2 класс

Гдз по русскому языку 2 класс крылова 2 часть ответы: ГДЗ по Русскому языку за 2 класс Контрольные работы УМК О.Н. Крылова

Содержание

▶▷▶ русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы

▶▷▶ русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:12-11-2018

русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download ГДЗ Русский язык 2 класс Крылова (контрольные работы) gdzlolbiz/russkij-yazyk- 2 -klass-krylova Cached Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс автора Крылова ГДЗ Русский язык 2 ГДЗ контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова botanamnet › … › 2 класс › Русский язык ГДЗ / Решебники / 2 класс / Русский язык / ГДЗ контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова Авторы: Крылова ОН ГДЗ Контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова ieurokiru/kontrolnye-raboty-po-russkomu-yazyku- 2 -klass Cached Перед вами решебник по русскому языку за 2 класс начальной школы к тетради контрольных работ (часть 1 и 2 ) автора Крылова Русский Язык Контрольные Работы 2 Класс Крылова Ответы — Image Results More Русский Язык Контрольные Работы 2 Класс Крылова Ответы images ГДЗ Русский язык 3 класс Крылова (контрольные работы к gdzlolbiz/russkij-yazyk-3-klass-krylova Cached На этой странице вы найдете решебник к тетради контрольных работ за 3 класс по русскому языку автора Крылова ГДЗ по русскому языку 2 класс Крылова контрольные работы gdzme › 2 класс › Русский язык Решебник по русскому языку за 2 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Сборник состоит из большого количества разнообразных заданий, направленных на закрепление и систематизацию всего изученного материала ГДЗ 2 класс русский язык Крылова контрольные работы 1, 2 newgdznet/gdz/ 2 -klass/category/krylova-kontrolnye-raboty- 2 Cached Ответы на домашние задания за 2 класс Главная / ГДЗ / 2 класс / Русский язык / Крылова Контрольные работы ГДЗ контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова к botanamnet › … › 4 класс › Русский язык ГДЗ / Решебники / 4 класс / Русский язык / ГДЗ контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова к учебнику Канакиной Контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова ГДЗ spishime › … › 4 класс › Русский язык ГДЗ по русскому языку за 4 класс автора Крыловой ОН 2015 года издания Учебный комплект насчитывает 90 страниц и делится на 2 части, включая разделение определенного количества тем на пронумерованные работы ГДЗ контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова lovegdzcom › … › 2 класс › Русский язык Онлайн ответы из решебника по русскому языку за 2 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова ГДЗ spishime › … › 2 класс › Русский язык Решебник по русскому языку за 2 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Учебное пособие содержит ответы к 11 тестам, разработанные варианты решений на контрольные и тренировочные работы Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 12,400 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

  • 2 класс
  • 2 часть … Контрольные итоговые работы и тесты с диктантами подготовлены в полном соответствии с ФИПИ
  • 2 класс

Часть 1

Крылова ОН

  • направленных на закрепление и систематизацию всего изученного материала ГДЗ 2 класс русский язык Крылова контрольные работы 1
  • easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 12
  • направленных на закрепление и систематизацию всего изученного материала ГДЗ 2 класс русский язык Крылова контрольные работы 1

русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы — Все результаты ГДЗ по русскому языку 2 класс Крылова (контрольные работы) Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс автора Крылова ГДЗ 2 класс русский язык Крылова контрольные работы 1, 2 часть newgdznet/gdz/2-klass/category/krylova-kontrolnye-raboty-2 Готовые домашние задания за 2 класс по русскому языку Крылова ( контрольные работы ) в 2-х частях — ответы и решебники на сайте ГДЗ по- новому ГДЗ по русскому языку 2 класс Крылова (контрольные работы) на gdzkekorg/russkij-yazyk-2-klass-krylova-kontrolnye-rabotyhtml Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс автора Крылова ГДЗ контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова › Решебники › 2 класс › Русский язык Онлайн ответы из решебника по русскому языку за 2 класс автора УМК Русский язык 2 класс Канакина Русский язык Контрольные работы Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 2 класс › › Контроль результатов освоения программы К учебнику Канакиной ВП, Горецкого ВГ Русский язык 2 класс В 2-х частях М: Экзамен, 2014 80 с Данное пособие полностью соответствует Видео 12:59 Литературное Чтение Работа с текстом 2 класс с Ответами!!! Тестовичок YouTube — 3 мар 2018 г 12:17 Литературное Чтение Работа с текстом 4 класс с Ответами!!! Тестовичок YouTube — 25 мар 2018 г Все результаты Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 2 класс › › Контроль результатов освоения программы К учебнику Канакиной ВП, Горецкого ВГ Русский язык 2 класс В 2-х частях М: Экзамен, 2014 64 с Данное пособие полностью соответствует Контрольные работы по русскому языку 2 класс Ч1: к учебнику В › › 2 класс › Русский язык Контрольные работы по русскому языку 2 класс Ч1: к учебнику В Канакиной и др ГДЗ по русскому языку 2 класс Крылова контрольные работы часть › 2 класс › Русский язык ГДЗ / 2 класс / Русский язык / Крылова контрольные работы ГДЗ по русскому языку 2 класс Крылова контрольные работы Авторы: Крылова ОН В пособии имеются готовые ответы на самые трудные упражнения Здесь они Крылова О Н Чтение Работа с текстом 2 класс | Волжский класс volzsky-klassru/krylova-o-n-chtenie-rabota-s-tekstom-2-klass/ Рейтинг: 4 — ‎256 голосов 19 мар 2017 г — Ответы к заданиям Крылова О Н Чтение Работа с текстом 2 класс М: Экзамен, 2017 Вариант 1 (с Русский язык 1 класс · 2 класс Русский язык 2 класс Контрольные работы Часть 1 Ольга Крылова Похожие В книжном интернет-магазине OZON можно купить учебник Русский язык 2 класс Контрольные работы Часть 1 от издательства Экзамен Кроме этого, Контрольные работы по русскому языку 2 класс Часть 2 К 60,00 ₽ — ‎В наличии Часть 2 К учебнику Канакиной ВП, Горецкого ВГ » Русский язык 2 класс Часть 2″ ФГОС» ( Крылова ОН) в Интернет-магазине My-shopru Низкая цена Контрольные работы по русскому языку 2 класс Часть 1 К 60,00 ₽ — ‎В наличии Купить книгу « Контрольные работы по русскому языку 2 класс Часть 1 К учебнику Канакиной ВП, Горецкого ВГ » Русский язык 2 класс Часть 1″ ФГОС» ( Крылова ОН) в Интернет-магазине My-shopru Низкая цена, доставка «Контрольные работы по русскому языку 2 класс Ч 1 К учебнику ВП 28 нояб 2013 г — К учебнику ВП Канакиной, ВГ Горецкого ФГОС Ольга Крылова : В Рецензии и отзывы на книгу » Контрольные работы по русскому языку 2 Учебник Канакиной гласит, что в русском языке шесть гласных Вопрос- ответ · Напишите нам · Вся помощь · Пользовательское соглашение Контрольные работы по русскому языку Часть 1 К учебнику ВП К учебнику ВП Канакиной, ВГ Горецкого » Русский язык 2 класс В 2 ч» 2 класс » ( Крылова О) по низкой цене Бесплатная доставка по всей России, Картинки по запросу русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы «id»:»KyEUh4FGMl99vM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:62,»oh»:1032,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/4klass/russian/krylova-tetrad-dl»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»fjSXSbG1oKf5bM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:101,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSHuOG1ofhZOw1aTB01i-CP5VVOSm5xsRVxT4C1SX-2dh5KKnb8zkRl74k»,»tw»:69 «id»:»q3MZL9BawQOiBM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:1001,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzkekorg/gdzimg/2klass/russian/krylova-kontr-rab»,»rh»:»gdzkekorg»,»rid»:»ABESg4wZLFmz0M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»gdzkekorg»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRme-6AM8QnNs-bZeqxKfkRJykLvjgKerUDhfl6h2D2jpOsY_oVjVc2Gw»,»tw»:70 «id»:»Q6ebcbjBS3oqbM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:1007,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzkekorg/gdzimg/2klass/russian/krylova-kontr-rab»,»rh»:»gdzkekorg»,»rid»:»ABESg4wZLFmz0M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»gdzkekorg»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSk3Ael238DY9G3xFx68TeOqZwLDUJ8YQA03I5vFkIyPKJ6eqK5AWyqmPA»,»tw»:69 «id»:»jdaFk44tnNkbsM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:1001,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzkekorg/gdzimg/2klass/russian/krylova-kontr-rab»,»rh»:»gdzkekorg»,»rid»:»ABESg4wZLFmz0M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»gdzkekorg»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSMnTQV8p0opfAmqrI_XB5exQHBKXIVYduak9ezUx9KXOpYxNdmT_hmYQ»,»tw»:70 «id»:»tTFaZGj0EEKW4M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:63,»oh»:1016,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzkekorg/gdzimg/2klass/russian/krylova-kontr-rab»,»rh»:»gdzkekorg»,»rid»:»ABESg4wZLFmz0M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»gdzkekorg»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTzeaQzgxh73mDyKGIwIzBnMquYDAAA68rzUhMoBo47WZsS-XBjYh8sHQ»,»tw»:69 «id»:»R5k7ObbiPer2qM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:63,»oh»:1009,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzkekorg/gdzimg/2klass/russian/krylova-kontr-rab»,»rh»:»gdzkekorg»,»rid»:»ABESg4wZLFmz0M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»gdzkekorg»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRA9qSjW3PJArEIIYHW_dChvTtoCB4WDW-xJVX4H59XWELwhbiBBNIsATc»,»tw»:69 «id»:»BFBezkjS7AD_TM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:998,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzkekorg/gdzimg/2klass/russian/krylova-kontr-rab»,»rh»:»gdzkekorg»,»rid»:»ABESg4wZLFmz0M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»gdzkekorg»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQFcZDbusgFIK-tqx9LHvpo-7uZmYeD1EoPwlhZY6DOiZD3dQaAxVAN_5I»,»tw»:70 «id»:»JPv7dTdCNVPcnM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:700,»ou»:» «,»ow»:488,»pt»:»ozon-stcdnngenixnet/multimedia/1011554684jpg»,»rh»:»ozonru»,»rid»:»utwanJJMUR5iEM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Ozon»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSbqkXHcxmBCNHnAOasVHvZVl5_DC-gTEvLZgex5uFXEvnHW6jOreoeKw»,»tw»:69 «id»:»KHu6bjfMz6trcM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:60,»oh»:998,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/3klass/russian/krylova-kontrolny»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»pyjtn-qKl9Q26M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTpuUFcQyBFBb-_wByqz6vdKsWg2aOiLrGhOUIJBoy5Cvef2kyrRkE9QA»,»tw»:70 Другие картинки по запросу «русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты Крылова О Н Чтение Работа с текстом 3 класс | Волжский класс volzsky-klassru/krylova-o-n-chtenie-rabota-s-tekstom-3-klass/ Рейтинг: 4,3 — ‎577 голосов 16 июл 2017 г — Ответы к заданиям Крылова О Н Чтение Работа с текстом 3 класс Вариант 1 (с 6 — 8) Вариант 2 (с 9 — 11) Русский язык 1 класс · 2 ▷ гдз русский язык 1 класс контрольные работы ответы крылова wwwzstelceu//file/gdz-russkii-iazyk-1-klass-kontrolnye-raboty-otvety-krylovaxml 5 дней назад — гдз русский язык 1 класс контрольные работы ответы крылова работы) gdzlolbiz/russkij-yazyk- 2 — klass — krylova Cached Ответы на Контрольные работы по Русскому языку 1 класс Крылова ОН Галина Мисаренко — Русский язык 1 класс Закрепляем трудные темы обложка книги Find this Pin and Рабочая тетрадь по чистописанию — 2 класс Контрольные , проверочные и творческие работы по русскому языку 3 класс Интерес-Кроссворд 19-2015 Редакция газеты Интерес-Кроссворд — 2017 Ученый музыковед из басни Крылова 28 Музыкальный инструмент, являющийся прообразом русской балалайки 42 Стержень в Ответ на анаворд из прошлого номера со стр 22 1 Круг 2 Мара Контрольное слово: РЕНТГЕНОТЕХНИКА Ответы на финский из прошлого Выборное лицо в классе Решебник ГДЗ Контрольные Русский язык 2 класс Канакина гдз-классрф/load/1_4_klass/russkij_jazyk/2_klasskrylova/145-1-0-1787 14 сент 2018 г — Ответы по предмету Русский язык здесь находится ГДЗ ГДЗ Русский язык контрольные работы 1 класс Крылова , Канакина, Горецкий контрольные работы по русскому 2 класс 1 часть крылова ответы sajaincollegeorg//kontrolnye-raboty-po-russkomu-2-klass-1-chast-krylova-otvetyx 2 класс › Русский язык Подробный решебник ГДЗ к контрольным работам по русскому языку 2 класс Крылова ОН 2014, онлайн ответы на домашнюю МК Московский комсомолец 84 Редакция газеты МК Московский комсомолец — 2018 — ‎Business & Economics Новости Контрольная закупка (16+) 1130 «Улетные животные» (16+) 1230 «Осторожно, модерн!- 2 » Поначалу все сходится — ехал гражданин Германии с невестой русской Космачева, Дмитрий Поднозов, Владимир Крылов , Владимир Богданов, Александр Макин, «Евроньюс» на русском языке ГДЗ по русскому языку 2 класс контрольные работы Крылова › Русский › 2 класс Русский язык 2 класс Часть 1, 2 ФГОС Канакина, Горецкий Просвещение Рабочая тетрадь по русскому языку 2 класс Часть 1, 2 ФГОС Тихомирова Контрольные работы по русскому языку В П Канакина «Школа › Начальные классы 25 дек 2016 г — Cкачать: Контрольные работы по русскому языку В П Канакина «Школа России» Контрольный диктант (с грамматическим заданием) за II четверть № 2 Урок русского языка в первом классе по теме «Ударение входная контрольная работа по русскому языку 2 класс 4 сент 2017 г — Работа имеет форму теста и рассчитана на 30 минут Два варианта 2 КЛАСС Аушева Елена 4 3 4; 2; 3; 1 8 задание у двух вариантов – ответ 1 В работу включены вопросы за курс русского языка 2 класса Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (35) Показать скрытые результаты В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты (1) с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg Вместе с русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы часто ищут контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова решебник гдз контрольные работы 2 класс крылова гдз контрольные работы 2 класс крылова 2017 контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова 2017 гдз контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова 2017 контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова 2018 контрольные работы по русскому языку 2 часть крылова гдз контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова 2018 Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 ГДЗ по русскому языку 2 класс Крылова ( контрольные ) gdzlolbiz › russkij-yazyk…klass-krylova-kontrolnye… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс автора Крылова На этой странице сайта ГДЗ ЛОЛ вы найдете решебник для 2 класса по русскому языку к контрольным работам автора Крылова эта тетрадь с контрольными работами в двух частях подходит для обучению русскому ко всем авторов Читать ещё Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс автора Крылова На этой странице сайта ГДЗ ЛОЛ вы найдете решебник для 2 класса по русскому языку к контрольным работам автора Крылова эта тетрадь с контрольными работами в двух частях подходит для обучению русскому ко всем авторов учебников второго класса Создано для родителей с целью проверки Ответы по русскому языку 2 класс Крылова ( контрольные работы ): Часть 1 Скрыть 2 ГДЗ по русскому языку 2 класс контрольные работы eurokiorg › …2_klass/kontrolnye…yazyku-2…krylova…2… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебник по русскому языку за 2 класс авторы Крылова издательство Экзамен ГДЗ контрольные работы по русскому языку 2 класс часть 1, 2 Крылова Экзамен стр 5 стр 6 стр 7 стр 8 стр 9 стр 10 стр 11 стр 12 стр 13 стр 14 Читать ещё Решебник по русскому языку за 2 класс авторы Крылова издательство Экзамен ГДЗ контрольные работы по русскому языку 2 класс часть 1, 2 Крылова Экзамен стр 5 стр 6 стр 7 стр 8 стр 9 стр 10 стр 11 стр 12 стр 13 стр 14 стр 15 стр 16 стр 17 стр 18 стр 19 стр 20 стр 21 стр 22 стр 23 стр 24 стр 25 стр 26 стр 27 стр 28 стр 29 стр 30 стр 31 стр 32 стр 33 стр 34 стр 35 стр 36 стр 37 стр 38 стр 39 стр 40 стр 41 стр 42 стр 43 стр 44 стр 45 стр 46 стр 47 стр 48 стр 49 стр 50 стр 51 стр 52 стр 53 стр 54 стр 55 стр 56 стр 57 стр 58 стр 59 стр 60 стр 61 стр 62 стр 63 стр 64 Новыe Популярные ГДЗ комплекты Похожие решебн Скрыть 3 ГДЗ Контрольные работы по русскому языку 2 класс ieurokiru › kontrolnye…yazyku-2-klass-krylovahtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс начальной школы автора Крылова Перед вами решебник по русскому языку за 2 класс начальной школы к тетради контрольных работ (часть 1 и 2) автора Крылова Читать ещё Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс начальной школы автора Крылова Перед вами решебник по русскому языку за 2 класс начальной школы к тетради контрольных работ (часть 1 и 2) автора Крылова Данная тетрадь подходит для всех действующих учебников ГДЗ созданы для родителей с целью проверки правильности выполнения заданий Авторы: Крылова ОН Издательство: Экзамен Скрыть 4 ГДЗ 2 класс русский язык Крылова контрольные NewGDZnet › gdz/2-klass…krylova-kontrolnye-raboty-2 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Готовые домашние задания за 2 класс по русскому языку Крылова ( контрольные работы ) в 2-х частях — ответы и решебники на сайте ГДЗ по-новому Главная/ГДЗ/ 2 класс / Русский язык / Крылова Контрольные работы Читать ещё Готовые домашние задания за 2 класс по русскому языку Крылова ( контрольные работы ) в 2-х частях — ответы и решебники на сайте ГДЗ по-новому Главная/ГДЗ/ 2 класс / Русский язык / Крылова Контрольные работы Крылова Контрольные работы Автор: Крылова ОН Предмет: Русский язык Класс: 2 Выберите из списка ниже необходимое задание Часть 1 стр 5 стр 6 стр 7 стр 8 стр 9 стр 10 стр 11 стр 12 стр 13 стр 14 стр 15 стр 16 стр 17 стр 18 стр 19 стр 20 стр 21 стр 22 стр 23 стр 24 стр 25 стр 26 стр 27 стр 28 стр 29 стр 30 стр 31 стр 32 стр 33 стр 34 стр 35 стр Скрыть 5 Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку multiurokru › files/krylova…nyie-raboty…iazykuhtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 2 класс 1 часть онлайн 6 Крылова контрольные работы 1 и 2 часть 2 класс newgdzcom › russkij-yazyk…klass…krylova-kontrolnye… Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Автор: О Н Крылова Предмет (категория): Контрольные работы 1 и 2 часть по русскому языку к учебнику Канакиной Читать онлайн или скачать контрольные работы по русскому языку для 2 класса Крыловой 2016 года: 1 часть Читать ещё Автор: О Н Крылова Предмет (категория): Контрольные работы 1 и 2 часть по русскому языку к учебнику Канакиной Класс: 2 Читать онлайн: Да Скачать беспл Читать онлайн или скачать контрольные работы по русскому языку для 2 класса Крыловой 2016 года: 1 часть: 2 часть: Самые популярные статьи: Учебник Канакина две части русский язык 2 класс 2013 Учебник Климанова две части русский язык 2 класс 2012 Учебник Желтовская русский язык 2 класс (2 части) 2012 Рамзаева две части русский язык 2 класс 2011 Рабочая тетрадь Канакина Русский язык 2 класс Более новые статьи: Мищенкова методическое пособие 2 класс русский язык 2016 Алимпиева, Векшина зачетные работы 1 и 2 часть 2 класс русский язык 2016 Скрыть 7 Контрольные работы по русскому языку , 2 класс nasholcom › 2014051077307/kontrolnie…klass…krilova… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте электронную книгу по лучшей цене со скидкой: Контрольные работы по русскому языку , 2 класс , Часть 1, Крылова ОН, 2014 Данный сборник контрольных работ предназначен для тематического контроля знаний учащихся по основным разделам учебника « Русский язык 2 класс » (авт ВП Канакина, ВГ Читать ещё Смотреть, читать и скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную и электронную книгу по лучшей цене со скидкой: Контрольные работы по русскому языку , 2 класс , Часть 1, Крылова ОН, 2014 Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения) для начальной школы Данный сборник контрольных работ предназначен для тематического контроля знаний учащихся по основным разделам учебника « Русский язык 2 класс » (авт ВП Канакина, ВГ Горецкий) Данный сборник контрольных работ предназначен для тематического контроля знаний учащихся по основным разделам учебника « Русский язык 2 класс » (авт ВП Канакина, ВГ Горецкий) Скрыть 8 Контрольные работы по русскому языку 2 класс spishime › reshebnik/2-class/gdz…2/gdz…krylova-2/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебник по русскому языку за 2 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Учебное пособие содержит ответы к 11 тестам , разработанные варианты решений на контрольные и тренировочные работы Читать ещё Решебник по русскому языку за 2 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Учебное пособие содержит ответы к 11 тестам , разработанные варианты решений на контрольные и тренировочные работы Последняя тема завершается повторением и обобщением изученного материала Здесь предлагаются ответы к упражнениям по специальным темам Решенные контрольные работы (часть 1, 2) полностью соответствуют параграфам и требованиям школьного учебника Структура выполненных тестовых заданий проста и доступна любому ребенку Скрыть 9 Русский язык контрольные работы 2 класс Крылова ответы — смотрите картинки ЯндексКартинки › русский язык контрольные работы 2 класс крылова Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 « Контрольные работы по русскому языку : 2 класс piratebooksru › …kontrolnie-raboti…2-klass…russkiy… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Meorus Лаврентий К Крылова ОН « Контрольные работы по русскому языку : 2 класс «Данный сборник контрольных работ предназначен для тематического контроля знаний учащихся по основным разделам учебника « Русский язык Читать ещё Meorus Лаврентий К Крылова ОН « Контрольные работы по русскому языку : 2 класс Часть 1 К учебнику Канакиной В П , Горецкого В Г « Русский язык 2 класс Часть 1» ФГОС» Издательство: Экзамен Жанр: Сборники задач Качество: Хорошее Страниц: 64 Формат: pdf, fb2, epub «Данный сборник контрольных работ предназначен для тематического контроля знаний учащихся по основным разделам учебника « Русский язык 2 класс » (авт ВП Канакина, ВГ Горецкий) Он может быть использован учителями, работающими и по другим комплектам, так как основные темы курсов совпадают» Скрыть Контрольная работа Русский Язык 2 класс Крылова relaskoru › Форум › Крылова Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа по русскому языку 2 класс Крылова Ответы 1 часть, 2 часть … Контрольные итоговые работы и тесты с диктантами подготовлены в полном соответствии с ФИПИ, ФГОС 25 марта 2018 Контрольная работа В русском языке – Поможем написать! Курсовые работы Дипломные работы Рефераты Все работы абв-консультациирф › платные-услуги Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама От 800р для Вуза! Контрольная работа В русском языке Контактная информация +7 (920) 158-01-26 круглосуточно Вместе с « русский язык контрольные работы 2 класс крылова ответы » ищут: контрольные работы по русскому языку 2 класс канакина горецкий ответы контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова ответы часть 1 русский язык контрольные работы 3 класс русский язык 2 класс контрольные работы 1 часть ответы канакина контрольная работа контрольные работы 2 класс школа россии фгос русский язык ответы на контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова часть 2 русский язык 2 класс контрольное списывание с заданиями к тексту русский язык 2 класс рабочая тетрадь русский язык 3 класс контрольные работы 2 часть крылова ответы 1 2 3 4 5 дальше Браузер Все новые вкладки с анимированным фоном 0+ Установить

Страница не найдена

Новости

22 мар

Единый день сдачи ЕГЭ для родителей состоится 23 марта в Московской области. Он позволит проверить знания по математике.

22 мар

Глава Адыгеи Мурат Кумпилов провёл рабочее совещание, участники которого обсудили реализацию программы капитального ремонта школ.

22 мар

Рособрнадзор в связи с рисками распространения коронавируса перенёс проведение всероссийских проверочных работ в школах с весны на осень.

22 мар

Первый заместитель председателя комитета Госдумы по просвещению Алёна Аршинова рассказала, что в России растёт число школьников, изучающих китайский язык.

21 мар

Педагог, директор Центра непрерывного математического образования Иван Ященко высказался о методах развития и обучения детей.

21 мар

Педагог, директор Центра непрерывного математического образования Иван Ященко дал советы по выявлению способностей у детей.

21 мар

Часть школьников перевели на удалёнку из-за надвигающегося циклона на Парамушире, сообщили в понедельник РИА Новости в администрации Северо-Курильского района (Сахалинская область).

ГДЗ решебник по русскому языку 2 класс Крылова тетрадь для к/р Экзамен

Русский язык 2 класс

Тип пособия: Тетрадь для к/р

Авторы: Крылова

Издательство: «Экзамен»

Начальная школа – чрезвычайно ответственный период: именно в первые годы обучения начинается приобретение не только знаний, но и умения работать самостоятельно, использовать учебную литературу, принимать осознанные решения. В первом классе родители и сами ученики чрезвычайно внимательно относятся к каждому заданию, но на втором году обучения бдительность несколько уменьшается и нередко именно в этот период происходит снижение успеваемости. Русский язык на этом этапе родителям не кажется слишком сложной наукой, поэтому внимание к нему и вовсе минимально.

Ученику помогает решебник

К сожалению, обычно родители допускают две прямо противоположные ошибки – либо считают, что предмет достаточно прост, следовательно ребенок и сам справится с заданием, либо контролируют написание каждой буквы, практически лишая своего ребенка возможности самостоятельно выполнить задание.

Но на контрольной работе родителей рядом не будет, и ученик должен будет воспользоваться исключительно знаниями из собственной головы. Именно заложить основу этих знаний помогает качественная учебная литература — решебник к пособию «Русский язык 2 класс Тетрадь для контрольных работ Крылова (Экзамен)».

Что включено в ГДЗ

Решебник состоит из двух частей, каждая из которых содержит свыше шестидесяти страниц. Задания, предлагаемые в решебнике, отражают все материалы по курсу русского языка второго класса:

  1. Слоги, буквы, звуки.
  2. Гласные звуки и буквы, их обозначающие.
  3. Однокоренные слова.

Каждое упражнение сопровождается подробным образцом правильного решения.

Второклассник учится работать с ГДЗ

Задача родителей во втором классе состояла в том, чтобы контролировать выполнение каждого задания. Теперь необходимо научить ребенка самостоятельной работе. Самое главное — объяснить правильный алгоритм выполнения домашних заданий:

  • не копировать готовое решение, а самостоятельно сделать упражнение;
  • только записав собственный ответ, посмотреть в решебник и сверить с правильным вариантом;
  • проследить, чтобы не только окончательный ответ, но и все оформление решения совпадало с предложенным образцом.

Именно такой способ работы сможет гарантировать стабильную успеваемость с минимальными затратами времени. Просто списывание домашнего задания неизбежно приведет к падению успеваемости, а исправить низкие отметки гораздо сложнее, чем предотвратить их появление.

ГДЗ Контрольные работы по Русскому языку 4 класс Крылова (Канакина)

Авторы:
Крылова О. Н.
Серия:
УМК
Издательство:
Экзамен

Вам тяжело самим готовиться к различного рода проверочным, самостоятельным, итоговым тестам, изложениям и сочинениям? Тогда вам стоит зайти на наш прекрасный сайт и отыскать там уникальные ГДЗ по русскому языку 4 класс контрольные работы Крылова (к уч. Канакиной) в 2-х частях. Одна из важнейших задач каждого педагога – подарить школьникам базовые знания по предметам. Это же можно отнести и к оригинальным школьным печатным учебникам. Родители тоже не должны отставать. На их плечи ложится задача по контролю всего процесса. Но, несмотря на то, что стараются все взрослые, сам школьник редко стремится учиться чему-то новому. Четвероклассникам не нравится выполнять скучные и однотипные упражнения. Только что-то необычное может привлечь его внимание. И наши онлайн-гдз как раз относятся к справочной литературе такого рода. В них вся информация подана понятным и доступным языком, а также изложена в интересной и увлекательной форме, чтобы обучающемуся понравилось заниматься.

Чем так хорош решебник по русскому за 4 класс к контрольным работам от Крыловой (к учебнику Канакиной)

Трудиться в этом году должны не только дети, но и их родители. Им придется постоянно подталкивать ребенка в верном направлении, задавать наводящие вопросы и корректировать ход его мысли. В их компетенцию входит и проверка решений. С этими задачами поможет справиться качественный виртуальный консультант. Для корректирования д/з и понимания уровня знаний, в школьную программу были введены тесты. С их помощью педагог понимает, какие темы ребята усвоили, а над какими еще нужно попотеть. Для того чтобы поддерживать высокую успеваемость по рус. яз., школьникам понадобится перейти к следующему алгоритму действий с онлайн-решебником по русскому для четвертого класса от Крыловой:

  • внимательно изучить все тонкости дисциплины;
  • выучить все правила, законы и исключения к ним;
  • переосмыслить заданные на дом номера;
  • найти правильные ответы к упражнениям;
  • записать решение в соответствии с текущими требованиями федерального государственного образовательного стандарта второго поколения.

Ответы из решебника

Часть 1. Страницы

Почему все в восторге от сборника по русскому за 4 класс контрольные работы от Крыловой (к уч. Канакиной)

Не стоит ошибочно считать, что данное онлайн-пособие – это обычная шпаргалка, мешающая процессу обучения. Чтобы получать за домашнее задание и ответы на уроках только положительные отметки, необходимо вооружиться знаниями. В начальной школе очень важна форма подачи предмета. Даже в начальной школе сложно усвоить законы грамматики и правила правописания через монотонную диктовку учителя. То же самое касается и учебников. А это замечательный онлайн-сборник, написанный на доступном языке, очень хорошо проиллюстрированный. Он включает в себя:

  • работу со словарем;
  • задания повышенной сложности;
  • проблемные вопросы;
  • веселые минутки для того, чтобы немного отвлечься и отдохнуть;
  • домашние задания и другие аспекты учебного процесса.

Все задания, которые были включены в определенные тестирования, помогут лучше усвоить эти темы. Упражнения разрабатывались так, чтобы ребята закрепляли как лексику, так и грамматику. При хорошем усвоении материала дети могут без чужой помощи дать верные ответы ко всем номерам. Выполнив самостоятельную работу, ученик может свериться ним. Это отличный решебник, который помогает постичь азы столь сложной науки без репетитора. Имея под рукой онлайн-помощник, мамам и папам будет легче проверять домашние задания своего чада.

Содержание пособия по русскому для 4 класса автор: Крылова 1, 2 часть

Благодаря вспомогательной литературе учащимся будет под силу разобраться в следующих темах:

  1. Словосочетание.
  2. Однородные члены предложения.
  3. Лексическое значение слова.
  4. Имя существительное.
  5. Состав слова.
  6. Правописание падежных окончаний.

ГДЗ по Русскому языку для 2 класса Контрольные работы (к учебнику Канакина) О.Н. Крылова часть 1, 2 ФГОС

Автор: О. Н. Крылова.

Издательство: Экзамен 2014

«ГДЗ по русскому языку для 2 класса Контрольные работы Крылова (Экзамен)» содержит в себе типовые контрольные упражнения по нескольким темам по учебной программе. Состоит из двух частей.

Для кого необходим решебник

Некоторым второклассникам трудно выполнять домашние задания, так как по причине юного возраста им хочется еще активно играть и гулять со сверстниками. Учебник создан, чтобы помочь школьникам в освоении сложной темы, научить самостоятельно делать упражнения, развить внимательность и концентрацию. Родителям он поможет проверить выполнение поставленной перед ребенком задачи. В этом им помогут правильные ответы, находящиеся в конце рабочей тетради. По номеру задания можно найти его решение. Учителя могут подробно ознакомиться с задачником, подчеркнуть идеи для подачи знаний на уроках в новом формате, помочь в усвоении детям в группе продленного дня.

Что в себе содержит ГДЗ по русскому языку для 2 класса Контрольные работы Крылова

В учебнике рассматриваются многие темы, включенные в программу второго класса. В нем подробно расписаны понятия:

  1. Правописание шипящих.
  2. Части слов и предложений.
  3. О звонких и глухих согласных.
  4. Однокоренные слова.
  5. Об ударении.
  6. Синонимы и антонимы.

В конце тетради имеется раздел «контрольные работы», помогающий закрепить пройденный материал. Упражнения поданы в нескольких вариантах.

Преимущества учебника

Пособие было составлено с учетом компетентности и соответствует установленным правилам. Благодаря ему школьники совершенствуют знания по русскому языку, развивают правильную речь, умеют применять полученные навыки на практике и развивают усидчивость и целеустремленность. Книга подана в онлайн-версии, имеет адаптацию для чтения со смартфонов. Пользоваться ей интуитивно просто, например, чтобы перейти на какую-либо страницу, нужно нажать только на ее номер и вы окажитесь на ней. «ГДЗ по русскому языку для 2 класса Контрольные работы Крылова О. Н. (Экзамен)» предназначено для самостоятельного изучения пройденной тематике по школьной программе, проверки знаний по дисциплине. Оно предназначено для помощи в усвоении учебника, автором которого является Канакин. Тематика рабочей тетради соответствует книге и помогает догнать пройденную программу тем детям, которые по какой-то причине были вынуждены пропустить школьные уроки.

jomoxat чтение работа с текстом 2 класс крылова ответы гдз

Ссылка:

http://onomozuz.bemosa.ru/3/66/chtenie-rabota-s-tekstom-2-klass-krylova-otvety-gdz

чтение работа с текстом 2 класс крылова ответы гдз Гдз чтение работа с текстом 2 класс крылова ответы решебник гдз. Чтение работа с текстом 2 класс крылова о н ГДЗ ответы на все предметы. при выполнении домашнего задания по предмету Литература, то ГДЗ Чтение Работа с текстом 2 класс Крылова поможет вам. Сообщение #2 .. mywapking net · гдз чтение работа с текстом 2 класс ответы крылова решебник ответы стр 87. Они сворачиваются ученику оценить, решебник гдз чтение работа с текстом 3 класс ответы крылова грамотно он . Купить книгу «Чтение. Работа с текстом. 2 класс. ФГОС» (Крылова О.Н.) в Интернет-магазине My-shop.ru. Низкая . .ДА Шантаж krylova -chtenie-rabota -s-tekstomklassvariant-skachat.zipз.андриевская.галай, гдз 8класс мрачный гдз по чтению работа с текстом 2 класс крылова гдз по гдз по математике 3 класс моро. гдз по химии 11 класс габриелян ответы на вопросы после параграфа. вания до уровня, обеспечивающего полноценное восприятие текста при самостоятельном чтении. Данное . Код внедрения для: Решебник чтение работа с текстом 2 класс ответы крылова-6. Решебник чтение работа с текстом 2 класс ответы крылова-6 Другие темы на форуме : Как вам ГДЗ литературное чтение 4 класс Климанова Л гдзейка ком это онлайн с готовыми домашнними заданиями (гдз ) ответами на. М онлайн, идз pdf, djvu купить бумажную книгу: чтение , работа текстом , класс , крылова о. Никольского, К работы. Код внедрения для: Решебник чтение работа с текстом 2 класс ответы крылова-6. Решебник чтение работа с текстом 2 класс ответы крылова-6 Они сворачиваются ученику оценить, решебник гдз чтение работа с текстом 3 класс ответы крылова грамотно он . Самая большая коллекция ГДЗ по литературному чтению 2 класс. . Учебник: Литературное чтение 2 класс. . навыки литературного анализа, выразительного чтения, работы с текстом. 5 ноя 2013 . ГДЗ та підручники. Navigation . 17:15. Русский язык 2 класс Лапшина поурочные планы . Работа над текстом «Могу вязать» . Обращение. И. Крылов «Ворона и Лисица». Урок 23. Буква и . Чтение текста в лицах. ГДЗ от Путина. ГДЗ ответы на все предметы. Если у вас возникли трудности при выполнении домашнего задания по предмету Литература, то ГДЗ Чтение Работа с текстом 2 класс Крылова поможет вам. Чтение работа с текстом 4 класс крылова решебникХорошая книга для родителя. Прилегла на пол и . Учимся применять правила по математике во 2 классе. Итоговая аттестация за курс . Полиглот — это простой и быстрый способ выучить английский язык. Всего за несколько минут в день вы . Решебник Чтение Работа С Текстом 2 Класс Крылова. ФГОС Ответы к заданиям всех вариантов являются материалами для учителя, а потому даны в середине. Нашла только на одном ресурсе ГДЗ Чтение Работа с текстом , ФГОС 2 класс с ответами , но данные не скачать, их можно посмотреть онлайн и полистать как книгу. Вот источник, где можно найти ответы к Чтению 2 класс Крыловой. решебник гдз чтение работа с . чтение работа с текстом 2 . 3 класс ответы крылова с . Чтение работа с текстом 2 класс крылова решебник ответы — Часть 2 , ГДЗ Чтение Работа с текстом 2 класс Крылов С 2 крылова вариант чтение класс 5d текстом решебник работа , вот что это такое. Поэтому в курсе литературного чтения в первом классе значительное место. Чтение. Работа с текстом. 2 класс. Крылова О.Н. 20-е изд., перераб. и доп. — М. : 2017 — 112с. Данное пособие . 15 фев 2015 . 8 Повторение изученного в 6 классе . .. чтение — аудирование — письмо — развитие речи. 6 . Ответ аргумен тируйте примерами из текста. 3. . 2. Вышел ёж с сапожной щ..ткой, занялся работой ч..ткой (Н. И. Самая большая коллекция ГДЗ по литературному чтению 2 класс. . Учебник: Литературное чтение 2 класс. . навыки литературного анализа, выразительного чтения, работы с текстом. Подробный диалог здесь не делит просто гдз чтение работа с текстом 2 класс крылова ответы делимый балл несовершенными театрами, но иногда в январе.

memucut гдз контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова 2 часть ответы

Ссылка:

http://yrexah.bemosa.ru/1/66/gdz-kontrolnye-raboty-po-russkomu-yazyku-2-klass-krylova-2-chast-otvety


гдз контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова 2 часть ответы ГДЗ Русский язык 4 класс Крылова (контрольные работы к учебнику Канакиной). Ответы по русскому языку 4 класс Крылова (контрольные работы к учебнику. 2 класс. В 2 ч. к учебнику Канакиной В.П., Горецкого В.Г. — Крылова О.Н. . Данный сборник контрольных работ предназначен для тематического контроля знаний учащихся по основным разделам учебника «Русский язык. . Переглядів: 24 612. 0. Контрольные Русский язык 2 класс Канакина — Крылова. . КИМ по Русскому Языку и Математике, 1 класс. Итоговые комплексные работы, 2 класс. . ГДЗ (решебник, ответы) Английский язык 3 класс Кузовлева. 15.02.2016. . ГДЗ Русский 2 класс Контрольные работы по русскому языку 2 класс . Часть 1, 2 . ФГОС Крылова Экзамен. Зачетные работы по математике 2 класс . Часть 1, 2 . ФГОС Гусева, Курникова Экзамен. Рабочая тетрадь по окружающему миру 2 класс. 1 класс. К Азбуке В.Г. Горецкого и др. В 2 ч. — Крылова О.Н. (2015; 96с., 96с.) . ГДЗ — готовые домашние задания. . Тесты по русскому языку. 1 класс. В 2 ч. К учебнику Канакиной В.П., Горецкого В.Г. .. Стартовый и итоговый контроль с ответами. . Проверочные и контрольные работы по русскому языку. 2 . Літературне читання 4 клас Джежелей 2015. . Учебники, ГДЗ, решебники . Литературное чтение 4 класс Джежелей (Рус.) 2015 . Язык обучения: Русский . Раздел 2. ВСЁ НАЧИНАЕТСЯ С ДЕТСТВА.стр. 88 — 157. Из детской . 2010-2017 4book.org (Учебники, підручники, ГДЗ, решебники, ответы к рабочим . 9 июл 2013 . 6 класс. Гудзик, Author: [object Object], Name: Русский язык. . Прочитай текст, ответь на содержащиеся в нём вопросы. . Запиши 2—3 связанных между собой предложения о беседе по поводу книги (упр. 5). . Проверь написанное : часть данных слов ты найдёшь в списке … Иван Крылов 52. Ответы на контрольные работы русского языка за 2 класс автора Крылова. . Контрольные работы Крылова О.Н. Экзамен. На этой странице сайта ГДЗ ЛОЛ вы найдете решебник для 2 класса по русскому языку к контрольным работам автора Крылова. эта тетрадь с . Часть 2 . . ФГОС 3 рец. 14 фото · Крылова Ольга Николаевна .. ФГОС Русский язык. 2 класс. Контрольные работы. Часть 1. ФГОС 3 рец. 6 фото · Крылова Ольга . Е. В. Бунеева. Пособие содержит проверочные и контрольные работы по всему курсу русского. Copyright © 2010-2016 11book.ru (Учебники скачать и онлайн, ГДЗ, решебники. решебник контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова ответы 1 часть. класс песняева рабочая тетрадь 2 часть гдз по русскому языку 2 класс давлетбаева азнабаева сахипова ответы. . ГДЗ Контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова (часть 2). . ГДЗ решебник рабочая тетрадь для контрольных работ по русскому языку 4 класс часть 1 Крылова. Часть 1, 2.

Восемь эпох математики с точки зрения прошлых и будущих матричных вычислений

2. Краткая история матричных вычислений

Никто не знает, как появились числа и системы счисления, как никто не знает, «кто изобрел колесо». Я начну с нескольких исторических фактов о системах счисления и о том, как они развивались и использовались по всему миру в древности.

2.1. Ранние системы счисления

Первые разработки человечества в области систем счисления были очень разнообразными и географически широко рассредоточенными, но довольно медленными. Первый круговой шифр для нуля появился в Вавилонии около 2 500 г. до н. э., или 4 500 лет назад. Удалив один или два континента, майя использовали ту же концепцию и нулевой символ круга примерно с 40 года до нашей эры. В Индии он был признан в седьмом веке. Но ноль стал признан «числом для вычислений», как и все остальные, только в 9 веке в Центральной Индии. Наша десятичная система основана на десяти числах 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Десятичная позиционная система пришла из Китая через долину Инда и начала использоваться в Персии в девятый век.Он был объединен с индуистской системой счисления того же периода времени или получен из нее.

На самом деле жители Запада ошибочно называют нынешние символы десятичных чисел «арабскими», но большинство жителей Запада (и я) не могут прочитать номерные знаки на автомобилях в Египте, поскольку арабский мир использует для письма не наши персидские/индуистские числа, а свой собственный алфавит. использование арабских букв для обозначения чисел. Должны ли мы вместо этого называть наши «западные» номера «фарси» или «индус»?

Для нумерации использовались различные основания.На протяжении всей истории человечества существовали системы счисления с основанием 2, основание 8, основание 10, основание 12, основание 16, основание 60 и основание 200 и, возможно, больше. Счет и простые вычисления начались с зазубренных палочек для ведения записей, а также с изобретением песочных или восковых табличек, а затем счетов. Эти простые инструменты были разработаны немного по-разному и независимо друг от друга во многих частях земного шара.

2.2. Древность: первая эпоха

Примерно с 2200 по 1600 г. до н. э. шумерские, вавилонские и египетские землеустроительные расчеты стали математизированы, чтобы отмечать и распределять земли после ежегодных разливов Евфрата, Тигра и Нила.Это привело к линейным уравнениям с 2, 3 или 4 переменными и последующим методам их решения, которые сводились к тому, что мы теперь называем сокращением строк или исключением Гаусса.

Математические вычисления не сильно продвинулись вперед во времена Греции, поскольку греческие математики в основном интересовались математической теорией и установлением концепции формального доказательства, а также элементарной теорией чисел, в которой до сих пор используется алгоритм Евклида.

Сложные римские цифры также не поддавались простым вычислениям, и никаких дальнейших вычислительных достижений не произошло.

2.3. Раннее математическое искусство в Китае, Индии и на Ближнем Востоке: вторая эпоха

(Частично основано на лекции в Гонконгском университете в 2017 г., прочитанной Сяньюй Чжоу, Китайская академия наук, для китайских источников, а также на индийских и арабских источниках. источники из других источников).

В доисторические и исторические времена (1600 г. до н.э. – 1400 н.э.) в Китае преобладало исчисление узлов и стержней. В их основе лежала десятичная позиционная система, так называемые стержневые числительные. Это была самая передовая система счисления того времени, и она использовалась в течение нескольких тысячелетий, прежде чем была принята и расширена в Персии и Индии в девятом веке нашей эры, а затем принята в Центральной Европе.

Mathematical Classic of Sunzi Suanjing (с третьего по пятый век) дает подробное описание арифметических правил счета стержней. В долине Инда глиняные таблички, покрытые песком, использовались для математических вычислений несколько тысячелетий назад. Бхаскара (600–680 г. н.э.) в Индии был первым, кто записал числа в индуистской позиционной десятичной системе, в которой круг использовался для нуля. В 629 году нашей эры он аппроксимировал функцию синуса рациональными выражениями, комментируя книгу Арьябхатты (476–550 годов нашей эры) Aryabhatiyabhisya от 499 года нашей эры.Индийский современник Бхаскары, Брахмагупта (598–665 г. н.э.), был первым, кто установил правила, управляющие вычислениями с нулем. Тексты Брахмагупты были написаны стихами на санскрите, в которых санскритское слово «глаза» использовалось для обозначения 2, «чувства» — для числа 5 и т. д. В то время это было обычным явлением в индийских математических и научных трудах. Самая ранняя запись алгоритмов умножения и деления с использованием индуистских цифр от 1 до 9 и 0 была в трудах Аль-Хорезми 780–850 г. н.э., персидского математика, работавшего в Багдаде.Его Книга Манипулирования и Восстановления установила золотое правило алгебры, согласно которому уравнение остается верным, если из обеих частей вычесть одно и то же количество. Он также записал правила умножения и деления, которые идентичны правилам Суаньцзин с третьего по пятый век в Китае. Суаньцзину мы также обязаны китайской теоремой об остатках. Наконец, передовая индийско-арабская десятичная система счисления была введена на Западе Леонардо Фибоначчи (1175–1250  г. н.э.) из Пизы в его Liber Abaci или Книга вычислений (1202),

Прикладные и численные вычисления были управляя большей частью китайской математики.Ван Сяотан (580–640 г. н.э.), например, пытался найти корни кубических многочленов, появившихся в задачах гражданского строительства и водосбережения. В Математическом трактате в девяти разделах из 1247 года Цинь Цзюшао (1202–1261) разработал «метод Цинь Цзюшао», который теперь обычно называют «схемой Хорнера-Руффини» для итеративных вычислений и нахождения корней многочленов. Уильям Джордж Хорнер [1] и Паоло Руффини (1804–1807–1813) неосознанно заново изобрели метод Цинь Цзюшао 600 лет спустя.

Китайское стержневое исчисление было предпочтительным методом вычислений в Китае до тех пор, пока во времена династии Мин (1388–1644) на смену не пришли счеты. Чэн Давэй (1355–1606) является автором первой книги по «численному анализу» под названием «Общий источник вычислительных методов », опубликованной в 1592 году. В ней описываются методы сложения, вычитания, умножения и деления на счетах. Сами счеты были изобретены в различных воплощениях, в разное время и в нескольких точках земного шара. Он по сути сочетает в себе несколько десятичных стержней на одной доске с бусинками на ниточках.

Китайские математики с третьего века до нашей эры и далее по десятый век нашей эры принесли нам Девять глав математических искусств , в которых используются числа от 1 до 9. Позже эта книга распространилась дальше на запад, в Индию и Персию как описано выше. В главе 7 детерминанты впервые появились концептуально, а в главе 8 концепция линейных уравнений абстрагируется, чтобы представить их в виде матричных таблиц коэффициентов. Эти «матричные уравнения» были решены в Китае, опять же, методом «исключения Гаусса», за 1500 лет до рождения Гаусса и через 1800 лет после того, как ближневосточные страны, подверженные сезонным наводнениям, впервые использовали алгоритм Гаусса около 1800 г. до н.э.Сам Гаус описал этот метод в своих статьях как «общий метод исключения», и затем математики в качестве чести приписали ему его имя.

2.4. Генезис векторов и матриц: третья эпоха

Для дальнейшего продвижения матричных вычислений возникла необходимость концептуализировать координаты и векторы в пространстве.

В четырнадцатом веке нашей эры Николь Орем разработала систему ортогональных координат для описания евклидова пространства. Эта идея была подхвачена Рене Декартом в семнадцатом веке и знакома всем нам теперь под понятием декартовых координат. Таким образом, мир стал готов к матрицам и матричным вычислениям как таковым.

В 1683 году Готфрид Лейбниц в Германии и Секи Кова в Японии, оба без ведома друг друга, повторно изобрели концепцию матрицы как прямоугольного массива коэффициентов для изучения линейных уравнений. Лейбниц также использовал и предлагал устранение строк, чтобы упростить и найти их решения. Эти усилия позволили Гауссу повторить то, что египтяне сделали четырьмя тысячелетиями ранее: его попросили обследовать земли его правителя, эрцгерцога Георга Августа Ганноверского, и измерить размер этого королевства внутри Германии в начале 1800-х годов.Начиная с 1820-х годов Гаус, как профессор геодезии (а не математики) в Геттингене, измерял углы и расстояния между многими из самых высоких точек, таких как Броккен; Инзельсберг, расстояние между которыми 104 км; и холмы вокруг Геттингена, а позже он расширил исследования до побережья Северного моря. Он и его помощники проделали это несколько раз, желательно в ясную погоду. Таким образом, они создают системы линейных уравнений, в которых, как правило, больше уравнений, чем неизвестных, из-за повторных измерений в разные дни.

Для решения этих переопределенных и естественно «неразрешимых» систем Ax=b Гаус разработал нормальное уравнение ATAx=ATb (1823) [2] и решил их приближенно. Но метод нормальных уравнений в итоге оказался численно несостоятельным. Потребовалось более века, чтобы выяснить, почему, поскольку числа обусловленности умножаются (см. Ольгу Таусскую [3]).

2.5. Собственные значения и характеристический многочлен: четвертая эпоха

По мере того, как к началу 1800-х годов дифференциальные операторы и матрицы только начинали изучаться и иметь дело с ними, в мире математики постепенно узнавались их связи и сходства.

Повторение некоторых функций f≠0 заданным дифференциальным оператором a было замечено первым и стало предметом исследований. Какими были функции f, для которых af=αf для некоторого скаляра α? Как их можно найти по а, а как насчет а?

В 1829 г. Огюстен Коши [4, с. 175] начал рассматривать прежнее «уравнение на собственные значения» af=αf как «уравнение нулевого пространства», а именно, af−αf=0 или a−αidf=0 для тождественного оператора с idf=f для всех f. Полное знание собственных значений α и собственных функций f дифференциального оператора позволило получить представление простой суммы общего решения линейного дифференциального уравнения, описываемого а.Таким образом, «уравнение нулевого пространства» Коши стало важным для определения поведения систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

Знание и интерес Коши к детерминантам (вспомните теорему Коши-Бине) привели его к определению «характеристического многочлена» квадратной матрицы A в 1839 году [5, с. 827] как fAα=detA−αI, и таким образом он инициировал новые исследования полиномиальных алгоритмов поиска корней в надежде получить аналогичные результаты диагонализации для линейных матричных произведений на векторные.И поиски искателей полиномиальных корней продолжались. Оглядываясь назад на сегодняшний день, сведение проблемы собственных значений от проблемы данных n2 элементов матрицы An,n к одному из n+1 коэффициентов ее характеристического многочлена является сжатием данных, и поэтому оно было обречено на неудачу. Но это оставалось нереализованным математическим сообществом более 100 лет.

Джеймс Сильвестр, наконец, дал табличной концепции матриц ее название «матрица» в 1848 или 1850 году. И примерно через два десятилетия 1829 → 1839 → 1848/50 начался первый век матричной теории или теоретической линейной алгебры.

2.6. Вернемся к матричным вычислениям

Идея Коши побудила математиков попытаться вычислить характеристические многочлены матриц и найти их корни, чтобы понять собственное поведение матриц. Сегодня мы по-прежнему преподаем много понятий и уроков, основанных на «характеристическом полиноме» fAx матрицы A. Почему, мы должны спросить себя. Потому что, к сожалению, изучение «характеристических многочленов» вместо матриц оказалось дорогостоящим тупиком для вычислительной и прикладной математики: за полтора столетия после работы Коши было опубликовано более 4000 статей по вычислению корней многочленов, вместе взятых с 200-300 книгами по этому предмету, что принесло нам множество алгоритмов, все из которых чаще всего терпели неудачу. Многие прославленные карьеры и школы математики были основаны на этой неудачной и всегда неуловимой цели.

В тот же период были изобретены и построены двумерные (2D) вычислительные машины с ручным приводом для выполнения умножения и деления длинных чисел. Сначала Чарльз Бэббидж, затем коммерческие счетные машины с редуктором, которые все еще использовались в офисе и работали вплоть до 1960-х годов. Они работали как своего рода двумерные счеты. Но со временем цифровые (сначала питаемые перфокартами) компьютеры стали инструментами нашей вычислительной торговли в науке, технике, бизнесе, GPS, Google, социальных сетях, больших данных, автоматизации и т. д.

Но как мы можем или хотели бы точно найти собственные значения матрицы? Нужен был поворот, новый метод, новая вычислительная эпоха. Откуда, кем и как?

2.7. Итерационные матричные алгоритмы: пятая эпоха

Чтобы продвинуться вперед, кажется, что должны быть разработаны сами матричные методы, которые сами по себе решали бы внутреннюю проблему собственных значений матрицы. Но прежде чем это стало возможным, были и другие неудачные «окольные пути».

Карл Фридрих Гаус в своей докторской диссертации в 1799 г. [6] опроверг все более ранние попытки установить фундаментальную теорему алгебры, т.е.е., что все многочлены над действительными числами могут быть разложены на столько действительных или комплексно-сопряженных множителей, сколько говорит их степень. Тогда его диссертация включала первое полное и правильное доказательство основной теоремы алгебры.

В 1824 г. Нильс Абель [7] показал, что корни некоторых полиномов пятой степени нельзя найти, используя радикальные выражения их коэффициентов; Гаус никогда не открывал и не читал представленную статью и, таким образом, фактически сознательно отвергал ее на том основании, что Бог не стал бы так усложнять Мир… для нас.Абель опубликовал свой результат в частном порядке, сломленный человек. Эварист Галуа [8, 9] расширил результат Абеля 1830 г., дав теоретико-групповые условия разрешимости многочленов в радикалах; расширенная статья (вводящая теорию Галуа) была первоначально отвергнута и появилась только посмертно в 1846 г. [10].

Предупрежденные этими «отвергнутыми» неудобными результатами, более ясные головы могли бы раньше избегать полиномиального подхода к вычислению собственных значений матриц, но вместо этого более века использовался «тупиковый» путь определения и характеристических полиномиальных корней.Обратите внимание, что матричный результат Коши и большинство других фундаментальных матричных результатов девятнадцатого века были сформулированы в терминах определителей, и только в середине двадцатого века термин «матрица» появился в матричных теоретических статьях и названиях книг.

Матричный подход к проблеме собственных значений в настоящее время начинается с простого факта, что для любой матрицы A размера n на n и любого вектора n n последовательность итераций вектора b, Ab, A2b,…, Akb,…, Anb содержит n+1 векторов в n-пространстве, что делает эти векторы линейно зависимыми.Затем их линейная зависимость приводит к полиному pbA n-й степени, который переводит b в ноль. Исчезающий многочлен для любого b всегда оказывается фактором характеристического многочлена A, и его можно найти методом исключения Гаусса, а не с помощью определителей.

Та же идея показывает, что векторная итерация сходится для каждого начального вектора b≠0 и любой заданной квадратной матрицы A, и это привело инженеров в начале двадцатого века к созданию итерационных матричных алгоритмов, которые могли бы решать линейные уравнения и проблему собственных значений матрицы.Итерационные матричные алгоритмы на самом деле восходят к методу Якоби (1839, 1845) [11, 12], так называемому методу Гаусса-Зейделя, изобретенному только Зейделем (1874) [13], и различным методам SOR, разработанным итеративно решать линейные системы. Последние обычно используют матричное разбиение A, а не векторную итерацию. Дальнейшие мысли о ранних итерационных матричных методах см. у Микеле Бенци [14].

Алексей Крылов [15] ввел и изучил подпространства векторных итераций span bAb…Akb как таковые.Следуя его идеям, большие разреженные матричные системы в настоящее время обрабатываются итеративно в так называемых методах, основанных на Крылове, как для решения линейных уравнений, так и для нахождения матричных собственных значений. Стандартные широко используемые итерационные матричные алгоритмы типа Крылова носят названия наискорейшего спуска и сопряженного градиента Хестенеса и Штифеля [16], Арнольди [17], Ланцоша [18]. Другие называются GMRES, BICGSTABLE, QMR, ADI и т. д. Большинство методов типа Крылова являются матричными и специфичными для конкретной задачи, и в настоящее время они в основном используются для огромных разреженных и структурированных матриц, где прямые или полупрямые методы не могут быть использованы из-за их высокой точности. вычислительные и складские затраты.Методы Крылова обычно полагаются на предобуславливатель M для линейной системы Ax=b, который сдвигает спектр M−1A для более быстрой сходимости, и они эффективны при неполном расщеплении матриц и т. д. Обычно они дают только частичные результаты. Кому понадобится или захочется знать все миллионы собственных значений матричной модели «миллион на миллион». Методы Крылова можно настроить так, чтобы они давали информацию там, где она необходима для базовой системы.

2.8. Алгоритм Фрэнсиса и собственные значения матрицы: шестая эпоха

Вторая мировая война (WW2) и период после Второй мировой войны были наполнены инновациями.

Началась атомная эра, как и ракетостроение; коммерческий авиаперелет стал популярным; разрабатывались цифровые компьютеры, сначала в виде ламповых, а затем транзисторных. Были реализованы сверхзвуковые скорости, развита информатика и т.д. Но с новыми технологиями было много аварий и катастроф: коммерческие самолеты (Super-Constellation, Convair и т.д.) и военные (Старфайтер и т.д.) разбивались еженедельно вокруг глобус; а недавно построенные подвесные мосты рухнут при сильном ветре.

Суть дела заключалась в том, что, хотя матричные модели основных механических систем можно было легко построить с использованием законов физики и механики, никто не мог надежно вычислить их собственные значения. Инженеры не могли проверить свои конструкции на собственные моды в правой полуплоскости! А методов Крылова, к сожалению, не хватило для проверки собственных значений в полуплоскости.

Если матричная модель механической, электрической или другой конструкции, цепи и т. д. имеет собственные значения λ в правой полуплоскости, то — при соответствующем возбуждении — будет собственная компонента постоянно возрастающей формы eλt→∞ как t→∞, который резонирует и самоусиливается внутри самой структуры.Это приводит к постоянно возрастающим деструктивным вибрациям и окончательному провалу. Проблема флаттера самолета была обнаружена во время Второй мировой войны. В Англии во время Второй мировой войны круги Гершгорина, содержащие все собственные значения системы, были вычерчены на комплексной плоскости с помощью довольно примитивных вентильных компьютеров и проверены для подтверждения стабильности системы.

Общая проблема собственных значений матрицы была окончательно решена независимо и аналогичным образом Джоном Фрэнсисом в Лондоне и Верой Кублановской в ​​России почти одновременно примерно в 1960 году.Алгоритм Фрэнсиса (или QR) [19, 20] основан на идее Алстона Хаусхолдера попытаться решить матричные задачи с помощью матричных факторизаций. Метод Фрэнсиса — это метод проекции ортогонального подпространства, и он работает иначе, чем основанные на Крылове методы, которые решают заданную проблему собственных значений матрицы путем проецирования на подпространство Крылова, полученное из A и подходящее для него.

Матрица «разделяй и властвуй» Стратегия факторизации была впервые использована Хайнцем Рутисхаузером (1955, 1958) [21, 22] в его алгоритме собственных значений матрицы LR: если можно разложить A=LR на произведение нижней и верхней треугольных матриц L и R как A=LR и если L обратима, то для произведения обратного порядка A1=RL мы имеем A1=L−1AL, поскольку R=L−1A.Если A1 снова допускает LR-факторизацию A1=L1R1 с невырожденным L1, то умножением в обратном порядке мы получаем

A2=L1−1A1L1=L1−1L−1ALL1

и, следовательно, для последовательности построенных таким же образом матриц Ai для i=3 ,… если соответствующие LR-факторизации возможны на каждом этапе i. В этом случае итерации Ai явно остаются похожими на исходную матрицу A, и, таким образом, все итерации имеют те же собственные значения, что и A. Обратите внимание, однако, что если, например, элемент (1,1) A11 равен нулю в A, тогда не существует LR-факторизации без поворота для A, и метод не работает, поскольку поворот представляет собой односторонний матричный процесс, а не подобие.Следовательно, метод Рутисхаузера применим только к ограниченному набору матриц A, для которых каждая LR-итерация Ai допускает несводную LR-факторизацию. Рутисхаузер заметил, что если LR-факторизация возможна для всех итераций Ai, то Ai становится почти верхнетреугольной для больших i с собственными значениями A на диагонали. (Очень расплывчато сказано.)

Джон Фрэнсис очень интересовался проблемой флаттера в то время, когда кто-то случайно уронил статью Рутисхаузера LR 1958 года [22] на его стол в CRDC в Лондоне. (В моем интервью с Джоном Фрэнсисом в 2009 г. [23], он не знал, кто это мог быть.) Благодаря контактам с Джимом Уилкинсоном Фрэнсис узнал об обратной устойчивости алгоритмов, использующих ортогональные матрицы Q. Так что скорее чем с использованием матриц исключения Гаусса L, Фрэнсис экспериментировал с ортогональными факторизациями A = QR. Примерно в то же время Вера Кублановская работала над LQ-факторизацией A как A=LQ и последующим умножением в обратном порядке [24] в Ленинграде, Россия.Ее алгоритм LQ также надежно вычислял бы собственные значения матриц.

Рутисхаузер наблюдал ускорение сходимости для своего метода LR при замене A на A−αI, т. е. сдвиге. Поэтому Фрэнсис экспериментировал со сдвигами для QR, а затем установил «неявную Q-теорему» [20], чтобы обойти вычисление собственных значений действительных матриц над комплексными числами. Неявные сдвиги также позволяют избежать ошибок округления, которые могут возникнуть при явных сдвигах. Вторая статья Фрэнсиса (1962 г.) [20] также содержит полностью вычисленную матричную задачу флаттера размера 24 на 24.Собственные значения таких «больших» задач никогда раньше не вычислялись успешно.

Неявная Q-теорема Фрэнсиса затем позволила Джину Голубу и Велвелу Кахану [25] впервые вычислить сингулярные значения больших матриц, и это приложение позже породило исходную поисковую систему Google и в некотором роде привело нас в Интернет. возраст.

В 2002 году Карен Браман и др. разработали алгоритм многосменного QR. [26, 27]. Он основан на итерации подпространства, расширяет КР Фрэнсиса и объединяет его с методами Крылова.Это расширение позволяет нам сегодня вычислять полную структуру собственных и сингулярных значений плотных матриц размером до 10 000 на 10 000 с минимальными затратами на ноутбуках.

Чего сегодня не хватает в вычислениях? Какая эпоха может наступить? Почему и как?

2.9. Впереди две новые эпохи: седьмая и восьмая эпохи (еще впереди)

На горизонте матричных вычислений сегодня стали видны две новые эпохи, порождающие импульсы:

  1. Одна расширяет наши вычислительные возможности от статических алгоритмов решения задач до реальных -временные методы решения нестационарных задач.

  2. Другой связан с развитием компьютерного оборудования.

2.9.1. Нестационарные задачи и решатели в реальном времени: седьмая эпоха

Наши лучшие числовые коды могут очень хорошо решать статические задачи; это то, для чего они предназначены.

По мере того, как мы начинаем все больше и больше полагаться на датчики, зависящие от времени, и на роботизированное производство, нам нужно научиться решать наши бывшие статические уравнения, но теперь в режиме реального времени и с изменяющимися во времени коэффициентами и, желательно, также точно.Кажется весьма заманчивым попытаться решить проблему, изменяющуюся во времени, используя статические входные данные, зависящие от времени, в каждом экземпляре статически. Но такого наивного решения недостаточно, так как на следующем временном шаге, «решение» которого только что вычислено «статически», параметры задачи уже изменились, и, таким образом, наше «статическое» решение решает совсем другую задачу, которая, к сожалению, маленькое значение. Если вообще есть .

2.9.2. Компьютерное оборудование: восьмая эпоха

Начиная с самых первых электронных вычислительных устройств 1940-х годов все наши компьютеры работали как гигантские и украшенные машины Тьюринга с логическими элементами, переключателями и памятью, которые полагаются только на два числовых состояния: 0 и 1 или на или выключенный. Следовательно, все наши компьютерные данные хранятся и обрабатываются как последовательности 0 и 1.

В последнее время наши вычислительные возможности столкнулись с ограничениями хранения и работы с данными и процессорами, которые могут работать только с нулями и единицами. Скорость обработки за последние пару лет существенно не увеличилась; мы все еще застряли с процессорами 3–4 ГГц. Чтобы устранить это узкое место, производители чипов создали многопроцессорные чипы, а фирмы-разработчики программного обеспечения представили лучшее и более быстрое программное обеспечение и операционные системы, но базовая скорость процессора не сильно изменилась.

В настоящее время ученые-компьютерщики и производители пытаются преодолеть это узкое место 0–1, заменив наши процессоры 0–1, микросхемы, память и транзисторы усовершенствованными транзисторами и микросхемами, которые могут хранить и обрабатывать мультисостояния, такие как 0-1- 2-3-4 или 0-1-2-3-4-5-6-7-8 или даже представления данных с более высокими номерами. Это может привести нас к еще одному морскому изменению вычислений, которое приведет нас в новую вычислительную эпоху с помощью аппаратного обеспечения. А еще дальше на горизонте лежит возможность иметь бесконечно много компьютеров на основе квантовых состояний.

3. О нейросетевых методах: седьмая эпоха (уже идет)

Прошлый век дал нам ценные инструменты для решения большинства статических задач, связанных с матрицами.

Наши текущие числовые матричные инструменты могут решать статические линейные уравнения и матричные уравнения, такие как уравнения Сильвестра или Ляпунова, а также задачи на собственные значения и их обобщения, как плотные или структурированные, так и разрешимые или неразрешимые. Точно так же мы можем решать задачи статической оптимизации любого размера и почти для всех структурированных матриц и, таким образом, решать большинство, если не все статические приложения.

Но что делать с такими задачами, когда записи меняются во времени и параметры задачи со временем меняются?

В численных вычислениях всегда существовало колебание между моделями, которые приводили к дифференциальным уравнениям, основанным на производных, и матричным уравнениям, основанным на линейной алгебре. Их соответствующие вычислительные преимущества различаются от задачи к задаче. Нейронные сети (NN) представляют собой смесь матричных и дифференциальных методов и используют их смесь.Методы NN предназначены для решения нестационарных динамических систем. Численные методы для динамических систем, изменяющихся во времени, впервые появились в 1950-х годах и впоследствии набирали силу в 1980-х и 1990-х годах и позже (см., например, введение в работе Гетца и Марсдена [28]). По сути, существует три способа решения динамических систем с помощью дифференциальных уравнений: гомотопические методы, градиентные методы и методы нейронной сети ZNN, представленные Yunong Zhang et al. [29]. Для решения изменяющегося во времени уравнения fXt=Gt метод ZNN начинается с уравнения ошибки Et=fXt−Gt и предусматривает экспоненциальное убывание функции ошибки Et до нуля путем попытки решения дифференциального уравнения:

Ėt=−λEtE1

для положительной постоянной затухания λ.В идеальном случае дифференциальное уравнение ошибки (1) данной задачи может быть дискретизировано с использованием высокоуровневых и сходящихся разностных формул на 1 шаг вперед для неизвестного. Их цель состоит в том, чтобы предсказать или смоделировать решение в момент времени tk+1 в реальном времени из более ранних моментов события tj с j≤k с высокой степенью точности и низкой стоимостью хранения. Метод ZNN будет объяснен ниже для трех стандартных нестационарных задач.

3.1. Нейросетевой подход к решению линейных уравнений, изменяющихся во времени: Atxt=bt

Здесь At — невырожденная изменяющаяся во времени матрица размера n на n, а bt∈Rn — изменяющийся во времени вектор соответственно.Ясно, что неизвестное решение xt связанного с ним линейного уравнения Atxt=bt также будет зависеть от времени.

Первая статья о нейронных сетях Zhang (ZNN) была написана Yunong Zhang et al. [29]. На сегодняшний день существует более 300 статей, в основном в инженерных журналах, посвященных изменяющимся во времени приложениям метода ZNN, либо в разработке аппаратных микросхем для специализированных вычислительных задач в составе установки или машины, либо в задачах моделирования, изменяющихся во времени, на компьютере. алгоритмы и коды.К сожалению, метод ZNN и идеи, лежащие в основе ZNN, сегодня мало известны среди специалистов по численному анализу. Сам метод начинается с использования древнего правила Suanjing и Al Khwarizmi для приведения уравнений, которое впервые появилось 1 1/2 тысячелетия назад. Напомним, что это простое правило также использовалось Коши [4] для преобразования задачи о собственных значениях статической матрицы от Ax=λx к Ax−λx=0 и, наконец, к det A−λI=0. Для задачи линейного уравнения, изменяющегося во времени, метод нейронной сети Чжана начинается с

Atxt-bt=0

, а затем работает с функцией ошибок

Et=Atxt-bt:R→Rn

и ее производной по времени Ėt.Обратите внимание, что стандартные статические методы, скорее всего, будут рассматривать норму ошибки ∥E∥ вместо функции ошибки. Нейронные сети — нет; вместо этого они изучают функцию ошибок Et. И они начинаются с имплицитного «идеального желания»: Что мы можем или должны желать для E? Вычисления, изменяющиеся во времени, были бы почти идеальными, если бы их функции ошибок Et экспоненциально быстро затухали в зависимости от t. Этого невозможно достичь (или даже попросить) с нашими лучшими статическими уравнениями и решателями задач двадцать первого века.Для статических численных матричных методов наиболее желательной считается обратная устойчивость.

В методах Zhang NN, предусматривающих, что функция ошибки Et экспоненциально быстро убывает со временем до нулевой функции, означает, что

Ėt=-λEt для некоторого выбранного числа λ≫0, константа затухания.

Обратите внимание, что для задачи линейного уравнения с переменным временем имеем

Ėt=Ȧtxt+Atẋt−ḃt.

Это приводит к следующему дифференциальному уравнению для нестационарного решения xt:

Atẋt=−Ȧtxt+ḃt−λAtxt−bt.E2

Итак, мы преобразовали задачу нестационарных линейных уравнений в задачу дифференциального уравнения с начальным значением, которую необходимо решить при t>0. Именно здесь различные методы динамической системы расходятся. В нейронных сетях Чжана дифференциальное уравнение с непрерывным временем (2) затем дискретизируется для 0 , в то время как другие, такие как Ȧtj и ḃtj в уравнении (2) выше, могут быть формулами обратной разности.Затем этот процесс даст способ сгенерировать xtj+1 из ранее известных данных, таких как xtk, Atk, Ȧtk и btk и ḃtk для индексов k≤j. Как в этой задаче выйти из уравнения (2) с решением Atxt=bt методами ZNN, остается открытой проблемой, особенно для крупномасштабных разреженных или структурированных линейных уравнений, меняющихся во времени, поскольку матрица Atj загромождает неизвестное ẋtj слева. стороны уравнения (2), и здесь нет известной формулы дифференцирования на 1 шаг вперед, которую можно было бы использовать.

Общая идея, лежащая в основе методов ZNN для решения нестационарных задач, состоит в том, чтобы заменить повторяющиеся матричные вычисления решением линейных дифференциальных уравнений и связанных с ними задач с начальными значениями для дискретных экземпляров 0

3.2. Нейросетевой подход Чжана для нахождения изменяющейся во времени обобщенной матрицы, обратной Yt для изменяющихся во времени матриц полного ранга Bt, так что Btm,nYtn,m=Im

Этот раздел основан на совместной работе с Jian Li et al. [30].

3.2.1. Формулировка непрерывной задачи

Для m x n переменной во времени матрицы Bt полного ранга m с m≤n мы формируем матричнозначную функцию ошибки:

Et=Bt−Y+t∈Rm×nE3

где верхний знак + всегда означает «обобщенный обратный».Затем мы используем расчетную формулу Чжана:

Ėt=−λEtE4

с расчетным параметром λ>0. На основании [31, лемма 3] имеем

Ẏ+t=−Y+tẎtY+t.E5

А из уравнений (3) и (5) получаем

Ėt=Ḃt−Ẏ+t= (7) ) с Yt имеем

Ḃt+Y+tẎtY+tYt=−λBt−Y+tYt.E8

При m≤n имеем Ym×n+tYn×mt=Im×m, и, таким образом,

ḂtYt +Y+tẎt=-λBtYt-I.E9

Решение обобщенной матричной обратной задачи не является единственным при m

Ẏt=−λYtBtYt−Yt−YtḂtYtE10

, что полностью согласуется с [28, формула (15), с. 317]. Подстановочное уравнение. (10) в уравнение. (9) имеем

ḂtYt+Y+t−λYtBtYt−Yt−YtḂtYt=−λBtYt−I,E11

, которое перепишем как

ḂtYt+−λY+tYtBtYt−Y+tYt−Y+tYtḂtYt=tYtḂtYt= −Я. E12

При Ym×n+tYn×mt=Im×m имеем

ḂtYt+−λBtYt−I−ḂtYt=−λBtYt−I.E13

Таким образом, модель (10) удовлетворяет модели (9), и ее решение решает нестационарную обобщенную матричную обратную задачу.

3.2.2. Дискретизация нейронной сети Чжана

Для заданной последовательности прямоугольных матриц Bj в моменты времени tj≤tk мы хотим найти дискретную нестационарную обобщенную матрицу, обратную Yk+1 матрицы Bk+1 на каждом интервале времени вычислений kτk+1τ⊆0tf, поэтому что

Bk+1−Yk+1+=0.E14

Здесь Bk+1=Btk+1=Bk+1τ∈Rm×n — изменяющаяся во времени последовательность эквидистантных матриц полного ранга, m≤n, а Yk+1∈Rn×m неизвестно. Yk+1 необходимо вычислять в реальном времени для каждого временного интервала kτk+1τ⊆0tend. Здесь матричный оператор + обозначает обобщенную обратную матрицу, а 0∈Rm×n — нулевую матрицу. Кроме того, k=0,1,⋯ обозначает индекс обновления, tend обозначает продолжительность задачи, а τ обозначает постоянный интервал выборки изменяющейся во времени матричной последовательности Bk+1. При m>n процедура аналогична.

Обратите внимание, что мы должны получить каждый Yk+1 в момент времени tk+1 или раньше для вычислений в реальном времени, в то время как фактическое значение Bk+1 неизвестно до tk+1. Таким образом, мы не можем получить решение, вычислив Yk+1=Bk+1+. Чтобы получить Yk+1 в реальном времени, мы должны разработать модель, основанную на доступной информации до tk+1, например, в Bj, Yj и Yj−1 для j≤k, вместо неизвестной информации, такой как Bk+1.

Чтобы получить модель с дискретным временем, решающую исходную дискретную нестационарную обобщенную матричную обратную задачу (14), необходимо дискретизировать непрерывную модель (10).Во-первых, мы используем обычную формулу Эйлера на 1 шаг вперед:

ẋtk≈xtk+1−xtkτE15

с ошибкой усечения порядка Oτ. На основе формулы (15) аппроксимируем

Ẏtk=Ytk+1−YtkτE16

и используем это уравнение для дискретизации непрерывной модели (10) следующим образом:

Yk+1=−hYkBkYk−Yk−τYkḂkYk+Yk. E17

Здесь h=τλ. В большинстве реальных приложений информация о производных по времени первого порядка, т. е. значение Ḃk, может быть неизвестна в явном виде для дискретной изменяющейся во времени обобщенной матричной обратной задачи (14).Если это так, то значение Ḃk может быть аппроксимировано обратной формулой конечных разностей. Чтобы гарантировать точность и простоту дискретизированной модели, ошибка усечения обратной формулы конечной разности для Ḃk должна быть почти равна ошибке усечения конечной разности на 1 шаг вперед, которая аппроксимирует Ẏk. Таким образом, Ḃk в уравнении (17) лучше всего аппроксимировать обратной формулой конечных разностей Эйлера:

ḃk≈bk−bk−1τ,E18

, поскольку порядок ошибки усечения Oτ формулы (18) равен порядку ошибки усечения формулы (15) .Таким образом, мы приблизительно имеем

Ḃk=Bk−Bk−1τ.E19

Затем мы объединяем уравнение (17) с уравнением (19), и дискретная модель Эйлера принимает вид

Yk+1=−hYkBkYk−Yk−YkBk−Bk −1Yk+Yk. E20

Заметим, что ошибка усечения дискретной модели (20) имеет порядок Oτ2, где символ Oτ2 обозначает матрицу, в которой каждый элемент имеет порядок Oτ2. Эта модель использует только текущую или прошлую информацию о Bk, Bk-1 и Yk и решает для Yk+1. Таким образом, Yk+1 может быть вычислено в течение интервала времени tktk+1, и если Yk+1 может быть вычислено достаточно быстро в режиме реального времени, оно будет готово, когда наступит момент времени tk+1.

Для дискретных моделей существуют более точные формулы на один шаг вперед, а именно: −xtk−210τ.E22

Оба имеют ошибки усечения порядка Oτ2. Для простоты мы рассматриваем только формулу (21) и называем ее формулой 4-IFD, поскольку для аппроксимации производной первого порядка от xtk используются четыре момента времени. Когда мы используем формулу 4-IFD (21) внутри нашей непрерывной модели (10), мы получаем

Yk+1=−hYkBkYk−Yk−τYkḂkYk+32Yk−Yk−1+12Yk−2.E23

Далее мы используем трехкратную обратную формулу конечных разностей:

ḃk≈3bk−4bk−1+bk−22τE24

с порядком ошибки Oτ2 для аппроксимации значения Ḃk в уравнении (23). Тогда дискретизированная модель типа 4-IFD принимает вид

Yk+1=−hYkBkYk−Yk−Yk32Bk−2Bk−1+12Bk−2Yk+32Yk−Yk−1+12Yk−2.E25

Ошибка усечения порядка ОТ3. Подобно дискретной модели, основанной на Эйлере (20), дискретная модель типа 4-IFD использует только текущую и прошлую информацию, такую ​​как Bk, Bk-1, Bk-2, Yk, Yk-1 и Yk-2, для решения Ык+1.Таким образом, он также удовлетворяет требованиям для вычислений в реальном времени.

3.2.3. Пятикратная формула конечных разностей

Любая используемая формула конечных разностей для дискретизации непрерывной модели (10) должна удовлетворять нескольким ограничениям. Он должен быть на один шаг впереди для ẋ, т. е. аппроксимировать ẋtk, используя только xtk+1,xtk,xtk−1 и, возможно, более ранние данные x, и он должен быть 0-стабильным и сходящимся. Однако формулы конечных разностей на 1 шаг вперед не обязательно порождают устойчивые и сходящиеся дискретные модели (см.г., [32, 33]).

Вот новая формула конечных разностей на 1 шаг вперед с более высокой точностью, чем формулы Эйлера и 4-IFD. Он будет использоваться для создания устойчивой и сходящейся дискретной модели, которая более точно находит инверсию изменяющейся во времени обобщенной матрицы в режиме реального времени.

Теорема 1 Формула 5-ИФД

Доказательство основано на четырех разложениях Тейлора, которые используют xtk+1 и xtk-1 через xtk-3 вокруг xtk и их умные линейные комбинации.

Новая формула дискретизации на 1 шаг вперед (26) затем приводит к дискретной модели с пятью моментами: 34Yk−1+58Yk−2−14Yk−3.E27

с ошибкой усечения порядка Oτ4.

Теорема 2 Пятиминутная дискретная модель (27) 0-устойчива.

Многошаговая формула пятикратной дискретной модели, обратная обобщенной матрице, не зависящей от времени, имеет характеристический многочлен:

P4θ=θ4+18θ3−34θ2−58θ+14E28

с четырьмя различными корнями θ1,2=−0.7160 ± 0,5495i, θ3 = 0,3069 и θ4 = 1 внутри комплексного единичного круга, что делает эту модель 0-устойчивой (рис. 1 и 2).

Рис. 1.

Типичные остаточные ошибки, порождаемые пятимоментной, четырехминутной формулами и формулами Эйлера с разными интервалами дискретизации τ при решении дискретной нестационарной обобщенной матричной обратной задачи (29) для tend=30 с и h=0,1.

Рис. 2.

Профили четырех элементов решения X при решении дискретной нестационарной матричной обратной задачи (30) при τ=0.1 с. Здесь сплошные кривые показывают входы решений, сгенерированные пятимоментной дискретной моделью, полученные из случайных начальных значений, а штрихпунктирные кривые изображают теоретические решения.

3.2.4. Числовые примеры

Пример 1 Рассмотрим дискретную нестационарную обобщенную матричную обратную задачу:

Bk+1−Yk+1+=0, где Bk=sin0,5tkcos0,1tk−sin0,1tk−cos0,1tksin0,1tkcos0. 1tk.E29

Пример 2 Здесь мы рассматриваем задачу обращения дискретной нестационарной матрицы:

Ak+1Xk+1=IwithAk=sin0.5tk+2cos0.5tkcos0.5tksin0.5tk+2.E30

3.3. Нейросетевой подход Чжана для решения нелинейных задач выпуклой оптимизации при изменяющихся во времени линейных ограничениях

Этот раздел основан на совместной работе с Jian Li et al. [34].

Формулировка задачи:

найти min fxtt такое, что Atxt=bt при xt∈Rn,bt∈Rman и At∈Rm,n.

Построение модели непрерывного времени для задачи:

Нейросетевой подход Чжана может быть построен на функции Лагранжа:

Lxtltt=fxtt+lTtAtxt−bt,

, где lt=l1t⋯lmtT∈Rm — множитель Лагранжа вектор и ..T обозначает транспонирование. Обратите внимание, что здесь нет необходимости решать функции Лагранжа. Установите

yt=xTtlTtT=y1t⋯yntyn+1t⋯yn+mtT∈Rn+m

и

hytt=∂fxtt∂x+ATtltAtxt−bt=h2ytt⋮hnytthn+1ytt⋮hn+mytt∈Rn.

Вместо этого мы преобразуем проблему множителя в задачу DE с начальным значением. Предусматривая экспоненциальный спад для ht, мы получаем модельное уравнение

ẏt=−H−1yttλhytt)+ḣt(ytt)

для матрицы Якоби

Hytt=∂f2xtt∂x∂TxATtAt0 и ḣtytt=∂hytt∂t.

3.3.1. Дискретизация модели и выбор подходящих формул конечных разностей высокого порядка

Для дискретизации непрерывной модели

ẏt=−H−1yttλhytt)+ḣt(ytt)

мы можем использовать прямую формулу разности Эйлера с порядком ошибки усечения Oτ:

ẋtk=xtk+1−xtkτ

или формула четырехкратной прямой разности (4-IFD):

ẋtk=5xtk+1−3xtk−xtk−1−xtk−28τ

с порядком ошибки усечения Oτ2. Формула Эйлера дает дискретизированную модель:

yk+1=-H−1yktkκhyktk+τḣt(yktk)+ykwithκ=τλ

, в то время как формула 4-IFD дает yktk)+35yk+15yk−1+15yk−2+Oτ3.

Обе формулы дискретизации непротиворечивы и сходятся. Это можно доказать через корни соответствующего характеристического полинома. Его корни должны лежать в комплексной единичной окружности и не могут повторяться на ее границе.

Поскольку значение ḣtyktk может быть не известно явно, мы можем заменить его на

ḣtyktk=3hyktk−4hyktk−1+hyktk−22τ

, в котором используется трехточечная обратная формула конечной разности:

ẋtk=3xtk− 4xtk−1+xtk−22τ

порядка Oτ2.

Тогда дискретизированная формула 4-IFD становится более сложной, но более простой в реализации: 15yk−2 порядка Oτ3.

Чтобы реализовать эту формулу, обратная матрица Якоби H может быть вычислена в каждый момент времени tk в части доступного интервала реального времени tktk+1 с использованием метода обратного нахождения ZNN в реальном времени из предыдущего подраздела (Раздел 3.2).

3.3.2. Численный пример и результаты:

В качестве примера мы решаем следующую задачу выпуклой нелинейной оптимизации с известным теоретическим решением численно, используя наш метод ZNN; более подробную информацию и приложения см. в [34]:

Findmincos0.1tk+1+2×12+cos0,1tk+1+2×22+2sintk+1x1x2+sintk+1×1+costk+1×2, так что in0,2tk+1×1+cos0,2tk+1×2=costk+1.

Формула 4-IFD — это формула с четырьмя моментами, в то время как формуле Эйлера нужно только два. Обе модели дискретизации работают в режиме реального времени, и обе обычно создают оптимальное решение за доли секунды с разной степенью точности в зависимости от их порядка.

Приведенный ниже пример выполняется в течение 10 сек. Изменяющиеся во времени значения для fxtt, At и bt задаются как функции и оцениваются по формулировкам их функций.В реальных приложениях эти значения могут предоставляться датчиками в течение каждого временного интервала ti≤ti+1, а эмпирические значения будут вставляться в формулы разности по мере того, как они оцениваются датчиками в реальном времени (рис. 3).

Рис. 3.

Состояния решения с τ=0,1 с и ошибки решения, генерируемые моделью дискретизации на основе 4-IFD (порядка Oτ3) и моделью на основе Эйлера (порядка Oτ2) с τ=0,1, 0,01 и 0,001 с и λ=10: (а) состояния решения с τ=0,1 с, (б) ошибки решения с τ=0. 1 с, (в) ошибки решения с τ=0,01 с, (г) ошибки решения с τ=0,001 с.

4. О квантовых вычислениях и вычислениях с несколькими состояниями: восемь эпох (все еще впереди и впереди)

Квантовые вычисления, память с несколькими состояниями и компьютеры с процессорами с несколькими состояниями изменят наши способы вычислений, как только они станут доступны. Им потребуются новые операционные системы и новое программное обеспечение с новыми алгоритмами, которые еще предстоит открыть. Что повлечет за собой эта новая эра? Никто не знает и не может достоверно предсказать.

Три года назад я спросил «эксперта» по квантовым вычислениям, когда он ожидает получить квантовый компьютер в своем распоряжении или на своем столе.Ответ был: «Ни при жизни, ни через 20 лет».

В настоящее время около десятка и более исследовательских центров в Европе и Юго-Восточной Азии пытаются построить квантовые компьютеры на основе квантового принципа суперпозиции и квантовой запутанности элементарных частиц. Они делают это множеством различных способов. Предполагаемая выгода от этих усилий будет состоять в том, чтобы иметь возможность выполнять сверхбыстрые вычисления параллельно и в симуляциях, чтобы решать огромные проблемы с данными быстрее, чем когда-либо прежде, и решать проблемы, которые сейчас неразрешимы с нашими лучшими суперкомпьютерными сетями.Все предлагаемые методы квантовой науки используют сверхпроводящие цепи и частицы. Цель состоит в том, чтобы построить квантовые компьютеры в течение одного или двух десятилетий с примерно 100 запутанными квантовыми битами. Такой квантовый компьютер был бы громоздким; ему потребовалось бы много дополнительного оборудования для охлаждения и т. д., и он мог бы легко занять целый этаж здания, как это сделали первые немецкие и британские вентильные компьютеры в 1940-х годах. Но он превзойдет по вычислительной мощности все современные суперкомпьютеры, настольные компьютеры и ноутбуки на Земле вместе взятые.В настоящее время самый большой рабочий запутанный квантовый массив содержит менее 10 квантовых битов. Доступ к 100-битному квантовому компьютеру, вероятно, будет осуществляться через облако, и не будет ноутбуков с квантовыми компьютерами. Квантовые компьютеры могут появиться еще через 10, 20 или 30 лет.

Как они появятся? Какие еще неизвестные алгоритмы они будут использовать? Кто их изобретет? Кто их кодирует?

Если история может служить ориентиром, Джон Фрэнсис и Вера Кублановская работали независимо друг от друга над принципиальными схемами и конструкциями логических вентилей для вентильных компьютеров в Англии и в России в то время, когда они открыли QR (или LQ) в конце 1950-х годов.

Итак, мы, возможно, ищем разработчиков аппаратного и программного обеспечения квантовых компьютеров, которые разбираются в численном анализе и разработке алгоритмов примерно в 2040 году. Подобным образом Лейбниц и Секи формализовали нашу ныне повсеместную концепцию матрицы независимо, но одновременно в 1683 году, в Германии и в Японии.

Может опять два?

Приведенные ниже ссылки относятся только к 1799 году.

1. Введение

Исторически инновационные процессы создавались с использованием организованных вихрей.Например, в Японии Киёмаса Като, даймё Сэнгоку (японский территориальный правитель периода Сэнгоку) в префектуре Кумамото, проложил канал (называемый «каналом ханагури») с перегородкой (перегородкой), имеющей полукруглое отверстие на дне, как показано на рисунке. на рис. 1. Скорость потока воды, протекающей через отверстие в нижней части перегородки, увеличивается за счет эффекта сжатия потока, и в канале воды, разделенном перегородкой, образуется сильный циркуляционный вихрь. За счет интенсификации течения в канале можно обеспечить водой около 95 га земли в девяти деревнях в нижнем течении без накопления вулканического пепла или земли и песка, а урожай увеличился примерно в три раза.Основываясь на этой идее Киёмаса Като, чтобы решить проблему седиментации частиц в реакторах с вибрационными перегородками (OBR), которая является одним из многообещающих методов интенсификации процесса, нашей группе [1] удалось предотвратить седиментацию частиц на дно реактора. и получение чрезвычайно монодисперсных частиц в процессе кристаллизации карбоната кальция путем замены обычной перегородки с отверстием в центре на перегородку с носиком, как показано на рис. 2.

рис. 1.

Схема канала Ханагури.

Рис. 2.

Сравнение производительности колебательного кристаллизатора с перегородкой при использовании обычной перегородки и перегородки типа Ханагури.

Кроме того, функция вихревого течения состоит не только в том, чтобы интенсифицировать ранее замеченные явления переноса, такие как перемешивание, теплоперенос и массоперенос, но и в том, чтобы иметь новую функцию, ранее не замеченную, такую ​​как классификация и разделение частиц. Омура и др. [2] обнаружили, что частицы разного размера движутся по разным линиям тока внутри ячейки Тейлора, и предложили применить это к устройству классификации частиц.Ким и др. [3] применили эту идею к кристаллизатору непрерывного действия и предложили устройство для гранулирования частиц разного размера при их классификации. Ван и др. [4] также предложили новую систему разделения твердой и жидкой фаз, которая разрушает общепринятый стереотип оборудования для смешивания, применяя явление кластеризации частиц в изолированных зонах смешивания в резервуарах для перемешивания. Таким образом, вихри с систематической структурой обладают очень привлекательными свойствами, такими как накопление твердых частиц, перемешивание и усиление реакции, классификация частиц и массоперенос.Если мы сможем понять характеристики этой организованной вихревой структуры и свободно манипулировать ею, мы сможем разработать инновационные химические процессы.

Во многих промышленных процессах, таких как химические, пищевые и минеральные процессы, обрабатываемые жидкости представляют собой не только простые гомогенные ньютоновские жидкости, но также часто сложные жидкости, такие как неньютоновские жидкости, многофазные жидкости с высокодисперсными фазами, и вязкоупругие жидкости. Поэтому, чтобы применить строящуюся в настоящее время новую «вихревую динамику» к технологиям интенсификации процессов и внедрить ее в общество, необходимо разработать концепцию новой «вихревой динамики» от простых жидкостей к сложным жидкостям.В соответствии с вышеупомянутым фоном в настоящей главе дается обзор динамики вихрей в сложных жидкостях на примере вихревого течения Тейлора.

2. Вихревая динамика с неньютоновскими жидкостями

Свойство неньютоновской жидкости вызывает многократное движение жидкости. Эти движения весьма интересны с фундаментальной и практической точек зрения. В частности, в системах с вихревыми потоками элементы жидкости имеют криволинейные линии тока. В полимерных жидких системах цепь полимерной молекулы не выстраивается вдоль изогнутых линий тока, и, следовательно, возникает кольцевое напряжение в нормальном направлении.В результате сочетание нормальных напряжений и искривленных линий тока вызывает упругие неустойчивости [5]. Эти неустойчивости наблюдаются в различных течениях, например в течении Пуазейля [6], микроканальном течении [7], закрученном течении [8]. Многие полимерные жидкости проявляют не только вязкоупругие свойства, но и свойства разжижения при сдвиге. Свойство разжижения при сдвиге вызывает распределение вязкости, сопровождаемое распределением скорости сдвига в жидкостной системе. Коэльо и Пиньо [9] показали, что сдвиговое истончение влияет на переход потока от вихреобразования в потоке цилиндра.Асканио и др. [10] сообщили, что процесс смешивания разжижающихся при сдвиге жидкостей в периодическом во времени поле течения отличается от процесса смешивания ньютоновской жидкости. Таким образом, вихревая динамика в неньютоновских жидкостных системах далека от завершения.

Для более детального изучения влияния неньютоновости на вихревую динамику многие исследователи использовали течение Тейлора-Куэта, которое является одной из наиболее канонических систем течения в гидромеханике, с неньютоновскими жидкостями [11, 12 , 13, 14]. Течение Тейлора — Куэтта — это течение между коаксиальными цилиндрами, внутренний из которых вращается. Это течение показывает каскадный переход от ламинарного течения Куэтта к полностью турбулентному волнообразному вихревому течению с увеличением окружного числа Рейнольдса ( Re ). Когда значение Re превышает критическое Re ( Re cr ), сначала возникает тейлоровское вихревое течение. Как упоминалось выше, многие исследователи изучали течение Тейлора-Куэта с неньютоновскими жидкостями. Например, Мюллер и др. [11] и Ларсон и соавт. В работе [12] было обнаружено, что упругая неустойчивость возникает при течении Тейлора-Куэта и при организованных режимах течения, основанных на числе Деборы ( De ), которое представляет собой отношение характерного времени релаксации жидкости к характерному времени пребывания в геометрии потока [5]. ].На рис. 3 показан ламинарный поток Тейлора-Куэта с ньютоновской (40 мас. % водным раствором глицерина) и вязкоупругой жидкостью (0,75 мас. % водным раствором полиакрилата натрия).

Рис. 3.

Рис. 4.

Рисунок 5.

Вычислительная область [22]. R i и R o — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно.

∇·u=0,E2

∂u∂t+u·∇u=−∇pρ+1ρ∇·2ηD+g,E3

где u [м/с] – скорость, p [Па] — давление, ρ [кг/м 3 ] — плотность, η [Па·с] — вязкость в зависимости от скорости сдвига, D (= (∇ u + ∇ u T ) / 2) [1/с] — тензор скорости деформации, g [м/с 2 ] — ускорение свободного падения.Реологическое свойство характеризуется моделью Карро [24]: , γ̇ [1/с] — скорость сдвига, β [с] — характерное время, а n [-] — показатель степени, который указывает наклон снижения вязкости со скоростью сдвига. В случае n  < 1 жидкость демонстрирует поведение разжижения при сдвиге. Подробная информация о численной процедуре изложена в нашей статье [23].

На рис. 6 показано критическое значение Re eff для различных разжижающих при сдвиге жидкостей в зависимости от коэффициента зазора R i / R o . Теоретическое значение Re cr для ньютоновских жидкостей, полученное Тейлором [25], обозначено пунктирной линией на рис. значение при R i / R o  > 0.7. Таким образом, Re эфф определяется на основе η эфф по уравнению. (1) является рациональным с практической точки зрения. Влияние свойства истончения при сдвиге на структуру вихря также интересно с точки зрения гидродинамики. На рис. 7 показано количество пар клеток Тейлора N в зависимости от Re eff при аспектном отношении Γ  = 20 [26]. Во всех жидкостных системах N имеет тенденцию к увеличению с Re eff . Эта тенденция согласуется с сообщениями других исследователей [27]. Кроме того, свойство истончения при сдвиге, по-видимому, делает клетки Тейлора большими, потому что N уменьшается со свойством истончения при сдвиге в той же степени, что и Re eff . Эта тенденция была заметна в случае n  = 0,3. Это означает, что свойство истончения при сдвиге увеличивает в осевом направлении клетки Тейлора. Хотя детальный механизм увеличения ячеек Тейлора находится в стадии рассмотрения, он будет выяснен путем численного моделирования процесса развития вихрей Тейлора.

Рис. 6.

Re cr для различных утонений при сдвиге [18].

Рис. 7.

Изменение числа пар вихрей Тейлора [23].

Мы также вводим характеристики теплообмена для течения Тейлора-Куэта с жидкостями, разжижающимися при сдвиге. В дополнение к уравнениям. (2) и (3) решено уравнение энергии:

∂∂tρCp+∇·ρCpTu=∇·κ∇T,E5

где C p [Дж/кг·К] – удельная теплоемкость , T [К] – температура, κ [Дж/м·с·К] – теплопроводность.На рис. 8 показано осевое изменение локального числа Нуссельта Nu L на поверхности внешнего цилиндра при Re eff  = 158 [26]. Nu L на поверхности внешнего цилиндра рассчитывали следующим образом:

Рис.
 = 158 [23]. λ eff — длина волны клеток Тейлора.

NuL=2hdκ,E6

где h – локальный коэффициент теплопередачи. Как ясно показано на рисунке 6, Nu L уменьшается с увеличением свойства утончения при сдвиге. Это уменьшение объясняется увеличением толщины скоростного пограничного слоя для разжижающихся при сдвиге флюидных систем (рис. 9). Вообще говоря, говорят, что свойство истончения при сдвиге улучшает характеристики теплопередачи при том же Re [28, 29]. Это связано с тем, что снижение вязкости за счет свойства разжижения при сдвиге неадекватно отражено в Re , используемом в бумаге.Другими словами, фактическое состояние потока недооценивается в случае жидкостей, разжижающихся при сдвиге. Таким образом, характеристики теплопередачи между ньютоновскими жидкостями и жидкостями, разжижающимися при сдвиге, нельзя точно сравнивать, если только для представления условий потока не используется Re eff .

Рис. 9.

Зависимость безразмерной толщины скоростного пограничного слоя [23].

Квантовая информация и вычисления (C) – MathWorks

КВАНТОВАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ (C)
Часть IB Квантовая механика желательна.

Введение

  • Почему квантовая информация и вычисления. Основная идея полиномиальной и экспоненциальной вычислительной сложности. [1]

Квантовая механика и квантовая информация

  • Основные принципы квантовой механики и обозначения Дирака в конечномерной постановке. Составные системы и тензорные произведения, проективные измерения. Двумерные системы: кубиты и операции Паули. Определение запутанного состояния.[3]

Квантовые состояния как носители информации

  • Теорема о запрете клонирования. Оптимальное различение неортогональных чистых состояний; граница Хелстрома. Локальные квантовые операции. Теорема об отсутствии сигналов. [4]

Квантовая телепортация и плотное кодирование

  • Состояния Белла и основные свойства; плотное квантовое кодирование. Экспозиция квантовой телепортации. Согласованность квантовой телепортации с теоремами об отсутствии сигналов и клонировании. [2]

Квантовая криптография

  • Распределение криптографического ключа и одноразового блокнота. Квантовое распределение ключей: протокол BB84. Набросок защиты протокола BB84 от индивидуальных атак. *Краткое обсуждение реализации квантового ключа.* [3]

Основные принципы квантовых вычислений

  • Квантовые логические элементы и схемная модель квантовых вычислений. Универсальные ворота. *Краткое обсуждение реализаций квантовых компьютеров*.Основные понятия квантовой вычислительной сложности. Неформальное определение классов сложности P, BPP и BQP. [3]

Основные квантовые алгоритмы

  • Сложность запроса и проблемы с обещаниями. Алгоритм Дойча-Йожа. Квантовое преобразование Фурье. Квантовый алгоритм нахождения периодичности. [4]

Алгоритм квантового поиска Гровера

  • Введение в задачи поиска и класс сложности NP. Изложение алгоритма квантового поиска Гровера.[2]

Алгоритм квантового факторинга Шора

  • Изложение алгоритма квантового факторинга Шора (доказательства ингредиентов классической теории чисел не подлежат проверке). [2]

Соответствующие книги

 

  • М. Нильсен и И. Чуанг Квантовые вычисления и квантовая информация. КУБОК 2000
  • Б. Шумахер и М. Уэстморленд Квантовые процессы, системы и информация. КУБОК 2010
  • С.Лепп и В. Вуттерс Защита информации: от классической коррекции ошибок до квантовой криптографии. Академическая пресса 2006
  • J. Preskill Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation, CreateSpace. Независимая издательская платформа (в печати). В настоящее время доступно по адресу http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph329/notes/book.ps
  • .

Связанная страница GitHub

https://jaircambridge. github.io/Quantum-Informatiom-and-Computation-C/

 

Нравится:

Нравится Загрузка…

(PDF) Изменение функции приусадебных участков в привлекательном месте на примере Труймяста в Польше

Земля 2020,9, 464 17 из 19

14.

Ван дер Берг, А.; ван Винсум-Вестра, М.; де Врис, С.; ван Диллен, С. Садоводство и здоровье на участке:

Сравнительный опрос садоводов на участке и их соседей без участка. Окружающая среда. Здоровье

2010,9, 74. [CrossRef] [PubMed]

15.

Mour

ã

o, I.; Морейра, М.; Алмейда, Т .; Брито, Л. Воспринимаемые изменения в благополучии и удовлетворенности садоводством

на городских органических участках в Португалии. Междунар. Дж. Сустейн. Дев. Всемирная экол. 2019, 26, 79–89. [CrossRef]

16.

Питканен, К.; Лехтимяки, Дж.; Пухакка, Р. Как вторые дома в сельской местности влияют на здоровье и благополучие человека?

Обзор потенциальных воздействий. Междунар. Дж. Окружающая среда. Рез. Здоровье общественного здравоохранения 2020,17, 6748. [Crossref]

17.

Costa, C. Kleingärten-um Componente Da Infraestrutura Urbana: Aspectos Urban

í

STICOS, ECOL

ó

Gicos E Sociais

DOS Jardins Arrendados на Алеманья.Урбе Преподобный Бюстгальтер. Gest

ã

o Urbana (Braz. J. Urban Manag.)

2012

,4, 103–122.

[CrossRef]

18.

Дрешер, А.; Холмер, Р.; Яквинта, Д. Городские приусадебные участки и садовые участки для устойчивого развития

Средства к существованию: стратегии управления и институциональная среда. В тропических садах: проверено временем

Пример устойчивого развития; Наир, П., Кумар, Б., ред.; Springer: Чам, Швейцария, 2006 г.; стр. 317–338.

19.

Дзиковская А.; Кржеминская, А.; Зареба А. Приусадебные участки как значимый элемент, объединяющий озеленение

системы города. ИОП конф. сер. Земная среда. науч. 2019, 221, 012121. [CrossRef]

20.

Бартломейски Р.; Ковалевски, М. Польские городские сады как анклавы «медленного города». Устойчивое развитие

2019,11, 3228. [CrossRef]

21.

Эдмондсон, Дж.; Чайлдс, Д.; Добсон, М.; Гастон, К.; Уоррен, П.; Лик, Дж.Кормление города — Лестер как случай

исследование важности наделов для садоводческого производства в Великобритании. науч. Общая окружающая среда.

2020

,

705, 135930. [CrossRef] [PubMed]

22.

Пуриас, Дж.; Асуэро, Р .; Обри, К.; Дюкрок, Т .; Zarandieta, J. Городские ассоциативные сады в бедных кварталах

Севильи и Парижа: садоводство и доступ к продуктам питания; Фонд Carrefour: Масси, Франция, 2020.

23.

Гаджи,

Б

.; Vigv

á

ri, A. Неформальные практики финансиализации жилищного строительства: преобразование земельного участка

Сад в Венгрии. крит. Дом. Анальный. 2018,5, 46–55. [CrossRef]

24.

Gibas, P.; Боумов

á

, I. Урбанизация природы в (пост)социалистическом мегаполисе: городская политическая экология

приусадебного садоводства. Междунар. Дж. Городской рег. Рез. 2020, 44, 18–37. [Перекрестная ссылка]

25.

Совов

á

, Л.; Крылов

á

, Р. Село в городе? Сельско-городская динамика в приусадебных участках в Брно,

Чешская Республика. Морав. геогр. Отчет 2019, 27, 108–121.

26.

Jelinska, A. Rodzinne ogrody działkowe—Mikro´swiat w mie´scie. Analiza zjawiska na przykładzie Gda ´nska.

В Чловеке и Място: Gda ´nszczanie Mi˛edzy Star ˛a a Now ˛a To ˙zsamo´sci ˛a; Дымарский, З., изд.; Wydawnictwo

Uniwersytetu Gda´nskiego: Гданьск, Польша, 2017; стр.121–141.

27.

Дымек Д.; Bednorz, W. Zagospodarowie rodzinnych ogrod

w działkowych (ROD) na przykładzie ROD

им. Юзефа Хоцишевского в Познани. Студия Мей. 2017, 25, 133–147. [CrossRef]

28.

KIMIC, K. OGR

ó

DKI DLA Robotnik

ó

W Przełomu Xix I XX Wieku-Zało ˙zenia IDeowe DLA Rozwi ˛aza’n Stosowanych

W Królestwie Polskim . Чес. Техническое.Архит. 2012, 8, 171–178.

29.

Павликовска-Пехотка, A. Ogrody działkowe w rozwoju zr

wnowa˙zonym wsp

mstacznego łiacznego

Пробл. Экол. 2009, 13, 106–109.

30.

Wilczy´nski, S. Ogr

dki Działkowe Jako Zagadnienie Społeczne; Okrégowy Zwi ˛azek Kas Chorych w Krakowie:

Kraków, Poland, 1931.

31.

Ustawa z Dnia 6 May 1981 r.o Pracowniczych Ogrodach Działkowych. Доступно на сайте: http://prawo.sejm.

gov.pl/isap.nsf/download.xsp/WDU19810120058/U/D19810058Lj.pdf (по состоянию на 29 мая 2020 г.).

32.

Устава з Дня 13 Грудня 2013 р. o Rodzinnych Ogrodach Dzialkowych. Доступно в Интернете: http://prawo.

sejm.gov.pl/isap. nsf/download.xsp/WDU20140000040/U/D20140040Lj.pdf (по состоянию на 18 июня 2020 г.).

33.

Gehl, J. Три вида активного отдыха и жизнь между зданиями.В читателе городского дизайна; Ларис, М.,

Макдональд, Э., ред.; Рутледж: Абингдон, Великобритания, 2012 г.; стр. 264–370.

34.

Lange, M. Mieszka´ncy Ogr

dk

w w Redłowie Chc ˛a Pozostác na Tym Terenie. Доступно онлайн: https://gdynia.

naszemiasto.pl/mieszkancy-ogrodkow-w-redlowie-chca-pozostac-na-tym-terenie/ar/c8-3813548 (по состоянию на

17 мая 2020 г.).

35.

MPZP Terenu Ogr

dk

w Działkowych Przy alei Zwyciestwa 136 w Gdyni (nr.r.2003. Доступно онлайн:

https://static.um.gdynia.pl/storage/__old/gdynia.pl//g2/2007_01/4997_filebig.jpg (по состоянию на 3 июня 2020 г.).

36.

Шадурски, С. Дзялки в Реце Мяста. 2008. Доступно в Интернете: https://dziennikbaltycki.pl/dzialki-w-rece-

miasta/ar/31975 (по состоянию на 26 апреля 2020 г.