Разное

Сборник самостоятельных и контрольных работ по математике: Книга: «Математика. 5-6 классы. Сборник самостоятельных и контрольных работ к уч. Г.В. Дорофеева» — Марина Кубышева. Купить книгу, читать рецензии | ISBN 9785090808521

Содержание

Сборник самостоятельных и контрольных работ по математике (Аргинская И.И.) — Математика 3 класс — 3 класс

Сборник составлен на основе: Аргинская И.И. Сборник заданий по математике для самостоятельных, проверочных и контрольных работ в начальной школе. – Самара: Корпорация «Фёдоров”, Издательство «Учебная литература”, 2005. – 288 с.

Самостоятельная работа №8 (уроки 29 – 32)

Задание 1.

Пронумеруй углы. Напиши номера углов в порядке возрастания их величины.

Задание 2.

Заполни пустые клетки таблицы.

Задание 3.

Найди корни уравнений:

(m+387)+135=840

(237+ k) +187=954

Задание 4.

Запиши задачу кратко в виде таблицы. Составь схему её анализа и запиши решение по действиям:

В кафе привезли коробки с печеньем и столько же коробок с конфетами.

Коробка с конфетами весит 4 кг, а с печеньем – 6 кг. Конфет привезли 32 кг. Сколько привезли печенья?

Самостоятельная работа №9 (уроки 33 – 36)

Задание 1.

Измерь величину углов транспортиром.

Задание 2.

1. Площадь квадрата 64 см2. Найди периметр этого квадрата.

2. Какие стороны может иметь прямоугольник с таким же периметром, если они выражены целым числом сантиметров? Найди площади таких прямоугольников.

Задание 3.

1. Реши задачу.

Турист проехал на машине 146 км, на пароходе на 50 км меньше, чем на машине, а пешком прошел 12 км. Весь его путь составил 264 км. Сколько километров он проехал на пароходе?

2. Измени условие задачи так, чтобы остались только нужные для решения числа.

Задание 4.

1. Найди значение выражений: 86-72:9+6•3; (21:3+18:9)•8

2. Не изменяя чисел и знаков действий, измени выражения так, чтобы их значения стали меньше.

Самостоятельная работа № 10 (уроки 37 – 40)

Задание 1.

Начерти углы на 20 градусов больше данных.

 

Задание 2.

Найди корни уравнений:

361+(279+а)=917

286+(b+164)=871

Задание 3.

1. Реши задачу.

Один чабан настригает с трёх овец 18 кг шерсти, а другой с пяти овец 35 кг. Кто из них настригает с одной овцы больше шерсти и на сколько больше?

2. Напиши, сколько обратных задач можно к ней составить.

Задание 4.

Чтобы найти значение сложного выражения ученики выполнили следующие действия: 8•3, 6•8, 24+48, 72:9.

Выполни и ты эти действия и восстанови сложное выражение, значение которого ты нашёл.

Самостоятельная работа №11 (уроки 41 – 44).

Задание 1.

Чтобы найти значение сложного выражения ученики выполнили следующие действия: 15+21, 36:9, 7•6, 4+42.

Выполни и ты эти действия и восстанови сложное выражение, значение которого ты нашёл.

Задание 2.

Реши задачу разными способами. Подчеркни способ, который тебе больше нравится.

На одном станке за смену выточили 120 деталей, а на другом на 8 деталей больше. Все детали запаковали в коробки по 8 деталей в каждой. Сколько потребовалось коробок?

Задание 3.

Найди периметр квадрата со сторонами 12 см. запиши длины сторон других прямоугольников с таким же периметром.

Задание 4.

Найди значения выражений при данных значениях букв.

375 + y, если y = 497; y = 189; y = 336.

824 – k, если k = 248; k = 765; k = 576.

е – 386, если е = 974; е = 532; е = 801.

х • 7, если х = 4; х = 8; х = 6; х = 9.

Контрольная работа №3 по теме: «Сравнение и измерение углов”.

1 вариант.

Задание 1.

1. Пронумеруй углы. Напиши номера углов в порядке возрастания их величины.

 

2. Проверь правильность выполнения задания, измерив величину углов с помощью транспортира.

Задание 2.

Начерти углы на 30 градусов больше, чем в задании1.

Задание 3.

1. Реши задачу.

Соня, Люба, Надя и Вера начертили по одному углу – 30 градусов, 45 градусов, 60 градусов и 90 градусов. Люба и Надя не чертили угол 45 градусов, Вера и Люба не чертили угол 30 градусов. Соня, Вера и Люба не чертили угол 60 градусов. Кто какой угол чертил?

2. Начерти такие же углы.

2 вариант.

Задание 1.

1. Пронумеруй углы. Напиши номера углов в порядке возрастания их величины.

 

2. Проверь правильность выполнения задания, измерив величину углов с помощью транспортира.

Задание 2.

Начерти углы на 20 градусов больше, чем в задании1.

Задание 3.

1. Реши задачу.

Юра, Костя, Боря и Миша начертили 4 угла – 40 градусов, 55 градусов, 90 градусов и 80 градусов. У них спросили, кто какой угол чертил. Юра сказал «Костя начертил угол 80 градусов”. Костя ответил: «Миша начертил угол 80 градусов или 40 градусов”, а Миша сказал: «Боря не чертил угол 55 градусов”. Кто какой угол начертил, если все ответы неверные?

2. Начерти такие же углы.

Математика. 5-6 классы. Сборник самостоятельных и контрольных работ к учебнику Г.В. Дорофеева. Ответы — Учебник 2021 — 2022 год

Авторы: Кубышева Марина Андреевна

Издательство: Просвещение, Бином

Математика. 5-6 классы. Сборник самостоятельных и контрольных работ к учебнику Г.В. Дорофеева

«

В пособии представлены самостоятельные и контрольные работы к учебникам математики 5-6 классов Г. В. Дорофеева и Л. Г. Петерсон. Данные самостоятельные и контрольные работы могут использоваться учителями, работающими как по традиционной технологии обучения, так и по технологии деятельностного метода. 2-е издание, стереотипное.

»

На этой странице вы можете бесплатно скачать правильные ответы к новому сборнику для 1 полугодия и 2 полугодия обучения в школе. Новый сборник — решебник предназначен для учащихся, учителей школы и родителей, которые хотят помочь своим детям освоить предмет на хорошую оценку! Надеемся, что новые задания из сборника ГДЗ подойдут для следующего 2023 — 2024 учебного года. Полную версию учебника с ответами можно бесплатно скачать в формате ВОРД или PDF и потом распечатать на принтере, а так же читать онлайн. Также здесь можно скачать и распечатать ответы для родителей на домашнее задание, примеры, решения, страница, вопросы, пояснения и объяснения к онлайн заданиям из нового учебника.

Купить этот сборник недорого наложенным платежом за наличный или безналичный расчет с доставкой можно в Интернет-магазине или просто нажать кнопку КУПИТЬ

Официальный сайт. 2021 — 2022 учебный год. Открытый банк заданий. Полная версия. КДР. РДР. Тренажер. ВПР. ФИПИ ШКОЛЕ. ФГОС. ОРКСЭ. МЦКО. ФИОКО. ОГЭ. ЕГЭ. ГИА. Школа России. Школа 21 век. ГДЗ. Решебник. Перспектива. КРС. Школа 2100. Таблица. Планета знаний. Страница. Россия. Беларусь. Казахстан. РБ

Вид поставки: Электронная книга. Лицензия. Полная версия издательства с картинками

Способ доставки: электронная доставка, наложенный платеж

Язык книги: Русский

Варианты формата книги: Word, PDF, TXT, EPUB, FB2, PDF, MOBI, DOC, RTF, DJVU, LRF

Категория: Учебная, методическая литература и словари | Книги для школы | Математика | Математика (5-9 классы)

 

СКАЧАТЬ ОТВЕТЫ  |  КУПИТЬ  |   ЧИТАТЬ ОНЛАЙН  |  ОТЗЫВЫ  |   ОБСУДИТЬ

 

Сборник самостоятельных работ по дисциплине «Математика» (для студентов первого курса по специальностям СПО)

Сборник самостоятельных работ по математике предназначен для студентов первого курса. В пособие включены самостоятельные и контрольные работы по дисциплине «Математика».

Сборник может применяться для организации учебной деятельности студентов при очном обучении, для домашней и самостоятельной работы. 

Введение.

Важнейшим направлением повышения качества обучения является совершенствование самостоятельной познавательной деятельности студентов.

В сборник самостоятельных работ по математике включены домашние самостоятельные и практические работы, содержащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности.

Эти задания в полном объеме или частично предлагаются студентам в качестве зачетных, а также используются как дополнительные задания для проведения контрольных работ.

Задания, представленные в данном сборнике, можно использовать при подготовке к сдаче экзаменов.

При решении задач на вычисление следует, если это возможно, применять формулы сокращённого умножения, группировку, вынесение общего множителя за скобку и др.

При решении уравнений и неравенств и их систем следует чаще применять свойства функций: монотонность, ограниченность, чётность.

При решении уравнений и неравенств, содержащих модуль, применять их свойства.

При решении иррациональных, показательных, логарифмических и комбинированных неравенств — применять метод замены множителей.

При решении геометрических задач следует использовать формулы нахождения объёмов и площадей для различных геометрических фигур.

Контрольная работа №9 «Производная».

Вариант № 1.

1) Найти экстремумы функции f(x) = ex (2x-3) 

2) Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x3 — 2x3 + x + 3

3) Построить график f(x) = x3 — 2x2 + x + 3 на [-1;2]

4*) Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = x3 — 2x2 + x + 3 на [0;1,5]

5*) 1) Среди прямоугольников, сумма длин двух сторон у которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади.

2) Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10.

Весь материал — в документе.

Математические модели и экспериментальный анализ поведения

J Exp Anal Behav. 2006 март; 85(2): 275–291.

Университет штата Южный Коннектикут

Корреспонденцию следует направлять Джеймсу Э. Мазуру, факультет психологии Университета штата Южный Коннектикут, Нью-Хейвен, Коннектикут 06515, электронная почта: [email protected]

Получено 21 июля 2005 г.; Принято 3 октября 2005 г.

Abstract

Использование математических моделей в экспериментальном анализе поведения с годами увеличилось, и они предлагают несколько преимуществ. Математические модели требуют от теоретиков точности и недвусмысленности, часто допуская сравнения конкурирующих теорий, которые кажутся похожими на словах. Иногда разные математические модели могут одинаково точно прогнозировать большой объем данных. В таких случаях важно найти и исследовать ситуации, для которых конкурирующие модели делают разные прогнозы, потому что, если две модели не являются фактически математически эквивалентными, они основаны на разных предположениях о психологических процессах, лежащих в основе наблюдаемого поведения.Математические модели, разработанные в фундаментальных поведенческих исследованиях, использовались для прогнозирования и управления поведением в прикладных условиях, и они направляли исследования в других областях психологии. Хорошая математическая модель может обеспечить общую основу для понимания того, что в противном случае могло бы показаться разнообразным и не связанным между собой поведенческими явлениями. Поскольку психологи различаются по своим количественным навыкам и по своей терпимости к математическим уравнениям, для тех, кто разрабатывает математические модели поведения, важно найти способы (такие как словесные аналогии, графические изображения или конкретные примеры) сообщить ключевые предпосылки своих моделей. неспециалистам.

Ключевые слова: математические модели, уравнения, поведение, подкрепление

С годами исследователи, изучающие основные поведенческие процессы, все больше полагаются в своей работе на математические модели. Создание Общества количественного анализа поведения (SQAB) в 1978 г. и его последующий рост — лишь один из признаков роста интереса к математическому моделированию поведения. Еще одним показателем является количество статей в журнале Journal of the Experimental Analysis of Behavior ( JEAB ), в которых используются математические модели.Для отдельных лет, разделенных 10-летними интервалами, показан процент статей JEAB , в которых представлено хотя бы одно уравнение для описания отношения между независимой переменной и зависимой переменной (не включая статьи, в которых проверялись следствия математических моделей, но не явным образом представить уравнения). В этом критерии есть некоторая условность, но нарастающая тенденция к математическому анализу очевидна.

Для отдельных лет с 10-летними интервалами процент статей в JEAB , которые включали хотя бы одно уравнение для описания отношения между независимой переменной и зависимой переменной.

Некоторых поведенческих аналитиков, начавших свою карьеру, когда математическое моделирование еще не было так распространено в этой области, или тех, кто не использует математические модели в своей работе, эта тенденция может обескураживать. Для некоторых вид уравнения или двух в статье JEAB может быть достаточной причиной, чтобы пропустить статью и перейти к следующей. Им может казаться, что статья с математическими уравнениями выше их понимания или, что еще хуже, не имеет отношения к их интересам.В конце концов, разве экспериментальный анализ поведения не должен касаться поведения , а не математических уравнений и символов?

Неудачи в общении между теми, кто использует математические модели, и теми, кто не использует их в своей работе, характерны не только для психологии. По мере того как в середине девятнадцатого века физическая наука становилась все более количественной, некоторые очень компетентные ученые чувствовали, что их оставили позади. За время своей очень продуктивной карьеры британский физик Майкл Фарадей провел около пятнадцати тысяч экспериментов с электромагнитными полями, но так и не смог понять красивых уравнений теории поля, которые Джеймс Клерк Максвелл вывел из собственных исследований Фарадея.Фарадей спросил Максвелла, может ли он использовать словесные описания или другие средства, чтобы сделать свои уравнения понятными для нематематиков, и Максвелл искренне постарался сделать это. По словам Тимоти Ферриса (1988):

Максвелл услужливо перевел некоторые из своих объяснений теории поля в формулировки механических зубчатых колес и звездочек, которые мог понять Фарадей, но его теория летела, когда ее разделяли до голых уравнений. Уравнения Максвелла с фугообразным балансом и силой продемонстрировали, что электричество и магнетизм являются аспектами единой силы, электромагнетизма, и что сам свет является разновидностью этой силы. Таким образом были объединены то, что было отдельными исследованиями электричества, магнетизма и оптики. (стр. 187)

Неясно, смогут ли когда-нибудь математические модели в психологии достичь широты и мощи уравнений Максвелла; поведение живых организмов очень сложно, и на него влияет множество различных факторов. Тем не менее математические модели могут выполнять несколько полезных функций при экспериментальном анализе поведения. В психологии математические модели предназначены для более точного описания основных поведенческих процессов, чем это можно сделать с помощью простых словесных описаний.Иногда трудно вывести однозначные предсказания из теорий, выраженных словами, но последствия конкурирующих теорий (и различия между ними) часто становятся ясными, когда теории представлены в математической форме. Критические тесты, которые сравнивают количественные прогнозы двух или более разных моделей, могут указать, какие гипотезы о поведенческом процессе жизнеспособны, а какие нет. Исследования, которые проверяют количественные предсказания математических моделей, могут выявить недостатки в современных теориях и привлечь наше внимание к факторам, влияющим на поведение, которые в противном случае могли бы остаться незамеченными.Кроме того, так же, как уравнения Максвелла объединили различные области физики, хорошая математическая модель в психологии может использовать базовый набор принципов для объяснения разнообразного поведения. Наконец, математические модели могут служить руководством для специалистов в смежных областях, таких как поведенческий терапевт, пытающийся предсказать и контролировать поведение в прикладных условиях, или нейробиолог, стремящийся понять биологические основы поведенческого феномена.

Одна из целей этой статьи — продемонстрировать ценность математических моделей в экспериментальном анализе поведения на нескольких конкретных примерах.Вторая цель состоит в том, чтобы способствовать лучшему общению между теми психологами, которые используют математические модели в своих исследованиях, и теми, кто этого не делает, о чем свидетельствует общение между экспериментатором Фарадеем и математиком Максвеллом.

Лучше, чем просто слова

В некоторых случаях две теории, которые, по-видимому, делают схожие предсказания, когда они сформулированы словами, легче сравнивать и оценивать, когда они представлены в математической форме. Например, две разные теории наказания — отрицательный закон следствия (т.g., Rachlin & Herrnstein, 1969) и теории избегания наказания (например, Dinsmoor, 1954, 1977). Негативный закон эффекта — это просто точка зрения, согласно которой подкрепление и наказание оказывают противоположное влияние на поведение: подкрепление усиливает поведение, а наказание ослабляет его. Теория избегания наказания использует другой подход. Согласно этой теории, когда за реакцией следует наказание, реакция ассоциируется со страхом, который является аверсивным стимулом. Как только это обусловливание произошло, страх будет усиливаться всякий раз, когда животное начинает реагировать, и животное может избавиться от этого страха, выполнив вместо этого какую-то другую реакцию.Поэтому альтернативные реакции подкрепляются уменьшением страха, и их частота увеличивается. Следовательно, согласно теории избегания, последствия наказания являются косвенными: причина уменьшения наказуемого поведения заключается в том, что уровень подкрепления альтернативного поведения увеличился.

При таком описании предсказания этих двух теорий трудно различить. Хотя они делают свои прогнозы по разным причинам, обе теории, по-видимому, предсказывают один и тот же общий результат: наказание приведет к уменьшению наказуемого поведения.Однако, как только они переведены в математическую форму, становится легче увидеть различные предсказания двух теорий. Делюти (1976) и де Вилье (1977, 1980) разработали две различные количественные модели наказания, которые можно рассматривать как математические версии теории уклонения от наказания и отрицательного закона следствия соответственно. Обе модели начинаются с закона соответствия Херрнштейна (1961), но затем развиваются в разных направлениях.

В простейшей форме закон согласования можно записать следующим образом:

1

, где B 1 и 1 и B 2 — это ставки ответа на графики арматуры 1 и 2, а R 1 и R 2 — это ставки подкрепления по этим двум графикам. Это уравнение часто применялось к ситуациям выбора, в которых двумя альтернативами являются режимы пищевого подкрепления с переменным интервалом (VI). Представьте, что голубь отвечает на две клавиши, где Ключ 1 дает 75 подкреплений в час, а Ключ 2 дает 25 подкреплений в час, поэтому уравнение 1 предсказывает, что 75% своих ответов голубь будет давать на Ключ 1. Теперь предположим, что в дополнение к производя пищу, ответы на обе клавиши начинают наносить каратели (электрические удары) со скоростью 20 ударов в час на каждую клавишу.Как можно расширить уравнение 1, чтобы справиться с этой ситуацией?

Согласно де Вилье (1977), если наказание противоположно подкреплению, как утверждает отрицательный закон следствия, то наказания, доставляемые каждой альтернативой, должны быть вычтены из подкреплений, доставляемых этой альтернативой:

2

где P 1 и P 2 — ставки наказания на двух ключах.

Напротив, Делюти (1976) придерживался мнения, что наказание за одну реакцию увеличивает подкрепление для других реакций, как это предлагается теорией избегания наказания. Следовательно, в его уравнении наказания для одной альтернативы добавляются к подкреплениям для другой альтернативы:

3

Чтобы не усложнять этот пример, одному разряду присваивается тот же вес, что и одной доставке еды, но обе модели могут легко дать еду и разряд разного веса, умножив P 1 и P 2 на некоторая константа, отличная от 1. Использование такой константы не изменит представленных здесь общих выводов. В этом примере, с R 1 = 75, R 2 = 25 и p 1 = p 2 = 20, уравнение 2 прогнозирует, что процент ответов на ключевой 1 должен увеличиться с 75% до 92% при добавлении ударов к обеим клавишам.И наоборот, уравнение 3 предсказывает, что процент ответов по Ключу 1 должен уменьшиться до 68% при добавлении шоков. В эксперименте с голубями де Вилльерс (1980) обнаружил, что предпочтение клавиши, дающей больше подкрепления, увеличивается, когда к обеим клавишам с одинаковой частотой добавляются удары током. Таким образом, этот результат говорит в пользу предсказаний уравнения 2 по сравнению с предсказаниями уравнения 3.

Должно быть ясно, что проблема здесь более фундаментальна, чем просто использование знака плюс или минус в уравнении.Эти две модели основаны на двух совершенно разных концепциях воздействия наказания на поведение. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что наказание оказывает свое влияние, ослабляя целевое поведение, как это предусматривает негативный закон воздействия, а не усиливая альтернативное поведение, как предполагает теория избегания. Этот пример иллюстрирует, как две психологические теории, которые, казалось бы, делают схожие предсказания, когда они формулируются в устной форме, на самом деле могут делать совершенно разные предсказания, когда они представлены в математической форме.

Больше, чем подгонка кривой

Рассмотрим вопрос, какое уравнение лучше всего описывает, как сила подкрепления уменьшается с увеличением задержки. Одно из распространенных предположений (например, Hull, 1943; Killeen, 1994) состоит в том, что градиент задержки подкрепления может быть описан экспоненциальным уравнением:

4

где V — значение или сила подкрепления подкрепления, доставленного после задержки D секунд, A представляет ценность подкрепления, если бы оно было доставлено немедленно, e — основа натуральный логарифм, а K — параметр, определяющий, насколько быстро V убывает с увеличением задержки. Другое предложение состоит в том, что градиент задержки подкрепления лучше всего описывается гиперболической функцией (например, Мазур, 1987):

5

Эти два разных уравнения описывают кривые затухания, которые имеют довольно похожие формы. показаны данные по 1 голубю в эксперименте, в котором животные выбирали между 45 с воздействия графиков с переменным временем (VT) и однократным предъявлением отсроченного подкрепления (Mazur, 2000a). Задержка была скорректирована в ходе испытаний, чтобы получить точки безразличия, показанные на графике, который изображает уменьшение значения одиночного подкрепления по мере увеличения его задержки.Кривые показывают наиболее подходящие предсказания уравнений 4 и 5 с K , рассматриваемыми как свободный параметр, и оба уравнения учитывают 99% изменчивости данных.

Экспоненциальная функция (уравнение 4) и гиперболическая функция (уравнение 5) подгоняются к данным от 1 голубя из Mazur (2000a).

Для обоих уравнений K рассматривалось как свободный параметр.

Кто-то может возразить, что оба уравнения очень хорошо описывают данные и что решение о том, какое из них использовать, является просто вопросом предпочтения.Хотя это может быть верно для этого единственного набора данных, было бы неправильно делать вывод, что разница между уравнениями 4 и 5 несущественна. Эти два уравнения делают совершенно разные предсказания того, как люди будут выбирать между двумя подкреплениями, которые подаются в разное время (как в так называемой ситуации выбора самоконтроля, в которой человек должен выбирать между небольшим, более непосредственным подкреплением и более крупным подкреплением). , но более отсроченное подкрепление). Экономисты обычно отдают предпочтение экспоненциальному уравнению в качестве временной функции дисконтирования, потому что оно кажется более «рациональным»: все подкрепления сбрасываются на один и тот же процент с течением времени, независимо от их размера или времени их предоставления.Однако, как отмечал Эйнсли (Ainslie, 1975), если параметр дисконтирования K одинаков для обоих подкреплений, экспоненциальное уравнение не допускает инверсии предпочтений в ситуации выбора самоконтроля: человек, который предпочитает больше, больше отложенное подкрепление теперь должно сохранять это предпочтение с течением времени. Напротив, гиперболическое уравнение действительно предсказывает смену предпочтений (например, когда человек на диете клянется, что не будет второй порции за ужином, но затем меняет свое мнение во время еды и съедает больше, чем должен).

Ситуация на самом деле более сложная, потому что, как указали Грин и Майерсон (1993), экспоненциальное уравнение может предсказать смену предпочтений, если параметр затухания K больше для меньшего поощрения, чем для большего поощрения. Когда участников-людей просят сделать выбор между гипотетическими денежными подкреплениями разного размера и с разной задержкой, оценки K действительно уменьшаются с увеличением количества подкрепления (например, Green, Fristoe, & Myerson, 1994; Green, Myerson, & McFadden, 1997). ), поэтому изменение предпочтений в этих ситуациях не обязательно противоречит экспоненциальному уравнению.Чтобы предоставить более убедительные доказательства гиперболического уравнения, нужно показать, что изменение предпочтений происходит даже тогда, когда оценки K этого не делают. Исследования с нечеловеческими субъектами предоставили некоторые доказательства этого типа. В то время как реверсия предпочтений достоверно обнаруживается у животных (например, Green, Fisher, Perlow, & Sherman, 1981), исследования на крысах и голубях не обнаружили доказательств того, что значения K уменьшаются при увеличении количества подкрепления (Grace, 1999; Green , Myerson, Holt, Slevin, & Estle, 2004; Ong & White, 2004; Richards, Mitchell, de Wit, & Seiden, 1997).Имеются и другие свидетельства в пользу гиперболического уравнения, такие как формы функций безразличия, которые получаются, когда животные выбирают между различными комбинациями величины задержки (Mazur, 1987). Суть в том, что, хотя два уравнения могут давать сходные предсказания для некоторых ситуаций (например, теоретические кривые в ), они могут давать совершенно разные предсказания для других ситуаций, и эти различия могут иметь важное теоретическое и практическое значение.

Не просто мудрить

Конкурирующие математические модели не всегда дают такие явно разные предсказания, как предсказания уравнений гиперболического и экспоненциального распада. Иногда предсказания двух или более различных математических моделей довольно схожи для широкого круга экспериментов, и модели кажутся примерно одинаковыми по своей точности предсказания. В этих случаях кажется справедливым спросить, если мы заинтересованы в предсказании поведения и если обе модели одинаково хорошо предсказывают поведение, какая разница, какую из них мы используем?

Мое сравнение трех моделей производительности параллельных цепей (Mazur, 2001) иллюстрирует такую ​​ситуацию. В этом анализе я сравнил прогностическую точность теории уменьшения задержек Фантино (DRT; Squires & Fantino, 1971), модели контекстуального выбора Грейс (CCM; Grace, 1994) и моей гиперболической модели добавленной стоимости (HVA).Чтобы сделать сравнения между моделями справедливыми, я предоставил каждой модели одинаковое количество свободных параметров (от двух до четырех свободных параметров, в зависимости от набора данных), чтобы учесть такие факторы, как систематическая ошибка ответа и индивидуальные различия в чувствительности к различным схемам подкрепления. . Я использовал стандартные методы подгонки кривой, чтобы получить количественные прогнозы на основе этих трех моделей для результатов 19 опубликованных экспериментов с графиками параллельных цепей, которые включали в общей сложности 92 различных набора данных, большинство из которых были получены от отдельных субъектов.Для этих наборов данных на CCM приходилось в среднем 90,8 % дисперсии, на HVA — 89,6 %, а на DRT — 83,0 %.

Таким образом, при одинаковом количестве свободных параметров две модели давали одинаковые проценты дисперсии, и третья не сильно отставала. Небольшие различия в точности моделей легко могли быть вызваны случайными изменениями данных или произвольными решениями о том, как именно свободные параметры добавлялись к различным моделям. Кажется справедливым спросить: почему важно знать, какая из этих моделей лучше? Если кто-то заинтересован в прогнозировании производительности по расписанию параллельных цепей, кажется, что все три модели достаточно успешны.(Ричард Хернстайн однажды сказал мне: «Если закон соответствия объясняет 90 % дисперсии, для меня этого достаточно. Я не жадный».)

Ответ на этот вопрос таков: хотя эти три модели часто делают очень похожие прогнозы, они основаны на разных предположениях о психологических процессах, которые вызывают такое поведение. Чтобы показать это, я сначала приведу пример типичного расписания параллельных цепей, а затем представлю уравнения для каждой из трех моделей.

отображает расписание параллельных цепей. Эта процедура обычно включает два расписания, которые работают во время так называемых начальных звеньев, каждое из которых иногда приводит к своему собственному конечному звену. Каждое конечное звено — это еще один график подкрепления, ведущий к еде. В данном примере при начальных ссылках клавиши ответов белые, и действуют два одинаковых расписания ВИ 60-х годов. Ответы на левую клавишу иногда приводят к тому, что клавиша становится зеленой, а затем еда доставляется по расписанию с фиксированным интервалом (FI) в 10 секунд.Ответы на правую клавишу иногда приводят к тому, что эта клавиша становится красной, а затем еда доставляется по расписанию FI 20-s. После каждой доставки еды клавиши становятся белыми, и первоначальные ссылки снова действуют. Таким образом, процедура параллельных цепочек чередуется между периодом выбора (начальные звенья) и периодом последствий (конечные звенья, в течение которых невозможно переключиться на другую альтернативу).

Типичное расписание параллельных цепей с одинаковыми расписаниями VI 60-х в качестве начальных звеньев и двумя разными расписаниями FI в качестве конечных звеньев.

Обычной мерой предпочтения является доля ответов субъекта в исходных ссылках. Неудивительно, что в этом случае голубь даст больше ответов на левую клавишу, чем на правую, потому что левая клавиша ведет к терминальному звену с более коротким расписанием FI. Однако хорошо известно, что расписания в начальных звеньях, а не только в конечных звеньях, влияют на предпочтения. Если продолжительность двух идентичных графиков начального звена укорачивается, графики конечного звена оказывают большее влияние на предпочтения, и пропорции ответов становятся более экстремальными (Fantino, 1969). Это называется эффектом начальной ссылки . Например, если бы расписания начальной связи в были уменьшены до расписаний VI 30-s, процент ответов на левую клавишу увеличился бы.

Чтобы дать краткое объяснение того, как CCM, DRT и HVA делают прогнозы для графиков параллельных цепочек, уравнения для этих моделей будут представлены в их самых основных формах, без свободных параметров, которые использовались в сравнениях подбора кривой. (Мазур, 2001). Это позволит избежать ненужной сложности и поможет сосредоточиться на принципиальных различиях между моделями.

При рассмотрении математических моделей поведения полезно различать описательные уравнения и теоретические уравнения. Описательное уравнение просто обеспечивает в математической форме удобный способ суммировать отношения между независимой переменной и зависимыми переменными, не давая никакой теоретической основы для использования этого конкретного уравнения. Напротив, теоретическое уравнение выводится из основных принципов или предположений о психологических процессах, которые вызывают рассматриваемое поведение, и форма уравнения отражает эти предположения. CCM, DRT и HVA можно считать теоретическими уравнениями, поскольку они основаны на нескольких основных предположениях о психологических процессах, управляющих поведением выбора. Как будет видно, некоторые из этих предположений являются общими для всех трех моделей, в то время как другие предположения различаются для каждой модели.

Без свободных параметров CCM Грейс (1994) можно записать следующим образом:

6

B 1 и B 2 — это цены ответа на начальные ссылки одновременных цепей, R I 1 и R I 2 – коэффициенты усиления в начальных звеньях (т. r t 1 и r t 2 — нормы армирования в двух концевых звеньях (нормы на которые терминальные звенья доставляют еду). Таким образом, согласно CCM, ответы выбора в расписаниях параллельных цепочек зависят как от расписаний в начальных звеньях, так и от расписаний в конечных звеньях. Отличительной чертой КМС является соотношение Т t i . T t — средняя продолжительность конечного звена, а T i — средняя продолжительность начального звена. Поскольку отношение T t / T i используется в качестве показателя степени усиления терминальных звеньев, CCM утверждает, что различия в терминальных звеньях будут иметь большее влияние на предпочтение, когда они длинные по сравнению с конечными звеньями. размеры начальных ссылок, а конечные ссылки будут меньше влиять на предпочтения, если они относительно короткие.Таким образом, в описанном выше примере, когда графики начального звена укорачиваются с VI 60 с до VI 30 с, T t / T i увеличивается, и уравнение 6 предсказывает более сильное предпочтение зеленого цвета. терминальная ссылка.

Разрабатывая МКК, Грейс (1994) начала с основного предположения закона соответствия Херрнстайна (1961) о том, что относительная скорость поведения пропорциональна относительной скорости подкрепления (уравнение 1). Закон сопоставления был разработан для учета выбора в простых одновременных расписаниях, которые не имеют терминальных связей.CCM был разработан, чтобы распространить структуру закона сопоставления на расписания параллельных цепей. Грейс предположил, что графики конечных звеньев представляют собой условные подкрепления, значения которых зависят от скорости подкрепления ( r t 1 и r t 2 ). Грейс также руководствовалась предыдущей работой Баума и Рахлина (1969), которые предположили, что, когда подкрепления различаются по двум или более разным параметрам (например, по скорости, задержке, количеству, качеству), эти разные факторы можно мультипликативно комбинировать для получения меры. общей стоимости подкрепления.Грейс рассудил, что аналогичным образом коэффициенты усиления начальных звеньев ( r i 1 и r i 2 ) можно умножить на коэффициенты усиления конечных звеньев ( r t 1 и r t 2 ) для получения значений двух альтернативных расписаний в параллельных цепочках процедур. Кроме того, основываясь как на теоретических соображениях, так и на результатах исследований, Грейс был убежден, что поведенческое выражение значений терминальных связей зависит от контекста, в котором они представлены (то есть от длительности терминальных связей по сравнению с длительностью конечных связей). начальные ссылки).Следуя работе Баума (1974) над обобщенным законом соответствия, который использует показатель степени для отражения чувствительности животного к различиям в уровнях подкрепления, Грейс использовал показатель степени T t / T i , чтобы выразить тот факт, что чувствительность коэффициентам подкрепления в конечных звеньях зависит от относительной длительности начальных и конечных звеньев. Конечным результатом этого набора предположений стал CCM. Обратите внимание, что уравнение 6 сводится к простому закону согласования, если T t  =  0, то есть когда нет конечной связи.

DRT также использует принцип сопоставления в качестве основного предположения, и он также сводится к закону сопоставления Herrnstein (1961), если нет оконечных звеньев. Версия DRT Сквайрса и Фантино (1971) может быть записана следующим образом:

7

Как уже объяснялось, R 1 и R 2 — это скорости подкрепления, но в расписании параллельных цепей они являются общими скоростями, включая время как в начальном, так и в конечном звеньях. . T total — среднее общее время до первичного подкрепления от начала начальных звеньев. T t 1 и T t 2 — среднее время до первичного армирования от начала двух конечных звеньев (т. е. средняя продолжительность двух конечных звеньев). Фундаментальное допущение DRT состоит в том, что условное подкрепляющее значение конечной связи определяется величиной сокращения задержки , которая происходит при вводе каждой конечной связи, по сравнению со средним временем до еды от начала начальных связей.Например, в , T total равно 45 с (поскольку средняя продолжительность начального соединения составляет 30 с, а средняя продолжительность конечного соединения составляет 15 с), T t 1 равно 10 с, и T t 2 равно 20. Таким образом, начало зеленой клавиши представляет уменьшение задержки на 35 с, но начало красной клавиши представляет сокращение задержки только на 25 с, поэтому DRT прогнозирует предпочтение зеленой альтернативе.

Помимо предположения о решающей роли сокращения задержки, DRT отличается от CCM предположением, что поведение выбора также является функцией общей скорости подкрепления ( R 1 и R 2 ) по сравнению с Предположение СКК о том, что это функция коэффициентов усиления начального звена ( r i 1 и r i 2 ).Сквайрс и Фантино (1971) не объяснили, почему они выбрали этот подход, но следствие уравнения 7 состоит в том, что общие уровни первичного подкрепления мультипликативно комбинируются с условными подкрепляющими значениями конечных звеньев для определения поведения выбора. Эта разница между использованием в DRT общих коэффициентов подкрепления и использованием в CCM коэффициентов подкрепления начального звена может показаться тонкой, но для определенных ситуаций выбора она приводит к очень разным прогнозам, которые можно проверить с помощью подходящего плана исследования.

HVA был построен на трех фундаментальных предположениях. Во-первых, подобно CCM и DRT, HVA принимает принцип сопоставления в качестве базового допущения, и он также сводится к закону сопоставления, если нет оконечных звеньев. Во-вторых, HVA построен на предположении, что ценность подкрепления снижается с увеличением задержки в соответствии с гиперболической функцией (как в уравнении 5). После удаления свободных параметров HVA становится:

8

Два крайних левых выражения в уравнении идентичны CCM.Крайнее правое выражение в скобках включает V t 1 и V t 2 , значения двух оконечных звеньев, и V i , 9001 значение всех звеньев, из этих значений рассчитываются с использованием вариации гиперболической функции (уравнение 5), которая применяется к случаям, когда задержки до подкрепления являются переменными (Мазур, 1984). В уравнении 8 значение начальных звеньев вычитается из значения каждого конечного звена, потому что третье допущение HVA состоит в том, что выбор зависит от увеличения ценности условного подкрепления (т. т. е. добавленная стоимость), которая возникает, когда начальное звено заканчивается и начинается конечное звено. Для примера в , V i значение начальных звеньев будет низким, поскольку они связаны с длительной задержкой еды. V t 2 , значение красной клеммы немного выше, потому что красная клавиша сигнализирует о несколько более короткой (20 с) задержке до еды. V t 1 , значение зеленой терминальной линии, является самым высоким, потому что зеленая клавиша сигнализирует о 10-секундной задержке питания.Таким образом, добавленная стоимость увеличивается, когда начинается левое конечное звено, и, таким образом, HVA предсказывает предпочтение зеленой альтернативы. Когда нет задержек на оконечном звене, как в простых одновременных графиках VI, и количества подкрепления, A , одинаковы для обеих альтернатив, V t 1 и V t 2 оба равны A . В этом случае самое правое выражение в скобках в уравнении 8 становится равным 1.0, а HVA сводится к закону согласования.

CCM, DRT и HVA предсказывают предпочтение для более короткого конечного звена и эффекта начального звена, а также другие результаты графиков параллельных цепочек, и все они сводятся к основному закону соответствия, когда нет конечных звеньев. Это не должно вызывать удивления, потому что математические модели ограничены эмпирическими результатами, и ни одна модель, не учитывающая эти хорошо известные поведенческие явления, не будет восприниматься всерьез.Однако, как показало предыдущее обсуждение, эти три модели основаны на разных предположениях о природе поведения выбора (предположениях, которые могут быть поняты тем, кто не интересуется уравнениями). Для CCM ключевым фактором является контекст , в котором делается выбор (или, точнее, продолжительность периода выбора). Если период выбора велик по сравнению с продолжительностью оконечных соединений, то различия между расписаниями оконечных соединений относительно мало повлияют на предпочтения. Ключевым фактором для DRT является уменьшение задержки : предпочтение зависит от уменьшения времени до подкрепления, о котором сигнализирует начало терминальной связи. Для HVA ключевым фактором является значение (ценность условного подкрепления, связанного с каждым расписанием), и предпочтение зависит от увеличения ценности, о котором сигнализирует начало терминальной связи.

Если бы не было способа провести различие между этими различными предположениями, спорить о них было бы бессмысленно.Однако, когда предположения переводятся в математическую нотацию, различия между ними легче различить, и становится возможным найти случаи, для которых модели дают совершенно разные прогнозы. Например, Савастано и Фантино (1996) показали, что если два терминальных звена удлиняются на одинаковую величину, CCM и DRT предсказывают незначительные изменения предпочтения или их отсутствие, тогда как HVA предсказывает менее экстремальное предпочтение при более длинных терминальных звеньях. Мазур (2000b) показал, что если к типичному двухальтернативному графику параллельных цепей добавляется третья альтернатива, то бывают случаи, когда как DRT, так и HVA предсказывают увеличение предпочтения любой из двух исходных альтернатив, которая была предпочтительнее ранее, тогда как CCM прогнозирует отсутствие изменений или снижение предпочтений.Невин и Грейс (2000) отметили, что по мере того, как начальные связи становятся очень длинными, как CCM, так и DRT предсказывают, что реакция выбора должна приближаться к безразличию (одинаковые ответы для двух альтернатив), тогда как HVA предсказывает сохранение предпочтения более короткой конечной связи (приближаясь к асимптоте В t 1 / В t 2 ).

Я не буду оценивать эксперименты, предназначенные для проверки этих предсказаний, потому что целью этой статьи не является отстаивание какой-либо конкретной математической модели, и в любом случае потребуется более двух или трех экспериментов, чтобы окончательно определить, какие предсказания модели поддерживаются, а какие нет. Дело в том, что математическая форма этих моделей приводит к однозначным предсказаниям, которые можно строго проверить и сопоставить, чтобы их различные гипотезы о детерминантах поведения выбора можно было подвергнуть эмпирической проверке.

За пределами оперантной лаборатории

Как только в лабораторных исследованиях получены убедительные доказательства существования математического принципа, его часто можно использовать для прогнозирования или управления поведением в прикладных условиях. Закон соответствия Хернштейна (уравнение 1) — хороший пример математического принципа, который использовался психологами во многих реальных условиях.Несколько примеров помогут показать, насколько широко применяется этот принцип выбора.

Закон соответствия можно рассматривать как принцип относительности подкрепления. В нем говорится, что мы не можем предсказать, какое поведение вызовет подкрепление, не зная, какие подкрепления одновременно доступны для других действий. Например, если R 1 остается постоянным при каком-то определенном значении (например, 40 подкреплений в час), B 1 (поведение, вызывающее это подкрепление) будет больше, если R 2 (скорость подкрепления альтернативного поведения) ниже, чем если бы она была высокой. Bulow и Meller (1998) использовали этот принцип для прогнозирования уровня сексуальной активности и использования противозачаточных средств девочками-подростками. Они пришли к выводу, что, согласно закону соответствия, рискованное сексуальное поведение будет более распространено среди девочек-подростков, для которых альтернативные источники подкрепления были относительно скудны. Они использовали график исследования подросткового подкрепления (Holmes, Heckel, Chestnut, Harris, & Cautela, 1987), чтобы определить, какие занятия каждая девочка находила особенно приятными и как часто она могла заниматься этими видами деятельности.Это обеспечило меру уровня подкрепления, которое было доступно для несексуального поведения для каждой девушки. Бьюлоу и Меллер обнаружили, что девочки с меньшим количеством альтернативных источников подкрепления, как правило, вступали в более рискованную сексуальную активность и что закон соответствия хорошо предсказал уровни сексуальной активности для отдельных девочек в разных возрастных, этнических и социально-экономических группах. . Применяя аналогичные рассуждения, Коррейя, Саймонс, Кэри и Борсари (1998) использовали закон соответствия для прогнозирования употребления наркотиков среди студентов колледжей путем измерения уровня подкрепления студентов за действия без наркотиков.

Закон соответствия также применялся к поведению учащихся в учебных заведениях. Мы можем думать, что ученики в классе имеют выбор между выполнением своей академической работы и другими, неакадемическими видами поведения. Мартенс и Хоук (1989) наблюдали за поведением девочки с умственной отсталостью в классе, а также за поведением учителя и помощника учителя. Они записывали поведение девочки во время выполнения задания и деструктивное поведение, а также поощрения (например, инструкции, похвалу или другие формы внимания), предоставленные учителем и помощником.Они обнаружили, что закон соответствия дает хорошее описание взаимосвязи между уровнем выполнения задания и разрушительного поведения и уровнем поощрения, полученного девочкой за эти два типа поведения. Сделав еще один шаг вперед, Мартенс, Лохнер и Келли (1992) использовали различные графики ВИ для улучшения адекватного академического поведения у третье- и четвертоклассников, которые тратили чрезмерное количество времени на поведение, не связанное с заданием, и они обнаружили, что показатели — поведение при задании зависело от скорости подкрепления, как и предсказывал закон соответствия.В ряде других исследований закон соответствия применялся к поведению в классе (например, Billington & DiTommaso, 2003; Mace, McCurdy, & Quigley, 1990; Skinner, Robinson, Johns, Logan, & Belfiore, 1996).

Математические модели поведения, разработанные в ходе оперантных исследований, также могут использоваться исследователями в других областях науки, таких как неврология и психофармакология. Например, Kheramin et al. (2002) использовали уравнение гиперболического затухания для отложенных подкреплений (уравнение 5) для оценки влияния поражений головного мозга на выбор крысами самоконтроля (выбор между меньшим, более немедленным подкреплением и более крупным, более отсроченным подкреплением). У людей были получены данные о том, что повреждение орбитальной области префронтальной коры (OPFC) приводит к повышенной склонности к импульсивному выбору (т.е. к выбору меньшего, более непосредственного подкрепления). Как повреждения в OPFC повлияют на выбор крысами самоконтроля? Чтобы ответить на этот вопрос, Kheramin et al. давали крысам с поражениями OPFC и контрольным крысам ряд вариантов между небольшим и большим количеством раствора сахарозы, каждое из которых доставлялось с задержкой. Задержки для малых и больших подкреплений варьировались в ходе испытаний, чтобы исследователи могли оценить набор точек безразличия — пар комбинаций задержки и количества, которые крысы выбирали примерно одинаково часто.Например, из одной серии вариантов экспериментаторы могли обнаружить, что небольшое подкрепление, выдаваемое после 1-секундной задержки, было примерно в равной степени предпочтительнее, чем большое подкрепление, выдаваемое после 4-секундной задержки. Из другой серии вариантов они могли бы обнаружить, что небольшое поощрение, доставленное после 5-секундной задержки, было примерно в равной степени предпочтительнее более крупного поощрения, доставленного после 10-секундной задержки. Их исследование было разработано для получения пяти таких точек безразличия как у крыс с поражениями OPFC, так и у контрольных крыс.

Основываясь на предыдущих исследованиях с аналогичными процедурами, Kheramin et al. (2002) ожидали, что если задержки для небольших подкреплений отложить по оси x , а задержки для столь же предпочтительных больших подкреплений отложить по оси y , результат должен быть линейной функцией, такой как гипотетическая примеры проиллюстрированы в . Мазур (1987) показал, что модель гиперболического распада (уравнение 5) предсказывает, что эта функция безразличия будет иметь наклон больше единицы и точку пересечения y больше нуля.Но как именно функции безразличия у крыс с поражениями OFPC будут отличаться от функций у контрольных крыс? Основываясь на прогнозах, полученных из уравнения 5, Керамин и его коллеги рассмотрели три возможности, как показано на трех панелях. (Выводы для всех этих прогнозов показаны в Приложении.) Предположим, что K , параметр степени дисконтирования в уравнении 5, больше для крыс с поражениями OFPC, что означает, что для этих крыс ценность подкрепления снижается больше. быстро по мере увеличения его задержки.Из уравнения 5 следует, что увеличение K приведет к уменьшению точки пересечения y функции безразличия, но не изменит наклон, как на левой панели . Вторая возможность состоит в том, что поражения OPFC могут изменить чувствительность крыс к различиям в размерах двух подкрепляющих средств, что представлено параметром A в уравнении 5. Например, центральная панель показывает предсказания уравнения 5, если Повреждения OPFC увеличивают чувствительность крысы к различиям в количестве подкрепления — функции безразличия должны иметь более крутые наклоны и большие точки пересечения y .Третья возможность заключается в том, что поражения OPFC могут изменить как чувствительность крысы к задержке, так и ее чувствительность к количеству подкрепления. Например, правая панель показывает предсказания уравнения 5 для случая, когда чувствительность к задержке и чувствительность к количеству увеличиваются в результате повреждений OPFC. В этом примере наклон более крутой для крыс с поражениями OPFC, но точка пересечения y практически не изменилась, поскольку влияние увеличения K (которое должно уменьшить точку пересечения y ) и увеличения чувствительности к сумма (которая должна увеличить точку пересечения и ), как правило, нейтрализуют друг друга.

Гипотетические функции безразличия, иллюстрирующие три возможных последствия поражения орбитальной префронтальной коры у крыс.

Это разные прогнозы, полученные на основе модели гиперболического распада (уравнение 5), в зависимости от того, вызывают ли поражения увеличение K (левая панель), увеличение чувствительности к количеству подкрепления (центральная панель) или и то, и другое ( правая панель).

В своем эксперименте Kheramin et al. (2002) получили функции безразличия, очень похожие на функции на правой панели.Подумайте, как трудно было бы интерпретировать эту закономерность результатов без подходящего математического анализа. Различия между крысами с поражением OPFC и контрольными крысами кажутся непостоянными: крысы с поражением OPFC были похожи на контрольных крыс с короткими задержками, но они были менее импульсивными, чем контрольные крысы с более длительными задержками. Почему это должно произойти? Математический анализ, представленный уравнением 5, предлагает объяснение этой модели результатов: он предполагает, что поражения OPFC повышают как чувствительность к задержке, так и чувствительность к количеству подкрепления, и это то, что Kheramin et al.заключил. Этот математический анализ также предлагает конкретные способы проверки этой гипотезы в будущих исследованиях. Например, если количество подкрепления остается одинаковым, модель предсказывает, что крысы с повреждениями OPFC должны демонстрировать большую склонность избегать длительных задержек, чем контрольные крысы (прогноз, который может показаться нелогичным в свете данных Khermin et al., где OPFC -поврежденные крысы обычно принимали более длительные задержки, чем контрольные крысы). И наоборот, если альтернативы различаются по количеству, но не по задержке, тогда крысы с поражениями OPFC должны демонстрировать более сильную тенденцию выбирать большее количество, чем контрольные крысы.

Математические модели иногда могут подсказать исследователям, какие закономерности искать на клеточном уровне. Когда Платт и Глимчер (1999) изучали нейронный контроль саккадических движений глаз обезьян по направлению к зрительным целям, исследование закона соответствия (уравнение 1) побудило их изучить, как нервная активность в определенной области задней теменной коры может быть изменена. зависит от вероятности того, что подкрепление (фруктовый сок) будет доставлено после движения глаз.Они обнаружили, что уровни активности отдельных нейронов в этой области мозга были прямо пропорциональны вероятности того, что за движением глаза к цели последует подкрепление. В другом эксперименте они обнаружили, что уровни активности этих нейронов также были пропорциональны размеру подкрепления (количество сока, которое будет доставлено позже, после того, как был сделан ответ). Платт и Глимчер пришли к выводу, что отдельные нейроны теменной коры кодируют потенциальные значения подкреплений, которые могут следовать за различными возможными движениями глаз, и что эта информация в конечном итоге влияет на выбор обезьян (поскольку на поведенческом уровне выбор обезьянами различных возможных движений). движения глаз соответствовали закону соответствия).Они заявили: «В нашем эксперименте по свободному выбору как обезьяны, так и задние теменные нейроны вели себя так, как будто они знали о преимуществах, связанных с различными действиями» (стр.   238). Еще неизвестно, будут ли дополнительные исследования поддерживать эту интерпретацию, но это дразнящий вывод, поскольку он предлагает прямую параллель между ценностью подкрепления, измеренной в поведенческих исследованиях, и активностью отдельных нейронов. Это яркий пример исследования механизмов мозга, стимулированного математической моделью, полученной из фундаментальных поведенческих исследований.

Объединение разнообразных явлений

В лучшем случае математические модели могут обеспечить общую основу для описания разнообразных поведенческих явлений. В течение многих лет Питер Киллин (1975, 1994; Killeen, Hall, Reilly, & Kettle, 2002) разработал и всесторонне протестировал набор математических принципов подкрепления (MPR), которые предназначены для описания взаимосвязи между подкреплением и и оперантное поведение. В основе MPR лежат три концепции: активация, временное ограничение и связь, каждая из которых представлена ​​параметром в модели.Параметр активации представляет собой количество секунд реакции, активируемой каждым стимулом (например, каждой доставкой пищи), параметр временного ограничения представляет собой количество времени, необходимое для завершения одной реакции, а параметр связи основан на памяти животного о недавних событиях. . Грубо говоря, параметр связи измеряет силу связи между реакцией и подкреплением.

Начав с этих основных понятий, Киллин (1994) использовал серию уравнений для получения прогнозов поведения при различных режимах подкрепления и сравнил эти прогнозы с данными множества различных экспериментов. Например, он показал, что для графиков отношений MPR правильно предсказывает, что частота ответов должна сначала увеличиваться до максимума, а затем уменьшаться по мере увеличения размера отношения. Для графиков VI он правильно предсказывает криволинейное увеличение скорости реакции с увеличением скорости подкрепления (см. Ресурсы). Для графиков FI он правильно предсказывает увеличение, а затем снижение скорости реакции с увеличением скорости подкрепления.

Применение математических принципов подкрепления Киллина (MPR) к множеству различных поведенческих явлений.

Теоретические кривые на каждой панели показывают наиболее подходящие прогнозы МФР. Слева: общая скорость реакции голубей, паузы после подкрепления (PRP) и скорость реакции при беге по графикам FR разного размера (из Bizo & Killeen, 1997, наряду с некоторыми данными из предыдущего исследования Felton & Lyon, 1966). Верхний правый график: скорость реакции голубей на графики VI с разной скоростью подкрепления при разных уровнях лишения пищи (из Killeen, 1994, с использованием данных Heyman & Monaghan, 1987). Нижняя правая панель: уровни активности голубей в 60-секундных интервалах между презентациями пищи после приема различных лекарств (из Killeen, 1975).

Способность одной модели успешно предсказывать скорость реакции на эти различные графики подкрепления — немалое достижение, потому что разные графики определяют очень разные функции обратной связи между поведением и подкреплением. Однако MPR может сделать гораздо больше. Разумным манипулированием параметрами модели можно объяснить эффекты множества различных экспериментальных манипуляций, таких как изменение количества силы, необходимой для отклика (Heyman & Monaghan, 1987), топография отклика (McSweeney, 1978) уровень депривации (Snyderman, 1983) и поражения гипоталамуса (Kelsey & Allison, 1976).Кроме того, Бизо и Киллин (1997) показали, что MPR можно использовать для прогнозирования не только общей скорости ответа, но и тонкой структуры ответа на соотношения и интервалы. Например, они показали, что модель может предсказывать продолжительность пауз после подкрепления и частоту бегущей реакции (частоту реакции, исключая паузу после подкрепления) для графиков FR разного размера (см. левые панели).

MPR также применялся к целому ряду других результатов. В своей ранней работе по параметру активации Киллин (1975) продемонстрировал, как его уравнения прекрасно предсказывали увеличение и уменьшение общего уровня активности разных видов между отдельными презентациями пищи.Например, нижняя правая панель показывает уровни активности голубей под действием различных препаратов, когда они получали еду каждые 60 с. Уровни активности голубей (измеряемые датчиками движения на полу испытательной камеры) сначала увеличивались, а затем снижались по мере прохождения 60-секундного интервала, и модель Киллина очень хорошо описывала модели активности. Помимо прогнозирования стабильной производительности при различных схемах подкрепления, MPR применялся к динамическим характеристикам оперантного реагирования.То есть он использовался для прогнозирования оперантной реакции в периоды приобретения, например, когда животное изучает новую реакцию или когда оно адаптируется к новому режиму подкрепления (например, Killeen, 1994; Killeen & Bizo, 1998).

MPR Киллина представляет собой хороший пример математической модели, которая может объяснить широкий спектр результатов, включая как тонкую структуру реагирования на графики подкрепления, так и общую частоту ответов, усвоение и устойчивую производительность, влияние подкреплений на общее состояние. активность и так далее.Без такой модели у нас могло бы возникнуть интуитивное ощущение, что эти различные аспекты оперантного поведения связаны: кажется разумным предположить, что принципы, которые могут предсказать тонкую структуру оперантной реакции, должны быть в состоянии давать предсказания об общей частоте ответов, и что те же переменные, которые влияют на поведение во время приобретения, должны продолжать действовать после того, как поведение стабилизируется. Однако в отсутствие модели, которая делает количественные прогнозы, такие утверждения, как «одни и те же принципы поощрения управляют как приобретением, так и долгосрочной эффективностью», не более чем махание рукой.Только когда теория делает конкретные количественные прогнозы и когда эти прогнозы проверяются на реальных данных, мы можем иметь реальную уверенность в таком общем утверждении. Как показывают примеры в этой статье, одно из самых больших преимуществ использования математических моделей заключается в том, что они генерируют точные и проверяемые прогнозы.

Выводы

Цель этой статьи состояла в том, чтобы продемонстрировать некоторые преимущества математических моделей в экспериментальном анализе поведения.Математические модели предлагают психологам ряд преимуществ:

  1. Преобразование вербальной гипотезы в математическую модель заставляет теоретика быть точным и недвусмысленным, и это может указывать на способы проверки конкурирующих теорий, которые звучат так, как будто они делают аналогичные предсказания, когда они формулируются словами (как при сравнении отрицательного закона следствия и теории уклонения от наказания).

  2. Даже когда формы двух математических функций очень похожи (например, гиперболическая и экспоненциальная функции задержки подкрепления в ), эти функции могут делать совершенно разные прогнозы поведения с глубокими теоретическими и прикладными последствиями. В этом примере гиперболическая функция предсказывает, что люди часто будут демонстрировать изменение предпочтений в ситуациях выбора самоконтроля с течением времени, в то время как экспоненциальное уравнение не предсказывает никаких изменений предпочтений (если не делать дополнительных предположений об изменении значений параметров, предположений, которые затем можно проверить). чтобы увидеть, применимы ли они на самом деле).

  3. В некоторых случаях конкурирующие математические модели могут одинаково хорошо учитывать большие наборы данных. Но если они на самом деле не эквивалентны математически, разные математические модели основаны на разных предположениях о психологических процессах, лежащих в основе наблюдаемого поведения.Например, CCM, DRT и HVA могут учитывать широкий диапазон результатов от расписаний параллельных цепочек, но они предполагают разные принципы выбора поведения (зависимость от контекста, уменьшение задержек и добавление ценности). Если мы хотим понять детерминанты выбора, важно знать, какое из этих трех предположений наиболее полезно.

  4. Математические модели поведения, разработанные в ходе фундаментальных поведенческих исследований, можно использовать для прогнозирования или управления поведением в прикладных условиях.Эти модели использовались в неврологии и психофармакологии, чтобы помочь исследователям определить функции различных структур мозга и оценить поведенческие эффекты различных лекарств.

  5. Математическая модель может обеспечить общую структуру, объединяющую различные поведенческие явления. MPR Киллина (1994) был представлен как пример математической модели, которая применялась к широкому кругу поведенческих явлений, но ни в коем случае не единственная. Другие примеры включают модель классического обусловливания Рескорла-Вагнера (Rescorla & Wagner, 1972), теорию скалярного ожидания времени Гиббона (1977) и теорию поведенческого импульса Невина (1992), и это лишь некоторые из них.

Хотя некоторые из этих моделей относительно просты (например, те, которые представляют отрицательный закон следствия и теорию избегания наказания), для других уравнения довольно сложны, как и выводы, которые позволяют применять их к конкретным примерами, и не каждый способен им следовать. Это один из недостатков математического моделирования, но его стоимость с лихвой компенсируется преимуществами. Математическая точность этих теорий позволяет их тщательно проверять, и при проверке этих теорий могут быть продемонстрированы их сильные стороны и выявлены их слабости.Например, модель Рескорла-Вагнера является важной вехой в области классического обусловливания и стимулировала множество исследований. Однако у модели Рескорла-Вагнера есть некоторые хорошо задокументированные ограничения, которые побудили к разработке альтернативных моделей (например, Hall & Pearce, 1983; Mackintosh, 1975; Miller & Schachtman, 1985; Wagner, 1981). Благодаря эмпирической и теоретической работе, которая была стимулирована моделью Рескорла-Вагнера, мы теперь гораздо лучше понимаем богатство и сложность классической обусловленности, чем до того, как эта модель была введена.

В комментарии о некоторых конкурирующих математических моделях времени Киллин (1999) писал: «Если вы думаете, что модели отражают истину или что существует лучшая модель времени, то у вас проблемы. Не существует лучшей модели, не больше, чем лучшей модели автомобиля или лучшей модели купальника, хотя у каждого из нас могут быть свои любимцы. Все зависит от того, что вы хотите сделать с моделью» (стр. 275). Те, кому не нравится изучать математические модели, могут принять это утверждение (от выдающегося специалиста по математическому моделированию) как предлог избегать их.Зачем тратить время и усилия на понимание современных математических моделей поведения, когда нет лучшей модели и когда все они имеют свои слабости и ограничения? Киллин решает эту проблему, утверждая, что «любое понимание включает в себя модели — ссылки на системы, которые существуют в другой области, чем изучаемая вещь. Свободные модели делают расплывчатые ссылки на неоднозначные и случайные причины. Более строгие модели более тщательно подходят к определениям и избегают необоснованных сущностей. Модели явлений не являются причинами явлений; это описания гипотетических структур или функций, которые помогают объяснить, предсказать и контролировать» (стр. 276).

В этой статье я утверждал, что математические модели часто являются «более точными моделями», чем словесные описания принципов поведения, и что они необходимы для дальнейшего прогресса в экспериментальном анализе поведения. Математические модели могут делать точные и важные утверждения о поведенческих процессах, которые важны для всех, кто заинтересован в объяснении, прогнозировании или управлении поведением как в лаборатории, так и в прикладных условиях. Общение между теми исследователями поведения, которые регулярно используют математические модели, и теми, кто этого не делает, должно быть улицей с двусторонним движением.Те, кто не увлекается математикой, тем не менее могут извлечь пользу из теоретических достижений, являющихся результатом разработки и проверки математических моделей поведения. А те, кто специализируется на математических моделях, могут попытаться найти нематематические способы (такие, как словесные описания, аналогии, диаграммы или конкретные примеры) для передачи существенных идей, содержащихся в математических обозначениях, как можно более широкой аудитории.

Эти альтернативные способы выражения математических понятий часто могут быть очень полезными.Например, научные писатели нашли много оригинальных способов объяснить теорию относительности Эйнштейна широкому кругу читателей, используя мысленные эксперименты, диаграммы, анимацию, аналогии и другие приемы. В результате, хотя я никогда не изучал математические уравнения общей теории относительности, я чувствую, что у меня есть базовое понимание теории и того, что она говорит о времени, пространстве, материи, энергии, гравитации, скорости света и скоро. Если возможно объяснить широкой аудитории понятия, столь далекие от повседневного опыта, как движение со скоростью, близкой к скорости света, или преобразование материи в энергию, то, безусловно, должно быть возможно объяснить математическую модель поведения тому, кто с математикой не дружит.Даже несмотря на то, что нематематический перевод может потерять часть точности математической модели, он все же может передать существенный момент (например, из закона соответствия, идею относительности эффектов подкрепления, или из скалярной теории ожиданий, насколько точность в временная дискриминация зависит от длительности стимула). Если ценность математической модели зависит от того, как она используется, то те, кто разрабатывает математические модели в психологии, должны стремиться содействовать их использованию не только другими специалистами, но и всеми, кто интересуется объяснением, предсказанием и контролем поведения. .

Благодарности

Подготовка этой рукописи была поддержана грантом MH 38357 от Национального института психического здоровья.

Приложение

Гиперболическая модель (уравнение 5) делает конкретные прогнозы относительно того, как должны измениться формы функций безразличия в результате изменений K или чувствительности к количеству подкрепления. Предположим, что у животного есть ряд вариантов выбора между меньшим, более немедленным подкреплением и более крупным, более отсроченным подкреплением.Мы можем начать с предположения, что в точке безразличия (где животное одинаково часто выбирает две альтернативы) V S  =  V L , где S относится к меньшему подкреплению, а L к большему подкреплению. Из уравнения 5 следует, что A L /(1 + KD L )  =  A S /(1 + KD S ).

Чтобы получить предсказания модели, показанные на , в которой D L (по оси y ) построен как функция D S (по оси x ), мы можем решить Это уравнение для D l d d l = ( A l / A S ) D S + ( A L / A S −1)/ K .Это линейное уравнение с наклоном A L / A S и Y Перехват ( A L / A S -1) / K .

В :

  1. рассматриваются три различных возможных последствия некоторых процедурных манипуляций (например, поражение головного мозга)

    уменьшение точки пересечения и , но без изменения наклона, как показано на левой панели .

  2. Если манипуляция вызовет повышение чувствительности к разнице в количествах подкрепления, это приведет к увеличению отношения чувствительны к различиям в размерах двух подкрепляющих элементов). Поскольку отношение появляется в выражениях как для наклона, так и для точки пересечения y , модель предсказывает, что результатом будет увеличение как наклона, так и точки пересечения y , как показано на центральной панели .

  3. Если манипуляция вызывает увеличение как K , так и чувствительности к количеству, то уравнение предсказывает увеличение наклона (по той же причине, что и в предыдущем случае). Однако он также предсказывает, что эффекты изменений в K и в чувствительности к количеству будут, как правило, компенсировать влияние на точку пересечения y , поскольку увеличение K должно вызывать уменьшение точки пересечения y , но увеличение A L / A S должно привести к увеличению точки пересечения y . Эта возможность изображена на правой панели рисунка.

  4. Поскольку функции безразличия, полученные Kheramin et al. (2002) были очень похожи на правую панель, эти исследователи пришли к выводу, что повреждения OPFC вызывают увеличение как K , так и чувствительности к количеству подкрепления.

Ссылки

  • Эйнсли Г.В. Видное вознаграждение: поведенческая теория импульсивности и импульсивного контроля. Психологический вестник. 1975; 82: 463–496.[PubMed] [Google Scholar]
  • Baum W.M. О двух видах отклонения от закона соответствия: смещении и несоответствии. Журнал экспериментального анализа поведения. 1974; 22: 231–242. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Baum WM, Rachlin H. Выбор как распределение времени. Журнал экспериментального анализа поведения. 1969; 12: 861–874. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Биллингтон Э. Дж., ДиТоммасо Н. М. Демонстрации и применение закона соответствия в образовании. Журнал поведенческого образования. 2003; 12:91–104. [Google Scholar]
  • Бизо Л. А., Киллин П. Р. Модели эффективности графика соотношения. Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 1997; 23: 351–367. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Бюлов П. Дж., Меллер П. Дж. Прогнозирование сексуальной активности девочек-подростков и использования противозачаточных средств: применение закона соответствия. Журнал общественной психологии. 1998; 26: 581–596. [Google Scholar]
  • Коррейя С.Дж., Саймонс Дж., Кэри К.Б, Борсари Б.Е. Прогнозирование употребления наркотиков: применение поведенческих теорий выбора. Аддиктивное поведение. 1998; 23:705–710. [PubMed] [Google Scholar]
  • Делюти М.З. Выбор и скорость наказания в параллельных графиках. Журнал экспериментального анализа поведения. 1976; 25: 75–80. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • de Villiers P.A. Выбор параллельных графиков и количественная формулировка закона эффекта. В: Honig WK, Staddon JER, редакторы. Справочник по оперантному поведению.Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл; 1977. С. 233–287. [Google Scholar]
  • де Вильерс П.А. К количественной теории наказания. Журнал экспериментального анализа поведения. 1980; 33:15–25. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Dinsmoor J.A. Наказание: I. Гипотеза избегания. Психологический обзор. 1954; 61: 34–46. [PubMed] [Google Scholar]
  • Dinsmoor J.A. Бегство, избегание, наказание: где мы находимся? Журнал экспериментального анализа поведения.1977; 28: 83–95. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Фантино Э. Выбор и скорость подкрепления. Журнал экспериментального анализа поведения. 1969; 12: 723–730. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Felton M, Lyon D.O. Постподкрепляющая пауза. Журнал экспериментального анализа поведения. 1966; 9: 131–134. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Феррис Т. Взросление в Млечном Пути. Нью-Йорк: якорные книги; 1988. [Google Scholar]
  • Гиббон ​​Дж.Теория скалярного ожидания и закон Вебера в хронометраже животных. Психологический обзор. 1977; 84: 279–325. [Google Scholar]
  • Грейс Р. Контекстная модель выбора параллельных цепочек. Журнал экспериментального анализа поведения. 1994; 61: 113–129. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Грейс Р.К. Закон сопоставления и зависящее от количества экспоненциальное дисконтирование как учет выбора самоконтроля. Журнал экспериментального анализа поведения. 1999; 71: 27–44. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Green L, Fisher E.Б., Перлоу С., Шерман Л. Изменение предпочтений и самоконтроль: выбор как функция суммы вознаграждения и задержки. Письма с анализом поведения. 1981; 1: 43–51. [Google Scholar]
  • Грин Л., Фристоу Н., Майерсон Дж. Дисконтирование во времени и смена предпочтений при выборе между отсроченными результатами. Психономический бюллетень и обзор. 1994; 1: 383–389. [PubMed] [Google Scholar]
  • Грин Л., Майерсон Дж. Альтернативные подходы к анализу самоконтроля. Поведение и философия. 1993; 21:37–47. [Google Scholar]
  • Грин Л., Майерсон Дж., Холт Д.Д., Слевин Дж.Р., Эстле С.Дж. Дисконтирование отсроченных пищевых вознаграждений у голубей и крыс: есть ли эффект масштаба? Журнал экспериментального анализа поведения. 2004; 81: 39–50. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Грин Л., Майерсон Дж., Макфадден Э. Скорость временного дисконтирования уменьшается с размером вознаграждения. Память и познание. 1997; 25: 715–723. [PubMed] [Google Scholar]
  • Холл Г., Пирс Дж. М. Изменения ассоциативности стимулов во время приобретения: последствия для теорий приобретения.В: Commons ML, Herrnstein RJ, Wagner AR, редакторы. Количественный анализ поведения: Vol. 3: Приобретение. Кембридж, Массачусетс: Баллинджер; 1983. стр. 221–239. [Google Scholar]
  • Herrnstein R.J. Относительная и абсолютная сила реакции в зависимости от частоты подкрепления. Журнал экспериментального анализа поведения. 1961; 4: 267–272. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Хейман Г.М., Монаган М.М. Влияние изменений в требовании ответа и лишении на параметры уравнения закона согласования: новые данные и обзор.Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 1987; 13: 384–394. [Google Scholar]
  • Холмс Г. Р., Хекель Р. В., Честнат Э., Харрис Н., Каутела Дж. Факторный анализ графика опроса подростков (ARSS) с участием первокурсников колледжа. Журнал клинической психологии. 1987; 43: 386–390. [PubMed] [Google Scholar]
  • Hull C.L. Принципы поведения. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts; 1943. [Google Scholar]
  • Келси Дж. Э., Эллисон Дж. Нажатие рычага с фиксированным передаточным числом крысами VMH: Work vs.доступность сахарозного вознаграждения. Физиология и поведение. 1976; 17: 749–754. [PubMed] [Google Scholar]
  • Kheramin S, Body S, Mobini S, Ho M.-Y, Velazquez-Martinez DN, Bradshaw CM, Szabadi E, Deakin JFW, Anderson IM Эффекты индуцированных хинолиновой кислотой поражений орбитальной префронтальная кора на межвременном выборе: количественный анализ. Психофармакология. 2002; 165:9–17. [PubMed] [Google Scholar]
  • Killeen PR О временном контроле поведения. Психологический обзор.1975; 82: 89–115. [Google Scholar]
  • Киллин П. Р. Математические принципы подкрепления. Поведенческие и мозговые науки. 1994; 17:105–172. [Google Scholar]
  • Киллин П. Р. Моделирование моделирование. Журнал экспериментального анализа поведения. 1999; 71: 275–280. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Killeen PR, Bizo LA Механика подкрепления. Психономический бюллетень и обзор. 1998; 5: 221–238. [Google Scholar]
  • Киллин П.Р., Холл С.С., Рейли М.П, Кеттл Л.С. Молекулярный анализ основных компонентов силы реакции. Журнал экспериментального анализа поведения. 2002; 78: 127–160. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Mace F.C., McCurdy B., Quigley E.A. Побочный эффект вознаграждения, предсказанный теорией соответствия. Журнал прикладного анализа поведения. 1990; 23:197–205. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Mackintosh NJ Теория внимания: вариации связываемости стимулов с подкреплением. Психологический обзор. 1975; 82: 276–298. [Google Scholar]
  • Мартенс Б.К., Хоук Дж.Л. Применение закона эффекта Хернштейна к деструктивному поведению умственно отсталой девочки-подростка. Журнал экспериментального анализа поведения. 1989; 51: 17–27. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Martens B.K., Lochner D.G., Kelly S.Q. Влияние подкрепления с переменным интервалом на академическую вовлеченность: демонстрация теории соответствия. Журнал прикладного анализа поведения.1992; 25: 143–151. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Мазур Дж. Э. Тесты правила эквивалентности для фиксированной и переменной задержки подкрепления. Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 1984; 10: 426–436. [Google Scholar]
  • Мазур Дж. Э. Процедура корректировки для изучения отсроченного подкрепления. В: Commons ML, Mazur JE, Nevin JA, Rachlin H, editors. Количественный анализ поведения: Vol. 5. Влияние задержки и промежуточных событий на ценность подкрепления. Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум; 1987. С. 55–73. [Google Scholar]
  • Мазур Дж. Э. Компромиссы между задержкой, скоростью и количеством подкрепления. Поведенческие процессы. 2000а; 49:1–10. [PubMed] [Google Scholar]
  • Мазур Дж. Э. Расписания параллельной цепочки с двумя и тремя альтернативами: тест трех моделей. Журнал экспериментальной психологии: процессы поведения животных. 2000b; 26: 286–293. [PubMed] [Google Scholar]
  • Мазур Дж. Э. Гиперболическая добавленная стоимость и общие модели выбора животных.Психологический обзор. 2001; 108: 96–112. [PubMed] [Google Scholar]
  • McSweeney F.K. Прогнозирование одновременного нажатия педали на нажатие педали, реагирующего на простое выполнение графика. Обучение и поведение животных. 1978; 6: 444–450. [Google Scholar]
  • Миллер Р.Р., Шахтман Т.Р. Несколько ролей контекста во время поиска. В: Balsam PD, Tomie A, редакторы. Контекст и обучение. Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум; 1985. [Google Scholar]
  • Невин Дж. А. Интегративная модель для изучения поведенческого импульса.Журнал экспериментального анализа поведения. 1992; 57: 301–316. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Nevin J.A., Grace R.A. Поведенческий импульс и закон эффекта. Поведенческие и мозговые науки. 2000; 23:73–130. [PubMed] [Google Scholar]
  • Онг Э.Л., Уайт К.Г. Временное дисконтирование в зависимости от суммы? Поведенческие процессы. 2004; 66: 201–212. [PubMed] [Google Scholar]
  • Платт М.Л., Глимчер П.В. Нейронные корреляты переменных решения в теменной коре.Природа. 1999; 400: 233–238. [PubMed] [Google Scholar]
  • Rachlin H, Herrnstein R.J. Возвращение к гедонизму: об отрицательном законе эффекта. В: Кэмпбелл Б.А., Черч Р.М., редакторы. Наказание и агрессивное поведение. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts; 1969. [Google Scholar]
  • Рескорла Р.А., Вагнер А.Р. Теория павловской обусловленности: различия в эффективности подкрепления и отсутствия подкрепления. В: Black AH, Prokasy WF, редакторы. Классическое обусловливание II: текущие исследования и теория.Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts; 1972. С. 64–99. [Google Scholar]
  • Ричардс Дж. Б., Митчелл С. Х., де Вит Х., Сейден Л. С. Определение дисконтных функций у крыс с помощью процедуры корректировки. Журнал экспериментального анализа поведения. 1997; 67: 353–366. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Савастано Х.И., Фантино Э. Различия в задержке, а не в соотношениях, выбор управления в параллельных цепочках. Журнал экспериментального анализа поведения. 1996; 66: 97–116. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Skinner C.H, Робинсон С. Л., Джонс Г. А., Логан П., Белфиоре П. Дж. Применение закона соответствия Херрнстайна, чтобы повлиять на выбор студентов для выполнения сложных академических задач. Журнал экспериментального образования. 1996; 65: 5–17. [Google Scholar]
  • Снайдерман М. Масса тела и сила реакции. Письма с анализом поведения. 1983; 3: 255–265. [Google Scholar]
  • Сквайрс Н. , Фантино Э. Модель выбора в простых параллельных расписаниях и расписаниях параллельных цепочек. Журнал экспериментального анализа поведения. 1971; 15: 27–38.[Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Wagner A.R. СОП: модель автоматической обработки памяти в поведении животных. В: Spear NE, Miller RR, редакторы. Обработка информации у животных: механизмы памяти. Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум; 1981. [Google Scholar]

Советы по построению графиков

Так же, как в композиции есть правила грамматики, существуют правила построения графиков, которые помогают визуализировать данные для вашего аудитория. Хорошо спроектированный график не требует особых пояснений, потому что сам график должен делать тенденции в данных визуально очевидными.Хорошо спроектированный график также не нуждается в ненужных украшениях, которые не передают полезную информацию, такую ​​как глубина столбцов на двумерном графике. Каждый из следующих терминов несет в себе важный смысл.

Зависимые и независимые переменные

Представьте, что мы хотим построить график количества количества осадков, выпадающих в разное время года. Количество осадков зависит от времени года, но время года не зависит от количества осадков. Таким образом, осадки являются 90 851 зависимой переменной 90 852 и временем года. является независимой переменной .На некоторых графиках у вас может быть больше более одной зависимой переменной, но не более одной независимой Переменная. Например, вы можете перекрыть графики осадков в пустыня и осадки в тропиках против времени года, или вы могли бы график дюймов осадков в 2005 и 2006 годах по сравнению со временем год.

Топоры

Независимая переменная принадлежит оси x (горизонтальная линия) графика, а зависимая переменная принадлежит ось Y (вертикальная линия). Оси x и y пересекаются в точке называется источником , где координаты (0,0).В графики только с положительными значениями для x и y, начало координат находится в нижний левый угол.

Весы

Каждая ось нуждается в шкале, чтобы показать диапазон данные по этой оси. Нижний конец шкалы может быть нулем или круглым числовое значение немного меньше, чем наименьшая точка данных. Высота конец шкалы обычно представляет собой круглое числовое значение, немного превышающее самая большая точка данных. Гамма измеряется в мажоре и миноре галочки . Обычно шкала идет от низкого к высокому легко подсчитываются кратные, такие как 10, 50, 100 и т. д.Когда графики сравниваются рядом друг с другом, рассмотрите возможность масштабирования их до одного и того же диапазона данных, чтобы упростить сравнение.

Этикетки Оси

Для каждой оси требуется описательная метка оси указывает, какая переменная представлена. Например, ось Y метка может читаться как «Общее количество осадков», а метка по оси X может читаться «Месяц»

Единицы

Если вы измеряете время, вы должны включить единицы, а также числовые значения, чтобы люди знали, если вы речь идет о секундах, минутах, часах, днях, годах и т. Если ты измеряя количество осадков, люди не поймут, если вы имеете в виду дюймы, миллиметры, галлоны и т. д., если вы не включаете единицы измерения. Единицы должны сообщаться после метки оси, например, «Общее количество осадков (дюймы)».

Точки данных

Как правило, каждое независимое измерение представляет собой точку на графике. Если на одном графике отображается несколько наборов данных, каждый набор должен быть представлен уникальным символом.

Линии

Следует ли соединить точки данных линией? Обычно ответ положительный, если точки данных являются, например, частью серии измерений одного и того же объекта за определенный период времени.Подразумевается, что значения не возвращаются к нулю между измерениями. Однако, если вы строите диаграмму рассеяния, вы можете провести линию тренда или линию регрессии через точки, но не соединять каждую из них. В некоторых случаях зависимость может быть не линейной, а экспоненциальной, логарифмической или какой-либо другой математической функцией, поэтому кривая может быть более подходящей, чем линия. Однако должна быть причина, по которой выбрана конкретная кривая.

Легенда

Легенда становится важной при построении графика более одной зависимой переменной.Например, ваша легенда может указывают на то, что зеленые линии или полосы обозначают количество осадков в тропиках. в то время как коричневые линии или полосы представляют собой осадки в пустыне. область, край.

Использование цвета

Цвета или узоры должны использоваться, чтобы помочь передать информации, но не должны использоваться просто для украшения. в предыдущий пример, почему были выбраны зеленый и коричневый? Если бы цвета были наоборот, будет ли это лучше или хуже? Почему?

Какое визуальное представление?

Тип данных, которые вы представляете, может быть лучше подходит для одного типа графика, чем для другого.Например, если ваш измерения — это периодические выборки текущего события, например дождя. каждый день, то линия с точками помогает передать это сообщение. Если на с другой стороны, вы сначала усредняете разные единицы времени как месяцы, тогда бары могут работать лучше. Если вы пытаетесь визуально отображать части целого, круговая диаграмма может быть хорошей выбор.

Планки погрешностей

Каждая точка на графике может представлять одну точку данных или среднее значение набора измерений в этой точке.В этом случае было бы уместно выразить диапазон вариации вокруг этой точки. Обычно ошибка вокруг среднего значения выражается как стандартное отклонение, но при небольших размерах выборки иногда используется стандартная ошибка.

Титул

Заголовок должен быть кратким описанием предметом графика, но не должны описывать или интерпретировать Результаты.

Что не включать

График должен включать только элементы, улучшающие интерпретацию, и должен содержать минимум визуальных украшений.Например, столбцы не должны быть трехмерными, если только третье измерение не добавляет информации.

Пример правильно отформатированного График

Понимание независимых и зависимых переменных

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Переменные, функции и уравнения

Переменные, функции и уравнения

Экономисты заинтересованы в изучении типов отношений. Например экономист может посмотреть на сумму денег, которую зарабатывает человек, и на сумму, которую человек выбирает тратить.Это отношение или функция потребления. Так как другой пример, экономист может посмотреть на сумму денег, которую коммерческая фирма имеет и сумму, которую он хочет потратить на новое оборудование. это инвестиции отношения или инвестиционная функция.

Функция пытается определить эти отношения. Он пытается придать отношениям математическую форму. Уравнение – это математическое способ рассмотрения отношений между понятиями или элементами. Эти концепции или элементы представлены тем, что называется переменными.

Переменная представляет понятие или элемент, величина которого может быть представлен числом, т.е. измерен количественно. Переменные называются переменными, потому что они изменяются, т. е. могут иметь различные значения. Таким образом, переменную можно рассматривать как величину, которая принимает различные значения. в конкретной проблеме. Многие элементы в экономике могут принимать различные значения. Математика обычно использует буквы с конца алфавита для обозначения переменных.Однако в экономике часто используется первая буква элемента, которая варьируется для обозначения переменные. Таким образом, p используется для переменной цены, а q используется для переменной количество.

Выражение, такое как 4x 3 , является переменной. Он может предполагать разные значения, потому что x может принимать разные значения. В этом выражении x является переменной 4 – коэффициент при x. Коэффициент означает, что 4 работает вместе с x. Выражения например, 4x 3 , состоящее из коэффициента, умноженного на переменную, поднятую степени называются мономами.

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое является либо числом, переменная или произведение чисел и переменных. (мономиал происходит от Греческое слово, монос, что означает один. ) Действительные числа, такие как 5, которые не умножаются по переменной также называются мономами. Одночлены также могут иметь более одного Переменная. 4x 3 y 2 является таким примером. В этом выражении и x, и y — переменные, а 4 — их коэффициент.

Ниже приведены примеры одночленов:

х, 4х 2 , -6xy 2 z, 7

Один или несколько мономов можно комбинировать путем сложения или вычитания, чтобы получить то, что называются полиномами .(Полиномиальный происходит от греческого слова поли, что означает много.) Многочлен имеет два или несколько терминов, то есть два или более монома. Если в многочлене всего два члена, многочлен называется двучленом.

Выражение 4x 3 y 2 — 2xy 2 +3 является многочленом с тремя терминами.

Эти термины 4x 3 y 2 , — 2xy 2 и 3. коэффициенты членов равны 4, -2 и 3.

Степень термина или монома представляет собой сумму показателей степени переменных.Степень многочлена – это степень члена старшей степени. в В приведенном выше примере степени членов равны 5, 3 и 0. Степень многочлена 5.

Помните, что переменные — это элементы, которые могут принимать разные значения. Функция пытается объяснить одну переменную через другую.

Рассмотрим приведенный выше пример, в котором сумма, которую вы решите потратить, зависит от Ваш заработная плата. Здесь есть две переменные: ваша зарплата и сумма, которую вы тратите.

Независимые переменные — это те, которые не зависят от других переменных. Зависимый переменные — это те, которые изменяются независимыми переменными. Изменение вызывается независимой переменной. В нашем примере заработная плата является независимой переменная, а сумма, которую вы тратите, является зависимой переменной.

Чтобы продолжить тот же пример, что, если сумма, которую вы решите потратить, зависит не только от вашей зарплаты, но и от дохода, который вы получаете от инвестиций на фондовом рынке. Теперь есть три переменных: ваша зарплата и ваши инвестиции. доходы являются независимыми переменными, а сумма, которую вы тратите, является зависимой переменной.


Определение: Функция представляет собой математическое соотношение, в котором значения одной зависимой переменной определяются значениями одного или более независимых переменных. Функция означает, что зависимая переменная определяется по независимой переменной (переменным).


Цель экономического анализа состоит в том, чтобы определить независимую(ые) переменную(ые), которые объяснить некоторые зависимые переменные.Например, что объясняет изменения в занятости, в потребительских расходах, в бизнес-инвестициях и т. д.?

Функции с одной независимой переменной называются одномерными функциями. Идет переписка один в один. Функции с более чем одним независимым переменных называются многомерными функциями.

Независимая переменная часто обозначается x. Зависимая переменная часто обозначается y.

Мы говорим, что y является функцией x. Это означает, что у зависит от х или определяется им.

Математически мы пишем y = f(x)

Это означает, что математически y зависит от x. Если мы знаем значение х, то мы можем найти значение y.

В произношении мы говорим «y есть f of x». Это не означает, что y является продуктом двух отдельных величин, f и x, а скорее то, что f используется для обозначения идея функции. Другими словами, скобки не означают, что f умножается по х.

Не обязательно использовать букву f. Например, мы могли бы сказать
y = g(x), что также означает, что y является функцией x, или мы могли бы сказать y = h(x) что также означает, что y является функцией x.

Мы можем рассматривать функции алгебраически или графически. Если мы используем алгебру, мы посмотри уравнения. Если мы используем геометрию, мы используем графики.

Простой пример функциональной записи

Q d = количество требуемых пицц

P p = цена пиццы

P t = цена томатного соуса

P c = цена сыра

P d = цена теста для пиццы

N = число потенциальных едоков пиццы

P p = f(P t , P c , P d )

Это пример функции, которая говорит, что цена пиццы зависит от цены на томатный соус, сыр и тесто для пиццы. Есть одна зависимая переменная, цена пиццы и есть три независимые переменные, цены на томатный соус, сыр и тесто для пиццы.

Q d = f(P p , N)

Это еще один пример функции. В нем говорится, что требуемое количество пиццы зависит от цены пиццы и количества потенциальных едоков пиццы. Там есть одна зависимая переменная, количество требуемой пиццы, и есть две независимые переменные, цена пиццы и количество потенциальных пицц едоки.

Общий экономический пример функциональной записи

C = потребление, сумма, потраченная на товары и услуги

Y = доход, сумма, которую можно потратить

С = С(У)

Это пример функции, которая говорит о сумме, потраченной на потребление зависит от дохода. Это очень общая форма функции потребления. Чтобы использовать его, экономисты должны облечь его в более точную математическую форму. Например

С = 25 + . 75Y

Это функция, которая говорит, что потребление равно 25 независимо от уровня дохода и что на каждый дополнительный доллар дохода тратится 75 центов на потребление.

Использование функциональной записи: некоторые примеры

Пример 1

у = f(х) = 3х + 4

Это функция, которая говорит, что y, зависимая переменная, зависит от x, независимая переменная. Независимая переменная x может принимать разные значения.При изменении х меняется и у.

Найти f(0). Это означает, что нужно найти значение y, когда x равно 0.

f(0) = 3 умножить на 0 плюс 4

f(0) = 3(0) + 4 = 4

Найти f(1). Это означает, что нужно найти значение y, когда x равно 1.

f(1) = 3 умножить на 1 плюс 4

f(1) = 3(1) + 4 = 7

Найти f(-1). Это означает, что нужно найти значение y, когда x равно -1.

f(-1) = 3 раза (-1) плюс 4

f(1) = 3(-1) + 4 = 1

Пример 2

d(p) = p 2 -20p + 125

Это функция, описывающая спрос на товар, где p — доллар. цена за единицу товара.Он говорит, что спрос зависит от цены.

Найдите спрос, когда один товар стоит 2 доллара.

d(2) = 2 2 — 20(2) + 125 = 89

Найдите спрос, когда один товар стоит 5 долларов.

d(5) = 5 2 — 20(5) + 125 = 50

Обратите внимание, что, как и следовало ожидать, спрос снижается по мере роста цены.

Пример 3

Можно складывать, вычитать, умножать или делить две или более функций.

g(x) = x — 3                   h(x) = х 2 + 2

Найти g(0) + h(0)

г(0) = 0 — 3 = -3

ч(0) = 0 2 + 2 = 2

г(0) + ч(0) = -3 + 2 = -1


Найти г(1) ч(2)

г(1) = 1 — 3 = -2

ч(2) = 2 2 + 2 = 6

г(1) ч(2) = (-2) ( 6) = -12

[Индекс]


Одиночная независимая переменная – обзор

АНАЛИЗ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

Иногда с одной независимой переменной получаются неадекватные результаты. Это показывает, что одна независимая переменная не дает достаточно информации, чтобы предсказать соответствующее значение зависимой переменной. Мы можем подойти к этой проблеме, если воспользуемся дополнительными независимыми переменными и разработаем множественный регрессионный анализ для достижения значимых отношений. Здесь мы можем использовать модель линейной регрессии в случаях, когда на зависимую переменную влияют две или более контролируемых переменных.

Уравнение линейной множественной регрессии выражается следующим образом:

(1-47)Y=C0+C1X1+C2X2+…+CKXK

где     Y = зависимая переменная K = Независимые переменные

K = количество независимых переменных

C 0 , C 1 , C 2 , … C K = Неизвестные коэффициенты регрессии

Неизвестные коэффициенты оцениваются на основе n наблюдений для зависимой переменной Y и для каждой из независимых переменных X i , где i = 1,2,3,…K.

Эти наблюдения имеют вид:

(1-48)Yj=C0=C1X1j+C2X2j+…+CKXKj+ξj

для j = 1, 2,…N

где Y j = j th наблюдение за зависимой переменной

X 1j ,… X Kj = j th наблюдение за X 1 , X 2 ,… X независимые переменные 0 39060 метод наименьших квадратов для вычисления оценок Cˆ0,Cˆ1,…Cˆk коэффициентов C 0 , C 1 ,…C K путем минимизации следующего уравнения:

(1-49)S=∑j= 1N[Yj−(Cˆ0+Cˆ1X1j+…+CˆkXkj)]2=∑j=1Nξj2

Взяв частные производные от S по Cˆ0,Cˆ1,…CˆK, то есть ∂s/∂Cˆ 0 , ∂s /∂Cˆ 1 ,…∂s/∂Cˆ K и приравняв их к нулю, получим следующую систему уравнений:

(1-50)NCˆ0+(ΣX1j)Cˆ1+…+(∑XKj)CˆK =∑Yj(ΣX1j)Cˆ0+(ΣX1j2)Cˆ1+…+(ΣX1jXKj)CˆK=ΣX1jYj(ΣX2j)Cˆ0+(ΣX1jX2j)Cˆ1 +…+(ΣX2jXKj)CˆK=ΣX2jYj⋮⋮⋮⋮(ΣXKj)Cˆ0+(ΣX1jXKj)Cˆ1+…+(ΣXkj2)CˆK=ΣXKjYj

Уравнение 1-50 может быть выражено в матричной форме как: 9003V9 UC

где

u = [nσx1j . ….. Σxkjσx1jσx1j2 …… σx1jxkj ⋮⋮ σxkjσx1jxkjσxkj2]

c = [C0C1 ⋮⋮ CK] V = [σyjσxijyj ⋮⋮ Σxkjyjy]

U — симметричная матрица.

Мы можем получить оценки для коэффициентов Cˆ0,Cˆ1,…CˆK путем последовательного исключения или решения обратной функции U. То есть

Cˆ=U−1V

, где

U−1=обратная величина U

После решения для Cˆ0,Cˆ1,…CˆK оценки зависимой переменной наблюдения Y¯ j могут быть получены следующим образом: часто выводятся для расчета параметров экспериментальных данных.Такое уравнение может быть выражено в виде:

(1-52)Y=C0.X1C1.X2C2…XKCk

Мы можем вычислить коэффициенты независимых переменных, если линеаризовать уравнение 1-52, взяв его натуральный логарифм Чтобы дать

(1-53) ln y = ln c0 + c1ln x1 + x2 ln x2 + … + ckln xk

Коэффициенты C 0 , C 1 , C 2 , … C K затем получить путем исключения Гаусса. В таблице 1-2 показана таблица дисперсии для линейной множественной регрессии.

Таблица 1-2. Анализ таблицы дисперсии для линейной многократной регрессии

Степень Свобода Сумма квадратов средних квадратов
Всего N-1 SST = σ (Yj- Y¯) 2 MST = SSTN-1
K K K K SSR = Σ (YJ-Y¯) 2 MSR = SSRK
Ошибка N-K-1 SSE = Σ(Yj−Yˆj)2 MSE =SSEN−K−1

Коэффициент детерминации равен

(1-54)r2=1−SSESST

, а коэффициент корреляции равен

( 1-55)r=(1-SSESST)0.5

Тестовая статистика представляет собой отношение F, которое можно определить как:

(1-56)F=MSRMSE

Математика и статистика | Smith College

Обратитесь к каталогу курсов Smith College для получения информации о текущих курсах по математике и статистике.

Есть также несколько курсов, которые доступны для кредита на других факультетах, включая искусство, психологию и другие. Обратитесь к каталогу.


Какие занятия вам следует посещать, во многом зависит от того, что вы считаете наиболее интересным, и от ваших целей.Обсудите свои варианты с вашим консультантом, а также поговорите с преподавателями конкретных курсов, которые вас интересуют.

Если вы интересуетесь науками

Кафедра предлагает различные курсы, чтобы дать вам солидный математический опыт. Исчисление III и линейная алгебра являются фундаментальными курсами. Вы также можете рассмотреть возможность изучения одного или нескольких из следующих предметов: Введение в теорию вероятностей и статистику, Дифференциальные уравнения, Дифференциальные уравнения и численные методы, Дискретная математика, Дополнительные темы непрерывной прикладной математики.

Если вы интересуетесь информатикой

Попробуйте взять что-нибудь из этого: Исчисление III, Линейная алгебра, Современная алгебра, Дискретная математика. Многие из наших студентов имеют двойную специализацию по математике и информатике.

Если вы интересуетесь экономикой

Исчисление даст вам хороший базовый опыт. Вы можете рассмотреть и другие курсы, поэтому обязательно обсудите свои варианты со своим консультантом. Если вы планируете поступить в аспирантуру по экономике, экономический факультет рекомендует вам пройти MTH 211, 212, 280 и 281.Также неплохо пройти курс статистики (подойдет любой из MTH 220, 246, 290, 291 и 320). Многие специалисты в области экономики также хотят получить MTH 264 . Двойная специализация по математике и экономике — хороший выбор.

Если вы интересуетесь прикладной математикой

Следующие курсы работают специально с приложениями: MTH 205, 264, 353 и 364. Другие курсы, которые содержат множество приложений и важны для тех, кто рассматривает возможность поступления в аспирантуру по прикладной математике: MTH 220, 246, 254, 255, 280, 290, 291 и 320.

Если вы интересуетесь теоретической математикой

Следующие курсы работают с абстрактными структурами: MTH 233, 238, 246, 254, 255, 280, 281, 333, 370, 381 и 382.

Если вам понравилось исчисление

Есть много причин любить исчисление. Например, если вам нравится геометрия, вам следует рассмотреть MTH 270, 280, 370 и 382. Если вам понравилась сила исчисления для описания и понимания мира, вы захотите пройти MTH 264. Если вы очарованы идеи предела и бесконечности и хотите докопаться до них, вам следует взять МТН 281.

Если вам понравилась линейная алгебра

Вам очень понравится MTH 233, а также MTH 238 и 333.

Если вам нравилась дискретная математика

Естественным продолжением дискретной математики является MTH 254 или 255, а затем 353. Кроме того, вас могут заинтересовать MTH 246 и CSC 252 (засчитывается 2 кредита по направлению к специальности математика).

Если вас интересует аспирантура по математике

Пройдите много курсов, но обязательно пройдите 233, 254 и 281 MTH и как можно больше MTH 264, 333, 370, 381 и 382 .Вам также следует подумать о поступлении в аспирантуру Массачусетского университета.

Если вас интересует аспирантура по статистике

Наши предложения по статистике: 220, 246, 290, 291 и 320 MTH. Высшие учебные заведения по статистике ожидают, что у вас есть реальный анализ (MTH 281), чтобы получить степень доктора философии. программа.

Если вас интересует аспирантура по исследованию операций

Исследование операций — это относительно новая область математики, объединяющая математические идеи и методы, которые применяются в крупных организациях, таких как предприятия, компьютеры и правительства.Вам следует пройти MTH 211 и по крайней мере некоторые из перечисленных выше курсов по статистике, некоторые курсы по комбинаторике (MTH 254) и некоторые по информатике. Рассмотрим также разделы прикладной математики и численного анализа.

Если вы хотите стать учителем
Требования к сертификации

сильно различаются в зависимости от штата. Если вы заинтересованы в преподавании в средней школе, для начала может быть достаточно специальности по математике плюс практика преподавания. В Массачусетсе майор должен включать либо MTH 233, либо 238 и один из MTH 220 или 246.Также полезен курс, включающий геометрию, например MTH 270 или MTH 370. Вы также должны иметь некоторое представление о компьютерах. Рекомендации см. в списке курсов, перечисленных в программе MAT. Наконец, в то время как MTH 307 Topics in Mathematics Education редко предлагается, что-то эквивалентное преподается в качестве специальных предметов всякий раз, когда есть студенты MAT.

Если вы заинтересованы в преподавании в начальной школе, большинство необходимых вам курсов будет проходить в отделе образования. На математическом факультете мы заботимся о том, чтобы вам было комфортно с математикой, вы видели ее разнообразие и, самое главное, чтобы она вам нравилась.При всем при этом вы должны пройти те курсы математики, которые вам больше всего нравятся. Что касается образовательных курсов, последняя информация заключается в том, что вы должны пройти EDC 235, 238, 346, 347, 404 (практика преподавания) и один факультативный для получения сертификата. Обратите внимание, что в течение семестра, когда вы проходите практику преподавания EDC 404, вы, скорее всего, не сможете пройти курс математики. Планируйте заранее и консультируйтесь с отделом образования.

Если хочешь стать врачом

Вы хорошо справляетесь со специализацией в области математики.Курс по статистике был бы очень хорошей идеей. Другими полезными областями математики являются дифференциальные уравнения и комбинаторика.

Если вы хотите стать актуарием

Сдайте MTH 246, 290, 291 и 320 и актуарные экзамены, которые предлагаются периодически. Продвижение в качестве актуария достигается путем сдачи ряда экзаменов. Часто формируются неформальные студенческие учебные группы (поспрашивайте!).

Если вы хотите получить хорошую работу после выпуска

Специальность по математике хорошо подготовит вас, независимо от того, какой курс вы выберете.Студенты-математики учатся думать на ходу; они не боятся чисел и чувствуют себя как дома с абстрактными идеями. Часто это единственное, что ищут работодатели. Тем не менее, мы должны добавить, что знание компьютерного программирования очень полезно, как и некоторое знакомство со статистикой.

Если вам нужно что-то, чего Смит не предлагает

Если вас интересует предмет, который мы не предлагаем, вам следует поговорить с профессорами, чьи области интересов наиболее близки к этому предмету, как к специальным исследованиям.Договоренность должна быть одобрена отделом, но обоснованные просьбы не отклоняются. Если ваш интерес особенно силен, вы можете рассмотреть проект с отличием или летнюю исследовательскую работу. Вам также следует подумать о прохождении курса (или курсов) в одной из школ консорциума.

Зависимая переменная — обзор, использование, практические примеры

Что такое зависимая переменная?

Зависимая переменная — это переменная, значение которой будет изменяться в зависимости от значения другой переменной, называемой независимой переменной.В научном эксперименте это проверяемая переменная, поэтому ее называют зависимой переменной. Зависимые переменные также известны как переменные результата, левосторонние переменные или переменные отклика.

 

 

Резюме
  • Зависимая переменная — это переменная, значение которой будет изменяться в зависимости от значения другой переменной, называемой независимой переменной.
  • Независимые и зависимые переменные широко используются в статистическом моделировании и анализе, исследованиях, математике и других областях экспериментальной науки.Термин «зависимая переменная» не требует пояснений, поскольку считается, что зависимые переменные зависят от других переменных и значений.
  • При моделировании зависимая переменная является результатом изменений независимых переменных. Следовательно, изменения зависимой переменной являются прямым ответом на изменения значений независимых переменных.

 

Понимание зависимых и независимых переменных

Независимые и зависимые переменные широко используются в статистическом моделировании и анализе, исследованиях, математике и других областях экспериментальной науки. Термин «зависимая переменная» не требует пояснений, поскольку считается, что зависимые переменные зависят от других переменных и значений.

Такую зависимость изучают, наблюдают и определяют посредством экспериментов и проверки гипотез Проверка гипотез Проверка гипотез является методом статистического вывода. Он используется для проверки правильности утверждения относительно параметра совокупности. Методы проверки гипотез. С другой стороны, говорят, что независимые переменные не зависят от значений других переменных, и это также подтверждается экспериментами и методами проверки гипотез.

Вариация зависимой переменной обычно исследуется и изучается между двумя типами переменных (зависимой и независимой). Это делается посредством регрессии и изменения входных данных, а также разработки регрессионных моделей на основе теоретических исследований.

В статистике и других экспериментальных областях данных переменная, которой может манипулировать исследователь или экспериментатор, или которая служит частью цели исследования, считается независимой переменной.

С помощью экспериментов и исследований определяется взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными, определяется характер взаимосвязи (отрицательная или положительная) и определяется влияние независимых переменных на зависимые переменные. Независимые переменные также могут быть добавлены в модель для учета возможных сложностей.

 

Зависимые и независимые переменные в математике

Функция – это правило в математике, которое подразумевает, что выход получается из входов.Независимая переменная в математической функции — это символ, представляющий наблюдаемые входные данные, тогда как символ, представляющий наблюдаемые выходные данные, считается зависимой переменной.

Наиболее часто используемым символом для входных данных в математике является x, а выходные данные представляются как y. Следовательно, функция обычно записывается как:

y = f(x)

Функция может включать несколько зависимых и независимых переменных. Примером могут служить функции, встречающиеся в многомерном исчислении. Общая общая функция в этом случае имеет вид:

z = f(x,y)

Здесь x и y — независимые переменные в функции, а z — зависимая переменная.

 

Зависимые и независимые переменные в статистике

Независимая переменная в научных исследованиях или экспериментах — это переменная, которую исследователь или экспериментатор может изменять или которой может манипулировать. Результат или переменная, которая, как ожидается, изменится из-за изменения независимой переменной, называется зависимой переменной.

 

Зависимые и независимые переменные в моделировании

Зависимые переменные изучаются в математическом моделировании, чтобы увидеть, различаются ли они и в какой степени в сочетании с вариациями независимых переменных. Рассмотрим стохастическое линейное уравнение:

yi = a + bxi + ei

Значение «yi» является значением зависимой переменной, а «xi» обозначает значение независимой переменной. Для учета ошибок и потенциальных несоответствий в зависимой переменной, которые не могут быть объяснены через независимую переменную, в уравнение/модель добавляется член ошибки «ei».

 

Зависимые и независимые переменные в моделировании

При моделировании зависимая переменная является результатом изменений в независимых переменных. Следовательно, изменения зависимой переменной являются прямым ответом на изменения значений независимых переменных.

 

Практические примеры зависимых и независимых переменных

Приведенные ниже примеры состоят из двух разных экспериментов с зависимыми и независимыми переменными, выделенными для простоты понимания:

 

Пример 1

Она хотела бы определить, какой бренд обеспечивает наилучшее соотношение цены и качества и производит больше всего попкорна (готового продукта). Она протестировала столько брендов, сколько могла позволить себе попробовать.

Зависимая переменная, с которой будет работать Джейн, — это количество лопнувших зерен попкорна в упаковке (от каждой отдельной марки). Независимой переменной будет марка попкорна для микроволновой печи.

 

Пример 2

Стив любит садоводство. Он решает провести эксперимент, чтобы определить, какое удобрение идеально подходит для более быстрого роста растений.Он добавлял разные марки удобрений в разные планы и наблюдал их рост с течением времени.

Зависимая переменная, с которой будет работать Стив, — это увеличение высоты каждого растения (от каждой отдельной марки). Независимой переменной будет марка удобрения.

 

Дополнительные ресурсы

CFI предлагает бизнес-аналитику и аналитику данных (BIDA)®Стать сертифицированным бизнес-аналитиком и аналитиком данных (BIDA)™От Power BI до SQL и машинного обучения — сертификация бизнес-аналитики CFI (BIDA) поможет вы осваиваете свои аналитические сверхспособности.Сертификационная программа для тех, кто хочет поднять свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжить обучение и продвинуться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы:

  • Backtesting Backtesting Backtesting предполагает применение стратегии или прогностической модели к историческим данным для определения их точности.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.