский, Якир

Вентана-Граф

Геометрия 8 класс

Рабочая тетрадь к учебнику Погорелова

Мищенко

Экзамен

Геометрия 7-9 класс

Самостоятельные и контрольные работы

Просвещение

Геометрия 8 класс

Контрольные работы

Мельникова

Экзамен

Геометрия 8 класс

Тесты

Фарков

Экзамен

Геометрия 8 класс

Тесты

Звавич, Потоскуев

Экзамен

Геометрия 8 класс

Дидактический материал

Зив, Мейлер

ДРОФА

Геометрия 8 класс

КИМ

Гаврилова

Вако

Геометрия 8 класс

КИМ

Рязановский, Мухин

Экзамен

Геометрия 8 класс

Тесты

Белицкая

Лицей

Восьмой класс начинается для учеников с повторения треугольников по геометрии. Вспомнив программу прошлого курса, можно переходить к следующей теме: четырехугольники. Этот раздел достаточно обширен, и помимо основного вида этих фигур школьники ознакомятся и с формулами, которые с ними связаны, свойствами и признаками. Кроме того подростки узнают каким образом вычислять площади различных фигур и узнают, что такое теорема Пифагора. Подобные треугольники рассматриваются в купе с синусами, тангенсами и котангенсами. И заключают учебный год окружности и векторы, а так же различные манипуляции с ними.

Возможные сложности.

Поскольку изучаемые темы стали глубже и серьезнее, то вполне вероятны небольшие трудности во время решения разнообразных примеров. Но больше всего сложностей встречается во время применения тригонометрических функций к геометрическим фигурам. Так как понятия синуса, косинуса и тангенса достаточно абстрактные, то и проникнуться их решениями бывает порой непросто.

Что делать.

Чтобы подросток смог разобраться в сложных понятиях и научиться без проблем решать примеры и составлять формулы, можно воспользоваться ГДЗ по геометрии 8 класс.

открытых учебников | Сиявула

Математика

Наука

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • класс 7А

      • Марка 7Б

      • Класс 7 (комбинированные A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 7А

      • Граад 7Б

      • Граад 7 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • класс 8A

      • марка 8Б

      • Grade 8 (комбинированные A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 8А

      • Граад 8Б

      • Граад 8 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • марка 9А

      • Марка 9Б

      • Оценка 9 (вместе A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 9А

      • Граад 9Б

      • Граад 9 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • класс 4А

      • класс 4Б

      • Класс 4 (A и B вместе)

    • Африкаанс

      • Граад 4А

      • Граад 4Б

      • Граад 4 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • Марка 5А

      • Марка 5Б

      • Оценка 5 (комбинированные A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 5А

      • Граад 5Б

      • Граад 5 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • класс 6А

      • класс 6Б

      • Класс 6 (вместе A и B)

    • Африкаанс

      • Граад 6А

      • Граад 6Б

      • Граад 6 (A en B saam)

  • Пособия для учителя

Наша книга лицензионная

Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

CC-BY-ND (фирменные версии)

Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколько угодно раз. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственным ограничением является то, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.

Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.

CC-BY (версии без марочного знака)

Эти небрендовые версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, трансформировать, изменять или дополнять их любым способом, с единственным требованием — указать Сиявулу надлежащим образом. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.

UnboundEd Mathematics Guide

Что входит в руководство по содержанию и как его использовать?

Получите ответы на все вопросы вашего Руководства по содержанию, в том числе о том, что входит в каждую часть и как их можно использовать в вашей роли в вашем учебном заведении.

Просмотреть ответы на часто задаваемые вопросы

8.G.A | Понять соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей,

или программное обеспечение для геометрии.

8.G.B | Поймите и примените теорему Пифагора.

Добро пожаловать в серию руководств по математике UnboundEd! Эти руководства предназначены для объяснения того, что новые высокие стандарты математики говорят о том, что учащиеся должны изучать в каждом классе, и что они означают для учебной программы и обучения. Это руководство, первое для 8-го класса, состоит из трех частей. Первая часть представляет собой «тур» по стандартам в первых двух кластерах области геометрии (касающихся конгруэнтности, сходства и теоремы Пифагора) с использованием свободно доступных онлайн-ресурсов, которые вы можете использовать или адаптировать для своего класса.Вторая часть показывает, как эти стандарты соотносятся с другими концепциями 8-го класса. А третья часть объясняет, где находятся совпадение, сходство и теорема Пифагора в процессе обучения от начальных классов до средней школы.

Соответствие и сходство

Стандарты для 8-го класса полны важных идей, так почему же начинать эту серию с соответствия и сходства? Во-первых, эти стандарты являются частью «основной работы» 8-х классов, а это означает, что они заслуживают большей части учебного времени в течение учебного года. ¹ Приоритизация основной работы в течение года гарантирует, что этим стандартам будет уделено должное внимание. Конгруэнтность и сходство также необходимы учащимся для понимания других важных понятий в 8-м классе, в частности, наклона линии. (8.EE.B.6) Следовательно, работа с сопоставлением и подобием должна предшествовать линейным уравнениям, что является еще одной важной частью работы.

Конгруэнтность и сходство — также отличный способ начать год, потому что они предполагают «практический» подход через преобразования, что делает их доступными для любого ученика с базовым пониманием линий и углов.Более того, стандарты, связанные с конгруэнтностью и сходством, напрямую связаны со стандартами геометрии старших классов (в частности, в областях Конгруэнтность и Сходство и Правые треугольники), поэтому они важны для будущих успехов учащихся. Так что, если вам интересно, с чего начать год, конгруэнтность и сходство — хорошая ставка.

В 8-м классе стандарты соответствия и сходства сгруппированы в один кластер (называемый 8.G.A, поскольку это первый набор геометрических стандартов в классе).Несмотря на то, что он содержит только пять стандартов, этому кластеру удается объединить ряд математических идей, в том числе три, которые не часто рассматриваются как связанные: конгруэнтность и сходство, преобразования и угловые отношения. Давайте посмотрим, что говорится в этих стандартах, а затем рассмотрим каждый из них более внимательно.

8.G.A | Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей или программного обеспечения для работы с геометрией.

Порядок стандартов не указывает порядок, в котором они должны преподаваться.Стандарты — это лишь набор ожиданий относительно того, что студенты должны знать и уметь делать к концу каждого года; они не предписывают точную последовательность или учебный план. В этом случае имеет смысл сначала познакомить учащихся со свойствами отражений, перемещений и вращений (8.G.A.1), а затем использовать эти преобразования для установления концепции конгруэнтности (8.G.A.2). Исходя из этого, студенты должны быть готовы к расширению и концепции сходства (8.G.A.4). Решение задач с преобразованиями на координатной плоскости (8.G.A.3) можно интегрировать вместе с работой с этими первыми тремя стандартами, а применение преобразований (8.G.A.5) также можно обучать в сочетании с другой работой, или они могут быть сохранены напоследок.

Прежде чем мы начнем работать над этими стандартами, давайте ненадолго остановимся и рассмотрим, почему они так важны. В прошлом геометрия в классах K-8 была сосредоточена на широком спектре тем, ни одна из которых не преподавалась очень глубоко. Студенты могли выучить термины «конгруэнтный» и «подобный» в очень общем виде (возможно, как «та же форма, тот же размер» и «та же форма, разный размер»), но это была степень их знакомства с этими двумя важными понятиями. .Преобразования рассматривались как совершенно отдельная идея — если они вообще рассматривались — с упором только на выполнение преобразований (а не на описание их свойств). С другой стороны, в старших классах геометрии много времени уделялось обучению критериям совпадения и сходства треугольников, которые плохо соотносились ни с чем, что ученики делали раньше. Однако теперь стандарты для 8-х классов и старших классов используют преобразования, чтобы помочь учащимся понять соответствие и сходство, и согласованы с их ожиданиями в отношении обучения учащихся.Их внимание сосредоточено не столько на выполнении преобразований, сколько на том, как они способствуют пониманию учащимися отношений между фигурами. Мы хотим, чтобы учащиеся не только могли изобразить, скажем, отражение прямоугольника над линией, но и объяснить, чем изображение этого прямоугольника похоже на оригинал или не похоже на него. Что мы знаем об изображении этого прямоугольника на основе того, что мы знаем об исходной фигуре и свойствах преобразований?

Отражения, переводы и вращения: основы

Прежде чем мы продолжим, давайте сделаем паузу и определим, что мы подразумеваем под отражением, перемещением и вращением.Эти идеи сложно описать словами, поэтому мы начнем с некоторых приблизительных определений, а затем рассмотрим несколько иллюстраций. ²

• Грубо говоря, отражение переносит фигуру (например, точку, линию, сегмент линии, многоугольник или круг) с одной стороны линии (называемой линией отражения) на другую сторону. Например, на диаграмме ниже △ ABC переводится в A’B’C ’за счет отражения от линии DE.

• Грубо говоря, перевод берет фигуру по определенному вектору.Например, на диаграмме ниже △ ABC теперь переводится в A’B’C ’путем перевода вдоль вектора DE.

• Грубо говоря, при вращении фигура вращается вокруг точки (называемой центром вращения) на фиксированный угол. В качестве последнего примера на диаграмме ниже △ ABC переводится в A’B’C ’поворотом на 90 ° по часовой стрелке.

• В совокупности эти три преобразования иногда называют основными жесткими движениями из-за того, как они «жестко» перемещают фигуру по плоскости, сохраняя длины сегментов и.(Позже в этом руководстве мы обсудим нежесткую трансформацию: расширение.)

Запоминание точного определения каждого преобразования не имеет значения. Лучше, если учащиеся попробуют каждое из преобразований, а затем разработают свои собственные определения, чтобы обработать свойства каждого из них. Поначалу следует ожидать таких слов, как «перевернуть», «скользить» и «повернуть». Однако они не охватывают все идеи, изложенные в стандарте, и студентам скоро придется пересмотреть их с более подробными сведениями.Все учащиеся должны уметь сказать, например, что отражение сохраняет расстояния по линиям и сегментам, а также меры углов. Они также должны заметить, что расстояние между каждой точкой на фигуре и линией отражения остается неизменным при отражении фигуры. На проработку всех трех жестких движений может уйти несколько дней — можно было бы сосредоточиться на одном в день, — но это время потрачено не зря, если учащиеся способны определить и четко сформулировать свойства каждой трансформации.

Понимание свойств отражений, перемещений и вращений

Студенты должны начать изучение конгруэнтности с практического опыта: пробовать на себе отражение, переводы и повороты, а также описывать свойства фигур при этих преобразованиях. (8.G.A.1) Лучшие инструменты для этого — прозрачные пластиковые пленки (для диапроекторов) или калька — могут показаться устаревшими, но они справляются со своей задачей. Существуют программные пакеты, которые позволяют учащимся легко экспериментировать с преобразованиями (GeoGebra — один из популярных продуктов, доступный бесплатно в Интернете), но многие учителя на собственном опыте считают, что для учащихся лучше сначала осязать все жесткие движения. .

Давайте взглянем на примерный план урока, чтобы увидеть, как может выглядеть введение одного типа трансформации. Этот план урока имеет дело с отражениями, но базовая структура будет работать так же хорошо для переводов или вращения.

8 класс, модуль 2, урок 4: пример 1

Отражение поперек линии определяется с помощью следующего примера.

• Пусть 𝐿 — вертикальная линия, а 𝑃 и 𝐴 — две точки, не лежащие на 𝐿, как показано ниже. Кроме того, пусть 𝑄 — точка на.(Черный прямоугольник обозначает границу бумаги.)

• Ниже приводится описание того, как отражение перемещает точки 𝑃, 𝑄 и 𝐴, используя прозрачность.

• Точно проведите линию 𝐿 и три точки на прозрачной пленке, используя красный цвет. (Обязательно используйте прозрачную пленку того же размера, что и бумага.)
• Удерживая бумагу неподвижной, переверните прозрачную пленку поперек вертикальной линии (меняя местами левую и правую), удерживая вертикальную линию и точку 𝑄 над их черными изображениями.
• Положение красных фигур на прозрачности теперь представляет собой отражение исходной фигуры. Отражение (𝑃) — это точка, представленная красной точкой слева от 𝐿, Отражение (𝐴) — это красная точка справа от 𝐿, а точка Отражение (𝑄) — это сама точка.
• Обратите внимание, что точка не изменяется из-за отражения.

8 класс, Модуль 2, Урок 4 Доступно по адресу engageny.org/resource/grade-8-mat Mathematics-module-2-topic-lesson-4; по состоянию на 29 мая 2015 г.Авторские права © 2015 Great Minds. UnboundEd не связан с правообладателем этой работы.

HideShow

Читая, имейте в виду, что этот урок является частью модуля, в котором для преобразований используется формальный язык и обозначения (включая обозначения функций). Стандарты не требуют обозначения функций в 8-м классе, и вы, возможно, не захотите знакомить учащихся с формальными терминами в первый день — это нормально. Что мы действительно хотим подчеркнуть, так это то, как этот урок знакомит студентов с концепцией отражения:

• Урок начинается с практического упражнения с прозрачными пленками.Учащиеся могут увидеть, как отражение определяет точки изображения, и, вероятно, сразу начнут замечать взаимосвязь между каждой точкой и ее изображением. Возможно, будет лучше, если их первая попытка будет не на координатной плоскости; правила построения графиков могут отвлекать студентов от изучения фундаментальных свойств отражений.

• Студенты пробуют еще несколько упражнений. На данный момент прозрачности еще не ожидается. Одно упражнение включает горизонтальную линию отражения, а другое включает фигуру с вершиной на линии отражения — оба хороших варианта для учащихся.

• В упражнениях 3-5 задаются важные вопросы, которые побуждают студентов сформулировать ключевые идеи стандарта. Их просят сравнить размеры углов и длины сегментов и заметить, что они совпадают. Это поможет им формализовать эти свойства на следующем этапе урока. (Эти идеи могут быть записаны на «якорной диаграмме», которая висит в классе для остальной части модуля.)

• Дополнительные примеры позволяют учащимся применять новые концепции.

Ожидайте, что студенты будут регулярно использовать свои прозрачные пленки в течение первых нескольких дней. В конце концов, они начнут развивать интуитивное ощущение того, как будет выглядеть каждое преобразование, и будут все меньше и меньше полагаться на прозрачность. Это «шестое чувство» того, как будет выглядеть изображение фигуры, — это то, к чему вы стремитесь, и оно позволит учащимся впоследствии представить себе решения всех видов проблем.

Сравнение

После того, как учащиеся изучат свойства каждого жесткого движения отдельно, они могут перейти к размышлениям о конгруэнтности и случаях, когда одна фигура переносится на другую с помощью последовательности жестких движений.(8.G.A.2) Оглядываясь на стандарт, мы видим, что он состоит из двух частей:

1. Учащиеся должны понимать, что одна фигура соответствует другой, если одну можно сопоставить с другой серией жестких движений.
2. Учащиеся должны уметь описывать последовательность жестких движений, которые переводят одну фигуру в другую.

Первая часть означает, что учащиеся должны разработать определение конгруэнтности, основанное на преобразованиях, и уметь объяснять, почему две фигуры совпадают, основываясь на свойствах жестких движений.(Обратите внимание, что это отличается от традиционного определения конгруэнтности «та же форма, тот же размер».) Вторая часть в значительной степени означает то, что она говорит: учащиеся должны уметь подробно описывать преобразования, которые переводят одну фигуру в другую. . Это задание представляет собой пример:

конгруэнтных треугольников

Два треугольника на картинке ниже совпадают:

1. Задайте последовательность поворотов, перемещений и / или отражений, которые изменяют 𝑃𝑅𝑄 на △ 𝐴𝐵𝐶.
2. Можно ли показать сравнение в части (а), используя только сдвиги и вращения? Объяснять.

«Конгруэнтные треугольники» от Illustrative Mathematics под лицензией CC BY 4.0.

HideShow

Это задание носит учебный характер — то есть с того, что является началом урока и приводит к новым идеям по мере его выполнения учащимися. Дайте его учащимся, когда они ознакомятся с жесткими движениями, и они быстро заметят, что ни одно преобразование не сделает этого — им придется использовать более одного.Поощряйте студентов быть точными в своих объяснениях. Если вы видите отражение, где должна быть линия отражения? Если вы видите перевод, по какому вектору? Может возникнуть большая дискуссия, когда студенты поделятся несколькими решениями проблемы.

После того, как учащиеся решат проблему, вы можете представить тот факт, что PQR точно отображается в ABC посредством перевода и отражения (или других, более сложных последовательностей), без пропусков или перекрытий. Поскольку они использовали только жесткие преобразования (которые не меняют меры углов или длину сегментов) для получения одной фигуры из другой, мы можем сказать, что они совпадают.С этого момента вы хотите, чтобы учащиеся использовали это определение конгруэнтности, и если их попросят продемонстрировать соответствие двух фигур, они должны будут делать это посредством преобразований.

Расширения

Жесткие преобразования и их связь с конгруэнтностью потребуется некоторое время, чтобы закрепиться. Затем пришло время ввести понятие сходства, которое включает в себя еще одно дополнительное преобразование — расширение. (8.G.A.4) Как и выше, мы начнем с приблизительного определения, а затем поясним с помощью некоторых иллюстраций.Грубо говоря, растяжение — это преобразование фигуры (такой как точка, линия, отрезок линии, многоугольник или окружность) в другую фигуру с определенным масштабным коэффициентом. При расширении расстояние между фиксированной точкой (называемой центром расширения) и расширяемым объектом становится длиннее или короче пропорционально масштабному коэффициенту. В приведенных ниже примерах показаны два расширения △ ABC с центром в точке P, одно с масштабным коэффициентом больше 1, а другое с масштабным коэффициентом меньше 1.

Как мы видим, растянутые фигуры можно отнести к большим или меньшим изображениям, в зависимости от масштабного коэффициента.Это поднимает важный момент: «Расширение» имеет особое математическое значение, отличное от его значения в повседневном английском (где оно означает просто увеличение, а не сокращение). Студентам может потребоваться некоторое время, чтобы приспособиться к этому новому использованию знакомого слова, но просмотр примеров с масштабными коэффициентами различной величины поможет процессу.

Так же, как и в случае жестких движений, учащиеся должны иметь некоторый практический опыт с расширениями и должны использовать этот опыт для разработки все более точных определений расширения.Вы можете использовать прозрачные пленки для такого упражнения, но лучшими инструментами могут быть линейка или циркуль: учащиеся могут измерить расстояние от каждой точки фигуры до центральной точки. Затем они могут попытаться, например, умножить эти длины на коэффициент масштабирования 2, чтобы получить растяжение. (Точно так же они могут попробовать с коэффициентом масштабирования 1/2.) Этот план урока знакомит студентов с заданием, в котором это достигается с помощью компаса.

8 класс, Модуль 3, Урок 2: Пример 1

Вернитесь к своей гипотезе или посмотрите наш список классов.Какие предположения оказались верными? Откуда вы знаете?

• Ответы могут отличаться в зависимости от предположений, сделанных классом. Учащиеся должны понять, что гипотеза о прямом отображении линии под растяжением верна.

Как вы думаете, что произойдет, если мы выберем другое место для центра или для точек 𝑃 и 𝑄?

• Точки 𝑂, 𝑃 и 𝑄 — произвольные точки. Это означает, что они могли быть где угодно в самолете. По этой причине результаты будут такими же; то есть расширение все равно будет давать линию, и линия будет параллельна оригиналу.

Посмотрите на рисунок еще раз и представьте, что с помощью нашей прозрачности мы переводим сегмент 𝑂𝑃 вдоль вектора 𝑂𝑃 в сегмент 𝑃𝑃 ’и переводим сегмент 𝑂𝑄 вдоль вектора 𝑂𝑄 в сегмент 𝑄𝑄‘. Обладая этой информацией, не могли бы вы сказать что-нибудь еще о строках 𝐿 и 𝐿 ’?

• Поскольку 𝑃 и 𝑄 являются произвольными точками на прямой 𝐿, а переводы отображают прямые в параллельные, когда вектор не параллелен исходной прямой или не является ее частью, мы можем сказать, что 𝐿 параллельна 𝐿 ’.

8 класс, Модуль 3, Урок 2 Доступно на сайте engageny.организация / ресурс / 8-й класс-модуль-математики 3-тема-урок-2; по состоянию на 29 мая 2015 г. Авторские права © 2015 Great Minds. UnboundEd не связан с правообладателем этой работы.

HideShow

Опять же, вы можете использовать любые имеющиеся у вас инструменты для подобной деятельности. Студенты могут использовать линейки для измерения расстояний от центра расширения или они могут использовать прозрачные пленки для отслеживания расстояний. В результате они развивают интуицию относительно того, как работают дилатации, и могут отвечать на множество дополнительных вопросов.Например, как изменение масштабного коэффициента влияет на изображение фигуры? Как перемещение центра расширения влияет на изображение фигуры? Что произойдет, если центр расширения находится внутри, на или за пределами фигуры? Что даст расширение с коэффициентом масштабирования 1? Любой из них может вызвать интересное обсуждение и помочь студентам лучше понять, как расширения ведут себя в различных условиях.

Сходство

Обретя интуитивное представление о том, как работают расширения, учащиеся могут определять сходство и описывать серию преобразований подобия.(8.G.A.4) Как и в случае с конгруэнтностью, здесь преследуется двоякая цель; студенты должны:

1. Поймите сходство с точки зрения жестких движений и расширений.
2. Опишите последовательность преобразований подобия.

Можно начать с такой задачи:

Вы можете использовать это задание точно так же, как оно есть, или вы можете использовать его как учебное задание, чтобы представить идею подобия посредством жестких движений и растяжений. В этом случае мы могли бы немного упростить вопрос: «Не могли бы вы сопоставить маленькую стрелку с большой, используя жесткие движения и растяжения? Поясните свой ответ.«Есть несколько способов сделать это, как показано в разделе решения задачи, и это возможность для обстоятельного обсуждения. После того, как будут разработаны несколько методов, вы можете объяснить учащимся, что они только что показали, что эти фигуры похожи, потому что мы смогли перенести одну фигуру на другую с помощью отражений, перемещений, вращений и растяжений. Это становится определением сходства. (Обратите внимание, что это отличается от определения сходства «та же форма, разный размер», с которым учащиеся могут быть знакомы.Дело не в том, что эти две фигуры связаны серией преобразований и похожи друг на друга; скорее, они похожи, потому что связаны серией трансформаций. Другими словами, как только мы установили последовательность преобразований, мы установили сходство.)

Конгруэнтно, похоже или и то, и другое?

Студентам важно понимать, что совпадение и сходство не исключают друг друга; это не тот случай, когда две фигуры — это одно, а не другое. Фактически, если две фигуры совпадают, они также похожи.Чтобы понять, почему, вспомните определение подобия: одна фигура похожа на другую, если она может быть получена последовательностью отражений, перемещений, вращений и расширений. Любое из рассмотренных выше преобразований конгруэнтности также будет соответствовать этому определению — две задействованные фигуры будут конгруэнтными, но также будут соответствовать критериям подобия.

Переход к координатной плоскости

Первые встречи учащихся с каждым преобразованием (включая растяжения) не обязательно должны происходить в координатной плоскости.Фактически, введение каждого преобразования в «синтетический» контекст (без использования координат, как в приведенных выше примерах) часто позволяет студентам сосредоточиться на свойствах самих преобразований, не беспокоясь об условных обозначениях координатной плоскости. Это также хорошее напоминание о том, что вселенная преобразований — это гораздо больше, чем просто подмножество, которое мы можем описать с помощью целочисленных координат. (Студенты также склонны разрабатывать «правила» для выполнения преобразований в координатной плоскости — например, «переключать значения x и y» для поворота на 180 градусов — на этом не должно быть особого внимания в раннем обучении.Вспомните, как в нашем вводном плане урока по поворотам не было координатных сеток.) ​​

Однако в какой-то момент учащиеся должны уметь работать с преобразованиями на координатной плоскости и четко описывать эффекты определенных преобразований, используя координаты. (8.G.A.3) По сути, этот стандарт заключается в том, чтобы взять все, что студенты узнали о преобразованиях в целом, и применить его к задачам на координатной плоскости. Разнообразие подразумеваемых здесь проблем огромно, и представить исчерпывающую выборку просто невозможно.Но давайте рассмотрим одно задание в качестве примера того, как ученики совершают прыжок на координатную плоскость:

Опять же, это только один пример, но давайте внимательно его рассмотрим. Помимо твердого понимания свойств преобразований и базового понимания координатной плоскости, учащиеся также должны быть знакомы с уравнениями горизонтальных линий. (Если вы еще не закончили свой год, ничего страшного; учащиеся все равно могут выполнять аналогичную задачу, включая отражение по оси абсцисс.) Если у них есть все это, они могут приступить к решению. Не нужно много времени, чтобы понять, что эта проблема устойчива к грубой силе; даже если бы лист миллиметровой бумаги размером 2 000 x 2 000 квадратов действительно существовал, потребовалась бы целая вечность, чтобы изобразить затронутую точку и отразить ее. Вместо этого им придется применить некоторые идеи об отражениях: в частности, что расстояние между точкой и линией отражения равно расстоянию между ее изображением и линией отражения. Студенты могут попробовать две стратегии:

• Попросите их создать грубый набросок координатной плоскости или части плоскости, чтобы помочь им визуализировать ситуацию.Тогда они смогут увидеть, что (1000, 2012) на 12 единиц выше y = 2000, поэтому отраженная точка будет на 12 единиц ниже y = 2000. Более того, отражение вообще не будет перемещать изображение влево или вправо. , поэтому координата x обеих точек будет одинаковой. Эти две подсказки позволят им собрать решение.

• Попросите их подумать о более простом случае, например, отразить точку (1, 10) над линией y = 8. Затем попросите их связать решение более простой проблемы с исходным вопросом.Цифры будут немного другими, но процесс останется прежним.

В обоих случаях студенты получают гибкое понимание того, как работают преобразования, и применяют это к определенным точкам и расстояниям на координатной плоскости.

Частные случаи сравнения: поперечины и треугольники

На первый взгляд последний стандарт в кластере 8.G.A может показаться неуместным. Как мы перешли от трансформаций к трансверсалиям? И какое отношение все это имеет к углам треугольника? Эти идеи — преобразования, трансверсалии и треугольники — долгое время рассматривались и преподавались как отдельные идеи.Но теперь все они понимаются как взаимосвязанные. (8.G.A.5) Чтобы увидеть, как преобразования связаны с трансверсалиями, давайте взглянем на этот урок:

8 класс, Модуль 2, Урок 12: Исследовательское задание 2

На рисунке ниже ‖ и 𝑚 являются поперечными. С помощью транспортира измерьте углы 1–8. Перечислите равные углы.

∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = и ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8

а. Что вы обратили на меры 1 и 5? Как вы думаете, почему это так? (При необходимости используйте прозрачность.)

∠𝟏 и ∠𝟓 равны по размеру. Мы можем перенести ∠𝟏 вдоль вектора на прямой так, чтобы вершина ∠𝟏 отображалась на вершину. Переводы сохраняют угол, поэтому два угла будут совпадать.

г. Что вы заметили по меркам №3 и №7? Как вы думаете, почему это так? (При необходимости используйте прозрачность.) Есть ли другие пары углов с таким же соотношением? Если да, перечислите их.

∠𝟑 и ∠𝟕 равны по размеру. Мы можем перенести ∠𝟑 вдоль вектора на прямой так, чтобы вершина ∠𝟑 отображалась на вершину.Переводы сохраняют угол, поэтому два угла будут совпадать. Другие пары углов с таким же соотношением — это ∠𝟒 и ∠𝟖, а также ∠𝟐 и ∠𝟔.

г. Что вы заметили в мерах №4 и №6? Как вы думаете, почему это так? (При необходимости используйте прозрачность.) Есть ли еще пара углов с такими же отношениями?

Размеры ∠𝟒 и ∠𝟔 равны. Поворот на 𝟏𝟖𝟎 ° вокруг центра отобразит ∠𝟒 в ∠𝟔. Вращения сохраняют угол, поэтому мы знаем, что и ∠𝟔 равны.∠𝟑 и ∠𝟓 имеют одинаковые отношения.

8 класс, Модуль 2, Урок 12 Доступно по адресу engageny.org/resource/grade-8-mat Mathematics-module-2-topic-c-lesson-12; по состоянию на 29 мая 2015 г. Авторские права © 2015 Great Minds. UnboundEd не связан с правообладателем этой работы.

HideShow

Как мы видим, ученики используют транспортир для измерения и определения отношений между углами. Затем они возвращаются к знакомому инструменту (прозрачности) из своей работы с преобразованиями, чтобы понять, почему существуют эти отношения.Последующее обсуждение особенно интересно: учащиеся должны заметить, как соотносятся соответствующие углы при переводе одного угла в другой. Точно так же альтернативные внутренние углы связаны поворотом одного угла на 180 градусов к другому. Фактически, это математическая основа идей, которые когда-то часто давались ученикам средней школы только как постулаты («альтернативные внутренние углы совпадают» и т. Д.). Потратив время на изучение причин, лежащих в основе этих угловых отношений, учащиеся с большей вероятностью запомнят их и в будущем будут использовать свои знания.

В прошлом другой идеей, которую часто преподавали изолированно и давали студентам в качестве постулата, была сумма внутренних углов треугольника. Но после того, как ученики поймут углы, образованные трансверсалиями в свете трансформаций, они смогут объяснить, откуда взялась эта идея. Чтобы увидеть, как это сделать, давайте рассмотрим эту задачу.

Как объясняется в решении задачи, учащиеся могут развить неформальный аргумент, что a + b + c = 180, используя отношения альтернативных внутренних углов, чтобы установить, что три соседних угла на диаграмме имеют меры a, b и c, и что вместе эти три угла образуют прямой угол.Это непростой аргумент, но он не выходит за пределы досягаемости учащихся 8-го класса. Если ваши ученики имеют ограниченный опыт выполнения заданий, требующих такого рода рассуждений и объяснений, могут быть полезны несколько эшафотов, которые помогут им полностью погрузиться в идеи. вовлеченный. Например, если у ваших учеников есть проблемы с измерениями углов, заданными как переменные, вы можете начать с треугольника с целыми числами углов. Вы также можете попросить их повторить ту же технику (удлинить одну сторону, а затем построить параллельную линию через противоположную вершину) на другом треугольнике с целочисленными углами, а затем перейти к «общему» треугольнику, показанному выше.А для второй части задания учащимся, не привыкшим объяснять свое мышление, может быть полезно начать с одного или двух предложений в начале своего ответа.

Последняя идея, которую студенты готовы объяснить с помощью преобразований, — это критерий угол-угол для подобия треугольника. В этом задании учащиеся задают серию вопросов, призванных увести их от конкретного случая к более общему предложению.

Подобные треугольники II

Треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝑃𝑄𝑅 ниже имеют две пары совпадающих углов, как показано на рисунке:

1. Объясните, используя расширения, сдвиги, отражения и / или вращения, почему △ 𝑃𝑄𝑅 похоже на △ 𝐴𝐵𝐶.

2. Конгруэнтны ли углы 𝐶 и?

3. Можете ли вы показать сходство частично без использования отражения? А как насчет использования дилатации? Объяснять.

4. Предположим, что 𝐷𝐸𝐹 и 𝐾𝐿𝑀 — два треугольника с 𝑚 (∠𝐷) = 𝑚 (∠𝐾) и 𝑚 (∠𝐸) = 𝑚 (∠𝐿). Подобны ли треугольники 𝐷𝐸𝐹 и 𝐾𝐿𝑀?

«Подобные треугольники II» от Illustrative Mathematics под лицензией CC BY 4.0.

HideShow

Части (a), (b) и (c) этого задания основаны на понимании учащимися преобразований подобия.Затем в Части (d) им, как и в двух предыдущих задачах, предлагается обобщить. Имея «общую» пару треугольников с двумя парами конгруэнтных углов, могут ли они показать сходство? Опять же, учащимся, не привыкшим объяснять свое мышление, могут понадобиться строительные леса. Им могут быть полезны некоторые возможные диаграммы DEF и KLM, чтобы увидеть, что точные трансформации не так важны, как тот факт, что некоторая последовательность жестких движений и растяжений переводит один треугольник в другой.Также могут быть полезны одно или два начала предложения. Как и в случае с любой из этих задач, цель состоит не в том, чтобы избавиться от необходимого обоснования, а в том, чтобы дать учащимся другой способ увидеть, о чем их просят подумать и объяснить.

Теорема Пифагора

Другая большая идея, дебютировавшая в геометрии 8-го класса, — это теорема Пифагора. Стандарты, связанные с теоремой Пифагора, также являются частью основной работы этой степени. Учитывая уравнения, с которыми студенты столкнутся при решении задач по теореме Пифагора, такие как c2 = 25 и a2 = 17, может иметь смысл преподавать эти стандарты после того, как учащиеся освоятся с квадратными и кубическими корнями (8.EE.A.2) и работать с иррациональными числами. (8.NS.A.1) (Подробнее о взаимосвязи между стандартами в Части 2 этого руководства.) Однако независимо от того, как вы решите последовательность обучения, важно понимать, что ряд стандартов средней школы зависит от знания Теорема Пифагора, поэтому ученики обязательно должны получить это содержание в 8 классе.

Стандарты, связанные с теоремой Пифагора, сгруппированы в другой кластер (называемый 8.G.B, поскольку это второй кластер геометрических стандартов в 8-м классе).Давайте посмотрим, что они говорят.

8.G.B | Поймите и примените теорему Пифагора.

Опять же, порядок стандартов не указывает порядок, в котором они должны преподаваться. Но в этом случае имеет смысл начать с доказательства теоремы Пифагора (8.G.B.6), а затем перейти к решению различного рода задач (8.G.B.7 и 8.G.B.8).

Прежде чем мы начнем говорить о стандартах в этом кластере, давайте выделим две важные идеи в центр внимания.

• Теорема Пифагора гласит: если треугольник прямоугольный, длины катетов равны a и b, а длина гипотенузы равна c, тогда a2 + b2 = c2.
• Обратное к теореме Пифагора также верно: если треугольник имеет стороны длиной a, b и c и a2 + b2 = c2, то этот треугольник является прямоугольным.

В прошлом эта тема часто представлялась студентам, давая им формулу (названную выше: a2 + b2 = c2) и объясняя, что означают переменные.Затем инструкция вращалась вокруг относительно простых задач, в которых учащимся давали две стороны прямоугольного треугольника и они должны были найти третью. Такое решение проблем все еще происходит, но Стандарты начинают с того, что студентов просят объяснить доказательство теоремы Пифагора и ее обращения. (8.G.B.6) Поступая так, они узнают две важные вещи:

• Теорема Пифагора описывает отношения между сторонами прямоугольного треугольника (а не только формулу). Когда учащиеся понимают природу отношений и могут выразить их вербально (а также в алгебраических терминах), они готовы применять это в более широком диапазоне ситуаций и расширять свое обучение позже.
• Обращение теоремы Пифагора так же полезно, как и сама теорема. Студенты узнают, что они могут использовать теорему не только тогда, когда они знают, что у них есть прямоугольный треугольник, но и когда им нужно установить, что треугольник является прямоугольным.

Итак, откуда взялась теорема Пифагора? На самом деле существует много разных доказательств, некоторые из них более сложные, чем другие. Эти разные доказательства основаны на разных техниках и приводят разные причины того, что теорема Пифагора верна.В этом уроке используется доказательство «квадрат в квадрате» с использованием площади, начиная с этого:

8 класс, Модуль 2, Урок 15: Обсуждение

Первое доказательство теоремы Пифагора требует знания некоторых основных фактов о геометрии.

1. Конгруэнтные треугольники имеют равные площади.
2. Все соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.
3. Теорема о сумме треугольника. (∠ сумма △)

1. Для прямоугольных треугольников сумма двух углов, не являющихся прямыми, составляет 90 °.(∠ сумма рупий △)

Далее мы рассмотрим то, что называется квадратом внутри квадрата. Внешний квадрат имеет длину сторон (a + b), а внутренний квадрат — длину сторон c. Наша цель — показать, что + =

Для достижения этой цели мы сравниваем общую площадь внешнего квадрата с частями, из которых он состоит, то есть четырьмя треугольниками и меньшим внутренним квадратом.

8 класс, Модуль 2, Урок 15 Доступно по адресу engageny.org/resource/grade-8-mat Mathematics-module-2-topic-d-lesson-15; по состоянию на 29 мая 2015 г.Авторские права © 2015 Great Minds. UnboundEd не связан с правообладателем этой работы.

HideShow

Остальная часть доказательства, которую вы можете увидеть в плане урока, помогает студентам понять, что внутренняя фигура на самом деле является квадратом, а затем использует вычисление площади для вывода формулы. Если вы собираетесь использовать этот план урока, подумайте о том, какой объем поддержки вы хотите оказать — возможно, учащиеся смогут сами пройти через некоторые доказательства и закончить под вашим руководством, или, может быть, им нужно больше структуры.(Одно предупреждение: алгебра, задействованная в этом последнем вычислении, включает в себя умножение двух биномов, что не требуется до старшей школы. Возможно, вам придется помочь ученикам применить свойство распределения этим новым способом.) В любом случае они понимают что теорема Пифагора включает аспект области, который полезен для интерпретации определенных типов прикладных проблем.

Применение теоремы Пифагора для решения задач

Как только учащиеся поймут происхождение теоремы Пифагора, они перейдут к решению проблем.(8.G.B.7) Первоначально учащиеся могут решать задачи, содержащие только целые числа, чтобы сосредоточиться на интерпретации ситуации в терминах прямоугольного треугольника и выполнении точных вычислений. (Приведенный выше план урока включает несколько примеров этих задач вводного уровня.) Эта задача требует немного большей интерпретации.

Бег по футбольному полю

Во время игры плей-офф дивизиона 2005 года между «Денвер Бронкос» и «Патриоты Новой Англии» игрок «Бронко» Чемпион Бэйли перехватил Тома Брэди у линии ворот (см. B в кружке).Он пробежал мяч почти до другой линии ворот. Бен Уотсон из «Патриотов Новой Англии» (см. Обведенную букву W) погнался за Чемпом и выследил его прямо перед другой линией ворот.

На изображении ниже каждая метка равна одному ярду: обратите внимание, что поле имеет ширину 53 ярда.

1. Как можно использовать диаграмму и теорему Пифагора, чтобы приблизительно определить, сколько ярдов пробежал Бен Ватсон, чтобы выследить Чемпа Бейли?

2. Используйте теорему Пифагора, чтобы приблизительно определить, сколько ярдов пробежал Уотсон в этой пьесе.

3. Какой игрок побежал дальше во время этой игры? Примерно на сколько ярдов больше?

«Бег по футбольному полю» от Illustrative Mathematics под лицензией CC BY 4.0.

HideShow

Студентам может потребоваться прочитать задачу несколько раз, чтобы понять, что представляет каждая часть диаграммы. И, как видите, некоторые оценки в порядке. Учитывая, что все поле составляет 100 ярдов в длину и 53 1/2 ярда в ширину, каковы примерно длины сторон этого почти треугольника? Как только учащиеся смогут увидеть прямоугольный треугольник и его размеры, эта проблема станет очень решаемой.

Определение расстояний на координатной плоскости

Студенты также должны использовать теорему Пифагора для определения расстояний на координатной плоскости. (8.G.B.8) Это действительно конкретный вариант проблем, которые мы только что обсудили; студенты учатся интерпретировать две точки на координатной плоскости как определяющие гипотенузу прямоугольного треугольника. Эта проблема возникает из вводного урока по этой идее.

8 класс, модуль 7, урок 17: пример 1

Каково расстояние между двумя точками на координатной плоскости? Округлите свой ответ до десятого места.

8 класс, Модуль 7, Урок 17 Доступно по адресу engageny.org/resource/grade-8-mat Mathematics-module-7-topic-c-lesson-17; по состоянию на 29 мая 2015 г. Авторские права © 2015 Great Minds. UnboundEd не связан с правообладателем этой работы.

Прежде чем приступить к этой задаче, учащиеся сталкиваются с последовательностью вопросов, в которых они находят длину некоторых горизонтальных и вертикальных сегментов, понимая, что длина сегмента на координатной плоскости — это просто количество квадратов, которые он покрывает.Более того, они видят, что невозможно определить расстояние диагонального сегмента путем подсчета квадратов. Затем эта конкретная проблема представляется как вызов, и у студентов есть время, чтобы поработать над ней. (Скорее всего, когда они будут даны в контексте раздела по теореме Пифагора, ряд студентов подумают о применении своих новых знаний здесь. В идеале, студенты должны быть в состоянии объяснить своим сверстникам, как нарисовать прямоугольный треугольник из этих точек. и определите требуемую длину.)

После такой задачи ученики должны попрактиковаться в нахождении расстояния между точками в разных квадрантах координатной плоскости, а также расстояния между двумя точками, заданными в виде упорядоченных пар, а не нанесенными на плоскость.(Если вас интересует задача, которая может помочь им в этом, ознакомьтесь с разделом «Определение расстояния между точками» в «Иллюстративной математике». Комментарии и решения дают некоторые идеи о том, как ученики могут двигаться, чтобы найти расстояние между двумя точками. конкретные пронумерованные точки на общий случай любых двух пар координат.)

Роль математических практик

Стандарты включают не только знания и навыки; они также признают необходимость для студентов заниматься некоторыми важными практиками математического мышления и общения.Эти «Математические практики» имеют свой собственный набор стандартов, которые содержат те же основные цели для классов K-12. ³ (Идея состоит в том, что учащиеся должны с годами развивать одни и те же умственные привычки все более изощренными способами.) Но вместо того, чтобы быть «просто еще одним делом» для учителей, которые они могут использовать в своих классах, практики — это способы помочь учащимся прийти на глубокое концептуальное понимание, необходимое в каждом классе. Другими словами, практики помогают учащимся усвоить содержание.В таблице ниже приведены несколько примеров того, как математические практики могут помочь учащимся понять и применить концепции геометрии в 8-м классе.

Подкаст: важность математических практик с Эндрю Ченом и Питером Коу (начало 30:33, конец 43:39)

https://soundcloud.com/unboundedu/the-mat Mathematics-standards-and-shifts/s-tqwCA

Преобразования: связь с выражениями и уравнениями

Преобразования имеют решающее значение для понимания еще одной важной работы для 8-го класса: наклона. ⁴ Студенты сначала сталкиваются с наклоном на графиках пропорциональных отношений, понимая его как единичную скорость отношения. (Эта концепция впервые была разработана в 7-м классе.) Но почему же наклон линии постоянный? Этот вопрос часто остается незамеченным. Один из способов понимания — это применение подобия: каждая линия на координатной плоскости подразумевает любое количество похожих «наклонных треугольников» с пропорциональными сторонами. (8.EE.B.6) Это задание показывает один пример того, как студенты могут подойти к этой концепции.

Откосы между точками на прямой

Наклон между двумя точками вычисляется путем нахождения изменения значений y и деления на изменение значений x. Например, наклон между точками (7, -15) и (-8, 22) можно вычислить следующим образом:

• Разница значений y составляет -15-22 = -37.
• Разница в значениях x составляет 7 — (−8) = 15.
• Разделив эти две разницы, мы обнаружим, что наклон равен -.

Ева, Карл и Мария вычисляют наклон между парами точек на линии, показанной ниже.

Ева находит наклон между точками (0,0) и (3,2). Карл находит наклон между точками (3,2) и (6,4). Мария находит наклон между точками (3,2) и (9,6). Каждый из них нарисовал треугольник, чтобы помочь в расчетах (показано ниже).

1. Какой ученик какой треугольник нарисовал? Завершите расчет уклона для каждого ученика. Как можно геометрически интерпретировать различия в значениях x и y на изображениях, которые они нарисовали?

2. Рассмотрим любые две точки (,) и (,) на линии, показанной выше.Нарисуйте треугольник, как треугольники, нарисованные Евой, Карлом и Марией. Какой наклон между этими двумя точками? Почему этот уклон должен быть таким же, как и уклон, рассчитанный тремя учениками?

«Уклоны между точками на линии» от Illustrative Mathematics под лицензией CC BY 4.0.

HideShow

Как отмечено в решении, треугольники в этом задании спроектированы таким образом, чтобы учащиеся могли легко определить их как похожие, используя серию жестких движений и растяжений.Поскольку любой один треугольник на прямой можно перевести в другой, больший или меньший, путем сдвига и растяжения, они должны быть похожими. Таким образом, учащиеся могут продемонстрировать, что наклон между любыми двумя точками на любой заданной линии будет одинаковым. (Это более дедуктивный и математически верный способ понять наклон линии, чем просто наблюдение того, что наклон между несколькими парами точек на одной конкретной прямой оказывается одинаковым.)

Теорема Пифагора: связь с выражениями и уравнениями и системой счисления

Теорема Пифагора тесно связана с работой в области системы счисления (NS) и выражений и уравнений (EE).Стандарты EE являются частью основной работы 8-го класса, в то время как стандарты NS определены как «вспомогательная» работа, поскольку они могут усилить и расширить основные темы.

В 8-м классе стандарты NS знакомят учащихся с иррациональными числами (числами типа √2, которые нельзя выразить дробями), (8.NS.A.1), а стандарты EE предоставляют учащимся простые уравнения, такие как x2 = 8 и y3 = 27, которые включают решение с квадратными и кубическими корнями. (8.EE.A.2) Поскольку применение теоремы Пифагора естественным образом порождает уравнения этого типа, решение задач в контексте прямоугольных треугольников представляет собой сходимость двух стандартов.Возьмем, к примеру, нашу задачу из стандарта 8.G.B.8 выше:

Когда учащиеся решают, они получают уравнение 22 + 62 = c2, и их решение выглядит примерно так:

22 + 62 = с2

4 + 36 = с2

40 = с2

√40 = с

Основываясь на работе со стандартом 8.NS.A.1, ученик 8 класса должен уметь сказать, что √40 — это число от 6 до 7, потому что 40 — это число от 36 (62) до 49 (72). Отсюда они могут сделать вывод, что оно меньше 6.5, потому что 40 ближе к 36, чем к 49, и, используя последовательные приближения, найдите, что это около 6,3. Оглядываясь назад на проблему, которая включает в себя расстояния в 2 единицы и 6 единиц для участков, это разумная длина, которую можно ожидать для гипотенузы.

Откуда берутся совпадение и сходство?

Хотя конгруэнтность и сходство начинаются в 8-м классе, более фундаментальные геометрические концепции должны развиваться в начальных и средних классах. Еще в детском саду они начинают думать о длине и классификации форм.(K.G.A.2) Оценка 4 оказывается критически важной для работы с конгруэнтностью и сходством: понятие угловой меры определено (4.MD.C.5), как точки, линии, сегменты и лучи. (4.G.A.1) В 5 классе учащиеся изучают координатную плоскость и наносят точки в первом квадранте. (5.G.A.1) Затем в 6 классе учащиеся расширяют свои знания о системе счисления, включая отрицательные числа, тем самым открывая всю координатную плоскость. (6.NS.C.8) Работа на координатной плоскости продолжается в 7 классе, (7.RP.A.2), а учащиеся решают задачи с использованием масштабных чертежей. (7.G.A.1) Хотя эти задачи не требуют формального понимания сходства с точки зрения трансформаций, они дают студентам возможность работать с парами похожих фигур и масштабных коэффициентов.

Подкаст: важность согласованности с Эндрю Ченом и Питером Коу (начало 9:34, конец 26:19)

https://soundcloud.com/unboundedu/the-mat Mathematics-standards-and-shifts/s-tqwCA

Откуда взялась теорема Пифагора?

Теорема Пифагора также является новой для 8-го класса.Хотя он не требует длительного обучения, некоторые основные требования все же применяются:

• Учащимся нужно будет привыкнуть к экспоненциальной системе счисления с 6-го класса, чтобы понять алгебраическую формулу. (6.EE.A.1)
• Как отмечалось выше, учащимся необходим опыт решения уравнений для 6, 7 и 8 классов, чтобы решать задачи с помощью теоремы Пифагора. (6.EE.B.7, 7.EE.B.4, 8.EE.A.2)
• Как и преобразования, твердое понимание теоремы Пифагора опирается на элементарные геометрические понятия, такие как длина и угловая мера.(4.G.A.1)

Рекомендации для студентов, отстающих от

Если, переходя к разделу по конгруэнтности и сходству, вы знаете, что ваши ученики не имеют твердого представления об упомянутых выше идеях (или вообще не сталкивались с ними), что вы можете сделать? Непрактично (и даже не желательно) заново преподавать все, что ученики должны были выучить в 4–7 классах; в 8-м классе есть много нового материала, поэтому необходимо сосредоточить внимание на стандартах для этого класса. В то же время есть стратегические способы свести «незавершенное обучение» к предыдущим оценкам в рамках единицы на соответствие.Вот несколько идей по адаптации вашей инструкции, чтобы восполнить пробелы.

• Если значительное число учащихся не полностью понимают углы или другие элементарные концепции, вы можете запланировать один или два урока, посвященных этим идеям, прежде чем приступить к преподаванию содержания на уровне своего класса. (Здесь могут быть полезны два урока для 4-го класса, один по измерению угла, а другой по различению длины и измерения угла.) Если вы считаете, что весь урок — это слишком много, вы можете спланировать короткий «мини-урок» или использовать некоторые задачи, связанные с этими идеями в качестве разминки для ваших первых нескольких уроков по конгруэнтности.
• Если значительное число студентов не имеют опыта работы с координатной плоскостью или еще не могут точно нанести точки, вы можете запланировать урок или серию разминок по этой идее, прежде чем начинать работу с преобразованиями на координатной плоскости. (Этот урок для 6-го класса по рисованию многоугольников на координатной плоскости может стать хорошим источником проблем для этого типа уроков.)
• Если значительное число учащихся не могут свободно определять и описывать геометрические фигуры (точки, линии, отрезки и т. Д.)), вы можете запланировать мини-урок или серию разминок, чтобы просмотреть их в течение первых нескольких дней модуля, включающего трансформации. (Этот урок для 4-го класса, который вводит только что упомянутые термины, содержит простое введение в эти идеи, и задачи, следующие за уроком, также могут быть полезны.)

Куда идут эти концепции?

Конгруэнтность и сходство долгое время были важными идеями в старшей школе, и, как объяснялось выше, преобразования сейчас являются центральными в понимании этих идей.Один из первых опытов школьников по геометрии — разработка точных определений жестких движений. (G-CO.A.4) Использование преобразований позволяет студентам устанавливать критерии конгруэнтности для треугольников (G-CO.B.8) и дает им инструмент для использования при доказательстве теорем. (G-CO.C) Когда учащиеся понимают конгруэнтность, они готовы решать задачи, связанные с конгруэнтными фигурами, (G.SRT.B.5) исследовать отношения внутри треугольников (G-C.A.2) и доказывать утверждения, используя координаты. (G-GPE.Б.4) В будущем они столкнутся с более специализированными приложениями конгруэнтности; Например, принцип Кавальери зависит от знания того, что означает совпадение поперечных сечений двух разных фигур. (G-GMD.A.1) Сходство включает в себя аналогичный процесс и ведет к изучению тригонометрии. G-SRT.C.9 Последняя ступень прогрессии показывает, как работа в 8 классе ведет к поступлению в среднюю школу.

Поздравляем, если вы только что закончили все это руководство! Надеюсь, он был информативным, и вы сможете вернуться к нему в качестве справочного материала при планировании уроков, создании модулей или оценке учебных материалов.Для получения дополнительных руководств из этой серии посетите нашу страницу с инструкциями по улучшению. Чтобы узнать больше о том, как вы можете использовать эти руководства в своей повседневной практике, посетите нашу страницу часто задаваемых вопросов. И если вам интересно узнать больше о конгруэнтности, сходстве и теореме Пифагора в 8-м классе, не забудьте эти ресурсы:

Партнеры по успеваемости учащихся: в центре внимания 8-й класс

Hung-Hsi Wu: преподавание геометрии в соответствии с общими базовыми стандартами

EngageNY: 8 класс, материалы модуля 2 (соответствие)

EngageNY: 8 класс, материалы модуля 3 (сходство)

EngageNY: 8 класс, модуль 7 Материалы (теорема Пифагора)

Иллюстративная математика 8 класс Задания

1.Что такое руководство по содержанию?

Работая с высокими академическими стандартами, мы часто слышим, как преподаватели спрашивают: «Как выглядит обучение в соответствии со стандартами?» Наши руководства по содержанию стремятся ответить на этот вопрос, предоставляя подробный обзор одного или нескольких групп математических стандартов за раз. Руководства по содержанию ориентированы на классы и области содержания, и есть руководства для каждого класса или курса, от детского сада до алгебры II. Если вы хотите узнать больше об обучении соотношениям и пропорциональным отношениям в 6 классе, например, в нашем соответствующем Руководстве по содержанию вы найдете исчерпывающее, но доступное объяснение этих стандартов, несколько примеров открытых образовательных ресурсов (OER), которые соответствуют стандартам, и конкретные предложения в поддержку обучения в 6-х классах соотношению и пропорциональному мышлению.

Наша цель при создании Руководств по содержанию состояла в том, чтобы предоставить занятым учителям практический и легкий для чтения ресурс о том, что говорится в стандартах математики на уровне класса, а также примеры учебных материалов, которые поддерживают концептуальное понимание, решение проблем и т. Д. и процедурные навыки и беглость для студентов.

Важно отметить, что руководства по содержанию не предназначены для использования в качестве учебной программы (или какого-либо документа, предназначенного для учащихся), руководства или исходного материала для мероприятий по подготовке к экзаменам или какого-либо инструмента оценки учителей.

2. Что в Руководстве по содержанию?

Каждое руководство по содержанию ориентировано на определенную группу стандартов. Большинство руководств по содержанию имеют одинаковую структуру из трех частей:

• Часть 1 разъясняет навыки и понимание учащихся, описанные в этой группе стандартов. Этот раздел иллюстрирует стандарты с использованием нескольких заданий для учащихся из свободно доступных онлайн-источников. Учителя могут использовать или адаптировать эти задания для своих учеников.

• Часть 2 объясняет, как эта группа стандартов связана с другими стандартами того же класса.Мы подчеркиваем, как эти связи имеют значение для планирования и обучения и как согласованность внутри класса может улучшить доступ учащихся. Часть 2 также включает в себя несколько студенческих задач из свободно доступных онлайн-источников.

• Часть 3 отслеживает отдельные этапы обучения, ведущие к содержанию уровня класса, обсуждаемому в конкретном Руководстве по содержанию. Это обсуждение переходит в серию конкретных и практических предложений о том, как учителя могут использовать прогрессии для обучения учащихся, которые могут быть не подготовлены к математике на уровне своего класса.Наконец, в части 3 прослеживается переход к содержанию в более высоких классах.

3. Как я могу использовать руководства по содержанию?

Учителя, прочитавшие наши руководства по содержанию, говорят, что они видят преимущества для всех преподавателей. Вот несколько предложений о том, как разные преподаватели могут их использовать.

Учителя могут использовать руководства по математике для:

• Повысьте или освежите свои знания о стандартах и ​​ожиданиях в отношении того, что студенты должны знать к концу года.
• Адаптируйте уроки и разделы, используя соответствующие предварительные условия, для поддержки учащихся, отстающих от своего класса.
• Получите доступ к наилучшим доступным ООР по математике, чтобы использовать его для введения и / или укрепления концепций
• Убедитесь, что их учебная программа и / или единицы:
  • Сосредоточьтесь на основной работе класса и соответствующей глубине каждого стандарта.
  • Ориентируйтесь на соответствующие аспекты строгости — процедурные навыки и беглость, моделирование и применение, а также концептуальное понимание, описываемое стандартами.
  • Помогите учащимся наладить взаимосвязь между классами и учениками.
• Создавайте или пересматривайте свои уроки и вопросы, чтобы сосредоточиться на важных концепциях стандартов.

Инструкторы и руководители школ могут использовать руководства по математике по адресу:

• Обновите или расширите свои знания о стандартах и ​​ожиданиях того, что студенты должны знать к концу года.
• Развивайте и сообщайте согласованные ожидания в отношении планирования уроков и обучения в соответствии со стандартами.
• Предоставьте ссылку при планировании и / или обсуждении обучения с учителями.
• Получите представление о том, как должны выглядеть инструкции и работа учащихся, чтобы соответствовать требованиям стандартов.
• Разработка и проектирование содержания и семинаров / семинаров по профессиональному развитию, основанных на стандартах.
• Стимулируйте содержательные, основанные на стандартах дискуссии между сотрудниками и повышайте уровень их знаний.
• Разрабатывать и / или пересматривать планы улучшения школы, чтобы поддерживать и включать содержание и практическое обучение и обучение.

4. Почему именно Руководства по содержанию?

Переход на более высокие стандарты привел к тому, что учителя по всей стране внесли существенные изменения в свое планирование и обучение, но только одна треть учителей считает, что они готовы помочь своим ученикам пройти более строгие экзамены в соответствии со стандартами (Kane et. др., 2016). Этого следовало ожидать, потому что новые высокие стандарты существенно отличаются от прежних стандартов. Стандарты требуют более глубокого понимания математического содержания, которое они преподают; различный прогресс в том, что учащимся необходимо выучить, в каком классе; а также различная педагогика, которая в равной степени подчеркивает концептуальное понимание учащимися, решение проблем и беглость процедур.

Однако поддержка учителей в обеспечении высоких стандартов в своих классах отстала. Исследования показывают, что подготовка учителей в США в настоящее время недостаточна для подготовки учителей к преподаванию требовательных новых стандартов (Центр исследований в области математики и естественнонаучного образования, 2010 г.). И хотя существуют некоторые ресурсы, которые «распаковывают» стандарты, немногие, если таковые имеются, объясняют, и иллюстрируют стандартов. «Распаковка» стандартов один за другим также может привести к разрозненному представлению, которое не учитывает структуру и последовательность стандартов.Создавая руководства по содержанию, мы стремились предоставить занятым учителям практичный, легкий для чтения ресурс, посвященный стандартам их класса и тому, как помочь всем учащимся усвоить их. Существует множество эмпирических доказательств того, что, когда учителя обладают как глубокими знаниями математического содержания, которое они преподают, так и педагогическими знаниями, которые помогают учащимся усвоить эти знания, их ученики усваивают больше (Baumert et. Al., 2010; Hill, Rowan and Ball , 2005; Rockoff et. Al., 2008). Имея в руках руководства по содержанию, мы надеемся, что учителя добьются большего успеха в помощи своим ученикам в достижении их готовности к поступлению в колледж и карьеры.

5. Какая связь между руководствами по содержанию и прогрессом?

Документы Progressions описывают развитие понимания математики от класса к классу. Они были основаны на исследованиях познавательного развития детей, а также логической структуры математики. Прогрессии объясняют, почему стандарты упорядочены именно так. Руководства по содержанию часто выделяют ключевые идеи из «Прогрессов», но не добавляют новых стандартов или меняют ожидания относительно того, что студенты должны знать и уметь делать; они стремятся объяснить и проиллюстрировать группу стандартов одновременно с использованием свободно доступных онлайн-источников.Хотя задачи и уроки OER в Руководствах по содержанию — это один из способов соответствовать стандартам уровня класса, они не единственное средство для этого.

6. Как отбирались ресурсы?

Мы выбрали типовые задания и уроки из свободно доступных онлайн-источников, таких как EngageNY, Illustrative Mathematics и Student Achievement Partners, чтобы проиллюстрировать стандарты. Эти источники выбраны потому, что они полностью соответствуют новым высоким стандартам, основанным на национальном обзоре учебных программ K-12, или созданы организациями, возглавляемыми авторами новых высоких стандартов.Кроме того, поскольку они являются открытыми образовательными ресурсами (ООР), они доступны для любого использования. Все материалы UnboundEd также являются OER, что является частью нашего стремления сделать высококачественный, согласованный контент доступным для всех преподавателей.

7. Почему Руководства по содержанию содержат лишь несколько стандартов? Где остальные стандарты?

В каждом руководстве по содержанию рассматривается подмножество стандартов оценки. Стандарты, рассматриваемые в первом наборе руководств по содержанию для каждой степени, обычно относятся к высокоприоритетному содержанию; эти стандарты также часто являются хорошим выбором для обучения в начале года.Более подробную информацию о выборе стандартов можно найти во введении к каждому Руководству по содержанию. Со временем мы разработаем дополнительные руководства по содержанию для каждого класса и обновим существующие. Мы планируем иметь четыре руководства по содержанию для каждого класса или курса, от детского сада до алгебры II. Справочники будут публиковаться волнами, каждая из которых будет состоять из одного справочника для каждого уровня. Мы планируем выпустить второй набор руководств по содержанию для каждого класса к концу 2016-17 учебного года.

8.Как я могу быть в курсе новых руководств по содержанию?

Если вы хотите получать обновления о контенте и событиях от UnboundEd, включая новые руководства по контенту, подпишитесь на объявления UnboundEd здесь.

Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей или программного обеспечения для работы с геометрией.

Поймите и примените теорему Пифагора.

Используйте аналогичные треугольники, чтобы объяснить, почему угол наклона m одинаков между любыми двумя разными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение y = mx для линии, проходящей через начало координат, и уравнение y = mx + b для линии, пересекающей вертикальную ось в точке b.Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей или программного обеспечения для работы с геометрией.

Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей или программного обеспечения для работы с геометрией.

Проверьте экспериментально свойства вращений, отражений и перемещений:

Линии преобразуются в линии, а сегменты линий — в сегменты линии одинаковой длины.Углы принимаются к углам той же меры.

Параллельные прямые переходят в параллельные.

Поймите, что двухмерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений и перемещений; учитывая две совпадающие фигуры, опишите последовательность, которая демонстрирует соответствие между ними.Опишите влияние расширений, перемещений, вращений и отражений на двумерные фигуры с помощью координат.

Поймите, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.Используйте неформальные аргументы, чтобы установить факты о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образующихся, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол.

Проверьте экспериментально свойства вращений, отражений и перемещений:

Поймите, что двухмерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений и перемещений; учитывая две совпадающие фигуры, опишите последовательность, которая демонстрирует соответствие между ними.Поймите, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.

Опишите влияние расширений, перемещений, вращений и отражений на двумерные фигуры с помощью координат.Используйте неформальные аргументы, чтобы установить факты о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образующихся, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол.

Проверьте экспериментально свойства вращений, отражений и перемещений:

Поймите, что двухмерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений и перемещений; учитывая две совпадающие фигуры, опишите последовательность, которая демонстрирует соответствие между ними.Поймите, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.

Поймите, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.Опишите влияние расширений, перемещений, вращений и отражений на двумерные фигуры с помощью координат.

Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей или программного обеспечения для работы с геометрией.

Используйте неформальные аргументы, чтобы установить факты о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образующихся, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол.Используйте символы квадратного корня и кубического корня для представления решений уравнений вида x² = p и x³ = p, где p — положительное рациональное число. Вычислите квадратные корни из маленьких полных квадратов и кубические корни из маленьких идеальных кубов. Знайте, что √2 иррационально.

Знайте, что нерациональные числа называются иррациональными. Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; для рациональных чисел показывают, что десятичное представление в конечном итоге повторяется, и преобразует десятичное представление, которое повторяется в конечном итоге, в рациональное число.Поймите и примените теорему Пифагора.

Поймите и примените теорему Пифагора.

Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращения.

Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон прямоугольных треугольников в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях.Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.

Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращения.

Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон прямоугольных треугольников в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях.

Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращения.

Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон прямоугольных треугольников в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях.

Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.

Создавайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.Ищите и используйте структуру.

Рассуждайте абстрактно и количественно.

Используйте аналогичные треугольники, чтобы объяснить, почему угол наклона m одинаков между любыми двумя разными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение y = mx для линии, проходящей через начало координат, и уравнение y = mx + b для линии, пересекающей вертикальную ось в точке b.Знайте, что нерациональные числа называются иррациональными. Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; для рациональных чисел показывают, что десятичное представление в конечном итоге повторяется, и преобразует десятичное представление, которое повторяется в конечном итоге, в рациональное число.

Используйте символы квадратного корня и кубического корня для представления решений уравнений вида x² = p и x³ = p, где p — положительное рациональное число.Вычислите квадратные корни из маленьких полных квадратов и кубические корни из маленьких идеальных кубов. Знайте, что √2 иррационально.

Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.

Знайте, что нерациональные числа называются иррациональными. Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; для рациональных чисел показывают, что десятичное представление в конечном итоге повторяется, и преобразует десятичное представление, которое повторяется в конечном итоге, в рациональное число.Правильно называйте фигуры независимо от их ориентации или общего размера.

Распознавайте углы как геометрические фигуры, которые образуются там, где два луча имеют общую конечную точку, и понимайте концепции измерения углов:

Нарисуйте точки, линии, отрезки, лучи, углы (прямые, острые, тупые), а также перпендикулярные и параллельные линии. Обозначьте их на двухмерных фигурах.Используйте пару перпендикулярных числовых линий, называемых осями, для определения системы координат, при этом пересечение линий (начало координат) совпадает с нулем на каждой линии и заданной точкой на плоскости, расположенной с помощью упорядоченной пары числами, названными его координатами. Помните, что первое число указывает, как далеко нужно пройти от начала координат в направлении одной оси, а второе число указывает, как далеко нужно пройти в направлении второй оси, с условием, что имена двух осей и координаты соответствуют (e.g., ось x и координата x, ось y и координата y).

Решайте реальные и математические задачи, отображая точки во всех четырех квадрантах координатной плоскости. Включите использование координат и абсолютного значения для поиска расстояний между точками с одинаковой первой координатой или одинаковой второй координатой.

Признать и представить пропорциональные отношения между количествами.

Решение проблем, связанных с масштабными чертежами геометрических фигур, включая вычисление фактической длины и площади на основе масштабного чертежа и воспроизведение масштабного чертежа в другом масштабе.Напишите и оцените числовые выражения, включающие целочисленные показатели.

Решайте реальные и математические проблемы, записывая и решая уравнения вида x + p = q и px = q для случаев, когда p, q и x являются неотрицательными рациональными числами.

Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.Используйте символы квадратного корня и кубического корня для представления решений уравнений вида x² = p и x³ = p, где p — положительное рациональное число. Вычислите квадратные корни из маленьких полных квадратов и кубические корни из маленьких идеальных кубов. Знайте, что √2 иррационально.

Нарисуйте точки, линии, отрезки, лучи, углы (прямые, острые, тупые), а также перпендикулярные и параллельные линии. Обозначьте их на двухмерных фигурах.Разработайте определения поворотов, отражений и перемещений в терминах углов, окружностей, перпендикулярных линий, параллельных линий и отрезков линий.

Объясните, как критерии конгруэнтности треугольника (ASA, SAS и SSS) вытекают из определения конгруэнтности в терминах жестких движений.

Докажите геометрические теоремы

Используйте критерии конгруэнтности и подобия треугольников для решения задач и доказательства взаимосвязи в геометрических фигурах.Определите и опишите отношения между вписанными углами, радиусами и хордами.

Используйте координаты для алгебраического доказательства простых геометрических теорем.

Неформально аргументируйте формулы для длины окружности, площади круга, объема цилиндра, пирамиды и конуса.

Иллюстративное пособие по математике для 8-го класса — Учителя

Рассказ

Ученики начинают 8-й класс с трансформационной геометрии.Они изучают жесткие преобразования и конгруэнтность, затем растяжения и подобие (это дает основу для понимания наклона линии в координатной плоскости). Затем они основывают свое понимание пропорциональных отношений с 7 класса, чтобы изучить линейные отношения. Они выражают линейные отношения с помощью уравнений, таблиц и графиков и устанавливают связи между этими представлениями. Они расширяют свои возможности работы с линейными уравнениями с одной и двумя переменными. Основываясь на своем понимании решения уравнения с одной или двумя переменными, они понимают, что подразумевается под решением системы уравнений с двумя переменными.Они узнают, что линейные отношения — это пример особого вида отношений, называемых функцией. Они применяют свое понимание линейных отношений и функций к контекстам, включающим данные с изменчивостью. Они расширяют определение показателей степени, включая все целые числа, и в процессе кодифицируют свойства показателей. Они узнают о порядках величин и научных обозначениях, чтобы представлять и вычислять очень большие и очень маленькие количества. Они впервые сталкиваются с иррациональными числами и неформально расширяют рациональную систему счисления до действительной системы счисления, мотивированные своей работой с теоремой Пифагора.

Раздел 1: Жесткие преобразования и сравнение

Работа с преобразованиями плоских фигур в 8 классе опирается на более ранние работы с геометрией и геометрическими измерениями. Учащиеся начали изучать двумерные и трехмерные формы в детском саду и продолжили эту работу в 1 и 2 классах, составляя, разлагая и идентифицируя формы. Работа студентов с геометрическим измерением началась с длины и продолжилась площадью. Студенты научились «структурировать двумерное пространство», то есть видеть прямоугольник с целочисленными длинами сторон, состоящий из массива единичных квадратов или состоящий из повторяющихся строк или повторяющихся столбцов единичных квадратов.В 3 классе ученики различали периметр и площадь. Они соединили площадь прямоугольника с умножением, понимая, почему (для целых сторон) умножение длин сторон прямоугольника дает количество единичных квадратов, которые покрывают прямоугольник. Они использовали диаграммы с областями для представления экземпляров распределительного свойства. В 4 классе учащиеся применяли формулы площади и периметра для прямоугольников для решения реальных и математических задач и научились использовать транспортиры. В 5 классе ученики расширили формулу площади прямоугольников до прямоугольников с дробными длинами сторон.В 6 классе учащиеся объединили свои знания в области геометрии и геометрических измерений, чтобы составить формулы для площади параллелограммов и треугольников, используя эти формулы для определения площади поверхности многогранников. В 7 классе ученики работали с масштабированными копиями и масштабными чертежами, узнав, что размеры углов сохраняются в масштабированных копиях, но площади увеличиваются или уменьшаются пропорционально квадрату масштабного коэффициента. Их изучение масштабированных копий ограничивалось парами фигур с одинаковым вращением и зеркальной ориентацией.С точки зрения 8-го класса масштабированная копия — это расширение и перемещение, а не вращение или отражение другой фигуры.

В 8 классе ученики распространяют свои рассуждения на плоские фигуры с различным вращением и зеркальной ориентацией.

Посредством заданий, разработанных и упорядоченных, чтобы позволить учащимся понять проблемы и упорно их решать (MP1), учащиеся используют и расширяют свои знания по геометрии и геометрическим измерениям. Они начинают раздел с просмотра пар мультфильмов, каждый из которых иллюстрирует перевод, поворот или отражение.Учащиеся своими словами описывают, как переместить одну мультяшную фигуру на другую. По мере продвижения модуля они укрепляют свое понимание этих преобразований, повышают точность своих описаний (MP6) и начинают использовать связанную терминологию, распознавая, что определяет каждый тип преобразования, например, две точки определяют перевод.

На первых нескольких уроках учащиеся сталкиваются с примерами преобразований в плоскости без дополнительной структуры сетки или координат.Причина этого выбора состоит в том, чтобы избежать ограничения схемы учащихся, показывая наименее ограничительные примеры преобразований. В частности, ученики видят примеры переводов в любом направлении, поворотов на любой угол и отражений над любой произвольной линией. Благодаря этим примерам они начинают понимать особенности этих преобразований, не ограничивая свое понимание, например, горизонтальным или вертикальным перемещением или поворотом только на 90 или 180 градусов. Кроме того, благодаря использованию прозрачных пленок, учащиеся вначале понимают, что такое трансформации, и предполагает перемещение всей плоскости, а не просто перемещение определенной фигуры.Поскольку все преобразования являются преобразованиями плоскости, учащимся рекомендуется сначала столкнуться с примерами, которые включают перемещение всей плоскости.

Они идентифицируют и описывают смещения, вращения и отражения, а также их последовательности. При описании изображений фигур при жестких преобразованиях на квадратной сетке и вне ее, а также на координатной плоскости учащиеся используют термины «соответствующие точки», «соответствующие стороны» и «изображение». Студенты узнают, что углы и расстояния сохраняются при любой последовательности перемещений, вращений и отражений, и что такая последовательность называется «жестким преобразованием».\ circ \). Последний будет использован в следующем блоке 8-го класса по сходству и расширению. На протяжении всего модуля ученики обсуждают свои математические идеи и откликаются на идеи других (MP3, MP6).

Многие уроки этого раздела просят студентов поработать над геометрическими фигурами, не относящимися к реальному контексту. Этот выбор дизайна учитывает значительную интеллектуальную работу по рассуждению о местности. Задачи, поставленные в контексте реального мира, иногда являются надуманными и скорее мешают, чем помогают пониманию.Более того, математические контексты — это законные контексты, заслуживающие изучения. У студентов действительно есть возможности в отделении для решения реальных приложений. В завершающей стадии занятия студенты исследуют и создают различные узоры, образованные плоскими фигурами. Это возможность для них применить то, что они узнали в модуле (MP4).

В этом разделе несколько планов уроков предполагают, что каждый учащийся имеет доступ к набору геометрических инструментов . Они содержат кальку, миллиметровую бумагу, цветные карандаши, ножницы, линейку, транспортир и учетную карточку для использования в качестве линейки или для обозначения прямых углов, что дает учащимся возможность развивать свои способности для выбора подходящих инструментов и стратегического использования их для решения задач. (MP5).Обратите внимание, что даже учащиеся в классе с цифровым расширением должны иметь доступ к таким инструментам; приложения и моделирование следует рассматривать как дополнение к их инструментам, а не как замену физическим инструментам.

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык для математических целей, таких как описание, обобщение и обоснование. \ circ \) (Урок 8)

Выровнять

• , могут ли жесткие преобразования создать изображение (Урок 7)
• , конгруэнтны ли формы (Урок 11)
• , совпадают ли многоугольники (Урок 12)
• , совпадают ли овалы (Урок 13)
• , можно ли создавать треугольники из заданных угловых измерений (Урок 15)

Кроме того, ожидается, что студенты объяснят и интерпретируют инструкции по преобразованию фигур и о том, как применять преобразования для поиска определенных изображений.Студентам также предлагается использовать язык для сравнения поворотов линейного сегмента и сравнения периметров и площадей прямоугольников. В ходе этого модуля учителя могут поддерживать математическое понимание учащихся, расширяя (а не упрощая) язык, используемый для всех этих целей, по мере того, как учащиеся демонстрируют и развивают идеи.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме.Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Блок 2: Расширения, сходство и вводный наклон

Работа с преобразованиями плоских фигур в 8 классе основана на более ранней работе с геометрией и геометрическими измерениями, основанной на знакомстве учащихся с геометрическими фигурами, их знании формул для площадей прямоугольников, параллелограммов и треугольников, а также их умении пользоваться линейками и транспортиры. Особенно актуальна 7 класс работа с масштабированными копиями.Эта работа была ограничена парами фигур с одинаковым вращением и зеркальной ориентацией (т.е. которые не являются вращениями или отражениями друг друга). В 8 классе ученики изучают пары масштабированных копий, которые имеют разное вращение или зеркальное отражение, исследуя, как один член пары может быть преобразован в другой, и описывая эти преобразования. Первоначально они рассматривают преобразования как перемещение одной фигуры в плоскости на другую фигуру в плоскости. По мере продвижения отряда они начинают рассматривать преобразования как перемещение всей плоскости.

Посредством заданий, разработанных и упорядоченных, чтобы позволить учащимся понять проблемы и упорно их решать (MP1), учащиеся используют и расширяют свои знания по геометрии и геометрическим измерениям. Учащиеся начинают первый урок модуля с просмотра вырезанных фигур, сначала сравнивая их визуально, чтобы определить, являются ли они копиями друг друга в масштабе, затем представляют фигуры на диаграмме и, наконец, представляют их на круговой сетке с радиальными линиями. . Они сталкиваются с термином «масштабный коэффициент» (знакомым по 7-му классу) и новыми терминами «расширение» и «центр расширения».На следующем уроке ученики снова используют круговую сетку с радиальными линиями, чтобы понять, что при растяжении изображение круга представляет собой круг, а изображение линии — линию, параллельную исходной. Во время остальной части модуля ученики рисуют изображения фигур в растяжениях на квадратной сетке и вне ее, а также на координатной плоскости. При описании соответствий между фигурой и ее расширением они используют термины «соответствующие точки», «соответствующие стороны» и «изображение». Учащиеся узнают, что размеры углов сохраняются при растяжении, но длина изображения умножается на коэффициент масштабирования.Они изучают определение «похожего»: две фигуры считаются подобными, если существует последовательность перемещений, вращений, отражений и растяжений, которая переводит одну фигуру в другую. Они используют определение «сходства» и свойства подобных фигур, чтобы оправдать заявления о сходстве или несходстве и аргументировать подобные фигуры (MP3). Используя эти свойства, студенты приходят к выводу, что если два треугольника имеют два общих угла, то треугольники должны быть похожими. Студенты также приходят к выводу, что частное пары длин сторон в треугольнике равно частному соответствующих длин сторон в аналогичном треугольнике.Этот вывод используется в следующем уроке: учащиеся изучают термины «наклон» и «треугольник наклона» и используют сходство треугольников наклона на одной линии, чтобы понять, что любые две различные точки на прямой определяют один и тот же наклон (MP7 ). На следующем уроке учащиеся используют свои знания об уклоне, чтобы найти уравнение для прямой. Они будут строить эту первоначальную работу с уклоном в следующем блоке 8-го класса по линейным отношениям. На протяжении всего модуля ученики обсуждают свои математические идеи и откликаются на идеи других (MP3, MP6).

Многие уроки этого раздела просят студентов поработать над геометрическими фигурами, не относящимися к реальному контексту. Этот выбор дизайна учитывает значительную интеллектуальную работу по рассуждению о местности. Задачи, поставленные в контексте реального мира, иногда являются надуманными и скорее мешают, чем помогают пониманию. Более того, математические контексты — это законные контексты, заслуживающие изучения. У студентов действительно есть возможности в отделении для решения реальных приложений. На завершающем этапе занятия студенты исследуют тени, отбрасываемые объектами на Солнце.Это возможность применить то, что они узнали о похожих треугольниках (MP4).

В этом разделе несколько планов уроков предполагают, что каждый учащийся имеет доступ к набору геометрических инструментов . Каждый набор инструментов содержит кальку, миллиметровую бумагу, цветные карандаши, ножницы, линейку, транспортир и учетную карточку для использования в качестве линейки или для обозначения прямых углов, что дает учащимся возможность развивать свои способности выбирать подходящие инструменты и стратегически использовать их для решения проблемы (MP5).Обратите внимание, что даже учащиеся в классе с цифровым расширением должны иметь доступ к таким инструментам; приложения и моделирование следует рассматривать как дополнение к их инструментам, а не как замену физическим инструментам.

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык в математических целях, таких как описание, объяснение, представление и обоснование. На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками.Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Описать

• наблюдений о масштабированных прямоугольниках (Урок 1)
• наблюдений за расширенными точками, кругами и многоугольниками (Урок 2)
• последовательностей преобразований (Урок 6)
• наблюдений о длинах сторон в подобных треугольниках (Урок 9)

Объяснить

• как применять дилатацию для поиска определенных изображений (Урок 5)
• как определить, совпадают ли треугольники, сходны или нет (Урок 8)
• стратегий поиска недостающих длин сторон (Урок 9)
• как применять растяжения для поиска определенных изображений точек (Урок 12)
• аргументы в пользу гипотезы (Урок 13)

Представлять

• растяжений с использованием заданных масштабных коэффициентов и координат (Урок 4)
• фигур с использованием специфических преобразований (Урок 6)
• графиков линий с использованием уравнений (Урок 12)

Кроме того, ожидается, что учащиеся будут использовать язык для интерпретации указаний для расширения фигур и для создания треугольников; сравнить расширенные многоугольники и методы определения сходства; критика рассуждений об углах, сторонах и сходстве; обосновать, похожи ли полигоны; и обобщить информацию о точках на прямой и подобных треугольниках.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме. Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за уроком, на котором он был впервые введен.

Раздел 3: Линейные отношения

Работа с линейными отношениями в 8 классе основана на более ранней работе со ставками и пропорциональными отношениями в 7 классе, а работа 8 класса с геометрией.В конце предыдущего раздела, посвященного расширению, учащиеся выучили термины «наклон» и «треугольник наклона», использовали сходство треугольников наклона на одной линии, чтобы понять, что любые две различные точки на линии определяют один и тот же наклон, и нашли уравнение для прямой с положительным наклоном и вертикальным пересечением. В этом модуле учащиеся приобретают опыт работы с линейными отношениями и их представлениями в виде графиков, таблиц и уравнений с помощью заданий, разработанных и упорядоченных, чтобы позволить им разобраться в проблемах и упорно их решать (MP1).Из-за этой зависимости этот блок и предыдущий нужно выполнять по порядку.

Модуль начинается с пересмотра различных представлений пропорциональных отношений (графиков, таблиц и уравнений), а также роли константы пропорциональности в каждом представлении и того, как ее можно интерпретировать в контексте (MP2).

Затем учащиеся анализируют взаимосвязь между количеством чашек в данной стопке чашек и высотой стопки — взаимосвязь, которая является линейной, но не пропорциональной, — чтобы ответить на вопрос «Сколько чашек необходимо, чтобы достичь высоты». 50 см? » Их не просят решать эту проблему определенным образом, что дает им возможность выбирать и использовать стратегически (MP5) представления, которые появились ранее в этом блоке (таблица, уравнение, график) или в предыдущем блоке (уравнение, график).Студенты знакомятся с «скоростью изменения» как способом описать скорость на 1 в линейной зависимости и отмечают, что ее числовое значение совпадает с наклоном линии, которая представляет собой взаимосвязь. Учащиеся анализируют другую линейную зависимость (высота воды в цилиндре по сравнению с количеством кубиков в цилиндре) и определяют способ вычисления наклона линии из любых двух различных точек на линии с помощью повторных рассуждений (MP8). Они изучают третий способ получить уравнение для линейной зависимости, рассматривая график линии в координатной плоскости как вертикальное перемещение пропорциональной зависимости (MP7).

Пока что в блоке задействованы только линии с положительным наклоном и \ (y \) — пересечениями. Затем ученики рассматривают график линии с отрицательной точкой пересечения \ (y \) и уравнения, которые могут ее представить. Они рассматривают ситуации, представленные линейными отношениями с отрицательной скоростью изменения, составляют их график (MP4) и интерпретируют координаты точек на графиках в контексте (MP2).

Модуль завершается двумя уроками, которые включают построение графиков двух уравнений с двумя неизвестными, а также поиск и интерпретацию их решений (MP2).Это включает рассмотрение соответствий между различными представлениями (MP1), в частности, что означает, что пара значений является решением уравнения, и соответствие между координатами точек на графике и решениями уравнения.

В этом разделе несколько планов уроков предполагают, что каждый учащийся имеет доступ к набору геометрических инструментов . Каждый набор инструментов содержит кальку, миллиметровую бумагу, цветные карандаши, ножницы, линейку, транспортир и учетную карточку для использования в качестве линейки или для обозначения прямых углов, что дает учащимся возможность выбирать подходящие инструменты и стратегически использовать их для решения задач (MP5) .Обратите внимание, что даже учащиеся в классе с цифровым расширением должны иметь доступ к таким инструментам; приложения и моделирование следует рассматривать как дополнение к их инструментам, а не как замену физическим инструментам.

Об использовании терминов соотношение, ставка и пропорция. В этих материалах величина — это величина, которая является или может быть указана числом и единицей измерения, например, 4 апельсина, 4 сантиметра, «мой рост в футах» или «мой рост» (при том понимании, что необходимо выбрать единицу измерения).Термин отношение используется для обозначения связи между двумя или более величинами, а дроби \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {b} {a} \) никогда не называются отношениями. Дроби \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {b} {a} \) идентифицируются как «удельные ставки» для отношения \ (a: b \). Слово «за» используется со студентами при интерпретации удельной стоимости в контексте, например, «\ 3 доллара за унцию», а «по той же ставке» используется для обозначения ситуации, характеризующейся эквивалентными соотношениями.

В 6–8 классах учащиеся записывают расценки без сокращенных единиц измерения, например, «3 мили в час» или «3 мили за каждый 1 час».3 \).

Пропорциональное отношение — это набор эквивалентных соотношений. В старшей школе после изучения соотношений, показателей и пропорциональных соотношений ученики отбрасывают термин «единичная ставка», имея в виду от \ (a \) до \ (b \), \ (a: b \) и \ ( \ frac {a} {b} \) как «отношения».

Пропорциональная связь между двумя величинами, представленными \ (a \) и \ (b \), связана с двумя константами пропорциональности : \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {b} {а} \). На протяжении всего модуля принято, что если \ (a \) и \ (b \) представлены столбцами в таблице, а столбец для \ (a \) находится слева от столбца для \ (b \), то \ (\ frac {b} {a} \).- константа пропорциональности для отношения, представленного в таблице.

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык для математических целей, таких как представление, обобщение и объяснение. На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками. Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Представлять

• ситуаций, связанных с пропорциональными отношениями (Урок 1)
• константы пропорциональности по-разному (Урок 3)

Наклон

• с использованием выражений (Урок 7)
• линейных отношений с использованием графиков, таблиц, уравнений и словесных описаний (Урок 8)
• ситуаций с отрицательными наклонами и нулевыми наклонами (Урок 9)
• ситуаций путем построения линий и написания уравнений (Урок 12)
• ситуаций, связанных с линейными отношениями (Урок 14)

Обобщить

• категорий для графиков (Урок 2)
• об уравнениях и линейных связях (Урок 7)
• для прогнозирования наклона линий (Урок 10)

Объяснить

• как построить график пропорциональных отношений (Урок 3)
• как использовать график для определения информации о линейной ситуации (уроки 5 и 6)
• как построить график линейных отношений (Урок 10)
• как наклон соотносится с изменениями ситуации (Урок 11)

Кроме того, ожидается, что учащиеся опишут наблюдения за уравнением переведенной линии и опишут особенности уравнения, которые могут облегчить или усложнить решение одной переменной, чем другой.Студенты также будут иметь возможность использовать язык для интерпретации ситуаций, связанных с пропорциональными отношениями, интерпретации графиков с использованием различных шкал, интерпретации наклонов и пересечений линейных графиков, обоснования рассуждений о линейных отношениях, обоснования соответствий между различными представлениями и обоснования того, какие уравнения соответствуют графикам горизонтальных и вертикальные линии.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме.Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Раздел 4: Линейные уравнения и линейные системы

В этом модуле учащиеся на основе своих 6 и 7 классов работают с эквивалентными выражениями и уравнениями с одним вхождением одной переменной, изучают алгебраические методы решения линейных уравнений с несколькими вхождениями одной переменной.Учащиеся учатся использовать алгебраические методы для решения систем линейных уравнений с двумя переменными, опираясь на свои 7 и 8 классы работы с графиками и уравнениями линейных отношений. Понимание линейных отношений, в свою очередь, основано на понимании пропорциональных отношений, разработанных в 7 классе, которые связывали отношения и показатели с помощью линий и треугольников.

Раздел начинается с урока по «головоломкам с числами», в которых учащимся показывают диаграмму с числовыми линиями, на которой отображаются числовые изменения (например,g., как в 7 классе работа с числами со знаком) и попросили написать описания ситуаций и уравнений, которые могла бы отображать диаграмма. Затем студентам дается описание ситуаций, в которых неизвестная величина линейно связана с комбинацией известных величин, и их просят определить неизвестные величины любым доступным им способом, например, с помощью диаграмм или написания уравнений.

Во втором и третьем разделах модуля студенты пишут и решают уравнения, абстрагируясь от контекстов (MP2), чтобы представить проблемную ситуацию, указывая значения символов, которые представляют неизвестные (MP6), определяя предположения, такие как постоянная скорость (MP4) , выбор методов и представлений для использования при получении решения (MP5), обоснование для получения решения (MP1), интерпретация решений в контекстах, из которых они возникли (MP2), и запись их с соответствующими единицами (MP6), передача своих рассуждений другие (MP3) и определение соответствий между словесными описаниями, таблицами, диаграммами, уравнениями и графиками, а также между различными подходами к решению (MP1).

Второй раздел посвящен линейным уравнениям с одной переменной. Учащиеся анализируют «схемы подвесок», на которых изображены две совокупности форм, уравновешивающих друг друга. Предполагая, что одинаковые формы имеют одинаковый вес, они решают, какие действия по добавлению или удалению весов сохранят этот баланс. Имея диаграмму подвески, которая показывает один тип формы с неизвестным весом, они используют диаграмму и свое понимание баланса, чтобы найти неизвестный вес. Абстрагируя действия по добавлению или удалению весов, сохраняющих баланс (MP7), студенты формулируют аналогичные действия для уравнений, используя их вместе со своим пониманием эквивалентных выражений для разработки алгебраических методов решения линейных уравнений с одной переменной.Они анализируют группы линейных уравнений с одним неизвестным, отмечая, что они делятся на три категории: без решения, ровно одно решение и бесконечно много решений. Они узнают, что любое такое уравнение является ложным, истинным для одного значения переменной или (используя свойства операций) истинным для всех значений переменной. Получив описания реальных ситуаций, студенты пишут и решают линейные уравнения с одной переменной, интерпретируя решения в контексте, из которого возникли уравнения.

Третий раздел посвящен системам линейных уравнений с двумя переменными.Он начинается с заданий, призванных напомнить учащимся, что точка лежит на графике линейного уравнения тогда и только тогда, когда ее координаты делают уравнение истинным. Получив описание двух линейных отношений, учащиеся интерпретируют точки на своих графиках, включая точки на обоих графиках. Учащиеся классифицируют пары линейных уравнений, нанесенных на одни и те же оси, отмечая, что есть три категории: без пересечения (прямые и параллельные, без решения), ровно одно пересечение (прямые не параллельны, ровно одно решение) и одна и та же линия (бесконечно много решения).

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык в математических целях, таких как критика, обоснование и обобщение. На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками. Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Критика

• стратегии решения головоломок (Урок 1)
• рассуждения о поддержании баланса в уравнениях (Урок 3)
• решений линейных уравнений (Уроки 4 и 5)
• рассуждения о структурах систем уравнений (Урок 14)
• объяснений решений (Урок 16)

Выровнять

• стратегии решения головоломок (Уроки 1 и 5)
• предсказаний о поддержании баланса (Урок 2)
• предсказаний о решениях линейных уравнений (Урок 6)

Обобщить

• о структурах уравнений, имеющих одно, бесконечное и не имеющее решений (уроки 7 и 8)
• о структурах систем уравнений (Уроки 14 и 15)

Кроме того, ожидается, что студенты будут использовать язык для представления и интерпретации ситуаций, связанных с системами линейных уравнений, сравнения решений линейных уравнений и описания графиков систем линейных уравнений.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме. Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Раздел 5: Функции и том

В этом модуле учащиеся знакомятся с концепцией функции как отношения между «входами» и «выходами», в которых каждый допустимый вход определяет ровно один выход.В первых трех разделах модуля учащиеся работают с отношениями, знакомыми по предыдущим оценкам или модулям (формулы периметра, пропорциональные отношения, линейные отношения), выражая их как функции. В оставшихся трех разделах модуля учащиеся опираются на свои знания формулы объема правой прямоугольной призмы из 7-го класса, изучая формулы для объемов цилиндров, конусов и сфер. Учащиеся выражают функциональные взаимосвязи, описываемые этими формулами, в виде уравнений.Они используют эти отношения, чтобы рассуждать о том, как изменяется объем фигуры при изменении другого ее измерения, преобразуя алгебраические выражения для получения необходимой информации (MP1).

Первый раздел начинается с примеров «правил ввода-вывода», таких как «делить на 3» или «если даже, то. . . ; если нечетное, то. . . В этих примерах входные данные (неявно) являются числами, но студенты отмечают, что некоторые входные данные недопустимы для некоторых правил, например, \ (\ frac 12 \) не является четным или нечетным.Затем учащиеся работают с таблицами, в которых перечислены пары входов и выходов для правил, заданных «диаграммами входа-выхода», отмечая, что конечный список пар не обязательно определяет уникальное правило входа-выхода (MP6). Затем учащихся знакомят с термином «функция», описывающим взаимосвязь, при которой каждому допустимому входу назначается ровно один выход.

Во втором разделе учащиеся связывают термины «независимая переменная» и «зависимая переменная» (которые они выучили в 6 классе) с входами и выходами функции.Они используют уравнения для выражения зависимой переменной как функции независимой переменной, рассматривая формулы из более ранних оценок (например, \ (C = 2 \ pi r \)) как определяющие функции. Они работают с таблицами, графиками и уравнениями для функций, изучая соглашение, согласно которому независимая переменная обычно отображается на горизонтальной оси. Они работают с словесным описанием функции, возникающей из реальной ситуации, идентифицируют таблицы, уравнения и графики, которые представляют функцию (MP1), и интерпретируют информацию из этих представлений с точки зрения реальной ситуации (MP2).

Третий раздел модуля посвящен линейным и кусочно-линейным функциям. Учащиеся используют линейные и кусочно-линейные функции для моделирования отношений между величинами в реальных ситуациях (MP4), интерпретируя информацию из графиков и других представлений в терминах ситуаций (MP2). Уроки по линейным функциям дают студентам возможность координировать и синтезировать свое понимание новых и старых терминов, описывающих аспекты линейных и кусочных функций.Работая с пропорциональными отношениями в 7 классе, учащиеся выучили термин «константа пропорциональности» и что любую пропорциональную взаимосвязь можно представить уравнением вида \ (y = kx \), где \ (k \) — постоянная пропорциональность, что его график лежит на линии, проходящей через начало координат, которая проходит через Квадрант I, и что константа пропорциональности указывает крутизну линии. В предыдущем блоке 8-го класса учащиеся познакомились с «скоростью изменения» как способом описания коэффициента на 1 в линейной зависимости и отметили, что его числовое значение такое же, как и наклон линии, представляющей взаимосвязь. .В этом разделе учащиеся связывают свое понимание «увеличения» и «уменьшения» из предыдущего раздела с их пониманием линейных функций, отмечая, например, что если линейная функция возрастает, то ее график имеет положительный наклон, и что ее скорость изменения положительная. Точно так же они связывают свое понимание \ (y \) — перехвата (изученного в предыдущем разделе) с новым термином «начальное значение», отмечая, например, когда числовая часть начального значения функции задается \ (y \) — пересечение его графика (MP1).

В остальных трех разделах модуля учащиеся работают с объемом, используя навыки, полученные ранее при работе с геометрией и геометрическими измерениями.

Работа учащихся с геометрией началась в детском саду, где они определили и описали двух- и трехмерные формы, включая конусы, цилиндры и сферы. Они продолжили эту работу в 1 и 2 классах, составляя, разлагая и идентифицируя двух- и трехмерные формы.

Работа студентов с геометрическим измерением началась с длины, а затем продолжилась с площади и объема.Студенты научились «структурировать двумерное пространство», то есть видеть прямоугольник с целочисленными длинами сторон, состоящий из массива единичных квадратов или состоящий из повторяющихся строк или повторяющихся столбцов единичных квадратов. В 3 классе учащиеся соединили площадь прямоугольника с умножением, понимая, почему (для целых сторон) умножение длин сторон прямоугольника дает количество единичных квадратов, составляющих прямоугольник. Они использовали модели площадей для представления экземпляров распределительной собственности.В 4 классе учащиеся использовали формулы площади и периметра прямоугольников для решения реальных и математических задач. В 5 классе ученики расширили формулу площади прямоугольников до прямоугольников с дробными длинами сторон. Они нашли объемы правильных прямоугольных призм, рассматривая их как слои массивов кубов, и использовали формулы для вычисления этих объемов как произведений длин ребер или произведений площади основания и высоты. В 6 классе ученики распространили формулу объема правой прямоугольной призмы на правильные прямоугольные призмы с дробными длинами сторон и использовали ее для решения задач.Они расширили свои рассуждения о площади, включив в нее формы, не состоящие из прямоугольников, и объединили свои знания геометрии и геометрические измерения для создания формул для площадей параллелограммов и треугольников, используя эти формулы для определения площадей поверхности многогранников. В 7 классе ученики анализировали и описывали поперечные сечения призм (включая призмы с многоугольным, но непрямоугольным основанием), пирамид и многогранников, а также использовали формулу для объема правой прямоугольной призмы (объем — это площадь основания, умноженная на высоту. призмы) для решения задач, связанных с площадью, площадью поверхности и объемом.

В этом модуле для 8 класса учащиеся расширяют свое понимание объема от правильных прямоугольных призм до правых цилиндров, правых конусов и сфер. Они начинают с исследования объема воды в градуированном цилиндре в зависимости от высоты воды и наоборот. Они исследуют изображения цилиндра, призмы, сферы и конуса, чтобы развить свои способности определять радиусы, основания и высоту этих объектов. Они оценивают объемы призм, цилиндров, конусов и сфер, чтобы укрепить идею о том, что измерение объема указывает количество пространства внутри объекта.Учащиеся используют свои способности для определения радиусов, оснований и высот вместе с геометрическими способностями, развитыми в более ранних классах, чтобы воспринимать аналогичную структуру (MP7) в формулах для объема прямоугольной призмы и объема цилиндра — оба являются продуктом базы и высоты. После ознакомления с формулой объема цилиндра и ее использования для решения задач учащиеся воспринимают аналогичную структуру (MP7) в формуле объема конуса.

Пятый раздел модуля начинается с изучения функциональных соотношений между двумя величинами, которые иллюстрируются изменениями в масштабе трехмерных фигур.Например, если радиус цилиндра увеличивается втрое, его объем становится в девять раз больше. Эта работа сочетает в себе работу 7-го класса по масштабам и пропорциональным отношениям. В 7 классе ученики изучали масштабированные копии двумерных фигур, узнавая, что длины масштабируются с помощью масштабного коэффициента, а площади — с помощью квадрата масштабного коэффициента, и применяли свои знания для масштабирования чертежей, например, карт и планов этажей. В своем исследовании пропорциональных отношений учащиеся 7-го класса решали задачи, поставленные в контекстах, обычно связанных с пропорциональными отношениями, такими как постоянная скорость, цена за единицу и преобразование единиц измерения, и узнали, что любое пропорциональное отношение может быть представлено уравнением формы \ (y = kx \), где \ (k \) — коэффициент пропорциональности.В этом разделе учащиеся используют свои знания о масштабе, пропорциональных отношениях и объеме, чтобы рассуждать о том, как изменяется объем призмы, конуса или цилиндра при изменении другого измерения.

В последнем разделе раздела студенты рассуждают о том, как изменяется объем сферы при изменении ее радиуса. Они рассматривают ситуацию, когда вода течет в цилиндр, конус и сферу с одинаковой постоянной скоростью. Информация о высоте воды в каждом контейнере отображается в виде уравнения, графика или таблицы, что позволяет учащимся использовать ее стратегически (MP5) для сравнения высоты воды и вместимости контейнеров.

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык для математических целей, таких как обобщение, обоснование и сравнение. На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками. Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Обобщить

• о том, что происходит с входными данными для каждого правила (Урок 1)
• о размерах цилиндров (Урок 14)
• о соотношении объемов цилиндров и конусов (Урок 15)
• о размерах конусов (Урок 16)
• об объемах сфер, конусов и цилиндров в зависимости от их радиусов (Урок 21)

Выровнять

• заявлений о том, что можно определить по предоставленной информации (Урок 2)
• заявлений об объемах кубов и сфер на основе графиков (Урок 7)
• утверждает о примерно линейных отношениях (Урок 10)
• рассуждения об объемах сфер и конусов (Урок 21)

Сравнить

• различных представлений функций (Урок 3)
• функций графиков, уравнений и ситуаций (Урок 4)
• особенностей ситуации с особенностями графика (Урок 6)
• температур показаны на графике с различными температурами, приведенными в таблице (Урок 7)
• объемов конусов с объемами цилиндров (Урок 16)
• методы нахождения и аппроксимации объема сферы как функции ее радиуса (Урок 20)

Кроме того, студенты должны интерпретировать представления функций объема цилиндров, конусов и сфер; описывать количество в ситуации; описывать объемные измерения и особенности трехмерных фигур; описать влияние различных размеров прямоугольных призм и конусов на их объем; и описывают и представляют приблизительно линейные отношения.Студенты также должны использовать язык для представления взаимосвязей между объемом и переменной длиной стороны прямоугольной призмы и взаимосвязей между объемом и переменной высотой цилиндра; объясните и изобразите, как связаны высота и объем цилиндров; и объяснить рассуждения о нахождении объема цилиндра и о соотношении между объемами полусфер и объемами ящиков, цилиндров и конусов.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме.Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Раздел 6: Ассоциации в данных

В этом модуле учащиеся анализируют двумерные данные — используя точечные диаграммы и подогнанные линии для анализа числовых данных, а также используя двусторонние таблицы, гистограммы и сегментированные гистограммы для анализа категориальных данных.

Блок начинается с исследования таблицы данных. Измерения ноги и периметра равнобедренного прямоугольного треугольника показаны в каждой строке, но записи столбцов расположены не по порядку, что затрудняет различение закономерностей. Учащиеся манипулируют данными, чтобы найти закономерности в таблице (MP7), а затем исследуют диаграмму рассеяния тех же данных. Это мотивирует необходимость использовать разные представления одних и тех же данных для поиска и анализа любых закономерностей.

Второй раздел начинается с изучения двух вопросов: «Всегда ли старшие школьники выше?» и «У более высоких учеников, как правило, большие руки?» Учащиеся собирают данные (измерения размаха рук, размаха рук и роста каждого учащегося) и записывают измерения каждого учащегося вместе с его возрастом в месяцах.Они составляют диаграмму рассеяния для зависимости роста от размаха рук и выбирают свои собственные методы для отображения данных о высоте (MP5).

Второй раздел посвящен использованию диаграмм рассеяния и аппроксимированных линий для анализа числовых данных. Учащиеся составляют и изучают диаграммы рассеяния, интерпретируя точки в терминах представленных величин (MP2) и выявляя диаграммы рассеяния, которые могут представлять словесные описания ассоциаций между двумя числовыми переменными (MP1). Они видят примеры использования линии для моделирования связи между измерениями, отображаемыми на диаграмме рассеяния, и сравнивают значения, предсказанные линейной моделью, с фактическими значениями, приведенными на диаграмме рассеяния (MP4).Они рисуют линии, чтобы соответствовать данным, отображаемым на диаграммах рассеяния, и неформально оценивают, насколько хорошо линия соответствует, судя о близости точек данных к линиям (MP4). Учащиеся сравнивают графики разброса, которые показывают различные типы ассоциаций (MP7), и учатся определять эти типы, устанавливая связи между общей формой облака точек и тенденциями в представленных данных, например график разброса цены подержанного автомобиля по сравнению с пробегом. показывает облако точек, которое спускается слева направо, и цены на подержанные автомобили снижаются с увеличением пробега (MP2).Они устанавливают связи между общей формой облака точек, наклоном подобранной линии и тенденциями в данных, например, «линия, соответствующая данным, имеет отрицательный наклон, а диаграмма рассеяния показывает отрицательную связь между ценой подержанный автомобиль и его пробег ». Выбросы неформально идентифицируются на основе их относительного расстояния от других точек на диаграмме рассеяния. Учащиеся изучают диаграммы разброса, которые показывают линейные и нелинейные ассоциации, а также некоторые наборы данных, которые показывают кластеризацию, описывая их различия (MP7).Они возвращаются к данным о росте и размахе рук, собранным в начале блока, описывают связь между ними и подгоняют линию к данным (MP4).

Третий раздел посвящен использованию двусторонних таблиц для анализа категориальных данных (MP4). Учащиеся используют двухстороннюю таблицу частот, чтобы создать таблицу относительной частоты, чтобы проверить проценты, представленные на каждом пересечении категорий, чтобы найти какие-либо связи между категориями. Студенты также изучают и создают гистограммы и сегментированные гистограммы для визуализации любых ассоциаций.

Модуль заканчивается уроком, в котором учащиеся собирают и анализируют числовые данные с помощью диаграммы рассеяния, затем классифицируют данные на основе порогового значения и анализируют категории на основе двусторонней таблицы (MP4).

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык для математических целей, таких как объяснение, представление и перевод. На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками.Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Объяснить

• как оценить с использованием имеющихся данных (Урок 1)
• как использовать таблицы и диаграммы разброса для оценок и прогнозов (Урок 3)
• значение наклона для ситуации (Урок 6)
• как использовать линии для отображения ассоциаций, выявления выбросов и ответов на вопросы (Урок 8)

Представлять

• данных в организованном порядке (Урок 1)
• данных с использованием двусторонних таблиц, гистограмм и сегментированных гистограмм (уроки 9 и 10)
• данных с использованием точечной диаграммы (Урок 11)

Интерпретировать

• ситуаций и графиков с двумерными данными (Урок 2)
• таблиц и точечных диаграмм двумерных данных (Урок 3)
• таблиц, точечных диаграмм, уравнений и ситуаций с двумерными данными (Урок 4)

Кроме того, ожидается, что учащиеся будут сравнивать различные представления одной и той же ситуации, описывать и сравнивать особенности диаграмм рассеяния, обосновывать, подходят ли линии для ситуации, и обосновывать связи между двумерными данными.У студентов также есть возможность использовать язык для обобщения того, что делает линия подходящей для набора данных, и обобщения о категориях для сортировки графиков разброса.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме. Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Раздел 7: Показатели и научная нотация

Учащиеся познакомились с обозначением экспонент в 6 классе. Они работали с выражениями, которые включали круглые скобки и положительные целочисленные показатели с целочисленным, дробным, десятичным или переменным основанием, используя свойства экспонент стратегически, но не формулировали правила использования экспонентов.п \).

Третья часть единицы возвращается к степеням 10 как прелюдия к введению научных обозначений. Учащиеся рассматривают различия в величине степени 10 и используют степени 10 и кратные степени 10 для описания величин, например, расстояния от Земли до Солнца или населения России. Первоначально они работают с большими величинами, располагая на числовой прямой степени 10 и целые положительные числа, кратные степени 10. Большинство из этих кратных — произведение однозначных чисел и степени 10.6 \), и что некоторые формы могут быть более полезными при поиске местоположений на числовой прямой. На следующем уроке студенты проделывают аналогичную работу с небольшими количествами.

На оставшихся пяти уроках учащиеся пишут оценки величин в виде целых или нецелых кратных степеней 10 и используют свои знания экспоненциальных выражений для решения задач, например, сколько метчиков нужно, чтобы равняться массе Луна? Они знакомятся с термином «научная нотация», практика различения научной нотации от других, и используют научную нотацию (с не более чем тремя значащими цифрами) для проведения аддитивных и мультипликативных сравнений пар величин.Они вычисляют суммы, разности, произведения и частные чисел, записанных в научной системе счисления (некоторые из которых содержат до четырех значащих цифр), используя такие вычисления для оценки количеств. Они выполняют преобразования измерений, которые включают степени десяти, например, конвертируют байты в килобайты или гигабайты, выбирают подходящие единицы измерения и выражают их в экспоненциальной нотации.

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык в математических целях, таких как критика, представление и обоснование.На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками. Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Критика

• рассуждения о силах силы (Урок 3)
• рассуждения о нулевых показателях (Урок 4)
• применения экспонентных правил (Урок 7)
• рассуждения о научных обозначениях (Урок 15)

Представлять

• ситуаций с использованием экспонент (Урок 1)
• больших и малых чисел с использованием числовых линий, показателей степени и десятичных знаков (Урок 9–11)
• ситуаций сравнения величин, выраженных в экспоненциальном представлении (Урок 14)

Выровнять

• рассуждения об умножении степеней 10 (Урок 2)
• рассуждения о силах силы (Урок 3)
• рассуждения о делении степеней 10 (Урок 4)
• , эквивалентны ли выражения экспоненциальным выражениям (Урок 6)
• рассуждения о ситуациях, сравнивающих степени десяти (Урок 12)

Кроме того, ожидается, что студенты будут использовать язык для обобщения рассуждений о повторяющемся умножении и обобщения закономерностей при умножении различных оснований и показателей; опишите, как отрицательная степень 10 влияет на размещение десятичных знаков; и интерпретировать ситуации, сравнивая величины, выраженные в научных обозначениях.Студенты также имеют возможность сравнивать соответствия между экспоненциальными выражениями и диаграммами с основанием десяти; сравнивать выражения в научном представлении с другими выражениями; объясните, как упростить выражения с отрицательной степенью 10; и объясните, как размещать и заказывать большие числа в числовой строке.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме.Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать студентов & rsqup; использование нового термина в уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Раздел 8: Теорема Пифагора и иррациональные числа

Работа по этому модулю предназначена для развития и объединения знаний учащихся о геометрии и числовых выражениях.Раздел начинается с описания алгебраических и геометрических аспектов теоремы Пифагора и стратегий ее доказательства. Студентам показывают три квадрата и просят сравнить площадь самого большого квадрата с суммой площадей двух других квадратов. Сравнение может быть выполнено путем подсчета квадратов сетки и сравнения подсчетов — когда три квадрата находятся на сетке, их стороны находятся на линиях сетки, а вершины — на пересечении линий сетки — используя понимание измерения площади, установленное в 3-м классе.Сравнение также можно провести, показав, что существует фигура, которую можно разложить и переставить, чтобы сформировать самый большой квадрат или два самых маленьких квадрата. Студентам предоставляется возможность использовать и обсуждать обе стратегии.

Во втором разделе учащиеся работают с фигурами, изображенными на сетках, используя сетки для оценки длины и площади в единицах сетки, например, оценивая длины сторон квадрата, возводя свои оценки в квадрат и сравнивая их с оценками, полученными путем подсчета сетка квадратов.Термин «квадратный корень» вводится как способ описания отношения между длиной стороны и площадью квадрата (измеряется в единицах и квадратных единицах соответственно) вместе с обозначением \ (\ sqrt {} \). Студенты продолжают работать с длинами сторон и площадями квадратов. Они изучают и используют определения «рационального числа» и «иррационального числа». Они наносят на числовую прямую рациональные числа и квадратные корни. Они используют значение «квадратного корня», понимая, что если данное число \ (p \) является квадратным корнем из \ (n \), то \ (x ^ 2 = n \).Студенты узнают (без доказательств), что \ (\ sqrt 2 \) иррационально. Они понимают два доказательства теоремы Пифагора — алгебраическое доказательство, которое включает манипулирование двумя выражениями для одной и той же области, и геометрическое доказательство, которое включает разложение и перестановку двух квадратов. Они используют теорему Пифагора в двух и трех измерениях, например, для определения длины диагоналей прямоугольников и прямоугольных призм, а также для оценки расстояний между точками в координатной плоскости.

В третьем разделе учащиеся работают с длинами граней и объемами кубов и других прямоугольных призм.2 \) находится между \ (m \) и \ (p \), а \ (x \) находится между \ (\ sqrt {m} \) и \ (\ sqrt {p} \).

В четвертом разделе учащиеся работают с десятичными представлениями рациональных чисел и десятичными приближениями иррациональных чисел. В 7 классе они использовали длинное деление, чтобы записывать дроби как десятичные, и узнали, что такие десятичные дроби либо повторяются, либо заканчиваются. Они основываются на своем понимании десятичных дробей, чтобы делать последовательные десятичные приближения \ (\ sqrt 2 \) и \ (\ pi \), которые они наносят на числовые линии.

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык для математических целей, таких как объяснение, обоснование и сравнение. На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками. Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Объяснить

• стратегии поиска местности (Урок 1)
• стратегий приближения и нахождения квадратных корней (Урок 4)
• стратегий определения длин сторон треугольника (Урок 6)
• предсказаний о ситуациях, связанных с прямоугольными треугольниками, и стратегии для проверки (Урок 10)
• стратегий нахождения расстояний между точками на координатной плоскости (Урок 11)
• стратегий для аппроксимации значения кубических корней (Урок 13)

Выровнять

• у каких квадратов длина сторон находится в заданном диапазоне (Урок 1)
• Упорядочивание иррациональных чисел (Урок 5)
• Заказ длин гипотенузы (Урок 9)

Сравнить

• рациональные и иррациональные числа (Урок 3)
• длин диагоналей в прямоугольных призмах (Урок 10)
• стратегий приближения иррациональных чисел (Урок 15)

Кроме того, ожидается, что студенты будут использовать язык для обобщения площади квадратов, квадратных корней и приближений длин сторон, а также обобщения расстояния между любыми двумя парами координат; критика рассуждений о приближении квадратного корня и критика стратегии представления повторяющихся десятичных разложений в виде дробей; описать наблюдения о взаимосвязях между длинами сторон треугольников и описать гипотенузы и длины сторон для данных треугольников; интерпретировать диаграммы, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников; интерпретировать уравнения и приближения для значений квадратных и кубических корней; и представляют отношения между длинами сторон и площадями.

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме. Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Раздел 9: Собираем все вместе

На этих факультативных уроках учащиеся решают сложные задачи. На первых нескольких уроках они рассматривают мозаику плоскости, понимая и используя термины «мозаика» и «регулярная мозаика» в своей работе, а также используя свойства форм (например, сумма внутренних углов четырехугольника равна 360 градусов), чтобы делать выводы о регулярной мозаике.Эти уроки необходимо пройти после того, как будет выполнен раздел 8.1. На более поздних уроках они исследуют взаимосвязь температуры и широты, климата, сезона, облачности или времени суток. В частности, они используют диаграммы рассеяния и линии наилучшего соответствия для исследования вопроса моделирования температуры как функции широты. Эти уроки нужно проводить после того, как будут изучены разделы 8.5 и 8.6.

Развитие дисциплинарного языка

В этом модуле учителя могут предвидеть, что ученики будут использовать язык для математических целей, таких как описание, представление и обоснование.На протяжении всего модуля учащиеся извлекут пользу из рутин, разработанных для развития прочного дисциплинарного языка, как для их собственного осмысления, так и для построения общего понимания со сверстниками. Учителя могут сформировать формативную оценку того, как учащиеся используют язык таким образом, особенно когда учащиеся используют язык для:

Описать

• мозаики (Урок 1)
• ассоциаций в двумерных данных (Урок 5)

Представлять

• взаимосвязь между широтой и погодой (Урок 5)

Выровнять

• утверждений о формах, которые можно и нельзя использовать для создания обычных мозаик (Урок 2)

В таблице показаны уроки, на которых впервые вводится новая терминология, в том числе когда ожидается, что учащиеся будут понимать слово или фразу восприимчиво, и когда ожидается, что учащиеся произнесут слово или фразу в своей речи или письме.Термины из глоссария выделены жирным шрифтом. Учителя должны продолжать поддерживать использование учащимися нового термина на уроках, следующих за тем, в котором он был впервые введен.

Геометрия в 8 классе — Навыки курса

Иллюстративная математика 8 класс, Блок 1.11 Подготовка — Учителя

На этом уроке учащиеся исследуют, что значит «одинаковые» формы, и узнают, что термин конгруэнтный — это математический способ говорить о том, что фигуры одинаковы, но имеют точное значение. В частности, они узнают, что две фигуры конгруэнтны, если существует последовательность перемещений, вращений и отражений, которая перемещается одна в другую. Они узнают, что конгруэнтные фигуры могут иметь разную ориентацию, но соответствующие длины и углы равны.Согласование и формулирование определения конгруэнтности требует осторожного использования точного языка (MP6) и основывается на всем опыте учащихся, полученном до сих пор в этом модуле, перемещая формы и пытаясь заставить их совпадать.

По мере того, как учащиеся работают над тем, чтобы решить, конгруэнтны ли пары фигур, они будут применять MP7. Для форм, которые не совпадают, какое свойство может быть идентифицировано в одном, которое не разделяется другим? Это может быть угол, длина стороны или размер фигуры.Для конгруэнтных форм есть ли какой-нибудь способ узнать, кроме как поэкспериментировать с калькой? В некоторых случаях, например, с прямоугольниками, ученики обнаруживают, что взгляда на длину и ширину достаточно, чтобы решить, совпадают ли они.

В начальных классах определение того, являются ли две формы «одинаковыми», обычно включает в себя проверку того, что они имеют одинаковую общую форму (например, треугольники или круги) и одинаковый размер. По мере того, как формы становятся более сложными и мы разрабатываем новые способы их измерения (например, углы), требуется что-то более точное.Определение конгруэнтности здесь гласит, что две формы конгруэнтны, если существует последовательность перемещений, вращений и отражений, которая точно соответствует одной форме другой. Это определение имеет много преимуществ:

• Не требует измерения всех сторон или углов.
• Он одинаково хорошо применим ко всем формам, а не только к многоугольникам.
• Он точен и недвусмысленен: определенные движения разрешены, и две формы совпадают, когда одну можно перемещать для точного совмещения с другой.