5 класс

Прямая части прямой ломаная 5 класс бунимович: Конспект урока по математики » Прямая. Части прямой. Ломаная»

Содержание

Страница 13 ГДЗ к учебнику «Математика» 5 класс Бунимович, Дорофеев, Суворова

Категория: ГДЗ Математика учебник 5 класс Бунимович, Дорофеев, Суворова

Ответы к разделу 2 первой главы учебника. Прямая. Части прямой. Ломаная

Вопросы и задания

Задание 1. Сколько прямых можно провести через две точки?

Решение

Через две точки можно провести только одну прямую.

Задание 2. Назовите прямую, изображенную на рисунке 1.15,б тремя способами.

Решение

1) прямая AO;
2) прямая AB;
3) прямая OB.

Задание 3. Сколько лучей на рисунке 1.17?

Решение

Два луча:
1) луч KM;
2) луч MK.

Задание 4. Сколько отрезков на рисунке 1. {(3}}{2\;\;}=\frac36$
Запись смешанных дробей: 3_1/2 это то же самое что $3\frac12$. 

ПЕРЕЙТИ К СПИСКУ СТРАНИЦ УЧЕБНИКА МАТЕМАТИКА 5 КЛАСС БУНИМОВИЧ >>

Урок математики по теме «Части прямой. Ломаная». 5-й класс

Тип урока: урок по типу ОНЗ (открытие новых знаний).

Формы организации познавательной деятельности:

  • Фронтальная
  • Парная
  • Индивидуальная

Цель урока: направлена на формирование следующих универсальных учебных действий

Личностные УУД: Формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.

Метапредметные УУД:

Регулятивные:

  • понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения

Познавательные:

  • формировать навыки изображения прямой и её частей, а также ломаной; знать общие и отличительные особенности изучаемых линий; познакомить с разными способами обозначения прямой и луча; научить правильно обозначать прямую, её части и ломаную линию; формировать умение применять полученные знания при решении практических задач.

Коммуникативные:

  • воспитывать любовь к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.

Задачи:

  • Формирование и развитие наблюдательности и внимания;
  • Умение выделять существенные признаки геометрической фигуры;
  • Формировать умение сравнивать линии, отмечая при этом сходные и различные признаки и свойства.

I. Орг. момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем изучать разнообразный мир линий. Мир о котором древнегреческий математик Евклид сказал: “Точка есть то, что не имеет частей.

Линия же – длина без ширины. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней”.

II. Активизация учебной деятельности.

Разгадайте ребус и попробуйте сформулировать тему урока.

Д: Отрезок.

У: Правильно, отрезок. А кто может сказать — что такое отрезок?

Д: Отрезок-это часть прямой, у которой есть начало и конец.

У: Молодцы! Как вы думаете, ребята, что мы сегодня будем изучать на уроке, с какими линиями познакомимся?

Ребята высказывают разные предположения: “Прямую”, “Отрезок”, “Части прямой”.

Формулируется тема урока.

У: Верно, сегодня мы с вами будем изучать “Части прямой. …”. Но это только часть темы. Вторую часть темы, мы “откроем” выполняя практическое задание.

У: Что означает в переводе с латинского слово “linea”?

У: Какие виды линий вы знаете?

У: — Назовите, где мы в жизни можем увидеть различные линии?

У: Язык линий понятен людям всей земли. Линии окружают нас повсюду. Это линия горизонта, дороги, молний и многие другие.

III. Открытие нового знания.

У:Перегните лист бумаги. Какая линия получится?

У:Где вам приходилось наблюдать в природе прямыелиниии?

У:С помощью какого инструмента мы строим прямые линии в тетради?

Д: Прямую линию можно построить с помощью линейки.

У:

Мне посоветовала мама,
Вести свою дорогу прямо.
Как сделать линию прямой
— Никак не получается.
Фломастер у меня хромой,
Или рука сбивается?
А вот с линейкой по листу
Так просто провести черту.
Смотрите, ровная какая,
Это линия – ПРЯМАЯ.

У: Ребята, попробуйте сформулировать определение прямой.

Д: Прямая линия бесконечна, изобразить всю прямуюневозможно.Эта линия без самопересечений. У неё нет ни начала, ни конца. Строится прямая линия с помощью линейки.

У: Кто знает, как обозначают прямую?

Д: Прямую обозначают двумя заглавными буквами латинского алфавита. Этими буквами обозначают две точки, через которые проходит прямая.

У: Правильно. А как ещё можно обозначить прямую?

Д: Прямую можно обозначать одной прописной буквой латинского алфавита.

У: Давайте проверим, как вы умеете выполнять задания и строить прямые. Какой инструмент вам потребуется для построения прямой линии?

Д: Линейка, карандаш.

У: Молодцы! Будьте внимательны. Возьмите в руки линейку и карандаш и точно выполните следующие задания.

У: Отметьте в тетради точку А.

Проведите через точку А три прямых. Проведите через эту точку ещё одну прямую. Сколько таких прямых можно провести?

Д: Через одну точку можно провести очень много прямых.

У: Отметьте в тетради точки В и С. Проведите через эти точки прямую. Проведите через эти точки несколько других, отличных от первой, прямых. Сколько прямых можно провести через две точки?

Д: Через две точки можно провести только одну прямую.

У: Отметьте в тетради точки Р и К. Проведите через них прямую РК. Отметьте напрямой РК ещё три точки и обозначьте их М, N и Е. Какие геометрические фигуры получились?

Д: Получились отрезки.

У: Что такое отрезок?

Д: Отрезок – это часть прямой, у которой есть начало и конец.

У:Как обозначают отрезок?

Д: Отрезок обозначают двумя заглавными латинскими буквами.

У: Сколько отрезков получилось на рисунке? Запишите в тетради получившиеся отрезки.

У:Постройте прямую и отметьте на ней точку О. На какие фигуры разбила прямую точка О? Найдите в учебнике как называются эти части прямой?

Д: Точка О разбила прямую на лучи.

У: Сколько лучей с началом в точке О получилось?

Д: Получилось два луча.

У: Что такое луч?

Д: Луч – это часть прямой. У неё есть начало и нет конца. Луч можно продлить только в одну сторону.

У:О новой фигуре разносится весть: Конца в ней пусть нет, но начало-то есть! И солнце, тихонько взойдя из-за туч, Сказало: “Друзья! Назовем его луч!”

У: Найдите в учебнике как обозначают луч?

Д: Луч обозначают двумя заглавными буквами латинского алфавита. На первом месте всегда пишут обозначение начала луча.

У: Запишите все возможные обозначения лучей с началом в точке Р, в предыдущем задании.

У: Отметьте в тетради точки А, В, С, К, не лежащие на одной прямой. Соедините их по порядку. Какая линия получилась?

Д: Получилась кривая линия. Ломаная.

У:

Верно. Узри, что мир полон ломаных линий,
И чтобы увидеть прямые лучи,
Сумей провести чрез себя ту прямую,
Что свяжет земное с небесным в пути.

У: “Ломаная” — это продолжение темы урока. А поможет нам узнать о такой линии верный помощник – учебник.

У: Чем являются точки А, В, С, К – для ломаной? Прочитайте в учебнике.

Д: Эти точки – вершины ломаной.

У: Чем являются отрезки АВ, ВС, СК – для ломаной?

Д: Отрезки – это стороны или звенья ломаной.

IV. Практическая работа в парах

Выполняется работа с взаимопроверкой

У: Отметьте точку А и отсчитайте от неё 5 клеточек вправо и 4 клеточки вверх. Отметьте точку В и поведите отрезок АВ.

У: Отсчитайте от точки А 2 клетки влево и 3 клетки вверх. Отметьте точку С и проведите отрезок СВ.

У: Назовите построенную ломанную. Карандашом другого цвета проведите ещё какую-нибудь ломаную с вершинами в точках А, В и С. Назовите её.

У: Постройте ломаную из 2 звеньев. “Продиктуйте” её соседу по парте.

У: В некотором городке всего три попарно пересекающиеся прямолинейные улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Сколько всего светофоров в этом городке? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать сколько будет светофоров в городке с 10 улицами?

Д: Всего 3 светофора.

Д: Если проложить ещё одну улицу, то нужно установить ещё 3 светофора.

Д: Если улиц будет 10, то светофоров – 45.

IV. Закрепление изученного.

У: Молодцы. Каждая пара успешно справилась со всеми заданиями. Ну а теперь покажите, что каждый из вас может справиться с заданиями самостоятельно.

Самостоятельная работа в рабочих тетрадях стр. 58 № 10, 11, 12 с последующей самопроверкой по слайдам. Ребята, допустившие ошибки при выполнении задания проговаривают, где они допустили ошибку, какую, почему.

№ 10. Постройте точки пересечения прямыхb, c и d. Обозначьте их. (Рисунок 1)

№ 11. Через точку пересечения прямых а и b проведите прямую с. (Рисунок 2)

№ 12. Проведите прямые АВ, ВС и АС. Проведите ещё одну прямую, пересекающую каждую из этих прямых. (Рисунок 3)

V. Итоги урока. Рефлексия.

  • Что нового я сегодня узнал?
  • Что мне понравилось на уроке?
  • О чём я ещё хочу узнать?
  • Что у меня получилось хорошо?
  • Над чем мне ещё нужно поработать?

Информационные материалы:

  1. Дорофеев Г. В. Математика 5; учебник / Г. В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение;
  2. Дорофеев Г. В. Математика 5; дидактические материалы / Г. В. Дорофеев и др.-М.: Просвещение;
  3. Буминович Е. А. Рабочая тетрадь/ Е. А. Буминович и др. – М.: Просещение;
  4. Интернет-ресурсы. Ребус. Приношу извинения автору – не запомнила сайт и автора. Большое спасибо за предоставленный материал.

Технологическая карта урока в 5 классе на тему «Прямая. Части прямой. Ломаная.»

Технологическая карта учебного занятия, реализующего развитие УУД Предмет Авторы УМК Тема учебного  математика Е. А. Бунимович, Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, Л.В.Кузнецова, и др.  Прямая. Части прямой. Ломаная. Класс 5 занятия Тип учебного занятия Урок общеметодологической направленности. Проверить уровень усвоения знаний по теме. Цель занятия Планируемые образовательные результаты Личностные Л1 осмысление значимости учебной  задачи, увязывая её с реальными  жизненными ситуациями; Л2 осознание, исследование  жизненных ценностей; Л3 выбор своей жизненной позиции в  отношении себя. Предметные П1  П2  П3  Метапредметные Познавательные: Пз1самостоятельный поиск  пространственных и плоских фигур  для изображения объектов  произведения, речевые  высказывания, извлечение  необходимой информации из  прочитанного текста, определение  основной (математической)  информации и второстепенной; Пз2 моделирование изучаемого  содержания; Пз3 логические действия Регулятивные: Р1 планирование, контроль и  коррекция своих действий Р2 оценка успешности усвоения  материала Коммуникативные: К1 выражение своих мыслей,  аргументация своего мнения К2 постановка вопросов К3 сотрудничество с  одноклассниками Технологии обучения Традиционные технологии(классно­урочная система),  Методы обучения Средства обучения Необходимое  аппаратное и  программное  обеспечение Дидактические  педагогика сотрудничества. проблемно­диалогический (побуждающий от проблемной ситуации диалог),  частично­поисковый, наглядный, словесный. ИКТ, учебник, рабочая тетрадь,карточки, презентация и т.д. Microsoft…. Карточки. Организационная структура урока Деятельность учащихся Развиваемые УУД разработки Этапы урока  1.Мотивация к  учебной  деятельности. Цель: включение  учащихся в учебную  деятельность и  определение  содержательных рамок урока. 2. Создание  проблемной  ситуации.    Цель: Организовать  актуализацию знаний  учащихся. Деятельность  учителя Учитель создаёт  благоприятный  психологический  настрой на работу.  Знает, что класс  участвовал в проекте  «Успешное чтение»,  все прочли книгу  «Робинзон Крузо».  На  доске, справа висит  яркий рисунок попугая ?, слева висит портрет  Крузо и рисунок  лестницы. Учитель: В романе  «Приключения  Робинзона Крузо»  Робинзон сам  рассказывает историю  своей жизни. Мы  знакомимся с героем  задолго до того, как он попадает на остров.  Ученики обращают внимание на  все изображения на доске.   Интересуются, мнением учителя  о прочитанной книги. Узнают  лестницу к хижине Крузо. Ученики рассказывают историю  жизни Робинзона Крузо до того  момента, как он попал на остров.  Робинзоном безраздельно  овладела страсть к обогащению  сверх меры, считавшаяся в XVII  веке самой губительной для  человека. Ради наживы Робинзон  способен даже торговать людьми,  забыв христианские заповеди. За  это и был жестоко наказан. Все  рушится тогда, когда Крузо  решает купить рабов в Гвинеи.  Это является заслуженной карой  за антигуманное, противоречащее  природе человека поведение.  «Мне по­прежнему суждено было  самому быть виновником всех  моих несчастий, благоразумием я  никогда не отличался:».  Личностные:  положительное отношение к  учебной деятельности. Регулятивные:  самостоятельное  установление причинно­ следственной связи. Коммуникативные:  планирование учебного  сотрудничества с учителем,  со сверстниками. Личностные: положительное  отношение с обучению;  понимают важность  бережного отношения к  здоровью;  Оценивает поступки героя  художественного  произведения; Регулятивные:  самостоятельно  обнаруживают и  формулируют учебную  проблему; Выдвигают версии решения  проблемы; Коммуникативные:  планируют совместную  деятельность с учителем и  сверстниками; Развивают умение точно и  грамотно выражать свои  мысли; Слушают и понимают речь  других. Познавательные: Анализируют объекты с целью выявления признаков; Самостоятельно определяют  способ решения проблемы  поискового характера. Предметные: Знают определение отрезка,  прямой, прямоугольника,  параллелепипеда меры длины. Ученики перечисляют предметы,  которые кажутся герою  необходимыми на острове,  подкрепляя ответ цитатами. Параллельно на доске и в  тетрадях выполняются рисунки  объектов построенных  Робинзоном на острове. хижина­параллелепипед; приставная лестница землянка­вход изображён виде  прямоугольника; огород с выращенными овощами­  прямоугольник; Робинзон Крузо  оказывается  единственным  выжившим в  результате  кораблекрушения. Как  же он решает жить  дальше? Что берёт с  потерпевшего  крушение корабля на  остров Робинзон  Крузо? Почему именно этими вещами автор  считает необходимым  снабдить своего героя? рисовое поле­прямоугольник; Ученики подбирают цитаты с  описанием острова. Картина острова (на доске)  добавляется изображением гор,  солнца, забором и близкими  друзьями ­ пятницей, козой. Учащиеся повторяют изученные  на прошлом уроке виды линий. Пытаются чертить вне острова.  Получают – ломаную. Говорят,  что она сама себя пересекает.  Делают вывод: длина ломаной =  сумме длин её частей(отрезков). Предлагают измерить каждый  отрезок и сложить( 1см=1м) В учебнике на стр.13  рассматривают рисунок 1.18 и  читают определение длины  ломаной. Ученики подбирают цитаты с  описанием острова. Проанализировали список  поступков, составленный самим  Робинзоном.  Робинзон оказывается  на острове, где ему  предстоит провести  много­много лет.  Автор создает яркие  картины южной  природы, подчеркивает своеобразие каждого  времени года. Каким  же видит Робинзон  Крузо необитаемый  остров?   Картину острова,  жилища, изображаем с  помощью линий. Какую линию  представляет собой  лестница в хижину? После изображения  ломаной формулируем  тему урока. Учитель на рисунке  выделяет тропинку от  хижины до огорода и  между грядками виде  отрезков(цветным  мелом). Можем узнать  сколько метров её  длина? Учитель.  Робинзон  оказывается на  острове, где ему  предстоит провести  много­много лет.  Автор создает яркие  картины южной  природы, подчеркивает Учащиеся рассказывают как  Робинзон пробует вести своё  хозяйство, приспосабливается к  жизни на острове, они  воспроизводят мельчайшие  подробности жизни героя на  острове. В частности, со слов  автора  подробно описывают своеобразие каждого  времени года. Каким  же видит Робинзон  Крузо необитаемый  остров?  Как относится к  деньгам? Что думает о  тех деньгах, которые  находит на корабле?  Нужны ли они ему?  Сообщения о валюте  страны и перевод её в  денежные единицы  России. Что поддерживает  Робинзона Крузо в его  одиночестве? Как он  оценил своё  положение? Что  считает добром, а что  злом?  Проанализировали  список поступков,  составленный самим  Робинзоном. Учитель: Робинзон  Крузо старается  утешить себя тем, «что  могло бы случиться и  хуже, и  противопоставлял злу  добро». Труд, религия,  терпение,  благоразумие, здравый  смысл спасло  Робинзона, он «работал не покладая рук». Учитель: Разум,  трудолюбие, оптимизм, вера в Бога помогают  найти выход из самой  сложной ситуации, в  которую попадает  человек. Человек    начинает свою жизнь на острове с почти  примитивного  состояния и столь же  примитивных занятий.  Он вводит новое  летоисчисление. Постройте в тетради  ломаную по  следующему описанию. 3.Решение учебной задачи. Цель: построение и  процесс изготовления того или  иного предмета. Один из  учеников вспоминает, что  Робинзон спас книгу: Коран. Что такое летоисчисление! Выполняют в тетради. На интерактивной доске  проверяем (учитель готовит  Личностные: умение  распределять внимание фиксация новых  знаний. Учебник №22. заранее). Начертите в тетради  какую­нибудь ломаную с вершинами в узлах  сетки и «продиктуйте  её соседу» Где в классной  комнате, на каких  предметах видите  ломаные?  В каких единицах  длины могут быть  выражены звенья  ломаной? А ступеньки лестницы  в хижину?(это звенья) Ломаная ­границы  грядок? Рассмотреть рисунок  (изображены ломаные), заполнить таблицу.   Таблицы на партах.  Работаем в парах. Выполняем задания по  уровням. 1 уровень: №8 тетрадь  тренажер. 2 уровень; №16  тетрадь тренажер. Что не получалось? Что не увидели в  ломаной? Зачем мы изучили  ломаную?  Где знания о ней могут  пригодиться? Какой путь будет  короче? 4.Первичное  закрепление. Цель: Формировать у  обучающихся  способности к новому  способу действий. 5.Включение в  систему знаний и  повторение. Цель: использование  приобретённых знаний  в практической  деятельности и  повседневной жизни. Отмечают, что похоже на игру  «морской бой». Обращают внимание на каркасные модели многогранников. (покрашенные в другой цвет  рёбра образуют замкнутые и не  замкнутые ломаные).Считают  количество рёбер, находят длины  ломаных. Перечисляют меры длины. В см. В м и см. Замк нута я Незам кнута я Самопересе кающаяся Без  самопере сечений Обсуждают, заполняют таблицу. Лом а ная 1 2 3 4 5 Выполняют в тетрадях.  Первому уровню, после попыток  предлагается каркасная модель и  учащиеся находят решение. Сложно работать  без модели в  руках. Сложно, если не покрашены  звенья ломаной. Нет концов у звеньев ломаной. Робинзон Крузо отмерял равные  отрезки, сплетал и получил  лестницу. Если бы звенья были   разной длины, то лестница не  получилась бы.  Путь к океану можно изобразить  ломаной из нескольких звеньев, а  можно одним отрезком звеном­  соединим начало первого звена и  конец последнего. Так можно и дорогу в школу  начертить­ ломаная(заходить в  дворы домов) или одним  отрезком! Путь –одним отрезком! Регулятивные: выдвигают  версии решения задачи  Коммуникативные: точно и  грамотно выражают свои  мысли; Предметные: знают части  прямой; единицы длины. Личностные:  адекватно  реагируют на трудности и не  боятся сделать ошибку; Регулятивные: работают по  плану, сверяют свои действия  с целью, исправляют ошибки; Владеют   общими   приёмами решения   задач;   оценивают качество   и   уровень   усвоения ими материала; Коммуникативные: слушают и слышат, сотрудничают с  учителем и сверстниками;  видят разницу двух  высказанных версий; Личностные: умеют  сопереживать; Регулятивные: умеют  составлять  план действий; Коммуникативные: умеют  видеть разницу двух  заявленных точек мнения. 6.Рефлексия  учебной  Давайте скажем что  нового и полезного мы  Учащиеся подводят итоги,  вспомнив поставленные цели и  Личностные: умение  оценивать свои действия; задачи. Учащиеся приобретают навык  рефлексии результатов  деятельности. адекватно понимают успехи и  неудачи своих учебных  действий: Регулятивные: осознание  конечного результата; Коммуникативные:  высказывают свою точку  зрения, понимают  необходимость аргументации  своего мнения. деятельности. Цель:  зафиксировать  новое содержание,  оценить  собственную  деятельность на  уроке. узнали на уроке? Было интересно … Я понял, что … Теперь я могу … У меня получилось … Меня удивило … Я попробую … Домашнее задание: Рисунок места  обитания Робинзона  Крузо завершить­ раскрасить, дать  название. Оценка по  ИЗО. Определить день  для сдачи работы  учителю ИЗО. Учебник: п.2 , №23,  №24. По желанию:  сообщение о  летоисчислении.

ГДЗ по Математике 5 класс Дорофеев, Шарыгин (Учебник)

Авторы:
Дорофеев Г. В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.
Издательство:
Просвещение

Трудно освоиться в новой атмосфере среднего звена и справиться с точными науками? Тогда вам точно пригодится ГДЗ по математике 5 класс Дорофеев! Конечно, малышам, которые начинают познавать трудности средней школы, тяжело. Однако не стоит давить на них, нужно посоветовать данный сайт. И не думайте, что с него пятиклассник будет бездумно списывать все, что ему будут задавать. Родители как раз должны будут контролировать учебный процесс. То есть, надо открыть перед ребенком решебник тогда, когда он уже все сделал, и остается лишь сверить результат. Если он окажется ошибочным, то неточность отследить будет очень просто благодаря тому, что здесь представлен полный и детальный ход решения каждого номера.

Все пользователи в восторге от онлайн-решебника к учебнику по математике 5 класс Дорофеев

Чудесным подспорьем станет предложенный учебно-методический комплекс, так как он позволит школьникам быстро и качественно разобраться с возникшими сложностями. Также это пособие будет полезно и для родителей школьника. С его помощью можно за несколько минут проверить, правильно ли ребенок выполнил упражнение. Плюс, ознакомившись с алгоритмом решения, мама и папа смогут объяснить ученику математические правила, которые они не смогли усвоить во время урока. Издание включает ответы, которые помогут улучшить оценки и восполнить пробелы в знаниях. Задачник содержит упражнения всех уровней сложности и даже те, которые будут отведены на контрольную работу. Расскажем о полном списке преимуществ решебника по математике пятый класс Дорофеев, Шарыгина:

  • формирование способности к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений, независимость и критичность мышления;
  • наличие абсолютно правильных решений;
  • здесь можно за несколько секунд найти сведения обо всех изданиях для рабочей программы лицеев и гимназий;
  • выполнение внеклассных задач проходит качественнее и быстрее, освобождается время для хобби, посещений кружков или просто для активного отдыха.

Ответы из решебника

Глава 1. Линии

1.1. Разнообразный мир линий

1.3. Длина линии

1.4. Окружность

Глава 2. Натуральные числа

2.1. Как записывают и читают натуральные числа

2.2. Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел

2.4. Округление натуральных чисел

2.5. Решение комбинаторных задач

Глава 3. Действия с натуральными числами

3.1. Сложение и вычитание

3.2. Умножение и деление

3.4. Степень числа

3.5. Задачи на движение

Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях

4.1. Свойства сложения и умножения

4.2. Распределительное свойство

4.4. Задачи на уравнивание

Глава 5. Углы и многоугольники

5.1. Как обозначают и сравнивают углы

5.2. Измерение углов

5.3. Ломаные и многоугольники

6.1. Делители и кратные

6.2. Простые и составные

6.3. Свойства делимости

6.4. Признаки делимости

6.5. Деление с остатком

7.1. Треугольники и их виды

7.2. Прямоугольники

7.3. Равенство фигур

7.4. Площадь прямоугольника

Глава 8. Дроби

8.3. Основное свойство дроби

8.4. Приведение дробей к общему знаменателю

8.5. Сравнение дробей

8.6. Натуральные числа и дроби

Глава 9. Действия с дробями

9.2. Смешанные дроби

9.3. Сложение и вычитание смешанных дробей

9.4. Умножение дробей

9.5. Деление дробей

9.6. Нахождение части целого и целого по части

Глава 10. Многогранники

10.1. Геометрические тела и их изображение

10.2. Параллелепипед

10.3. Объем параллелепипеда

Глава 11. Таблицы и диаграммы

11.3. Опрос общественного мнения

Чему вы научились

Очень часто так получается, что лучшим другом и постоянным помощникам, как для учеников, так и для их родителей становятся решебники по математике. На сегодняшний день огромное количество учащихся сталкиваются со сложностями. В связи с сильными нагрузками, внушительным объёмом предметов и учебных часов, часто испытывают переутомление и снижение успеваемости. Потому что, когда не понял новый материал в классе, или попросту пропустил занятие, лучше, чем такие сборники ГДЗ никто не сможет всё разъяснить и расставить по своим местам. Такая литература издаётся специалистами, которые много лет работают со школьниками и прекрасно знают их психологию. Так и команда опытных и высококлассных методистов прекрасно владеет подходом к пятиклассникам. К тому же множество других наук основаны на математических законах. А это значит, что целый ряд профессий тесно связаны с этой дисциплиной. Поэтому школьная успеваемость важна не только для получения хороших отметок. Немецкий политический деятель и историк Энгельс дал для математики определение — это наука о количественных отношениях и пространственных формах материального мира. Уже давно она считается одним из наиболее важных дисциплин. Является обязательной для тестирования, которое будет происходить на едином государственном экзамене перед выпускным. Рабочая программа выстраиваться так, чтобы максимально эффективно и своевременно подготовить ученика, чтоб каждый пятиклассник в дальнейшем смог сдать основной и единый гос. экзамены и поступить в успешный желаемый университет. Достоинства:

  • онлайн-режим;
  • верные решения;
  • одобрен ФГОС.

Почему сборник за пятый класс по математике от Дорофеева так хорош в роли подспорья

Пособие включает разобранные задачи на работу с геометрическими фигурами, поиск объема и площади. В задачнике собраны образцы выполнения практических упражнений, которые будут отведены на итоговый контроль. Для некоторых школьников, девятый класс является последним в общеобразовательном обучении. Перед экзаменами предстоит повторять пройденный и усваивать новый материал. На все это, необходимо затрачивать немало времени, особенно тем, у кого имеются проблемы с алгеброй.

Содержание пособия по математике для 5 класса

Книга была разработана следующими опытными педагогами: Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О. Они включили сюда все необходимые темы:

  1. Виды линий на плоскости.
  2. Сравнение и округление натуральных чисел.
  3. Свойства арифметических действий.

Математика 5 класс — Поурочные разработки

Глава 1. Линии

1.1. Разнообразный мир линий

УРОК 1. Линии на плоскости

1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная

УРОК 2. Прямая. Отрезок и луч

УРОК 3. Ломаная

1.3. Длина линии

УРОК 4. Сравнение отрезков. Длина отрезка. Единицы длины

УРОК 5. Длина линии. Длина ломаной. Старинные единицы длины

1.4. Окружность

УРОК 6. Окружность. Круг

УРОК 7. Окружность и круг

Глава 2. Натуральные числа

2.1. Как записывают и читают числа

УРОК 8. Сопоставление десятичной системы записи чисел и римской нумерации

УРОК 9. Десятичная система записи чисел

2.2. Сравнение чисел

УРОК 10. Натуральный ряд чисел и его свойства

УРОК 11. Сравнение чисел. Двойное неравенство

2.3. Числа и точки на прямой

УРОК 12. Координатная прямая

УРОК 13. Изображение натуральных чисел точками на координатной прямой

2.4. Округление натуральных чисел

УРОК 14. Округление натуральных чисел

УРОК 15. Правило округления натуральных чисел

2.5. Перебор возможных вариантов

УРОК 16. Перебор возможных вариантов

УРОК 17. Дерево возможных вариантов

УРОК 18. Решение комбинаторных задач

УРОК 19. Логика перебора при решении комбинаторных задач

Глава 3. Действия с натуральными числами

3.1. Сложение и вычитание

УРОК 20. Сложение натуральных чисел

УРОК 21. Взаимосвязь между сложением и вычитанием натуральных чисел

УРОК 22. Нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания

УРОК 23. Прикидка и оценка результатов вычислений

УРОК 24. Решение текстовых задач

3.2. Умножение и деление

УРОК 25. Умножение натуральных чисел

УРОК 26. Умножение и деление натуральных чисел

УРОК 27. Нахождение неизвестных компонентов умножения и деления

УРОК 28. Умножение натуральных чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений

УРОК 29. Деление натуральных чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений

УРОК 30. Простейшие задачи на движение

УРОК 31. Решение задач на умножение и деление натуральных чисел

УРОК 32. Зачет 1. «Натуральные числа»

3.3. Порядок действий в вычислениях

УРОК 33. Порядок действий в вычислениях

УРОК 34. Порядок действий в выражениях, содержащих действия разных ступеней

УРОК 35. Порядок действий. Вычисления по схеме

УРОК 36. Порядок действий в вычислениях. Решение текстовых задач

3.4. Степень числа

УРОК 37. Степень числа

УРОК 38. Квадрат и куб числа

УРОК 39. Порядок действий при вычислении значений выражений, содержащих степени

3.5. Задачи на движение

УРОК 40. Задачи на движение навстречу и в противоположных направлениях

УРОК 41. Задачи на движение навстречу и в одном направлении

УРОК 42. Задачи на движение по течению и против течения

УРОК 43. Различные задачи на движение

УРОК 44. Зачет 2. «Действия с натуральными числами»

Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях

4.1. Свойства сложения и умножения

УРОК 45. Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения

УРОК 46. Преобразование выражений на основе свойств действий

4.2. Распределительное свойство

УРОК 47. Распределительное свойство

УРОК 48. Вынесение общего множителя за скобки

УРОК 49. Преобразование числовых выражений на основе распределительного закона

4.3. Задачи на части

УРОК 50. Задачи на части

УРОК 51. Задачи на части, в условии которых дается масса всей смеси

УРОК 52. Задачи на части, в которых части в явном виде не указаны

УРОК 53. Разные задачи на части

4.4. Задачи на уравнивание

УРОК 54. Как решать задачи на уравнивание

УРОК 55. Решение задач на уравнивание

УРОК 56. Зачет 3. «Использование свойств действий при вычислениях»

Глава 5. Многоугольники

5. 1. Как обозначают и сравнивают углы

УРОК 57. Угол. Обозначение углов. Сравнение углов

УРОК 58. Виды углов. Биссектриса угла

5.2. Измерение углов

УРОК 59. Градус, транспортир, измерение углов

УРОК 60. Построение углов заданной градусной меры с помощью транспортира

УРОК 61. Построение углов

5.3. Ломаные и многоугольники

УРОК 62. Ломаные и многоугольники. Периметр многоугольника

УРОК 63. Многоугольники. Диагонали многоугольников

Глава 6. Делимость чисел

6.1. Делители и кратные

УРОК 64. Делители числа. Наибольший общий делитель

УРОК 65. Делители и кратные числа. Наименьшее общее кратное

УРОК 66. Делители и кратные

6.2. Простые и составные числа

УРОК 67. Простые и составные числа

УРОК 68. Разложение составного числа на простые множители

6.3. Делимость суммы и произведения

УРОК 69. Делимость суммы и произведения

6.4. Признаки делимости

УРОК 70. Признаки делимости на 2, на 5, на 10

УРОК 71. Признаки делимости на 9 и на 3

УРОК 72. Признаки делимости чисел

УРОК 73. Делимость натуральных чисел. Урок-игра «Математический перекресток»

6.5. Деление с остатком

УРОК 74. Деление с остатком

УРОК 75. Нахождение неизвестных компонентов при делении с остатком

УРОК 76. Деление с остатком при решении задач

6.6. Разные арифметические задачи

УРОК 77. Решение задач арифметическим способом

УРОК 78. Зачет 4. «Делимость чисел»

Глава 7. Треугольники и четырехугольники

7.1. Треугольники и их виды

УРОК 79. Треугольники и их виды. Свойства равнобедренного треугольника

УРОК 80. Классификация треугольников по сторонам и углам

7.2. Прямоугольники

УРОК 81. Прямоугольники

УРОК 82. Прямоугольник. Свойства диагоналей прямоугольника

7.3. Равенство фигур

УРОК 83. Равные фигуры

УРОК 84. Равные фигуры

7.4. Площадь прямоугольника

УРОК 85. Площадь прямоугольника

УРОК 86. Площадь фигур, составленных из прямоугольников

7.5. Единицы площади

УРОК 87. Единицы площади

Глава 8. Дроби

8.1. Доли

УРОК 88. Как единица на доли делится

УРОК 89. Нахождение целого по его части

8.2. Что такое дробь

УРОК 90. Как из долей получаются дроби. Правильные и неправильные дроби

УРОК 91. Изображение дробей точками на координатной прямой

УРОК 92. Решение задач на нахождение дроби от числа

УРОК 93. Решение основных задач на дроби

8.3. Основное свойство дроби

УРОК 94. Основное свойство дроби

УРОК 95. Основное свойство дроби. Приведение дробей к новому знаменателю

УРОК 96. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

УРОК 97. Преобразование дробей с помощью основного свойства

8.4. Сравнение дробей

УРОК 98. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

8.5. Приведение дробей к общему знаменателю

УРОК 99. Приведение дробей к общему знаменателю

УРОК 100. Приведение дробей к общему знаменателю и их сравнение

УРОК 101. Сравнение дробей

УРОК 102. Различные приемы сравнения дробей

8.6. Натуральные числа и дроби

УРОК 103. Натуральные числа и дроби

УРОК 104. Натуральные числа и дроби

8.7. Случайные события

УРОК 105. Достоверные, невозможные и случайные события

УРОК 106. Случайные события

УРОК 107. Зачет 5. «Обыкновенные дроби»

Глава 9. Действия с дробями

9.1. Сложение дробей

УРОК 108. Сложение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

УРОК 109. Сложение дробей с разными знаменателями

УРОК 110. Сложение дробей. Прикидка оценка результатов

УРОК 111. Задачи на совместную работу

9.2. Сложение смешанных дробей

УРОК 112. Смешанные дроби

УРОК 113. Выделение целой части из неправильной дроби

УРОК 114. Сложение смешанных дробей

9.3. Вычитание дробных чисел

УРОК 115. Вычитание обыкновенных дробей

УРОК 116. Вычитание дроби из целого числа

УРОК 117. Вычитание чисел, одно из которых выражается смешанной дробью

УРОК 118. Рациональные приемы вычислений

УРОК 119. Вычитание смешанных дробей

УРОК 120. Игра «Биржа знаний»

УРОК 121. Зачет 6. «Сложение и вычитание дробей»

9.4. Умножение дробей

УРОК 122. Умножение обыкновенных дробей

УРОК 123. Умножение дроби на натуральное число

УРОК 124. Умножение смешанных дробей

УРОК 125. Решение задач, приводящих к умножению дробей

УРОК 126. Возведение в степень обыкновенных дробей. Применение свойств умножения для упрощения вычислений

9.5. Деление дробей

УРОК 127. Деление обыкновенных дробей

УРОК 128. Деление обыкновенной дроби на натуральное число и числа на дробь

УРОК 129. Деление смешанных дробей

УРОК 130. Все случаи деления обыкновенных дробей

УРОК 131. Решение задач, приводящих к делению дробей

УРОК 132. Действия с обыкновенными дробями

9. 6. Нахождение части целого и целого по его части

УРОК 133. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби

УРОК 134. Нахождение части целого на основе формального правила

УРОК 135. Нахождение целого по его части на основе формального правила

УРОК 136. Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби

УРОК 137. Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби

9.7. Задачи на совместную работу

УРОК 138. Задачи на совместную работу

УРОК 139. Задачи на совместную работу

УРОК 140. Задачи на совместную работу

УРОК 141. Обыкновенные дроби

УРОК 142. Зачет 7. «Умножение и деление дробей»

Глава 10. Многогранники

10.1. Геометрические тела и их изображение

УРОК 143. Знакомство с геометрическими телами. Многогранники. Цилиндр. Конус. Шар

УРОК 144. Геометрические тела и их изображение

10.2. Параллелепипед

УРОК 145. Прямоугольный параллелепипед. Куб

УРОК 146. Прямоугольный параллелепипед. Куб

10.3. Объем параллелепипеда

УРОК 147. Объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы объема

УРОК 148. Объем прямоугольного параллелепипеда

УРОК 149. Решение задач на вычисление объемов

10.4. Пирамида

УРОК 150. Пирамида и ее элементы

10.5. Развертки

УРОК 151. Развертки параллелепипеда и куба

УРОК 152. Развертки поверхностей геометрических тел

Глава 11. Таблицы и диаграммы

11.1. Чтение и составление таблиц

УРОК 153. Чтение таблиц

УРОК 154. Чтение и составление турнирных и частотных таблиц

УРОК 155. Построение таблиц

11.2. Чтение и построение диаграмм

УРОК 156. Чтение и построение столбчатых диаграмм

УРОК 157. Столбчатые и круговые диаграммы

11.3. Опрос общественного мнения

УРОК 158. Опрос общественного мнения

УРОКИ 159-160. Опрос общественного мнения

ГДЗ по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев Параграф 2

Параграф 2
УПРАЖНЕНИЯ 
ПРЯМАЯ. ЧАСТИ ПРЯМОЙ

14. Отметьте в тетради точки А и С. Проведите через них прямую. Отметьте на прямой АС ещё три точки и обозначьте их. Отметьте четыре точки, не лежащие на прямой АС; обозначьте их.
Ответ:

15. Начертите две пересекающиеся прямые а и b и обозначьте точку их пересечения буквой D. Проведите через точку D ещё одну прямую, отличную от а и b. Сколько получилось лучей с началом в точке D? Сколько можно построить прямых, проходящих через точку D?
Ответ:

Получилось 6 лучей с началом в точке D.
Бесконечное множество прямых можно провести.

16. Проведите прямую а и отметьте на ней точки А, В, С, D, К так, чтобы:
а) точка С принадлежала отрезку с концами в точках А и В;
б) точка D принадлежала лучу АВ и не принадлежала отрезку АВ;
в) точка К принадлежала лучу ВА и не принадлежала отрезку АВ.

Ответ:

17. Рассмотрите рисунок 1.19. Верно ли утверждение:
а) точка А лежит на отрезке СВ;
б) точка А лежит на луче СВ;
в) точка А лежит на луче ВD;
г) точка D лежит между точками А и С;
д) точка В лежит на луче АС и луче СА;
е) точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке В?

Ответ:
а) нет
б) да
в) да
г) нет
д) да
е) нет

18. В узле квадратной сетки тетради отметьте точку О. Постройте:
1) точку А, расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки О;
2) точку В, расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки О;
3) точку С, расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки О.
4) Соедините каждую из точек А, В, С с точкой О. Назовите получившиеся отрезки.

Ответ:

Отрезки: ОА, ОВ и ОС.

19. Начертите отрезок АВ. Отметьте точку К так, чтобы точки А, В и К не принадлежали одной прямой. Проведите через точку К:
а) прямую b, пересекающую отрезок АВ;
б) прямую d, не пересекающую отрезок АВ.

Ответ:

20. Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначьте их. Проведите все отрезки, концами которых являются пары этих точек. Сколько получилось отрезков? 
Ответ:

Получилось 3 отрезка: AB, BC и CA.

ЛОМАНАЯ

21. Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 1.20). Запишите её звенья.
Ответ:

AB, BC, CD — звенья.

22. а) Постройте в тетради ломаную по следующему описанию:
• отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А;
• от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз, отметьте точку В;
• от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз, отметьте точку С;
• от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и 6 клеток вверх, отметьте точку О.
Соедините точки по линейке в том порядке, в котором вы их строили. Назовите ломаную. Из скольких звеньев она состоит?
б) Начертите в тетради какую-нибудь ломаную с вершинами в узлах сетки и «продиктуйте» её соседу по парте.

Ответ: 

ABCO — ломаная. Она состоит из 3 звеньев (AB, BC и CO).


ABCDE — ломаная. Она состоит из 4 звеньев (AB, BC, CD и DE).

23. Начертите в тетради:
а) замкнутую ломаную, состоящую из трёх звеньев;
б) незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев.

Ответ:

KLM — замкнутая ломаная. Она состоит из 3 звеньев (KL, LM и MK).


ABCDE — незамкнутая ломаная. Она состоит из 4 звеньев (AB, BC, CD и DE).

24. Отметьте и обозначьте три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько можно построить незамкнутых ломаных с вершинами в этих точках? Указание. Для каждого случая сделайте рисунок.    
Ответ:
Можно построить 3 незамкнутые ломаные.

25. На рисунке 1.21 изображён каркас куба. Назовите:
а) отрезки, одним из концов которых является точка М;
б) какую-нибудь ломаную, состоящую из трёх звеньев;
в) несколько ломаных, по которым можно пройти из точки А в точку К.
Какой путь короче: АВКМ или ABCDNM? Назовите ещё какой-нибудь путь такой же длины, что и АВКМ, и путь такой же длины, что и ABCDNM.

Ответ:
а) KM, CM, NM
б) ABCM — ломаная. Она состоит из 3 звеньев (AB, BC и CM)
в) ABCMK, ALNMK, ADCBK
Путь короче у АВКМ, так как АВКМ — ломаная, состоящая из 3 звеньев, а ABCDNM — из 5 звеньев.
ALNM такой же длины как и АВКМ.
LKMNDC такой же длины как и ABCDNM.

26. ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек попарного пересечения прямых у вас получилось?
2) В некотором городе три попарно пересекающиеся улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Сколько всего светофоров в городе? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городе с десятью улицами?

Ответ:

Получилось три точки попарного пересечения прямых D,E,F.


В городе всего 3 светофора.
Если проложить 4 улицу, то светофоров станет 6. (3 имеющихся светофора +3 новых)

Когда проложим 5 улицу, то светофоров станет 10. (6 имеющихся светофора +4 новых).
Каждая новая улица, пересекает все предыдущие улицы и прибавляет столько светофоров, сколько было улиц.
6 улица: 10+5=21
7 улица: 15+6=21
8 улица: 21+7=28
9 улица: 28+8=36
10 улица: 36+9=45
Получается, что с 10 улицами будет 45 светофоров.
​​​​​​​

 

 

Математика, рабочая тетрадь, 5 класс, часть 1, Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Рослова Л.О., Минаева С.С., Суворова С.Б., 2013

Математика, рабочая тетрадь, 5 класс, часть 1, Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Рослова Л.О., Минаева С.С., Суворова С.Б., 2013.

Задания.
Внутри круга отмечена точка А, а вне круга — точка В. Измерьте расстояние от этих точек до центра окружности и занесите результаты измерений в соответствующую таблицу. Отметьте ещё несколько точек вне круга и внутри круга, измерьте расстояние от каждой из отмеченных точек до точки О и занесите результаты в таблицу.

От каждого числа проведите стрелку к его словесному прочтению.
10050030 Десять миллионов пятьсот тысяч тридцать
10005030 Десять миллионов пять тысяч тридцать
10005300 Десять миллионов пятьсот тысяч триста
10500300 Десять миллионов пятьдесят тысяч тридцать
Десять миллионов пять тысяч триста

Запишите цифрами число:
а) одна тысяча двадцать.
б) две тысячи шестьдесят.
в) триста семь тысяч двадцать восемь.
г) одиннадцать тысяч семьдесят восемь.
д) семнадцать миллионов восемьсот тридцать четыре тысячи сто двенадцать.
е) восемь миллионов пятьсот одиннадцать тысяч триста пятьдесят

Содержание
Глава 1. Линии
Разнообразный мир линий.
Прямая. Части прямой. Ломаная.
Длина линии.
Окружность.
Глава 2. Натуральные числа
Как записывают и читают натуральные числа.
Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел.
Числа и точки на прямой.
Округление натуральных чисел.
Решение комбинаторных задач.
Глава 3. Действия с натуральными числами
Сложение и вычитание.
Умножение и деление.
Порядок действий в вычислениях.
Степень числа.
Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях
Свойства сложения и умножения.
Распределительное свойство.
Задачи на части.
Задачи на уравнивание.
Глава 5. Углы и многоугольники
Как обозначают и сравнивают углы.
Измерение углов.
Ломаные и многоугольники.

  — pdf — Яндекс.ДискДата публикации: 29.10.2014 17:43 UTC

%PDF-1.2 % 1 0 объект> эндообъект 2 0 объект> эндообъект 3 0 объект> эндообъект 4 0 объект> эндообъект 5 0 объект> эндообъект 6 0 объект> эндообъект 15 0 объект> эндообъект 24 0 obj>/BaseFont/RWMCCW+Times-Italic/FirstChar 32/LastChar 255/Subtype/Type1/ToUnicode 31 0 R/FontDescriptor 25 0 R/Widths[233 247 366 617 527 847 780 194 370 370 503 714 419 503 502 500 502 493 503 502 502 502 502 271 302 502 502 714 634 448 816 599 634 613 717 646 576 628 770 401 450 673 641 891 750 670 614 670 657 563 638 693 608 926 598 591 598 355 387 351 498 548 195 512 484 424 511 432 273 424 511 432 273 422 518 270 249 507 262 742 518 472 472 480 358 356 272 515 445 630 365 456 401 361 263 362 613 233 233 263 191 497 506 814 549 547 233 1255 233 346 233 233 233 233 233 266 266 505 505 715 725 897 233 891 233 346 233 233 233 233 238 233 233 233 233 580 620 544 730 532 263 503 444 730 532 263 503 444 781 514 453 740 422 780 1064 318 714 381 380 196 506 544 250 793 917 548 454 860 850 778 920 254 599 634 527 630 646 598 770 740 401 673 597 740 401 673 599 891 750 620 700 782 614 233 590 638 591 800 598 811 760 401 591 540 440 500 254 507 540 520 420 472 440 400 500 532 254 530 470 510 430 400 472 520 500 400 4004 420 504 640 460 610 690 2 54 504 472 504 690 233]>> эндообъект 25 0 объект> эндообъект 26 0 объект>поток %!PS-AdobeFont-1. 0: NewtonGM Курсив 001.000 %%CreationDate: 05:28:97 %%Авторское право (c) 1990-1997 ParaGraph % улица Красикова, 32, 19 этаж % Москва 117418 Россия % телефон: +7 (095) 129-1500 % факс: (7095) 129-0911 %%Newton является торговой маркой ParaGraph. 11 начало слова /FontInfo 9 начало дублирования словаря /версия (001.000) только для чтения по определению /Уведомление (Авторское право (c) 1990-1997 ParaGraph) только для чтения /FullName (PT Newton Italic Greek Monotonic) только для чтения def /FamilyName (NewtonGM) только для чтения по определению /КурсивныйУгол -16.10 деф /isFixedPitch ложное определение /UnderlinePosition -100 деф. /UnderlineThickness 50 по определению конец только для чтения /Название шрифта /RWMCCW+Times-Italic def /PaintType 0 по умолчанию /Тип шрифта 1 по умолчанию /FontMatrix [0,001 0 0 0,001 0 0] только для чтения /Кодирование массива 256 0 1 255 {1 index exch /.notdef put} для дублировать 32 /пробел поставить дупликация 33 /восклицательный знак дубликат 34 /quotedbl поставить дублировать 35 / числовой знак поставить дуп 36 /доллар пут дуп 37 /процент пут дублировать 38 / поставить амперсанд дубликат 39 /quotesingle put дублировать 40 /parenleft поставить дубликат 41 /parenright put дуп 42 /звездочка поставить дубликат 43 / плюс положить дублировать 44 / поставить запятую дублировать 45 /дефис минус поставить дубликат 46 / период времени дублировать 47 /слэш поставить дублировать 48 / поставить ноль дубликат 49 / один раз дубликат 50 / два раза дубликат 51 / тройка дуп 52 /четыре пут дуп 53 /пять поставить дублировать 54 / шесть положить дуп 55 / семь пут дубликат 56 / восьмой пут дуп 57 /девять пут дубликат 58 /двоеточие поставить дубликат 59 / ставится точка с запятой дуп 60 / меньше поставить дублировать 61 / равно поставить дублировать 62 / больше положить дуп 63 / поставлен вопрос дублировать 64 / в пути дуп 65 /А пут дублировать 66 / B поставить дуп 67 /С поставить дублировать 68 /D поставить дублировать 69 / E положить дуп 70 /F поставить дупликация 71 / G положить дуп 72 / ч поставить дуп 73 /я поставил дупликация 74 /J put дуп 75 /к поставить дуп 76/л пут дупликация 77 /М пут дублировать 78 / N положить дублировать 79 / O поставить дуп 80 /P поставить дубликат 81 / Q положить дуп 82 /R поставить дубликат 83 / S положить дуп 84 /Т пут дуп 85 / U положить дуп 86 /В поставить дуп 87 /W поставить дублировать 88 / X поставить дубликат 89 /Y поставлен дуп 90 /Z поставить dup 91 /bracketleft поставить дублировать 92 / обратную косую черту поставить dup 93 /правая скобка дупликация 94 / asciicircum put дублировать 95 / подчеркивание поставить дубликат 97 / день дуп 98 /b поставить дуп 99 /с поставить дуп 100 / д поставить дублировать 101 / e положить дуп 102 / ф пут дуп 103/г положил дуп 104 /ч поставить дуп 105 / я поставил дубликат 106 / j put дуп 107 /k поставить дуп 108 /л положить дуп 109 /м положил дуп 110 / п поставить дублировать 111 / о поставить дуп 112 /p поставить дублировать 113 / q поставить дуп 114 /р поставить дуп 115/с поставить дуп 116 /т пут дублировать 117 / поставить дуп 118 /v поставить дублировать 119 / w поставить дублировать 120 /x поставить дуп 121 /год положен дуп 122 /z поставить дублировать 123 /braceleft положить дуп 125 /braceright поставить дупликация 126 / asciitilde put дуп 132 /quotedblbase положить дуп 149 /положить пулю дублировать 151 / emdash поставить дубликат 153 / торговая марка дубликат 162 /Alphatonos положить дуп 163/стерлинг пут дубликат 167 / раздел положить дубликат 171 / guillemotleft put дубликат 172 /логический не ставится дубликат 174 / зарегистрированный пут дублировать 176 / градус положить дублировать 177 / плюс минус поставить дупликация 184 /Epsilontonos put дуп 185 /Этатонос пут дупликация 186 / Йотатонос пут дупликация 187 / guillemotright put дупликация 188 /Омикронтонос поставил дуп 190 /ипсилонтонос пут дуп 191 / Омегатонос пут дубликат 195 /Гамма-пут дубликат 196 / дельта-пут дуп 200 / тета пут дуп 203 /лямбда поставить дупликация 206 /си пут дублировать 208 /Pi поставить дуп 211 /Сигма поставил дубликат 214 /Phi put дуп 216 /Psi положить дуп 217 /Омега пут дуп 218 / Йотадиерезис пут дуп 225 /альфа пут дубликат 226 / бета-версия дуп 227 / гамма поставить дубликат 228 / дельта-пут дуп 229 /эпсилон пут дуп 230 / зета пут дублировать 231 /эта положить дубликат 232 / тета положить дуп 233 /йота поставить дуп 234 /каппа пут дуп 235 /лямбда поставить дуп 236 /мю поставить дублировать 238 / xi поставить дуп 240 / пи поставить дуп 241 /ро положить дуп 242 /сигма1 поставить дуп 243 /сигма поставил дуп 244 /тау пут дуп 245 /ипсилон пут дуп 246 / фи поставить дуп 247 / чи пут дуп 248 /фунтов на квадратный дюйм положить дуп 249 / омега пут дупликация 192 /iotadieresistonos put дуп 220 /alphatonos поставить дуп 221 /epsilontonos положить дуп 222 /этатон поставил дубликат 223 /iotatonos put дуп 224 /upsilondieresistonos положить дуп 250 /йотадиерезис пут дупликация 251 /upsilondieresis put дуп 252 /омикронтонос поставить дуп 253 /upsilontonos положить только для чтения /FontBBox {-171 -211 1229 848} только для чтения /Уникальный идентификатор 5049035 по умолчанию конец текущего слова текущий файл v!#EdL6″} Y (exmba’ju @ k0rm ޤ c ع? Fd0o

Эффект деформации поглощающих рассеивателей на подписи Mie-типа в инфракрасной микроспектроскопии

, , 1 , 2 , 1 и , 6 и 1

Maren Anna Brandsrud

1 Факультет естественных наук и технологий, Норвежский университет естественных наук, Аас, Норвегия

Райнхольд Блюмель

2 Факультет физики, Уэслианский университет, Мидлтаун, Коннектикут, США

Йоханна Хейтманн Солхайм 9002 7 0 Факультет

наук и технологий, Норвежский университет естественных наук, Аас, Норвегия

Ахим Колер

1 Факультет естественных наук и технологий, Норвежский университет естественных наук, Аас, Норвегия

1 Факультет естественных наук и технологий, Норвежский Университет естественных наук, Аас, Норвегия

2 Факультет физики, Уэслианский университет, Миддлтаун, Конне cticut USA

Автор, ответственный за переписку.

Поступила в редакцию 10 июля 2020 г .; Принято 18 января 2021 г.

Открытый доступ Эта статья находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License, которая разрешает использование, совместное использование, адаптацию, распространение и воспроизведение на любом носителе или в любом формате при условии, что вы укажете оригинал. автор(ы) и источник, предоставьте ссылку на лицензию Creative Commons и укажите, были ли внесены изменения. Изображения или другие сторонние материалы в этой статье включены в лицензию Creative Commons на статью, если иное не указано в кредитной строке материала.Если материал не включен в лицензию Creative Commons статьи, а ваше предполагаемое использование не разрешено законом или выходит за рамки разрешенного использования, вам необходимо получить разрешение непосредственно от правообладателя. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.

Abstract

Особенности рассеяния типа Ми, такие как рябь (т. е. острые пики резонанса формы) и покачивания (т. е. широкие колебания), часто наблюдаемые явления рассеяния в инфракрасной микроспектроскопии клеток и тканей.Обычно они появляются, когда длина волны электромагнитного излучения того же порядка, что и размер рассеивателя. С помощью приближений к решениям Ми для сфер были разработаны итерационные алгоритмы для получения чистых спектров поглощения. Однако остается вопрос, в какой степени решения Ми и их приближения описывают эффективность ослабления в практических ситуациях, когда форма рассеивателей значительно отличается от сферической. Целью настоящего исследования является изучение того, как отклонения от сферического рассеивателя могут изменить экстинкционные свойства рассеивателя в условиях хаоса в волновых системах.С этой целью мы исследуем хаотический рассеиватель и сравниваем его с рассеивателем эллиптической формы, который демонстрирует только регулярное рассеяние. Мы обнаружили, что хаотическое рассеяние ускоряет исчезновение ряби Ми. Далее мы показываем, что наличие поглощения и высокая числовая апертура инфракрасных микроскопов не объясняет отсутствие ряби в большинстве измерений биологических образцов.

Тематические термины: Биофотоника, Биологическая физика, Микрооптика, Характеристика и аналитические методы, Оптическая спектроскопия .Это позволяет исследовать, например. клетки и ткани, а также биожидкости в их нативных формах. Например, используя синхротрон в качестве источника излучения для проведения инфракрасной микроспектроскопии, благодаря яркости синхротронного излучения можно эффективно получать высококачественные спектры в дифракционном пределе 5 . С помощью квантово-каскадных лазеров (ККЛ) можно получать изображения высокого качества, которые, как сообщалось, достигают качества, сравнимого или более высокого, чем изображения, полученные при использовании синхротронных источников 6 , 7 .В инфракрасной просвечивающей микроскопии клеток и тканей используются специальные микроскопы, позволяющие работать с излучением в среднем инфракрасном диапазоне. Эти системы работают в двух основных режимах. В одном типе систем инфракрасное излучение проходит через клетки и тонкие ткани, а прошедшее излучение улавливается одноэлементным детектором после прохождения, например, через оптику Шварцшильда. В качестве альтернативы используются системы визуализации, в которых передаваемое излучение отображается на детекторе визуализации в прямом направлении.Поскольку размер клеточных структур того же порядка, что и длина волны инфракрасного излучения, т. е. обычно находится в диапазоне 2,5–25 мкм, инфракрасные спектры клеток и тканей демонстрируют различные явления рассеяния 8 . Наиболее интригующие наблюдаемые явления рассеяния — это так называемые явления рассеяния типа Ми 9 11 , которые интенсивно изучались в литературе в последние годы 9 16 .

Любой тип рассеяния представляет собой проблему для интерпретации спектров поглощения, поскольку рассеяние способствует поглощению и его нелегко отделить от истинного поглощения. Проблемы этого типа повсеместно встречаются всякий раз, когда необходимо анализировать спектры поглощения образцов конечного размера (см., например, 9 , 17 ). Поэтому темы и проблемы, обсуждаемые в данной статье, имеют общее значение и широкое применение. Резонансы Ми, т.е.g., может имитировать или сильно искажать полосы химического поглощения 11 , 18 . Однако современные алгоритмы коррекции основаны на предположении о сферических образцах, предположении, которое часто не оправдано в случае биологических клеток или тканей. Поэтому центральным пунктом нашей статьи является исследование того, как деформация (поглощающих) биологических образцов влияет и искажает сигнатуры Ми.

Поскольку рассеяние типа Ми происходит в рассеивателях сферической и почти сферической формы, строго говоря, термин «рассеяние Ми» применяется только к сферическим рассеивателям.В этой статье для удобства мы будем использовать термин рассеяние Ми также в контексте деформированных рассеивателей. Хотя теория Ми является точной теорией и действительна для любого режима длины волны, размера и показателя преломления сферы, сильные и богатые эффекты рассеяния Ми возникают, когда размер рассеивателя порядка длины волны падающего света. Поэтому, используя термин рассеяние Ми, мы часто имеем в виду именно этот режим. Когда размер рассеивателя того же порядка, что и используемая длина волны, ни длинноволновый предел Рэлея, ни геометрически-оптический предел коротковолнового луча не дают точных результатов.Рассеяние электромагнитного излучения на идеальной диэлектрической сфере было решено аналитически Густавом Ми еще в 1908 году 19 . При рассеянии Ми в инфракрасных спектрах частиц сферической формы появляются два основных вклада в рассеяние: 1) широкие колебательные структуры, так называемые вигглы, возникающие из-за интерференции невозмущенного приходящего излучения с рассеянным излучением. (ii) Особенности резкого рассеяния, называемые рябью, которые возникают из-за стоячих волн, например, мод шепчущей галереи, которые представляют собой структуры электромагнитного резонанса, захваченные внутри сферического рассеивателя. Широкие колебательные структуры хорошо описываются аппроксимационной формулой, разработанной van de Hulst 20 , которая широко использовалась для создания алгоритмов, позволяющих получать чистые спектры поглощения 10 , 12 , 16

Широкие зигзаги Ми обычно наблюдаются при любом типе инфракрасной микроскопии клеток и тканей. Были разработаны подходы к предварительной обработке для удаления шевелений Ми из инфракрасных спектров с целью получения чистых спектров химического поглощения 10 .Новые и более совершенные подходы имеют дело даже со случаями, когда в спектрах присутствуют сильные дисперсионные эффекты, обусловленные резонансами поглощения 16 . В то время как колебания в инфракрасных спектрах клеток и тканей вездесущи, острые ряби наблюдаются редко. Они наблюдаются в основном в тех случаях, когда рассеиватели представляют собой идеальные сферы, такие как сферы из ПММА 11 , 21 , или формы, близкие к идеальным сферам, такие как пыльца 22 , 23 . В большинстве других инфракрасных спектров клеток и тканей рябь отсутствует, а колебания присутствуют.

И волнистость, и волнистость связаны с характеристиками формы 24 . Однако в то время как покачивания возникают из-за надежного интерференционного процесса, который не зависит от тонкостей резонансов, было показано, что рябь из-за тонких резонансных процессов подвержена влиянию поглощения 23 , 25 . Рябь, если она присутствует, и покачивания сильно влияют на кажущиеся спектры поглощения.Известно, что в инфракрасной спектроскопии клеток и тканей они могут приводить к не-бер-ламбертовскому поглощению 9 . Например, на линии химического поглощения может влиять рябь, так как рябь вызвана резонансным усилением электрического поля в сфере. Также ясно, что, поскольку они являются резонансами формы, сила ряби может сильно зависеть от фактической формы рассеивателя. Рассказов и др. изучали влияние кластеров сфер на эффективность экстинкции и спектры FT-IR 26 . Кроме того, Дэвис и соавт. оценили эффективность гашения плоских пленок и цилиндров 27 29 . Синусоидальные колебания в смоделированных спектрах поглощения цилиндров (толуоловых волокон) наблюдались также в 29 . Однако, вызваны ли они покачиваниями, рябью или свойствами инструмента, невозможно установить без дальнейшего анализа. В любом случае цель нашей работы не в том, чтобы установить наличие вигглов и рябей в спектрах поглощения сфер или цилиндров, что является известным свойством этих рассеивателей (см.г., 11 , 20 25 ), а исследовать, как эти особенности реагируют на деформацию, поглощение и числовую апертуру для изолированных сфер и квазисферических объектов.

Сфера является одним из примеров чрезвычайно малого класса систем, для которых известны аналитические решения рассеяния. Поэтому сфера и ее решения Ми часто используются в качестве отправной точки для интерпретации инфракрасных спектров. Однако большинство рассеивателей, встречающихся в природе, в частности в биологии, деформированы таким образом, что не существует аналитических решений для рассеяния.Эти рассеиватели, в том числе любая биологическая клетка общей формы, не имеют аналитических решений для рассеяния и называются неинтегрируемыми. Как правило, неинтегрируемые формы приводят к хаотическому рассеянию 30 32 . Поэтому хаотическое рассеяние биологических клеток и тканей является скорее правилом, чем исключением. В контексте хаоса в волновых системах было показано, что наличие хаотического поведения рассеяния может значительно улучшить поглощающие свойства рассеивателя 33 .Небольшие отклонения от идеальных сферических рассеивателей, связанные с изменением формы или показателя преломления различных частей сферы, могут легко привести к переходу между регулярным и хаотическим рассеянием 33 . Целью настоящего исследования является изучение того, как на рябь и колебания, наблюдаемые при рассеянии клеток и тканей, влияет форма рассеивателя и фактические поглощающие свойства рассеивателя. Более глубокое понимание свойств формы и поглощения может помочь улучшить алгоритмы коррекции рассеяния Ми.Для этого исследуем рассеиватель в виде бильярда Бунимовича 34 . В контексте тонкопленочных солнечных элементов бильярд Бунимовича использовался в качестве модельной системы для изучения решений уравнения Лапласа с граничными условиями, которые приводят к хаотическому поведению 33 . В большинстве случаев бильярд Бунимовича изучался как ограниченная система, в которой частица может свободно двигаться внутри бильярда Бунимовича, но не может покинуть бильярд.Напротив, мы используем диэлектрический бильярд Бунимовича 35 в качестве модели хаотической системы рассеяния, чтобы сравнить рассеяние на системе без хаоса, т. е. сферическом рассеивателе, с рассеянием на хаотической системе, т. е. на стадионе бильярд бунимовича фигурный 34 , 35 . В случае системы рассеяния мы используем разные показатели преломления внутри и снаружи биллиарда Бунимовича и решаем соответствующую электромагнитную или лучевую задачу. Показано, что рассеиватель в форме биллиарда Бунимовича является хаотическим 35 , что позволяет изучать постепенный переход между обычным рассеивателем (сфера) и хаотическим рассеивателем (бильярд). Рассеиватель в форме бильярда Бунимовича 34 является лучеделительной системой. Хаотические бильярдные системы с расщеплением лучей были исследованы в области квантового хаоса 36 39 . Они предоставляют модельные системы для исследования влияния границ раздела двух диэлектрических сред на волновую и лучевую динамику таких систем.Для полноты картины мы исследовали, помимо хаотического рассеивателя в форме Бунимовича-биллиарда, эффекты деформации в интегрируемый рассеиватель, т. е. такой рассеиватель, который не проявляет перехода к хаотическому рассеянию в зависимости от деформации. Сравнивая эти две ситуации, мы обнаруживаем, что при повышенной деформации хаотическое рассеяние ускоряет разрушение явлений резонанса формы, таких как, например, рябь Ми в спектрах поглощения, в то время как явления резонанса имеют тенденцию быть более устойчивыми при деформации в случае интегрируемых деформаций. , такие как деформация в эллипсоиды.Это имеет важные последствия, например, для инфракрасной микроспектроскопии: эффекты резонансов формы, такие как рябь Ми, могут быть важны при анализе спектров поглощения квазисферических/эллипсоидальных образцов, таких как пыльца и сферы ПММА, и могут привести к серьезные ошибки при анализе спектров, если их не учитывать должным образом. Однако в целом биологические клетки и ткани имеют структуры, сильно отличающиеся от идеальных сфер и эллипсоидов, и в этих случаях помимо поглощения подавляются эффекты резонансов формы за счет хаотического рассеяния.

Чтобы оценить, что вызывает исчезновение ряби, исследуются три механизма. Наше основное исследование состоит в том, чтобы изучить, как на структуры покачивания и ряби влияет переход в несферическую форму. Кроме того, мы исследуем, как поглощение влияет на рябь и колебания. Мы также оцениваем, как числовая апертура инфракрасного микроскопа и его размер влияют на эффективность экстинкции. Подробности последних двух исследований можно найти в дополнительных материалах.

Методы

Измерения передачи в инфракрасном диапазоне

На рисунке а показано типичное измерение передачи в инфракрасном диапазоне. Инфракрасное излучение интенсивностью I0 направляется на образец, а прошедшее излучение I попадает на детектор. Интенсивность фона I0 измеряется путем перемещения образца за пределы луча. Поглощение А получается из

. В этой статье мы используем термин поглощение исключительно для безразмерной величины А , а термин поглощение исключительно для явления преобразования квантов света в тепло.При идеальном измерении измеренная абсорбция A состоит исключительно из полос поглощения, вызванных химическими связями, поглощающими образец. Известно, что инфракрасный спектр является хорошо воспроизводимым отпечатком биохимического состава исследуемых клеток и тканей. Однако во многих случаях явления рассеяния приводят к появлению признаков рассеяния в спектре поглощения A в дополнение к признакам химического поглощения. Когда признаки рассеяния смешиваются с особенностями химического поглощения в измеренном спектре поглощения, мы называем измеренное поглощение кажущимся поглощением 16 , 23 .В случае идеально сферического рассеивателя рассеяние можно точно описать теорией Ми 20 , 23 . Примерами таких образцов являются некоторые биологические образцы и сферы из ПММА 22 , 23 . Для извлечения и оценки чистых спектров поглощения из измеренных инфракрасных микроспектроскопических измерений отдельных клеток и тканей с сильными искажениями рассеяния можно применить алгоритм расширенной мультипликативной коррекции сигнала Ми (ME-EMSC) 16 .

( a ) Инфракрасное излучение интенсивностью I0 направлено на образец с геометрическим поперечным сечением г . Часть излучения рассеивается или поглощается образцом. Излучение, прошедшее через образец, имеет интенсивность х и попадает на детектор с геометрическим сечением, равным х . ( b ) Эффективность экстинкции определена из теории Ми, Qext и приближения ван де Хюльста для Qext для сферы радиусом 10 мкм и показателем преломления 1.3 (черная линия). Синие и красные линии показывают точную эффективность экстинкции (описанную теорией Ми) для бесконечного цилиндра с различной поляризацией. Радиус цилиндра составляет 10 мкм, а показатель преломления равен 1,3. ( c ) Норма волновой функции, эквивалентная норме электрического поля E→, в случае, когда электрическое поле параллельно оси цилиндра. Рассеиватель представляет собой диск радиусом 10 мкм и имеет показатель преломления 1,8. Падающее излучение представляет собой плоскую волну с волновым числом 1643.5 см-1, амплитуда равна единице, и распространяется слева. Волновое число падающей плоской волны выбрано таким, чтобы оно совпадало с волновым числом ряби, т. е. стоячей волны, по внутренней окружности дискообразного рассеивателя. ( d ) Иллюстрация того, как система, оцениваемая в этой работе, превращается из диска с радиусом a , который сохраняется постоянным, в стадион шириной 2a+d с увеличением d . Показатель преломления рассеивателя составляет м , а показатель преломления окружающей среды составляет m0=1.Система является открытой системой, т. е. свет может входить в систему извне и может выходить из системы наружу. Свет падает сверху, как показано стрелками.

Расчет эффективности гашения

Кажущаяся абсорбция связана с эффективностью гашения, Qext, соотношением

A=-log101-gGQext≈1ln(10)gGQext,

2

G 6 G , как показано на рис. а, представляют собой геометрические сечения детектора и образца соответственно, и приближение получается путем разложения логарифма до первого порядка и предположения, что G>>g 22 .Qext, безразмерная величина, используется для описания количества излучения, которое гасится в прямом направлении 20 либо за счет поглощения, либо за счет рассеяния.

Для сферы, как показано черной сплошной линией на рис. b, Qext можно точно вычислить с помощью теории Ми 20 . Показатель преломления 1,3, использованный на рис. b, приблизительно соответствует показателю преломления воды и близок к показателям преломления многих биологических образцов 40 , 41 .Как показано черными линиями на рис. b, Qext состоит из дальних колебаний, называемых покачиваниями (штриховая черная линия), хорошо описываемых приближением ван де Хюльста 20 , и резких, узких резонансные структуры, называемые рябью . Рябь возникает из-за стоячих волн, т. е. резонансов, называемых модами шепчущей галереи (ШГМ) 21 , характеризующихся модовой структурой, которая сосредоточена по окружности сферического рассеивателя.Типичный WGM показан на рис. c. Хотя на рис. c показана МШГ для круглого цилиндра, качественной разницы между МШГ для сфер и цилиндров нет.

В этой работе мы оцениваем двумерные системы или системы, трансляционно инвариантные в третьем измерении, т. е. правильные цилиндры. Круглые правые цилиндры также могут быть точно описаны электромагнитной теорией 20 (подробности см. в разделе «Дополнительные материалы» A ).Далее мы ограничили нашу работу случаем, когда направление распространения падающей плоской волны перпендикулярно оси цилиндра. В дополнение к Qext для сферы, как обсуждалось выше, на рис. б показана эффективность экстинкции Qext для бесконечного цилиндра с E→-полем, параллельным оси цилиндра (синяя линия), и E→-полем, перпендикулярным оси цилиндра. (Красная линия). Аналитические выражения для Qext, а также для Qsca (эффективность рассеяния) и Qabs (эффективность поглощения) приведены в дополнительных материалах (разд. А ) и в 20 .

В случае, когда электрическое поле параллельно оси цилиндра, ситуация эквивалентна двумерной скалярной волновой задаче, когда плоская волна распространяется в сторону кругового рассеивателя, и точное описание поля внутри и вне цилиндра Рассеиватель можно найти. Подробности приведены в разделе «Дополнительные материалы». Б Б .

Рис. c показывает норму волновой функции для круглого цилиндра, которая соответствует резонансу (пульсации) в 1643.5 см-1. Как обсуждалось выше, эта структура мод соответствует WGM и иллюстрирует тесную связь между WGM и пульсациями в Qext. WGM ограничивается внутренней частью сферы или цилиндра за счет полного внутреннего отражения. Это объясняет, почему интенсивность WGM или видимость ряби зависит от контраста показателя преломления между внешней и внутренней частью рассеивателя. Если разница показателей преломления снаружи и внутри велика, утечка излучения наружу мала, а МШГ и связанные с ними пульсации сильны.Поскольку они зависят от полного внутреннего отражения, МШГ можно связать с классическими лучами, которые отражаются по окружности рассеивателя. Примечательно, что лучи не могут выйти из цилиндра, так как всегда отражаются от окружности с углом падения, большим, чем критический угол полного внутреннего отражения. Поэтому лучи не могут быть достигнуты снаружи рассеивателя. Как показано на рис. b, МШГ (рябь) также можно обнаружить в случаях небольшого контраста показателя преломления.Но хорошо распознаваемые узоры, как показано на рис. c, более отчетливы в случаях с большим контрастом показателей преломления внутри и снаружи рассеивателя.

Хотя реальные клетки не имеют идеальной сферической формы, расширенная мультипликативная коррекция рассеяния Ми (ME-EMSC) оказалась полезной для коррекции рассеяния во многих практических ситуациях. Алгоритм ME-EMSC использует приближение Ван де Хюльста для рассеяния от сфер 10 , 12 , 16 .Возможная проблема этого метода заключается в том, что приближение ван де Хюльста предсказывает виггл-структуру рассеяния, но не рябь 20 , 21 .

В этой работе мы исследуем, как переход в несферическую форму влияет на шевеление и рябь. Далее мы кратко обсудим, как поглощающий образец и числовая апертура влияют на колебания и рябь (подробности можно найти в дополнительных материалах).

Чтобы исследовать влияние форм, отличных от сфер, и справедливость формулы ван де Хюльста, мы исследуем модельную систему, позволяющую осуществить переход от сферы к системе, демонстрирующей особенности нерегулярного рассеяния.Для этого исследуется переход от круглого рассеивателя к рассеивателю в форме стадиона. Рассеиватель в форме стадиона вдохновлен стадионом Бунимовича, который представляет собой неправильную хаотичную систему 34 , 35 . Переход от регулярной системы к хаотической можно, например, изучать, вводя параметр, изменяющий геометрию системы так, чтобы параметр для определенного диапазона относился к нехаотической системе, а для другого диапазона — к хаотической системе.В нашем случае это означает, что при изменении параметра d биллиарда (см. рис. d) система может перейти от регулярной системы при d=0 (диск) к хаотической системе при d>0. особенно интересовались тем, как переход от регулярной системы к хаотической влияет на эффективность экстинкции, Qext и спектры кажущегося поглощения. В этой работе мы исследуем эту модельную систему путем (1) получения аппроксимационной формулы для эффективности ослабления для рассеивателя в форме стадиона в соответствии с подходом Ван де Хюльста 20 , (2) оценки численно точного электромагнитного моделирования и (3 ) классическая трассировка лучей.Для расчета электромагнитного ближнего и дальнего поля рассеивателей произвольной формы использовался модуль волновой оптики программного пакета COMSOL Multiphysics 42 .

Подходы к трассировке лучей и оценке классического хаотического рассеяния

Чтобы определить, хаотична система или нет, мы изучаем поведение классических лучей. Системы хаотического рассеяния изучались для квантово-волновых систем и соответствующих классических лучевых систем 33 , 35 .Используя теорию из этой области, мы оцениваем, является ли система хаотичной или регулярной. Форма рассеивателя в этом исследовании навеяна стадионом Бунимовича , который представляет собой хаотичную систему. В отличие от ситуации рассеяния, рассматриваемой в нашем исследовании, стадион Бунимовича изначально изучался как замкнутая система, где лучи не могут покинуть систему 34 . Система хаотического рассеяния чрезвычайно чувствительна к начальным условиям. В регулярной рассеивающей системе незначительное изменение начальных условий лучей, т.е.э., их начальные положения, будут сопровождаться лишь небольшими различиями в путях соответствующих лучей. В случае хаотической системы небольшие изменения начальных условий будут сопровождаться большими различиями в путях соответствующих лучей.

В нашем случае открытой рассеивающей системы лучи направляются сверху рассеивателя и преломляются в системе. Лучи рассматриваются как ньютоновские лучи, поэтому, когда луч попадает на границу, он либо проходит, либо остается в системе из-за полного внутреннего отражения.Мы можем качественно показать возникновение хаоса, оценив длины лучей внутри рассеивателя в зависимости от начального положения. В результате получается график длины пути 30 , 31 , 33 , 35 , 43 , признанный инструмент хаотического рассеяния. Его можно использовать в качестве диагностического инструмента для определения наличия или отсутствия хаоса и для различения хаотических систем, демонстрирующих хаотическое рассеяние, от обычных систем, которые не являются хаотическими и не демонстрируют хаотического рассеяния.Например, график длины пути может показать наличие чрезвычайно длинных путей, что является необходимым условием для хаотического рассеяния 30 , 31 , 33 , 35 , 43 . Кроме того, когда длины пути быстро меняются при незначительном изменении начальных условий, это еще один признак хаоса. Для сферы, например, т. е. регулярной системы без хаотического рассеяния, отсутствуют как долгоживущие лучи, т. е. большие длины пробега, так и чувствительность.Мы видим это следующим образом. Поскольку сфера состоит из оптически более плотного материала, чем окружающая атмосфера, полное внутреннее отражение не может произойти, когда луч, вошедший в сферу, снова падает на поверхность сферы изнутри. Следовательно, долгоживущие ньютоновские лучи не существуют, когда рассеиватель имеет сферическую форму. Однако при преобразовании круглого рассеивателя в рассеиватель в форме стадиона могут возникать долгоживущие ньютоновские лучи из-за лучей полного внутреннего отражения, которые направляются из полусферических торцевых крышек в прямолинейную часть «канала» стадиона.

В данной работе мы оцениваем поведение классических лучей для системы, где рябь исчезла, т.е. мы не наблюдаем стоячих волн в рассеивателе. Эта система соответствует системам без ряби в спектрах поглощения, которые мы наблюдаем в экспериментах с FTIR.

Чтобы решить, является ли рассеяние системы хаотичным, можно рассмотреть несколько факторов. В данной работе мы рассматриваем (1) фрактальную структуру длин путей, (2) их фрактальные размерности и (3) показатель Ляпунова системы.

При увеличении графика длины пути в несколько раз может появиться фрактальная структура. Фрактал — это класс сложных структур, проявляющих самоподобие или приблизительное самоподобие во всех масштабах 44 . Обычно фрактал представляет собой множество точек, вложенное в измерения D , и поэтому на первый взгляд кажется объектом размерности D-1. Известным примером является береговая линия Великобритании 44 . Можно подумать, что береговая линия Британии — это одномерный объект, ну, линия, но оказывается, что эта линия настолько сложна, что в чем-то напоминает двухмерный объект.«Компромисс» состоит в том, чтобы связать с береговой линией Британии фрактальную размерность, т. е. нецелую размерность, размерность между 1 и 2. Таким образом, фрактальная размерность характеризует сложность фрактала. Математика того, как это делается, точна: 31 , 32 , 44 . Например, как объяснено ниже, мы будем использовать метод подсчета ячеек 31 в нашем подробном анализе фракталов длины пути. Помимо береговой линии Британии, многие другие объекты в природе имеют фрактальную структуру.Примерами являются кучевые облака 45 , деревья 46 и легкие 47 . Модельным фракталом, благодаря простому правилу построения, широко изучаемому в математике и биологии, является множество Кантора 47 . В зависимости от типа рассеивателя наши графики длины пути также могут иметь фрактальную структуру. При наличии фрактальной структуры и совпадении начального положения луча с фракталом незначительное изменение начального положения луча приводит к значительному изменению длины его пути.Таким образом, наличие фрактала указывает на наличие хаоса.

Чтобы оценить фрактальную размерность графиков длины пути, мы применяем метод подсчета ячеек 31 . Разделив набор лучей на все более мелкие подмножества и подсчитав количество наборов, содержащих долгоживущие лучи, можно получить фрактальную размерность как наклон логарифмического графика числа подмножеств, содержащих хотя бы один долгоживущий луч. траектории и минус ширина подмножества 48 .Нецелая (фрактальная) размерность является признаком хаоса 30 32 , 49 .

Показатель Ляпунова можно найти, вычислив расстояние между двумя соседними долгоживущими лучами как функцию времени 30 32 , 49 . Положительный показатель Ляпунова указывает на хаос 30 32 , 49 . Таким образом, фрактальная размерность и показатель Ляпунова являются двумя взаимодополняющими индикаторами и мерами хаоса.В то время как фрактальная размерность представляет собой статическую глобальную меру, имеющую дело со всем набором рассеивающих лучей одновременно, показатель Ляпунова представляет собой динамическую, более локальную меру, характеризующую динамические свойства выбранных лучей. Для заинтересованного читателя мы отсылаем, например, к 30 , 50 для дальнейшего введения во фракталы, показатели Ляпунова и хаотическое рассеяние.

Чтобы подтвердить актуальность теории исследуемых здесь систем для области инфракрасной спектроскопии, мы представляем и оцениваем три измеренных спектра поглощения.Измеряемые образцы выбираются так, чтобы они имели сферическую, квазисферическую и несферическую форму, то есть сферы из ПММА, пыльцевые зерна и клетки рака легких человека соответственно. Спектр сферы из ПММА (полиметилметакрилата) был зарегистрирован на инфракрасном канале SMIS на синхротроне SOLEIL во Франции. Микросферы из ПММА диаметром примерно 15 мкм, нанесенные на слайды из ZnSe, измеряли в режиме пропускания. Для измерений использовали ИК-Фурье-спектрометр Nicolet 5700 с ИК-микроскопом Nicolet Continuum XL, соединенным с синхротронным инфракрасным лучом.Образцы пыльцы Juniperus Excelsa, представляющей квазисферическую биологическую систему, были собраны в Ботаническом саду факультета естественных наук Загребского университета в 2012 году и измерены на том же инфракрасном луче с той же аппаратурой. По оценкам, диаметр пыльцевых зерен составляет от 10 до 40 мкм. Более подробную информацию об измерении и анализе спектров ПММА и пыльцы можно найти по ссылке 22 . Наконец, клетка рака легкого человека представляет собой пример несферического биологического образца.Спектр был записан в Европейском центре синхротронного излучения (ESRF) в Гренобле на линии луча ID 21. Для этих измерений использовали спектрометр Nicolet Nexus 870, соединенный с микроскопом Continuum-Thermo Nicolet. Более подробную информацию об экспериментальной установке можно найти по телефону 10 . Клетки, использованные в этом эксперименте, были получены из клеточной линии немелкоклеточного рака легкого (НМРЛ) SK-MES, закупленной в Европейской коллекции клеточных культур (Солсбери, Великобритания).) 10 .

В наших численных исследованиях и моделировании мы рассматриваем рассеиватели с постоянным показателем преломления. В случае клетки это можно интерпретировать как эффективный показатель преломления всей клетки.

Результаты

Для подтверждения теоретических результатов, представленных в этой статье, были измерены и проанализированы необработанные спектры FTIR сфер из ПММА, пыльцы и клеток человека. Три спектра показаны на рис.

Спектры поглощения ( A ) PMMA-сфера 22 ( B ) Juniperus Excelsa Plipen Care 22 и ( C ) Человеческий рак легкого человека 10 .Чтобы не вводить в спектры ложные особенности, которые могут возникнуть в результате использования алгоритма коррекции, и чтобы подчеркнуть первоначальный вид спектров, все три показанных спектра являются нескорректированными, необработанными спектрами. Крошечные, четкие детали, видимые в спектре в кадре ( c ), в основном связаны с шумом и статистикой подсчета; они не воспроизводимая рябь.

Спектр поглощения сферы из ПММА (рис. а) показывает как рябь, так и колебания, что согласуется с теорией Ми.Спектр пыльцевого зерна Juniperus Excelsa (рис. б) также показывает как волнистость, так и рябь. Это ожидаемо, поскольку форма пыльцевых зерен, спектр которых представлен на рис. б, близка к сферической. В случае, когда рассеиватель имеет несферическую форму, например, биологическая клетка (рис. в), в соответствующем спектре видны только виглы, т. е. широкие колебания, но не рябь.

Разработка аппроксимации для Qext для рассеивателей в форме стадиона

Как указано выше, в алгоритме ME-EMSC используется аппроксимация ван де Хюльста для Qext для сферы.Чтобы вывести аналитическую формулу экстинкции типа ван-де-Хюльста для нашей системы стадионов, мы начнем с рассмотрения приближения для диска и следуем той же процедуре, которая представлена ​​ван де Хюльстом 20 для сферы.

Следуя той же процедуре, что была представлена ​​ван де Хюльстом 20 , мы нашли аппроксимационную формулу для эффективности гашения диска согласно

Qext(ρ)=2-2J0(ρ)+4∑n =1∞J2n(ρ)14n2-1,

3

где J0 — функция Бесселя первого рода 0-го порядка, а J2n — функции Бесселя первого рода и порядка 2 n .ρ=2ka(m-1), где k — угловое волновое число, a — радиус диска (как показано на рис. d), а m — показатель преломления рассеивателя. Подробности приведены в разделе «Дополнительные материалы». С .

На рисунке а показан результат уравнения. ( 3 ) вместе с точными решениями Ми для бесконечного цилиндра. Что касается сферы на рис. b, аппроксимация предсказывает положение покачиваний, но не ряби. График аппроксимационной формулы уравнения( 3 ) масштабируется относительно точного результата. Это не проблема для современных поправок на рассеяние Ми в инфракрасной спектроскопии, поскольку поправка на рассеяние Ми является масштабно-инвариантной по отношению к теоретической модели, используемой для поправки. .

На кадре ( a ) показана точная эффективность гашения для цилиндра в случае, когда поле E параллельно оси цилиндра (синяя линия).Радиус цилиндра 10 мкм, показатель преломления 1,3. Красная пунктирная линия показывает приближение Qext, данное в уравнении. ( 3 ). Желтая линия представляет собой эффективность ослабления, к которой рассеиватель в форме стадиона приблизится в соответствии с уравнением. ( 4 ) при d>>a в случае, когда толщина прямой части составляет 20 мкм, а показатель преломления рассеивателя равен 1,3. Кадр ( b ) показывает Qext стадиона с показателем преломления 1,3 и радиусом круглых торцевых крышек, равным 10 мкм.Длина прямых участков составляет 0 мкм (синие линии), 5 мкм (красные линии), 10 мкм (желтые линии) и 15 мкм (фиолетовые линии). На рисунке показано, что покачивания смещены вправо как в соответствии с моделированием электромагнитного поля в COMSOL Multiphysics (сплошные толстые линии), так и в соответствии с аппроксимацией Qext (тонкие линии с кружками), заданной уравнением. ( 4 ). Для кадров ( c )–( f ) радиус круглых торцевых крышек составляет 10 мкм, а показатель преломления рассеивателя равен 1.3. Кадры ( c )–( f ) показывают норму E-поля в случае, когда слева падает плоская волна с волновым числом ν~=2600 см-1. Кадр ( g ) показывает Qext как функцию волнового числа. Изменение Qext проиллюстрировано как функция длины d прямых участков стадиона, когда мы меняем d с 0,001 (темно-синий), что близко к диску, на стадион с d=50 мкм ( темно-красный). Радиус каждой из торцевых заглушек составляет 10 мкм, а показатель преломления стадиона равен 1.8. Моделирование выполняется с помощью COMSOL Multiphysics.

Аппроксимация также может быть найдена для рассеивателя в форме стадиона (подробности приведены в разделе дополнительных материалов C ). Приходим к следующей явной формуле для эффективности гашения

4

, где a и d — радиус торцевых крышек стадиона и длины прямых участков, как показано на рис.d, а ρ такие же, как описано выше.

На рис. b мы сравниваем результаты уравнения. ( 4 ) с электромагнитным моделированием COMSOL Multiphysics. На рисунке видно, что и формула ван де Хюльста в уравнении. ( 4 ) и моделирование COMSOL Multiphysics предсказывают, что для стадиона положение покачиваний смещается вправо по мере увеличения d . Это объясняется следующим образом. Согласно уравнению ( 4 ) для малых d доминирует член Бесселя, а для больших d доминирует косинусный член.Член Бесселя, т. е. Qext для сферы, показан красной пунктирной линией на рис. ( 4 ), показан желтой штрихпунктирной линией на рис. а. На рис. а видно, что член косинуса сдвинут вправо по отношению к члену Бесселя. Таким образом, из-за переключения с члена Бесселя на член косинуса в уравнении. ( 4 ) в зависимости от увеличения d , в Qext происходит сдвиг вправо в зависимости от увеличения d , как показано на рис.б.

Исследование электромагнитного поля для рассеивателей в форме стадиона

Для дальнейшей оценки рассеивающих свойств стадиона коэффициент экстинкции и электрическое поле были рассчитаны с помощью COMSOL Multiphysics 42 . На рис. б показаны результаты этих симуляций. Показатель преломления был установлен на 1,3, а радиус полудисков в конце стадиона был установлен на 10 мкм.

На рисунке b показана эффективность поглощения Qext как функция волнового числа, найденная с помощью COMSOL Multiphysics (толстые линии), вместе с аппроксимацией для Qext согласно уравнению.( 4 ) (тонкие линии с кружками), где синие кривые показывают соответствующую эффективность поглощения для диска. В точном результате для диска (синяя толстая линия на рис. b) присутствуют знакомые узоры покачиваний и ряби. Когда мы увеличиваем d , острые колебания исчезают. Однако мы все еще наблюдаем некоторые остатки ряби на самых малых волновых числах.

На рис. в–е норма E→-поля показана для волнового числа ν~=2600 см-1. Плоская волна распространяется на рассеиватель слева.В случае кругового рассеивателя (рис. в) отчетливо виден эффект фокусировки и фотонная струя за рассеивателем. По мере увеличения d мы наблюдаем, что фотонная струя за рассеивателем разделяется на две части. Эти две струи выходят из рассеивателя в точках, где прямые участки стадиона встречаются с круглыми торцевыми крышками стадиона. Это наблюдение хорошо известно из области микродисковых лазеров 51 .

Чтобы дополнительно оценить, как переход к хаосу влияет на систему, показатель преломления рассеивателя был увеличен до 1.8. На рисунке g показано значение Qext для этого случая, которое было получено при моделировании электромагнитного поля (с помощью COMSOL Multiphysics). Интервал волновых чисел находится между 4200 и 3700 см-1. Цвета указывают размер d , который колеблется от 0,001 мкм (темно-синяя линия) до 50 мкм (темно-красная линия). Заметим, что по сравнению с рис. б резонансы (рябь) на рис. ж выражены гораздо сильнее. Это объясняется следующим образом. Повышенное отношение показателя преломления между диском/стадионом и окружающей средой (1.8 на рис. г по сравнению с 1.3 на рис. б) приводит к увеличению вероятности полного внутреннего отражения, что, в свою очередь, приводит к более резким пульсациям.

Для случаев, когда d равно 2 мкм или меньше, присутствует волнистая структура. Исследуя ближнее поле при волновых числах, соответствующих острым пикам в Qext(ν~), мы замечаем, что они соответствуют стоячим волнам. Дополнительные материалы Разд. D показывает графики электрического поля. На пути к более деформированному диску мы наблюдаем, что для слабодеформированного диска круговая картина стоячих волн трансформируется в ромбовидную.Алмазная орбита в бильярде Бунимовича имеет всего четыре точки отскока: две в середине периметра полусфер на обоих концах бильярда и две в середине прямоугольной части бильярда (верхняя и нижняя стороны). . Поэтому он имеет форму ромба 52 , что объясняет его название. При d=5 мкм почти все ряби исчезли. Некоторые небольшие пики все еще наблюдаются.

Как показано на рис. g, острые волны исчезают, когда d составляет 10 мкм и больше.Для случаев, когда исчезли острые резонансы, мы наблюдаем алые 53 , 54 (см. раздел «Дополнительные материалы» D ), что является признаком хаоса. Алые — это риге-структуры, которые показывают, как волны направляются локально.

Соотношение между длиной волны и размером рассеивателя важно для наблюдения волнового хаоса. Поэтому можно наблюдать классический хаос в тех случаях, когда в волновой картине еще присутствует регулярное рассеяние.С другой стороны, в случаях, когда d=10 мкм и больше, соотношение между длиной волны и размером рассеивателя настолько мало, что моделирование электромагнитного поля также указывает на хаотическое поведение. Таким образом, в последнем случае и классическое, и электромагнитное моделирование согласуются.

Поведение классических лучей для рассеивателя в форме стадиона

Чтобы оценить, хаотична система или нет, была написана программа трассировки лучей. Программа имитирует эволюцию лучей, направляемых прямо к рассеивателю, как показано на рис.д. Для поиска признака хаоса оцениваются длины хода лучей для систем с разной длиной прямых участков d и разными показателями преломления. Учитываются только лучи, направленные в сторону левого полудиска стадиона. Причина в том, что (i) лучи, падающие на прямые участки стадиона, проходят насквозь и поэтому не представляют интереса в контексте хаоса, и (ii) из-за симметрии лучи, падающие на правую торцевую крышку, ведут себя точно так же, как лучи казус на левой торцевой крышке.

На рис. г мы видим, что в случае, когда длина прямых участков стадиона d в 5 раз больше радиуса а (см. рис. г), рябь исчезает, и мы наблюдайте алые цвета на соответствующих графиках электрического поля. В этом случае показатель преломления рассеивателя равен 1,8. Поскольку классические лучи не зависят от длины волны, для параметра a было установлено значение 1, а для параметра d — значение 5. На рис.b показывает длины лучей внутри рассеивателя в зависимости от начального положения. Для лучей, падающих в самую левую часть стадиона, наблюдаются долгоживущие траектории. Это признак хаоса.

Кадр ( a ) показывает, как лучи, направленные прямо вниз к левой торцевой крышке, преломляются при попадании на рассеиватель. Кадр ( b ) указывает длину каждого луча, l , внутри рассеивателя в зависимости от начального положения x0 с логарифмической осью y .Фрейм ( c ) также указывает длину каждого луча в зависимости от начального положения. Выбранный интервал в пределах интервала x0 в кадре ( b ) был увеличен, новый интервал x0 выбран и увеличен и так далее. В кадре ( c ) интервал x0 увеличен в 7 раз. Фрактальная структура сохраняется. (См. раздел «Дополнительные материалы» E для дальнейшего увеличения, раскрывающего фрактальную структуру.) Кадр ( d ) показывает определение фрактальной размерности набора долгоживущих лучей на основе метода подсчета ячеек.Синие и красные линии показывают ln(N) как функцию -ln(δ), где N — количество интервалов, содержащих хотя бы одну долгоживущую траекторию, а δ — ширина интервала. Наклон синей и красной линий указывает на фрактальную размерность. Желтая линия указывает, что наклон равен 0,65. N10M, синяя линия, указывает N для случая, когда в интервале было запущено 10 миллионов лучей, а N100M, красная линия, когда в том же интервале было запущено 100 миллионов лучей.Кадр ( e ) показывает среднее значение ln(D), где D — расстояние между двумя лучами в зависимости от длины пути, l , для 10 пар лучей. Красная пунктирная линия указывает наклон, т. е. показатель Ляпунова, который в данном случае равен 0,36. Для всех кадров показатель преломления рассеивателя равен 1,8. Классические исследования трассировки лучей не зависят от длины волны, а длина прямой части стадиона в 5 раз превышает радиус торцевых крышек. Это соответствует системе, где d=50 мкм и r=10 мкм.

Чтобы выяснить, демонстрирует ли график времени жизни лучей фрактальную структуру, была увеличена одна десятая диапазона начальных положений на рис. b. Это повторилось семь раз. Последний из этих графиков длины пути показан на рис. c. Фрактальные структуры присутствуют во всех семи степенях увеличения, все графики и детали показаны в разделе «Дополнительные материалы». Е .

Фрактальная размерность системы была найдена путем оценки системы, в которой 10 миллионов лучей были направлены прямо вниз и падали на левую торцевую крышку.Долгоживущий луч определялся как луч длиной более 1 000 000. Это множество начальных положений было разделено на подмножества длины, равной δ. Синяя линия на рис. d показывает график зависимости ln(N) от -ln(δ), где N — количество подмножеств, содержащих хотя бы один долгоживущий луч с разрешением δ. Затем фрактальная размерность находится как наклон ln(N) как функция -ln(δ).

Рис. d показывает ln(N) в случае, когда всего в интервале от x0=-3 начинается 10 миллионов (синяя линия) и 100 миллионов (красная линия) лучей.5 и х0=-3,4. Желтая линия соответствует данным прямолинейно и показывает, что наклон, т. е. фрактальная размерность, составляет приблизительно 0,65. Это можно сравнить с фрактальной размерностью ln(2)/ln(3)=0,63 канторовского фрактала 31 , 47 . Между прочим, это также то же самое, что и фрактальная размерность определенного репеллерного набора в трехдисковой системе рассеяния 55 , которая была предложена в качестве модели мономолекулярной фрагментации. Таким образом, наше значение 0.65 для фрактальной размерности графика длины пути очень похожа на фрактальную размерность канторовского фрактала парадигмы и фрактала, который возникает в 3-дисковой системе рассеяния, которая показывает полностью развитое хаотическое рассеяние 55 . Поскольку значение 0,65, найденное для нашего фрактала длины пути, близко к середине между 0 и 1, это также показывает, что, как и в случае канторовских и трехдисковых фракталов, в нашей системе важно хаотическое рассеяние. Если бы фрактальная размерность была ближе к 0, это указывало бы на относительно незначительную роль хаотического рассеяния в нашей системе.

Как видно из рисунка, ln(N) отклоняется от прямой линии, когда δ становится слишком маленьким. Это связано с тем, что разрешения времен жизни (т. е. 10 миллионов лучей или 100 миллионов лучей) еще недостаточно для соответствующего δ, где происходит изгиб ln(N) по сравнению с -ln(δ) .

Чтобы вычислить показатель Ляпунова, мы вычислили среднее значение показателя Ляпунова для 10 лучей. Это показано на рис. д. В дополнительных материалах гл. F приведены графики каждого из 10 лучей и информация об их начальном положении.Провалы на синей линии на рис. e возникают из-за того, что лучи пересекают друг друга. Наклон синей линии на рис. д (без учета провалов) представляет собой показатель Ляпунова. Красная пунктирная линия показывает, что наклон составляет примерно 0,36. Это можно сравнить с показателем Ляпунова, вычисленным Бенеттином и Стрелькиным, равным ≈0,4 56 для ограничивающего бильярда стадиона Бунимовича с тем же соотношением радиуса торца и длины прямого участка, что и в нашем примере. Наш показатель Ляпунова для бильярда стадиона рассеяния также имеет тот же порядок, что и показатель Ляпунова для синайского бильярда 31 , 32 примерно того же размера, а именно ≈2ln(2)≈1.4 57 . Неудивительно, что значение синайского бильярда примерно в 4 раза больше, так как синайский бильярд в некотором смысле более «компактен» и лишен длинного прямого участка бильярда Бунимовича, который не способствует экспоненциальному расхождению лучей. Мы также можем сравнить наше значение 0,36 с показателем Ляпунова логистической карты 31 , динамической системы, широко используемой в биологии и популяционной динамике. При управляющем параметре карты r=4 логистическая карта полностью хаотична и имеет показатель Ляпунова ln(2)≈0.7 31 . Эти примеры показывают, что показатель Ляпунова, равный 0,36, найденный в нашей системе рассеяния на стадионе, находится в том же парке, что и показатели Ляпунова в подобных хаотических динамических системах. Это также показывает, что хаотическое рассеяние бильярда Бунимовича достаточно велико, чтобы заметно влиять на его рассеивающие свойства, о чем свидетельствует, например, уменьшение и даже отсутствие резких особенностей рассеяния (ряби). Таким образом, понимание лежащей в основе хаотичности процесса рассеяния значительно помогает нашему пониманию и характеристике эффектов рассеяния в сложных образцах.

Эллиптическая деформация

Возникает следующий вопрос: является ли исчезновение ряби системы вызванным хаотическим поведением или же причина исчезновения рябей в первую очередь вызвана деформацией в стадион и хаотическим рассеянием является просто побочным продуктом деформации, т. е. исчезновение ряби коррелирует с началом хаотического рассеяния, а не вызвано хаотическим рассеянием.Чтобы окончательно ответить на этот вопрос, мы также рассмотрели деформацию диска в эллипс, который представляет собой интегрируемую систему, не имеющую хаотического рассеяния при любой деформации. Следовательно, если рябь при деформации исчезает в эллипс, то мы убедительно показали, что причиной исчезновения ряби является деформация и что хаотическое рассеяние, являющееся следствием деформации, связано только с исчезновением ряби, но не причина. Чтобы исследовать этот момент, мы изучили, как изменяется структура ряби, когда мы деформируем наш рассеиватель в форме диска в эллиптический рассеиватель, как показано на рис.а.

Мы оцениваем систему, которая трансформируется из диска с радиусом в в эллипс. Параметр, описывающий высоту эллипса, — это его большая полуось a , которая остается постоянной и равной радиусу диска. Мы деформируем рассеиватель, увеличивая большую полуось b эллипса. Показатель преломления рассеивателя составляет м , а показатель преломления окружающей среды составляет m0=1. Свет входит в систему сверху.Кадры ( b ) и ( c ) показывают, как изменяется Qext по мере увеличения деформации эллипса. Большая полуось a эллипса [см. кадр ( a )] сохраняется постоянной при a = 10 мкм, а b выбрано равным 10 мкм (синяя линия, т. е. дискообразная рассеиватель), 30 мкм (красная линия) и 60 мкм (желтая линия). Показатель преломления ( b ) 1,3 и ( c ) 1,8.

Эллипс описывается двумя большими полуосями a и b , как показано на рис.а. В наших исследованиях деформации мы увеличиваем ширину эллипса в направлении x , то есть мы увеличиваем большую полуось b ; падающий свет освещает рассеиватель сверху. Большая полуось a выбрана равной 10 мкм, а b увеличена с 10 мкм (т.е. дискообразный рассеиватель) до 60 мкм. На рисунках b,c показано, как изменяется эффективность гашения при увеличении 90 245 b 90 246 . Мы видим, что волнистая структура исчезает, когда b становится достаточно большим.Однако мы также видим, что по сравнению со стадионом рябь более упруга в случае эллипса, т. е. интегрируемой системы, и исчезает только при гораздо большей деформации по сравнению со стадионом, проявляющим хаотическое рассеяние. Это убедительно показывает, что деформация является причиной исчезновения ряби. Однако мы также видим, что хаотическое рассеяние оказывает ускоряющее влияние на исчезновение ряби, т. е. рябь исчезает быстрее при наличии хаотического рассеяния.Расчеты проводились с помощью COMSOL Multiphysics 42 . В отличие от чувствительности ряби мы наблюдаем, что структура покачивания устойчива к деформации. Это аналогично нашим наблюдениям в случае рассеивателя в форме стадиона (рис. б).

В дополнительных материалах гл. G показано электрическое поле для выбранных волновых чисел для систем, оцененных на рис. Выбранные волновые числа соответствуют пикам (волнам) в Qext.

Обсуждение

Чтобы изучить влияние формы рассеивателя на спектры FTIR, мы решили сравнить рассеивающие свойства эллиптических форм и стадионных бильярдов. Выбор этих систем естественен, так как они позволяют исследовать переход от интегрируемой системы рассеяния к хаотической системе рассеяния, свойства которой необходимо исследовать численно. Коммерчески доступный программный пакет Wave Optics для COMSOL Multiphysics 42 позволяет нам распространить предыдущие знания, накопленные в области регулярного рассеяния Ми, на области регулярного рассеяния на эллиптическом цилиндре и хаотического рассеяния на цилиндре в форме стадиона.В обеих системах плавный переход от системы дисков к системам эллипса и стадиона позволяет нам проследить эволюцию известных признаков Ми, таких как зиглы и рябь, в области деформированного регулярного рассеяния в случае эллиптических деформаций и хаотическое рассеяние при стадионных деформациях. В обоих случаях мы также смотрели на зависимость от показателя преломления. В качестве одного из наших основных наблюдений мы обнаружили, что рябь, присутствующая при рассеянии от диска, подавляется деформацией и быстрее при наличии хаотического рассеяния (см.б, ж) по сравнению со случаем регулярного рассеяния (см. рис. б, в).

Несмотря на то, что реальный мир трехмерен, чтобы наши системы оставались простыми, позволяя нам сосредоточиться на основных механизмах без громоздкого числового балласта, мы сосредоточились в этом исследовании на эффективно двумерных (цилиндрических) системах. Это оправдано, поскольку, как показано на рис. б для кругового рассеивателя, качественно, а в некотором приближении даже количественно одни и те же явления могут наблюдаться в двух- и трехмерных системах.Кроме того, двумерная система эквивалентна цилиндрической трехмерной системе, т. е. системе, трансляционно-инвариантной в третьем измерении.

На рисунке а показано, как аппроксимация эффективности поглощения для диска, полученная в уравнении. ( 3 ), сравнивается с точным решением Ми системы. В случае диска наша аппроксимация эффективности поглощения воспроизводит положения покачиваний, но не имеет ряби. Когда мы используем это приближение, мы должны иметь в виду, что амплитуды результирующих приближенных покачиваний слишком велики.Расчеты COMSOL Multiphysics показывают (см. рис. b), что по мере увеличения длины прямых участков стадиона d положение зигглов смещается вправо. Такой же сдвиг вправо наблюдается, если мы оцениваем эффективность поглощения, используя нашу аппроксимацию эффективности поглощения по уравнению. ( 4 ). Это также показано на рис. b.

Мы также наблюдали некоторые интересные структуры в самом электрическом поле. График нормы электрического поля показывает, как фотонная струя распадается на две по мере увеличения длины прямых участков стадиона (см.c–f и дополнительные материалы, гл. Д ). Две струи исходят из точек по окружности стадиона, где торцевые заглушки сливаются с прямыми участками. Подобные эффекты впервые наблюдались в области микродисковых лазеров 51 и технически используются для ввода и вывода излучения этих лазеров. Мы также видели моды шепчущей галереи более высокого порядка, образующие концентрические кольца в картинах E→-поля, расположенных близко к периметру.Далее мы также видели проявление «шрама» 58 , т. е. локальное усиление электрического поля в районе алмазной орбиты стадиона Бунимовича. Наконец, мы также наблюдали явление «алых» 53 , 54 в области глубоко хаотического рассеяния.

Для дальнейшей оценки системы в форме стадиона мы изучили поведение классических лучей в системе. Для системы, где мы наблюдаем алые лучи в электрическом поле, мы также наблюдаем, что длина лучей очень чувствительна к их начальным положениям, что указывает на хаос.Чтобы дополнительно оценить классические рассеивающие свойства системы, мы обнаружили признаки хаоса с точки зрения (i) появления фрактальной структуры, которую мы проследили через семь поколений увеличения (см. рис. с и дополнительные материалы, раздел ). E ), (ii) нецелочисленная фрактальная размерность (см. рис. d) и (iii) положительный показатель Ляпунова (см. рис. e и дополнительные материалы, раздел F ). Заметим, что фрактальная структура системы не является самоподобной.Это контрастирует с самоподобной структурой, найденной в 35 . Однако мы смогли воспроизвести самоподобную фрактальную структуру, описанную в 35 , когда использовали точно такие же условия и параметры, как и в 35 . Итак, мы уверены, что наши числовые коды верны и что различия, наблюдаемые между нашими фрактальными структурами и фрактальными структурами, описанными в 35 , являются следствием вертикального и горизонтального падения лучей и различия в соответствующих используемых показателях преломления. нами по сравнению с теми, которые используются в 35 .

Деформация — новый механизм подавления пульсаций, который теперь добавлен к механизму подавления пульсаций при наличии демпфирования 23 . Мы обнаружили, что рябь подавляется для деформаций, которые приводят либо к интегрируемым, либо к неинтегрируемым хаотическим системам. Мы также обнаружили, что в интегрируемых системах рябь более устойчива к деформации по сравнению с системами, демонстрирующими хаотическое рассеяние. Интуитивно понятно, почему рябь подавляется более эффективно в ситуации хаотического рассеяния.Как показано в дополнительных материалах, гл. D , моды шепчущей галереи, источники ряби, плохо, если вообще поддерживаются в ситуации хаотического рассеяния, объясняя их быстрое исчезновение.

Другими механизмами, которые могут влиять на рябь и покачивания, являются, например, наличие поглощения, числовая апертура и вращение образца относительно направления падающего луча. Например, было показано (см., например, 23 ), что острые ряби, т.е.т. е. игольчатые резонансы в спектре начинают исчезать, как только мы включаем поглощение. Эффекты поглощения и апертуры можно изучать с помощью теории Ми. Это сделано в дополнительных материалах (раздел H и раздел I ), где мы показываем, что более широкие пульсации, которые соответствуют резонансам Ми более высокого порядка 23 , все еще присутствуют до тех пор, пока A=0,5 не будет равно 0,5. достиг. Далее мы наблюдаем, что рябь присутствует, даже если принять во внимание числовую апертуру.Мы наблюдаем, что кривая Qext смещается вниз по мере увеличения NA, что также показывает 59 , но волнистая структура сохраняется. В связи с этим мы ожидаем наблюдать рябь более широкого типа в непоглощающих областях при измерениях FTIR. Это действительно подтверждается рис. а, б, которые представляют собой спектры сферических и квазисферических систем. Однако спектр поглощения биологической клетки, показанный на рис. c, не показывает волнистую структуру в непоглощающих областях.Это подтверждает нашу гипотезу о том, что несферическая форма этого рассеивателя приводит к подавлению ряби в сочетании с, возможно, хаотическим поведением рассеяния.

Мы не исследовали влияние вращения образца, но предлагаем следующие гипотезы для изучения в дальнейших исследованиях. Вращение, т. е. ориентация образца, не меняет характер рассеивателя, т. е. регулярный (интегрируемый) или хаотический, поскольку регулярность (интегрируемость) и хаотичность являются внутренними свойствами рассеивателя, не зависящими от ориентации образца.Поэтому, поскольку наше моделирование показывает, что существует глубокая разница в проявлении ряби между регулярно и хаотически рассеивающими образцами, и поскольку угол поворота не меняет характер образца, т. е. регулярный или хаотический, мы предполагаем, что ориентация образец не оказывает качественного влияния на появление или исчезновение ряби, а лишь изменяет детали, например, возможно, их высоту. Это подтверждается сравнением наших классических вычислений на бильярде в форме стадиона с бильярдными вычислениями в 35 .Два случая различаются направлением падающего луча, что соответствует повороту образца на 90 градусов. Однако оба расчета дают очень похожие, хотя, как и ожидалось, не идентичные фракталы рассеяния, что в реальном эксперименте на цилиндрическом образце стадионной формы привело бы к сходным появлениям и исчезновениям ряби в соответствующих режимах деформации образца.

Результаты этого исследования также подтверждают метод анализа ME-EMSC, который использует приближение ван де Хюльста для исправления спектров FTIR по Ми.Хотя ME-EMSC основан на структуре волн Ми и не учитывает волнистости Ми, пренебрежение структурой волнистости оправдано в большинстве случаев биологического значения, поскольку форма большинства биологических образцов не сферическая, что приводит к отсутствие пульсаций. Это следует из того, что интегрируемые деформации, которые поддерживали бы проявление ряби даже при относительно больших деформациях (см. рис. ), являются редкими странностями в биологическом мире, тогда как родовые деформации, более распространенные в биологии, с большой вероятностью приводят к хаотическим рассеивателям. 31 , 32 , 49 , и, как следствие, быстрое разрушение ряби при относительно малых деформациях (см.б, г). Отсутствие ряби в большинстве биологических систем дополнительно подтверждается экспериментальными результатами, показанными на рис. , где мы ясно видим, как рябь присутствует в измерениях идеально сферических рассеивателей (сферы из ПММА) и почти сферических рассеивателей (пыльца). В случае несферического рассеивателя (биологической клетки) мы наблюдали полное исчезновение ряби даже в непоглощающих областях спектра. Тем не менее, важно знать о появлении ряби в случае почти сферических образцов, которые определенно возникают и в приложениях ИК-Фурье-спектроскопии, как показано, например.г., на рис. а, б.

Заключение

В этой статье, исследуя рассеяние на диске, который можно плавно преобразовать либо в интегрируемый эллиптический рассеиватель, либо в хаотический рассеиватель стадиона Бунимовича, мы показали, что деформация рассеивателя оказывает сильное влияние на эффективность экстинкции. В то время как регулярное рассеяние на диске сопровождается резкими резонансами, т. е. модами шепчущей галереи, проявляющимися в виде «рябей» в эффективности экстинкции, сохраняющихся вплоть до относительно больших деформаций, рябь почти полностью разрушается даже при относительно небольших деформациях, т.е. при наличии хаотического рассеяния.Это важное наблюдение, поскольку рябь может изменить как положение, так и амплитуду полос химического поглощения. Хотя известно, что рябь устраняется из спектров FTIR за счет достаточно большого поглощения 23 , быстрое и эффективное разрушение ряби хаотическим рассеянием является одновременно новым результатом и имеет огромное практическое значение для спектроскопических приложений, таких как FTIR-спектроскопия биологических клетки и ткани. Хотя рябь, безусловно, устраняется как при наличии хаотического рассеяния, так и при достаточно большом поглощении, мы наблюдали, что даже при отсутствии поглощения, например в химически инертных областях спектра, наличие хаотического рассеяния, вызванного деформацией образца, достаточно для подавления Ми. рябь в спектрах FTIR.Это подтверждает существующие методы коррекции спектров поглощения инфракрасного излучения, такие как ME-EMSC, в большинстве ситуаций, представляющих практический спектроскопический интерес, в частности применительно к коррекции и анализу биологических образцов неправильной формы. Тем не менее, как показывают наши результаты, необходимо проявлять большую осторожность при исследовании квазисферически или квазиэллиптически деформированных образцов, которые не подавляют рябь Ми, которая затем может мешать полосам химического поглощения и вызывать большие ошибки при анализе спектров. если рябь Ми не учтена должным образом.

Дополнительная информация

Благодарности

Эта работа была поддержана грантами «Разработка новой лучевой модели для понимания связи между диэлектрическими сферами для фотогальваники с более высокой эффективностью» — №: 250678 и «Объединение спектральной информации и информации изображения в анализ данных гиперспектральной визуализации» — №: 289518, оба проекта финансируются Исследовательским советом Норвегии. Мы благодарим Эйрика Магнуссена и доктора Эйвинда Сейма за полезные обсуждения. Моделирование эффективности поглощения для различных числовых апертур основано на коде, представленном в магистерской диссертации Симена Эриксена.Измерения спектров поглощения ПММА-сферы и пыльцевого зерна выполнены при поддержке французской национальной синхротронной установки SOLEIL (проект № 20120345). Мы благодарим Пола Дюма и Кристофа Сандта из лучевой линии SMIS в SOLEIL. Мы благодарим доктора Бориса Циммерманна за полезные обсуждения и предоставление измеренных спектров поглощения. Мы благодарим доктора Хосепа Суле Сусо из Кильского университета и университетских больниц Северного Мидлендса, Сток-он-Трент, Великобритания, за предоставление спектра клеток рака легких.

Вклад авторов

М.А.Б., Дж.Х.С. и А.К. вместе разработали первоначальную идею. Авторы М.А.Б., Р.Б. и А.К. разработали концепцию статьи. Р.Б. и А.К. руководил исследованием. М.А.Б. провел моделирование и проанализировал данные при содействии J.H.S.. M.A.B. был основным автором статьи при участии других авторов.

Конкурирующие интересы

Авторы заявляют об отсутствии конкурирующих интересов.

Сноски

Примечание издателя

Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и ​​институциональной принадлежности.

Дополнительная информация

Онлайн-версия содержит дополнительные материалы, доступные по адресу 10.1038/s41598-021-84064-5.

Ссылки

1. Квяткоски Дж., Реффнер Дж. Достижения ИК-Фурье-спектрометрии. Природа. 1987; 328:837. дои: 10.1038/328837a0. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]2. Ветцель Д.Л., Левин С.М. Визуализация молекулярной химии с помощью инфракрасной микроскопии. Наука. 1999; 285:1224–1225. doi: 10.1126/science.285.5431.1224. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]4. Хаас Дж., Мизайкофф Б.Достижения в спектроскопии среднего инфракрасного диапазона для химического анализа. Анну. Преподобный Анал. хим. 2016;9:45–68. doi: 10.1146/annurev-anchem-071015-041507. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]5. Реффнер Дж.А., Мартольо П.А., Уильямс Г.П. Инфракрасный микроскопический анализ с преобразованием Фурье с синхротронным излучением: оптика микроскопа и производительность системы. преподобный наук. Инструм. 1995;66:1298–1302. doi: 10.1063/1.1145958. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 6. Миттал С. и др. Одновременное субтипирование рака и микроокружения опухоли с помощью конфокальной инфракрасной микроскопии для полностью цифровой молекулярной гистопатологии.проц. Натл. акад. науч. 2018;115:E5651–E5660. doi: 10.1073/pnas.1719551115. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]7. Редди Р.К., Уолш М.Дж., Шулмерих М.В., Карни П.С., Бхаргава Р. Инфракрасная спектроскопия высокого разрешения. заявл. Спектроск. 2013;67:93–105. дои: 10.1366/11-06568. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]8. Сировица С. и др. Происхождение микромасштабной неоднородности при полимеризации фотоактивированных полимерных композитов. Нац. коммун. 2020; 11:1–10. дои: 10.1038/с41467-020-15669-з. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]9. Моленхофф Б., Ромео М., Дием М., Вуд Б.Р. Рассеяние типа Ми и поведение поглощения клеток человека, не связанное с Бером-Ламбертом, в инфракрасной микроспектроскопии. Биофиз. Дж. 2005; 88: 3635–3640. doi: 10.1529/biophysj.104.057950. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]10. Колер А. и др. Оценка и коррекция рассеяния Ми в синхротронных микроскопических инфракрасных спектрах с преобразованием Фурье путем расширенной мультипликативной коррекции сигнала.заявл. Спектроск. 2008; 62: 259–266. doi: 10.1366/000370208783759669. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 11. Бассан П. и др. Резонансное рассеяние Ми в инфракрасной спектроскопии биологических материалов — понимание *артефакта дисперсии*. Аналитик. 2009; 134:1586–1593. doi: 10.1039/b8a. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 12. Бассан П. и др. Коррекция резонансного рассеяния Ми (RMIES) инфракрасных спектров сильно рассеивающих биологических образцов. Аналитик. 2010; 135: 268–277. doi: 10.1039/B921056C.[PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 13. Ван Дейк Т., Майерих Д., Карни П.С., Бхаргава Р. Восстановление спектров поглощения по данным микроспектроскопии с преобразованием Фурье в инфракрасном (FT-IR) неповрежденных сфер. заявл. Спектроск. 2013; 67: 546–552. дои: 10.1366/12-06847. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 14. Коневских Т., Лукач Р., Блюмель Р., Поносов А., Колер А. Поправки на рассеяние Ми в инфракрасной микроспектроскопии одиночных клеток. Фарадей Обсудить. 2016; 187: 235–257. doi: 10.1039/C5FD00171D. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 15.Коневских Т., Лукач Р., Колер А. Усовершенствованный алгоритм быстрой коррекции резонансного рассеяния Ми инфракрасных спектров клеток и тканей. Дж. Биофотоника. 2018;11:e201600307. doi: 10.1002/jbio.201600307. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 16. Солхейм Дж. Х. и соавт. Код с открытым исходным кодом для экстинкции Ми расширил мультипликативную коррекцию сигнала для спектров инфракрасной микроскопии клеток и тканей. Дж. Биофотоника. 2019;12:e201800415. doi: 10.1002/jbio.201800415. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 17.Милькович М., Берд Б., Дьем М. Эффекты искажения формы линии в инфракрасной спектроскопии. Аналитик. 2012; 137:3954–3964. doi: 10.1039/c2an35582e. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 18. Бассан П. и др. Коррекция RMIES-EMSC для инфракрасных спектров биологических клеток: расширение с использованием полной теории Ми и вычислений на GPU. Дж. Биофотоника. 2010;3:609–620. doi: 10.1002/jbio.201000036. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 19. Ми Г. Вклад в оптические свойства мутных сред, в частности коллоидных суспензий металлов.Анна. физ. (Лейпциг) 1908; 25: 377–452. doi: 10.1002/andp.100302. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 20. Халст ХК. Рассеяние света мелкими частицами. Минеола: Dover Publications Inc; 1981. [Google Scholar]21. Блюмель Р., Багчиоглу М., Лукач Р., Колер А. Инфракрасная дисперсия показателя преломления полиметилметакрилатных сфер от ряби Ми в спектрах экстинкции инфракрасной микроскопии с преобразованием Фурье. Дж. опт. соц. Являюсь. 2016;33:1687–1696. doi: 10.1364/JOSAA.33.001687. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 22.Лукач Р., Блюмель Р., Циммерман Б., Багджиоглу М., Колер А. Восстановление спектров поглощения биологических и неживых частиц микрометрового размера. Аналитик. 2015;140:3273–3284. doi: 10.1039/C5AN00401B. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 23. Блюмель Р., Лукач Р., Циммерманн Б., Багчиоглу М., Колер А. Наблюдение ряби Ми в синхротронном преобразовании Фурье в инфракрасных спектрах сфероидальных пыльцевых зерен. Дж. опт. соц. Являюсь. А. 2018; 35:1769–1779. doi: 10.1364/JOSAA.35.001769. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

24.Brandsrud, MA et al. Влияет ли хаотическое рассеяние на эффективность поглощения в квазисферических рассеивателях? В Биомедицинская спектроскопия, микроскопия и визуализация , vol. 11359, 113590C (Международное общество оптики и фотоники, 2020 г.).

25. Чулек П., Нго Д., Пинник Р. Резонансная структура композитных и слабопоглощающих сфер. ХОСА А. 1992; 9: 775–780. doi: 10.1364/JOSAA.9.000775. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 26. Рассказов И.Л., Спегаззини Н., Карни П.С., Бхаргава Р.Кластеры диэлектрических сфер как модель для понимания данных инфракрасной спектроскопии, записанных для сложных образцов. Анальный. химия. 2017;89:10813–10818. doi: 10.1021/acs.analchem.7b02168. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 27. Дэвис Б.Дж., Карни П.С., Бхаргава Р. Теория микроспектроскопии поглощения в среднем инфракрасном диапазоне: I. Гомогенные образцы. Анальный. хим. 2010;82:3474–3486. doi: 10.1021/ac7p. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 28. Дэвис Б.Дж., Карни П.С., Бхаргава Р. Теория абсорбционной микроспектроскопии среднего инфракрасного диапазона: II.Неоднородные образцы. Анальный. хим. 2010;82:3487–3499. doi: 10.1021/ac8e. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 29. Дэвис Б.Дж., Скотт Карни П., Бхаргава Р. Теория инфракрасной микроспектроскопии неповрежденных волокон. Анальный. хим. 2011; 83: 525–532. doi: 10.1021/ac102239b. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 30. Блюмель Р., Рейнхардт В.П. Хаос в атомной физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 2005. [Google Scholar]31. Отт Э. Хаос в динамических системах. Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 1993.[Google Академия] 32. Гутцвиллер МС. Хаос в классической и квантовой механике. Нью-Йорк: Спрингер; 1990. [Google Scholar]33. Сейм Э. и др. Хаос: новый механизм увеличения скорости оптической генерации в оптически тонких солнечных элементах. Хаос: междисциплинарный. J. Нелинейные науки. 2019;29:093132. doi: 10.1063/1.5111042. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 34. Бунимович ЛА. Об эргодических свойствах некоторых биллиардов. Функц. Анальный. Его заявл. 1974; 8: 254–255. doi: 10.1007/BF01075700. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 35.Дженсен Дж. Х. Хаотическое рассеяние света диэлектрическим цилиндром. Дж. опт. соц. Являюсь. А. 1993; 10:1204–1208. doi: 10.1364/JOSAA.10.001204. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 36. Колер А., Киллесрайтер Г., Блюмель Р. Расщепление лучей в классе хаотических треугольных ступенчатых бильярдов. физ. Преподобный Е. 1997; 56:2691. doi: 10.1103/PhysRevE.56.2691. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 37. Колер А., Блюмель Р. Кольцевой бильярд с расщеплением лучей. физ. лат. А. 1998; 238: 271–277. doi: 10.1016/S0375-9601(97)00923-7. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 38.Колер А., Блюмель Р. Формулы Вейля для квантовых бильярдов с расщеплением лучей. Анна. физ. 1998; 267: 249–280. doi: 10.1006/aphy.1998.5817. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 39. Колер А., Блюмель Р. Проверка квазиклассических амплитуд для квантовых систем расщепления лучей. физ. Преподобный Е. 1999; 59:7228. doi: 10.1103/PhysRevE.59.7228. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]40. Лю П.Ю. и др. Индекс преломления клеток для клеточной биологии и диагностики заболеваний: прошлое, настоящее и будущее. Лаборатория на чипе. 2016; 16: 634–644. doi: 10.1039/C5LC01445J.[PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]41. Чой В. и др. Томографическая фазовая микроскопия. Нац. Методы. 2007; 4: 717–719. doi: 10.1038/nmeth2078. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]42. COMSOL Multiphysics® версии 5.4. COMSOL AB, Стокгольм, Швеция. www.comsol.com.43. Блюмель Р., Смиланский Ю. Классическое нерегулярное рассеяние и его квантово-механические следствия. физ. Преподобный Летт. 1988; 60: 477–480. doi: 10.1103/PhysRevLett.60.477. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]44. Мандельброт ББ. Фрактальная геометрия природы.Лондон: WH Freeman and Co .; 1982. [Google Scholar]45. Гото К., Фуджи Ю. Анализ фрактальных измерений параметров формы кучевых облаков над сушей. Дж. Заявл. Метеорл. 1998; 37: 1283–1292. doi: 10.1175/1520-0450(1998)037<1283:AFDAOT>2.0.CO;2. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 46. Чжан Д., Самал А., Брандл Дж. Р. Метод оценки фрактальной размерности крон деревьев по цифровым изображениям. Междунар. Артефакт распознавания J.Pattern. Интел. 2007; 21: 561–572. doi: 10.1142/S0218001407005090. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 47.Уэст Б.Дж., Голдбергер А.Л. Физиология во фрактальных измерениях. Являюсь. науч. 1987; 75: 354–365. [Google Академия] 48. Колер А., Хёст В., Офстад Р. Анализ изображений дисперсии частиц в микроскопических изображениях криосрезов сосисок. Сканирование. 2001; 23: 165–174. doi: 10.1002/sca.4950230302. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]49. Лихтенберг А.Дж., Либерман М.А. Регулярная и хаотическая динамика. Нью-Йорк: Спрингер; 1983. [Google Scholar]50. Гаспар П. Хаос, Рассеяние и статистическая механика. Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 2004.[Google Академия]51. Nöckel JU, Stone AD, Chang RK. Нарушение добротности и направленность в деформированных кольцевых полостях. Опц. лат. 1994; 19: 1693–1695. doi: 10.1364/OL.19.001693. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]52. Лопач В., Мрконич И., Павин Н., Радич Д. Хаотическая динамика эллиптического стадионного бильярда в пространстве полных параметров. физ. D: Нелинейный феномен. 2006; 217:88–101. doi: 10.1016/j.physd.2006.03.014. [CrossRef] [Google Scholar]53. О’Коннор П., Гелен Дж., Хеллер Э.Дж. Свойства случайных суперпозиций плоских волн.физ. Преподобный Летт. 1987; 58: 1296–1299. doi: 10.1103/PhysRevLett.58.1296. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]54. Блюмель Р., Дэвидсон И.Х., Рейнхардт В.П., Лин Х., Шарнофф М. Квазилинейные гребневые структуры в поверхностных волнах воды. физ. Ред. А. 1992; 45:2641–2644. doi: 10.1103/PhysRevA.45.2641. [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]55. Гаспар П., Райс С.А. Рассеяние от классически хаотического репеллера. Дж. Хим. физ. 1989; 90: 2225–2241. дои: 10.1063/1.456017. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 56. Бенеттин Г., Стрельцин Дж.-М.Численные эксперименты по свободному движению точечной массы, движущейся в плоской выпуклой области: стохастический переход. физ. Преподобный А. 1978; 17: 773–785. doi: 10.1103/PhysRevA.17.773. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 57. Дальквист П. Показатель Ляпунова в синайском бильярде в пределе малого рассеяния. Нелинейность. 1997; 10: 159–173. doi: 10.1088/0951-7715/10/1/011. [Перекрестная ссылка] [Академия Google] 58. Хеллер Э.Дж. Собственные функции связанных состояний классически хаотических гамильтоновых систем: шрамы периодических орбит. физ. преп.лат. 1984; 53: 1515–1518. doi: 10.1103/PhysRevLett.53.1515. [CrossRef] [Google Scholar] 59. Майерих Д. и соавт. О важности оптики формирования изображения при проектировании инфракрасных спектроскопических систем визуализации. Аналитик. 2014; 139:4031–4036. doi: 10.1039/C3AN01687K. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

Learn About Reflection Over the Line Y=X

В этом видео вы узнаете, как сделать отражение над линией y = x .

Линия y=x при построении графика на графическом калькуляторе будет выглядеть как прямая линия, проходящая через начало координат с наклоном 1 .

При отражении координатных точек прообраза по линии для определения координатных точек изображения можно использовать следующие обозначения:
r y=x =(y,x)

Например, :

Для треугольника ABC с координатными точками A(3,3), B(2,1) и C(6,2) примените отражение к линии y=x.

Следуя обозначениям, мы поменяем местами значение x и значение y.
A(3,3), B(2,1) и C(6,2) превратятся в
A'(3,3), B'(1,2) и C'(2,6)

Стенограмма видеоурока

В этом уроке мы рассмотрим отражение над линией.

Прежде всего, что такое линия?

Это строка, в которой для каждого значения мы получаем одно и то же значение.

будет выглядеть примерно так. Диагональная прямая линия.

Когда , .Когда , . И когда , . И так далее.

Если у нас есть точка, например, , мы собираемся отразить ее. Нам нужно двигаться перпендикулярно ему.

Одна сторона должна быть перпендикулярна другой стороне.

Теперь наше изображение .

Все, что мы сделали, это поменяли значения и.

Например, если исходное изображение .

Мы должны провести перпендикулярную линию, чтобы измерить расстояние. Затем сделайте такое же расстояние линии на другой стороне.

Отраженная точка .

Когда мы размышляем над линией, мы просто меняем значения и .

Давайте рассмотрим пример, где мы будем отражать треугольник ABC над линией, используя координаты.

Мы знаем, что по правилу координаты переключаются на . Мы просто поменяем их местами.

Теперь построим график. И нарисуйте треугольник.

Теперь у нас есть отражение треугольника над линией, формирующее изображение .

размышлений

Отражение – это трансформация представляющий переворот фигуры.Фигуры могут быть отражены в точке, линии или плоскости. При отражении фигуры в линии или в точке образ конгруэнтен прообразу.

Отражение отображает каждую точку фигуры в изображение через фиксированную линию. Неподвижная линия называется линией отражения.

Некоторые простые отражения можно легко выполнить в координатной плоскости, используя общие правила, приведенные ниже.

Отражение в Икс -ось:

Отражение точки над Икс показана ось.

Правило рефлексии над Икс -ось ( Икс , у ) → ( Икс , − у ) .

Отражение в у -ось:

Отражение точки над у показана ось.

Правило рефлексии над у -ось ( Икс , у ) → ( − Икс , у ) .

Отражение в линии у знак равно Икс :

Отражение точки над линией у знак равно Икс Показано.

Правило отражения в линии у знак равно Икс является ( Икс , у ) → ( у , Икс )

Отражение в линии у знак равно − Икс :

Отражение точки над линией у знак равно − Икс Показано.

Правило отражения в начале координат ( Икс , у ) → ( − у , − Икс ) .

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.