Задачи по математике виленкин 6 класс: Задача 91 — Математика 6 класс решебник гдз

Рабочая программа факультатива по математике 5 класс

1. Пояснительная записка.

Основная цель изучения математики в 5-6 классах: систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устно и письменно арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами, переводить практические задачи на язык математики, подготовка к изучению систематических курсов алгебры и геометрии.

Математика в начальной школе зачастую для многих школьников достаточно проста и вызывает интерес. Переходя в среднее звено общеобразовательной школы, ученики начинают испытывать определенные трудности в усвоении материала. Это может негативно сказаться на отношении к предмету. Поэтому интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. Необходимо, чтобы уже на начальных этапах обучения ученик почувствовал красоту и занимательность предмета, выходя за рамки обычного школьного учебника. Для формирования устойчивого интереса к предмету, выявления и развития математических способностей учащихся 5-6 классов и была создана программа факультативного курса «За страницами учебника математики». Главная цель курса – заинтересовать школьника математикой. Кроме того, факультативные занятия решают такие актуальные на сегодняшний день задачи, как:

• Адаптация учащихся при переходе из начальной школы в среднее звено;

• Работа с одаренными детьми в рамках подготовки к предметным олимпиадам и конкурсам.

Программа разработана на основе:

• Закона РФ “ Об Образовании”,

• Федерального государственного образовательного стандарта

• Программы по математике для 5 – 6 классов.

При разработке факультативного курса по математике учитывалась программа по данному предмету, но основными все же являются вопросы, не входящие в школьный курс обучения. Программа направлена на расширение и углубление знаний по предмету. Однако, в результате занятий учащиеся должны приобрести навыки и умения решать более трудные и разнообразные задачи, а также задачи олимпиадного уровня. Включенные в программу вопросы дают возможность учащимся готовиться к олимпиадам и различным математическим конкурсам. Особое внимание уделяется решению задач повышенной сложности.

Факультатив также поможет осознать ученику степень своего интереса к предмету и реально оценить возможности овладения им. Для успешного достижения поставленных целей и задач при формировании групп желательно учитывать не только желание ребенка заниматься, но и его конкретные математические способности. Это можно выявить при беседе с учителем начальной школы, а так же по результатам школьных олимпиад или вводного тестирования за курс начальной школы. Оптимальный состав группы – 15 человек. Занятие не должно длиться более 40 минут. Частота занятий – 1 раз в неделю.

Структура программы концентрическая, т.е. одна и та же тема может изучаться как в 5, так и в 6 классах. Это связано с тем, что на разных ступенях обучения дети могут усваивать один и тот же материал, но уже разной степени сложности с учетом приобретенных ранее знаний

Программа может быть эффективно использована в 5-6 классах для работы с детьми, проявляющими интерес к изучению математики.

Направленность курса – развивающая. Прежде всего, он ориентирован на удовлетворение и поощрение любознательности младших школьников. Предлагаемый курс освещает также вопросы, оставшиеся за рамками школьного курса математики.

Особенности курса:

1. Краткость изучения материала.

2. Практическая значимость для учащихся.

3. Нетрадиционные формы изучения материала.

Цели :

• Формирование интереса к изучению математики.

• Раскрытие творческие способности детей;

• Интеллектуальное развитие учащихся;

Задачи:

• Показать приемы и методы решения некоторых нестандартных задач и научить ребят пользоваться ими;

• Обеспечить наблюдение геометрических форм в окружающих предметах, приобрести навыки работы с различными чертежными инструментами;

• Развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память, интуицию и воображение.

Формы контроля.

Факультативные занятия осуществляются на основе безотметочной системы обучения. Используется качественная оценка достижений учащихся. В соответствии с направленностью предмета и возрастом обучающихся в качестве оценки успеха применяется математическая валюта — «квадрики». За любой вид познавательной активности на уроке ученик получает соответствующую купюру. Накопительная система позволяет применить рейтинговую (соревновательную) шкалу. Все накопленные квадрики суммируются и отражаются в специальных личных оценочных листах и классном оценочном листе. Такая система позволяет привлечь самих учащихся к оценке своей работы и работы своих одноклассников. В начале каждого занятия учитель совместно с учениками объявляет цену каждой деятельности. Например: посещение занятия – 1 квадрик, решенная задача – 10 квадриков, подготовка сообщения – 15 квадриков, выполнение презентации – 10 квадриков. С помощью такой валюты можно ввести и систему штрафов, что повысит ответственность за свою деятельность на занятии. В конце изучения каждой темы программы подводятся итоги, и выстраивается рейтинг. По окончании факультативного курса, учащиеся получают удостоверения о прохождении курса с указанием общего рейтинга по итогам обучения.

В качестве итоговых работ по окончании изучения темы учащиеся выполняют проектные и исследовательские работы, презентации, готовят рефераты.

Требования к уровню подготовки обучающихся.

В результате успешного изучения курса учащиеся должны знать:

• признаки делимости чисел;

• способы рациональных вычислений;

• метрическую систему;

• основные признаки и свойства геометрических фигур;

• простейшие формулы для вычисления площадей и объемов геометрических фигур;

• основные понятия комбинаторики.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

• применять приёмы быстрых устных вычислений при решении задач;

• находить наиболее рациональные способы решения логических задач, используя при решении таблицы и «графы»;

• распознавать плоские геометрические фигуры, уметь применять их свойства при решении различных задач;

• применять полученные знания при построениях геометрических фигур и использованием линейки и циркуля;

• решать простейшие комбинаторные задачи путём систематического перебора возможных вариантов;

• уметь составлять и решать занимательные задачи;

• применять полученные знания, умения и навыки на уроках математики.

II. Содержание изучаемого курса.

Программа рассматривает 4 основные темы курса: «Логические задачи», «Из науки о числах», « Комбинаторные задачи», «Знакомство с геометрией».

Тема: Из науки о числах (13 часов).

Десятичная система счисления. Натуральный ряд чисел. Делимость чисел. Приемы рациональных вычислений. Задачи на принцип Дирихле. Текстовые задачи. Задачи на уравнивание.

Тема: Знакомство с геометрией (7 часов).

Простейшие геометрические фигуры: прямоугольник, квадрат, трапеция, параллелограмм, ромб, треугольник, круг. Треугольник. Виды треугольников. Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Прямоугольный треугольник, его элементы, египетский треугольник. Свойства геометрических фигур. Измерения. Вычисление площадей. Простейшие пространственные тела. Вычисление объемов. Задачи на разрезание. Геометрические головоломки со спичками.

Тема: Логические задачи ( 9 часов).

Понятие математической логики. Простейшие логические задачи. Задачи на переливание. Задачи на взвешивание. Логические задачи, решаемые с помощью таблиц. Задачи, решаемые с помощью графов.

Тема: Комбинаторные задачи (5 часов)

Понятие комбинаторики. Метод перебора при решении комбинаторных задач. Построение дерева возможностей. Решение простейших комбинаторных задач.

Практическая работа «Построение «дерева» возможных вариантов при решении комбинаторных задач».

3. Учебно-тематический план курса

«За страницами учебника математики».

5 класс

34 часа (1 час в неделю)

№

п\п

Изучаемый материал

кол-во часов

Организационная форма

I. Из науки о числах

13

1-3

Задачи на делимость чисел.

3

Практикум по решению задач;

работа в группах

4-6

Задачи на принцип Дирихле.

3

Практикум по решению задач;

работа в группах

7-9

Текстовые задачи.

3

Практикум по решению задач

10-11

Задачи на применение рациональных приемов счета.

2

Практикум по решению задач; исследовательская работа.

12-13

Метрическая система мер.

2

Исследовательская работа, защита проектов

II. Знакомство с геометрией

7

14-16

Простейшие геометрические фигуры (круг, треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция), их свойства.

3

Практикум по решению задач;

17-18

Задачи на разрезание и склеивание фигур. Геометрия клетчатой бумаги. Геометрические головоломки со спичками.

2

Практическая работа.

19

Вычисление длины, площади и объема геометрических фигур.

1

Практическая работа;

работа с инструментами

20

Окружность и круг. Деление окружности на части.

1

Практическая работа; практикум по решению задач

Защита проектов.

III. Логические задачи.

9

21-23

Логические задачи. Язык и логика. Сюжетно-логические задачи. Поиски закономерностей.

3

Практикум по решению задач

24-25

Задачи на «переливание».

2

Практикум по решению задач;

исследовательская работа

26-27

Задачи на взвешивание.

2

Практикум по решению задач;

исследовательская работа

28

Логические задачи, решаемые с помощью таблиц.

1

Практикум по решению задач;

29

Задачи, решаемые с помощью графов.

1

Практикум по решению задач;

исследовательская работа.

IV. Комбинаторные задачи.

5

30-34

Простейшие комбинаторные задачи.

Комбинации и расположения.

5

Практикум по решению задач;

Практическая работа; защита проектов

3. Формы и методы проведения занятий.

Изложение материала может осуществляться с использованием традиционных словесных и наглядных методов: рассказ, беседа, демонстрация видеоматериалов, наглядного материала, различного оборудования.

При проведении занятий существенное значение имеет проведение исследовательских работ, выполнение учениками индивидуальных заданий, подготовка рефератов, сообщений, проектный метод. Разнообразие дидактического материала дает возможность применять дифференцированный подход в обучении, что в свою очередь позволит привлечь к факультативным занятиям не только учащихся, уверенно чувствующих себя на уроках, но и учащихся, имеющих нестандартный образ мышления, но не являющихся лидерами на учебных занятиях.

Ведущее место при проведении занятий должно быть уделено задачам, развивающим познавательную активность учащихся.

Предлагаемые факультативные занятия разработаны с учётом учебной программы для общеобразовательных учреждений и ориентированы на многогранное и более углубленное рассмотрение отдельных тем курса математики V класса. При проведении факультативных занятий целесообразно учитывать возрастные и индивидуальные особенности учащихся и использовать разноуровневые задания с учётом учебной программы по математике. На занятиях используется соответствующий наглядный материал, возможности новых информационных технологий, технических средств обучения. В процессе работы преподаватель может с учётом математического развития учащихся сокращать или увеличивать время на изучение определённой темы.

Занятия факультатива проводит учитель первой или высшей категории, имеющий опыт работы, в том числе и с одаренными детьми. А также к проведению занятий можно привлекать старших школьников в качестве консультантов или помощников.

3. Методическое обеспечение.

Примерные темы проектных и исследовательских работ:

Тема: «Из науки о числах».

1. Как люди считать научились?

2. Старинные системы мер.

3. Рациональные приемы счета.

Тема: «Знакомство с геометрией»

1. Геометрия вокруг нас.

2. Вычисляем площади вокруг нас.

3. Считаем объем.

Тема: «Логические задачи»

1. Что такое логика?

2. Взвешиваем и переливаем.

3. Графы и их применение.

Тема: «Комбинаторные задачи»

1. Что такое комбинаторика?

Темы практических работ:

1. Работа с измерительными инструментами.

2. Вычисление площадей.

3. Вычисление объемов.

4. Разрезание и составление фигур.

Дидактические материалы.

Тема: Из науки о числах.

1. Натуральный ряд чисел.

1. Записать миллион:

а) при помощи трех сотен и знаков действий.

б) при помощи шести сотен и знаков действий.

2. В числе 513879406 вычеркнуть 4 цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили наибольшее число.

3. Андрея попросили назвать номер квартиры, которую получила его семья в новом доме. Он ответил, сто этот номер выражается числом, которое в 17 раз больше числа стоящего в разряде единиц номера. Какой номер квартиры у Андрея?

1. Задачи на делимость чисел.

Используя признаки делимости на 2; 3; 4; 5; 9; 10 и т.д. решаются задачи, подобные данным:

Задачи не очень трудные для детей, поэтому их решение не обязательно записывать, можно ограничиться устным подробным ответом.

1. Можно ли разделить на 3 одинаковых букета 21 розу и 17 гвоздик, чтобы в каждом букете были и розы, и гвоздики?».

2. Магазину надо было получить со склада 185 кг конфет в закрытых ящиках. На складе имеются ящики по 16 кг, 17 кг, 21 кг. Каких ящиков и сколько мог получить магазин?

3. В новом девятиэтажном доме, в котором первый этаж отведен под магазин, семья Сережи получила квартиру 211. на каком этаже и в каком подъезде находится эта квартира, если на третьем этаже одного из подъездов этого дома находятся квартиры от 55 до 60) ( все подъезды и этажи одинаковы).

2. Задачи на принцип Дирихле.

Известные в математике задачи про кроликов и кур. «На дворе гуляли кролики и куры. Всего 40 ног и 16 голов. Сколько было кроликов и сколько кур?».

При решении подобных задач необходимо, чтобы дети попытались запомнить алгоритм выполнения действий. Во-первых, надо «поставить» кроликов на 2 лапы и понять, что на земле и у кроликов, и у кур стоит по одинаковому числу ног. Во-вторых, понять, что на каждую голову теперь приходится по 2 ноги на полу, затем из общего количества ног по условию задачи вычесть те, которые на полу – узнаем, сколько поднятых. Но подняли то по 2 лапки кролики. Значит, узнаем ответ на вопрос задачи.

3. Задачи на применение рациональных приемов счета.

1. Найти значение выражения: 2000-1999+1998-1997+1996-…+2-1

2. Сколько надо взять слагаемых суммы 1+2+3+…, чтобы в результате получилось число, в записи которого все цифры одинаковы?

3. Умножение на 11, 25, 10, 50. Умножение чисел, оканчивающихся на 5 самих на себя.

4. Текстовые задачи .

1. Брату с сестрой вместе 24 года. от числа лет брата равны числа лет сестры. Сколько лет брату?

2. Если Сережа поедет в школу на автобусе, а обратно пойдет пешком, то затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же в оба конца поедет автобусом, то затратит всего 30 мин.Сколько времени затратит Сережа на весь путь в школу и из школы, если пойдет пешком?

3. На школьной викторине школьникам предложили 20 вопросов. За правильный ответ ученику ставили 12 очков, а за неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?

Тема: Знакомство с геометрией.

1. Задачи на разрезание.

Разрезать фигуру на требуемое число частей так, чтобы из них можно было составить другую заданную фигуру. Можно использовать игру-головоломку «Танграм».

1. Как разрезать прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 9 см на две равные части, из которых можно составить квадрат?

2. У Ивана имеется деревянный кубик с измерениями 6 см, 12 см и 18 см. Он распиливает его на кубики с ребром 1см и ставит их один на другой. Сможет ли Иван достроить вышку из эжтих кубиков, если даже он заберется на 3-х метровую лестницу?

3. Сколько прямоугольников изображено на рисунке:

2. Геометрия клетчатой бумаги.

Закончить рисунок по образцу.

Рисунок выполняется простым карандашом по линейке в формате 10х10 клеток обычного тетрадного листа по принципу раскраски в шахматном порядке. Пример готового рисунка

4. Геометрические головоломки со спичками.

Проводится под девизом «Спички детям — не игрушка!». Если есть такая возможность, то у каждого ребенка на столе вместо спичек – счетные палочки. Выкладывая из них заданную фигуру, он с помощью заданного количества перемещений палочек должен получить другую фигуру.

5. Вычисление длины, площади и объемов геометрических тел.

Рассматриваются задачи на расчет длин, площадей и объемов различных геометрических фигур по их измерениям. Учащиеся выполняют практические работы по склеиванию геометрических тел, вырезанию фигур и расчет их площадей и объемов.

6. Взаимное расположение прямой и окружности.

Проводятся исследования по взаимному расположению прямой и окружности.

7. Деление окружности на части. Длина окружности и площадь круга.

Рассматриваются задачи на деление окружности на 4, 5, 6 частей. Выполняются практические работы на деление окружности на заданное количество частей. Выполняются измерения длины окружности, вычисляются площадь круга, площадь кругового сектора, площадь сегмента.

Тема: Логические задачи .

1. Задачи на переливание.

Рассматриваются задачи, подобные данной: «Как с помощью двух ведер по 2 л и 7 л можно набрать из реки ровно 3 л воды?».

Задачи решаются в два способа с обязательным оформлением в таблице. Уровень сложности зависит от количества ходов-переливаний.

2. Задачи на взвешивание.

Рассматриваются задачи, подобные данной: «Как с помощью весов без гирь можно ровно за два взвешивания отделить из девяти одинаковых монет одну фальшивую, которая легче по весу?».

Решение рассматривается в виде «дерева» ходов.

3. Логические задачи, решаемые с помощью таблиц.

В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей».

Решение оформляется в виде таблиц, где знаком «+» отмечается возможная, реальная ситуация, а знаком «-» — невозможная по условию задачи. Сложность варьируется от 3-х элементов сравнивания (более простые задачи) до 5-ти (более сложные).

4. Задачи, решаемые с помощью графов.

У трех подружек – Ксюши, Насти и Оли – новогодние карнавальные костюмы и шапочки к ним белого, синего и фиолетового цветов. У Насти цвет костюма и шапочки совпали, у Ксюши ни костюм, ни шапочка не были фиолетового цвета, а Оля была в белой шапочке, но цвет костюма у неё не был белым. Как были одеты девочки?

Тема: Комбинаторные задачи

Основной принцип комбинаторики: «Если одно действие можно выполнить k способами, другое – m способами, а третье – n способами, то все три действия можно выполнить k·m·n способами».

К выводу этого принципа приходим опытным путем, решая задачи на 2 или 3 действия с помощью «дерева». Затем подобные задачи уже решаются быстрее в одно действие. Закон распространяется на 2 и более действий.

1.Сколько 3-х-значных четных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5?.

2. Сколько различных слов можно получит из слова «школа»?

3. Сколько различных букетов, состоящих из трех цветков можно составить из розы, 3 тюльпанов и 2 гладиолусов?

В каждую тему программы включаются игровые и занимательные задачи:

1. Игровые задачи.

К ним относятся задачи; «Как, не отрывая карандаш от бумаги, обвести фигуру так, что бы не проходить по одному месту дважды?». Возможны задачи на раскраски, последовательное соединение точек.

2. «Магические» фигуры.

Знакомство с «магическими квадратами», историческая справка. Построение квадратов 3х3; 5х5. Принцип быстрого построения таких квадратов.

3. Ребусы, головоломки, кроссворды.

Для разгрузки используются почти всегда. Берутся из разнообразных источников, дети могут сами их приносить. Обучение разгадыванию простейших японских числовых кроссвордов.

4. Математические фокусы и софизмы.

Так же используются для разрядки. Например: «Задумайте число, умножьте его на… и т. д. Назовите свой результат и я отвечу, какое число вы задумали.»

5. Занимательный счет.

Приемы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в квадрат. Например, умножение на 4, на 10, на 11, на 25 и др. Использование сочетательного свойства сложения и распределительного свойства умножения, выбор удобного порядка действий.

6. Математические игры.

Многие занимательные игры основаны на свойствах чисел, которые не изучают в школе. Рассматриваются такие игры, как «Битва чисел», «Ним», например: На столе лежат три кучки камешков. В одной кучке один камешек, в другой – два, в третьей – три. Двое играющих берут поочередно камешки, причем за один раз можно взять любое число камешков из одной кучки. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Докажите, что начинающий игру наверняка проиграет. «Игра в 15», знакомство с кубиком Рубика, ханойской башней и т.п., «Математика и шифры».

Литература:

Для учителя:

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика 5 класс, ч.1-2. Учебники для средней школы. – М.: Ювента, 2009.

2. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. «Математика. Задачи на смекалку». М.: «Просвещение», 2009.

3. Пчелинцев Ф.А., Чулков П.В. «Математика. 5-6 класс, уроки математического мышления» — М.: УМЦ «Школа 2000…»

4. Перельман Я.И. Живая математика. М.: Столетие.2009 г.

5. Фарков А.В. Математические олимпиады.5-6 классы. М.: Экзамен.2009 г.

6. Фарков А.В. Математические олимпиады школе. 5-11 классы. М.: Айрис-пресс. 2008 г.

7. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. «За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 – 6 классов сред школ. – М.: «Просвещение», 2008 г.

8. А.Я.Кононов. «Математическая мозаика», М., 2009 г.

9. Ф.Ф.Нагибин. «Математическая шкатулка». М.: Просвещение,2010 г.

10. Д.В.Клименченко. Задачи по математике для любознательных. М.:Просвещение, 2010 г.

11. Тигриная алгебра или математика на человеческом языке. Пер. А.Куликова. М.: Багира, 1994 г.

Для учащихся:

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика 5 класс, ч.1-2. Учебники для средней школы. – М.: Ювента, 2010г.

2. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика 5 класс, М.: просвещение, 2009.

3. Виленкин Н.Я. Математика 5 класс, М.: Мнемозина, 2010.

Интернет – ресурсы.

1. http://mmmf.math.msu.su/archive/20052006/z9/matboi1.html

2. http://mschool.kubsu.ru/ma/t1/5kl/5kl_1.html

3. http://www.adygmath.ru/tmg.html

4. http://intelmath.narod.ru/kangaroo.html

5. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/zanimatelnaya-matematika-5-6-klass

6. http://festival.1september.ru/articles/580791/

▶▷▶▷ гдз по математике 6 класс никольский ответы с объяснением

▶▷▶▷ гдз по математике 6 класс никольский ответы с объяснением

гдз по математике 6 класс никольский ответы с объяснением — ГДЗ по математике за 6 класс СМ Никольский, МК Потапов, Н onlinegdzapp 6 -klassmatematikanikolskij Cached Лучшие гдз по математике за 6 класс , С М Никольский , МК Потапов, НН Решетников, АВ Шевкин ГДЗ по Математике 6 класс: Никольский СМ Решебник gotovoedzinforeshebniki 6 -klassmatematika Cached Онлайн-решебники по математике за 6 класс Никольский С М готовые домашние задания, подробные решения и ответы , без регистрации, бесплатно, круглосуточно, самые актуальные ГДЗ по арифметике ГДЗ по математике 6 класс Никольский учебник gdz-putinainfo 6 -klassmatematika- 6 gdz-po Cached ГДЗ по математике 6 класс Никольский учебник ГДЗ готовые домашние задания учебника по математике 6 класс Никольский Потапов Решетников Шевкин с объяснением решения 2016 ФГОС от Путина 425 (349) ГДЗ ЛОЛ за 6 класс по Математике СМ Никольский, МК gdzlolmatematika 6 -klassnikolskij Cached ГДЗ по математике рабочая тетрадь 6 класс Никольский , Потапов предлагает ребятам комфортно разобраться с внезапными вопросами, возникшими при анализе данного курса Гдз По Математике 6 Класс Никольский Ответы С Объяснением — Image Results More Гдз По Математике 6 Класс Никольский Ответы С Объяснением images Решебник (ГДЗ) по математике 6 класс Никольский, Потапов megareshebarupublreshebnikmatematika 6 _klass Cached Подробный решебник ( ГДЗ ) по Математике для 6 класса , Авторы учебника: Никольский С М, МК ГДЗ по математике 6 класс Никольский Потапов Решетников Шевкин yagdzcom 6 -klassmatematika- 6 gdz- 6 -nikolskij Cached ГДЗ решебник учебник Математика 6 класс С М Никольского, Н Н Решетникова, М К Потапова ГДЗ за 6 класс по Математике СМ Никольский, МК Потапов gdzim 6 -klassmatematikanikolskij Cached ГДЗ содержит верные и подробные ответы с несколькими вариантами решения по Математике за 6 Решебник по математике 6 класс Никольский, Потапов reshebamegdzmatematika 6 -klassnikolskij Cached Справиться с ежедневными проверками заданий поможет решебник по математике за 6 класс Никольского, в котором приведены верные ответы на задачи и тестовые упражнения ГДЗ (решебник) по математике 6 класс Дорофеев, Шарыгин ответы reshatorcomgdz 6 -klassmatematikadorofeev-sharygin Cached ГДЗ по математике 6 класс Дорофеев составлены с учетом требований Министерства образования, в нем доступным языком даны все необходимые рекомендации ГДЗ по Математике учебник за 5 класс: Никольский, Потапов gdzruclass-5matematikanikolskiy Cached ГДЗ : готовые ответы по математике за 5 класс , решебник С М Никольский , ФГОС, онлайн решения 1 2 3 4 5 Next 30,000

• Авторы: Никольский С.М., М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. ГДЗ 6 класс Математика Нико
• льский С.М.
  Решебник по математике 6 класс Никольский ответы. Что интересно, в данном гдз по учебнику Никольского показаны не только сами упражнения, а точнее их решения, но и целая схема, по которой
• ку Никольского показаны не только сами упражнения, а точнее их решения, но и целая схема, по которой…
  Ответы и решения математика 6 класс Никольский С.М., Потапов М.К.. Задание 10 — на рисунке представлено одно из вариантов решения задачи 10.
  Авторы: Никольский С.М., М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. ГДЗ по Математике 6 класс Никольский С.М.
  Решебник предоставит правильные ответы. А с таким помощником и четкими объяснениями это совсем не сложно. У многих родителей тоже были довольно серьезные проблемы с математикой.
  Ответы ко всем учебникам New Opportunities! Никольский С.М. и др. 2013 год. 2012 — 224 с. Пособие содержит выполнение всех заданий из учебного издания Математика.
  Математика 6 класс С.М. Никольский. Только упорный труд сможет сделать из вас гения математики! ГДЗ от Путина 2016 admingdzputina.com.
  ГДЗ по математике 6 класс Никольский С.М. и др. — М.:Просвещение, 2012. Для выбора упражнения нажмите на стрелку вниз, чтобы открылся список.
  You donapos;t have permission to access php-binphpindex.php on this server. Гдз по математике 6 класс виленкин.
  Онлайн решение заданий из уч. Никольского С.М. по математике за 5 класс. …академии наук (1991; академик АН СССР с 1972 года), ставший автором учебника по математике за 5 класс.

а точнее их решения

в данном гдз по учебнику Никольского показаны не только сами упражнения

• МК Потапов
• Потапов gdzruclass-5matematikanikolskiy Cached ГДЗ : готовые ответы по математике за 5 класс
• НН Решетников

гдз по математике класс никольский ответы с объяснением Поиск в Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд Все Видео Новости Картинки Карты Покупки Книги Инструменты поиска На всех языках На всех языках Только на русский За всё время За всё время За час За часа За неделю За месяц За год Все результаты Все результаты Точное соответствие Решебник ГДЗ по математике класс Никольский, Потапов Математика Готовые домашние задания и решебник по математике для класса авторов Никольский СМ, МК Потапов, НН ГДЗ по математике класс Никольский учебник Математика ГДЗ готовые домашние задания учебника по математике класс Никольский Потапов Решетников Шевкин с класс Никольский, Потапов, Решетников Математика ГДЗ klass nikolskij ГДЗ по математике за класс Никольский Решебник, ответы и решения к Никольский, Потапов, Решетников Гдз по математике класс Номер гдз по Номер гдз по ГДЗ по Математике класс Никольский, Решебник г klass nikolskij Готовые домашние задания по математике для класса Никольский ГДЗ с поиском по условию задачи, классам, Математика класс Никольский, Потапов, Решетников klass nikolskij Подробное решение задач по математике для учащихся класса, авторы Математика класс Никольский, Потапов, Решетников ГДЗ учебник по математике класс Никольский авторы ГДЗ учебник по математике Решебник ГДЗ по математике класс Никольский, Потапов reshatorcom klass nikolskijpotapov ГДЗ домашнее задание по математике за класс к учебнику Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин ГДЗ по Математике класс Никольский СМ Решебник nikolskijuchebnik Онлайнрешебники по математике за класс Никольский СМ готовые домашние задания, подробные ГДЗ по математике класс Никольский класс Решебник по математике за класс авторы Никольский издательство Просвещение ГДЗ по Математике класс Никольский Onlinegdznet reshebnikmatema Решебник Математика класс Никольский, Потапов Ответы на задания Ответы Обсуждение вопросов и ГДЗ по математике класс Никольский, Потапов gdzlolnet matematika nikolskij Приведены правильные ответы для учебника по математике класса Никольского, Потапова, Решетникова ГДЗ по Математике класс Никольский, Потапов УрокиТВ reshebnikmatematika Не можешь найти правильный ответ? СмотриГДЗ по Математике класс Никольский Канал на YouTube Задание ГДЗ по математике класс Никольский zadaniematem Ответы Комменты Тест Учебник Задание Чтобы приготовить стекло берут частей поташу, часть Задание Математика класс Никольский СМ watch Продолжительность Опубликовано апр г гдз потапов никольский решетников шевкин класс sotelpermru site gdzpotapovnikols окт г с подробным объяснением ГДЗ по Математике за класс Ответы по математике класс Никольский, Потапов, Решебник по математике класса никольский потапов Задание Математика класс, Никольский СМ, МК domashkasu mathematikanikolskij Решение задания Математика класс, Никольский СМ, МК Потапов, Н Н Решетников Математика, класс Математика класс, Никольский СМ, МК Потапов, НН domashkasu mathematikanikolskij Никольский СМ Математика за класс ГДЗ Математика класс, Никольский СМ, МК Потапов, Учебник Никольский СМ Предмет Математика Решебник и ГДЗ Рабочая тетрадь по Математике класс load matematika Решебник и ГДЗ Рабочая тетрадь по Математике класс просто необходим Вашим детям Пособие собрало в ГДЗ Математика класс Никольский, Потапов, Решетникова matematika nikolskiy Решения и ГДЗ Математика класс Никольский, Потапов, Решетникова Учебник Просвещение с подробным объяснением гдз путина по математике класс никольский sanpatriciorosarioorg original gdzp окт г гдз путина по математике класс никольский ГДЗ по математике класс Никольский Потапов ГДЗ решебник по математике класс Никольский, Потапов класс Математика ГДЗ по математике класс Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин, это хорошее подспорье для более ГДЗ по математике класс Ерина рабочая тетрадь к matematikaklasser ГДЗ к рабочим тетрадям и части по математике класса Ериной ответы на и часть рабочей тетради автора Ерина по математике за класс к Математика класс Никольский ГДЗ дидактические материалы Потапов Шевкин класс klass dmpota ГДЗ к дидактическим материалам по математике класс Потапова Шевкина Все правильные ответы и ГДЗ Математика класс Потапов, Шевкин Дидактические класс Математика Потапов, Шевкин Дидактические материалы с подробным объяснением ГДЗ Математика класс Никольский, Потапов, Решетников Учебник Решение задач с помощью уравнений гдз п математике класс шевкин ctkupavnaru upload gdzpmatemati сент г гдз п математике класс шевкин Ответы по математике класс Никольский, Потапов, Решетников, с объяснением решения ФГОС ГДЗ по математике класс Никольский решебник по математике класс никольский потапов rumeliegitimvakfiorg resimler resheb апр г решебник по математике класс никольский потапов шевкин ответы Потапов Решетников Шевкин с объяснением решения ФГОС Математика класс Никольский, Потапов, ГДЗ по математике класс Никольский, Потапов megabotanme matematika nikolskij ГДЗ по математике за класс Никольский, Потапов Ответы и решение Никольский СМ, Потапов МК, гдз математика кл никольский шевкин Litchfield BZ wwwlitchfieldbz images gdzmatem сент г ответы к рабочей тетради по математике класс Как вам ГДЗ математика класс Никольский, Потапов, с объяснением решения ФГОС ГДЗ по Математике класс ГДЗ рабочая тетрадь по математике класс Потапов Шевкин Математика Подробный решебник ГДЗ к рабочей тетради по математике класс Потапов МК, Шевкин АВ , онлайн ответы на домашнюю работу УМК Математика класс Никольский ГДЗ тесты гдз математика никольский класс Broadview Public wwwbroadviewlibraryorg gdzmatem сент г Вы прочитали Математика класс Никольский отличной Вам учебы! ГДЗ Математика класс Шевкин с объяснением решения ФГОС ГДЗ математика класс Никольский гдз по математике класса потапов SubleBu subleburu generic uploaded gdzp сент г ГДЗ по Математике класс Никольский СМ Авторы Теги Никольский , математика , класс Смотрите ответы по математике класс никольскй Решите пример с объяснением ? помогите пожалуйста!!! гдз по математике класс решетников никольский потапов asppermru content gdzpomatemati нояб г гдз по математике класс решетников никольский потапов решение и сравнить с Математика класс Никольский Потапов Решетников Шевкин с объяснением решения гдз математика класс никольский ответы Fill Your Plate fillyourplateorg upload gdzmatemat сент г гдз математика класс никольский ответы с объяснением решения ФГОС от Путина ГДЗ Математика ГДЗ по математике за класс Никольский СМ, Потапов МК гдз видео математика класс никольский altcru userfiles gdzvideomatemati сент г Ответы и решения математика класс Никольский СМ, Потапов МК Задание на рисунке гдз математика гдз класс никольский потапов cvkhk images library янв г Математика Решебник ГДЗ Математика класс СМ Никольский , МК Потапов , НН с объяснением решения ФГОС Картинки по запросу гдз математика гдз класс ВПР по математике класс варианты с ответами год vpr klass v апр г апреля впервые проведена всероссийская проверочная работа ВПР по математике для гдз по математике класс удк htcserviceru imgeditor gdz_po_mat сент г гдз по математике класс удк ГДЗ по математике за класс, решебник и ответы онлайн Как сделать это задание по матетматике класс виленкин kak Номер ГДЗ по Математике класс Никольский СМ Задача Виленкин Математика класс ответы гдз по математике класс никольского AHRSIndia imagetemp сент г с объяснением решения ФГОС от Путина ГДЗ по математике Тесты по математике гдз класс никольский Математика, решебник, гдз, ответы, готовая домашняя решебник по математике класса с м никольский м к SEAE seaembuorg imagens reshebnikpo нояб г Математика Решебник ГДЗ Математика класс С М Никольский , М К Потапов , НН с объяснением решения ФГОС ГДЗ по математике класс Никольский Потапов ВПР по математике класс ВПР тесты vprpomatemati апр г Решение первого варианта vpr_klass Тренировочная работа ВПР по математике для класса Ответы на контрольную работу по математике класс Математика Ответы на контрольную работу по математике класс Никольский Посмотри ответы прямо сейчас! Попроси больше объяснений; Следить; Отметить нарушение Curoevaz ГДЗ по Математике за класс Никольский СМ Решебник класс Математика ГДЗ готовые ответы по математике за класс, решебник СМ Никольский, ФГОС, онлайн решения на GDZRU Решебник ГДЗ Алгебра и начала математического анализа algebra nikol Где найти нужный решебник ГДЗ по алгебре Никольский класс? Правильный ответ здесь Данный гдз гдз по математике класс к учебнику никольский wwwanadoluparkbahcelercom upload янв г гдз по математике класс к учебнику никольский ответы и решения к учебнику Никольский с объяснением решения ФГОС ГДЗ по математике класс рабочая ГДЗ по математике для класса СМ Никольский klass nikolskij ГДЗ по математике класс СМ Никольский ГДЗ по математике за класс Никольский, это сборник ответов, ГДЗ к задачам на смекалку по математике за классы Шарыгин ИФ можно Учебник по математике класс никольский ответы на все klass uchebni Класс ГДЗ гдз никольский кл wwwrhkru gdznikolskiikl сент г гдз никольский кл ГДЗ по математике класс ГДЗ по математике за класс Никольский Решебник, ответы и с объяснением решения ФГОС ГДЗ по Математике класс решебник по математике класс в письменном виде wwwaudiofriendcz upload upload дек г Номер ГДЗ по математике класс Виленкин Виленкин класс Подробное объяснение тем по математике класс Никольский, Потапов Письменное решение гдз математика класс никольский misccom userfiles gdzmatematika сент г Cached Ответы для гдз по учебнику Математика класс год от автора Решетников Шевкин с объяснением решения ФГОС Математика класс Никольский, ГДЗ решебник ответы по математике класс Никольский ГДЗ ГДЗ решебник ответы по математике класс Никольский учебник книги часть Никольский Потапов Решетников Шевкин с объяснением Ответ покрыть фигурами домино нельзя Похожие запросы гдз по математике класс никольский от путина гдз по математике класс никольский рабочая тетрадь гдз по математике никольский класс гдз по математике класс никольский решатор математика класс никольский скачать никольский класс учебник онлайн гдз по математике класс никольский ягдз математика шестой класс никольский Следующая Войти Настройки Конфиденциальность Условия

Авторы: Никольский С.М., М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. ГДЗ 6 класс Математика Никольский С.М.
Решебник по математике 6 класс Никольский ответы. Что интересно, в данном гдз по учебнику Никольского показаны не только сами упражнения, а точнее их решения, но и целая схема, по которой…
Ответы и решения математика 6 класс Никольский С.М., Потапов М.К.. Задание 10 — на рисунке представлено одно из вариантов решения задачи 10.
Авторы: Никольский С.М., М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. ГДЗ по Математике 6 класс Никольский С.М.
Решебник предоставит правильные ответы. А с таким помощником и четкими объяснениями это совсем не сложно. У многих родителей тоже были довольно серьезные проблемы с математикой.
Ответы ко всем учебникам New Opportunities! Никольский С.М. и др. 2013 год. 2012 — 224 с. Пособие содержит выполнение всех заданий из учебного издания Математика.
Математика 6 класс С.М. Никольский. Только упорный труд сможет сделать из вас гения математики! ГДЗ от Путина 2016 admingdzputina.com.
ГДЗ по математике 6 класс Никольский С.М. и др. — М.:Просвещение, 2012. Для выбора упражнения нажмите на стрелку вниз, чтобы открылся список.
You donapos;t have permission to access php-binphpindex.php on this server. Гдз по математике 6 класс виленкин.
Онлайн решение заданий из уч. Никольского С.М. по математике за 5 класс. …академии наук (1991; академик АН СССР с 1972 года), ставший автором учебника по математике за 5 класс.

учебник для 5 класса фгос ОНЛАЙН

Мерзляк А.Г. Математика : 5 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М., 2019. — 304 с. : ил.
Учебник предназначен для изучения математики в 5 классе общеобразовательных организаций. В нём предусмотрена уров-невая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к математике.
Учебник входит в систему «Алгоритм успеха».
Содержание учебника соответствует федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования (2010 г.).

Оглавление
От авторов …3
Раздел I. Натуральные числа и действия над ними
Глава 1. Натуральные числа
§ 1. Ряд натуральных чисел …5
§ 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел …8
Как считали в старину …13
Как называют «числа-великаны» …16
§ 3. Отрезок. Длина отрезка …16
От локтей и ладоней к метрической системе …26
§ 4. Плоскость. Прямая. Луч ..27
О льняной нити и линиях …32
§ 5. Шкала. Координатный луч …34
§ 6. Сравнение натуральных чисел …40
Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме …47
Итоги главы 1 …48
Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел
§ 7. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения …49
§ 8. Вычитание натуральных чисел …55
§ 9. Числовые и буквенные выражения. Формулы …63
Язык, понятный всем …68
§ 10. Уравнение …69
§ 11. Угол. Обозначение углов …73
§ 12. Виды углов. Измерение углов …77
§ 13. Многоугольники. Равные фигуры …85
§ 14. Треугольник и его виды …89
§ 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры …95
Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме …102
Итоги главы 2 …103
Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел
§ 16. Умножение. Переместительное свойство умножения …106
§ 17. Сочетательное и распределительное свойства умножения …114
§ 18. Деление …119
§ 19. Деление с остатком …131
§ 20. Степень числа …135
§ 21. Площадь. Площадь прямоугольника …138
§ 22. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида …145
§ 23. Объём прямоугольного параллелепипеда …153
§ 24. Комбинаторные задачи …160
Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме …167
Итоги главы 3 …168
Раздел II. Дробные числа и действия над ними
Глава 4. Обыкновенные дроби
§ 25. Понятие обыкновенной дроби …170
«Попасть в дроби» …179
§ 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей …180
§ 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями …187
§ 28. Дроби и деление натуральных чисел …191
§ 29. Смешанные числа …194
Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме …202
Итоги главы 4 …203
Глава 5. Десятичные дроби
§ 30. Представление о десятичных дробях …205
От шестидесятеричных к десятичным дробям …210
§ 31. Сравнение десятичных дробей …211
§ 32. Округление чисел. Прикидки …215
§ 33. Сложение и вычитание десятичных дробей …220
Задание № 5 «Проверьте себя» в тестовой форме …228
§ 34. Умножение десятичных дробей …229
§ 35. Деление десятичных дробей …237
§ 36. Среднее арифметическое. Среднее значение величины …247
§ 37. Проценты. Нахождение процентов от числа …252
§ 38. Нахождение числа по его процентам …259
Задание № 6 «Проверьте себя» в тестовой форме …264
Итоги главы 5 …265
Дружим с компьютером …267
Упражнения для повторения за курс 5 класса …273
Итоговые задания в тестовой форме «Проверьте себя» …286
Ответы и указания к упражнениям …293
Алфавитно-предметный указатель …298
Учителю …300

Фрагмент книги

Комбинаторика — математические задачи и вопросы

Количество обнаруженных проблем: 405

• Предположим 4
  Предположим, что 14% всех стальных валов, произведенных в результате определенного процесса, не соответствуют требованиям, но могут быть переработаны (а не списаны). Рассмотрим случайную выборку из 200 шахт, и пусть X обозначает количество несоответствующих из них, и может быть
• Богатый выход на пенсию
  Вопросы здравоохранения привлекают большое внимание как в академической, так и в политической сферах.Социолог недавно провел опрос граждан старше 60 лет, чей собственный капитал слишком высок, чтобы претендовать на государственное здравоохранение, но у которых нет частного медицинского обслуживания
• Вакцинация
  Охват населения вакцинацией составляет 80%. Невакцинированные составляют 60% всех инфицированных. Какой процент непривитых с большей вероятностью заразится?
• Таблицы смертности
  Таблицы смертности позволяют актуариям получить вероятность того, что человек в любом возрасте проживет определенное количество лет.Страховые компании и другие компании используют такие вероятности для определения премий по страхованию жизни, пенсий и аннуитетных выплат
• Самолет
  Авиационная компания подала заявки на два отдельных контракта с авиакомпаниями, A и B. % шанс выиграть контракт A и 25% шанс выиграть контракт B. Кроме того, он считает, что выигрышный контракт A равен i
• Биномиальная вероятность
  Какова биномиальная вероятность того, что по крайней мере 4 из 6 испытаний (n = 6) являются удалось где φ = 0.50?
• Распространение Covid-19
  На улице А 13 домов подряд. Некий житель первого дома дал положительный результат на Covid-19. Вирус распространяется двумя способами: он может распространиться в следующий дом или прыгнуть прямо в третий дом. Жители дома 2 могут заразиться только одним способом, дом
• Dice 7
  Стандартный кубик с цифрами подбрасывается 210 раз. Каков разумный прогноз количества раз, когда числовой куб упадет на пятерку?
• Какая дробь
  Какая дробь от 1 до 30 простая?
• И / или вероятности
  P (A) = 0.53, P (B) = 0,15 и P (A n B) = 0,18. Найдите P (A U B). Округлите приближения до двух знаков после запятой.
• Вертушка
  Вертушка внизу вращается 12 раз. Он приземлился на I 4 раза, II 7 раз и 1 раз на III. В чем разница между экспериментальной и теоретической вероятностями приземления на II?
• Пятизначный код
  У меня на сумке пятизначный код, который я забыл. Все, что я помню, это то, что это было симметричное число, и сумма его цифр была 22. Напишите все числа, которые могут быть кодом..
• Курильщик мужчина
  Для человека, случайно выбранного из определенной популяции, события A и B определяются следующим образом. A = событие, если человек является мужчиной. B = событие, если человек является курильщиком. Для этой конкретной популяции установлено, что P (A) = 0,53, P (B) = 0,15 и P (A n B) = 0,1
• Шахматные фигуры
  В коробке 5 черных шахматных фигур. Сколько белых фигур мы должны добавить в это поле, чтобы вероятность вытащить черную фигуру была 1: 4?
• Правый ключ
  В хостеле 4 комнаты.Ключи от каждой комнаты не пронумерованы. Каждый из четырех гостей взял по одному ключу. Какова вероятность, что все взяли правильный ключ?
• Распределение Пуассона — ромашки
  Луг за ФЛД был разделен на 100 равных по размеру частей. Впоследствии выяснилось, что в десяти из этих частей не было ромашек. Оцените общее количество ромашек на лугу. Предположим, что ромашки распределены на лугу случайным образом.
• В PE
  В PE учащиеся играют в игру, в которой они выполняют различные упражнения в зависимости от цвета мрамора, нарисованного тренером Форбсом.У тренера Форбса есть банка с 6 красными шариками, 12 синих шариков, 16 пурпурными шариками, 2 зелеными шариками и 4 желтыми шариками. Какова вероятность
• Три города и дороги
  Если есть 3 дороги из города A в город B и 4 дороги из города B в город C, сколькими способами можно пройти из города A в город C и обратно в город A через город B, не проезжая дважды по одной и той же дороге?
• Хоккейные чемпионаты
  На чемпионате мира по хоккею 2021 года в группе А будет восемь команд, каждая из которых сыграет по семь матчей.Каждая команда получает по 4 очка (3-2-1-0), но всегда в паре с очками соперника (0-1-2-3). Сколько там баллов
• Три предмета
  В классе из 40 учеников 18 сдали математику, 19 сдали счета, 16 сдали экзамен по экономике, 5 только по математике и счетам, только по математике 6, только по 9 счетам, 2 счета и только по экономике, если каждый студент предлагал хотя бы один из предметов. а) как ma

Хотите подсчитать количество комбинаций?

Изучение мышления учащихся при ознакомлении с формальной теорией комбинаторики в 12 классе

Комбинаторика | математика | Британника

Полная статья

Комбинаторика , также называемая комбинаторной математикой , область математики, связанная с проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе.Включена тесно связанная область комбинаторной геометрии.

Одна из основных задач комбинаторики — определить количество возможных конфигураций ( например, графов, схем, массивов) данного типа. Даже когда правила, определяющие конфигурацию, относительно просты, перечисление иногда может представлять огромные трудности. Математику, возможно, придется довольствоваться поиском приблизительного ответа или, по крайней мере, хорошей нижней и верхней границей.

В математике обычно говорят, что объект «существует», если математический пример удовлетворяет абстрактным свойствам, которые определяют объект.В этом смысле может не быть очевидным, что существует хотя бы одна конфигурация с определенными заданными свойствами. Эта ситуация порождает проблемы существования и строительства. Снова существует важный класс теорем, которые гарантируют существование определенного выбора при соответствующих гипотезах. Помимо собственного интереса, эти теоремы могут использоваться как теоремы существования в различных комбинаторных задачах.

Наконец, есть проблемы с оптимизацией. Например, функция f , экономическая функция, присваивает числовое значение f ( x ) любой конфигурации x с определенными заданными свойствами.В этом случае проблема состоит в том, чтобы выбрать конфигурацию x ₀ , которая минимизирует f ( x ) или делает ее ε = минимальной, то есть для любого числа ε> 0, f ( x ). ₀ ) f ( x ) + ε, для всех конфигураций x с указанными свойствами.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

История

Ранние разработки

Некоторые типы комбинаторных задач привлекали внимание математиков с давних времен.Магические квадраты, например, представляющие собой квадратные массивы чисел со свойством, что строки, столбцы и диагонали в сумме дают одно и то же число, встречаются в И Цзин, китайской книге, датируемой XII веком до нашей эры. Биномиальные коэффициенты, или целые коэффициенты в разложении ( a + b ) ⁿ , были известны индийскому математику XII века Бхаскара, который в своей книге Līlāvatī («Изящный»), посвященный красивой женщине, привел правила их расчета вместе с наглядными примерами.«Треугольник Паскаля», треугольный массив биномиальных коэффициентов, преподавал персидский философ 13 века Накир ад-Дин ас-Суси.

Можно считать, что на Западе комбинаторика началась в 17 веке с Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, оба из Франции, которые открыли многие классические комбинаторные результаты в связи с развитием теории вероятностей. Термин комбинаторный впервые был использован в современном математическом смысле немецким философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его Dissertatio de Arte Combinatoria («Диссертация о комбинированных искусствах»).Он предвидел применение этой новой дисциплины во всем диапазоне наук. Швейцарский математик Леонард Эйлер был, наконец, ответственен за развитие школы аутентичной комбинаторной математики, начиная с 18 века. Он стал отцом теории графов, когда решил проблему Кенигсбергского моста, и его знаменитая гипотеза о латинских квадратах не была решена до 1959 г. теории, и Джеймс Джозеф Сильвестр открыл много комбинаторных результатов.Британский математик Джордж Буль примерно в то же время использовал комбинаторные методы в связи с развитием символической логики, а также комбинаторные идеи и методы Анри Пуанкаре, которые развились в начале 20 века в связи с проблемой n. тела, привели к дисциплине топологии, которая занимает центральное место в математике. Многие комбинаторные проблемы были поставлены в 19 веке как чисто развлекательные и идентифицированы под такими названиями, как «проблема восьми королев» и «проблема школьницы Киркман».С другой стороны, изучение тройных систем, начатое Томасом П. Киркманом в 1847 году и продолженное Якобом Штайнером, немецким математиком швейцарского происхождения, в 1850-х годах стало началом теории дизайна. Среди самых ранних книг, посвященных исключительно комбинаторике, — это книга немецкого математика Ойгена Нетто Lehrbuch der Combinatorik (1901; «Учебник комбинаторики») и книга английского математика Перси Александра Мак-Магона Combinatory Analysis (1915–16), которые дают представление о комбинаторная теория в том виде, в котором она существовала до 1920 г.

Комбинаторика в 20 веке

Многие факторы способствовали ускорению темпов развития комбинаторной теории с 1920 года. Одним из них было развитие статистической теории планирования экспериментов английскими статистиками Рональдом Фишером и Фрэнком Йейтсом. что породило множество проблем, представляющих комбинаторный интерес; методы, изначально разработанные для их решения, нашли применение в таких областях, как теория кодирования. Теория информации, зародившаяся примерно в середине века, также стала богатым источником комбинаторных проблем совершенно нового типа.

Еще одним источником возрождения интереса к комбинаторике является теория графов, важность которой заключается в том, что графы могут служить абстрактными моделями для множества различных схем отношений между множествами объектов. Его приложения распространяются на исследования операций, химию, статистическую механику, теоретическую физику и социально-экономические проблемы. Теорию транспортных сетей можно рассматривать как раздел теории ориентированных графов. Одна из самых сложных теоретических проблем, проблема четырех цветов (см. Ниже), относится к области теории графов.Он также имеет приложения к таким другим разделам математики, как теория групп.

Развитие компьютерных технологий во второй половине 20 века является основной причиной интереса к конечной математике в целом и комбинаторной теории в частности. Комбинаторные проблемы возникают не только при численном анализе, но также при проектировании компьютерных систем и при применении компьютеров к таким задачам, как проблемы хранения и поиска информации.

Статистическая механика — один из старейших и наиболее продуктивных источников комбинаторных задач.С середины 20-го века прикладными математиками и физиками была проделана значительная комбинаторная работа, например работа над моделями Изинга (см. Ниже проблему Изинга).

В чистой математике комбинаторные методы успешно используются в таких различных областях, как вероятность, алгебра (конечные группы и поля, матрица и теория решеток), теория чисел (разностные множества), теория множеств (теорема Спернера) и математическая логика.