9 класс

Алгебра 9 класс мордкович 2019: ГДЗ по алгебре 9 класс Мордкович, Александрова, Мишустина еуроки ответы

Содержание

ГДЗ по алгебре 9 класс Мордкович, Александрова, Мишустина еуроки ответы

Поскольку сдавать ОГЭ придется всем, и тем, кто планирует и дальше посвящать свое время и силы познанию математики, и тем, кому она мало пригодится в будущем, подходить к работе гдз по алгебре за 9 класс Мордкович вдумчиво надо всем без исключения девятиклассникам. Среди рекомендаций специалистов, позволяющих сделать такую подготовку максимально результативной — её ежедневность и достаточное количество времени, выделяемого на занятия. Оптимальным считается час в день при условии своевременного начала работы и полтора — два, если она начата со второго полугодия и должна проводиться интенсивно. Не стоит и прерываться надолго — перерывы сверх десяти дней приводят к забыванию значительной части изученного, а также требуют дополнительных временных затрат впоследствии, на устранение появившихся пробелов в знаниях.

Кто активно применяет сборники онлайн ответов процессе обучения?

Среди тех, кто нередко применяет онлайн решения по алгебре за 9 класс Мордковича в качестве источника для выполнения своих задач, можно встретить:

  • 9-ти и 11-ти-классников, готовящихся к экзаменам, повторяющих курс материала и порядок грамотной записи решения и ответа, что тоже крайне важно, поскольку влияет на оценку, результат выполнения итогового испытания;
  • заинтересованные в математике подростки, изучающие в классе предмет по другим УМК и учебникам. Применение ресурса поможет им расширить свои знания, рассмотреть решение под иным углом зрения, дополнить материал;
  • школьники, уже определившиеся с будущим родом деятельности, и не включающие математику в сферу своих интересов. Для них площадка станет помощником для получения хорошей оценки по дисциплине, что важно для среднего балла в аттестате, по которому ведется прием в колледжи и техникумы;
  • педагоги, которым надо оперативно завершить проверку большого количества сданных их учениками работ в условиях недостаточности времени на решение этой задачи. Сборник позволит эффективно проверить тетради, не рискуя не выполнить в срок другие важные рабочие дела и зная, что результат будет безупречен;
  • родители девятиклассников, оценивающие готовность своего ребенка к ответам на уроке, проверочным, экзаменам, не внедряясь в школьный курс дисциплины.

Какую пользу несет сборник готовых решений по алгебре 9 класс (авторы Мордкович, Александрова, Мишустина)?

Хотя и сейчас не все учителя и родители разделяют массовое мнение о полезности еуроки ГДЗ, все же больше тех, кто оценил их преимущества:

  • доступность, круглосуточную и для всех;
  • экономическую выгодность, поскольку часто этот источник становится альтернативой кружкам, репетиторской помощи;
  • соответствие оформления данных требованиям Стандартов образования;
  • удобный и понятный каждому пользователю поиск.

Изучив справочник, научившись им пользоваться, школьники приобретут ценные навыки работы со справочной информацией, которые не раз пригодятся им в школе и в жизни.

ГДЗ по Алгебре за 9 класс Задачник А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев Углубленный уровень

Алгебра 9 класс А.Г. Мордкович учебник, задачник углубленный уровень

Авторы: А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев, П.В. Семенов, Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, Л.А. Александрова

ГДЗ для 9 класса по алгебре Задачник Мордкович углубленного уровня — это превосходное пособие за счет которого школьникам удается намного проще подготавливаться к урокам и домашняя работа доставляет удовольствие. Данный решебник представляет только верные ответы, а значит совершенно исключены ошибки.

Алгебра в девятом классе призывает учеников быть максимально внимательными и собранными. Тем более, что этот предмет является обязательным при сдаче итогового экзамена. Курс изучения математической дисциплины из серии учебных изданий

Мордковича с углубленным уровнем изучения, как нам известно, состоит из двух частей. Сейчас мы поговорим о первой части. Учебник и задачник по алгебре содержит теоретические вопросы, которое может вызвать трудности у учащихся.

Спасением для девятиклассников станет решебник. Сборник ГДЗ предназначен для проверки домашнего задания, он поможет не только школьникам, но и родителям, которые желают проконтролировать своего ребенка. Здесь содержаться ответы на вопросы и решения всех задач. Решебник способен не только облегчить выполнение задания по Алгебре в 9 классе, но и подготовить ученика к уроку. Каждый номер и упражнение подробно расписаны, Вы найдете не просто правильный ответ, а емкое объяснение, почему стоит поступить именно так, а не иначе. Кроме того ГДЗ станут отличным пособием для подготовки к экзамену.

ГДЗ соответствует номерам из задачника, а потому найти нужное задание не составит труда. В нем представлены решения задач, причем каждое описано максимально детально и имеет различные решения, обязательно отмечены используемые уравнения и тому подобные сведения, чтобы ученик мог не только узнать ответ, но и понять, как он был достигнут.

Каждое упражнение рассмотрено максимально подробно и описано доступным и понятным языком. Для решения использованы только те формулы и правила, которые соответствуют уровню знаний 9 класса.

Выполненные задания с помощью ГДЗ к Задачнику по алгебре 9 класса Мордковича с углубленным уровнем изучения, станут отличным инструментом для родителей, ведь предоставляется возможность контролировать то, как ребенок справляется с поставленными задачами, а также сверять ответы. К тому же имея готовые ответы на вопросы, можно существенно сократить время подготовки ребенка. Если использовать пособие максимально правильно, то есть возможность научиться самоподготовке и при этом сверяться с точными ответами без обращения к сторонним источникам.

Качественно созданное издание доставит массу пользы и полностью оправдает ожидания.

Мамы и папы могут самостоятельно помочь своему ребенку решить задачку, найдите ответ к номеру, который вызывает затруднение, и попробуйте вместе разобрать решение. Домашняя работа с ГДЗ по алгебре Мордкович требует много времени и сил, решебник поможет сэкономить драгоценные для ученика и родителей минуты и даст возможность понять сложный материал.

ГДЗ по Алгебре для 9 класса Учебник, Задачник Мордкович А.Г., Семенов П.В. часть 1, 2 ФГОС

Авторы: Мордкович А.Г., Семенов П.В..

Издательство: Мнемозина 2015-2019

«ГДЗ по Алгебре 9 класс Задачник Мордкович, Семенов (Мнемозина)» обеспечит лучшую поддержку девятиклассникам на протяжении всего образовательного процесса по одному из сложнейших предметов в школе. В этом году ребята делают только первые шаги в освоении учебной программы для старших классов.

Ученикам предстоит приложить немало усилий, чтобы успешно окончить общеобразовательное заведение и заработать положительную итоговую оценку в аттестат по основным и второстепенным предметам. В рамках данной точной науки школьники смогут подробно разобрать важнейшие математические формулы и способы выполнения сложных неравенств и уравнений. Старшеклассники познакомятся с множеством интересных теорем и правил, необходимых для решения задач от учителя.

Почему полезно использовать решебник задачника по алгебре для 9 класса от Мордковича

Данный решебник был разработан опытными методистами в сфере точных наук и согласован со всеми требованиями федерального государственного образовательного стандарта. Это значит, что он полностью безопасен к использованию в подготовке к урокам и может сугубо положительно повлиять на успеваемость юных пользователей. Учебно-методическое пособие ГДЗ обладает множеством полезных качеств, необходимых для достижения высоких результатов в обучении.

Рассмотрим некоторые из них:

  • – только верные ответы для всех номеров из учебника;
  • – онлайн-размещение на популярном сайте в глобальной сети интернет;
  • – сможет грамотно упорядочить в голове у подростка все полученные на уроке знания.

К тому же, если школьник научится правильно использовать решебник в обучении, то стабильные пятёрки и похвала от преподавателя не заставят себя долго ждать.

Темы по алгебре, достойные внимания девятиклассников

В рамках данного курса наши специалисты выделили несколько сложных параграфов, на изучение которых ученикам стоит обратить свое внимание в первую очередь:

  • – свойства четных и нечетных числовых функций;
  • – графическое решение неравенств и уравнений;
  • – арифметическая прогрессия.

А, чтобы без особого труда освоить представленные выше параграфы на твёрдую пятёрку и как следует выполнить домашнее задание, девятиклассникам необходима поддержка и консультация надежного вспомогательного ресурса. Под данный критерий прекрасно подойдет учебно-методическое пособие «ГДЗ к задачнику по Алгебре за 9 класс Мордкович А. Г., Семенов П. В. (Мнемозина)».

ГДЗ Алгебра 9 класс Мордкович, Звавич, Рязановский, Александрова

Алгебра 9 класс

Задачник (Углубленный уровень)

Мордкович, Звавич, Рязановский, Александрова

2

Мнемозина

Предстоящие экзамены, постоянные проверочные работы, большие объемы информации и непомерные психологические нагрузки — все это кого угодно выбьет из колеи, нечего и говорить о подростках, у которых еще нет выработанной психологической стабильности. Кроме того, от школьников порой требуют то, что по сути им даже не излагают. Именно поэтому ребятам может пригодиться решебник к учебнику «Алгебра. Задачник 9 класс (углубленный уровень)» Мордкович, Звавич, Рязановский, где все изложено самым подробным образом.

Параметры данного сборника.

В пособии имеется двадцать девять параграфов по основному материалу, которые включают в себя разноплановые упражнения. Так же в издание вошли задания для повторения ранее пройденного и пятьсот девяносто восемь задач для закрепления текущей информации. ГДЗ по алгебре 9 класс Мордкович поможет более полноценно изучить практическую часть предмета.

Почему им надо пользоваться.

О том, что современная система образования себя явно не оправдывает, поняли уже многие. Особенно это становится заметно, когда идет подготовка к проверочным работам. Подростки, которые еще вчера получали пятерки за выполненные задания, сегодня не могут справиться с аналогичными примерами. Причем поражает спокойствие учителей, которые не обращают на этот факт особого внимания. Конечно можно предположить, что со временем все это наверстается. Однако, учитывая, что для многих учащихся этот год станет заключительным, то невольно встает вопрос — когда же именно будет эта более детальная проработка познаний? Чтобы не остаться в итоге у разбитого корыта, школьникам стоит самостоятельно разобраться во всех проблемных моментах используя для этого решебник к учебнику «Алгебра. Задачник 9 класс (углубленный уровень)» Мордкович. «Мнемозина», 2015 г.

2. На рисунке видно, что график касается оси Oy только один раз, в точке с координатами (0; 0).
Теперь стоит отметить основные свойства этой функции.

Свойства функции у = √x

1. Областью определения функции является луч.

Ответ. Д(ф) = [-1,4].

Мордкович А.Г. Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе


График функции и свойства at = │ oh │ (модуль)

Рассмотрим функцию при = │ oh │, где и — некоторое число.

Объем функций at = │ oh │, это множество всех действительных чисел. На рисунке показаны соответственно графиков функций при = │ x │, при = │ 2x │, при = │ x /2│.

Вы можете видеть, что график функции при = | ох | получается из графика функции при = ох , если отрицательная часть графика функции при = ох (она ниже оси О х ), отражает симметрично этой оси.

Расписание видно свойств функций at = │ ох │.

При х = 0 получаем при = 0, то есть начало координат принадлежит графику функции; при х = 0 получаем при > 0, то есть все остальные точки графика лежат выше оси О х .

Для противоположных значений x значения и будут одинаковыми; ось O на это ось симметрии графика.

Например, вы можете построить график функции при = │ x 3 │. Для сравнения функций при = │ х 3 │ и при = х 3 составим таблицу их значений при одних и тех же значениях аргументов.

Из таблицы видно, что для построения графика функции при = │ х 3 │ можно начать с построения графика функции при = х 3. После этого она стоит симметрично оси О x отображают ту его часть, которая находится ниже этой оси.В результате получаем график, изображенный на рисунке.

График функции и свойства при = x 1/2 (корень)

Рассмотрим функцию при = x 1/2.

Областью действия этой функции является множество неотрицательных действительных чисел, так как выражение x 1/2 важно только для x > 0.

Давайте построим график. Для составления таблицы ее значений используем микрокалькулятор, округляя значения функции до десятых долей.

Проведя точки на координатной плоскости и плавно соединив их, получим график функции при = х 1/2 .

Построенный график позволяет сформулировать свойств функций при = x 1/2 .

При х = 0 получаем при = 0; при х > 0 получаем при > 0; граф проходит через начало координат; остальные точки графика расположены в первой координатной четверти.

Теорема … График функции при = х 1/2 симметричный график функции при = х 2, где х > 0, относительно прямой х = 0.

Свидетельство … График функции при = х 2 , где х > 0, — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Пусть точка R ( и ; b ) является произвольной точкой этого графика.Тогда верно равенство b = и 2. Так как по условию числа и неотрицательны, то равенство и = b 1/2. Это означает, что координаты точки Q ( b ; и ) преобразуют формулу at = x 1/2 к истинному равенству или, иначе, точка Q ( b ; ; ; и в = x 1/2.

Доказано также, что если точка M ( из ; d ) принадлежит графику функции в точке = x 1/2, то точка N (2 из 0; d ) ) принадлежит графу при = х 2 , где х > 0.

Получается, что каждой точке R ( и ; b ) графика функции at = x 2 , где x > 0 соответствует единственная точка 2 ( 1 Q ; и ) график функции при = x 1/2 и наоборот.

Осталось доказать, что точки R ( и ; b ) и Q ( b ; и ) симметричны относительно прямой x 9,0020 = 9,0021… Опуская перпендикуляры к координатным осям из точек R и Q , получаем точки на этих осях E ( и ; 0), D (0; b ), F ( b ; 0), ОТ (0; и ). Точка R пересечение перпендикуляров PE и QC имеет координаты ( и ; и ) и, следовательно, принадлежит линии в точке = x … Треугольник PRQ равнобедренный, так как его стороны RP и RQ равны │ b и │ каждая. Прямая при = х делится пополам как угол ГРИП и угол PRQ и пересекает отрезок PQ в некоторой точке S … Следовательно, отрезок RS является биссектрисой треугольника PRQ … Так как биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой, то PQ RS и PS = QS . .. Это означает, что точки R ( и ; b ) и Q ( b ; и ) симметричны относительно прямой в точке = x .

Так как график функции при = х 1/2 симметричный график функции при = х 2, где х > 0, относительно прямой при =

1 х 90, то график функции при = х 1/2 является ветвью параболы.

Урок и презентация на тему: «Степенные функции. Кубический корень. Свойства кубического корня»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Учебные пособия и тренажеры в интернет-магазине Интеграл для 9 класса
Учебный комплекс 1С: «Алгебраические задачи с параметрами, 9-11 классы «Программная среда» 1С:Математический конструктор 6.3 = -8$.
Как видим, кубический корень можно извлекать и из отрицательных чисел. 3$.3) = \ frac(a)(b)$.
Получили, что число $\sqrt(\frac(a)(b))$ в кубе равно $\frac(a)(b)$ и тогда оно равно $\sqrt( \\frac(a)(b))$, что и требовалось доказать.

Ребята, давайте нарисуем график нашей функции.
1) Область определения представляет собой набор действительных чисел.
2) Функция нечетная, так как $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Далее рассмотрим нашу функцию при $x≥0$, затем отразим график относительно начала координат.
3) Функция возрастает при $x≥0$.Для нашей функции большее значение аргумента соответствует большему значению функции, что означает увеличение.
4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться вверх до бесконечности, находя все большие значения аргумента.
5) При $x≥0$ наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.
Построим график функции по точкам при x≥0.


Построим график нашей функции по всей области. Помните, что наша функция нечетная.

Функциональные свойства:
1) D(y) = (- ∞; + ∞).
2) Нечетная функция.
3) Возрастает при (-∞; +∞).
4) Без ограничений.
5) Нет самого низкого и самого высокого значения.

7) Е(у) = (-∞; +∞).
8) Выпуклая вниз в точке (-∞; 0), выпуклая вверх в точке (0; + ∞).

Примеры решения степенных функций

Примеры
1. Решить уравнение $\sqrt(x)=x$.
Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt(x)$ и $y=x$.

Как видите, наши графики пересекаются в трех точках.
Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Построить график функции. $y = \ sqrt((x-2)) — 3$.
Решение. Наш график получается из графика функции $y=\sqrt(x)$, путем параллельного переноса двух единиц вправо и трех единиц вниз.

3. Постройте график функции и прочтите его. $\begin(cases)y=\sqrt(x),x≥-1\\\y=-x-2,x≤-1\end(cases)$.
Решение.Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При $x≥-1$ строим график кубического корня, при $x≤-1$ — график линейной функции.
1) Д(у) = (- ∞; + ∞).
2) Функция не четная и не нечетная.
3) Уменьшается на (-∞; -1), увеличивается на (-1; + ∞).
4) Неограниченный сверху, ограниченный снизу.
5) Наибольшее значение отсутствует. Наименьшее значение минус один.
6) Функция непрерывна на всей числовой прямой.2 + 1, x≤1 \end (случаи) $.

Числовая окружность на координатной плоскости. Урок «Числовой круг на координатной плоскости»

Представляем вашему вниманию видео урок на тему «Числовой круг». Дано определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y = грех х , у = соз х , у = тг х , у = ctg x для любого числового аргумента.Рассмотрим стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичном числовом круге, чтобы найти единственную точку для каждого числа, и, наоборот, найти для каждой точки набор чисел, которые ей соответствуют.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок

: число круг

Наша непосредственная цель — определить тригонометрические функции: SINUS , COSINE , Tangent , COTANGENT-

COTANGENT-

Численный аргумент может быть построена на линии координат или на круг.

Такая окружность называется числовой или единичной окружностью, т.к. для удобства возьмем круг с

Например, если задана точка, отметьте ее на линии координат

и на номер обведите .

При работе с числовым кругом было принято, что движение против часовой стрелки является положительным направлением, движение по часовой стрелке — отрицательным.

Типовые задачи — нужно определить координаты заданной точки или, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная линия устанавливает однозначное соответствие между точками и числами. Например, номер соответствует точке А с координатой

.

Каждая точка B с координатой характеризуется только одним числом — расстоянием от 0 до, взятое со знаком плюс или минус.

На числовом круге взаимно однозначное соответствие работает только в одном направлении.

Например, на координатной окружности (рис. 2) есть точка В, длина дуги равна 1, т.е.е. эта точка соответствует 1.

Дан круг, длина окружности круга. Если то — длина единичной окружности.

Если прибавить , то получим ту же точку B, больше — тоже получим точку B, вычтем — тоже точку B.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют точку B на числовой окружности.

Таким образом, цифре 1 соответствует единственная точка числовой окружности — точка B, а точке B соответствует несчетное множество точек вида .

Для числового круга верно следующее:

Если Т. М числовой кружок соответствует числу, то он также соответствует числу вида

Вы можете сделать сколько угодно полных оборотов вокруг числового круга в положительном или отрицательном направлении — суть одна и та же. Следовательно, тригонометрические уравнения имеют бесконечное число решений.

Например, дана точка D. Каким числам она соответствует?

Измеряем дугу.

множество всех чисел, соответствующих точке D.

Рассмотрим основные точки на числовом круге.

Длина всего круга.

Тех. запись набора координат может быть разной .

Рассмотрим типовые задания на числовой круг.

1. Дано: . Найти: точку на числовом круге.

Выбираем всю деталь:

Необходимо найти м.б.на числовом круге. , тогда .

В этот набор также входит точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовом круге.

Нужно найти т.к.

м. также принадлежит этому набору.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что для каждого числа можно найти одну точку, а для каждой точки можно найти набор чисел, характеризующихся данная точка.

Разделим дугу на три равные части и отметим точки М и N.

Найдем все координаты этих точек.

Итак, наша цель — определить тригонометрические функции. Для этого нам нужно научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи — найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Учеб. Для общеобразовательных учреждений. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и соавт. Алгебра 9 класс: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил.

3. Ю.В. Н. Макарычев, Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учащихся. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс 16 изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс В 2 часа. Часть 2. Задание для студентов общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Эд. А. Г. Мордкович. — 12-е изд., испр. — М.: 2010. — 223 с.: ил.

Мордкович А.Г. и соавт. Алгебра 9 класс: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

Для использования предварительного просмотра презентаций создайте учетную запись Google (аккаунт) и войдите: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Числовой круг в координатной плоскости

Повторим: Единичный круг представляет собой числовую окружность, радиус которой равен 1. R=1 C=2 π + — yx

Если точке M числовой окружности соответствует число t, то ей также соответствует число вида t+2 π k , где k – любое целое число (k ϵ З). M(t) = M(t+2 π k), где k ϵ Z

Основные схемы Первая схема 0 π yx Вторая схема yx

xy 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1 , 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Найдите координаты точки M, соответствующей этой точке. 1) 2) xy MP 45° OA

Координаты основных точек первого плана 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D yx

MP xy OA Найдите координаты точки M, соответствующей этой точке.1) 2) 30°

M P Найти координаты точки M, соответствующей этой точке. 1) 2) 30° xy OAB

Используя свойство симметрии, находим координаты точек, кратные yx

Координаты основных точек второго макета xyxyyx

Пример Находим координаты точки на числе круг. Решение: P y x

Пример Найти точки с ординатой на числовой окружности Решение: y x ​​x y x y

Упражнения: Найти координаты точек числовой окружности: а) , б) . Найдите точки с абсциссой на числовом круге.

Координаты ключевых точек 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Координаты ключевых точек первого макета xyxy Координаты ключевых точек второго макет


На тему: методические разработки, презентации и конспекты

Дидактический материал по алгебре и началам анализа в 10 классе (профильный уровень) «Числовой круг на координатной плоскости»

Вариант 1.1. Найдите точку на числовом круге: А) -2∏/3Б) 72. Какой четверти числового круга принадлежит точка 16.3. Найдите какой…

Числовой круг — это единичный круг, точки которого соответствуют определенным действительным числам.

Единичный круг – это круг радиусом 1.

Общий вид числового круга.

1) Его радиус принят за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти.Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначается АС, где А является крайней правой точкой.
Вертикальный диаметр обозначается BD, где B — самая высокая точка.
Соответственно:

первая четверть — дуга АВ

вторая четверть — дуга ВС

третья четверть — дуга CD

четвертая четверть — дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности — точка А.

Числовой круг можно считать как по часовой, так и против часовой стрелки.

Счет от точки А против по часовой стрелке называется положительным направлением .

Счет от точки А до по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовой круг на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (число 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальной оси y .

Начальная точка Число окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).


Названия и расположение основных точек числового круга:

Как запомнить названия числового круга.

Есть несколько простых шаблонов, которые помогут вам легко запомнить основные названия числового круга.

Прежде чем начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка 2π (крайняя правая точка на оси X равна 1).

Как известно, 2π — это длина окружности. Итак, половина круга равна 1π или π. Ось X делит окружность пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси X , равная -1, называется π.

Самая высокая точка на оси в точке , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам.Итак, если полукруг равен π, то половина полукруга равна π/2.

В то же время π/2 также является четвертью окружности. Отсчитываем три таких четверти от первой до третьей — и придем к низшей точке на оси на равной -1. Но если оно включает в себя три четверти, то его имя 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным пунктам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель — причём это противоположные точки и относительно оси на , и относительно центра осей, и относительно оси Х .Это поможет нам узнать их балльные значения без зубрежки.


Нужно запомнить только значения точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

Относительная ось в в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше знаменателей. Например, возьмем точку π/6. Противоположная точка относительно оси и также имеет 6 в знаменателе и 5 в числителе (на 1 меньше).То есть название этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, также имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше 4) — то есть это точка 3π/4.
Точка напротив π/3 также имеет 3 в знаменателе и на 1 меньше в числителе: 2π/3.

Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значений знаменателей. Снова возьмите точку π/6.Точка, противоположная ей относительно центра, также имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше, т. е. 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, также имеет 4 в в знаменателе, а число в числителе на 1 больше: 5π/4.
Точка напротив точки π/3 также имеет 3 в знаменателе, а число в числителе на 1 больше: 4π/3.

Axis Relative X (четвертая четверть) дело обстоит сложнее. Здесь необходимо к значению знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше — эта сумма будет равна числовой части числителя противоположной точки.Начнем снова с π/6. Прибавим к значению знаменателя, равному 6, число, которое на 1 меньше этого числа, — то есть 5. Получим: 6 + 5 = 11. Значит, напротив него относительно оси X точка будет иметь 6 в знаменателе и 11 в числителе, то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавим к значению знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ему относительно оси X точка имеет 4 в знаменателе и 7 в числителе, т.е.е. 7π/4.
Точка π/3. В знаменателе 3. Прибавляем к 3 на одно число меньше, то есть 2. Получаем 5. Значит, противолежащая точка имеет в числителе 5 — и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для середины четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти равен 1π (но 1 писать не принято). Числитель середины второй четверти равен 3π. Числитель середины третьей четверти равен 5π.Числитель середины четвертой четверти равен 7π. Получается, что в числителях середин четвертей стоят первые четыре нечетных числа в порядке возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, мы уже знаем их полные названия: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числового круга. Сравнение с числовой линией.

Как известно, на числовой прямой каждой точке соответствует одно число.Например, если точка А на прямой равна 3, то она не может равняться никакому другому числу.

На числовом круге все иначе, потому что это круг. Например, чтобы прийти из точки А окружности в точку М, можно сделать это как по прямой (только пройдя дугу), а можно обойти всю окружность, а потом прийти в точку М. Вывод:

Пусть точка M равна некоторому числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Следовательно, мы можем записать точку окружности t двумя способами: t или t + 2π.Это эквивалентные значения.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли в точку М сразу, не сделав круга, а во втором случае вы сделали круг, но оказались в той же точке М. Таких можно сделать и две, и три, и двести. круги. . Если обозначить количество окружностей буквой n , то получится новое выражение:
t = t + 2π n .

Отсюда формула:

Урок 9. Числовой круг. синус и косинус. Тангенс и котангенс.

Единичная окружность — это окружность радиусом 1.

Числовая окружность — это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Общий вид числового круга.

1) Его радиус принят за единицу измерения.
2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.
3) Горизонтальный диаметр обозначается АС, где А является крайней правой точкой. Вертикальный диаметр обозначается BD, где B — самая высокая точка.

Соответственно:
первая четверть — дуга AB
вторая четверть — дуга BC
третья четверть — дуга CD
четвертая четверть — дуга DA
4) Начальная точка числовой окружности — точка A.

Числовая окружность может считать по часовой стрелке или против часовой стрелки. Счет от точки А против по часовой стрелке называется положительным направлением . Счет от точки А до по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовой круг на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (число 0). Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальные оси и . Начальная точка A числового круга находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x И y в четвертях числового круга:

Значение любой точки на числовом круге:

Любая точка на числовом круге с координатами (x; y ) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1:

Основные значения числового круга:

Названия и расположение основных точек числового круга :

Как запомнить названия числового круга.

Есть несколько простых шаблонов, которые помогут вам легко запомнить основные названия числового круга. Прежде чем начать, напомним: отсчет идет в положительном направлении, то есть от точки А (2 P ) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат. Начальная точка 2 P (крайняя правая точка на оси X равна 1). Откуда вы знаете, что 2 P — это длина окружности.Таким образом, половина круга равна 1 P или P . Ось X делит окружность пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси x, равная -1, называется P . Самая высокая точка на оси Y, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Таким образом, если полукруг равен P , то половина полукруга равна P /2. Одновременно P /2 тоже четверть круга. Отсчитываем три таких четверти от первой до третьей — и придем к низшей точке на оси на равной -1.Но если она включает в себя три четверти, то ее имя 3 Р /2.

2) Теперь перейдем к остальным пунктам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют один и тот же числитель — причём это противоположные точки и относительно оси на , и относительно центра осей, и относительно оси X . Это поможет нам узнать их балльные значения без зубрежки. Необходимо запомнить только значение очков первой четверти: Р /6, Р /4 и Р /3.И тут мы «видим» какие-то закономерности:

Определение . Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсцисса точки М называется косинусом числа t и обозначается cos t , а ордината точки М называется синусом числа t и обозначается sin t .
Если M(t) = M(x; y), то x = стоимость, y = sint.

Определение . Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называется тангенсом числа t.Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называется котангенсом числа t.

Таблица знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях числовой окружности:

Числовой круг — это единичный круг, точки которого соответствуют определенным действительным числам.

Единичный круг – это круг радиусом 1.

Общий вид числового круга.

1) Его радиус принят за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см. рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначается АС, где А является крайней правой точкой.
Вертикальный диаметр обозначается BD, где B — самая высокая точка.
Соответственно:

первая четверть — дуга АВ

вторая четверть — дуга ВС

третья четверть — дуга CD

четвертая четверть — дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности — точка А.

Числовой круг можно считать как по часовой, так и против часовой стрелки.
Счет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовой круг на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (число 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальной оси y .

Начальная точка A числового круга находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x И y в четвертях числового круга:

Основные значения числового круга:

Названия и расположение основных точек числового круга:


Как запомнить названия числового круга.

Есть несколько простых шаблонов, которые помогут вам легко запомнить основные названия числового круга.

Прежде чем начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка 2π (крайняя правая точка на оси X равна 1).

Как известно, 2π — это длина окружности. Итак, половина круга равна 1π или π. Ось X делит окружность пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси X , равная -1, называется π.

Самая высокая точка на оси в точке , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Итак, если полукруг равен π, то половина полукруга равна π/2.

В то же время π/2 также является четвертью окружности. Отсчитываем три таких четверти от первой до третьей — и придем к низшей точке на оси на равной -1. Но если оно включает в себя три четверти, то его имя 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным пунктам.Обратите внимание: все противоположные точки имеют один и тот же числитель — причем, это противоположные точки и относительно оси на , и относительно центра осей, и относительно оси Х . Это поможет нам узнать их балльные значения без зубрежки.

Необходимо запомнить только значения точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

— О оси у на баллов второй четверти, напротив баллов первой четверти, числа в числителях на 1 меньше знаменателей.Например, возьмем точку π/6. Противоположная точка относительно оси и также имеет 6 в знаменателе и 5 в числителе (на 1 меньше). То есть название этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, также имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше 4) — то есть это точка 3π/4.
Точка напротив π/3 также имеет 3 в знаменателе и на 1 меньше в числителе: 2π/3.


— Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значений знаменателей.Снова возьмите точку π/6. Точка, противоположная ей относительно центра, также имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, также имеет 4 в в знаменателе, а число в числителе на 1 больше: 5π/4.
Точка напротив точки π/3 также имеет 3 в знаменателе, а число в числителе на 1 больше: 4π/3.

— Axis Relative X (четвертая четверть) дело обстоит сложнее.Здесь необходимо к значению знаменателя прибавить число, которое меньше 1 — эта сумма будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем снова с π/6. Прибавим к значению знаменателя, равному 6, число, которое на 1 меньше этого числа, — то есть 5. Получим: 6 + 5 = 11. Значит, напротив него относительно оси X точка будет иметь 6 в знаменателе и 11 в числителе, то есть 11π/6.

Точка π/4.Прибавим к значению знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ему относительно оси X точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7, то есть 7π /4.
Точка π/3. В знаменателе 3. Прибавляем к 3 на одно число меньше, то есть 2. Получаем 5. Значит, противолежащая точка имеет в числителе 5 — и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для середины четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители.Числитель середины первой четверти равен 1π (но 1 писать не принято). Числитель середины второй четверти равен 3π. Числитель середины третьей четверти равен 5π. Числитель середины четвертой четверти равен 7π. Получается, что в числителях середин четвертей стоят первые четыре нечетных числа в порядке возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, мы уже знаем их полные названия: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числового круга. Сравнение с числовой линией.

Как известно, на числовой прямой каждой точке соответствует одно число. Например, если точка А на прямой равна 3, то она не может равняться никакому другому числу.

На числовом круге все иначе, потому что это круг. Например, чтобы прийти из точки А окружности в точку М, можно сделать это как по прямой (только пройдя дугу), а можно обойти всю окружность, а потом прийти в точку М.Вывод:

Пусть точка M равна некоторому числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Следовательно, мы можем записать точку окружности t двумя способами: t или t + 2π. Это эквивалентные значения.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли в точку М сразу, не сделав круга, а во втором случае вы сделали круг, но оказались в той же точке М. Таких можно сделать и две, и три, и двести. круги. . Если обозначить количество кругов буквой k , то получится новое выражение:
t = t + 2π k .

Отсюда формула:

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение находится в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

Урок «Числовая окружность на координатной плоскости». Тригонометрический круг

Определение 1. Числовой осью (числовая прямая, координатная прямая) Ох называют прямую, на которой точка О выбрана началом отсчета (началом координат) (рис.1), направление

О. х.

указано в качестве положительное направление и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины .

Определение 2. Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называется масштабом.

Каждая точка числовой оси имеет координату, которая является действительным числом. Координатная точка О равна нулю. Координата произвольной точки А, лежащей на луче ОХ, равна длине разноса ОА.Координата произвольной точки А числовой оси, не лежащей на луче ОХ, отрицательна и по абсолютной величине равна длине отрезка ОА.

Определение 3. Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярные числовые оси Ox и Oy с одинаковым масштабом угол 90° к лучу Оу осуществляется в направлении против часовой (рис.2).

Примечание. Прямоугольная система координат Картесова Окси, изображенная на рис. 2, называется правой системой координат, В отличие от левых систем координат, в которых поворот луча ОХ на угол 90° к лучу Ой осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки . В этом каталоге мы рассматриваем только правую систему координат , не оговаривая этого особо.

Если ввести какую-либо систему прямоугольных декартовых координат Oxy, то каждая точка плоскости приобретет две координаты absissue и oRDATA которые вычисляются следующим образом. Пусть А — произвольная точка плоскости. Опустить из точки перпендикуляр АА. 1 I. АА. 2 на прямых Ox и Oy соответственно (рис. 3).

Определение 4. Точка абсцисс A называется координатой точки A. 1 На числовой оси OX точка ординаты A называется точкой с координатой A. 2 на числовой оси Oy.

Обозначение. Координаты (абсцисса и ордината) точки А в прямоугольной декартовой системе координат Оху (рис.4) обычно А. ( х ; у. ) или А. = ( х ; у. ).

Примечание. Точка О, называемая началом координат, имеет координаты О. (0 ; 0) .

Определение 5. В прямоугольной декартовой системе координат окси числовая ось ОХ называется осью абсцисс, а числовая ось OY — осью ординат (рис. 5).

Определение 6.Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта), нумерация которых представлена ​​на рисунке 5.

Определение 7. Плоскость, на которой расположена прямоугольная декартова система координат, называется координатной плоскостью.

Примечание. Ось абсцисс задается на координатной плоскости уравнением y. = 0, ось ординат задается на координатной плоскости уравнением х. = 0.

Допуск 1. Расстояние между двумя точками Координатная плоскость

A. 1 ( x 1 ; y. 1) и А. 2 ( х. 2 ; у. 2)

вычисляет по формуле

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Уравнение окружности на координатной плоскости
| А. 1 А. 2 | 2 =
= ( х 2 — х 1) 2 + ( у. 2 — у. 1) 2 .
(1)

Следовательно,

q.E.D.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Рассмотрим на координатной плоскости Oxy (рис. 7) окружность радиуса R с центром в точке A. 0 ( x. 0 ; y. 0) .

Числовой круг — Это одиночный круг, точки которого соответствуют определенным допустимым числам.

Одинарная окружность называется радиусной окружностью 1.

Общий вид числовой окружности.

1) его радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовой круг на четыре четверти (см. Синхронизация). Соответственно они называются первой, второй, третьей и четвертой четвертями.

3) Горизонтальный диаметр обозначен AC, и это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначается BD, а B – крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть — дуга АВ

вторая четверть — дуга ВС

третья четверть — дуга CD

четвертая четверть — дуга Da

4) начальная точка числовой окружности — точка А.

Обратный отсчет по числовому кругу может вестись как по часовой, так и против часовой стрелки.
Обратный отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительное направление .
Обратный отсчет от точки и по часовой стрелке называется отрицательное направление .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр числового радиуса окружности соответствует началу координат (число 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x. Вертикаль — ось у. .

Начальная точка числовой окружности находится на оси x. и имеет координаты (1;0).

Значения x. и г. В четвертях числового круга:

Основные значения числового круга:

Наименования и расположение основных точек числовой окружности:


Как запомнить названия числового круга.

Есть несколько простых шаблонов, которые помогут вам легко запомнить основные названия числового круга.

Перед запуском напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка 2π (крайняя правая точка на оси ч. равна 1).

Как известно, 2π — это длина окружности.Итак, половина круга равна 1π или π. Ось ч. делит круг ровно пополам. Соответственно крайняя левая точка на оси ч. равно -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси ш. равное 1, делит верхний полудружеский пополам. Итак, если полужизнь равна π, то половина полукруга равна π/2.

В то же время π/2 – это четверть окружности. Сожмите три таких четверти от первой до третьей — и мы придем к крайней нижней точке на оси ш. равно -1. Но если оно включает в себя три четверти — значит, это 3π/2 имени.

2) Теперь переходим к остальным пунктам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют один и тот же числитель — и это противоположные точки и относительно оси ш. , и относительно центра осей, и относительно оси ч. . Это поможет нам узнать их значения точек без судорог.

Необходимо запомнить только значение очков первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

— Относительно оси У. В точках второй четверти, противоположных точках первой четверти, числа в числителях на 1 меньше значений знаменателей . Для примера возьмем точку π/6. Противоположная точка относительно оси ш. Также в знаменателе 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть название этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3. (в третьей четверти) еще 1 значение знаменателей. Возьмем снова точку π/6. Противоположная точка центра также находится в знаменателе 6, а в числителе числа 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, также имеет в знаменателе 4, а в числителе число 1 больше: 5π/4.
Точка напротив точки π/3 тоже в знаменателе 3, а в числителе числа 1 больше: 4π/3.

— Относительно оси ч. (четвертый квартал) Дело более комплексное. Здесь к значению знаменателя необходимо прибавить число, которое на 1 меньше — эта сумма и будет равна числовой части противоположной точки. Начнем снова с π/6. Прибавляем к значению знаменателя, равному 6, число, которое на 1 меньше этого числа, — то есть 5.Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположное ему относительно оси ч. Точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 — то есть это 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к значению знаменателя числа на 1 меньше: 4+3=7 Так вот, противоположное ему относительно оси ч. Точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 — то есть 7π/4.
Точка π/3. В знаменателе 3. Прибавить к 3 на единицу меньшее число — то есть 2.получаем 5. Значит, точка напротив нее имеет 5 — и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек квартета серого. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратите внимание на числительные. Числитель середины первой четверти равен 1π (но 1 не берется писать). Средний числитель второй четверти равен 3π. Числитель середины третьей четверти равен 5π. Числитель середины четвертой четверти равен 7π. Получается, что в числительных серинов четвертей — четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Тоже очень просто. Так как середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные названия: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числового круга. Сравнение с числовым прямым.

Как известно, в числовой прямой каждой точке соответствует единственное число. Например, если точка А на прямой равна 3, то она больше не может равняться никакому другому числу.

На числовом круге все по-другому, потому что это круг.Например, чтобы выйти из точки и прийти в точку М, можно сделать это, как по прямой (только пройдя дугу), а можно и по всей окружности, и затем приходим в точку М. Вывод:

Пусть точки М равны некоторому числу Т. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Итак, точки окружности T мы можем записать две: T или T + 2π. Это эквивалентные значения.
То есть Т = Т + 2π. Разница только в том, что в первом случае вы пришли в точку М сразу, не сделав круга, а во втором случае вы сделали круг, но в итоге оказались в той же точке М.Таких кругов можно сделать и две, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой к. , получаю новое выражение:
Т = Т + 2π к. .

Отсюда формула:

Уравнение числовой окружности
(Второе уравнение находится в разделе «Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс»):

Представляем Вашему вниманию видеоурок на тему » Числовой круг». Дано определение, что такое синус, косинус, тангенс, катангенс и функции у. = грех. х. , г. = кос. х. , г. = тГ. х. , г. = cTG. х. Для любого числового аргумента. Стандартные задачи на соответствие между числами и точками в одном числовом круге найти для каждого числа единственную точку, и, наоборот, найти для каждой точки множество чисел, которые ей соответствуют.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок

: номер круг

Наша ближайшая цель — идентифицировать тригонометрические функции: SINUS , COSINE , Tangent , COTANGENT-

Числовый аргумент можно отложить на координату прямо или на круг.

Такой круг называется числовым или единичным, т.к. для удобства берем круг с

Например, задана точка, чтобы отметить ее по прямой координате

и на числовой круг .

При работе с числовым кругом было принято, что движение против часовой стрелки является положительным направлением, по часовой стрелке — отрицательным.

Типовые задачи — нужно определить координаты заданной точки или, наоборот, найти точку по ее координатам.

Прямая координата устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и числами. Например, номер соответствует точке А с координатой

.

Каждая точка в координате характеризуется только одним числом — расстоянием от 0 до знака плюс или минус.

На числовом круге взаимно однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, в координатной окружности есть точка (рис. 2), длина дуги равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

Окружность дана, длина окружности дана, если дана длина единичной окружности.

Если сложить, то получим ту же точку в, еще — тоже выпадут в t. Во, забери — тоже, т.к. Б.

Рассмотрим точку В: длина дуги = 1, тогда числа характеризуются t.B на числовом круге.

Таким образом, цифре 1 соответствует единственная точка числового круга — точка В, а точке В соответствует бесчисленное количество точек вида .

Для числового круга верно следующее:

Если Т. М. Числовой кружок соответствует номеру, то он соответствует номеру типа

Можно сделать сколько полных оборотов по числовому кругу в положительном или отрицательном направлении — суть одна и та же.Следовательно, тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, Дана Д. Каким числам он соответствует?

Измерение дуги.

много всех чисел, соответствующих D.

Рассмотрим основные точки на числовом круге.

Длина всей окружности.

Тех. Запись набора координат может быть разной .

Рассмотрим типовые задачи по числовому кругу.

1. Данари:. Найти: точка на числовом круге.

Выделяем целое число:

Необходимо найти т.к. На числовом круге. , тогда .

В этот набор входит очко.

2. Данте:. Найти: точка на числовом круге.

Необходимо найти т.к.

типографский набор принадлежит этому набору.

Решая типовые задачи на соответствие между числами и точками на числовом круге, мы выяснили, что для каждого числа можно найти одну точку, а для каждой точки можно найти много чисел, которые характеризуются этой точкой.

Делим дугу на три равные части и отмечаем точки М и N.

Найти все координаты этих точек.

Итак, наша цель — определить тригонометрические функции. Для этого нам нужно научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки одиночной окружности и решили две типовые задачи — найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки одиночной окружности.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: учеб. Для общего образования. Учреждения. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Преподаватель для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил.

3. Макарычев Ю.В. Н. Алгебра. 9 класс: ученик общеобразовательного образования. Учреждения / Ю.В. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И.Е. Феоктисты. — 7-е изд., Акт. и добавить. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. По 2 ч. л. 1. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., Чед. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. По 2 ч. л. 2. Такакон для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Л. А. Александров, Т.Н. Мишустина и др.; Эд. А. Г. Мордкович. — 12-е изд., акт. — М.: 2010. — 223 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задание для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

Чтобы насладиться предварительным просмотром презентаций, создайте себе аккаунт (аккаунт) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Числовой кружок в координатной плоскости

Повтор: одиночный кружок — числовая окружность, радиус которой равен 1. R = 1 C = 2 π + — at x

Если точке числового круга соответствует число T, то ей соответствует число вида T + 2 π k, где k – любое целое число (k ε я). M(t) = m(t + 2 π k), где k ε z

Основные раскладки первая раскладка 0 π у второй раскладки в х

х в 1 А (1, 0) б (0 , 1) c (- 1, 0) d (0, -1) 0 x > 0 y > 0 x 0 x 0 y

Найти координаты точки М, соответствующей этой точке. 1) 2) х при т.р. 45° о.а.

Координаты основных точек первого плана 0 2 х 1 0 -1 0 1 у 0 1 0 -1 0 0 х 1 0 -1 0 1 у 0 1 0 — 1 0 d at x

MP x O o найдет координаты точки M, соответствующей этой точке.1) 2) 30°

M P найдет координаты точки M соответствующей точке. 1) 2) 30° xooa в

Используя свойство симметрии, находим координаты точек, кратные х

Координаты основных точек второго макета XY x Y в точке х

Пример Находим координаты число окружности числа. Решение: P в x

Пример Найти на числовой окружности точки с ординатой решения: at x x y x y

Упражнения: Найти координаты точек числовой окружности: а), б). Найдите на числовом круге точки с абсциссой.

Координаты основных точек 0 2 х 1 0 -1 0 1 у 0 1 0 -1 0 0 х 1 0 -1 0 1 у 0 1 0 -1 0 Координаты основных точек первого плана xyxy координаты основные пункты второго макета


На тему: Методические разработки, презентации и конспекты

Дидактический материал по алгебре и происхождению анализа в 10 классе (профильный уровень) «Числовой круг на координатной плоскости»

Вариант 1.1.Наведите на числовую окружность Точка: а)-2π/3Б) 72.Како четверть числовой окружности принадлежит точке 16.3. Инцидент…

Дата: Занятие 1
тема: Числовая окружность по координатной прямой

Цели: познакомить с понятием модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат; Формировать умение находить декартовы координаты числовых точек окружности и выполнять обратное действие: Зная декартову координату точки, определить ее числовое значение на числовой окружности.

Во время занятий

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

1. Поместив числовую окружность в декартовой системе координат, детализировать свойства точек числовой окружности, расположенных в различных координатных четвертях.

Для точки М. Числовая окружность используйте запись М. ( t. ) если речь идет о криволинейной точке с координатой М., или запись м. ( ч. ; з. ), если речь идет о декартовых координатах точки.

2. Введение декартовых координат «хороших» точек числовой окружности. Речь идет о переходе с записи м. ( т. ) к м. ( ч. ; з. ).

3. Произнесение знаков координат «плохих» точек числового круга. Если, например, М. (2) = М. ( ч. ; ш. ), т. ч.  0; ш.  0. (Школьники учатся определять знаки тригонометрических функций на четвертях числового круга. )

1. № 5.1 (А; б), № 5.2 (А; Б), № 5.3 (а ; б).

Данная группа заданий направлена ​​на формирование умения находить декартовы координаты «хороших» точек на числовой окружности.

Решение:

5.1 (а).

2. № 5.4 (а; б), № 5.5 (а; б).

Данная рабочая группа направлена ​​на формирование умений находить криволинейные координаты точки по ее декартовым координатам.

Решение:

5.5 (б).

3. № 5.10 (А; б).

Данное упражнение направлено на формирование умения находить в декартовых координатах «плохие» точки.

В.Итоги урока.

Вопросы учащимся:

— Что такое модель — числовая окружность на координатной плоскости?

— Как, зная криволинейные координаты точки на числовой окружности, найти ее декартовы координаты и наоборот?

Домашнее задание: № 5.1 (Б; г) — 5,5 (Б; д), № 5.10 (Б; д).

Дата: Занятие 2
Тема: решение задач по модели «Числовая окружность на координатной плоскости»

Цели: Продолжить формирование умения двигаться от криволинейных координат точки по числовой круг к декартовым координатам; Формировать умение находить на числовой окружности точку, координаты которой удовлетворяют заданному уравнению или неравенству.

Во время занятий

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите криволинейные и декартулярные координаты точек на числовой окружности.

2. Сопоставьте дугу с окружностью и ее аналитической записью.

III. Объяснение нового материала.

2. Введение на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют указанному уравнению.

Рассмотрим примеры 2 и 3 С с. 41-42 учебники.

Важность этой «игры» очевидна: учащиеся готовятся к решению простейших тригонометрических уравнений Виду для понимания сути дела следует прежде всего научить школьников решать эти уравнения с помощью числового круга, не переходя к готовым формулам.

При рассмотрении примера нахождения точки с абсциссой обращаем внимание учащихся на возможность объединения ряда ответов ДД в одну формулу:

3.Введение о числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству.

Рассматриваем примеры 4-7 с. 43-44 учебники. Решая такие задачи, мы готовим учащихся к решению тригонометрических неравенств Вид

После рассмотрения примеров учащиеся могут самостоятельно сформулировать алгоритм Решения неравенств указанного вида:

1) от аналитической модели переходим к геометрической модели — дуга MR числовая окружность;

2) составляют ядро ​​аналитической записи MR ; Для дуги получить

3) сделать общую запись:

IV.Формирование умений и навыков.

1-я группа. Нахождение точки на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному уравнению.

№ 5.6 (А; б) — № 5.9 (А; б).

В процессе работы над данными упражнениями отрабатываем пошаговое выполнение: запись ядра точки, аналитическая запись.

2-я группа. Нахождение точек на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному неравенству.

№ 5.11 (А; б) — 5.14 (а; б).

Основным навыком, который должны приобрести школьники при выполнении данных упражнений, является составление дуги аналитической записи ядра.

V. Самостоятельная работа.

Опция 1

1. Указать точку в числовом круге, которая соответствует заданному числу, и найти его в декартовых координатах:

2. Найти точку с этой абсциссой на числовом круге и записать какие числа t. Они соответствуют.

3. Обозначим пунктиром вычет, удовлетворяющий неравенству, и запишем двойным неравенством число t. Они соответствуют.

Опция 2

1. Указать точку на числовой окружности, соответствующую числу, и найти ее декартовы координаты:

2. Найти точку с заданным порядком на числовой окружности. ш. = 0,5 и запишите какие числа т. Они соответствуют.

3. Укажите по оси абсцисс точку точки, удовлетворяющую неравенству, и запишите с помощью двойного неравенства число t. Они соответствуют.

Ви. Итоги урока.

Вопросы учащихся:

— Как найти на окружности точку, абсцисса которой удовлетворяет указанному уравнению?

— Как найти на окружности точку, ордината которой удовлетворяет заданному уравнению?

— Назовите алгоритм решения решения с помощью числового круга.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.