8 класс

Контрольная работа 1 по алгебре 8 класс макарычев рациональные дроби: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 — РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Содержание

Контрольные работы по алгебре, 8 класс (по Макарычеву)

Контрольные работы по алгебре в 8

Контрольная работа №1.

«Рациональные дроби и их свойства. Сумма и разность дробей»

Вариант 1.

1. Сократите дробь:

2. Представьте в виде дроби:

3. Найдите значение выражения при

4. Упростить выражение:

Вариант 2.

1. Сократите дробь:

2. Представьте в виде дроби:

3. Найдите значение выражения при

4. Упростить выражение:

Контрольные работы по алгебре в 8

Контрольная работа №2.

«Рациональные дроби. Произведение и частное дробей».

1 вариант.

1. Представьте выражение в виде дроби:

2. Постройте график функции . Какова область определения функции? При каких значениях функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях значение выражения не зависит от .

2 вариант.

1. Представьте выражение в виде дроби:

2. Постройте график функции . Какова область определения функции? При каких значениях функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях значение выражения не зависит от .

.

Контрольная работа №3.

«Действительные числа. Свойства арифметического квадратного корня»

1 вариант.

1. Вычислите: а) б) в)

2. Найдите значение выражения:

а)

3. Решить уравнения: а)

4. Упростить выражение: а)

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число

6. Имеет ли корни уравнение

2 вариант.

1. Вычислите: а) б) в)

2. Найдите значение выражения:

а)

3. Решить уравнения: а)

4. Упростить выражение: а)

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число

6. Имеет ли корни уравнение

Контрольная работа №4.

«Применение свойств арифметического квадратного корня»

1 вариант.

1. Упростите выражение:

2. Сравните:

3. Сократите дробь:

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.

2 вариант.

1. Упростите выражение:

2. Сравните:

3. Сократите дробь:

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.

Контрольная работа №5.

«Квадратные уравнения и его корни»1 вариант.

  1. Решите уравнения:

2. Периметр прямоугольника 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 24см².

3. В уравнении один из корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

2 вариант.

  1. Решите уравнения:

2. Периметр прямоугольника 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 36см².

3. В уравнении один из корней равен -7. Найдите другой корень и коэффициент q.

Контрольная работа №6.

«Дробные рациональные уравнения»

1 вариант.

1. Решить уравнение: а) б)

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

2 вариант.

1. Решить уравнение: а) б)

2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему понадобилось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Контрольная работа №7.

«Числовые неравенства и их свойства»

1 вариант.

1. Докажите неравенство:

2. Известно, что . Сравните:

3. Известно, что . Оцените:

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами см и см, если известно, что

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и тоже число . Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

2 вариант.

1. Докажите неравенство:

2. Известно, что . Сравните:

3. Известно, что . Оцените:

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами см и см, если известно, что

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и тоже число . Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

Контрольная работа №8

«Неравенства с одной переменной и их системы»

Контрольные работы по алгебре. 8 класс. К учебнику Макарычева Ю.Н. и д

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Самостоятельная работа 1.
Рациональные выражения 7
Самостоятельная работа 2.
Основное свойство дроби 10
Самостоятельная работа 3.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями… 15
Самостоятельная работа 4.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 19
Самостоятельная работа 5.
Умножение дробей. Возведение дроби в степень 22
Самостоятельная работа 6.
Деление дробей 26
Самостоятельная работа 7.
Преобразование рациональных выражений 30
Самостоятельная работа 8.
Функция у = — и ее график 33
Самостоятельная работа 9.
Действительные числа .37
Самостоятельная работа 10.
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень… 40

Самостоятельная работа 11.
Уравнение х2 = а 42
Самостоятельная работа 12.
Нахождение приближенных значений
квадратного корня. Функция у = 4х и ее график 45
Самостоятельная работа 13.
Свойства арифметического квадратного корня 47
Самостоятельная работа 14. Вынесение множителя из-под знака корня.
Внесение множителя под знак корня 50
Самостоятельная работа 15.
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни ..52
Самостоятельная работа 16.
Квадратное уравнение и его корни 55
Самостоятельная работа 17.
Решение квадратных уравнений по формуле 58
Самостоятельная работа 18.
Решение задач с помощью квадратных уравнений 61
Самостоятельная работа 19.
Теорема Виета 64
Самостоятельная работа 20.
Решение дробных рациональных уравнений 66
Самостоятельная работа 21.
Решение задач с помощью рациональных уравнений.
Графический способ решения уравнений 70
Самостоятельная работа 22.
Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств 74
Самостоятельная работа 23.
Сложение и умножение числовых неравенств 77
Самостоятельная работа 24.
Числовые промежутки 79
Самостоятельная работа 25.
Решение неравенств с одной переменной 83
Самостоятельная работа 26.
Решение неравенств с одной переменной и их систем 86
Самостоятельная работа 27.
Статистические характеристики 88
Самостоятельная работа 28.
Итоговая 94
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1.
Рациональные дроби и их свойства. Сумма и разность дробей 98
Контрольная работа № 2.
Произведение и частное дробей 102
Контрольная работа № 3.
Действительные числа. Арифметический квадратный корень … 106
Контрольная работа М 4.
Свойства арифметического квадратного корня.
Применение свойств арифметического квадратного корня 109
Контрольная работа № 5. Квадратное уравнение и его корни.
Формула корней квадратного уравнения 112
Контрольная работа № 6.
Дробные рациональные уравнения 115
Контрольная работа № 7.
Числовые неравенства и их свойства 119
Контрольная работа № 8.
Решение неравенств с одной переменной и их систем 122
Контрольная работа № 9.
Итоговая 126
ОТВЕТЫ
Ответы к самостоятельным работам 134
Ответы к контрольным работам 141

Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к школьному учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра. 8 класс» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников.

 Сборник содержит тексты 28 самостоятельных и 9 контрольных работ для формирования знаний, умений и навыков учащихся, предусмотренных программой курса алгебры 8 класса, и текущего контроля результатов обучения. Каждый текст самостоятельной и контрольной работы представлен в 4 равной трудности вариантах. В сборник включены также ответы к заданиям, рекомендации по подсчету баллов и выставлению отметок. Планируемое время выполнения каждой самостоятельной работы — 30 минут, каждой контрольной работы — 40 минут. Регулярное выполнение самостоятельных и контрольных работ поможет школьникам освоить программный материал и получать своевременно информацию о полноте его усвоения учителям. Книга адресована учителям математики 8 класса и школьникам.

Алгебра 8 Контрольные Макарычев (КИМ Глазков)

Алгебра 8 Контрольные Макарычев (КИМ Глазков)

Контрольные работы по алгебре 8 класс (УМК Макарычев и др.)

Алгебра 8 Контрольные Макарычев (КИМ Глазков) — это контрольные работы (цитаты) из учебного пособия Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по алгебре 8 класс: к учебнику Ю. Н. Макарычева и др. «Алгебра 8 класс» / Ю.А. Глазков, М.Я. Гаиашвили, В.И. Ахременкова — М.: Издательство «Экзамен», 2014, которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 8 класс» авторов: Ю.Н. Макарычев и др.

Цитаты из пособия указаны в учебных целях, а также во избежание редакционных ошибок (в разных изданиях книги встречаются разные вопросы). При постоянном использовании контрольных работ в 8 классе рекомендуем купить книгу:  Глазков, Гаиашвили, Ахременкова: КИМ. Алгебра. 8 класс. Итоговая аттестация, в которой кроме 10 контрольных работ (в 4-х вариантах) есть 15 тестов и ответы на них.

Для увеличения изображения — нажмите на картинку !
Чтобы скачать работу — нажмите на правую кнопку мыши и выберите «Сохранить изображение как …»


Контрольная работа № 1.


Рациональные дроби и их свойства. Сумма и разность дробей

Алгебра 8 Контрольные Макарычев. Ответы на Контрольную работу 1 «Рациональные дроби и их свойства. Сумма и разность дробей»:

 


Контрольная работа № 2.


Произведение и частное дробей. Преобразование рациональных выражений

Алгебра 8 Макарычев. Ответы на Контрольную работу 2 «Произведение и частное дробей. Преобразование рациональных выражений».


Контрольная работа № 3.


Действительные числа. Арифметический квадратный корень

Алгебра 8 Макарычев. Ответы на Контрольную работу 3 «Действительные числа. Арифметический квадратный корень».


Контрольная работа № 4.


Свойства арифметического квадратного корня.
Применение свойств арифметического квадратного корня.

Алгебра 8 Макарычев. Ответы на Контрольную работу 4 «Свойства арифметического квадратного корня. Применение свойств арифметического квадратного корня».


Контрольная работа № 5.


Квадратное уравнение и его корни. Формула корней квадратного уравнения

Алгебра 8 Макарычев. Ответы на Контрольную работу 5 «Квадратное уравнение и его корни. Формула корней квадратного уравнения».


Контрольная работа № 6.


Дробные рациональные уравнения

Алгебра 8 Контрольные Макарычев. Ответы на Контрольную работу 6 «Дробные рациональные уравнения».


Контрольная работа № 7.


Числовые неравенства и их свойства

Алгебра 8 Макарычев. Ответы на Контрольную работу 7 «Числовые неравенства и их свойства».


Контрольная работа № 8.


Решение неравенств с одной переменной и их систем

Алгебра 8 Контрольные Макарычев. Ответы на Контрольную работу 8 «Решение неравенств с одной переменной и их систем»


Контрольная работа № 9.


Степень с целым показателем и её свойства

Алгебра 8 Макарычев. Ответы на Контрольную работу 9 «Степень с целым показателем и её свойства».


Контрольная работа № 10.


Итоговая работа за 8 класс

Алгебра 8 Макарычев. Ответы на Контрольную работу 10

 


Вы смотрели страницу «Алгебра 8 Контрольные Макарычев» — контрольные работы (цитаты) из учебного пособия Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по алгебре 8 класс: к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра 8 класс» / Ю.А. Глазков, М.Я. Гаиашвили, В.И. Ахременкова — М.: Издательство «Экзамен», 2014, которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 8 класс» авторов: Ю.Н. Макарычев и др.

Календарно-тематическое планирование по алгебре 8 класс

I четверть

1.Повторение курса алгебры 7 класса (5 часов)

1

02.09

Повторение. Формулы сокращенного умножения

№21, 22, стр.7

2

04.09

Повторение. Свойства степеней

№50, 51, стр.14

3

07.09

Повторение. Уравнения

№71, 72, стр.19

4

09.09

Повторение. Системы линейных уравнений

Задания по вариантам

5

11.09

Повторение. Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений

2. Рациональные дроби (20ч)

6

14.09

Рациональные выражения

П.1,стр.5-6, №2, 4(а), 12(а,б,в), 20(в,г,д,ж)

7

16.09

Рациональные выражения

№4(б), 5(а), 13(а,б,в), 16(а,б,в), 18(б,) стр.5-7

8

18.09

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

П.2, стр.10-11, №25(б,г,е), 26, 47

9

21. 09

Сокращение дробей

№30, 32,33, стр.11

10

23.09

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

П.3, стр.15-16, №53,54,56

11

25.09

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

№55(в,г), 58,61, стр.16-17

12

28.09

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

П. 4, стр.21-22, №74(б,г), 77, 79

13

30.09

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

№80, 82, 85, стр.24-25

14

02.10

Сложение и вычитание рациональных дробей

П.1-4, №87(а,в,д), 90, 91, стр.21-25

15

05.10

Контрольная работа № 1 «Рациональные дроби»

П.1-4, повторить, стр.5-25

16

07. 10

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

П.5, стр.28-30,№109(б,г,е), 112, 118

17

09.10

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

№117, 121, 122, стр.31

18

12.10

Деление дробей

П.6, стр.33-34, №132(б,г,ж,з), 134,135

19

14.10

Деление дробей

П. 3-6, №138(е), 139. 140, стр.35

20

16.10

Преобразование рациональных выражений

П.7, стр.36-38, №149, 152, 153(в,г)

21

19.10

Преобразование рациональных выражений

№150, 151, 155, стр.37-38

22

21.10

Контрольная работа № 2 «Преобразование рациональных выражений»

23

23. 10

Преобразование выражений в рациональную дробь

ІІ четверть

24

06.11

Функция и ее график

П.8, стр.43-46,№179,183, 186

25

09.11

Функция и ее график

П.5-6 №180, 182, 238, 249(а), стр.56-59

3.Квадратные корни (17ч)

26

11. 11

Рациональные числа.

П.10, стр.61-65, №264,266, 269

27

13.11

Иррациональные числа.

П.11,стр.67-71, №277, 283, 284

28

16.11

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

П.12,стр.74-75, №299, 305, 302

29

18.11

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

№306,310, 313, стр. 76

30

20.11

Уравнение

П.13, стр.77-79, №320, 329, 330

31

23.11

Нахождение приближенных значений квадратного корня

П.14, стр.81-82, №338, 344, 340

32

25.11

Функция и еe график

П.15, стр.84-86, №353, 355, 357

33

27.11

Функция и еe график

П. 15, стр.84-86, №359, 361, 363

34

30.11

Квадратный корень из произведения и дроби.

П.16, стр.89, №369, 371, 379

35

02.12

Квадратный корень из произведения и дроби.

П.16, стр.89, №372(б,г,д), 377, 374

36

04.12

Квадратный корень из степени

П.17, стр. 93, №394, 396, 397

37

07. 12

Контрольная работа № 3 «Квадратные корни»

П.10-17 повторить

38

09.12

Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня

П.18, стр.97, №407(б,г,е,з), 410, 411

39

11.12

Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня

№412(а,в,д,ж), 409, 415, 414, стр.99

40

14. 12

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

П.19,стр.100,№423(б,г,ж,и), 422, 424

41

16.12

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

№427, 431, 435, стр.103

42

18.12

Контрольная работа № 4 «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»

П.18, 19 повторить

Квадратные уравнения (21ч)

43

21. 12

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения

П.21, стр.117, № 513(в,г), 515, 517

44

23.12

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения

№519, 521, 523 стр.121

45

25.12

Формула корней квадратного уравнения

П.22,стр.122, № 534(б,г), 536, 538

46

28.12

Решение квадратных уравнений по формуле

П. 22(1формула), стр.123 №537, 541

47

30.12

Решение квадратных уравнений по формуле

П.22, стр.124, №543, 544(а-г)

III четверть

48

15.01

Решение квадратных уравнений

П.22,стр.124, №546, 550

49

18.01

Решение задач с помощью квадратных уравнений

П.23, №560, 562, стр. 132

50

20.01

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Индивид. задание

51

22.01

Теорема Виета

П.24, стр.134, №580(а), 582, 596

52

25.01

Теорема Виета

П.22-24 повторить, №594(б,в,г), 589, 585

53

27.01

Контрольная работа № 5 «Квадратные уравнения»

П. 22-24 повторить

54

29.01

Дробные рациональные уравнения

П.25, стр.139, №600(а,б,в), 601(а,г,д), 603(а,г)

55

01.02

Решение дробных рациональных уравнений

№602(ж,з,и), 605(а,б,г), 604, стр.142

56

03.02

Решение дробных рациональных уравнений

№606(а,г), 607(а), 608(в,г), стр.143

57

05. 02

Решение дробных рациональных уравнений графическим способом

П.22-25,стр.143, №609(б), 610(б),611(б), 616(б)

58

08.02

Решение задач с помощью рациональных уравнений

П.26, стр.144, №618, 620, 621

59

10.02

Решение задач на движение с помощью рациональных уравнений

№627, 628, 629, стр.146

60

12. 02

Решение задач на работу с помощью рациональных уравнений

№624, 632, 633, стр.147

61

15.02

Решение задач с помощью рациональных уравнений

№638, 690, 697, стр.148

62

17.02

Решение задач и уравнений

Стр.155, №696(д,е,ж,з), 698, 703

63

19.02

Контрольная работа № 6 «Дробные рациональные уравнения»

П. 22-26 повторить

Неравенства (17ч)

64

22.02

Числовые неравенства.

П.28, стр.160, №724, 726, 727

65

24.02

Свойства числовых неравенств

№728, 730, 735, стр.163

66

26.02

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств

П.29, стр.165, №747, 748, 752

67

01.03

Сложение и умножение числовых неравенств

П.30, стр.170, №766, 771, 769

68

03.03

Сложение и умножение числовых неравенств

П.28-30, №772, 774, 780, стр.173

69

05.03

Погрешность и точность приближения

П. 31, №776, 781, стр.174

70

08.03

Контрольная работа № 7 «Числовые неравенства»

П.25-30 повторить

71

10.03

Пересечение и объединение множеств

П.32, стр.178, №812, 815, 817(а)

72

12.03

Числовые промежутки

П.33, стр.181,№821, 826, 827, стр.185

73

15. 03

Решение неравенств с одной переменной

П.34, стр.186, №834, 836(а-г), 837(е,ж,з,к)

74

17.03

Решение неравенств с одной переменной

№841, 843, стр.190

75

19.03

Решение неравенств

№844 стр.191

76

22.03

Решение систем неравенств с одной переменной

П. 35,36 стр.194, №875, 877

77

24.03

Контрольная работа № 8 «Неравенства и системы неравенств»

78

26.03

Решение систем неравенств

IV четверть

79

05.04

Решение систем неравенств

№879, 880, стр.198

80

07. 04

Решение систем неравенств

Задание по карточкам

6.Степень с целым показателем.

Статистические исследования (13ч)

81

09.04

Определение степени с целым отрицательным показателем

П.37, стр.213, №965, 967

82

12.04

Определение степени с целым отрицательным показателем

П. 37, стр.213, №970, 971

83

14.04

Свойства степени с целым показателем

П.38, стр217,№986, 989

84

16.04

Свойства степени с целым показателем

П.38, стр217, №995, 990, 992

85

19.04

Свойства степени с целым показателем

№998, 999, 1003, стр220

86

21. 04

Стандартный вид числа

П.39 стр.222, №1014, 1019

87

23.04

Стандартный вид числа

Индивид. задания

88

26.04

Стандартный вид числа

Индивид. задания

89

28.04

Контрольная работа № 9 «Степень с целым показателем»

П. 37-39,повторить

90

30.04

Сбор и группировка статистических данных

П.40,стр.225, №1030,1032,1034

91

03.05

Сбор и группировка статистических данных

Стр.231 №1036,1038,1040

92

05.05

Наглядное представление статистической информации

П.41 СТР.231, №1044,1048,1050

93

07. 05

Наглядное представление статистической информации

Стр.238 №1052,1054,1057

7.Повторение. Решение задач (12ч)

94

10.05

Рациональные дроби

Стр.53,№212, 213, 217, повторить п.5-8

95

12.05

Рациональные дроби

Стр.58 №247,249,236,

96

14. 05

Квадратные корни

П.11-18 повторить, стр.110 №469, 473, 487

97

17.05

Квадратные корни

Стр.112 №477, 489,

98

19.05

Квадратные уравнения

П.22-26 повторить, стр.138 №596 -598

99

21.05

Квадратные уравнения

П. 22-26, стр.152 №654,657, 672

100

24.05

Неравенства

П.27-32, стр. 209 №940, 955

101

26.05

Итоговая контрольная работа

102-103

28.05

Решение задач и уравнений

Индивидуальные задания по карточкам

104-105

31.05

Решение задач повышенной сложности

Контрольная работа по алгебре.

Тема «Сумма и разность рациональных дробей», 8 класс

                                              Контрольная работа по алгебре                              8 класс

Тема: Сумма и разность рациональных дробей

Вариант 1

I часть (5 баллов)

Запишите верный ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом.

  1. Найдите значение алгебраической дроби  при данных значениях переменных

Ответ:

  1. При каких значениях переменной дробь  определена?

Ответ:

  1. Сократите дробь .

Ответ:

4.        Выполните действия

Ответ:

5.        Выполните действия

Ответ:

 

 

II часть (4 балла)

Решение заданий 6-7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами.

6.      Упростите выражение  и найдите его значение при  

7.      Вычислите

 

 

III часть (3 балла)

Решение 8 задания должно иметь обоснование. Необходимо записать последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается тремя баллами.

  1. Упростите выражение

 

                                                                   

 

                                             

 

 

                                              Контрольная работа по алгебре                              8 класс

Тема: Сумма и разность рациональных дробей

Вариант 2

I часть (5 баллов)

Запишите верный ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом.

  1. Найдите значение алгебраической дроби  при данных значениях переменных

Ответ:

  1. При каких значениях переменной дробь  определена?

Ответ:

  1. Сократите дробь .

Ответ:

4.        Выполните действия

Ответ:

5.        Выполните действия

Ответ:

 

 

II часть (4 балла)

Решение заданий 6-7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами.

6.      Упростите выражение  и найдите его значение при  

7.      Вычислите

 

 

III часть (3 балла)

Решение 8 задания должно иметь обоснование. Необходимо записать последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается тремя баллами.

  1. Упростите выражение

Как решить уравнение умножения с дробями. «Решение дробных рациональных уравнений»

Продолжаем разговор о решении уравнений … В этой статье мы остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Для начала разберемся, какие уравнения называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробно-рациональных уравнений, приведем примеры. Далее мы получим алгоритмы решения рациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим типовые примеры решений со всеми необходимыми пояснениями.

Навигация по страницам.

На основе озвученных определений приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x = 1, 2 x — 12 x 2 y z 3 = 0 — все уравнения являются рациональными.

Из приведенных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других типов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т. д. переменными. В следующих параграфах мы поговорим о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большое количество заслуживают особого внимания.

Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных, они также делятся на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Рациональное уравнение называется целым , если его левая и правая части являются целыми рациональными выражениями.

Определение.

Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно-рациональным (или дробно-рациональным).

Ясно, что целые уравнения не содержат деления на переменную; наоборот, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Итак, 3 x + 2 = 0 и (x + y) (3 x 2 −1) + x = −y + 0,5 — целые рациональные уравнения, обе их части — целые выражения. A и x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 являются примерами дробно-рациональных уравнений.

Заканчивая этот раздел, обратим внимание на то, что известные на данный момент линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Решение целых уравнений

Один из основных подходов к решению целых уравнений состоит в том, чтобы свести их к эквивалентным алгебраическим уравнениям … Это всегда можно сделать, выполнив следующие эквивалентные преобразования уравнения:

  • Во-первых, выражение из правой части исходного уравнения все переносится в левую часть с обратным знаком, чтобы получить ноль в правой части;
  • после этого в левой части уравнения результирующий стандартный вид.

Результатом является алгебраическое уравнение, эквивалентное исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводится к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае — к решению алгебраического уравнения степени n. Для наглядности давайте посмотрим на пример решения.

Пример.

Найдите корни всего уравнения 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) −3.

Раствор.

Приведем решение всего этого уравнения к решению эквивалентного ему алгебраического уравнения.Для этого сначала перенесем выражение с правой части на левую, в результате придем к уравнению 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = 0 … И, во-вторых, преобразуем образованное в левой части выражение в многочлен стандартного вида, выполнив необходимые действия: 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = (3 х + 3) (х — 3) -2 х 2 + х + 3 = 3 х 2 -9 х + 3 х — 9-2 х 2 + х + 3 = х 2 -5 х — 6 … Таким образом, решение всего исходного уравнения сводится к решению квадратного уравнения x 2 −5 x − 6 = 0.

Вычисляем его дискриминант D = (- 5) 2 −4 1 (−6) = 25 + 24 = 49, он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле для корней квадратное уравнение:

Для полной уверенности делаем проверку найденных корней уравнения . .. Сначала проверяем корень 6, подставляем его вместо переменной x в исходное целочисленное уравнение: 3(6+1)(6−3)= 6 (2 6−1) −3, что то же самое, 63 = 63. Это истинное числовое равенство, поэтому x = 6 действительно является корнем уравнения.Теперь проверяем корень −1, имеем 3 (−1 + 1) (−1−3) = (– 1) (2 (−1) −1) −3, откуда 0 = 0. При x = − 1 исходное уравнение также превратилось в истинное числовое равенство, следовательно, x = −1 также является корнем уравнения.

Ответ:

6 , −1 .

Здесь также следует отметить, что термин «степень всего уравнения» связан с представлением всего уравнения в виде алгебраического уравнения. Дадим соответствующее определение:

Определение.

Степень всего уравнения — это степень эквивалентного алгебраического уравнения.

Согласно этому определению, все уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.

На этом можно было бы закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы не одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй связано со значительными трудностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще не существует.общие формулы корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.

В таких случаях подход к решению целых рациональных уравнений основан на методе факторизации … При этом придерживаются следующего алгоритма:

  • сначала добиваются, чтобы в правой части уравнения был ноль , для этого выражение переносится из правой части всего уравнения в левую;
  • то результирующее выражение слева представляется как произведение нескольких множителей, что позволяет перейти к системе нескольких более простых уравнений.

Приведенный алгоритм решения всего уравнения методом факторизации требует подробного пояснения на примере.

Пример.

Решите уравнение целиком (х 2 -1) (х 2 -10 х + 13) = 2 х (х 2 -10 х + 13).

Раствор.

Сначала, как обычно, переносим выражение из правой части уравнения в левую, не забывая менять знак, получаем (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) — 2 x ( x 2 −10 x + 13) = 0. Здесь совершенно очевидно, что левую часть полученного уравнения нецелесообразно преобразовывать в полином стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение четвертой степени форма x 4 −12 x 3 + 32 x 2 −16 x − 13 = 0, решение которой затруднено.

С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения можно x 2 −10 · x + 13, таким образом представив его в виде произведения. Имеем (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x − 1) = 0 . Полученное уравнение эквивалентно исходному целому уравнению, а его, в свою очередь, можно заменить набором из двух квадратные уравнения x 2 −10 x + 13 = 0 и x 2 −2 x − 1 = 0. Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны. Это искомые корни исходного уравнения.

Ответ:

Для решения целых рациональных уравнений также полезен новый метод вставки переменных . .. В некоторых случаях позволяет перейти к уравнениям, степень которых ниже степени исходного целого уравнения.

Пример.

Найдите действительные корни рационального уравнения (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x − 4).

Раствор.

Сведение всего этого рационального уравнения к алгебраическому, мягко говоря, не очень хорошая идея, так как в этом случае мы придем к необходимости решать уравнение четвертой степени, не имеющее рациональных корней… Поэтому придется искать другое решение.

Легко заметить, что здесь можно ввести новую переменную y и заменить ею выражение x 2 + 3 · x. Эта замена приводит нас ко всему уравнению (y + 1) 2 + 10 = −2, уравнению y 2 + 4 y + 3 = 0. Корни этого уравнения y = −1 и y = −3 легко найти, ибо например, их можно выбрать на основании теоремы, обратной теореме Виета.

Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть к обратной замене.Выполняя обратную замену, получаем два уравнения x 2 + 3 x = −1 и x 2 + 3 x = −3, которые можно переписать в виде x 2 + 3 x + 1 = 0 и x 2 + 3 x + 3 = 0. Используя формулу корней квадратного уравнения, находим корни первого уравнения. А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен (D = 3 2 −4 · 3 = 9−12 = −3).

Ответ:

Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, мы всегда должны быть готовы к поиску нестандартного метода или искусственного трюка для их решения.

Решение дробно-рациональных уравнений

Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно-рациональные уравнения вида, где p(x) и q(x) — целые рациональные выражения. А затем мы покажем, как свести решение оставшихся дробно-рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

Один из подходов к решению уравнения основан на следующем утверждении: числовая дробь u/v, где v — ненулевое число (иначе мы столкнемся с неопределенным числом), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель ноль, то есть тогда и только тогда, когда u = 0.В силу этого утверждения решение уравнения сводится к выполнению двух условий p(x) = 0 и q(x) ≠ 0,

Этому выводу соответствует следующий алгоритм решения дробно-рационального уравнения . .. Чтобы решить дробно-рациональное уравнение вида, нужно

  • решить все рациональное уравнение p(x) = 0;
  • и проверить, выполняется ли условие q(x) ≠ 0 для каждого найденного корня, а
    • если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
    • если нет, то этот корень посторонний, то есть не является корнем исходного уравнения.

Рассмотрим пример использования озвученного алгоритма при решении дробно-рационального уравнения.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Раствор.

Это дробно-рациональное уравнение вида, где p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 −2 = 0,

Согласно алгоритму решения дробно-рациональных уравнений такого рода, сначала нужно решить уравнение 3 x − 2 = 0. Это линейное уравнение, корень которого равен x = 2/3.

Осталось проверить этот корень, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 −2 ≠ 0. Подставим в выражение 5 · x 2 −2 вместо x число 2/3, получим. Условие выполнено, поэтому x = 2/3 — корень исходного уравнения.

Ответ:

2/3 .

К решению дробного рационального уравнения можно подойти с несколько иной позиции. Это уравнение эквивалентно всему уравнению p(x)=0 относительно переменной x исходного уравнения.То есть вы можете придерживаться этого алгоритма решения дробно-рационального уравнения :

  • решить уравнение p(x) = 0;
  • найти ОДЗ переменной x;
  • берут корни, принадлежащие области допустимых значений, — это искомые корни исходного дробно-рационального уравнения.

Например, давайте решим дробное рациональное уравнение, используя этот алгоритм.

Пример.

Решите уравнение.

Раствор.

Сначала решим квадратное уравнение x 2 −2 x − 11 = 0. Его корни можно вычислить по формуле корней для четного второго коэффициента, имеем D 1 = (- 1) 2 −1 (−11) = 12 , а также .

Во-вторых, мы находим ODV переменной x для исходного уравнения. Он состоит из всех чисел, для которых x 2 + 3 x ≠ 0, что равно x (x + 3) ≠ 0, откуда x ≠ 0, x ≠ −3.

Осталось проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Очевидно, да.Следовательно, исходное дробно-рациональное уравнение имеет два корня.

Ответ:

Заметим, что такой подход более выгоден, чем первый, если легко найти ГРВ, и особенно выгоден, если в этом случае корни уравнения p (x) = 0 иррациональны, например, или рационально, но с довольно большим числителем и/или знаменателем, например, 127/1101 и -31/59. Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q(x) ≠ 0 потребует значительных вычислительных усилий, а исключить посторонние корни в ОДЗ проще.

В остальных случаях при решении уравнения, особенно когда корни уравнения p(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из представленных алгоритмов. То есть целесообразно сразу найти корни всего уравнения p(x)=0, а затем проверить, выполняется ли для них условие q(x)≠0, а не находить ОДВ, а затем решать уравнение р(х)=0 на этом ОДВ. .. Это связано с тем, что в таких случаях обычно проще сделать проверку, чем найти ОДУ.

Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации указанных нюансов.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Раствор.

Сначала найдем корни всего уравнения (2 x − 1) (x − 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) = 0, составленного из числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому по методу решения уравнений через факторизацию это уравнение эквивалентно системе из четырех уравнений 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, х 2 -5 х + 14 = 0, х + 1 = 0.Три из этих уравнений линейные и одно квадратное, мы можем их решить. Из первого уравнения находим х = 1/2, из второго — х = 6, из третьего — х = 7, х = -2, из четвертого — х = -1.

По найденным корням довольно легко проверить их на предмет того, обращается ли с ними в нуль знаменатель дроби в левой части исходного уравнения, и, наоборот, не так просто определить ОДВ, так как это потребуется решить алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому откажемся от поиска УДЗ в пользу проверки корней. Для этого подставим их по очереди вместо переменной x в выражение x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112, полученное после подстановки, и сравним их с нулем: (1/2 ) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 = 1/32−15/16+57/8−13/ 4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 = 448≠0 ;
7 5 -15 7 4 + 57 7 3 -13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(-2) 5 -15 (-2) 4 + 57 (-2) 3 -13 (-2) 2 + 26 (-2) + 112 = -720 ≠ 0;
(-1) 5 -15 (-1) 4 + 57 (-1) 3 -13 (-1) 2 + 26 (-1) + 112 = 0.

Таким образом, 1/2, 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно-рационального уравнения, а 7 и −1 являются посторонними корнями.

Ответ:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Найдите корни дробного рационального уравнения.

Раствор.

Сначала находим корни уравнения (5 x 2 −7 x − 1) (x − 2) = 0… Это уравнение равносильно комбинации двух уравнений: квадратного 5 x 2 −7 x − 1 = 0 и линейное x — 2 = 0. Используя формулу корней квадратного уравнения, находим два корня, и из второго уравнения имеем x = 2,

.

Довольно неприятно проверять, не обращается ли в нуль знаменатель найденных значений x. А определить диапазон допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому действовать будем через ОДЗ.

В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно-рационального уравнения составляется из всех чисел, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 x − 14 = 0.Корнями этого квадратного уравнения являются x = −7 и x = 2, откуда делаем вывод об ОДЗ: она составлена ​​из всех x таких, что .

Осталось проверить, принадлежат ли найденные корни и x = 2 диапазону допустимых значений. Корни — принадлежат, следовательно, являются корнями исходного уравнения, а х = 2 — не принадлежат, следовательно, это посторонний корень.

Ответ:

Полезно будет также отдельно остановиться на случаях, когда в дробно-рациональном уравнении вида есть число в числителе, т. е. когда р(х) представлен некоторым числом.При этом

  • если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
  • если это число равно нулю, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.

Пример.

Раствор.

Поскольку числитель дроби в левой части уравнения не равен нулю, ни при каком x значение этой дроби не может быть равно нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ:

нет корней.

Пример.

Решите уравнение.

Раствор.

Числитель дроби слева от этого дробного рационального уравнения содержит ноль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x, для которого оно имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ODV этой переменной.

Осталось определить этот диапазон допустимых значений. В него входят все такие значения х, для которых х 4 + 5 · х 3 ≠ 0. Решениями уравнения x 4 + 5 x 3 = 0 являются 0 и −5, так как это уравнение эквивалентно уравнению x 3 (x + 5) = 0, а оно, в свою очередь, эквивалентно комбинации двух уравнений x 3 = 0 и x + 5 = 0, откуда видны эти корни. Следовательно, искомый диапазон допустимых значений есть любой x, кроме x = 0 и x = −5.

Таким образом, дробное рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которые могут быть любыми числами, кроме нуля и минус пять.

Ответ:

Наконец-то пришло время поговорить о решении дробно-рациональных уравнений любого вида… Их можно записать в виде r(x) = s(x), где r(x) и s(x) — рациональные выражения, и хотя бы одно из них — дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида.

Известно, что перенос члена из одной части уравнения в другую с обратным знаком приводит к эквивалентному уравнению; следовательно, уравнение r(x) = s(x) эквивалентно уравнению r(x) — s(x)=0,

Мы также знаем, что у вас может быть любое, тождественно равное этому выражению. Таким образом, мы всегда можем преобразовать рациональное выражение в левой части уравнения r(x) — s(x)=0 в тождественно равную рациональную дробь вида.

Итак, мы переходим от исходного дробно-рационального уравнения r(x) = s(x) к уравнению, а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения p(x) = 0,

Но здесь обязательно нужно учитывать тот факт, что при замене r(x) — s(x)=0 на, и далее на p(x)=0, диапазон допустимых значений переменной x может расширять.

Следовательно, исходное уравнение r(x) = s(x) и уравнение p(x)=0, к которым мы пришли, могут оказаться несправедливыми, и, решив уравнение p(x)=0, мы могут получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения r(x) = s(x). Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения.

Обобщим эту информацию в алгоритме решения дробно-рационального уравнения r(x) = s(x) … Чтобы решить дробно-рациональное уравнение r(x) = s(x), нужно

  • Получить ноль справа, переведя выражение из правой части с обратным знаком.
  • Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав его в рациональную дробь вида.
  • Решите уравнение p(x) = 0.
  • Выявление и исключение посторонних корней, что делается путем подстановки их в исходное уравнение или путем проверки их принадлежности к ОДЗ исходного уравнения.

Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробно-рациональных уравнений:
.

Рассмотрим решения на нескольких примерах с подробным объяснением хода решения для уточнения заданного блока информации.

Пример.

Решите дробное рациональное уравнение.

Раствор.

Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала переносим члены из правой части уравнения в левую, в итоге переходим к уравнению.

На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения в форму дроби. Для этого выполним приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упростим полученное выражение: . Итак, мы подошли к уравнению.

На следующем шаге нам нужно решить уравнение −2 x − 1 = 0. Найти x = −1 / 2.

Осталось проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения.Для этого можно проверить или найти ODV переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.

Начнем с проверки. Подставьте -1/2 в исходное уравнение для x, чтобы получить то же самое, -1 = -1. Подстановка дает правильное числовое равенство, следовательно, x = −1/2 является корнем исходного уравнения.

Теперь покажем, как выполняется последний шаг алгоритма через OTD. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x = −1 и x = 0 знаменатели дробей равны нулю).Найденный на предыдущем шаге корень x = −1/2 принадлежит ГДЗ; следовательно, x = −1 / 2 является корнем исходного уравнения.

Ответ:

−1/2 .

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Раствор.

Нам нужно решить дробно-рациональное уравнение, давайте пройдемся по всем шагам алгоритма.

Сначала переносим член из правой части в левую, получаем.

Во-вторых, преобразуем выражение в левой части:. В результате приходим к уравнению x = 0,

Его корень очевиден — он нулевой.

На четвертом шаге осталось выяснить, не находится ли найденный корень вне исходного дробно-рационального уравнения. Подставив его в исходное уравнение, вы получите выражение. Очевидно, это не имеет смысла, так как содержит деление на ноль. Отсюда заключаем, что 0 — посторонний корень. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

7, что приводит к уравнению. Отсюда можно сделать вывод, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно правой части, т.е. Теперь из обеих частей тройки вычитаем: . По аналогии откуда и дальше.

Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробно-рационального уравнения.

Ответ:

Библиография.

  • Алгебра: учёба. за 8 кл. общее образование.учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • А. Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общего образования.учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-021134-5.

До сих пор мы решали только целые уравнения относительно неизвестного, то есть уравнения, в которых знаменатели (если они есть) не содержали неизвестного.

Часто приходится решать уравнения, содержащие неизвестные в знаменателях: такие уравнения называются дробными.

Чтобы решить это уравнение, мы умножаем обе части на то есть на многочлен, содержащий неизвестное. Будет ли новое уравнение эквивалентно этому? Чтобы ответить на вопрос, давайте решим это уравнение.

Умножив обе его части на, получим:

Решив это уравнение первой степени, найдем:

Итак, уравнение (2) имеет единственный корень

Подставляя его в уравнение (1), получаем:

Следовательно, это тоже корень уравнения (1).

Уравнение (1) не имеет других корней. В нашем примере это видно, например, из того, что в уравнении (1)

Как неизвестный делитель должен быть равен делимой 1 на частное 2, т.е.

Итак, уравнения (1) и (2) имеют один корень. Следовательно, они эквивалентны.

2. Давайте теперь решим следующее уравнение:

Простейший общий знаменатель:; умножим на него все члены уравнения:

После сокращения получим:

Раскроем скобки:

Учитывая аналогичные члены, будем иметь:

Решив это уравнение, найдем:

Подставляя в уравнение (1), получаем:

В левой части мы получили выражения, не имеющие смысла.

Следовательно, корень уравнения (1) не равен. Отсюда следует, что уравнения (1) и не эквивалентны.

В этом случае говорят, что уравнение (1) приобрело посторонний корень.

Сравним решение уравнения (1) с решением уравнений, рассмотренных нами ранее (см. § 51). При решении этого уравнения нам пришлось выполнить две такие операции, которые ранее не встречались: во-первых, мы умножили обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (общий знаменатель), и, во-вторых, мы сократили алгебраические дроби на множители, содержащие неизвестно …

Сравнивая уравнение (1) с уравнением (2), видим, что не все значения x, допустимые для уравнения (2), допустимы для уравнения (1).

Именно числа 1 и 3 не являются допустимыми значениями неизвестного для уравнения (1), а в результате преобразования стали действительными для уравнения (2). Одно из этих чисел оказалось решением уравнения (2), но, конечно, не может быть решением уравнения (1). Уравнение (1) не имеет решений.

Этот пример показывает, что при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, и при сокращении алгебраических дробей может получиться уравнение, не эквивалентное заданному, а именно: могут появиться посторонние корни.

Отсюда делаем следующий вывод. При решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе, полученные корни необходимо проверить подстановкой в ​​исходное уравнение. Посторонние корни необходимо удалить.

Сами по себе дробные уравнения не сложны и очень интересны. Рассмотрим виды дробных уравнений и способы их решения.

Как решать уравнения с дробями — х в числителе

В случае заданного дробного уравнения, где неизвестное стоит в числителе, решение не требует дополнительных условий и решается без лишних хлопот.Общий вид такого уравнения — x/a+b=c, где x — неизвестное, a, b и c — обыкновенные числа.

Найти х: х / 5 + 10 = 70.

Чтобы решить уравнение, вам нужно избавиться от дробей. Умножаем каждое слагаемое в уравнении на 5: 5х/5+5×10=70×5. 5х и 5 сокращаются, 10 и 70 умножаются на 5 и получаем: х+50=350=>х=350 — 50 = 300.

Найти х: х/5 + х/10 = 90.

Этот пример является немного усложненной версией первого.Здесь есть два решения.

  • Вариант 1: Избавиться от дробей, умножив все члены уравнения на больший знаменатель, то есть на 10: 10х/5+10х/10=90×10=>2х+х=900=>3х= 900 => х = 300.
  • Вариант 2. Добавьте левую часть уравнения. х/5 + х/10 = 90. Общий знаменатель равен 10. Делим 10 на 5, умножаем на х, получаем 2х. Делим 10 на 10, умножаем на х, получаем х: 2х+х/10=90. Отсюда 2х+х=90×10=900=>3х=900=>х=300.


Часто встречаются дробные уравнения, в которых x находятся по разным сторонам, знак равен. В такой ситуации необходимо перевести все дроби с иксом в одну сторону, а числа в другую.

  • Найти х: 3х/5 = 130 — 2х/5.
  • Переместите 2x / 5 вправо с обратным знаком: 3x / 5 + 2x / 5 = 130 => 5x / 5 = 130.
  • Уменьшить 5x/5 и получить: x = 130.


Как решить уравнение с дробями — х в знаменателе

Этот тип дробных уравнений требует написания дополнительных условий.Указание этих условий является обязательной и неотъемлемой частью правильного решения. Не приписывая их, вы рискуете, так как ответ (даже если он правильный) может просто не быть засчитан.

Общая форма дробных уравнений, где x стоит в знаменателе, такова: a / x + b = c, где x неизвестно, a, b, c — обыкновенные числа. Обратите внимание, что x-th не может быть любым числом. Например, x не может равняться нулю, так как на 0 делить нельзя. Это как раз и есть дополнительное условие, которое мы должны указать.Это называется диапазоном допустимых значений, сокращенно ОДЗ.

Найти х: 15 / х + 18 = 21.

Сразу запишем ОДВ для х: х ≠ 0. Теперь, когда ОДВ указан, решаем уравнение по стандартной схеме, избавившись от дробей. Умножьте все члены уравнения на x. 15x / x + 18x = 21x => 15 + 18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.


Часто встречаются уравнения, где в знаменателе стоит не только x, но и какое-то другое действие с ним, например сложение или вычитание.

Найти х: 15 / (х-3) + 18 = 21.

Мы уже знаем, что знаменатель не может быть равен нулю, а значит, х-3 ≠ 0. Переносим -3 в правую часть, меняя знак «-» на «+» и получаем, что х ≠ 3. Указан нечетный.

Решите уравнение, умножьте все на х-3: 15 + 18 × (х — 3) = 21 × (х — 3) => 15 + 18х — 54 = 21х — 63.

Переместить x вправо, цифры влево: 24 = 3x => x = 8.


Инструкции

Пожалуй, самый очевидный момент здесь, конечно.Числовые дроби не представляют никакой опасности (уравнения дробей, где во всех знаменателях стоят только числа, вообще будут линейными), но если в знаменателе стоит переменная, то это надо учитывать и записывать. Во-первых, это то, что х, обращающий знаменатель в 0, быть не может, и вообще, надо отдельно прописать тот факт, что х не может быть равен этому числу. Даже если получится, что при подстановке в числитель все идеально сходится и удовлетворяет условиям.Во-вторых, мы не можем умножать или обе части уравнения на равные нулю.

После этого такое уравнение сводится к переносу всех его членов в левую часть так, чтобы 0 остался справа.

Необходимо привести все слагаемые к общему знаменателю, умножая, где необходимо, числители на пропущенные выражения.
Далее решаем обычное уравнение, записанное в числителе. Мы можем выносить скобки с общими множителями, применять сокращенное умножение, приводить подобные, вычислять корни квадратного уравнения через дискриминант и т.д.

Результатом должна быть факторизация в виде произведения скобок (x- (i-й корень)). В него также могут входить многочлены без корней, например, квадратный трехчлен с дискриминантом меньше нуля (если, конечно, в задаче есть только действительные корни, как это чаще всего и бывает).
Крайне важно, чтобы вы разложили знаменатель и нашли там скобки, уже содержащиеся в числителе. Если в знаменателе есть выражения типа (х-(число)), то скобки в нем лучше не умножать при приведении к общему знаменателю, а оставить в виде произведения исходных простых выражений.
Одинаковые скобки в числителе и знаменателе можно уменьшить, задав, как сказано выше, условия на x.
Ответ записывается в фигурных скобках, в виде набора значений x или просто перечислением: x1 = …, x2 = … и т. д.

Источники:

  • Дробные рациональные уравнения

То, без чего не обойтись в физике, математике, химии. Наименее. Изучим основы их решения.

Инструкции

В самой общей и простой классификации ее можно разделить по числу содержащихся в них переменных и по степеням, в которых стоят эти переменные.— значок возведения в степень, складывается в квадрат выражения (x + 1), то есть в произведение двух одинаковых скобок, каждая из которых дает в качестве решения x = — 1.

Если в уравнении только одно неизвестное, это означает, что вы сможете явно найти его корни (действительные или комплексные).

Для этого вам, скорее всего, понадобятся различные преобразования: сокращенное умножение, вычисление дискриминанта и корней квадратного уравнения, перенос членов из одной части в другую, приведение к общему знаменателю, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение , квадрат и так далее.

Преобразования, не влияющие на корни уравнения, идентичны. Они используются для упрощения процесса решения уравнения.

Можно также использовать вместо традиционной аналитической графики и записать это уравнение в виде, после чего провести его исследование.

Если в уравнении несколько неизвестных, то можно выразить только одно из них через другое, тем самым показав множество решений. Таковы, например, уравнения с параметрами, в которых есть неизвестный х и параметр а.Решить параметрическое уравнение — значит для всех а выразить х через а, то есть рассмотреть все возможные случаи.

Если уравнение содержит производные или дифференциалы неизвестных (см. рисунок), поздравляю, это дифференциальное уравнение, и здесь без высшей математики не обойтись).

Источники:

Чтобы решить задачу с дробями , нужно научиться делать с ними арифметические действия. Они могут быть десятичными, но чаще всего используются натуральные дроби с числителем и знаменателем.Только после этого можно переходить к решению математических задач с дробными значениями.

Вам понадобится

  • — калькулятор;
  • — знание свойств дробей;
  • — возможность совершать действия с дробями.

Инструкции

Дробь — это запись деления одного числа на другое. Часто сделать это целиком невозможно, и поэтому оставляют это действие «незавершенным». Число, которое делится (стоит над или перед знаком дроби), называется числителем, а второе число (под или после знака дроби) — знаменателем.Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной, и из нее можно извлечь целую часть. Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильной, а ее целая часть равна 0.

Задачи делятся на несколько видов. Определите, к какому из них относится задача. Самый простой вариант — нахождение доли числа, выраженного в виде дроби. Для решения этой задачи достаточно умножить это число на дробь.Например, картошки привезли 8 тонн. В первую неделю 3/4 ее всего… Сколько картошки осталось? Чтобы решить эту задачу, умножьте число 8 на 3/4. Получается 8∙3/4=6 тонн.

Если вам нужно найти число по его части, умножьте известную часть числа на обратную дробь, показывающую, какова доля этой части в числе. Например, 8 из них составляют 1/3 от общего числа студентов. Сколько в? Так как 8 человек — это часть, которая составляет 1/3 от общего числа, то найдите обратную дробь, которая равна 3/1 или просто 3.Тогда, чтобы получить количество учеников в классе, 8 ∙ 3 = 24 ученика.

Когда вам нужно найти, на сколько одно число отличается от другого, разделите число, представляющее часть, на целое число. Например, если расстояние 300 км, а машина проехала 200 км, сколько это будет от всего пути? Разделите часть пути 200 на полный путь 300, после уменьшения дроби получите результат. 200/300 = 2/3.

Чтобы найти часть неизвестной дроби числа, когда есть известная, взять за условную единицу целое число, и отнять от него известную дробь.Например, если уже прошло 4/7 урока, осталось еще? Возьмите весь урок как единое целое и вычтите из него 4/7. Получаем 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Решение уравнений с дробями Рассмотрим примеры. Примеры простые и наглядные. С их помощью вы сможете учиться в наиболее понятной форме.
Например, вы хотите решить простое уравнение x / b + c = d.

Уравнения такого типа называются линейными, потому что в знаменателе стоят только числа.

Решение выполняется путем умножения обеих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b * (d — c), т.е. знаменатель дроби слева сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
х / 5 + 4 = 9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х + 20 = 45
х = 45 — 20 = 25

Другой пример, когда неизвестное стоит в знаменателе:

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробно-рациональными.

Мы решили бы дробное уравнение, избавившись от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Вы должны учитывать только следующие моменты:

  • значение переменной, обращающее знаменатель в 0, не может быть корнем;
  • нельзя делить или умножать уравнение на выражение = 0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как диапазон допустимых значений (ОДВ) — это значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом, решая уравнение, необходимо найти корни, а затем проверить их на соответствие ОДЗ. Из ответа исключаются те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ.

Например, вам нужно решить дробное уравнение:

Исходя из приведенного выше правила, x не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: x — любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя, умножая все члены уравнения на х

И решаем обычное уравнение

5х — 2х = 1
3х = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим более сложное уравнение:

Здесь также присутствует

ОДЗ: х-2.

Решая это уравнение, мы не будем все переносить в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Чтобы уменьшить знаменатели, нужно левую часть умножить на х + 2, а правую на 2. Значит, обе части уравнения нужно умножить на 2 (х + 2):

Именно это обыкновенное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Напишем то же уравнение, но немного по-другому

Левая часть отменяется на (x + 2), а правая на 2.После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

х = 4 — 2 = 2, что соответствует нашему ОДЗ

Ответ: х = 2.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы показали это на примерах. Если у вас возникли трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отпишитесь в комментариях.

FOCS 2010 Accepted Papers

Abstract: Мы говорим, что криптографическая схема является устойчивой к непрерывной утечке (CLR), если она позволяет пользователям обновлять свои секретные ключи, используя только новую локальную случайность, такую, что:

1. Схема остается работоспособной после любого количества обновлений ключа, хотя открытый ключ никогда не меняется. Таким образом, «внешний мир» не зависит от этих обновлений клавиш, и ему не нужно знать об их частоте.

2. Схема остается безопасной, даже если злоумышленник может непрерывно передавать произвольную информацию о текущем секретном ключе системы, пока объем утечек информации ограничен между любыми двумя последовательными обновлениями ключа. Не существует ограничений на общий объем информации, которая может быть утеряна в течение срока службы системы.

В этой работе мы создаем множество практических схем CLR, включая односторонние отношения CLR, подписи CLR, схемы идентификации CLR и протоколы согласования ключей CLR с проверкой подлинности. Для каждой из приведенных выше конструкций мы даем общие конструкции, а затем показываем, как их эффективно реализовать, используя хорошо зарекомендовавшее себя предположение о билинейных группах, называемое K-линейным предположением (для любой константы K >= 1).

Наши конструкции очень модульны, и мы разрабатываем множество интересных методов и строительных блоков, в том числе: повторно рандомизируемые отношения с неразличимой утечкой, гомоморфные NIZK и неизменяемые схемы шифрования с утечкой зашифрованного текста.

До нашей работы не было известно никаких «настоящих CLR» схем, поскольку предыдущие схемы устойчивости к утечкам страдают одним или несколькими из следующих недостатков: вычисления приводят к утечке информации»; (b) общий объем утечки ключей априори ограничен сроком службы системы, и не существует метода обновления ключей; (c) эффективность схемы снижается пропорционально количеству обновлений; (d) обновления ключей требуют надежного хранения дополнительного «мастер-секретного ключа» без утечек; (e) безопасность схемы доказана только при сильном нестандартном допущении.

В недавнем последующем исследовании Brakerski et al. [13] решают основную открытую проблему, оставленную нашей работой, путем построения схемы шифрования CLR с открытым ключом в предположении 2-линейности. предположение. Кроме того, они дают альтернативу (хотя неэффективно) построение подписей CLR в том же предположении. (Обратите внимание, что в дополнение к этим последующим результатам, [13] также включает вышеупомянутый результат (e), который был получен до нашей работы, и небольшое улучшение

Математический журнал Арнольда

Главный редактор:
   Аскольд Хованский, Торонто
Электронная почта: [email protected]Торонто.edu

Ответственный редактор:
   Владлен Тиморин, Москва
e-mail: [email protected]

Андрей Аграчев, Триест
e-mail: [email protected]

Эдвард Бирстон, Торонто
Электронная почта: [email protected]

Гал Биньямини, Научный институт Вейцмана, Израиль
e-mail: [email protected]

Феликс Черноусько, Москва
e-mail: [email protected]

Дэвид Эйзенбуд, Беркли
Электронная почта: [email protected] org

Уриэль Фриш, Ницца
e-mail: [email protected]; [email protected]

Дмитрий Фукс, Калифорнийский университет в Дэвисе, Калифорния, США
Электронная почта: [email protected]

Александр Гивенталь, Беркли
Электронная почта: [email protected]

Виктор Горюнов, Ливерпуль
e-mail: Виктор.Горюнов@liverpool.ac.uk

Сандро Граффи, Болонья
e-mail: [email protected]

Сабир Гусейн-Заде, Москва
e-mail: [email protected]

Юлий Ильяшенко, Москва и Корнелл
e-mail: [email protected]

Олег Карпенков, Ливерпуль
e-mail: [email protected]

Сергей Куксин, Париж
e-mail: [email protected] com

Анатолий Нейштадт, Лафборо
e-mail: [email protected]

Михаил Шубин, Бостон
e-mail: [email protected]

Александр Варченко, Chapel Hill
e-mail: [email protected]

Олег Виро, Стоуни Брук
e-mail: олег.виро@gmail.com

Eduard Zehnder, Zurich
e-mail: [email protected]

Содержание | SIAM Journal on Computing Volume 39, Issue 6

Мы пересматриваем, что значит вычислять равновесия Нэша и, в более общем смысле, что значит вычислять фиксированную точку заданной функции Брауэра, и исследуем сложность связанных с этим проблем. В частности, мы изучаем сложность следующей задачи: для конечной игры $\Gamma$ с 3 или более игроками и $\epsilon>0$ вычислить аппроксимацию в пределах $\epsilon$ некоторого (фактического) Нэша. равновесие.Мы показываем, что аппроксимация фактического равновесия по Нэшу даже с точностью до любого нетривиального постоянного аддитивного множителя $\epsilon<1/2$ только по одной желаемой координате не менее сложна, чем давняя задача о сумме квадратного корня, а также как более общая проблема решения арифметической схемы, которая характеризует P-время в модели вычислений с удельной стоимостью с рациональной арифметикой произвольной точности; таким образом, размещение проблемы аппроксимации в P или даже в NP решило бы основные открытые проблемы сложности численных вычислений.

Мы приводим аналогичные результаты для рыночных равновесий: трудно оценить с какой-либо нетривиальной точностью равновесные цены в экономике обмена с единственным равновесием, где экономика задается явными алгебраическими формулами для функций избыточного спроса.

Мы определяем класс FIXP, который охватывает задачи поиска, которые можно представить как задачи вычисления с фиксированной точкой для функций, представленных алгебраическими схемами (прямолинейными программами) по базису $\{+,*,-,/,\max,\ min\}$ с рациональными константами. Мы показываем, что (точное или приближенное) вычисление равновесий Нэша для 3 и более игроков завершено для FIXP. Проблема ценового равновесия для экономики обмена с алгебраическими функциями спроса — еще одна FIXP-полная задача. Покажем, что кусочно-линейный фрагмент FIXP равен PPAD.

Многие другие задачи теории игр, экономики и теории вероятностей можно представить как задачи с фиксированной точкой для таких алгебраических функций. Мы обсудим несколько важных таких проблем: вычисление значения стохастических игр Шепли и более простых игр Кондона, вероятности исчезновения ветвящихся процессов, вероятности стохастических контекстно-свободных грамматик и вероятности завершения рекурсивных цепей Маркова.Мы показываем, что для некоторых из них задача аппроксимации или даже точного вычисления может быть помещена в PPAD, в то время как для других они не менее сложны, чем задачи суммирования квадратного корня и решения арифметических схем.

6 октября: Toniann Pitassi (Университет Торонто), Разделение аналогов NP, BPP и P в модели многосторонней связи NOF

вычисление, в котором k сотрудничающих игроков пытаются вычислить функцию f, где вход в функцию разбит на k частей, где i-я фигура, $x_i$, помещается на лоб игрока $i$. {cc}_k$. В нашей второй теореме (совместно с Матеем Давидом и Эмануэле Виолой) мы показываем явную функцию, которая может быть вычислена недетерминированный протокол NOF, передающий $O(logn)$ бит, но требующий почти линейное количество битов связи для рандомизированных протоколов NOF с $k=\delta \log n$ игроков для любого фиксированного $\delta

13 октября: Александр Разборов (Чикагский университет), Простое доказательство теоремы Бацци

Созданы псевдослучайные генераторы, защищенные от схем полиномиального размера постоянной глубины. известен со времен основополагающей статьи Айтаи и Вигдерсона (1985).Все доступные конструкции таких генераторы, однако, кажутся несколько особенными и специальными. В 1990 году Линиал и Нисан сделали смелое и изящное предположение о том, что этим свойством на самом деле обладает любой образующий, в котором любой выбор полилогарифмически многих выходных битов независим; примеры таких генераторов обильны. Эта догадка оказалась на удивление трудной, и только последний год Бацци доказал это для случая формул ДНФ. Основная цель нашей беседы – представить существенно упрощенный вариант его доказательства.

23 октября: Prahladh Harsha (Техасский университет в Остине), The Communication Complexity корреляции

В этом докладе мы рассмотрим связь, необходимую для создания дистанционно коррелировать случайные величины. Рассмотрим пару совместных случайных переменные (X, Y). Предположим, что Алисе дан образец x, распределенный согласно X, и она должна отправить сообщение Бобу, который затем требуется для генерации значения с распределением ровно Y|_{X=x} (т.е, условное распределение Y при условии X=x). Мы считаем минимум ожидаемое количество битов (которое мы называем C(X:Y)) Алиса должна отправить Бобу для достижения этой цели. Мы показываем, что если Алисе и Бобу разрешено делиться случайные биты (независимо от входа Алисы x), то Алисе не нужно отправлять больше, чем примерно число битов взаимной информации. Более формально, Я[Х:Г]

30 октября: Gil Kalai (Еврейский университет и Йельский университет), Чувствительность к шуму, устойчивость к шуму, перколяция и некоторые подключения к TCS

Чувствительность к шуму была определена в статье Benjamini, Kalai, and Schramm (1999).Близкое понятие рассматривали Цирельсон и Вершик. Я опишу понятие шумовой чувствительности булевых функций и некоторые основные результаты и проблемы, связанные с ним. Забавный способ объяснить это (особенно после 2000 г.) — с точки зрения вероятности того, что небольшие ошибки при подсчете голосов на выборах изменят исход. Мы рассмотрим следующее:

  1. Определение чувствительности к шуму и его описание с помощью преобразования Фурье.
  2. Чувствительность к шуму события пересечения в Percolation (BKS 99, Schramm and Steiff 2005, и, наконец, Garban, Pete, Schramm 2008 — http://front.math.ucdavis.edu/0803.3750), предел масштабирования для спектрального распределения (Шрамм и Смирнов, 2007 г. , GPS 2008 г.) и динамическая перколяция. (ScSt (2005), GPS (2008)). Другие случаи шумовой чувствительности.
  3. Помехоустойчивость функции большинства, взвешенного большинства. Гипотеза относительно ситуации для функций, описываемых монотонными пороговыми схемами монотонной глубины.
  4. «Теорема большинства стабильнее» (Mossel, O’Donnell, Oleszkiewicz 05 http://front.math.ucdavis.edu/0503.5503) и связь с трудностью аппроксимации.

3 ноября: Натан Сребро (TTI-C), Информационная стоимость управляемости

Как и во многих других задачах машинного обучения, большинство формулировок кластеризация соответствует невыпуклым, NP-трудным задачам оптимизации. Тем не менее, когда данные действительно сгруппированы и доступно достаточно данных, локальный поиск и другие эвристики, как правило, способны восстановить кластеризация.В экстремальном режиме мы можем даже доказать, что кластеризация поддающимся восстановлению. С другой стороны, если данные не очень кластеризованы или недостаточно данных, «оптимальная» кластеризация, хотя трудно найти, это бессмысленно. Это приводит к общей мудрости что «кластеризация не сложна: она либо проста, либо неинтересна». Действительно ли это так, когда осмысленная кластеризация статистически восстанавливаемый, его также легко найти вычислительным путем? Если поэтому у нас, конечно, нет четкого понимания, почему это дело.Или существует режим, при котором кластеризация статистически восстанавливаемы, но не восстанавливаемы? например, может нам нужно больше образцов, чтобы убедиться, что наши методы восстановления работать, сверх того, что статистически необходимо, если бы у нас было бесконечное вычислительная мощность? Можем ли мы количественно оценить это увеличение требуемой размер выборки из-за наших вычислительных ограничений? В этом докладе я буду обсуждать вышеуказанные вопросы, в основном в контексте кластеризация данных из смеси гауссианов, но и в некоторых других проблемы с машинным обучением.Я также упомяну другие способы, которыми увеличение размера данных уменьшает, а не увеличивает количество требуемых вычислений, в отличие от стандартного подхода изучение сложности вычислений по мере увеличения размера данные.

10 ноября: Кетан Мулмулей (Чикагский университет), О P и NP и теории геометрической сложности

Эта серия из двух лекций 10 ноября — одна на семинаре по логике и один теоретический семинар — дополнит серию три коллоквиума высокого уровня по GCT 5, 12 и 19 ноября (2.30 вечера.). Теория геометрической сложности (GCT) — это подход к проблеме P и NP. через алгебраическая геометрия, теория представлений и теория нового класса квантовых групп, называемых нестандартными квантовыми группами, которые возникают в этот подход. В частности, GCT говорит, что проблема P против NP в нулевой характеристике тесно связано с гипотезой Римана над конечными полями. Эти дополнительные переговоры позволили бы уточнить основное понятие препятствий в GCT. Нет опыта в алгебраической геометрии, теории представлений или квантовых вычислениях. предполагаются группы.Ссылки на GCT: Базовый план GCT приведен в: GCTflip: «О P против NP, теории геометрической сложности и перевороте I: высокий уровневый вид». k — 1 простых импликантов, и эта оценка точна.Мы завершаем этот результат, давая явное описание все k-членные ДНФ с максимальным числом простых импликантов: это ДНФ, которые можно представить в виде определенного вида Древо решений. В доказательстве используется лемма о расщеплении для разбиений гиперкуба на соседние кубы. Затем мы рассматриваем расщепляемость общих разделов куба, измерение влияние переменных на разбиение куба. Мы также обсуждаем связь между этой темой и декомпозициями полные графы в полные двудольные графы.Если позволяет время, мы упомянуть несколько связанных открытых проблем. Это совместная работа с Бобом Слоаном и Балашем Сореньи.

20 ноября: Юрий Макарычев (Microsoft Research), О преимуществе максимального ациклического подграфа над Random

Опишем новый алгоритм аппроксимации Проблема максимального ациклического подграфа. Учитывая случай, когда максимальный ациклический подграф содержит 1/2 + \delta долю всех ребер, наш алгоритм находит ациклический подграф с 1/2 + \Omega(\delta/log n) часть всех ребер. Мы также опишем наш разрыв целочисленности пример, который недавно использовали Гурусвами, Манокарана, и Рагхавендра, чтобы доказать результат неаппроксимируемости UGC для этой проблемы. Это совместная работа с Моисеем Чарикаром и Константином Макарычев (появился на FOCS’07).

25 ноября: Майкл Махони (Стэнфордский университет), Статистическое плечо и улучшенные матричные алгоритмы

Для заданной матрицы A размером m x n и параметра ранга k определите рычаг i-й строки матрицы A как i-й диагональный элемент матрицы проекции на промежутке k верхних левых сингулярных векторов матрицы A.Исторически эта статистическая концепция (и ее обобщения) нашла широкое применение, например, в диагностическом регрессионном анализе. В последнее время эта концепция стала центральной в разработке улучшенных алгоритмов для нескольких фундаментальных матричных задач. Два примера этого будут описаны. Первая проблема — это задача аппроксимации методом наименьших квадратов, в которой есть n ограничений и d переменных. Классические алгоритмы, восходящие к Гауссу и Лежандру, используют время O(nd2). Мы описываем рандомизированный алгоритм, который использует примерно O(n d log d) времени для вычисления относительная ошибка, т.е.е., 1+/-эпсилон, приближение. Вторая проблема — это проблема выбора «хорошего» набора ровно из k столбцов из матрицы размера m x n, и алгоритм Гу и Эйзенштата обеспечивает наилучший ранее существовавший результат. Мы опишем двухэтапный алгоритм, который улучшает их результат (в предположении, что k мало). Будет кратко описано недавнее применение этих идей в современном статистическом анализе данных.

1 декабря: Джеймс Ли (Вашингтонский университет), Границы собственных значений, спектральное разбиение и деформации потока

Мы представляем новый подход к оценке сверху собственных значений лапласиана на конечных графах.Такие границы используются для анализа эффективности популярных эвристик спектрального разбиения. В то время как предыдущие методы, т. е. подходы Спилмана и Тенга в отношении графов и Херша в отношении поверхностей опирались на конформные отображения в модельное пространство, наш подход является внутренним. Мы используем определенный тип многотоварного потока в оптимальном состоянии, чтобы деформировать геометрию графа. По мере распространения потока график становится более однородным. Затем мы вкладываем эту геометрию в евклидово пространство, чтобы восстановить ограничение на собственные значения.Анализ структуры оптимального потока требует аргументов из геометрической комбинаторики. В частности, мы можем разрешить гипотезу Спилмана и Тенга, которая дает оптимальные оценки собственных значений для графов, исключающих любой фиксированный минор. В отличие от предыдущих спектральных подходов, мы можем получить сепараторы без предположения об ограниченной степени; хотя второй собственный вектор может плохо работать в этой настройке, мы показываем, что наш тестовый вектор по-прежнему дает разделитель размером \sqrt{n}, что дает альтернативное доказательство теоремы Алона-Сеймура-Томаса о разделителях в непланарных графах.


9 января: Скотт Ааронсон (MIT), Пределы совета

После работы Карпа и Липтона в 1980-х гг. Теоретики сложности полюбили оператор /poly, который добавляет «строка рекомендаций» полиномиального размера для любого класса сложности. Но это интересно рассмотреть гораздо более общие виды «объектов-советов» чем просто струны. В этом докладе я представлю новую структуру для понимание ограничений объектов-советов.Результаты включают следующий: * Дан в качестве «совета» черный ящик, вычисляющий произвольное логическое значение функцию f, полученную из набора однократно экспоненциального размера, мы можем имитировать этот черный ящик, используя *ненадежный* черный ящик в сочетании с строка совета полиномиального размера. * Класс сложности BQP/qpoly, или квантовое полиномиальное время с квантовый совет полиномиального размера содержится в QMA/poly. Конечно, для любого языка L в BQP/qpoly можно задать локальный гамильтониан H на поли(n) кубитах, так что любое основное состояние H является действительным состояние квантового совета для L. * Квантовый компьютер с полиномиальным пространством, который может подбрасывать «монетку совета». неограниченное количество раз, можно моделировать в PSPACE/poly. Этот так, несмотря на удивительный факт, что квант ограниченного пространства компьютер может обнаруживать сколь угодно малые изменения наклона монеты. Совместная работа с моим учеником Энди Друкером.

12 января: Николь Имморлика (Северо-Западный университет), Роль совместимости в распространении технологий в социальных сетях

Во многих случаях конкурирующие технологии, например операционные системы, системы обмена мгновенными сообщениями или форматы документов — можно увидеть принятие ограниченной степени совместимости друг с другом; в другом словами, сложность использования нескольких технологий сбалансирована где-то между двумя крайностями невозможности и легкости совместимость.Существует целый ряд причин, почему это явление происходит, многие из которых основаны на правовых, социальных или деловых соображения — кажется, бросают вызов кратким математическим моделям. Несмотря этим мы показываем, что преимущества ограниченной совместимости могут возникнуть в очень простой модели распространения в социальных сетях, таким образом предлагая основное объяснение этого явления в чисто стратегических терминах. Наш подход основывается на работе по распространению инноваций в литература по экономике, которая пытается смоделировать, как новая технология A может распространяться через социальную сеть лиц, которые в настоящее время пользователи техники Б.Мы рассматриваем несколько способов захвата совместимость A и B, ориентируясь в первую очередь на модель, в которой пользователи может принять A, принять B или — за дополнительную плату — принять оба A и B. Мы характеризуем, как способность A распространяться зависит от обоих его качество по сравнению с B, а также эти дополнительные затраты на принятие оба, и найти некоторые удивительные свойства немонотонности в зависимости от этих параметров: в ряде случаев для одной технологии пережить введение другого, стоимость принятия обоих технологии должны быть сбалансированы в узком, промежуточном диапазоне. Мы также расширить структуру на случай нескольких технологий, где мы находим, что простая модель отражает феномен двух фирм принятие ограниченного «стратегического союза» для защиты от нового, третьего технология. Совместная работа с Дж. Клейнбергом, М. Махдианом и Т. Векслером.

26 января: Paolo Codenotti (Чикагский университет), Изоморфизм гиперграфов низкого ранга за умеренно экспоненциальное время

Мы даем алгоритм для определения изоморфизма k-гиперграфов в время exp(O~(k2\sqrt{n})), где n — количество вершин.n (Luks 1999; Luks не накладывает ограничений на k). Наш анализ сочетает комбинаторный и теоретико-групповой методы. Совместная работа с Ласло Бабаем.

6 февраля: Субхаш Хот (Нью-Йоркский университет), Неаппроксимируемость NP-полных задач, Дискретный Фурье Анализ и геометрия

В этом докладе будет представлен обзор некоторых недавних результатов о неаппроксимируемости NP-полных задач и связностей. дискретному анализу Фурье и геометрии.

16 февраля: Кэролайн Кливанс (Чикагский университет), Комбинаторные лапласианы

Лапласиан графа — известная и хорошо изученная матрица связанный с графом. Например, использовались собственные значения для встраивания, кластеризации и окраски. Комбинаторный лапласиан является аналогом более высокой размерности для более общие клеточные комплексы. Комбинаторный лапласиан впервые появился как дискретная версия обычного лапласиана дифференциальных форм для Риманова многообразие, которое позже использовалось для эффективных вычислений. чисел Бетти.Эти результаты вызвали ряд вопросов относительно лапласовских спектров и их комбинаторного значения. Я дам краткий обзор этого оператора и расскажу о последних работах по теоремы о дереве клеточных матриц, которые, аналогично графическому случаю, перечислить остовные деревья комплекса с помощью комбинаторного лапласиана.

23 февраля: Дхрув Мубайи (Университет Иллинойса в Чикаго), Раскрашивание простых гиперграфов

Улучшения очевидных нижних границ числа независимости (гипер)графов повлияли на проблемы дискретной геометрии, теория кодирования, теория чисел и комбинаторика. Один из многих известными примерами является результат Komlos-Pintz-Szemeredi (1982) по число независимости 3-однородных гиперграфов, которые сделали важный прогресс в решении проблемы Хайльбронна, стоявшей десятилетиями. Мы даем точную верхнюю границу хроматического числа простых k-однородных гиперграфов, что влечет за собой вышеуказанный результат, а также другие общие теоремы Айтая-Комлоса-Пинца-Спенсера-Семереди и Герцог-Лефманн-Родль. Наша техника доказательства вдохновлена ​​работой Йоханссон о раскраске графа и использует полуслучайный или полуслучайный метод.Это совместная работа с Аланом Фризе.

2 марта: Лэнс Фортноу (Северо-Западный университет), Программное равновесие и дисконтированное время вычислений

Тенненгольц разработал программу Equilibrium для моделирования играть в конечную игру для двух игроков, где каждый игрок может базировать свою стратегию на стратегии другого игрока. Тенненгольца модель позволяла каждому игроку создать компьютер без циклов. программа, которая имела доступ к коду для обоих игроков.Он показал народная теорема, согласно которой любая смешанная стратегия индивидуально рациональна игра может быть равновесным выигрышем в этой модели даже при игра на один раз. Калай и др. дал общую народную теорему для коррелированная игра в более общей модели обязательств. Мы разрабатываем новую модель программного равновесия, используя общие вычислительные модели и дисконтирование выигрышей на основе использованное время вычислений. Мы даем еще более общий фолк теорема, сводящая выигрыши коррелированных стратегий к чистой минимакс каждого игрока.Мы также показываем равновесие в других играх не отражено в предыдущей работе.

6 марта: Аллан Бородин (Университет Торонто), Графы последовательного исключения и простые комбинаторные алгоритмы

Система местных коэффициентов, введенная Баром Иегудой и Эваном в 1981 г. обеспечивает единую структуру для многих алгоритмов аппроксимации. В последнее время метод локального отношения используется для обеспечения эффективные алгоритмы аппроксимации количества упаковок проблемы.Вдохновленный этими недавними алгоритмами, Аккоглу, Аспнес, ДасГупта и Као предложили новый класс графов. расширение класса хордовых графов. А именно, «последовательные k-независимые графы» обобщают понятие совершенного порядка исключения, допуская «локальную окрестность» каждой вершины в упорядочении иметь число независимости k. Мы изучаем этот класс графов и показываем, как различные задачи с графами могут быть эффективно аппроксимированы концептуально простыми комбинаторными алгоритмами. Мы также сравниваем этот новый класс графов с другими известными классами графов. Например, планарные графы последовательно 3-независимы.Последовательные k-независимые графы — еще один пример более общего концепция последовательного устранения графики. Результаты этого доклада основаны на работе Юлия Е.


30 марта: Рагхав Кулками (Чикагский университет), Любое монотонное свойство разреженных графов уклончиво

Граф с n вершинами называется «разреженным», если число его ребер равно O(n). Свойство графа называется уклончивым, если для определения его принадлежности в худшем случае нужно запросить все {n \ выбрать 2} возможных ребер.Карп предполагает, что любое нетривиальное свойство монотонного графа должен быть уклончивым. Это давний открытый вопрос. Докажем гипотезу Карпа, когда ограничивается «разреженными» графами, т. е. мы показываем, что любая нетривиальная монотонно убывающая свойство n-вершинных «разреженных» графов «уклончиво» для всех достаточно больших n. Мы используем топологический подход, предложенный Каном, Саксом и Стертевант [1984] как черный ящик. Дополнительным компонентом нашего метода является дальнейшая связь с аналитической теорией чисел. В частности, мы создавать новые групповые действия, которые в решающей степени опираются на некоторые глубокие и интересные свойства чисел.3/2), но эти оценки далеки от желаемых {n \выберите 2}. Это совместная работа с Анандамом Банерджи, факультет математики, Северо-Восточный университет. и Випул Найк, математический факультет Чикагского университета.

6 апреля: Марк Браверман (Microsoft Research), Полилогарифмическая независимость дураков AC0 Circuits

Мы опишем недавнее доказательство гипотезы Линиала-Нисана 1990 года. Гипотеза утверждает, что логические схемы ограниченной глубины не могут отличить полилогарифмически независимые распределения от равномерного.n определяется m линейными неравенствами. Мы даем новый алгоритм цепи Маркова для получения почти однородной выборки из K. Лежащая в основе цепь Маркова является первой, в которой время смешивания который сильно полиномиален, когда начинается из «центральной» точки x. Если s является супремумом по всем хордам pq, проходящим через x в |p-x|/|q-x| и \эпсилон верхняя граница желаемого расстояния полной вариации от униформы, достаточно сделать O (m n ( n log (s m) + log 1/\epsilon)) шагов случайного блуждания. Мы используем этот результат для разработки алгоритма аффинной внутренней точки, который выполняет одно случайное блуждание для приближенного решения линейных программ с высокой вероятностью за полиномиальное время. Тот факт, что этот алгоритм имеет время выполнения который является доказуемо полиномиальным, примечательно, поскольку время выполнения аналогичного детерминированного аффинного алгоритма, проанализированного Дикиным, не имеет известного полинома гарантии. Это работа с Рави Каннаном.

20 апреля: Стивен Смейл (TTI-C), Некоторые взгляды на теорию сложности

Я выскажу свое мнение о силе понятия «полиномиальное время» в науки, а также некоторые ограничения и подводные камни.

27 апреля: Зеев Двир (IAS), Недавний прогресс в наборах, слияниях и извлечениях Kakeya

Множества Какеи (в векторных пространствах над конечными полями) — это множества которые содержат линию в каждом направлении. Это предположил Вольф. в 1999 году, что каждое множество Какейи имеет положительную плотность (его размер постоянная доля всего пространства). Это предположение мотивировано несколько задач по математике и информатике. В в частности, он имеет тесную связь с явными конструкциями «экстракторы» и «слияния», которые являются эффективными процедурами, превращать слабые источники случайности в сильные и иметь множество Приложения.В этом докладе я покажу недавнее доказательство гипотезы Вольфа [D. 08], применение техники доказательства к построению слияния и извлечения [D. Wigderson 08] и новую работу [D. Коппати Судан Сараф 09], который расширяет методы, описанные в более ранних работах, для получения близкие к оптимальным границы для множеств и слияний Какеи.

4 мая: Ронен Басри (Институт Вейцмана и TTI-C), Ограничения видимости для элементов 3D-объектов

Для распознавания трехмерных объектов важно смоделировать, как их внешний вид может меняться из-за изменения точки зрения.Ключевой аспект это включает в себя понимание того, какие свойства объекта могут быть видны одновременно с разных точек зрения. Мы обращаемся к этому проблема в структуре на основе изображений, в которой мы используем ограниченное количество изображений объекта, сделанных с неизвестных точек зрения, для определения какие подмножества функций могут быть одновременно видны в других Просмотры. Это приводит к проблеме определения того, является ли множество изображения, каждое из которых содержит набор признаков, согласуется с одним 3D объект. Мы предполагаем, что каждая функция видна с диска точек обзора на сфере обзора.В этом случае мы показываем, что проблема В целом NP-сложно, но может быть эффективно решено, когда приходят все взгляды. из круга на сфере обзора. Мы также даем итерационные алгоритмы которые могут обрабатывать зашумленные данные и сходятся к локально оптимальным решениям в общем случае. Наши методы также могут быть использованы для восстановления информация о точке обзора из набора функций, которые видны в разные изображения. Мы показываем, что эти алгоритмы хорошо работают как на синтетические данные и изображения из набора данных COIL. Совместная работа с Педро Фельценсвальбом, Россом Гиршиком, Дэвидом Джейкобсом и Кэролайн Кливанс

11 мая: Дэвид Сяо (Принстонский университет), О сложности «черного ящика» обучения PAC

Модель PAC (Valiant, CACM 84) является одной из центральных модели, изучаемые в вычислительной теории обучения. Есть доказательства что многие специфические классы функций (например, пересечения половинных пробелы, функции четности с шумом и т. д.) трудно выучить эффективные алгоритмы и криптографические предположения подразумевают, что изучение малых схем трудно. Мы говорим, что обучение PAC сложно, если ни один эффективный алгоритм не может изучить все функции, вычислимые малыми схемы. В этом докладе мы покажем, что сложность обучения PAC с точки зрения «черного ящика» лежит строго между NP и ZK. Точнее, если P = NP, то PAC обучение легко, а если ZK !=BPP, то обучение PAC сложно, но черно- техники ящика (с некоторыми дополнительными ограничениями) недостаточно для доказать эквивалентность в любом случае.Что касается NP, мы исключаем неадаптивные редукции с использованием PAC. изучение оракула для решения NP-полной задачи, показав, что это подразумевают, что coNP содержится в AM, что считается неправдоподобным. Что касается ZK, мы исключаем релятивизирующие доказательства того, что ZK !=BPP на основе на трудности обучения. Используя характеристику ЗК Онга и Vadhan (EUROCRYPT 07), мы также показываем, что любая конструкция черного ящика (вычислительного) протокола ZK для языка L на основе сложности обучение подразумевает, что L фактически имеет статистическое нулевое знание доказательство (т.е. L находится в СЗК), и, следовательно, такая конструкция черного ящика вряд ли существует для NP-полных языков. Части этого доклада основаны на совместной работе с Бенни Эпплбаумом и Боаз Барак.

18 мая: Игорь Пак (Университет Миннесоты), Комбинаторика и сложность биекций разбиений

Изучение тождеств разделов имеет долгую историю, восходящую к Эйлера, с приложениями от анализа до теории чисел, от Перечислительная комбинаторика вероятности.Разделение биекций — это комбинаторный подход, который часто дает самый короткий и самый элегантные доказательства этих тождеств. Эти биекции затем часто используется для обобщения тождеств, поиска «скрытых симметрий» и т. д. В в докладе я представлю современный подход к разделению биекций на основе идей сложности и геометрии случайных разделов. Мы показать, что некоторых «естественных» биекций не существует даже для некоторых классические тождества разделов.

26 мая: Эли Бен-Сассон (Технион), Аффинные диспергаторы из полиномов подпространства

Аффинным рассеивателем над полем F для источников размерности d называется непостоянная (т.н. Аффинные диспергаторы рассматривались в контексте детерминированного извлечения случайности из структурированных источников несовершенной случайности и, в частности, обобщают понятие диспергаторов для источников с фиксацией битов. Ранее явные конструкции аффинных диспергаторов были известны для каждого d=\Omega(n) благодаря [Бараку, Киндлеру, Шалтиэлю, Судакову и Вигдерсону] и [Бургейну]. (Последнее на самом деле дает более сильные объекты, называемые аффинными экстракторами). В этой работе мы даем первые явные аффинные диспергаторы для сублинейной размерности.{4/5}. Главное новшество в нашей конструкции заключается в методе доказательства, который опирается на элементарные свойства многочленов подпространств. Напротив, предыдущие работы, упомянутые выше, опирались на теоремы о сумме-произведении для конечных полей. Если позволит время, мы обсудим недавнюю работу, которая показывает, что некоторые из наших конструкций на самом деле являются аффинными экстракторами, т. е. выход f почти равномерно распределен на F. Совместная работа со Swastik Kopparty.

15 сентября: Jin-Yi Cai (Университет Висконсина), Теорема о дихотомии для гомоморфизмов графов с комплексными значениями

Гомоморфизм графов (Lov\'{a}sz 1967) интенсивно изучался многими исследователями на протяжении десятилетий.В сообществе физиков это называется статистической суммой. Проблема может быть сформулирована следующим образом: Для $m \times m$ симметричной матрицы $A$ над комплексным полем вычислить функцию $Z_A(\cdot)$, где для произвольного входного графа $G$ \[ Z_A(G) = \sum_{\xi:V(G)\rightarrow [m]} \prod_{(u,v)\in E(G)} A_{\xi(u),\xi(v)}.\] Задача включает в себя множество комбинаторных задач подсчета. такие как подсчет покрытия вершин, раскраски графов и т. д. Мы доказываем теорему о дихотомии сложности, что проблема либо вычислимый в P, либо \#P-трудный, в зависимости от $A$.Комплексное поле дает много возможностей для отмены и, следовательно, нетривиальные алгоритмы с полиномиальным временем. Действительно Фурье матрицы и суммы символов играют важную роль. В комплексе области, существуют также естественные связи с голографическими алгоритмы. Ввиду сложности доказательства мы будем только быть в состоянии дать грубую схему. Совместная работа с Си Ченом из Принстона и Пиньяном Лу из Цинхуа. Статья доступна на http://arxiv.org/abs/0903.4728 (111 страниц).

5 октября: Дитер ван Мелкебек (Университет Висконсина), Выполнимость не допускает нетривиальной разреженности, если только Иерархия с полиномиальным временем рушится

Рассмотрим следующий процесс общения двух игроков, чтобы выбрать язык L: первый игрок держит все входные данные x, но полиномиально ограниченный; второй игрок вычислительно неограничен, но не знает любая часть х; их цель — совместно решить, принадлежит ли x L при небольших затратах, где мерой стоимости является количество битов связи от первого игрока ко второму игроку. {d-\epsilon}), то coNP находится в NP/poly, что означает, что полиномиальная иерархия схлопывается до третьего уровня. Результат справедливо даже для конондетерминистских протоколов и жестко поскольку существует тривиальный детерминированный протокол для эпсилон = 0. Согласно гипотезе, что coNP не находится в NP/poly, наш результат означает жесткие нижние границы для интересующих параметров в нескольких областях, в том числе разреженность, вероятностно проверяемые доказательства, сжатие экземпляров, и кернелизация в параметризованной сложности.Совместная работа с Х. Деллом.

3 ноября: Анастасиос Сидиропулос (TTI-C), Род графа и случайные разделы

Изучаем количественную геометрию графов малого рода. В В частности, мы показываем новые оптимальные схемы случайного разбиения для такие графики. Используя эти геометрические примитивы, мы экспоненциально даем улучшенная зависимость от рода для ряда задач, таких как приблизительный теоремы о максимальном потоке / минимальном разрезе, приближения для однородного и неоднородного Sparsest Cut, аппроксимация древовидной ширины, границы собственных значений Лапласа, Теоремы расширения Липшица и различные вложения в нормированные пространства. Мы перечисляем здесь образец этих улучшений. Все следующие утверждения относятся к графам рода g. — Мы показываем, что такие графы допускают O(log g)-аппроксимацию многотоварная теорема о максимальном потоке/минимальном разрезе для случая однородного требования. Эта оценка оптимальна и улучшает предыдущую оценку. O(g) [KPR93,FT03]. Для неравномерных требований мы даем оценку O (sqrt (log g) (log n)), улучшая предыдущую оценку O (sqrt (g лог п)) [KLMN04]. — Мы даем O(log g)-аппроксимацию для ширины дерева, улучшая предыдущая граница O(g) [FHL05].- Если граф G имеет род g и максимальную степень D, то k-й лапласиан собственное значение G равно (log g)2 * O(kg D/n), что улучшается по сравнению с предыдущим оценка g2 * O(k g D/n) [KLPT]. Существует нижняя граница Omega(kgD/n), что делает этот результат почти точным. — Мы показываем, что если (X,d) является метрикой кратчайшего пути на графе рода g и S является подмножеством X, то всякое L-липшицево отображение f : S -> Z в банахово пространство Z допускает O(L log g)-липшицево расширение f’ : X -> Z.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.