8 класс алгебра формула: Алгебра (математика) 8 класс

Определения и формулы алгебра 8 класс

Просмотр содержимого документа

«Определения и формулы алгебра 8 класс»

8 класс алгебра Рациональные дроби и их свойства.

1. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

2. Значения переменных при которых выражение имеет смысл , называют допустимыми значениями переменных.

3. Дробь , числитель и знаменатель которой многочлены , называют рациональной дробью.

4. Основное свойство рациональной дроби: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен , то получится равная ей дробь.

5. Тождеством называется равенство , верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

6. Если изменить знак числителя ( или знак знаменателя ) дроби и знак перед дробью , то получим выражение , тождественно равное данному.

Сумма и разность дробей.

1. Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями , надо сложить их числители , а знаменатель оставить тем же.

2. Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби , а знаменатель оставить тем же.

3. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями .Для этого дроби приводят к общему знаменателю.

Произведение и частное дробей.

1. Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем дроби.

2. Чтобы возвести дробь в степень , надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе , а второй – в знаменателе дроби.

3. Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй.

Функция у= и её график.

1. Обратной пропорциональностью называется функция , которую можно задавать формулой у= , где х – незави симая переменная и k – не равное нулю число.

2. Областью определения функции у=является множество всех чисел , отличных от нуля.

3. Кривую , являющуюся графиком обратной пропорциональности , называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.

Действительные числа.

1. Всякое рациональное число , как целое , так и дробное , можно представить в виде дроби , где m- целое число , а n – натуральное. Одно и то же рациональное число
   можно представить в таком виде разными способами.

2. Среди дробей , с помощью которых записывается данное рациональное число , всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель , равный 1.

3. Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

4. Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

5. Среди рациональных чисел нет такого числа , квадрат которого равен 2.

6. Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им им числа и число нуль , то получим множество чисел , которые называют действительными числами.

7. Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Арифметический квадратный корень.

1. Квадратным корнем из числа а называют число , квадрат которого равен а.

2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число , квадрат которого равен а.

3. = b , если выполняются два условия : 1) b ≥ 0 ; 2) = а.

4. При а ‹ 0 выражение не имеет смысла.

5. При любом а , при котором выражение имеет смысл , верно равенство ( = а.

6. Выражение имеет смысл при любом а ≥ 0

7. Если а ≥ 0 и b 0 , то Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

8. Если а ≥ 0 и b 0 , то = . Корень из дроби , числитель которой неотрицателен , а знаменатель положителен , равен корню из числителя , делённому на корень из знаменателя.

9. При любом значении х верно равенство = | x | .

Функция у = и её график.

1. Если х = 0 , то у = 0 , поэтому начало координат принадлежит графику функции. 0

2. Если х › 0 , у › 0 : график расположен в первой координатной четверти.

3. Большему значению аргумента соответствует дольше значение функции ; график функции идёт вверх.

Квадратное уравнение и его корни.

1. Квадратным уравнением называется уравнение вида a+bx +c = 0 , где а,b и с – некоторые числа , причём а ≠ 0.

2. Квадратное уравнение в котором а = 1, называют приведённым квадратным уравнением.

3. Если в квадратном уравнении a+bx +c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю , то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением

4. При решении квадратного уравнения a+bx +c = 0 целесообразно поступать следующим образом: 1. Вычислить дискриминант и сравнить его с нулём ; 2. Если дискриминант положителен , то воспользоваться формулой корней , если дискриминант отрицателен , то записать , что корней нет.

5. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.(Теорема Виета).

6. Если числа m и n таковы , что их сумма равна — p , а произведение равно g , то эти числа являются корнями уравнения +px +g = 0 ( Обратная теореме Виета )

Дробные рациональные уравнения.

1. При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом:

1 Найти общий знаменатель дробей , входящих в уравнение;

2 Умножить обе части уравнения на их общий знаменатель;

3Решить получившееся целое уравнение;

4 Исключить из его корней те , которые обращают в нуль общий знаменатель.

Числовые неравенства и их свойства.

1. Число а больше числа b , если разность а – b – положительное число ; число а меньше числа b , если разность а – b – отрицательное число.

2. Если а › b ,то b ‹ а; если а ‹ b ,то b › а.

3. Если а ‹ b и b ‹ с , то а ‹ с .

4. Если а ‹ b и с— любое число ,то а + с ‹ b + с. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число , то получится верное неравенство.

5. Если а ‹ b и с— положительное число ,то ас ‹ bс. Если а ‹ b и с— отрицательное число ,то ас › bс.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число , то получится верное равенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный , то получится верное равенство.

1. Если а и b – положительные числа и а ‹ b ,то ‹

2. Если а ‹ b и с ‹ d ,то а + с ‹ b + d. Если почленно сложить верные неравенства одного знака , то получится верное неравенство.

3. Если а ‹ b и с ‹ d , где а, b, с , d – положительные числа ,то ас ‹ bd.

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака , левые и правые части которых – положительные числа , то получится верное неравенство.

1. Если а и b – положительные числа и а ‹ b ,то ‹ , где n – натуральное число.

2. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

3. Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Неравенства с одной переменной и их системы.

1. Пересечением двух множеств называют множество , состоящее из всех общих элементов этих множеств.

2. Объединением двух множеств называют множество , состоящее из всех элементов , принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

3. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной , которое обращает его в верное числовое неравенство.

4. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной , при котором верно каждое из неравенств системы.

Степень с целым показателем и её свойства.

1. Если а ≠ 0 и n – целое отрицательное число , то = .

2. Выражению при целом отрицательном n ( так же как и при n = 0 ) не приписывают никакого значения ; это выражение не имеет смысла.

3. Для каждого а ≠ 0 и любых целых m и n

= ; = ; = ;

1. Для каждых а ≠ 0 и b ≠ 0 и любого n

= ; ( = ;

Стандартным видом числа а называют его запись в виде а* , где 1≤ а ≤ 10 и

n – число. Число n называется порядком числа а.

Геометрия 8 класс

Многоугольники

1. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек , то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называют сторонами многоугольника , а длина ломаной называется периметром многоугольника.

2. Отрезок соединяющий любые две несоседние вершины , называеся диагональю многоугольника.

3. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой , проходящей через две его соседние вершины.

4. Сумма углов выпуклого n- угольника равна ( n – 2 )*

5. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол , смежный с углом многоугольника.

6. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна

7. Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными.

8. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна

9. Параллелограммом называется четырехугольник , у которого противоположные стороны попарно параллельны.

10. Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1. Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны , то этот четырёхугольник – параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике две стороны попарно равны , то этот четырёхугольник – параллелограмм.

3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам , то этот четырёхугольник – параллелограмм.

1. Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые , пересекающие вторую прямую , то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. Трапецией называется четырёхугольник у которого две стороны параллельны , а две другие стороны не параллельны.

3. Трапеция называется равнобедренной , если её боковые стороны равны.

4. Трапеция называется прямоугольной , если один из её углов прямой.

5. Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые.

6. Свойства прямоугольника:

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны и все углы равны.

2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

3. Диагонали прямоугольника равны.

1. Признаки прямоугольника:

1. Если в параллелограмме диагонали равны , то этот параллелограмм – прямоугольник.

1. Ромбом называется параллелограмм , у которого все стороны равны.

2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

3. Квадратом называется прямоугольник у которого все стороны равны.

4. Свойства квадрата:

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны , взаимно перпендикулярны , точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Осевая и центральная симметрии.

1. Две точки А и В называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.

2. Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

3. Прямая а называется ось симметрии фигуры.

4. Две точки А и В называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АВ.

5. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

6. Тока О называется центром симметрии фигуры.

Площадь многоугольника.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

4. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

5. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

6. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

7. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

8. Если высоты двух треугольников равны , то их площади относятся как основания.

9. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника , то площади этих треугольников относятся как произведения сторон , заключающих равные углы.

10. Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

Теорема Пифагора.

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетеов.

2. Обратная теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон , то треугольник прямоугольный.

3. Формула Герона : площадь S треугольника со сторонами a,b,c выражается формулой S = , где p = (a + b + c) — полупериметр треугольника.

Определение подобных фигур.

1. Отношение отрезков АВ и СD называется отношение их длин , т.е. АВ/CD.

2. Говорят ,что отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁ , если

АВ/ А₁В₁ = СD/ С₁D₁ .

1. Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

2. Число k равное отношению сходственных сторон подобных треугольников , называется коэффициентом подобия.

3. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников.

1. 1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого , то такие треугольники подобны.

2. 2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы , заключённые между этими сторонами , равны , то такие треугольники подобны.

3. 3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

4. Средней линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон.

5. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

6. Отрезок ХУ называется средним пропорциональным ( или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD , если ХУ =

7. Высота прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла , есть среднее пропорциональное для отрезков , на которые делится гипотенуза этой высотой.

8. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы , заключенного между катетом и высотой , проведённой из вершины прямого угла.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

1. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

4. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

5. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника , то синусы этих углов равны , косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

6. Основное тригонометрическое тождество: = 1

Касательная к окружности.

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d ‹ r ) , то прямая и окружность имеют две общие точки.

2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r ) , то прямая и окружность имеют одну общую точку.

3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d › r ) , то прямая и окружность не имеют общих точек.

4. Прямая , имеющая с окружностью одну общую точку , называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

5. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведенному к точке касания.

6. Отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.

7. Если прямая проходит через конец радиуса , лежащий на окружности , и перпендикулярна к этому радиусу , то она является касательной.

Центральные и вписанные углы.

1. Дуга называется полуокружностью , если отрезок , соединяющий её концы , является диаметром окружности.

2. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью , то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности , то уё градусная мера считается равной – уг.АОВ –

3. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна

Упрощённая формула для решения квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Конспект открытого урока по алгебре 8 класс по теме «Решение квадратных уравнений»

Конспект открытого урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений»

Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И., М.И.Шабунин –4-е изд. – М. : Просвещение, 2016. – 336 с.

Цель: закрепить знание формулы корней квадратного уравнения, знание количества корней в зависимости от значения дискриминанта, умение находить корни квадратного уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения,

Задачи:

1) Предметные: закрепить знание формулы корней квадратного уравнения, знание количества корней в зависимости от значения дискриминанта, умение находить корни квадратного уравнения по формуле корней.

2) личностные: выступать перед публикой (классом), умение представлять задачу, коммуникабельность, умение работать в коллективе, умение оценивать свою деятельность и деятельность коллектива, умение правильно вести себя на уроке.

2) метапредметные: развивать умения самостоятельно определять цели обучения, оценивать правильность выполнения задачи, умение осуществлять контроль и оценку результатов своей деятельности, умения владеть основами самоконтроля, самооценки,

принятия решений.

Используемые материалы: раздаточный материал, презентация.

Ход урока

1. Определение темы урока(2 мин).

Учитель: Здравствуйте дети и гости. Садитесь, пожалуйста. Хотелось бы начать урок с такого стихотворения:

Чтобы «х» нам узнать, надо дробь написать.
«b» в числителе поставить, знак при этом изменить.
И советуем плюс, минус перед корнем не забыть.
А под корнем «b»  квадрат, минус, только не спешить,
«a» на «с»  умножить нужно, а потом учетверить.
Вот числитель весь, друзья. В знаменателе «2а».

Как выдумаете, о чем это стихотворение? (Ответ: формула корней квадратного уравнения)

Совершенно верно и тема сегодняшнего занятия «Решение квадратных уравнений»

(Учащиеся записывают число, классная работа, «Решение квадратных уравнений», так же на доске записаны номера(№436(1,3), 437(1,3)), которые нужно выполнить в классе (на левой доске) и домашнее задание(на правой доске))

2. Актуализация изученной на предыдущем занятии темы (1 мин).

Учитель вызывает одного из учащихся, который на доске записывает вид квадратного уравнения, формулу корней, и зависимость количества корней от значения дискриминанта)

, ,

если D>0, то ,

если D=0, то ,

если D<0, то корней нет.

3. Устная работа по теме урока(5-6 мин).

Учитель: Решим следующие задания. (Презентация «Решение квадратных корней», слайд 2,3)

1. Ученики устно исправляют ошибки и называют количество корней в зависимости от дискриминанта.

2. Ученики называют пропущенные числа.

(После ответа ученика, учитель просит поднять руки всем кто согласен с ответом)

3. Закрепление изученного материала (работа с учебником)(12-15мин).

Решение у доски №435(1), № 436(1), 437(3).

Учитель вызывает к доске 3 учеников (центральная доска пополам), один работает вслух с пояснениями, остальные молча. Когда садится первый, вызывает еще одного. Затем оставшиеся ученики также объясняют решение примеров. Суть задания в том чтобы посмотреть различные результаты при решении квадратных уравнений и сделать выводы о трех возможных результатах в зависимости от D.

Если остается время решить еще № 435(5,7), №440(1).

4. Физминутка (минутка расслабления и отдыха). (1 мин)

Учитель предлагает детям расслабиться, закрыть глаза и представить себе берег моря, представить, как они отдыхают на берегу моря. Учитель включает музыку «Шум моря». (слайд 4)

5. Обучающая самостоятельная работа.

На столах учащихся раздаточный материал. Ученики решают самостоятельно уравнения. Затем на слайде 5 учитель выводит верные ответы, ученики меняются работами и проводят рефлексию.

Учитель: проверьте работу соседа по слайду 5, если выполнены все примеры верно – оценка «5», если 2 — «4», если один – «3».

6. Выступление ученика (учеников) с докладом по применению квадратных уравнений к решению задач из других наук.

Учитель: Давайте теперь посмотрим, как применяется решение квадратных уравнений для решения задач в других наук. Ученик вашего класса (ИФ называет) представит вам решение физической задачи.

Ученик выходит к доске и представляет на слайде 6 решение задачи №5 стр. 221 учебника. (Подготовить выступление заранее)

Если останется время представить химическую задачу №491 стр. 198, тоже заранее подготовленную (слайд 7).

Ученики делают вывод, что квадратные уравнения используются при решении задач из других наук и учебных курсов.

7. Домашнее задание.

Записать д/з с доски № 435(6,8), 436(2,4), 437(2,4).

8. Рефлексия учебной деятельности.

Учитель: Какой основной термин сегодняшнего занятия вы можете назвать?

Ученики: Квадратное уравнение.

Учитель: Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы решать квадратные уравнения и хорошо усвоить тему урока?

Ученики: Выучить формулу корней квадратного уравнения и уметь подставлять а, в и с в формулу.

Учитель: Оцените себя и урок по пятибалльной шкале.

Учитель выставляет оценки и благодарит учеников за урок.

Урок 28. решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0. формула корней квадратного уравнения — Алгебра — 8 класс

Конспект

Квадратные уравнения можно решать методом выделения квадрата двучлена.

Напомним формулы квадрата разности и квадрата суммы.

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

Рассмотрим уравнение 5x² – 6x + 1 = 0.

Преобразуем к приведённому виду. Разделим на 5 обе части уравнения:

Второй коэффициент представим в виде произведения:

Для выделения квадрата двучлена не хватает квадрата вычитаемого. Прибавим выражение к разности и, чтобы ничего не изменилось, вычтем его же:

Преобразуем уравнение в квадрат двучлена:

Перенеся слагаемые таким образом, чтобы в левой части был квадрат разности, а справа от знака равенства находилось свободное число, получим:

Извлечение корня из квадрата приводит к двум линейным уравнениям:
или .

В итоге получим x = 1 или x = 0,2.

Алгоритм решение квадратного уравнения в общем виде

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

Деление на первый коэффициент квадратного трёхчлена – получение приведённого квадратного уравнения:

Получение уравнения вида – квадрат многочлена слева, свободное число справа:

Приведение к общему знаменателю:

Число корней этого уравнения зависит от знака правой части.

4a² > 0, значит, знак дроби зависит от знака выражения b² – 4ac.

D = b² – 4ac.

D – дискриминант.

Возможны три случая.

1. D = b² – 4ac < 0.
Значит и уравнение не имеет действительных корней.

2. D = b² – 4ac = 0.
Уравнение принимает вид , очевидно, что . Т. е. квадратное уравнение имеет один корень.

3. D = b² – 4ac > 0.
или .
Получим два корня:
или .

Формула корней квадратного уравнения

, где D = b² – 4ac.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение необходимо найти его дискриминант. Если он будет отрицательным, то сделать вывод, что корней нет. Если дискриминант окажется положительным или равным нулю, то корни можно будет найти, используя формулу корней квадратного уравнения.

Решим уравнение 5x² – 6x + 1 = 0.

D = b² – 4ac = (–6)² – 4 • 5 • 1 = 36 – 20 = 16 > 0.
Значит, уравнение имеет два корня.

Т. е. x₁ = 0,2; x₂ = 1.

Отдельно выделяют квадратные уравнения, у которых второй коэффициент является чётным числом.

D₁ = k² – ac
1. D₁ = k² – ac < 0. Нет корней.
2. D₁ = k² – ac ≥ 0. Корни уравнения: .

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Технологическая карта по алгебре на тему:»Формула корней квадратного уравнения», (8 класс)

Урок 51. Формула корней квадратного уравнения

тема

учебного

занятия

программы

планируемые результаты

основные

виды

учебной

деятельности

учебно-методическое, материально-техническое

обеспечение,

ЭОР

Тип урока

предметные

метапредметные

личностные

Квадратное уравнение и его корни (4 урок из 12 уроков)

Формула корней квадратного уравнения (1 урок из 2 уроков)

Ввести формулу корней квадратного уравнения, научится находить дискриминант, исследовать количество корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта, развивать умение решать квадратные уравнения. 

Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками. 

Регулятивные: составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы; выбирать средства достижения цели из предложенных или искать самостоятельно.

Познавательные: уметь осуществлять анализ объектов, самостоятельно искать и отбирать необходимую информацию.

Формировать умение планировать свои действия в соответствии с учебным заданием

Формирование у учащихся деятельностных способностей к структурированию систематизации изучаемого предметного содержания

Работа у доски, тестирование, индивидуальная и групповая работы. Взаимоконтроль

Презентация

Карточки

Изучение нового материала

Задача: создать условия для развития умений решать квадратные уравнения

Организационная структура урока

Этап урока

Содержание деятельности учителя

Содержание деятельности обучающихся

Формируемые способы деятельности

1

Организационный

Приветствие. Проверка готовности к уроку

Дежурный сообщает о готовности класса к уроку, об отсутствующих на начало занятия

Аргументированные ответы на поставленные вопросы, участие в диалоге, работа по заданному алгоритму

Предлагает поработать с листами. Подписать. Отметить настроение на начало урока

Подписывают листы. Отмечают настроение на начало урока в таблице

2

Постановка цели и задач урока

Организует работу.

Ответьте на вопрос: Поднимите руки, кто выбрал для решения неполные квадратные уравнения? Кто выбрал для решения полные квадратные уравнения?

Работа с уравнениями на слайде

Разбивают уравнения на две группы.

Дают название каждой группе уравнений. Обосновывают свой ответ.

Выбирают одно любое уравнение из предложенных для решения.

Обосновывают свой выбор

Формулируют цель урока

3

Организационный

Организует начало работы в тетрадях

Записывают дату и тему занятия

4

Актуализация знаний

Найдите и исправьте ошибки

Определите коэффициенты квадратных уравнений

Работа с заданиями на слайде

5

Изучение нового материала

Объясняет теоретический материал ( учебник 124-125). Предлагает для работы карточки с алгоритмом решения квадратных уравнений по формуле

Составляют краткий конспект

6

Первичное закрепление нового материала

Организует демонстрационное решение у доски

Фронтальная работа: учебник № 533(а, б, г), № 536(е)

7

Физминутка

Зарядка для глаз

Выполняют упражнения

8

Первичное закрепление нового материала

Организует работу в парах

Работа по вариантам: учебник № 533(в)№ 536 (в)

взаимопроверка

9

Организационный момент. Мотивация учебной деятельности обучающихся

Где может пригодиться умение решать квадратные уравнения?

Дополняет ответы обучающихся

Высказывают свои предположения по желанию

Работа со слайдами

10

Повторение. Подготовка к ОГЭ

В каких заданиях ОГЭ могут пригодиться знания по изучаемой теме.

Фронтальная работа: решают задание № 6 Уравнения, неравенства и их системы

11

Рефлексия учебной деятельности на уроке

Работа с листами самооценки

Отмечают настроение на конец занятия.

Анализируют работу на уроке и делают выводы о понимании изученного материала. Результаты заносят в таблицу

12

Домашнее задание

П. 22 стр 124, 125 ( памятка) № 536 (а, г), № 535(в)

Конспект урока по Алгебре «Формула корней квадратного уравнения» 8 класс

Формула корней квадратного уравнения

Алгебра, 8 класс

Автор: Критинина О.М. – учитель математики МКОУ БООШ №5

Бутурлиновского района

Воронежской области.

«Ум заключается не только в знании,

но и умении прилагать знания на деле»

Аристотель

Цель:

знакомство с формулами корней квадратного уравнения.

Задачи урока:

• Образовательные: ввести понятие квадратного уравнения, раскрыть содержание понятия квадратное уравнение, познакомить учащихся с основными формулами нахождения корней квадратного уравнения.

• Развивающие: формировать умения находить корни квадратного уравнения, используя его определение и формулы; развивать вычислительные навыки, умения анализировать и обобщать; развивать интерес к математике.

• Воспитательные: воспитывать активность, культуру эмоций, точность, аккуратность.

Универсальные учебные действия (УУД):

• Личностные УУД 

•  Регулятивные УУД

•  Коммуникативные УУД

• Познавательные УУД

Планируемые результаты:

Предметные:

• знать определение квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения;

• уметь решать квадратные уравнения

Личностные: активность на уроке, аккуратность ведения записей в тетради обучающихся.

Метапредметные:

• активное использование речевых средств и средств информационных и коммуникационных технологий для решения коммуникативных и познавательных задач;

• использование различных способов поиска (в справочных источниках и открытом учебном информационном пространстве сети Интернет), сбора, обработки, анализа, организации, передачи и интерпретации информации в соответствии с коммуникативными и познавательными задачами и технологиями учебного предмета.

Основные понятия: формула корней квадратного уравнения, дискриминант, коэффициенты.

Ресурсы:

• Основные: тетрадь, учебник

• Дополнительные: таблица «Лист проблем», тест «Верю, не верю», презентация, ПК, проектор, экран.

Формы урока: фронтальная, индивидуальная.

Ход урока:

Стадия вызова.

Здравствуйте, садитесь.

«Сегодня у нас будет необычный урок. Я не буду, как обычно, сообщать вам тему урока. Вы сами в течение урока попробуете ее сформулировать и определить цели и задачи нашего урока. В помощь Вам я прочитаю небольшую лекцию.

Текст лекции.

«Мы с Вами с начальной школы решаем уравнения. В 6 классе Вы уже знали, как решать линейные уравнения, например 2х+5=3х ,которое имеет один корень, в 8 классе изучали уравнения х²=а,которое имеет два корня противоположных знаков:2 и -2; 3 и -3. Но если бы Вам предложили уравнение х²+5х+3=5, то Вы лишь бы предположили, что оно имеет 2 корня противоположных знаков. Но записать их не смогли.

Работая в паре, предлагаю Вам заполнить 1-4 пункты таблицы, которая лежит на Ваших столах (учащиеся знакомятся с таблицей). Время на выполнение работы – 3 мин.

Чтобы вам было легче заполнить таблицу, я повторю ещё раз свою лекцию (учитель читает второй раз ту же лекцию, но в более быстром темпе).

1. Проблема, которую надо решить?

Обсуждение. В ходе обсуждения учитель будет с учащимися заполнять аналогичную таблицу на доске, поэтому её необходимо приготовить заранее (до урока).

— И так, кто догадался, какую проблему мы сегодня хотим решить? (Обычно находится ученик, который смог догадаться, что это решение квадратного уравнения. )

— Может бытьуже можно сформулировать и тему нашего урока? (Учащиеся формулируют тему урока).

— Какой информацией вы обладаете для решения этой проблемы?

— Какие вопросы, связанные с проблемой Вас интересуют?

Первоначально вопросы по теме, которые назовут учащиеся, лучше записать за пределами таблицы. Затем вместе с учащимися их систематизировать и записать коротко в столбец 3 таблицы. Примеры ответов учеников: форма записи корней уравнения, существование корней, при каких условиях уравнение имеет решение, введение нового символа для нахождения корней, название этого символа. И последнее, что осталось обсудить — что ученики об этом знают или предполагают, что знают.

Стадия осмысления.

Учитель продолжает.

Теперь возникает вопрос – правы ли мы были в своих предположениях?

-Какова же тема нашего урока? Совпала ли она с той, что Вы предположили ранее? И каковы цели нашего урока? Откройте тетради и запишем в ней тему нашего урока: « Формула корней квадратного уравнения».

Цели урока учитель формулирует (со слов учащихся) устно: усвоить понятие дискриминанта, научиться находить корни квадратного уравнения.

Конечно же, до нас уже эту проблему уже решали, поэтому я предлагаю Вам обратиться к презентации.

(слайд 3)

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где х – переменная, а,b,с – некоторые числа, причем а≠0.

Квадратное уравнение , в котором коэффициент при х² равен 1, называют приведенным квадратным уравнением. Например, х²-11х+30=0, х²-6х=0, х²-8=0.

Если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Как решать неполные квадратные уравнения и выделением квадрата двучлена мы с вами научились.

А сегодня научимся решать квадратные уравнения с помощью формул.

Итак, рассмотрим квадратное уравнение ах²+bх+с=0.

(слайд 4)

(слайд 5)

Дискриминантом квадратного

уравнения ах²+ bх + с = 0

называется выражение b² – 4ac.
Его обозначают буквой D, т.е.D= b² – 4ac.

Возможны три случая:

D> 0

D= 0

D 0

(слайд 6)

1.Если D> 0

В этом случае уравнение ах²+ bх + с = 0 имеет два действительных корня:

(слайд 7)

2.Если D=0

В этом случае уравнение ах²+ bх + с = 0 имеет один действительный корень:

(слайд 8)

3.Если D

Уравнение ах²+ bх + с = 0 не имеет действительных корней.

(слайд 9)

Правило для решения квадратного уравнения:

1. Вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2. Если дискриминант положителен или равен нулю , то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать , что корней нет.

Формирование умений и навыков.

Решение примеров из учебника №534 (а, в), №535 (б,д), №537 (а,б)

Стадия рефлексии.

1. Тест «Верю, не верю».

Предположения

3.Проанализируем таблицу и с учетом полученных знаний ответим на вопрос, что же мы узнали сегодня на уроке. Работают ученики в таблице, учитель на доске заполняют 5,6 пункт таблицы.

4.Итог урока, оценки учащихся

5.Домашнее задание: №534(б,г,з.), №557 (а)

Формула корней квадратного уравнения

Мы с вами уже знаем, что Квадратным
уравнением называется уравнение вида ,
где  –
переменная, ,
 и
 –
некоторые числа, причем .

В алгебре, геометрии, физике и др. науках очень часто решение
задачи сводится к нахождению корней квадратных уравнений. Поэтому очень важно
научиться решать квадратные уравнения.

Решить уравнение:

Мы с вами решили это уравнение методом выделения полного
квадрата, т.е. применили формулу квадрата разности.

Решить уравнение:

Мы
снова нашли корни уравнения методом выделения полного
квадрата. Но этот метод частенько приводит к громоздким преобразованиям.
Поэтому древние  математики вывели формулу корней квадратного уравнения,
которую можно применять при решении любого квадратного уравнения.

Можно получить эти формулы, решая квадратное уравнение в
общем виде методом выделения полного квадрата.

Итак, рассмотрим
квадратное уравнение общего вида , где .

Мы с вами определили, что знак дроби, записанной в правой
части уравнения зависит от знака дискриминанта. Поэтому при решении этого уравнения
возможны три случая.

Первый случай:

Вывод: уравнение , при , имеет два различных корня. Которые находят по формулам:

Обычно эти формулы объединяют в одну, записывая её следующим
образом:

Второй случай:

Вывод: уравнение , при ,имеет единственный корень. Который вычисляется по формуле:

Третий случай:

Вывод: уравнение
, при ,не имеет корней.

Таким образом: в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение , может иметь:

1.
Два различных корня:  . При .

2.
Один корень: . При .

3.
Не имеет корней. При .

Запишем алгоритм решения квадратных уравнений.

Задание: решить уравнения.

Обратите внимание, второй коэффициент в начальном уравнении
чётный. Есть формула корней квадратного уравнения с чётным вторым
коэффициентом. С помощью неё удобнее вычислять корни. Давайте выведем её.

Давайте найдём корни последнего уравнения по новой формуле.

Итоги:

Выражение  называется
дискриминантом квадратного уравнения.

При решении квадратного уравнения возможны три
случая в зависимости от знака дискриминанта:

1)               
Если ,
то уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формуле: .

2)               
Если ,
то уравнение имеет единственный корень, который вычисляется по формуле .

3)               
Если ,
то уравнение не имеет корней.

формул алгебры для 8 класса PDF: Скачать бесплатно здесь

Формулы алгебры для класса 8: Мы собрали важные формулы алгебры для класса 8 . Эти формулы и алгебраические тождества помогут всем учащимся 8 класса в учебе, а также на выпускных экзаменах.

Алгебра — это обширный раздел математики, в котором мы изучаем математические символы и правила манипулирования этими символами. Для обозначения количества и чисел используются разные символы и буквы.Эти символы используются в уравнениях и формулах для решения различных математических задач. Алгебра имеет множество реальных приложений в различных областях, включая математику, науку, инженерию, медицину и экономику.

Алгебраические тождества для класса 8 вместе с алгебраическими выражениями вводятся в учебную программу CBSE. Поскольку это один из самых важных модулей для класса 8 CBSE, на этой странице мы предоставили полный список важных математических формул для алгебры 8 класса.Изучение этих формул поможет студентам изучить главу «Алгебра» и при необходимости быстро просмотреть все формулы. Embibe рекомендует всем учащимся добавить эту страницу в закладки, чтобы получить доступ к алгебраическим выражениям и формулам класса 8 одним щелчком мыши.

Список формул алгебры для класса 8

Учащиеся, которые ищут полный список математических формул в формате PDF для класса 8 по алгебре, могут обратиться к этой статье. Вы можете проверить список в таблице ниже:

Почти все математические решения NCERT класса 8 для модуля алгебры можно сделать только с использованием этих формул.

Получите подробную таблицу математических формул для класса 8, включая тригонометрию, измерение, прибыль и убыток, вероятность и экспоненты ниже:

Алгебраические выражения и идентичности Формулы класса 8

Алгебраическое тождество — это равенство, которое выполняется для любых значений переменных.Итак, если мы знаем значения слева от выражения, используя алгебраическое тождество, мы можем вывести результат. Алгебраическое выражение содержит две вещи — переменные и константы. Значение переменной изменяется в разных выражениях, а константа остается неизменной.

Важные моменты, касающиеся формул алгебраических выражений.

1. Переменная может принимать любое значение. Значение выражения меняется в зависимости от значения, выбранного для содержащихся в нем переменных.
2. Линия имеет бесконечное количество точек. Переменная может занимать любую позицию в числовой строке.
3. Существуют различные типы алгебраических выражений в зависимости от количества содержащихся в них терминов: Выражения, содержащие один, два и три члена, называются мономиальными, биномиальными и трехчленными выражениями соответственно.
4. Числовой коэффициент члена называется его коэффициентом.
5. Тождество — это стандартное равенство, которое справедливо для всех значений переменных в равенстве.

Примеры формул алгебраических выражений для класса 8

Изучите различные алгебраические тождества для класса 8 с помощью примеров, которые мы привели ниже. Эти примеры помогут вам запомнить формулу алгебры класса 8, которую мы привели выше.

1) Найдите значение 5 ² — 3 ² .

Решение: 5 ² — 3 ² имеет вид: a ² — b ² , где a = 5, b = 3.
Поскольку a ² — b ² = (a + b) (a — b), подставляя значения a и b в это выражение, мы получаем:
5 ² — 3 ²
= ( 5 + 3) (5 — 3)
= 8 x 2
= 16.
Следовательно, ответ — 16.

2) 4 ³ × 4 ² =?

Решение: 4 ³ × 4 ² имеет вид: (a ^m ) (a ⁿ ), где a = 4, m = 3 и n = 2.
Поскольку (a ^m ) (a ⁿ ) = a ^{m + n} , подставляя значения a и b в это выражение, мы получаем:
4 ³ × 4 ²
= 4 ^{3 + 2}
= 4 ⁵
= 1024.
Следовательно, ответ — 1024.

3) Оцените значение (95) ² , используя тождества.

Решение: 95 ² можно записать как (100-5) ² .
Это может быть выражено как (a-b) ² , где a = 100, b = 5.
Поскольку (ab) ² = a ² -2ab + b ² , подставляя значения a и b в это выражение, мы получаем:
95 ²
= (100-5) ²
= 100 ² — 2 x 100 x 5 + 5 ²
= 10000 — 1000 + 25
= 9025.
Следовательно, ответ — 9025.

4) Каково значение x ² + y ² — 10 при x = 0 и y = 0?

Решение : x ² + y ² -10,
Подставляя x = 0 и y = 0 в выражение, получаем:
0 ² + 0 ² -10
= 0-10
= -10
Следовательно, ответ -10.

5) Упростить (a + b + c) (a + b — c)

Решение: Используя алгебраическое выражение: x (a + b) = xa + xb, мы можем упростить уравнение следующим образом:
(a + b + c) (a + bc)
= a (a + bc) + b (a + bc) + c (a + bc)
= axa + axb — axc + bxa + bxb — bxc + cxa + cxb — cxc
= a ² + ab — ac + ba + b ² — bc + ca + cb — c ²
= a ² + b ² — c ² + ab + ba + ca — ac — bc + cb
= a ² + b ² — c ² + 2ab

Теперь, когда мы снабдили алгебраические формулы для класса 8 с примерами, давайте попрактикуемся в некоторых важных вопросах, связанных с алгебраическими формулами и выражениями.

Практические вопросы по формулам алгебры 8 класс

Здесь мы предоставили некоторые практические вопросы по главе «Алгебра» для CBSE Class 8 . Эти вопросы освежат ваши представления и помогут запомнить формулу алгебры, которую мы предоставили выше.

Вопрос 1: Классифицируйте следующие многочлены как одночлены, двучлены, трехчлены. Какие многочлены не попадают ни в одну категорию?

Вопрос 2: Найдите каждый из следующих продуктов:

Вопрос 3: Умножьте моном на бином и найдите значение каждого для x = -1, y = 0,25 и z = 0,005:
(i) 15y ² (2 — 3x)
(ii) -3x (y ² + z ² )
(iii) z ² (x — y)
(iv) xz (x ² + y ² )

Вопрос 4: Упростить:

• (i) 2x ² (x ³ — x) — 3x (x ⁴ + 2x) — 2 (x ⁴ — 3x ² )
• (ii) x ³ y (x ² — 2x) + 2xy (x ³ — x ⁴ )
• (iii) 3a ² + 2 (a + 2) — 3a (2a + 1)
• (iv) x (x + 4) + 3x (2x ² -1) + 4x ² + 4
• (v) a (bc) — b (ca) — c (ab)

Вопрос 5: Используя формулу возведения бинома в квадрат, вычислите следующее:

• (i) (102) ²
• (ii) (99) ²
• (iii) (1001) ²
• (iv) (999) ²
• (v) (703) ²

Часто задаваемые вопросы по алгебраическим тождествам для класса 8

Здесь мы предоставили некоторые из часто задаваемых вопросов, связанных с формулой алгебраического выражения для класса 8.

Q1: Почему алгебра считается важной в математике?

A: Алгебра является одним из важнейших разделов математики наряду с теорией чисел, геометрией и анализом. Понятия алгебры имеют решающее значение для понимания теории уравнений с частными производными. Кроме того, алгебра очень важна в физических системах, таких как движение и силы, а также передача тепла и т. Д.

Q2: Каковы различные компоненты формул и выражений алгебры?

A: Формулы и выражения алгебры можно разделить на следующие компоненты:
1.Алгебраические тождества
2. Законы экспоненты
3. Квадратичные уравнения
4. Другие важные выражения

Q3: В чем разница между алгеброй и арифметикой?

A: Алгебра использует буквы для обозначения значений, которые либо неизвестны, либо могут принимать множество значений. С другой стороны, арифметика — это вычисление определенных чисел. Арифметика состоит из простых операций, таких как деление, умножение, сложение и вычитание, тогда как алгебра — это математика поиска неизвестных значений в уравнении с помощью переменных.

Q4: Что означает слово «алгебра»?

A: Слово «алгебра» имеет несколько связанных значений в математике. Если использовать это как одно слово, это означает « широкая часть математики ». Алгебра также может использоваться с квалификаторами, такими как линейная алгебра, элементарная алгебра, современная алгебра и т. Д.

Теперь, когда мы предоставили все важные формулы алгебры, вам следует пройти пробные тесты по этой главе. Embibe предоставляет бесплатный пробный тест по алгебре для класса 8 , который поможет вам в подготовке.Это поможет сделать ваше путешествие довольно легким. Решите бесплатные вопросы по математике для 8 класса и при необходимости обратитесь к этим формулам.

Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев ниже, и мы свяжемся с вами. Embibe желает вам всего наилучшего!

3487 Просмотры

Алгебраические формулы для класса 8

Алгебраические выражения и идентичности Формулы класса 8

Алгебраические выражения: набор констант и переменных, связанных одной или несколькими операциями сложения, вычитания, умножения и деления, называется алгебраическим выражением. .Различные части алгебраического выражения разделяются знаками «+», «-», «/», «x» называется терминами алгебраического выражения.

Алгебраическое выражение может содержать один член (одночлен), два члена (двучлен), три члена (трехчлен) и более трех членов (полиномиальный).

Константы: это символ с фиксированным значением.

Переменные: Переменные — это символы, которым можно присвоить различные числовые значения.

Факторы: каждая величина, умноженная вместе для образования продукта, называется коэффициентом продукта.

Коэффициент: Любой множитель (непостоянного) члена алгебраического выражения называется коэффициентом оставшегося множителя члена. Он может быть двух типов — числовой коэффициент и буквальный коэффициент.

Многочлены и их типы

Многочлены также называются многочленами. Это алгебраические выражения, содержащие две или более переменных, так что степень переменных в каждом члене является неотрицательными целыми числами.

Возьмите сумму степеней переменных в каждом члене; наибольшая сумма — это степень многочлена.

Типы многочленов:

1. Линейный многочлен — многочлен первой степени.

2. Квадратичный многочлен — многочлен второй степени.

3. Кубический многочлен — многочлен третьей степени.

Алгебраические тождества для класса 8

Алгебраические тождества: алгебраическое тождество — это равенство, которое выполняется для любых значений его переменных. Поскольку тождество выполняется для всех значений его переменных, можно заменить экземпляры одной части равенства другой стороной равенства.

Разумное использование идентификационных данных предлагает ярлыки для решения многих проблем, упрощая манипулирование алгеброй. Ниже приведены списки некоторых общих алгебраических тождеств.

Формулы алгебры 8 класса

Алгебраические выражения и формулы класса 8 тождеств, приведенные ниже, являются извлечением закона произведения и расширением алгебраических выражений, которые следуют закону распределения.

Распределительный закон:

1. a (b + c) = ab + bc

2. (a + b) c = ac + bc

В этой статье алгебраические выражения и формулы тождеств 8-го класса мы собираюсь разобраться с продуктами и расширением форм — (x ± a) (x ± b), (x ± a) ² .

Математические формулы для алгебры 8 класса

(a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

(ab) ² = a ² — 2ab + b ²

(a + b) (ab) = a ² -b ²

(x + a) (x + b) = x ² + (a + b) x + ab

(x + a) (xb) = x ² + (ab) x-ab

(xa) (x + b) = x ² + (ba) x-ab

(xa) (xb) = x ² — (a + b) x + ab

(a + b) ³ = a ³ + 3ab (a + b) + b ³

(ab) ³ = a ³ — 3ab (ab) -b ³

Решенные примеры

1.Найдите следующие продукты:

1. (x + 2) (x + 5)

2. (x + 6) (x-4)

3. (x-3) (x + 7)

Решение:

1. (x + 2) (x + 5)

Таким образом, чтобы решить это, мы можем использовать формулу (x + a) (x + b) = x ² + (a + b) x + ab

Где a = 2 и b = 5.

При замене значения

(x + a) (x + b) = x ² + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 5) = x ² + (2 + 5) x + 10

(x + 2) (x + 5) = x ² + (7) x + 10

Следовательно, (x + 2) (x + 5) равно x ² + 7x + 10

2. (x + 6) (x-4)

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать формулу (x + a) (xb) = x ² + (ab) x-ab

Где a = 6 и b = 4.

При замене значения

(x + a) (xb) = x ² + (ab) x-ab

(x + 6) (x-4) = x ² + (6- 4) x-24

(x + 6) (x-4) = x ² + 2x-24

Следовательно, (x + 6) (x-4) равно x ² + 2x- 24.

3. (x-3) (x + 7)

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать формулу (xa) (x + b) = x ² + (ba) x-ab

Где a = 3 и b = 7.

При замене значения

(xa) (x + b) = x ² + (ba) x-ab

(x-3) (x + 7) = x ² + (7-3) x-21

(x-3) (x + 7) = x ² + 4x-24

Следовательно, (x-3) (x + 7) равно х ² + 4х-24.

Spectrum 6-8 классы по алгебре Учебное пособие по математике — дроби, уравнения, неравенства, с практическими задачами, тесты, ответ на вопросы для домашнего обучения или класса (128 стр.): 9781483816647: Spectrum: Книги

ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАЖНЕНИЯ:

• 11–14, классы 6–8

• 128 страниц, 10,7 дюйма x 8,4 дюйма

• Охватываемые темы: уравнения и неравенства, функции и графики, а также рациональные числа

• Предварительные тесты, пост-тесты, промежуточные тесты и итоговые тесты

• Включает ключ ответа

ЦЕЛЕВАЯ ПРАКТИКА: Учебное пособие по алгебре и математике Spectrum для 6–8 классов обеспечивает целенаправленную практику математического мастерства для детей от 11 до 14 лет.Эта 128-страничная рабочая тетрадь помогает детям укреплять математические навыки с помощью прогрессивных уроков, упражнений по решению проблем и тестов на протяжении каждого урока, чтобы проверить уровень понимания и знаний каждого ученика по предмету.

СООТВЕТСТВУЕТ ТЕКУЩИМ ГОСУДАРСТВЕННЫМ СТАНДАРТАМ: Эта основанная на стандартах рабочая тетрадь поможет вашему ребенку развить беглость и овладеть основными алгебро-математическими навыками, включая уравнения и неравенства, функции и графики, а также рациональные числа.

КАК ЭТО РАБОТАЕТ: Учащиеся начинают каждую главу с предварительного теста, чтобы определить текущее понимание, затем переходят к веселым и увлекательным урокам, которые включают пошаговые примеры и обширные практические страницы.Промежуточные и заключительные тесты позволяют студентам проверить свои знания и убедиться, что они усвоили навыки, необходимые для перехода по учебной программе к следующей концепции.

РАБОТА ВМЕСТЕ: Родители и учителя могут точно контролировать и оценивать обучение и навыки учащихся в классе или дома, используя ключ для ответа, баллы и оценки.

ПОЧЕМУ SPECTRUM: Уже более 20 лет Spectrum предоставляет решения для родителей, которые хотят помочь своим детям продвигаться вперед, и для учителей, которые хотят, чтобы их ученики достигли поставленных целей обучения и превзошли их; рабочие тетради также являются отличным ресурсом для домашнего обучения.Spectrum вместе с вами поддерживает образовательный путь вашего ребенка на каждом этапе его пути.

Wolfram | Примеры альфа: Common Core Math: Grade 8: Expressions & Equations

Выражения

Работа с эквивалентными выражениями.

Используйте законы экспоненты для упрощения выражений (CCSS.Math.Content.8.EE.A.1):

Другие примеры

Уравнения

Представляйте и решайте задачи с помощью уравнений.

Решите уравнение (CCSS.Content.Math.8.EE.C.7):

Решите уравнение с показателями степени (CCSS.Content.Math.8.EE.A.2):

Найдите уравнение прямой между двумя точками (CCSS.Content.Math.8.EE.B.6):

Решите систему уравнений (CCSS.Content.Math.8.EE.C.8):

Другие примеры

Научная нотация

Используйте экспоненциальное представление для представления больших и малых чисел.

Преобразование между стандартной и научной нотацией (CCSS.Content.Math.8.EE.A.3):

Сравните числа, выраженные в экспоненциальном представлении (CCSS.Content.Math.8.EE.A.3):

Выполняйте вычисления в экспоненциальной нотации (CCSS.Content.Math.8.EE.A.4):

Другие примеры

Gr8 Математика

1. Целые числа
   1. Свойства целых чисел
   2. Расчеты с целыми числами
   3. Кратные, множители и простые множители
   4. Решение проблем
2. Целые числа
   1. Что за пределами
   2. Сложение и вычитание с целыми числами
   3. Умножение и деление на целые числа
   4. Квадраты, кубы и корни с целыми числами
3. Экспоненты
   1. Редакция
   2. Работа с целыми числами
   3. Законы экспонентов
   4. Расчеты
   5. Квадраты, кубы и корни рациональных чисел
   6. Научная нотация
4. Числовые и геометрические узоры
   1. Термин-отношения в последовательности
   2. Отношение позиция-срок в последовательности
   3. Исследование и расширение геометрических узоров
   4. Описание паттернов по-разному
5. Функции и отношения
   1. Постоянные и переменные количества
   2. Различные способы описания отношений
   3. Алгебраические символы для переменных и отношений
6. Алгебраические выражения
   1. Алгебраический язык
   2. Добавляйте и вычитайте похожие термины
7. Алгебраические уравнения
   1. Составление уравнений
   2. Решение уравнений путем осмотра
   3. Еще примеры
8. Пересмотр и оценка срока
   1. Редакция
   2. Оценка
9. Алгебраические уравнения
   1. Составление уравнений
   2. Решение уравнений путем осмотра
   3. Еще примеры
10. Пересмотр и оценка срока
    1. Редакция
    2. Оценка
11. Глава алгебраические выражения
    1. Расширение алгебраических выражений
    2. Упрощение алгебраических выражений
    3. Упрощение частных выражений
    4. Квадраты, кубики и корни выражений
12. Алгебраические уравнения
    1. Думая вперед и назад
    2. Решение уравнений с использованием аддитивных и мультипликативных обратных
    3. Решение уравнений с участием степеней
13. Построение геометрических фигур
    1. Биссектрисы
    2. Построение перпендикулярных линий
    3. Поперечные углы
    4. Построение специальных углов без транспортира
    5. Построение треугольников
    6. Свойства треугольников
    7. Свойства четырехугольников
    8. Построение четырехугольника
14. Геометрия форм
    1. Виды треугольников
    2. Неизвестные углы и стороны треугольников
    3. Типы четырехугольников и их свойства
    4. Неизвестные углы и стороны четырехугольника
    5. Конгруэнтность
    6. Сходство
15. Геометрия прямых линий
    1. Углы на прямой
    2. Вертикально противоположные углы
    3. Линии, пересекаемые трансверсалью
    4. Параллельные прямые, пересекаемые трансверсалью
    5. Нахождение неизвестных углов на параллельных прямых
    6. Решение большего количества геометрических задач
16. Пересмотр и оценка срока
    1. Редакция
    2. Оценка
17. Общие дроби
    1. Эквивалентные фракции
    2. Сложение и вычитание дробей
    3. Десятые, сотые и тысячные
    4. Доля дроби
    5. Деление на дробь
18. Дроби в десятичной системе счисления
    1. Эквивалентные формы
    2. Порядок и сравнение десятичных дробей
    3. Округление десятичных дробей
    4. Расчеты с десятичными дробями
    5. Решение проблем

Примечание. Книги по математике B в настоящее время доступны только в формате PDF.См. Страницу загрузок.

Какие виды математики существуют в 8-м классе? | Образование

Многие американские восьмиклассники учатся на курсах математики, отличных от их сверстников. Основная причина этого заключается в том, что учебная программа в США варьируется в зависимости от штата и часто школьного округа. Кроме того, курсы могут различаться не только в зависимости от местности, но и в зависимости от реальных или предполагаемых математических способностей, как это видно с помощью систем отслеживания, Advanced Placement или коррекционных программ.

Общие сведения

На протяжении большей части второй половины 20 века многие курсы математики для восьмых классов были основаны на арифметике, и учащиеся не изучали алгебру или геометрию до старшей школы, если вообще изучали.Но начиная с 1990-х годов эти предметы — или вводные курсы для них — стали более распространенными в восьмиклассниках по всей стране. Появление продвинутых классов на уровне восьмого класса отчасти было вызвано желанием учащихся из США, отставших в математике по сравнению с некоторыми из их сверстников из первого мира, стать более конкурентоспособными на международном уровне.

Предварительная алгебра

Курс предварительной алгебры восьмого класса почти всегда предшествует первому курсу алгебры девятого класса.Как следует из названия, цель преалгебры — способствовать развитию навыков и концепций, необходимых для успеха в алгебре 1. Темы, изучаемые во время преалгебры, включают продвинутые аспекты арифметики, в частности, классификацию и выполнение операций с рациональными числами с использованием порядок действий. Эти числа включают дроби, квадратные корни, показатели степени и отрицательные числа. Студенты узнают об основных свойствах чисел, таких как ассоциативные, коммутативные и идентификационные свойства. Студенты, изучающие предварительную алгебру, также изучают основные алгебраические концепции, используя переменные для вычисления и упрощения выражений и решения одношаговых уравнений.Они также используют алгебраические концепции для решения задач о процентах и ​​пропорциях и для построения графиков в координатной плоскости.

Алгебра

Учащиеся, изучающие алгебру 1 в восьмом классе, вероятно, завершили курс предварительной алгебры — или, как минимум, общий курс математики, знакомящий с основными алгебраическими идеями — в седьмом классе. Изучив эти концепции, студенты, изучающие алгебру 1, большую часть года уделяют решению линейных и квадратных уравнений, неравенств и систем уравнений.Они сталкиваются с множеством типов уравнений, решение которых может повлечь за собой такие процессы, как факторинг, подстановка или квадратная формула. Они начинают понимать уравнения как функции, особый тип количественной взаимосвязи, и строят графики линейных и квадратичных функций на координатной плоскости.

Геометрия

В некоторых округах учащиеся, изучающие геометрию в восьмом классе, могут быть очень продвинутыми (уже изучив алгебру 1 в седьмом классе), или округ может упорядочить курсы в менее традиционном порядке, в результате чего Алгебра 1 будет изучаться в девятом классе. оценка.Хотя предварительные курсы геометрии довольно редки, большинство студентов, изучающих геометрию, имеют начальную степень знакомства с основными темами из предыдущих общих курсов математики. Геометрия касается форм, их свойств и отношений между ними. Подробно изученные фигуры включают углы, линии и плоскости, все типы треугольников и все другие типы многоугольников, такие как цилиндры, сферы, пирамиды и круги. Студенты также изучают концепции конгруэнтности, биссектрис угла, подобных фигур, параллельных и перпендикулярных прямых, а также строят доказательства, основанные на теоремах и постулатах.

Смешанный

Многие школы предлагают курсы, сочетающие компоненты геометрии, алгебры и продвинутой арифметики. У этих курсов может быть много названий, но часто они известны просто как «математика для восьмого класса». В дополнение к геометрическим, алгебраическим и предалгебраическим темам, смешанные курсы часто включают единицы по ощущению чисел и операциям, измерениям, научным обозначениям, абсолютным значениям, площади и периметру. Другие могут включать блоки по анализу данных, статистике и вероятности.

Ссылки

Ресурсы

Биография писателя

Эми Харрис, живущая в западном Нью-Йорке, начала писать для Demand Media и Great Lakes Brewing News в 2010 году.Харрис имеет степень бакалавра математических наук Университета Пенсильвании; она преподавала математику в средней школе в течение нескольких лет, а также работала в области педагогического дизайна.

Заданий по алгебре

Добро пожаловать на страницу рабочих листов по алгебре на Math-Drills.com, где неизвестные являются обычным явлением, а переменные — нормой. На этой странице вы найдете рабочие листы по алгебре в основном для учащихся средних школ по таким темам алгебры, как алгебраические выражения, уравнения и функции построения графиков.

Эта страница начинается с некоторых пропущенных рабочих листов для младших школьников. Затем мы сразу переходим к алгебре, помогая студентам распознавать и понимать основной язык, связанный с алгеброй. Остальная часть страницы охватывает некоторые из основных тем, с которыми вы столкнетесь в модулях алгебры. Помните, что, обучая студентов алгебре, вы помогаете создавать будущих финансовых гениев, инженеров и ученых, которые решат все проблемы нашего мира.

Алгебра намного интереснее, когда вещи более реальны.Решать линейные уравнения намного веселее с двумя весами, загадочными мешочками и кучей мармеладов. Многие учителя используют плитки алгебры, чтобы помочь студентам понять различные темы алгебры. И нет ничего лучше набора осей координат для решения систем линейных уравнений.

Самые популярные задания по алгебре на этой неделе

Рабочий лист свойств и законов чисел

Коммутативный закон

Коммутативный закон или коммутативное свойство гласит, что вы можете изменить порядок чисел в арифметической задаче и при этом получить те же результаты.В контексте арифметики он работает только с операциями сложения или умножения , но не с смешанными операциями сложения и умножения. Например, 3 + 5 = 5 + 3 и 9 × 5 = 5 × 9. Забавное занятие, которое вы можете использовать в классе, — это мозговой штурм нечисловых вещей из повседневной жизни, которые являются коммутативными и некоммутативными. Например, надевание носков является коммутативным, потому что вы можете надеть правый носок, затем левый, или вы можете надеть левый носок, затем правый носок, и вы получите тот же результат.Однако надевание нижнего белья и брюк не является обязательным.

Ассоциативный закон

Ассоциативный закон или ассоциативное свойство позволяет изменять группировку операций в арифметической задаче с двумя или более шагами без изменения результата. Порядок чисел остается неизменным в ассоциативном законе. Как и в случае с законом коммутативности, применяется к задачам только сложения или только умножения.Его лучше всего рассматривать в контексте порядка операций, поскольку он требует, чтобы в первую очередь работали со скобками. Пример ассоциативного закона: (9 + 5) + 6 = 9 + (5 + 6). В этом случае не имеет значения, добавляете ли вы сначала 9 + 5 или 5 + 6, вы получите тот же результат. Студенты могут вспомнить несколько примеров из своего опыта, например, ставить предметы на поднос во время обеда. Они могут сначала положить на поднос молоко и овощи, затем бутерброд, или начать с овощей и бутерброда, а затем добавить молоко.Если их лоток выглядит одинаково оба раза, они смоделировали ассоциативный закон. Можно утверждать, что чтение книги является ассоциативным или неассоциативным, поскольку потенциально можно сначала прочитать последние главы и при этом понять книгу так же, как и тот, кто читает книгу обычным способом.

Обратные отношения с

один пробел

Рабочие листы обратных соотношений охватывают навык предварительной алгебры, призванный помочь учащимся понять взаимосвязь между умножением и делением, а также взаимосвязь между сложением и вычитанием.

Обратные отношения с

двумя пробелами

Пропущенные числа или неизвестные в таблицах уравнений

Отсутствующие числа в таблицах уравнений трех типов: пробелы для неизвестных, символы для неизвестных и переменные для неизвестных.

Рабочие листы с пропущенными номерами с

пропусками как неизвестные

В этих таблицах неизвестное ограничено стороной вопроса в уравнении, которая может быть слева или справа от знака равенства.

Рабочие листы с пропущенными числами с

неизвестными символами

Равенства с добавлением

с обеих сторон уравнения и символов в качестве неизвестных

Рабочие листы с пропущенными числами с неизвестными

переменных

Решение простых линейных уравнений

Рабочие листы по алгебраическим выражениям

Использование распределительного свойства

Дистрибутивность — важный навык в алгебре.Проще говоря, это означает, что вы можете разделить один из множителей при умножении на слагаемые, умножить каждое слагаемое отдельно, сложить результаты, и вы получите тот же ответ. Это также полезно в мысленной математике, и пример этого должен помочь проиллюстрировать определение. Рассмотрим вопрос 35 × 12. Разделение 12 на 10 + 2 дает нам возможность мысленно ответить на вопрос, используя свойство распределенности. Сначала умножьте 35 × 10, чтобы получить 350. Во-вторых, умножьте 35 × 2, чтобы получить 70.Наконец, прибавьте 350 + 70, чтобы получить 420. В алгебре свойство распределения становится полезным в тех случаях, когда нельзя легко сложить другой множитель перед умножением. Например, в выражении 3 (x + 5) нельзя сложить x + 5, не зная значения x. Вместо этого свойство распределения можно использовать для умножения 3 × x и 3 × 5, чтобы получить 3x + 15.

Вычисление алгебраических выражений

Правила экспонент и свойства

Практика с

базовыми правилами экспоненты

Как сказано в названии, эти рабочие листы включают только основные вопросы по правилам экспоненты.Каждый вопрос имеет дело только с двумя экспонентами; запутанные сложные термины и вещи, которые мог бы понять более продвинутый студент, остаются в покое. Например, 4 ² равно (2 ² ) ² = 2 ⁴ , но эти рабочие листы просто оставляют его как 4 ² , чтобы учащиеся могли сосредоточиться на изучении того, как умножать и делить показатели более или менее в изоляции.

Линейные выражения и уравнения

Рабочие листы линейных уравнений, включая упрощение, построение графиков, оценку и решение систем линейных уравнений.

Перевод алгебраических фраз словами в алгебраические выражения

Знание языка алгебры может помочь понять смысл словесных задач и ситуаций за пределами школы. В этих рабочих листах студентам предлагается преобразовать фразы в алгебраические выражения.

Упрощение линейных выражений (объединение одинаковых терминов)

Комбинирование одинаковых терминов — это то, что часто случается в алгебре.Студенты могут познакомиться с темой и немного попрактиковаться с этими рабочими листами. Полоса поднимается с добавлением и вычитанием версий, которые вводят круглые скобки в выражения. Для студентов, которые хорошо разбираются в дробях, упрощение простых рабочих листов алгебраических дробей представляет собой небольшую проблему по сравнению с другими рабочими листами в этом разделе.

Переписывание линейных уравнений

Определение линейных уравнений по наклонам, пересечениям по оси Y и точкам

Линейное уравнение

Графики

Построение графиков линейных уравнений и чтение существующих графиков дают учащимся наглядное представление, которое очень полезно для понимания концепций наклона и пересечения по оси Y.

Решение линейных уравнений с мармеладом — это увлекательное занятие для студентов, впервые изучающих алгебраические понятия. В идеале вам понадобятся непрозрачные пакеты без массы, но поскольку это невозможно (часть без массы), здесь есть небольшое условие, которое на самом деле поможет студентам лучше понять уравнения. Любые мешки, которые вы используете, должны быть сбалансированы по другую сторону уравнения с пустыми мешками.

Наверное, лучший способ проиллюстрировать это на примере.Давайте используем 3 x + 2 = 14. Вы можете распознать x как неизвестное, что на самом деле является количеством мармеладов, которые мы кладем в каждый непрозрачный пакет. Число 3 в 3 x означает, что нам нужно три сумки. Лучше всего наполнить пакеты необходимым количеством мармеладов вне поля зрения учащихся, чтобы им действительно пришлось решать уравнение.

На одной стороне весов с двумя чашами поместите три пакета с мармеладом x в каждом и два рыхлых мармелада, чтобы обозначить + 2 часть уравнения.С другой стороны баланса поместите 14 мармеладов и три пустых мешка, которые, как вы заметите, необходимы для правильного «баланса» уравнения. А теперь самое интересное … если ученики удаляют две рыхлые мармеладки с одной стороны уравнения, все становится неуравновешенным, поэтому им нужно удалить две мармеладки с другой стороны весов, чтобы все оставалось равным. Кушать мармелад необязательно. Цель состоит в том, чтобы изолировать мешочки с одной стороны весов без каких-либо рыхлых желейных бобов, при этом сохраняя баланс.

Последний шаг — разделить сыпучие мармеладки с одной стороны уравнения на то же количество групп, что и мешков. Это, вероятно, даст вам хорошее представление о том, сколько мармеладов в каждом пакете. Если нет, съешьте и попробуйте еще раз. Теперь мы понимаем, что это не сработает для каждого линейного уравнения, поскольку трудно получить отрицательные желейные бобы, но это еще одна стратегия обучения, которую вы можете использовать для алгебры.

Решение линейных уравнений

Несмотря на внешность, уравнения типа a / x не являются линейными.Вместо этого они принадлежат к другому виду уравнений. Они хороши для объединения их с линейными уравнениями, поскольку они вводят понятие действительных и недействительных ответов для уравнения (то, что позже будет называться областью определения функции). В этом случае неверными ответами для уравнений в форме a / x являются те, при которых знаменатель становится равным 0.

Линейные системы

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков

Квадратичные выражения и уравнения

Квадратные выражения и рабочие листы уравнений, включая множители, факторинг и решение квадратных уравнений.

Упрощение квадратичных выражений (объединение одинаковых терминов)

Сложение / вычитание и упрощение квадратичных выражений

Множители из квадратичных выражений

Факторинг квадратичных выражений

Рабочие листы факторизации квадратичных выражений в этом разделе содержат множество практических вопросов для студентов, чтобы отточить свои стратегии разложения.Если вы предпочитаете рабочие листы с квадратными уравнениями, см. Следующий раздел. Эти рабочие листы бывают разных уровней, самые простые — в начале. Коэффициенты ‘a’, упомянутые ниже, являются коэффициентами члена x ² , как в общем квадратичном выражении: ax ² + bx + c. В этом разделе также есть рабочие листы для вычисления суммы и произведения и для определения операндов для пар суммы и произведения.

Независимо от того, используете ли вы метод проб и ошибок, вычисляя квадрат или общую квадратную формулу, эти рабочие листы включают множество практических вопросов с ответами.В первом разделе рабочие листы включают вопросы, в которых квадратичные выражения равны 0. Это делает процесс аналогичным факторизации квадратичных выражений, с дополнительным шагом нахождения значений для x, когда выражение равно 0. Во втором разделе параметр выражения обычно равны чему-то другому, кроме x, поэтому в начале есть дополнительный шаг, чтобы квадратное выражение стало равным нулю.

Решение квадратных уравнений , что равняется нулю (e.грамм. ax² + bx + c = 0)

Решение квадратного уравнения , которое равно целому числу (например, ax² + bx + c = d)

Другие полиномиальные и мономиальные выражения и уравнения

Таблицы факторинга неквадратичных выражений разного уровня сложности.

Упрощающие полиномы , включающие сложение и вычитание

Упрощение многочленов , включающих умножение и деление

Упрощение полиномов , включающих сложение, вычитание, умножение и деление

Факторинговые выражения, которые

не включают квадратную переменную

Факторинговые выражения

, которые всегда включают квадратную переменную

Факторинговые выражения

, которые иногда включают квадрат переменных

Умножение многочленов на два множителя

Умножение многочленов на три множителя

Неравенства с графами

Рабочие листы неравенств, включающие запись неравенства, которое соответствует графику, и отображение неравенств на числовой прямой.