9 класс

Учебник по алгебре 9 класс мордкович читать онлайн часть 1: Алгебра 9 класс Учебник Мордкович Семенов часть 1 бесплатно читать онлайн

Содержание

▶▷▶ учебник по алгебре за 7 класс мордкович а.г часть 1 гдз

▶▷▶ учебник по алгебре за 7 класс мордкович а.г часть 1 гдз
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:15-11-2018

учебник по алгебре за 7 класс мордкович аг часть 1 гдз — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Учебник Алгебра 7 класс АГ Мордкович (2013 год) Часть 1 vklasseonline › … › Алгебра Полный и качественный учебник Алгебра 7 класс АГ Мордкович 2013 Часть 1 скачать онлайн Доступно на ваших смартфонах Решебник и ГДЗ по Алгебре за 7 класс задачник, авторы АГ gdz-putinanet/ 7 -klass-algebra-mordkovich Cached ГДЗ по Алгебре 7 класс Задачник Базовый уровень автор: АГ Мордкович Если вы семиклассник, которому потребовалась помощь при решении задач по алгебре , тогда смело воспользуйтесь ГДЗ для задачника алгебра за 7 класс Учебник Алгебра 7 класс АГ Мордкович (2013 год) Часть 2 vklasseonline › … › Алгебра Просматривать всегда и везде Каждый школьник можете просматривать учебник Алгебра 7 класс АГ Мордкович Часть 2 очень просто ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович — онлайн решебник uchimorg/gdz/po-algebre- 7 -klass-mordkovich Cached ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович — онлайн решебник ГДЗ по русскому языку, 6 класс , Баранов, Ладыженская ГДЗ по алгебре , 7 класс , Макарычев Решебник по алгебре за 7 класс задачник АГ Мордкович ФГОС gdzguru › Алгебра ГДЗ к контрольным работам по алгебре за 7 класс Александрова ЛА можно скачать здесь ГДЗ по алгебре 9 класс: Мордкович Решебник задачника gdzputinainfo/reshebniki/9-klass/algebra/ Cached Решебник по алгебре за 9 класс Мордокович – это практическое пособие, которое включает в себя решения и готовые ответы на все задачи курса алгебры 9 класса, основанного на учебнике Мордоковича АГ , Александровой ЛА Решебник учебник (профильный уровень) по Алгебре за 10 класс gitemme/reshebnik/10class/algebra/uchebnik Cached ГДЗ к задачнику по алгебре за 10 класс Мордкович , Базовый и углубленный уровень можно скачать здесь Решебник (ГДЗ) учебник по Алгебре за 10‐11 класс А Г gitemme/reshebnik/10class/algebra/mordkovich-a-g Cached Данное пособие содержит решебник ( ГДЗ ) учебник по Алгебре за 10‐11 класс часть 1 ГДЗ по Алгебре за 9 класс АГ Мордкович, НП Николаев gdzlol/algebra/9-klass/uglublennyj-uroven Cached ГДЗ по Алгебре за 9 класс АГ Мордкович , НП Николаев учебник (углубленное изучение) часть 1 ФГОС Решебник по алгебре за 8 класс Задачник Мордкович АГ gdzguru › Алгебра ГДЗ к контрольным работам по алгебре за 8 класс Александрова ЛА (базовый уровень) можно скачать здесь Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 29,700 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

  • учебники для школьников и студентов Контактная информация +7 (495) 444-84-44 пн-вс 9:00-21:00 Магазин на Маркете 18+ Вместе с « учебник по алгебре за 7 класс мордкович аг часть 1 гдз » ищут: учебник по алгебре за 7 класс макарычев юн учебник по алгебре за 7 класс дорофеев учебник по алгебре за 7 класс макарычев 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашёлся 371 млн результатов Дать объявление Показать все Регистрация Войти 0+ Браузер с Алисой
  • спиши решения и ответы на ГДЗ гуру ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 7 класс Александрова ЛА можно скачать здесь ГДЗ к учебнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (теория) можно скачать здесь ГДЗ контрольным работам по алгебре за 7 -9 классы Мордкович А Г (углублённый уровень) можно скачать здесь ГДЗ к задачнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (углублённый уровень) можно скачать здесь ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 7 класс Александрова ЛА (углублённый уровень) можно скачать здесь Скрыть 10 ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович MegaReshebaru › …algebra/7_klass_mordkovich…1…1100 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Готовые домашние задания и решебник по алгебре за 7 класс автор А Г Мордкович 2016 Алгебра наверное самый сложный предмет в 7 классе Практически у всех возникают трудности при выполнении домашних работ по этому предмету Поэтому этот решебник по алгебре за 7 класс автора Читать ещё Готовые домашние задания и решебник по алгебре за 7 класс автор А Г Мордкович 2016 Алгебра наверное самый сложный предмет в 7 классе Практически у всех возникают трудности при выполнении домашних работ по этому предмету Поэтому этот решебник по алгебре за 7 класс автора Мордкович А Г поможет вам в успешном усвоении курса алгебры за седьмой класс Постарайтесь не переписывать бездумно решения
  • а родителям – понимать

виды графиков и дополнительные задания

Александрова

  • easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 29
  • авторы АГ gdz-putinanet/ 7 -klass-algebra-mordkovich Cached ГДЗ по Алгебре 7 класс Задачник Базовый уровень автор: АГ Мордкович Если вы семиклассник
  • easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 29

учебник по алгебре за 7 класс мордкович аг часть 1 гдз — Все результаты ГДЗ Задачник алгебра 7 класс АГ Мордкович базовый уровень › ГДЗ › 7 класс › Алгебра › АГ Мордкович Похожие ГДЗ к задачнику за 7 класс , автор А Г Мордкович по алгебре ГДЗ учебник алгебра 7 класс Мордкович А Г углубленный уровень 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Мордкович АГ Решебник Задачник › ГДЗ › 7 класс › Алгебра › Мордкович АГ ГДЗ : Спиши готовые домашние задания задачник по алгебре за 7 класс , решебник А Г Мордкович , Базовый уровень ФГОС, часть 2 онлайн ответы на Алгебра, 7 класс Часть 1 Учебник (А Г Мордкович) 2009 Алгебра , 7 класс Часть 1 Учебник ( А Г Мордкович ) 2009 ГДЗ решебник по алгебре 7 класс Мордкович — Mathcomua wwwmathcomua/gdz-reshebnik/algebra-7-klass/mordkovichhtml Похожие Рейтинг: 3,8 — ‎13 голосов Решебник ко всем задания за 7 класс по алгебре учебника Мордкович из учебника « Алгебра 7 класс Часть 2 Задачник» Мордкович А Г , или вы ГДЗ по алгебре для 7 класс от Путина Похожие 1 класс Математика · Английский язык · Русский язык · Немецкий язык ГДЗ по алгебре 7 класс Алгебра 7 класс учебник , углубленный уровень Алгебра 7-9 классы контрольные работы Мордкович А Г Решебники по алгебре за седьмой класс помогут ученикам разобраться с числовыми выражениями, ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович — онлайн решебник — uchimorg Советуем только проверять, а пользоваться только в случае, если ничто Решебник по алгебре за 7 класс , Мордкович Глава 1 Математический язык Видео 5:34 Упражнение 1414 Алгебра 7 класс Мордкович АГ ГДЗ Алгебра 7 класс YouTube — 7 нояб 2015 г 4:59 Упражнение 818 Алгебра 7 класс Мордкович АГ ГДЗ Алгебра 7 класс YouTube — 12 сент 2015 г 9:14 Упражнение 144 Алгебра 7 класс Мордкович АГ ГДЗ Алгебра 7 класс YouTube — 7 нояб 2015 г Все результаты ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир › Алгебра › 7 класс Решебник по алгебре за 7 класс авторы Мерзляк, Полонский, Якир издательство Вентана-Граф 7 класс Часть 1 , 2 Мерзляк, Полонский, Якир Картинки по запросу учебник по алгебре за 7 класс мордкович аг часть 1 гдз «cb»:3,»id»:»SPX_r2J7NkjiaM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:55,»oh»:448,»ou»:» «,»ow»:295,»pt»:»ktoreshitru/images/gdz/book/zadachnik-algebra-7-k»,»rh»:»cies24ru»,»rid»:»O7vk8MDS0VzPxM»,»rt»:0,»ru»:» «,»th»:103,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcS5yBHr3dt05F2tFGP0KA-4uVJyGXYoGgn-n1YXuZ4KsDB4b85Ev5hA6Q»,»tw»:67 «cb»:6,»id»:»1Fa999gep8UXeM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:53,»oh»:253,»ou»:» «,»ow»:160,»pt»:»wwwmathcomua/gdz-reshebnik/algebra-7-klass/mord»,»rh»:»mathcomua»,»rid»:»ZIq0cHzrrm0DfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»st»:»Mathcomua»,»th»:105,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRKVb5juAbIahF_tG_6P4qkFn8chUW98MDVMb870L4gCqdSe2OGngoKRw»,»tw»:66 «id»:»LGqA8E29y8wr6M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:53,»oh»:1096,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»docbazaru/urok/algebra/07/004/cover_bigjpg»,»rh»:»docbazaru»,»rid»:»_pjR1iQvepBw8M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»DocBazaru»,»th»:105,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRN6mYnQgqage7H0GFWgFxTyVxAkJN5eeDe5u_vSoOOVYPDpRB1YalhhA»,»tw»:66 «cb»:3,»id»:»I2zP1oiciSTsAM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:60,»oh»:313,»ou»:» «,»ow»:222,»pt»:»uchimorg/img/gdz-po-algebre-8-klass-mordkovich-mi»,»rh»:»uchimorg»,»rid»:»gg85OB1ukLk34M»,»rt»:0,»ru»:» «,»st»:»uchimorg»,»th»:99,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSIbSlL5jTU1AYWwkBZUWzWDmmPmyCDOpkJ60j-btJAwhZXyAj6vhCLxjs»,»tw»:70 «id»:»EewHc5tf4C1s7M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:55,»oh»:150,»ou»:» «,»ow»:99,»pt»:»megareshebaru/attachments/images/covers/000/017/2″,»rh»:»megareshebaru»,»rid»:»mIj89qXDWpqaJM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSkDGZdW63c-98C6zELaIi9z7pDzOlGgM9FmIIn_3yeiHl_xP8gJcH7uAo»,»tw»:59 «cb»:3,»cl»:3,»cr»:6,»id»:»c4hlA3yB-reRvM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:59,»oh»:150,»ou»:» «,»ow»:114,»pt»:»megareshebaru/attachments/images/covers/000/098/4″,»rh»:»megareshebaru»,»rid»:»N7lToV3rTTR1xM»,»rt»:0,»ru»:» «,»st»:»ГДЗ»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQGsA4NbirEkeYfW1-2_IcMeTJTxb4d6mCaV4Bw71Xp3BdGCMdv-sCUEQ»,»tw»:68 «id»:»UvfbaTDFm1EjCM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:61,»oh»:126,»ou»:» «,»ow»:91,»pt»:»gdzru/attachments/images/covers/000/095/100/0000/»,»rh»:»gdzru»,»rid»:»q1-t6V5089uqGM»,»rt»:0,»ru»:» «,»st»:»GDZru»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSed0kRyjGG5h4TYSCmP4jRaJBKTFsAcwfwARqcGj16W3PmsMMXYijspw»,»tw»:65 «id»:»BSk1sjL3NtQ1uM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:61,»oh»:126,»ou»:» «,»ow»:91,»pt»:»gdzru/attachments/images/covers/000/064/203/0000/»,»rh»:»gdzru»,»rid»:»q1-t6V5089uqGM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»GDZru»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQbPfCB89s4maUOV1yAvzlpEakAAEuk9lopnOF-NaQ6Nce3WeobCr82PFA»,»tw»:65 «id»:»YRWUSWXhLnO_zM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:111,»oh»:474,»ou»:» «,»ow»:720,»pt»:»gdzru/attachments/images/tasks/000/005/963/0002/5″,»rh»:»gdzru»,»rid»:»v5tr6md1qtoY3M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»GDZru»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQDV7iODgL6ILlABqCfyuD2xY1eB7Pb8zzufMD01752RAgU_-pmGeGGAXAD»,»tw»:137 Другие картинки по запросу «учебник по алгебре за 7 класс мордкович аг часть 1 гдз» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты Учебник Алгебра 7 класс АГ Мордкович 2013 Часть 1 | Вклассе › Учебники за 7 класс › Алгебра Учебники за 7 класс > Алгебра > А Г Мордкович Учебник Алгебра 7 класс А Г Мордкович (2013 год) Часть 1 Авторы: А Г Мордкович Год: 2013 | Класс: Задачник Алгебра 7 кл АГ Мордкович, ТН Мишустина — готовые wwwmygdzcom › ГДЗ по алгебре Похожие А Г Мордкович , ТН Мишустина — готовые домашние задания ГДЗ по гдз за 7 класс ГДЗ для 7 класса по алгебре , учебник Задачник Алгебра 7 кл ▷ ответы по алгебре 7 класс мордкович николаев задачник 2009 wwwzstelceu//otvety-po-algebre-7-klass-mordkovich-nikolaev-zadachnik-2009x 7 нояб 2018 г — Книги по математике Алгебра , 7 класс , Часть 1 , Мордкович АГ , учебника : АГ Мордкович , НП Николаев ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович › ГДЗ › 7 класс › Алгебра › АГ Мордкович Похожие ГДЗ к задачнику за 7 Решебник Алгебра и начала математического анализа 11 класс Похожие Давно ищете где Мордковича 11 класс (профильный уровень)? На сайте Решебник задачник Алгебра 11 класс Мордкович Учебник по алгебре автора Мордкович Семенов 11 класс вызывает наибольшие ГДЗ Мордковича 11 класс ежедневно пополняется новыми ответами от учеников и постоянно ГДЗ по геометрии 7 класс Мерзляк Полонский Якир учебник — Я ГДЗ › 7 класс › Геометрия ГДЗ решебник к учебнику по геометрии 7 класс Мерзляк Полонский Якир ФГОС оранжевый Вентана Граф Ответы и решения на задания на сайте ГДЗ (решебник) по алгебре 10-11 класс Мордкович задачник reshatorru/11-klass/algebra/mordkovich/ Похожие ГДЗ (домашние задания) по алгебре за 10-11 класс к задачнику ГДЗ ( решебник) по алгебре 10-11 класс Мордкович задачник Глава 1 Числовые функции § 1 Определение числовой функции и Решение уравнений tg х = a, ctg х = а Чтобы посмотреть часть 2 и другие материалы по ГДЗ без покупки ГДЗ по алгебре за 10 класс — Страница 2 — Результат из Google Книги Мордкович А Г, Мишустина ТН, Тульчинская Е Е — 2014 I части четвертой Грашсданского кодекса Российской Федерации) Ч, I Учебник для учащихся общеобразовательных учреждении (базовый уровень ) f’ AI’ математического анализа за l0 класс и задачиику АТ` Мордковича и др алгебре и началам матема— тнческого анализа УДК 373:512+5| 7 | BBK ГДЗ по математике 3 класс Моро учебник — части 1 и 2 ГДЗ по математике за 3 класс Моро становятся отправной точкой создания ситуации успеха на Математика 3 класс Моро МИ — учебник часть 1 и 2 ГДЗ от Путина — лучшие решебники ГДЗ от Путина новые онлайн решебники ( готовые домашние задания ) 1 -4 классы 6 класс Рыбченкова · 7 класс Рыбченкова · ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк из учебников и рабочих тетрадей по всем предметам за все классы, а также переводы по английскому ( гдз путина ру) Математика/ Алгебра Решебник задачник по Алгебре за 7 класс АГ Мордкович часть 2 ГДЗ к учебнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (задачник) можно § 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110 111 112 113 114 115 116 117 118 ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович АГ 110(10) упражнение ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович А Г 110(10) упражнение ГДЗ по алгебре 7 класс Класс: 7 класс Домашняя контрольная работа № 1 : Вариант 1 : 1 Решебник по Алгебре для 7 класса АГ Мордкович ГДЗ задачник Похожие ГДЗ к задачнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (углублённый уровень) можно скачать здесь Учебник не отличается какими-то особенностями или яркими и Домашние контрольные работы КР- 1 Варианты 1 2 Решебник по Алгебре 7 класс задачник АГ Мордкович Похожие ГДЗ по Алгебре за 7 класс А Г Мордкович задачник часть 2 § 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович, решебник задачника Похожие Сборник готовых домашних заданий ( ГДЗ ) задачник по Алгебре за 7 класс , решебник А Г Мордкович самые лучшие ответы от EGDZRU Гдз по Алгебре задачник за 7 класс, авторы АГ Мордкович Похожие Подробные гдз и решебник по Алгебре для 7 класса задачник, авторы учебника : А Г Мордкович на 2017-2018 год Решебник (ГДЗ) по алгебре 7 класс Мордкович 2014 — Reshebacom › ГДЗ › 7 класс › Алгебра › Мордкович Похожие автор: А Г Мордкович Гдз контрольные работы по Алгебре за 7 класс можно найти тут; Гдз самостоятельные работы по Алгебре за 7 класс можно Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (40) Показать скрытые результаты В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты (1) с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg В ответ на жалобу, поданную в соответствии с Законом США «Об авторском праве в цифровую эпоху», мы удалили некоторые результаты (3) с этой страницы Вы можете ознакомиться с жалобой на сайте LumenDatabaseorg Некоторые результаты поиска могли быть удалены в соответствии с местным законодательством Подробнее Вместе с учебник по алгебре за 7 класс мордкович аг часть 1 гдз часто ищут гдз по алгебре 7 класс мордкович николаев гдз по алгебре 7 класс мордкович домашняя контрольная работа алгебра 7 класс мордкович учебник гдз по алгебре 7 класс мордкович от путина алгебра 7 класс мордкович учебник онлайн дидактические материалы по алгебре 7 класс мордкович гдз контрольная работа по алгебре 7 класс ответы мордкович гдз по алгебре мордкович 10 класс Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 ГДЗ по Алгебре за 7 класс : Мордкович А Г Задачник 1 42 1 25 1 7 1 43 1 34 1 21 1 32 1 27 GDZru › class-7/algebra/mordkovich-14/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ : Спиши готовые домашние задания задачник по алгебре за 7 класс , решебник А Г Мордкович , Базовый уровень ФГОС, часть 2 онлайн ответы на GDZRU ГДЗ по алгебре к упомянутому задачнику рассчитано на поздний выпуск книги, а значит, что он содержит в себе больше ответов, которые подходят к обеим Читать ещё ГДЗ : Спиши готовые домашние задания задачник по алгебре за 7 класс , решебник А Г Мордкович , Базовый уровень ФГОС, часть 2 онлайн ответы на GDZRU ГДЗ по алгебре к упомянутому задачнику рассчитано на поздний выпуск книги, а значит, что он содержит в себе больше ответов, которые подходят к обеим вариантам изданий В решебнике разобраны все разновидности уравнений, системы уравнений, виды графиков и дополнительные задания, которые автор добавил лично Поэтапное описание решений позволяет работать с материалом самостоятельно, поможет быстро догнать пропущенные уроки и повысить успеваемость Школьники ценят именно это издание ГДЗ за полные ответы и обилие примеров Скрыть 2 Решебник и ГДЗ по Алгебре за 7 класс задачник, авторы gdz-putinanet › 7-klass-algebra-mordkovich Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по Алгебре 7 класс Задачник Базовый уровень автор: А Г Мордкович Он состоит из двух частей Первая часть учебник с теоретическими правилами, вторая часть состоит из примеров, уравнений и задач Читать ещё ГДЗ по Алгебре 7 класс Задачник Базовый уровень автор: А Г Мордкович Если вы семиклассник, которому потребовалась помощь при решении задач по алгебре , тогда смело воспользуйтесь ГДЗ для задачника алгебра за 7 класс , автором которого является Мордкович ! Он состоит из двух частей Первая часть учебник с теоретическими правилами, вторая часть состоит из примеров, уравнений и задач В данном пособие рассмотрим вторую часть — ЗАДАЧНИК Зачем пользоваться этим решебником? Все просто! Вот несколько следующих фактов: — гдз позволяет научиться самостоятельному выполнению упражнений по алгебре Скрыть 3 Учебник Алгебра 7 класс А Г Мордкович 2013 Часть 1 vklasseonline › 7…uchebniki…mordkovich-2013-chast-1 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Учебники за 7 класс Алгебра А Г Мордкович Учебник Алгебра 7 класс А Г Мордкович (2013 год) Часть 1 Читать ещё Учебники за 7 класс Алгебра А Г Мордкович Учебник Алгебра 7 класс А Г Мордкович (2013 год) Часть 1 Авторы: А Г Мордкович Год: 2013 | Класс : 7 | Предмет: Алгебра | Похожие учебники (1) + Алгебра 7 класс А Г Мордкович (2013 год) Часть 2 Читать онлайн Скачать учебник Предисловие для учителястр 3 — 6 + Глава 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬстр 7 — 32 § 1 Числовые и алгебраические выражениястр Скрыть 4 ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович задачник — решебник gdz-onlinecom › 7 класс › Алгебра › Мордкович Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ к задчнику по алгебре 7 класс Мордкович , Александрова, Мишустина, Тульчинская часть 2 ГДЗ к задачнику по Алгебре 7 класс Мордкович станет значимым помощником для любого ученика, принявшего решение правильно Читать ещё ГДЗ к задчнику по алгебре 7 класс Мордкович , Александрова, Мишустина, Тульчинская часть 2 Готовим уроки без проблем ГДЗ к задачнику по Алгебре 7 класс Мордкович станет значимым помощником для любого ученика, принявшего решение правильно распределить свое учебное время Решебник содержит в себе ответы на вопросы школьной программы, помогая не только сэкономить собственное время, но и добиться впечатляющих результатов в учебе Если непонятен материал урока, стоит использовать пособие, в котором изложено объяснение, с конкретными примерами Скрыть 5 ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович (Решебник задачника) gdzputinainfo › Решебники › 7 класс › Алгебра › Мордкович Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Готовое домашние задание (решебник, гдз ) по алгебре 7 класс Часть 2 Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А Г Мордкович и др Практикум по алгебре для 7 класса – это вторая часть учебника Мордоковича А Г В задачнике представлены примеры и задачи по таким ключевым Читать ещё Готовое домашние задание (решебник, гдз ) по алгебре 7 класс Часть 2 Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А Г Мордкович и др — 17-е издание Мнемозина, 2013-2017 г Практикум по алгебре для 7 класса – это вторая часть учебника Мордоковича А Г В задачнике представлены примеры и задачи по таким ключевым темам, как: Линейные уравнения и основы математического моделирования; Простые системы двух линейных уравнений методы их решения; Понятие и свойства одночленов, многочленов, степеней; Свойства и график квадратичной функции Приведенные в задачнике названия соответствуют темам первой теоретической части пособия Скрыть 6 Решебник ( ГДЗ ) по алгебре 7 класс Мордкович 2014 reshebacom › gdz/algebra/7-klass/mordkovich Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробный решебник по алгебре к учебнику 7 класса , автор Мордкович А Г Издательство Мнемозина, 2014 год ГДЗ с поэтапным описанием выполнения позволяет с материалом работать самостоятельно, а родителям – понимать, правильно ли рассуждает ребенок Укрепляя необходимую Читать ещё Подробный решебник по алгебре к учебнику 7 класса , автор Мордкович А Г Издательство Мнемозина, 2014 год Восемь глав, разбитых на параграфы и раздел «Итоговое повторение» — такова структура решебника по алгебре 7 класс , А Г Мордкович ГДЗ с поэтапным описанием выполнения позволяет с материалом работать самостоятельно, а родителям – понимать, правильно ли рассуждает ребенок Укрепляя необходимую семикласснику базу навыков по новому предмету, пособие станет той ступенькой, с которой усваивать алгебру в дальнейшем будет несложно Гдз контрольные работы по Алгебре за 7 класс можно найти тут Гдз самостоятельные работы по Алгебре за 7 класс можно найти тут Скрыть 7 ГДЗ по алгебре для 7 класса задачник А Г Мордкович GdzPutinaru › po-algebre/7-klass/mordkovich Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по алгебре за 7 класс Мордкович состоит из сорока глав, последняя из которых, глава на повторение, помогает ученику закрепить весь пройденный ГДЗ к учебнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (задачник) можно скачать здесь § 1 1 1 Читать ещё ГДЗ по алгебре за 7 класс Мордкович состоит из сорока глав, последняя из которых, глава на повторение, помогает ученику закрепить весь пройденный материал Каждое задание имеет свою нумерацию, поэтому долго его искать не придется Такой систематизированный материал понравится как самим семиклассникам, так и их родителям Чтобы ни одна линейная функция не была упущена; чтобы все арифметические операции над одночленами проводились в два счёта; и чтобы ни одна из степеней не ввела школьника в заблуждение, специалисты разработали этот новый сборник ГДЗ ГДЗ к учебнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (задачник) можно скачать здесь § 1 1 1 Скрыть 8 ГДЗ по Алгебре 7 класс А Г Мордкович задачник eurokime › gdz/algebra/7class/mordkovich Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Приветствуем на образовательном портале Еуроки Здесь вы найдете ГДЗ с подробным и полным решением упражнений (номеров) по Алгебре задачник за 7 класс , автор: А Г Мордкович Издательство: Мнемозина ФГОС 9 Решебник по алгебре за 7 класс задачник GDZguru › reshebniki/7-klass/algebra/mordkovich/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ : Онлайн готовые домашние задания задачник по алгебре ФГОС за 7 класс , автор А Г Мордкович , спиши решения и ответы на ГДЗ ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 7 класс Александрова ЛА можно скачать здесь ГДЗ к учебнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (теория) можно Читать ещё ГДЗ : Онлайн готовые домашние задания задачник по алгебре ФГОС за 7 класс , автор А Г Мордкович , спиши решения и ответы на ГДЗ гуру ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 7 класс Александрова ЛА можно скачать здесь ГДЗ к учебнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (теория) можно скачать здесь ГДЗ контрольным работам по алгебре за 7 -9 классы Мордкович А Г (углублённый уровень) можно скачать здесь ГДЗ к задачнику по алгебре за 7 класс Мордкович А Г (углублённый уровень) можно скачать здесь ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 7 класс Александрова ЛА (углублённый уровень) можно скачать здесь Скрыть 10 ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович MegaReshebaru › …algebra/7_klass_mordkovich…1…1100 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Готовые домашние задания и решебник по алгебре за 7 класс автор А Г Мордкович 2016 Алгебра наверное самый сложный предмет в 7 классе Практически у всех возникают трудности при выполнении домашних работ по этому предмету Поэтому этот решебник по алгебре за 7 класс автора Читать ещё Готовые домашние задания и решебник по алгебре за 7 класс автор А Г Мордкович 2016 Алгебра наверное самый сложный предмет в 7 классе Практически у всех возникают трудности при выполнении домашних работ по этому предмету Поэтому этот решебник по алгебре за 7 класс автора Мордкович А Г поможет вам в успешном усвоении курса алгебры за седьмой класс Постарайтесь не переписывать бездумно решения, а используйте эти ГДЗ только для проверки решения или выбора правильного метода или стратегии для дальнейших действии Рекомендуемые решебники ГДЗ Контрольные работы алгебра 7 класс Александрова ЛА Скрыть Учебники по алгебре / labirintru Лабиринт Пресс Акции Главные книги года Подарочные книги labirintru › книжный-магазин Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама Один из крупнейших книжных магазинов Более 20000 наименований Доставим! Контактная информация +7 (495) 745-95-25 пн-пт круглосуточно Магазин на Маркете Алгебра 7 класс Учебник и задачник (комплект из 2 Доставка Акции Книги Канцтовары chitai-gorodru › Алгебра-7-класс-Учеб Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама Более 230 000 книг классической литературы, учебники для школьников и студентов Контактная информация +7 (495) 444-84-44 пн-вс 9:00-21:00 Магазин на Маркете 18+ Вместе с « учебник по алгебре за 7 класс мордкович аг часть 1 гдз » ищут: учебник по алгебре за 7 класс макарычев юн учебник по алгебре за 7 класс дорофеев учебник по алгебре за 7 класс макарычев 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашёлся 371 млн результатов Дать объявление Показать все Регистрация Войти 0+ Браузер с Алисой, которая всегда готова побеседовать Установить Закрыть Спасибо, что помогаете делать Яндекс лучше! Эта реклама отправилась на дополнительную проверку ОК ЯндексДирект Попробовать еще раз Включить Москва Настройки Клавиатура Помощь Обратная связь Для бизнеса Директ Метрика Касса Телефония Для души Музыка Погода ТВ онлайн Коллекции Яндекс О компании Вакансии Блог Контакты Мобильный поиск © 1997–2018 ООО «Яндекс» Лицензия на поиск Статистика Поиск защищён технологией Protect Алиса в ЯндексБраузере Выключит компьютер по голосовой команде 0+ Установить

Алгебра.

9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Учебно-методический комплект* для изучения курса алгебры в 9-м классе общеобразовательной школы, выпускаемый издательством «Мнемозина», состоит из следующих элементов:

Программы, Математика. 5—6 Классы. Алгебра. 7—9 классы. Алгебpa и начала математического анализа. 10—11 классы / авт.-сост. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович;
А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник;
А. Г. Мордкович, Т. В. Мишустина, Е. Е. Тульчинская, П. В. Семенов. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник;
A. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра. 9 класс. Методическое пособие для учителя;
Л. А. Александрова. Алгебра. 9 класс. Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича;
Л. А. Александрова. Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы / Под ред. А. Г. Мордковича;
Е. Е. Тульчинская. Алгебра. 9 класс. Блицопрос;
B. В. Шеломовский. Электронное сопровождение курса «Алгебра— 9» / Под ред.

А. Г. Мордковича.

У вас в руках первая книга указанного комплекта. Хотим обратить внимание на то, что она существенно отличается от изданий 1999— 2007 гг. Анализ многолетнего опыта работы учителей по предыдущим изданиям вынудил авторов в ряде случаев изменить порядок следования параграфов и внести некоторые редакционные и стилистические правки.

Авторы надеются, что учебник будут читать и ученики, и учителя, и родители, поскольку изложение материала доступное, зачастую сопровождаемое непривычными для математической рутинной лексики оборотами. Выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией на них внимания читателя. Например, решение практически всех так на-гываемых текстовых задач оформлено в учебнике (как и в учебниках для 7-го и 8-го классов) в виде трех этапов: составление математической модели; работа с полученной моделью; ответ на вопрос задачи.

На уроках математики учитель всегда сочетает обыденный язык (язык общения, язык литературного повествования) с предметным языком — строгим, сухим, лаконичным, строящимся по принятым в математике законам.

Так написан и данный учебник, представляющий собой книгу не для заучивания, а для изучения, т. е. для чтения и понимания.

Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберется в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что рекомендовать им запомнить, а что предложить просто прочесть дома (и, возможно, обсудить в классе на следующем уроке в жанре беседы).

В некоторых случаях текст набран петитом. Это материал, не обязательный для изучения всеми учащимися, он ориентирован на тех, кто интересуется математикой.

Из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры в качестве приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это выражается прежде всего в том, что, какой бы класс функций, уравнений, выражений ни изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме:

функция — уравнения — преобразования.

Для полноценной реализации функционально-графической линии особенно важным является курс алгебры 9-го класса. Опираясь на опыт изучения функций, их свойств и графиков в 7—8-м классах, рассмотрев в указанных классах все основные понятия, связанные с функциями, на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях, в 9-м классе мы выходим на уровень теоретического осмысления.

В учебнике приведено много примеров с подробными решениями. На окончание решения примера указывает либо слово «ответ», либо значок.

Авторы

Алгебра 9 класс (Мордкович А.Г., Семенов П.В. и др.)

Алгебра 9 класс (Мордкович А.Г., Семенов П.В. и др.)

УМК «Алгебра» 9 класс Мордковича, Семенова и др. включает в себя: учебник, задачник, самостоятельные работы, контрольные работы, тематические проверочные работы в новой форме, блицопрос, тесты, учебное интерактивное пособие к учебнику на CD, методическое пособие для учителя.


Быстрый переход:
Алгебра
Дополнительная литература

Алгебра
Алгебра. Учебник. 9 класс. В 2-х частях (часть 1 — учебник, часть 2 — задачник)
Мордкович А. Г., Семенов П.В. и др.

Алгебра. Самостоятельные работы. 9 класс
Александрова Л.А.

Алгебра. Контрольные работы. 9 класс

Александрова Л.А.

Алгебра. Тесты. 7-9 классы
Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е.

Алгебра. Методическое пособие для учителя. 9 класс
Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Алгебра. Учебник. 9 класс. В 2-х частях (часть 1 — учебник, часть 2 — задачник)
Мордкович А.Г., Семенов П.В. и др.
 не включен в федеральный перечень 
Алгебра. Тесты. 7-9 классы
Мордкович А.Г., Тульчинская Е. Е.

Алгебра. Блицопрос. 9 класс
Тульчинская Е.Е.

Алгебра. Тематические проверочные работы в новой форме. 9 класс
Александрова Л.А.

CD. Электронное сопровождение курса «Алгебра» 9 класс. Под редакцией А. Г. Мордковича (2013 г.и.)
Шеломовский В.В.

Наверх

Дополнительная литература
Все домашние работы к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 9 класс» (2014 г.и.)
Зак С.М.

Рабочая тетрадь по алгебре. 9 класс. К учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 9 класс»
Ключникова Е. М., Комиссарова И.В.

Контрольные и самостоятельные работы по алгебре. 9 класс. К учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра. 9 класс»
Попов М.А.

Алгебра. Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 9 класс
Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С.

Алгебраический практикум. 9 класс
Левитас Г.Г.

Наверх

Если материал вам понравился, нажмите кнопку вашей социальной сети:
 

Система линейных неравенств онлайн калькулятор. Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Системой неравенств принято называть любое множество из двух и более неравенств, содержащих неизвестную величину.

Эту формулировку наглядно иллюстрируют, например, такие системы неравенств :

Решить систему неравенств означает найти все значения неизвестной переменной, при которых реализуется каждое неравенство системы, или доказать, что таких нет.

Следовательно, для каждой отдельной системы неравенств вычислить неизвестную переменную. Далее из полученных значений выбирает только те, которые верны как для первого, так и для второго неравенства. Следовательно, при подстановке выбранного значения оба неравенства системы становятся правильными.

Разберем решение нескольких неравенств:

Помещаем одну пару числовых линий под другую; сверху положим значение х , для которого выполняются первые неравенства о ( х > 1), а снизу значение х , которые являются решением второго неравенства ( х > 4).

Сравнивая данные по

числовым строкам , обратите внимание, что решение для обоих неравенств будет х > 4. Ответ, х > 4.

Пример 2.

Вычисляя первое неравенство получаем -3 х х > 2, второе — х > -8, или х х при котором первое системное неравенство , а в нижней числовой строке все те значения х , для которых реализуется второе неравенство системы.

Сравнивая данные, получаем, что оба неравенства будут выполняться для всех значений х , расставленных от 2 до 8. Наборы значений х обозначают двойное неравенство 2 х

Пример 3. Найти

Неравенство — это два числа или математические выражения, связанные одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств),

Неравенство является

линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которую вся плоскость разбита прямой линией, уравнением которой задано линейное неравенство . Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств и часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, необходимо найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности задачи линейного программирования, в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Решение систем линейных неравенств с любым числом неизвестных

Сначала разберем линейные неравенства на плоскости. Рассмотрим одно неравенство с двумя переменными и:

,

где — коэффициенты переменных (какие-то числа), — свободный член (тоже какое-то число).

Одно неравенство с двумя неизвестными, как и уравнение, имеет бесконечное число решений. Решением этого неравенства является пара чисел, удовлетворяющих этому неравенству.Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

, которую мы будем называть границей.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого нужно знать любые две точки этой прямой. Найдем точки пересечения с осями координат. Ордината пересечения А равна нулю (рисунок 1).Численные значения по осям на этом рисунке относятся к примеру 1, который мы проанализируем сразу после этого теретического экскурса.

Находим абсциссу, решая уравнение прямой с уравнением оси как систему.

Найти пересечение с осью:

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

Откуда.

Таким образом, мы нашли абсциссу точки A .

Найти координаты точки пересечения с осью.

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной линии с уравнением оси координат:

,

отсюда координаты точки B : .

Шаг 2. Проведите линию, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки А и В пересечения граничной линии с осями координат, мы можем провести эту линию. Прямая линия (опять же рис. 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (сверху и снизу) от этой прямой.

Шаг 3. Определить, какая полуплоскость является решением этого неравенства. Для этого в это неравенство нужно подставить начало координат (0;0). Если координаты начала координат удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, не содержащая начало координат. Полуплоскость решения неравенства обозначим штрихами из прямой в полуплоскость, как на рис. 1.

Если решать систему линейных неравенств , то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Нарисуем прямую

Подставляя в уравнение прямую, получаем, а подставляя, получаем. Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут А (3;0) , Б (0; 2). Через эти точки проведите прямую линию (снова рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого подставим координаты начала координат (0;0) в неравенство:

получаем, то есть координаты начала координат удовлетворяют этому неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы это неравенство было строгим, т. е. имело бы вид

, то точки граничной линии не будут решением, так как не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам этой системы, называется решением системы линейных неравенств.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть общая часть полученных полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение можно изобразить в виде некоторого многоугольника, в частном случае это может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2.

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную линию для первого неравенства, т. е. прямую, и граничную линию для второго неравенства, т. е. прямую.

Делаем это поэтапно, как показано в теоретической заметке и в примере 1, тем более что в примере 1 граничная линия строилась для неравенства, которое в этой системе является первым.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам этой системы, на рис. 2 заштрихованы внутрь. Общая часть полуплоскостей решений есть открытый угол ABC . Это означает, что множество точек в плоскость, составляющая открытый угол ABC , является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть является решением системы двух линейных неравенств. Другими словами, координаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные линии, соответствующие неравенствам системы. Мы делаем это, следуя шагам, указанным в теоретических основах для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рис. 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам этой системы, заштрихованы внутрь.Пересечение полуплоскостей решений изображаем, как показано на рисунке, в виде четырехугольника АВСЕ . Мы нашли, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными представляет собой четырехугольник АВСЕ .

Все сказанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системам неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел () удовлетворяющая всем неравенствам, и вместо граничной линии будет граничная гиперплоскость n -мерного пространства. Решение представляет собой многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

В этом уроке мы начнем изучать системы неравенств. Сначала рассмотрим системы линейных неравенств. В начале урока рассмотрим, где и почему возникают системы неравенств. Далее мы изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце решим конкретные примеры для систем линейных неравенств.

Тема : Диета Реальные неравенства и их системы

Урок: Основные понятия, решение систем линейных неравенств

До сих пор мы решали отдельные неравенства и применяли к ним метод интервалов, это может быть линейных неравенства , а квадратное и рациональное .Теперь перейдем к решению систем неравенств — сначала линейных систем … Рассмотрим пример, откуда возникает необходимость рассматривать системы неравенств.

Найти область определения функции

Найти область определения функции

Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т. е.

Как решить такую ​​систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие как первому, так и второму неравенству.

Начертите на оси вола множество решений первого и второго неравенств.

Интервал пересечения двух лучей и есть наше решение.

Этот метод изображения решения системы неравенств иногда называют методом крыши.

Решением системы является пересечение двух множеств.

Изобразим это графически. У нас есть множество A произвольной природы и множество B произвольной природы, которые пересекаются.

Определение: Пересечение двух множеств A и B — это третье множество, состоящее из всех элементов, входящих как в A, так и в B.

Рассмотрим на конкретных примерах решения линейных систем неравенств, как найти пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Решить систему неравенств:

Ответ: (7; 10].

4. Решить систему

Откуда второе неравенство системы? Например, из неравенства

Обозначим графически решения каждого неравенства и найдем интервал их пересечения.

Таким образом, если у нас есть система, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.

Ответ: система несовместима.

Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.

Рассмотрим следующую систему.

7.

Иногда линейная система задается двойным неравенством; рассмотреть этот случай.

8.

Мы рассмотрели системы линейных неравенств, поняли, откуда они берутся, рассмотрели типовые системы, к которым относятся все линейные системы, и решили некоторые из них.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Учебник. Для общего образования. Учреждения. — 4-е изд. — М.: Мнемосина, 2002. — 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемосина, 2002. — 143 с.: ил.

3. Макарычев Ю.В. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразовательных школ. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемосина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. – М.: 2010. – 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 14 ч. Ч. 2. Сборник задач для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Эд. А. Г. Мордкович. — 12-е изд., испр. — М.: 2010. — 223 с.: ил.

1. Портал естественных наук ().

2. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

4. Образовательный центр «Технология обучения» ().

5. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил. № 53; 54; 56; 57.

В этой статье представлено введение в системы неравенства. Вот определение системы неравенств и определение решения системы неравенств.Также перечислены основные виды систем, с которыми чаще всего приходится работать на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.

Навигация по страницам.

Что такое система неравенств?

Системы неравенств удобно определять так же, как мы ввели определение системы уравнений, т. е. по форме записи и заложенному в нее смыслу.

Определение.

Система неравенств Обозначение, представляющее ряд неравенств, написанных одно под другим, объединенных фигурной скобкой слева, и обозначающее множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства в системе.

Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных, например, 2 х — 3 > 0 и 5 — х ≥ 4 х — 11, запишем их один под другим
2 х — 3 > 0,
5 — х ≥ 4 х — 11
и объединяем по знаку системы — фигурная скобка, в результате получаем систему неравенств следующего вида:

Аналогично дается представление о системах неравенства в школьных учебниках. Следует отметить, что в них определения даны более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными.

Основные типы систем неравенств

Ясно, что можно составить бесконечно много различных систем неравенств. Чтобы не запутаться в этом многообразии, целесообразно рассматривать их группами, имеющими свои отличительные особенности. Все системы неравенств можно разделить на группы по следующим признакам:

  • по количеству неравенств в системе;
  • по количеству переменных, участвующих в записи;
  • по форме самих неравенств.

По количеству входящих в запись неравенств различают системы двойки, тройки, четверки и т. д. неравенства. В предыдущем пункте мы привели пример системы, представляющей собой систему двух неравенств. Приведем еще один пример системы четырех неравенств.

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в данном случае, по сути, речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если мы посмотрим на количество переменных, то имеем системы неравенств с одной, двумя, тремя и т. д. переменными (или, как говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, написанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x, y и z. Заметим, что первые два его неравенства содержат не все три переменные, а только одну из них. В контексте этой системы их следует понимать как неравенства с тремя переменными вида x + 0 y + 0 z≥ − 2 и 0 x + y + 0 z≤5 соответственно.Обратите внимание, что школа фокусируется на неравенствах с одной переменной.

Осталось обсудить, какие типы неравенств задействованы в системах записи. В школе в основном рассматриваются системы двух неравенств (реже — трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, а сами неравенства обычно представляют собой целых неравенств первой или второй степени (реже — высших степеней или дробно рациональным). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ вы встретите системы неравенств, содержащие иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства.В качестве примера приведем систему неравенств, откуда она взята.

Что называется решением системы неравенств?

Введем еще одно определение, относящееся к системам неравенств — определение решения системы неравенств:

Определение.

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, которое обращает каждое из неравенств системы в истинное, иначе говоря, является решением каждого неравенства в системе.

Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной. Примем значение переменной x равным 8, оно является решением нашей системы неравенств по определению, так как его подстановка в неравенства системы дает два верных числовых неравенства 8 > 7 и 2−3 · 8≤0. Наоборот, единица не является решением системы, так как при ее подстановке вместо переменной х первое неравенство превратится в неверное числовое неравенство 1 > 7.

Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и более переменными:

Определение.

Путем решения системы неравенств с двумя, тремя и т. д. переменными называется парой, тремя и т. д. значениями этих переменных, что является одновременно решением каждого неравенства в системе, т. е. превращает каждое неравенство в системе в истинное числовое неравенство.

Например, пара значений х = 1, у = 2 или в другой записи (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными, так как 1 + 2

Системы неравенств могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений или могут иметь бесконечно много решений.Мы часто говорим о множестве решений системы неравенств. Если система не имеет решений, то существует пустое множество ее решений. Когда имеется конечное число решений, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то множество решений также состоит из бесконечного числа элементов.

В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича.Под частным решением системы неравенств понимают одно ее отдельное решение. В свою очередь общее решение системы неравенств — это все ее частные решения. Однако эти термины имеют смысл только тогда, когда требуется подчеркнуть, о каком решении идет речь, но обычно это понятно из контекста, поэтому гораздо чаще говорят просто «решение системы неравенств».

Из определений системы неравенств и ее решений, введенных в данной статье, следует, что решением системы неравенств является пересечение множеств решений всех неравенств этой системы.

Список литературы.

  1. Алгебра: исследование. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  2. Алгебра: 9 класс: учеб. для общего образования. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М.: Просвещение, 2009.— 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. А. Г. Мордкович Алгебра. 9 класс. В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2011. – 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  4. Мордкович А.Г. Алгебра и начало математического анализа. 11 класс. В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В.Семенов. — 2-е изд., стерт. — М.: Мнемосина, 2008. — 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
  5. ЕГЭ -2013. Математика: типовые варианты экзамена: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. — М.: Издательство «Народное образование», 2012. — 192 с. — (ЕГЭ-2013. ФИПИ — школа).

Рассмотрим примеры решения системы линейных неравенств.

4x+29\конец(массив)\право. \\] «Заголовок =» (! ЯЗЫК: Rendered by QuickLaTeX.ком»>!}

Чтобы решить систему, необходимо каждое из составляющих ее неравенств. Только принято решение записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.

В каждом из неравенств системы переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком:

Заголовок = «(! ЯЗЫК: Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

После упрощения обе части неравенства нужно разделить на число перед x.Разделите первое неравенство на положительное число, чтобы знак неравенства не изменился. Делим второе неравенство на отрицательное число, поэтому знак неравенства надо поменять на противоположный:

Заголовок = «(! ЯЗЫК: Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

Отмечаем решение неравенства на числовых прямых:

В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих линиях.

Ответ: x∈ [-2; 1).

Избавимся от дроби в первом неравенстве. Для этого обе части умножаем почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

Раскройте скобки во втором неравенстве. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. Справа квадрат разницы между двумя выражениями.

Заголовок = «(! ЯЗЫК: Rendered by QuickLaTeX.ком»>!}

Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком и упрощаем:

Разделим обе части неравенства на число перед x. В первом неравенстве мы делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Во втором делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

Заголовок = «(! ЯЗЫК: Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

Оба неравенства со знаком меньше (не обязательно, чтобы один знак был строго меньше, другой не строго, меньше или равно).Мы не обязаны отмечать оба решения, а используем правило « «. Меньшее равно 1, следовательно, система сводится к неравенству

Отмечаем его решение на числовой прямой:

Ответ: x∈ (-∞; 1].

Раскройте скобки. В первом неравенстве -. Он равен сумме кубов этих выражений.

Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, равное разнице квадратов. Поскольку перед скобками стоит знак минус, открывать их лучше в два этапа: сначала использовать формулу, а только потом открывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.

Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком:

Заголовок = «(! ЯЗЫК: Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

Оба знака больше. Используя правило «больше, чем больше», мы сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел равно 5, поэтому

Заголовок = «(! ЯЗЫК: Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

Отмечаем решение неравенства на числовой прямой и записываем ответ:

Ответ: x∈ (5; ∞).

Поскольку в алгебре системы линейных неравенств встречаются не только как самостоятельные задачи, но и в ходе решения разного рода уравнений, неравенств и т. д., важно вовремя освоить эту тему.

В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений или его решением является произвольное число.

Категория: |

ОДЗ. Диапазон допустимых значений. Старт в науке

Любое переменное выражение имеет свои допустимые значения области видимости, где оно существует.DHS всегда следует учитывать при принятии решения. Если он отсутствует, вы можете получить неверный результат.

Эта статья покажет вам, как правильно найти LDZ, используйте его с примерами. Также будет рассмотрена важность указания DHS в решении.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Допустимые и недопустимые значения переменных

Это определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, что получится в результате.

Начиная с 7 класса мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Исходные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

При наличии выражений с выбранными переменными некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1:а, если а=0, то оно не имеет смысла, так как на ноль делить нельзя. То есть выражение должно иметь значения, подходящие в любом случае и дающие ответ.Другими словами, разберитесь с доступными переменными.

Определение 1

Если есть выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке можно вычислить значение.

Определение 2

Если есть выражение с переменными, то оно не имеет смысла, когда при их подстановке нельзя вычислить значение.

То есть отсюда следует полное определение

Определение 3

Допустимыми переменными являются те значения, для которых выражение имеет смысл.А если это не имеет смысла, то они считаются неприемлемыми.

Чтобы пояснить вышеизложенное, если имеется более одной переменной, то может быть пара подходящих значений.

Пример 1

Например, рассмотрим выражение вида 1 x — y + z, где есть три переменные. В противном случае его можно записать как x = 0, y = 1, z = 2, а другое — (0, 1, 2). Эти значения называются действительными, что означает, что вы можете найти значение выражения. Получаем, что 1 0 — 1 + 2 = 1 1 = 1.Отсюда мы видим, что (1, 1, 2) недопустимы. Подстановка приводит к делению на ноль, то есть 1 1 — 2 + 1 = 1 0.

Что такое ODU?

Диапазон допустимых значений является важным элементом при оценке алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Определение 4

Регион ОДЗ Набор допустимых значений для данного выражения.

Давайте посмотрим на пример выражения.

Пример 2

Если имеем выражение вида 5 z — 3, то ОДЗ имеет вид (- ∞, 3) ∪ (3, + ∞).Это диапазон, который удовлетворяет переменной z для данного выражения.

Если есть выражения вида z x — y, то ясно, что x ≠ y, z принимает любое значение. Это то, что называется выражениями ODZ. Это нужно учитывать, чтобы не получить деление на ноль при подстановке.

Диапазон допустимых значений и диапазон определения имеют одно и то же значение. Только второй используется для выражений, а первый используется для уравнений или неравенств.С DHS выражение или неравенство имеют смысл. Область определения функции совпадает с диапазоном допустимых значений переменной x для выражения f(x).

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Нахождение ODV означает нахождение всех допустимых значений, соответствующих заданной функции или неравенству. Несоблюдение этих условий может привести к неправильному результату. Для нахождения ОДЗ часто необходимо провести преобразования в заданном выражении.

Есть выражения, вычисление которых невозможно:

  • если есть деление на ноль;
  • извлечение корня из отрицательного числа;
  • наличие отрицательного целочисленного показателя — только для положительных чисел;
  • вычисление логарифма отрицательного числа;
  • область определения касательной π 2 + π · k, k ∈ Z и котангенса π · k, k ∈ Z;
  • нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа со значением, не принадлежащим [- 1; один ] .

Все это говорит о важности наличия DHS.

Пример 3

Найдите LDV выражений x 3 + 2 x y — 4 .

Раствор

В куб можно встроить любое число. В этом выражении нет дроби, поэтому x и y могут быть любыми. То есть ОДЗ это любое число.

Ответ: x и y — любые значения.

Пример 4

Найти выражения ОДЗ 1 3 — x + 1 0.

Раствор

Видно, что есть одна дробь, у которой знаменатель равен нулю. Это говорит о том, что для любого значения x мы получаем деление на ноль. Это означает, что мы можем сделать вывод, что данное выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅ .

Пример 5

Найдите ODV данного выражения x + 2 y + 3 — 5 x.

Раствор

Квадратный корень доступности указывает, что это выражение должно быть больше или равно нулю.Если значение отрицательное, оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 y + 3 ≥ 0. То есть это и есть искомый диапазон допустимых значений.

Ответ: множество х и у, где х + 2 у + 3 ≥ 0. ).

Раствор

По условию у нас есть дробь, поэтому ее знаменатель не должен быть равен нулю.Получаем x + 1 — 1 ≠ 0. Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда оно больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0. Поскольку оно имеет логарифм, его выражение должно быть строго положительным, т. е. , х 2 + 3 > 0. Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отлично от 1, тогда добавляем условия х + 8 > 0 и х + 8 ≠ 1. Отсюда следует, что искомая ОДЗ примет форма:

х + 1 — 1 ≠ 0, х + 1 ≥ 0, х 2 + 3 > 0, х + 8 > 0, х + 8 ≠ 1

Другими словами, это называется системой неравенств с одной переменной.Решение приведет к такой записи ОДЗ [- 1, 0) ∪ (0, + ∞).

Ответ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Почему важно учитывать DLO в процессе преобразования?

При идентичных преобразованиях важно найти ОДВ. Бывают случаи, когда существование ДЛО не имеет места. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДВ переменных исходного выражения и ОДВ полученного.

Идентичные трансформации:

  • не может повлиять на DHS;
  • может привести к расширению или добавлению DHS;
  • может сузить ОДЗ.

Давайте рассмотрим пример.

Пример 7

Если имеется выражение вида х 2 + х + 3 · х, то его ОДЗ определена по всей области определения. Даже при введении таких терминов и упрощении выражения ОДВ не меняется.

Пример 8

Если взять в качестве примера выражение х + 3 х — 3 х, то дело обстоит иначе.У нас есть дробное выражение. А мы знаем, что делить на ноль нельзя. Тогда ODD имеет вид (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞). Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его через скобку.

Рассмотрим пример с подкоренным выражением.

Пример 9

Если есть x — 1 x — 3, то следует обратить внимание на ОДВ, так как его нужно записать в виде неравенства (x — 1) (x — 3) ≥ 0. решение возможно методом интервалов, то получаем, что ОДЗ принимает вид (- ∞, 1] ∪ [3, + ∞).После преобразования x — 1 x — 3 и применения свойства корней имеем, что НОД можно дополнить и все записать в виде системы неравенств вида x — 1 ≥ 0, x — 3 ≥ 0. Решая его, получаем [3, +∞). Следовательно, ОДЗ полностью записывается следующим образом: (- ∞, 1] ∪ [3, + ∞).

Избегайте преобразований, которые сужают DLO.

Пример 10

Рассмотрим пример выражения х — 1 х — 3 при х = — 1. При подстановке получаем, что — 1 — 1 · — 1 — 3 = 8 = 2 2.Если это выражение преобразовать и привести к виду х — 1 х — 3, то при расчете получим, что 2 — 1 2 — 3 выражение не имеет смысла, так как корень выражения не должен быть отрицательным.

Следует придерживаться одинаковых преобразований, которые не изменит ЛДЗ.

Если есть примеры, расширяющие его, то его следует добавить в DHS.

Пример 11

Рассмотрим пример дроби вида x x 3 + x. Если мы сократим на x, то получим 1 x 2 + 1. Затем ОДЗ расширяется и становится (- ∞ 0) ∪ (0, + ∞). Причем при расчете мы работаем уже со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов ситуация несколько иная.

Пример 12

Если есть выражение вида ln x + ln (x + 3), оно заменяется на ln (x · (x + 3)), исходя из свойства логарифма. Отсюда ясно, что ОДЗ от (0, + ∞) до (- ∞, — 3) ∪ (0, + ∞). Следовательно, для определения ОДВ ln(x(x+3)) необходимо произвести расчеты по ОДВ, т. е. (0, +∞) установить

При принятии решения всегда необходимо обращать внимание на структуру и тип выражения, заданного условием.Если домен определения найден правильно, результат будет положительным.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

В математике существует бесконечное количество функций. И у каждой свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе какая же это математика?!) И такой подход есть!

При работе с любой функцией мы представляем ее стандартным набором вопросов. И первый, самый главный вопрос — это объем функции. Иногда эту область называют набором допустимых значений аргументов, областью определения функции и т. д.

Какова область действия функции? Как его найти? Эти вопросы часто кажутся сложными и непонятными… Хотя на самом деле все предельно просто. В чем вы можете убедиться сами, прочитав эту страницу. Идти?)

Ну что тут сказать… Только респект.) Да! Естественный домен функции (о котором мы здесь говорим) соответствует с выражениями ODZ, включенными в функцию.Соответственно, они и разыскиваются по тем же правилам.

Теперь давайте посмотрим на не совсем естественную область определения.)

Дополнительные ограничения области действия функции.

Здесь речь пойдет об ограничениях, которые накладывает задание. Те. задача содержит некоторые дополнительные условия, которые придумал компилятор. Или ограничения выплывают из самого способа определения функции.

Насчет ограничений в задании все просто. Обычно ничего искать не нужно, в задании все уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никоим образом не отменяют фундаментальных ограничений математики. Нужно только не забывать учитывать условия задания.

Например, такая задача:

Найти область определения функции:

на множестве положительных чисел.

Выше мы нашли естественную область определения этой функции.Этот район:

D (ж) = ( -∞ ; -1) (-1; 2]

При вербальном способе определения функции нужно внимательно прочитать условие и найти там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да…) Пример из предыдущего урока:

Функция задается условием: каждому значению натурального аргумента x ставится в соответствие сумма цифр, составляющих значение x.

Здесь следует отметить, что мы говорим только о естественных значениях х. Потом и Д(ф) мигом записали:

D (е): х Н

Как видите, область действия функции не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к исследованию функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, есть всякие системы, простые и сложные. Но…

Открою маленький секрет… Иногда функция, для которой нужно найти область применения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств… И вдруг система оказывается элементарной! Причем зачастую чем страшнее функция, тем проще система…

Мораль: глаза боятся, голова решает!)

Шамшурин А.В. один

Гагарина Н.А. один

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 1» г.31″

Текст работы размещается без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Я начал с просмотра многих тем по математике в Интернете и выбрал эту тему, потому что я убежден, что важность нахождения DHS играет огромную роль при решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассматривал уравнения, в которых достаточно найти только ОДЗ, опасность, необязательность, ограничения ОДЗ, некоторые запреты в математике.Самое главное для меня — хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого нужно знать: когда, зачем и как найти ОДВ. Это побудило меня к исследованию темы, целью которого было показать, что освоение этой темы поможет студентам правильно выполнять задания на экзамене. Для достижения этой цели я изучил дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, и учащиеся нашей школы знают: когда, зачем и как найти ДГС. Поэтому я провел тест на тему «Когда, зачем и как найти ODU?» (было дано 10 уравнений).Количество студентов — 28. Справились — 14 %, опасность ОДУ (учтена) — 68 %, факультативна (учтена) — 36 %.

Цель : идентификация: когда, почему и как найти LDO.

Задача: уравнения и неравенства в которых нужно найти ОДВ не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто ошибаемся при решении таких примеров, тратя много времени на их решение, забыв про ОДВ.

Задачи:

  1. Показать значение ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
  2. Провести практическую работу по данной теме и подвести ее итоги.

Думаю, полученные знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или нет? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ODD. Время покажет, смогу ли я это сделать, а точнее ЕГЭ.

Глава 1

Что такое ODU?

ОДЗ — это диапазон допустимых значений , то есть это все значения переменной, для которых выражение имеет смысл.

Важно. Не решаем пример найти ОДЗ! Решаем кусочки примера, чтобы найти запрещенные места.

Некоторые запреты в математике. Таких запрещенных действий в математике очень мало. Но не все их помнят…

  • Выражения с четной кратностью или должны быть > 0 или равны нулю, ОДЗ: f(x)
  • Выражение в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ: f(x)
  • | ф (х) | = г (х), ОДЗ: г (х) 0

Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда пишите ОДЗ рядом с примером. Под этими известными буквами глядя на исходное уравнение, запишите значения х, допустимые для исходного примера. Преобразование примера может изменить LDO и, соответственно, ответ.

Алгоритм поиска ОДЗ:

  1. Определить тип запрета.
  2. Найдите значения, которые делают выражение бессмысленным.
  3. Исключите эти значения из множества действительных чисел R.

Решить уравнение: =

Без ОДЗ

С ОДЗ

Ответ: х = 5

ОДЗ: => =>

Ответ: нет корней

Диапазон допустимых значений защищает нас от таких серьезных ошибок. Если честно, то именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников».Считая, что поиск и учёт ОДВ — незначительный шаг в решении, пропускают его, а потом недоумевают: «почему учитель поставил 2?». И именно поэтому я поставил его, потому что ответ неправильный! Это не «придирка» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же, как просчёт или потерянный знак.

Дополнительные уравнения:

а) =; б) -42 = 14х+; в) = 0; г) | х-5 | = 2x-2

Глава 2

ОДЗ. Зачем? Когда? Как?

Диапазон допустимых значений — есть решение

  1. ОДЗ — пустое множество, а это значит, что исходный пример не имеет решений

Ответ: корней нет.

Ответ: корней нет.

0, уравнение не имеет корней

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) + = 5; б) + = 23х-18; в) = 0,

  1. ОДЗ содержит одно или несколько чисел, и простая замена быстро определяет корни.

ОДЗ: х = 2, х = 3

Проверка: х = 2, +, 0

Проверка: х = 3, +, 0

Ответ: х = 2, х = 3.

Проверить: x = 0,>, 0> 0, неправильно

Проверка: x = 1,>, 1> 0, верно

Ответ: х = 1.

Проверить: + = 3, 0 = 3, неправильно.

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) =; б) + = 0; в) + = х -1

Опасность ДЛО

Обратите внимание, что идентичные преобразования могут:

  • не влияют на LDU;
  • ведут к расширенной ЛДЗ;
  • приводят к сужению ОДЗ.

Также известно, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходный HLO, это может привести к неверным решениям.

Поясним каждый случай на примере.

1) Рассмотрим выражение x + 4x + 7x, ОДЗ переменной x для него есть множество R. Приведем аналогичные термины. В результате он примет вид х 2 + 11х. Очевидно, что LDV переменной x этого выражения также является множеством R. Таким образом, выполненное преобразование не изменило LDV.

2) Возьмем уравнение х + — = 0. В этом случае ОДЗ: х ≠ 0. В этом выражении есть и аналогичные члены, после приведения которых, придем к выражению х, для которого ОДЗ равно R.Что мы видим: в результате преобразования ОДЗ расширилась (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавлено число ноль).

3) Возьмем выражение. ОДВ переменной x определяется неравенством (x − 5) · (x − 2) ≥0, ОДВ: (−∞, 2] ∪∪/ Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www. например

  • Диапазон допустимых значений является решением [Электронный ресурс]/Режим доступа: rudocs. exdat.com ›docs/index-16853.html
  • ОДЗ — область допустимых значений, как найти ОДЗ [Электронный ресурс] / Режим доступа: умники.ru ›выражения/odz.html
  • Диапазон допустимых значений: теория и практика [Электронный ресурс]/Режим доступа: pandia.ru ›text/78/083/13650.php
  • Что такое ОДЗ [Электронный ресурс]/ Режим доступа: www.cleverstudents.ru ›odz.html
  • Что такое LDO и как его найти — объяснение и пример. Электронный ресурс]/Режим доступа: cos-cos.ru ›math/82/
  • Приложение 1

    Практикум «ОДЗ: когда, почему и как?»

    Опция 1

    Опция 2

    │х + 14│ = 2 — 2х

    │3-х│ = 1 — 3х

    Приложение 2

    Ответы на задания практикума «ОДЗ: когда, почему и как?»

    Опция 1

    Опция 2

    Ответ: нет корней

    Ответ: х — любое число, кроме х = 5

    9х + = +27 ОДЗ: х ≠ 3

    Ответ: нет корней

    ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ: -3; 5.

    г = -убывающая,

    г = -увеличивается

    Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х = 6.

    ОДЗ: → → х≥5

    Ответ: х≥5, х≤-6.

    │х + 14│ = 2-2х ОДЗ: 2-2х≥0, х≤1

    х=-4, х=16, 16 не относится к ОДЗ

    Уменьшается, -увеличивается

    У уравнения не более одного корня. Ответ: корней нет.

    0, ОДЗ: х≥3, х≤2

    Ответ: x≥3, x≤2

    8х + = -32, ОДЗ: х ≠ -4.

    Ответ: корней нет.

    х = 7, х = 1. Ответ: нет решений

    Увеличение — уменьшение

    Ответ: х = 2.

    0 ОДЗ: х ≠ 15

    Ответ: х — любое число, кроме х = 15.

    │3-х│ = 1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤

    х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ.

    Ответ: х = -1.

    Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить одинаковые преобразования выражений. Но бывает, что какое-то преобразование допустимо в одних случаях, но не в других. ОДЗ оказывает существенную помощь в части контроля за допустимостью проводимых преобразований. Остановимся на этом подробнее.

    Суть подхода заключается в следующем: ОДЗ переменных для исходного выражения сравнивается с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения идентичных преобразований, и по результатам сравнения делаются соответствующие выводы.

    В целом одинаковые преобразования могут

    • не влияют на LDU;
    • ведут к расширению DLU;
    • приводят к сужению ОДЗ.

    Рассмотрим каждый случай на примере.

    Рассмотрим выражение х 2 + х + 3 · х, ОДЗ переменной х для этого выражения есть множество R. Теперь проделаем с этим выражением следующее тождественное преобразование — зададим аналогичные члены, в результате получится принять вид х 2 + 4 · х.Очевидно, что ОДЗ переменной x этого выражения также является множеством R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ДГС.

    Идем дальше. Возьмем выражение х + 3 / х — 3 / х. В этом случае ГРВ определяется условием x ≠ 0, что соответствует множеству (−∞, 0) ∪ (0, + ∞). В этом выражении есть и аналогичные слагаемые, после сокращения которых приходим к выражению x, для которого ОДВ есть R. Что мы видим: в результате преобразования произошло расширение ОДЗ (к числу добавлено число ноль). ОДЗ переменной x для исходного выражения).

    Осталось рассмотреть пример сужения диапазона допустимых значений после преобразований. Возьмем выражение… ОДЛ переменной x определяется неравенством (x − 1) · (x − 3) ≥0, для его решения оно подходит, например, в результате имеем (−∞ , 1] ∪∪ под редакцией Теляковского С.А.- 17-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 240 с.: ил.- ISBN 978-5-09-019315-3.

  • А. Г. Мордкович Алгебра. 7-й класс. В 14 ч. Часть 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. – М. : Мнемозина, 2013. – 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • А. Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • А. Г. Мордкович Алгебра. 9 класс. В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.- 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2011. – 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордкович А.Г. Алгебра и начало математического анализа. 11 класс. В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 2-е изд., стерт. — М.: Мнемосина, 2008. — 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
  • Алгебра и начало математического анализа. 10 класс: учеб. для общего образования.институты: базовые и профильные. уровней / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 368 с. : больной. — ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

    Сбор и использование личной информации

    Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного лица или связи с ним.

    Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

    Какую личную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

    Как мы используем вашу личную информацию:

    • Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
    • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
    • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления этими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в судебном порядке и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть свои личная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, правоохранительных органов или по другим общественно важным причинам.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами личную информацию соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

    Защита личной информации

    Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и злоупотребления, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того, чтобы убедиться, что ваша личная информация находится в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности, строго следим за выполнением мер конфиденциальности.

    Основные понятия, решение систем линейных неравенств. онлайн калькулятор

    Рассмотрим примеры решения системы линейных неравенств.

    4x + 29 \end(массив) \right.\]» title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

    Чтобы решить систему, необходимо каждое из составляющих ее неравенств. Только принято решение записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.

    В каждом из неравенств системы переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком:

    Title=»(!ЯЗЫК:Визуализировано QuickLaTeX.ком»>!}

    После упрощения обе части неравенства нужно разделить на число перед x. Делим первое неравенство на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется. Делим второе неравенство на отрицательное число, поэтому знак неравенства нужно поменять местами:

    Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

    Отмечаем решение неравенства на числовых прямых:

    В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих линиях.

    Ответ: x∈[-2;1).

    Избавимся от дроби в первом неравенстве. Для этого обе части умножаем почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

    Раскройте скобки во втором неравенстве. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. Справа — квадрат разницы между двумя выражениями.

    Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

    Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком и упрощаем:

    Разделите обе части неравенства на число перед x. В первом неравенстве мы делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Во втором делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

    Title=»(!ЯЗЫК:Визуализировано QuickLaTeX.ком»>!}

    Оба неравенства помечены «меньше» (не обязательно, чтобы один знак был строго «меньше», другой не был строгим, «меньше или равно»). Мы можем не отмечать оба решения, а использовать правило «». Наименьшее равно 1, поэтому система сводится к неравенству

    Отмечаем его решение на числовой прямой:

    Ответ: x∈(-∞;1].

    Раскрываем скобки. В первом неравенстве — . Он равен сумме кубов этих выражений.

    Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, равное разности квадратов. Так как здесь перед скобками стоит знак минус, то раскрывать их лучше в два этапа: сначала использовать формулу, а уж потом раскрывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.

    Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком:

    Title=»(!ЯЗЫК:Визуализировано QuickLaTeX.ком»>!}

    Оба знака больше. Используя правило «больше, чем больше», мы сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел равно 5, поэтому

    Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

    Отметим решение неравенства на числовой прямой и запишем ответ:

    Ответ: x∈(5;∞).

    Так как системы линейных неравенств встречаются в алгебре не только как самостоятельные задачи, но и в ходе решения разного рода уравнений, неравенств и т. п., важно вовремя изучить эту тему.

    В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений или его решением является произвольное число.

    Рубрика: |

    Не все умеют решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Уравнение – это упражнение, состоящее из двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять знак больше или меньше.Таким образом, прежде чем найти решение того или иного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительный или отрицательный), если возникнет необходимость умножить обе части на какое-либо выражение. Этот же факт следует учитывать, если для решения неравенства требуется возведение в квадрат, так как возведение в квадрат осуществляется умножением.

    Как решить систему неравенств

    Решать системы неравенств гораздо сложнее, чем обычные неравенства. Как решать неравенства 9 класса, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что прежде чем решать квадратные неравенства (системы) или любые другие системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем сравнить их. Решением системы неравенств будет либо положительный, либо отрицательный ответ (независимо от того, имеет система решение или нет).

    Задача состоит в том, чтобы решить набор неравенств:

    Решим каждое неравенство отдельно

    Строим числовую прямую, на которой изображаем множество решений

    Так как множество является объединением множеств решений, то это множество в числовой строке должно быть подчеркнуто хотя бы одной чертой.

    Решение неравенств с модулем

    Этот пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас есть определение:

    Нам нужно решить неравенство:

    Перед решением такого неравенства необходимо избавиться от модуля (знака)

    Пишем, исходя из данных определения:

    Теперь необходимо решить каждую из систем отдельно.

    Построим одну числовую прямую, на которой будем изображать множества решений.

    В результате у нас есть коллекция, объединяющая множество решений.

    Решение квадратных неравенств

    Используя числовую прямую, рассмотрим пример решения квадратных неравенств. Имеем неравенство:

    Мы знаем, что график квадратного трехчлена является параболой. Мы также знаем, что ветви параболы направлены вверх, если а > 0.

    х2-3х-4

    Используя теорему Виета, находим корни x 1 = — 1; х 2 = 4

    Нарисуем параболу, вернее, ее набросок.

    Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 на отрезке от — 1 до 4.

    У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств типа g(x)

    На самом деле существует несколько методов решения неравенств, поэтому можно использовать для решения сложных неравенств графический способ.

    Решение дробных неравенств

    Дробные неравенства требуют более внимательного подхода. Это связано с тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств знак может измениться.Перед решением дробных неравенств необходимо знать, что для их решения используется интервальный метод. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона знака была похожа на дробное рациональное выражение, а вторая — на «- 0». Преобразуя неравенство таким образом, получаем в результате f(x)/g(x) > (.

    Решение неравенств интервальным методом

    Интервальная методика основана на методе полной индукции, то есть необходимо пройти все возможные варианты.Этот способ решения может не потребоваться ученикам 8-х классов, так как они должны уметь решать неравенства 8-х классов, являющиеся простейшими упражнениями. А вот для старших классов этот метод незаменим, так как помогает решать дробные неравенства. Решение неравенств по этой методике основано также на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, при которых она обращается в 0,

    .

    Построим полином. Эта непрерывная функция, приобретая значение 0 3 раза, то есть f(x) будет равна 0 в точках x 1 , x 2 и x 3 , корнях многочлена.Между этими точками знак функции сохраняется.

    Так как для решения неравенства f(x)>0 нам нужен знак функции, то переходим к координатной прямой, оставляя график.

    f(x)>0 для x(x 1 ; x 2) и для x(x 3 😉

    ф (х) х (-; х 1) и для х (х 2; х 3)

    На графике отчетливо видны решения неравенств f(x)f(x)>0 (решение первого неравенства выделено синим цветом, решение второго выделено красным).Для определения Чтобы определить знак функции на отрезке, достаточно знать знак функции в одной из точек. Этот прием позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть разложена на множители, поскольку в таких неравенствах достаточно легко найти корни.

    На этом уроке мы начнем изучение систем неравенств. Сначала рассмотрим системы линейных неравенств. В начале урока рассмотрим, где и почему возникают системы неравенств. Далее мы изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце решим конкретные примеры для систем линейных неравенств.

    Тема : диета реальные неравенства и их системы

    Урок: Основные понятия, решение систем линейных неравенств

    До сих пор мы решали отдельные неравенства и применяли к ним интервальный метод, это могут быть линейных неравенства , и квадратные и рациональные.Теперь перейдем к решению систем неравенств — сначала линейных систем . Рассмотрим пример, откуда возникает необходимость рассматривать системы неравенств.

    Найти область действия функции

    Найти область действия функции

    Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е.

    Как решить такую ​​систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие как первому, так и второму неравенству.

    Отобразите по оси абсцисс множество решений первого и второго неравенств.

    Интервал пересечения двух лучей и есть наше решение.

    Этот метод представления решения системы неравенств иногда называют методом крыши.

    Решением системы является пересечение двух множеств.

    Представим это графически. У нас есть множество A произвольной природы и множество B произвольной природы, которые пересекаются.

    Определение: Пересечение двух множеств A и B — это третье множество, состоящее из всех элементов, входящих как в A, так и в B.

    Рассмотрим на конкретных примерах решения систем линейных неравенств, как найти пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

    Решить систему неравенств:

    Ответ: (7; 10].

    4. Решить систему

    Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства

    Обозначим графически решения каждого неравенства и найдем интервал их пересечения.

    Таким образом, если у нас есть система, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.

    Ответ: система несовместима.

    Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.

    Рассмотрим следующую систему.

    7.

    Иногда линейная система задается двойным неравенством; рассмотреть этот случай.

    8.

    Мы рассмотрели системы линейных неравенств, поняли откуда они берутся, рассмотрели типовые системы, к которым относятся все линейные системы и решили некоторые из них.

    1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Учеб. Для общеобразовательных учреждений. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 192 с.: ил.

    2. Мордкович А.Г. и соавт. Алгебра 9 класс: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина и соавт. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил.

    3. Ю.В. Н. Макарычев, Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразовательных школ. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

    4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс 16 изд. — М., 2011. — 287 с.

    5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

    6. Алгебра. 9 класс В 2 часа. Часть 2. Задание для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Эд. А. Г. Мордкович. — 12-е изд., испр. — М.: 2010. — 223 с.: ил.

    1. Портал естественных наук ().

    2. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

    4. Образовательный центр «Технология образования» ().

    5. Раздел College.ru по математике ().

    1. Мордкович А.Г. и соавт. Алгебра 9 класс: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил. № 53; 54; 56; 57.

    Одной из тем, требующей от учащихся максимального внимания и усидчивости, является решение неравенств. Так похожи на уравнения и в то же время сильно от них отличаясь.Потому что их решение требует особого подхода.

    Свойства, необходимые для поиска ответа

    Все они используются для замены существующей записи эквивалентной. Большинство из них похожи на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.

    • Функция, определенная в DPV, или любое число может быть добавлено к обеим частям исходного неравенства.
    • Точно так же возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
    • Если это действие выполняется с отрицательной функцией или числом, то знак неравенства необходимо поменять местами.
    • Неотрицательные функции можно возводить в положительную степень.

    Иногда решение неравенств сопровождается действиями, дающими посторонние ответы. Их необходимо устранить путем сравнения площади ОДЗ и множества решений.

    С помощью метода разноса

    Суть его заключается в сведении неравенства к уравнению, в котором ноль стоит в правой части.

    1. Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
    2. Преобразуйте неравенство с помощью математических операций так, чтобы его правая часть была равна нулю.
    3. Замените знак неравенства на «=» и решите соответствующее уравнение.
    4. На числовой оси отметьте все ответы, которые были получены при решении, а также интервалы ОДЗ. В случае строгого неравенства точки должны быть прочерчены.Если стоит знак равенства, то их предполагается закрашивать.
    5. Определите знак исходной функции на каждом интервале, полученном из точек ОДЗ и ответов, делящих его. Если знак функции не меняется при переходе через точку, то она входит в ответ. В противном случае это исключено.
    6. Граничные точки для ОДЗ необходимо дополнительно проверить и только потом включать или не включать в ответ.
    7. Полученный ответ необходимо записать в виде объединенных множеств.

    Немного о двойных неравенствах

    В записи используются сразу два знака неравенства. То есть какая-то функция ограничивается условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются как система из двух, когда исходное разбивается на части. А в методе интервалов указаны ответы от решения обоих уравнений.

    Для их решения также допустимо использовать указанные выше свойства. С их помощью удобно сводить неравенство к нулю.

    Как насчет неравенств, имеющих модуль?

    В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, и они справедливы для положительного значения «а».

    Если «х» принимает алгебраическое выражение, то верны следующие замены:

    Если неравенства не строгие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, «=» появляется.

    Как решается система неравенств?

    Эти знания потребуются в тех случаях, когда дается такая задача или есть запись о двойном неравенстве или в записи появляется модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем неравенствам в записи. Если таких чисел нет, то система не имеет решений.

    План, по которому осуществляется решение системы неравенств:

    • решить каждое из них в отдельности;
    • изображают все интервалы на числовой оси и определяют их пересечения;
    • запишите ответ системы, который будет объединением того, что произошло во втором пункте.

    Как насчет дробных неравенств?

    Так как при их решении может возникнуть необходимость изменить знак неравенства, необходимо очень внимательно и тщательно выполнять все пункты плана. В противном случае можно получить противоположный ответ.

    При решении дробных неравенств также используется интервальный метод. И план действий будет таким:

    • Используя описанные свойства, придайте дроби такой вид, чтобы справа от знака оставался только ноль.
    • Замените неравенство на «=» и определите точки, в которых функция будет равна нулю.
    • Отметьте их на оси координат. При этом числа, получившиеся в результате вычислений в знаменателе, всегда будут пробиваться. Все остальные основаны на условии неравенства.
    • Определить интервалы постоянства.
    • В ответ запишите объединение тех интервалов, знак которых соответствует тому, что было в исходном неравенстве.

    Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность

    Другими словами, в записи есть математический корень. Так как большинство задач в школьном курсе алгебры на квадратный корень, то и рассматриваться будет именно он.

    Решение иррациональных неравенств сводится к получению системы двойки-тройки, которая будет эквивалентна исходной.

    Исходное неравенство условие эквивалентная система
    √ n(x) m(x) меньше или равно 0 нет решений
    m(x) больше 0

    n(x) больше или равно 0

    n(x)

    √ n(x) > m(x)

    m(x) больше или равно 0

    n(x) > (m(x)) 2

    n(x) больше или равно 0

    m(x) меньше 0

    √n(х) ≤ m(х) m(x) меньше 0 нет решений
    m(x) больше или равно 0

    n(x) больше или равно 0

    n(х) ≤ (m(х)) 2

    √n(x) ≥ m(x)

    m(x) больше или равно 0

    n(x) ≥ (m(x)) 2

    n(x) больше или равно 0

    m(x) меньше 0

    √ n(x)

    n(x) больше или равно 0

    n(x) меньше m(x)

    √n(x) * m(x)

    n(x) больше 0

    m(x) меньше 0

    √n(x) * m(x) > 0

    n(x) больше 0

    m(x) больше 0

    √n(х) * m(х) ≤ 0

    n(x) больше 0

    n(x) равно 0

    m(x) -любой

    √n(x) * m(x) ≥ 0

    n(x) больше 0

    n(x) равно 0

    m(x) -любой

    Примеры решения различных типов неравенств

    Чтобы внести ясность в теорию решения неравенств, ниже приведены примеры.

    Первый пример. 2x — 4 > 1 + x

    Решение: Чтобы определить DHS, нужно только внимательно изучить неравенство. Он формируется из линейных функций, поэтому определен для всех значений переменной.

    Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1+х). Получается: 2х — 4 — (1 + х) > 0. После раскрытия скобок и задания подобных членов неравенство примет следующий вид: х — 5 > 0.

    Приравнивая его к нулю, получаем легко найти ее решение: x = 5.

    Теперь эта точка с номером 5 должна быть отмечена на координатном луче. Затем проверьте знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в полученное после преобразований неравенство. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно поставить знак минус.

    На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда окажется, что 1 > 0.Под дугой ставится знак «+». Этот второй интервал будет ответом на неравенство.

    Ответ: x лежит в интервале (5; ∞).

    Второй пример. Требуется решить систему из двух уравнений: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x — 2 ≤ 4x + 2.

    Решение. ОДЗ этих неравенств также лежит в области любых чисел, поскольку заданы линейные функции.

    Второе неравенство примет вид следующего уравнения: 3x — 2 — 4x — 2 = 0.После преобразования: -x — 4 =0. Он выдает значение переменной, равное -4.

    Эти два числа должны быть отмечены на оси с указанием интервалов. Поскольку неравенство не является строгим, необходимо заштриховать все точки. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Так что этот интервал не входит в ответ.

    Второй интервал от -4 до -2. Вы можете выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства.В первом и во втором получается значение -1. Итак, под дугой «-».

    На последнем интервале от -2 до бесконечности ноль является лучшим числом. Вам нужно подставить его и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а во втором нулевое. Этот интервал также следует исключить из ответа.

    Из трех интервалов только один является решением неравенства.

    Ответ: x принадлежит [-4; -2].

    Третий пример.|1 — х| > 2 |х — 1|.

    Раствор. Первым шагом является определение точек, в которых функции обращаются в нуль. Для левой это число будет равно 2, для правой — 1. Их необходимо отметить на балке и определить интервалы постоянства.

    На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно написать рядом два знака «+» и «-».

    Следующий интервал от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Итак, плюсов под дугой два.

    Третий интервал от 2 до бесконечности даст следующий результат: левая функция отрицательна, правая положительна.

    С учетом полученных признаков необходимо рассчитать значения неравенства для всех интервалов.

    На первом получается следующее неравенство: 2 — х > — 2 (х — 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве связан с тем, что эта функция отрицательна.

    После преобразования неравенство выглядит так: x > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только интервал от 0 до 1.

    На втором: 2 — х > 2 (х — 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3x+4 больше нуля. Его нулем будет значение x = 4/3. Учитывая знак неравенства, получается, что x должен быть меньше этого числа. Это означает, что этот интервал уменьшается до интервала от 1 до 4/3.

    Последний дает следующую запись неравенства: — (2 — х) > 2 (х — 1). Его преобразование приводит к следующему: -x > 0. То есть уравнение верно при x меньшем нуля. Это означает, что неравенство не дает решений на требуемом интервале.

    На первых двух интервалах номер границы был 1. Это надо проверять отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 — 1| > 2 |1 — 1|. Подсчет показывает, что 1 больше 0.Это верное утверждение, поэтому одно из них включено в ответ.

    Ответ: x лежит в интервале (0; 4/3).

    Неравенства и системы неравенств – одна из тем, изучаемых в старших классах по алгебре. По сложности он не самый сложный, так как имеет простые правила (о них чуть позже). Как правило, школьники достаточно легко усваивают решение систем неравенств. Это связано еще и с тем, что преподаватели просто «тренируют» своих учеников по этой теме.И не могут этого не делать, потому что она изучается в дальнейшем с использованием других математических величин, а также проверяется на ОГЭ и ЕГЭ. В школьных учебниках очень подробно освещена тема неравенств и систем неравенств, поэтому если вы собираетесь ее изучать, то лучше всего прибегнуть к ним. В этой статье только пересказываются большие материалы, и в ней могут быть некоторые пропуски.

    Понятие системы неравенств

    Если обратиться к научному языку, то можно определить понятие «система неравенств». Это такая математическая модель, которая представляет собой несколько неравенств. Эта модель, конечно, требует решения, и оно будет общим ответом для всех неравенств системы, предложенной в задании (обычно в ней написано, например: «Решить систему неравенств 4 х + 1 > 2 и 30 — х > 6…»). Однако, прежде чем перейти к видам и способам растворения, нужно понять еще кое-что.

    Системы неравенств и системы уравнений

    В процессе изучения новой темы очень часто возникают недоразумения.С одной стороны все понятно и я бы скорее приступил к решению задач, но с другой стороны некоторые моменты остаются в «тени», они не до конца изучены. Также некоторые элементы уже полученных знаний могут переплетаться с новыми. В результате такого «наложения» часто возникают ошибки.

    Поэтому, прежде чем перейти к разбору нашей темы, следует вспомнить отличия уравнений и неравенств, их системы. Для этого нужно еще раз объяснить, что это за математические понятия.Уравнение — это всегда равенство, и оно всегда чему-то равно (в математике это слово обозначается знаком «=»). Неравенство — это модель, в которой одно значение либо больше, либо меньше другого, либо содержит утверждение, что они не совпадают. Таким образом, в первом случае уместно говорить о равенстве, а во втором, как бы очевидно это ни звучало из самого названия, о неравенстве исходных данных. Системы уравнений и неравенств практически не отличаются друг от друга и методы их решения одинаковы.Разница лишь в том, что в первом используются равенства, а во втором — неравенства.

    Виды неравенств

    Неравенства бывают двух видов: числовые и с неизвестной переменной. К первому типу приводятся значения (числа), не равные между собой, например, 8 > 10. Второй тип — неравенства, содержащие неизвестную переменную (обозначается какой-либо буквой латинского алфавита, чаще всего X). Эту переменную нужно найти. В зависимости от того, сколько их, математическая модель различает неравенства с одной (составляют систему неравенств с одной переменной) или с несколькими переменными (составляют систему неравенств с несколькими переменными).

    Последние два вида по степени их построения и уровню сложности решения делятся на простые и сложные. Простые еще называют линейными неравенствами. Они, в свою очередь, делятся на строгие и нестрогие. Строгие специально «говорят», что одно значение обязательно должно быть либо меньше, либо больше, так что это чистое неравенство. Примеров несколько: 8 х + 9 > 2, 100 — 3 х > 5 и т. д. К нестрогим относится и равенство. То есть одно значение может быть больше или равно другому значению (знак «≥») или меньше или равно другому значению (знак «≤»).Даже в линейных неравенствах переменная не стоит в корне, квадрате, ни на что не делится, поэтому они и называются «простыми». К сложным относятся неизвестные переменные, нахождение которых требует выполнения большего количества математических операций. Они часто бывают в квадрате, кубе или под корнем, могут быть модульными, логарифмическими, дробными и т. д. Но так как наша задача разобраться в решении систем неравенств, то будем говорить о системе линейных неравенств. Однако перед этим следует сказать несколько слов об их свойствах.

    Свойства неравенств

    К свойствам неравенств относятся следующие положения:

    1. Знак неравенства меняется на обратный, если применяется операция изменения последовательности сторон (например, если t 1 ≤ t 2, то т 2 ≥ т 1).
    2. Обе части неравенства позволяют прибавить к себе одно и то же число (например, если t 1 ≤ t 2, то t 1 + число ≤ t 2 + число).
    3. Два и более неравенства, имеющие знаки одного направления, позволяют складывать их левую и правую части (например, если t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, то t 1 + t 3 ≥ t 2 + т 4).
    4. Обе части неравенства допускают умножение или деление на одно и то же положительное число (например, если t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, то число t 1 ≥ числа t 2).
    5. Два или более неравенства, имеющие положительные члены и знак одного направления, допускают умножение друг на друга (например, если t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0, то t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
    6. Обе части неравенства позволяют умножить или разделить себя на одно и то же отрицательное число, но знак неравенства меняется (например, если t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, то число t 1 ≥ числа t 2 ).
    7. Все неравенства обладают свойством транзитивности (например, если t 1 ≤ t 2 и t 2 ≤ t 3, то t 1 ≤ t 3).

    Теперь, изучив основные положения теории, связанные с неравенствами, мы можем перейти непосредственно к рассмотрению правил решения их систем.

    Решение систем неравенств. Общая информация. Решения

    Как было сказано выше, решением являются значения переменной, удовлетворяющие всем неравенствам заданной системы.Решение систем неравенств — это выполнение математических операций, которые в конечном итоге приводят к решению всей системы или доказывают, что она не имеет решений. В этом случае говорят, что переменная относится к пустому числовому множеству (записывается так: буква, обозначающая переменную ∈ (знак «принадлежит») ø (знак «пустое множество»), например, x ∈ ø ( оно гласит: «Переменная «х» принадлежит пустому множеству»). Существует несколько способов решения систем неравенств: графический, алгебраический, метод подстановки.Следует отметить, что это математические модели, которые имеют несколько неизвестных переменных. В случае, когда он только один, подойдет интервальный метод.

    Графический способ

    Позволяет решить систему неравенств с несколькими неизвестными (из двух и более). Благодаря этому методу система линейных неравенств решается довольно легко и быстро, поэтому он является наиболее распространенным методом. Это связано с тем, что построение графиков уменьшает количество математических операций при написании. Особенно приятно немного отдохнуть от пера, взять в руки карандаш с линейкой и приступить к дальнейшим действиям с их помощью, когда работы проделано много и хочется немного разнообразия.но этот способ некоторым не нравится из-за того, что приходится отрываться от задачи и переключать мыслительную деятельность на рисование. Тем не менее, это очень эффективный способ.

    Чтобы решить систему неравенств графическим способом, необходимо все члены каждого неравенства перевести в их левую часть. Знаки поменяются местами, справа нужно написать ноль, затем каждое неравенство нужно написать отдельно. В результате функции будут получены из неравенств.После этого можно достать карандаш и линейку: теперь нужно нарисовать график каждой полученной функции. Весь набор чисел, который окажется в интервале их пересечения, и будет решением системы неравенств.

    Алгебраический способ

    Позволяет решить систему неравенств с двумя неизвестными. Также неравенства должны иметь одинаковый знак неравенства (т. е. содержать либо только знак «больше», либо только знак «меньше» и т. д.). Несмотря на свои ограничения, этот метод также более сложен.Применяется в два этапа.

    Первый включает в себя действия по избавлению от одной из неизвестных переменных. Сначала нужно ее выделить, затем проверить наличие цифр перед этой переменной. Если их нет (тогда переменная будет иметь вид одной буквы), то ничего не меняем, если есть (тип переменной будет, например, 5у или 12у), то надо убедиться что в каждом неравенстве число перед выбранной переменной одно и то же. Для этого нужно каждый член неравенств умножить на общий множитель, например, если в первом неравенстве написано 3у, а во втором 5у, то нужно перемножить все члены первого неравенства на 5, а второй на 3. Получится 15у и 15у соответственно.

    Второй этап решения. Необходимо левую часть каждого неравенства перенести на их правые части с изменением знака каждого члена на противоположный, справа записать ноль.Затем начинается самое интересное: избавление от выбранной переменной (иначе называемой «редукция») при сложении неравенств. Получится неравенство с одной переменной, которое нужно решить. После этого следует сделать то же самое, только с другой неизвестной переменной. Полученные результаты и будут решением системы.

    Метод подстановки

    Позволяет решить систему неравенств, когда можно ввести новую переменную. Обычно этим методом пользуются, когда неизвестную переменную в одном члене неравенства возводят в четвертую степень, а в другом возводят в квадрат.Таким образом, этот метод направлен на уменьшение степени неравенства в системе. Образцовое неравенство x 4 — x 2 — 1 ≤ 0 решается таким образом следующим образом. Вводится новая переменная, например t. Пишут: «Пусть t = x 2», тогда модель переписывается в новом виде. В нашем случае получаем t 2 — t — 1 ≤0. Это неравенство нужно решить интервальным методом (о нем чуть позже), затем вернуться обратно к переменной X, затем проделать то же самое с другим неравенством. Полученные ответы и будут решением системы.

    Метод интервалов

    Это самый простой способ решения систем неравенств, и в то же время он универсальный и распространенный. Его используют в старших классах, и даже в старших классах. Суть его заключается в том, что учащийся ищет промежутки неравенства на числовой прямой, которая начерчена в тетради (это не график, а просто обычная прямая с цифрами). Там, где отрезки неравенств пересекаются, находится решение системы. Для использования метода интервалов необходимо выполнить следующие действия:

    1. Все члены каждого неравенства переносятся в левую часть со сменой знака на противоположный (справа пишется ноль).
    2. Неравенства выписываются отдельно, определяется решение каждого из них.
    3. Найдены пересечения неравенств на прямой. Все числа на этих перекрестках будут решением.

    Какой способ использовать?

    Очевидно тот, который кажется самым простым и удобным, но бывают случаи, когда задачи требуют определенного метода. Чаще всего говорят, что решать нужно либо по графику, либо по интервальному методу.Алгебраический метод и подстановка используются крайне редко или не используются вовсе, так как они достаточно сложны и запутаны, к тому же они больше применяются для решения систем уравнений, а не неравенств, поэтому следует прибегать к рисованию графиков и интервалов. Они вносят наглядность, что не может не способствовать эффективному и быстрому проведению математических операций.

    Если что-то не получается

    При изучении той или иной темы по алгебре, конечно, могут возникнуть проблемы с ее пониманием.И это нормально, ведь наш мозг устроен так, что не способен понять сложный материал за один раз. Часто вам нужно перечитать абзац, воспользоваться помощью учителя или попрактиковаться в решении типичных задач. В нашем случае они выглядят, например, так: «Решить систему неравенств 3 х + 1 ≥ 0 и 2 х — 1 > 3». Таким образом, личное стремление, помощь сторонних людей и практика помогают в понимании любой сложной темы.

    Решебник?

    И книга решений тоже очень хорошо подходит, но не для списывания домашних заданий, а для самопомощи.Можно найти системы неравенств с решением в них, посмотреть на них (как на закономерности), попытаться понять, как именно автор решения справился с задачей, а затем попытаться сделать это самостоятельно.

    выводы

    Алгебра — один из самых сложных предметов в школе. Ну, что ты можешь сделать? Математика всегда была такой: кому-то она дается легко, а кому-то трудно. Но в любом случае следует помнить, что общеобразовательная программа составлена ​​таким образом, что с ней справится любой школьник.Кроме того, нужно иметь в виду огромное количество помощников.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.