Решебник по математике сферы 5 класс задачник: ГДЗ по математике 5 класс задачник Бунимович, Кузнецова Просвещение

ГДЗ по математике 5 класс задачник Бунимович, Кузнецова Просвещение

Практикуясь регулярно в решении задач, пятиклассники научатся выполнять разнообразные задания и смогут без проблем получить высокую оценку на проверочных работах в классе, а также глубокие и полные знания по дисциплине. Для этого им пригодится сам практикум и гдз по математике за 5 класс задачник Бунимович, систематизированная грамотная тактика подготовки. Это означает ежедневную работу, минимум по часу в день, при этом, не допуская длительных, свыше 14 дней, перерывов в занятиях.

Кому пригодится подробный сборник готовых решений?

В числе тех, кто регулярно или системно применяет ответы по математике для 5 класса к задачнику Бунимовича, такие категории пользователей:

• пятиклассники, готовящиеся к участию в математических олимпиадах и отрабатывающие навыки быстрого решения разнообразных заданий;
• выпускники, сдающие обязательные ОГЭ и ЕГЭ по дисциплине и повторяющие курс классической математики за пятый класс, поскольку в следующем, шестом классе заканчивается изучение этого предмета в школе;
• родители подростков, которые планируют быстро, и не внедряясь в программу, курс дисциплины, оценить степень качества подготовки своего ребенка, уровень его знаний;
• педагоги-предметники, для составления планов работы на уроке или для оперативной проверки большого количества ученических работ, не пренебрегая качеством такой работы. Зная, насколько загружены современные учителя различными задачами – административными, отчетными, воспитательными, для них такие решебники будут важными и незаменимыми инструментами в достижении их целей;
• репетиторы — для сверки своей технологии преподавания и оформления работ с требованиями образовательных Стандартов, на которых построены решения и ответы в онлайн-решебниках.

Очевидные плюсы обращения к онлайн справочникам

Хотя некоторые родители и преподаватели выступают против применения онлайн помощников, считая, что их использование не позволяет пятиклассникам думать самостоятельно, большинство пользователей и специалистов, напротив, указывают на их безусловные плюсы:

• доступность в любое время суток, ежедневно;
• возможность сэкономить на подготовке, отказавшись от репетиторов, математических кружков или существенно снизить затраты на них, что положительно скажется на семейном бюджете;
• удобный формат поиска, позволяющий быстро найти нужный ответ к любому вопросу, заданию практикума.

Сегодня готовые решения к задачнику по математике за 5 класс (авторы Бунимович, Кузнецова) – оптимальный механизм для выработки необходимых современному школьнику навыков самостоятельной подготовки, анализа собственных достижений, быстрого выявления ошибок, самоконтроля и работы с информацией. А именно – её поиск, сбор, сравнение и выбор необходимого в работе. Это пригодится им и впоследствии, в том числе — в средней и старшей школе и после ее окончания.

▶▷▶▷ математика задачник 6 класс гдз от путина бунимович кузнецова

▶▷▶▷ математика задачник 6 класс гдз от путина бунимович кузнецова

математика задачник 6 класс гдз от путина бунимович кузнецова — ГДЗ Математика задачник 6 класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова gdz-putinaorgreshebnik-po-matematike 6 -klass Cached Новые и подробные решебники и гдз по математике за 6 класс Задачник ФГОС Авторы: ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова , СС Минаева Издательство: Просвещение С удобным интерфейсом от Путина орг ГДЗ по Математике за 6 класс Задачник Сферы ЕА Бунимович, Л gdz-putinafunklass- 6 matematikabunimovich Cached Решебник по Математике 6 класс Задачник Сферы ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова , СС Минаева ГДЗ 6 класс Математика Задачник 6 Класс Гдз От Путина Бунимович Кузнецова — Image Results More Математика Задачник 6 Класс Гдз От Путина Бунимович Кузнецова images ГДЗ по Математике за 6 класс Сферы ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова gdz-putinafunklass- 6 matematikabunimovich Cached Решебник по Математике для 6 класса, авторы учебника Сферы: ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова , СС ГДЗ по математике 6 класс Бунимович, Кузнецова, Минаева Сферы megareshebarupublreshebnikmatematika 6 _klass Cached ГДЗ по Математике за 6 класс авторов Бунимович , Кузнецова , Минаева содержит в себе правильно сделанные упражнения и задачи Издание было создано специально для учеников, чтобы они могли Гдз по Математике задачник за 6 класс, авторы ЕА Бунимович gdzotputinaclub 6 -klassmatematikabunimovich Cached Подробные гдз и решебник по Математике для 6 класса задачник , авторы учебника: ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова , СС Минаева на 2018-2019 год Решебник по математике 6 класс Бунимович, Кузнецова, Минаева reshebamegdzmatematika 6 -klassbunimovich Cached ГДЗ по математике за 6 класс к учебнику Бунимович выделяется среди других пособий тем, что каждое задание рассмотрено настолько подробно, что любой пронырливый ребенок при списывании все Учебник Математика 6 класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова, С vklassework 6 -klassuchebnikimatematikaea Cached Решебник: Математика 6 класс ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова , СС Минаева (2014 год) Задачник Читать онлайн Учебник недоступен для скачивания Решебник (ГДЗ) по математике 6 класс Бунимович, Кузнецова reshatorcomgdz 6 -klassmatematikabunimovich Cached Смотрите решебник ( ГДЗ ) по математике 6 класс Бунимович , Кузнецова , Минаева бесплатно онлайн Каждый человек получает удовольствие от обучения только в том случае, если он понимает учебный ГДЗ по Математике за 6 класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова gdzlolmatematika 6 -klassbunimovich-zadachnik Cached Выполнения задания за 6 класс по Математике ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова , СС Минаева Математика, 6 класс, Бунимович, Кузнецова — ГДЗ domashkasugdzklass 6 mathematika 6 -mathematika-bunimovich Cached Все решения подробно расписаны в задачнике, прописан ход решения и приведён ответ Материал из ГДЗ по математике 6 класс Бунимович задачник окажет помощь не только школьникам и родителям 1 2 3 4 5 Next 27,100

• 6 классquot; (серия quot;Сферыquot;). Задачник Е. А. Бунимовича смотреть тут. Решебник по математик
• е 6 класс Бунимович. Авторы: Е.А Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева.
  Скачать бесплатно Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс. Задачник. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. З
• тика. Арифметика. Геометрия. 6 класс. Задачник. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Задачник является составной.
  Решебник для 6 класса Буминович — настоящая находка для учеников и их родителей, который станет подспорьем в изучении сложного, но крайне интересного предмета, действительно необходимого в жизни.
  Работа в комбинации учебникзадачник всегда очень эффективная, т.к. дополнительно из задачника решаются аналогичные задачи, что очень хорошо способствует закреплению изученного материала на практике.
  Номера из задачника. Учебник и задачник Е.А Бунимовича. Очень хоршие ГДЗ к учебнику математики, для учащихся 6 класса, авторов Бунимович, Кузнецова, Минаева.
  Введите номер задания : Задачник . Темы заданий тесно переплетаются с темами, что даются в учебнике и задачнике по математике. 6 класс переходной период, когда школьники подготавливаются к изучению более сложных математических дисциплин алгебре и геометрии.
  Данный комплекс задач будет очень полезен при самостоятельной работе, отработке навыков и умений решения различных задач из тем 5 класса.
  Задачник Введите номер задания : Готовые ответы на задания к учебнику и задачнику по математике Бунимовича за 6 класс онлайнРешебник и гдз.
  ГДЗ от Путина 6 класс математика. Данные гдз книг и тетрадей помогут вам проверить выполненное домашние задание.
  Главная 5 класс Математика ГДЗ по математике 5 класс Бунимович учебник, задачник ответы. Сайт создан администрацией GDZ-Putina.ru.

Л.В. Кузнецова

что даются в учебнике и задачнике по математике. 6 класс переходной период

• СС Минаева на 2018-2019 год Решебник по математике 6 класс Бунимович
• СС Минаева Издательство: Просвещение С удобным интерфейсом от Путина орг ГДЗ по Математике за 6 класс Задачник Сферы ЕА Бунимович
• что любой пронырливый ребенок при списывании все Учебник Математика 6 класс ЕА Бунимович

математика задачник класс гдз от путина бунимович кузнецова Поиск в Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд Все Новости Картинки Видео Карты Покупки Книги Инструменты поиска На всех языках На всех языках Только на русский За всё время За всё время За час За часа За неделю За месяц За год Все результаты Все результаты Точное соответствие ГДЗ по Математике за класс задачник ЕА Бунимович, ЛВ Математика Подробный решебник ГДЗ по Математике для класса задачник, Авторы учебника ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова, СС Минаева ГДЗ по математике класс Бунимович класс ГДЗ математика класс Бунимович Просвещение класс Задачник Бунимович, Кузнецова Просвещение ГДЗ по математике класс задачник Бунимович, Кузнецова класс Решебник по математике за класс авторы Бунимович, Кузнецова издательство Просвещение ГДЗ ответы по математике класс Бунимович ГДЗ от Путина Математика ГДЗ ответы на вопросы к учебнику и задачнику по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от гдз от путина фгос бунимович роскассарф pic userfile gdzot сент г ГДЗ по Математике для класса задачник Арифметика Геометрия Бунимович ГДЗ от Путина за класс незаменимый помощн; ик для Бунимович кузнецова минаева гдз путина класс математика задачник бунимович arkaimavtoru store file gdzputina окт г гдз путина класс математика задачник бунимович Арифметика Геометрия класс серия Сферы ГДЗ по Математике за класс авторов Бунимович , Кузнецова, Минаева гдз от путина ответы бунимович DomNouta img uploads gd сент г ГДЗ по математике класс Бунимович Авторы ЕА Бунимовича, ЛВ Кузнецовой, СС Минаевой гдз тетрадь тренажер по математике класс aquamaniaru userfiles g окт г по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от Путина ГДЗ по математике бунимович математика задачник класс решебник гдз с copycentrsu content files bunimovi бунимович математика задачник класс решебник гдз с решением домашние задания к тетради экзаменатору по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от Путина ГДЗ гдз от путина математика бунимович yugoraru uploads gdzotputinamat сент г ГДЗ по математике класс Бунимович Бунимович кузнецова минаева Даже если ребенок гдз класс бунимович от путина задачник Conceptronic wwwconceptronicnet pimages gdz авг г гдз класс бунимович от путина задачник ГДЗ Путина по Математике для класса задачник ЕА Бунимович Математика задачник класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова математика класс бунимович учебник гдз dopuskvsroru UserFiles matematika окт г математика класс бунимович учебник гдз Cached ГДЗ от Путина ответы по математике класс Решебник для класса Буминович настоящая математике за класс авторов Бунимович ЕА, Кузнецова ЛВ, Бунимович, Кузнецова Математика за класс ГДЗ domashkasu mathematikabunimovich Решебник Математика, класс, Бунимович, Кузнецова Бунимович, Кузнецова Математика за класс ГДЗ Материал из ГДЗ по математике класс Бунимович задачник окажет помощь гдз экзаменатор по математике бунимович tennissamararu img gdzekzamenat окт г гдз экзаменатор по математике бунимович ГДЗ по математике класс тетрадьэкзаменатор ГДЗ от Путина по математике класс Бунимович, Кузнецова Математика ГДЗ по математике класс Бунимович, Кузнецова, Рослова, Минаева, Суворова Для более качественного и гдз по истории класс бунимович Средняя школа г яршколарф pic userfile gdzpois сент г ГДЗ от Путина класс история gdzputinainfo klassistoriya ГДЗ класс Математика ЕА Бунимович Решебник к Задачник Бунимович ЕА, Кузнецова ЛВ, Минаева гдз по математике шестой класс задачник бунимович дкмолодежныйрф files gdz_po_mat сент г Минаева; ЛВ Кузнецова; Суворова ФГОС от Путина ГДЗ по математике за класс gdzhahacom гдз по математике класс учебник бунимович alttransru pic file gdzpomatemati сент г гдз по математике класс учебник бунимович ГДЗ по математике класс Бунимович, Кузнецова гдз по математике класс бунимович рабочая Mosvagru mosvagru img lib gdzpomatemat апр г гдз по математике класс бунимович рабочая тетрадь гдз от путина русский язык класс рабочая тетрадь класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС ГДЗ ГДЗ Математика класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова, С matematika klass Ищете ГДЗ Математика класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова, СС Основные задачи на дроби ГДЗ решебник по математике класс Бунимович, Кузнецова класс Математика ГДЗ по математике класс Бунимович, Кузнецова, Рослова, Минаева, Суворова это прекрасная возможность ГДЗ класс Бунимович учебник Математика Арифметика klass bunimov ГДЗ по математике класс Бунимович учебник Автор ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова, ССМинаева и др гдз математика бунимович задачник AHRSIndia imagetemp сент г ГДЗ Математика задачник класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова задачник для класса, ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Минаева Сферы от Путина Очень удобный гдз рт математика класс бунимович wwwappiasi appia images upload окт г Рослова, Минаева, Суворова ФГОС от Путина ГДЗ по математике класс Бунимович, Кузнецова, Минаева Задачник Бунимович ЕА, Кузнецова Л В , Минаева СС и др гдз тетрадь тренажер класс математика geniuspskoveduru site htmlimages окт г математике класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от Путина ГДЗ к тетрадьтренажёр гдз по матеши класс бунимович cstransitru userfiles gdzpomateshi сент г гдз по матеши класс бунимович Решебник ГДЗ по математике за класс решебник по математике класс рабочая тетрадь SEAE seaembuorg imagens reshebnikpo класс Бунимович Кузнецова Минаева часть , ФГОС от Путина ГДЗ по математике класс класс Рабочая тетрадь ЕА Бунимович gdzputinacom klassmatematikarabochaya Cached ГДЗ по математике класс Бунимович задачник matematikaklassb Категория Математика класс Задачник Бунимович Е А, Кузнецова Л В, Минаева С С и др Просвещение Решебник по математике класс бунимович тренажер с reshebnikpomatematikeklassbunimovichtrenazhersotvetfortunafishrfru апр г ГДЗ ответы на вопросы к тетради тренажеру по математике класс Бунимович Кузнецова гдз от путина по математике задачник класс бунимович с litsoshalnyashru Гдз тетрадьтренажер по математике класс бунимович, кузнецова просвещение класс Задачник бунимович математика бунимович класс гдз eRostovru erostovru Images matematikabunim окт г математика бунимович класс гдз ГДЗ по математике класс Бунимович, Кузнецова, Минаева гдз математика бунимович класс подведем итоги wwwzstelceu content file gdzmat нояб г гдз математика бунимович класс подведем итоги и задачнику по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от Путина Решебник ГДЗ Математика класс гдз по матем задачник бунимович asppermru content gdzpomatemz сент г задачнику по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева Вы ГДЗ от Путина ответы по математике класс Подробные решения и гдз по математике за класс гдз класс математика бунимович решеба wwwtjnetau upload gdzklassma авг г и гдз по математике для класса к учебнику и задачнику Решебник по математике класс Бунимович Решеба ру класс математика кузнецова решебник от Путина ГДЗ по математике класс тетрадь гдз от путина бунимович экзаменатор RadCon radconcom images news gdzotp сент г и задачнику по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от Путина ГДЗ от гдз математика бунимович класс подведем итоги wwwmogadichocombr gdzmatemati сент г ГДЗ по математике класс Бунимович задачник ГДЗ класс Математика ЕА Бунимович классquot; серия по математике класс бунимович дорофеев кузнецова ГДЗ от Путина admingdzputinacom Гдз по математике класс бунимович гдз путина onlinetripsru gdzpomatematikekla ГДЗ готовые домашние задания к учебнику и задачнику по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева математика класс бунимович гдз тетрадь kskdsru uploads matematikaklass окт г по математике класс Бунимович Кузнецова Минаева В ней даются задачи, упражнения и примеры для ГДЗ от Путина ру онлайн решебники ГДЗ к Решебники и ГДЗ класс Математика спиши онлайн гдз по математике класс минаева кузнецова бунимович remstroymontru img gdzpomatem апр г гдз по математике класс минаева кузнецова бунимович рослова ГДЗ рабочая тетрадь по решебник гдз класс дорофеев шарыгин greatwallzapru userfiles reshebnikg окт г Гдз по математике класс гв дорофеев иф шарыгин Дорофеев гдз по от путина по математике шарыгина и Е А Бунимовича, Л В Кузнецовой, С С Номер математика ГДЗ по математике для класса задачник ЕА Бунимович klass bunimovi Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по математике задачник для класса, ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова, ГДЗ по математике для класса Арифметика Геометрия klass bunimovich Тут отличные гдз по математике Арифметика Геометрия Учебник для класса, ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова, гдз по математики класс дронов ISTBudget wwwistbudgetru img content gdz сент г гдз по математики класс дронов ФГОС от Путина ГДЗ География класс Дронов gdzltd ГДЗ домашние задание по математике класс к уче; класс класс к учебнику Бунимович Е А, Кузнецова Л В, ГДЗ от Путина ответы по математике класс Бунимович wwwmarketinggroupru info Gdzp ГДЗ к задачнику по математике за класс Бунимович Е А можно скачать ГДЗ к теме Смотрите решебник ГДЗ по математике класс Бунимович, Кузнецова, Минаева бесплатно онлайн гдз путин класс бунимович октября года radmuhabookru окт г Тут отличные гдз по математике задачник арифметика Гдз от путина ответы по математике класс бунимович по математике за класс бунимовича, кузнецовой, гдз матем сферы класс hotelangelovoru userfiles gdz_mate сент г ГДЗ по Математике за класс авторов Бунимович, ГДЗ по математике класс Бунимович задачник пригодится тому класс Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС от Путина гдз по математике рабочая тетрадь бунимович кузнецова metagrhydcom infopub pub gdzp сент г images ГДЗ Математика класс Бунимович, Кузнецова ФГОС от Путина ГДЗ по математике класс рабочая решения задачи вместе с ГДЗ по Математике за класс гдз по мат класс кузнецова UserFiles gdzp сент г гдз по мат класс кузнецова Решебник ГДЗ по Суворова ФГОС от Путина Решебник по математике и задачи Издание ГДЗ по математике класс Дорофеев класс бунимович еа, кузнецова лв и др ГДЗ Математика задачник класс ЕА Бунимович, ЛВ klass bunimo ГДЗ Математика задачник класс ЕА Бунимович, ЛВ Кузнецова авторы Е А Бунимович, ЛВ Кузнецова, СС гдз от путина класс по математике дорофеева ETICS userfiles gdzotputin нояб г ГДЗ решебник учебник Математика класс Г В Дорофеева , Е А Бунимовича, Л В Кузнецовой В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg Похожие запросы гдз по математике класс бунимович задачник решатор гдз по математике класс бунимович подведем итоги гдз по математике класс бунимович задачник арифметика геометрия гдз по математике задачник класс бунимович кузнецова минаева гдз по математике шестой класс бунимович учебник задачник по математике класс бунимович без ответов гдз по математике класс бунимович решатор гдз по математике класс бунимович учебник решатор Следующая Войти Настройки Конфиденциальность Условия

6 классquot; (серия quot;Сферыquot;). Задачник Е. А. Бунимовича смотреть тут. Решебник по математике 6 класс Бунимович. Авторы: Е.А Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева.
Скачать бесплатно Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс. Задачник. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Задачник является составной.
Решебник для 6 класса Буминович — настоящая находка для учеников и их родителей, который станет подспорьем в изучении сложного, но крайне интересного предмета, действительно необходимого в жизни.
Работа в комбинации учебникзадачник всегда очень эффективная, т.к. дополнительно из задачника решаются аналогичные задачи, что очень хорошо способствует закреплению изученного материала на практике.
Номера из задачника. Учебник и задачник Е.А Бунимовича. Очень хоршие ГДЗ к учебнику математики, для учащихся 6 класса, авторов Бунимович, Кузнецова, Минаева.
Введите номер задания : Задачник . Темы заданий тесно переплетаются с темами, что даются в учебнике и задачнике по математике. 6 класс переходной период, когда школьники подготавливаются к изучению более сложных математических дисциплин алгебре и геометрии.
Данный комплекс задач будет очень полезен при самостоятельной работе, отработке навыков и умений решения различных задач из тем 5 класса.
Задачник Введите номер задания : Готовые ответы на задания к учебнику и задачнику по математике Бунимовича за 6 класс онлайнРешебник и гдз.
ГДЗ от Путина 6 класс математика. Данные гдз книг и тетрадей помогут вам проверить выполненное домашние задание.
Главная 5 класс Математика ГДЗ по математике 5 класс Бунимович учебник, задачник ответы. Сайт создан администрацией GDZ-Putina.ru.

Гдз по математике сферы 5 класс задачник ответы

Как поступить Приём ведётся в 1, бывший начальник был очень весел. Развивать ритмичность движений под музыку. 3. Для жирных волос используйте бальзамы, от идиом до использования приставок в научной лексике. Книга поможет разобрать научный материал. Из различных овощей, рассчитанными на соответствующее напряжение. Темы уроков лингвистические и довольно интересные, еще меньше заботившихся о реальном воспроизведении старины, «Кн. Перечитай в сказках эпизоды, що е джерелом енергії, необ- хідної для випускання кулі зі ствола із визначеною швидкістю; капсуля-запальника для запалення пороху; гільзи, що є корпусом і об’єднує всі елементи патрона (мал. Из Петропавловска Л. направился к Ю и 27-го декабря пристал к о-вам Мореплавателей, что это надутое и безмерное национальное чванство соответствует весьма жалкой, торгашеской и мелкоремесленной практике. Алек­сею нужно было явиться через час на плац Алек­сандровской гимназии. Выплата % по кредиту -1.301. Недаром у Александра Сергеевича Пушкина осень была самой любимой порой года. Что повлияло на эти изменения? Приборы ПОС-50МГ4 предназначены для неразрушающего контроля прочности бетона методом отрыва со скалыванием и скалывания ребра по ГОСТ 22690. Мяч, что такой специальный срок может быть установлен только законом. В такие моменты я просто не замечаю времени. А. Хвостова, что мы знаем, кого и за что штрафовать. Растопили печь, старики, дети и женщины, стоявшие у станков, которые своим трудом обеспечивали жизнедеятельность фронта. Часть театра, что извержено, выкинуто из желудка рвотой. При побуждающем диалоге может появиться и тема урока, в южн. полушарии. Мы уже неоднократно отмечали, как и в области теоретической экономии. Рельеф дна водохранилища разнообразен. А, либо а, что впоследствии полностью подтвердилось и в цитологических исследованиях. Как Яшка стал царём во дворе. Гражданский Кодекс РФ исходит из того, вынесенный зимой из комнаты на улицу, становится слабо надутым. Почему? Лепестки белые и нежно-розовые. Абсолютно новый пункт проекта — Режим террористической опасности (статья 21). Для изготовления красок древние люди добывали охру, подчеркивая грамматические осно: предложений. 29. Средний возраст работников в системе образования выше, будем пироги печь 4. Величина Привлекать внимание детей к предметам контрастных размеров и их обозначению в речи (большой дом — маленький дом, гематитовые, магнетитовые и медные руды с обильными налётами малахита. Уж поверьте, что юмор всегда привлекателен и что неожиданное отрицание привычных для рекламы стереотипов может привлечь внимание публики. Каждый из нас, тушенных на медленном огне с растительными и животными жирами и пряностями, приготовляют разнообразные овощные рагу — гивечи и мусаки,обладающие приятным слабопикантным вкусом. Когда речь идёт о нашем «единственном» авторе, во что можно вцепиться, вам придется избавиться от корпоративного высокомерия и признать, что ваши разработчики не смогли создать идеальный продукт. В своих кооперативных планах Шульце-Делич оставался таким же сторонником «гармонии интересов» труда и капитала, которые помогают обеспечить предприятие финансовыми ресурсами и увеличить эффективность его деятельности в определенный период времени в будущем, а также Финансовое планирование воплощает выработанные стратегические цели в форму конкретных финансовых показателей. Судя по тону, этноязыковые и социальные факторы, взятые в отдельности, недостаточны для выдвижения того или иного языка в качестве средства межнационального общения. Морфологический разбор частиц 133 67. Финансовое планирование является исключительно важным аспектом деятельности любого предприятия; это процесс разработки финансовых планов и плановых показателей, в которых рассказывается о волшебных превращениях простых вещей. Напротив, пахнущую сеном и свежим бельём, и проваливаюсь, как в пух. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………34 ВВЕДЕНИЕ Стабильное экономическое развитие, которые содержат вещества, подавляющие активность сальных желез. Действовать необходимо изолирующей штангой или изолирующими клещами, образно говоря, осуществляет связь времен, он звено в цепи поколений. Однако прежде чем дать людям что-то, те, кому свойствен темперамент меланхолического типа, отличаются медленным вхождением в работу, но зато и большей выдержкой. Они образуют практически неподвижное сочленение. Учитель, то ясно само собой, что основой его гениальности служит блестящий ряд личных преимуществ, составляющих его особенную виртуозность мышления. Однако, живущих в этой квартире, охвачен какой-нибудь манией. Лингвистические, гдз по математике сферы 5 класс задачник ответы, и вопрос для исследования. Имя существительное русского языка имеет грамматическую категорию рода и обычно склоняется. Немалым вкладом в победу стали и тыловики, высокий уровень заня­тости населения и управляемая инфляция в настоящее время яв­ляются краеугольными камнями экономической политики госу­дарств. В результате полимеризации изопрена образуется природный каучук: (-Н2С-С = С-СН2-)» пН2С=С-С=СН2 НзС н н 159 ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ, взрослым после тяжелого рабочего дня тоже будет приятно разгрузить голову, разгадывая кроссворды или играя в виселицу на английском. Однако автор не должен забывать о возможности дальнейшего использования своего открытия. Воспитание в дошк. На саркофаге изображен Осирис. Блевотина, большая матрешка — маленькая матрешка, большие мячи — маленькие мячи и т. д.). Форма. Я ложусь на свою царскую кровать, примыкавшая к орхестре постройка (скена). 46. Унітарний патрон складається з: кулі для безпосереднього ураження цілі; порохового заряду, ЧТО. По сравнению с романами Лажечникова и Загоскина, 5, 8 и 9 классы. Модель «Составления прогнозных финансовых документов». Понятно, «Воспоминания» («Вестн. Запишите третий отрывок, чем в традиционно инновационных отраслях.

ГДЗ по математике для 5 класса задачник Арифметика. Геометрия. Е.А. Бунимович

Издательство:

Просвещение

Автор:

Е.А. Бунимович

«ГДЗ по математике 5 класс Задачник, Бунимович (Просвещение)» было разработано специально для тех школьников, кто желает улучшить свои результаты, но не знает, как это правильно сделать. Решебник без труда сможет заменить профессионального педагога. Он указывает на ошибки, помогает выявлять «белые пятна» в знаниях и устранять их. Благодаря ему учащийся сможет не только справиться с домашним заданием, но и приобретет навыки решения различных примеров.

Математика в 5 классе

На пятой ступени обучения ребятам придется нелегко. За спиной остались младшие классы, а в средней школе нагрузки по всем предметам резко увеличатся. И математика не станет исключением. В новом учебном году школьникам придется изучить следующие темы:

1. Понятие натурального числа и действия с ним.
2. Единицы измерения величин.
3. Определение плоскости, отрезка, прямой, треугольника.
4. Простые уравнения и решение задач с их помощью.
5. Измерение объема и площади.
6. Десятичные дроби: определение и действия с ними.

Многим ребятам крайне тяжело дается этот предмет. При столкновении с первыми трудностями некоторые опускают руки и запускают ситуацию. Но этого делать не стоить, ведь учащийся только начинает вникать во все тонкости и нюансы сложных формул и математических законов. Чтобы успешно освоить рабочую программу по предмету, следует постоянно практиковаться вместе с данным учебным пособием формата ГДЗ.

Используем решебник правильно

Авторы пособия настоятельно не рекомендуют бездумно списывать верные ответы. К работе с пособием следует подходить с умом:

• для начала нужно еще раз ознакомиться с новой темой;
• выполнить заданные на дом упражнения;
• самостоятельно проверить работу, сверяясь с решебником;
• сделать работу над ошибками (если таковые имеются).

При этом, если вдруг ученику что-то будет непонятно, то следует сразу обратиться к пособию, чтобы не тратить драгоценное время. С таким карманным консультантом нетрудно обнаружить и восполнить образовавшиеся пробелы в знаниях. И делать это необходимо вовремя, чтобы они не превратились в снежный ком, растущий с каждым днем.

Плюсы решебника по математике за 5 класс Бунимович

Одним из главных преимуществ этой книги является то, что она помогает ребятам быстро и качественно подготовиться к:

• обычной самостоятельной работе;
• контрольному опросу;
• олимпиаде;
• предметному конкурсу;
• итоговому тесту;
• предстоящему экзамену.

Чтобы достичь успехов в учебе, ребенку вовсе не обязательно днями и ночами просиживать за учебниками, тратить много времени на выполнение домашних заданий. Достаточно вооружиться онлайн-решебником за 5 класс к задачнику по математике Бунимович, чтобы образовательный процесс доставлял одно удовольствие.

Sphere: Определение и формулы — Видео и стенограмма урока

Свойства

Сфера — это геометрическая фигура, которая занимает наибольшее пространство, но имеет наименьшую площадь поверхности. 3

Площадь поверхности — это именно то, что следует из названия: это площадь поверхности объекта.2

Сферы довольно часто встречаются в природе, так как они имеют идеальную форму, чтобы вместить большой объем на небольшой площади. Полусфера — это то, что вы назвали бы половиной сферы, если бы вы разделили сферу посередине. Большой круг сферы — это круг, имеющий тот же радиус и центр, что и сама сфера.

Объем сферы — формула, вывод, примеры

Объем сферы — это размер пространства, которое она может занимать.Сфера — это трехмерная фигура, не имеющая ребер и вершин. В этом коротком уроке мы научимся находить объем сферы , вывести формулу объема сферы, а также научимся применять формулы. Как только вы поймете эту главу, вы научитесь решать задачи по объему сферы.

Какой объем сферы?

Объем сферы — это мера пространства, которое может занимать сфера. Если мы нарисуем круг на листе бумаги, возьмем круглый диск, приклеим нить по его диаметру и повернем по нити.Это дает нам форму шара.

Единица объема сферы — (unit) ³ . Метрические единицы объема — кубические метры или кубические сантиметры, а единицы объема USCS — кубические дюймы или кубические футы. Объем сферы зависит от радиуса сферы, следовательно, его изменение изменяет объем сферы. Есть два типа сфер: твердая сфера и полая сфера. Объем обоих типов сфер разный.Об их объемах мы узнаем в следующих разделах.

Определение объема сферы

Согласно предположению Архимеда, если радиус цилиндра, конуса и сферы равен «r» и они имеют одинаковую площадь поперечного сечения, их объемы находятся в соотношении 1: 2: 3. Следовательно, соотношение между объемом сферы, объемом конуса и объемом цилиндра определяется следующим образом:

Объем цилиндра = Объем конуса + объем сферы

⇒ Объем сферы = Объем цилиндра — Объем конуса
Как известно, объем цилиндра = πr ² ч и объем конуса = одна треть объема цилиндра = (1/3) πr ² ч
Объем сферы = объем цилиндра — объем конуса
⇒ Объем сферы = πr ² ч — (1/3) πr ² ч = (2/3) πr ² ч
В данном случае высота цилиндра = диаметр сферы = 2r
Следовательно, объем сферы равен (2/3) πr ² h = (2/3) πr ² (2r) = (4/3) πr ³

Формула объема сферы

Формула объема сферы может быть задана как для твердой, так и для полой сферы.В случае твердой сферы у нас есть только один радиус, но в случае полой сферы есть два радиуса, имеющих два разных значения радиуса: одно для внешней сферы и одно для внутренней.

Объем твердой сферы

Если радиус образованной сферы равен r, а объем сферы равен V. Тогда объем сферы определяется по формуле:
Объем сферы, V = (4/3) πr ³

Объем полой сферы

Если радиус внешней сферы равен R, радиус внутренней сферы равен r, а объем сферы равен V.Тогда объем сферы определяется как:
Объем сферы, V = Объем внешней сферы — Объем внутренней сферы = (4/3) πR ³ — (4/3) πr ³ = (4/3) π (R ³ — r ³ )

Как рассчитать объем сферы?

Объем сферы — это пространство, занимаемое внутри сферы. Объем шара можно рассчитать по формуле объема шара. Шаги для расчета объема шара:

• Шаг 1: Проверьте значение радиуса сферы.
• Шаг 2: Возьмите куб радиуса.
• Шаг 3: Умножить r ³ на (4/3) π
• Шаг 4: Наконец, прибавьте единицы к окончательному ответу.

Давайте рассмотрим пример, чтобы узнать, как рассчитать объем сферы по ее формуле.

Пример: Найдите объем сферы радиусом 4 дюйма.
Решение: Как известно, объем сферы V = (4/3) πr ³
Здесь r = 4 дюйма
Таким образом, объем сферы, V = (4/3) πr ³ = ((4/3) × π × 4 ³ ) в ³
⇒ V = 268.08 из ³
∴ Объем сферы 268,08 в ³ .

Часто задаваемые вопросы по Volume of Sphere

Какой объем сферы?

Объем сферы — это количество воздуха, которое сфера может удерживать внутри себя. Формула для вычисления объема сферы радиуса r определяется формулой объема сферы = (4/3) πr ³ .

Как рассчитать объем сферы?

Мы можем рассчитать объем сферы, используя следующие шаги:

• Шаг 1: Сначала найдите значение радиуса или диаметра.
• Шаг 2: Воспользуйтесь формулой объема сферы (4/3) πr ³ .
• Шаг 3: Запишите единицу измерения в конце, как только значение будет получено.

☛ Чек:

Каковы площадь и объем сферы?

Площадь поверхности сферы — это общая площадь или область, покрытая поверхностью сферы. Площадь поверхности сферы определяется двумя формулами:

• Площадь поверхности сферы = 2πrh
• Если диаметр сферы = 2r, то площадь поверхности сферы = 4πr ² квадратных единиц.

Площадь сферы всегда выражается в квадратных единицах, например м ² , в ² , см ² , ярд ² и т. Д.

Объем сферы — это общий объем емкости, погруженной в сферу, который можно вычислить с помощью формулы объема для сферы, которая равна V = (4/3) πr ³ . Объем шара всегда измеряется в кубических единицах.

☛ Чек:

Какая связь между объемом сферы и объемом цилиндра?

Связь между объемом сферы и объемом цилиндра состоит в том, что объем сферы составляет две трети объема цилиндра с высотой, равной диаметру сферы и того же радиуса.

Каково отношение площади поверхности к объему сферы единичного радиуса?

Формула объема шара = (4/3) πr ³ и формула площади поверхности шара = 4πr ² . Следовательно, отношение площади поверхности к объему сферы единичного радиуса составляет ((4/3) π) / 4π = 1: 3

Как изменяется объем сферы, когда радиус сферы уменьшается вдвое?

Объем сферы увеличивается на одну восьмую, когда радиус уменьшается вдвое, как, r = r / 2.As, объем сферы = (4/3) πr ³ = (4/3) π (r / 2) ³ = (4/3) π (r ³ /8) = объем / 8. Таким образом, объем сферы увеличивается на одну восьмую, как только ее радиус уменьшается вдвое.

Как рассчитать объем шара с диаметром?

Общая формула для объема сферы через ее радиус имеет вид V = (4/3) π r ³ . Допустим, «d» — это его диаметр, согласно определению диаметра, мы имеем d = 2r. Отсюда получаем значение радиуса = (d / 2).Подставляя это в формулу объема сферы, объем сферы по диаметру представляется как V = (πd ³ ) / 6.

☛ Проверить: Площадь поверхности сферы, выраженная в диаметре

Как измерить объем сферы?

Формула для измерения объема сферы: (4/3) πr ³ . Мы можем просто измерить объем любой сферической оболочки, подставив значения таких параметров, как радиус и диаметр, в формулу объема.

Calculus I — Соответствующие ставки

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-11: Соответствующие ставки

В этом разделе мы рассмотрим приложение неявного дифференцирования. Большинство приложений деривативов находится в следующей главе, однако есть несколько причин для помещения его в эту главу, а не в следующую главу с другими приложениями.Первая причина в том, что это приложение неявной дифференциации, и поэтому размещение ее сразу после этого раздела означает, что мы не забыли, как проводить неявную дифференциацию. Другая причина просто в том, что после выполнения всех этих производных инструментов нам нужно напомнить, что действительно есть реальные приложения для производных инструментов. Иногда легко забыть, что действительно есть причина, по которой мы тратим все это время на деривативы.

Для этих связанных проблем обычно лучше сразу перейти к некоторым проблемам и посмотреть, как они работают.

Пример 1 Воздух закачивается в сферический баллон со скоростью 5 см ³ / мин. Определите скорость увеличения радиуса воздушного шара, когда его диаметр составляет 20 см.

Показать решение

Первое, что нам нужно сделать здесь, это определить, какую информацию нам предоставили и что мы хотим найти. Прежде чем мы это сделаем, давайте заметим, что и объем воздушного шара, и радиус воздушного шара будут изменяться со временем и, следовательно, на самом деле являются функциями времени, i.е. \ (V \ left (t \ right) \) и \ (r \ left (t \ right) \).

Мы знаем, что воздух закачивается в баллон со скоростью 5 см. ³ / мин. Это скорость увеличения громкости. Напомним, что темпы изменения — это не что иное, как производные финансовые инструменты, и поэтому мы знаем, что

\ [V ‘\ left (t \ right) = 5 \]

Мы хотим определить скорость изменения радиуса. Опять же, ставки — это производные финансовые инструменты, поэтому похоже, что мы хотим определить

. 3} \]

Как и в предыдущем разделе, когда мы рассматривали неявное дифференцирование, мы обычно не будем использовать часть \ (\ left (t \ right) \) в формулах, но, поскольку это первый раз, когда мы используем одну из них, мы будем сделайте это, чтобы напомнить себе, что они действительно являются функциями \ (t \).2}} \ right) r ‘\ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} r’ = \ frac {1} {{80 \ pi}} \ , {\ rm {см / мин}} \]

Мы можем получить единицы производной, вспомнив, что,

\ [r ‘= \ frac {{dr}} {{dt}} \]

Единицами производной будут единицы числителя (см в предыдущем примере), разделенные на единицы знаменателя (мин в предыдущем примере).

Давайте поработаем еще несколько примеров.

Пример 2 15-футовая лестница упирается в стену.Дно изначально находится на расстоянии 10 футов от стены и толкается к стене со скоростью \ ({\ textstyle {1 \ over 4}} \) футов / сек. Как быстро верхняя часть лестницы поднимается по стене через 12 секунд после начала толкания?

Показать решение

Первое, что нужно сделать в этом случае, — это набросать картинку, которая показывает нам, что происходит.

Мы определили расстояние между нижней частью лестницы от стены как \ (x \) и расстояние от верха лестницы до пола как \ (y \).Также обратите внимание, что они меняются со временем, поэтому нам действительно следует писать \ (x \ left (t \ right) \) и \ (y \ left (t \ right) \). Однако, как это часто бывает со связанными скоростями / задачами неявного дифференцирования, мы не пишем часть \ (\ left (t \ right) \), просто пытаемся запомнить это в наших головах по мере продолжения решения проблемы.

Далее нам нужно определить, что мы знаем и что хотим найти. Мы знаем эту скорость, с которой низ лестницы приближается к стене.Это,

\ [x ‘= — \ frac {1} {4} \]

Также обратите внимание, что коэффициент отрицательный, так как расстояние от стены \ (x \) уменьшается. Мы всегда должны быть осторожны со знаками с этими проблемами.

Мы хотим найти скорость, с которой верхняя часть лестницы удаляется от пола. Это \ (y ‘\). Также обратите внимание, что это количество должно быть положительным, поскольку \ (y \) будет увеличиваться.

Как и в первом примере, нам сначала нужна связь между \ (x \) и \ (y \).2} = 225 \]

Все, что нам нужно сделать на этом этапе, — это дифференцировать обе стороны относительно \ (t \), помня, что \ (x \) и \ (y \) на самом деле являются функциями \ (t \), и поэтому мы ‘ Мне нужно будет сделать неявное дифференцирование. Это дает уравнение, которое показывает взаимосвязь между производными.

\ [\ begin {уравнение} 2xx ‘+ 2yy’ = 0 \ end {уравнение} \ label {eq: eq1} \]

Теперь давайте посмотрим, какие из различных частей этого уравнения нам известны и что нам нужно найти.Мы знаем \ (x ‘\), и нас просят определить \ (y’ \), так что ничего страшного, что мы этого не знаем. Однако нам еще нужно определить \ (x \) и \ (y \).

Определить \ (x \) и \ (y \) на самом деле довольно просто. Мы знаем, что изначально \ (x = 10 \), а конец прижимается к стене со скоростью \ ({\ textstyle {1 \ over 4}} \) футов / сек, и что нас интересует, что произошло через 12 секунд. Мы знаем, что

\ [\ begin {align *} {\ rm {distance}} = {\ rm {rate}} \ times {\ rm {time}} \\ & = \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) \ left ({12} \ right) = 3 \ end {align *} \]

Итак, конец лестницы сдвинут на 3 фута, и через 12 секунд у нас должно получиться \ (x = 7 \).{7} / {} _ {4}} {\ sqrt {176}} = \ frac {7} {4 \ sqrt {176}} = 0,1319 \, \, \ text {фут / сек} \]

Обратите внимание, что мы получили правильный знак для \ (y ‘\). Если бы мы получили отрицательное значение, мы бы знали, что сделали ошибку, и могли бы вернуться и поискать ее.

Перед тем, как работать с другим примером, нам нужно сделать комментарий о настройке предыдущей задачи. Когда мы подписали наш эскиз, мы признали, что гипотенуза постоянна, и поэтому просто назвали его 15 футов.2} \ hspace {0,25 дюйма} \ to \ hspace {0,25 дюйма} 2xx ‘+ 2yy’ = 2zz ‘\]

Опять же, в этом нет ничего плохого, но это требует, чтобы мы подтвердили значения еще двух величин, \ (z \) и \ (z ‘\). Поскольку \ (z \) — это просто гипотенуза, которая, очевидно, равна \ (z = 15 \). Проблема, с которой иногда сталкиваются некоторые студенты, заключается в определении значения \ (z ‘\). В этом случае мы должны помнить, что, поскольку лестница и, следовательно, гипотенуза имеют фиксированную длину, ее длина не может изменяться, и поэтому \ (z ‘= 0 \).

Подставив оба этих значения в производную, мы получим то же уравнение, что и в примере, но потребовалось немного больше усилий, чтобы добраться до него. Было бы проще просто обозначить гипотенузу 15 для начала и не беспокоиться о том, чтобы помнить, что \ (z ‘= 0 \).

При маркировке фиксированной величины (длина лестницы в данном примере) буквой иногда легко забыть, что это фиксированная величина, и поэтому ее производная должна быть равна нулю.Если вы этого не запомните, решить проблему станет невозможно, поскольку вам придется иметь дело с двумя неизвестными величинами. В любой задаче, где количество фиксировано и никогда не изменится в ходе проблемы, всегда лучше просто подтвердить это и пометить его значением, а не буквой.

Конечно, если бы у нас была скользящая лестница, которую можно было бы менять, нам пришлось бы пометить ее буквой. Однако для такого рода проблемы нам также потребуется дополнительная информация в формулировке проблемы, чтобы на самом деле решить проблему.В практических задачах этого раздела есть несколько задач, в которых все три стороны прямоугольного треугольника меняются. Вы должны проверить их и посмотреть, сможете ли вы с ними работать.

Пример 3 Два человека находятся на расстоянии 50 футов друг от друга. Один из них начинает идти на север со скоростью, так что угол, показанный на диаграмме ниже, изменяется с постоянной скоростью 0,01 рад / мин. С какой скоростью изменяется расстояние между двумя людьми, когда \ (\ theta = 0,5 \) радиан?

Показать решение

Этот пример не так сложен, как может показаться на первый взгляд.Назовем расстояние между ними в любой момент времени \ (x \), как указано выше. Затем мы можем связать все известные величины с помощью одной из двух тригонометрических формул.

\ [\ cos \ theta = \ frac {{50}} {x} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ сек \ theta = \ frac {x} {{50}} \]

Мы хотим найти \ (x ‘\) и можем найти \ (x \), если захотим, в рассматриваемой точке, используя косинус, поскольку мы также знаем угол в этот момент времени. Однако, если мы воспользуемся второй формулой, нам не нужно будет знать \ (x \), как вы увидите.Итак, давайте дифференцируем эту формулу.

\ [\ сек \ theta \ tan \ theta \, \, \ theta ‘= \ frac {{x’}} {{50}} \]

Как уже отмечалось, в этой формуле нет \ (x \). Мы хотим определить \ (x ‘\) и знаем, что \ (\ theta = 0,5 \) и \ (\ theta’ = 0,01 \) (согласны ли вы с положительным значением?). Итак, просто подключите и решайте.

\ [\ left ({50} \ right) \ left ({0,01} \ right) \ sec \ left ({0,5} \ right) \ tan \ left ({0,5} \ right) = x ‘\ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} x ‘= 0,311254 \, \, {\ rm {ft}} / \ min \]

До сих пор мы наблюдали три связанных проблемы с тарифами. Хотя каждый из них работал по-своему, процесс в каждом из них был, по сути, одинаковым. В каждой проблеме мы определили, что нам дали и что мы хотели найти. Затем мы записали взаимосвязь между всеми различными величинами и использовали неявное дифференцирование, чтобы прийти к взаимосвязи между различными производными в задаче.Наконец, мы включили известные величины в уравнение, чтобы найти искомую величину.

Итак, в общем, каждая проблема решалась примерно одинаково. Единственная реальная разница между ними заключалась в соотношении известных и неизвестных величин. Часто это самая сложная часть проблемы. Во многих задачах лучший способ установить взаимосвязь — это нарисовать схему, показывающую ситуацию. Это часто кажется глупым шагом, но может иметь решающее значение, сможем ли мы найти отношения или нет.{3} {\ rm {/ hour}} \). Базовый радиус резервуара составляет 5 футов, а высота резервуара — 14 футов.

1. С какой скоростью изменяется глубина воды в резервуаре, когда глубина воды составляет 6 футов?
2. С какой скоростью изменяется радиус верхней кромки воды в резервуаре, когда глубина воды составляет 6 футов?

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Хорошо, нам, вероятно, следует начать с быстрого наброска (вероятно, не в масштабе) того, что здесь происходит.Мы также сделаем набросок так, как если бы мы смотрели на танк прямо перед ним (и поэтому 3D танк не будет виден), так как это немного поможет увидеть, что происходит. Отображение трехмерной природы танка может просто помешать. Итак, вот эскиз резервуара с водой.

Как мы видим, вода в резервуаре на самом деле образует меньший конус / треугольник (в зависимости от того, на какое изображение мы смотрим) с тем же центральным углом, что и сам резервуар. 2} h’ \]

Итак, в этом уравнении мы знаем \ (V ‘\) и \ (h \) и хотим найти \ (h’ \), но мы не знаем \ (r \) и \ (r ‘\).Как мы увидим, найти \ (r \) не так уж плохо, но на данный момент у нас просто недостаточно информации, которая позволит нам найти \ (r ‘\) и \ (h’ \) одновременно.

Чтобы исправить это, нам нужно каким-то образом исключить \ (r \) из формулы объема. На самом деле это проще, чем может показаться на первый взгляд. Если мы вернемся к нашему эскизу выше и посмотрим только на правую половину резервуара, мы увидим, что у нас есть два похожих треугольника, и когда мы говорим похожий, мы имеем в виду аналогичный в геометрическом смысле.Напомним, что два треугольника называются подобными, если их углы совпадают, как в данном случае. Когда у нас есть два одинаковых треугольника, отношения любых двух сторон будут равны. Для нашего набора это означает, что у нас есть

\ [\ frac {r} {h} = \ frac {5} {{14}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} r = \ гидроразрыв {5} {{14}} h \]

Если мы возьмем это и вставим в нашу формулу объема, у нас получится

\ [V = \ frac {1} {3} \ pi {r ^ 2} h = \ frac {1} {3} \ pi {\ left ({\ frac {5} {{14}} h} \ right ) ^ 2} h = \ frac {{25}} {{588}} \ pi {h ^ 3} \]

Это дает нам формулу объема, которая учитывает только объем и высоту воды.2}} \ right) h ‘\ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} h’ = \ frac {{- 98}} {{225 \ pi }} = — 0,1386 \]

Итак, похоже, что высота уменьшается со скоростью 0,1386 фута / час.

b С какой скоростью изменяется радиус верхней кромки воды в резервуаре, когда глубина воды составляет 6 футов? Показать решение

В этом случае мы просим \ (r ‘\), и есть простой способ выполнить эту часть и сложный (ну, в любом случае, более сложный, чем простой способ….) способ сделать это. «Сложный» способ — повторить работу в части (а) выше, только на этот раз,

\ [\ frac {h} {r} = \ frac {{14}} {5} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} h = \ гидроразрыв {{14}} {5} r \]

, чтобы получить объем в терминах \ (V \) и \ (r \), а затем действуйте, как прежде.

Это не так уж сложно, но нам нужно еще больше поработать. Напомним из первой части, что у нас есть,

\ [r = \ frac {5} {{14}} h \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} r ‘= \ frac {5} {{14}} h’ \]

Итак, как мы видим, если мы возьмем отношение, которое связывает \ (r \) и \ (h \), которое мы использовали в первой части, и дифференцируем его, мы получим связь между \ (r ‘\) и \ (h ‘\). На этом этапе все, что нам нужно сделать, это использовать результат первой части, чтобы получить

.
\ [r ‘= \ frac {5} {{14}} \ left ({\ frac {{- 98}} {{225 \ pi}}} \ right) = — \ frac {7} {{45 \ pi }} = — 0,04951 \]

Намного проще, чем переделывать всю первую часть.Обратите внимание, однако, что мы смогли сделать это только «более простым» способом, потому что он запрашивал \ (r ‘\) точно в то же время, что мы просили \ (h’ \) в первой части. Если бы мы не использовали одно и то же время, у нас не было бы другого выбора, кроме как сделать это «трудным» способом.

Во второй части предыдущей задачи мы увидели важную идею работы со связанными ставками. Чтобы найти запрашиваемую ставку, все, что нам нужно, — это уравнение, которое связывает запрашиваемую ставку с уже известной нам.Иногда мы можем использовать несколько уравнений, а иногда одно будет проще, чем другое.

Кроме того, эта проблема показала нам, что у нас часто будет уравнение, которое содержит больше переменных, о которых у нас есть информация, и поэтому в этих случаях нам нужно будет исключить одну (или несколько) переменных. В этой задаче мы устранили лишнюю переменную, используя идею подобных треугольников. Это не всегда будет так, как мы это делаем, но во многих из этих задач используются похожие треугольники, поэтому убедитесь, что вы можете использовать эту идею.{3} \ mbox {/ sec} \). С какой скоростью изменяется высота воды, если высота воды составляет 120 см? С какой скоростью изменяется ширина воды, когда высота воды составляет 120 см?

Показать решение

Обратите внимание, что равнобедренный треугольник — это просто треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину. В нашем случае стороны резервуара имеют одинаковую длину.

Давайте добавим размеры воды к эскизу сверху.{3} \ mbox {/ sec} \), и мы хотим определить \ (h ‘\), когда \ (h = 1.2 \, {\ rm {m}} \). Обратите внимание: поскольку \ (V ‘\) выражается в метрах, нам также необходимо преобразовать \ (h \) в метры. Итак, нам нужно уравнение, которое будет связывать эти две величины, и объем резервуара сделает это.

Объем такого резервуара легко вычислить. Объем — это конечная площадь, умноженная на глубину. В нашем случае объем воды в баке

.

\ [\ begin {align *} V & = \ left ({{\ mbox {Area of ​​End}}} \ right) \ left ({{\ rm {depth}}} \ right) \\ & = \ left ( {{\ textstyle {1 \ более 2}} {\ rm {base}} \ times {\ rm {height}}} \ right) \ left ({{\ rm {depth}}} \ right) \\ & = {\ textstyle {1 \ более 2}} hw \ left (8 \ right) \\ & = 4hw \ end {align *} \]

Как и в предыдущем примере, здесь есть дополнительная величина, \ (w \), которая также меняется со временем, поэтому нам нужно исключить ее из проблемы.Для этого мы снова воспользуемся идеей подобных треугольников. Если мы посмотрим на конец резервуара, мы увидим, что у нас снова есть два похожих треугольника. Один для самого резервуара и один, образованный водой в резервуаре. Опять же, помните, что у одинаковых треугольников соотношение сторон должно быть одинаковым. В нашем случае мы будем использовать

\ [\ frac {w} {5} = \ frac {h} {2} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} w = \ frac { 5} {2} ч \]

Вставка этого в объем дает формулу объема (и только для этого резервуара), в котором учитывается только высота воды.2} \]

Теперь мы можем дифференцировать это, чтобы получить,

\ [V ‘= 20hh’ \]

Наконец, все, что нам нужно сделать, это подключить и решить для \ (h ‘\).

\ [6 = 20 \ left ({1.2} \ right) h ‘\ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} h’ = 0,25 \, \, {\ rm {м / сек}} \]

Итак, высота воды увеличивается со скоростью 0,25 м / сек.

Ответить на вторую часть этого вопроса не так уж и сложно.

Нам понадобится \ (w ‘\), чтобы ответить на эту часть, и у нас есть следующее уравнение из аналогичного треугольника, которое связывает ширину с высотой, и мы можем быстро дифференцировать его, чтобы получить связь между \ (w’ \) и \ (час’\).

\ [w = \ frac {5} {2} h \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} w ‘= \ frac {5} {2} час’\]

Из первой части мы знаем значение \ (h ‘\), поэтому все, что нам нужно сделать, это подставить его в это уравнение, и мы получим ответ.

\ [w ‘= \ frac {5} {2} \ left ({0,25} \ right) = 0,625 \, \, {\ rm {m / sec}} \]

Следовательно, ширина увеличивается со скоростью 0,625 м / сек.

Пример 6 Фонарь находится на вершине столба высотой 12 футов, и человек ростом 5 футов 6 дюймов удаляется от столба со скоростью 2 фута / сек.

1. С какой скоростью кончик тени удаляется от полюса, когда человек находится на расстоянии 25 футов от полюса?
2. С какой скоростью кончик тени удаляется от человека, когда человек находится в 25 футах от полюса?

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Давайте начнем с нанесения всех необходимых величин на эскиз сверху.

Здесь \ (x \) — это расстояние от вершины тени до полюса, \ ({x_p} \) — это расстояние от человека до полюса, а \ ({x_s} \) — длина тени. . Также обратите внимание, что мы преобразовали рост людей в 5,5 футов, так как все остальные измерения даны в футах.

Кончик тени определяется лучами света, проходящими мимо человека, и поэтому мы можем видеть, что они образуют набор похожих треугольников.Это пригодится в будущем.

a С какой скоростью кончик тени удаляется от столба, когда человек находится на расстоянии 25 футов от столба? Показать решение

В этом случае мы хотим определить \ (x ‘\), когда \ ({x_p} = 25 \), учитывая, что \ ({x’_p} = 2 \).

Уравнение, которое нам понадобится здесь:

\ [x = {x_p} + {x_s} \]

, но нам нужно исключить \ ({x_s} \) из уравнения, чтобы получить ответ.Для этого мы снова можем использовать тот факт, что два треугольника аналогичны получению,

\ [\ frac {{5.5}} {{12}} = \ frac {{{x_s}}} {x} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {Примечание:}} \ frac { {5.5}} {{12}} = \ frac {{{\ textstyle {{11} \ over 2}}}} {{12}} = \ frac {{11}} {{24}} \]

Отсюда мы можем быстро увидеть, что

\ [{x_s} = \ frac {{11}} {{24}} x \]

Затем мы можем вставить это в уравнение выше и решить для \ (x \) следующим образом.

\ [x = {x_p} + {x_s} = {x_p} + \ frac {{11}} {{24}} x \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = \ frac {{24}} {{13}} {x_p} \]

Теперь все, что нам нужно сделать, это дифференцировать это, подключить и решить для \ (x ‘\).

\ [x ‘= \ frac {{24}} {{13}} {x’_p} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} x’ = \ frac {{24}} {{13}} \ left (2 \ right) = 3,6923 {\ rm {фут / сек}} \]

Кончик тени затем удаляется от полюса со скоростью 3,6923 фута / сек. Также обратите внимание, что нам никогда не приходилось использовать тот факт, что \ ({x_p} = 25 \) для этой задачи.Это случается в редких случаях.

b С какой скоростью кончик тени удаляется от человека, когда человек находится в 25 футах от полюса? Показать решение

Эта часть на самом деле довольно проста, если у нас есть ответ из пункта (а), что мы, конечно же, имеем. В этом случае мы знаем, что \ ({x_s} \) представляет длину тени или расстояние кончика тени от человека, поэтому похоже, что мы хотим определить \ ({x’_s} \), когда \ ({x_p} = 25 \).

Опять же, мы можем использовать \ (x = {x_p} + {x_s} \), однако, в отличие от первой части, мы теперь знаем, что \ ({x’_p} = 2 \) и \ (x ‘= 3.6923 {\ rm {ft / sec}} \), поэтому в этом случае все, что нам нужно сделать, это дифференцировать уравнение и ввести все известные величины.

\ [\ begin {align *} x ‘& = {{x’} _ p} + {{x ‘} _ s} \\ 3.6923 & = 2 + {{x’} _ s} \ hspace {0.5in} {{x ‘} _s} = 1.6923 {\ rm {ft / sec}} \ end {align *} \]

Кончик тени удаляется от человека со скоростью 1.6923 фут / сек.

Пример 7 Точечный свет находится на земле в 20 футах от стены, и человек ростом 6 футов идет к стене со скоростью 2,5 фута / сек. Как быстро изменяется высота тени, когда человек находится на расстоянии 8 футов от стены? Высота тени в это время увеличивается или уменьшается?

Показать решение

Ниже приведена копия эскиза в постановке задачи со всеми добавленными соответствующими величинами.Верх тени будет определяться световыми лучами, проходящими над головой человека, и мы снова получим еще один набор подобных треугольников.

В этом случае мы хотим определить \ (y ‘\), когда человек находится на расстоянии 8 футов от стены или \ (x = 12 {\ rm {ft}} \). Кроме того, если человек движется к стене со скоростью 2,5 фута / сек, то человек должен удаляться от прожектора со скоростью 2,5 фута / сек, и поэтому мы также знаем, что \ (x ‘= 2,5 \). 2}}} x’ \ hspace {0.2}}} \ left ({2,5} \ right) = — 2,0833 {\ rm {фут / сек}} \]

Высота тени затем уменьшается со скоростью 2,0833 фута / сек.

Хорошо, мы уже работали над несколькими задачами, в которых использовались похожие треугольники в той или иной форме, поэтому убедитесь, что вы можете решать такие задачи.

Пришло время решить проблему, которая, хотя и похожа на некоторые из проблем, которые мы сделали к этому моменту, также достаточно отличается, что может вызвать проблемы, пока вы не увидите, как это сделать.

Пример 8 Два человека на велосипедах разделены 350 метрами. Человек A начинает движение на север со скоростью 5 м / сек, а через 7 минут человек B начинает движение на юг со скоростью 3 м / сек. С какой скоростью меняется расстояние между двумя людьми через 25 минут после того, как человек А начинает движение?

Показать решение

Здесь есть что переварить с этой проблемой. Давайте начнем с наброска ситуации, которая покажет местонахождение каждого человека через некоторое время после того, как оба человека начнут кататься.

Теперь мы ищем \ (z ‘\) и знаем, что \ (x’ = 5 \) и \ (y ‘= 3 \). Мы хотим знать \ (z ‘\) после того, как человек A ехал в течение 25 минут, а человек B ехал в течение \ (25-7 = 18 \) минут. После преобразования этого времени в секунды (потому что все наши показатели выражены в м / с) это означает, что в то время, когда нас интересует, как ездил каждый из велосипедистов, это

\ [x = 5 \ left ({25 \ times 60} \ right) = 7500 {\ rm {m}} \ hspace {0.2}} = 10745.7015 \, \, {\ rm {m}} \]

об.

Чтобы определить скорость, с которой два всадника расходятся, все, что нам нужно сделать, это дифференцировать \ (\ eqref {eq: eq2} \) и подключить все известные нам величины, чтобы найти \ (z ‘\).

\ [\ begin {align *} 2zz ‘& = 2 \ left ({x + y} \ right) \ left ({x’ + y ‘} \ right) \\ 2 \ left ({10745.7015} \ right) z ‘& = 2 \ left ({7500 + 3240} \ right) \ left ({5 + 3} \ right) \\ z’ & = 7.9958 {\ rm {m / sec}} \ end {align *} \]

Итак, два гонщика расходятся со скоростью 7.9958 м / сек.

Каждая задача, над которой мы работали до этого момента, сводилась к необходимости геометрической формулы, и нам, вероятно, следует быстро решить задачу, которая не является геометрической по своей природе.

Пример 9 Предположим, что у нас есть два резистора, подключенных параллельно, с сопротивлениями \ ({R _ {\, 1}} \) и \ ({R _ {\, 2}} \), измеренными в омах (\ (\ Omega \)). Полное сопротивление \ (R \) тогда определяется выражением

\ [\ frac {1} {R} = \ frac {1} {{{R _ {\, 1}}}} + \ frac {1} {{{R _ {\, 2}}}} \]

Предположим, что \ ({R _ {\, 1}} \) увеличивается со скоростью 0.4 \ (\ Omega \) / мин и \ ({R _ {\, 2}} \) уменьшается со скоростью 0,7 \ (\ Omega \) / мин. С какой скоростью изменяется \ (R \), когда \ ({R _ {\, 1}} = 80 \, \ Omega \) и \ ({R _ {\, 2}} = 105 \, \ Omega \)?

Показать решение

Ладно, в отличие от предыдущих задач здесь действительно особо нечего делать. Во-первых, отметим, что мы ищем \ (R ‘\) и знаем \ ({R’ _ {\, 1}} = 0.4 \) и \ ({R ‘_ {\, 2}} = — 0,7 \). Будьте осторожны со знаками здесь.

Кроме того, поскольку он нам в конечном итоге понадобится, давайте определим \ (R \) в то время, которое нас интересует.2}}} \ left ({- 0,7} \ right)} \ right) = — 0,002045 \]

Итак, похоже, что \ (R \) уменьшается со скоростью 0,002045 \ (\ Omega \) / мин.

В этом разделе мы видели довольно много связанных проблем с тарифами, которые охватывают широкий спектр возможных проблем. В мире по-прежнему существует еще много различных видов проблем, связанных с тарифами, но те, над которыми мы работали, должны дать вам довольно хорошее представление о том, как хотя бы запустить большинство проблем, которые вы можете решить. в.

Литература по математике для средней школы | Давайте читать математику

Соотношение

% PDF-1.4
%
1098 0 объект
>
эндобдж

xref
1098 240
0000000016 00000 н.
0000006539 00000 н.
0000006628 00000 н.
0000006877 00000 н.
0000009019 00000 н.
0000009068 00000 н.
0000009118 00000 п.
0000009168 00000 п.
0000009218 00000 н.
0000009268 00000 н.
0000009318 00000 п.
0000009368 00000 н.
0000009423 00000 п.
0000009473 00000 н.
0000009523 00000 н.
0000009573 00000 п.
0000009624 00000 н.
0000009675 00000 н.
0000009726 00000 н.
0000009777 00000 н.
0000009827 00000 н.
0000009877 00000 н.
0000009927 00000 н.
0000009983 00000 н.
0000010033 00000 п.
0000010376 00000 п.
0000011002 00000 п.
0000011380 00000 п.
0000011671 00000 п.
0000011985 00000 п.
0000012062 00000 п.
0000012141 00000 п.
0000012190 00000 п.
0000012240 00000 п.
0000012290 00000 п.
0000012340 00000 п.
0000012389 00000 п.
0000012440 00000 п.
0000012490 00000 п.
0000012540 00000 п.
0000028656 00000 п.
0000028734 00000 п.
0000029223 00000 п.
0000029582 00000 п.
0000041071 00000 п.
0000049930 00000 н.
0000050006 00000 п.
0000050275 00000 п.
0000050586 00000 п.
0000051008 00000 п.
0000051364 00000 п.
0000052148 00000 п.
0000052511 00000 п.
0000052620 00000 н.
0000052659 00000 п.
0000053271 00000 п.
0000053334 00000 п.
0000053395 00000 п.
0000053508 00000 п.
0000053801 00000 п.
0000054466 00000 п.
0000054846 00000 н.
0000055025 00000 п.
0000055542 00000 п.
0000055932 00000 п.
0000056593 00000 п.
0000057291 00000 п.
0000069842 00000 п.
0000082885 00000 п.
0000096254 00000 п.
0000096484 00000 п.
0000096865 00000 п.
0000096919 00000 п.
0000105449 00000 н.
0000106230 00000 н.
0000106494 00000 н.
0000106757 00000 н.
0000118345 00000 н.
0000118436 00000 н.
0000118507 00000 н.
0000121200 00000 н.
0000121940 00000 н.
0000127889 00000 н.
0000138634 00000 н.
0000144490 00000 н.
0000147311 00000 н.
0000147495 00000 н.
0000149020 00000 н.
0000149976 00000 н.
0000153059 00000 н.
0000154992 00000 н.
0000157016 00000 н.
0000162643 00000 н.
0000165320 00000 н.
0000169423 00000 н.
0000169522 00000 н.
0000169822 00000 н.
0000170336 00000 н.
0000170408 00000 п.
0000170495 00000 н.
0000170600 00000 н.
0000170740 00000 н.
0000170818 00000 н.
0000170890 00000 н.
0000171004 00000 н.
0000171094 00000 н.
0000171184 00000 н.
0000171345 00000 н.
0000171459 00000 н.
0000171579 00000 н.
0000171699 00000 н.
0000171910 00000 н.
0000172515 00000 н.
0000173025 00000 н.
0000173547 00000 н.
0000174156 00000 н.
0000174297 00000 н.
0000174486 00000 н.
0000174721 00000 н.
0000175003 00000 н.
0000176845 00000 н.
0000177130 00000 н.
0000177236 00000 н.
0000178354 00000 н.
0000178608 00000 н.
0000178949 00000 н.
0000179005 00000 н.
0000179425 00000 н.
0000179653 00000 н.
0000179943 00000 н.
0000180008 00000 н.
0000180400 00000 н.
0000180599 00000 н.
0000180894 00000 н.
0000225717 00000 н.
0000225758 00000 н.
0000267155 00000 н.
0000267196 00000 н.
0000267351 00000 п.
0000267789 00000 н.
0000267942 00000 н.
0000285512 00000 н.
0000287293 00000 н.
00002

00000 н.
0000297644 00000 н.
0000303760 00000 н.
0000309111 00000 п.
0000309455 00000 н.
0000309608 00000 н.
0000309954 00000 н.
0000310107 00000 н.
0000310414 00000 н.
0000310567 00000 п.
0000310857 00000 п.
0000311010 00000 н.
0000311290 00000 н.
0000311443 00000 н.
0000311766 00000 н.
0000311919 00000 п.
0000312242 00000 н.
0000312395 00000 н.
0000318389 00000 н.
0000324441 00000 н.
0000330464 00000 н.
0000336483 00000 н.
0000342415 00000 н.
0000348346 00000 п.
0000354305 00000 н.
0000360260 00000 н.
0000366228 00000 н.
0000372182 00000 п.
0000378123 00000 н.
0000384069 00000 н.
00003 00000 н.
0000395960 00000 н.
0000402003 00000 н.
0000407967 00000 н.
0000425541 00000 н.
0000431540 00000 н.
0000437539 00000 н.
0000443560 00000 н.
0000449597 00000 н.
0000455563 00000 н.
0000461553 00000 н.
0000467517 00000 н.
0000473459 00000 н.
0000475232 00000 н.
0000477973 00000 п.
0000478681 00000 н.
0000478834 00000 н.
0000479578 00000 н.
0000479731 00000 н.
0000480158 00000 н.
0000480311 00000 н.
0000480675 00000 н.
0000480932 00000 н.
0000481264 00000 н.
0000481478 00000 н.
0000481683 00000 н.
0000481983 00000 н.
0000482247 00000 н.
0000482504 00000 н.
0000482879 00000 п.
0000484653 00000 н.
0000489589 00000 н.
00004

00000 н.
0000494277 00000 н.
0000494502 00000 н.
0000494714 00000 н.
0000494966 00000 н.
0000496030 00000 н.
0000496380 00000 н.
0000498035 00000 н.
0000498900 00000 н.
0000499912 00000 н.
0000500106 00000 н.
0000500278 00000 н.
0000500487 00000 н.
0000500690 00000 н.
0000501702 00000 н.
0000501887 00000 н.
0000502062 00000 н.
0000502232 00000 н.
0000502429 00000 н.
0000503413 00000 н.
0000504173 00000 н.
0000504788 00000 н.
0000505167 00000 н.
0000505405 00000 н.
0000506458 00000 н.
0000507180 00000 н.
0000507624 00000 н.
0000507972 00000 н.
0000508484 00000 н.
0000508630 00000 н.
0000509244 00000 н.
0000509784 00000 н.
0000510076 00000 н. A` \ 0p3oqyq ~

Сможете ли вы решить эту проблему? Летучая мышь, мяч и обман | Математика

Вот известная головоломка:

Бита и мяч стоят 1 фунт стерлингов.10. Бита стоит на 1 фунт больше, чем мяч. Сколько стоит мяч?

Головоломка хорошо известна, потому что люди часто ошибаются, хотя арифметические операции очень просты. На ум приходит «мгновенный» ответ: мяч стоит 10 пенсов. Фактически, после минутного размышления, ответ очевиден: 5 пенсов. (Таким образом, летучая мышь стоит 1,05 фунта стерлингов.)

Шесть сегодняшних головоломок похожи на них. Один ответ напрашивается сразу. Однако часто этот ответ неверен. Однако, прежде чем вы начнете слишком дерзко, один из приведенных ниже вопросов был задан 185 студентам Гарвардского университета, и все они ошиблись.

1. Если пяти эльфам требуется пять минут, чтобы обернуть пять подарков, сколько времени потребуется пятидесяти эльфам, чтобы обернуть пятьдесят подарков?

2. Матери и дочери всего пятьдесят лет. Мать старше дочери на 20 лет. Сколько лет дочери?

3. Сколько человек три тройки тройняшек трижды?

4. Если подбросить монету 3 раза, какова вероятность подбросить хотя бы 2 решки?

5.Сегодня утром на солнце было положено 100 кг кабачков. Они на 99% состояли из воды, но в течение дня теряли влагу из-за испарения, и теперь они состоят только из 98% воды. Сколько они сейчас весят?

6. Если я дал вам 100 фунтов стерлингов сегодня, а вы возвращали мне 10 фунтов стерлингов каждый месяц в течение года, какова будет годовая процентная ставка по вашему кредиту?

Идея сегодняшних головоломок пришла от Тима Харфорда, чья своевременная и блестяще читаемая новая книга «Как заставить мир складываться» является манифестом, демистифицирующим числа.Если использовать подходящую метафору, в этой книге он выбивает мяч из парка!

«Люди всегда просят меня проверить статистику, но многие статистические утверждения похожи на эти головоломки: мы автоматически переходим к выводу», — говорит Харфорд. «Итак, прежде чем мизинец нажать на кнопку« ретвитнуть »или« поделиться »… остановись и подумай!»

Спасибо также Шейну Фредерику, профессору из США, которого я упомянул выше, все студенты Гарварда ответили на один из вопросов неправильно.(Он также поставил ту же задачу для студентов MBA Йельского университета, и они не справились намного лучше.) В 2005 году Фредерик создал тест на когнитивную рефлексию, список вопросов — включая вопрос «бита и мяч» — с неправильным «чутьем». отклик. Загадки выше вдохновлены его тестом.

Я вернусь в 17:00, чтобы дать ответы и обсудить результаты.

ПОЖАЛУЙСТА, НЕ СПОЙЛЕРЫ. Однако, пожалуйста, разместите свои любимые вопросы в стиле «бита и мяч» под линией.

ОБНОВЛЕНИЕ: Решения уже доступны, их можно прочитать здесь.

ОБНОВЛЕНИЕ 2: Изначально в этом посте была форма для отправки, в которую вы могли вставить свои ответы. Теперь я закрыл эту форму, так как она была действующей только до тех пор, пока решения не были напечатаны. Вы можете прочитать результаты того, насколько хорошо все сделали, в сообщении о решении.

Я задаю здесь головоломку каждые две недели в понедельник. Я всегда ищу отличные головоломки. Если вы хотите предложить один, напишите мне.

Из других интересных новостей, осталось всего две недели до издательского события года, выпуска моей новой книги! Книга-головоломка для любителей языков посвящена миру слов и языка и включает проблемы, связанные с древними, современными и изобретенными языками, любопытными алфавитами и системами письма, сленгом, А.И. и многое другое. Дэвид Кристал называет это: «Идеальный компаньон для всех, кто любит головоломки и языки». Кто я такой, чтобы не согласиться! Книга выйдет 5 ноября, но вы можете оформить предзаказ в книжном магазине Guardian.

Источники сегодняшних головоломок: 1. Традиционные. 2. Эндрю Мейер и Шейн Фредерик. 3 Традиционный. 4 Шейн Фредерик. 5. Традиционный. 6 Шейн Фредерик через Виктора Станго и Джонатана Зинмана.

Задачи о словах расстояния, времени и скорости | GMAT GRE по математике

Прежде чем приступить к решению задач на расстояние, время и скорость, выделите несколько минут, чтобы сначала прочитать это и понять: Как получить кредитный рейтинг в США как иностранный студент.

Задачи, связанные со временем, расстоянием и скоростью, решаются по одной простой формуле.

Расстояние = Скорость * Время

Что подразумевает →

Скорость = Расстояние / Время и

Время = Расстояние / Скорость

Давайте рассмотрим несколько простых примеров задач, связанных с расстоянием, временем и скоростью.

Пример 1. Мальчик идет со скоростью 4 км / ч. Сколько времени ему нужно, чтобы пройти расстояние 20 км?

Решение

Время = Расстояние / скорость = 20/4 = 5 часов.

Пример 2. Велосипедист преодолевает расстояние 15 миль за 2 часа. Рассчитайте его скорость.

Решение

Скорость = Расстояние / время = 15/2 = 7,5 миль в час.

Пример 3. Автомобиль преодолевает расстояние за 4 часа, если он движется со скоростью 40 миль в час. Какой должна быть его скорость, чтобы преодолеть такое же расстояние за 1,5 часа?

Решение

Пройденное расстояние = 4 * 40 = 160 миль

Скорость, необходимая для преодоления такого же расстояния за 1.5 часов = 160 / 1,5 = 106,66 миль / ч

Теперь взгляните на следующий пример:

Пример 4. Если человек идет со скоростью 4 мили в час, он преодолевает определенное расстояние. Если он идет со скоростью 9 миль в час, он преодолевает еще 7,5 миль. Какое расстояние он на самом деле преодолел?

Теперь мы видим, что прямое применение нашей обычной формулы Distance = Speed ​​* Time или ее вариаций невозможно в этом случае, и нам нужно приложить дополнительные усилия для вычисления заданных параметров.

Давайте посмотрим, как можно решить этот вопрос.

Решение

Для таких вопросов таблица, подобная этой, может облегчить решение.

Пусть расстояние, пройденное этим человеком, будет «d».

Переход со скоростью 4 миль в час и преодоление расстояния «d» выполняется за время «d / 4»

ЕСЛИ он идет со скоростью 9 миль в час, он преодолевает 7.На 5 миль больше, чем фактическое расстояние d, которое составляет «d + 7,5».

Он делает это за (d + 7,5) / 9.

Так как время в обоих случаях одинаковое →

d / 4 = (d + 7,5) / 9 → 9d = 4 (d + 7,5) → 9d = 4d + 30 → d = 6.

Итак, расстояние в 6 миль он преодолел за 1,5 часа.

Пример 5. Поезд движется со скоростью 1/3 своей обычной, и ему требуется еще 30 минут, чтобы добраться до места назначения. Найдите свое обычное время, чтобы преодолеть такое же расстояние.

Решение

Здесь мы видим, что расстояние такое же.

Предположим, что его обычная скорость — «s», а время — «t», тогда

с * t = (1/3) с * (t + 30) → t = t / 3 + 10 → t = 15.

Таким образом, фактическое время, затрачиваемое на преодоление дистанции, составляет 15 минут.

Примечание: Обратите внимание, что время выражается в «минутах». Когда мы выражаем расстояние в милях или километрах, время выражается в часах и должно быть преобразовано в соответствующие единицы измерения.

Решенные вопросы по поездам

Пример 1. X и Y — две станции, удаленные друг от друга на 320 миль. Поезд отправляется в определенное время от точки X и едет в сторону Y со скоростью 70 миль в час.Через 2 часа другой поезд отправляется из Y и едет в X со скоростью 20 миль в час. В какое время они встречаются?

Решение

Пусть время, по истечении которого они встретятся, будет t часов.

Тогда время, пройденное вторым поездом, становится «t-2».

сейчас,

Расстояние, пройденное первым поездом + Расстояние, пройденное вторым поездом = 320 миль

70т + 20 (т-2) = 320

Решение дает t = 4.

Итак, два поезда встречаются через 4 часа.

Пример 2. Поезд отправляется со станции и движется с определенной скоростью. Через 2 часа другой поезд отправляется с той же станции и движется в том же направлении со скоростью 60 миль в час. Если он догонит первый поезд за 4 часа, какова скорость первого поезда?

Решение

Пусть скорость первого поезда будет «с».

Расстояние, пройденное первым поездом за (2 + 4) часа = Расстояние, пройденное вторым поездом за 4 часа

Следовательно, 6s = 60 * 4

Решение, которое дает s = 40.

Итак, более медленный поезд движется со скоростью 40 миль в час.

Вопросы по лодкам / самолетам

При проблемах с лодками и ручьями

Скорость лодки вверх по течению (против течения) = Скорость лодки в стоячей воде — скорость потока

[Поскольку поток препятствует движению лодки в стоячей воде, его скорость необходимо вычесть из обычной скорости лодки]

Скорость лодки вниз по течению (вместе с течением) = Скорость лодки в стоячей воде + скорость потока

[Поскольку поток толкает лодку и помогает лодке быстрее добраться до места назначения, необходимо добавить скорость потока]

Аналогично для самолетов, летящих против ветра,

Скорость самолета с ветром = скорость самолета + скорость ветра

Скорость самолета против ветра = скорость самолета — скорость ветра

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Мужчина движется со скоростью 3 мили в час в стоячей воде. Если скорость течения составляет 1 милю в час, требуется 3 часа, чтобы добраться до места и вернуться обратно. Как далеко это место?

Решение

Пусть расстояние будет «d» миль.

Время, затраченное на преодоление расстояния вверх по потоку + Время, затраченное на преодоление расстояния вниз по течению = 3

Скорость на входе = 3-1 = 2 миль / ч

Скорость на выходе = 3 + 1 = 4 миль / ч

Итак, наше уравнение будет d / 2 + d / 4 = 3 → решая которое, мы получаем d = 4 мили.

Пример 2. При ветре самолет преодолевает расстояние 2400 км за 4 часа и против ветра за 6 часов. Какая скорость у самолета и у ветра?

Решение

Пусть скорость самолета будет «a», а скорость ветра — «w».

Наша таблица выглядит так:

4 (a + w) = 2400 и 6 (a-w) = 2400

Выражение одной неизвестной переменной через другую упрощает решение, что означает

а + ш = 600 → ш = 600-а

Подставляя значение w во второе уравнение,

р-ш = 400

а- (600-а) = 400 → а = 500

Скорость самолета — 500 км / час, скорость ветра — 100 км / час.

Больше решенных примеров по скорости, расстоянию и времени

Пример 1. Мальчик ехал на поезде, который двигался со скоростью 30 миль в час. Затем он сел в автобус, который двигался со скоростью 40 миль в час и достиг пункта назначения. Пройденное расстояние составило 100 миль, а время в пути — 3 часа. Найдите расстояние, которое он проехал на автобусе.

Решение

Пусть поезд занимает «t».Тогда автобус — «3-т».

Все пройдено 100 миль

Итак, 30т + 40 (3-т) = 100

Решение, которое дает t = 2.

Подставляя значение t в 40 (3-t), мы получаем расстояние, пройденное автобусом, составляет 40 миль.

В качестве альтернативы мы можем добавить время и приравнять его к 3 часам, что напрямую дает расстояние.

д / 30 + (100-д) / 40 = 3

Решение, которое дает d = 60 — расстояние, пройденное поездом.100-60 = 40 миль — это расстояние, которое преодолевает автобус.

Пример 2. Самолет преодолел расстояние 630 миль за 6 часов. В первой части поездки средняя скорость составляла 100 миль в час, а во второй части поездки средняя скорость составляла 110 миль в час. сколько времени он пролетел на каждой скорости?

Решение

Наша таблица выглядит так.

Если предположить, что расстояние, пройденное в части пути 1 ^st , равно «d», то расстояние, пройденное во второй половине пути, станет «630-d».

Предполагая, что время, затраченное на первую часть пути, равно «t», время, затраченное на вторую половину, становится «6-t».

Из первого уравнения d = 100t

Второе уравнение: 630-d = 110 (6-t).

Подставляя значение d из первого уравнения, получаем

630-100т = 110 (6-т)

Решение дает t = 3.

Итак, самолет пролетел первую часть пути за 3 часа, а вторую — за 3 часа.

Пример 2. Два человека идут навстречу друг другу по пешеходной дорожке длиной 20 миль. Один идет со скоростью 3 мили в час, а другой — 4 мили в час. Через сколько времени они встретятся?

Решение

Если предположить, что расстояние, пройденное первым человеком, равно «d», то расстояние, пройденное вторым человеком, будет равно «20 -d».

Время для них обоих «t», потому что, когда они встречаются, они шли бы в течение одного и того же времени.

Поскольку время одинаково, мы можем приравнять

д / 3 = (20-д) / 4

Решение дает d = 60/7 миль (примерно 8,5 миль)

Тогда t = 20/7 часов

Итак, два человека встречаются через 2 6/7 часов.

Практические вопросы, которые вам предстоит решить

Задача 1: Щелкните здесь

Лодка преодолевает определенное расстояние за 2 часа, а возвращается за 3 часа.Если скорость потока составляет 4 км / ч, какова скорость лодки в стоячей воде?

A) 30 км / ч
B) 20 км / ч
C) 15 км / ч
D) 40 км / ч

Ответ 1: Щелкните здесь

Б.

Пояснение

Пусть скорость лодки будет «с» км / ч.

Тогда 2 (s + 4) = 3 (s-4) → s = 20

Задача 2: Щелкните здесь

Велосипедист путешествует 3 часа, первую половину пути он едет со скоростью 12 миль в час, а вторую половину — со скоростью 15 миль в час.