Темы 10 класс геометрия – Конспекты Геометрия 10 класс

Геометрия 10 класс

Десятиклассникам предстоит познакомиться с курсом геометрии (одним из самых интересных предметов в системе математического образования). В ходе обучения школьники смогут узнать много нового о пространстве и объектах окружающего мира, что пригодится им в дальнейшей жизни. Курс геометрии в 10 классе тесно пересекается с алгеброй, поэтому ребенку необходимо изучать их в комплексе и стараться не допускать пробелов ни в одном из предметов.

Уроки геометрии помогают развить пространственное мышление и получить представление об элементах алгоритмической культуры. Кроме того, с помощью этого курса школьники должны будут получить знания о моделировании различных процессов и явлений.

Программа по геометрии за 10 класс

Первый раздел курса познакомит десятиклассников с увлекательной наукой о фигурах в пространстве. В течение этих уроков школьники смогут узнать новую информацию об основных понятиях – точке, плоскости и прямой, а также научатся правильно пользоваться ими. Учитель расскажет об основных аксиомах этой науки, ее предмете. Затем школьникам предстоит применить эти аксиомы на примере параллелепипеда и пирамиды.

• 
  Глава 2. Параллельность прямых и плоскостей

Из этого раздела школьники смогут получить представление об одной из важнейших теорем стереометрии. Учитель расскажет о параллельных плоскостях и прямых, а также научит применять эти знания на практике. Также учащиеся должны будут получить представление об углах с сонаправленными сторонами, тетраэдре и его сечениях, параллелепипеде и свойствах его диагоналей и граней. Кроме того, школьникам предстоит решить несколько задач на параллельность плоскостей и прямых.

• 
  Глава 3.Перпендикулярность прямых и плоскостей

В начале этого блока десятиклассникам нужно будет вспомнить определения перпендикуляра, а затем узнать, какую роль это понятие играет в геометрии. Учитель расскажет о двугранном угле и его свойствах, а также о перпендикулярности плоскостей, прямых и наклонных. Школьники должны будут выучить несколько теорем и решить задачи разного уровня сложности.

• 
  Глава 4. Многогранники

Данный раздел посвящен полиэдрам, замкнутой поверхности, состоящей из различных многоугольников. Школьникам предстоит познакомиться с новыми геометрическими фигурами этого типа: призмой, пирамидой, усеченной пирамидой и тетраэдром. Учитель расскажет о свойствах многогранников, симметрии в пространстве, а затем подробно разберет и решит несколько задач.

• 
  Глава 5. Векторы в пространстве

Данный раздел посвящен одному из важнейших понятий геометрии, которое представляет собой направленный отрезок, имеющий начало и конец. Учитель расскажет о компланарных векторах и их свойствах.

• 
  Глава 6. Повторение курса

Обобщение курса

Программа по геометрии в 10 классе – одна из самых сложных в этом учебном году. Школьникам необходимо обратить особое внимание на теорию параллельности плоскостей, теорему о трех перпендикулярах, а также на такую геометрическую фигуру, как двугранный угол и ее свойства. В целом курс алгебры в 11 классе отличается сложностью и большим объемом информации. Кроме того, это последний год обучения в школе, многие дети к этому моменту уже имеют значительное количество «белых пятен» и пробелов в математике. Особое внимание стоит обратить на логарифмы, которые являются одной из самых сложных темы в школьном курсе алгебры. Чтобы восполнить пробелы, все желающие могут воспользоваться нашими видеоуроками, они охватывают все темы школьной программы.

interneturok.ru

Календарно-тематическое планирование по геометрии (10 класс) на тему: Геометрия 10класс

nsportal.ru

Рабочая программа по геометрии (10 класс) на тему: Рабочая программа по геометрии 10 класс

Пояснительная записка

Рабочая программа составлена на основе:

1. Федерального компонента государственного Стандарта среднего (полного) общего образования по математике.
2. Программы:  Бурмистрова Т.А. Геометрия.  10 — 11  классы. Программы  общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2010г.
3. Программа по геометрии. Л.С.Атанасян и др., 2010г.

Рабочая программа рассчитана на 68 часов в год ( в неделю – 2 ч).

Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

1. формирование представлений о математике как универ сальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
2. развитие логического мышления, пространственного во ображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей про фессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе;
3. овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не тре бующих углубленной математической подготовки;
4. воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-техниче ского прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Содержание обучения

1.Введение

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некото рые следствия из аксиом.

Основная цель — познакомить учащихся с содер жанием курса стереометрии, с основными понятиями и ак сиомами, принятыми в данном курсе, вывести первые след ствия из аксиом, дать представление о геометрических телах и их поверхностях, об изображении пространствен ных фигур на чертеже, о прикладном значении геометрии.

2.Параллельность прямых и плоскостей

      Параллельность прямых, прямой и плоскости. Взаим ное расположение двух прямых в пространстве. Угол меж ду двумя прямыми. Параллельность плоскостей. Тетраэдр
и параллелепипед.

Основная цель — сформировать представления уча щихся о возможных случаях взаимного расположения двух прямых в пространстве (прямые пересекаются, прямые параллельны, прямые скрещиваются), прямой и плос кости (прямая лежит в плоскости, прямая и плоскость пересекаются, прямая и плоскость параллельны), изу чить свойства и признаки параллельности прямых и плос костей.

В рамках этой темы учащиеся знакомятся также с па раллельным проектированием и его свойствами, используе мыми при изображении пространственных фигур на чер теже.

3.Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендику ляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Дву гранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

Основная цель — ввести понятия перпендикуляр ности прямых и плоскостей, изучить признаки перпен дикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, ввес ти основные метрические понятия: расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоско стями, между параллельными прямой и плоскостью, рас стояние между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, изу чить свойства прямоугольного параллелепипеда.

Понятие перпендикулярности и основанные на нем мет рические понятия (расстояния, углы) существенно расширя ют класс стереометрических задач, появляется много задач на вычисление, широко использующих известные факты из планиметрии.

4.Многогранники

Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правиль ные многогранники.

Основная цель — познакомить учащихся с основ ными видами многогранников (призма, пирамида, усечен ная пирамида), с формулой Эйлера для выпуклых много гранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

5.Повторение. Решение задач

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен

знать/понимать:

1. значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических ме тодов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
2. значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математиче ской науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
3. универсальный характер законов логики математиче ских рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
4. вероятностный характер различных процессов окружа ющего мира.

Уметь:

1. распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описания ми, изображениями;
2. описывать взаимное расположение прямых и плоско стей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
3. анализировать в простейших случаях взаимное располо жение объектов в пространстве;
4. изображать основные многогранники и круглые тела, выполнять чертежи по условиям задач;
5. строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
6. решать планиметрические и простейшие стереометриче ские задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов).

Использовать приобретенные знания и умения

в практической деятельности и повседневной жизни

для:

1. исследования (моделирования) несложных практиче ских ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
2. вычисления объемов и площадей поверхностей про странственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычисли тельные устройства.

Учебно-методическое обеспечение:

1. Учебник: «Геометрия, 10-11: учеб. для общеобраз.учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев   и др. – 15 изд.-М.: Просвещение, 2006г.
2. Нечаев М.П. «Разноуровневый контроль качества знаний по математике: практические материалы: 5-11 классы. М., «5 за знания», 2007г.
3. Саакян С.М.»Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя. М, Просвещение, 2010г.
4. В.Я.Яровенко. Поурочные разработки по геометрии. 10 класс. М., ВАКО, 2006 г.

Календарно – тематическое планирование уроков геометрии

Класс: 10

Кол-во часов в неделю: 2

Кол-во часов в год: 68

Учебник: «Геометрия, 10-11: учеб. для общеобраз.учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев   и др. – 15 изд.-М.: Просвещение, 2006г.

nsportal.ru

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс — разработки уроков — авторские уроки — план-конспект урока

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Введение. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

Урок 2. Некоторые следствия из аксиом

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа

Глава I. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

§ 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Урок 6. Параллельные прямые в пространстве

Урок 7. Параллельность прямой и плоскости

Урок 8. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

Урок 9. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

Урок 10. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Урок 11. Скрещивающиеся прямые

Урок 12. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Урок 13. Решение задач по теме «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми»

Урок 14. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Урок 15. Контрольная работа по теме «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости»

§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Урок 16. Параллельные плоскости

Урок 17. Свойства параллельных плоскостей

§ 4. ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Урок 18. Тетраэдр

Урок 19. Параллелепипед

Урок 20. Задачи на построение сечений

Урок 21. Задачи на построение сечений

Урок 22. Закрепление свойств параллелепипеда

Урок 23. Контрольная работа № 1

Урок 24. Зачет № 1

Глава II. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

§ 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Урок 25. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Урок 26. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Урок 27. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Урок 28. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Урок 29. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Урок 30. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

§ 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Урок 31. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Урок 32. Угол между прямой и плоскостью

Урок 33. Повторение теории. Решение задач на применение теоремы о трех перпендикулярах (ТПП), на угол между прямой и плоскостью

Урок 34. Решение задач на применение ТТП, на угол между прямой и плоскостью

Урок 35. Повторение (решение задач на теорему о 3-х перпендикулярах)

Урок 36. Угол между прямой и плоскостью (повторение)

§ 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Урок 37. Двугранный угол

Урок 38. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Урок 39. Прямоугольный параллелепипед

Урок 40. Решение задач на свойства прямоугольного параллелепипеда

Урок 41. Перпендикулярность прямых и плоскостей (повторение)

Урок 42. Решение задач

Урок 43. Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскости»

Урок 44. Зачет № 2

Глава III. МНОГОГРАННИКИ

§ 1. ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА. ПРИЗМА

Урок 45. Понятие многогранника

Урок 46. Призма. Площадь поверхности призмы

Урок 47. Повторение теории, решение задач на вычисление площади поверхности призмы

Урок 48. Решение задач на вычисление площади поверхности призмы

§ 2. ПИРАМИДА

Урок 49. Пирамида

Урок 50. Правильная пирамида

Урок 51. Решение задач по теме «Пирамида»

Урок 52. Решение задач по теме «Пирамида». Самостоятельная работа

Урок 53. Усеченная пирамида. Площади поверхности усеченной пирамиды

§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Урок 54. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников

Урок 55. Контрольная работе № 3.1 по теме «Многогранники»

Урок 56. Зачет № 3 по теме «Многогранники. Площадь поверхности призмы, пирамиды»

Глава IV. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

Урок 57. Понятие векторов. Равенство векторов

§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Урок 58. Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов

Урок 59. Умножение вектора на число

§ 3. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Урок 60. Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

Урок 61. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Урок 62. Зачет по теме «Векторы в пространстве»

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

Урок 63. Итоговое повторение. Аксиомы стереометрии и их следствия

Урок 64. Параллельность прямых и плоскостей

Урок 65. Повторение (теорема о трех перпендикулярах, угол между прямой и плоскостью)

Урок 66. Контрольная работа № 5

Урок 67. Повторение. Векторы в пространстве, их применение к решению задач

Урок 68. Заключительный урок-беседа по курсу геометрии

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Контрольные и самостоятельные работы

Урок 5. Самостоятельная работа

Урок 9. Самостоятельная работа обучающего характера

Урок 10. Проверочная самостоятельная работа

Урок 14. Работа по карточкам

Урок 15. Контрольная работа по теме «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости»

Урок 17. Самостоятельная работа

Урок 23. Контрольная работа № 1

Урок 30. Самостоятельная работа

Урок 53. Тест

Урок 55. Контрольная работа № 3.1 по теме «Многогранники»

Урок 63. Теоретический тест с последующей самопроверкой

Урок 66. Контрольная работа № 5

Урок 67. Мини-тест по теории

Приложение 2. Плакаты № 1, 2, 3, 4, рекомендуемые к урокам № 51, 52, 53

compendium.su

Геометрия для 10 класса | Интернет — шпаргалка

1. Аксиомы стереометрии

1.1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

1.2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

 1.3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

2. Некоторые следствия из аксиом.

2.1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2.2 Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только  одна.

3. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

3.1 Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3.2 Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

3.3 Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3.4 Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3.5 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3.6 Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

4.1 Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

4.2 Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся

4.3 Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой, и притом только одна.

4.4 Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

5. Параллельность плоскостей.

5.1 Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

5.2 Если две пересекающиеся прямые одной        плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

6. Перпендикулярность прямой и плоскости.

6.1 Если одна из двух параллелельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

6.2 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

6.3 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

6.4 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

6.5 Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

6.6 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

7. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

7.1 Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

7.2 Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекции на плоскость.

8. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

8.1 Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

8.2 Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰.

8.3 Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

8.4 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трёх измерений.

8.5 Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360⁰.

9. Теорема Эйлера.

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и вершин больше числа рёбер на 2.

10. Призма

10.1 Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

11. Пространственная теорема Пифагора.

Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра – прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площади остальных граней.

12. Пирамида

12.1 Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

12.2 Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

13. Вектор

13.1 Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.

13.2 Для любых трёх точек A, B и C имеет место равенство

13.3

13.4

13.5 Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор длина которого равна причём векторы и сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на число считается нулевой вектор.

13.6

13.7

13.8

13.9 Любой вектора можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

14. Координаты точки и координаты вектора

14.1 Любой вектор можно представить в виде причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

14.2 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

14.3 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

14.4 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на число.

14.5 Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

14.6 Расстояние между точками вычисляется по формуле

15. Скалярное произведение векторов.

15.1 Скалярным произведением двух векторов является произведение их длин на косинус угла между ними.

15.2 Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

15.3 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

15.4

15.5

15.6

15.7

16. Движения

16.1 Движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.

16.2 Осевой симметрией с осью a называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку  относительно оси a.

16.3 Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку M₁.

16.4 Параллельным переносом на вектор  называется отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в такую точку M₁, что .

16.5 Центральным подобием с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется отображение пространства на себя, при котором каждая точка M переходит в точку M₁, что

17. Цилиндр и конус.

17.1 Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L₁, называется цилиндром.

17.2 Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

17.3 Площадь цилиндра находится по формуле

17.4 Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

17.5 Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

17.6 Площадь полной поверхности конуса находится по формуле

17.7 Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е.

18. Сфера

18.1 Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

18.2 Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

18.3 Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

18.4 Площадь сферы вычисляется по формуле

18.5 Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой

18.6 Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.

18.7 Отрезки касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

inetshpora.wordpress.com

Учебно-методический материал по геометрии (10 класс) по теме: Уроки повторения-обобщения геометрии в 10 классе

                 Повторение курса 10 класса.

Для итогового повторения курса геометрии 10 класса и входного повторения в начале 11 класса сделана подборка данных задач. Заучивание теорем и их доказательств не приводит к пониманию геометрии, а с  помощью задач можно повторить  теоретический курс, необходимый для входного контроля и дальнейшей работы с многогранниками и развивать пространственное воображение у обучающихся. Предложено достаточное количество однотипных задач, из которых можно составить самостоятельную работу по вариантам.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

1. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата АВСD, АВМ = 300. Найдите тангенс угла АСМ. [Ответ: ]
2. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата. [Ответ: ]
3. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. [Ответ:]
4. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. От резок СМ перпендикулярен плоскости треугольника; расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ. [Ответ: 4]
5. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 8 см. От резок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. [Ответ: 5]
6. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости треугольника,  МСА = 600. Найдите длину отрезка МВ. [Ответ: ]
7. Отрезок АВ имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит  его в отношении 2:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость   соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 12 см. Найдите длину отрезка АВ1.[Ответ:18]
8. Отрезок АВ имеет с плоскостью единственную общую точку А. Через его середину С и точку В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 8 см. Найдите длину отрезка АВ1. [Ответ:16]
9. Середина С отрезка АВ принадлежит плоскости . Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С  равна 8 см. Найти длину отрезкаА1В1.[Ответ: 16]
10. Отрезок АВ пересекает плоскость  в точке С, которая делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 15см. Найдите длину отрезка А1В1. [Ответ: 20]
11. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость , проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1 и В1 ; АА1 = 5см, В1В = 8 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины отрезков АВ и А1В1.[Ответ: 6,5]
12. Отрезок АВ пересекает плоскость   в точке С, которая делит его в отношении 3:5, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 12см. Найдите длину отрезка А1В1. [Ответ: 32]
13. Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВСD к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что  ОВМ = 600. Найдите косинус угла АВМ. [Ответ: ]
14. Сторона квадрата АВСD равна 1 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата,  АВМ = 300. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]
15. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата. [Ответ: ]
16. Диагональ квадрата равна 6 см. Точка, равноудаленная от всех  сторон квадрата, находится на расстоянии 5 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата. [Ответ: ]
17. Диагональ квадрата АВСD равна 10 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, угол АВМ равен 600. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]

18. Катеты СА и СВ прямоугольного треугольника АВС равны 6 см и 8 см. Через вершину С проходит плоскость, параллельная АВ. Меньший катет треугольника образует с этой плоскостью угол в 450. Найдите синус угла, который образует с ней другой его катет. [Ответ: ]

Пирамида

19. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани – 15 см. Найдите боковое ребро.        [Ответ: ]
20. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые ребра пирамиды. [Ответ: ]
21. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно её основанию. [Ответ: 13,5]
22. Три смежных ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны 6см, 6 см и 8см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 66+]
23. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите высоту пирамиды. [Ответ: ]
24. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды, равная 12 см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите боковые ребра пирамиды. [Ответ: 13]
25. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 144]
26. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Вершина пирамиды удалена от сторон основания на 13 см. Найдите высоту пирамиды. [(Ответ: 5]
27. По данной стороне основания a=9 и боковому ребру b=6 найти высоту правильной треугольной пирамиды. [Ответ: 3]
28. Во сколько раз увеличится боковая поверхность правильной треугольной пирамиды, если стороны основания увеличить в 2 раза, а апофему – в 3 раза. [Ответ: 6]
29. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3. Найти радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды. [Ответ: 1]
30. По данной стороне основания a=8 и боковому ребру b=6 найти высоту правильной четырехугольной пирамиды. [Ответ: 2]
31. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7, а сторона основания 8. Найдите боковое ребро. [Ответ:9]
32. Найдите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 1, а боковое ребро . [Ответ: 2]
33. Найдите полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если высота ее равна 2 и сторона основания 4,2. [Ответ: 42]
34. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона основания равна 18. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [ Ответ: 540]
35. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 15. Высота пирамиды, равная 4, проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. [ Ответ: 126]
36. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60. Площадь основания пирамиды 16. Найдите боковую поверхность пирамиды. [Ответ:32]
37. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5. Тангенс двугранного угла при основании равен . Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 96]
38. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен 30. Боковое ребро равно 2. Найдите боковую поверхность пирамиды. [Ответ: 6]

39. К плоскости равнобедренного треугольника АВС с основанием

 ВС = 6 см и углом 1200 при вершине проведен перпендикуляр АМ. Расстояние от точки М до ВС 12 см. Найдите косинус линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями треугольников АВС и МВС. [Ответ:  ]

Куб

40. Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его диагональ. [Ответ: ]
41. Площадь полной поверхности куба равна 96 см2. Найдите его ребро. [Ответ: ]
42. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ верхнего и нижнего оснований, равна . Найдите длину ребра куба. [Ответ: 4]
43. Диагональ куба равна 3 см. Найдите его полную поверхность. [Ответ: 18]
44. Диагональ куба равна 6 см. Найдите площадь его одной грани. [Ответ: 12]
45. Площадь полной поверхности куба равна 3 см. Найдите длину диагонали грани куба.[ Ответ: 1]

Прямоугольный параллелепипед

46. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5см, большая из диагоналей его боковых граней образует с плоскостью основания угол 600. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. [Ответ: ]
47. Площадь полной поверхности  прямоугольного параллелепипеда равна 136 см2, а стороны основания 4 см и 6см. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда. [Ответ: ]
48. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6см, равна 408 см2. Найдите диагонали параллелепипеда.            [Ответ: ]
49. Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а стороны основания 8 см и 6 см. [Ответ: 120]
50. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите полную поверхность параллелепипеда.   [Ответ: 94]
51. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна 12. [Ответ: 70]
52. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого 3 и 4, если она образует с плоскостью основания угол 60. [Ответ: 10]
53. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого 8 и 12 и образуют угол 30 а боковое ребро равно 6. [Ответ: 336]

Прямая призма

54. В прямой треугольной призме стороны основания равны 3,4 и 5, а высота равна 6. Найдите ее полную поверхность.[ Ответ: 84]
55. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 18. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна (). [Ответ: 12]
56. По стороне основания  a=2 и боковому ребру  b=3 найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы. [Ответ: 32]
57. Найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна , а диагональ боковой грани 5. [Ответ: 66]
58. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой равна 13, а боковое ребро 5. [Ответ: 180]
59. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, если сторона основания 3, а диагональ боковой грани 5.      [Ответ: 72]

Задачи повышенного уровня сложности.

Призма.

1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы. [Ответ: ]
2. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 18 см и 9 см. Определите площадь полной поверхности этой призмы. Найдите оба решения.                [Ответ: ]
3. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм. [Ответ: на 59,5см2]
4. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 10 см, а второй – правильной треугольной призмы с той же высотой. Сравните площади полных поверхностей этих призм.     [Ответ: на см2]
5. Квадрат со стороной 12 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй – правильной четырехугольной призмы. Сравните площади поверхностей этих призм. [Ответ: 18 — см2]

Пирамида.

1. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. (3.24)
2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ:
3. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ:144]
4. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 300. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ: ]
5. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро – 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 [Ответ: ]

6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро – 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: ]
7. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ:  ]
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 75]
9. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 150]
10. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию. [Ответ: 13,5]

nsportal.ru

Сайт учителя математики — Геометрия 10-11 классы

	Рабочие программы
10-11 классы		Рабочая программа по геометрии для 10-11 классов к УМК Л.С. Атанасяна (2 часа)
	Презентации к урокам
10 класс		Аксиомы стереометрии и их следствия new
10 класс		Параллельность прямых и плоскостей в пространстве
10 класс		Параллельность плоскостей в пространстве
10 класс		Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
10 класс		Тетраэдр и параллелепипед
10 класс		Построение сечений в тетраэдре
10 класс		Построение сечений в параллелепипеде
10 класс		Двугранный угол
10 класс		Многогранники
10 класс		Пирамида
10 класс		Призма
11 класс		Векторы в пространстве
11 класс		Метод координат в пространстве
11 класс		Тела вращения new

semenova-klass.moy.su