Теоремы по геометрии 7 класс
Т. Свойство смежных углов.
Дано: ∟ АОВ и ∟ ВОС – смежные
_________________________ Доказать: ∟ АОВ + ∟ ВОС = 1800
Доказательство:
По условию ∟ АОВ и ∟ВОС – смежные, значит ∟ АОВ + ∟ ВОС = ∟ АОС
∟ АОС – развернутый (по определению), значит ∟ АОС = 1800
Из первого и второго равенств следует, что: ∟ АОВ + ∟ВОС = 1800. Вывод.
Т. Свойство вертикальных углов.
Дано: ∟ АОВ и ∟СОД – вертикальные
Доказать: ∟АОВ = ∟СОД
Доказательство:
∟ АОВ и ∟ ВОС – смежные (по определению), значит ∟АОВ + ∟ ВОС = 1800.
∟АОВ = 1800 — ∟ ВОС
∟ ВОС и ∟ СОД – смежные (по определению), значит ∟ ВОС + ∟СОД = 1800.
∟СОД = 1800 — ∟ВОС
Из первого и второго равенств следует, что: ∟ АОВ = ∟СОД (если в двух равенствах правые части равны, то и левые части равны). Вывод.
Т. Первый признак равенства треугольников (по СУС).
Дано: Δ АВС, Δ А1В1С1,
АВ = А1В1, АС = А1С1, А = А1
Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1
Доказательство:
Наложим Δ АВС на Δ А1В1С1 так: вершину А совместим с вершиной А1, луч АВ с лучом А1В1.
По условию ∟А = ∟ А1, значит луч АС совместится с лучом А1С1.
По условию отрезок АВ = А1В1, значит точка В совместится с точкой В1,
отрезок АС = А1С1, значит точка С совместится с точкой С1.
Значит, весь Δ АВС полностью совместился с Δ А1В1С1, значит Δ АВС =Δ А1В1С1(по опр). Вывод.
Т. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС
Доказать: ∟ А = ∟ С
Доказательство:
1)Дополнительное построение: проведем биссектрису ВД.
2)Рассмотрим Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного треугольника),
б) ВД – общая сторона,
в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟АВС)
__________________________________________
Значит, Δ АВД = Δ СВД (по СУС), тогда ∟ А = ∟ С, так как в равных треугольниках соответственные элементы равны. Вывод.
Т. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника,
проведенной к основанию.
Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС,
ВД – биссектриса
Доказать: 1) ВД – медиана, 2) ВД – высота
Доказательство:
1)Рассмотрим Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного треугольника),
б) ВД – общая сторона,
в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟ АВС)
__________________________________________
Значит, Δ АВД = Δ СВД (по СУС). 2) В равных треугольниках соответствующие элементы равны:
а) АД = ДС, значит ВД – медиана ( по определению),
б) ∟ АДВ = ∟СДВ = 1800: 2 = 900 ( так как они смежные ), значит ВД | АС и ВД – высота ( по определению)
Вывод.
Следствия из аксиомы параллельных прямых
Т1
_______________а Дано: а || в, с ∩ в = М
Доказать: с ∩ а
____М___________в
с
Доказательство (методом от противного):
1) Предположим, что с ∩ а, тогда с || а (по определению), в || а (по условию).
2) Получили, что через точку М проходит две прямых: с и в, обе || а.
3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит предположение, что с ∩ а неверно. Тогда с ∩ а. Вывод.
Т 2
______________ а Дано: а || с, в || с
______________ в Доказать: а || в
______________с
Доказательство (методом от противного):
1) Предположим, что а || в, тогда а ∩ в = М. ______________а
2) Получили, что через точку М проходит две прямых: а и в, обе || с.
3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит ______________с
предположение, что а || в неверно. Тогда а || в. Вывод.
Т Сумма углов в треугольнике.
_____________В____а Дано: Δ АВС, обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟С = ∟3.
Доказать: ∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800
А С
Доказательство: 1) Дополнительное построение: через точку В проведем прямую а || АС,
обозначим ∟4 и ∟5.
2) ∟4 + ∟2 + ∟5 = 1800, так как они образуют развернутый угол.
3) ∟4 = ∟1, так как это накрест лежащие углы для а || АС и секущей АВ (по свойству)
∟5 = ∟3, так как это накрест лежащие углы для а || АС и секущей ВС (по свойству)
Значит ∟4 + ∟2 + ∟5 = ∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800. Вывод: ∟А + ∟В + ∟С = 1800.
Т Свойство внешнего угла треугольника.
В Дано: Δ АВС, ∟ВСД — внешний
обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟АСВ = ∟3, ∟ВСД =4.
Доказать: ∟ВСД = ∟А + ∟В
___________________________
А С Д Доказательство:
∟4 + ∟3 = 1800 (смежные), значит ∟4 = 1800 — ∟3
∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800 (по Т о сумме углов в треугольнике), значит ∟1 + ∟2 = 1800 — ∟3
Если в равенствах правые части одинаковые, то и левые части равны: ∟4 = ∟1 + ∟2 .
Вывод: ∟ВСД = ∟А + ∟В
Т Свойство прямоугольного треугольника с углом 300.
В
Дано: Δ АВС, ∟С = 900, ∟В = 300.
Доказать: АС = ½ АВ
А Д Доказательство:
С
∟А + ∟В = 900 (по свойству прямоугольного Δ), значит ∟А = 900 — ∟В = 900 – 300 = 600
Д. п.: приложим к Δ АВС ΔВСД = ΔВСА.
В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит ∟Д = ∟А = 600, ∟ДВС = ∟АВС = 300. Тогда ∟АВД = 300 + 300 = 600 .
Следовательно ΔАВД – равносторонний, значит АВ = ВД = АД (по определению)
АС = СД = ½ АД, но АД = АВ, значит АС = ½ АВ.
(соответст) Вывод.
Т Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому
углу.
А А1Дано: Δ АВС, ΔА1В1С1, ∟С = 900, ∟С1 = 900
АВ = А1В1, ∟А = ∟А1
С В С1 В1Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1
Доказательство:
Сумма острых углов в любом треугольнике равна 900, значит
∟А + ∟В = 900, следовательно ∟В = 900 — ∟А
∟А1 + ∟В1 = 900, следовательно ∟В1 = 900 — ∟А1
Если в двух равенствах правые части равны, то и левые части равны, значит ∟В = ∟В1
Тогда Δ АВС = Δ А1В1С1 (по УСУ). Вывод.
infourok.ru
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ПО ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАСС
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ПО ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАСС
1.
Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в
переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
2.
В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости.
В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
3.
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки
называются концами отрезка.
4.
Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка —
вершиной угла.
5.
Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной
прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
6.
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
7.
Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на
два равных отрезка.
8.
Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий
его на два равных угла.
9.
Угол называется прямым, если он равен 90°.
10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов
равна 180°.
13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если
они образуют четыре прямых угла.
15. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех
точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
16. Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного
треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
18. (Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и
угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и
углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
19. (Т. о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой,
можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
20. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
21. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной
стороны.
22. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из
вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
23. (Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом
треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной
точке.
24. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона —
основанием равнобедренного треугольника.
25. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
26. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном
треугольнике углы при основании равны.
27. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном
треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и
высотой.
28. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию,
является биссектрисой и высотой.
29. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
30. (Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два
прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и
двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
31. (Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
32. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех
точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
33. Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какойлибо её точкой.
34. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
35. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
36. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
37. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
38. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
39. (Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
40. (Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
41. (Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам)
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
42. Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
43. (Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только
одна.
44. (Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной
прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
45. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
46. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
47. Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то,
что требуется доказать).
48. Теоремой, обратной данной,называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
49. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые
пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
50. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые
пересечены секущей, то соответственные углы равны.
51. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые
пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
52. (Т. о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна
180°.
53. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с какимнибудь углом этого треугольника.
54. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не
смежных с ним.
55. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
56. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
57. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
58. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла,
называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол —
катетами.
59. (Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В
треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против
большего угла лежит большая сторона.
60. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
61. (Признак равнобедренного треугольника) Если два угла треугольника
равны, то треугольник равнобедренный.
62. (Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон.
63. (Свойство прямоугольного треугольника) Сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника равна 90°.
64. (Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
65. (Свойство прямоугольного треугольника) Если катет прямоугольного
треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
66. (Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны
катетам другого, то такие треугольники равны.
67. (Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и
острому углу) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому
углу другого, то такие треугольники равны.
68. (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
69. (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники
равны.
70. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра,
проведённого из этой точки к прямой.
71. (Т. Свойство параллельных прямых) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
72. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
freedocs.xyz
Тест репетитора по математике для 7 класса. Определения и теоремы
Для успешного освоения геометрии в 7 классе репетитор по математике в той или иной форме отрабатывает с учеником определения, свойства и признаки изучаемых понятий. Предлагаю Вашему вниманию он-лайн вариант проверки уровня теоретических знаний школьника. Он рассчитан для работы с программой учебника Атанасяна. За исключением простейших вопросов на смежные / вертикальные углы и некоторых начальных сведений вводной части учебника тест позволяет репетитору по математике осуществить комплексную проверку всех основных фактов и понятий. Математика 7 класс он-лайн — Определения и теоремы.
Задание 1. Сопоставьте номера признаков равенства треугольников с их сокращенными формулировками.
Ответ:
| 1: …По двум сторонам и углу между нимиПо стороне и двум прилежащим к ней угламПо трем сторонам |
| 2: …По двум сторонам и углу между нимиПо стороне и двум прилежащим к ней угламПо трем сторонам |
| 3: …По двум сторонам и углу между нимиПо стороне и двум прилежащим к ней угламПо трем сторонам |
Задание 2. Как называется отрезок, проведенный из вершины треугольника к потиволежащей стороне и делящий эту сторону пополам?
Выберите ответ:
Задание 3. Как называется отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне под прямым углом?
Выберите ответ:
Задание 4. Как называется отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне и делящий угол пополам?
Выберите ответ:
Задание 5. Выберите неверное утверждение из списка.
Выберите ответ:
Задание 6. Выберите верное утверждение из списка.
Выберите ответ:
Задание 7. Выбирите неверное утверждение из списка.
Выберите ответ:
Задание 8. Треугольника называется равнобедренным, если у него …
Выберите ответ:
Задание 9. Укажите свойство медианы в равнобедренном треугольнике.
Выберите ответ:
Задание 10. Выберите верное продолжение фразы: в равнобедренном треугольнике…
Выберите ответ:
Задание 11. Дайте название слудующему утверждению: если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.
Выберите ответ:
Задание 12. Верно ли утверждение: в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные с боковым стоонам равны?
Выберите ответ:
Задание 13. Как называются углы, изображенные на рисунке?
Выберите ответ:
Задание 14. Укажите верное утверждение.
Выберите ответ:
Задание 15. Укажите верное название для следующего утверждения: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Выберите ответ:
Задание 16. Как называется сторона BC в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом А?
Выберите ответ:
Задание 17. Укажите верное свойство угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике.
Выберите ответ:
Задание 18. Выберите верное утверждение из списка.
Выберите ответ:
Задание 19. Укажите верно сформулированное неравенство треугольника.
Выберите ответ:
Задание 20. Укажите верно сформулированную теорему в внешнем угле треугольника.
Выберите ответ:
Задание 21. Чему равна сумма внутренних углов в треугольнике?
Выберите ответ:
Вопрос повышенной сложности: Чему равна сумма внешних углов в треугольнике?
Выберите ответ:
Я хочу отправить результаты на почту
Меня зовут
и я хочу отправить свои результаты
на e-mail
Практически все задания расположены в хронологическом порядке их изучения в школьной программе. С удовольствием бы выдержал эту последовательность полностью, но пока, к сожалению, я не могу менять порядок номеров. Это техническая проблема составления теста, которая в скором времени, я надеюсь, будет решена.
Пройдите тест за 7 класс до начала занятий с предполагаемым репетитором по математике. Его результаты помогут быстрее оценить уровень Вашей подготовки к изучению последующей математики (геометрии) в 8 классе.
Методическое указание репетитора:
Отличие программ 7 класса по учебникам Атанасяна и Погорелова не настолько велико, чтобы репетитору по математике полностью отказаться от использования теста в работе с Погореловым. Главным образом эта разница касается раздела «начальные понятия планиметрии» (которая в тесте не представлена) и некоторых мелких тем, не имеющих тесной связи с дальнейшим изложением: «свойство угла в 30 градусов», «соотношение между углами и сторонами в треугольнике», пересечение медиан, биссектрис и высот … Существенную разницу в учебниках составляет материалы 8 — 9 классов. В присутствии преподавателя ученик может работать с данным тестом в ограниченном режиме, отвечая только на выбранные репетитором по математике вопросы. Удачных размышлений над заданиями!
Информация для преподавателей: составляйте и присылайте Ваши собственные тесты по любым темам за 5 — 11 класс (с вариантами ответов) мне на почту. Если в ответах или формулировках заданий имеются формулы, их можно сфотографировать или сканировать. С удовольствие опубликую лучшие работы.
С уважением, Александр Николаевич, репетитор по математике в Москве.
ankolpakov.ru
Перечень основных элементов знаний курса геометрии 7-9 кл. 1. Определение медианы, биссектрисы, высоты треугольника. 2. Определение смежных углов; св-во смежных углов. 3. Определение вертикальных углов; св-во вертикальных углов. 4. Определение равнобедренного и равностороннего тр-ов. 5. Св-ва равнобедренного тр-ка. 6. Признак равнобедренного тр-ка. 7. Признаки равенства тр-ов. 8. Определение параллельных прямых. 9. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. 10. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 11. Теорема о сумме углов тр-ка. 12. Определение и теорема о внешнем угле тр-ка. 13. Определение остроуг., прямоуг. и тупоугольного тр-ов. 14. Неравенство тр-ка. 15. Теорема о соотношениях между сторонами и углами тр-ка. 16. Св-ва прямоугольных треугольников. 17. Признаки прямоугольных тр-ов. 18. Определение расстояния от точки до прямой. 19. Определение расстояния между параллельными прямыми. 20. Определение выпуклого многоугольника. 21. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника. 22. Определение палллелограмма. 23. Св-ва параллелограмма. 24. Признаки параллелограмма. 25. Определение трапеции. 26. Определение прямоугольной и равнобедренной трапеции. 27. Теорема Фалеса. 28. Определение прямоугольника. 29. Св-ва прямоугольника. 30. Признак прямоугольника. 31. Определение ромба. 32. Св-ва ромба. 33. Признак ромба 34. Определение квадрата. 35. Основные св-ва квадрата. 36. Св-ва площадей. 37. Площадь прямоугольника и квадрата. 38. Площадь параллелограмма. 39. Площадь тр-ка (через высоту, формула Герона) 40.Формула площади прямоугольного тр-ка. ( по его катетам катеты, через высоту) | 41. Теорема об отношении площадей двух тр-ов, имеющих по равному углу. 42. Теорема об отношении площадей двух тр-ов, имеющих по равной высоте. 43. Площадь трапеции. 44. Площадь ромба (через высоту, через его диагонали, формула Герона) 45. Площадь равностороннего тр-ка. 46. Теорема Пифагора. 47. Теорема, обратной теореме Пифагора. 48. Определение отношения двух отрезков. 49. Определение подобных треугольников. 50. Теорема об отношении площадей и периметров подобных тр-ов. 51. Определение коэффициента подобия. 52. Теорема о биссектрисе тр-ка. 53. Признаки подобия тр-ов. 54. Определение средней линии тр-ка. 55. Теорема о средней линии тр-ка. 56. Теорема о точке пересечения медиан. 57. Теорема о высоте прямоугольного тр-ка, проведенной из вершины прямого угла. 58. Какой отрезок наз. средним пропорциональным (геометрическим) для других двух отрезков. 59. Определение сунуса, косинуса, тангенса и котангенса прям. тр-ка. 60. Основное тригонометрическое тождество. 61. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 62.. Определение окружности, хорды, радиуса, диаметра, дуги. |
nsportal.ru
