5 класс

Правила по математике 5 класс виленкин правила читать: Правила по математике 5 класс

Содержание

Правила по математике 5 класс

Зачёт по математике

5 класс

  1. Отрезок – прямая, имеющая начало и конец.

  2. Луч – прямая, имеющая начало, но не имеющая конец.

  3. Угол – два луча, выходящие из одной точки.

Угол

Острый

Прямой

Тупой

Развернутый

Меньше 90°

= 90°

Больше 90°

= 180°

  1. Треугольник – три точки, не лежащие на одной прямой, соединенные между собой прямыми.

  2. Степень числа – выражение вида , где

Степень числа показывает, сколько раз умножили само на себя основание.

  1. НОД Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

  1. НОК – Наименьшее общее кратное чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Наименьшее из подчеркнутых 36. НОК(9,12) = 36

  1. Дробь

    Обыкновенные

    Десятичные

    Правильные

    Неправильные

    — когда числитель меньше знаменателя.

    — когда числитель больше или равен знаменателю.

    — это обыкновенная дробь, знаменатель которой

    является единица с последующими нулями.

  2. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

  3. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

  4. Найти общий знаменатель – найти НОД двух знаменателей.

  5. При сложении(вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями

    , числители складываются (вычитаются), а знаменатель остаётся неизменным.

  6. При сложении(вычитании) дробей с разными знаменателями, необходимо: 1. Найди общий знаменатель для данных дробей, 2. Числители сложить (вычесть), а знаменатель оставить неизменным.

  7. Смешанное число — число, которое в своей записи содержит натуральное число (целая часть) и простую дробь (дробная часть).

  8. Чтобы сложить смешанные числа нужно:

• Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

• Выполнить сложение отдельно целых частей и дробных частей.

• Если при сложении получилась неправильная дробь, нужно

выделить целую часть и прибавить к уже имеющейся.

  1. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел нужно:

• Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

• Выполнить вычитание отдельно целых частей и дробных частей.

  1. При сложении (вычитании) десятичных дробей надо: 1) при необходимости уравнять количество знаков после запятой, добавляя нули к соответствующей дроби.

2) Записать дроби так, чтобы их запятые находились друг под другом.

3) Сложить (вычесть), не обращая внимания на запятую.

4) Поставить запятую в сумме (разности) под запятыми, складываемых (вычитаемых) дробей.

  1. Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо: Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. Отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

  2. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно: Разделить дробь на число, не обращая внимания на запятую. Поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

  3. Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо: В делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр сколько их после запятой в делителе. После этого выполнить деление на натуральное число.

  4. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо: перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

  5. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо: перенести запятую в этой дроби на столько цифр вправо, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

  6. Среднее арифметическое – сумма цифр, деленная на её количество.

  7. Процент – одна сотая (0,01) от числа.

Умножение натуральных чисел / Натуральные числа и действия над ними / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Натуральные числа и действия над ними
  5. Умножение натуральных чисел

Определение

Умножение — одна из операций математики, предназначена для упрощения сложения одинаковых чисел.

Например: 4 + 4 + 4 = 4 · 3 = 12.

Умножение обозначают точкой «·» или крестиком «х».

Числа, которые умножаются, называют «множителями», результат умножения, называют «произведением»

Пример:   

Алгоритм умножения чисел

Разберем порядок умножения чисел на примере. Умножим число 25 на 16

1. Сначала записываем множители в столбик. 

Второй множитель записывается под первым множителем так, что разряды второго множителя находились под соответствующими разрядами первого множителя, т.е.  единицы второго множителя записываются под единицами первого, десятки под десятками и т.д. Снизу под записанными множителями проводится горизонтальная линия, а слева ставится знак умножения. 

2. Производим последовательное умножение.

Сначала число, обозначающее разряд единиц класса единиц второго множителя последовательно умножаем на все разряды первого множителя.

Умножим цифру 6 на 5, получаем 30 — 3 десятка 0 единиц. 0 запишем под единицами, 3 «запомним». После этого 6 умножаем на цифру десятков первого множителя на 2, получаем 12. Прибавим к 12 получившиеся в предыдущем действии десятки, т.е. 3, в результате получаем 15. Поскольку разрядов в первом множителе больше нет., запишем число 15 под десятками. Первое неполное произведение 150.

3. Найдем второе неполное произведение. Последовательно умножим десятки второго множителя — 1 на все разряды первого слагаемого. Сначала 1 умножим на 5, получаем 5, запишем полученное произведение под десятками. После этого 1 умножаем на 2, получим 2, записываем 2 впереди 5. Второе неполное произведение 25. Поскольку мы умножали десяток второго слагаемого на первое слагаемое, запись второго неполного произведения 25 будет находиться под разрядом десятков. Получается «смещение» числа влево. 

4. Последовательно сложим цифры полученных неполных произведений по правилам сложения.

Свойства умножения натуральных чисел.

1. Переместительное свойство умножения.

a · b = b · a 

От перемены мест множителей произведение не изменится.

12 · 4 = 4 · 12

12 · 4 = 48

4 · 12 = 48

2. Сочетательное свойство умножения.

a · (b · c) = (a · b) · c

Произведение не зависит от группировки сомножителей.

2 · (3 · 6) = (2 · 3) · 6

2 · (3 · 6) = 36

1) 3 · 6 = 18; 2) 18 · 2 = 36

(2 · 3) · 6 = 36

1) 2 · 3 = 6; 2) 6 · 6 = 36

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения.

a · (b + c) = ab + ac

При умножении числа на сумму двух других чисел, можно данное число умножить на каждое из слагаемых, а полученные результаты сложить.

3 · (5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4

3 · (5 + 4) = 27

1) 5 + 4 = 9; 2) 9 · 3 = 27

3 · 5 + 3 · 4 = 27

1) 3 · 5 = 15; 2) 3 · 4 = 12; 3) 12 + 15 = 27

4.  Распределительное свойство умножения относительно вычитания

a · (b — c) = ab — ac

При умножении числа на разность двух других чисел, можно данное число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а полученные результаты вычесть.

6 · (7 — 5) = 6 · 7 — 6 · 5

6 · (7 — 5) = 12

1) 7 — 5 = 2; 2) 2 · 6 = 12

6 · 7 — 6 · 5 = 12

1) 6 · 7 = 42; 2) 6 · 5 = 30; 3) 42 — 30 = 12

5. Свойство умножения единицы на натуральное число

a · 1 = a

При умножении единицы на любое число, получим равное ему число.

1 · 76 = 76

6. Свойство умножения нуля на натуральное число

0 · a = 0

При умножении 0 на любое число, получим 0

0 · 123 = 0


Произведение всех натуральных чисел от 1 до называют факториал, записывают: , читают: «эн факториал». Следовательно, справедливо равенство:

= 123…

Пример:

3! = 123 = 6;

5! = 12345 =120.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Степень числа. Квадрат и куб числа

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Уравнения

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 136, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 454, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 564, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 803, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1066, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1303, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1757, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 441, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1163, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 27, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 114, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 121, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 660, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1182, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1209, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1290, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 471, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 589, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 7, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 12, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 17, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 78, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 201, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 227, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 228, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 247, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 432, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 564, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

«Сложение и вычитание десятичных дробей» 5 класс

№п/п

Этап урока

Дидактические задачи

Деятельность учителя

Форма работы

Деятельность учащихся

Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению планируемых результатов

Время, отведенное на выполнение задания

УУД

I  

Мотивирование (самоопределение)  к учебной деятельности

 

Подготовка учащихся к работе на уроке

Ф

Приветствуют учителя.

Слушают вступительное слово учителя, настраиваются на продуктивную деятельность.

Получают положительную мотивацию на результат своей деятельности по окончании урока.

 

 

 

 

Записывают дату и вид работы «Классная работа».

1 мин

Осознать и выработать собственную позицию  в отношении своей учебной деятельности.

Саморегуляция, готовность к активной учебной деятельности.

II

Актуализация знаний

Актуализация опорных знаний и способов действий, достаточных для проблемного изложения нового знания.

 

 

 

 

 

 

 

Мотивировать к пробному учебному действию: «надо» — «могу» — «хочу» и его самостоятельное осуществление.

 Организовать фиксацию затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания или в его обосновании.

 

Организует устный счет и его фронтальную проверку.

Выдаёт за правильный ответ цветной жетон и конверты с названиями станций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запускает «Старт»: распределяет учащихся на три группы.

 

 

 

 

 

Организует решение задачи из второго конверта.

 

 

 

Ведёт беседу: «Почему не можем решить задачу?»

Ф

Г

И

Выходят по – одному к доске выполняют задание.

Получают конверты – названия станций, прикрепляют их на карту маршрута.

1.

 

2.

 

3.

 

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

Рассаживаются по группам.

Распределяют роли внутри группы.

 

 

 

 

 

Обсуждают в группе решение задачи.

Записывают действия для её решения в тетрадях.

Выявляют и фиксируют затруднения.

Высказываются представители от каждой группы.

Представить десятичную дробь в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1000:

2,4=

3,16=

0,027=

17,05=

25,10=

8,009=

3,0=

 

Формируют карту маршрута (рисунок на доске).

Выставляют оценки в листок – накопитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислите длину предстоящего маршрута (см. карту).

5,8+3,1+11,02+6,13+0,42+9,327=?

6мин

Выполнять логические действия.

Правильно выражать свои мысли в речи. Эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками, уметь  и быть  готовым  вести диалог. Контролировать, корректировать свои  действия, самоуправление  и саморегуляция в учебной деятельности.

III

Проблемное объяснение нового знания

Зафиксировать  причину затруднения.

Сформулировать и согласовать цели урока.

 Организовать уточнение и согласование темы урока. Организовать подводящий диалог по проблемному объяснению нового знания.

Организовать использование предметных действий с моделями, схемами.

Соотнесение нового знания с правилом в учебнике

Организовать фиксацию преодоления затруднения.

Организует работу групп по формулировке темы урока и цели урока.

Согласует и уточняет тему и цель урока.

Организует работу групп по выводу правила сложения и вычитания десятичных дробей.

Организует сравнение версии с оригиналом и  фиксацию правила в речи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По окончании этапа оценивает работу групп цветными жетонами.

Г

Ф

Работают в группах. Обсуждают и формулируют тему и цель урока.

Выступление групп.

 

Работают в группах по предложенному учителем алгоритму на листе А4.

Один участник группы выписывает решение своей группы на доску, комментирует его.

 

 

 

 

 

Обсуждают в группе формулировку правила.

Представляют его на весь класс.

Работают по тексту учебника.

 

Проговаривают правило друг другу в парах.

Оценивают  ответы, выставляют оценки в листы оценок.

Подводят итог работы на данном этапе.

Сформулировать тему и цель урока.

 

 

 

Фиксируют в тетрадях тему урока.

Сложить десятичные дроби 5,8+3,1

предварительно перевести их в обыкновенные дроби. Полученный результат перевести в десятичную дробь.

Записать сложение этих десятичных дробей «столбиком».

Сформулировать правило сложения и вычитания десятичных дробей.

 

Сравнить свою версию с правилом из учебника.

Проговорить полученное правило в парах.

Оценить ответы участников группы.

10 мин

Слышать, слушать и понимать товарища, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, правильно выражать свои мысли в речи, уважать в общении и сотрудничестве товарища  и самого себя.  Эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками, уметь  и  быть готовым  вести диалог. Управлять  познавательной и учебной деятельностью на основе поставки целей, планирования, контроля, коррекции своих действий, оценивать  успешность  усвоения, самоуправление  и саморегуляция в учебной деятельности. Способствовать  развитию  устной и письменной речи, изложению  своих  мыслей  с применением математической терминологии, обогащению ее словарного запаса, самостоятельного мышления, навыка самооценки, самопроверки и ведения записей в собственной тетради

IV

Первичное закрепление во внешней речи

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи:

— фронтально;

— в группах.

Организует решение задачи до конца из конверта «Вычисли».

Ведет беседу по решению.

Совместно с учащимися оценивает каждое решение цветным жетоном.

 

 

 

 

 

 

 

 

Организует работу в группах из конверта «Учебник».

Оценивает решение консультантов.

Ф

Г

Выходят по одному к доске записывают действия «столбиком», проговаривая правило. Остальные записывают решение в тетрадях.

Обсуждают правильность вычисления.

Выставляют полученные оценки в лист оценок.

 

 

 

Работают в группах.

Консультанты проверяют своё решение у учителя, выставляют себе оценки в лист оценок.

Взаимопроверка: консультанты проверяют и оценивают решения членов группы.

Выполняют действия:

 

   

    8,90

+11,02

   19,92

 

    19,92

+    6,13

    26,05

 

    26,05

+    0,42

     26,47

 

    26,470

+    9,327

    35,797

Решают в тетрадях №1213 (1 стб. )

№1214 (1 стб.) из учебника.

15мин

Слышать, слушать и понимать товарища, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, правильно выражать свои мысли в речи, уважать в общении и сотрудничестве товарища  и самого себя.  Ответственность каждого обучающегося за результаты своего учебного труда на основе сотрудничества и взаимопомощи.

Эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками, уметь  и  быть готовым  вести диалог. Управлять  познавательной и учебной деятельностью на основе поставки целей, планирования, контроля, коррекции своих действий, оценивать  успешность  усвоения, самоуправление  и саморегуляция в учебной деятельности

 

Физминутка

Видеоролик для релаксации

«Мир в капле росы»

http://www.zavuch.ru/

 

V

Самостоятельная работа с самопроверкой

 Организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия. Организовать самопроверку самостоятельной работы.

 По результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок.

По результатам выполнения самостоятельной работы создать ситуацию успеха.

Организует самостоятельное решение по тренажёру с онлайн проверкой.

Проводит контроль выполнения заданий.

И

Работают индивидуально за компьютерами.

Проводят самооценку, выставляют оценки в лист оценок.

Решают примеры на сложение и вычитание десятичных дробей.

Тренажёр: задания №81, №82  (по 5 примеров)

8мин

Управлять  познавательной и учебной деятельностью на основе поставки целей, планирования, контроля, коррекции своих действий, оценивать  успешность  усвоения, самоуправление  и саморегуляция в учебной деятельности.

Осознать  и выработать собственную жизненную  позицию  в отношении себя.

VI

  Итог урока

 Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.

 Организовать фиксацию степени соответствия результатов деятельности на уроке и поставленной цели.

Организовать проведение самооценки учениками работы на уроке.

 По результатам анализа работы на уроке зафиксировать направления будущей деятельности.

Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организует беседу по результатам учебной деятельности на уроке, «достигли ли поставленной цели».

Проводит рефлексию с помощью цветных жетонов:

·         над этой темой я хотел (а) бы ещё поработать, она вызывает некоторые затруднения;

·         эту тему я понял (а), она не вызывает у меня затруднения;

·         мне на уроке работалось легко;

·         урок мне понравился;

·         мое настроение;

Выставляет оценки за работу на уроке.

Задает и поясняет дифференцированное домашнее задание:

По учебнику п.32 учить правило (с.190),

I гр.  №1255(1 столбик)

№ 1256 (1,2 столбик).

 II гр. «+» составить задачу на сложение и вычитание десятичных дробей.

Ф

И

Отвечают с места на вопросы учителя.

Еще раз проговаривают правило. Каждый оценивает свою деятельность по достижению поставленной цели и результат деятельности.

Проводят рефлексию цветными жетонами.

Сдают учителю листы оценок.

Выставляют оценки в дневник. Записывают д/з в дневник.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сигнализируют цветными жетонами:

Красный — отлично

Синий — хорошо

Зелёный –удовлетворительно

4мин

Оценивать  успешность  усвоения, самоуправление  и саморегуляция в учебной деятельности.

Осознать и выработать собственную жизненную позицию  в отношении себя и  окружающих людей

Рабочая программа по математике, 5 класс, УМК: Виленкин Н.Я.

Предмет:

Класс:

УМК:

Количество часов:

Математика

5

Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд

175

Пояснительная записка

Рабочая программа составлена на основе Примерной программы основного общего образования по математике (Сборник нормативных документов. Математика. М.: Дрофа, 2004), Программы для общеобразовательных школ, лицеев и гимназий.Математика (составители: Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М. : Дрофа, 2002).

Рабочая программа составлена с учетом следующего учебно-методического комплекта:

Математика: Учеб. для 5 кл. общеобраоват.учреждений/ Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 16-е изд., перера. – М.: Мнемозина, 2005;

Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса. – 4-е изд., испр. – М.:ИЛЕКСА, 2009;

— Совайленко В.К. Система обучения математике в 5-6 классах: методическое пособие в 5-6 классах: методическое пособие для учителя/В.К. Совайленко. – М. : Просвещение, 2005.

Количество часов по плану

всего – 175 ч;

в неделю – 5 ч;

контрольные работы – 14 ч. Промежуточная аттестация проводится в форме письменных работ, математических диктантов, тестов, взаимоконтроля; итоговая аттестация — согласно Уставу школы.

Изучение математики в 5 классе направлено на реализацию целей и задач, сформулированных в Государственном стандарте общего образования по математике. Целью изучения курса математики в 5 классе являются систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устно и письменно арифметические действия над натуральными и дробными числам, умение переводить практические задачи на язык математики, подготовка учащихся к изучению курса алгебры и геометрии, а также к сдаче ЕГЭ.

Требования к уровню подготовки также установлены Государственным стандартом общего образования в соответствии с обязательным минимумом содержания.

В результате изучения курса математики в 5 классе учащиеся должны

знать:

    как используются математические формулы и уравнения при решении математических и практических задач;

    как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;

    каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия;

уметь:

    выполнять устно действия сложения и вычитания двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножения однозначных чисел, сложение и вычитание обыкновенных дробей с однозначным числителем и знаменателем и одинаковаыми знаменателями;

    переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты в виде дроби и дробь в виде процентов;

    находить значение числовых выражений;

    округлять натуральные числа и десятичные дроби, находить приближенные значения с недостатком и с избытком;

    пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема, выражать одни единицы через другие;

    решать текстовые задачи арифметическим способом, включая задачи, связанные с дробями и процентами;

    использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной.

Содержание рабочей программы

    Повторение курса начальной школы (5ч)

Арифметические действия с числами, порядок действий в выражениях, решение уравнений, решение текстовых задач

    Натуральные числа и шкалы(18ч)

Обозначение натуральных чисел. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник . Плоскость. Прямая. Луч. Шкалы и координаты. Меньше или больше.

В ходе изучения темы обучающиеся должны:

Знать

— какие числа применяют для счёта предметов

— определение натуральных чисел

— названия разрядов в классе единиц, тысяч и т. д.

— единицы измерения длины

— определения отрезка, треугольника, плоскости, прямой, луча

— единицы измерения массы

-правила сравнения натуральных чисел

Уметь

— читать и записывать многозначные числа

— переводить одни единицы длины в другие

— чертить отрезки, лучи, прямые с помощью линейки

— измерять отрезки

— чертить координатный луч и отмечать на нём точки с заданными координатами

— сравнивать натуральные числа

После изучения темы «Натуральные числа и шкалы» проводится контрольная работа №1.

3. Сложение и вычитание натуральных чисел(22ч).

Сложение натуральных чисел и свойства. Вычитание. Числовые и буквенные выражения. Буквенная запись свойств сложения и вычитания. Уравнение.

В ходе изучения темы обучающиеся должны :

Знать

— названия чисел при сложении

— формулировки переместительного и сочетательного свойств сложения

— определение периметра многоугольника

— названия чисел при вычитании

— свойство вычитания суммы из числа и числа из суммы

— определения числовых и буквенных выражений

— буквенную запись свойств сложения и вычитания

— что называют уравнением, корнем уравнения

— как найти неизвестное слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое

Уметь

— выполнять сложение натуральных чисел

— вычислять периметр многоугольника

— применять переместительное и сочетательное свойства при вычислениях

— выполнять вычитание натуральных чисел

— применять свойство вычитания суммы из числа и числа из суммы при вычислениях

— записывать свойства сложения и вычитания при помощи букв

— решать уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого

В процессе изучения темы «Сложение и вычитание натуральных чисел» проводятся контрольная работа №2 и контрольная работа №3.

4.Умножение и деление натуральных чисел(24ч).

Умножение натуральных чисел и его свойства. Деление. Деление с остатком. Упрощение выражений. Порядок выполнения действий. Степень числа. Квадрат и куб числа.

В ходе изучения темы обучающиеся должны:

Знать

— названия чисел при умножении

— формулировки переместительного и сочетательного свойств умножения

— названия чисел при делении

— как найти неизвестный множитель, делимое, делитель

— алгоритм выполнения деления с остатком

— формулировку распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания

-порядок выполнения действий

— определения квадрата и куба числа

Уметь

— выполнять умножение натуральных чисел

— применять переместительное и сочетательное свойства умножения при вычислениях

— выполнять деление натуральных чисел

— выполнять деление с остатком

— упрощать выражения с помощью распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания

— находить квадрат и куб числа

В процессе изучения темы «Умножение и деление натуральных чисел» проводятся контрольная работа №4 и контрольная работа №5.

    Площади и объёмы(12ч).

Формулы. Площадь. Формула площади прямоугольника. Единицы измерения площадей. Прямоугольный параллелепипед. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда.

В ходе изучения темы обучающиеся должны :

Знать

— определение формулы

— формулу площади прямоугольника

— единицы измерения площадей

— из чего состоит прямоугольный параллелепипед

— формулу для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда

Уметь

— записывать формулу пути

— находить площадь прямоугольника по формуле

— переводить одни единицы площади в другие

— находить объём прямоугольного параллелепипеда по формуле

В ходе изучения темы «Площади и объёмы» проводится контрольная работа №6.

    Обыкновенные дроби(23ч).

Окружность и круг. Доли. Обыкновенные дроби. Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Деление и дроби. Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел.

В ходе изучения темы обучающиеся должны:

Знать

— определения окружности и круга, радиуса, диаметра

— какая дробь называется обыкновенной

— что показывает числитель и знаменатель обыкновенной дроби

— правило сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

— определение правильных и неправильных обыкновенных дробей

— алгоритм сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

— что называют целой и что дробной частью

— правило выделения целой части из неправильной дроби

— алгоритм представления смешанного числа в виде неправильной дроби

— правило сложения смешанных чисел

Уметь

— чертить окружность и круг

— изображать радиус, диаметр окружности

— отмечать обыкновенные дроби на координатном луче

— сравнивать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями

— различать правильные и неправильные дроби

— складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями

— выделять целую часть из неправильной дроби

— представлять смешанное число в виде неправильной дроби

— складывать и вычитать смешанные числа

В процессе изучения темы «Обыкновенные дроби» проводятся контрольная работа №7 и контрольная работа №8.

    Сложение и вычитание десятичных дробей(14ч).

Десятичная запись дробных чисел. Сравнение десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей. Приближённые значения чисел. Округление чисел.

В ходе изучения темы обучающиеся должны:

Знать

— алгоритм записи десятичных дробей

— правило сравнения десятичных дробей

— алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей

— правило округления чисел

Уметь

— записывать и читать десятичные дроби

— сравнивать десятичные дроби

— складывать и вычитать десятичные дроби

— записывать десятичные дроби в виде суммы разрядных слагаемых

— округлять числа

После изучения темы «Сложение и вычитание десятичных дробей» проводится контрольная работа №9.

    Умножение и деление десятичных дробей(24ч).

Умножение десятичных дробей на натуральные числа. Деление десятичных дробей на натуральные числа. Умножение десятичных дробей. Деление на десятичную дробь. Среднее арифметическое.

В ходе изучения обучающиеся должны:

Знать

— правило умножения десятичных дробей на натуральные числа и на десятичную дробь

— правило деления десятичных дробей на натуральные числа и на десятичную дробь

— определение среднего арифметического

— алгоритм нахождения среднего арифметического

Уметь

— умножать десятичные дроби на натуральные числа

— делить десятичные дроби на натуральные числа

— умножать десятичную дробь на десятичную дробь

— делить на десятичную дробь

— находить среднее арифметическое двух и более чисел

В ходе изучения темы «Умножение и деление десятичных дробей» проводятся контрольная работа №10 и контрольная работа №11.

    Инструменты для вычислений и измерений(19ч).

Микрокалькулятор. Проценты. Угол. Прямой и развёрнутый угол. Чертёжный треугольник. Измерение углов. Транспортир. Круговые диаграммы.

В ходе изучения темы обучающиеся должны:

Знать

— для чего используется микрокалькулятор

— определение процента

— алгоритм обращения десятичной дроби в проценты и процентов в десятичную дробь

— определение угла, виды углов

— правила измерения углов с помощью транспортира

— определение круговых диаграмм

Уметь

— использовать микрокалькулятор для вычислений

— обращать десятичную дробь в проценты и проценты в десятичную дробь

— решать простейшие задачи на проценты

— определять виды углов

— измерять углы с помощью транспортира и строить углы с заданной градусной мерой с помощью транспортира

— строить круговые диаграммы

В процессе изучения темы «Инструменты для вычислений и измерений» проводятся контрольная работа №12 и контрольная работа №13.

    Итоговое повторение курса 5-го класса(14ч)

После повторения изученного материала проводится итоговая контрольная работа №14.

Требования к уровню подготовки обучающихся.

В результате изучения математики обучающиеся должны:

знать

— как используются математические формулы, уравнения

— основные определения, изучаемые в 5 классе

— правила действий с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями

уметь

— выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем;

— переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной;

— округлять целые числа и десятичные дроби;

— пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объёма, выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот;

— решать простейшие текстовые задачи арифметическим способом

— определять порядок действий и находить значения числовых выражений

Литература и средства обучения

1. Н.Я.Виленкин «Математика» 5 класс, издательство «Мнемозина», Москва, 2007

2. А.П.Попова «Поурочные разработки по математике», издательство «Вако», Москва, 2008

3. Дидактические материалы по математике для 5 класса под редакцией Чеснокова.

Умножение десятичных чисел; 5 класс — К уроку — Математика, алгебра, геометрия

Конспект урока по математике в 5 классе.

Тема: «Умножение десятичных дробей».

Мещанинец Анжелика Анатольевна, учитель математики,

МОУ «Лазурненская СОШ»

Тип урока: урок усвоения новых знаний и первичного закрепления знаний.

Продолжительность урока: 45 минут.

Учебник: Н.Я. Виленкин и др. Математика 5. М., Мнемозина.

Цели урока:

Образовательная:

провести актуализацию знаний по темам: «Натуральные числа», «Десятичные дроби»,

«Умножение и деление десятичных дробей на натуральные числа»;

сформулировать правило умножения десятичных дробей;

научить применять данное правило при выполнении заданий;

развитие речи в ходе устных ответов и объяснений решения примеров;

— коррекция речи учащихся в ходе взаимообучения.

Развивающая:

— создать условия для развития навыков самостоятельной работы, самоконтроля и самооценки, развития интеллектуальных качеств: внимания, воображения, памяти, умения анализировать, обобщать, выделять главное;

— овладение моторикой мелких мышц;

— развитие двигательной сноровки;

— восприятие устной речи.

Воспитывающая:

— создать условия для развития познавательного интереса к предмету и уверенности в своих силах;

— формирования положительного мотива учения.

Оборудование: экран, проектор, презентация, карточки с правилом в стихах.

Ход урока:

I Орг. момент.

Учитель объявляет тему (слайд 1), цель урока, обращает внимание учащихся на высказывание Цицерона, записанное на доске:

Без знания дробей никто не может

признаваться знающим математику!

Цицерон

II. Разминка.

Учитель: А у нас в гостях символ этого года, встречайте! (слайд 2)

Но сначала небольшая разминка.

  1. «Порисуем».

В уголке клетки ставится точка и учитель диктует куда вести линию по клеткам. Затем рисунок сверяется с изображением на слайде (слайд 3).

Учитель: А теперь вспомним правила умножения и деление десятичных дробей на натуральные числа.

  1. Найди ошибку и составь рисунок:

100 · 0,815=81,5

1,6 · 4 = 6,4

0,3 · 20 = 60

365 : 100 = 3,65

1,68 : 4 = 4,2

Если ответ верный рисуем ∩, если не верный __ . Ответ: ∩∩__∩__ (слайд 4)

III. Основная часть: Объяснение нового материала.

1. Учитель: А теперь, Дракоша, расскажет, как перемножить десятичные дроби. (слайд 5)

Учитель комментирует:

  • выполнить умножение, не обращая внимание на запятые;

  • отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Учащимся предлагается ещё один вариант правила, стихотворный. (слайд 6).

Учитель озвучивает:

Умножая дроби десятичные,

К запятым их будьте безразличными,

Надо их, могу сказать заранее,

Умножать как числа натуральные.

А в произведении полученном,

Справа, запятую в каждом случае,

Отделяйте знаков столько,

три, пять, шесть…

Сколько их во множителях вместе есть.

Учитель раздает памятки каждому ребенку.

  1. Первичное закрепление.

1) Решение примеров с комментарием учителя:

а) 0,254 · 0,03 = 0,00762

б) 0,25 · 7,8 = 1,95 (слайд 7)

Физминутка: (слайд 8)

Мы устали чуточку,

Отдохнем минуточку.

Поворот, наклон, прыжок,

Улыбнись, давай, дружок.

Еще попрыгай: раз, два, три!

На соседа посмотри,

Руки вверх и тут же вниз

И за парту вновь садись.

Стали мы теперь бодрее,

Будем думать мы быстрее.

2) Выполни умножение устно: (слайд 9)

  • 0,6 · 0,8 = (0, 48)

  • 0,4 · 0,9 = (0,36)

  • 0,2 · 0,07 = (0,014)

  • 0,09 · 0,5 = (0,045)

  • 1,3 · 0,3 = (0,39) Ответы даны в скобках.

3) Выполни умножение самостоятельно: (слайды 10, 11)

а) 16,3 · 0,5 = 8,15

б) 5,86 · 1,45 = 8,497

4) Используя нули и запятые, запишите правильный ответ: (слайд 12)

3,9 · 0,5 = 195 (1,95)

0,586 · 0,6 = 3516 (0,3516)

0,42 · 0,15 = 63 (0,0630)

5) рубрика «Это интересно»: (слайд 13)

В старину на Руси каждая монета имела своё название:

3 коп.- алтын; 5 коп. – пятак; 10 коп. – гривенник; 20 коп. – двугривенный;

25 коп. – четвертак; 15 коп. – пятиалтынный; 50 коп. – полтинник.

А вы знаете, что были монеты меньше одной копейки: одна вторая копейки – грош, а как называли одну четвёртую копейки?

Задание: (слайд 14)

Каждому правильному ответу соответствует буква. Решите пример, найдите в таблице ответ, замените буквой, получите зашифрованное слово.

  • 0 ,6 · 0,7 = 0,42 П

  • 5,2 · 0,2 = 1,04 О

  • 0,5 · 1,6 = 0,8 Л

  • 0,07 · 0,8 = 0,056 У

  • 58,6 · 1,4 = 82,04 Ш

  • 7,3 · 0, 03 = 0,219 К

  • 0,3 · 0,06 = 0,018 А

0,056

0,018

0,42

0,8

1,04

82,04

0,219

У

А

П

Л

О

Ш

К

IV. Итого урока.

Учитель. Давайте подведем итог нашей работы.

— Что нового сегодня изучили на уроке?

— Какая часть урока вам понравилась?

— Комфортно вам было на уроке?

V. Домашнее задание: (слайд 15)

Учитель объясняет выполнение домашней работы.

  • стр.214, п.36 (правило)

  • № 1432 (а-е)

  • Составить карточку с 3 примерами для соседа по парте.

  • Постараться сформулировать правило умножения на 0,1; 0,01; 0,001…

Список использованных источников информации:

  1. http://justbackgounds.beon.ru/4244-442-golubye-fony.zhtml фон

  • Учебник Математика 5 класс Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. М.: Мнемозина, 2009.

  • Дидактические материалы по математике, 5 класс. А.С. Чесноков, К. И. Нешков. М.: Академкнига/Учебник, 2011.

  • Проверялочка. Математика. 5 класс. О.Д. Ушакова. Санкт-Петербург: Издательский дом «Литера», 2009

  • Правило написано выпускницей МОУ «Лазурненская СОШ» Екатериной Демьяненко.

Как решить математическую задачу по учебнику Виленкиной для 5 класса

Чем старше ребенок, тем сложнее ему учиться в школе. С каждым годом сложность математических заданий возрастает, и иногда даже родители не могут помочь своему ребенку выполнить домашнее задание. Если вы или ваш ребенок столкнулись с трудностями при решении математической задачи по учебнику Виленкиной для 5 класса, прислушайтесь к нашим советам, и у вас все получится.

Как решить задачу по математике по учебнику Виленкиной для 5 класса

Необходимо

  • — учебник Н.Я. Виленкина и др. для 5 класса;
  • — блокнот, ручка.

Инструкции

Шаг 1

Ни в коем случае не позволяйте ребенку и себе пользоваться готовыми решениями, так как они создают иллюзию, что можно хорошо учиться и без знаний. В крайнем случае, вы можете посмотреть ответы после того, как решите, но не подстраивайте свое решение под готовый ответ, ребенок должен знать алгоритм решения, чтобы иметь возможность применить его на тесте.

Шаг 2

Внимательно прочитайте с ребенком тему вместе с заданиями.Убедитесь, что ребенок понимает, о чем идет речь, и что предыдущие темы ему также знакомы. Изучите все готовые решения, предоставленные авторами туториала, вполне возможно, что ваша проблема решается таким же образом.

Шаг 3

Прочитайте задание, которое нужно решить, и попросите ребенка выделить все эти задания и то, что вы хотите найти. Помогите ему, если он не может точно указать и систематизировать информацию. Запишите всю информацию в тетрадь.

Шаг 4

Чтобы решить задачи на составление дроби, сначала найдите знаменатель (число под чертой). Скорее всего, это будет самое большое число в задаче, например, общее количество детей или вся длина дороги. Затем определите числитель (число над чертой) — часть этого общего.

Шаг 5

Чтобы решить пример с дробями, приведите все дроби к одному знаменателю (то есть число под чертой должно быть одинаковым для всех дробей).Для этого найдите число (минимальное), на которое нужно умножить всю дробь с меньшим знаменателем. Как только вам удалось привести все дроби к одному знаменателю, смело объединяйте все дроби в одну и складывайте числители. Чтобы умножить дроби, умножьте числители и знаменатели отдельно. Чтобы разделить одну дробь на другую, просто переверните вторую дробь и умножьте первую на вторую.

Шаг 6

Для решения задач на площади и объемы, задач с отрезками и линиями обязательно чертить чертеж.Даже если задачу можно решить с помощью формулы, все равно расскажите ребенку о возможности решения с помощью картинки, это поможет ему в трудной ситуации, когда вас не будет рядом.

Шаг 7

Научите ребенка проверять правильность решения задачи методом подстановки. Подставьте полученные решения в условия задания и убедитесь в правильности найденных ответов.

Правила отрицательные. Отрицательные числа

Развитие вычислительных навыков является важнейшей целью математических программ с 1 по 6 классы.От того, насколько быстро и правильно ребенок научится выполнять арифметические действия, зависит скорость выполнения им логических (смысловых) действий в старших классах и уровень понимания предмета в целом. Репетитор по математике часто сталкивается с вычислительными проблемами учащихся, которые мешают им достигать высоких результатов.

С каким количеством учеников репетитор не должен работать. Родителям нужна подготовка к ЕГЭ по математике, а их ребенок не может разобраться в обыкновенных дробях или путается в отрицательных числах.Какие действия должен предпринять репетитор по математике в таких случаях? Как я могу помочь студенту? У репетитора нет времени на неторопливое и последовательное изучение правил, поэтому традиционные методы часто приходится заменять некими, так сказать, искусственными «ускорителями-полуфабрикатами». В этой статье я опишу один из возможных способов развития навыка выполнения действий с отрицательными числами, а именно вычитание таковых.

Предположим, что репетитор по математике имеет удовольствие работать с очень слабым учеником, знания которого не простираются дальше простейших вычислений с положительными числами.Предположим также, что репетитор смог объяснить законы сложения и вплотную приблизиться к правилу а-в = а + (- Ь). Какие моменты должен учитывать репетитор по математике?

Преобразование вычитания в сложение не является простым и очевидным преобразованием. Учебники предлагают строгие и точные математические формулировки: «Чтобы вычесть число «b» из числа «а», прибавьте к числу «а» число, противоположное «b». Формально к тексту не придраться, но как только он начинает использоваться репетитором по математике как инструкция по выполнению конкретных расчетов, возникают проблемы.Чего стоит только одна фраза: «Чтобы вычесть — нужно прибавить». Ученик не разберется без четкого комментария тьютора. В самом деле, что же делать: вычитать или прибавлять?

Если работать с правилом по замыслу авторов учебника, то помимо отработки понятия «противоположное число», нужно научить учащегося соотносить обозначения «а» и «б» с действительные числа в примере. А это потребует времени. Учитывая еще и то, что ученик думает и пишет одновременно, задача репетитора по математике становится еще сложнее.Слабый школьник не обладает хорошей зрительной, смысловой и моторной памятью, а потому лучше предложить альтернативный текст правила:

Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно
А) Переписать первое число
Б) Поставить плюс
Б) Заменить знак второго числа на противоположный
Г) Полученные числа сложить

Здесь шаги алгоритма четко разделены по пунктам и не привязаны к буквенным обозначениям.

В ходе решения практического задания по переводу репетитор по математике несколько раз перечитывает этот текст учащемуся (для запоминания).Советую записать в теоретическую тетрадь. Только отработав правило перехода к сложению, можно записать общий вид а-б = а + (- Ь)

Движение знаков «минус» и «плюс» в голове ребенка (как маленького, так и слабого взрослого) чем-то напоминает броуновское. Репетитор по математике должен как можно быстрее навести порядок в этом хаосе. В процессе решения примеров используются опорные подсказки (вербальные и визуальные), которые в сочетании с точным и детальным оформлением делают свое дело.Необходимо помнить, что каждое слово, произнесенное репетитором по математике в момент решения какой-либо задачи, несет в себе либо намек, либо помеху. Каждая фраза анализируется ребенком с целью установления связи с тем или иным математическим объектом (явлением) и его изображением на бумаге.

Типичной задачей для слабых школьников является отделение знака действия от знака участвующего в нем числа. Один и тот же зрительный образ затрудняет распознавание уменьшенного «а» и вычитаемого «Ь» в разности а—Ь.Когда репетитор по математике читает выражение во время объяснения, обязательно используйте слово «вычесть» вместо «-». Это необходимо! Например, запись следует читать так: «Из минус пяти вычесть минус три. Нельзя забывать о правиле перевода в сложение: «Чтобы из числа «а» вычесть число «б» надо…».

Если у репетитора по математике постоянно вылетает из языка «минус 5 минус минус 3», то понятно, что ученику будет сложнее представить структуру примера.Однозначное соответствие между словом и арифметической операцией помогает репетитору математики точно переводить информацию.

Как воспитателю объяснить переход на сложение?

Конечно, можно обратиться к определению «вычесть» и поискать число, которое нужно прибавить к «b», чтобы получить «а». Однако слабый ученик мыслит далеко от строгой математики и репетитору для работы с ним понадобятся некоторые аналогии с простыми действиями. Я часто говорю своим шестиклассникам: «В математике нет такого арифметического действия, как «разность».Обозначение 5 — 3 представляет собой простое обозначение результата сложения 5 + (- 3). Знак плюс просто опускается и не пишется. »

Дети удивляются словам воспитателя и невольно вспоминают, что числа вычитать напрямую нельзя. Репетитор по математике объявляет 5 и -3 слагаемых, а для большего удобства в своих словах сравнивает результаты действий 5-3 и 5+(-3). После этого запишем тождество a-b = a + (- b)

Каким бы ни был ученик, и сколько бы времени с ним ни провел репетитор по математике, нужно вовремя отработать понятие «противоположное число».Особого внимания репетитора по математике заслуживает запись «-х». Ученик 6-го класса должен усвоить, что оно отображает не отрицательное число, а противоположное х.

Отдельно следует остановиться на расчетах с двумя знаками минус, расположенными рядом друг с другом. Возникает проблема понимания операции их одновременного удаления. Необходимо внимательно пройти все пункты описанного алгоритма перехода к сложению. Будет лучше, если в работе с разницей -5- (-3) перед любыми комментариями репетитор по математике выделит в рамку числа -5 и -3 или подчеркнет их. Это поможет учащемуся выделить компоненты действия.

Репетитор по математике сосредоточился на запоминании

Надежное запоминание является результатом практического применения математических правил, поэтому тьютору важно обеспечить хорошую плотность самостоятельно решаемых примеров. Для повышения устойчивости запоминания можно позвать на помощь визуальные подсказки – фишки. Например, интересный способ преобразования вычитания отрицательного числа в сложение.Репетитор по математике соединяет одной линией два минуса (как показано на рисунке), а ученик видит плюс (на пересечении со скобкой).

Во избежание отвлечения внимания репетиторам по математике рекомендую выделять вычитаемое и вычитаемое квадратиками. Если репетитор по математике использует прямоугольники или кружки для выделения компонентов арифметического действия, то учащемуся будет легче и быстрее увидеть структуру примера и соотнести его с соответствующим правилом.Не следует при принятии решений размещать кусочки целого предмета на разных строках тетрадного листа, а также начинать складывать, пока он не будет записан. Все действия и переходы показаны в обязательном порядке (по крайней мере, на старте изучения темы).

Некоторые репетиторы математики стремятся к 100% точному обоснованию правил перевода, считая эту стратегию единственно правильной и полезной для развития вычислительных навыков. Однако практика показывает, что этот путь не всегда приносит хорошие дивиденды.Потребность в осознании того, что делает человек, чаще всего появляется после запоминания этапов применяемого алгоритма и практического закрепления вычислительных операций.

Крайне важно отработать переход к сумме в длинном числовом выражении с несколькими вычитаниями, например. Прежде чем приступить к вычислению или преобразованию, я предлагаю учащемуся обвести числа вместе с их знаками слева. На рисунке показан пример того, как репетитор по математике выделяет термины. Для очень слабых шестиклассников можно дополнительно подкрасить кружочки.Используйте один цвет для положительных терминов и другой для отрицательных терминов. В особых случаях я беру ножницы и режу выражение на кусочки. Их можно произвольно переставлять, имитируя таким образом перестановку терминов. Ребенок увидит, что знаки двигаются вместе с самими терминами. То есть, если знак минус был слева от цифры 5, то куда бы мы ни поставили соответствующую карту, она от пятерки не оторвется.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике для 5-6 классов.Москва. Строгино .

Владение отрицательными числами является необязательным навыком, если вы собираетесь поступать в 5 класс физико-математической школы … Однако это сильно упростит, что в дальнейшем повлияет на общий результат. вступительная олимпиада .

Итак, приступим.
Для начала нужно понять, что есть числа меньше нуля, которые называются отрицательными: например, на единицу меньше, чем на единицу меньше 1, то, а то и т. д.Любое натуральное число имеет своего «отрицательного брата», число, которое в сумме с исходным числом дает .

Все натуральные числа, «минус натуральные» числа и «0» вместе составляют набор целых чисел.

Сложение и вычитание

Если представить числовой ряд, то вы легко освоите правила сложения и вычитания отрицательных чисел :


Сначала найдите на прямой число, к которому или из которого вы будете вычитать/прибавлять. Далее, если нужно:

  1. Добавить отрицательное число, то нужно сдвинуть влево
  2. Добавить положительное число — сдвиг вправо
  3. Вычесть минус — сдвиг вправо
  4. Вычесть положительное — сдвиг влево
по количеству единиц, которые вы добавляете/вычитаете.Новое место, где вы окажетесь, будет результатом операции.

Конечно, задачи на для поступления в 5 класс можно будет решить и без использования отрицательных чисел, но это повысит ваш уровень математики в целом. Со временем вы не будете чертить или изображать числовую прямую, а будете делать это «автоматически», но для этого стоит потренироваться: придумайте любые числа (отрицательные или положительные) и попробуйте сначала их сложить, потом вычесть. Повторяя это упражнение раз в день, через день вы почувствуете, что полностью выучили складывать и вычитать любые целые числа .

Умножение и деление

Тут дело обстоит еще проще: нужно только запомнить, как меняются знаки при умножении или делении:

Вместо слова «на» можно использовать и умножение, и деление.
Определим знак, а само число есть результат соответственно умножения или деления исходных чисел без знаков.




















Назад вперед

Внимание! Предварительный просмотр слайдов предназначен только для информационных целей и может не отображать все параметры презентации.Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.

Цели и задачи урока:

  • Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.
  • Развивать предметные и общеобразовательные умения и навыки, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; установить закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
  • Развитие навыков самоконтроля и взаимоконтроля; развивать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.

План урока:

I. Вступительное слово преподавателя.

II. Проверка домашнего задания.

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Обновление знаний.

IV. Решение задач по карточкам

В. Самостоятельная работа по опционам.

Ви. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Во время занятий

I. Организационный момент

Ученики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечают недостающие, проверяют готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.

Народная мудрость гласит: «Повторение — мать учения».

Сегодня мы проведем заключительный урок на тему сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел.

Цель нашего урока — повторение материала по данной теме и подготовка к тесту.

А девизом нашего урока, я думаю, должно стать утверждение: «Мы научимся складывать и вычитать в «5»!»

II. Проверка домашнего задания

№1114. Заполните пустые места в таблице:

№1116. В альбоме 1105 марок, количество иностранных марок составило 30% от количества российских марок. Сколько иностранных и сколько российских марок было в альбоме?

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Обновление знаний.

Учащиеся повторяют: правило сложения отрицательных чисел, правило сложения чисел с разными знаками, правило вычитания чисел с разными знаками.Затем решают примеры на применение каждого из этих правил. (Слайды 4-10)

Актуализация знаний учащихся по нахождению длины отрезка на координатной прямой по известным координатам ее концов:

4) Квест «Угадай слово»

На земном шаре живут

птицы – безошибочные «составители» прогноза погоды на лето. Название этих птиц зашифровано в карточке.

После выполнения всех заданий учащийся получает ключевое слово, а ответы проверяются с помощью проектора.

Ключи Фламинго строят конусообразные гнезда: высокие — для дождливого лета; низкий — сушить. (Показывает модель ученика Слайды 14-16)

IV. Решение задач по карточкам.

V. Самостоятельная работа по опционам.

У каждого студента есть индивидуальная карта.

Опция 1.

Обязательная часть.

1. Сравните числа:

а) –24 и 15;

б) –2 и –6.

2. Запишите противоположное число:

3. Следуйте инструкциям:

4. Найдите значение выражения:

Ви. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Вопросы проецируются на экран.

  1. Число, соответствующее точке на линии координат…
  2. Из двух чисел на координатной линии большее число, которое расположено. ..
  3. Число, которое не является ни отрицательным, ни положительным…
  4. Расстояние от числа до начала координат на числовой прямой …
  5. Натуральные числа, противоположные им и ноль…

Настройка домашнего задания:

  • подготовка к тесту:
  • повторить правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел;
  • решите №1096 (к,л,м) №1117

Итоги урока.

Шел мудрец, и встретили его три человека, которые везли телеги с камнями для строительства под жарким солнцем.Мудрец остановился и задал каждому вопрос. Первый спросил: «Что ты делал весь день?» А он с ухмылкой ответил, что весь день возил проклятые камни. Мудрец спросил второго: «Что ты делал весь день?» А он ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, лицо его осветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма»

Ребята! Попробуем оценить каждую нашу работу за урок.

Кто сработал вроде от первого лица поднимает синие квадратики.

Те, кто работал добросовестно, поднимают зеленые квадраты.

Те, кто принимал участие в строительстве Храма Знаний, поднимают красные квадраты.

Рефлексия — Соответствуют ли ваши знания и умения девизу урока?

Какие знания тебе сегодня понадобились?

Начнем с простого примера. Определите, чему равно выражение 2-5. От точки +2 отложите пять делений, два до нуля и три ниже нуля.Остановимся на точке -3. То есть 2-5=-3. Теперь обратите внимание, что 2-5 вовсе не равно 5-2. Если в случае сложения чисел их порядок не имеет значения, то в случае вычитания все иначе. Порядок чисел имеет значение .

Теперь перейдем к отрицательной области масштабов. Предположим, вам нужно добавить +5 к -2. (Отныне мы будем ставить знаки «+» перед положительными числами и заключать в скобки как положительные, так и отрицательные числа, чтобы не путать знаки перед числами со знаками сложения и вычитания. ) Теперь нашу задачу можно записать как (-2) + (+5). Для ее решения поднимаемся на пять делений вверх от точки -2 и оказываемся в точке +3.

Имеет ли эта задача какое-то практическое значение? Конечно есть. Допустим, у вас есть 2 доллара долга, а вы заработали 5 долларов. Таким образом, после того, как вы погасите долг, у вас останется 3 доллара.

Вы также можете перемещаться вниз по отрицательной области шкалы. Предположим, вам нужно вычесть 5 из -2, или (-2) — (+ 5). От точки -2 по шкале откладываем пять делений и оказываемся на отметке -7.Каков практический смысл этой задачи? Предположим, у вас есть долг в размере 2 долларов, и вы должны занять еще 5 долларов. Теперь ваш долг составляет 7 долларов.

Мы видим, что с отрицательными числами можно выполнять те же операции сложения и вычитания , что и с положительными.

Правда, мы еще не все операции освоили. Мы только добавляли к отрицательным числам и вычитали только положительные числа из отрицательных чисел. Но что, если вам нужно сложить отрицательные числа или вычесть отрицательные числа из отрицательных чисел?

На практике это похоже на долговые операции.Предположим, вам списали долг в 5 долларов, это означает то же самое, как если бы вы получили 5 долларов. С другой стороны, если я каким-то образом заставлю вас взять на себя ответственность за чей-то долг в 5 долларов, это все равно, что взять эти 5 долларов. от вас. То есть вычитание -5 равносильно добавлению +5. А прибавление -5 равносильно вычитанию +5.

Это позволяет нам избавиться от операции вычитания. Действительно, «5-2» это то же самое, что (+5) — (+ 2) или по нашему правилу (+5) + (- 2). В обоих случаях мы получаем один и тот же результат.От отметки +5 по шкале нам нужно опуститься на два деления вниз, и мы получим +3. В случае 5-2 это очевидно, так как вычитание — это движение вниз.

В случае (+5) + (- 2) это менее очевидно. Мы прибавляем число, что означает движение вверх по шкале, а прибавляем отрицательное число, то есть делаем обратное, и эти два фактора, вместе взятые, означают, что нам нужно двигаться не вверх по шкале, а в обратном направлении. направление, то есть путь вниз.

Таким образом, снова получаем ответ +3.

Зачем, собственно, нужно заменить вычитание на сложение ? Зачем двигаться вверх «в обратном смысле»? Не проще ли просто спуститься вниз? Причина в том, что в случае сложения порядок членов не имеет значения, а в случае вычитания он очень важен.

Мы уже выяснили ранее, что (+5) — (+ 2) не то же самое, что (+2) — (+ 5). В первом случае ответ +3, а во втором -3. С другой стороны, (-2) + (+ 5) и (+5) + (- 2) дают +3.Таким образом, переходя к операциям сложения и отказываясь от операций вычитания, мы можем избежать случайных ошибок, связанных с перестановкой членов.

Аналогично можно действовать при вычитании минуса. (+5) — (- 2) то же, что (+5) + (+ 2). В обоих случаях получаем ответ +7. Начинаем с точки +5 и движемся «вниз в обратном направлении», то есть вверх. Точно так же мы поступили бы, если бы решили выражение (+5) + (+ 2).

Замену вычитания сложением учащиеся активно используют, когда начинают изучать алгебру, и поэтому эта операция называется «Алгебраическое сложение» . .. На самом деле это не совсем так, так как такая операция заведомо арифметическая, а вовсе не алгебраическая.

Эти знания одинаковы для всех, поэтому даже если вы учитесь в Австрии через www.salls.ru, хотя обучение за границей более ценно, вы сможете применить эти правила и там.

ВЫЧИТАНИЕ

Математика 6 класс

(Виленкин Н.Я.)

учитель математики, МОУ «1Упшинская60 основная

СОШ «Оршанский район Республики Марий Эл»


Значение вычитания

Задача. Пешеход прошел 9 км за 2 часа. Сколько километров он преодолел за первый час, если за второй час он прошел 4 км?

В этой задаче число 9 — сумма два слагаемых, одно из которых равно 4 а другой неизвестен.

Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится другое слагаемое, называется вычитание.


Смысл вычитания

Поскольку 5+4=9,

то искомый член равен 5.

Запись 9 — 4 = 5

9 – 4 = 5

разность

вычитаемое

вычитаемое


Значение вычитания

5 + 14 = 9

9 – 14 = ?

? + 14 = 9

9 – 14 = –5

9 – 14 = ?

23 + 14 = –9

? + 14 = –9

9 – 14 = 23


Значение вычитания

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл: Действие, при котором другое слагаемое находится по сумме одного из слагаемых, называется вычитанием.

9 – (–14) = ?

23 + (–14) = 9

? + (–14) = 9

9 – (–14) = 23

Подобрать неизвестный термин

9 – (–14) = ?

5 + (–14) = –9

? + (–14) = –9

9 – (–14) = 5


9 (–14) = 23

9 14 = –5

9 + (–14) = –5

9 + 14 = 23

9 (–14) = 5

9 14 = 23

9 + (–14) = 23

9 + 14 = 5

Подумайте, как заменить вычитание сложением.

ПРАВИЛО. Чтобы из заданного числа вычесть другое, необходимо к вычитаемому прибавить противоположное число.


ВЫЧИТАНИЕ

но б = а + ( –Б )

15 18 = 15 + ( –18 ) =

15 ( –18 ) = 15 + 18 =


ВЫЧИТАНИЕ

Замените вычитание сложением и найдите значение выражения:

12 20 =

3,4 10 =

10 ( –13 ) =

1,2 ( –1,3 ) =

17 ( –13 ) =

2,3 ( –3,5 ) =

21 13 =

5,1 4,9 =


ВЫЧИТАНИЕ

5 10 = 5 + ( 10 )

ПРАВИЛО. Любое выражение, содержащее только знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму

Назовите каждый член суммы:

5 – 10 + 7 –15 –23 =

н + у — 9 + б — с — 1 =


ВЫЧИСЛИТЬ:

10 + 7 – 15 =

12 – 17 – 11 =

12 + 23 – 41 =

2 – 33 + 20 =

24 – 75 + 20 =


6 — 2 — 5 ПРАВИЛО.Разность двух чисел положительна, если вычитаемое больше вычитаемого. «Ширина = 640»

8 6 =

2

уменьшаемое

вычитаемое

разность

2 ( –5 ) =

3

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Когда разность двух чисел положительна?

8 6

2 –5

ПРАВИЛО. Разница двух чисел положительна, если вычитаемое больше, чем вычитаемое .


10 15 =

5

уменьшаемое

вычитаемое

разность

8 ( –6 ) =

2

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Сравните вычитаемое и вычитаемое в примерах.

Когда разница двух чисел отрицательна?

10 15

8 –6

ПРАВИЛО. Разница двух чисел отрицательна, если уменьшить меньше, чем вычесть .


Подумайте, когда разница между двумя числами равна 0.Привести примеры.

0

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Определить знак разности без выполнения вычислений:

12 ( –13 ) =

3,4 10 =

15 ( –11 ) =

2,3 ( –3,5 ) =

5,1 4,9 =

31 23 =


Нахождение длины отрезка

NS

А (–3)

3 + х = 4

х = 4 — (–3) = 7

В 4)

АВ -?

AB = 7 шт.

ПРАВИЛО.


Нахождение длины отрезка

A (-1)

АВ = –1 – (–5) = 4 шт.

В 5)

АВ -?

AB = 4 шт.

ПРАВИЛО. Чтобы найти длину отрезка на координатной линии, вычтите координату левого конца из координаты его правого конца.


Вопросы для закрепления:

  • Что означает вычитание отрицательных чисел?
  • Как заменить вычитание сложением?
  • Когда разница двух чисел положительна?
  • Когда разница двух чисел является отрицательной?
  • Когда разница между двумя числами равна нулю?
  • Как найти длину отрезка координатной линии?

учитель начальных классов МАОУ лицей №21, г.Иваново


Немного истории

Индийские математики воображали позитивные номера как «Недвижимость» и отрицательные номера, такие как «Долги»

Правила сложения и вычитания, изложенные брахмагуптами:

  • «Сумма двух свойств есть свойство.
  • «Сумма двух долгов есть долг»
  • «Сумма имущества и долга равна их разнице»

Брахмагупта, индийский математик и астроном.

Правило умножения десятичных дробей на дробь. Десятичные дроби и действия с ними

Как обычные числа.

2. Считаем количество знаков после запятой в 1-й десятичной дроби и во 2-й.Складываем их количество.

3. В конечном результате отсчитайте справа налево столько цифр, сколько получилось в абзаце выше, и поставьте запятую.

Правила десятичного умножения.

1. Умножить, игнорируя запятую.

2. В произведении отделите столько цифр после запятой, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.

Умножая десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1. Умножать числа без запятой;

2.В итоге запятую ставим так, чтобы справа от нее было столько цифр, сколько их в десятичной дроби.

Умножение десятичных дробей столбиком.

Возьмем пример:

Десятичные дроби записываем в столбик и умножаем их как натуральные числа, игнорируя запятые. Те. Мы рассматриваем 3,11 как 311, а 0,01 как 1,

.

Результат 311. Далее считаем количество знаков после запятой для обеих дробей. В 1-й десятичной дроби 2 цифры, во 2-й — 2.Всего цифр после запятых:

2 + 2 = 4

Считаем четыре символа справа налево в результате. В конечном результате цифр меньше, чем нужно разделить запятой. В этом случае необходимо добавить недостающее количество нулей слева.

В нашем случае отсутствует 1-я цифра, поэтому слева добавляем 1 ноль.

Примечание:

При умножении любой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. десятичная точка смещается вправо на столько цифр, сколько нулей стоит после единицы.

Например :

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Примечание:

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; и так далее, нужно в этой дроби запятую передвинуть влево на столько цифр, на сколько нулей стоит перед единицей.

Мы считаем ноль целых чисел!

Например:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 .0,1 = 0,005

1 256 . 0,01 = 0,012 56

§ 1 Применение правила умножения десятичных дробей

В этом занятии вы познакомитесь и научитесь применять правило умножения десятичных дробей и правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу, например 0,1, 0,01 и т. д. Кроме того, рассмотрим свойства умножения при нахождении значений выражений, содержащих десятичные дроби.

Решим задачу:

Транспортное средство движется со скоростью 59.8 км/ч.

Какой путь проедет автомобиль за 1,3 часа?

Как известно, чтобы найти путь, нужно скорость умножить на время, т.е. 59,8 умножить на 1,3.

Запишем числа в столбик и начнем их умножать, не замечая запятых: 8 умножаем на 3, будет 24, 4 пишем 2 в уме, 3 умножаем на 9 это 27, и даже плюс 2, получаем 29, пишем 9, 2 в уме. Теперь умножаем 3 на 5, будет 15 и прибавляем еще 2, получаем 17.

Переходим ко второй строке: 1 умножаем на 8, будет 8, 1 умножаем на 9, получаем 9, 1 умножаем на 5, получаем 5, складываем эти две строки, получаем 4, 9+8 равно 17 , 7 пишем в уме 1, 7+9 это 16 и еще 1 будет 17, 7 пишем 1 в уме, 1+5 и еще 1 получаем 7.

Теперь посмотрим, сколько знаков после запятой в обеих десятичных дробях! В первой дроби одна цифра после запятой, а во второй дроби одна цифра после запятой, всего две цифры.Это значит, что в правой части результата нужно отсчитать две цифры и поставить запятую, т.е. будет 77,74. Итак, если вы умножите 59,8 на 1,3, вы получите 77,74. Значит ответ в задаче 77,74 км.

Таким образом, чтобы умножить две десятичные дроби, нужно:

Во-первых: выполнить умножение, игнорируя запятые

Второй: в полученном произведении отделите запятой справа столько цифр, сколько стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Если в результирующем произведении меньше цифр, чем должно быть разделено запятой, то необходимо добавить один или несколько нулей впереди.

Например: 0,145 умножаем на 0,03, получаем в произведении 435, а надо отделить 5 цифр справа запятой, поэтому перед цифрой 4 добавляем еще 2 нуля, ставим запятую и прибавляем еще один нуль. Получаем ответ 0,00435.

§ 2 Свойства умножения десятичных дробей

При умножении десятичных дробей сохраняются все те же свойства умножения, что и для натуральных чисел. Выполним несколько заданий.

Задание №1:

Давайте решим этот пример, применив свойство распределения умножения к сложению.

Ставим за скобки 5,7 (общий множитель), в скобках будет 3,4 плюс 0,6. Значение этой суммы равно 4, а теперь 4 надо умножить на 5,7, получится 22,8.

Задание №2:

Применим свойство транспонирования умножения.

Сначала умножаем 2,5 на 4, получаем 10 целых чисел, а теперь надо умножить 10 на 32,9 и получаем 329.

Кроме того, при умножении десятичных дробей можно заметить следующее:

При умножении числа на неправильную десятичную дробь, т. е.е. больше или равно 1, увеличивается или не изменяется, например:

При умножении числа на правильную десятичную дробь, т.е. меньше 1, оно уменьшается, например:

Решим пример:

23,45 раза 0,1.

Нам нужно умножить 2345 на 1 и отделить справа три знака после запятой, получится 2,345.

Теперь решим другой пример: 23,45 разделить на 10, надо запятую передвинуть на один символ влево, т.к. 1 это ноль в разрядной единице, получаем 2.345.

Из этих двух примеров можно сделать вывод, что умножение десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д., это означает деление числа на 10, 100, 1000 и т.д., т.е. запятую надо передвинуть влево в десятичной дроби на столько цифр, сколько нулей стоит перед 1 в множителе.

Используя полученное правило, находим значения произведений:

13,45 раз 0,01

перед цифрой 1 стоят 2 нуля, поэтому переносим запятую влево на 2 цифры, получаем 0.1345.

0,02 раза 0,001

перед цифрой 1 стоят 3 нуля, значит переносим запятую на три цифры влево, получаем 0,00002.

Итак, на этом уроке вы научились умножать десятичные дроби. Для этого нужно всего лишь выполнить умножение, игнорируя запятые, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Кроме того, мы познакомились с правилом умножения десятичной дроби на 0.1, 0,01 и т. д., а также рассмотрели свойства умножения десятичных дробей.

Список использованной литературы:

  1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и другие. 31-е изд., стерто. — М: 2013.
  2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор — Попов М.А. — 2013 г.
  3. Считаем без ошибок. Работает с самопроверкой по математике, 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. —
  4. 2014 г.
  5. Дидактические материалы по математике 5 класс.Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. — 2010
  6. Контрольная и самостоятельная работа по математике 5 класс. Авторы — Попов М.А. — 2012 г.
  7. Матем. 5 класс: учебник. для учащихся общеобразовательных школ. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. — 9-е изд., стерт. — М.: Мнемосина, 2009

В средней и старшей школе учащиеся изучали тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем оно дается в процессе обучения.Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и далеко не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, например, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так сложилось исторически, что дробные числа появились из-за необходимости измерения. Как показывает практика, часто встречаются примеры определения длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально учащиеся знакомятся с концепцией доли. Например, если разделить арбуз на 8 частей, то каждой достанется по одной восьмой части арбуза.Эта одна часть из восьми называется дробью.

Дробь, равная ½ любого значения, называется половиной; ⅓ — третий; ¼ — четверть. Записи вида 5/8, 4/5, 2/4 называются обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь делится на числитель и знаменатель. Между ними дробная черта, или дробная черта. Косая черта может быть нарисована как горизонтальная или наклонная линия. В данном случае он обозначает знак деления.

Знаменатель показывает, на сколько равных долей делится стоимость объекта; а числитель — сколько равных долей было взято.Числитель пишется над дробной чертой, а знаменатель — под ней.

На координатном луче удобнее всего показывать обыкновенные дроби. Если единичный отрезок разделить на 4 равные части, каждую часть обозначить латинской буквой, то в результате можно получить отличный наглядный материал. Так, точка А показывает дробь, равную 1/4 всего единичного отрезка, а точка B отмечает 2/8 этого отрезка.

Разновидности дробей

Дроби могут быть обыкновенными, десятичными и смешанными числами.Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильной дробью считается число, у которого числитель больше знаменателя. Второй тип обычно записывается как смешанное число. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно произвести какие-либо манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное больше или равно 1.

При этом под данным выражением понимается запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого может выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичном представлении будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной части запятой, а затем записать дробное выражение.Необходимо помнить, что после запятой в числителе должно стоять столько цифровых знаков, сколько нулей в знаменателе.

Пример … Представьте дробь 7 21/1000 в десятичной системе счисления.

Алгоритм преобразования неправильной дроби в смешанное число и наоборот

В ответе на задачу записывать неправильную дробь некорректно, поэтому ее необходимо преобразовать в смешанное число:

  • разделить числитель существующим знаменателем;
  • v конкретный пример неполное частное — целое;
  • и в остатке стоит числитель дробной части, а знаменатель остается неизменным.

Пример … Преобразование неправильной дроби в смешанное число: 47/5.

Решение … 47: 5. Неполное частное равно 9, остаток = 2. Отсюда 47/5 = 9 2/5.

Иногда нужно представить смешанное число в виде неправильной дроби… Тогда нужно использовать следующий алгоритм:

  • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
  • полученный продукт прибавляется к числителю;
  • результат записывается в числитель, знаменатель остается без изменений.

Пример … Представить смешанное число в виде неправильной дроби: 9 8/10.

Решение … 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение обыкновенных дробей

С обыкновенными дробями можно производить различные алгебраические операции. Чтобы умножить два числа, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. При этом умножение дробей с разными знаменателями ничем не отличается от произведения дробей с одинаковыми знаменателями.

Бывает, что после нахождения результата нужно дробь отменить. Крайне важно максимально упростить полученное выражение. Конечно, нельзя сказать, что неверная дробь в ответе является ошибкой, но и правильным ответом назвать ее тоже сложно.

Пример … Найдите произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20/18.

Как видно из примера, после нахождения работы получается сокращенная дробная запись.И числитель, и знаменатель в этом случае делятся на 4, а ответ — 5/9.

Умножение десятичных дробей

Произведение десятичных дробей совершенно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей выглядит следующим образом:

  • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
  • нужно умножать написанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
  • подсчитать количество цифр после запятой в каждом из чисел;
  • в результате, полученном после умножения, нужно отсчитать справа столько цифровых знаков, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить разделительный знак;
  • если в произведении меньше цифр, то нужно перед ними написать столько нулей, чтобы покрыть эту сумму, поставить запятую и всю часть приравнять к нулю.

Пример … Вычислите произведение двух десятичных дробей, 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Для вычисления произведения двух смешанных дробей необходимо воспользоваться правилом умножения дробей:

  • Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби;
  • найти произведение числителей;
  • найти произведение знаменателей;
  • запишите полученный результат;
  • Максимально упростите выражение.

Пример … Найдите произведение 4½ и 6 2/5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, есть задачи, где нужно умножать на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичного и натурального числа, необходимо:

  • под дробью написать число так, чтобы крайние правые цифры были одна над другой;
  • найти работу несмотря на запятую;
  • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, считая количество цифр справа, которое стоит после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, нужно найти произведение числителя на натуральный множитель. Если ответ содержит дробь отмены, ее следует преобразовать.

Пример … Вычислите произведение 5/8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5 * 12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из В предыдущем примере необходимо было сократить полученный результат и преобразовать неверное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей применимо и для нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы умножить эти два числа, следует умножить целую часть смешанного множителя на число, числитель умножить на то же значение, а знаменатель оставить без изменений. При необходимости нужно максимально упростить полученный результат.

Пример … Найти продукт 9 5/6 и 9.

Решение …9 5/6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на коэффициенты 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следующее правило следует из предыдущего пункта. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т. д., нужно сдвинуть запятую вправо на столько цифр, на сколько нулей в множителе после единицы.

Пример 1 … Найдите произведение 0,065 и 1000.

Раствор … 0,065 x 1000 … 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . .. Найти продукт 3,9 и 1000.

Решение … 3.9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если вам нужно умножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., в полученном произведении следует сдвинуть запятую влево на столько цифр, сколько нулей до единицы. При необходимости перед натуральным числом дописывается достаточное количество нулей.

Пример 1 … Найдите произведение 56 и 0,01.

Решение … 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 … Найдите произведение 4 и 0,001.

Решение … 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения разных дробей не должно вызвать никаких затруднений, кроме разве что вычисления результата; в этом случае без калькулятора просто не обойтись.

Десятичная дробь используется, когда нужно выполнить действия с нецелыми числами. Это может показаться иррациональным. Но такого рода числа значительно облегчают математические операции, которые необходимо производить с ними. Это понимание приходит со временем, когда их написание становится привычным, а чтение не вызывает затруднений, а правила десятичных дробей освоены. При этом все действия повторяются уже известными, которые освоены с натуральными числами. Просто нужно помнить некоторые особенности.

Десятичное определение

Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то число удобнее переписать через запятую. Тогда перед ним будет располагаться целая часть, а затем дробная часть. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя.Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно месту знаменателя.

Вышеизложенное можно проиллюстрировать следующими числами:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причины, по которым нужно использовать десятичные дроби

Десятичные дроби были нужны математикам по нескольким причинам:

    Упрощение записи. Такая дробь располагается по одной черте без тире между знаменателем и числителем, при этом четкость не страдает.

    Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести числа, находящиеся на одинаковых позициях, тогда как с обыкновенными дробями необходимо было бы привести их к общему знаменателю.

    Упрощение расчетов.

    Калькуляторы не предназначены для введения обыкновенных дробей, они используют для всех операций десятичную запись чисел.

Как правильно читать такие номера?

Ответ прост: как обычное смешанное число со знаменателем, кратным 10.Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «нулевые целые числа».

Например, 45/1000 следует произносить как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .

Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, которое будет записано как 7,17, в обоих случаях будет читаться как семь целых семнадцать сотых .

Роль цифр в написании дробей

Правильное обозначение разряда — это то, что требуется математику.Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если вы напишете число не в том месте. Впрочем, так было и раньше.

Для чтения цифр целой части десятичной дроби достаточно воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А с правой стороны они зеркально отражены и читаются по-другому. Если в целой части звучали «десятки», то после запятой будут «десятки».

Это хорошо видно из этой таблицы.

Таблица десятичных знаков
Класс тысяч единиц , дробная часть
слив соты дес. шт. соты дес. штук десятых сотых тысячных десятитысячных

Как правильно записать смешанное число в виде десятичной дроби?

Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и другие, то вопрос, как перевести дробь в десятичную, не представляет сложности. Для этого достаточно переписать все его составные части по-другому.В этом помогут следующие пункты:

    числитель дроби напишите немного в сторону, в этот момент десятичная точка расположена справа, после последней цифры;

    сдвиньте запятую влево, здесь самое главное правильно считать числа — нужно передвинуть на столько позиций, сколько нулей в знаменателе;

    если их мало, то в пустых позициях должны стоять нули;

    нули, которые были в конце числителя, больше не нужны и их можно вычеркнуть;

    перед запятой прописать целую часть, если ее не было, то здесь тоже будет ноль.

Внимание. Нельзя зачеркивать нули, окруженные другими цифрами.

О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе не только единицы и нули, как перевести дробь в десятичную, вы можете прочитать ниже. Это важная информация, которую вы обязательно должны прочитать.

Как дробь может быть преобразована в десятичную, если знаменатель является произвольным числом?

Здесь возможны два варианта:

    Когда знаменатель можно представить в виде числа, равного десяти в любой степени.

    Если такая операция не может быть выполнена.

Как это проверить? Вам нужно разложить знаменатель. Если в произведении только 2 и 5, то все нормально, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если выпадут 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Для удобства использования в математических операциях такую ​​десятичную дробь принято округлять. Об этом речь пойдет чуть ниже.

Изучение способа получения таких десятичных дробей, 5 класс. Здесь пригодятся примеры.

Пусть в знаменателях стоят числа: 40, 24 и 75. Их простая факторизация будет следующей:

  • 40 = 2 2 2 5;
  • 24 = 2 2 2 3;
  • 75 = 5 5 3.

В этих примерах может быть завершена только первая фракция.

Алгоритм преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную

    Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться, что он будет состоять из 2 и 5.

    Добавьте к этим числам столько 2 и 5, чтобы они стали равными. Они дадут значение дополнительного множителя.

    Умножьте знаменатель и числитель на это число. В результате у вас получится обыкновенная дробь, под чертой которой в какой-то степени 10.

Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его нужно предварительно представить в виде неправильной дроби. И только потом действовать по описанному сценарию.

Округленное десятичное представление дроби

Некоторым этот способ преобразования дроби в десятичную покажется еще проще. Потому что нет большого количества действий. Вам просто нужно разделить значение числителя на знаменатель.

Любому числу с десятичной частью справа от запятой можно присвоить бесконечное количество нулей. Это свойство следует использовать.

Сначала запишите всю часть, а затем запятую. Если дробь правильная, то запишите ноль.

Затем предполагается произвести деление числителя на знаменатель. Так, чтобы они имели одинаковое количество цифр. То есть приписать нужное количество нулей справа от числителя.

Выполнять длинное деление, пока не будет введено необходимое количество цифр. Например, если нужно округлить до сотых, то ответ должен быть 3. В общем, должно быть на одно число больше, чем нужно получить в итоге.

Промежуточный ответ запишите после запятой и округлите по правилам.Если последняя цифра от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда будет 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.

Назад от десятичной к дробной

В математике бывают задачи, когда удобнее представлять десятичные дроби в виде обыкновенных дробей, в которых есть числитель со знаменателем. Вы можете вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.

Для этой процедуры нужно сделать следующее:

    записать всю часть, если она равна нулю, то ничего писать не нужно;

    провести дробную линию;

    запишите цифры с правой стороны над ним, если сначала идут нули, то их нужно зачеркнуть;

    под чертой запишите единицу с таким количеством нулей, сколько цифр после запятой в исходной дроби.

    Это все, что вам нужно сделать, чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь.

    Что можно делать с десятичными дробями?

    В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее делались для других чисел.

    Это:

      сравнение;

      сложение и вычитание;

      умножение и деление.

    Первое действие, сравнение, похоже на то, как оно делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, что больше, нужно сравнить цифры целой части.Если они окажутся равными, то переходят к дробным и сравнивают их точно так же. Ответом будет число, в котором находится наибольшая цифра старшего разряда.

    Сложение и вычитание десятичных дробей

    Это, пожалуй, самые простые шаги. Потому что они выполняются по правилам для натуральных чисел.

    Итак, для выполнения сложения десятичных дробей их нужно писать друг под другом, расставляя запятые в столбик.При таком обозначении целые части появляются слева от запятых, а дробные — справа. А теперь нужно складывать числа по крупицам, как это делается с натуральными числами, опуская запятую вниз. Начинать сложение нужно с наименьшей цифры дробной части числа. Если цифр в правой половине не хватает, то добавляются нули.

    То же самое относится и к вычитанию. И здесь есть правило, описывающее возможность заимствования единицы из старшего разряда.Если в сокращенной дроби после запятой меньше цифр, чем в вычитаемой дроби, то в ней просто приписывают нули.

    Немного сложнее обстоит дело с задачами, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.

    Как умножить десятичную дробь в разных примерах?

    Правило умножения десятичных дробей на натуральное число следующее:

      запишите их в столбик без запятой;

      размножаются, как если бы они были естественными;

      отделить запятой столько цифр, сколько было в дробной части исходного числа.

    Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Другими словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 — их уже будет две и так далее. Если в дробной части не хватает цифр, то нужно в пустые позиции вписать нули.

    Правило, которое используется, когда в задаче нужно умножить десятичную дробь на другую того же числа:

      напишите их друг под другом, не обращая внимания на запятые;

      размножаются, как если бы они были естественными;

      отделите запятой столько цифр, сколько было в дробных частях обеих исходных дробей вместе.

    Примеры выделены как частный случай, в котором один из коэффициентов равен 0,1 или 0,01 и так далее. В них нужно передвинуть запятую влево на количество цифр в представленных множителях. То есть, если его умножить на 0,1, то запятая сдвинется на одну позицию.

    Как разделить десятичную дробь в разных задачах?

    Деление десятичных дробей на натуральное число производится по следующему правилу:

      запишите их при делении на длинные, как если бы они были натуральными;

      делить по обычному правилу, пока не закончится вся часть;

      поставить в ответ запятую;

      Продолжайте делить дробную часть до тех пор, пока остаток не станет равным нулю;

      при необходимости можно задать необходимое количество нулей.

    Если целая часть равна нулю, то ее тоже не будет в ответе.

    Отдельно идет деление на числа равные десяти, ста и так далее. В таких задачах нужно перенести запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что в целой части не хватает цифр, тогда вместо них используются нули. Вы можете заметить, что эта операция похожа на умножение на 0,1 и подобные числа.

    Для выполнения десятичного деления нужно воспользоваться таким правилом:

      превратить делитель в натуральное число, и для этого передвинуть в нем запятую вправо до конца;

      переставить запятую и в кратном одинаковом количестве цифр;

      действовать по предыдущему сценарию.

    Деление на 0,1 выделено; 0,01 и другие подобные числа. В таких примерах запятая смещается вправо на количество цифр дробной части. Если они закончились, то нужно присвоить недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные числа.

    Вывод: все дело в практике

    Ничто в обучении не дается легко и без усилий. Требуется время и практика, чтобы надежно освоить новый материал.Математика не исключение.

    Чтобы тема о десятичных дробях не вызывала затруднений, нужно решить с ними как можно больше примеров. Ведь было время, когда сложение натуральных чисел вызывало недоумение. И теперь все в порядке.

    Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда задания с такими цифрами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.

    Кстати, головоломки сначала сложно решать, а потом нужно делать обычные движения.То же и в математических примерах: пройдя один и тот же путь несколько раз, потом уже не будешь думать, куда свернуть.

В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, затем покажем, как умножать одну десятичную дробь на другую, и рассмотрим метод умножения в столбик. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Затем разберем, как правильно умножать десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100, 10 и т.)

В рамках данного материала коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разбираются отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.

Яндекс.РТБ Р-А-339285-1

Сформулируем общие принципы, которых необходимо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.

Для начала запомните, что десятичные дроби есть не что иное, как специальная форма записи обыкновенных дробей, поэтому процесс их умножения можно свести к такому же для обыкновенных дробей.Это правило работает как для конечных, так и для бесконечных дробей: после преобразования их в обыкновенные с ними легко производить умножение по уже изученным нами правилам.

Посмотрим, как решаются такие задачи.

Пример 1

Рассчитайте произведение 1, 5 и 0,75.

Решение: сначала заменим десятичные дроби обыкновенными. Мы знаем, что 0,75 — это 75/100, а 1,5 — это 15·10. Мы можем отменить дробь и выбрать целую часть.Полученный результат 125 1000 запишем как 1, 125.

Ответ: 1 , 125 .

Мы можем использовать метод подсчета столбцов, как для натуральных чисел.

Пример 2

Умножить одну периодическую дробь 0, (3) на другую 2, (36).

Для начала приведем исходные дроби к обычным. Получим:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 — 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + .. . = 2 + 0, 36 1 — 0, 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Следовательно, 0, (3) 2, (36) = 1 3 26 11 = 26 33.

Полученную обыкновенную дробь можно привести к десятичной форме, разделив числитель на знаменатель в столбик:

Ответ: 0, (3) 2, (36) = 0, (78).

Если у нас в условии задачи есть бесконечные непериодические дроби, то их нужно предварительно округлить в большую сторону (см. статью про округление чисел, если вы забыли, как это сделать).После этого можно выполнить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.

Пример 3

Вычислить произведение 5, 382 … и 0, 2.

Решение

В нашей задаче есть бесконечная дробь, которую нужно сначала округлить до ближайших сотых. Получается, что 5, 382… ≈ 5, 38. Второй множитель нет смысла округлять до сотых. Теперь можно посчитать нужный кусок и записать ответ: 5, 38 0, 2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1 076.

Ответ: 5, 382 … · 0,2 ≈ 1,076.

Метод подсчета столбцов можно использовать не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножать их точно так же. Выведем правило:

Определение 1

Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:

1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимания на запятые.

2. Ставим десятичную точку в итоговом числе, отделяя от него столько цифр в правой части, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе.Если в результате чисел для этого не хватило, слева добавить нули.

Рассмотрим примеры таких расчетов на практике.

Пример 4

Умножьте десятичные дроби 63, 37 и 0, 12 на столбец.

Решение

Первый шаг — умножение чисел без учета десятичной точки.

Теперь нужно поставить запятую на нужном месте… Она отделит четыре цифры справа, так как сумма знаков после запятой в обоих множителях равна 4.Нули добавлять не надо, достаточно знаков:

Ответ: 3,37 0,12 = 7,5044.

Пример 5

Подсчитайте, сколько 3,2601 умножить на 0,0254.

Решение

Считаем без учета запятых. Получаем следующий номер:

Мы поставим запятую, разделяющую 8 цифр справа, потому что исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и без дополнительных нулей не обойтись:

Ответ: 3.601 0,0254 = 0,08280654,

Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01 и т. д.

На такие числа часто умножают десятичные дроби, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем специальное правило, которое мы будем использовать при этом умножении:

Определение 2

Если мы умножим десятичную дробь на 0, 1, 0, 01 и т. д., то получим число, похожее на исходную дробь, со смещением запятой влево на необходимое количество цифр.Если цифр для перевода не хватает, нужно слева добавить нули.

Итак, чтобы умножить 45, 34 на 0, 1, нужно запятую в исходной десятичной дроби передвинуть на один разряд. В итоге получаем 4534.

Пример 6

Умножьте 9,4 на 0,0001.

Решение

Нам придется передвинуть запятую на четыре знака после запятой по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого будет недостаточно.Приписываем нужные нули и получаем, что 9,4 · 0, 0001 = 0, 00094.

Ответ: 0 , 00094 .

Для бесконечных десятичных дробей мы используем то же правило. Так, например, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) или 94, 938… · 0, 1 = 9, 4938…. и др.

Процесс такого умножения ничем не отличается от действия умножения двух десятичных дробей. Метод умножения в столбик удобно использовать, если в условии задачи есть конечная десятичная дробь. При этом необходимо учитывать все те правила, о которых мы говорили в предыдущем пункте.

Пример 7

Вычислите, сколько будет 15 2, 27.

Решение

Умножьте исходные числа столбцом и разделите два десятичных знака.

Ответ: 15 2, 27 = 34, 05.

Если мы производим умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, мы должны сначала заменить десятичную дробь обыкновенной.

Пример 8

Вычислите произведение 0, (42) и 22.

Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0, 42 1 — 0, 01 = 0, 42 0, 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Окончательный результат можно записать в виде периодической десятичной дроби как 9, (3).

Ответ: 0, (42) 22 = 9, (3).

Перед подсчетом бесконечные дроби необходимо округлить.

Пример 9

Подсчитайте, сколько будет 4 · 2, 145….

Решение

Округлим исходную бесконечную десятичную дробь до сотых. После этого переходим к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

4 · 2, 145 … ≈ 4 · 2, 15 = 8, 60.

Ответ: 4 · 2, 145 … ≈ 8, 60.

Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и т. д.

Десятичное умножение на 10, 100 и т. д.часто встречается в задачах, поэтому этот случай мы разберем отдельно. Основное правило умножения следующее:

Определение 3

Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и т. д., нужно передвинуть ее запятую на 3, 2, 1 знак в зависимости от множителя и отбросить лишние нули слева. Если не хватает цифр для переноса запятой, добавляем справа столько нулей, сколько нам нужно.

Покажем на примере, как именно это сделать.

Пример 10

Умножьте 100 на 0.0783.

Решение

Для этого нам нужно сдвинуть запятую на 2 знака вправо. У нас получится 007, 83. Нули слева можно отбросить и результат запишется как 7, 38.

Ответ: 0,0783 100 = 7,83.

Пример 11

Умножьте 0,02 на 10 тысяч.

Решение: мы переместим запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватает для этого цифр, поэтому придется добавлять нули.В этом случае будет достаточно трех нулей. В итоге получилось 0,02000, переставляем запятую и получаем 00200,0. Не обращая внимания на нули слева, можно записать ответ как 200.

Ответ: 0,02 10 000 = 200.

Приведенное нами правило будет работать так же и в случае бесконечных десятичных дробей, но здесь следует очень внимательно относиться к периоду конечной дроби, так как в нем легко ошибиться.

Пример 12

Рассчитайте произведение 5, 32 (672) умножить на 1000.

Решение: в первую очередь запишем периодическую дробь как 5, 32672672672…, так вероятность ошибиться будет меньше. После этого мы можем перенести запятую на необходимое количество символов (три). В итоге получаем 5326, 726726… Поставим точку в скобках и запишем ответ как 5 326, (726).

Ответ: 5, 32 (672) 1000 = 5 326, (726).

Если в условиях задачи имеются бесконечные непериодические дроби, которые необходимо умножить на десять, сто, тысячу и т. д., не забудьте их округлить перед умножением.

Для выполнения этого вида умножения нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби и далее действовать по уже знакомым правилам.

Пример 13

Умножить 0,4 на 3 5 6

Решение

Сначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0, 4 = 4 · 10 = 2 · 5.

Мы получили смешанный ответ. Вы можете записать это как периодическую дробь 1, 5 (3).

Ответ: 1 , 5 (3) .

Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до определенной цифры и только потом умножать.

Пример 14

Рассчитать произведение 3, 5678. … … · 2 3

Решение

Мы можем представить второй множитель как 2 3 = 0, 6666….

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.