Разное

Таблицы по алгебре класс 8: Комплект таблиц. Алгебра. 8 класс. 14 таблиц + методика | Купить книгу с доставкой

Содержание

Опорные таблицы по алгебре 8 класс к учебнику Ю.Н.Макарычева

Опорные таблицы алгебра 8 класс учебник Ю.Н.Макарычев

Вынесение множителя из-под знака корня.

Внесение множителя под знак корня.

Сравнить

I способ

II способ

Примеры:

Вынесение множителя из-под знака корня

Разложим 50 на 2 множителя так, чтобы хотя бы из одного из них извлекался квадратный корень.

Внесение множителя под знак корня.

Деление дробей.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную делителю второй дроби.

1) Нельзя представить в виде дроби m , где

n

m € N

n € Z

2) Нельзя представить в виде периодической дроби.

Примеры:

1. 0,10100100010000…

2.

π = 3,14

С = 2πR

2

S = πR

3. Рациональные и нерациональные числа =

Нерациональные числа

Бесконечная непериодическая десятичная дробь

Действительные числа

Иррациональные числа.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень.

8 и -8— квадратные корни из числа 64

__

,где √a— обозначение арифметического корня

Подкоренное выражение a должно быть неотрицательным (≥ 0 )

Т

Квадратный корень из произведения и дроби

еорема 1

Дано:

a≥0

b≥0 ___ _ __

Доказать √аb=√a ∙√b

Примеры:

________ __ _____

640,16 = √64 √0,16 = 8 0,4 = 3,2

______ _______ ______

32 98 = √ (16 2) √(49 2) =

__________

16 49 4 = 4 7 2 = 56

__ __ _______ ___

2 √ 8 = √ 2 8 = √ 16 = 4

Теорема 2

Дано:

a≥0

b≥0

Доказать

Доказательство:

__ ___

1) a ∙√b ≥ 0, т. к a≥0 , b≥0

__ _ 2

2) (a

∙ √b) =ab

_ __ 2 __ 2 __ 2

(a ∙ √b) =(a) ∙( √b) = ab

___ 2

( √аb) = ab

32 = 16 2 98 = 49 2

___ __ __

16 = 4 √49 = 7 √ 4 = 2

Доказательство:

Квадратный корень из степени

Примеры:

В рассмотренных случаях : квадратный корень из числа возведённого в квадрат равен модулю этого числа.

,то

x,то

Неполные квадратные уравнения.

1.

2

б) Если b =0(c=0) ——

3. Примеры

— вид квадратного уравнения, где a=0

х— переменная; a,b,c— числа

а- первый коэффициент

b— второй коэффициент

с- свободный член

приведённое кв.уравнение

Неполное кв.уравнение

Определение степени с целым отрицательным показателем.

.

Основное свойство дроби.

1) a = ac

b bc

Примеры :

1) к знаменателю

Найдем дополнительный множитель к числителю и знаменателю.

2)

(а+3)(а-3) = a-3

b (a+3) b

3) 5 = 5 = — 5 = 5

х-2у -(2у-х) 2у-х х-2у

1) а) Если числитель и знаменатель дроби умножить на c = 0,

б)Если числитель и знаменатель дроби

Разделить на c = 0, то получится равная ей дробь.

Привести дробь к новому знаменателю.

делим на знаменатель дроби

Сократить дробь( разделить числитель и знаменатель на НОД)

1) Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

2) Сократим полученную дробь на общий множитель a+3

Привести к знаменателю х-2у

2у-х и х-2у – противоположные выражения.

A∩B=C

A={1,2,3,4,6,12}

B={1,2,3,6,9,18}

A∩B=C

C={1,2,3,6}

2)

3) х ∩ у =ø

x y

4) A B = D

D={1,2,3,4,6,12,9,18}

Пересечение множеств A и B=C

(множество, состоящее из общих элементов)

A∩B={1,2,3,6}

Круги Эйлера

Множества х и у не имеют общих элементов.

Объединение множеств A и B ( множество, состоящее из всех элементов А и B)

Пересечение и объединение множеств. Абсолютная погрешность –

Пример:

3) Относительная погрешность –

Модуль разности точного и приближенного значения

Точное значение

Приближенное значение

Абсолютная погрешность

Если пользуемся измерительными приборами

Абсолютная погрешность

Приближенное значение

Погрешность и точность приближения.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

1) Упростить

2) Выражения, содержащие деление на выражение с переменными.

А) Сократить дробь

Б) Освободиться от иррациональности в знаменателе.

1) Вынесем множитель из-под знака корня.

2) Выполним действия над коэффициентами, буквенная часть не изменяется.

3-2+12=13

А) Сократить дробь

Б) Освободиться от иррациональности в знаменателе.

Разложим на множители

А) Вынесение общего множителя

Б) формулы с. ум.

В)способ группировки.

__ 2

а =( а )

(от знака корня)

1) В знаменателе произведение;

Умножим числитель и знаменатель

__ __ 2

на √2 . ( √ 2) = 2

В знаменателе сумма (разность).

Умножаем на сопряженное выражение.

1) Находим НОЗ

2) Находим дополнительный множитель к каждой дроби

3) В числителе раскрываем скобки

Преобразование рациональных выражений.

Рациональные выражения

Целые выражения

+

х


: на число = 0

2

b-4

8

Дробные выражения

Содержат деление на выражение с переменной

4ab

2a+1

Имеют смысл ( т.е

допустимые значения)

При любых значениях переменной

При тех значениях переменной, при которых знаменатель = 0

2

х-4х+5

4

Решение: выражение целое, значит, имеет смысл при любых значениях пременной.

1) 4х-7

5х+2

Решение: это дробное выражение.

Для ответа приравняем знаменатель к 0 и решим получившееся уравнение.

5х+2= 0

5х= -2

х= — 2

5

х= -0,4

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях переменной ,кроме х=0,4 (х=0,4)

2)

Решение:

2

5х +2 = 0

2

5х = -2

2

х =- 0,4 2

Уравнение не имеет решения ( х ≥ 0)

Ответ: допустимые значения х-любое число

Дробь равна нулю, если числитель равен 0 , а знаменатель – нет.


1) Множество натуральных чисел (числа, используемые при счете)

2) Множество целых чисел (натуральные числа, числа им противоположные и 0)

3) Рациональные числа ( дробные числа и целые )

4) Представление рационального числа в виде десятичной дроби.

N

Z

Q

1)Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

2) Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

Рациональные числа.

Решение дробных рациональных уравнений.

1) Целое рациональное уравнение

Пример:

2х+5=3(8-х)

2)

Дробное рациональное уравнение –

Пример:

3)

4)

Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями

Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются дробными выражениями.

НОК(2 ;3 ;6)=6

1.Найдем НОЗ дробей, при необходимости разложим на множители :

А) вынесение за скобки общего множителя

Б) формулы сокращенного умножения

В) способ группировки

НОЗ= х(х-5)

2.Умножим обе части уравнения на общий знаменатель.

— приведённое квадратное уравнение

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

1

катет

2

катет

гипотенуза

обозначение

х

х+4

По условию

Решение:

Пусть х см — катет BC

Т. к по условию гипотенуза равна 20

По теореме Пифагора составляем уравнение :

Решение задач

с помощью рациональных уравнений.

Условие задачи :

Моторная лодка прошла 25км по течению реки и

3км против течения,затратив на весь путь 2ч.

 

Какова скорость лодки в стоячей воде,если скорость течения 3км\ч?

25

x + 3

Против течения

3

x- 3

3

x- 3

,

Составляем уравнение:

Ответ: 12 км/ч

Пусть x (км/ч) — скорость лодки в стоячей воде,

тогда (x+3) км/ч — скорость лодки по течению, а (x-3) км/ч — скорость лодки против течения.

тогда t(время) прохождения 25 км по течению =

Время прохождения 3 км против течения =

время затраченное на прохождение всего пути

А по условию это равно 2ч .

Решив уравнение, получим два корня: 2 и 12

Первый корень (2) не удовлетворяет условию

(т. к тогда бы скорость против течения = -1).

Поэтому скорость лодки в стоячей воде = 12 км/ч


5х-11>3

Если х =4, то 5∙4 – 11> 3 (верно)

9 > 3

Примеры:

1) 16х>13x+45

16x-13x>45

3x>45│: обе части неравенства на 3

x> 15

Ответ: (15;+∞)

2) 15х-23(х+1)> 2x+11

15x-23x-23>2x+11

15x-23x-2x>23+11

-10x>34│: обе части неравенства на -10

x<-3,4

Ответ:(-∞; — 3,4)

3)

4) 2(х+8)-5х<4-3x

2x + 16-5x<4-3x

2x -5x+3x <-16+4

0x<-12

Ответ: не имеет решений.

Значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство

4 — Решение данного неравенства

3>0, знак неравенства сохраняется.

-10< 0 , знак неравенства изменится на противоположный

6>0, знак неравенства сохраняется.

При любом х получаем неравенство

0< -12( неверно), значит, неравенство не имеет решений

Решение неравенств с одной переменной.

1) Система неравенств с одной переменной

2) Решаем каждое неравенство

3) Находим общее решение.

При решении системы со знаками > , ответ будет больше большего.

Решение систем неравенств с одной переменной.


2)


3)


1)При умножении степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним ,а показатели складываются.

2)При делении степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним ,а из показателя делимого вычитаем показатель делителя.

3)При возведении степени в степень основание прежнее, показатели перемножаем.

4)При возведении в степень произведения: каждый множитель возводим в эту степень.

Формула 4 справа налево

5)При возведении в степень дроби: отдельно возводим числитель в степень, затем знаменатель.

Свойства степени с целым показателем.

Свойства числовых неравенств.

Если a>b,то b<a

Теорема 2

Если a<b и b<c, то a<c

Теорема 3

Если a<b и c-любое число, то

a +c

Теорема 4

Если a<b и c-положительное число, то ac < bc.

Если a<b и c— отрицательное число, то ac >bc.

Следствие

Если a и b — положительные числа и

a<b, то 1 > 1

a b

1) ab>0, то ba<0

2) Докажем, что разность ac— отрицательное число.

ac+bb=(ab)+(bc)

По условию a<b и b<c, поэтому ab и bc

Отрицательные числа, их сумма — отрицательное число.

3) Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

(a +c)-(b +c)=a +cbc =ab

Т. к a<b, то ab – отрицательное число.

(a +c)-(b +c)– отрицательное число

a +c

ac-bc=c(a-b)

т.к a<b, то ab— отрицательное число

Если с>0, то с(ab) — отрицательное число,ac < bc.

Если c<0, то с(ab) — положительное число, ac >bc.

a= a < b = 1 < 1, 1 > 1

ab ab ab b a a b

Сложение и вычитание дробей

b a

Разложим знаменатель каждой дроби на множители.

Простейшим общим знаменателем является произведение данных знаменателей, но т.к после разложения мы видим , что в обоих знаменателях есть один и тот же множитель, то его мы просто перепишем , а оставшиеся части знаменателей перемножим.

Таким образом, получили общий знаменатель

Найдем дополнительный множитель

к каждой дроби.

с разными знаменателями 1) Сложение и вычитание дробей

2 + 4 = 6

7 7 7

24 = 2-4 = -2

7 7 7 7

2) Сложение и вычитание дробных выражений.


a + c = a+c , b = 0

b b b


a c = a-c , b= 0

b b b

3a-7b + 2a + 2b = (3a-7b) +(2a+2b) =

15ab 15ab 15ab

3a – 7b +2a +2b = 5a-5b = 5(a-b) = a-b

15ab 15ab 15ab 3ab

2 2 2

a + 96a = a + 9 – 6a = (a – 3) =

5a-15 5a- 15 5a – 15 5a-15

2

(a – 3) = ( a – 3)

5(a — 3) 5

1) Правило

Складываем(вычитаем) числители, знаменатель тот же .

2) Правило см. 1

Раскрытие скобок

а) если «+», опускаем скобки.

б) если «-» , опускаем скобки и изменяем знаки на противоположные.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Дано:

a < b

c <d

a+c < b+d

Теорема 6.

Дано:

a < b

c

a >0 , b>0 ,c>0 ,d>0

ac

Следствие:

a < b

a >0 , b>0

n n

a < b

a < b→ a+c < b+c

c

a+c < b+d, т.е неравенства одного знака можно почленно складывать

т.е неравенства одного знака можно почленно умножать

Сложение и умножение числовых неравенств.

Теорема Виета.

Данное квадратное уравнение приведенное, т.к а=1

p— второй коэффициент

q— свободный член

Доказательство:

Доказательство:

a c = ac , b= 0, d = 0

b d bd

Примеры:

1) Перемножаем числители и знаменатели.

2) Сокращаем дробь.

1) Разложим сложные числители и знаменатели на множители.

Представим

и разложим сложный числитель на множители.

Возводим в степень числитель и знаменатель.

Умножение дробей.

Дискриминант квадратного уравнения

Формулы корней квадратного уравнения(1).

Формулы корней квадратного уравнения.(2)

a=0

b-четное число ,т. е b=2k

k=b

2


Функция y = k

Y = k , k = 0

x


D (y): x = 0

Y= 8 — функция обратная пропорциональность

x

D (y): x = 0

Графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях.

Функция обратная пропорциональность

x

-8

-4

-2

-1

1

2

4

8

y

-1

-2

-4

-8

8

4

2

1

x

____

Функция y= √ x и её график

___

y= √ x

D (y) = [0;∞]

x ≥ 0

Свойства функции :

  1. Если х = 0, у= 0.

  2. Если х > 0, то y > 0.

  3. Большему значению аргумента (т. е х)

соответствует большее значение функции (т.е у).

Для нахождения области определения составляем и решаем неравенство( подкоренное выражение ≥ 0)

Свойства графика:

  1. График проходит через начало координат.

  2. График расположен в I координатной четверти.

  3. График идет «в гору»(слева направо),симметричен параболе.

2

Уравнение х = a

Количество корней,

их общий вид

Уравнение корней не имеет

Один корень

х =0

Два корня

примеры

Числовые неравенства.

7 8

1) Сравним 5 и 4

8 7

35 > 32 , т.к 35 > 32

56 56

5 > 4

8 7

2) Сравним 3,6748 и 3, 675

3,6748 < 3, 675

  1. 9 и 0,45

20

9 = 9

20 20

  1. — 15 и -23

— 15 > -23

  1. Если а-b= положительное число

Если а-b= отрицательное число

Если а-b= 0

6) На координатной прямой большее число лежит правее.

Примеры:

НОЗ(8;7)=56

т.к 4 < 5, то 3,6748 < 3, 675

0,45= 45 = 45 : 5 = 9

100 100 : 5 20

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

-15 = 15 -23 = 23

a >b

a <b

a=b

Доказать, что при любом a верно неравенство

См.2

Числовые промежутки.


ГДЗ по Алгебре за 8 класс Арефьева И.Г., Пирютко О.Н.

Алгебра 8 класс Арефьева И.Г.

Авторы: Арефьева И.Г., Пирютко О.Н.

Алгебра является сложной школьной дисциплиной, которую невозможно освоить без выученных правил, формул и знания таблицы умножения. Большинство ребят тратят много времени на подготовку к предстоящему уроку, иногда на решение задач уходит изрядное количество часов. Восьмиклассники нагружены подготовкой к предстоящим итоговым экзаменам, к тому же, данный предмет входит в список обязательных для сдачи на ОГЭ и ЕГЭ. Чтобы облегчить процесс обучения, но в то же время сделать его эффективнее, восьмиклассникам не помешает прибегать к «ГДЗ по алгебре 8 класс Арефьева, Пирютко (Народная асвета)».

Содержание учебника по Алгебре

В новом учебном году школьникам предстоит решить бесчисленное количество задач, уравнений, построить множество графиков, сокращать и делить дроби. Предельное внимание будет уделено:

  • сложению и вычитанию алгебраических дробей с одинаковыми, разными знаменателями;
  • решению рациональных уравнений, их преобразованию и упрощению;
  • понятию квадратного корня, иррациональным и действительным числам;
  • преобразованию графиков функций, их свойствам, решению графических уравнений;
  • теореме Виета, разложению трёхчлена на множители;
  • квадратичной функции, линейным неравенствам.

В издание включены дополнительные материалы к основному учебнику, что даёт возможность железного закрепления полученных сведений и самостоятельного устранения пробелов в знаниях.

Что представляет собой ГДЗ по алгебре за 8 класс от Арефьевой

Решебник состоит из двух глав, он включает в себя исключительно верные ответы, расположенные в аналогичном с учебником порядке к 4115 заданиям, вопросам к параграфу, исследовательским дополнениям и практическому повторению. «ГДЗ по алгебре 8 класс Арефьева И.Г., Пирютко О.Н. (Народная асвета)» станет эффективным помощником для школьников и их родителей и подарит возможность:

  • активно тянуть руку на уроках, улучшить оценки и заслужить уважение учителей и одноклассников;
  • поэтапно разобрать самые сложные примеры и оперативно исправить допущенные ошибки;
  • заблаговременно подготовиться к предстоящим контрольным и проверочным работам.

Издание практично в использовании, достаточно иметь под рукой телефон, планшет или ноутбук с выходом в интернет. Важно разумно использовать пособие, так как в случае механического списывания добиться реальных успехов в образовании не представится возможным.

«Промежуточная аттестация по алгебре 8 класс»

Промежуточная аттестация по алгебре. 8 класс

Вариант 1.

Ответы к заданиям 1-8 занесите в таблицу

1. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

3. В таблице приведен норматив по бегу на 400м для учащихся 8 классов

Мальчики

Девочки

Отметка

«5»

«4»

«3»

«5»

«4»

«3»

Время,

сек

62

68,5

70

80

84,5

93

Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту дистанцию

за 1 мин 25сек?

4. Укажите число , равное 0,0000056:

1) 5,6·10-6 2) 5,6·10-5 3) 5,6·107 4) 5,6·108

5. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x —расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите расстояние (в м) в момент времени   с.

6. Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой А?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7. Расположите в порядке убывания числа , 11, :

1) , 11, 2) , , 11 3)11, 4) , 11

8.Найдите значение выражения :

К заданиям №№ 9-11 запишите полное обоснованное решение

  1. Сократите дробь: .

  1. Упростите выражение найдите его значение

при , .

  1. Уча­сток земли, площадь которого равна 70 м2, имеет пря­мо­уголь­ную форму. Одна из его сторон на 9 м больше другой. Най­ди­те длину за­бо­ра (в метрах), ко­то­рым нужно ого­ро­дить участок, если в за­бо­ре нужно преду­смот­реть во­ро­та ши­ри­ной 3 м.

Критерии оценивания:

Каждое задание первой части №1-8 оценивается в 1 балл. Во второй части задания №9 и №10 оцениваются в 2 балла. Задание №11 оценивается в 3 балла.

Таким образом, за все верно выполненные задания ученик может получить 15 баллов.

Отметка «5» соответствует 12 – 15 баллам, отметка «4» — 9 – 11 баллов, отметка «3» — 4 – 8 баллов. Отметка «2» ставится, если набрано менее 4 баллов

Промежуточная аттестация по алгебре. 8 класс

Вариант 2.

Ответы к заданиям 1-8 занесите в таблицу

1. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Найдите корни уравнения х2 — 8х +15= 0

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

3. В таблицу приведен норматив по бегу на 400м для учащихся 8 классов

Мальчики

Девочки

Отметка

«5»

«4»

«3»

«5»

«4»

«3»

Время,

сек

62

68,5

74,5

80

84,5

93

Какую отметку получит мальчик, пробежавший эту дистанцию за

1 мин 6сек?

4. Укажите число , равное 0,0000046:

1) 4,6·105 2) 4,6·10-6 3) 4,6·10-7 4) 4,6·108

5. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x —расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите расстояние (в м) в момент времени t = 5 с.

6. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка? Выберете номер верного варианта ответа.

1) A; 2) B; 3) C; 4) D.

7. . Расположите в порядке убывания числа , 11, :

1) , 11, 2) , , 11 3)11, , 4) , 11

8. Найдите значение выражения :

К заданиям №№9-11 запишите полное обоснованное решение

9. Сократите дробь:

10. Упростите выражение найдите его значение при , .

11. Земельный участок имеет форму прямоугольника, площадь которого 84 м2. Одна из меньших сторон участка идет вдоль реки, а три другие огорожены забором. Найдите длину этого забора, если одна сторона меньше другой на 8 м.

Критерии оценивания:

Каждое задание первой части №1-8 оценивается в 1 балл. Во второй части задания №9 и №10 оцениваются в 2 балла. Задание №11 оценивается в 3 балла.

Таким образом, за все верно выполненные задания ученик может получить 15 баллов.

Отметка «5» соответствует 12 – 15 баллам, отметка «4» — 9 – 11 баллов, отметка «3» — 4 – 8 баллов. Отметка «2» ставится, если набрано менее 4 баллов

Промежуточная аттестация по алгебре. 8 класс

Дата проведения__________________________

ФИ____________________________Класс_________

варианта_____________

Ответы к заданиям 1 — 8 занесите в таблицу

К заданиям №№9-11 запишите полное обоснованное решение

Промежуточная аттестация по алгебре. 8 класс

Дата проведения__________________________

ФИ____________________________Класс_________

варианта_____________

Ответы к заданиям 1 — 8 занесите в таблицу

К заданиям №№9-11 запишите полное обоснованное решение

Квадратичная функция, парабола, график, свойства: нули, вершина, ось симметрии, промежутки возрастания, убывания. Тесты

Тестирование онлайн

  • Квадратичная функция

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с — числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x

2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x2 — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

Все публикации подряд / Хабр

Например Вы студент или уже отучились что можете вспомнить из учебной программы?
Не знаю как сейчас, но наверное первым будет архитектура ЭВМ.
АЛУ, триггеры и прочее, я тоже не гений с крутой памятью, сейчас мало что вспомню даже из основных элементов. На практике был/будет ассемблер. Но дело не в том, чтобы помнить термины их определения, их взаимодействие друг с другом и всякого рода схемы. Я вот о чем, у меня всегда были сомнения по материалу который преподносили как бы за чистую монету. А всё от того что не было связи этих теоретических абстракций с железом, я в данном случае говорю о компьютерах.

Читать далее
А теперь с учётом того что техпроцесс стал таким что глазом не увидишь, остаётся только лишь принять всё что говорят на веру. Что дальше, а дальше дискретка. Всякие операции, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и другие. Есть даже теорема что эти три
операции составляют полноту данной системы. Опять же могут привести доказательство которое не каждый поймёт из тех кто учится на данном профиле. Главное вызубрить и рассказать это теме же словами и терминами что и препод. Кстати там будет и операция XOR(она нам понадобится в дальнейшем). И едем дальше.
Вот образование так устроено, что не проверишь сам, так или не так(а времени на это нет, а дальше все упрется в то что Ваше понимание вещей и предметов не такое каким быть должно). То есть я пытаюсь поставить под сомнение хотя бы не все, но лишь малую часть того что говорят. Но как же скажут люди, зачем тебе тратить на это время, когда есть люди которые на этом собаку съели и ты их сам слушал и нечего было им возразить или даже задать свой глупый вопрос: «А так ли это на самом деле? (Вы хотя бы подмигните если что, ну так между нами только). Но я скажу вот когда вы впервые слышите о чем то, у Вас не будет время за 1,4 часа сообразить и проверить что это может быть не так. А через 3 месяца Вас это волновать не будет, у Вас же бытовуха, личная жизнь, отдых и другие предметы на носу. Потом будет высшая математика и матан или же сразу вместе с первыми 2мя предметами. А там уже матрицы и ряды которые имеют свои характеристики и прочее. Как мне тогда казалось это нужно например для банков и подсчета денег и финансов. У этих наук несколько веков истории и трудов, и как бы все это общеизвестно, а если нет то за это время могли бы найти несостыковки в их словах, формулах и теоремах. Параллельно идет какой-нибудь десктопный язык программирования — там алгоритмы, поиск пути, балансировка деревьев и т.д. На этом в принципе оканчивается 1-й курс или даже 1,5. Самое веселое дальше идут вероятности и матстат, как обычно на таких профилях не грузят больше чем 1-2 теоретических(то есть математических) предметов в семестр, чтобы студенты не впали в депрессию. Выясняется что вероятность восхода солнца утром равна 1 и матожидание подбрасывания монеты равна 1/2. А дальше не особо и помню что было. Так к чему это все было? Сейчас подведу, параллельно преподают параллельные вычисления и теорию информации. А на 3 курсе теорию чисел где будете решать функцию Эйлера.

И к чему это все привело? К тому чтобы на 4 курсе(выпускном) Вам преподали информационную безопасность, и вся эта математическая база которую
Вам преподали до этого, дала Вам функционал решать задачи шифрования/дешифрования текстов. Но это еще не все, оказывается есть уже наметки
на квантовые компьютеры и готовые квантовые алгоритмы к ним, которые могут дешифровать текст не за годы/столетия/вечность, а за даже не знаю доли секунды?
И что в итоге?
В итоге все что вы выучили до квантовых компов думая что теперь вы можете себя назвать разбирающемся в классических компьютерах оказывается нужно так же как нам нужна история Руси сегодня(почти никак). И самое забавное все эти ботаны в универах
идут в коммерцию печатать сайты и энтерпрайз, им до этого дела нет.

А что я?

А я смотрю на все это как наблюдатель и слов найти не могу что выразить все это негодование по этому поводу, что 4 году учил эту «историю Руси».

P.S. Прошу быть аккуратными, я сам похоже захейтил себя данным постом, но не мог поделится с Вами просто накипело.

Таблица функций по математике: определение, правила и примеры — видео и стенограмма урока

Таблицы функций

Таблица функций отображает входы и соответствующие выходы функции. Таблицы функций могут быть вертикальными (вверх и вниз) или горизонтальными (из стороны в сторону). В этом уроке мы используем горизонтальные таблицы. Таким образом, в наших примерах наши таблицы функций будут иметь две строки, одна из которых отображает входные данные, а другая — соответствующие выходные данные функции.

Рассмотрим наш пример с шоколадным батончиком. Представим эту функцию в виде таблицы. Мы понимаем, что у нас есть только 12 долларов, поэтому мы можем купить максимум 6 шоколадных батончиков. Всю эту информацию заносим в таблицу:

Глядя на таблицу, я вижу, какая общая стоимость будет зависеть от того, сколько шоколадных батончиков я куплю. Например, если бы я купил 5 шоколадных батончиков, моя общая стоимость составила бы 10 долларов.

В этом меню отображается еще один пример функции.

Обратите внимание, что стоимость напитка определяется его объемом. Следовательно, стоимость напитка зависит от его размера. Мы можем представить это с помощью таблицы. Наши входы — это размеры напитков, а наши выходы — это стоимость напитков.

Мы можем посмотреть в нашу таблицу функций, чтобы увидеть, какая стоимость напитка зависит от его размера.

Правила таблицы функций

Каждая функция является правилом, поэтому каждая таблица функций имеет правило, описывающее отношения между входами и выходами.Иногда правило лучше всего описать словами, а иногда лучше всего описать с помощью уравнения. Мы можем наблюдать это, глядя на наши два предыдущих примера.

Рассмотрим наш пример с шоколадным батончиком. Обратите внимание, что общая стоимость каждого батончика, который я покупаю, увеличивается на 2 доллара. То есть, если я позволю c представить мою общую стоимость, а x представить количество батончиков, которые я покупаю, тогда c = 2 x , где x больше или равно 0 и меньше или равно 6 (потому что у нас всего 12 долларов).Это форма уравнения правила, которое связывает входы этой таблицы с выходами.

Теперь рассмотрим наш пример с напитком. В этом случае наше правило лучше всего описать словесно, так как мы вводим объем напитков, а не цифры. Таким образом, наше правило для этой таблицы функций будет заключаться в том, что маленькое значение соответствует 1,19 доллара, среднее — 1,39 доллара, а большое — 1,59 доллара.

Таким же образом мы можем использовать правило для создания таблицы функций; мы также можем изучить таблицу функций, чтобы найти соответствующее правило.Рассмотрим следующую таблицу функций:

Обратите внимание: чтобы получить от -2 до 0, мы добавляем 2 к нашему вводу. Точно так же, чтобы получить от -1 до 1, мы добавляем 2 к нашему вводу. Мы видим, что это справедливо для каждого входа и соответствующего выхода. Следовательно, наше правило таблицы функций состоит в том, чтобы добавить 2 к нашему входу, чтобы получить наш вывод, где наши входы — это целые числа от -2 до 2 включительно. Мы также можем описать это в форме уравнения, где x — это наши входные данные, а y — наши выходные данные: больше или равно 2.

Когда использовать таблицу функций

Как мы уже упоминали, существует четыре различных способа представления функции, так как же узнать, когда полезно использовать таблицу? Обратите внимание, что и в примере с шоколадным батончиком, и в примере с напитком имеется конечное число входных данных. Из-за этого это случаи, когда таблица функций очень практична и полезна для представления функции. Таблица может иметь только конечное количество записей, поэтому, когда у нас есть конечное количество входных данных, это хорошее представление для использования.

Чтобы лучше понять это, рассмотрим функцию, которая определяется правилом y = 3 x + 1, где все наши входные данные являются действительными числами. Если мы попытаемся представить это в таблице функций, нам потребуется бесконечное количество столбцов, чтобы показать все наши входные данные с соответствующими выходными данными. Это невозможно сделать руками. Однако если бы у нас была функция, определяемая тем же правилом, но нашими входами были числа 1, 3, 5 и 7, то таблица функций, соответствующая этому правилу, имела бы четыре столбца для входов с соответствующими выходами.Это очень легко создать. Мы видим, почему таблица функций лучше, когда у нас есть конечное число входных данных.

Краткий обзор урока

Функция — это правило, которое назначает набор входов набору выходов таким образом, что каждый вход имеет уникальный выход. Таблица функций по математике — это таблица, описывающая функцию путем отображения входных и выходных данных в табличной форме. Каждая таблица функций имеет правило, описывающее взаимосвязь между входными и выходными данными.Мы видели, что лучше всего использовать таблицу функций для описания функции, когда для этой функции имеется конечное число входных данных. Теперь вам должно быть очень удобно определять, когда и как использовать таблицу функций для описания функции.

Частота и таблицы частот

Частота конкретного значения данных является количество раз, когда значение данных встречается.

Например, если четыре студента набрали 80 баллов по математике, и тогда говорят, что счет 80 имеет частоту 4.Частота значения данных часто представляется как f .


Таблица частот создается путем упорядочивания значений собранных данных в порядке возрастания с соответствующими им частотами.


Пример 5

Оценки, выставленные за задание для класса 8 класса из 20 студентов были следующими:
     6     7 5     7 7     8 7     6 9     7
     4     10 6     8 8     9 5     6 4     8

Представьте эту информацию в таблице частот.

Решение:

Для построения таблицы частот поступаем следующим образом:

Шаг 1:

Создайте таблицу с тремя столбцами. Первый столбец показывает, что упорядочивается в порядке возрастания (т.е. метки). То самая низкая оценка – 4. Итак, начните с 4 в первом столбце, как показано ниже.

Шаг 2:

Просмотрите список оценок.Первая отметка в list равно 6, поэтому поставьте отметку против 6 во втором столбце. То вторая отметка в списке — 7, поэтому поставьте итоговую отметку против 7 во второй столбец. Третья отметка в списке — 5, поэтому поставьте итоговую отметку против 5. в третьем столбце, как показано ниже.

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все метки в списке не будут подсчитано.

Шаг 3:

Подсчитайте количество итоговых баллов для каждого балла и запишите его в третьем столбце.Готовая таблица частот выглядит следующим образом:


В целом:

Мы используем следующие шаги для построения таблицы частот:

Шаг 1:

Создайте таблицу с тремя столбцами. Затем в первый столбец, запишите все значения данных в порядке возрастания величины.

Шаг 2:

Чтобы заполнить второй столбец, просмотрите список данных значений и поставьте одну метку в соответствующем месте второго столбец для каждого значения данных. Когда пятый счет достигнут для отметку, проведите горизонтальную линию через первые четыре контрольные отметки, как показано для 7 в приведенной выше таблице частот. Продолжаем этот процесс, пока все значения данных в списке подсчитываются.

Шаг 3:

Подсчитайте количество контрольных меток для каждого значения данных и запишите его в третью колонку.


Интервалы классов (или группы)

Когда набор значений данных разбросан, трудно настроить частотную таблицу для каждого значения данных, так как их будет слишком много строки в таблице.Таким образом, мы группируем данные в интервалов классов (или групп), чтобы помочь нам организовать, интерпретировать и проанализировать данные.

В идеале у нас должно быть от пяти до десяти строк в таблица частот. Имейте это в виду при определении размера класса интервал (или группа).

Каждая группа начинается со значения данных, кратного группа. Например, если размер группы равен 5, то группы должно начинаться с 5, 10, 15, 20 и т. д.Аналогично, если размер группы равно 10, то группы должны начинаться с 10, 20, 30, 40 и т. д.

Частота группы (или интервал класса) — это количество значений данных, попадающих в диапазон определяется этой группой (или интервалом класса).


Пример 6

Количество звонков от автомобилистов в сутки на обочину обслуживание записано за декабрь 2003 года.Результаты были такими следует:

Настройте таблицу частот для этого набора значений данных.

Решение:

Для построения таблицы частот поступаем следующим образом:

Шаг 1. Создайте таблицу с тремя столбцами и напишите группы данных или интервалы классов в первом столбце.Размер каждого группа 40. Таким образом, группы будут начинаться с 0, 40, 80, 120, 160 и 200 до включить все данные. Обратите внимание, что на самом деле нам нужно 6 групп (на 1 больше, чем мы первая мысль).

Шаг 2. Просмотрите список значений данных. Для первого значение данных в списке, 28, поставить контрольную отметку против группы 0-39 в второй столбец.Для второго значения данных в списке, 122, поместите подсчет отметьте против группы 120-159 во второй колонке. Для третьих данных значение в списке, 217, поставьте отметку против группы 200-239 в второй столбец.

Мы продолжаем этот процесс до тех пор, пока все значения данных в наборе подсчитываются.

Шаг 3. Подсчитайте количество баллов для каждой группы и запишите его в третью колонку.Готовая таблица частот выглядит следующим образом:


Основные термины

частота, таблица частот, интервалы классов, группа

Что такое таблица частот? — Определение, факты и примеры

Что такое таблица частот?

Частота означает, сколько раз происходит событие или значение. Частотная таблица — это таблица, в которой перечислены элементы и показано, сколько раз они встречаются. Мы обозначаем частоту английским алфавитом «f».

Например, Алан должен положить футбольные мячи в две коробки. Он начинает бросать один мяч за другим в два ящика с именами A и B. Алан бросает мячи случайным образом, и после того, как он бросил 10 мячей, он немного отдыхает, а затем снова повторяет задание с оставшимися 10 мячами.

Данные таблицы показывают, как Алан бросает футбольные мячи в два ящика.

Испытание-1 Испытание-2
Усилие Мяч падает в коробку A или B Усилие Мяч падает в коробку A или B
1 А 1 Б
2 Б 2 Б
3 А 3 А
4 А 4 А
5 А 5 А
6 А 6 А
7 Б 7 Б
8 А 8 А
9 Б 9 Б
10 А 10 А
       

 

График частоты падения мяча в ящик А в случае обоих испытаний на одной таблице.

Испытания Частота падения мячей в ящик А
Испытания — 1 8
Испытания — 2 6

 

Такая таблица называется таблицей частот. Мы составляем таблицу, упорядочивая собранные значения данных и их соответствующие частоты. Цель построения этой таблицы — показать, сколько раз встречается значение.

 

Таблицы частот и учетные отметки

Метки подсчета помогают подсчитывать частоту возникновения чего-либо. Он используется для ведения записей.

Испытания Учетные метки Частота падения шаров в ящик А (f)
Испытания — 1 8
Испытания — 2 6

 

Создание таблицы частот

Шаг 1 : Создайте три столбца. Первый столбец содержит значения данных в порядке возрастания (от меньших значений к большим).

Шаг 2 : Второй столбец содержит количество раз, когда значение данных встречается с использованием контрольных меток. Подсчет для каждой строки в таблице. Используйте метки для подсчета.

Шаг 3 :  Подсчитайте количество контрольных отметок для каждого значения данных и запишите его в третьем столбце.

Например, Рита ведет учет количества покупателей, ежедневно посещающих ее магазин, используя таблицу частоты и учетные отметки.

 

 Интересный факт

 Таблицы частот позволяют нам рассматривать все значения данных более упорядоченно и легко.

 Можете ли вы составить таблицу частот, подсчитав количество черных автомобилей, серебристых автомобилей, мотоциклов и велосипедов в вашем районе?

  

Бесплатные решения NCERT для класса 4 по математике Глава 11

Страница № 120:
Вопрос 1:

Как сажают подсолнух и бархатцы? 18 = ______ × ______  Итак, имеется ______ рядов с ______ растениями в каждом. 18 = ______ × ______  Итак, имеется ______ рядов с ______ растениями в каждом.

Ответ:

18 = 2 × 9 Таким образом, имеется 2 рядов с 9 растениями в каждом.

18 = 3 × 6 Таким образом, имеется 3 рядов с 6 растениями в каждом.

Страница № 121:
Вопрос 1:

Банки на полке Бхима сделал полку для 30 банок. Это длинная полка с двумя рядами. В каждом ряду одинаковое количество банок.

Можете ли вы придумать другие способы сделать полку для хранения 30 банок? • Нарисуйте полку. Покажите, сколько банок вы будете держать в каждом ряду. Сколько рядов есть? Ваши друзья нарисовали его по-разному?

Ответ:

Да, мы можем сделать полку в 3 ряда для хранения 30 банок. Общее количество банок = 30 Количество рядов = 3 Количество банок в каждом ряду = 30 ÷ 3 = 10 В каждом ряду полки по 10 банок.

Отказ от ответственности: Ответ может варьироваться от студента к студенту. Ответ, представленный здесь, предназначен только для справки.

Страница № 122:
Вопрос 1:

Помогите Банти составить таблицу из 7, используя таблицы из 4 и 3.

Ответ:

901 использовать для написания таблицы 12?

Ответ:

Мы будем использовать таблицы 5 и 7 для написания таблицы 12.

Страница № 123:
Вопрос 1:
Сколько ног? 4 8 12
Сколько кошек? 1 2

Таким образом, 28 ног означают __________ кошек.

Ответ:

Количество ног у 1 кошки = 1 × 4 = 4 Количество ног у 2 кошек = 2 × 4 = 8 Количество ног у 3 кошек = 3 × 4 = 12 Продолжая в том же духе, мы можем легко заполнить данную таблицу.

Сколько ног? 4 4 8 12 16 20 24 28 32
Сколько кошек? 1 1 2 3 4 5 5 6 7 8

Из таблицы можно увидеть, что 7 кошек имеют 28 ног.

Вопрос 2:

Билло держал своих цыплят в коробке. Он насчитал 28 ног. Сколько цыплят?

Ответ:

Мы знаем, что у курицы 2 ноги. Общее количество ножек цыплят, подсчитанное Билло = 28. Количество цыплят в ящике = 28 ÷ 2 = 14 Таким образом, в коробке оказалось 14 цыплят.

Вопрос 3:

Лила не ходила в школу 21 день. Сколько недель она не посещала школу?

Ответ:

Количество дней в неделе = 7 Лила не ходила в школу 21 день.Количество недель в 7 днях = 1 Количество недель в 21 дне = 21 ÷ 7 = 3

Работа:

Итак, Лила не ходила в школу на 3 недели.

Страница № 124:
Вопрос 1:

лягушка прыгает по 3 шага за раз, начиная с 0. • Подсчитайте прыжки, которые он совершает, чтобы набрать 27. Итак, он совершил 27 ÷ 3 = _______ прыжков.

• Он совершил _________ прыжков, если ему 36 лет. • Если ему 42 года, он совершил _________ прыжков. Начиная с 0, кролик прыгает по 5 шагов за раз. • За сколько прыжков он достигает 25? ____________ • Он достигает ____________ после 8 прыжков. • Ему нужно ____________ прыжков, чтобы пройти 55.

Ответ:
  • Количество прыжков лягушки, чтобы преодолеть 3 шага = 1

Количество прыжков, сделанных лягушкой, чтобы пройти 27 шагов = 27  ÷ 3 = 9 Итак, он совершил 27 ÷ 3 = 9 прыжков.

  • Количество прыжков, сделанных лягушкой, чтобы преодолеть 3 шага = 1

Количество прыжков, сделанных лягушкой, чтобы преодолеть 36 шагов = 36  ÷ 3 = 12 Он совершил 12 прыжков, если ему 36 лет.

  • Количество прыжков лягушки, чтобы пройти 3 ступеньки = 1

Количество прыжков, сделанных лягушкой, чтобы преодолеть 42 ступеньки = 42  ÷ 3 = 14 Если ему 42 года, он совершил 14 прыжков.

  • Количество прыжков кролика, чтобы преодолеть 5 шагов = 1

Количество прыжков, сделанных лягушкой, чтобы преодолеть 25 шагов = 25  ÷ 5 = 5 Таким образом, кролик достигнет 25 за 5 прыжков.

  • Количество шагов, пройденных за 1 прыжок = 5

Количество шагов, пройденных за 8 прыжков = 5 × 8 = 40 Он достигает 40 после 8 прыжков.

  • Количество прыжков кролика, чтобы преодолеть 5 шагов = 1

Количество прыжков, сделанных лягушкой, чтобы преодолеть 55 шагов = 55  ÷ 5 = 11 Ему нужно 11 прыжков, чтобы достичь 55.

Вопрос 2:

Время практики (1) 28 ÷ 2 = (2) 56 ÷ 7 = (3) 48 ÷ 4 = (4) 66 ÷ 6 = (5) 96 ÷ 8 = (6) 110 ÷ 10 =

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(3)

(4)

(5)

(6)

Страница № 125:
Вопрос 1:

На одно ожерелье он взял 28 ракушек.112 — 28 = 84 Теперь у него осталось 84 снаряда. Снова взял еще 28 ракушек для второго ожерелья. • Сколько снарядов осталось? __________ Затем он взял ракушки для третьего ожерелья. • Итак, у него осталось ___________ снарядов. • Сколько ожерелий может сделать Друв из 112 раковин? _________ • Хватит ли ракушек, чтобы сделать ожерелья для всех его друзей? ___________

Ответ:
  • После изготовления первого ожерелья у Дхрува осталось 84 ракушки.

Количество раковин, используемых для второго ожерелья = 28 Количество снарядов, оставшихся у Дхрува = 84 − 28. = 56

Рабочий: 84-2856 Таким образом, после изготовления второго ожерелья у Друва осталось 56 раковин.

  • Дхрув взял еще 28 ракушек для изготовления третьего ожерелья.

Количество ракушек, оставшихся у Дхрува после изготовления третьего ожерелья = 56 − 28 = 28

  • Дхрув сделал ожерелье из 28 ракушек для каждого из трех своих друзей.

После изготовления ожерелий для своих друзей у него осталось 28 ракушек. Значит, из оставшихся ракушек он мог сделать еще одно ожерелье. Таким образом, Друв мог сделать всего 4 ожерелья из 112 раковин.

  • Да, ракушек хватило на изготовление ожерелий для всех друзей. После того, как он сделал 3 ожерелья для своих друзей, у Дхрува осталось 28 ракушек.
Вопрос 2:

Канну сделал ожерелье из 17 морских раковин. Сколько таких ожерелий можно сделать из 100 ракушек?

Ответ:

Канну сделал ожерелье из 17 морских раковин. Количество морских раковин, использованных в 1 ожерелье = 1 × 17. = 17 Количество морских раковин, используемых в 2 ожерельях = 2 × 17. = 34 Точно так же количество морских раковин, использованных в 6 ожерельях, = 6 × 17. = 102 Итак, для изготовления 6 ожерелий требуется 102 морские раковины.Общее количество морских раковин, доступных для изготовления ожерелий = 100. Таким образом, Канну может сделать 5 ожерелий из 100 морских раковин.

Страница № 126:
Вопрос 1:

В одной упаковке 85 кусочков мыла. Шалли хочет упаковать 338 кусков мыла. Сколько коробок ей нужно, чтобы упаковать их все?

Ответ:

Количество кусочков мыла, которые можно упаковать в 1 коробку = 85 Количество кусочков мыла, которые можно упаковать в 2 коробки = 2 × 85 = 170 Количество кусков мыла, которые можно упаковать в 3 коробки = 3 × 85 = 255 Количество кусков мыла, которые можно упаковать в 4 коробки = 4 × 85 = 340 Если взять 3 коробки, то мы можем упаковать только 255 кусков мыла. Таким образом, Шалли потребуется 4 коробки, чтобы упаковать 338 кусков мыла.

Вопрос 2:

Манприт хочет 1500 мешков цемента для строительства дома. Грузовик перевозит 250 мешков за раз. Сколько рейсов сделает грузовик?

Водитель берет 500 рупий за поездку. Сколько Манприт будет платить водителю за все поездки?

Ответ:

Общее количество мешков цемента, необходимое Манприту для постройки дома = 1500 Количество мешков, перевезенных грузовиком за 1 рейс = 250. Количество мешков, перевезенных грузовиком за 2 рейса = 250 × 2 = 500. Количество мешков, перевезенных грузовиком за 3 рейса = 250 × 3 = 750. Количество мешков, перевезенных грузовиком за 4 рейса = 250 × 4 = 1000. Количество мешков, перевезенных грузовиком за 5 рейсов = 250 × 5 = 1250. Количество мешков, перевезенных грузовиком за 6 рейсов = 250 × 6 = 1500. ∴ Количество рейсов грузовика для перевозки 1500 мешков = 1500 ÷ 250 = 6 Таким образом, грузовик совершит 6 рейсов, чтобы перевезти 1500 мешков цемента.

Сумма, взимаемая водителем за одну поездку = 500 рупий. Количество поездок, совершенных грузовиком = 6 ∴  Общая сумма, взимаемая водителем за 6 поездок = 500 рупий × 6. = 3000 рупий Таким образом, Манприт будет платить водителю 3000 рупий за все поездки.

Вопрос 4:

Конфеты Гангу Гангу готовит сладости для Ид. Он сделал поднос из 80 ладду .

• Достаточно ли сладостей на подносе, чтобы упаковать 23 маленькие коробки? ___________ • Сколько еще сладостей нужно? ___________ • У Гангу также есть большая коробка, в которую он упаковывает 12 ладду .Сколько коробок ему нужно для упаковки 60 ладду ?

Ответ:

• Общее количество ладду = 80

Количество ладду в одном ящике = 4 Теперь Рабии нужно 23 коробочки с ладду . Количество ладду в 23 коробках = 4 × 23 = 92 В лотке всего 80 конфет, которых недостаточно для упаковки 23 маленьких коробочек.

• Необходимое количество конфет = 92 − 80 = 12 Таким образом, для упаковки 23 маленьких коробочек нужно еще 12 конфет.

• Количество упаковок ладду Гангу в одной коробке = 12 Всего ладду нужно упаковать = 60 Необходимое количество ящиков = 60

÷12 = 5 Таким образом, Гангу нужно 5 коробок, чтобы упаковать 60 ладду.

Страница № 127:
Вопрос 1:

Время практики Нилу принесла в класс 15 сборников рассказов. Сегодня здесь 45 студентов. Сколько детей должны будут разделить одну книгу?

Ответ:

Общее количество учеников в классе = 45 Количество книг, принесенных Нилу в класс = 15 Количество детей, пользующихся одной книгой = 45 ÷ 15 = 3 Итак, трое детей будут делить одну книгу.

Вопрос 2:

Практика Семье из 8 человек требуется 60 кг пшеницы на месяц. Сколько пшеницы нужно этой семье на неделю?

Ответ:

Количество пшеницы, необходимое семье в месяц = ​​60 кг. Мы знаем, что в месяце 4 недели. Количество пшеницы, необходимое семье в неделю = 60 ÷ 4 кг. = 15 кг Работа: Таким образом, семье требуется 15 кг пшеницы в неделю.

Вопрос 3:

Время тренировки Разия хочет сдачу на 500 рупий.

Сколько банкнот она получит, если захочет взамен —

(a) Все банкноты по 100 рупий? __________________ 

(b) Все банкноты в 50 рупий? __________________ 

(c) Все банкноты в 20 рупий? __________________

(d) Все банкноты в 5 рупий? ___________________

Ответ:

(а) Всего денег с Разией = 500 рупий. Разия хочет сдачу на 500 рупий банкнотами в 100 рупий. Количество банкнот в 100 рупий, которые получит Разия = 500 ÷ 100 = 5 (б) Всего денег с Разией = 500 рупий. Разия хочет сдачу на 500 рупий банкнотами в 50 рупий.Количество банкнот в 50 рупий, которые получит Разия = 500 ÷ 50 = 10 (с) Всего денег с Разией = 500 рупий. Разия хочет сдачу на 500 рупий банкнотами в 20 рупий. Количество банкнот в 20 рупий, которые получит Разия = 500 ÷ 20 = 25 (г) Всего денег с Разией = 500 рупий. Разия хочет сдачу на 500 рупий банкнотами в 5 рупий. Количество банкнот в 5 рупий, которые получит Разия = 500 ÷ 5 = 100

Вопрос 4:

Время практики Вы должны распределить 72 помидора поровну по 3 корзинам.Сколько помидоров будет в каждом?

Ответ:

Общее количество помидоров, которые нужно распределить по корзинам = 72 Количество корзин = 3 Дано, что количество помидоров в каждой корзине одинаково. Количество помидоров в каждой корзине = 72 ÷ 3 = 24 Работа: Таким образом, в каждой корзине по 24 помидора.

Вопрос 5:

Время практики В ручной тележке 350 кирпичей. Бинод нашел, что вес кирпича равен 2 кг. Какова будет масса всех кирпичей?

Ответ:

Вес 1 кирпича = 2 кг Вес 350 кирпичей = 2 × 350 кг = 700 кг

Таким образом, общий вес всех кирпичей в ручной тележке равен 700 кг.

Страница № 130:
Вопрос 1:

Мира сделала 204 свечи для продажи на рынке. Она делает пакеты по 6 штук. Сколько пакетов она сделает? Если она упаковывает их в пакеты по 12 штук, то сколько пакетов она сделает?

Ответ:

Общее количество свечей, которые будут проданы на рынке = 204 Мира делает пакеты по 6 штук. Количество свечей в одном пакете = 6 Количество пачек свечей, изготовленных Мирой = 204 ÷ 6 = 34

Получится:

Таким образом, Мира сделает 34 пачки свечей.

Теперь Мира делает пакеты по 12 штук. Количество свечей в одном пакете = 12 Количество пакетов, сделанных Мирой = 204 ÷ 12 = 17 Работает:

Таким образом, если Мира упакует свечи в пакеты по 12 штук, то получится 17 пакетов.

Вопрос 2:

В День спорта на школьной площадке находится 161 ребенок. Они стоят в 7 равных рядов. Сколько детей в каждом ряду?

Ответ:

Общее количество учеников на игровой площадке = 161 Общее количество рядов студентов = 7 Принято считать, что количество учеников в каждом ряду одинаково.Количество учеников в каждом ряду = 161 ÷ 7 = 23 Работа: Таким образом, в каждом ряду по 23 ученика.

Страница № 131:
Вопрос 1:

Есть 8 пакетов ракхи . В каждом пакете 6 ракхи . Ваш вопрос:

Ответ:

Мой вопрос: Сколько всего ракхи ?

Вопрос 2:

Есть 10 пакетов сахара. Саураб заплатил за все пакеты 110 рупий.Ваш вопрос:

Ответ:

Мой вопрос: Сколько стоит 1 упаковка сахара?

Вопрос 3:

В 7 рядах 35 учеников. В каждом ряду одинаковое количество учеников. Ваш вопрос:

Ответ:

Мой вопрос: Сколько учеников в каждом ряду?

Страница № 132:
Вопрос 1:

Хари, Сима, Чинку и Лакшми едут в Гувахати. Стоимость одного ж/д билета 62 рупии.

Ваш вопрос:

Ответ:

Мой вопрос: Какова общая стоимость ж/д билетов?

Вопрос 2:

Один метр ткани стоит 20 рупий.Лалбиак купил ткань и заплатил 140 рупий.

Ваш вопрос:

Ответ:

Мой вопрос: Сколько метров ткани купил Лалбиак?

40 увлекательных практических способов обучения умножению

Умножение — это один из тех основных навыков, которые учащиеся должны освоить, прежде чем они смогут перейти к более сложной математике. Запоминание — это один из вариантов, но очень важно убедиться, что дети точно понимают, что значит умножать. Этот список способов научить умножению полон разнообразных забавных и увлекательных подходов.Вы обязательно найдете идею или занятие, которое найдет отклик у каждого из ваших учеников!

1. Приготовление лапши для умножения

Возьмите немного лапши для бассейна и используйте наш простой учебник, чтобы превратить ее в непревзойденные манипуляторы умножения! Это такой уникальный способ для детей практиковать свои факты.

2. Сообразительность в Array Capture

В этой игре вы можете использовать кубики в кубиках или просто пару кубиков. Игроки бросают кости и используют числа, чтобы заблокировать пространство на сетке, также записывая математическое предложение.В конце игры побеждает игрок с наибольшим количеством закрашенных клеток.

Узнайте больше: Обучение с Джиллиан Старр/Array Capture

3. Пробейте отверстия, чтобы сделать массивы

Массивы вводят умножение так, как это легко понять детям. Это занятие отлично подходит для активных учащихся, которым понравится делать отверстия, создавая массивы умножения для основных фактов.

Узнать больше: Главный тематический парк

4. Сложите ловушку для умножения

Нам нравится находить новые и умные способы практиковать математические факты! Получите эти бесплатные распечатки по ссылке, а затем позвольте детям раскрасить и сложить их.Теперь у них есть практика самопроверки.

Узнать больше: Artsy-Fartsy Mama/Cootie Catchers

5. Посетите магазин умножения

Насколько это весело? Создайте «магазин» с мелкими товарами для продажи. Дети выбирают несколько предметов из каждого раздела, чтобы «купить», и выписывают предложения на умножение в качестве квитанции!

Узнайте больше: Экономные развлечения для мальчиков и девочек/Магазин умножения

6. Спросите партнера: «Есть ли у вас?»

Получил старую игру «Угадай, кто?» игра валяется? Вместо этого превратите это в игру на умножение!

Узнайте больше: @rainbowskycreations

7.

Вытащите базу 10 блоков

Блоки

с основанием 10 — один из наших любимых манипуляторов, и это потрясающий инструмент, который поможет вам научить умножению. Создавайте массивы с ними, чтобы дети могли визуализировать проблемы и их ответы.

Узнайте больше: Учебные материалы Лауры Кэндлер

8. Цвет на страницах Emoji Mystery

Вот вариант раскрашивания по номерам. Сначала дети должны решить задачи на умножение в каждом квадрате. Затем они переходят к цвету! Получите бесплатный набор этих страниц по ссылке.

Узнайте больше: Artsy-Fartsy Mama/Emoji Mystery Pages

9. Умножение с игрой в кости

Кое-что о кости в кости просто делает обучение более увлекательным! Если у вас нет набора, вы можете использовать пару обычных кубиков для этого действия. Смешайте вещи с многогранными кубиками с более высокими числами.

Узнайте больше: Life Over Cs

10. Подбирайте палочки, чтобы играть в Kaboom!

Так просто и так весело! Напишите факты умножения на концах различных деревянных палочек. На нескольких напишите Kaboom! вместо. Для игры дети вытягивают из чашки палочки и отвечают на задачу. Если они понимают это правильно, они могут продолжать тянуть палки. Но если они получат Kaboom! палка, они должны вернуть всю свою коллекцию!

Узнайте больше: Обучение с Джиллиан Старр/Кабум!

11. Карты памяти Match Multiplication

Практика фактов с игрой памяти. Сделайте свои собственные карточки, написав факты и ответы, а затем положите их лицевой стороной вниз. Переверните карточку и попытайтесь найти соответствующий ответ или проблему.Ваш ход продолжается до тех пор, пока вы можете делать совпадения.

Узнать больше: This Reading Mama/Multiplication Memory

12. Найди первым

Напишите на доске ряд продуктов и добавьте несколько случайных чисел. Вызовите двух учеников к доске и вызовите задачу на умножение. Тот, кто первым найдет правильный ответ и укажет на него, получает очко.

Узнайте больше: кто есть кто и кто новинка

13.

Нарисуй цветы умножения Вальдорфа

Это творческий способ обучения фактам умножения.Нарисуйте цветок с 12 лепестками и кругом в центре. В кружке напишите множимое; на лепестках цифры от одного до двенадцати. Теперь нарисуйте большие лепестки снаружи и заполните произведение каждого факта. Добавьте немного цвета, чтобы сделать забавные украшения в классе!

Узнайте больше: Мультикультурное материнство

14. Играть в войну умножения

Все, что вам нужно для этого, это колода карт, а также бумага и карандаш для каждого игрока. Разделите колоду между игроками. Каждый игрок переворачивает две карты, затем записывает предложение умножения и ответ.Игрок с большим произведением забирает все карты. Играйте, пока колода не исчезнет. Побеждает игрок с наибольшим количеством карт!

Узнать больше: Мама двух шикарных Lil Divas

15. Соревнуйтесь в бинго на умножение

Возьмите эти бесплатные распечатанные карточки бинго по ссылке и раздайте по одной каждому учащемуся вместе с несколькими фишками или бобами для использования в качестве жетонов. Вызовите факты умножения и попросите учащихся закрыть ответы, если они у них есть. Когда они получают 5 подряд, это Бинго!

Узнайте больше: Признания родителей

16.Придайте изюминку камню-ножницам-бумаге

Скорее всего, ваши ученики уже умеют играть в «камень-ножницы-бумага». Это аналогично, но вместо этого каждый игрок протягивает случайное количество пальцев. Первый, кто правильно перемножит их вместе и назовет ответ, получает очко. Играйте до 5, 10 или любого числа по вашему выбору.

17. Умножьте несколько коробок для яиц

Пронумеруйте стаканчики коробки для яиц от 1 до 12. Положите туда два шарика или боба, затем закройте коробку и встряхните ее.Откройте его и попросите учеников написать предложение с числом умножения в зависимости от того, куда приземлились шарики. Это простой инструмент, который родители могут сделать для детей дома.

18. Попробуйте интерактивные карточки

Это не обычные карточки! Эти бесплатные печатные формы — отличный способ научить умножению, поскольку сторона ответа включает в себя массив точек, чтобы помочь детям визуализировать решение. Вы можете использовать липкие флажки для заметок, чтобы закрыть ответы, в то время как дети также используют массивы для помощи.

Узнать больше: Родитель-исследователь

19. Изучите факты умножения с помощью колесика для бумажных тарелок

Все, что нужно, это бумажные тарелки, клей и маркер, чтобы помочь вашим ученикам выучить таблицу умножения. Пусть дети развлекаются, украшая свои тарелки, и это удваивается как математическое ремесло!

Узнайте больше: Творческое семейное развлечение

20. Практика с семейными треугольниками фактов

Свяжите факты умножения и деления с помощью треугольных карточек.Узнайте, как ими пользоваться, и купите набор для печати по ссылке. Вы также можете предложить детям сделать их самостоятельно.

Узнать больше: Primary Flourish

21. Собери кубики LEGO

Кубики LEGO

— один из наших любимых способов обучения математике! Вы можете использовать несколько кирпичей для создания массивов или просто смотреть на выпуклости на вершине одного кирпича как на массив.

Узнайте больше: Math Geek Mama/Lego Multiplication

22. Попробуйте трюк с пальцами

Эта милая поделка также учит детей умному трюку с умножением, который может помочь им, если они застряли с умножением «на девять».Узнайте простой трюк по ссылке.

Узнайте больше: Создание обучающей среды/Трюк с пальцами

23. Используйте силу, чтобы научить умножению

Иногда изучение фактов умножения требует практики. Рабочие листы могут быть не очень увлекательными, но добавление темы, которая интересует детей, может мотивировать ваших учеников. Эта бесплатная загрузка с сайта Royal Baloo включает в себя листы с домашними заданиями и практические задания с графиками, головоломками-лабиринтами и многим другим на тему «Звездных войн».

24. Посмотрите видео об умножении

От Schoolhouse Rock до Animaniacs и не только — есть множество забавных видеороликов, которые помогут вам научить умножению. Найдите наш большой список здесь.

25. Играть в шашки на умножение

Превратите шахматную доску комиссионного магазина в игру на умножение с помощью наклеек и маркера. Игра похожа на традиционные шашки, но вы должны решить проблему, прежде чем сможете оставить свою шашку на новом месте.

Узнать больше: Учи рядом со мной

26. Бросьте футбольный мяч для умножения

Напишите случайные числа в белых точках на футбольном мяче. Бросьте мяч учащемуся и попросите его посмотреть на цифры, расположенные ближе всего к их большому пальцу. Перемножьте два числа вместе и произнесите ответ вслух.

Узнайте больше: Создание обучающей среды/Футбольное умножение

27. Откидные крышки для бутылок

Классная альтернатива карточкам.Вы можете использовать металлические крышки от бутылок или крышки от пластиковых бутылок, а также круглые наклейки, которые подходят к крышкам. Это отличный способ стать зеленым, пока вы учите умножение!

Узнать больше: Класс Крофта

28.

Разбейте тесто, чтобы научиться умножению

Дети, любящие спорт, будут в восторге! Получите бесплатные печатные формы по ссылке и используйте их вместе с 10-гранным кубиком, чтобы попрактиковаться в фактах умножения.

Узнайте больше: Обучение по очереди

29.Выстроить домино

Одиночные костяшки домино, перевернутые боком, становятся числовыми предложениями умножения! Возьмите горсть и попросите детей написать предложения и их ответы.

Узнайте больше: Обучение с Джиллиан Старр/Умножение Домино

30. Сделайте бросок, чтобы выиграть

Это немного похоже на Yahtzee. Бросьте кубик, затем выберите число от 1 до 6, чтобы умножить его. Каждый номер можно использовать только один раз, поэтому тщательно выбирайте, чтобы набрать как можно больше очков. Если у вас есть многогранные кости, вы можете играть и с большими числами.

Узнайте больше: Что мы делаем весь день

31. Массив пластилина для лепки

Какой ребенок не любит играть с пластилином? Используйте это занятие для математических центров, и детям очень понравится практиковать факты умножения.

Узнать больше: Класс Мисс Жирафа

32. Соедините точки квадратами умножения

Это математическая версия старой игры «Точки и квадраты». Дети бросают два кубика и перемножают числа.Затем они находят ответ на доске и соединяют две точки рядом с ним. Цель состоит в том, чтобы заполнить коробку, раскрасив ее маркером своего цвета. Когда доска заполнена, посчитайте квадраты, чтобы узнать, кто победит.

Источник: Games4Gains

33. Вырезать и собрать массив городов

Еще одна красочная математическая поделка: умножение городов! Окна большинства высотных зданий расположены так, что образуют идеальные массивы. Попросите детей сделать свои собственные городские горизонты со зданиями, показывающими различные массивы умножения.

Узнать больше: Яркие концепции для 4 учителей

34. Стек математических силовых башен

Сбор стаканчиков в стопки популярен во всем мире, так что не удивляйтесь, если дети будут требовать играть в эту игру снова и снова. Вытащите чашку, ответьте правильно и сложите. Посмотрите, кто сможет первым собрать стопку из 10 или кто построит самую высокую башню за 2 минуты и так далее.

Узнайте больше: Fabulous in Fifth

35. Измените имена ваших учеников (временно)

Возьмите несколько именных жетонов и напишите на каждом уравнения умножения.Дайте метку каждому из ваших учеников. В оставшуюся часть дня все будут обращаться друг к другу по ответу на уравнение на своей бирке (например, учащийся с именной биркой, на которой написано 7×6, будет называться «42»).

Узнать больше: Мистер элементарная математика

36. Возьмите умножение на сетку

Все, что вам нужно, это доска для плакатов, 12-гранный кубик и пара игровых фишек. Учащиеся перемещают свои игровые фишки вверх по полю, бросая кости и умножая два числа, выпавшие наверху.У них есть четыре шанса забить тачдаун.

Узнайте больше: Экономное развлечение для мальчиков и девочек/Футбол умножения

37.

Катайся и стучи!

Распечатайте бесплатные игровые поля, на каждом из которых указан множитель. Бросьте два кубика, сложите их вместе, затем умножьте на множитель. Затем поместите свою игровую фишку поверх этого ответа. Если другой игрок также придумывает такой же продукт, он может «снести» ваш игровой элемент и заменить его своим. Побеждает игрок с наибольшим количеством маркеров на доске в конце игры.

Узнать больше: This Reading Mama/Multiplication Bump

38. Схемы умножения плетений

Счет с пропусками представляет собой введение в умножение. Нам нравится это практическое занятие, когда дети пропускают счет и сплетают пряжу в красивые узоры.

Узнайте: приключения лимона и лайма

39. Испытайте себя в дженге умножения

Возьмите старую игру Jenga в секонд-хенде (или купите обычную версию в долларовом магазине).Напишите задачи на умножение на каждом блоке, а затем сложите их стопкой. Первый игрок тянет блок и пытается решить задачу. Если они делают это правильно, они держат блок. Если они промахиваются, их партнер получает шанс. Но если никто не может ответить на него, блок кладется сверху. Продолжайте играть, пока башня не рухнет!

Узнайте больше: Multiplication.com

40. Крути и учись

Вашим ученикам понравится эта извращенная версия старой любимой игры! Оригинальный Math Twister был разработан для сложения, но он также работает и для умножения.Просто напишите продукты на стикерах и добавьте их в круги. Затем вызовите математические задачи, такие как «Левая нога, 4 х 5!» Игрок должен поставить левую ногу на цифру 20 — если сможет!

Источник: Math Geek Mama/Twister

Ищете больше? Попробуйте эти проверенные учителями советы и упражнения для обучения методу умножения моделей площадей.

Кроме того, подпишитесь на наши бесплатные информационные бюллетени, чтобы получать все последние советы и идеи по обучению!

Telangana SCERT Класс 8 Математическое решение Глава 7 Таблицы и графики частотного распределения Упражнение 7.

1

Решение Telanagana SCERT Класс VIII (8) Математика Глава 7 Таблицы и графики частотного распределения Упражнение 7.1

(1) Среднее арифметическое будет

10000+10250+10790+9865+5350+10110/6

= 66365/6

= 11060,08

(2) Среднее значение данных

10,25+ 9 + 4,75+ 8+ 2,65+ 12+ 2,35/7

= 49/7

= 7

(3) Если среднее значение 8 наблюдений равно 25

Тогда итого 25 х 8 = 200

Если одно наблюдение 11 исключено

Тогда итого будет 200 – 11 = 189

Теперь среднее оставшееся 189/7 = 27

(4) Всего 9 x 38 = 342

Если вместо 72 взять 27.

Тогда итого будет = 342 – 72 + 27 = 207

Теперь фактическое среднее остатка = 297/9 = 33

(5) Пусть член семьи будет х

Сумма возрастов семьи = 5x

Через 5 лет возраст будет 25х + 5х = 30х

Тогда текущий средний возраст = 30x/x = 30

(6) Общий возраст группы = 40 x 11 = 440

2 года назад возраст = 440 + 2 x 40 = 520

Теперь общий возраст 39 составляет 39 x 12 = 468

Возраст человека, покинувшего группу, был 520 – 468 = 52 года.

(7) Среднее = 5+8+12+10+15+22/6 = 12

Сумма отклонений

|5 – 12| + |8 – 12| + |12 – 12| + |10 – 12| + |15 – 12| + |22 – 12|

= |-7| + |4| + |0| + |-2| + |3| + |10|

= 7 + 4 + 2 + 3 + 10

= 26

(8) Мы знаем, средние отклонения = сумма отклонений/количество наблюдений

= 100/20

= 5

(9) Среднее арифметическое данных = 4+21+13+5+9+10+20+19+12+20+14/ 12

= 164/12

= 13.66

10) Пусть, знаки Каришмы = х

Среднее значение = x+x-8+x-6+x-3+x-3+x-1+x+x+2+x+3+x+4+x+6/10

= 15

=> 10x-9+6/10 = 15

=> 10х = 150+3

=> х = 153/10

=> х = 15,3

(12) Прописывая заказы, получаем

3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8

Здесь медиана 6 четное число

Таким образом, среднее из двух средних чисел равно

.

3.3+3,5/2 = 6,8/2

= 3,4

(13) Дано 10, 12, 14, х – 3, х, х+2, 25

Медиана = 15 — нечетное число

Итак, медиана = 7+1/2

Итак, (7+1/2) = 15

= 4-й член = 15

Итак, х – 3 = 15

=> х = 18

Наблюдение 10,12, 14, 15, 18, 20, 25

(14) Расставляя получаем

9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 15, 19, 20, 21

Поскольку число 10 используется часто,

значит мод = 10

(15) Если режим x

Если каждое испуг уменьшается на 3.

тогда новый режим новой серии будет x – 3

(16) Так как в натуральных числах нет повторения числа.

Итак, режим будет 0.

(17) Расставляя получаем 5, 8, 10, 15, 15, 24, 28

Среднее арифметическое = 5+8+10+15+15+24+28/7

= 105/7

= 15

Медиана равна (7+1/2)-й = 4-й член = 15.

Режим очистки 15

Если увеличить на 1 Так новый режим 16.

Итак, новые данные

5, 8, 10, 15, 15, 16, 16, 16, 24, 23, х

Сейчас Нет.данных 11

Итак, среднее арифметическое 15 = 5 + 8 + 10 + 15 + 15 + 16 + 16 + 16 + 24 + 28 + х / 11

=> 165 = 153 + х

=> х = 12

Так формируются новые данные 12, 16, 16, 16

(19) Даны числа 7, 8, 3, 5, 9 и 5.

Медиана числа равна 5.

максимально возможное значение медианы из всех.

значения числа в этом всего.

девять чисел в этом списке равны 8.

(20) Медиана 9 наблюдений

9+1/2 = 5-й член

Итак, 5-й член равен 20

Последний член или самая большая форма увеличены на 2.Но пятый член перепутан.

Таким образом, медиана результирующего набора равна 20.


Калифорния пытается закрыть пробел в математике, но вызывает негативную реакцию

Если бы все шло по плану, в этом месяце Калифорния утвердила бы новые правила преподавания математики в государственных школах.

Но с тех пор, как в феврале проект был открыт для общественного обсуждения, рекомендации вызвали ожесточенные споры не только о том, как преподавать математику, но и о том, как решить проблему, более неразрешимую, чем последняя теорема Ферма: закрыть расовые и социально-экономические различия. различия в успеваемости, которые сохраняются на всех уровнях математического образования.

Калифорнийские правила, которые не имеют обязательной силы, могут изменить подход многих школьных округов к преподаванию математики. В проекте отвергалась идея об одаренных от природы детях, рекомендовалось не переводить некоторых учащихся на ускоренные курсы в средней школе и предпринималась попытка продвигать математические курсы высокого уровня, которые могли бы служить альтернативой вычислениям, таким как наука о данных или статистика.

В проекте также предполагалось, что математика не должна быть дальтоником и что учителя могут использовать уроки для изучения социальной справедливости — например, выявляя гендерные стереотипы в текстовых задачах или применяя математические концепции к таким темам, как иммиграция или неравенство.

Борьба за математику происходит в то время, когда политика в области образования, включая маски, тестирование и обучение расизму, запуталась в ожесточенных дискуссиях. Кандидат от республиканцев на пост губернатора Вирджинии Гленн Янгкин ухватился за эти вопросы, которые помогли ему одержать победу во вторник. Теперь республиканцы обсуждают, как эти вопросы образования могут помочь им на промежуточных выборах в следующем году.

Даже в сильно демократической Калифорнии — штате с шестью миллионами учащихся государственных школ и огромным влиянием на публикацию учебников по всей стране — проект руководства встретил резкую критику с обвинениями в том, что структура привнесет «пробудившуюся» политику в предмет, который должен быть практичным и точным.

«Люди действительно будут сражаться за то, чтобы математика оставалась прежней», — сказала Джо Боулер, профессор педагогики Стэнфордского университета, которая работает над пересмотром. «Даже родители, которые ненавидели математику в школе, будут настаивать на том, чтобы их дети не теряли ее».

Борьба за преподавание математики — история старая, как таблица умножения. Идея под названием «новая математика», представленная как более концептуальный подход к предмету, достигла своего расцвета в 1960-х годах. Около десяти лет назад, в разгар дебатов о национальных стандартах Common Core, многие родители оплакивали математические упражнения, которые, по их словам, отказывались от построчных вычислений в пользу настоящих иероглифов.

Сегодня споры вокруг правил Калифорнии ведутся вокруг фундаментального вопроса: для чего или для кого нужна математика?

Результаты тестирования регулярно показывают, что студенты-математики в Соединенных Штатах отстают от студентов из других промышленно развитых стран. А внутри страны существует постоянный расовый разрыв в достижениях. По данным отдела гражданских прав Департамента образования, чернокожие учащиеся составляли около 16 процентов старшеклассников, но 8 процентов из тех, кто был зачислен на математический факультет в 2015-16 учебном году. Белые и азиатские студенты были перепредставлены на курсах высокого уровня.

«У нас есть государство и нация, которые ненавидят математику и плохо с ней справляются, — сказал доктор Боулер.

Критики проекта заявили, что авторы накажут отличников, ограничив возможности программ для одаренных. В открытом письме, подписанном сотнями калифорнийцев, работающих в области науки и техники, проект описывается как «бесконечная река новых педагогических причуд, которые эффективно искажают и вытесняют реальную математику».

Уильямсон М.Эверс, старший научный сотрудник Независимого института и бывший сотрудник Департамента образования при администрации Джорджа Буша-младшего, был одним из авторов письма и возражал против идеи, что математика может быть инструментом социальной активности.

«Я думаю, что это действительно неправильно», — сказал он в интервью. «Математика есть математика. Два плюс два равняется четыре.»

Бедствие из-за черновика попало в Fox News. В мае имя и фотография доктора Боулер были показаны в эпизоде ​​передачи «Такер Карлсон сегодня вечером», о чем она не знала, пока не начала получать неприятные письма от незнакомцев.

Подобно некоторым попыткам реформ прошлых десятилетий, проект калифорнийских рекомендаций отдавал предпочтение более концептуальному подходу к обучению: больше сотрудничества и решения проблем, меньше заучивания формул.

Он также продвигал то, что называется отказом от отслеживания, который дольше удерживает учеников вместе, вместо того, чтобы разделять отличников на продвинутые классы до старшей школы.

Объединенный школьный округ Сан-Франциско уже занимается чем-то подобным. Там учащиеся средней школы по математике не разделяются, а скорее проходят интегрированные курсы, предназначенные для того, чтобы из года в год улучшать свое понимание, хотя старшеклассники по-прежнему могут выбирать предметы высокого уровня, такие как математический анализ.

София Алемайеху, 16 лет, ученица старшей школы в Сан-Франциско, продвинулась по этому комплексному пути, хотя она не всегда считала себя одаренной математикой. Сейчас она занимается продвинутым исчислением.

«В восьмом и девятом классе учителя говорили мне: «О, ты действительно хорошо разбираешься в материале», — сказала она. «Так что это заставило меня подумать, может быть, я хорош в математике».

Модель действует с 2014 года и позволяет получить данные об удержании и разнообразии за несколько лет, собранные экспертами по обе стороны дебатов об отказе от отслеживания.И хотя данные осложняются многочисленными переменными — среди них теперь и пандемия — те, кто поддерживает модель Сан-Франциско, говорят, что это привело к тому, что больше студентов и более разнообразный набор студентов посещают курсы повышения квалификации, не снижая успеваемости.

«Вы услышите, как люди говорят, что это наименьший общий знаменатель, который мешает одаренным детям продвигаться вперед», — сказала Элизабет Халл Барнс, руководитель отдела математики округа. «И тогда это похоже на то, что наши данные опровергают это».

Но Др.Эверс, бывший сотрудник Департамента образования, указал на исследования, показывающие, что данные об успеваемости по математике в таких местах, как Сан-Франциско, были скорее тщательно отобранными, чем окончательными. Он добавил, что предложенная в Калифорнии структура может использовать более тонкий подход к отмене отслеживания, который он считает грубым инструментом, не учитывающим потребности отдельных округов.

Другие критики отказа от отслеживания говорят, что это равносильно утомлению детей, которым будет полезен сложный материал, и что это может повредить учащимся, испытывающим затруднения, которым может потребоваться более целенаправленное обучение.

Дивья Чхабра, учитель математики в средней школе в Дублине, Калифорния, сказала, что штат должен уделять больше внимания качеству обучения, находя или обучая более сертифицированных и опытных учителей.

Без этого, по ее словам, потенциальные ученики быстро отстанут, и лишение возможностей для углубленного обучения только навредит им. «Мне так жаль этих студентов, — сказала она. «Мы подрезаем ноги ученикам, чтобы сделать их равными тем, кто плохо успевает по математике.”

Отслеживание является частью более широкой дискуссии о доступе к колледжу. В рамках существующей системы учащиеся, которые не были помещены на ускоренные курсы в средней школе, могут никогда не получить возможность пройти математический анализ, который долгое время был неформальным привратником для приема в отборные школы.

По данным Департамента образования, математика даже не предлагается в большинстве школ, в которых учится большое количество чернокожих и латиноамериканцев.

Роль исчисления уже много лет является предметом обсуждения среди преподавателей математики, сказала Трена Вилкерсон, президент Национального совета учителей математики.«Если исчисление — это не самое главное, то нам нужно, чтобы все понимали, какими могут быть разные подходы и как подготовить учащихся к будущему», — сказала она.

Рекомендации штата Калифорния направлены на расширение возможностей для изучения математики высокого уровня, чтобы учащиеся могли проходить курсы, например, по науке о данных или статистике, не теряя преимущества при подаче заявлений в колледж. (Этот шаг требует поддержки со стороны колледжей; в последние годы система Калифорнийского университета приуменьшила значение кредитов по математическому анализу.)

На данный момент процесс пересмотра достиг своего рода перерыва: проект пересматривается в преддверии очередного раунда общественного обсуждения, и только в конце весны или, может быть, летом совет штата по образованию решит, следует ли поставить печать одобрения.

Но даже после этого округа смогут отказаться от рекомендаций штата. А в местах, которые соглашаются, академические результаты — в виде результатов тестов, показателей удержания и готовности к поступлению в колледж — добавят к бурному морю данных о том, какие виды обучения математике работают лучше всего.

Другими словами, разговор далек от завершения.

«Нам было очень трудно пересмотреть преподавание математики в этой стране», — сказала Линда Дарлинг-Хаммонд, президент совета по образованию Калифорнии. «Мы не можем порционировать хорошо преподаваемую, вдумчивую математику лишь нескольким людям.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.